اعداد حقیقی و اعداد حسابی چگونه متمایز می شوند؟
4256#0
اعداد حسابی همان اعداد طبیعی در دستگاه اعداد عربی هستند که صفر هم به آنها اضافه شده‌است. به اعداد حسابی اعداد صحیح نامنفی هم گفته می‌شود.  مجموعه اعداد طبیعی {... ، ۴، ۳ ،۲ ،۱} است. در این مجموعه عدد صفر وجود ندارد و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی- {... ،۳ ،۲ ،۱ ،۰} - به وجود می‌آید؛ و به صورت W که میان آن یک ممیز می‌باشد نشان داده می‌شود. در حقیقت W حرف اول کلمه انگلیسی Whole به معنی کامل است تمامی مجموعه‌هایی که از این نوع اعداد درست شده را با I نشان می‌دهند.
عدد حسابی
692#16
با پیشرفت دستگاه اعداد، اعداد صحیح به عنوان زیر مجموعه ای از اعداد گویا ("کسر ها") شناخته شدند. خود اعداد گویا زیر مجموعهٔ اعداد حقیقی می‌باشند که از آن‌ها برای نمایش مفهوم کمیت‌های پیوسته استفاده شده‌است. خود اعداد حقیقی زیر مجموعهٔ اعداد مختلط اند. این‌ها اولین قدم‌ها در سلسله مراتب اعداد است که شامل چهارگان‌ها و هشتگان‌ها باشد. با در نظر گرفتن اعداد طبیعی، می‌توان به اعداد ترامتناهی رسید که مفهوم "بی نهایت" بودن را صوری می‌کنند. بر اساس قضیه بنیادی جبر، تمام جواب‌های چند جمله ای‌های تک متغیره با ضرایب مختلط، صرف نظر از درجه‌شان مختلط هستند. یکی دیگر از قلمروهای مطالعاتی مربوط به اندازه مجموعه‌ها می‌شود، که در اعداد کاردینال توصیف گشته‌اند. مثل اعداد الف که امکان مقایسهٔ مجموعه‌های نامتناهی را با هم می‌دهند.
ریاضیات
254765#21
برخی روش‌ها به صراحت توصیف می‌کنند که اعداد حقیقی با توجه به نظریه مجموعه‌ها ساختمان‌هایی ویژ] بر اساس اعداد گویا هستند. اعداد طبیعی (شامل ا، ۲، ۳، و ...) از یک شروع می‌شوند و ادامه می‌یابند، لذا هر عددی یک جفت مخالف دارد. اگر به همراه هر عدد طبیعی، عدد منفی آن را نیز بیاوریم، با در نظر گرفتن صفر، می‌توان مجموعه اعداد صحیح را تعریف کرد. با تقسیم این مقادیر به مقادیر صحیح دیگر، می‌توان اعداد گویا را معرفی نمود. این اعداد را می‌توان با ۴ عمل اصلی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم همراهی کرد. به‌طور علمی‌تر، این‌ها دارای نظم هستند، لذا می‌توان اعداد را به یکدیگر مقایسه کرد و مشخص نمود که بزرگتر، کوچکتر و هم اندازه همند.
۰٫۹۹۹…
238150#3
در حالی که اعداد ترتیبی برای "مرتب‌سازی" اشیاء یک گردایه مفید اسند، آن‌ها متمایز از اعداد اصلی (کاردینال) اند. اعداد اصلی برای گزارش تعداد اشیاء یک گردایه به کار می‌روند. گرچه که تمایز بین اعداد ترتیبی و اصلی در مجموعه‌های متناهی همیشه مشهود نیست، اعداد ترتیبی نامتناهی مختلفی را می‌توان برای توصیف مجموعه ای با یک عدد اصلی به کار برد. اعداد ترتیبی هم مثل انواع دیگر اعداد می‌توان جمع، ضرب کرد یا به توان رسانید، گرچه که هیچ‌کدام از این عملیات برای اعداد ترتیبی جابجاپذیر نیستند.
عدد ترتیبی
797328#1
اعداد صحیح را می‌توان به خودی یا به عنوان جواب معادلات (در هندسه سیاله‌ای) در نظر گرفت. سوالات حوزهٔ نظریه اعداد اغلب از طریق مطالعه بر روی اشیاء تحلیلی (به عنوان مثال تابع زتای ریمان) بهتر فهمیده می‌شوند. می‌توان اعداد حقیقی را با کمک اعداد گویا مطالعه کرد، به عنوان مثال با تقریب زدن به کمک اعداد گویا (تقریب سیاله‌ای).
نظریه اعداد
18743#23
مجموعه اعداد حقیقی برابر با اجتماع مجموعه اعداد گویا و مجموعه اعداد گنگ میباشد.formula_6
مجموعه (ریاضیات)
18979#21
این روش در مقایسهٔ بی‌نهایت‌ها ممکن بود و کانتور با استفاده از آن ثابت نمود مجموعه اعداد طبیعی با مجموعه اعداد صحیح و اعداد گویا به یک میزان بینهایت هستند ولی به عنوان مثال از طریق استدلال قطری کانتور نشان داد فقط فاصلهٔ صفر تا یک در اعداد حقیقی با تمامی اعداد طبیعی نیز پوشش داده نخواهد شد پس بینهایت اعداد حقیقی از بی‌نهایت اعداد طبیعی بزرگتر است.
بی‌نهایت
692#15
مطالعهٔ کمیت با اعداد آغاز می‌گردد، ابتدا مطالعهٔ اعداد طبیعی و اعداد صحیح و عملیات حسابی روی آن‌ها که در شاخه حساب انجام می‌گردد. خواص عمیق‌تر اعداد در نظریه اعداد صورتی می‌پذیرد، که قضایای معروفی چون آخرین قضیه فرما از آن بیرون می‌آید. اعداد اول دوقلو و حدس گلدباخ دو تا از مسائل لاینحل نظریه اعدادند.
ریاضیات
4269#2
شاخه‌ای از ریاضیات که به مطالعهٔ اعداد صحیح می‌پردازد، نظریهٔ اعداد نام دارد. در واقع می‌توان گفت اعداد طبیعی و حسابی زیر مجموعه اعداد صحیح هستند؛ و اعداد صحیح هم زیر مجموعه اعداد گویا هستند.
عدد صحیح
18527#5
از اثبات وجود اعدادی مانند formula_5 (اندازهٔ قطر مربعی به ضلع ۱) و formula_6 (اندازهٔ محیط دایره‌ای به قطر ۱) نتیجه می‌شود که اعدادی هستند که عضو مجموعهٔ اعداد گویا نیستند؛ بنابراین مجموعهٔ عددی بزرگتر از اعداد گویا هم هست که به مجموعهٔ اعداد حقیقی موسوم است و با formula_7 نشان داده می‌شود که حرف اول کلمهٔ Real به معنای «حقیقی» است. مجموعهٔ اعداد حقیقی علاوه بر همهٔ اعداد گویا شامل اعداد غیرگویا (اعداد گنگ) نیز می‌شود. اعداد گنگ اعدادی هستند که نمی‌توان آن‌ها را به صورت کسر دو عدد صحیح نوشت و شکل اعشاریشان تا بی‌نهایت ادامه پیدا می‌کند.
عدد