Histoire.

On pense que la Stanegate fut probablement tracée sous le gouvernement d’Agricola, comme route stratégique à l’époque où la frontière était beaucoup plus loin au Nord, entre les estuaires de la Forth et de la Clyde en actuelle Écosse. Ce n’est que plus tard, lorsque les Romains se retirèrent de ces futures régions écossaises, que la Stanegate devint elle-même un élément d’une nouvelle frontière entre Rome et les territoires indigènes demeurés libres, jusqu'à la création du Mur d'Hadrien un peu plus au Nord, c'est-à-dire sur une assez courte période correspondant à la seconde partie du règne de Trajan et au tout début du règne d'Hadrien.  Un indice de cette situation est que la Stanegate ne fut au début gardée que par des forts distants d’un jour de marche entre eux (14 miles romains soit ), intervalles qui suffisaient à assurer la sécurité d’une route certes stratégique mais non frontalière. Ainsi il a été démontré que les forts de "Vindolanda" (Chesterholm) et de Nether Denton furent édifiés à peu près en même temps que "Corstopitum" et "Luguvalium", dans les années 70 et 80 de notre ère.  Une fois le retrait d’Écosse définitif, aux environs de 105 de notre ère, la ligne formée par la Stanegate, devenue nouvelle frontière, nécessita un plus grand nombre de forts, à des intervalles plus réduits d’une demi-journée de marche seulement, afin d’en assurer la garde. Ces nouveaux forts furent Newbrough, "Magnis" et Brapton Old Church. Il a été suggéré qu’une série de petits fortins furent également bâtis entre les forts plus importants. Ce pourrait être le cas de ceux de Haltwhistle Burn et de Throp, mais il n’y pas suffisamment d’éléments pour confirmer une telle série de fortins intermédiaires.

Structure.

À la sortie de Corstopitum, la Stanegate mesure de large avec des caniveaux d’écoulement couverts en pierre et une fondation de de pavés recouverts de de gravier.

Itinéraire.

La Stanegate commençait à l’Est de "Corstopitum", où une importante route, la "Dere Street", s’enfonçait vers l’Écosse actuelle. À l’Ouest de "Corstopitum", la Stanegate suivait la rive nord de la Tyne jusqu’à atteindre un de ses affluents, la North Tyne, près du village de Wall. Un pont romain doit avoir permis d’y franchir cette rivière pour passer à l’Ouest, dépassant le village moderne de Fourstones pour arriver à Newbrough, site du premier fort, situé à de Corbridge et précédant de le prochain fort de "Vindolanda". À Newbrough, il s’agit d’un petit fort occupant moins d’un acre situé maintenant dans le cimetière de l’église.  De Newbrough, la Stanegate continuait vers l’Ouest parallèle à la South Tyne jusqu’à ce qu’elle rencontre le célèbre fort de "Vindolanda" à Chesterholm. De là la Stanegate croise la Route Militaire d'époque moderne et passe juste au sud du fortin de Haltwhistle Burn.  Continuant toujours plus à l’Ouest, et toujours le long de la South Tyne, la Stanegate atteint après "Vindolanda" le fort de Carvoran / "Magnis". Là nous sommes à de "Corstopitum". C’est un point de croisement important puisqu’ici la Stanegate croise la "Maiden Way", autre voie romaine partie du sud depuis "Epiacum" (Whitley Castle) et se dirigeant au nord, comme la "Dere Street".  Dépassant "Magnis", la Stanegate tourne en direction du Sud-Ouest pour suivre la rivière Irthing, et arrive jusqu’à Brampton. Elle atteint le fortin de Castle Hill Boothby et puis, à de Brampton, elle débouche sur le fort de Brampton Old Church, à de Nether Denton et à depuis "Corstopitum". Ce nouveau fort tire son nom de la vieille église dédiée à St Martin et son cimetière qui en recouvrent le site.  Depuis Brampton Old Church, la route traverse la rivière Irthing et continue via Irthington et High Crosby. Elle traverse ensuite la rivière Eden pour atteindre enfin le fort de "Luguvalium" (Carlisle) après avoir parcouru depuis Brampton Old Church, et de distance totale depuis son point de départ de "Corstopitum".  Il a été suggéré que la Stanegate aurait pu continuer encore à l’Ouest sur jusqu’au fort de Kirkbride sur l’estuaire de la Solway. Il y a là-bas en effet un vaste camp de 5 acres () mais nous manquons d’éléments pour l’associer au complexe de la Stanegate. De la même manière, on s’est posé la même question à l’Est, au-delà de "Corstopitum" jusqu’à "Pons Aelius", l’actuelle Newcastle upon Tyne, en se heurtant également au même manque de preuves.

Histoire post-romaine de la route.

Une grande partie de la Stanegate continua à servir à travers la Carelgate (ou Route de Carlisle), une route médiévale reliant le marché de Corbridge et rejoignant la Stanegate à l’ouest de "Corstopitum", mais la Carelgate se détériora au point de devenir inutilisables par les chariots.  En 1751-1752, une nouvelle route militaire fut construite par le Général George Wade dans le sillage du soulèvement jacobite de 1746.

La Stanegate, ou « route de pierre » en vieil anglais, était une importante voie romaine tracée à travers l’actuelle Angleterre du Nord. Elle reliait deux forts qui gardaient des points de passage de rivière stratégiques : "Corstopitum" (Corbridge) à l’Est, situé au croisement avec la "Dere Street", une autre voie romaine, et "Luguvalium" (Carlisle) à l’Ouest.

The Stanegate (meaning "stone gate" or "stone road" in Northumbrian dialect ), was an important Roman road built in what is now northern England. It linked two forts that guarded important river crossings: Corstopitum (Corbridge) on the River Tyne in the east, and situated on Dere Street, and Luguvalium (Carlisle) on the River Eden in the west. The Stanegate ran through the natural gap formed by the valleys of the River Tyne in Northumberland and the River Irthing in Cumbria. It predated Hadrian's Wall by several decades; the Wall would later follow a similar route, slightly to the north.


Traitement social.

Actuellement, dans les pays développés, les enfants orphelins qui ne sont pas recueillis par leur famille élargie sont placés dans une structure d'adoption qui les soigne, les éduque généralement, puis ils sont adoptés par une famille permanente aussitôt que possible.  Dans le passé et encore dans une grande partie du monde, les orphelins vivent souvent sans habitat, ils deviennent des sans-abris, les « gamins des rues », ou sont entretenus dans des hospices, des orphelinats, ou par des congrégations ; la plupart des individus « modernes » estiment que c'est une erreur, car les mineurs y reçoivent des soins insuffisants, ou même dangereux, en particulier dans des hospices où les enfants sont mélangés avec des adultes sans foyer et des malades mentaux (parfois dangereux) et où les maladies mentales ne sont pas traitées. Dans quelques nations confrontées à la guerre et au SIDA, les parents d'une proportion significative de la jeune population sont décédés, Tanzanie, Ouganda ou Botswana, causant une crise humanitaire majeure. En République populaire de Chine, les filles sont parfois abandonnées, à cause de la politique de natalité, créant un nombre significatif d'orphelines.  Selon des études, on retrouve souvent des orphelins souffrant de problèmes d'identité, voire pour les enfants très jeunes du syndrome de Spitz.

Charité et aide aux orphelins.

SOS Villages d'Enfants est la plus grande organisation mondiale non gouvernementale, ONG, sans vocation religieuse, d'assistance sociale dont la mission est de fournir un foyer stable et des familles affectueuses pour les enfants abandonnés ou qui ont perdu leurs parents dans le monde entier.  Avant l'établissement d'une action sociale de l'État pour les orphelins dans les pays développés, beaucoup d'organisation de charités telles que les foyers du (maintenant appelés « Barnardo's ») ont existé pour prendre soin des orphelins vivant dans la pauvreté.

En France.

Le nombre d'enfants endeuillés d'un parent ("ou orphelin exclusif") ou de leurs deux parents ("ou orphelin absolu") n'a fait l'objet d'aucun dénombrement direct par recensement, depuis 1947. En 2003, deux chercheurs de l'Institut national d'études démographiques (INED) s'étonnèrent de ce manque et calculèrent une estimation.  Sur la base de cette estimation statistique, la France compterait à ce jour : orphelins de moins de et de moins de. Cette ignorance des taux d'orphelins se répète dans tous les pays développés. Pourtant, étant donné la surmortalité masculine caractéristique de la France, l'Hexagone connaîtrait des chiffres plus importants que les autres pays européens. Les deux chercheurs de l'INED s'étonnèrent de leurs résultats mais leur étude rencontra le silence qui entoure la problématique des orphelins.  Dans les années 2000, ont été agrémentés pour un total de, pour adoptés ( de l’État et étrangers).  En 2011, l'UNAF et la FAVEC ont dirigé une enquête nationale « La parole aux orphelins », en interrogeant près de de tous âges, devenues orphelines dans l'enfance.

Pupille de la Nation.

La France reconnaît les orphelins de France, victimes des deux guerres mondiales particulièrement, sous le terme de pupille de la Nation quand ils sont mineurs. Ils sont accompagnés par l'Office national des anciens combattants et victimes de guerre (ONAC). À l'issue du premier conflit mondial ils sont. Pour le second, les pupilles de la nation sont à l'issue de la guerre.  Une polémique s'est instaurée à la suite de l'indemnisation des enfants orphelins juifs (Ordonnance du premier ministre en 2000) et des enfants orphelins de déportés politiques et de résistants, à la condition expresse que ces derniers n'aient pas eu « les armes à la main » au moment de leur exécution (Ordonnance du premier ministre en 2004) : les autres orphelins de guerre n'ayant pas de droit à cette indemnisation.  Actuellement, une partie des orphelins de guerre de la Seconde Guerre mondiale n'a pas droit à cette indemnisation.  Du fait des besoins immenses d'accueillir ces enfants orphelins de guerre, il se crée des maisons d'enfants au cours des deux guerres. Certaines existent encore, naturellement leur mission a changé aujourd'hui. Elles accueillent des enfants en difficulté sociale, pupilles de l'État ou non

Pupille de l'État.

Les Pupilles de l'État ne sont pas tous orphelins ou abandonnés, ce sont les enfants confiés (placés) à l'ASE (Aide sociale à l'enfance). Jusque dans les années 1980, on disait familièrement "enfants de l'assistance" ou "de la DDASS" (assistance publique).  Le tour ou (tour d'abandon) est utilisé en France jusqu'à la fin du, c'était le seul moyen de lutter contre l'infanticide et les faiseuses d'ange sous l'ancien régime. La naissance sous X et la création de centres (foyers) maternels, permet à la mère d'accoucher dans des conditions sanitaires et humaines plus acceptables. Aujourd'hui les personnes nées sous X souhaitent connaître leur origine pour se construire d'où un assouplissement de la législation.

Médias.

Les personnages d'orphelins sont extrêmement communs en tant que personnages littéraires, spécialement dans la littérature enfantine et dans le fantastique. L'absence de parents permettent aux personnages d'avoir des vies plus intéressantes et plus aventureuses, en les libérant des obligations familiales et de leurs contrôles, et les privant de vies plus banales. Cela crée des personnages romanesques réservé, introspectifs parfois repliés sur eux-mêmes, en quête d'affection. Les orphelins peuvent métaphoriser la quête identitaire à travers la recherche de leurs racines.  Les parents peuvent également être des alliés et des sources d'aide pour les enfants, et leur disparition constitue une épreuve difficile pour le personnage. Les parents, en outre, peuvent être non pertinents à l'histoire qu'un auteur essaye de développer, et leur absence ou disparition libère l'auteur de la nécessité de dépeindre cette relation ; et, si la relation parent-enfant est importante, la suppression de l'autre parent empêche de compliquer le rapport nécessaire à son œuvre. Toutes ces caractéristiques font des orphelins des caractères attrayants pour les auteurs.  Beaucoup d'orphelins sont également des enfants abandonnés, et beaucoup d'entre eux sont des orphelins « efficaces », et leur recherche peut inclure des tentatives de trouver leurs parents, ou d'autres parents. Même si les parents sont morts, l'enfant abandonné, comme dans "Oliver Twist", "Harry Potter", "Cosette" ou encore Yang Guo (楊過), personnage du Retour du héros chasseur d’aigles (神鵰俠侶), roman réalisé par Jin Yong, auteur chinois, de romans de cape et d'épée, peut apprendre qui ils étaient.

