Leben.

Frühe Kindheit.

Gottfried Benn wurde am 2. Mai 1886 als zweitältestes der acht Kinder des evangelischen Pastors Gustav Benn (1857–1939) und dessen Frau Caroline Benn (1858–1912, geb. Jequier; aus Fleurier im schweizerischen Jura stammend) in dem Dorf Mansfeld bei Putlitz im Kreis Westprignitz geboren. Zu seinen Geschwistern zählte unter anderem Theodor Benn (1891–1981), der in den 1920er Jahren aufgrund seiner Beteiligung an einem Fememord bekannt wurde, und Ernst-Viktor Benn (1898–1990), der spätere Präsident des Landeskirchenamts in Hannover. Als Benn ein halbes Jahr alt war, zog die Familie nach Sellin bei Bärwalde in die Neumark. Aufgrund des Einkommens als Landpfarrer waren die wirtschaftlichen Mittel der Familie knapp bemessen und mussten durch eine eigene kleine Landwirtschaft aufgebessert werden. Seine Kindheit thematisierte Benn z. B. in der Prosaschrift "Lebensweg eines Intellektualisten" (1934) und in Gedichten mitunter in sehnsuchtsvollem Ton als unbewusst-glückliche Zeit.  Bestimmend für Benns Sozialisation war eine gewisse soziale Schieflage. Er wuchs gleichermaßen mit Landarbeiterkindern wie mit Söhnen des ostelbischen Adels auf. Er gehörte, trotz der privilegierten Stellung durch Amt und Bildung des Vaters, aufgrund von dessen relativer Besitzlosigkeit und wegen des Standesunterschieds eben doch nicht zur Schicht der Junkersöhne. Der erste Benn-Biograph Thilo Koch folgerte daraus eine "nicht vollendete Sozialisation" und "Entwurzelung" Benns und ein "bedrückendes Gefühl" wegen seiner "Armut", welches einen auch im späteren Leben nachzuweisenden Minderwertigkeitskomplex zur Folge gehabt habe.

Beziehung zu den Eltern.

Benns Verhältnis zu seinem Vater war über weite Strecken sehr gespannt und von gegenseitiger Entfremdung geprägt. Der Vater blieb für ihn mit seiner patriarchalischen, christlich-pietistischen, aber teils auch sozialdemokratischen Prägung immer ein Reibungspunkt, und noch in Benns eigenen Worten von 1954 wird er als "großer Zelot und Fanatiker" beschrieben. Später stieß Benn – ähnlich wie den Pastorensohn Nietzsche – zunehmend der permanente religiöse Bezug ab, der in Benns Worten „alles nur mit Gott oder dem Tod, aber nicht der Irdischkeit verknüpfte“.  Zu seiner Mutter hatte er hingegen ein innigeres, emotionales Verhältnis. Ihr früher Tod im Jahr 1912 traf ihn tief. Dies zeigt auch sein (zu Lebzeiten unveröffentlichtes) Gedicht "Mutter":  <poem style="font-style:italic;margin-left:2em;">Ich trage dich wie eine Wunde auf meiner Stirn, die sich nicht schließt. Sie schmerzt nicht immer. Und es fließt das Herz sich nicht draus tot. Nur manchmal plötzlich bin ich blind und spüre Blut im Munde.</poem>  Als Benns Mutter an Brustkrebs litt, verbot sein Vater dem schon approbierten Sohn aus religiösen Gründen – da der Schmerz gottgewollt sei – sogar die Behandlung der Mutter mit schmerzlindernden Morphinen. Dies führte zu einem schweren Zerwürfnis zwischen Benn und seinem Vater, und Benn unterbrach den Kontakt für die nächsten Jahre vollständig. Dieser Gesamtkomplex eines Vater-Sohn-Konfliktes ist exemplarisch in Benns zwischen 1912 und 1917 geschriebenem und 1922 veröffentlichtem Gedicht "Pastorensohn" zu beobachten, in dem er – bis zur Kastration des Vaters gehend – mit diesem radikal abrechnet:  <poem style="font-style:italic;margin-left:2em;">[...] Verfluchter alter Abraham, zwölf schwere Plagen Isaake haun dir mit einer Nudelhacke den alten Zeugeschwengel lahm.</poem>  Im Gedichtzyklus "Söhne" von 1913 scheint die Kritik am Vater dann in einem im Expressionismus durchaus üblichen Gesamtzusammenhang eines historischen und überindividuellen Generationenkonflikts erneut auf (Gedicht "Schnellzug"):  <poem style="font-style:italic;margin-left:2em;">[...] Von meinen Schultern blättern die Gefilde, Väter und Hügelglück –; Die Söhne wurden groß. Die Söhne gehn nackt und im Grame des entbundnen Bluts die Stirn aufrötet ein Abgrundglück.</poem>

Gymnasialzeit.

Von September 1897 bis September 1903 besuchte er das Friedrichs-Gymnasium in Frankfurt (Oder), in dem er auch das Reifezeugnis erwarb. Er wohnte vier Jahre in einer Pensionsstube zusammen mit dem gleichaltrigen Grafen Heinrich Finck von Finckenstein, den er schon seit dem Hauslehrerunterricht seines Vaters bei der Familie kannte. Benn hatte allgemein eher mittelmäßige Noten. In Latein und Altgriechisch war er dagegen gut. Dies spiegelt sich später auch in der engen Beziehung seiner Dichtung zur griechischen Antike und ihrer Mythologie und Götterwelt wider.

Studium.

Nach seinem Abitur im September 1903 wollte Benn sofort Medizin studieren. Dies widersprach aber den Vorstellungen seines Vaters, da dieses Studium lang und teuer war und er seinen Sohn gerne als Nachfolger in seinem Pfarramt gesehen hätte. Zum Wintersemester 1903/1904 nahm Benn also das Studium der Evangelischen Theologie und der Philosophie in Marburg auf. Er wohnte zunächst billig im Korporationshaus der dort ansässigen Turnerschaft, der schon sein Vater angehört hatte. Im Wintersemester 1904/1905 wechselte er zum Philologiestudium an die Friedrich-Wilhelms-Universität in Berlin. Benn scheint für beide Studiengänge wenig Interesse aufgebracht zu haben und wurde im Sommer 1905 wegen „Unfleißes“ aus der Universitätsmatrikel gestrichen.  Nun stellte der Vater sich einem Medizinstudium des Sohnes nicht mehr in den Weg. Aus Kostengründen kam aber nur ein Studium an der Kaiser-Wilhelms-Akademie für das militärärztliche Bildungswesen in Frage. Diese ermöglichte eine nahezu kostenfreie Ausbildung unter der Auflage, für jedes Studiensemester später ein Jahr als Militärarzt zu dienen. Benn hat die Bedeutung dieser qualitativ hochstehenden, strengen, aber auch vielseitigen Ausbildung für seine Entwicklung später positiv hervorgehoben:  Durch seine sechsjährige Studienzeit nahm Benn einen lebenslangen – von Zeitzeugen häufig angemerkten – durch das preußische Militär als Lebensform geprägten geistigen wie auch gesellschaftlichen Habitus an. Ab Oktober 1910 war Benn Unterarzt im Infanterie-Regiment 64 in Prenzlau und hospitierte gleichzeitig von Oktober 1910 bis November 1911 als Unterarzt in der Charité, vermutlich in der Psychiatrie. In dieser Zeit verfasste Benn mehrere medizinische Studien zu psychiatrischen Fragen, von denen eine "(Die Ätiologie der Pubertätsepilepsie)" den ersten Preis der Berliner Medizinischen Fakultät von 1910 errang. Im Oktober 1911 legte er sein medizinisches Staatsexamen ab, erhielt die Approbation, und 1912 promovierte er mit "Über die Häufigkeit von Diabetes mellitus im Heer" zum Doktor der Medizin.  Zwischen 1910 und 1912 trat Benn in Verbindung mit Dichtern und Publizisten, die dem Umfeld des Expressionismus zuzuordnen sind, wie Carl Einstein, Alfred Lichtenstein, Franz Pfemfert, Herwarth Walden und Paul Zech. Noch während seiner Ausbildungszeit veröffentlichte Benn erste literarische Werke. Dies sind vier Gedichte im Jahr 1910, ein im selben Jahr in der Zeitschrift "Der Grenzbote" erschienener Text mit dem Titel "Gespräch" und der Prosatext "Unter der Großhirnrinde. Briefe vom Meer" im Jahr 1911. In beiden Texten werden in fiktiven Gesprächen zweier Protagonisten die Gegensatzpaare von Intellekt und Seele, Bewusstem und Unbewusstem sowie darauf aufbauende Modelle für die Dichtung diskutiert. Benn wurde damit ein Autor, der bald auch in literarischen Zirkeln bekannt und geachtet wurde.

1912 bis 1914.

Der erste Gedichtband Benns, in dem Erfahrungen des Arztes ihren Niederschlag fanden, erschien im März 1912 unter dem Titel "Morgue und andere Gedichte". Die Veröffentlichung war ein Skandal und begründete Benns frühen Ruhm. Im Sommer desselben Jahres begegnete er der Dichterin Else Lasker-Schüler, mit der sich darauf auch eine Liebesbeziehung entwickelte. Ab dem Sommer 1912 diente er als Arzt bei einem Pionierbataillon in Berlin-Spandau. Doch schon im März 1913 schied er aus gesundheitlichen Gründen („Wanderniere“) aus dem Militär aus. Bereits seit Oktober 1912 hatte Benn eine Assistentenstellung in der Pathologie der „Westend-Klinik am Spandauer Damm“ in Berlin-Charlottenburg inne. Dort entwickelte er bei der Durchführung von nachweislich 197 Obduktionen seinen präzisen Beschreibungsstil, wie seine Sektionsprotokolle belegen. Ende 1913 wechselte er auf die Leiterstelle der Pathologie des Gynäkologischen Krankenhauses Charlottenburg. Aber auch aus dieser Stellung schied er Anfang 1914 auf „eigenen Wunsch“ wieder aus.  1914 reiste er kurz vor dem Ausbruch des Ersten Weltkriegs als Schiffsarzt in die USA (auf diese Reise spielt Benn in seinen späteren Werken des Öfteren an: „[...] fuhr nach Amerika, impfte das Zwischendeck“) und vertrat danach für kurze Zeit den Chefarzt einer Lungenheilstätte im Fichtelgebirge. Im selben Jahr ging er die Ehe mit Edith Brosin, geb. Osterloh, ein. Die Tochter Nele wurde am 8. September 1915 geboren.

Erster Weltkrieg.

