text:
Ứng dụng phương pháp tọa độ trong hình học
Chia sẻ: Le Khanh Huan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13
lượt xem 63
download
Ứng dụng phương pháp tọa độ trong hình học
Kiến thức : tọa độ của điểm, véc tơ trong mặt phẳng và các kiến thức liên quan.Đường thẳng, đường tròn, các đường cônic: Elip, Hyperbol, Parabol.Các dạng bài toán áp dụng: Bài toán hình học khó áp dụng được cho có tính chất hình học thuần túy.Bài toán hình học mà việc minh chứng hoặc tính toán quá phức tạp.Bài toán hình học cổ điển chuyển vê bài toán tọa độ
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Ứng dụng phương pháp tọa độ trong hình học
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC øNG DôNG PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG H×NH HäC I.KiÕn thøc c¬ b¶n : S¦U TÇM Boxmath 1.KiÕn thøc : (Theo ch¬ng tr×nh H×nh Häc 10 n©ng cao) Täa ®é cña ®iÓm, vÐc t¬ trong mÆt ph¼ng vµ c¸c kiÕn thøc liªn quan. §êng th¼ng. §êng trßn. C¸c ®êng C«nic : Elip, Hyperbol, Parabol. 2.C¸c d¹ng bµi to¸n ¸p dông : .Bµi to¸n h×nh häc khã ¸p dông ®îc cho c¸c tÝnh chÊt h×nh häc thuÇn tuý (h×nh häc cæ ®iÓn) . .Bµi to¸n h×nh häc mµ viÖc chøng minh hoÆc tÝnh to¸n qu¸ phøc t¹p. .Bµi to¸n h×nh häc chøa ®ùng c¸c yÕu tè : täa ®é, vÐct¬, ®êng C«nic . . . 3.NhËn d¹ng : .D¹ng 1: bµi to¸n h×nh gi¶i tÝch thuÇn tuý (chøa ®ùng s¼n c¸c yÕu tè vÒ h×nh gi¶i tÝch) .D¹ng 2: bµi to¸n h×nh cæ ®iÓn chuyÓn vÒ bµi to¸n vÐc t¬ (kh«ng sö dông täa ®é) .D¹ng 3: bµi to¸n h×nh cæ ®iÓn chuyÓn vÒ bµi to¸n täa ®é. 4.Ph¬ng ph¸p ¸p dông : .Chän hÖ trôc täa ®é thÝch hîp (hÖ täa ®é §ªcac hoÆc Afin) tïy theo bµi to¸n sao cho viÖc tÝnh to¸n ®¬n gi¶n, dÔ biÓu diÓn. .T×m to¹ ®é c¸c ®èi tîng ®· cho vµ c¸c ®èi tîng liªn quan. .Tõ ®ã rót ra c¸c tÝnh chÊt h×nh häc cÇn t×m theo yªu cÇu cña bµi to¸n. II.C¸c bµi to¸n minh häa : Bµi 1: ( §Ò thi häc sinh giái quèc gia 2006-2007) Cho tam gi¸c ABC cã hai ®Ønh B, C cè ®Þnh vµ ®Ønh A thay ®æi. Gäi H, G lÇn lît lµ trùc t©m vµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. T×m quü tÝch ®iÓm A, biÕt r»ng trung ®iÓm K cña HG thuéc ®êng th¼ng BC. Gi¶i : Chän hÖ trôc Oxy víi O trung ®iÓm BC vµ trôc Ox lµ ®êng th¼ng BC .§Æt BC = 2a > 0 . Khi ®ã täa ®é B (− a , 0) ; C (a , 0) . Gi¶ sö A( x0 , y 0 ) y 0 ≠ 0 . Khi ®ã trùc t©m H lµ nghiÖm hÖ ph¬ng tr×nh x = x0 a 2 − x0 2 ⇒ H x0 , ( x + a )(a − x0 ) − y 0 y = 0 y0 2 x 3a 2 − 3 x0 + y 0 x y 2 2 .Träng t©m G 0 ; 0 , suy ra trung ®iÓm K 0 ; 3 3 3 6 y0 .K thuéc ®êng th¼ng BC khi vµ chØ khi x2 y2 3a 2 − 3 x0 + y 0 = 0 ⇔ 0 − 02 = 1 ( y 0 ≠ 0) 2 2 a 2 3a x2 y2 .VËy quü tÝch A lµ hyperbol 2 − 2 = 1 bá ®i hai ®iÓm B, C a 3a Bµi 2 : ( §Ò thi OLYMPIC Lª Hång Phong 2008-2009) Cho tam gi¸c ABC cã hai ®Ønh B, C cè ®Þnh vµ ®Ønh A thay ®æi. Qua B dùng ®êng th¼ng d vu«ng gãc víi BC, d c¾t ®êng trung tuyÕn AI cña tam gi¸c ABC t¹i K.Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC. T×m quü tÝch ®iÓm A, biÕt r»ng IH song song víi KC. Gi¶i : Chän hÖ trôc Oxy víi O trïng I vµ trôc Ox lµ ®êng th¼ng BC. §Æt BC = 2a > 0 .Khi ®ã to¹ ®é B (− a; 0) ; C (a; 0) Gi¶ sö täa ®é ®iÓm A( x0 ; y 0 ) víi y 0 ≠ 0
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC .Khi ®ã trùc t©m H lµ nghiÖm hÖ ph¬ng tr×nh x = x0 a 2 − x0 2 ⇒ H x0 ; ^y ( x + a )(a − x0 ) − y 0 y = 0 y0 A K = d ∩ ( AI ) lµ nghiÖm hÖ ph¬ng tr×nh x = −a y0 H y = y 0 x ⇒ K − a; − a víi x0 ≠ 0 x0 x0 B C >x I Theo gi¶ thiÕt, ta cã a 2 − x02 → → y IH cïng ph¬ng KC ⇔ a 0 .x0 − 2a. =0 x0 y0 2 y2 x0 ⇔ + 02 = 1 a 2 2a K 2 2 x0 y0 VËy quü tÝch A lµ elip 2 + 2 = 1 bá ®i 4 ®iÓm B, C, a 2a A1 (0; − a 2 ) , A2 (0; a 2) lµ 4 ®Ønh cña elip Bµi 3: Trong mÆt ph¼ng cho ®êng trßn (O,R) vµ mét ®iÓm A cè ®Þnh. I lµ ®iÓm di ®éng trªn (O). §êng trßn t©m I lu«n ®i qua A. Chøng minh r»ng trôc ®¼ng ph¬ng cña hai ®êng trßn (O) vµ (I) lu«n tiÕp xóc víi mét ®êng trßn cè ®Þnh . Gi¶i : Chän hÖ trôc (Oxy) nh h×nh vÏ (OA lµ trôc Oy) . Ta cã A(0,b) , (O) : x 2 + y2 = R 2 . Gäi I(m ; n) ∈ (O) ⇒ m + n = R vµ IA 2 = m 2 + (b − n ) 2 . 2 2 2 VËy (I) : ( x − m) 2 + ( y − n ) 2 = m 2 + (n − b) 2 . Hay x 2 + y 2 − 2mx − 2ny + 2nb − b 2 = 0 . Suy ra ph¬ng tr×nh cña trôc ®¼ng ph¬ng cña (O) vµ(I) lµ (d) : 2mx + 2ny – 2nb + b2 + R 2 = 0 . 2nb − 2nb + b 2 − R 2 b2 − R 2 = Ta cã d(A,d) = 2 m2 + n 2 2R Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC cã ®êng cao CH. Gäi I, K lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c ®o¹n AB, CH. Mét ®êng th¼ng d di ®éng lu«n lu«n song song víi c¹nh AB c¾t c¹nh AC t¹i M vµ c¾t c¹nh BC t¹i N. Dùng h×nh ch÷ nhËt MNPQ víi hai ®iÓm P, Q n»m trªn c¹nh AB. Gäi J lµ t©m h×nh ch÷ nhËt MNPQ. Chøng minh ba ®iÓm I, J, K th¼ng hµng. Gi¶i : Chän hÖ trôc Oxy sao cho O ≡ H , c¸c ®iÓm A, B n»m trªn Ox, ®iÓm C n»m trªn Oy Ta cã to¹ ®é c¸c ®iÓm H(0; 0), C(0; c) , A(a; 0) , B(b; 0). §êng th¼g d cã ph¬ng tr×nh y = m (0
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC b (c − m ) §iÓm P lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña N trªn Ox ⇒ P ;0 c (a + b)(c − m) m J lµ trung ®iÓm cña ®o¹n PM ⇒ J ; 2 2c a+b c m( a + b) m → → Tõ ®ã ta cã IK = − ; vµ IJ = − ; 2 2 2 2c → → VËy IK cïng ph¬ng IJ , nªn ba ®iÓm I, J, K th¼ng hµng. Bµi 5 : Cho tam gi¸c ABC ®Òu cã c¹nh b»ng 2a vµ (d) lµ ®êng th¼ng tïy ý c¾t c¸c ®êng th¼ng BC, CA, AB. Gäi x, y, z t¬ng øng lµ c¸c gãc gi÷a ®êng th¼ng (d) vµ c¸c ®êng th¼ng BC, CA, AB. Chøng minh : 1 sin 2 x. sin 2 y. sin 2 z + cos 2 x. cos 2 y. cos 2 z = . 16 Gi¶i : Chän hÖ trôc täa ®é sao cho A(0; a 3 ), B (− a;0), C (a;0) . Khi ®ã → → → AB = (− a;− a 3) , CA = (− a; a 3 ) , BC = (2a;0) . → Gäi u = (u1 ; u 2 ) lµ vÐc t¬ chØ ph¬ng cña ®êng th¼ng (d). Ta cã : u2 u2 cos 2 x = 2 1 2 ⇒ sin 2 x = 2 2 2 u1 + u 2 u1 + u 2 (u ) ( ) 2 2 − u2 3 u 3 − u2 y= ⇒ sin 2 y = 1 2 2 1 cos 4(u1 + u 2 ) 4(u1 + u 2 ) 2 2 2 (u ) ( ) 2 2 + u2 3 u 3 − u2 z= ⇒ sin 2 z = 1 2 2 1 cos 4(u1 + u 2 ) 4(u1 + u 2 ) 2 2 2 S = sin 2 x. sin 2 y. sin 2 z + cos 2 x. cos 2 y. cos 2 z ( ) ( ) 2 2 u12 u12 − 3u 2 + u 2 3u12 − u 2 u16 + 3u14 u 2 + 3u12 u 2 + u 2 2 2 2 2 4 6 1 = = = . 16(u + u ) ( ) 23 23 16 u12 + u 16 2 1 2 2 Bµi 6 : Cho ®êng d trªn ®ã lÊy mét ®iÓm A. Cho tríc hai sè d¬ng a, b sao cho a>b. XÐt tÊt c¶ c¸c ®iÓm P, Q ∧ sao cho AP = a, AQ = b vµ ®êng th¼ng d lµ ph©n gi¸c cña PAQ . øng víi mçi cÆp ®iÓm P,Q xÐt ®iÓm sao cho → → → AM = AP + AQ .T×m quü tÝch ®iÓm M. Gi¶i : Chän hÖ tôc täa ®é nh sau : lÊy A lµm gèc täa ®é, trôc hoµnh lµ d.Gäi M(x; y)Ta cã x = x P + xQ → → → : AM = AP + AQ ⇔ ( x; y ) = ( x P ; y P ) + ( xQ ; y Q ) ⇔ (1 y = y P + yQ ) x 2 + yP = a 2 2 Do AP = a vµ AQ = b nªn P (2) xQ + y Q = b 2 2 2 NÕu ph¬ng tr×nh (AP): y = kx th× (AQ): y = -kx xP + k 2 xP = a 2 2 2 Tõ (2) suy ra 2 xQ + k xQ = b 22 2
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC 2 ( a + b) 2 x = x P + xQ + 2 x P xQ = 2 2 x2 y2 1+ k 2 (1) ⇔ ⇔ + =1 y 2 = y P + y Q + 2 y P y Q = k ( a − b) ( a + b) 2 ( a − b) 2 2 2 2 2 1+ k 2 VËy quü tÝch M lµ mét elip Bµi 7: Trªn ®êng th¼ng d cho tríc, cho ba ®iÓm A, B, C trong ®ã B n»m gi÷a A vµ C. VÏ vßng trßn tiÕp xóc víi d t¹i B. Gäi M lµ giao ®iÓm cña hai tiÕp tuyÕn víi vßng trßn trªn vÏ tõ A vµ C. T×m quü tÝch ®iÓm M. Gi¶i : Gäi c¸c tiÕp ®iÓm nh h×nh vÏ, ta cã MA − MC = BA − BC = h»ng sè (1) .NÕu B lµ trung ®iÓm cña AC th× tõ (1) ⇒ MA = MC : quü tÝch M lµ trung trùc cña AC. .NÕu B kh«ng lµ trung ®iÓm cña AC th× tõ (1): quü tÝch M lµ hyperbol nhËn A, C lµm tiªu ®iÓm (nh h×nh vÏ) Bµi 8 : Cho ®êng th¼ng d vµ mét ®iÓm A cè ®Þnh kh«ng n»m trªn d. P vµ Q lµ hai ®iÓm di ®éng trªn d nhng PQ = a (trong ®ã a lµ sè d¬ng cho tríc). Gäi M lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c APQ. T×m quü tÝch ®iÓm M. Gi¶i : Dùng hÖ trôc täa ®é nh h×nh vÏ Gäi M (x; y), gi¶ sö kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn d lµ h, khi ®ã A(0; h) Ta cã a2 a2 1 2 h a2 MA 2 − MH 2 = ⇔ x 2 + ( y − h) 2 − y 2 = ⇔ y= x+ − 4 4 2h 2 4h VËy quü tÝch ®iÓm M lµ mét Parabol Bµi 9: Qua t©m O cña hai ®êng trßn ®ång t©m vÏ hai ®êng th¼ng vu«ng gãc d 1 vµ d2. §êng th¼ng d di ®éng quay quanh O vÒ cïng mét híng c¾t c¸c vßng trßn nhá vµ lín lÇn lît t¹i A vµ B. Qua A vÏ ®êng th¼ng d1/ song song d1vµ qua B vÏ ®êng th¼ng d 2/ song song d2. T×m quü tÝch ®iÓm M = d1/ ∩ d 2/ . Gi¶i :
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC LËp hÖ trôc täa ®é nhËn d1, d2 µ trôc Ox vµ Oy. Gi¶ sö ®êng th¼ng d cã ph¬ng tr×nh y = kx, A(x A ; yA) , B(xB ; yB). Tõ gi¶ thiÕt, ta cã x = xB , y = yA y = kx A x2 + yA = r 2 2 Ta cã 2A vµ A y B = kx B xB + yB = R 2 2 R2 k 2r 2 ⇒ xB = ; yA = 2 2 1+ R2 1+ k 2 x2 y2 x2 yA 2 Tõ ®ã ta cã 2 + 2 = B + 2 = 1 R2 r R r x2 y2 VËy quü tÝch ®iÓm M lµ Elip 2 + 2 = 1 R r Bµi 10: Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i C. Trªn c¸c C¹nh BC, CA, AB lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm M, N, P sao cho MB NC PA = = . Chøng minh r»ng CP ⊥ MN vµ CP = MN MC NA PB Gi¶i : Chän hÖ trôc Oxy sao cho O ≡ C , tia Ox ≡ CA vµ tia Oy ≡ CB Ta cã to¹ ®é c¸c ®iÓm C(0; 0) , A(1; 0) , B(0; 1). MB NC PA = = =k Tõ gi¶ thiÕt ta ®Æt MC NA PB 1 → 1→ M 0; 1 + k CM = CB 1+ k k → k→ CN = ⇒ N Do ®ã ;0 CA 1+ k 1+ k → → → CP = 1 CA+ k CB 1 k P 1 + k ; 1 + k 1+ k 1+ k → → k k Tõ ®ã MN . CP = − = 0 ⇒ CP ⊥ MN (1 + k ) (1 + k ) 2 2 k 2 +1 2 →2 → MN = = CP (1 + k ) 2 Bµi 11: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. Gäi At lµ tia ph©n gi¸c cña gãc A. Qua trung ®iÓm M cña c¹nh huyÒn BC ta dùng ®êng th¼ng vu«ng gãc víi tia At c¾t c¸c ®êng th¼ng AB vµ AC lÇn lît t¹i E vµ F. Chøng minh BE = CF. Gi¶i : Chän hÖ trôc Oxy sao cho O ≡ A , tia Ox ≡ AB vµ tia Oy ≡ AC Ta cã to¹ ®é c¸c ®iÓm A(0; 0) , B(b; 0) , C(0; c). b+c b+c DÔ dµng ta t×m ®îc to¹ ®é E ;0 vµ F 0; 2 2 c−b b−c Tõ ®ã suy ra BE = vµ CF = 2 2
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC Bµi 12: Cho hai ®iÓm A, B cè ®Þnh vµ mét ®êng th¼ng d vu«ng gãc víi AB, nhng kh«ng ®i qua A, B. M«t ®iÓm M ch¹y trªn d.T×m tËp hîp giao ®iÓm N cña c¸c ®êng th¼ng vu«ng gãc víi MA, MB t¹i AvµB. Gi¶i : Chän hÖ trôc Oxy sao cho O = d ∩ AB , tia Ox ≡ AB vµ tia Oy ≡ d Ta cã to¹ ®é c¸c ®iÓm A(a; 0) , B(b; 0) , M(0; m).Gäi N(x; y) → → a (a − x) + my = 0 Khi ®ã MA. NA = 0 ⇔ → → b(b − x) + my = 0 MB. NB = 0 Gi¶i hÖ ta ®îc x = a+b. VËy tËp hîp giao ®iÓm N lµ ®êng th¼ng − vu«ng gãc Ox t¹i H cã hoµnh ®é OH = a + b . Bµi 13: Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m I. Gäi D lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB, E lµ träng t©m cña tam gi¸c ADC. Chøng minh r»ng AB = AC th× IE vu«ng gãc víi CD. Gi¶i : Ta cã thÓ chän hÖ trôc täa ®é Oxy sao cho O trïng víi trung ®iÓm BC, A thuéc Oy víi A(0; a) , B(-c; 0) , C(c; c a c a 0).Khi ®ã ta cã D − ; , E ; 2 2 6 2 §Ó tÝnh täa ®é t©m I (0; y 0 ) , ta cã a2 − c2 IA = IC ⇔ (a − y 0 ) 2 = c 2 + y 0 ⇒ y 0 = 2 2a y − y I 3c HÖ sè gãc ®êng th¼ng IE lµ k = E = . xE − xI a y − yC a HÖ sè gãc ®êng th¼ng CD lµ k / = D =− x D − xC 3c Ta cã k .k / = −1 ⇒ IE ⊥ CD . Bµi 14: T×m quü tÝch nh÷ng ®iÓm M trªn mÆt ph¼ng cã tæng kho¶ng ®Õn mét ®iÓm cè ®Þnh I vµ mét ®êng th¼ng cè ®Þnh ∆ b»ng mét sè a d¬ng cho tríc. Gi¶i : .Chän hÖ trôc to¹ ®é vu«ng gãc Oxy sao cho + O≡I + Ox ⊥ ∆ vµ ∆ cã ph¬ng tr×nh x = d > 0 .Ta ph¶i t×m quü tÝch nh÷ng ®iÓm M(x ; y) sao cho x 2 + y 2 + x − d = a (1) .NÕu x ≥ d th× x 2 + y2 + x − d ≥ x 2 + y2 ≥ d .NÕu x < d th× x 2 + y 2 + x − d = d + ( x 2 + y 2 − x) ≥ d .Nh vËy c¸c trêng hîp x·y ra lµ d > a : quü tÝch M lµ tËp rçng d = a : tõ lý luËn trªn (1) ⇔ y = 0 , 0 ≤ x ≤ a : quü tÝch M ®o¹n th¼ng nèi tõ I ®Õn ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ I lªn ∆ .
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC a+d d < a : Khi x ≥ d , tõ (1) ⇒ y 2 = 2(a + d)( − x) 2 a −d Khi x < d , tõ (1) ⇒ y 2 = 2(a − d)( + x) 2 Nh vËy quü tÝch M lµ 2 nh¸nh cña 2 Parabol(kho¶ng gi÷a S1,S2) cã ph¬ng tr×nh nh trªn. Bµi 15: Cho hai ®êng th¼ng c¾t nhau a vµ b . T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M sao cho tæng kho¶ng c¸ch tõ ®ã tíi a vµ b lu«n lu«n b»ng sè 1 kh«ng ®æi . Gi¶i : Ta chän hÖ trôc täa ®é Oxy víi O lµ giao ®iÓm cña a vµ b , Ox lµ ®êng th¼ng a sao cho ®êng th¼ng b cã ph¬ng tr×nh y = kx (k > 0) Gi¶ sö M(x ; y) lµ ®iÓm nµo ®ã , kÎ MA ⊥ a , MB ⊥ b . Khi ®ã , ta cã thÓ tÝnh ®îc c¸c kho¶ng c¸ch MA vµ MB : kx − y MA = y , MB = k2 +1 kx − y VËy , víi ®iÒu kiÖn bµi to¸n lµ y + = 1 (1) . Ta chia k2 +1 c¸c trêng hîp sau : a) y ≥ 0 vµ y ≤ kx . DÔ thÊy r»ng khi ®ã M n»m trong gãc xOz . ) ( kx − y (1) ⇔ y + = 1 ⇔ kx + k 2 + 1 − 1 y − k 2 + 1 = 0 (2) k +1 2 Nh vËy , tËp hîp M lµ phÇn ®êng th¼ng (2) n»m trong gãc xOz , tøc lµ ®o¹n PQ (h×nh vÏ) . b) y ≥ 0 vµ y ≥ kx . Khi ®ã M n»m trong gãc zOx ’ vµ : ) ( −kx + y (1) ⇔ y + = 1 ⇔ − kx + k 2 + 1 + 1 y − k 2 + 1 = 0 (3) k +1 2 Nh vËy tËp hîp M lµ phÇn ®êng th¼ng (3) n»m trong zOx ’, tøc lµ ®o¹n th¼ng PR (h×nh vÏ) . DÔ thÊy r»ng tÝch v« h¬ng cña hai vect¬ ph¸p tuyÕn : ) ) ( ( nPQ = k ; k 2 + 1 − 1 , nPR = − k ; k 2 + 1 + 1 b»ng 0 , tøc lµ PQ ⊥ PR T¬ng tù nh trêng hîp a) vµ b) , ta xÐt c¸c trêng hîp : c) y ≤ 0 vµ y ≤ kx d) y ≤ 0 vµ y ≥ kx , Ta ®i ®Õn kÕt luËn :TËp hîp c¸c ®iÓm M lµ mét h×nh ch÷ nhËt QPRS cã t©m lµ O vµ hai ®êng chÐon»m trªn a vµ b. Bµi 16: Cho hai ®iÓm A, B cè ®Þnh, AB = a kh«ng ®æi vµ hai ®iÓm C, D di ®éng sao cho CD = b kh«ng ®æi, AB cïng híng CD , AC + BD = 2(a+b). T×m quÜ tÝch giao ®iÓm M cña AD vµ BC. Gi¶i : VÏ ME // AC , MF // BD ( E , F ∈ AB) MB AB a MA AB a = =; = = Ta cã: MC CD b MD CD b
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC BE MB a AF AM a = = = = Suy ra: ; BA BC a + b AB AD a + b a2 a2 ⇒ BE = , AF = a+b a+b Suy ra: E vµ F cè ®Þnh. ME BM a MF AM a = = = = V× nªn ; AC BC a + b BD AD a + b a. AC a.BD ME = , MF = a+b a+b a.( AC + BD ) Suy ra: ME + MF = = 2a kh«ng ®æi. a+b Chän hÖ trôc Oxy nh h×nh vÏ, víi O lµ trung ®iÓm cña EF. Ta cã tËp hîp ®iÓm M lµ mét Elip nhËn E vµ F lµm hai tiªu ®iÓm, cã ®é dµi trôc lín lµ 2a AC BD = Bµi 17: H×nh b×nh hµnh ABCD thay ®æi trong ®ã A vµ D cè ®Þnh tho¶: . T×m tËp hîp ®iÓm B vµ C . AD BA Gi¶i : Trong mÆt ph¼ng Oxy , chän A ≡ O (0;0) ; D (a; 0) víi AD = a (kh«ng ®æi) Theo gi¶ thiÕt h×nh b×nh hµnh ABCD thay ®æi nªn lÊy B ( x; y ) vµ C ( x + a; y ) bÊt kú víi ®iÒu kiÖn y ≠ 0 . Khi ®ã: AC BD = ⇔ AC .BA = AD.BD AD BA ⇔ ( x + a ) 2 + y 2 . x 2 + y 2 = a. ( x − a ) 2 + y 2 ⇔ ( x 2 + y 2 + 2ax + a 2 ).( x 2 + y 2 ) = a 2 .( x 2 + y 2 − 2ax + a 2 ) ⇔ ( x 2 + y 2 ) 2 + 2ax( x 2 + y 2 ) + 2a 3 x − a 4 = 0 (*) ((*) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai víi Èn ( x + y ) ) 2 2 TÝnh ∆ / = (ax) 2 − (2a 3 x − a 4 ) = (a 2 − ax) 2 x 2 + y 2 = − ax + (a 2 − ax) (*) ⇔ 2 x + y = − ax − (a − ax) (voâ lyù) 2 2 ⇔ x 2 + 2ax + y 2 = a 2 ⇔ ( x + a ) 2 + y 2 = 2a 2 (( )) VËy tËp hîp ®iÓm B lµ ®êng trßn (C ) cã t©m I (− a; 0) , b¸n kÝnh RB = a 2 , bá hai ®iÓm −a 2 + 1 ;0 vµ (a ( )) 2 − 1 ;0 Do tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh, ta cã BC = AD . VËy tËp hîp ®iÓm C lµ ®êng trßn (C / ) lµ ¶nh cña ®êng trßn (C ) qua phÐp tÞnh tiÕn theo AD . §êng trßn (C / ) cã t©m A ≡ O (0;0) , b¸n kÝnh RC = a 2 , bá hai ®iÓm ( −a ) ( ) 2;0 vµ a 2;0 . Bµi 18: Cho ®êng trßn (C) t©m O vµ tiÕp tuyÕn d tiÕp xóc víi (C) t¹i mét ®iÓm A cè ®Þnh trªn (C). M lµ mét ®iÓm trªn mÆt ph¼ng, kÎ tiÕp tuyÕn MT víi (C) vµ h¹ MH vu«ng gãc víi d. 1.T×m quü tÝch c¸c ®iÓm M tháa MT = MH. 2. Chøng minh c¸c ®êng trßn t©m M b¸n kÝnh MT lu«n tiÕp xóc víi mét ®êng trßn cè ®Þnh. Gi¶i :
