مساحت مثلث چگونه محاسبه می شود؟
3505921#1
از ارتفاع در محاسبهٔ مساحت مثلث استفاده می‌شود که برابر است با نصف حاصل ضرب طول ارتفاع در قاعدهٔ آن. در نتیجه بلندترین ارتفاع به کوتاه‌ترین قاعدهٔ مثلث عمود می‌شود. ارتفاع مثلث به مبحث توابع مثلثاتی نیز مرتبط است. یکی از ارتفاع‌های مثلث منفرجه، بیرون شکل است
ارتفاع (مثلث)
23876#1
مساحت یک مثلث برابر یک دوم طول یک ضلع، ضرب در طول ارتفاع وارد بر آن، یعنی فاصله رأس سوم تا خط شامل ضلع انتخاب‌شده، است. مساحت مثلث را از رابطه زیر به دست می‌آورند: ۲ ÷ (قاعده × ارتفاع) = مساحت مثلث
مثلث
9688#10
با استفاده از قانون سینوس‌ها در هر مثلث دلخواه، می‌توان با معلوم بودن اندازه یک ضلع و دو زاویه مجاور آن، اندازه دو ضلع دیگر را محاسبه نمود. هم‌چنین می‌توان مساحت مثلث (Δ) و شعاع دایره محیطی آن (R) را به دست آورد: بر اساس اتحاد بالا، مساحت مثلث با معلوم بودن اندازه دو ضلع و زاویه میان آن‌ها از رابطه زیر، قابل محاسبه است:
مثلثات
4832873#6
مساحت این مثلث را حساب می‌کنیم:
مساحت دایره
23876#3
در رابطهٔ فوق S=مساحت، b=قاعده، و h=ارتفاع محسوب می‌شود. مساحت مثلث را با انتخاب هرکدام از ارتفاع‌های آن بیابیم، حاصل یک عدد یکسان خواهد بود.
مثلث
270592#2
دو ضلع یکسان مثلث متساوی‌الساقین، ساق و ضلع سوم قاعدهٔ مثلث خوانده می‌شوند. سایر اندازه‌های مثلث متساوی‌الساقین همچون ارتفاع، مساحت و محیط آن با کمک فرمول‌های ساده‌ای از اندازه ساق و قاعدهٔ مثلث قابل محاسبه هستند. عمود منصف قاعدهٔ هر مثلث متساوی‌الساقین، محور تقارن آن نیز هست. دو زاویهٔ روبرو به ساق‌های مثلث متساوی‌الساقین با یکدیگر برابر و همواره حاده هستند.
مثلث متساوی‌الساقین
5189955#5
E را به B و D را به C وصل می‌کنیم؛ بنابراین مساحت مثلث BDE با مساحت مثلث CDE مساوی است. زیرا هر دو دارای یک قاعدهٔ DE هستند و رأسهای آنها بر خط راست BC، موازی با قاعدهٔ DE قرار دارد؛"formula_1"از آن جایی که نسبت‌های کمیت‌های متساوی به یک کمیت با هم مساوی اند پس نسبت مساحت مثلث BDE به مثلث ADE مثل نسبت مساحت مثلث CDE است به مثلث ADE. از طرفی نسبت مساحت مثلث BDE به مساحت مثلث ADE، مثل نسبت BD است به DA؛ زیرا دارای یک ارتفاع اند که از E بر AB عمود می‌شود و نسبت آنها به یکدیگر مثل نسبت قاعده‌های آنهاست. به‌طور مشابه نسبت مساحت مثلث CDE به مساحت مثلث ADE مثل نسبت CE است به EA. بنابراین نسبت BD به DA نیز مثل نسبت CE است به EA."
قضیه تالس
23876#7
فرض می‌کنیم a و b و c اضلاع یک مثلث از هر نوع داده شده باشد (خواه قائم الزاویه - متساوی الساقین - مختلف الاضلاع) فرمول زیر مساحت مثلث را بیان می‌کند:
مثلث
23875#3
هر میانه، مساحت مثلث را نیز همچون طول اضلاع آن به دو نیمه مساوی تقسیم بندی می کند. به همین دلیل است که اگر مثلثی را با چگالی یک دست بسازیم، مرکز ثقل آن همان محل برخورد میانه های مثلث می شود، به همین دلیل برخی مواقع به مرکزوار یا محل برخورد میانه های مثلث، مرکز ثقل مثلث هم می گویند(غیر از سه میانه، هیچ خط دیگری که از مرکزوار، یا مرکز ثقل عبور کند، مساحت مثلث را به دو نیم تقسیم نمی کند، هرچند که خطوط دیگر که از خارج مرکزوار عبور می کنند ممکن است مساحت مثلث را به دو نیم تقسیم کنند). سه میانه مثلث را به شش مثلث کوچکتر با مساحت های برابر تقسیم بندی می کنند.
میانه مثلث
9688#6
واژگان مثلثات در متون فارسی و عربی قدیم با امروزه تفاوت داشت: مجموع زاویه‌های داخلی مثلث برابر ۱۸۰ درجه است؛ بنابراین در مثلث قائم‌الزاویه با داشتن مقدار یک زاویه تند، می‌توان مقدار زاویه دیگر را به دست آورد. با مشخص بودن زاویه‌ها می‌توان نسبت میان اضلاع را یافت. به این ترتیب، اگر اندازه‌ی یک ضلع معلوم باشد، اندازه دو ضلع دیگر قابل محاسبه است. نسبت میان اضلاع مثلث، با استفاده از توابع مثلثاتی زیر، محاسبه می‌شود. در شکل روبرو، برای زاویه تند "A" که مجاور وتر "c" و ضلع "b" و روبرو به ضلع "a" است، داریم: توابع مثلثاتی برای زاویه "B" نیز به همین ترتیب قابل محاسبه هستند. از آن‌جایی که ضلع مقابل زاویه "A" مجاور زاویه "B" است و برعکس، سینوس یک زاویه برابر با کسینوس زاویه‌ی دیگر است. به عبارت دیگر: formula_4 و formula_5.
مثلثات