Benn hatte schon vor 1914 genügend Gelegenheit, den nicht selten arroganten und menschenverachtenden Habitus des deutschen Offizierskorps persönlich kennenzulernen. Diesen beschrieb er in einer Montage von Gesprächsfetzen in seinem 1912 erschienenen Gedicht "Kasino". So wurde Benn auch nicht von der damals auch unter Intellektuellen aller politischen Richtungen weit verbreiteten nationalen Kriegsbegeisterung erfasst. Allerdings war er auch kein erklärter Kriegsgegner. Vielmehr stand er den Ereignissen eher in einer Mischung aus kühler Distanz und pflichtgemäßer, doch unengagierter Akzeptanz gegenüber.  Gleich zu Beginn des Krieges wurde Benn eingezogen und zuerst an der Westfront in Feldlazaretten eingesetzt. Er war an der Belagerung Antwerpens beteiligt und wurde dafür als einer der ersten Sanitätsoffiziere mit dem Eisernen Kreuz zweiter Klasse ausgezeichnet. Anschließend wurde er im besetzten Belgien in der Etappe als Arzt in einem Krankenhaus für Prostituierte eingesetzt. In Brüssel wurde er von Thea Sternheim, der Frau des Dichters Carl Sternheim, empfangen und schrieb die meisten der unter dem Titel "Gehirne" veröffentlichten „Rönne-Novellen“ nieder.  Benn schilderte diese Phase seines Lebens später in fast wehmütiger Erinnerung als eine Zeit des von sozialen und beruflichen Verpflichtungen freien Lebens, aber auch der Depersonalisierung innerhalb von Ausnahmezuständen:  In dieser Zeit hat Benn sich anscheinend auch kurzfristig durch die Einnahme von Kokain künstlerisch stimulieren lassen (in seinen eigenen Worten „Trance-Zustände innerer Konzentration, ein Anregen geheimer Sphären“). Dies lassen auch Ausschnitte aus Benns Schriften beispielsweise in "Der Garten von Arles, II, 84" und in seinen Gedichten "Kokain" und "O Nacht" („O Nacht! ich nahm schon Kokain, und Blutverteilung ist im Gange,...“) vermuten. An Ernst Jünger schrieb er 1951:  Dienstlich war er zur Anwesenheit bei Exekutionen verpflichtet; so war er auch bei der Hinrichtung der als Spionin verurteilten britischen Krankenschwester Edith Cavell zugegen und stellte als offizieller Arzt der deutschen Armee deren Tod fest. Nach den Erinnerungen von Thea Sternheim bewertete Benn die Hinrichtung Cavells damals mit der „erschreckenden Sachlichkeit eines Arztes“ als kriegsbedingte Notwendigkeit und Normalität. Als der Fall Cavell 1928 durch einen englischen Film erneut propagandistisch in der Presse behandelt wurde, sah sich Benn zu einer Stellungnahme genötigt. In einer Berliner Abendzeitung beschrieb er als Zeitzeuge den Hergang des Prozesses und der Exekution. Obwohl er Cavell hier durchaus mit Empathie beschreibt, wertet Benn den damaligen Vorgang dennoch als unabdingbare und historisch folgerichtige Konsequenz der damaligen Zeit.

1917 bis 1927.

Im Spätsommer 1917, mehr als ein Jahr vor Kriegsende, wurde Benn demobilisiert. Die Gründe dafür sind nicht mehr feststellbar. In Berlin arbeitete er dann für einige Wochen als Assistenzarzt für Dermatologie an der Charité, bevor er am 10. November 1917 seine eigene Praxis für Haut- und Geschlechtskrankheiten in der Belle-Alliance-Straße 12 (heute Mehringdamm 38), in der er auch eine Wohnung hatte, eröffnete. Benns Frau und Tochter wohnten allerdings in einer Familienwohnung in der Passauer Straße 19 im Bayerischen Viertel. Benns Tochter erinnerte sich später, dass der Vater ab und an, aber wohl nicht oft dort anwesend war. Benn brauchte diese Trennung für seine Unabhängigkeit, seine literarische Produktion, aber auch für seine erotischen Abenteuer. So hatte Benn ab 1921 ein Verhältnis mit der zwölf Jahre jüngeren Bibliothekarin Gertrud Zenzes und in den zwanziger Jahren wurde ihm eine Liaison mit der Gesellschaftsfotografin Frieda Riess nachgesagt, der er auch ein Gedicht widmete. 1926 hatte er eine Affäre mit Mopsa Sternheim. Die überlieferten Briefe Benns aus dieser Zeit deuten an, dass er sich damals seelisch und auch körperlich nicht sehr wohl fühlte. Dazu mögen die wenig glückliche Ehe, sein Gelangweiltsein durch die alltäglichen beruflichen Aufgaben, aber auch eine allgemeine Depressivität beigetragen haben. Auch lief seine Arztpraxis wirtschaftlich nicht sonderlich gut. So schreibt er 1921:  Zu einem wichtigen Förderer und Freund wurde der jüdische Verleger Erich Reiss, der 1922 erstmals "Gesammelte Schriften" Benns herausbrachte. Schon 1922 starb Edith Benn, seine erste Frau; die gemeinsame Tochter Nele wuchs daraufhin bei der dänischen Opernsängerin Ellen Overgaard auf.  In den 20er Jahren entstanden etliche neue Gedichte, sowie die Essays "Das moderne Ich (1920)" und der Prosatext "Das letzte Ich". Das radikal-avantgardistische Vokabular seiner frühen Dichtung weicht gegen Ende der 20er Jahre zunehmend einem sanfteren und traditionelleren Ton. Den massiven politisch-gesellschaftlichen Wirren und Veränderungen der Zeit stand Benn distanziert gegenüber und hielt sich von den damit verbundenen erregten öffentlichen Auseinandersetzungen bewusst fern.

1928 bis 1945.

1928 hielt Benn in Crossen an der Oder die Grabrede für seinen Freund Klabund, im selben Jahr wurde er in den Berliner PEN-Club aufgenommen.  Das Verhältnis Benns zum Nationalsozialismus wird häufig allzu schematisch als zwei scharf voneinander getrennte Phasen von Zustimmung und anschließender Ablehnung beschrieben. In Wirklichkeit war seine Einstellung gegenüber dem Nationalsozialismus durchaus differenziert. Die Dialektik im Wesen und Denken Benns schwankte zwischen leidenschaftlichem Engagement und resignierend beleidigter Abkehr von der Politik in rein ästhetische Bereiche, was aber den künstlerischen Rang seines Werkes nicht berührte. Nur in Vorträgen und Abhandlungen bekannte er sich zeitweise zu dem, was er für die NS-Ideologie hielt, in seinem lyrischen Werk hingegen finden sich keine eindeutigen Hinweise auf das entsprechende Gedankengut. Benn war zudem niemals – wie so viele andere Dichter – in einem der damals beliebten literarisch-weltanschaulichen Kreise (George-Kreis) bzw. in einer der vielen reaktionären politischen Gruppierungen der Zeit nach 1918 aktiv.  In den 1920er-Jahren zog Benn zunächst der italienische Faschismus an, wie er z. B. durch die Kunstprogrammatik des Futuristen Marinetti verkörpert wurde. Auch ist eine gewisse geistige Nähe Benns zu Themen und Vorstellungen von Denkern der Konservativen Revolution evident. Nach Veröffentlichung der "Gesammelten Gedichte" 1927 trat die lyrische Produktion Benns zeitweilig stark hinter weltanschauliche Aufsätze und die publizistische Auseinandersetzung mit Intellektuellen des politisch linken Spektrums zurück. Doch noch in der Kontroverse mit Johannes R. Becher lehnt Benn 1930 jedes politische Engagement und die Beschäftigung mit sozialreformerischen Fragen als eines wahren Dichters unwürdig ab. 1932 rückte Benn dann aber durch die Wahl in die Sektion für Dichtkunst der Preußischen Akademie der Künste stärker in den Fokus des öffentlichen kulturpolitischen Interesses.  Nach der Machtübergabe an die Nationalsozialisten wurde er als Nachfolger Heinrich Manns kommissarischer Vorsitzender der Sektion. Am 13. März, kurz nach der Reichstagswahl März 1933, verfasste er zusammen mit Max von Schillings eine Loyalitätsbekundung für Hitler, die den Mitgliedern eine nicht-nationalsozialistische politische Betätigung verbot: "Sind Sie bereit unter Anerkennung der veränderten geschichtlichen Lage weiter Ihre Person der Preußischen Akademie der Künste zur Verfügung zu stellen? Eine Bejahung dieser Frage schließt die öffentliche politische Betätigung gegen die Reichsregierung aus und verpflichtet Sie zu einer loyalen Mitarbeit an den satzungsgemäß der Akademie zufallenden nationalen kulturellen Aufgaben im Sinne der veränderten geschichtlichen Lage." Die Mitglieder mussten bei Drohung ihres Ausschlusses unterschreiben. Thomas Mann und Ricarda Huch traten aus; Gerhart Hauptmann, Oskar Loerke und Alfred Döblin, der dennoch als Jude seinen Austritt erklärte, und viele andere unterschrieben. Ausgeschlossen wurden z. B. Franz Werfel und Leonhard Frank.  Doch schon im Aufsatz "Expressionismus" von 1933 sah sich Benn zu einer Verteidigung dieser Kunstbewegung gegen nationalsozialistische Angriffe und zu einer Rechtfertigung seiner eigenen Position als einer ihrer literarischen Begründer genötigt. Benn, dem von Börries Freiherr von Münchhausen zudem unterstellt wurde, jüdischer Abstammung zu sein (siehe unten), reagierte überrascht und fassungslos auf die Ablehnung, die seinem künstlerischen Werk von Seiten des neuen Regimes entgegenschlug. Die Willkür und Rechtslosigkeit des Judenboykotts – speziell auch in Bezug auf fünf in seinem Haus praktizierende ärztliche Kollegen – ließen in ihm zudem im Verlauf des Jahres 1933 Zweifel am neuen Staat aufkommen. Von Anfang 1933 bis zum sogenannten Röhm-Putsch (1934) setzte Benn sich dennoch durch essayistische Schriften für den Nationalsozialismus ein. Benn hatte sich in seinen frühen Aufsätzen von 1933 zwar deutlich für den neuen Staat, jedoch nicht explizit für dessen Führung durch eine Partei wie die NSDAP ausgesprochen. Schon damals wurde ihm langsam klar, dass er falsche Hoffnungen auf die politische Praxis der neuen Regierung gesetzt hatte. Dennoch trug er am 29. April 1933 die "Akademie-Rede" vor und unterschrieb das Gelöbnis treuester Gefolgschaft für Adolf Hitler, das am 26. Oktober 1933 gedruckt wurde.  Bald danach stellte Benn seine Bemühungen ein, sich einen staatlich sanktionierten Platz im nationalsozialistischen Literaturbetrieb zu sichern. Benns Werke nach 1934 sind dann verstärkt distanziert bis kritisch gegenüber dem NS-Regime.  Die Frage, warum Gottfried Benn öffentlich Partei für den nationalsozialistischen Staat ergriff, wird bis heute von einigen mit einem „Missverständnis“ erklärt. Diese Sichtweise legt auch Benn selbst in seiner Nachkriegs-Autobiographie "Doppelleben" nahe, wenn er dem „jungen Klaus Mann“ fast schon hellseherische Fähigkeiten attestiert, die er selbst zu diesem Zeitpunkt naturgemäß nicht habe besitzen können:  In seiner "Antwort an die literarischen Emigranten" reagierte er auf private Vorhaltungen Klaus Manns öffentlich in den Massenmedien (Zeitungen und Rundfunk) und rechtfertigte seinen Verbleib im nationalsozialistischen Deutschland von 1933. Er befand sich, wie er im Vorwort zu "Zwei Rundfunkreden. Der neue Staat und die Intellektuellen. Antwort an die literarischen Emigranten" 1933 feststellt, am Ende „einer fünfzehnjährigen Entwicklung“ und mithin auf der Höhe des Zeitgeistes. In diesen Rundfunkreden erblickte Benn eine „neue historische Lage“ mit dem „Sieg neuer autoritärer Staaten“, welche den „Sieg der nationalen Idee“ vorantrieben. „Werdendes Gesetz des neuen Jahrhunderts“ sei nach Benn ein „totaler Staat“ in Einklang mit dem „Erscheinen einer neuen revolutionären Bewegung“ und eines „neuen menschlichen Typs“.  In der Erwiderung auf Klaus Mann und auch in anderen Äußerungen finden sich (wie z. B. im darauf gehaltenen kurzen Aufsatz "Züchtung") explizit dem Nationalsozialismus sehr nahestehende Gedanken Benns zur Züchtung von Menschen und zur Eugenik:  Eine Durchsetzung seiner Kunstvorstellungen und seines Werkes gelang dem individualistischen und (ehemaligen) Expressionisten Benn im nationalsozialistischen Deutschland jedoch nicht. Er musste bald erkennen, dass die formale und inhaltliche Modernität seiner Werke unvereinbar war mit der nun herrschenden Ideologie. Nachdem schon seit September 1933 keine Gedichte von ihm mehr gesendet werden durften und seine Zulassung als Arzt gefährdet war, wurde Benn ab Mai 1934 verboten, Vorträge im Radio zu halten. Zwar wurde Benn noch im Frühjahr 1934 Vizepräsident der „Union nationaler Schriftsteller“. Er wurde jedoch schon früh (seit 1933) von verschiedenen Organen der Nationalsozialisten, wie z. B. im „Schwarzen Korps“ angegriffen, vor allem von Börries Freiherr von Münchhausen, der ihn wegen seines Namens, den er mit dem jüdischen „Ben“ assoziierte, als „Juden“ zu diffamieren suchte, und schließlich 1936 vom Völkischen Beobachter als „Schwein“ bezeichnet. Auf die Unterstellungen Münchhausens reagierte Benn, indem er in "Lebensweg eines Intellektualisten" seine Abstammung aus einem deutschen Pfarrhaus betonte. Diese genealogischen Ausführungen nutzten Benn aber letztlich nichts.  Nach Aufgabe seiner Berliner Arztpraxis bemühte sich Benn 1935 erfolgreich um den Eintritt in die Wehrmacht; diese militärische Reaktivierung bezeichnete er als „aristokratische Form der Emigration“. In der Folgezeit wurde er Oberstabsarzt in der Wehrersatz-Inspektion Hannover. Heimisch ist er hier jedoch nie geworden, die Erzählungen "Weinhaus Wolf" und "Doppelleben" sowie die sogenannten "Stadthallen-Elegien" – darunter das bekannte Gedicht "Astern" – bieten einige Impressionen seines Hannover-Aufenthaltes. 1937 wurde er als militärischer Versorgungsarzt nach Berlin versetzt und nahm seine Wohnung in der Bozener Straße im Bayerischen Viertel von Berlin-Schöneberg. 1938 ging Benn die Ehe mit seiner Sekretärin Herta von Wedemeyer (Hannover) ein.  Seit 1938 schrieb Benn sehr offene private Briefe, welche ihn leicht ins Konzentrationslager hätten bringen können. 1938 wurde Benn aus der Reichsschrifttumskammer ausgeschlossen und erhielt Schreibverbot. Die Wehrmachts-Dienststelle, in der er tätig war, wurde nach Landsberg an der Warthe verlegt; in der dortigen "Walter-Flex-Kaserne" verfasste er analysierende Essays zu seiner Lage und den Erscheinungsformen des Nationalsozialismus (nach der ersten Abrechnung "Kunst und Drittes Reich" von 1941 hier "Block II, Zimmer 66" [1944, der Titel verweist wiederum auf sein Lebensthema „Doppelleben“] u. a.).  Sein Gedicht "Monolog" von 1941 stellte eine unmissverständliche Verurteilung Hitlers "(Clown)" und der nationalsozialistischen Barbarei dar.  <poem style="font-style:italic; margin-left:2em;">Den Darm mit Rotz genährt, das Hirn mit Lügen – erwählte Völker Narren eines Clowns, in Späße, Sternelesen, Vogelzug den eigenen Unrat deutend! Sklaven – aus kalten Ländern und aus glühenden, immer mehr Sklaven, ungezieferschwere, hungernde, peitschenüberschwungene Haufen: dann schwillt das Eigene an, der eigene Flaum, der grindige, zum Barte des Propheten!</poem>  1945 kehrte Benn nach Berlin zurück und nahm die ärztliche Tätigkeit in seiner alten Praxis wieder auf. Seine Frau Herta hatte sich am 2. Juli aus Furcht vor Vergewaltigung und Ermordung durch Soldaten der Roten Armee mit Morphium das Leben genommen.