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC 1.Chän hÖ trôc Oxy sao cho A lµ gèc täa ®é, tia Ox ≡ AO vµ tia Oy ≡ d.Khi ®ã O(R; 0), gi¶ sö M(x; y) Ta cã MH = MT ⇒ MH 2 = MT 2 = MO 2 − R 2 ⇔ x 2 = ( x − R ) 2 + y 2 − R 2 ⇔ y 2 = 2 Rx . VËy quü tÝch M lµ parabol 2.Theo ®n cña parabol, ta cã MF = MH 1 = MH + R/2 Suy ra MF = MT + R/2 , ®iÒu nµy chøng tá ®êng trßn t©m M b¸n kÝnh MT tiÕp xóc ®êng trßn cè ®Þnh t©m F b¸n kÝnh R/2. Bµi 19: Cho h×nh vu«ng cè ®Þnh. T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M trong h×nh vu«ng ®ã vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn: TÝch hai kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M ®Õn hai c¹nh cña h×nh vu«ng cïng xuÊt ph¸t tõ mét ®Ønh b»ng b×nh ph¬ng kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M ®Õn ®êng chÐo cña h×nh vu«ng kh«ng ®i qua ®Ønh ®ã. Gi¶i : Kh«ng gi¶m tÝnh tæng qu¸t, xÐt h×nh vu«ng cã c¹nh 2 . §Æt h×nh vu«ng ABCD lªn mÆt ph¼ng cã hÖ trôc täa ®é Oxy sao cho A(0;1), B(-1;0), C(0;-1), D(1;0).Gäi M(x;y) lµ ®iÓm ë trong h×nh vu«ng ABCD, h¹ MN,MP, MQ lÇn lît vu«ng gãc víi BD, DA, AB t¹i N, P, Q. Do ®ã: MP.MQ = MN2 (1) ( xÐt 2 c¹nh h×nh vu«ng ph¸t xuÊt tõ ®Ønh A) AB: x – y + 1 = 0, AD: x + y – 1 = 0. | x − y + 1| | x + y + 1| (1) ⇔ =| y |2 ⇔| x 2 − (y − 1) 2 |= 2y 2 . 2 2 M(x;y) ë trong h×nh vu«ng nªn x – y + 1 > 0, vµ x + y – 1 < 0. Do ®ã: x2 –(y – 1)2 = (x – y + 1)(x + y – 1) < 0 nªn (1) ⇔ x2 – (y– 1)2 =- 2y2 ⇔ x2 + (y+1)2 = 2 VËy tËp hîp c¸c ®iÓm M lµ cung BD, cung # ®êng trßn C, b¸n kÝnh R = 2 .Tõ kÕt qu¶ trªn ta kÕt luËn: TËp hîp c¸c ®iÓm M lµ 4 cung # ®êng trßn t©m lµ c¸c ®Ønh cña h×nh vu«ng vµ cã b¸n kÝnh b»ng c¹nh cña h×nh vu«ng. Bµi 20: Cho ®êng th¼ng cè ®Þnh a vµ mét ®iÓm A cè ®Þnh trªn a. Gäi (C) lµ ®êng trßn lu ®éng ë trong mét n÷a mÆt ph¼ng (α) cã bê a. (C) cã b¸n kÝnh kh«ng ®æi R vµ lu«n tiÕp xóc víi a, gäi M lµ tiÕp ®iÓm. Gäi I lµ t©m cña ®êng trßn (C).Chøng minh r»ng trong mÆt ph¼ng chøa ®êng trßn (C), cã mét parabol (P) cè ®Þnh sao cho trôc ®¼ng ph¬ng cña (C) vµ ®êng trßn ®êng kÝnh AI lu«n lu«n tiÕp xóc (P) khi M thay ®æi trªn a. Gi¶i : Trong mÆt ph¼ng chän hÖ trôc täa ®é §Ò-c¸c vu«ng gãc Oxy, víi Ox trïng víi a, n÷a mÆt ph¼ng α lµ n÷a mÆt ph¼ng y > 0, O trïng A. §Æt M(m;0) cã t©m I(m;R). Ph¬ng tr×nh cña (C) lµ: (C): (x - m)2 + (y - R)2 = R2 hay C): x2 + y2 – 2mx – 2Ry + m2 = 0. Ph¬ng tr×nh ®êng trßn ®êng kÝnh AI lµ: m2 + R 2 (C’): (x – m/2)2 + (y – R/2)2 = hay 4 (C’): x2 + y2 – mx – Ry = 0. Ph¬ng tr×nh trôc ®¼ng ph¬ng cña hai ®êng trßn (C) vµ (C ’) lµ: m2 m (d): mx + Ry – m = 0 ⇔ (d): y = f(x) = - x + 2 . R R 12 XÐt hµm sè y = g(x) = − x. 4R
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC m 2 m 12 − x + =− x f (x) = g(x) 4R ⇔ (x − 2m) = 0 ⇔ x = 2m . R 2 R ⇔ HÖ f '(x) = g '(x) x = 2m − m = − x R 2R 12 VËy Parabol y = f(x) = − x lu«n tiÕp xóc víi trôc ®¼ng ph¬ng (d). 4R Bµi 21: Cho tam gi¸c víi 3 c¹nh a, b, c mµ 3 ®Ønh cã täa ®é nguyªn. Gäi R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c. CMR: abc ≥ 2R. Gi¶i : abc Gäi tam gi¸c lµ A1A2A3 nh h×nh vÏ SA1A2 A3 = S = 4R 1 Do ®ã yªu cÇu bµi to¸n ⇔ chøng minh S ≥ 2 Gi¶ sö: A1 (x1, y1), A2 (x2, y2), A3 (x3,y3).Gäi A’1, A’2 , A’3 lµ h×nh chiÕu cña A1 , A2 , A3 lªn Oy. Ta cã: S = SA A A' A' −SA A A' A' −SA A A' A' 1221 1331 2332 A A + A3 A3 A A' + A3 A3 A1 A + A 2 A ' ' ' ' ' = A1 A '2 ⋅ − A1 A 3 ⋅ 1 − A '2 A 3 ⋅ 2 2 2S ' ' ' ' 1 1 2 2 2 2 = (y1 – y2) (x1 + x2) - (y1 – y3) (x1 + x3) - (y3 – y2) (x2 + x3) (*)VÕ tr¸i (*) lµ sè nguyªn (do ®Ò bµi cho x i , yi nguyªn)⇒ 2S lµ sè nguyªn ⇒ 2S ≥ 1⇒S≥# Bµi 22 : Trªn mÆt ph¼ng xÐt mét h×nh vu«ng ABCD vµ mét tam gi¸c ®Òu EFG c¾t nhau t¹o thµnh mét thÊt gi¸c låi MBNPQRS.Chøng minh r»ng nÕu SM = NP = QR ⇔ MB = PQ vµ BN = RS. Gi¶i : Chän hÖ trôc Axy nh h×nh vÏ. Gäi a lµ c¹nh cña h×nh vu«ng. Ta cã A(0; 0), B(a; 0), C(a; a), D(0; a),M(m; 0), N(a; n), P(p; a), Q(q; a), R(0; r), S(0; s) .NÕu SM = NP = QR → → → → → → SM Ta cã SM = k EF , NP = k FG , QR = k GE víi k = EF → → → → → → → → Ta cã EF + FG + EG = 0 ⇒ SM + NP + QR = 0 m + p − a − q = 0 a − m = p − q MB = PQ ⇒ ⇒ ⇒ −s−n+r =0 n=r−s BN = RS → → → → → → .Nªó MB = PQ vµ BN = RS th× MB + PQ = 0 , BN + RS = 0 kÕt → → → → → → → → hîp SM + MB + BN + NP + PQ + QR + RS = 0 → → → → ⇒ SM + NP + QR = 0 → → → → ⇒ x EF + yFG + z GE = 0 → → ⇒ ( x − z ) EF = ( z − y ) FG → → V× ⇒ EF , FG kh«ng cïng ph¬ng nªn ⇒ x = y = z ⇒ SM = NP = QR.
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC III.C¸c bµi tËp tù gi¶i : Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC nhän. (D) lµ mét ®êng th¼ng thay ®æi. Gäi D, E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A, B, C lªn (D). BiÕt r»ng AD 2 tan A + BE 2 tan B + CF 2 tan C = 2 S ABC . X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®êng th¼ng (D) ®Ó AD lín nhÊt. Gi¶i: .Chän hÖ trôc nh h×nh vÏ (b , c >0) a a .Ta cã tan B = , tan C = ^y b c Aa tan B + tan C a (b + c) (d) F tan A = =2 tan B. tan C − 1 a − bc E 2 S ABC = a (b + c) D .Gi¶ sö ph¬ng tr×nh (d) : x. sin + y. cos + d = 0 C B >x AD = d ( A, d ) = a cos + d c -b O BE = d ( B, d ) = − b sin + d CF = d (C , d ) = c sin + d .Theo gi¶ thiÕt AD 2 tan A + BE 2 tan B + CF 2 tan C = 2 S ABC a (b + c) a a ⇔ (a cos + d ) 2 2 + (−b sin + d ) 2 + (c sin + d ) 2 = a (b + c) a − bc b c 22 ad ⇔ bc. cos 2 + 2ad . cos + =0 bc bc ⇔ . cos + d = 0 a bc .§iÒu nµy chøng tá (d) ®i qua H 0 ; lµ trùc t©m tam gi¸c ABC. a .VËy AD max = AH, khi (d) ®i qua H vµ song song víi BC. Bµi 2: Cho h×nh vu«ng ABCD cã E trung ®iÓm BC. M lµ ®iÓm di ®éng trªn c¹nh AB. Gäi N, P lÇn lît lµ giao ®iÓm cña MD vµ MC víi AE. Gäi H lµ giao ®iÓm cña NC vµ DP, I lµ giao ®iÓm cña ®êng trung trùc ®o¹n DH víi ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AH t¹i H. Chøng minh khi M di ®éng trªn c¹nh AB th× I di ®éng trªn mét ®êng trßn cè ®Þnh. Gi¶i: .Chän hÖ trôc nh h×nh vÏ, ta cã M (m ; 0) .Ta cã ( AE ) : x − 2 y = 0 , ( DM ) : x + my − m = 0 , ^y (CM ) : x + (m − 1) y − m = 0 D C 1 2m m 2m m I . N = AE ∩ MD ⇒ N , P = AE ∩ MC ⇒ P ; ; m+ 2 m+ 2 m +1 m +1 .Tõ ®ã ( DP ) : x + 2my − 2m = 0 , ( NC ) : 2 x + (m − 2) y − m = 0 H E 4m 3m . H = DP ∩ NC ⇒ H P ; 3m + 2 3m + 2 N .Suy ra H ∈ (d ) : 3 x − 4 y = 0 cè ®Þnh. B >x .Theo gi¶ thiÕt ta cã ID = IH = d ( I , d ) , suy ra I thuéc parabol (P) cã tiªu A M 1 ®iÓm lµ D vµ ®êng chuÈn (d). Bµi 3: (§Ò thi HSG quèc gia 2007-2008) Cho tam gi¸c ABC, trung tuyÕn AD .Cho ®êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi ®êng th¼ng AD. XÐt ®iÓm M trªn (d). Gäi E, F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña MB vµ MC. §êng th¼ng ®i qua E vµ vu«ng gãc víi (d) c¾t ®êng th¼ng AB
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC t¹i P, ®êng th¼ng ®i qua F vµ vu«ng gãc víi (d) c¾t ®êng th¼ng AC t¹i Q. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng ®i qua M vµ vu«ng gãc víi PQ lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh, khi M di ®éng trªn (d). Gi¶i: .Chän hÖ trôc nh h×nh vÏ O ≡ D , Oy ≡ DA .Khi ®ã Ox song song (d), A(0;a), B(b; c) , C(-b; -c) .Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB : (a − c) x + by − ab = 0 ^y AC : (a + c) x − by + ab = 0 A . M ( xM ; d ) b + xM b − xM .Khi ®ã (d1 ) : x = , (d 2 ) : x = C 2 2 .Tõ ®ã suy ra täa ®é P = d1 ∩ AB , Q = d 2 ∩ AC >x .Suy ra ®êng th¼ng ®i qua M vµ vu«ng gãc PQ cã ph¬ng tr×nh D F b2 2 bc y−d + =0 b x − − (ax M − bc) B a E a (d) M bc b2 .Suy ra ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh ; d − a a Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC cã hai ®êng ph©n gi¸c trong vµ ngoµi gãc A c¾t c¹nh BC t¹i D vµ E. Chøng minh r»ng nÕu AD = AE th× AB 2 + AC 2 = 4 R 2 (trong ®ã R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC). Gi¶i: .Chän hÖ trôc nh h×nh vÏ Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ADE vu«ng c©n t¹i A. ^y .Khi ®ã OA = OE = OD nªn B (b;0) , A(0; a ) , D (a;0) , E (− a;0) , C (c;0) A DB 2 AB 2 DB AB = ⇒ = .Theo tÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c DC 2 AC 2 DC AC (b − a ) 2 b 2 + a 2 a2 ⇔ =2 ⇔ (b − a ) 2 (c 2 + a 2 ) = (c − a ) 2 (b 2 + a 2 ) ⇔ c = (c − a ) 2 c + a 2 b >x C D E B O 2 a +b 4 2 2 a )= b .Ta cã AB 2 + AC 2 = (a 2 + b 2 ) + (a 2 + b2 .Gäi I(x;y) lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC, ta cã AI = BI b2 + a2 x = ⇔ 2b BI = CI a b 2 + a 2 2 b2 + a 2 2 .Suy ra 4 R = 4 AI = 4 + (a − a) = 2 2 2 2b b .Tõ ®ã suy ra AB 2 + AC 2 = 4 R 2 BµI TËP : øNG DôNG H×NH HäC GI¶I TÝCH THUÇN TóY Bµi 1 : Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC cã B(1; 2). §êng ph©n gi¸c trong ∆ cña gãc A cã ph¬ng tr×nh 2x + y -1 = 0, kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn ∆ b»ng 2 lÇn kho¶ng c¸ch tõ B ®Õn ∆ . T×m täa ®é cña A vµ C, biÕt r»ng C n»m trªn trôc tung. Bµi 2 : Cho ®iÓm A(1; 0) vµ hai ®êng trßn (C1 ) : x 2 + y 2 = 2 , (C 2 ) : x 2 + y 2 = 5 . XÐt tam gi¸c ABC cã B ∈ (C1 ) vµ C ∈ (C 2 ) . T×m täa ®é B, C ®Ó diÖn tÝch tam gi¸c ABC lín nhÊt.
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC Bµi 3 : Cho ®êng th¼ng ∆ : 3 x + 4 y − 25 = 0 , ®iÓm M ch¹y trªn ∆ . Trªn tia OM lÊy N sao cho OM.OM = 1. Chøng minh N ch¹y trªn ®êng trßn cè ®Þnh, viÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn ®ã. Bµi 4 : Cho parabol y = − x 2 ( P ) vµ ®êng th¼ng y = − mx − 1 (d ) . Chøng minh khi m thay ®æi ®êng th»ng (d ) lu«n c¾t ( P ) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt M, N. T×m quü tÝch t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OMN. Bµi 5 : Cho ®êng trßn (C ) : x 2 + y 2 = 1 . §êng trßn (C) c¾t trôc tung ë A(1; 0) vµ B(-1; 0). §êng th¼ng y = m (0 ≠ m < 1) c¾t (C) t¹i J vµ S. §êng th¼ng qua A, J c¾t ®êng th¼ng qua B, S t¹i P. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm P khi m thay ®æi. 1 1 1 + + Bµi 6 : Cho elip (E) cã tiªu ®iÓm F. Ba tia xuÊt ph¸t tõ F c¾t (E) t¹i M, N, P. Chøng minh FM FN FP kh«ng ®æi khi M, N, P thay ®æi. Bµi 7 : Trªn mp Oxy cho ba ®êng th¼ng d1 : 3x − y − 4 = 0 , d 2 : x + y − 6 = 0 , d1 : x + 3 y − 3 = 0 . T×m c¸c ®é c¸c ®Ønh cña h×nh vu«ng ABCD biÕt r»ng A vµ C thuéc d 3 , B thuéc d1 , D thuéc d 2 . Bµi 8 : Trªn mp Oxy cho ba ®êng th¼ng d1 : x − 2 y − 2 = 0 , d 2 : 2 x + 3 y − 11 = 0 .§êng th¼ng d ®i qua giao 1 1 + ®iÓm cña d1 , d 2 c¾t hai tia Ox, Oy lÇn lît t¹i A, B. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d sao cho nhá 2 OB 2 OA nhÊt. BµI TËP : øNG DôNG H×NH HäC GI¶I TÝCH VµO BµI H×NH HäC TæNG HîP Bµi 1 : Cho tam gi¸c ABC nhän cã träng t©m G vµ trùc t©m H kh«ng trïng nhau. Chøng minh r»ng GH // BC ⇔ tan B + tan C = 2 tan A . Bµi 2 : Cho tam gi¸c ABC ®Òu c¹nh a. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M tháa m·n : 4 MA 2 − 2 MB 2 − MC 2 = 6a 2 AC BD = Bµi 3 : Trªn ®o¹n AD cè ®Þnh, dùng h×nh b×nh hµnh ABCD sao cho . T×m quü tÝch ®iÓm B. AD AB Bµi 4 : Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh b»ng 2. Gäi M lµ trung ®iÓm c¹nh CD, N lµ ®iÓm di ®éng trªn c¹nh BC sao cho BC = n (0 ≤ n ≤ 1) vµ P lµ ®iÓm n»m trªn c¹nh AB sao cho DP song song víi MN. Chøng minh ®êng th¼ng PN lu«n tiÕp xóc víi mét ®êng trßn cè ®Þnh. Bµi 5 : Cho tam gi¸c ABC nhän. (D) lµ mét ®êng th¼ng thay ®æi. Gäi D, E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A, B, C lªn (D). BiÕt r»ng AD 2 tan A + BE 2 tan B + CF 2 tan C = 2 S ABC . X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®êng th¼ng (D) ®Ó AD lín nhÊt. Bµi 6 : Cho tam gi¸c ABC cã hai ®êng ph©n gi¸c trong vµ ngoµi gãc A c¾t c¹nh BC t¹i D vµ E. Chøng minh r»ng nÕu AD = AE th× AB 2 + AC 2 = 4 R 2 (trong ®ã R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC). Bµi 7 : Cho tam gi¸c ABC, trung tuyÕn AD .Cho ®êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi ®êng th¼ng AD. XÐt ®iÓm M trªn (d). Gäi E, F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña MB vµ MC. §êng th¼ng ®i qua E vµ vu«ng gãc víi (d) c¾t ®êng th¼ng AB t¹i P, ®êng th¼ng ®i qua F vµ vu«ng gãc víi (d) c¾t ®êng th¼ng AC t¹i Q. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng ®i qua M vµ vu«ng gãc víi PQ lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh, khi M di ®éng trªn (d). Bµi 8 : Cho tam gi¸c ABC cã hai ®êng ph©n gi¸c trong vµ ngoµi gãc A c¾t c¹nh BC t¹i D vµ E. Chøng minh r»ng nÕu AD = AE th× AB 2 + AC 2 = 4 R 2 (trong ®ã R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC). …………………………………………………………… NGUYÔN V¡N TRUNG
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
14 p | 962 | 510
-
Phương pháp toạ độ trong không gian
17 p | 941 | 456
-
Hình học 12 - Chương III: Phương pháp tọa độ trong không gian
14 p | 1201 | 424
-
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
15 p | 1029 | 350
-
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
6 p | 1426 | 326
-
Phương pháp tọa độ trong không gian_Chương 3
3 p | 1011 | 154
-
Ebook Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Trần Thanh Nghĩa
33 p | 251 | 149
-
Phương pháp tọa độ trong không gian
16 p | 318 | 123
-
Chuyên đề Hình Giải Tích: Ứng dụng phương pháp tọa độ trong Hình học (bồi dưỡng HSG)
20 p | 150 | 105
-
Giải bài tập Hình học 12 cơ bản - Chương 3 - Phương pháp tọa độ trong không gian
53 p | 229 | 92
-
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
5 p | 245 | 76
-
Bài giảng: Ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải hình học không gian
39 p | 70 | 30
-
Ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải Toán
17 p | 85 | 29
-
Ebook Phân loại và phương pháp giải các dạng toán Hình học 10: Phần 2
68 p | 42 | 26
-
Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, đường thẳng
4 p | 29 | 11
-
Ebook Chuyên đề: Ứng dụng phương pháp vectơ và tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp - Tự luận và trắc nghiệm (Phần 1)
58 p | 5 | 2
-
Ebook Chuyên đề: Ứng dụng phương pháp vectơ và tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp - Tự luận và trắc nghiệm (Phần 2)
102 p | 4 | 2