Un orphelin (du grec ancien / ) ou une orpheline est un enfant (habituellement mineur) dont le père et la mère sont décédés, ou dont l'un des deux parents est décédé, ou par extension, disparu(s) définitivement. Ce terme est également et improprement utilisé pour désigner des jeunes adultes au moment du décès des parents.

An orphan (from the ) is a child whose parents have died, are unknown, or have permanently abandoned them. In common usage, only a child who has lost both parents due to death is called an orphan. When referring to animals, only the mother's condition is usually relevant (i.e. if the female parent has gone, the offspring is an orphan, regardless of the father's condition).


Les pierres étranges du lac Tai.

On y produit de nombreuses pierres ornementales de jardin, en calcaire. Ces "pierres étranges" (), "pierres laides" () ou "pierres de rêves" (), sont, pour celles qui proviennent du lac Tai, fortement creusées de cavités en formes d'« œil de dragon » et considérées par les anciens Chinois comme véhicules de l'énergie vitale qui anime l'univers. Ces trous sont creusés naturellement et éventuellement par les artisans qui plongent, ensuite, les pierres dans les eaux du lac pour leur donner une patine régulière. Les rochers, comme les montagnes représentent la force créatrice du monde. Et il faut considérer chaque jardin de lettré comme une image du monde.  On peut en constater la présence dans l'art chinois et en particulier dans la peinture chinoise. On évoquera à ce propos le peintre de la dynastie Yuan, Wang Meng (~1308 — ~1385) et sa peinture « "Maison du bois Juqu" » () où ces rochers apparaissent significativement le long d'un cours d'eau.  Par extension, « pierre du Taihu » était, en Chine ancienne, devenu un nom commun pour désigner ces pierres ornementales de jardin chinois. Celles de Kunshan, de Yixing, près du lac Taihu, et des environs de Jinping, près de Nankin, étaient recherchées, mais aussi celles de Xuan, (Anhui), pour leur blancheur qui rappelait la neige.

Dans la fiction.

Dans le roman écologique "Les eaux fourbes du lac Tai" de Qiu Xiaolong, l'inspecteur Chen Cao s'intéresse à un meurtre lié à la pollution du lac.

Le lac Tai () est un grand lac situé à proximité du delta du Yangzi Jiang, majoritairement dans la province du Jiangsu et à la limite avec celle du Zhejiang. Sa surface est de km2 et sa profondeur moyenne de seulement deux mètres, ce qui en fait le troisième plus grand lac de Chine, après le lac Poyang et le lac Dongting.

Taihu (), also known as Lake Tai or Lake Taihu, is a lake in the Yangtze Delta and one of the largest freshwater lakes in China. The lake lies in Jiangsu province and significant part of its southern shore forms its border with Zhejiang. With an area of and an average depth of, it is the third-largest freshwater lake entirely in China, after Poyang and Dongting. The lake holds about 90 islands, ranging in size from a few square meters to several square kilometers.


Construction.

L'Iowa est le navire de tête de sa classe de modèles de « cuirassés rapides » élaborée en 1938 par la Preliminary Design Branch au Bureau of Construction and Repair.  Il est lancé le en présence de la première dame Eleanor Roosevelt et est baptisé par Ilo Wallace née en Iowa (épouse du vice-président Henry Wallace), et mis en service le avec le capitaine John L. McCrea aux commandes. Il est le premier navire de sa classe à être commandé par les États-Unis.  L'armement principal de l'USS Iowa consista en 9 canons Mark 7 d'un calibre de 406 mm, pouvant tirer un obus de 1,200 kg anti-blindage jusqu'à 37 km de distance.  Son armement secondaire consistait en 20 canons doubles de 127 mm, qui pouvaient tirer sur des cibles pouvant être à 22 km de distance.  Avec l'apparition de la puissance aérienne et le besoin de gagner en maintenant une supériorité aérienne vinrent le besoin grandissant de protéger la flotte de porte-avions alliés. À cette fin, l'Iowa fut équipé d'un groupement de canons anti-aérien d'Oerlikon de 20 mm et de Bofors de 40 mm afin de protéger les porte-avions alliés des attaques aériennes ennemies.

Histoire opérationnelle.

Après la Seconde Guerre mondiale (1945-1949).

"L'Iowa" arriva à Seattle, (État de Washington), le, puis navigua vers Long Beach, (Californie), où il participe à des opérations de formation jusqu'à son retour au Japon en 1946 pour servir de navire amiral à la la cinquième flotte.  Il est revenu aux États-Unis le et a repris son rôle en tant que navire d'entrainement. Au cours de sa routine habituelle de manœuvres et d'exercices, il a également embarqué des éléments de la Réserve navale et des aspirants pour leur formation.  En octobre, l"Iowa" connut une période de remise en état et de modernisation, qui a abouti à l'ajout du radar SK-2 et à la perte des points d'emport des canons de calibre 20 mm et 40 mm.  En juillet, après les expériences atomiques à Bikini, le vieux cuirassé Nevada fut sélectionné comme cible pour un tir à balles réelles devant être mené par l"Iowa" et d'autres actifs maritimes et aériens de la Navy. L'exercice commence avec des tirs provenant de contre-torpilleur, croiseur lourd et de l"Iowa", mais cela ne suffit pas à détruire le navire. Aussi le Nevada fut détruit par une torpille aérienne le touchant en plein milieu de la coque, coulant ainsi à 105 km de Pearl Harbor le.  En septembre, comme convenu sur la réduction des forces armées d'après guerre concernant la fin de la Seconde Guerre mondiale, l"'Iowa" sera désengagé à San Francisco et officiellement désarmé dans les flottes de réserve de la marine américaine,le.

Récompenses.

Il a reçu neuf "battle stars" pour son service pendant la Seconde Guerre mondiale et la Guerre de Corée.  Le cuirassé a également été décoré de l'American Campaign Medal, de la World War II Victory Medal, de la United Nations Korea Medal, de la Korean Service Medal, de la National Defense Service Medal, de la Navy Occupation Service Medal, de l'Armed Forces Expeditionary Medal et de la Philippine Liberation Medal.

L'USS "Iowa" (BB-61) est le bâtiment tête de série de sa classe de cuirassés et le quatrième dans l'United States Navy à être nommé en l'honneur du État. En raison de l'annulation de la construction des cuirassés de la classe Montana, l"'Iowa" est le dernier bâtiment tête de série d'une classe de cuirassés des États-Unis. Il est par ailleurs le seul bâtiment de sa classe à avoir servi dans l'océan Atlantique au cours de la Seconde Guerre mondiale. L'USS "Iowa" est actuellement mouillé au port de Los Angeles en tant que navire musée.

USS "Iowa" (BB-61) is a retired battleship, the lead ship of her class, and the fourth in the United States Navy to be named after the state of Iowa. Owing to the cancellation of the s, "Iowa" is the last lead ship of any class of United States battleships and was the only ship of her class to have served in the Atlantic Ocean during World War II.


Étymologie.

"Quercus" désigne le « chêne » en latin (cf. italien "quercia" « chêne ») et "ilex", « le chêne vert ou yeuse » en latin. Le terme "yeuse" ([]) est issu de l'occitan "euse" qui désigne le « chêne vert », lui-même issu d’"elex", variante d’"ilex".  La racine latine "quercus" remonte à l'indo-européen "*perkwus", mot lié sur un plan mythologique au nom de l'orage (cf. lituanien "Perkunias" « dieu de l'orage »). Le même étymon indo-européen est aussi à l'origine des termes germaniques : vieux haut allemand "forha" > allemand "Föhre", sorte de sapin, anglo-saxon "furh" « sapin » (l'anglais moderne "fir" « sapin » est un emprunt au vieux scandinave "fyra") et gothique "fairɧus" « monde » (c'est-à-dire « arbre du monde » dans la mythologie germanique cf. Yggdrasil). L'indo-européen "*perkwus" explique aussi le nom de la forêt hercynienne ("Hercynia silva") par dérivation lexicale "*perkwu-nia" > "*perkunia" > "hercunia". La chute de [p] initial de "*perkunia" > "[h]ercunia" est propre au celtique : le radical "erc-" « chêne » étant d'ailleurs attesté en gaulois, en toponymie et en anthroponymie, ex. : "Erco-lana" « plaine des chênes » et Argonne de "*Arcuna", variante de "*Ercuna".

Caractères biologiques.

C'est un arbre de 20 à de haut. Selon la classification de Raunkier, il fait partie des Phanérophytes (mésophanérophytes). Son feuillage est persistant. Il a une longévité de 200 à. Il fait partie des plantes monoïques. La floraison s'étend d'avril à mai. Il est pollinisé spécifiquement par les insectes (entomophilie) mais les fruits sont dispersés par de nombreux autres animaux (zoochorie).  C'est une espèce postpionnière, notamment utilisée pour stabiliser les dunes du littoral du Golfe de Gascogne (lande mésophile).

Distribution.

Le chêne vert est une espèce emblématique du Midi de la France et de la Corse, où il est avec le pin d'Alep et le genévrier l'une des espèces dominantes de la garrigue. De même, il se trouve notamment dans la plupart des autres secteurs du Bassin méditerranéen-Macaronésie : Péninsule Ibérique, Italie, Croatie, Grèce, Maghreb...  Il peut cependant s'acclimater à d'autres biomes lui convenant. C'est ainsi qu'il est présent sur la majeure partie du territoire de la France-métropolitaine ; à l'exception notamment du Centre Val-de-Loire (Eure-et-Loir excepté), des Hauts-de-France et du Grand-Est (majeure partie de la Bourgogne et Alsace exceptées). En outre, il est considéré comme une espèce envahissante dans les Îles Britanniques.

Variétés et sous-espèces.

"Quercus ilex" donne lieu à un polymorphisme important.  Les anciennes appellations "Quercus rotundifolia" Lam. et "Quercus ballota" Desf. sont désormais considérées comme une sous-espèce nommée Quercus ilex subsp. ballota et composée de plusieurs variétés :  Cette sous-espèce est communément appelée « Chêne vert à glands doux » et est cultivé dans le bassin méditerranéen, en particulier en Algérie. Elle a les mêmes exigences climatiques que le Chêne vert « standard » et ses fruits, au goût comparable aux châtaignes, sont d'autant plus doux que le climat est chaud.

Trufficulture.

Avec le Chêne pubescent et le Chêne rouvre, le Chêne vert est une des principales espèces de Chêne utilisée pour la trufficulture.

Reboisement.

Compte tenu de sa bonne résistance aux incendies, le Chêne vert est avec le Chêne pubescent une des principales espèces de Chêne utilisées pour les reboisements artificiels.  Pour le semis de reboisement, mieux vaut cueillir les glands plutôt que les récolter au sol. Commencer la cueillette des glands de teinte brune 15 jours après que les premiers glands (généralement tarés) sont tombés au sol. Ne pas conserver les glands en sacs ou autre contenant en plastique. Préférer des sacs de jute ou contenant en bois ajourées (cagettes). Les glands se conservent au frais et à l'humidité dans du sable pendant deux mois. Pour une conservation plus longue, on peut placer un sac perforé (pas de sac fermé hermétiquement) de glands mélangés à du sable au réfrigérateur entre 1 et 4 °C.  L'idéal est de planter dès la récolte dans un trou de 30 cm ameubli en tous sens. Pour la plantation en masse, on peut utiliser une canne à semer. Le gland est à semer entre 3 et 5 cm de profondeur. Pour protéger le semis des prédateurs (rats, sangliers), on peut placer par-dessus le gland un carré de grillage fin de 20 cm de côté à mailles de 1 cm. Celui-ci pourra être laissé en place et se dégradera avec le temps.

Dans la littérature.

Dans le roman "Le Baron perché" d'Italo Calvino, le baron Côme Laverse du Rondeau grimpe dans une yeuse et reste toute sa vie dans les arbres sans plus mettre pied à terre, afin de prouver à ses contemporains le vrai sens de la liberté et de l'intelligence.

Croyances.

Dans de très nombreuses cultures, le chêne vert représente la force.  Dans les pays catalans, cela se traduit par différentes traditions. Dans la région de Berga, on faisait passer les enfants sous les branches d'un chêne vert afin qu'il leur transmette sa force vitale. En Roussillon, on faisait de même, mais pour les protéger du mauvais œil. Enfin, dans les Albères, existait une recette pour être heureux en affaires : après avoir cueilli sept glands un dimanche, les avoir fait griller et réduit en poudre, on versait le tout dans une poche en soie jaune que l'on devait alors garder sur soi.