Engagement für den Nationalsozialismus.

Gottfried Benn war niemals Mitglied der NSDAP. Vom Nationalsozialismus, mit dem er zuerst sympathisiert hatte, wandte sich Benn wohl vor allem ab, weil er ihn schließlich als ähnlich antikulturell einschätzte wie den Kommunismus und Sozialismus. Nach Kriegsende wurde er zunächst wegen seiner anfänglichen Unterstützung des Hitlerregimes angefeindet, doch spätestens mit seinen "Statischen Gedichten", die sich weit vom wild-zynischen Ton der "Morgue"-Gedichte entfernt hatten, fand er in der jungen Bundesrepublik ein neues, stetig wachsendes Publikum. So wurde der Autor zum Ende hin ein weitberühmter, mit dem Büchner-Preis ausgezeichneter und stilbildender Dichter.

1946 bis 1956.

Im Dezember 1946 heiratete Benn die Zahnärztin Ilse Kaul. Das Schreibverbot für ihn wurde unter der alliierten Verwaltung zunächst beibehalten. In der Sowjetischen Besatzungszone wurden Benns Schriften "Der neue Staat und die Intellektuellen" (1933) und "Kunst und Macht" (1934) 1946 auf die Liste der auszusondernden Literatur gesetzt. Seit dem Herbst 1948 durfte Benn wieder in Deutschland veröffentlichen; zuerst erschien jedoch im Schweizer Arche-Verlag der Band "Statische Gedichte"; der Verleger Max Niedermayer hatte die Druckerlaubnis in Westdeutschland erwirken können.  Im Gegensatz zu vielen anderen im Dritten Reich teilweise schuldig gewordenen Personen und Schriftstellern verdrängte Benn seine Beteiligung an der damaligen Zeit nach 1945 allerdings nicht. So beschrieb er seine frühere Haltung, ohne sie damit zu entschuldigen, als damals historisch und aus der persönlichen Biographie bedingt in folgenden Worten:  In den Jahren der frühen Bundesrepublik erlebte Benn einen rasanten Aufstieg. 1949 erschienen vier Bücher von Benn. Mit der Verleihung des Georg-Büchner-Preises 1951 fand seine Karriere ihren vorläufigen Höhepunkt. 1953, zu seinem 67. Geburtstag, wurde Benn durch Bundespräsident Theodor Heuss das Verdienstkreuz des Verdienstordens der Bundesrepublik Deutschland verliehen. Diese Verleihung stieß u. a. beim Schutzverband Deutscher Autoren Nordwest e. V. auf Kritik. Benn sprach davon, dass ein „Amoklauf“ gegen ihn stattfinde.  Im September 1950 nahm Dieter Wellershoff, damals Germanistikstudent in Bonn, Kontakt zu Benn auf. Er schrieb in jener Zeit seine Dissertation über Benn, die dieser sehr lobte. Wellershoff wurde später Herausgeber von Benns "Gesammelten Werken". 1951 schloss Benn Bekanntschaft mit der Schriftstellerin Astrid Claes. 1952 lernte er die 30 Jahre jüngere Journalistin Gerda Pfau kennen; die freundschaftliche Verbindung dauerte bis zu seinem Tod an. 1954 begann er eine Beziehung mit der fünfunddreißig Jahre jüngeren Schriftstellerin und Journalistin Ursula Ziebarth, die bis zu seinem Tode dauerte.  Zu den von Benn gepflegten Kontakten zählte der Literaturjournalist und Autor Karl Schwedhelm.  Die dritte und letzte Strophe eines der bekanntesten Gedichte Benns, des 1953 entstandenen "Nur zwei Dinge", das vielfach als Benns persönliche Lebensbilanz verstanden wurde, lautet:  <poem style="font-style:italic;margin-left:2em;">Ob Rosen, ob Schnee, ob Meere, was alles erblühte, verblich, es gibt nur zwei Dinge: die Leere und das gezeichnete Ich.</poem>  Gottfried Benn litt seit Beginn des Jahres 1956 unter heftigen Schmerzen, deren Ursache, Knochenkrebs, jedoch erst kurz vor seinem Tod eindeutig festgestellt wurde. Ein Kuraufenthalt in Schlangenbad im Juni 1956 erwies sich als sinnlos und verfehlt, weil die Schmerzen balneologische Anwendungen unmöglich machten.  Gottfried Benn starb nur wenige Wochen nach seinem 70. Geburtstag am 7. Juli 1956 in Berlin und wurde auf dem Waldfriedhof Dahlem beigesetzt (Abt. 27W-31/32). Sein Grab ist als Berliner Ehrengrab gewidmet.  Auf dem Umschlag seines Testament stand in lateinischer Sprache „te spectem suprema cum mihi venerit hora; te tenam moriens deficiente manu“ (deutsch: „Dich möchte ich ansehen, wenn meine Stunde geschlagen hat. Sterbend möchte ich Dich noch halten, wenn mir die Hand schon sinkt“).

Zum Werk.

Gottfried Benn gilt als einer der bedeutendsten deutschen Dichter der literarischen Moderne. Ein erstes Mal betrat er die literarische Szene als Expressionist mit seinen Morgue-Gedichten, die mit herkömmlichen poetischen Traditionen radikal brachen und in denen vor allem Eindrücke aus seiner Tätigkeit als Arzt starken Niederschlag fanden. Sektionen und Krebs- und Geburtsstationen werden scheinbar emotionslos beschrieben, und romantische Titel wie „Kleine Aster“ wecken Erwartungen, die dann krass enttäuscht werden.  Die Rechte am Werk liegen heute beim Klett-Cotta Verlag.

Analysen.

Max Rychner hat einen Versuch unternommen, von Benn häufig verwandte Substantive verschiedenen Wortfeldern und Bedeutungszusammenhängen zuzuordnen.  Der wachbewussten, spaltenden, seelenfeindlichen, geschichtlichen und zahlenhaft-wissenschaftlichen Seite ordnet er folgende Begriffe zu:  Den Gegensatz, also die glückselige Ichvergessenheit und Hingabe an den bewusstlosen Lebensstrom, identifiziert er mit Begriffen wie:  Auf einen zeitenthobenen Bereich verweisen:

Nachlass.

Benns Nachlass liegt im Deutschen Literaturarchiv in Marbach am Neckar und ein kleiner Teil im Archiv der Akademie der Künste Berlin. Teile aus dem Nachlass im Deutschen Literaturarchiv sind im Literaturmuseum der Moderne in Marbach in der Dauerausstellung zu sehen.

Briefe.

Zahlreiche Briefe sind überliefert und zu großen Teilen veröffentlicht. Die Briefe werden zunehmend als Teil des Werks anerkannt. Hervorzuheben ist etwa der Briefwechsel mit dem Bremer Großkaufmann und Mäzen Friedrich Wilhelm Oelze (1891–1978).

Lesungen, Vorträge.

Benn hat oft aus seinen Werken vorgelesen. Rundfunklesungen sind seit 1928 überliefert.

