مشتق‌های تابع به چه روشهایی محاسبه می شود؟
18326#37
در مقابل رابطهٔ صریح تابع به شکل کلی formula_2، رابطهٔ ضمنی آن به صورت formula_153 قرار می‌گیرد. برای محاسبهٔ مشتق توابع ضمنی دو روش کلی وجود دارد:
مشتق
4794919#0
در حساب دیفرانسیل و انتگرال، مشتق‌گیری لگاریتمی روشی است که برای محاسبهٔ مشتق یک تابع f با استفاده از مشتق لگاریتم آن تابع به‌کار می‌رود: از این روش معمولاً در مواردی استفاده می‌شود که محاسبهٔ مشتق لگاریتم تابع از محاسبهٔ مشتق خود تابع آسان‌تر است. این اتفاق مواقعی رخ می‌دهد که تابع مذکور از حاصلضرب چند بخش مجزا تشکیل شده باشد و اعمال لگاریتم بتواند آن را به جمع بخش‌های جدا (که مشتق‌گیری از آن ساده‌تر است) تبدیل کند. این روش را همچنین می‌توان برای مشتق‌گیری از توابعی که به توان تابعی دیگر رسیده‌اند استفاده کرد. مشتق‌گیری لگاریتمی با بهره از قاعده زنجیری و لگاریتم (به‌ویژه لگاریتم طبیعی، یا لگاریتمی با پایهٔ عدد e) ضرب‌ها را به جمع و تقسیم‌ها را به تفریق تبدیل می‌کند. از این روش دستکم تا حدودی می‌توان درگرفتن همهٔ توابع مشتق‌پذیر غیر صفر استفاده کرد.
مشتق‌گیری لگاریتمی
3384046#37
بعضاً، برای برنامه‌هایی که در آن‌ها محاسبه مستقیم تابع f میسر نیست، می‌توان مشتق اول و دوم را محاسبه کرد. فرمول کارآمدتر حالت آخر به صورت زیر می‌باشد:
تفاضل محدود
18326#42
برای محاسبهٔ مشتق یک تابع برداری، می‌توان آن را برحسب مؤلفه‌های قائم خود، به صورت formula_185 و formula_186 نوشت و از هر کدام به‌طور جداگانه مشتق گرفت؛ یعنی اگر formula_187 و formula_188 وجود داشته باشند مشتق تابع برداری formula_104 به صورت زیر نوشته می‌شود:
مشتق
3231108#3
مسئلهٔ تابع، شامل یک تابع f از مجموعه U به V است. مجموعه به عنوان یک نمونه از مسئله محاسبهٔ مقدار تابع f برای u داده شده از مجموعه U است. به عنوان مثال، اگر U و V مجموعهٔ تمام رشته‌های دودویی متناهی باشند و f یک رشته را گرفته و معکوس آن را به عنوان خروجی برگرداند آنگاه f(۱۰۱۰) = ۱۰۱۰.
محاسبه‌پذیری
2533924#2
"روش وتری" مشکل اصلی که در روش نیوتن به وجود می¬آید محاسبه¬ی〖f(x)〗^' است. این مشکل برای توابع چند جمله¬ای مشکل زیادی به وجود نمی¬ آورد چون با توجه به الگوریتم های ضرب تو در تو و تقسیم ترکیبی، محاسبه¬ی مشتق آنها آسان است.اما برای محاسبه¬ی مشتق بیشتر توابع باید از برنامه خاصی استفاده کرد و در صورت پیچیده بودن تابع کامپیوتر باید زمان زیادی را صرف محاسبه¬ی مشتق کند که هزینه بر است. بنابراین اگر برای مشتق، تقریبی به صورت زیر در نظر بگیریم: f^' (x_n )≈(f(x_n )-f(x_(n-1) ))/(x_n-x_(n-1) ) از بروز این مشکل جلوگیری می¬کند. این تقریب به فرمولی موسوم به روش وتری منتهی می¬شود: x_(n+1)=x_n-f(x_n )(x_n-x_(n-1) )/(f(x_n )-f(x_(n-1) ) )=(x_(n-1) f(x_n )-x_n f(x_(n-1) ))/(f(x_n )-f(x_(n-1) ) )
روش وتری
18326#24
هرگاه بخواهیم مشتق یک تابع مانند formula_6 را نسبت به تابع دیگری مانند formula_90 بدست آوریم، کافی است مشتق این توابع را نسبت به متغیرشان محاسبه نموده و سپس برهم تقسیم کنیم.
مشتق
18326#85
برای حل مسائل بهینه‌سازی لازم است ابتدا کمیت‌هایی مانند حجم، مساحت، فاصله و… که بیشترین یا کمترین مقدار آن مورد نیاز است، به صورت تابعی از متغیرهای دیگر نوشته شود و چنانچه معادلهٔ حاصل بیش از یک متغیر داشت با استفاده از فرضیات مسئله و ارتباط متغیرها با هم، معادله را به معادله‌ای با یک متغیر مستقل تبدیل کرد و در انتها به کمک مشتق، نقاط بحرانی را یافت، تا بتوان ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع را مشخص کرد.
مشتق
3759655#1
هدف اصلی مطالعهٔ حساب دیفرانسیل، محاسبهٔ تغیرات یک تابع و کاربردهای آن است. مشتق تابع در یک نقطهٔ دلخواه، نرخ تغییرات تابع در آن نقطه را توصیف می‌کند. فرایند یافتن مشتق، مشتق‌گیری نامیده می‌شود. از نظر هندسی، مشتق در یک نقطه شیب خط مماس روی نمودار تابع با جهت مثبت محور طول‌ها در همان نقطه است؛ به شرطی که مشتق در آن نقطه موجود باشد. مشتق تابع حقیقی یک‌متغیره در هر نقطه، بهترین تقریب خطی برای تابع در آن نقطه است.
حساب دیفرانسیل
3759655#14
غالباً مشتق‌گیری و تعیین نقاط بحرانی، روش ساده‌ای برای یافتن کمینه‌ها و بیشینه‌های موضعی است و در بهینه‌سازی قابل استفاده است. بر پایهٔ قضیهٔ مقدار نهایی، یک تابع پیوسته روی یک بازهٔ بسته باید دست‌کم یک مقدار بیشینه و کمینه داشته باشد. اگر تابع مشتق‌پذیر باشد، کمینه و بیشینه تنها می‌توانند در نقاط بحرانی یا نقاط انتهایی ظاهر شوند.
حساب دیفرانسیل