Le Chêne vert ou Yeuse (Quercus ilex ) est une espèce d'arbres à feuillage persistant de la famille des Fagacées, présent sous forme de bois clairs et garrigues. Il est parfois appelé Chêne faux houx, allusion au fait que ses feuilles ressemblent à celles du houx ("Ilex aquifolium" L., 1753).

Quercus ilex, the evergreen oak, holly oak or holm oak, is a large evergreen oak native to the Mediterranean region. It takes its name from holm, an ancient name for holly. It is a member of the "Cerris" section of the genus, with acorns that mature in a single summer.


Morphologie commune.

Taille petite à moyenne (inférieure à ) plus faible que celle des Ichneumonidae, parents proches, de couleur noire, marron ou orange (parfois avec taches rouges),. Il existe 45 sous-familles dont voici une liste des principales : Doryctinae, Histeromerinae, Braconinae, Rogadinae, Opiinae, Alysiinae, Gnatodoninae, Ichneutinae, Miracinae, Acoeliinae, Helconinae, Cenocoeliinae, Blacinae, Euphorinae, Homolobinae, Sigalphinae, Aghatidinae, Macrocentrinae, Orgilinae, Cheloninae, Neoneurinae, Microgasterinae...

Biologie.

Les Braconidae sont des endoparasitoïdes ou des ectoparasitoïdes d'insectes divers, on citera pour quelques grands ordres, les sous-familles suivantes :  Certains groupes sont par ailleurs parasitoïdes d'aphides, d'hétéroptères ou d'embiidines. La plupart tuent leurs hôtes, mais quelques espèces les rendent seulement stériles. Leur fécondité est élevée.  Parmi les genres les plus importants, on citera : "Ademon", "Aphanta", "Asobara", "Bracon", "Chaenusa", "Chorebidea", "Chorebidella", "Chorebus", "Dacnusa", "Microgaster", "Opius", "Phaenocarpa", "Psenobolus".

Description et biologie des principales sous-familles.

Sous-famille des Alysiinae.

Tribu : Dacnusinii Ils sont tous endoparasitoïdes larvaires solitaires de Diptères cyclorraphes. Beaucoup sont solitaires, mais les "Aphaereta" sont grégaires.  La tribu des Dacnusinii parasite quasi exclusivement des Agromyzidae et sont assez spécifiques. "Dacnusa siberica" est utilisé en lutte biologique en Europe en cultures sous serre. La tribu des Alysiines parasite 25 familles différentes de Cyclorraphes : les "Phaenocarpa" parasitent des Anthomyiidae et des Scathophagidae. Les "Alloea" parasitent des Lonchopterides et les "Gnathopleura" parasitent les Muscoides calyptères.

Sous-famille des Agathidinae.

Ce sont des parasites solitaires de Lépidoptères.

Sous-famille des Braconinae.

Ce sont les plus grands des Braconidae. Leurs mandibules laissent entre elles une ouverture ronde caractéristique. Ce sont surtout des parasitoïdes solitaires ou grégaires de Lépidoptères, Coléoptères (Curculionidae), parfois de Diptères (Trypetidae) et de Symphytes.

Sous-famille des Cheloninae.

Ce sont des endoparasites ovolarvaires de Lépidoptères, le plus souvent solitaires. "Chelonus taxanus" se développe aux dépens de divers Noctuidae. "Phanerotoma saussurei" parasite le borer blanc du riz, "Maliarpha separatella" à Madagascar.

Sous-famille des Doryctinae.

Ils sont parasites de Coléoptères et de Lépidoptères foreurs ("Rhaconotus").  Essentiellement représenté par le genre "Meteorus". Endoparasites de Lépidoptères ou de Coléoptères (genres "Meteorus", "Zele")

Sous-famille des Helconinae.

Les cocons sont suspendus au végétal.  Utilisation en lutte biologique : "Habrobracon gelechiae" est une espèce utilisée dans la lutte contre la teigne de la pomme de terre. "Stenobracon nicevillei" et "S. deesae" ont été introduits à Madagascar en 1965 depuis l'Inde pour lutter contre les borers de la canne et du maïs. Ces Braconidae n'ont pas pu être multipliés en masse. Des lâchers réduits ont été faits mais sans succès apparent.

Sous-famille des Microgastrinae.

C'est une sous-famille très importante par son nombre. 2 500 espèces décrites.  Il existe 4 tribus : Apantelini, Microplitini, Cotesinii et Microgastrini Ils sont endoparasitoïdes solitaires ou grégaire de larves de Lépidoptères. Ils ont parfois un cocon collectif. "Apanteles glomeratus" parasite "Pieris brassicae" à raison de 150 larves par chenille.  "Mirax" (Miracinae), "Mesocoelus".  Utilisation en lutte biologique : "Apanteles flavipes" a été importé depuis l'île Maurice à Madagascar en 1955 puis en 1961 pour lutter contre "Chilo sacchariphagus" sur la canne à sucre. Il s'est progressivement implanté dans le nord du pays. "Apanteles sesamiae" est présent dans toute l'Afrique intertropicale où il parasite la plupart des borers de graminées. Il a été libéré à Madagascar en 1955, sans succès, puis en 1968 à partir d'une souche de l'Ouganda où il s'est acclimaté depuis. Ce braconide affectionne les lieux à hygrométrie élevée.

Sous-famille des Rogadinae.

Elle est riche de plus de 800 espèces réparties en 90 genres.  Cette sous-famille est ectoparasites de larves de Lépidoptères, Coléoptères, Diptères et de Symphytes.  Il n'y a pas de cocon : la chenille momifiée héberge le parasite jusqu'à l'état adulte.

Sous-famille des Opiinae.

C'est une famille de transition avec les cyclostomes.  Ce sont tous des endoparasitoïdes solitaires de larves de Diptères cyclorraphes, souvent des Agromyzidae, Drosophilidae, Tephritidae  Utilisation en lutte biologique : "Psyttalia concolor", "Opius longicaudatus" et "O. oophilus" ont été lâchés en 1962 à Madagascar pour lutter contre "Ceratitis malagassi" en verger, sans succès apparent.

Les Braconidés, ou Braconidae, appelés aussi braconides, sont une famille d'insectes entomophages de l'ordre des Hyménoptères (microguèpes), du sous-ordre des Apocrites, de l'infra-ordre des Térébrants. Avec plus de espèces décrites, réparties dans 45 sous-familles et environ genres, il s'agit d'une des plus riches familles d'insectes, au sein de laquelle de nombreuses espèces restent encore à découvrir.

The Braconidae are a family of parasitoid wasps. After the closely related Ichneumonidae, braconids make up the second-largest family in the order Hymenoptera, with about 17,000 recognized species and many thousands more undescribed. One analysis estimated a total between 30,000 and 50,000, and another provided a narrower estimate between 42,000 and 43,000 species.


Préambule.

Énoncés.

Dans tout le reste de l'article, "E" désigne un espace de Banach, Ω un ouvert de R×"E" et "f" une fonction continue de Ω dans "E". L'objectif est d'étudier l'équation différentielle du premier ordre suivante : formula_1  avec la "condition de Cauchy" "C" : "x"("t") = "x", où le couple ("t", "x") est un élément de Ω. (On ne se préoccupe que des équations différentielles d'ordre 1 parce que celles d'ordre "n "s'y ramènent.) On remarque immédiatement que si "f" est une fonction de classe C, les solutions sont de classe C.  Il existe plusieurs manières d'exprimer le théorème de Cauchy-Lipschitz, dont la forme suivante :  On déduit de ce théorème les corollaires suivants :  Lorsque l'ouvert Ω est un produit "I "× "E", où "I "est un intervalle ouvert de R, le théorème de Cauchy-Lipschitz global apporte un complément :  L'expression "théorème de Cauchy-Lipschitz" est aussi utilisée pour désigner d'autres résultats plus évolués. Il est possible de considérer non pas seulement la fonction solution "s" mais aussi la fonction qui au couple ("x", "t") associe l'image de "t" par la solution égale à "x" à un instant initial "t". On obtient une fonction appelée flot. Si la fonction "f" est de classe C, le flot l'est aussi. Il est aussi possible d'étudier la régularité des solutions si la fonction "f" dépend d'un paramètre.  D'autres résultats, qui ne portent pas le nom de "théorème de Cauchy-Lipschitz" sont présentés dans le paragraphe : "Généralisations".

Approche intuitive.

L'idée à la base du théorème est la suivante : Certaines équations différentielles possèdent des solutions stationnaires. Par exemple, l'équation formula_2 possède la solution stationnaire formula_3 pour la condition initiale formula_4. Pour une autre condition initiale formula_5, la solution stationnaire est atteinte au bout d'un temps infini, et la solution est unique. Cependant, si la solution stationnaire peut être atteinte en un temps "fini", l'unicité est violée. Considérons par exemple l'équation  formula_6  Pour la condition initiale formula_4, nous pouvons avoir la solution formula_3 ou la solution  formula_9  On peut noter que la fonction formula_10 a une pente infinie en formula_11 et ne respecte pas la condition de continuité de Lipschitz. La condition de continuité de Lipschitz élimine ce type d'équations différentielles.

Déterminisme et chaos.

Pour le mathématicien Vladimir Arnold,. En physique, les équations différentielles vérifient de manière très générale les hypothèses du théorème de l'article, il en est ainsi de celle qui régit la loi de la gravitation universelle ou l'interaction électromagnétique. Ces équations sont intrinsèquement déterministes et c'est l'une des conséquences du théorème de Cauchy-Lipschitz. Ce déterminisme, c'est-à-dire la capacité de la physique à prévoir, par exemple la trajectoire des planètes, était connu bien avant le théorème. La célèbre citation de Voltaire l'atteste :. Il en déduisait que. Curieusement, les analyses fines de la fin du démontrent la pertinence du caractère déterministe de ces lois physiques et réduisent cependant cette idée de Voltaire à l'état de chimère.  Les travaux mathématiques de cette époque montrent effectivement qu'une trajectoire, suivant une loi physique de cette nature, est unique et parfaitement déterminée. En revanche, les études de Poincaré sur la stabilité du système solaire mettent en évidence la faute de raisonnement. Ce mathématicien précise :  Le théorème de Cauchy-Lipschitz indique bien qu'une prévision parfaite est possible, mais uniquement sous réserve de connaître parfaitement la condition initiale. Certains systèmes dynamiques sont rapidement imprévisibles pour la raison qu'indique Poincaré. On utilise maintenant le terme de chaos pour décrire cette situation. Elle ne se produit pas systématiquement, le théorème de Poincaré-Bendixson précise un contexte où elle ne peut avoir lieu, mais les hypothèses sont restrictives et le résultat peu généralisable.

Vocabulaire.

Plusieurs termes ne sont pas nécessairement intuitifs, ce paragraphe en propose les définitions.

Vocabulaire générique aux équations différentielles.

Une partie du vocabulaire utilisée pour exprimer le théorème est générique aux équations différentielles ou fonctionnelles. Le terme espace de Banach désigne un espace vectoriel normé et complet, c'est-à-dire que pour la métrique associée à la norme, toute suite de Cauchy converge. Un exemple simple est un espace vectoriel réel normé de dimension finie. Pour une compréhension plus facile, le lecteur peut imaginer que "E" désigne l'ensemble des nombres réels. Dans l'article, tous les espaces de Banach considérés sont des espaces réels.

Équation différentielle autonome du premier ordre.

Il existe un cas particulier, celui où la fonction "f" est définie sur un ouvert de "E" et non pas sur un ouvert de R×"E". L'équation (1) s'écrit alors formula_12 Ω désigne un ouvert de "E" et l'équation est dite autonome.

Vocabulaire spécifique.