Gottfried Benn (* 2. Mai 1886 in Mansfeld, Brandenburg; † 7. Juli 1956 in Berlin) war ein deutscher Arzt, Dichter und Essayist.

Gottfried Benn (2 May 1886 – 7 July 1956) was a German poet, essayist, and physician. He was nominated for the Nobel Prize in Literature five times.


Eigenschaften.

Als Zweizustands-Quantensystem ist das Qubit das einfachste nichttriviale Quantensystem überhaupt. Der Begriff „Zweizustandssystem“ bezieht sich dabei nicht etwa auf die Zahl der Zustände, die das System annehmen kann. In der Tat kann jedes nichttriviale quantenmechanische System prinzipiell unendlich viele verschiedene Zustände annehmen. Allerdings kann im Allgemeinen der Zustand eines Quantensystems durch Messung nicht immer sicher bestimmt werden; durch die Messung wird "zufällig" einer der möglichen Messwerte der gemessenen Observablen ausgewählt, wobei die Wahrscheinlichkeit jedes Messwertes durch den vor der Messung vorliegenden Zustand bestimmt wird. Da zudem die Messung in der Regel den Zustand ändert, kann dieses Problem auch nicht durch mehrmaliges Messen am selben System umgangen werden.  Jedoch gibt es zu jeder Messung bestimmte Zustände, bei deren Vorliegen vor der Messung der Messwert mit absoluter Sicherheit vorausgesagt werden kann, die sogenannten Eigenzustände der Messung bzw. der gemessenen Observablen. Dabei gibt es zu jedem möglichen Ergebnis mindestens einen solchen Zustand. Die maximale Anzahl möglicher Messwerte erhält man dabei für Messungen, bei denen es jeweils nur genau einen Zustand gibt, der diesen Messwert sicher liefert. Darüber hinaus liegt nach jeder Messung ein zum erhaltenen Messwert zugehöriger Eigenzustand vor (Kollaps der Wellenfunktion); liegt jedoch bereits vor der Messung ein Eigenzustand der Messung vor, so wird dieser nicht verändert.  Zwei Zustände, die man durch Messung sicher unterscheiden kann, nennt man auch orthogonal zueinander. Die maximale Anzahl der möglichen Messwerte bei einer Messung – und somit auch die maximale Anzahl orthogonaler Zustände – ist eine Eigenschaft des Quantensystems. Beim Qubit als Zweizustandssystem kann man also durch Messung genau zwei verschiedene Zustände sicher unterscheiden. Will man demnach ein Qubit einfach als klassischen Speicher verwenden, so kann man darin genau ein klassisches Bit speichern. Allerdings liegen die Vorteile des Qubits gerade in der Existenz der anderen Zustände.  Ein Beispiel hierfür ist die Polarisation eines Photons („Lichtteilchens“). Die Polarisation von Licht gibt an, in welche Richtung Licht schwingt. Obwohl die Polarisation eigentlich eine Welleneigenschaft ist, kann sie auch für das einzelne Photon definiert werden, und alle Polarisationen (linear in beliebige Richtung, zirkular, elliptisch) sind auch für einzelne Photonen möglich. Lineare Polarisation kann beispielsweise über einen doppelbrechenden Kristall gemessen werden. Wo ein an einer bestimmten Stelle in den Kristall eintretendes Photon herauskommt, hängt davon ab, ob es parallel oder senkrecht zur optischen Achse des Kristalls polarisiert ist. Es gibt also sozusagen zwei „Ausgänge“, einen für parallel und einen für senkrecht polarisierte Photonen. Stellt man an beide Stellen einen Photon-Detektor, dann kann man so feststellen, ob das Photon parallel oder senkrecht zur optischen Achse polarisiert war.  Photonen, die eine andere Polarisation (linear in einem anderen Winkel, zirkular oder elliptisch) aufweisen, kommen aber ebenfalls an diesen „Ausgängen“ heraus. An welchem „Ausgang“ ein solches Photon herauskommt, ist in diesem Fall jedoch nicht voraussagbar; nur die Wahrscheinlichkeit kann vorhergesagt werden. Hinterher hat es jedoch die Polarisation, die zu dem entsprechenden Ausgang gehört, wie man z. B. dadurch nachweisen kann, dass anstatt des Detektors weitere Kristalle (mit parallel ausgerichteter optischer Achse) mit je zwei Detektoren an den „Ausgängen“ angebracht werden: Nur diejenigen Detektoren an den zweiten Kristallen, die zu der jeweils korrekten Polarisation für den Ausgang des ersten Kristalls gehören, registrieren Photonen.  Der Kristall zeichnet damit eine Polarisationsrichtung aus. Welche es jedoch ist, kann man dadurch bestimmen, dass man den Kristall dreht. Zwei linear polarisierte Zustände sind also zueinander orthogonal, wenn die Polarisationsrichtungen zueinander orthogonal sind. Allerdings kann diese Korrespondenz nicht direkt auf andere Polarisationszustände übertragen werden; so sind z. B. der linkszirkulär und der rechtszirkulär polarisierte Zustand ebenfalls zueinander orthogonal.  Wie bei klassischen Bits können auch mehrere Qubits zusammengefasst werden, um größere Werte zu speichern. Ein formula_1-Qubit-System hat dabei genau formula_2 zueinander orthogonale Zustände. In formula_1 Qubits lassen sich somit genau formula_1 klassische Bits so speichern, dass die komplette Information zuverlässig wieder ausgelesen werden kann; beispielsweise kann ein „Quantenbyte“ aus acht Qubits 256 verschiedene zuverlässig wieder auslesbare Werte speichern.  Viel wichtiger für die Verwendung in Quantencomputern ist die Existenz verschränkter Zustände mehrerer Qubits. In solchen Zuständen hat ein einzelnes Qubit "überhaupt keinen" definierten Zustand, die Gesamtheit der Qubits jedoch schon. Dies führt zu nichtlokalen Korrelationen, wie sie beim Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon auftreten.  Die Verschränkung der Qubits hat überraschende Folgen. Beispielsweise kann man in einem Paar verschränkter Qubits zwei klassische Bits so speichern, dass beide Bits getrennt durch Manipulation nur eines der Qubits beliebig manipuliert werden können. Jedoch benötigt man beide Qubits, um die Information auszulesen.  Auch auf der Nichtlokalität der Verschränkung beruht die Quantenteleportation, mit der sich quantenmechanische Zustände durch Übermitteln klassischer Bits übertragen lassen.  Für Quantencomputer wichtig ist die Tatsache, dass durch die Verschränkung eines Satzes von formula_1 Qubits ein beliebiger Satz von Sequenzen formula_1 klassischer Bits "gleichzeitig" dargestellt werden kann. Beispielsweise kann mit vier Qubits ein Zustand hergestellt werden, der genau die Bitfolgen 0000, 0101, 1011 und 1110 enthält und keine anderen. Im Extremfall sind alle möglichen Bitfolgen darin enthalten, z. B. enthält ein entsprechend präpariertes „Quantenbyte“ alle Zahlen von 0 bis 255 gleichzeitig. Führt man nun mit Hilfe quantenmechanischer Operationen Berechnungen auf diesem Zustand aus, so werden diese Berechnungen effektiv auf allen diesen Bitfolgen gleichzeitig ausgeführt. Dieser sogenannte Quantenparallelismus ist der Grund dafür, dass Quantencomputer bestimmte Probleme schneller lösen können als klassische Computer. Allerdings kann man die gespeicherten Bitmuster nicht einzeln auslesen; jede Messung liefert nur einen zufällig ausgewählten der gespeicherten Werte. Um den Quantenparallelismus zu nutzen, müssen daher zusätzlich spezifisch quantenmechanische Transformationen vorgenommen werden, die keine klassischen Äquivalente haben, also Zustände, die genau einem Bitmuster entsprechen, in Überlagerungen mehrerer Bitmuster überführen können und umgekehrt.

Implementierung von Qubits.

Theoretisch kann jedes quantenmechanische Zweizustandssystem als Qubit verwendet werden. In der Praxis jedoch sind viele Systeme ungeeignet, da sie nicht in ausreichendem Maße manipulierbar sind oder zu stark von der Umgebung gestört werden. Zudem ergibt sich das Problem der Skalierbarkeit: Manche Implementierungen, wie z. B. die Verwendung der Kernspinresonanz in Molekülen, eignen sich prinzipbedingt nur für eine sehr beschränkte Zahl von Qubits.  Für die Verwendbarkeit eines Systems als Qubit hat David DiVincenzo sieben Kriterien aufgestellt. Die ersten fünf Kriterien betreffen auch die Verwendung in Quantencomputern, die letzten beiden gelten speziell für die Quantenkommunikation.  Die fünf allgemeinen Kriterien lauten:  Die zwei zusätzlichen Kriterien für Quantenkommunikation lauten:  In der Praxis werden unter anderem die folgenden Systeme untersucht:

Ionen in Ionenfallen.

Ein vielversprechender Ansatz für Quantencomputer ist die Verwendung von Ionen in Ionenfallen. Hierbei werden einzelne Ionen durch elektromagnetische Felder im Vakuum wie an einer Perlenkette aufgereiht.  Die Qubits werden dabei durch jeweils zwei langlebige interne Zustände der einzelnen Ionen, zum Beispiel zwei Hyperfeinniveaus des Grundzustands, gebildet. Die Zahl der Qubits ist identisch mit der Zahl der Ionen in der Falle. Die Manipulation der Qubits erfolgt über Laser, die mit den einzelnen Ionen wechselwirken. Über die Bewegung der Ionen in der Falle lassen sich die Qubits miteinander koppeln und so verschränken.  Mit dieser Technologie konnten bereits bis zu zwanzig Qubits miteinander verschränkt werden.

Elektronen in Quantenpunkten.

Ein weiterer Ansatz ist die Verwendung von Quantenpunkten. Quantenpunkte sind quasi-nulldimensionale Halbleiterstrukturen, in denen Elektronen nur diskrete Zustände einnehmen können; man spricht daher auch oft von Designer-Atomen. Ein Vorteil der Quantenpunkt-Technologie ist, dass bei der Herstellung erprobte Halbleiter-Methoden angewandt werden können. Als Basiszustände des Qubits können zwei Orientierungen des Spins bei fester Elektronenzahl („Spinqubit“) oder zwei verschiedene Ladungskonfigurationen („Ladungsqubit“; z. B. mit einem Elektron entweder im ersten oder zweiten von zwei Quantenpunkten) oder eine Kombination dieser beiden Möglichkeiten verwendet werden. In der Praxis dominieren Spinqubits aufgrund der viel längeren Kohärenzzeiten. Bisher wurde universelle Kontrolle von bis zu zwei Spinqubits demonstriert.

SQUIDs.

Auch mit SQUIDs lassen sich Qubits implementieren. SQUIDs sind Systeme aus Supraleitern, die durch zwei parallele Josephson-Kontakte verbunden sind. Die Manipulation der Qubits erfolgt über die angelegte Spannung und das Magnetfeld. Die Basiszustände können hier über den Wert der relativen Phase, Ladung oder des magnetischen Flusses durch den SQUID bestimmt werden. Quantenprozessoren (mit voller Kontrolle) von bis zu zehn Qubits wurden bisher realisiert. Es wurden noch deutlich größere Josephson-Quantenregister (mit bis zu 72 Qubits) demonstriert, allerdings ohne volle Kontrolle über deren Zustand.