markdown:
# Ứng dụng phương pháp tọa độ trong hình học
Chia sẻ: Le Khanh Huan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13
lượt xem 63
download
![](http://image.tailieu.vn/document/thumbnail/2012/20120821/lehuanss/80x100/3801345538873.jpg)
##
Ứng dụng phương pháp tọa độ trong hình học
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](images/down16x21.png)
Kiến thức : tọa độ của điểm, véc tơ trong mặt phẳng và các kiến thức liên quan.Đường thẳng, đường tròn, các đường cônic: Elip, Hyperbol, Parabol.Các dạng bài toán áp dụng: Bài toán hình học khó áp dụng được cho có tính chất hình học thuần túy.Bài toán hình học mà việc minh chứng hoặc tính toán quá phức tạp.Bài toán hình học cổ điển chuyển vê bài toán tọa độ
![](images/graphics/blank.gif)
Bình luận(0)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
##
Nội dung Text: Ứng dụng phương pháp tọa độ trong hình học
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC øNG DôNG PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG H×NH HäC I.KiÕn thøc c¬ b¶n : S¦U TÇM Boxmath 1.KiÕn thøc : (Theo ch¬ng tr×nh H×nh Häc 10 n©ng cao) Täa ®é cña ®iÓm, vÐc t¬ trong mÆt ph¼ng vµ c¸c kiÕn thøc liªn quan. §êng th¼ng. §êng trßn. C¸c ®êng C«nic : Elip, Hyperbol, Parabol. 2.C¸c d¹ng bµi to¸n ¸p dông : .Bµi to¸n h×nh häc khã ¸p dông ®îc cho c¸c tÝnh chÊt h×nh häc thuÇn tuý (h×nh häc cæ ®iÓn) . .Bµi to¸n h×nh häc mµ viÖc chøng minh hoÆc tÝnh to¸n qu¸ phøc t¹p. .Bµi to¸n h×nh häc chøa ®ùng c¸c yÕu tè : täa ®é, vÐct¬, ®êng C«nic . . . 3.NhËn d¹ng : .D¹ng 1: bµi to¸n h×nh gi¶i tÝch thuÇn tuý (chøa ®ùng s¼n c¸c yÕu tè vÒ h×nh gi¶i tÝch) .D¹ng 2: bµi to¸n h×nh cæ ®iÓn chuyÓn vÒ bµi to¸n vÐc t¬ (kh«ng sö dông täa ®é) .D¹ng 3: bµi to¸n h×nh cæ ®iÓn chuyÓn vÒ bµi to¸n täa ®é. 4.Ph¬ng ph¸p ¸p dông : .Chän hÖ trôc täa ®é thÝch hîp (hÖ täa ®é §ªcac hoÆc Afin) tïy theo bµi to¸n sao cho viÖc tÝnh to¸n ®¬n gi¶n, dÔ biÓu diÓn. .T×m to¹ ®é c¸c ®èi tîng ®· cho vµ c¸c ®èi tîng liªn quan. .Tõ ®ã rót ra c¸c tÝnh chÊt h×nh häc cÇn t×m theo yªu cÇu cña bµi to¸n. II.C¸c bµi to¸n minh häa : Bµi 1: ( §Ò thi häc sinh giái quèc gia 2006-2007) Cho tam gi¸c ABC cã hai ®Ønh B, C cè ®Þnh vµ ®Ønh A thay ®æi. Gäi H, G lÇn lît lµ trùc t©m vµ träng t©m cña tam gi¸c ABC. T×m quü tÝch ®iÓm A, biÕt r»ng trung ®iÓm K cña HG thuéc ®êng th¼ng BC. Gi¶i : Chän hÖ trôc Oxy víi O trung ®iÓm BC vµ trôc Ox lµ ®êng th¼ng BC .§Æt BC = 2a > 0 . Khi ®ã täa ®é B (− a , 0) ; C (a , 0) . Gi¶ sö A( x0 , y 0 ) y 0 ≠ 0 . Khi ®ã trùc t©m H lµ nghiÖm hÖ ph¬ng tr×nh x = x0 a 2 − x0 2 ⇒ H x0 , ( x + a )(a − x0 ) − y 0 y = 0 y0 2 x 3a 2 − 3 x0 + y 0 x y 2 2 .Träng t©m G 0 ; 0 , suy ra trung ®iÓm K 0 ; 3 3 3 6 y0 .K thuéc ®êng th¼ng BC khi vµ chØ khi x2 y2 3a 2 − 3 x0 + y 0 = 0 ⇔ 0 − 02 = 1 ( y 0 ≠ 0) 2 2 a 2 3a x2 y2 .VËy quü tÝch A lµ hyperbol 2 − 2 = 1 bá ®i hai ®iÓm B, C a 3a Bµi 2 : ( §Ò thi OLYMPIC Lª Hång Phong 2008-2009) Cho tam gi¸c ABC cã hai ®Ønh B, C cè ®Þnh vµ ®Ønh A thay ®æi. Qua B dùng ®êng th¼ng d vu«ng gãc víi BC, d c¾t ®êng trung tuyÕn AI cña tam gi¸c ABC t¹i K.Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC. T×m quü tÝch ®iÓm A, biÕt r»ng IH song song víi KC. Gi¶i : Chän hÖ trôc Oxy víi O trïng I vµ trôc Ox lµ ®êng th¼ng BC. §Æt BC = 2a > 0 .Khi ®ã to¹ ®é B (− a; 0) ; C (a; 0) Gi¶ sö täa ®é ®iÓm A( x0 ; y 0 ) víi y 0 ≠ 0
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC .Khi ®ã trùc t©m H lµ nghiÖm hÖ ph¬ng tr×nh x = x0 a 2 − x0 2 ⇒ H x0 ; ^y ( x + a )(a − x0 ) − y 0 y = 0 y0 A K = d ∩ ( AI ) lµ nghiÖm hÖ ph¬ng tr×nh x = −a y0 H y = y 0 x ⇒ K − a; − a víi x0 ≠ 0 x0 x0 B C >x I Theo gi¶ thiÕt, ta cã a 2 − x02 → → y IH cïng ph¬ng KC ⇔ a 0 .x0 − 2a. =0 x0 y0 2 y2 x0 ⇔ + 02 = 1 a 2 2a K 2 2 x0 y0 VËy quü tÝch A lµ elip 2 + 2 = 1 bá ®i 4 ®iÓm B, C, a 2a A1 (0; − a 2 ) , A2 (0; a 2) lµ 4 ®Ønh cña elip Bµi 3: Trong mÆt ph¼ng cho ®êng trßn (O,R) vµ mét ®iÓm A cè ®Þnh. I lµ ®iÓm di ®éng trªn (O). §êng trßn t©m I lu«n ®i qua A. Chøng minh r»ng trôc ®¼ng ph¬ng cña hai ®êng trßn (O) vµ (I) lu«n tiÕp xóc víi mét ®êng trßn cè ®Þnh . Gi¶i : Chän hÖ trôc (Oxy) nh h×nh vÏ (OA lµ trôc Oy) . Ta cã A(0,b) , (O) : x 2 + y2 = R 2 . Gäi I(m ; n) ∈ (O) ⇒ m + n = R vµ IA 2 = m 2 + (b − n ) 2 . 2 2 2 VËy (I) : ( x − m) 2 + ( y − n ) 2 = m 2 + (n − b) 2 . Hay x 2 + y 2 − 2mx − 2ny + 2nb − b 2 = 0 . Suy ra ph¬ng tr×nh cña trôc ®¼ng ph¬ng cña (O) vµ(I) lµ (d) : 2mx + 2ny – 2nb + b2 + R 2 = 0 . 2nb − 2nb + b 2 − R 2 b2 − R 2 = Ta cã d(A,d) = 2 m2 + n 2 2R Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC cã ®êng cao CH. Gäi I, K lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c ®o¹n AB, CH. Mét ®êng th¼ng d di ®éng lu«n lu«n song song víi c¹nh AB c¾t c¹nh AC t¹i M vµ c¾t c¹nh BC t¹i N. Dùng h×nh ch÷ nhËt MNPQ víi hai ®iÓm P, Q n»m trªn c¹nh AB. Gäi J lµ t©m h×nh ch÷ nhËt MNPQ. Chøng minh ba ®iÓm I, J, K th¼ng hµng. Gi¶i : Chän hÖ trôc Oxy sao cho O ≡ H , c¸c ®iÓm A, B n»m trªn Ox, ®iÓm C n»m trªn Oy Ta cã to¹ ®é c¸c ®iÓm H(0; 0), C(0; c) , A(a; 0) , B(b; 0). §êng th¼g d cã ph¬ng tr×nh y = m (0
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC b (c − m ) §iÓm P lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña N trªn Ox ⇒ P ;0 c (a + b)(c − m) m J lµ trung ®iÓm cña ®o¹n PM ⇒ J ; 2 2c a+b c m( a + b) m → → Tõ ®ã ta cã IK = − ; vµ IJ = − ; 2 2 2 2c → → VËy IK cïng ph¬ng IJ , nªn ba ®iÓm I, J, K th¼ng hµng. Bµi 5 : Cho tam gi¸c ABC ®Òu cã c¹nh b»ng 2a vµ (d) lµ ®êng th¼ng tïy ý c¾t c¸c ®êng th¼ng BC, CA, AB. Gäi x, y, z t¬ng øng lµ c¸c gãc gi÷a ®êng th¼ng (d) vµ c¸c ®êng th¼ng BC, CA, AB. Chøng minh : 1 sin 2 x. sin 2 y. sin 2 z + cos 2 x. cos 2 y. cos 2 z = . 16 Gi¶i : Chän hÖ trôc täa ®é sao cho A(0; a 3 ), B (− a;0), C (a;0) . Khi ®ã → → → AB = (− a;− a 3) , CA = (− a; a 3 ) , BC = (2a;0) . → Gäi u = (u1 ; u 2 ) lµ vÐc t¬ chØ ph¬ng cña ®êng th¼ng (d). Ta cã : u2 u2 cos 2 x = 2 1 2 ⇒ sin 2 x = 2 2 2 u1 + u 2 u1 + u 2 (u ) ( ) 2 2 − u2 3 u 3 − u2 y= ⇒ sin 2 y = 1 2 2 1 cos 4(u1 + u 2 ) 4(u1 + u 2 ) 2 2 2 (u ) ( ) 2 2 + u2 3 u 3 − u2 z= ⇒ sin 2 z = 1 2 2 1 cos 4(u1 + u 2 ) 4(u1 + u 2 ) 2 2 2 S = sin 2 x. sin 2 y. sin 2 z + cos 2 x. cos 2 y. cos 2 z ( ) ( ) 2 2 u12 u12 − 3u 2 + u 2 3u12 − u 2 u16 + 3u14 u 2 + 3u12 u 2 + u 2 2 2 2 2 4 6 1 = = = . 16(u + u ) ( ) 23 23 16 u12 + u 16 2 1 2 2 Bµi 6 : Cho ®êng d trªn ®ã lÊy mét ®iÓm A. Cho tríc hai sè d¬ng a, b sao cho a>b. XÐt tÊt c¶ c¸c ®iÓm P, Q ∧ sao cho AP = a, AQ = b vµ ®êng th¼ng d lµ ph©n gi¸c cña PAQ . øng víi mçi cÆp ®iÓm P,Q xÐt ®iÓm sao cho → → → AM = AP + AQ .T×m quü tÝch ®iÓm M. Gi¶i : Chän hÖ tôc täa ®é nh sau : lÊy A lµm gèc täa ®é, trôc hoµnh lµ d.Gäi M(x; y)Ta cã x = x P + xQ → → → : AM = AP + AQ ⇔ ( x; y ) = ( x P ; y P ) + ( xQ ; y Q ) ⇔ (1 y = y P + yQ ) x 2 + yP = a 2 2 Do AP = a vµ AQ = b nªn P (2) xQ + y Q = b 2 2 2 NÕu ph¬ng tr×nh (AP): y = kx th× (AQ): y = -kx xP + k 2 xP = a 2 2 2 Tõ (2) suy ra 2 xQ + k xQ = b 22 2
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC 2 ( a + b) 2 x = x P + xQ + 2 x P xQ = 2 2 x2 y2 1+ k 2 (1) ⇔ ⇔ + =1 y 2 = y P + y Q + 2 y P y Q = k ( a − b) ( a + b) 2 ( a − b) 2 2 2 2 2 1+ k 2 VËy quü tÝch M lµ mét elip Bµi 7: Trªn ®êng th¼ng d cho tríc, cho ba ®iÓm A, B, C trong ®ã B n»m gi÷a A vµ C. VÏ vßng trßn tiÕp xóc víi d t¹i B. Gäi M lµ giao ®iÓm cña hai tiÕp tuyÕn víi vßng trßn trªn vÏ tõ A vµ C. T×m quü tÝch ®iÓm M. Gi¶i : Gäi c¸c tiÕp ®iÓm nh h×nh vÏ, ta cã MA − MC = BA − BC = h»ng sè (1) .NÕu B lµ trung ®iÓm cña AC th× tõ (1) ⇒ MA = MC : quü tÝch M lµ trung trùc cña AC. .NÕu B kh«ng lµ trung ®iÓm cña AC th× tõ (1): quü tÝch M lµ hyperbol nhËn A, C lµm tiªu ®iÓm (nh h×nh vÏ) Bµi 8 : Cho ®êng th¼ng d vµ mét ®iÓm A cè ®Þnh kh«ng n»m trªn d. P vµ Q lµ hai ®iÓm di ®éng trªn d nhng PQ = a (trong ®ã a lµ sè d¬ng cho tríc). Gäi M lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c APQ. T×m quü tÝch ®iÓm M. Gi¶i : Dùng hÖ trôc täa ®é nh h×nh vÏ Gäi M (x; y), gi¶ sö kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn d lµ h, khi ®ã A(0; h) Ta cã a2 a2 1 2 h a2 MA 2 − MH 2 = ⇔ x 2 + ( y − h) 2 − y 2 = ⇔ y= x+ − 4 4 2h 2 4h VËy quü tÝch ®iÓm M lµ mét Parabol Bµi 9: Qua t©m O cña hai ®êng trßn ®ång t©m vÏ hai ®êng th¼ng vu«ng gãc d 1 vµ d2. §êng th¼ng d di ®éng quay quanh O vÒ cïng mét híng c¾t c¸c vßng trßn nhá vµ lín lÇn lît t¹i A vµ B. Qua A vÏ ®êng th¼ng d1/ song song d1vµ qua B vÏ ®êng th¼ng d 2/ song song d2. T×m quü tÝch ®iÓm M = d1/ ∩ d 2/ . Gi¶i :
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC LËp hÖ trôc täa ®é nhËn d1, d2 µ trôc Ox vµ Oy. Gi¶ sö ®êng th¼ng d cã ph¬ng tr×nh y = kx, A(x A ; yA) , B(xB ; yB). Tõ gi¶ thiÕt, ta cã x = xB , y = yA y = kx A x2 + yA = r 2 2 Ta cã 2A vµ A y B = kx B xB + yB = R 2 2 R2 k 2r 2 ⇒ xB = ; yA = 2 2 1+ R2 1+ k 2 x2 y2 x2 yA 2 Tõ ®ã ta cã 2 + 2 = B + 2 = 1 R2 r R r x2 y2 VËy quü tÝch ®iÓm M lµ Elip 2 + 2 = 1 R r Bµi 10: Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i C. Trªn c¸c C¹nh BC, CA, AB lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm M, N, P sao cho MB NC PA = = . Chøng minh r»ng CP ⊥ MN vµ CP = MN MC NA PB Gi¶i : Chän hÖ trôc Oxy sao cho O ≡ C , tia Ox ≡ CA vµ tia Oy ≡ CB Ta cã to¹ ®é c¸c ®iÓm C(0; 0) , A(1; 0) , B(0; 1). MB NC PA = = =k Tõ gi¶ thiÕt ta ®Æt MC NA PB 1 → 1→ M 0; 1 + k CM = CB 1+ k k → k→ CN = ⇒ N Do ®ã ;0 CA 1+ k 1+ k → → → CP = 1 CA+ k CB 1 k P 1 + k ; 1 + k 1+ k 1+ k → → k k Tõ ®ã MN . CP = − = 0 ⇒ CP ⊥ MN (1 + k ) (1 + k ) 2 2 k 2 +1 2 →2 → MN = = CP (1 + k ) 2 Bµi 11: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. Gäi At lµ tia ph©n gi¸c cña gãc A. Qua trung ®iÓm M cña c¹nh huyÒn BC ta dùng ®êng th¼ng vu«ng gãc víi tia At c¾t c¸c ®êng th¼ng AB vµ AC lÇn lît t¹i E vµ F. Chøng minh BE = CF. Gi¶i : Chän hÖ trôc Oxy sao cho O ≡ A , tia Ox ≡ AB vµ tia Oy ≡ AC Ta cã to¹ ®é c¸c ®iÓm A(0; 0) , B(b; 0) , C(0; c). b+c b+c DÔ dµng ta t×m ®îc to¹ ®é E ;0 vµ F 0; 2 2 c−b b−c Tõ ®ã suy ra BE = vµ CF = 2 2
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC Bµi 12: Cho hai ®iÓm A, B cè ®Þnh vµ mét ®êng th¼ng d vu«ng gãc víi AB, nhng kh«ng ®i qua A, B. M«t ®iÓm M ch¹y trªn d.T×m tËp hîp giao ®iÓm N cña c¸c ®êng th¼ng vu«ng gãc víi MA, MB t¹i AvµB. Gi¶i : Chän hÖ trôc Oxy sao cho O = d ∩ AB , tia Ox ≡ AB vµ tia Oy ≡ d Ta cã to¹ ®é c¸c ®iÓm A(a; 0) , B(b; 0) , M(0; m).Gäi N(x; y) → → a (a − x) + my = 0 Khi ®ã MA. NA = 0 ⇔ → → b(b − x) + my = 0 MB. NB = 0 Gi¶i hÖ ta ®îc x = a+b. VËy tËp hîp giao ®iÓm N lµ ®êng th¼ng − vu«ng gãc Ox t¹i H cã hoµnh ®é OH = a + b . Bµi 13: Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m I. Gäi D lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB, E lµ träng t©m cña tam gi¸c ADC. Chøng minh r»ng AB = AC th× IE vu«ng gãc víi CD. Gi¶i : Ta cã thÓ chän hÖ trôc täa ®é Oxy sao cho O trïng víi trung ®iÓm BC, A thuéc Oy víi A(0; a) , B(-c; 0) , C(c; c a c a 0).Khi ®ã ta cã D − ; , E ; 2 2 6 2 §Ó tÝnh täa ®é t©m I (0; y 0 ) , ta cã a2 − c2 IA = IC ⇔ (a − y 0 ) 2 = c 2 + y 0 ⇒ y 0 = 2 2a y − y I 3c HÖ sè gãc ®êng th¼ng IE lµ k = E = . xE − xI a y − yC a HÖ sè gãc ®êng th¼ng CD lµ k / = D =− x D − xC 3c Ta cã k .k / = −1 ⇒ IE ⊥ CD . Bµi 14: T×m quü tÝch nh÷ng ®iÓm M trªn mÆt ph¼ng cã tæng kho¶ng ®Õn mét ®iÓm cè ®Þnh I vµ mét ®êng th¼ng cè ®Þnh ∆ b»ng mét sè a d¬ng cho tríc. Gi¶i : .Chän hÖ trôc to¹ ®é vu«ng gãc Oxy sao cho + O≡I + Ox ⊥ ∆ vµ ∆ cã ph¬ng tr×nh x = d > 0 .Ta ph¶i t×m quü tÝch nh÷ng ®iÓm M(x ; y) sao cho x 2 + y 2 + x − d = a (1) .NÕu x ≥ d th× x 2 + y2 + x − d ≥ x 2 + y2 ≥ d .NÕu x < d th× x 2 + y 2 + x − d = d + ( x 2 + y 2 − x) ≥ d .Nh vËy c¸c trêng hîp x·y ra lµ d > a : quü tÝch M lµ tËp rçng d = a : tõ lý luËn trªn (1) ⇔ y = 0 , 0 ≤ x ≤ a : quü tÝch M ®o¹n th¼ng nèi tõ I ®Õn ch©n ®êng vu«ng gãc h¹ tõ I lªn ∆ .
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC a+d d < a : Khi x ≥ d , tõ (1) ⇒ y 2 = 2(a + d)( − x) 2 a −d Khi x < d , tõ (1) ⇒ y 2 = 2(a − d)( + x) 2 Nh vËy quü tÝch M lµ 2 nh¸nh cña 2 Parabol(kho¶ng gi÷a S1,S2) cã ph¬ng tr×nh nh trªn. Bµi 15: Cho hai ®êng th¼ng c¾t nhau a vµ b . T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M sao cho tæng kho¶ng c¸ch tõ ®ã tíi a vµ b lu«n lu«n b»ng sè 1 kh«ng ®æi . Gi¶i : Ta chän hÖ trôc täa ®é Oxy víi O lµ giao ®iÓm cña a vµ b , Ox lµ ®êng th¼ng a sao cho ®êng th¼ng b cã ph¬ng tr×nh y = kx (k > 0) Gi¶ sö M(x ; y) lµ ®iÓm nµo ®ã , kÎ MA ⊥ a , MB ⊥ b . Khi ®ã , ta cã thÓ tÝnh ®îc c¸c kho¶ng c¸ch MA vµ MB : kx − y MA = y , MB = k2 +1 kx − y VËy , víi ®iÒu kiÖn bµi to¸n lµ y + = 1 (1) . Ta chia k2 +1 c¸c trêng hîp sau : a) y ≥ 0 vµ y ≤ kx . DÔ thÊy r»ng khi ®ã M n»m trong gãc xOz . ) ( kx − y (1) ⇔ y + = 1 ⇔ kx + k 2 + 1 − 1 y − k 2 + 1 = 0 (2) k +1 2 Nh vËy , tËp hîp M lµ phÇn ®êng th¼ng (2) n»m trong gãc xOz , tøc lµ ®o¹n PQ (h×nh vÏ) . b) y ≥ 0 vµ y ≥ kx . Khi ®ã M n»m trong gãc zOx ’ vµ : ) ( −kx + y (1) ⇔ y + = 1 ⇔ − kx + k 2 + 1 + 1 y − k 2 + 1 = 0 (3) k +1 2 Nh vËy tËp hîp M lµ phÇn ®êng th¼ng (3) n»m trong zOx ’, tøc lµ ®o¹n th¼ng PR (h×nh vÏ) . DÔ thÊy r»ng tÝch v« h¬ng cña hai vect¬ ph¸p tuyÕn : ) ) ( ( nPQ = k ; k 2 + 1 − 1 , nPR = − k ; k 2 + 1 + 1 b»ng 0 , tøc lµ PQ ⊥ PR T¬ng tù nh trêng hîp a) vµ b) , ta xÐt c¸c trêng hîp : c) y ≤ 0 vµ y ≤ kx d) y ≤ 0 vµ y ≥ kx , Ta ®i ®Õn kÕt luËn :TËp hîp c¸c ®iÓm M lµ mét h×nh ch÷ nhËt QPRS cã t©m lµ O vµ hai ®êng chÐon»m trªn a vµ b. Bµi 16: Cho hai ®iÓm A, B cè ®Þnh, AB = a kh«ng ®æi vµ hai ®iÓm C, D di ®éng sao cho CD = b kh«ng ®æi, AB cïng híng CD , AC + BD = 2(a+b). T×m quÜ tÝch giao ®iÓm M cña AD vµ BC. Gi¶i : VÏ ME // AC , MF // BD ( E , F ∈ AB) MB AB a MA AB a = =; = = Ta cã: MC CD b MD CD b
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC BE MB a AF AM a = = = = Suy ra: ; BA BC a + b AB AD a + b a2 a2 ⇒ BE = , AF = a+b a+b Suy ra: E vµ F cè ®Þnh. ME BM a MF AM a = = = = V× nªn ; AC BC a + b BD AD a + b a. AC a.BD ME = , MF = a+b a+b a.( AC + BD ) Suy ra: ME + MF = = 2a kh«ng ®æi. a+b Chän hÖ trôc Oxy nh h×nh vÏ, víi O lµ trung ®iÓm cña EF. Ta cã tËp hîp ®iÓm M lµ mét Elip nhËn E vµ F lµm hai tiªu ®iÓm, cã ®é dµi trôc lín lµ 2a AC BD = Bµi 17: H×nh b×nh hµnh ABCD thay ®æi trong ®ã A vµ D cè ®Þnh tho¶: . T×m tËp hîp ®iÓm B vµ C . AD BA Gi¶i : Trong mÆt ph¼ng Oxy , chän A ≡ O (0;0) ; D (a; 0) víi AD = a (kh«ng ®æi) Theo gi¶ thiÕt h×nh b×nh hµnh ABCD thay ®æi nªn lÊy B ( x; y ) vµ C ( x + a; y ) bÊt kú víi ®iÒu kiÖn y ≠ 0 . Khi ®ã: AC BD = ⇔ AC .BA = AD.BD AD BA ⇔ ( x + a ) 2 + y 2 . x 2 + y 2 = a. ( x − a ) 2 + y 2 ⇔ ( x 2 + y 2 + 2ax + a 2 ).( x 2 + y 2 ) = a 2 .( x 2 + y 2 − 2ax + a 2 ) ⇔ ( x 2 + y 2 ) 2 + 2ax( x 2 + y 2 ) + 2a 3 x − a 4 = 0 (*) ((*) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai víi Èn ( x + y ) ) 2 2 TÝnh ∆ / = (ax) 2 − (2a 3 x − a 4 ) = (a 2 − ax) 2 x 2 + y 2 = − ax + (a 2 − ax) (*) ⇔ 2 x + y = − ax − (a − ax) (voâ lyù) 2 2 ⇔ x 2 + 2ax + y 2 = a 2 ⇔ ( x + a ) 2 + y 2 = 2a 2 (( )) VËy tËp hîp ®iÓm B lµ ®êng trßn (C ) cã t©m I (− a; 0) , b¸n kÝnh RB = a 2 , bá hai ®iÓm −a 2 + 1 ;0 vµ (a ( )) 2 − 1 ;0 Do tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh, ta cã BC = AD . VËy tËp hîp ®iÓm C lµ ®êng trßn (C / ) lµ ¶nh cña ®êng trßn (C ) qua phÐp tÞnh tiÕn theo AD . §êng trßn (C / ) cã t©m A ≡ O (0;0) , b¸n kÝnh RC = a 2 , bá hai ®iÓm ( −a ) ( ) 2;0 vµ a 2;0 . Bµi 18: Cho ®êng trßn (C) t©m O vµ tiÕp tuyÕn d tiÕp xóc víi (C) t¹i mét ®iÓm A cè ®Þnh trªn (C). M lµ mét ®iÓm trªn mÆt ph¼ng, kÎ tiÕp tuyÕn MT víi (C) vµ h¹ MH vu«ng gãc víi d. 1.T×m quü tÝch c¸c ®iÓm M tháa MT = MH. 2. Chøng minh c¸c ®êng trßn t©m M b¸n kÝnh MT lu«n tiÕp xóc víi mét ®êng trßn cè ®Þnh. Gi¶i :