D'autres termes sont plus spécifiquement utilisés dans le contexte du théorème de Cauchy-Lipschitz. L'équation différentielle (1) possède généralement plusieurs solutions. Pour cette raison, on ajoute parfois une condition particulière :  "Remarque : " À la place de l'expression "condition de Cauchy", on parle parfois de "condition initiale". Les deux expressions sont synonymes.  Résoudre le problème de Cauchy consiste à trouver une solution de l'équation (1) vérifiant la condition de Cauchy "C". Cette définition est un peu intuitive. Si l'équation différentielle modélise un courant parcourant une étendue d'eau, c'est-à-dire qu'à l'instant "t" et au point "x" le courant est égal à "f"("t","p"), il est possible de poser dans l'eau un bouchon à l'instant "t" au point "x", la trajectoire du bouchon est la solution de l'équation. Il existe bien une solution pour chaque couple ("t", "x").  Une condition de Cauchy ne suffit pas à rendre la solution unique. Considérons l'ensemble "S" des solutions de l'équation (1) définies sur un intervalle. Cet ensemble est muni d'une relation d'ordre (partiel). Une solution "s" de "S" est "plus petite" qu'une solution "s" de "S" lorsque "s" est un prolongement de "s".  Lorsque "f" ne remplit pas les conditions du théorème de Cauchy-Lipschitz, en utilisant une forme ou une autre de l'axiome du choix, on montre que toute solution dans "S" est majorée par une. Par conséquent, tout problème de Cauchy possède une solution maximale, et s'il n'en possède qu'une alors elle est maximum (parmi les solutions de ce problème). L'article sur le théorème de Cauchy-Peano-Arzelà donne des exemples montrant que cette unicité n'est généralement pas garantie.  Lorsque tout problème de Cauchy associé à "f" possède une unique solution locale, on montre directement (sans axiome du choix) qu'il possède une solution maximum. Pour cela, il suffit que "f" soit suffisamment régulière : Lorsque l'ouvert Ω est un produit "I" × "V", où "I" est un intervalle ouvert de R et "V" un ouvert de "E", une solution de (1) est dite globale si elle est définie sur "I" tout entier. Une solution globale est évidemment maximale. Une hypothèse supplémentaire assure la réciproque :

Exemples et usages.

Champ constant.

Dans cet exemple "E" est égal au plan réel R. L'équation différentielle est autonome ; elle s'écrit "x' "= "f"("x") où "f" est la fonction constante de valeur le vecteur "v" de coordonnées (1, 0), sur Ω = ]–3, 3[. Ce domaine de "f" est représenté par le carré bleu de la figure de droite. Une méthode de représentation de la fonction "f" consiste à dessiner les vecteurs "f"("x"), où "x" est un point du domaine, en plaçant leurs origines au point "x".  On recherche les solutions vérifiant la condition de Cauchy (0, "x"), ici les coordonnées de "x" sont (–2, 2). Une solution "s" est de la forme : formula_14  La solution ne peut quitter le domaine Ω, en conséquence, la variable "t" prend nécessairement ses valeurs dans ]–1, 5[. La fonction "f" est bien continue et "k"-lipschitzienne en "x", avec dans ce cas particulier "k" = 0. Le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit qu'il n'existe qu'une unique courbe intégrale vérifiant une condition de Cauchy précise, comme ici celle donnée par le couple (0, "x"). Le graphe de cette solution est représentée en vert sur la figure.

Équation linéaire.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz global s'applique : un problème de Cauchy associé à une équation différentielle linéaire possède une solution globale, dont toute autre solution est restriction.

Étude d'une courbe intégrale.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz peut être vu comme un outil permettant l'étude d'une courbe intégrale. Illustrons-le par l'exemple d'une fonction logistique, définie par le problème de Cauchy suivant : formula_15  L'équation différentielle s'écrit aussi "x' "= "f"("x") avec "f"("x") = "x"(1 – "x"). La fonction "f" est une fonction polynomiale de degré 2 de zéros 0 et 1 et positive entre ses racines. Le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique car "f" est continûment dérivable donc localement lipschitzienne : pour toute condition initiale, le problème de Cauchy possède une unique solution maximale. En particulier, toute solution de l'équation différentielle qui prend la valeur 0 ou 1 est constamment égale à cette valeur sur son intervalle de définition.  Soient "s" la solution maximale du problème de Cauchy ci-dessus et ]"a", "b"[ son intervalle de définition (avec ≤ "a "< 0 < "b "≤ ). D'après le théorème des valeurs intermédiaires, "s"(]"a", "b"[) est un intervalle. Il contient "s"(0) = 1/2 donc, d'après la remarque précédente, ne contient ni 0 ni 1, si bien qu'il est inclus dans ]0, 1[.  Le fait que "s" prenne ses valeurs entre 0 et 1 montre que sa dérivée est strictement positive. L'application "s "est donc strictement croissante sur ]"a", "b"[. Elle possède donc en "b "une limite à gauche et sa dérivée a pour limite "c"(1 – "c"), ce qui prouve que "b" = (sans quoi, on pourrait prolonger "s "en une solution définie sur ]"a", "b"], ce qui contredirait la maximalité de "s"). Comme "s "est bornée, la seule valeur limite possible en de sa dérivée est 0, ce qui montre que "c "= 1. Le même raisonnement montre que "a" = (le domaine de définition de "s "est donc égal à R) et que la limite de "s "en est 0  Enfin, on remarque que la fonction qui à "t" associe 1 – "s"(–"t") est une solution du même problème de Cauchy donc est égale à "s", ce qui signifie que la fonction "s" – 1/2 est impaire. L'équation montre que le point d'abscisse 0 est l'unique point d'inflexion de la courbe et que la dérivée de "s "en 0 est égale à 1/4, ce qui permet d'établir son graphe, représenté à droite.  Dans le cas de l'exemple choisi, on peut résoudre l'équation différentielle et utiliser les méthodes classiques pour l'étude de la courbe intégrale, mais ce n'est pas toujours possible. Une équation différentielle n'a pas nécessairement des solutions s'exprimant sous la forme d'une expression algébrique construite à l'aide des fonctions élémentaires.

Théorème de Poincaré-Bendixson.

L'usage du théorème de Cauchy-Lipschitz ne se limite pas à la résolution pratique des équations. Il sert aussi d'outil théorique, par exemple pour mieux comprendre le comportement qualitatif d'une équation différentielle. On peut considérer le cas d'une équation différentielle autonome dans R ayant une solution "p" périodique. La courbe intégrale est un lacet simple, c'est-à-dire que son graphe forme une boucle sans point double. Soit maintenant une condition de Cauchy "C" correspondant à un point à l'intérieur de la boucle. Le théorème de Cauchy-Lipschitz indique que la courbe intégrale maximale "s" vérifiant "C" ne pourra jamais "traverser" la boucle, si la fonction "f" définissant l'équation est localement lipschitzienne. La courbe "s" est donc bornée et si l'on suppose que le domaine de "f" contient l'intérieur de la boucle, la courbe "s" ne s'approche jamais trop du bord du domaine. Ceci suffit à démontrer que le domaine de définition de "s" est R tout entier.  Le théorème de Poincaré-Bendixson permet d'aller plus loin. Il indique que soit la courbe "s" est convergente, soit son comportement s'approche de plus en plus d'une fonction périodique. Cette configuration interdit les trajectoires chaotiques.  L'usage fait ici du théorème permet de comprendre qualitativement le comportement d'une courbe intégrale. Pour l'étude d'équations différentielles plus complexes, par exemple certains systèmes dynamiques, cette approche est indispensable. Il n'est en effet plus toujours possible de résoudre explicitement ces équations, ni même d'approcher leur solutions sur des longues périodes de temps.

Fragments d'histoire.

Origines.

L'origine de la question traitée par le théorème est ancienne, elle porte initialement le nom de. À chaque point de l'espace, une droite est associée, le problème à résoudre est de trouver la courbe ayant, comme tangente en chaque point, une de ces droites, ce qui correspond en termes modernes à une équation différentielle autonome. Kepler est dans une étude sur la contenance d'un tonneau de vin en 1615. Si cette question est abordée par des mathématiciens comme Descartes, Fermat ou Roberval, qui développent cette approche dans des cas particuliers durant le, le progrès essentiel est l'œuvre de Newton et Leibniz avec la découverte du calcul infinitésimal. Newton cherche surtout à obtenir un résultat à l'aide d'une série, Leibnitz recherche aussi des "solutions exactes", sous forme de primitives de fonctions connues.  Le siècle suivant est l'objet d'une systématisation de l'étude. Dans un premier temps. Euler, en 1768 étudie la manière d'approcher une solution. Il étudie le cas particulier "x"'("t") = "f"("t") et cherche une solution sur un intervalle ["a", "b"]. Pour ce faire, il partitionne l'intervalle à l'aide d'une suite "a" = "a", "a",..., "a" = "b" et, si "c" est élément de l'intervalle ["a", "a"], il propose l'approximation suivante : formula_16  Dans le cas plus général de l'équation "x"'("t") = "f"("t", "x"("t")), il utilise la même méthode, qui donne : formula_17  Euler ne se pose pas la question de la convergence si le découpage est de plus en plus fin.

Les apports de Cauchy et de Lipschitz.

Augustin Louis Cauchy établit les premiers résultats généraux. Dans un premier temps, il précise sa méthode : Ce que Cauchy décrit ici est la démarche formalisée par le "problème de Cauchy".  À l'aide de la formalisation de la notion de limite par Bolzano, son approche lui permet d'aller plus loin. La question "x' "= "f"("x") sur l'intervalle ["a", "b"], si on lui ajoute la condition de Cauchy "x"("a") = "x", change de nature. Ce n'est plus la recherche d'une primitive de "f", mais le calcul d'une intégrale. Il montre que, avec les notations du paragraphe précédent, si tend vers 0 et si "f" est continue, l'approximation converge. Plus précisément, il applique cette démarche à l'équation "x" ("t") = "f"("t", "x"("t")) dans le cas où "f", ainsi que sa différentielle partielle par rapport à la seconde variable, sont continues et bornées : avec les mêmes conditions, on obtient encore une convergence. C'est la première version du théorème, démontrée par Cauchy dès 1820. En 1835, sa méthode est généralisée aux fonctions holomorphes.  Rudolf Lipschitz, sans manifestement connaître la teneur des travaux de Cauchy, démontre un théorème au théorème local de son prédécesseur, en introduisant la condition qui porte maintenant son nom. Cauchy utilisait cette condition en la déduisant de son hypothèse sur la différentielle partielle de "f", à l'aide de l'une de ses découvertes, qu'il affectionne particulièrement : le théorème des accroissements finis.

Le formalisme moderne.

La fin du voit une profonde mutation du théorème, tant dans la manière de le démontrer que dans l'enrichissement de son contenu, nécessaire pour mieux comprendre l'équation différentielle.  À la suite des travaux de Fuchs, les objectifs deviennent plus ambitieux. Paul Painlevé et Émile Picard s'intéressent au cas général des équations différentielles de premier et second ordre et donc à leurs singularités. Les objectifs d'Henri Poincaré sont encore plus généraux. À la suite d'une étude sur la stabilité du système solaire, il cherche à établir une théorie générale qui prendra le nom de système dynamique. Devant l'impossibilité d'établir des solutions explicites, Poincaré fonde les bases d'une théorie qualitative. Les objectifs sont, dans un premier temps l'étude des singularités, puis le comportement asymptotique (c'est-à-dire l'étude du comportement une fois le système stabilisé) et la sensibilité à la condition initiale.  Pour atteindre ces nouveaux objectifs, la formulation par Cauchy ou Lipschitz du théorème devient insuffisante. On cherche maintenant des éléments de réponse globaux sur les courbes intégrales et non plus uniquement un résultat local. Les questions sur la régularité de la solution deviennent essentielles. Enfin, on cherche à déterminer la nature de la modification de la courbe intégrale en fonction d'une modification de la condition initiale ou d'un paramètre de l'équation. Les méthodes pour y arriver diffèrent radicalement de l'approche de Cauchy qui étudiait le comportement limite de la fonction polygonale imaginée par Euler. Elles se rapprochent de l'analyse fonctionnelle, le contexte de l'étude étant maintenant un espace de fonctions disposant de propriétés géométriques. Le théorème à la source de la démonstration est celui du point fixe. Sa forme initiale est l'œuvre de Picard. Ce théorème est maintenant vu comme une propriété générale d'espaces vectoriels particuliers, formalisés par Stefan Banach. Son application au théorème de l'article est l'œuvre du mathématicien finlandais Ernst Lindelöf en 1894. Pour cette raison, le théorème nommé en France d'après Cauchy et Lipschitz prend le nom, en anglais, de "".

Généralisations.

Il existe de nombreuses généralisations du théorème de Cauchy-Lipschitz. Les techniques utilisées pour sa démonstration permettent d'aller plus loin dans l'analyse des solutions d'une équation différentielle. Une rapide analyse montre qu'une solution est continûment dérivable, mais rien n'indique ce qui se produit si la fonction "f" est plus régulière. La branche des mathématiques étudiant un système dynamique se pose deux questions essentielles : quel est le comportement d'une courbe intégrale si "t" s'approche des bornes du domaine de définition? Et quelle est la sensibilité à la condition initiale? c'est-à-dire que se passe-t-il si "x" subit une petite modification.  Enfin, l'article suppose que l'ensemble "E" est un espace de Banach, ce qui n'est pas l'unique cas étudié. Dans certaines situations, il est utile de considérer "E" comme une variété différentielle. Les théorèmes se transposent aisément dans ce nouvel univers.