Kernspins in Molekülen und Festkörpern.

Auch die Spins der Atomkerne in Molekülen können Qubits repräsentieren. Sie können über Kernspinresonanz manipuliert und ausgelesen werden. Dies ist eine technisch besonders einfache Methode, die jedoch nicht den oben genannten DiVincenzo-Kriterien entspricht. Insbesondere ist die Methode nicht skalierbar, da die Zahl der Spins pro Molekül beschränkt ist und ihre Adressierung und kontrollierte Kopplung um so schwieriger sind, je mehr Spins adressiert werden müssen. Zudem kann hierbei nicht ein einzelnes System (also ein einzelnes Molekül) gemessen werden, sondern man hat es mit vielen gleichartigen Molekülen auf einmal zu tun. Dagegen kann man mit Kernspins in Festkörpern im Prinzip skalierbare Architekturen realisieren. Besonders vielversprechend sind hier z. B. die Kernspins von Fremdatomen in Silizium oder von Stickstoff-Fehlstellen-Zentren (oder anderen Farbzentren) in Diamant.

Photonen.

Mit Photonen lassen sich besonders gut "bewegliche" Qubits definieren. In der Regel werden als Basiszustände verschiedene Teilchenzahl-Eigenzustände des elektromagnetischen Felds verwendet. Eine häufige Realisierung ist das Polarisationsqubit, das durch zwei orthogonale Polarisationen eines Photons definiert ist. Eine andere wichtige Realisierung ist das Time-Bin-Qubit, das sich über ein Photon entweder im ersten oder zweiten von zwei aufeinanderfolgenden Zeitfenstern definiert. Ferner gibt es auch Qubits, die durch Vielphotonenzustände definiert sind, wie zum Beispiel durch kohärente Zustände entgegengesetzter Phase. Photonische Qubits können per Glasfaser oder durch die Luft problemlos auch über größere Strecken übertragen werden. Experimente zur Quantenkommunikation und Quantenkryptographie verwenden daher nahezu ausschließlich Photonenzustände. Da es dagegen sehr anspruchsvoll ist, Photonen miteinander in Wechselwirkung zu bringen, sind sie für die Realisierung eines Quantencomputers weniger geeignet, auch wenn das im Prinzip möglich ist.

Quantenkodierung.

Ähnlich wie klassische Information lässt sich auch Quanteninformation komprimieren. Hierbei wird angenommen, dass das Signal aus zufällig ausgewählten reinen Zuständen aus einem „Alphabet“ besteht, wobei jedoch diese Zustände nicht notwendigerweise zueinander orthogonal sein müssen, d. h. es muss nicht möglich sein, die Zustände durch Messung sicher zu unterscheiden. Diese Zustände werden in ein System aus Qubits kodiert (dabei wird der Originalzustand notwendigerweise zerstört) und diese an den Empfänger gesandt, der dann aus den gesendeten Qubits eine Näherung des originalen Zustandes rekonstruiert.  Die Genauigkeit "(Fidelity)" einer solchen Kodierung ist definiert durch die zu erwartenden Übereinstimmung des rekonstruierten Zustands mit dem ursprünglichen. Das heißt, angenommen der Empfänger "weiß", welche Zeichen gesendet wurden, und führt an seinem rekonstruierten Zustand jeweils eine Messung aus, für die der ursprüngliche Zustand ein Eigenzustand ist, dann ist die Genauigkeit der Kodierung durch den Anteil der Messungen gegeben, die den gesendeten Zustand ergeben.  Eine ideale Kodierung ist nun analog zur klassischen Informationstheorie eine Übertragung, bei der die minimale Zahl an Qubits übertragen werden muss, um bei einer hinreichend großen Anzahl übertragener Zeichen eine beliebig hohe Übertragungswahrscheinlichkeit zu erreichen.  Es zeigt sich nun, dass die minimale Zahl von Qubits, um einen solchen Zustand zu übertragen, gerade die Von-Neumann-Entropie der durch das „Alphabet“ und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten definierten Dichtematrix ist. Somit kann das Qubit, analog zum klassischen Bit, als Informationseinheit der Quanteninformation betrachtet werden; die Von-Neumann-Entropie eines Quantensystems gibt dann gerade dessen Informationsgehalt in Qubits an.  In der Tat wurde der Begriff Qubit von B. W. Schumacher in diesem Zusammenhang geprägt.

Mathematische Beschreibung.

Beschreibung einzelner Qubits.

Zur Beschreibung eines Qubits nimmt man eine beliebige Messgröße (z. B. im Beispiel mit den Photonen die Polarisation parallel und senkrecht zur optischen Achse eines doppelbrechenden Kristalls) und nennt die zugehörigen Eigenzustände formula_8 und formula_9 (Die Notation formula_10 dient zur Kennzeichnung, dass es sich um einen Quantenzustand handelt, siehe auch Dirac-Notation). Das quantenmechanische Superpositionsprinzip fordert nun, dass es unendlich viele Zustände dieses Systems gibt, die sich formal als schreiben lassen, wobei formula_12 und formula_13 komplexe Zahlen mit sind. Der Zustand lässt sich also als normierter Vektor in einem komplexen Vektorraum, genauer gesagt, einem Hilbertraum, beschreiben. (Im Fall der Photonen handelt es sich gerade um den Jones-Vektor, der die Polarisation beschreibt). Allerdings ist die Beschreibung nicht eindeutig; zwei Vektoren, die sich nur durch einen Faktor der Form formula_15 („Phasenfaktor“) unterscheiden, beschreiben denselben Zustand. Zu beachten ist jedoch, dass ein solcher Phasenfaktor für nur "eine" der Komponenten durchaus einen Unterschied macht: Die Vektoren formula_16 und formula_17 beschreiben generell unterschiedliche Zustände.  Ist das System in diesem Zustand, so ist die Wahrscheinlichkeit, nach der Messung den Zustand formula_8 vorzufinden, gerade formula_19 und entsprechend die Wahrscheinlichkeit, den Zustand formula_9 vorzufinden, gleich formula_21.  Alternativ lässt sich das Qubit auch über seine Dichtematrix beschreiben. Für das Qubit im Zustand formula_22 ist dies der Projektionsoperator Im Gegensatz zum Zustandsvektor ist die Dichtematrix eindeutig definiert. Mit Hilfe der Dichtematrix lassen sich auch Qubits beschreiben, deren Zustand nicht vollständig bekannt ist (sogenannte „gemischte Zustände“). Allgemein lässt sich die Dichtematrix für ein Qubit angeben durch wobei formula_25 die 2×2-Einheitsmatrix und formula_26 die Pauli-Matrizen sind. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer entsprechenden Messung den Zustand formula_22 zu finden, ist gegeben durch formula_28.

Bloch-Kugel.

Die Zustände eines einzelnen (unverschränkten) Qubits lassen sich als Punkte auf der Oberfläche einer Kugel im dreidimensionalen Raum darstellen. Diese Oberfläche nennt man nach Felix Bloch Bloch-Kugel oder -sphäre. Besonders deutlich sieht man das am Spin-1/2-Teilchen, wo der Punkt auf der Kugel angibt, in welche Richtung man mit Sicherheit Spin up messen wird. Die Äquivalenz gilt aber für alle Zweizustandssysteme. Das Bild rechts zeigt, wie die oben beschriebenen Polarisationszustände auf der Bloch-Kugel angeordnet werden können. Beispielsweise entspricht der „Nordpol“ hier der vertikalen und der „Südpol“ der horizontalen Polarisation. Allgemein entsprechen zueinander orthogonale Zustände einander gegenüberliegenden Punkten auf der Bloch-Kugel.  Setzt man den Zustand formula_29 an den „Nordpol“ der Kugel, und sind formula_30 und formula_31 die Winkel des Punktes in Kugelkoordinaten (siehe Bild links), so wird der zugehörige Zustand durch den Vektor beschrieben.  Auch die Punkte im Inneren der Kugel lassen sich interpretieren: Man kann ihnen Qubits zuordnen, über deren Zustand man keine vollständige Information hat. Die kartesischen Koordinaten des Punktes in der Kugel sind dann gerade die Faktoren formula_33 vor den Pauli-Matrizen in der Gleichung (*). Der Mittelpunkt der Kugel entspricht somit einem Qubit, über das man überhaupt nichts weiß; je weiter man sich vom Mittelpunkt entfernt, desto größer wird das Wissen über den Zustand des Qubits. Diese Kugel ist in gewisser Weise das Analogon zum Wahrscheinlichkeits-Intervall <nowiki>[0,1]</nowiki> für das klassische Bit: Die Punkte am Rand geben die möglichen exakten Zustände des Bits (0 oder 1) bzw. des Qubits an (in der Quantenmechanik spricht man auch von „reinen Zuständen“), während die Punkte im Inneren unvollständiges Wissen über das Bit/Qubit repräsentieren (in der Quantenmechanik spricht man hier von „gemischten Zuständen“). Der Punkt in der Mitte repräsentiert in beiden Fällen komplettes Unwissen über das System (beim Bit: Wahrscheinlichkeit 1/2).  Auch der Vorgang des Messens lässt sich anhand der Bloch-Kugel schön darstellen: Im Bild „Kugelkoordinaten“ kennzeichnet der kleine rote Punkt einen möglichen Zustand des Qubits. In diesem Fall sitzt der Punkt außen auf der Kugel, es handelt sich also um einen reinen Zustand; das Verfahren funktioniert aber auch für gemischte Zustände. Da die Eigenzustände der Messung zueinander orthogonal sind, also auf der Bloch-Kugel einander gegenüberliegen, definiert die Messung eine Gerade durch den Mittelpunkt der Kugel (im Bild durch die blaue Linie gekennzeichnet). Man betrachtet nun entlang dieser Geraden den Durchmesser (im Bild grün/weiß) durch die Kugel und projiziert den Punkt, der das aktuelle Wissen über das Qubit darstellt, senkrecht auf diese Strecke (die Projektion ist hier durch die rote Ebene und die gelbe Linie markiert; der Schnittpunkt der gelben Linie mit dem Durchmesser ist der projizierte Punkt). Diese Strecke lässt sich dann direkt als Wahrscheinlichkeitsintervall für das Messergebnis ansehen. Wenn man das Messergebnis nicht ausliest, dann gibt dieser Punkt innerhalb der Kugel in der Tat auch die neue Beschreibung des Systems an; nach Auslesen des Messergebnisses liegt der Punkt selbstverständlich (wie auch beim normalen Bit) an einem Ende der Strecke. Setzt man z. B. im Bild an den „Nordpol“ der Kugel den Zustand formula_29 und an den „Südpol“ den Zustand formula_35, dann ist das Verhältnis der Länge des weißen Teils des Durchmessers (vom Südpol bis zum Schnittpunkt mit der Ebene) zum Gesamtdurchmesser gerade die Wahrscheinlichkeit, das Qubit nach der Messung im Zustand formula_29 zu finden, wenn der Zustand vorher durch den roten Punkt gegeben war (hinterher sitzt der Zustand in diesem Fall natürlich auf dem Nordpol).  Einige Physiker vermuten in diesem Zusammenhang zwischen Qubits und Punkten im dreidimensionalen Raum den Grund dafür, dass unser Raum dreidimensional ist. Prominenter Vertreter dieser Idee ist die Ur-Theorie von Carl Friedrich von Weizsäcker. Weizsäckers "Ur" ist dabei im Wesentlichen das, was heute Qubit genannt wird.