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC 1.Chän hÖ trôc Oxy sao cho A lµ gèc täa ®é, tia Ox ≡ AO vµ tia Oy ≡ d.Khi ®ã O(R; 0), gi¶ sö M(x; y) Ta cã MH = MT ⇒ MH 2 = MT 2 = MO 2 − R 2 ⇔ x 2 = ( x − R ) 2 + y 2 − R 2 ⇔ y 2 = 2 Rx . VËy quü tÝch M lµ parabol 2.Theo ®n cña parabol, ta cã MF = MH 1 = MH + R/2 Suy ra MF = MT + R/2 , ®iÒu nµy chøng tá ®êng trßn t©m M b¸n kÝnh MT tiÕp xóc ®êng trßn cè ®Þnh t©m F b¸n kÝnh R/2. Bµi 19: Cho h×nh vu«ng cè ®Þnh. T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M trong h×nh vu«ng ®ã vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn: TÝch hai kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M ®Õn hai c¹nh cña h×nh vu«ng cïng xuÊt ph¸t tõ mét ®Ønh b»ng b×nh ph¬ng kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M ®Õn ®êng chÐo cña h×nh vu«ng kh«ng ®i qua ®Ønh ®ã. Gi¶i : Kh«ng gi¶m tÝnh tæng qu¸t, xÐt h×nh vu«ng cã c¹nh 2 . §Æt h×nh vu«ng ABCD lªn mÆt ph¼ng cã hÖ trôc täa ®é Oxy sao cho A(0;1), B(-1;0), C(0;-1), D(1;0).Gäi M(x;y) lµ ®iÓm ë trong h×nh vu«ng ABCD, h¹ MN,MP, MQ lÇn lît vu«ng gãc víi BD, DA, AB t¹i N, P, Q. Do ®ã: MP.MQ = MN2 (1) ( xÐt 2 c¹nh h×nh vu«ng ph¸t xuÊt tõ ®Ønh A) AB: x – y + 1 = 0, AD: x + y – 1 = 0. | x − y + 1| | x + y + 1| (1) ⇔ =| y |2 ⇔| x 2 − (y − 1) 2 |= 2y 2 . 2 2 M(x;y) ë trong h×nh vu«ng nªn x – y + 1 > 0, vµ x + y – 1 < 0. Do ®ã: x2 –(y – 1)2 = (x – y + 1)(x + y – 1) < 0 nªn (1) ⇔ x2 – (y– 1)2 =- 2y2 ⇔ x2 + (y+1)2 = 2 VËy tËp hîp c¸c ®iÓm M lµ cung BD, cung # ®êng trßn C, b¸n kÝnh R = 2 .Tõ kÕt qu¶ trªn ta kÕt luËn: TËp hîp c¸c ®iÓm M lµ 4 cung # ®êng trßn t©m lµ c¸c ®Ønh cña h×nh vu«ng vµ cã b¸n kÝnh b»ng c¹nh cña h×nh vu«ng. Bµi 20: Cho ®êng th¼ng cè ®Þnh a vµ mét ®iÓm A cè ®Þnh trªn a. Gäi (C) lµ ®êng trßn lu ®éng ë trong mét n÷a mÆt ph¼ng (α) cã bê a. (C) cã b¸n kÝnh kh«ng ®æi R vµ lu«n tiÕp xóc víi a, gäi M lµ tiÕp ®iÓm. Gäi I lµ t©m cña ®êng trßn (C).Chøng minh r»ng trong mÆt ph¼ng chøa ®êng trßn (C), cã mét parabol (P) cè ®Þnh sao cho trôc ®¼ng ph¬ng cña (C) vµ ®êng trßn ®êng kÝnh AI lu«n lu«n tiÕp xóc (P) khi M thay ®æi trªn a. Gi¶i : Trong mÆt ph¼ng chän hÖ trôc täa ®é §Ò-c¸c vu«ng gãc Oxy, víi Ox trïng víi a, n÷a mÆt ph¼ng α lµ n÷a mÆt ph¼ng y > 0, O trïng A. §Æt M(m;0) cã t©m I(m;R). Ph¬ng tr×nh cña (C) lµ: (C): (x - m)2 + (y - R)2 = R2 hay C): x2 + y2 – 2mx – 2Ry + m2 = 0. Ph¬ng tr×nh ®êng trßn ®êng kÝnh AI lµ: m2 + R 2 (C’): (x – m/2)2 + (y – R/2)2 = hay 4 (C’): x2 + y2 – mx – Ry = 0. Ph¬ng tr×nh trôc ®¼ng ph¬ng cña hai ®êng trßn (C) vµ (C ’) lµ: m2 m (d): mx + Ry – m = 0 ⇔ (d): y = f(x) = - x + 2 . R R 12 XÐt hµm sè y = g(x) = − x. 4R
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC m 2 m 12 − x + =− x f (x) = g(x) 4R ⇔ (x − 2m) = 0 ⇔ x = 2m . R 2 R ⇔ HÖ f '(x) = g '(x) x = 2m − m = − x R 2R 12 VËy Parabol y = f(x) = − x lu«n tiÕp xóc víi trôc ®¼ng ph¬ng (d). 4R Bµi 21: Cho tam gi¸c víi 3 c¹nh a, b, c mµ 3 ®Ønh cã täa ®é nguyªn. Gäi R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c. CMR: abc ≥ 2R. Gi¶i : abc Gäi tam gi¸c lµ A1A2A3 nh h×nh vÏ SA1A2 A3 = S = 4R 1 Do ®ã yªu cÇu bµi to¸n ⇔ chøng minh S ≥ 2 Gi¶ sö: A1 (x1, y1), A2 (x2, y2), A3 (x3,y3).Gäi A’1, A’2 , A’3 lµ h×nh chiÕu cña A1 , A2 , A3 lªn Oy. Ta cã: S = SA A A' A' −SA A A' A' −SA A A' A' 1221 1331 2332 A A + A3 A3 A A' + A3 A3 A1 A + A 2 A ' ' ' ' ' = A1 A '2 ⋅ − A1 A 3 ⋅ 1 − A '2 A 3 ⋅ 2 2 2S ' ' ' ' 1 1 2 2 2 2 = (y1 – y2) (x1 + x2) - (y1 – y3) (x1 + x3) - (y3 – y2) (x2 + x3) (*)VÕ tr¸i (*) lµ sè nguyªn (do ®Ò bµi cho x i , yi nguyªn)⇒ 2S lµ sè nguyªn ⇒ 2S ≥ 1⇒S≥# Bµi 22 : Trªn mÆt ph¼ng xÐt mét h×nh vu«ng ABCD vµ mét tam gi¸c ®Òu EFG c¾t nhau t¹o thµnh mét thÊt gi¸c låi MBNPQRS.Chøng minh r»ng nÕu SM = NP = QR ⇔ MB = PQ vµ BN = RS. Gi¶i : Chän hÖ trôc Axy nh h×nh vÏ. Gäi a lµ c¹nh cña h×nh vu«ng. Ta cã A(0; 0), B(a; 0), C(a; a), D(0; a),M(m; 0), N(a; n), P(p; a), Q(q; a), R(0; r), S(0; s) .NÕu SM = NP = QR → → → → → → SM Ta cã SM = k EF , NP = k FG , QR = k GE víi k = EF → → → → → → → → Ta cã EF + FG + EG = 0 ⇒ SM + NP + QR = 0 m + p − a − q = 0 a − m = p − q MB = PQ ⇒ ⇒ ⇒ −s−n+r =0 n=r−s BN = RS → → → → → → .Nªó MB = PQ vµ BN = RS th× MB + PQ = 0 , BN + RS = 0 kÕt → → → → → → → → hîp SM + MB + BN + NP + PQ + QR + RS = 0 → → → → ⇒ SM + NP + QR = 0 → → → → ⇒ x EF + yFG + z GE = 0 → → ⇒ ( x − z ) EF = ( z − y ) FG → → V× ⇒ EF , FG kh«ng cïng ph¬ng nªn ⇒ x = y = z ⇒ SM = NP = QR.
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC III.C¸c bµi tËp tù gi¶i : Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC nhän. (D) lµ mét ®êng th¼ng thay ®æi. Gäi D, E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A, B, C lªn (D). BiÕt r»ng AD 2 tan A + BE 2 tan B + CF 2 tan C = 2 S ABC . X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®êng th¼ng (D) ®Ó AD lín nhÊt. Gi¶i: .Chän hÖ trôc nh h×nh vÏ (b , c >0) a a .Ta cã tan B = , tan C = ^y b c Aa tan B + tan C a (b + c) (d) F tan A = =2 tan B. tan C − 1 a − bc E 2 S ABC = a (b + c) D .Gi¶ sö ph¬ng tr×nh (d) : x. sin + y. cos + d = 0 C B >x AD = d ( A, d ) = a cos + d c -b O BE = d ( B, d ) = − b sin + d CF = d (C , d ) = c sin + d .Theo gi¶ thiÕt AD 2 tan A + BE 2 tan B + CF 2 tan C = 2 S ABC a (b + c) a a ⇔ (a cos + d ) 2 2 + (−b sin + d ) 2 + (c sin + d ) 2 = a (b + c) a − bc b c 22 ad ⇔ bc. cos 2 + 2ad . cos + =0 bc bc ⇔ . cos + d = 0 a bc .§iÒu nµy chøng tá (d) ®i qua H 0 ; lµ trùc t©m tam gi¸c ABC. a .VËy AD max = AH, khi (d) ®i qua H vµ song song víi BC. Bµi 2: Cho h×nh vu«ng ABCD cã E trung ®iÓm BC. M lµ ®iÓm di ®éng trªn c¹nh AB. Gäi N, P lÇn lît lµ giao ®iÓm cña MD vµ MC víi AE. Gäi H lµ giao ®iÓm cña NC vµ DP, I lµ giao ®iÓm cña ®êng trung trùc ®o¹n DH víi ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AH t¹i H. Chøng minh khi M di ®éng trªn c¹nh AB th× I di ®éng trªn mét ®êng trßn cè ®Þnh. Gi¶i: .Chän hÖ trôc nh h×nh vÏ, ta cã M (m ; 0) .Ta cã ( AE ) : x − 2 y = 0 , ( DM ) : x + my − m = 0 , ^y (CM ) : x + (m − 1) y − m = 0 D C 1 2m m 2m m I . N = AE ∩ MD ⇒ N , P = AE ∩ MC ⇒ P ; ; m+ 2 m+ 2 m +1 m +1 .Tõ ®ã ( DP ) : x + 2my − 2m = 0 , ( NC ) : 2 x + (m − 2) y − m = 0 H E 4m 3m . H = DP ∩ NC ⇒ H P ; 3m + 2 3m + 2 N .Suy ra H ∈ (d ) : 3 x − 4 y = 0 cè ®Þnh. B >x .Theo gi¶ thiÕt ta cã ID = IH = d ( I , d ) , suy ra I thuéc parabol (P) cã tiªu A M 1 ®iÓm lµ D vµ ®êng chuÈn (d). Bµi 3: (§Ò thi HSG quèc gia 2007-2008) Cho tam gi¸c ABC, trung tuyÕn AD .Cho ®êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi ®êng th¼ng AD. XÐt ®iÓm M trªn (d). Gäi E, F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña MB vµ MC. §êng th¼ng ®i qua E vµ vu«ng gãc víi (d) c¾t ®êng th¼ng AB
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC t¹i P, ®êng th¼ng ®i qua F vµ vu«ng gãc víi (d) c¾t ®êng th¼ng AC t¹i Q. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng ®i qua M vµ vu«ng gãc víi PQ lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh, khi M di ®éng trªn (d). Gi¶i: .Chän hÖ trôc nh h×nh vÏ O ≡ D , Oy ≡ DA .Khi ®ã Ox song song (d), A(0;a), B(b; c) , C(-b; -c) .Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB : (a − c) x + by − ab = 0 ^y AC : (a + c) x − by + ab = 0 A . M ( xM ; d ) b + xM b − xM .Khi ®ã (d1 ) : x = , (d 2 ) : x = C 2 2 .Tõ ®ã suy ra täa ®é P = d1 ∩ AB , Q = d 2 ∩ AC >x .Suy ra ®êng th¼ng ®i qua M vµ vu«ng gãc PQ cã ph¬ng tr×nh D F b2 2 bc y−d + =0 b x − − (ax M − bc) B a E a (d) M bc b2 .Suy ra ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh ; d − a a Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC cã hai ®êng ph©n gi¸c trong vµ ngoµi gãc A c¾t c¹nh BC t¹i D vµ E. Chøng minh r»ng nÕu AD = AE th× AB 2 + AC 2 = 4 R 2 (trong ®ã R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC). Gi¶i: .Chän hÖ trôc nh h×nh vÏ Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ADE vu«ng c©n t¹i A. ^y .Khi ®ã OA = OE = OD nªn B (b;0) , A(0; a ) , D (a;0) , E (− a;0) , C (c;0) A DB 2 AB 2 DB AB = ⇒ = .Theo tÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c DC 2 AC 2 DC AC (b − a ) 2 b 2 + a 2 a2 ⇔ =2 ⇔ (b − a ) 2 (c 2 + a 2 ) = (c − a ) 2 (b 2 + a 2 ) ⇔ c = (c − a ) 2 c + a 2 b >x C D E B O 2 a +b 4 2 2 a )= b .Ta cã AB 2 + AC 2 = (a 2 + b 2 ) + (a 2 + b2 .Gäi I(x;y) lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC, ta cã AI = BI b2 + a2 x = ⇔ 2b BI = CI a b 2 + a 2 2 b2 + a 2 2 .Suy ra 4 R = 4 AI = 4 + (a − a) = 2 2 2 2b b .Tõ ®ã suy ra AB 2 + AC 2 = 4 R 2 BµI TËP : øNG DôNG H×NH HäC GI¶I TÝCH THUÇN TóY Bµi 1 : Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC cã B(1; 2). §êng ph©n gi¸c trong ∆ cña gãc A cã ph¬ng tr×nh 2x + y -1 = 0, kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn ∆ b»ng 2 lÇn kho¶ng c¸ch tõ B ®Õn ∆ . T×m täa ®é cña A vµ C, biÕt r»ng C n»m trªn trôc tung. Bµi 2 : Cho ®iÓm A(1; 0) vµ hai ®êng trßn (C1 ) : x 2 + y 2 = 2 , (C 2 ) : x 2 + y 2 = 5 . XÐt tam gi¸c ABC cã B ∈ (C1 ) vµ C ∈ (C 2 ) . T×m täa ®é B, C ®Ó diÖn tÝch tam gi¸c ABC lín nhÊt.
- http://ebooktoan.com/forum ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO HÌNH HỌC Bµi 3 : Cho ®êng th¼ng ∆ : 3 x + 4 y − 25 = 0 , ®iÓm M ch¹y trªn ∆ . Trªn tia OM lÊy N sao cho OM.OM = 1. Chøng minh N ch¹y trªn ®êng trßn cè ®Þnh, viÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn ®ã. Bµi 4 : Cho parabol y = − x 2 ( P ) vµ ®êng th¼ng y = − mx − 1 (d ) . Chøng minh khi m thay ®æi ®êng th»ng (d ) lu«n c¾t ( P ) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt M, N. T×m quü tÝch t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OMN. Bµi 5 : Cho ®êng trßn (C ) : x 2 + y 2 = 1 . §êng trßn (C) c¾t trôc tung ë A(1; 0) vµ B(-1; 0). §êng th¼ng y = m (0 ≠ m < 1) c¾t (C) t¹i J vµ S. §êng th¼ng qua A, J c¾t ®êng th¼ng qua B, S t¹i P. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm P khi m thay ®æi. 1 1 1 + + Bµi 6 : Cho elip (E) cã tiªu ®iÓm F. Ba tia xuÊt ph¸t tõ F c¾t (E) t¹i M, N, P. Chøng minh FM FN FP kh«ng ®æi khi M, N, P thay ®æi. Bµi 7 : Trªn mp Oxy cho ba ®êng th¼ng d1 : 3x − y − 4 = 0 , d 2 : x + y − 6 = 0 , d1 : x + 3 y − 3 = 0 . T×m c¸c ®é c¸c ®Ønh cña h×nh vu«ng ABCD biÕt r»ng A vµ C thuéc d 3 , B thuéc d1 , D thuéc d 2 . Bµi 8 : Trªn mp Oxy cho ba ®êng th¼ng d1 : x − 2 y − 2 = 0 , d 2 : 2 x + 3 y − 11 = 0 .§êng th¼ng d ®i qua giao 1 1 + ®iÓm cña d1 , d 2 c¾t hai tia Ox, Oy lÇn lît t¹i A, B. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d sao cho nhá 2 OB 2 OA nhÊt. BµI TËP : øNG DôNG H×NH HäC GI¶I TÝCH VµO BµI H×NH HäC TæNG HîP Bµi 1 : Cho tam gi¸c ABC nhän cã träng t©m G vµ trùc t©m H kh«ng trïng nhau. Chøng minh r»ng GH // BC ⇔ tan B + tan C = 2 tan A . Bµi 2 : Cho tam gi¸c ABC ®Òu c¹nh a. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M tháa m·n : 4 MA 2 − 2 MB 2 − MC 2 = 6a 2 AC BD = Bµi 3 : Trªn ®o¹n AD cè ®Þnh, dùng h×nh b×nh hµnh ABCD sao cho . T×m quü tÝch ®iÓm B. AD AB Bµi 4 : Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh b»ng 2. Gäi M lµ trung ®iÓm c¹nh CD, N lµ ®iÓm di ®éng trªn c¹nh BC sao cho BC = n (0 ≤ n ≤ 1) vµ P lµ ®iÓm n»m trªn c¹nh AB sao cho DP song song víi MN. Chøng minh ®êng th¼ng PN lu«n tiÕp xóc víi mét ®êng trßn cè ®Þnh. Bµi 5 : Cho tam gi¸c ABC nhän. (D) lµ mét ®êng th¼ng thay ®æi. Gäi D, E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A, B, C lªn (D). BiÕt r»ng AD 2 tan A + BE 2 tan B + CF 2 tan C = 2 S ABC . X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®êng th¼ng (D) ®Ó AD lín nhÊt. Bµi 6 : Cho tam gi¸c ABC cã hai ®êng ph©n gi¸c trong vµ ngoµi gãc A c¾t c¹nh BC t¹i D vµ E. Chøng minh r»ng nÕu AD = AE th× AB 2 + AC 2 = 4 R 2 (trong ®ã R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC). Bµi 7 : Cho tam gi¸c ABC, trung tuyÕn AD .Cho ®êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi ®êng th¼ng AD. XÐt ®iÓm M trªn (d). Gäi E, F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña MB vµ MC. §êng th¼ng ®i qua E vµ vu«ng gãc víi (d) c¾t ®êng th¼ng AB t¹i P, ®êng th¼ng ®i qua F vµ vu«ng gãc víi (d) c¾t ®êng th¼ng AC t¹i Q. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng ®i qua M vµ vu«ng gãc víi PQ lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh, khi M di ®éng trªn (d). Bµi 8 : Cho tam gi¸c ABC cã hai ®êng ph©n gi¸c trong vµ ngoµi gãc A c¾t c¹nh BC t¹i D vµ E. Chøng minh r»ng nÕu AD = AE th× AB 2 + AC 2 = 4 R 2 (trong ®ã R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC). …………………………………………………………… NGUYÔN V¡N TRUNG
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
14 p |
962 |
510
-
Phương pháp toạ độ trong không gian
17 p |
941 |
456
-
Hình học 12 - Chương III: Phương pháp tọa độ trong không gian
14 p |
1201 |
424
-
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
15 p |
1029 |
350
-
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
6 p |
1426 |
326
-
Phương pháp tọa độ trong không gian_Chương 3
3 p |
1011 |
154
-
Ebook Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Trần Thanh Nghĩa
33 p |
251 |
149
-
Phương pháp tọa độ trong không gian
16 p |
318 |
123
-
Chuyên đề Hình Giải Tích: Ứng dụng phương pháp tọa độ trong Hình học (bồi dưỡng HSG)
20 p |
150 |
105
-
Giải bài tập Hình học 12 cơ bản - Chương 3 - Phương pháp tọa độ trong không gian
53 p |
229 |
92
-
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
5 p |
245 |
76
-
Bài giảng: Ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải hình học không gian
39 p |
70 |
30
-
Ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải Toán
17 p |
85 |
29
-
Ebook Phân loại và phương pháp giải các dạng toán Hình học 10: Phần 2
68 p |
42 |
26
-
Bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, đường thẳng
4 p |
29 |
11
-
Ebook Chuyên đề: Ứng dụng phương pháp vectơ và tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp - Tự luận và trắc nghiệm (Phần 1)
58 p |
5 |
2
-
Ebook Chuyên đề: Ứng dụng phương pháp vectơ và tọa độ để giải một số bài toán sơ cấp - Tự luận và trắc nghiệm (Phần 2)
102 p |
4 |
2