Flot.

L'un des objectifs de l'étude des systèmes dynamiques est celle de la sensibilité à la condition de Cauchy. Le vocabulaire et la représentation géométrique sont un peu différents de ce qui a été utilisé jusqu'à présent. Pour en comprendre l'origine, le plus simple est d'imaginer que Ω est un plan d'eau et que R représente le temps. Le plan d'eau est agité par un courant, représenté par la fonction "f", appelé champ de vecteurs. En dimension 2, on représente ce champ de vecteurs en associant à certains points "x" de "E" une représentation graphique du vecteur "f"("x") (si le champ de vecteurs ne dépend pas du temps "t"), à l'image de la figure de droite. Une courbe intégrale satisfaisant à la condition de Cauchy "C" peut s'imaginer comme la trajectoire d'un bouchon placé dans l'eau à l'instant "t" à la position "x". Pour connaître d'un seul coup toutes les solutions de l'équation différentielle, il suffit de connaître le mouvement de la surface de l'eau, appelé "flot", "coulée" ou encore "courant".  Avec ce concept, le théorème de Cauchy-Lipschitz prend une nouvelle forme : Il est possible d'aller plus loin si "f" est plus régulière.  Cette forme du théorème est plus forte que la précédente. Elle montre la régularité des solutions sous l'action d'une petite modification de la condition de Cauchy. Cet énoncé garantit l'absence d'une certaine forme de chaos. Les bifurcations sont impossibles et, sous réserve que "t" ne grandisse pas trop, les trajectoires restent proches si la condition de Cauchy est peu modifiée. Néanmoins, si le champ de vecteurs évolue avec le temps ou si "E" est de dimension strictement supérieure à deux, une autre forme de chaos peut s'installer.  Les formes précises des théorèmes et les démonstrations sont données dans l'article détaillé.

Théorème de Cauchy-Peano-Arzelà.

À la fin du, Giuseppe Peano, un mathématicien italien, s'interroge sur les généralisations possibles du théorème de Cauchy-Lipschitz sous des hypothèses plus faibles : que se passe-t-il si la fonction "f", définissant l'équation (1), reste continue mais n'est pas localement-lipschitzienne par rapport à la deuxième variable?  Une situation physique correspondant à ce cas est une bille roulant sans frottement sur l'arête d'un toit en V inversé aux branches de pente constante. Notons "x" la coordonnée transversale (perpendiculairement à l'arête) et "y" la coordonnée longitudinale (parallèlement à l'arête). En appliquant les lois de la mécanique, on obtient une équation différentielle autonome du premier ordre dans R, si l'on ne considère que les solutions qui penchent vers les valeurs positives de "x" :  formula_18  Si "t" désigne un réel positif, toutes les solutions suivantes vérifient l'équation précédente, pour la même condition de Cauchy, à savoir que le solide est à l'instant 0, à la position (0,0) : formula_19  D'autres exemples sont donnés dans l'article détaillé.  Ici, on remarque que si l'unicité n'est plus valable, l'existence reste vraie. De manière plus générale, si la fonction "f" de l'équation (1) est continue et bornée et si "E" est de dimension finie, l'existence d'une solution est garantie. Ce résultat est appelé "théorème de Cauchy-Peano-Arzelà".  Quand on lui adjoint le critère d'unicité d', on obtient la même conclusion que Cauchy-Lipschitz, sous des hypothèses plus faibles.

Extension aux équations aux dérivées partielles.

La généralisation du théorème pour les équations aux dérivées partielles suppose des hypothèses plus fortes pour un résultat plus faible. La fonction "f" définissant l'équation doit être analytique ainsi que les conditions aux limites qui remplacent celle de Cauchy. Aucune information n'est fournie dans le cas d'une modification des conditions aux limites ou d'un paramètre. Ce théorème est appelé : théorème de Cauchy-Kowalevski.

Démonstrations.

Préambule.

Pour comprendre le mécanisme de la preuve, reprenons l'exemple de l'équation différentielle définissant la courbe logistique, avec la condition de Cauchy "C" : formula_20  On définit une suite de fonctions polynomiales ("u") par récurrence : formula_21  Sur l'intervalle [–5/2, 5/2], la suite ("u") converge uniformément. Sa limite est un point fixe de la fonction φ qui à une fonction continue "f" de [–5/2, 5/2] dans R associe la fonction φ : formula_22 En dérivant l'égalité φ = "u", on vérifie que "u" est bien une solution de l'équation différentielle étudiée et par construction "u"(0) = 1/2. Cette démarche est celle de la démonstration de Lindelöf. Il constate que si l'intervalle est bien choisi, la fonction φ vérifie la condition de Lipschitz avec un coefficient strictement plus petit que 1, elle est donc contractante, ce qui permet de faire usage du théorème du point fixe. Comme une application contractante n'admet qu'un unique point fixe, l'unicité d'une solution locale est démontrée.  Cette méthode permet de trouver "localement" une solution. En revanche, pour la valeur 3, la suite ("u") diverge. Cependant rien n'empêche de répéter la même démarche avec les deux conditions de Cauchy (5/2, "u"(5/2)) et (–5/2, "u"(–5/2)), il devient ainsi possible de prolonger la solution. Quitte à réitérer la démarche une infinité de fois, on finit par obtenir une solution maximale.  L'intérêt de la démarche est surtout théorique. Dans le cas particulier de l'exemple, il est aisé d'intégrer directement l'équation différentielle. Dans le cas général, il existe des méthodes plus rapides pour obtenir une approximation de la solution, comme celle d'Euler décrite dans la partie « Fragments d'histoire » ou encore celle de Runge-Kutta. En revanche, il est possible de démontrer dans le cadre général du théorème de l'article qu'une fonction construite de la même manière que φ est contractante, ce qui montre l'existence "et l'unicité" d'un point fixe, solution de l'équation différentielle. Cette démarche, caractéristique de l'analyse fonctionnelle, permet donc de démontrer un résultat plus fort que celui qu'avait démontré Cauchy.

Solution locale.

L'objectif de ce paragraphe est d'expliquer la méthode permettant de montrer que l'équation (1) admet localement une unique solution satisfaisant la condition de Cauchy "C". Par translations, on se ramène sans peine au cas ("t", "x") = (0, 0). La condition "C" s'écrit alors : "x"(0) = 0.  On suppose que "f" est localement lipschitzienne par rapport à la seconde variable et continue. Comme Ω est un ouvert, il existe un réel strictement positif "a" tel que le produit du segment [–"a", "a"] par la boule fermée "B" de centre 0 et de rayon "a" soit inclus dans Ω et tel que sur ce produit, "f" soit "k"-lipschitzienne par rapport à la deuxième variable pour un certain "k", et de norme majorée par un réel "m". Soit enfin "b" ≤ "a" un réel strictement positif, assez petit pour que "bm" ≤ "a" et Ce réel "b" permet de définir un espace "F" de fonctions sur lequel on construit une application Φ satisfaisant au théorème du point fixe :  On démontre alors que la fonction Φ est à valeurs dans "F", et qu'elle est "bk"-lipschitzienne donc contractante, puisque "bk" < 1.  Les hypothèses du théorème du point fixe étant réunies, on en déduit que Φ admet un unique point fixe dans "F". D'après le théorème fondamental de l'analyse (étendu aux espaces de Banach), cela revient à dire que le problème de Cauchy admet sur [–"b", "b"] une unique solution à valeurs dans "B".  On montrerait de même que pour tout ε de [0, "b"], il existe sur [–ε, 0] et sur [0, ε], une unique solution "à valeurs dans B" du problème de Cauchy. Pour finir de démontrer l'unicité locale à gauche et à droite, on montre de plus qu'une solution sur [–ε, 0] ou [0, ε] du problème de Cauchy est nécessairement à valeurs dans "B".  Tout ceci se résume en un premier théorème :  Une méthode pratique pour trouver le point fixe est de construire une suite ("u") qui vérifie la relation de récurrence : "u" = Φ, la suite converge nécessairement vers le point fixe. Cette technique est celle utilisée dans le préambule.

Solution maximale.

À l'exception de l'unicité de la solution locale, le paragraphe précédent résume le résultat démontré à l'époque de Cauchy. Il n'offre aucune information sur l'existence ou l'unicité d'une solution maximale vérifiant la condition de Cauchy "C". Ces résultats, plus tardifs, sont les deux points suivants, qui se déduisent respectivement de l'existence et de l'unicité du théorème local ci-dessus :  Autrement dit, ( § « Vocabulaire spécifique ») : ce problème possède une solution non seulement maximale mais maximum, c'est-à-dire dont toute solution définie sur un intervalle est une restriction. Ainsi, grâce à l'unicité locale, on a redémontré directement à peu de frais que toute solution possède un prolongement en une solution maximale.

Équation différentielle non autonome.

Signalons accessoirement qu'à l'aide d'un jeu d'écriture, il est possible de généraliser le cas particulier des équations autonomes aux équations dépendantes du temps. Soit formula_24.  En désignant par "y" le point ("t", "x") de Ω, on considère le problème de Cauchy suivant : formula_25  La fonction "g" est localement lipschitzienne dès que "f" l'est. Cependant, le théorème général ne se déduit pas immédiatement de cette remarque car son énoncé ne suppose pas que "f" est localement lipschitzienne, mais seulement qu'elle est continue et localement lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable.

Solutions maximales et solutions globales.

On suppose ici que l'ouvert Ω est de la forme "I "× "E", où "I "est un intervalle ouvert de R. Toute solution globale (c'est-à-dire définie sur "I "tout entier) de l'équation (1) est évidemment maximale, mais la réciproque est fausse en général, comme le montre l'exemple de l'équation "x' = x". Divers théorèmes « d'échappement » ou « d'explosion », parfois joints au lemme de Grönwall, donnent des conditions suffisantes pour une telle réciproque, mais l'énoncé suivant, qui suffit par exemple dans la théorie des équations différentielles linéaires, se démontre directement :

En mathématiques et plus précisément en analyse, le théorème de Cauchy-Lipschitz (ou de Picard-Lindelöf pour les anglophones) concerne les solutions d'une équation différentielle. Sous certaines hypothèses de régularité de la fonction définissant l'équation, le théorème garantit l'existence d'une solution répondant à une condition initiale dite de Cauchy et l'unicité d'une solution maximale.

In mathematics – specifically, in differential equations – the Picard–Lindelöf theorem, Picard's existence theorem, Cauchy–Lipschitz theorem, or existence and uniqueness theorem gives a set of conditions under which an initial value problem has a unique solution.


Sa famille.

Née vraisemblablement sur les terres de son grand-père paternel, Michel de Kiev, en Ruthénie, elle était la petite-fille de ce dernier Grand Prince de Kiev, qui fut déposé par l’Empire Mongol. Ses parents étaient Rostislav IV de Kiev et Anne de Hongrie (1226-). À la mort du grand-duc Michel, Rostislav se réfugia en Hongrie, où son beau-père, Bela IV de Hongrie, le nomma gouverneur des pays serbophones de la vallée du Danube. Désormais gouverneur de Belgrade et de Slavonie, il alla jusqu’à s’autoproclamer « empereur de Bulgarie » en 1256 mais sans réellement défendre ses droits sur cette région.  Cunégonde, en gage d’alliance de son grand-père maternel Bela, fut mariée au roi Ottokar II de Bohême (env. 1233 – 1278) à Bratislava le. Ottokar, prince de la dynastie des Přemyslides, venait de divorcer de Marguerite, duchesse d'Autriche (ca. 1204 – 1266), parce qu'elle ne lui avait pas donné d'héritier.  Cunégonde, de 41 ans cadette de Marguerite, donna plusieurs enfants au roi Ottokar :

Reine de Bohême.