Beschreibung von Systemen aus mehreren Qubits.

Auch die Zustände eines Systems aus mehreren Qubits bilden aufgrund des Superpositionsprinzips einen Hilbertraum. Dieser ist das Tensorprodukt der Hilberträume der einzelnen Qubits. Das bedeutet, ein System aus formula_1 Qubits wird durch einen formula_2-dimensionalen Hilbertraum beschrieben, dessen Basiszustände als direkte Produkte der Einzel-Qubit-Zustände geschrieben werden können, also z. B. wobei die Indizes angeben, zu welchem Qubit der Zustand jeweils gehört. Jedes direkte Produkt von 1-Qubit-Zuständen ergibt einen formula_1-Qubit-Zustand, z. B. Umgekehrt gilt dies jedoch nicht: Manche formula_1-Qubit-Zustände lassen sich nicht als Produkt von Ein-Qubit-Zuständen schreiben. Ein Beispiel für so einen Zustand ist der 2-Qubit-Zustand formula_43 (einer der Bellzustände). Solche Zustände, die sich nicht als Produkt einzelner Zustände schreiben lassen, nennt man verschränkt. Die Beschreibung eines einzelnen Qubits "in einem verschränkten Zustand" ist nur über eine Dichtematrix möglich, was wiederum die Unkenntnis (bzw. Nichtberücksichtigung) von Information über das Qubit anzeigt: In diesem Fall handelt es sich bei der fehlenden Information gerade um die Verschränkung mit anderen Qubits. Allerdings kann der vollständige Zustand auch nicht beschrieben werden, indem die Dichtematrizen für jedes einzelne Qubit angegeben werden. Die Verschränkung ist vielmehr eine nichtlokale Eigenschaft, die in den Korrelationen zwischen den miteinander verschränkten Qubits zum Ausdruck kommt.

Komplementäre Observablen des Qubits.

Zwei Observablen sind komplementär, wenn die vollständige Kenntnis des Wertes der einen Observablen die vollständige Unkenntnis der anderen impliziert. Da völlige Unkenntnis über den Wert gleichbedeutend ist mit Projektion auf den Mittelpunkt der Bloch-Kugel in der oben angegebenen Beschreibung der Messung, ergibt sich unmittelbar, dass zueinander komplementäre Observablen durch zueinander orthogonale Richtungen in der Bloch-Kugel beschrieben werden. Dementsprechend findet man für ein einzelnes Qubit stets genau drei paarweise zueinander komplementäre Observablen, entsprechend den drei Raumrichtungen.  Hat man viele gleich präparierte Exemplare eines Qubits, so kann der Zustand durch Messen der Wahrscheinlichkeiten eines Satzes dreier paarweise komplementärer Observablen bestimmt werden (wobei jede Messung an einem neuen Exemplar gemacht werden muss, da die Messung den ursprünglichen Zustand zerstört hat). Aus den Wahrscheinlichkeiten ergeben sich dann unmittelbar die Koordinaten des den Zustand beschreibenden Punktes auf der Bloch-Kugel und damit der Zustand.

Fehlerkorrektur.

Wie bei klassischen Bits können auch bei Qubits äußere Einflüsse nicht vollständig eliminiert werden. Deshalb benötigt man auch hier Fehlerkorrekturcodes. Im Gegensatz zu klassischen Fehlerkorrekturcodes gibt es für die Fehlerkorrektur von Qubits jedoch wichtige Einschränkungen: Trotz dieser Einschränkungen ist eine Fehlerkorrektur möglich, weil man zur Korrektur eines Fehlers nicht wirklich dessen Ergebnis braucht, sondern nur wissen muss, "welcher" Fehler aufgetreten ist. Ist z. B. ein sogenannter Bit-Flip aufgetreten, der formula_8 und formula_9 miteinander vertauscht, so ist klar, dass das Problem behoben wird, indem ein weiterer Bit-Flip vorgenommen wird; es ist nicht nötig, den tatsächlichen Zustand des Qubits zu kennen.  Die Einschränkung des No-Cloning-Theorems ist nicht so gravierend, wie es scheint, denn man kann trotzdem ein Qubit durch zwei Zustände eines Systems aus mehreren Qubits darstellen. Nur hat man dann eben im Allgemeinen keine Kopien, sondern einen Satz verschränkter Zustände.  Das Problem der kontinuierlichen Fehler wird durch das Superpositionsprinzip gelöst: Das Ergebnis einer kleinen Störung durch einen bestimmten Fehlertyp lässt sich quantenmechanisch auffassen als Überlagerung zweier Zustände: Einer, in dem dieser Fehler "überhaupt nicht" aufgetreten ist, und einer, in dem dieser Fehler "maximal" aufgetreten ist. Misst man nun, ob der Fehler aufgetreten ist, so sorgt der Kollaps der Wellenfunktion dafür, dass genau einer dieser beiden Fälle vorgefunden wird; man hat es daher nur noch mit einer begrenzten Zahl von diskreten Fehlern zu tun.  Fehlertypen, die bei einem einzelnen Qubit auftreten können, sind  Allgemeine 1-Qubit-Fehler lassen sich durch Linearkombinationen dieser Fehler beschreiben.  Die elementaren formula_1-Qubit-Fehler sind Kombinationen dieser Fehlertypen für jedes einzelne Qubit (also z. B. Qubit 1 ist ohne Fehler, aber Qubit 2 hat einen Bit-Flip gemacht). Wiederum wird ein allgemeiner Fehler durch eine Linearkombination beschrieben; dadurch lassen sich auch so komplizierte Fehlertypen beschreiben wie „Qubit 1 hatte einen Phasenfehler, sofern Qubit 2 formula_9 war“.  Ein einfaches Beispiel ist der Repetition-Code. Hierbei wird die Information einfach symmetrisch auf mehrere Qubits verteilt. Beispielsweise wird bei drei Qubits der Wert formula_16 durch formula_61 codiert. Bei dieser Codierung ist es mit drei Qubits bereits möglich, Bit-Flip-Fehler sicher zu korrigieren. Nutzt man stattdessen zwei Bell-Zustände als Basis, lassen sich Phasenfehler korrigieren. Die Kombination beider Mechanismen führt zum von Peter Shor entwickelten sogenannten Shor-Code, in dem mittels neun Qubits alle drei elementaren Fehlertypen korrigiert werden können. Fehlerkorrektur ist jedoch auch mit weniger Qubits möglich; so hat Andrew Steane einen Fehlerkorrekturcode entwickelt, der mit nur sieben Qubits pro gespeichertem Qubit auskommt.

Ein Qubit (für „Quantenbit“), selten auch Qbit ( oder ), ist ein beliebig manipulierbares Zweizustands-Quantensystem, also ein System, das nur durch die Quantenmechanik korrekt beschrieben wird und das nur zwei, durch Messung sicher unterscheidbare Zustände hat.

In quantum computing, a qubit () or quantum bit (sometimes qbit) is the basic unit of quantum information—the quantum version of the classical binary bit physically realized with a two-state device. A qubit is a two-state (or two-level) quantum-mechanical system, one of the simplest quantum systems displaying the peculiarity of quantum mechanics. Examples include: the spin of the electron in which the two levels can be taken as spin up and spin down; or the polarization of a single photon in which the two states can be taken to be the vertical polarization and the horizontal polarization. In a classical system, a bit would have to be in one state or the other. However, quantum mechanics allows the qubit to be in a coherent superposition of both states simultaneously, a property which is fundamental to quantum mechanics and quantum computing.


Etymologie und Geschichte.

"Feldspat" ist aus den Wörtern "Feld" und "Spat" zusammengesetzt. Als Pluralform ist sowohl "Feldspäte" als auch "Feldspate" in der Fachliteratur zu finden.  Jahrhundertelang sprachen die Bergleute Minerale und Gesteine allgemein als "Spat" an, wenn sie die Eigenschaft besaßen, sich besonders gut ("vollkommen") spalten zu lassen. Die Vollkommenheit der Spaltbarkeit zeigte sich oft schon an den vorhandenen, sichtbaren Spaltrissen und daran, dass sich vom Mineral- bzw. Gesteinskörper beim Anschlagen mit einem Hammer feine Blättchen („Spaten“) ablösten.  Etwa Mitte des 18. Jahrhunderts kam der Begriff Feldspat auf, als man in der Mineralogie lernte, die verschiedenen Mineralarten genauer zu unterscheiden. Zur genauen Herkunft dieses Namens gibt es allerdings verschiedene Theorien. So stellte sich beispielsweise Urban Brückmann 1783 die Frage, ob der Feldspat seinen Namen in Anlehnung an seine charakteristische Art des Vorkommens in Form von Feldern oder Flecken in Granit und anderen Gesteinsarten (nie als ganze Gänge, Felsen oder Gebirge) erhalten haben könnte. René-Just Haüy vermutete dagegen 1804 in seinem Werk "Traité de minéralogie", der Name könnte in Anlehnung an die Tatsache gewählt worden sein, dass oft Feldspat-Bruchstücke auf den Feldern gefunden wurden. Der Feldspat wäre daher als „Spat von den Feldern“ zu verstehen und ein Hinweis darauf, dass Feldspat durch Verwitterung allmählich in Ackererde überging.

Klassifikation.

Ausgehend von den Endgliedern Orthoklas, Albit und Anorthit lassen sich die Feldspate in drei verschiedene Gruppen einteilen:

Alkalifeldspate.

"Alkalifeldspate" sind Mischkristalle der Ab-Or-Mischkristallreihe mit den Endgliedern Albit (NaAlSiO) und Kalifeldspat (KAlSiO) bzw. Orthoklas/Mikroklin. Sie bilden die Mischkristalle Anorthoklas, Na-Sanidin und Sanidin und haben einen hohen Anteil an Kalium und Natrium. Allerdings sind sie nur bei hohen Temperaturen stabil mischbar. Bei der Abkühlung kommt es zu Entmischungen, die sich in natriumreichen Lamellen in Kalifeldspat (Perthit), bzw. in kaliumreichen Lamellen in Albit (Antiperthit) äußern. Den Vorgang selbst bezeichnet man als perthitische Entmischung.

Plagioklase.

"Plagioklase" (auch Kalknatronfeldspate), Kristalle der Ab-An-Mischkristallreihe mit den Endgliedern Albit (NaAlSiO) und Anorthit (CaAlSiO), zeichnen sich dagegen durch einen großen Gehalt an Calcium und Natrium aus. Da man makroskopisch keine Unterschiede erkennt, werden die Mischkristalle nach dem Anteil des Anorthits unterteilt: Albit (0–10 %), Oligoklas (10–30 %), Andesin (30–50 %), Labradorit (50–70 %), Bytownit (70–90 %) und Anorthit (90–100 %). Diese Mischkristallreihe der Plagioklase besitzt ebenfalls temperaturabhängige Entmischungen, die allerdings weniger ausgeprägt sind als bei den Alkalifeldspaten und sich nur in mikroskopisch dünnen Lamellen im Kristall zeigen. Man kennt drei Mischungslücken, die wieder nach dem Anteil des Anorthits unterschieden und als "Peristerit-Entmischung" (2–16 %), "Bøggild-Entmischung" (47–58 %) und "Huttenlocher-Entmischung" (67–90 %) bezeichnet werden.

Ternäre Feldspate.