Set-Cookie: TLDEVNamespace=49hs7enube29b9hcfl7rblk943; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly

Server: Apache/2.2.31 (CentOS)


text:
Hệ phương trình tuyến tính
-
I. Mục đích. Việc giải bài toán hệ phương trình tuyến tính có một ý nghĩa rất to lớn trong nghiên cứu khoa học cũng như trong thực tế.
6p vudinhthang 04-01-2010 4841 1175 Download
-
Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên và học sinh cao đẳng đại học - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - BÀI TẬP CHƯƠNG III - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH.
2p vu5880636 20-10-2010 1493 443 Download
-
Hệ hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Định lý Croncke – Capelly: Điều kiện cần và đủ để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hệ đó có hạng của ma trận mở rộng bằng hạng của ma trận hệ số Hệ (1) có nghiệm khi và chỉ khi : r(A) = r(A)
11p hoangnga2010 07-12-2010 779 112 Download
-
Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính. Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn có dạng:Hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu tất cả các hệ số tự do b1, b2, …, bm đều bằng 0. Định nghĩa hệ không thuần nhất. Hệ phương trình tuyến tính được gọi là không thuần nhất nếu ít nhất một trong các hệ số tự do b1, b2, …, bm khác 0. Nghiệm của hệ là một bộ n số c1, c2, …, cm sao cho khi thay vào từng phương trình của hệ ta được...
30p trinhvang 25-01-2013 253 92 Download
-
Đồ án Toán 1: Giải gần đúng nghiệm của hệ phương trình tuyến tính và các phương pháp nội suy hàm số ngôn ngữ C++
Phần 1 tìm nghiệm của hệ phƣơng trình tuyến tính, phần 2 nội suy và lấy xấp xỉ hàm số là những nội dung chính trong đồ án Toán 1 "Giải gần đúng nghiệm của hệ phương trình tuyến tính và các phương pháp nội suy hàm số ngôn ngữ C++". Mời các bạn cùng tham khảo để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu.
47p c1201002 11-09-2015 39 17 Download
-
Bài giảng "Hệ phương trình tuyến tính" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm tổng quát, hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất, hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
60p doinhugiobay_16 29-02-2016 10 7 Download
-
Bài giảng "Hệ phương trình tuyến tính" cung cấp cho người học các kiến thức: Phương pháp Gauss, phương pháp nhân tử LU, phương pháp Choleski, chuẩn của véctơ, chuẩn của ma trận, những phương pháp lặp. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
78p doinhugiobay_11 15-01-2016 20 6 Download
-
Sử dụng phương pháp trắc nghiệm khách quan để đánh giá kết quả học tập chương hệ phương trình tuyến tính trong môn Đại số tuyến tính của sinh viên Trường Cao đẳng Cộng đồng Bà Rịa Vũng Tàu - Nguyễn Khắc Khanh
Bài viết "Sử dụng phương pháp trắc nghiệm khách quan để đánh giá kết quả học tập chương hệ phương trình tuyến tính trong môn Đại số tuyến tính của sinh viên Trường Cao đẳng Cộng đồng Bà Rịa Vũng Tàu" do Nguyễn Khắc Khanh thực hiện đề cập đến một số dạng câu hỏi trắc nghiệm khách quan và việc sử dụng các câu hỏi này để đánh giá các mức độ, khả năng học tập của sinh viên thông qua một vài ví dụ cụ thể.
6p dutru2011 21-09-2015 20 5 Download
-
Việc giải bài toán hệ phương trình tuyến tính có một ý nghĩa to lớn trong nghiên cứu khoa học cũng như trong thực tế. Lý thuyết hạng của ma trận nhằm để giải quyết bài toán khi nào thì hệ phương trình tuyến tính có nghiệm. Để tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này mời các bạn tham khảo "Bài giảng Hạng của ma trận và hệ phương trình tuyến tính" của tác giả Phạm Gia Hưng.
6p codon_08 11-03-2016 7 2 Download
-
Mời các bạn tham khảo và giải một số bài tập về ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính . mong rằng những bài tập này sẽ giúp cho các bạn phần nào đó trong khi ôn tập để làm bài kiểm tra hay thi hết môn.
26p vu5880636 20-10-2010 892 292 Download
-
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH:Các khái niệm hệ phương trình Crame, Phương pháp Gauss,hệ phương trình Thuần nhất, Một số ứng dụng
26p cong12121992 17-04-2011 504 179 Download
-
Tham khảo tài liệu 'ma trận – định thức – hệ phương trình tuyến tính - phần 1', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
4p vu5880636 20-10-2010 446 146 Download
-
Tài liệu tham khảo và Hướng dẫn học bài Hệ phương trình tuyến tính
4p huonggiang08 25-09-2010 340 132 Download
-
Nội dung cần tìm hiểu và nắm các kiến thức trong chương này gồm: Hệ phương trình tuyến tính tổng quát và hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.
30p hohanhnhi 06-01-2014 243 47 Download
-
Phương trình tuyến tính (hay còn gọi là phương trình bậc một hay phương trình bậc nhất) là một phương trình đại số có dạng:f(x) = ax + b = 0\, b là một hằng số (hay hệ số bậc 0). a là hệ số bậc một. Phương trình bậc một được gọi là phương trình tuyến tính vì đồ thị của phương trình này
9p hoangyen999 15-05-2013 66 14 Download
-
Bài giảng "Toán cao cấp 1 - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính" có cấu trúc gồm 2 bài học cung cấp cho người học các kiến thức: Hệ phương trình tổng quát, hệ phương trình thuần nhất. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
36p doinhugiobay_08 24-12-2015 36 9 Download
-
Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu chương 3 "Hệ phương trình đại số tuyến tính" dưới đây để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu. Tài liệu trình bày các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính và tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình.
30p dankyrt 03-10-2015 23 7 Download
-
Trong toán học, một ma trận là bảng chữ nhật chứa dữ liệu (thường là số thực hoặc số phức, nhưng có thể là bất kỳ dữ liệu gì) theo hàng và cột. Trong đại số tuyến tính, ma trận dùng để lưu trữ các hệ số của hệ phương trình tuyến tính và biến đổi tuyến tính. Trong lý thuyết đồ thị, ma trận thường dùng để biểu diễn đồ thị (ví dụ: ma trận kề), lưu trữ trọng số cho đồ thị có trọng số...
83p htungc1 05-06-2010 2475 758 Download
-
Bài tập Đại số tuyến tính sau gồm bài tập các chương hệ phương trình tuyến tính, ma trận, định thức, không gian véc tơ, ánh xạ tuyến tính, véc tơ riêng, chéo hóa và dạng toàn phương, đường bậc hai phẳng và mặt bậc hai. Cuối tài liệu có đáp án cho các bài tập.
59p chankhoid 20-04-2015 528 314 Download
-
Đại số tuyến tính là một ngành toán học nghiên cứu về không gian vectơ, hệ phương trình tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng. Tài liệu tham khảo đại số tuyến tính sau đây sẽ giúp các bạn có thêm tài liệu tham khảo cho ngành học của mình.
50p vu5880636 20-10-2010 625 248 Download