Après dix années de trêve, l'avènement d’Étienne, oncle de Cunégonde, au trône de Hongrie, ralluma la guerre entre la Bohême et la Hongrie. En 1278, le roi Ottokar entreprit de reprendre les territoires qu'il avait dû céder à Rodolphe du Saint-Empire en 1276. Il conclut diverses alliances et réunit une puissante armée, mais fut défait par Rodolphe et trouva la mort à la bataille de Marchfeld, près de Vienne le.  La Moravie fut conquise et confiée au gouvernement des lieutenants de Rodolphe, ne laissant à Cunégonde, désormais régente de Bohême, que la province de Prague, tandis que son fils, le jeune Venceslas, était fiancé de force à l’une des filles de Rodolphe, Judith.  Pour sa sécurité personnelle, Cunégonde se remaria à Prague en 1285 avec un baron de Bohême, le magnat Záviš, seigneur de Falkenštejn ; elle mourut quelques mois plus tard. Záviš lui survécut et se remaria à la princesse Élisabeth de Hongrie. Il fut exécuté sur ordre du roi le.  Le fils de Cunégonde, Venceslas II, parvint à conserver le royaume de Bohême, puis même s'assura les couronnes de Pologne et de Hongrie mais de façon précaire. À ce titre, Cunégonde est l'une des aïeules des actuelles Maison de Luxembourg et de Habsbourg.

Cunégonde de Slavonie (1245 – ) ["alias" Cunégonde de Rostislavna ; tchèque "Kunhuta Uherská" ou "Kunhuta Haličská"], reine de Bohême, fille du ban Rostislav de Kiev et d'Anne de Hongrie princesse de Tchernigov, fut régente de Bohême de 1278 à sa mort.

Kunigunda Rostislavna (1245 – 9 September 1285; Czech: "Kunhuta Uherská" or "Kunhuta Haličská") was Queen consort of Bohemia and its Regent from 1278 until her death. She was a member of the House of Chernigov, and a daughter of Rostislav Mikhailovich.


Géographie.

Localisation.

Banská Štiavnica se situe en Slovaquie centrale, dans la région de Banská Bystrica, à de Bratislava (nord-est), et à de Budapest (nord).

Géologie et relief.

Banská Štiavnica est située à l'intérieur d'une caldéra formée il y a 13,5 millions d'années par l'effondrement de la partie centrale du volcan composite de Banská Štiavnica après une série d'éruptions. L'altitude de la ville varie entre 550 et au-dessus du niveau de la mer, sur le versant ouest de la caldéra.

Hydrographie.

La rivière Štiavnica ( – affluent d'Ipel – Danube) prend sa source dans la ville. Aujourd'hui, elle est entièrement canalisée en souterrain dans l'axe principal de la ville, mais lors de la fondation de la ville, elle courait en surface et a donné son nom à la ville. Banská Štiavnica est entourée par une série de "tajch" (lacs artificiels de montagne) creusés lors de l'exploitation minière dans la région. Une soixantaine de "tajchs" ont été creusés, aujourd'hui il en reste une trentaine. Ils forment un cadre magnifique de sports et de loisirs dans un environnement montagneux.

Voies de communication et transports.

Voies routières.

De par sa situation à l'intérieur de la caldéra d'un ancien volcan, toutes les routes d'accès passent la crête de la caldéra en serpentant, à l'exception de l'accès sud-est qui suit le fleuve Štiavnica. À partir de la voie rapide R1, montent quatre voies de communication locale – entre les sorties Žarnovica et Hronská Breznica. Ces accès passent quatre vallées successives.

Voie ferroviaire.

La ville est desservie par une ligne de chemin de fer à voie unique qui assure la liaison Hronská Dúbrava – Banská Štiavnica par la vallée du fleuve Jasenica. Elle pénètre la ville par le nord-est via un tunnel d'une longueur de qui traverse la crête de la caldéra.

Pistes cyclables.

Les montagnes de Banská Štiavnica avec leurs "tajch" (lacs artificiels de montagne) sont depuis longtemps un rendez-vous incontournable pour les cyclotouristes passionnés. La ville développe un programme de réalisation de pistes cyclables aménagées pour le cyclotourisme. À l'ouest, de pistes cyclables dans le cadre du projet "BAJKOM K TAJCHOM" (à vélo aux "tajchs") ont déjà été réalisés. La région de Štiavnica est aussi parsemée de fosses minières anciennes. Les circuits de la région varient de 2 à et permettent aux cyclotouristes de découvrir la région tout en sillonnant ses magnifiques paysages montagnards.

Histoire.

L'activité minière.

À partir du Moyen Âge, la principale activité est la production d'argent et d'or. C'est ici qu'est utilisée de façon précoce la poudre à canon dans une mine, en 1627, la première utilisation européenne de cette technique étant attestée dans les mines du Thillot en 1617.  Dès 1782, Selmecbánya était la troisième plus grande ville du royaume de Hongrie avec habitants (plus de si on inclut les faubourgs) après Pozsony et Debrecen. L'activité minière, l'une des plus importantes de l'histoire des mines hongroises et slovaques, décline à partir de la seconde moitié du.  Cette région minière d’influence germanique comptait sept villes minières de Haute-Hongrie, dans l’actuelle Slovaquie centrale : Újbánya (Nová Baňa), Selmecbánya (Banská Štiavnica), Körmöcbánya (Kremnica), Besztercebánya (Banská Bystrica), Bakabánya (Pukanec), Bélabánya (Banská Belá) et Libetbánya (Ľubietová).

L’École des mines.

En 1735 les autorités décidèrent la création d'une École des mines "(Bergschola)" à Schemnitz (Banská Štiavnica) ; ce n'est toutefois qu'à la fin de l'année 1762 que la reine Marie-Thérèse (1717-1780) la transforme en école des sciences appliquées aux mines, pour tout le royaume des Habsbourg. L'établissement se mit en place graduellement entre 1763 et 1770 d’abord comme "praktische Lehrschule", puis comme École des mines ("Bergakademie") jusqu'en 1824, comme école des mines et forestière ("Berg- und Forstakademie") jusqu'en 1919. Elle est considérée comme la plus ancienne école d'ingénieurs au monde.  En 1763, la première chaire (celle de chimie, minéralogie et métallurgie) fut confiée au botaniste et chimiste viennois d'origine batave Nicolaus Joseph von Jacquin ; celui-ci ne donna toutefois ses premières conférences qu'au début de l'année suivante. En 1765, la "Hofkammer" de Vienne confia la chaire de Mathématique, Physique et Mécanique au père jésuite Nicolaus Poda de Graz. La dernière chaire, celle de génie minier et d'administration, fut confiée à Christoph Traugott Delius. Avec ces cours, l'établissement était en mesure de donner une formation complète aux futurs ingénieurs, et on put dresser un cursus. Avec la création de l’École des mines de Freiberg en 1765, l'étude de l'exploitation des mines devenait une discipline universitaire.  Le nombre des étudiants s'accrut régulièrement jusqu'au milieu du, mais la pénurie d'enseignants qualifiés et la négligence envers le renouvellement du matériel pédagogique dégradèrent la qualité de la formation dans les années 1830 et 1840. Simultanément, la multiplication des écoles d'ingénieur, la Révolution de 1848/49 qui poussait les meilleurs étudiants vers l'École de Leoben, enfin la magyarisation de l'enseignement consécutif au Compromis austro-hongrois de 1867, finirent par marginaliser l'École, affectée d'ailleurs par l'épuisement des mines de l'endroit.  Avec la création de la République de Tchécoslovaquie en 1918, les enseignants hongrois durent partir pour Sopron.

Banská Štiavnica (en hongrois : "Selmecbánya", en allemand : "Schemnitz") est une ville minière historique de Slovaquie centrale au passé multiculturel. Connue dans le passé pour l'extraction des métaux (surtout l'argent), elle reste marquée par une tradition minière, municipale et académique.

Banská Štiavnica (; ;, ) is a town in central Slovakia, in the middle of an immense caldera created by the collapse of an ancient volcano. For its size, the caldera is known as the Štiavnica Mountains. Banská Štiavnica has a population of more than 10,000. It is a completely preserved medieval town. Because of their historical value, the town and its surroundings were proclaimed by the UNESCO to be a World Heritage Site on December 11, 1993.


Étymologie.

Le nom générique est dérivé du genre "Zamia", qui regroupe des Cycadales de la famille des Zamiacées, et de l'arabe "qolqas" (قلقاس, )), désignant le taro ("Colocasia esculenta"), une plante alimentaire tropicale cultivée pour son tubercule. Le nom générique de cette autre Aracée, "Colocasia", est lui-même dérivé d'un mot "kulkas" ou "kolkas" d'une langue du Moyen-Orient antique. La référence au genre "Zamia" provient d'une certaine ressemblance avec les feuilles opposées de certaines espèces de ce genre de Cycadales ayant également des folioles vert sombre plus ou moins xéromorphes dont la forme rappelle celles de "Z. z". Cette ressemblance superficielle est répétée dans l'épithète « "zamiifolia" » (à feuilles de "Zamia").

Distribution.

C'est une plante tropicale originaire de Zanzibar, Tanzanie.

Utilisation.

Elle est cultivée comme plante d'intérieur, étant esthétique et facile à entretenir.

Description.

Elle mesure entre 30 cm et 1 m. Le zamioculcas est une plante vivace à feuillage persistant. Plante acaule, elle possède des feuilles charnues, épaisses et droites qui portent des folioles épaisses, luisantes, alternées et elliptiques. La croissance de la plante est très lente. Les fleurs sont rares et discrètes, elles sont vert pâle puis brunâtres à maturité (et se retournent alors vers le sol), entourées de spathes vertes. Les fleurs mesurent une dizaine de centimètres.

Culture d'intérieur.

Cette plante est cultivée en tant que plante d'ornement pour ses feuilles belles et brillantes. En France, la plante se trouve facilement dans les grandes jardineries, les magasins d'ameublement ou les supermarchés. Elle peut être laissée à l'extérieur pourvu que la température ne baisse pas en dessous de 15 °C. Elle préfère une température comprise entre 18 et 26 °C. Une température chaude augmente la production de feuilles. Dans les régions tempérées, elle est cultivée en tant que plante d'intérieur.

Entretien.

La plante se porte mieux avec une lumière claire et indirecte mais peut se contenter d'un endroit peu éclairé. Elle a besoin d'une atmosphère humide, d'arrosages suffisamment espacés pour laisser sécher la terre. Elle ne supporte pas l'excès d'arrosage, car les tiges renflées conservent l'eau, si vous arrosez trop les tiges se ramollissent. Elle se multiplie par bouturage de feuille ou séparation des touffes.

Zamioculcas zamiifolia est une espèce de plantes de la famille des "Araceae" ; c'est l'unique espèce du genre Zamioculcas. Elle est aussi appelée Plante ZZ, des initiales de son nom scientifique.

Zamioculcas (common names Zanzibar gem, ZZ plant, Zuzu plant, aroid palm, eternity plant or emerald palm) is a genus of flowering plant in the family Araceae, containing the single species Zamioculcas zamiifolia. It is a tropical perennial plant native to eastern Africa, from southern Kenya to northeastern South Africa. "Zamioculcas" is grown as an ornamental plant, mainly for its attractive glossy foliage and easy care.


Description.

Appareil végétatif.

Cet arbuste présente un aspect assez polymorphe. Ses feuilles sont alternes et longues (jusqu'à ), lancéolées, rugueuses, ondulées, à pointe courte. Elles offrent une couleur verte et mate au-dessus et un duvet cendré à nervures saillantes au-dessous.  Les rameaux sont gris lorsqu'ils sont jeunes (voir 5 ci-contre), et sous leur écorce se développent (au bout de 2 à 4 ans) des cannelures saillantes.

Appareil reproducteur.

La floraison se déroule en mars et avril, et débute avant l'apparition des feuilles.  Cette espèce étant dioïque, les individus sont soit mâle (voir 1), soit femelle (voir 3), et leurs fleurs sont réunies en chatons unisexués. Chaque fleur est précédée d'un nectaire correspondant au périanthe, et protégée par une bractée. Les fleurs mâles (voir 2) ont deux étamines velues avec des anthères jaunes. Les fleurs femelles (voir 4) ont un aspect court ; elles ne présentent qu'un seul ovaire uniloculaire à deux carpelles. Le fruit est une capsule tomenteuse qui s'ouvre par deux valves et libère des graines portant de longues soies (voir 6).

Répartition et habitat.

Le saule cendré est hélophile (milieux marécageux), ainsi que hygrophile (sols inondés ou tourbeux). Cet arbre se rencontre essentiellement au bord de l'eau, dans les tourbières, les forêts et les prairies humides.  La plante est présente en Chine, dans le Xinjiang (Ertix He valley), au Kazakhstan, en Russie, en Afrique du Nord et en Europe. Elle a été introduite au Canada et aux USA.

Utilisation.