"Ternäre Feldspate" liegen im inneren des Dreiecks aus Kalifeldspat-Albit-Anorthit mit einer jedoch bei sinkenden Temperaturen zunehmend großen Mischungslücke.

Einzelminerale, Varietäten und Modifikationen.

Die Bezeichnung eines Einzelminerals kann auch mittels Prozentangaben erfolgen: Zum Beispiel stellt man einen An-Ab-Mischkristall aus 60 % Albit und 40 % Anorthit mit AbAn oder auch nur kurz Ab bzw. An dar und bezeichnet ihn aufgrund dieser Zusammensetzung als Andesin.

Bildung und Fundorte.

Feldspate treten meist in Form tafeliger oder säuliger, oft verzwillingter Kristalle auf und finden sich sowohl in magmatischen als auch in metamorphen und Sedimentgesteinen.  Welcher Feldspattyp sich in einem gegebenen magmatischen Gestein findet, hängt von der chemischen Zusammensetzung und der Temperatur der ursprünglichen Schmelze ab: Kalifeldspate bilden sich bei vergleichsweise niedrigen Temperaturen in siliziumdioxidreichen Magmen, die beim Abkühlen die Gesteine Granit und Rhyolith bilden. Ist die Schmelze dagegen eher arm an Siliziumdioxid und kristallisiert bei vergleichsweise hoher Temperatur, so entstehen Plagioklase, die sich dann in Gesteinen wie Gabbro oder Basalt finden.  Durch natürliche Verwitterung entsteht aus Feldspat Ton (Bodenart): Das entstehende formula_2 ist ein Tonmineral.

Verwendung.

Einige Varietäten des Feldspat wie "Labradorit" oder "Orthoklas" finden bei geeigneter Qualität als Schmuckstein Verwendung.  Feldspat ist neben Kaolin und Quarz ein wichtiger Bestandteil bei der Porzellanherstellung.  Besonders reiner Feldspat wird als Ausgangsmaterial für Zahnersatz (Inlays, Veneers) verwendet. Das Mineralgestein wird gemahlen, gereinigt und gebrannt. Chemische Prozesse spielen dabei keine Rolle. Die daraus industriell gefertigte Keramik ist in ihren physikalischen Eigenschaften der natürlichen Zahnsubstanz sehr ähnlich, wodurch sie sich optimal in den Zahn einfügt.  Bei der Herstellung von Steinzeugfliesen und Platten dient Feldspat dazu, die Glasur in einem Arbeitsgang aufzusintern. Bereits vor dem Brennen des Scherben wird die Glasur aufgetragen und im Ofen auf etwa 1350 °C erhitzt. Der im Scherben enthaltene Feldspat schmilzt und sorgt neben Festigkeit und Zusammenhalt des Werkstücks auch für die Anbindung der Glasur auf der fertigen Fliese.

Als Feldspat wird eine große Gruppe sehr häufig vorkommender Silikat-Minerale der allgemeinen chemischen Zusammensetzung (Ba,Ca,Na,K,NH)(Al,B,Si)O bezeichnet. Die in Klammern angegebenen Elemente können sich jeweils gegenseitig vertreten, stehen jedoch immer im selben Mengenverhältnis zu den anderen Bestandteilen des Minerals (Substitution). Feldspate kristallisieren entweder im monoklinen oder im triklinen Kristallsystem, haben eine mittlere Mohshärte von 6 bis 61⁄2 und eine sehr variable Farbe, die von farblos über weiß, rosa, grün, blau bis braun reicht. Die Strichfarbe ist weiß.

Feldspars (KAlSiO – NaAlSiO – CaAlSiO) are a group of rock-forming tectosilicate minerals that make up about 41% of the Earth's continental crust by weight.


Definition.

Die höchstsymmetrische Punktgruppe (Kristallklasse) eines Kristallsystems wird als so genannte "Holoedrie" („vollflächig“ oder „Vollform“) und der entsprechende Kristallkörper als "Holoeder" („Vollflächner“) bezeichnet. Seine Form weist entsprechend die höchstmögliche Anzahl an Kristallflächen auf und alle in seinem Kristallsystem möglichen Symmetrieelemente sind vorhanden.  Wenn die Punktgruppe eines Kristalls die gleichen Anforderungen an das Gitter stellt wie eine Holoedrie, dann gehört die Kristallstruktur zum betreffenden Kristallsystem. In der Regel ist die Symmetrie der Kristallstruktur niedriger als die Symmetrie des Gitters, und es kann sogar vorkommen, dass der Kristall zu einem niedrigersymmetrischen Kristallsystem gehört als sein Gitter. Zum Beispiel hat ein Kristall mit der Punktgruppe „4“ gezwungenermaßen ein Gitter, das mindestens der Punktgruppe 4/"mmm" entspricht, und deshalb wird er dem tetragonalen Kristallsystem zugeordnet. Diese Zuordnung würde auch zutreffen, wenn der Kristall ein kubisches Gitter hätte.

Koordinatensysteme.

Sinnvollerweise wird bei der Beschreibung von Kristallen und Kristallstrukturen meistens kein kartesisches Koordinatensystem, sondern ein an das Kristallsystem angepasstes Koordinatensystem verwendet. Dadurch werden zum Beispiel alle Rotationsmatrizen der Symmetrieoperationen integrale Matrizen. Diese Koordinatensysteme erfüllen gewisse Bedingungen:  Die gegebenen Bedingungen sind notwendig, aber nicht hinreichend: Es ist möglich, dass die Achsen eines triklinen Kristalls gleich lang sind und jeweils 90° einschließen. Daraus folgt "nicht", dass der Kristall kubisch ist.  Zu beachten ist, dass man durch diese symmetriebezogene Koordinatenaufstellung unter Umständen keine primitive Basis mehr erhält. Es ist daher nötig, zusätzlich zum Kristallsystem noch die Zentrierung anzugeben, wodurch die 14 Bravais-Gitter erhalten werden.

Andere Einteilungen.

Die oben angegebene Einteilung entspricht derjenigen aus den "International Tables for Crystallography". In der Literatur finden sich noch andere: In der amerikanischen und der russischen werden das trigonale und das hexagonale Kristallsystem zu einem zusammengefasst. In der französischen Literatur, und teilweise auch in der deutschen, gibt es mit dem rhomboedrischen ein achtes Kristallsystem. Diesem werden die trigonalen Raumgruppen mit rhomboedrischer Zentrierung zugeordnet. Die Einteilung der "International Tables for Crystallography" ist aber am konsistentesten und setzt sich daher immer mehr durch.

Geschichte.

Kristallsysteme waren zunächst als Achsensysteme definiert. Ende des 18. Jahrhunderts hatte Haüy seine Theorie vom Aufbau der Kristalle aus kleinsten Baueinheiten („molécules constituantes“) veröffentlicht. C. S. Weiss übersetzte die Lehrbücher Haüys. Bereits in der ersten Ausgabe seiner Übersetzung fügte er eine Ergänzung ein, die den Titel "Dynamische Ansichten zur Kristallisation" trug. Seine Ansicht, dass die äußere Gestalt der Kristalle als Ausdruck eines Systems innerer Kräfte verstanden werden sollte, führte zur Idee, das Kräftesystem über eine Analyse der Anordnung besonders auffälliger Richtungen der Kristalle, der "Achsen", mathematisch beschreibbar zu machen. Er definierte eine Achse folgendermaßen:  In dieser „gleichmäßigen Verteilung“ um die Achse deutet sich bereits die Idee der Drehsymmetrie an, die aber erst später von Frankenheim und Hessel konkret formuliert wurde.  Weiss führte die Achsensysteme in die Kristallographie ein. Zunächst unterschied er nach der Anordnung der Achsen vier große „Abteilungen“ der Kristallformen, die er später um drei Unterabteilungen erweiterte, so dass er die Kristallformen insgesamt sechs „Crystallisations Systemen“ zuordnen konnte. Der Begriff der Kristallsysteme war geboren. Mit Hilfe der Achsen konnte Weiss erstmals die Lage aller Kristallflächen durch Zahlen (Indizes) in der Form [ma : nb : pc] charakterisieren. Die Zahlen m, n, p – die „Weissschen Koeffizienten“ – sind die Achsenabschnitte, bei denen die jeweilige Fläche die Achsen schneidet. Er erhielt so folgende Systeme (in Klammern sind die modernen Bezeichnungen der entsprechenden Kristallsysteme angegeben):  Weiss behauptete, dass durch die von ihm vorgeschlagenen rechtwinkligen Kristallsysteme die Lage jeder Fläche und jeder Richtung beschrieben werden könne. Dabei versuchte er, auch schiefwinklige (monokline und trikline) Kristalle in einen rechtwinkligen System zu beschreiben. Trotz der Schwierigkeiten, die sich durch die zunehmende Genauigkeit der Vermessung von Kristallflächen ergaben, hielt Weiss zeitlebens am „Orthogonalitätsdogma“ der Kristallachsen fest.  Friedrich Mohs entwickelte etwa gleichzeitig, aber unabhängig von Weiss, ein Konzept der Kristallsysteme. Nach eigener Angabe hatte Mohs eine Einteilung in vier Systeme ("rhomboedrisch, pyramidal, prismatisch" und "tessular") schon 1812–1814 entwickelt. Das Konzept ließ schiefwinklige Achsen prinzipiell zu, doch machte Mohs lediglich Andeutung in diese Richtung. Erst Mohs’ Schüler Carl Friedrich Naumann sowie Frankenheim und Justus Günther Graßmann etablierten die schiefwinkligen Achsensysteme.  Die Nomenklatur war zunächst alles andere als einheitlich. Traugott Leberecht Hasse gab 1848 einen historischen Überblick über die Kristallsysteme in orthogonaler Beschreibung:  Die hexagonale Kristallfamilie wurde lange als ein System behandelt. William Hallowes Miller unterschied sechs Systeme, die er folgendermaßen definierte:  Das rhomboedrische System verwendete Miller dabei auch zur Beschreibung hexagonaler Kristalle (was ohne weiteres möglich ist). Bis hier dienten die Kristallsysteme ausschließlich zur Beschreibung von Kristallformen, also der Lage von Kristallflächen im Raum. Erst mit der Etablierung des Konzepts der Translationsgitter durch Frankenheim und später Auguste Bravais wurde es sinnvoll, zwischen einem hexagonalen und einem rhomboedrischen Gitter zu unterscheiden.  1866 unterschied Bravais sieben Klassen von Symmetrie-Verbindungen („assemblages symétriques“) – nicht mehr anhand der Achsenverhältnisse, sondern nach den maximal kombinierbaren Drehachsen. Diese Einteilung entspricht genau den sieben modernen Kristallsystemen (in Klammern angegeben):  Dennoch blieb es bis ins 20. Jahrhundert üblich, das trigonale und das hexagonale Kristallsystem zu einem zusammenzufassen. Alle trigonalen und hexagonalen Kristalle lassen sich mit hexagonalen und ebenso mit rhomboedrischen Achsen beschreiben. Friedrich Klockmann lieferte in der 3. Auflage seines "Lehrbuchs der Mineralogie" (1903) den Nachweis, „dass man mit 6 Axenkreuzen bzw. 6 Krystallsystemen auszukommen vermag“ (S. vii). Er gab folgende Definition des Begriffs "Kristallsystem":  Bei der folgenden Herleitung unterschied er zwar sieben Achsensysteme, darunter das rhomboedrische und das hexagonale, erklärte dann aber:  Erst im späteren 20. Jahrhundert wurden die Konzepte strenger voneinander abgegrenzt, so dass es heute eine Unterscheidung zwischen Kristallsystem, Kristallfamilie und Gitter-System gibt, die sich letztlich nur durch die Unterteilung der trigonal/hexagonalen Systeme unterscheiden.