markdown:
# Hệ phương trình tuyến tính
**Hệ phương trình tuyến tính**
-
I. Mục đích. Việc giải bài toán hệ phương trình tuyến tính có một ý nghĩa rất to lớn trong nghiên cứu khoa học cũng như trong thực tế.
6p
vudinhthang
04-01-2010
4841
1175
Download
-
Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên và học sinh cao đẳng đại học - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - BÀI TẬP CHƯƠNG III - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH.
2p
vu5880636
20-10-2010
1493
443
Download
-
Hệ hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Định lý Croncke – Capelly: Điều kiện cần và đủ để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hệ đó có hạng của ma trận mở rộng bằng hạng của ma trận hệ số Hệ (1) có nghiệm khi và chỉ khi : r(A) = r(A)
11p
hoangnga2010
07-12-2010
779
112
Download
-
Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính. Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn có dạng:Hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu tất cả các hệ số tự do b1, b2, …, bm đều bằng 0. Định nghĩa hệ không thuần nhất. Hệ phương trình tuyến tính được gọi là không thuần nhất nếu ít nhất một trong các hệ số tự do b1, b2, …, bm khác 0. Nghiệm của hệ là một bộ n số c1, c2, …, cm sao cho khi thay vào từng phương trình của hệ ta được...
30p
trinhvang
25-01-2013
253
92
Download
-
[Đồ án Toán 1: Giải gần đúng nghiệm của hệ phương trình tuyến tính và các phương pháp nội suy hàm số ngôn ngữ C++](http://tailieu.vn/doc/do-an-toan-1-giai-gan-dung-nghiem-cua-he-phuong-trinh-tuyen-tinh-va-cac-phuong-phap-noi-suy-ham-so--1774367.html)
Phần 1 tìm nghiệm của hệ phƣơng trình tuyến tính, phần 2 nội suy và lấy xấp xỉ hàm số là những nội dung chính trong đồ án Toán 1 "Giải gần đúng nghiệm của hệ phương trình tuyến tính và các phương pháp nội suy hàm số ngôn ngữ C++". Mời các bạn cùng tham khảo để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu.
47p
c1201002
11-09-2015
39
17
Download
-
Bài giảng "Hệ phương trình tuyến tính" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm tổng quát, hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất, hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
60p
doinhugiobay_16
29-02-2016
10
7
Download
-
Bài giảng "Hệ phương trình tuyến tính" cung cấp cho người học các kiến thức: Phương pháp Gauss, phương pháp nhân tử LU, phương pháp Choleski, chuẩn của véctơ, chuẩn của ma trận, những phương pháp lặp. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
78p
doinhugiobay_11
15-01-2016
20
6
Download
-
[Sử dụng phương pháp trắc nghiệm khách quan để đánh giá kết quả học tập chương hệ phương trình tuyến tính trong môn Đại số tuyến tính của sinh viên Trường Cao đẳng Cộng đồng Bà Rịa Vũng Tàu - Nguyễn Khắc Khanh](http://tailieu.vn/doc/su-dung-phuong-phap-trac-nghiem-khach-quan-de-danh-gia-ket-qua-hoc-tap-chuong-he-phuong-trinh-tuyen--1776762.html)
Bài viết "Sử dụng phương pháp trắc nghiệm khách quan để đánh giá kết quả học tập chương hệ phương trình tuyến tính trong môn Đại số tuyến tính của sinh viên Trường Cao đẳng Cộng đồng Bà Rịa Vũng Tàu" do Nguyễn Khắc Khanh thực hiện đề cập đến một số dạng câu hỏi trắc nghiệm khách quan và việc sử dụng các câu hỏi này để đánh giá các mức độ, khả năng học tập của sinh viên thông qua một vài ví dụ cụ thể.
6p
dutru2011
21-09-2015
20
5
Download
-
Việc giải bài toán hệ phương trình tuyến tính có một ý nghĩa to lớn trong nghiên cứu khoa học cũng như trong thực tế. Lý thuyết hạng của ma trận nhằm để giải quyết bài toán khi nào thì hệ phương trình tuyến tính có nghiệm. Để tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này mời các bạn tham khảo "Bài giảng Hạng của ma trận và hệ phương trình tuyến tính" của tác giả Phạm Gia Hưng.
6p
codon_08
11-03-2016
7
2
Download
-
Mời các bạn tham khảo và giải một số bài tập về ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính . mong rằng những bài tập này sẽ giúp cho các bạn phần nào đó trong khi ôn tập để làm bài kiểm tra hay thi hết môn.
26p
vu5880636
20-10-2010
892
292
Download
-
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH:Các khái niệm hệ phương trình Crame, Phương pháp Gauss,hệ phương trình Thuần nhất, Một số ứng dụng
26p
cong12121992
17-04-2011
504
179
Download
-
Tham khảo tài liệu 'ma trận – định thức – hệ phương trình tuyến tính - phần 1', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
4p
vu5880636
20-10-2010
446
146
Download
-
Tài liệu tham khảo và Hướng dẫn học bài Hệ phương trình tuyến tính
4p
huonggiang08
25-09-2010
340
132
Download
-
Nội dung cần tìm hiểu và nắm các kiến thức trong chương này gồm: Hệ phương trình tuyến tính tổng quát và hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.
30p
hohanhnhi
06-01-2014
243
47
Download
-
Phương trình tuyến tính (hay còn gọi là phương trình bậc một hay phương trình bậc nhất) là một phương trình đại số có dạng:f(x) = ax + b = 0\, b là một hằng số (hay hệ số bậc 0). a là hệ số bậc một. Phương trình bậc một được gọi là phương trình tuyến tính vì đồ thị của phương trình này
9p
hoangyen999
15-05-2013
66
14
Download
-
Bài giảng "Toán cao cấp 1 - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính" có cấu trúc gồm 2 bài học cung cấp cho người học các kiến thức: Hệ phương trình tổng quát, hệ phương trình thuần nhất. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
36p
doinhugiobay_08
24-12-2015
36
9
Download
-
Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu chương 3 "Hệ phương trình đại số tuyến tính" dưới đây để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu. Tài liệu trình bày các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính và tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình.
30p
dankyrt
03-10-2015
23
7
Download
-
Trong toán học, một ma trận là bảng chữ nhật chứa dữ liệu (thường là số thực hoặc số phức, nhưng có thể là bất kỳ dữ liệu gì) theo hàng và cột. Trong đại số tuyến tính, ma trận dùng để lưu trữ các hệ số của hệ phương trình tuyến tính và biến đổi tuyến tính. Trong lý thuyết đồ thị, ma trận thường dùng để biểu diễn đồ thị (ví dụ: ma trận kề), lưu trữ trọng số cho đồ thị có trọng số...
83p
htungc1
05-06-2010
2475
758
Download
-
Bài tập Đại số tuyến tính sau gồm bài tập các chương hệ phương trình tuyến tính, ma trận, định thức, không gian véc tơ, ánh xạ tuyến tính, véc tơ riêng, chéo hóa và dạng toàn phương, đường bậc hai phẳng và mặt bậc hai. Cuối tài liệu có đáp án cho các bài tập.
59p
chankhoid
20-04-2015
528
314
Download
-
Đại số tuyến tính là một ngành toán học nghiên cứu về không gian vectơ, hệ phương trình tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng. Tài liệu tham khảo đại số tuyến tính sau đây sẽ giúp các bạn có thêm tài liệu tham khảo cho ngành học của mình.
50p
vu5880636
20-10-2010
625
248
Download