L'écorce possède des vertus antirhumatismales car elle contient de la salicine et de l’acide salicylique entrant dans la composition de l’aspirine.  Le bois est facile à fendre. Il est utilisé en vannerie, pour la menuiserie, à cercler les tonneaux, et pour les allumettes.  L’écorce est riche en tanin (utilisé pour le tannage des peaux).

Le Saule cendré ou Saule gris (Salix cinerea) est un arbrisseau de la famille des Salicacées pouvant atteindre de haut.

Salix cinerea (common sallow, gray sallow, gray willow, grey sallow, grey willow, grey-leaved sallow, large gray willow, pussy willow, rusty sallow) is a species of willow native to Europe and western Asia.


Qualités médicinales arguées.

L'arbre et son fruit sont utilisés comme plante médicinale dans la culture traditionnelle polynésienne.  Le nono renferme, selon un petit groupe de chercheurs américains, des substances pouvant retarder le vieillissement de la peau, les inflammations arthritiques, ou.  Néanmoins, ces "vertus" du jus de nono sont controversées, et l'Union Européenne ne lui a pas accordé d'agrément pharmaceutique ni d'allégation de santé. Elle a autorisé la vente de jus de fruit au noni, ou sous formes de capsules, et cætera, relevant de la législation alimentaire comme "simple jus de fruits". La publicité arguant de propriétés médicinales lui est donc interdite en Europe.  « L’Agence française de sécurité sanitaire des aliments (Afssa) souhaite attirer également l’attention des consommateurs de jus de noni sur le respect des conditions d’emploi proposées par le fabricant du produit lors de son évaluation, à savoir une recommandation de consommation de 30 millilitres par jour.  L’Afssa souligne par ailleurs qu’aucune allégation de bénéfice pour la santé n’a été revendiquée ni documentée lors de l’évaluation de ce nouvel aliment, présenté comme un simple jus de fruit sur le plan nutritionnel. Les éventuelles propriétés bénéfiques du jus de noni, qui sont avancées pour divers troubles de la santé ou pathologies dans certains circuits d’information (via Internet notamment), n’ont pas été évaluées ni "a fortiori" validées par les autorités de sécurité sanitaire, que ce soit en tant qu’aliment ou en tant que médicament. »  L’Autorité européenne de sécurité des aliments (EFSA) a rendu ses conclusions sur le jus de noni, un aliment autorisé au titre du règlement novel food en 2003. En effet des suspicions d’hépatite aiguë à la suite de la consommation de jus de noni avaient conduit l’EFSA à étudier plus précisément la question. Le panel de l’EFSA a donc rendu ses conclusions et indique qu’il n’y a pas de relation de cause à effet entre le noni et les hépatites aiguës.»

Culture du nono en Polynésie Française.

Au début des années 1990, un grand nombre d'agriculteurs de Polynésie française se lancent dans la culture du nono. L'arbuste est déjà présent sur ce territoire, où il pousse naturellement. Parfaitement adapté au climat polynésien, sa culture est rapide et peu contraignante. Le gouvernement de Polynésie Française accorde des aides à la société américaine "Tahitian Noni International" et sa filière locale Morinda, afin de construire une usine de production de jus et de purée de nono dans la commune de Papara, sur l'île de Tahiti.  Le marché de consommation se développe fortement, et des exploitations sont créées dans de nombreux pays au climat tropical, en particulier au Mexique et au Costa Rica. D'autres pays suivent, comme les îles Fidji ou la République dominicaine. Les prix pratiqués dans ces pays tombent rapidement aux alentours de 15 Francs Pacifique (environ 12,6 centimes d'euro) le kilogramme, contre 60 Francs Pacifique (environ 50 centimes d'euro) le kilogramme en Polynésie Française. La production en Polynésie française chute : elle passe de tonnes en 2005, à tonnes en 2006, puis tonnes en 2007. Le volume des exportations passe de tonnes en 2007 à tonnes en 2008. Pour la société "Tahitian Noni International", l'approvisionnement continue à se faire entièrement en Polynésie française.  En 1998, Vatea Quesnot fonde la société "Royal Tahiti Noni". Face aux difficultés de la filière, il opte pour la production « bio », et obtient cette certification entre 2002 et 2004. Le volume des exportations de jus de nono bio de cette société tourne aux alentours de 150 à 200 tonnes par an à la fin des années 2000.

"Pour les homonymes, voir et la page d'homonymie." Le nono ou pomme-chien (Morinda citrifolia) est un arbre tropical de la famille des "Rubiaceae", originaire d'Asie (Inde) ou d'Australie. « Noni » est l'appellation commerciale courante du jus extrait de la pulpe du fruit.

Morinda citrifolia is a fruit-bearing tree in the coffee family, Rubiaceae. Its native range extends across Southeast Asia and Australasia, and the species is now cultivated throughout the tropics and widely naturalized. Among some 100 names for the fruit across different regions are the more common English names of great morinda, Indian mulberry, noni, beach mulberry, and cheese fruit.


Définition mathématique.

En physique et en mathématiques, le groupe de Poincaré, appelé ainsi en l'honneur du mathématicien Henri Poincaré, est le groupe des isométries d'un espace de Minkowski : c'est le groupe des transformations affines de l'espace-temps de la relativité restreinte qui laissent invariant l'intervalle d'espace-temps.  L'espace de Minkowski est un espace affine (réel et de dimension quatre) muni d'une distance hyperbolique (la métrique de Lorentz). Dans un tel espace, la distance entre deux évènements formula_1 et formula_2 vérifie :  Le groupe de Poincaré est l'ensemble des transformations conservant cette structure, noté formula_4, qui regroupe les translations, rotations, transformations de Lorentz propres et orthochrones (boost), parité et renversement du temps. Il contient le groupe de Lorentz de la relativité restreinte formula_5 qui est le groupe orthogonal de la métrique de Lorentz, c'est-à-dire le groupe linéaire des matrices M de taille 4 telles que formula_6, où formula_7 est la matrice transposée de M et formula_8 la matrice associée à la forme de Lorentz :  Pour un quadrivecteur formula_10 exprimé dans un référentiel inertiel donné, une transformation du groupe de Poincaré, notée formula_11, est une application affine correspondant à un changement de coordonnées de la forme : où la partie vectorielle formula_13 est une transformation du groupe de Lorentz (incluant rotation, boost, parité et renversement du temps) et formula_14 est une translation d'espace-temps.

Remarques techniques.

Il s'agit en fait d'un groupe de Lie non compact à 10 dimensions. Le groupe abélien des translations est un sous-groupe normal alors que le groupe de Lorentz est un sous-groupe, correspondant au stabilisateur d'un point. En d'autres termes, le groupe de Poincaré est le produit semi-direct des translations avec les transformations de Lorentz.  Une autre façon d'introduire le groupe de Poincaré est de le présenter en tant qu'extension de groupe du groupe de Lorentz par une représentation linéaire de celui-ci.  Ses représentations irréductibles et unitaires d'énergie positive sont caractérisées par la masse (nombre réel positif) et le spin (entier ou demi-entier), qui sont aussi associés à des particules en mécanique quantique.  En accord avec le programme d'Erlangen, la géométrie dans un espace de Minkowski est définie suivant le groupe de Poincaré : un espace de Minkowski est considéré comme un espace homogène pour ce groupe.  Le groupe de Poincaré est un groupe symétrique pour toute théorie relativiste. D'après le théorème de Noether cela implique que toutes les particules élémentaires ont les mêmes invariants associés qui permettent alors de les distinguer, et donc de les désigner : le quadri-moment (c'est-à-dire leur masse) et les nombres quantiques intrinsèques J, avec J représentant le spin, P la parité et C le nombre quantique de symétrie C.

Algèbre de Poincaré.

L'algèbre de Poincaré est l'algèbre de Lie du groupe de Poincaré. En composantes, le crochet de Lie est donné par les relations suivantes:  où formula_18 est le générateur de cette translation, formula_19 est le générateur des transformations de Lorentz et formula_20 est la métrique de Minkowski.

Le groupe de Poincaré ou symétrie de Poincaré est l'ensemble des isométries de l'espace-temps de Minkowski. Il a la propriété d'être un groupe de Lie non compact à 10 dimensions. Sa version complète inclut quatre types de symétrie :

The Poincaré group, named after Henri Poincaré (1906), was first defined by Hermann Minkowski (1908) as the group of Minkowski spacetime isometries. It is a ten-dimensional non-abelian Lie group of fundamental importance in physics.


Biographie.

Enfance et formation.

Alexis Bledel est née à Houston, d'un père argentin, Martín Bledel, et d'une mère mexicaine, Nanette (née Dozier), préparatrice de commande et hôtesse de l'air. Elle a un jeune frère nommé Eric. Son grand père paternel était Enrique Einar Bledel Huus, née à Buenos Aires, il était vice président de la marque Coca-Cola en Amérique latine.  Elle grandit dans un foyer hispanophone, l'espagnol est sa langue maternelle, et elle n'a appris l'anglais que quand elle a commencé à aller à l'école. Elle a des origines anglaises, écossaises, néerlandaises et latino-américaines. Elle-même se considère comme latina.  Elle fréquente l'école catholique St. Agnes Academy à Houston ainsi que des écoles baptistes et luthériennes. Sa mère l'encourage à essayer le théâtre communautaire pour surmonter sa timidité. Enfant, Bledel apparaît dans des productions locales comme "Our Town", "The Wizard of Oz" et "Aladdin".  Elle est finalement repérée dans un centre commercial et se voit proposer une offre de travail dans le mannequinat. Elle fréquente ensuite l'école des arts Tisch de l'Université de New York, pendant un an.

Carrière.

Les années 2000 : révélation télévisuelle et débuts au cinéma.

Après une carrière de mannequin durant son adolescence, ce qui lui permet de voyager à travers le monde (notamment Tokyo, Milan, New York et Los Angeles), Alexis Bledel fait ses débuts à la télévision en 2000 dans la série télévisée tragi-comique et familiale, "Gilmore Girls". La série raconte la relation complice et même privilégiée de Lorelai avec sa fille Rory qu'elle eut à 16 ans.  Vedette aux côtés de Lauren Graham, le show la révèle au grand public et la rend célèbre. Elle remporte, à deux reprises, le Teen Choice Awards de la meilleure actrice, démontrant le succès de la série auprès d'un jeune public, ainsi que les prestigieux Bravo Otto et Young Artist Awards.  Forte de ce succès, elle porte le film dramatique "Tuck Everlasting", en 2002, très bien reçu par la critique et qui lui vaut une citation pour le Saturn Award de la meilleure jeune actrice. En 2004, elle poursuit sa carrière au cinéma. Dès lors, elle apparaît dans "DysEnchanted", "Coup de foudre à Bollywood", et "I'm Reed Fish", avant de jouer dans "Quatre filles et un jean" et "Quatre filles et un jean 2", qui rencontrent tous deux le succès au box-office. Partageant l'affiche aux côtés de Blake Lively, America Ferrera et Amber Tamblyn, cette production lui permet de recevoir quelques nominations lors des Teen Choice Awards. Enfin, elle participe au film d'action "Sin City" aux côtés d'une pléiade d'acteurs reconnus comme Mickey Rourke, Bruce Willis et Clive Owen.Après 7 saisons, "Gilmore Girls" prend fin en 2007. Au cours de sa carrière, elle a été de nombreuses fois citée dans la presse féminine ("Cosmopolitan", "W", "TV Guide") comme étant l'une des plus belles actrices au monde de ces dix dernières années.  Après une apparition dans la série médicale "Urgences", on la retrouve, en 2009, au cinéma dans deux longs métrages du genre comédie romantique : d'abord "Le fiancé idéal" dont elle occupe le rôle titre aux côtés de Scott Porter et Bryan Greenberg, puis, elle porte "Post Grad". Deux tentatives de briller en tête d'affiche qui se soldent par des échecs retentissants.

Les années 2010 : cinéma indépendant et retour télévisuel remarqué.

En 2010, elle revient donc dans un second rôle pour le drame salué "La Conspiration" avec Robin Wright, James McAvoy et Tom Wilkinson. Elle porte tout de même le thriller dramatique indépendant "The Kate Logan Affair" mais dont l'aspect peu conventionnel divise la critique et le public. L'année d'après, elle continue dans l'indépendant avec la comédie dramatique "Girl Walks into a Bar", dans lequel elle donne la réplique à Carla Gugino, Rosario Dawson et Josh Hartnett, enfin, elle remplace Carey Mulligan pour la comédie d'action "Violet & Daisy" dont elle partage la vedette aux côtés de Saoirse Ronan.  En 2012, elle revient sur un projet exposé en rejoignant la cinquième saison de la série plébiscitée "Mad Men". Une participation en tant que guest star, sur un arc narratif de trois épisodes, saluée par un prix lors des Gold Derby Awards 2012. Il s'ensuit un second rôle dans la comédie indépendante "The Brass Teapot" avec Juno Temple et Michael Angarano, le téléfilm "L'Amour au jour le jour" ou elle donne la réplique à Zachary Levi ainsi qu'une intervention dans le film dramatique chorale "Parts Per Billion".  Entre 2013 et 2014, elle tente de porter la série comique "Us and Them" qui était initialement prévue pour la mi-saison 2013–2014 sur le réseau Fox et au Canada sur Citytv mais dont la production réduit le nombre d'épisodes à sept avant de prendre la décision d'arrêter purement la série. Elle se contente alors de jouer dans un épisode de la série télévisée canadienne "Motive" et seconde Katherine Heigl dans la comédie dramatique "Marions-nous!", un échec.  Elle revient finalement sur le devant de la scène, en 2016, grâce à "Gilmore Girls". En effet, une huitième et dernière saison en quatre épisodes de 90 minutes, intitulée "Une nouvelle année", a été diffusée le 25 novembre 2016 sur la plateforme Netflix, ce qui lui permet de renouer avec de bonnes critiques.  Elle enchaîne alors avec la série télévisée dramatique acclamée et multi-récompensée "" dans laquelle elle interprète le rôle d'Emily, une Servante auparavant professeure d'université en couple avec une femme, qui s'implique dans un mouvement de résistance à la République de Gilead, dictature protestante restaurationniste et fondamentaliste issue d'un coup d’État aux États-Unis. Dans cette série, elle donne notamment la réplique à Elisabeth Moss et à Samira Wiley. Son interprétation lui vaut de recevoir l'Emmy Awards de la meilleure actrice invitée dans une série télévisée dramatique. Elle est finalement promue dans la distribution principale à partir de la seconde saison. Cette promotion se traduit par une nouvelle nomination pour le Primetime Emmy Awards mais cette fois-ci dans la catégorie meilleure actrice dans un second rôle.

Vie privée.

Durant le tournage de "Gilmore Girls", elle fait la connaissance de Milo Ventimiglia qui devient son compagnon. À partir de début 2012, elle sort avec Vincent Kartheiser rencontré sur le tournage de la série "Mad Men". Ils se marient en. Le, Alexis Bledel accouche d'un garçon.

Alexis Bledel, née le à Houston (Texas), est une actrice, productrice et chanteuse américaine. Elle est révélée, à la télévision, dans la série télévisée dramatique "Gilmore Girls" (2000-2007). Ce rôle lui vaut de nombreuses citations et récompenses dont le Young Artist Awards, le Prix Bravo Otto de la meilleure actrice ainsi que deux Teen Choice Awards.

Kimberly Alexis Bledel ( ; born September 16, 1981) is an American actress and model. She is best known for her role as Rory Gilmore on the television series "Gilmore Girls" (2000–2007), for which she received nominations for Satellite, Teen Choice and Young Artist Awards. In 2016, Bledel reprised her role on the Netflix reunion miniseries "".


Sa vie.

Né dans une famille juive de Lituanie, il arrive à Paris en 1909 sans avoir suivi aucune formation artistique. Il suit un temps les cours de l'École des beaux-arts puis fréquente l'Académie Julian à Montparnasse. Par ailleurs, il s'intéresse à l'avant-garde cubiste.  En 1913, il crée "La Femme au serpent" et "La Danseuse", qui sont ses véritables premières œuvres dégagées des traditions du. "La Femme au serpent" est un assemblage harmonieux d'éléments abstraits, où le sein par exemple est évoqué sans ambiguïté par un cône ; l'ensemble est dès le premier regard une œuvre cubiste. Pour "La Danseuse", Lipchitz utilise encore moins de surfaces courbes en privilégiant les plans qui se coupent à angle droit. Ces deux œuvres placent Lipchitz parmi les grands sculpteurs cubistes que furent Alexander Archipenko, Juan Gris ou Henri Laurens. La filiation avec d'autres sculpteurs majeurs de l'époque, comme Umberto Boccioni, Raymond Duchamp-Villon, Pablo Picasso ou Constantin Brâncuşi, est moins évidente bien qu'il ait connu leurs œuvres, voire fréquenté ces artistes.  En 1915, il signe son premier contrat avec le marchand d'art Léonce Rosenberg. À vingt-quatre ans, il expose "Homme à la guitare", qui fait sensation. Cette fois, Lipchitz a produit une œuvre très abstraite où le premier regard ne reconnaît pas nettement les parties qui constituent le corps de l'homme.  1920 : première exposition personnelle chez Rosenberg. Lipchitz réalise à cette époque le portrait de Gertrude Stein et aussi des statues d'un cubisme abstrait comme la série des "baigneurs". Il rompt son contrat avec Rosenberg, qui lui assurait un bon revenu, afin de pouvoir produire ce qu'il veut et non pas ce qu'on lui impose. Il s'ensuivra des difficultés financières pendant plusieurs années.  1924-25 : il devient citoyen français et se marie avec Berthe Kirosser (qu'il connait depuis 1918). Il fait une ébauche pour "le sacrifice" qui préfigure les œuvres postérieures : abandon des plans qui se coupent à angle droit, surface non lisse, forme complexe qu'un seul regard ne peut saisir. Mais l'essentiel de sa production reste cubiste.  1930 : exposition de 100 œuvres à la galerie Jeanne Bucher. Les plans lisses se coupant à angle droit sont désormais abandonnés au profit de surface courbes et complexes (voir par exemple "le Harpiste", collection Marlborough à Vaduz).  1935 : première exposition importante à New York.  1938 : certaines sculptures se gonflent d'excroissances - ("L'Enlèvement d'Europe" à Vaduz ou "Toward a new World" Pepsi Cola Collection). La production d'œuvres plus lisses se poursuit cependant.  1941 : il émigre à New York.  1946 : retour en France. Mais la France n'offre pas les mêmes possibilités pour la sculpture que les États-Unis ; sa femme préfère Paris à New York. Ils divorcent.  1948 : il épouse Yulla Halberstadt, sculpteur.  1952 : l'incendie de son atelier à New York détruit la majeure partie de son œuvre américaine.  1954 : grande rétrospective au MOMA à New York.  1958 : il devient citoyen américain - grande exposition à Amsterdam. Cette année-là, il frôle la mort lorsqu'un cancer de l'estomac manque de l'emporter. Il guérira miraculeusement après avoir reçu une bénédiction du Rabbi de Loubavitch. À la suite de cet épisode, il rencontrera le Rabbi l'été suivant. Celui-ci lui demandera deux choses: premièrement de renouer avec la pratique juive en portant les téfilines (phylactères) chaque jour ; deuxièmement de divorcer religieusement de sa première épouse afin d'épouser religieusement la seconde. Lipchitz mettra en pratique ces deux recommandations.  1961-62 : il s'installe près de Carrare en Italie.  1963 : première visite en Israël.  1970-71 : grande exposition rétrospective à Berlin et autres villes d'Europe, ainsi que Tel Aviv et Jérusalem.  1972 : grande exposition au Metropolitan Museum of Art à New York. Publication de son autobiographie, "Ma vie en sculpture".

Où voir les œuvres de Jacques Lipchitz?

"Liste non exhaustive"  Sur le net  et aussi sur  en France  aux Pays-Bas  en Grande-Bretagne  au Liechtenstein  Très nombreuses œuvres à la collection Marlborough à Vaduz, dont :  aux États-Unis  au Canada  en Israël

Jacques Lipchitz, né Chaim Jacob Lipchitz le à Druskininkai en Lituanie et mort le à Capri, est un sculpteur naturalisé français puis américain.

Jacques Lipchitz (26 May 1973) was a Cubist sculptor. Lipchitz retained highly figurative and legible components in his work leading up to 1915–16, after which naturalist and descriptive elements were muted, dominated by a synthetic style of Crystal Cubism. In 1920 Lipchitz held his first solo exhibition, at Léonce Rosenberg's Galerie L'Effort Moderne in Paris. Fleeing the Nazis he moved to the US and settled in New York City and eventually Hastings-on-Hudson.


La guerre de Mangas Coloradas.

Mangas Coloradas est né dans les années 1790 dans la région appelée aujourd’hui Nouveau-Mexique. Son groupe habitait dans les montagnes Mimbres et le long de la rivière du même nom. Mangas est décrit comme un homme de grande taille, très musclé, avec une large tête, imperturbable quelles que soient les circonstances.  L’hostilité entre les Espagnols et les Apaches commença à grandir en 1831 et c’est alors que Mangas se distingua comme un des leaders de la lutte contre les Espagnols, puis les Mexicains et, plus tard, les Américains.  En 1837, quand Juan José Compa, le chef des Apaches Mimbreño fut assassiné, Mangas devint le leader de la révolte et mena de nombreux raids de représailles contre les Mexicains. Quand les États-Unis s’emparèrent de territoires mexicains en 1846, Mangas signa un traité de paix déclarant qu’il respectait les Américains comme des conquérants, principalement parce qu’il haïssait lui-même les Mexicains.  Une paix fragile s’installa alors entre les États-Unis et les Apaches jusqu’en 1850, lorsque l’afflux de chercheurs d’or dans les montagnes de Santa Rita réveilla à nouveau le conflit. En 1851, Mangas fut personnellement attaqué près de Pinos Altos par des mineurs qui l’attachèrent à un arbre et le battirent sérieusement. L’humiliation fut si grande pour lui qu’il se cacha dans les montagnes pendant deux semaines, jusqu’à ce que ses blessures ne soient plus visibles. En 1860, trente mineurs attaquèrent un campement indien sur la rive ouest de la rivière Mimbres, tuèrent quatre hommes, en blessèrent plusieurs et capturèrent trente femmes et enfants. Des incidents similaires conduisirent à la rébellion ouverte des Apaches.  En 1861, Mangas et Cochise nouèrent une alliance pour chasser les colons du territoire apache. Ils furent rejoints par le chef Juh et le fameux Geronimo. Leur but ne fut jamais atteint, mais la population des colons se réduisit considérablement durant cette période. Lors d’un de ses raids en territoire mexicain, à Sonora, Mangas enleva une belle et intelligente jeune femme mexicaine. Elle fut appelée Tu-esseh et ils eurent trois filles. Il eut également au moins trois fils d’autres unions : Seth-mooda, Casco et Mangas.  L’été 1862, alors qu’il guérissait d’une blessure par balle, Mangas rencontra un intermédiaire pour demander la paix avec les Américains. En janvier 1863, il décida d’aller à la rencontre des chefs militaires des États-Unis à Fort McLane, un fort situé près de, au sud du Nouveau-Mexique. Mangas se présenta seul avec un drapeau blanc pour rencontrer le brigadier général Joseph Rodman West, un officier qui devint plus tard sénateur de Louisiane et qui lui avait promis qu’il serait en sécurité. Les soldats avaient cependant reçu des ordres pour que Mangas ne sorte pas vivant du fort : Cette nuit-là, Mangas fut torturé puis fusillé. Le jour suivant, les soldats lui coupèrent la tête, la firent bouillir et envoyèrent le crâne à Orson Squire Fowler, un phrénologue de New York.  La mutilation du corps de Mangas ne fit qu’accroître les hostilités et la guerre se poursuivit pendant près d’un quart de siècle.

Mangas Coloradas (« manches rouges ») ou Dasoda hae (né entre 1790 et 1797 et mort le ) est un chef amérindien des toutes premières années des guerres apaches.

Mangas Coloradas or Mangus-Colorado (La-choy Ko-kun-noste, alias "Red Sleeve"), or Dasoda-hae ("He Just Sits There") (c. 1793 – January 18, 1863) was an Apache tribal chief and a member of the Mimbreño (Tchihende) division of the Central Apaches, whose homeland stretched west from the Rio Grande to include most of what is present-day southwestern New Mexico. He was the father-in-law of the Chiricahua (Tsokanende) Chief Cochise, the Mimbreño Chief Victorio and the Mescalero (Sehende) Chief Kutu-hala or Kutbhalla (probably to be identified with Caballero), and is regarded by historians to be one of the most important Native American leaders of the 19th century due to his fighting achievements against the Mexicans and Americans.