Kristallsysteme bieten ein symmetriebezogenes Klassifizierungsschema für kristalline Festkörper. In der Kristallographie werden Kristalle mit Hilfe des Kristallsystems dreidimensional klassifiziert. Es können sieben Kristallsysteme unterschieden werden, die sich jeweils auf das gleiche Achsenkreuz beziehen lassen, das den Kristallkörper im Mittelpunkt schneidet: "triklin", "monoklin", "orthorhombisch", "tetragonal", "trigonal", "hexagonal" und "kubisch". Maßgeblich für die Zuordnung einer kristallinen Substanz in eines der Systeme ist dabei die Symmetrie der Substanz, aus der sich wiederum bestimmte Anforderungen an die Länge der Achsen und die Winkel, unter denen sie sich schneiden, ergeben. Die Idee der Kristallsysteme geht zurück auf Christian Samuel Weiss (1780–1856).

In crystallography, the terms crystal system, crystal family, and lattice system each refer to one of several classes of space groups, lattices, point groups, or crystals. Informally, two crystals are in the same crystal system if they have similar symmetries, although there are many exceptions to this.


Wortgeschichte und -bedeutungen.

Das Wort "Summe" wurde im Mittelhochdeutschen von lateinisch "summa" entlehnt. "Summa" war bis in das 19. Jahrhundert neben "Summe" gebräuchlich und geht auf "summus" zurück, einen der lat. Superlative zu "superus" „oberhalb befindlich, der/die/das Höhere/Obere“, die folglich „der/die/das Höchste/Oberste“ bedeuten. „Das Oberste“ deshalb, weil die Römer die Summe in der obersten Zeile, also über den Summanden, zu notieren pflegten und nicht, wie heute üblich, „unterm Strich“.  In der Alltagssprache bezeichnet "Summe" einen Geldbetrag, unabhängig davon, ob er durch Addition zustande gekommen ist oder nicht.

Summe als Ergebnis und Darstellung einer Addition.

In dem mathematischen Term heißen die Zahlen 2 und 3 Summanden. Der gesamte Term formula_1 wird ebenso wie das Ergebnis 5 als die „Summe von 2 und 3“ bezeichnet.  Man kann eine Summe mit mehr als zwei Summanden bilden, so zum Beispiel formula_3. Eine häufige Konvention ist dabei, bei Linksklammerung die Klammern einfach wegzulassen, also formula_3 einfach mit formula_5 abzukürzen. Aufgrund der Assoziativität der Addition von natürlichen Zahlen spielt es hier übrigens für das Ergebnis keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Additionen auszuführen sind. So gilt: Mit dem Gleichheitszeichen wird dabei die Gleichheit der Ergebnisse der beiden unterschiedlichen Terme ausgedrückt.  Aufgrund des Kommutativgesetzes der Addition von natürlichen Zahlen ist auch die Reihenfolge der Summanden irrelevant, zum Beispiel gilt:  Wird formula_8-mal die gleiche Zahl formula_9 addiert, dann kann die Summe auch als Produkt formula_10 geschrieben werden.

Gewichtete Summe.

In einigen Fällen werden die einzelnen Summanden nicht einfach addiert, sondern zuvor noch mit einem Gewicht multipliziert:  Zum Beispiel:  In diesem Fall spricht man von einer gewichteten Summe. Teilt man die gewichtete Summe durch die Summe der Gewichte, erhält man das gewichtete arithmetische Mittel.

Summe einer Folge, Reihe.

Wenn eine Summe sehr viele Summanden hat, ist es zweckmäßig, eine abgekürzte Schreibweise zu vereinbaren. Die Summe der ersten 100 natürlichen Zahlen kann zum Beispiel als angegeben werden, denn es ist leicht zu erraten, welche Summanden durch die Auslassungspunkte ersetzt wurden.  So wie man in der elementaren Arithmetik von Zahlenrechnungen wie formula_14 zu Buchstabenrechnungen wie formula_15 übergeht, kann man z. B. auch die Summe von hundert ganz bestimmten Zahlen zur Summe einer beliebigen Anzahl beliebiger Zahlen verallgemeinern. Dazu wird zunächst eine Variable gewählt, zum Beispiel formula_8, die die Anzahl der Summanden bezeichnet. Im obigen Fall, der Summe der ersten einhundert natürlichen Zahlen, wäre formula_17. Da beliebig große formula_8 zugelassen sein sollen, ist es nicht möglich, alle formula_8 Summanden mit formula_8 verschiedenen Buchstaben zu bezeichnen. Stattdessen wird ein einzelner Buchstabe, z. B. formula_9, gewählt und um einen Index ergänzt. Dieser Index nimmt nacheinander die Werte formula_22 an. Die Summanden heißen dementsprechend formula_23. Sie bilden somit eine Zahlenfolge.  Wir können nun für beliebige natürliche Zahlen formula_8 die Summe der ersten formula_8 Glieder der Zahlenfolge als schreiben. Wenn man für formula_8 verschiedene Werte formula_22 einsetzt, bilden die formula_29 ihrerseits ebenfalls eine Folge. Eine solche Folge von Partialsummen über die Anfangsglieder einer Folge wird als Reihe bezeichnet.  "Beispiel:" Für die Folge der Quadratzahlen ist formula_30, formula_31, formula_32. Ganz allgemein gilt:  Die Reihe der Partialsummen dieser Folge beginnt mit formula_34, formula_35, formula_36. Eine Summationsformel besagt nun für beliebige formula_8:  Weitere Summationsformeln wie zum Beispiel "Der kleine Gauß"  finden sich in der Formelsammlung Arithmetik. Der Beweis solcher Formeln kann oft mittels vollständiger Induktion erfolgen.

Notation mit dem Summenzeichen.

Summen über endliche oder unendliche Folgen können statt mit Auslassungspunkten auch mit dem Summenzeichen notiert werden:  Das Summenzeichen besteht aus dem großen griechischen Buchstaben Σ (Sigma), gefolgt von "einem" Folgenglied, das durch einen zuvor nicht benutzten Index (hier formula_41) bezeichnet wird. Dieser Index wird oft als Laufindex oder Summationsvariable bzw. "Lauf- oder Zählvariable" bezeichnet. Hierfür wird oft einer der Buchstaben formula_42 verwendet. Wenn nicht eindeutig hervorgeht, welche Variable die Zählvariable ist, muss dies im Text angemerkt werden.  Welche Werte die Laufvariable annehmen kann, wird an der Unterseite, gegebenenfalls auch der Oberseite des Zeichens Σ angezeigt. Es gibt dafür zwei Möglichkeiten:  Diese Angaben können reduziert oder weggelassen werden, wenn angenommen werden kann, dass der Leser sie aus dem Kontext heraus zu ergänzen vermag. Hiervon wird in bestimmten Zusammenhängen ausführlich Gebrauch gemacht: In der Tensorrechnung vereinbart man häufig die einsteinsche Summenkonvention, der zufolge sogar das Summationszeichen weggelassen werden kann, da aus dem Kontext klar ist, dass über alle doppelt vorkommenden Indizes zu summieren ist. Hier eine Animation zur Sigma-Schreibweise:

Formale Definition.

Sei formula_48 eine (Index-)Menge, formula_49 ein kommutatives Monoid. Für jedes formula_50 sei ein formula_51 gegeben. Dann kann formula_52 zumindest für endliche Indexmengen durch Rekursion definiert werden: Man setzt und ansonsten nach Wahl eines beliebigen Elementes formula_55. Kommutativität und Assoziativität der Addition in formula_49 garantieren, dass dies wohldefiniert ist.  Die Schreibweise formula_57 mit formula_58 ist in diesem Sinne nur eine Abkürzung für formula_59 mit formula_60.  Falls formula_48 unendlich ist, ist formula_62 allgemein nur definiert, falls formula_63 für fast alle formula_64 gilt. In diesem Fall setzt man  Rechts steht nach Voraussetzung eine endliche Indexmenge, also eine wie oben definierte Summe. Sind unendlich viele formula_66 ungleich 0, dann handelt es sich trotz gleichartiger Schreibweise nicht mehr um eine Summe, sondern eine Reihe (siehe unten).

Klammerkonventionen und Rechenregeln.

Wird das Folgeglied als Summe (oder Differenz) mitgeteilt, so muss es in Klammern geschrieben werden:  Wird das Folgeglied als Produkt (oder Quotient) mitgeteilt, so ist die Klammer überflüssig:  Vorsicht: Allgemein gilt: formula_69

Besondere Summen.

Für formula_70 besteht die Summe aus einem einzigen Summanden formula_71:  Für formula_73 hat man eine sogenannte leere Summe, die gleich 0 ist, da die Indexmenge formula_74 leer ist:  Ist das allgemeine Folgeglied konstant (genauer: unabhängig von der Laufvariablen formula_41), kann die Summe zu einem einfachen Produkt umgeschrieben werden:

Doppelsummen.

Auch über Summen kann wieder summiert werden. Das ist insbesondere dann sinnvoll, wenn die erste, die „innere“ Summe, einen Index enthält, der als "Laufindex" für die „äußere“ Summe verwendet werden kann. Man schreibt zum Beispiel:  Dabei gilt die Regel: formula_81  In der mathematischen Physik gilt für Doppelsummen zudem folgende Konvention:  Ein Apostroph am Summenzeichen besagt, dass bei der Summation Summanden auszulassen sind, für die die beiden Laufvariablen übereinstimmen:

Reihe.

Wenn unendlich viele Ausdrücke summiert werden, also zum Beispiel mit (abzählbar) unendlich vielen Summanden ungleich null, müssen Methoden der Analysis angewendet werden, um den entsprechenden Grenzwert zu finden, falls er existiert. Eine solche Summe wird "unendliche Reihe" genannt. Als Obergrenze schreibt man das Symbol formula_85 für Unendlichkeit.  Wichtige Unterschiede zwischen Reihen und echten Summen sind beispielsweise:  Es ist aber anzumerken, dass nicht jede Summe, die formula_85 als Obergrenze besitzt, eine unendliche Summe sein muss. Zum Beispiel hat die Summe  für Primzahlen formula_91 und mit der Ganzzahl-Funktion formula_92 zwar unendlich viele Summanden, aber nur endlich viele sind ungleich null. (Diese Summe gibt an, wie oft der Faktor formula_91 in der Primfaktorzerlegung von formula_94 vorkommt.)

Eine Summe bezeichnet in der Mathematik das Ergebnis einer Addition sowie auch die Darstellung der Addition. Im einfachsten Fall ist eine Summe also eine Zahl, die durch Zusammenzählen zweier oder mehrerer Zahlen entsteht. Dieser Begriff besitzt viele Verallgemeinerungen. So sprach man früher beispielsweise von summierbaren Funktionen und meinte damit integrierbare Funktionen.

In mathematics, summation is the addition of a sequence of any kind of numbers, called "addends" or "summands"; the result is their "sum" or "total". Beside numbers, other types of values can be summed as well: functions, vectors, matrices, polynomials and, in general, elements of any type of mathematical objects on which an operation denoted "+" is defined.