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

Set-Cookie: TLDEVNamespace=nm4fgar0sngttb7nn3p2a7vhk7; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly

Connection: close

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0

Pragma: no-cache

Vary: Accept-Encoding

Content-Type: text/html; charset=UTF-8


text:
- Sửa chữa điện thoại Asus
- Sửa điện thoại Lenovo
- Sửa Chữa Ipad
- Sửa điện thoại iPhone
- Sửa điện thoại Samsung
- Sửa Chữa Điện Thoại LG
- Sửa điện thoại Sony
- Sửa Chữa Điện Thoại Sky
- Sửa điện thoại HTC
- Sửa Chữa Điện Thoại Nokia
- Sửa điện thoại Oppo
- Sửa điện thoại Xiaomi
Hỏi đáp dịch vụ Thay mặt kính Zenpad

markdown:
-
[Sửa chữa điện thoại Asus](/dich-vu-sua-chua-dien-thoai-asus/)
-
[Sửa điện thoại Lenovo](/dich-vu-sua-dien-thoai-lenovo/)
-
[Sửa Chữa Ipad](/dich-vu-sua-chua-ipad/)
-
[Sửa điện thoại iPhone](/dich-vu-sua-dien-thoai-iphone/)
-
[Sửa điện thoại Samsung](/dich-vu-sua-dien-thoai-samsung/)
-
[Sửa Chữa Điện Thoại LG](/dich-vu-sua-dien-thoai-lg/)
-
[Sửa điện thoại Sony](/dich-vu-sua-dien-thoai-sony/)
-
[Sửa Chữa Điện Thoại Sky](/dich-vu-sua-chua-dien-thoai-sky/)
-
[Sửa điện thoại HTC](/dich-vu-sua-dien-thoai-htc/)
-
[Sửa Chữa Điện Thoại Nokia](/dich-vu-sua-chua-dien-thoai-nokia/)
-
[Sửa điện thoại Oppo](/dich-vu-sua-dien-thoai-oppo/)
-
[Sửa điện thoại Xiaomi](/dich-vu-dich-vu-sua-dien-thoai-xiaomi/)
## Hỏi đáp dịch vụ Thay mặt kính Zenpad

WARC-Truncated: length

Server: Nginx-VPSSIM


text:
User:
Pass:
Trang chủ
Xổ số Miền Bắc
Xổ số Miền Trung
Xổ số Miền Nam
Hướng dẫn
Tin tức
DIỄN ĐÀN
Xổ số Miền Bắc
Sổ kết quả
Kết quả toàn Miền Bắc
Kết quả theo tỉnh/thành
Soi cầu
Soi cầu loto
Thống kê loto
Thống kê tần suất
Thống kê tần số nhịp
Thống kê loto gan
Thống kê loto theo giải
Thống kê đầu đuôi loto
Thống kê giải đặc biệt
Thống kê chạm đặc biệt
Bảng đặc biệt tuần
Bảng đặc biệt theo tổng
Bảng đặc biệt theo bộ số
Bảng đặc biệt theo chẵn lẻ
T.hợp chu kỳ đặc biệt
Thống kê VIP
Dàn loto trong tuần
Thống kê cầu ngày đẹp
Hỗ trợ trực tuyến
thatai88
Phí dịch vụ SMS
8077: 500đ
8177: 1.000đ
8377: 3.000đ
8577: 5.000đ
8677: 10.000đ
8777: 15.000đ
Tags
Ket qua xo so
,
Soi cau lo
,
Du doan ket qua xo so
,
Xo so truyen thong
,
Xo So mien bac
,
Ket qua xo So Mien Nam
,
Xo So Mien Trung
,
Kết quả xổ số trực tiếp
,
Soi cầu lô
,
kết quả xổ số
,
xoso
,
soxo
,
ket qua xo xo
,
kết quả sổ xố miền bắc
Bảng mã tỉnh/thành
Mã tỉnh miền Trung:
Bình Định:
BDH
Đà Nẵng:
DNG
Đắc Nông:
DNO
DaklaK:
DLK
Gia Lai:
GL
Khánh Hoà:
KH
Kon Tum:
KT
Ninh Thuận:
NT
Phú Yên:
PY
Quảng Bình:
QB
Quảng Nam:
QNM
Quảng Ngãi:
QNI
Quảng Trị:
QT
Thừa Thiên Huế:
TTH
Mã tỉnh miền Nam:
An Giang:
AG
Bình Dương:
BD
Bình Phước:
BP
Bình Thuận:
BTH
Bạc Liêu:
BL
Bến Tre:
BTR
Cà Mau:
CM
Cần Thơ:
CT
Đà Lạt:
DL
Đồng Nai:
DN
TP Hồ Chí Minh:
HCM
Đồng Tháp:
DT
Hậu Giang:
HG
Kiên Giang:
KG
Long An:
LA
Sóc Trăng:
ST
Tiền Giang:
TG
Trà Vinh:
TV
Tây Ninh:
TN
Vĩnh Long:
VL
Vũng Tàu:
VT
KẾT QUẢ TỰ ĐỘNG CẬP NHẬT - TƯỜNG THUẬT TRỰC TIẾP
Đăng ký
VIP
soạn
AVIP
gửi
8577
Trở thành VIP Bạn sẽ có cơ hội:
- Xem dự đoán VIP
- Xem thống kê, phân tích đầy đủ
- Sử dụng đầy đủ các tính năng hệ thống
- ĐƠN GIẢN - CHÍNH XÁC ⇒ TỰ TIN CHIẾN THẮNG!
Nhận cầu
May mắn
soạn
CMAY
gửi
8577
√ Nhận cặp số CHUẨN nhất trong ngày
√ Hãy để Thần Tài mang may mắn đến cho bạn
√
TRÚNG SỐ, DỄ DÀNG HƠN BAO GIỜ HẾT!
Hướng dẫn gửi tin nhắn SMS để cùng THANTAI88 chia sẻ những thông tin đáng giá
1. SMS lấy kết quả xổ số trong ngày NHANH NHẤT - CHÍNH XÁC NHẤT chỉ với 500đ:
1.1. Lấy kết quả xổ số
Miền Bắc
>> Soạn tin:
DKQ
gửi
8077
1.2. Lấy kết quả xổ số
Miền Trung
và
Miền Nam
>> Soạn tin:
DKQ Mã tỉnh
gửi
8077
- VD: Lấy kết quả xổ số TP Hồ Chí Minh soạn tin: DKQ HCM gửi 8077
- Bảng mã tỉnh Miền Trung và Miền Nam xem ở bên trái.
2. SMS ĐĂNG KÝ VIP:
Đăng ký
VIP
bạn sẽ được sử dụng đầy đủ những tính năng thống kê mà chỉ có
VIP
mới có. Nhờ đó cơ hội trúng thưởng của bạn sẽ cao hơn rất nhiều.
Để trở thành
VIP
bạn hãy nhanh tay soạn SMS theo cú pháp sau:
2.1. Soạn
AVIP
gửi
8577
bạn sẽ nhận được một tài khoản VIP trong
15
ngày.
2.2. Soạn
AVIP
gửi
8677
bạn sẽ nhận được một tài khoản VIP trong
35
ngày.
2.3. Soạn
AVIP
gửi
8777
bạn sẽ nhận được một tài khoản VIP trong
55
ngày.
- Sau khi gửi tin nhắn, hệ thống sẽ gửi lại bạn tài khoản để đăng nhập VIP bao gồm User và Pass.
Chú ý: Bạn gửi nhiều tin nhắn thì tài khoản
VIP
của bạn sẽ được cộng dồn ngày sử dụng
3. SMS nhận CẦU MAY MẮN trong ngày - NHẮN TIN ĐỂ ĐƯỢC THẦN TÀI GÕ CỬA:
3.1 CẦU MAY MẮN xổ số Miền Bắc:
- Soạn tin:
CMAY
gửi
8577
để nhận ngay
3 cặp số
đẹp nhất trong ngày.
3.2. CẦU MAY MẮN xổ số Miền Trung và Miền Nam:
- Soạn tin:
CMAY Mã tỉnh
gửi
8577
để nhận ngay
3 cặp số
may mắn nhất.
- VD: Để lấy CẦU MAY MẮN xổ số TP Hồ Chí Minh bạn soạn SMS: CMAY HCM gửi đến 8577
- Bảng mã tỉnh Miền Trung và Miền Nam xem ở bên trái.
Trang chủ
|
Xổ số miền Bắc
|
Xổ số Miền Trung
|
Xổ số miền Nam
|
Dịch vụ SMS
|
Liên hệ/Góp ý
© 2010 thantai88.com. All copyrights reserved.
Ẩn
Xem
Đóng
Quảng cáo

markdown:
|
|
![]()
|Phí dịch vụ SMS|
|
8077: 500đ
|
8177: 1.000đ
8377: 3.000đ
8577: 5.000đ
8677: 10.000đ
8777: 15.000đ
|
|
|Bảng mã tỉnh/thành|
|
|Mã tỉnh miền Trung:
Bình Định:
BDH
Đà Nẵng:
DNG
Đắc Nông:
DNO
DaklaK:
DLK
Gia Lai:
GL
Khánh Hoà:
KH Kon Tum: KT
Ninh Thuận:
NT
Phú Yên:
PY
Quảng Bình:
QB
Quảng Nam:
QNM
Quảng Ngãi:
QNI
Quảng Trị:
QT
Thừa Thiên Huế:
TTH Mã tỉnh miền Nam:
An Giang:
AG
Bình Dương:
BD
Bình Phước:
BP
Bình Thuận:
BTH
Bạc Liêu:
BL
Bến Tre:
BTR
Cà Mau:
CM
Cần Thơ:
CT
Đà Lạt:
DL
Đồng Nai:
DN
TP Hồ Chí Minh:
HCM
Đồng Tháp:
DT
Hậu Giang:
HG
Kiên Giang:
KG
Long An:
LA
Sóc Trăng:
ST
Tiền Giang:
TG
Trà Vinh:
TV
Tây Ninh:
TN
Vĩnh Long:
VL
Vũng Tàu:
VT
|
|
|
|
Đăng ký VIP soạn AVIP gửi 8577 Trở thành VIP Bạn sẽ có cơ hội:
- Xem dự đoán VIP
- Xem thống kê, phân tích đầy đủ
- Sử dụng đầy đủ các tính năng hệ thống
- ĐƠN GIẢN - CHÍNH XÁC ⇒ TỰ TIN CHIẾN THẮNG!
Nhận cầu May mắn soạn CMAY gửi 8577
√ Nhận cặp số CHUẨN nhất trong ngày
√ Hãy để Thần Tài mang may mắn đến cho bạn
√
TRÚNG SỐ, DỄ DÀNG HƠN BAO GIỜ HẾT!
|© 2010 thantai88.com. All copyrights reserved.|

Vary: Accept-Encoding,User-Agent

Content-Type: text/html; charset=utf-8


text:
Sản phẩm không tìm thấy.
Sản phẩm không tìm thấy.
Hiện tại không có sản phẩm nào trong danh sách các sản phẩm bạn đã xem.
Sau khi xem sản phẩm trang chi tiết sản phẩm, bạn sẽ tìm thấy các sản phẩm bạn đã xem ở đây.
©2006 Bản quyền thuộc về Thietbiso
CÔNG TY TNHH THƯƠNG MẠI DỊCH VỤ CÔNG NGHỆ THIẾT BỊ SỐ
MST: 0313056730 - Do sở Kế hoạch và Đầu tư TPHCM cấp
Địa chỉ: 101 Nguyễn Văn Thủ, Phường Đa kao, Quận 1, TP Hồ Chí Minh
Tổng đài đặt và tư vấn sản phẩm: 08.62.57.57.57
Website: www.thietbiso.com | Email: [email protected]

markdown:
##### Hãng sản xuất
##### Hot links
##### Độ lớn màn hình
##### Công nghệ
##### Độ Phân Giải
##### Khuyến mãi
##### Hãng sản xuất
##### Mức giá
##### Bộ vi xử lý - CPU
##### Bộ nhớ RAM
##### Cỡ màn hình
##### Dung lượng HDD
##### Khuyến mãi
-
##### Hãng sản xuất
##### Hot links
##### Độ phân giải
##### Khuyến mãi
##### Hãng sản xuất
##### Hot links
-
-
-
##### Danh mục sản phẩm
##### Danh mục sản phẩm
##### Danh mục sản phẩm
##### Danh mục sản phẩm
-
##### Danh mục sản phẩm
##### Danh mục sản phẩm
Sản phẩm không tìm thấy.

Server: cloudflare-nginx

Cache-Control: public

Vary: User-Agent,Accept-Encoding

Content-Type: text/html


text:
Lời chúc mừng sinh nhật yêu thích nhất!
Chủ đề trong 'Tình bạn - Tình yêu' bởi soleilsolitaire, 22/06/2007.
- Có 1 người đang xem box này (Thành viên: 0, Khách: 1)
Trang 1/3
Trang 1/3
Chủ đề trong 'Tình bạn - Tình yêu' bởi soleilsolitaire, 22/06/2007.

markdown:
# Lời chúc mừng sinh nhật yêu thích nhất!
Chủ đề trong '
**' bởi Tình bạn - Tình yêu** **,** [soleilsolitaire](members/soleilsolitaire.333954/) [22/06/2007](threads/loi-chuc-mung-sinh-nhat-yeu-thich-nhat.335932/).
-
Có
**1**người đang xem box này (Thành viên: 0, Khách: 1)
Trang 1/3
Trang 1/3
Chủ đề trong '
**' bởi Tình bạn - Tình yêu**

Cache-control: private, max-age=0

Server: nginx

X-Frame-Options: SAMEORIGIN


text:
- phát âm bei Phát âm của Simon (Nam từ Thụy Sỹ)
-
phát âm bei
Phát âm của
Bartleby
(Nam từ Đức)
-
phát âm bei
Phát âm của
Thonatas
(Nam từ Đức)
Bạn có thể làm tốt hơn? bằng giọng khác? Phát âm bei trong Tiếng Đức

markdown:
*bei phát âm trong
baɪ̯
* [Tiếng Đức](http://vi.forvo.com/languages/de/)[de]
-
[phát âm bei](http://vi.forvo.com/word/bei/)Phát âm của Simon (Nam từ Thụy Sỹ)
-
[phát âm bei](http://vi.forvo.com/word/bei/)Phát âm của [Bartleby](javascript:;)(Nam từ Đức)
-
[phát âm bei](http://vi.forvo.com/word/bei/)Phát âm của [Thonatas](javascript:;)(Nam từ Đức)
Bạn có thể làm tốt hơn? bằng giọng khác?
[Phát âm bei trong Tiếng Đức](javascript:;)

Set-Cookie: lst=deleted; expires=Thu, 01-Jan-1970 00:00:01 GMT; Max-Age=0; path=/; domain=.forvo.com


text:
Top Definition
a nympho.
a person who likes pleasure.
a person who likes pleasure.
dude, look at that eddy joe over there!
viết bởi dudebutt 25 Tháng ba, 2008
Địa chỉ daily@urbandictionary.com sẽ gửi thư cho bạn. Chúng tôi cam kết sẽ không để xảy ra tình trạng gửi thư rác vào hộp mail của bạn.×

markdown:
Top Definition
a nympho.
a person who likes pleasure.
a person who likes pleasure.
dude, look at that eddy joe over there!
viết bởi
Địa chỉ daily@urbandictionary.com sẽ gửi thư cho bạn. Chúng tôi cam kết sẽ không để xảy ra tình trạng gửi thư rác vào hộp mail của bạn.

X-Content-Type-Options: nosniff

Cache-Control: max-age=3600, public

Via: 1.1 varnish

X-Cache: MISS

Server: Cowboy

X-Xss-Protection: 1; mode=block

Accept-Ranges: bytes


text:
There aren't any definitions for gas milage yet.
Can you define it?
Vui lòng cho biết email của bạn để nhận Từ vựng của Urban mỗi sáng nhé!
Địa chỉ daily@urbandictionary.com sẽ gửi thư cho bạn. Chúng tôi cam kết sẽ không để xảy ra tình trạng gửi thư rác vào hộp mail của bạn.


text:
Top Definition
Goodoodles is an extended form of good used when friends ask each other what is going on
Yo my man, I havent seen you in a while, whats goodoodles?
viết bởi deeztoes 05 Tháng tám, 2009
Địa chỉ daily@urbandictionary.com sẽ gửi thư cho bạn. Chúng tôi cam kết sẽ không để xảy ra tình trạng gửi thư rác vào hộp mail của bạn.×

markdown:
Top Definition
Goodoodles is an extended form of good used when friends ask each other what is going on
Yo my man, I havent seen you in a while, whats goodoodles?
viết bởi
Địa chỉ daily@urbandictionary.com sẽ gửi thư cho bạn. Chúng tôi cam kết sẽ không để xảy ra tình trạng gửi thư rác vào hộp mail của bạn.


text:
Vui lòng cho biết email của bạn để nhận Từ vựng của Urban mỗi sáng nhé!
Địa chỉ daily@urbandictionary.com sẽ gửi thư cho bạn. Chúng tôi cam kết sẽ không để xảy ra tình trạng gửi thư rác vào hộp mail của bạn.


text:
There aren't any definitions for the popular kids yet.
Can you define it?
Vui lòng cho biết email của bạn để nhận Từ vựng của Urban mỗi sáng nhé!
Địa chỉ daily@urbandictionary.com sẽ gửi thư cho bạn. Chúng tôi cam kết sẽ không để xảy ra tình trạng gửi thư rác vào hộp mail của bạn.


text:
Sign in to post new definitions, images, and sounds and create lists of favorites.
Sign in to post new definitions, images, and sounds and create lists of favorites.
Địa chỉ daily@urbandictionary.com sẽ gửi thư cho bạn. Chúng tôi cam kết sẽ không để xảy ra tình trạng gửi thư rác vào hộp mail của bạn.×

markdown:
Sign in to
**post new definitions, images, and sounds** and create lists of favorites.
Sign in to
**post new definitions, images, and sounds** and create lists of favorites.
Địa chỉ daily@urbandictionary.com sẽ gửi thư cho bạn. Chúng tôi cam kết sẽ không để xảy ra tình trạng gửi thư rác vào hộp mail của bạn.

Cache-Control: max-age=0, private, must-revalidate


text:
Tìm kiếm
- Thứ bảy, 25/06/2016 | 16:00 GMT +7
-
Hà Nội 33 oCHôm nay33 oC
Hơi Có Mây
Nhiệt độ từ 26 oC đến 33 oC
Bình minh:
Hoàng hôn:
Hướng gió:
Đông Nam Đông
Tốc độ: 13 Km/h
Hướng gió: 110°Trạm khí tượng: Ha Noi
Kinh độ:
105.85
Vĩ độ:
21.03
Nhiệt độ hóa sương:
27 oC
Tầm nhìn:
10.0 Km
Độ ẩm:
71%
Áp suất:
1005 mbHôm nayoC
Nhiệt độ từ 25 oC đến 31 oC
Bình minh:
Hoàng hôn:
Hướng gió:
Tốc độ: Km/h
Hướng gió: °Trạm khí tượng:
Kinh độ:
0
Vĩ độ:
0
Nhiệt độ hóa sương:
oC
Tầm nhìn:
Km
Độ ẩm:
Áp suất:
mb
- Đặt làm trang chủ
- Quảng cáo
- Liên hệ
- Rss

markdown:
Tìm kiếm
*Thứ bảy, 25/06/2016 | 16:00 GMT +7*
-
[Hà Nội](http://vietbao.vn/vn/thoitiet/Ha-Noi/) *33* oC **Hôm nay**
33
oC
#### Hơi Có Mây
Nhiệt độ từ 26
oC đến 33 oC
Bình minh:
Hoàng hôn:
##### Hướng gió:
Đông Nam Đông
Tốc độ: 13 Km/h
Hướng gió: 110°Trạm khí tượng: Ha Noi
Kinh độ:
105.85
Vĩ độ:
21.03
Nhiệt độ hóa sương:
27
oC
Tầm nhìn:
10.0 Km
Độ ẩm:
71%
Áp suất:
1005 mb
**Hôm nay** oC
Nhiệt độ từ 25
oC đến 31 oC
Bình minh:
Hoàng hôn:
##### Hướng gió:
Tốc độ: Km/h
Hướng gió: °Trạm khí tượng:
Kinh độ:
0
Vĩ độ:
0
Nhiệt độ hóa sương:
oC
Tầm nhìn:
Km
Độ ẩm:
Áp suất:
mb
[Đặt làm trang chủ](#) [Quảng cáo](http://vietbao.vn/vn/quang-cao/) [Liên hệ](http://vietbao.vn/vn/contact/) [Rss](http://vietbao.vn/vn/rss/)
| |21/05 (âm lịch)
Ngày: mậu dần, Hắc Đạo
Tốt cho các việc nhập học, giá thú, may mặc, thượng lương.
Tuổi xung: Canh Thân, Giáp Thân

Cache-Control: max-age=280, public


text:
Tìm kiếm
- Thứ bảy, 25/06/2016 | 15:56 GMT +7
-
Hà Nội 33 oCHôm nay33 oC
Hơi Có Mây
Nhiệt độ từ 26 oC đến 33 oC
Bình minh:
Hoàng hôn:
Hướng gió:
Đông Nam Đông
Tốc độ: 13 Km/h
Hướng gió: 110°Trạm khí tượng: Ha Noi
Kinh độ:
105.85
Vĩ độ:
21.03
Nhiệt độ hóa sương:
27 oC
Tầm nhìn:
10.0 Km
Độ ẩm:
71%
Áp suất:
1005 mbHôm nayoC
Nhiệt độ từ 25 oC đến 31 oC
Bình minh:
Hoàng hôn:
Hướng gió:
Tốc độ: Km/h
Hướng gió: °Trạm khí tượng:
Kinh độ:
0
Vĩ độ:
0
Nhiệt độ hóa sương:
oC
Tầm nhìn:
Km
Độ ẩm:
Áp suất:
mb
- Đặt làm trang chủ
- Quảng cáo
- Liên hệ
- Rss

markdown:
Tìm kiếm
*Thứ bảy, 25/06/2016 | 15:56 GMT +7*
-
[Hà Nội](http://vietbao.vn/vn/thoitiet/Ha-Noi/) *33* oC **Hôm nay**
33
oC
#### Hơi Có Mây
Nhiệt độ từ 26
oC đến 33 oC
Bình minh:
Hoàng hôn:
##### Hướng gió:
Đông Nam Đông
Tốc độ: 13 Km/h
Hướng gió: 110°Trạm khí tượng: Ha Noi
Kinh độ:
105.85
Vĩ độ:
21.03
Nhiệt độ hóa sương:
27
oC
Tầm nhìn:
10.0 Km
Độ ẩm:
71%
Áp suất:
1005 mb
**Hôm nay** oC
Nhiệt độ từ 25
oC đến 31 oC
Bình minh:
Hoàng hôn:
##### Hướng gió:
Tốc độ: Km/h
Hướng gió: °Trạm khí tượng:
Kinh độ:
0
Vĩ độ:
0
Nhiệt độ hóa sương:
oC
Tầm nhìn:
Km
Độ ẩm:
Áp suất:
mb
[Đặt làm trang chủ](#) [Quảng cáo](http://vietbao.vn/vn/quang-cao/) [Liên hệ](http://vietbao.vn/vn/contact/) [Rss](http://vietbao.vn/vn/rss/)
| |21/05 (âm lịch)
Ngày: mậu dần, Hắc Đạo
Tốt cho các việc nhập học, giá thú, may mặc, thượng lương.
Tuổi xung: Canh Thân, Giáp Thân


text:
Tìm kiếm
- Thứ bảy, 25/06/2016 | 15:52 GMT +7
-
Hà Nội 33 oCHôm nay33 oC
Hơi Có Mây
Nhiệt độ từ 26 oC đến 33 oC
Bình minh:
Hoàng hôn:
Hướng gió:
Đông Nam Đông
Tốc độ: 13 Km/h
Hướng gió: 110°Trạm khí tượng: Ha Noi
Kinh độ:
105.85
Vĩ độ:
21.03
Nhiệt độ hóa sương:
27 oC
Tầm nhìn:
10.0 Km
Độ ẩm:
71%
Áp suất:
1005 mbHôm nayoC
Nhiệt độ từ 25 oC đến 31 oC
Bình minh:
Hoàng hôn:
Hướng gió:
Tốc độ: Km/h
Hướng gió: °Trạm khí tượng:
Kinh độ:
0
Vĩ độ:
0
Nhiệt độ hóa sương:
oC
Tầm nhìn:
Km
Độ ẩm:
Áp suất:
mb
- Đặt làm trang chủ
- Quảng cáo
- Liên hệ
- Rss

markdown:
Tìm kiếm
*Thứ bảy, 25/06/2016 | 15:52 GMT +7*
-
[Hà Nội](http://vietbao.vn/vn/thoitiet/Ha-Noi/) *33* oC **Hôm nay**
33
oC
#### Hơi Có Mây
Nhiệt độ từ 26
oC đến 33 oC
Bình minh:
Hoàng hôn:
##### Hướng gió:
Đông Nam Đông
Tốc độ: 13 Km/h
Hướng gió: 110°Trạm khí tượng: Ha Noi
Kinh độ:
105.85
Vĩ độ:
21.03
Nhiệt độ hóa sương:
27
oC
Tầm nhìn:
10.0 Km
Độ ẩm:
71%
Áp suất:
1005 mb
**Hôm nay** oC
Nhiệt độ từ 25
oC đến 31 oC
Bình minh:
Hoàng hôn:
##### Hướng gió:
Tốc độ: Km/h
Hướng gió: °Trạm khí tượng:
Kinh độ:
0
Vĩ độ:
0
Nhiệt độ hóa sương:
oC
Tầm nhìn:
Km
Độ ẩm:
Áp suất:
mb
[Đặt làm trang chủ](#) [Quảng cáo](http://vietbao.vn/vn/quang-cao/) [Liên hệ](http://vietbao.vn/vn/contact/) [Rss](http://vietbao.vn/vn/rss/)
| |21/05 (âm lịch)
Ngày: mậu dần, Hắc Đạo
Tốt cho các việc nhập học, giá thú, may mặc, thượng lương.
Tuổi xung: Canh Thân, Giáp Thân


text:
Tìm kiếm
- Thứ bảy, 25/06/2016 | 15:57 GMT +7
-
Hà Nội 33 oCHôm nay33 oC
Hơi Có Mây
Nhiệt độ từ 26 oC đến 33 oC
Bình minh:
Hoàng hôn:
Hướng gió:
Đông Nam Đông
Tốc độ: 13 Km/h
Hướng gió: 110°Trạm khí tượng: Ha Noi
Kinh độ:
105.85
Vĩ độ:
21.03
Nhiệt độ hóa sương:
27 oC
Tầm nhìn:
10.0 Km
Độ ẩm:
71%
Áp suất:
1005 mbHôm nayoC
Nhiệt độ từ 25 oC đến 31 oC
Bình minh:
Hoàng hôn:
Hướng gió:
Tốc độ: Km/h
Hướng gió: °Trạm khí tượng:
Kinh độ:
0
Vĩ độ:
0
Nhiệt độ hóa sương:
oC
Tầm nhìn:
Km
Độ ẩm:
Áp suất:
mb
- Đặt làm trang chủ
- Quảng cáo
- Liên hệ
- Rss

markdown:
Tìm kiếm
*Thứ bảy, 25/06/2016 | 15:57 GMT +7*
-
[Hà Nội](http://vietbao.vn/vn/thoitiet/Ha-Noi/) *33* oC **Hôm nay**
33
oC
#### Hơi Có Mây
Nhiệt độ từ 26
oC đến 33 oC
Bình minh:
Hoàng hôn:
##### Hướng gió:
Đông Nam Đông
Tốc độ: 13 Km/h
Hướng gió: 110°Trạm khí tượng: Ha Noi
Kinh độ:
105.85
Vĩ độ:
21.03
Nhiệt độ hóa sương:
27
oC
Tầm nhìn:
10.0 Km
Độ ẩm:
71%
Áp suất:
1005 mb
**Hôm nay** oC
Nhiệt độ từ 25
oC đến 31 oC
Bình minh:
Hoàng hôn:
##### Hướng gió:
Tốc độ: Km/h
Hướng gió: °Trạm khí tượng:
Kinh độ:
0
Vĩ độ:
0
Nhiệt độ hóa sương:
oC
Tầm nhìn:
Km
Độ ẩm:
Áp suất:
mb
[Đặt làm trang chủ](#) [Quảng cáo](http://vietbao.vn/vn/quang-cao/) [Liên hệ](http://vietbao.vn/vn/contact/) [Rss](http://vietbao.vn/vn/rss/)
| |21/05 (âm lịch)
Ngày: mậu dần, Hắc Đạo
Tốt cho các việc nhập học, giá thú, may mặc, thượng lương.
Tuổi xung: Canh Thân, Giáp Thân


text:
{"localOrigin":{"code":"ALL","name":"tất cả"},"originList":[{"code":"ALL","name":"tất cả"},{"code":"CN","name":"Trung Quốc"},{"code":"US","name":"Hoa Kỳ"},{"code":"IN","name":"Ấn Độ"},{"code":"PK","name":"Pakistan"},{"code":"TR","name":"Thổ Nhĩ Kỳ"}]}
{"localShipto":{"code":"ALL","name":"tất cả"},"shiptoList":[{"code":"ALL","name":"tất cả"},{"code":"AF","name":"Châu Phi"},{"code":"M_EA","name":"Trung Đông"},{"code":"S_AS","name":"Đông Nam Á"},{"code":"E_AS","name":"Đông Á"},{"code":"SE_AS","name":"Đông Nam Á"},{"code":"S_EU","name":"Nam Âu"},{"code":"N_EU","name":"Bắc Âu"},{"code":"W_EU","name":"Tây Âu"},{"code":"E_EU","name":"Đông Âu"},{"code":"C_AM","name":"Trung Mỹ"},{"code":"S_AM","name":"Nam Mỹ"},{"code":"N_AM","name":"Bắc Mỹ"}]}
Hi,
Alibaba của tôi
Message Center
Member profile
Người Mua
Đăng Yêu cầu Mua
Quản Lý Yêu Cầu Mua
Nhà Cung Cấp
Hiển Thị Sản Phẩm Mới
Quản Lý Sản Phẩm
Dành Cho Người Mua
AliSource
Tải Về TradeManager
Dành Cho Nhà Cung Cấp
Tải Về TradeManager
Trợ giúp
Hướng Dẫn Người Mua Mới
Alibaba.com
Nhận báo giá
Save
40%
off your time to get quotes
Get Quotations Now
Advanced Search
Multi-Language Sites
Français
Español
Deutsch
Italiano
Português
हिन्दी
Pусский
اللغة العربية
한국어
日本語
Türk
ภาษาไทย
Nederlands
עברית
bahasa Indonesia
Sản phẩm
cho táo loạt trường hợp
cho samsung loạt trường hợp
cho lg loạt trường hợp
cho nokia loạt trường hợp
cho htc loạt trường hợp
cho ZTE loạt trường hợp
cho motorola loạt trường hợp
loạt trường hợp cho alcatel
cho madosma loạt trường hợp
cho các dòng điện thoại trường hợp
Xem mọi thể loại
Sơ lược về Công ty
Hồ sơ của Công ty
Hồ sơ TrustPass
Tương tác với Người mua
Năng lực Sản xuất
Năng lực Thương mại
Thông tin chi tiết Liên hệ
Xem ảnh lớn hơn
Vỏ điện thoại 3d cho iphone 4 5 5S 5c, Điện thoại di động cho iphone 5 giá rẻ, Vỏ silicon cho iphone 5
đơn hàng
Giá FOB:
US $ 0.7-0.8 / Piece
Nhận giá mới nhất
Cảng:
guangzhou/shenzhen
Số đơn đặt tối thiểu:
1 Piece / Pieces Vỏ điện thoại 3d cho iphone 4 5 5S 5c, Mẫu có ok
Năng lực cung cấp:
500000 Piece / Pieces trên Tháng Vỏ điện thoại 3d cho iphone 4 5 5S 5c, Vỏ mới
Thời gian Cung cấp:
Hàng trong 3 12 ngày sau confirmed
Điều khoản Thanh toán:
T/T,MoneyGram,paypal
Liên hệ nhà cung cấp
Bắt đầu đặt hàng
Bảo hiểm Thương mại
Đảm bảo chất lượng sản phