متغیرهای تصادفی گسسته چگونه محاسبه می شوند؟
186438#18
متغیر تصادفی گسسته، حالت قابل شمارش فرض کنید"X"یک متغیر تصادفی گسسته‌ای باشد که مقادیر "x", "x", … به ترتیب با احتمالات، "p", "p", … را در خود می‌گیرد. پس مقدار مورد انتظار این متغیر تصادفی جمع متناهی زیر می‌باشد:
امید ریاضی
182658#6
محاسبهٔ لگاریتم گسسته عکس این عمل خواهد بود، به این صورت که در همنهشتی به پیمانهٔ ۱۷ = p (یا به عبارت دیگر در مجموعهٔ Z) لگاریتم گسسته‌ی عدد ۱۳ در مبنای ۳ برابر با ۴ می‌باشد. توجه داشته باشید که لگاریتم گسسته دارای جواب واحد نیست ، به‌طور مثال ۳ به توان ۲۰ به پیمانه‌ی ۱۷ به عدد ۱۳ می رسد و لذا یک جواب دیگر می‌تواند عدد 20 باشد .
لگاریتم گسسته
921504#14
اگر و دو متغیر تصادفی گسسته باشند، آنگاه امید ریاضی شرطی به شرط به صورت زیر محاسبه می‌شود:
امید ریاضی شرطی
182658#5
ابتدا در این مجموعه عمل توان گسسته را در نظر می‌گیریم. برای محاسبهٔ ۳ در این مجموعه، کافی است نخست ۸۱ = ۳ را محاسبه نموده و سپس باقیماندهٔ تقسیم حاصل به ۱۷ = p را به دست آوریم: ۸۱mod ۱۷ = ۱۳
لگاریتم گسسته
2327960#6
تابع formula_7 که عدد اوّل formula_12 و عدد صحیح formula_5 بین صفر و formula_14 را می‌گیرد و باقی‌ماندهٔ formula_15 را بر formula_12 برمی‌گرداند، توان گسسته نامیده می‌شود. توان گسسته در زمان formula_17 قابل محاسبه است به‌طوری‌که formula_3 تعداد بیت‌های formula_12 می‌باشد. محاسبهٔ معکوس این تابع نیازمند محاسبهٔ لگاریتم گسستهٔ به پیمانهٔ formula_12 است. به‌طور خلاصه مسئلهٔ لگاریتم گسسته به این صورت است که به ازای عدد اوّل formula_12 و عدد صحیح formula_9 که formula_23، هدف پیدا کردن عدد formula_5 است به‌طوری که formula_25 باشد. برای این مسئله، هیچ الگوریتمی وجود ندارد که در زمان چندجمله‌ای اجرا شود. سیستم رمز الگمال بر مبنای لگاریتم گسسته طرّاحی شده‌است.
تابع یک‌طرفه
4647966#25
گاهی اوقات ممکن است گسسته‌سازی دقیق به دلیل ماتریس نمایی سنگین و عملیات‌های انتگرال درگیر غیرممکن شود. بسیار آسان‌تر است تا یک مدل تقریبی گسسته را بر اساس formula_36 محاسبه کرد. راه حل تقریبی پس از آن تبدیل می‌شود به:
گسسته‌سازی
186438#46
توزیع پیوسته‌ای که مقادیر غیر منفی را می‌گیرد مثل حالت گسسته‌ای که قبلاً گفته شده وقتی که یک متغیر تصادفی پیوسته‌ای مثل"X" فقط مقادیر غیر منفی را می‌گیرد پس می‌توانیم از فرمول زیر برای محاسبهٔ امیدش استفاده کنیم (حتی وقتی که امید نامتناهی باشد): \operatorname{E}(X)=\int_0^\infty P(X \ge x)\; dxاثبات: ابتدا فرض کنید که "X" یک چگالی برابر formula_3 داشته باشد. ما دو تکنیک ارائه می‌کنیم:
امید ریاضی
42493#6
با توجه به وضع شمارایی فضای نمونه‌ای S، متغیر می‌تواند گسسته یا پیوسته باشد. اگر S متناهی یا نامتناهی شمارا باشد متغیر تصادفی X گسسته و اگر ناشمارا باشد X پیوسته خواهد بود.
متغیر تصادفی
42493#9
متغیرهای تصادفی گسسته:
متغیر تصادفی
2322280#6
در حالت زمان گسسته، داده‌های تابعی که تبدیل می‌شود را می‌توان به راحتی به تکه‌های جدا تقسیم کرد (این تکه‌ها معمولاً با هم تداخل دارند تا از وقوع خطا در قسمت‌های مرزی بین دو تکه جلوگیری شود). هر تکهٔ جداشده با فوریه تبدیل می‌شود و نتایج مختلط به دست آمده به یک ماتریس افزوده می‌شوند که فاز و اندازه سیگنال در هر زمان و فرکانس را نگه‌داری می‌کند. به زبان ریاضی: formula_7 مانند حالت پیوسته در اینجا نیز formula_8 سیگنال ورودی تبدیل و formula_9 تابع پنجره می‌باشد. در این حالت متغیر formula_10 گسسته و متغیر formula_11 پیوسته است. اما از آنجایی که این تبدیل معمولاً در رایانه‌ها برای محاسبهٔ تبدیل فوریه سریع استفاده می‌شود، هر دو متغیر گسسته و کوانتیزه خواهند بود.
تبدیل فوریه زمان-کوتاه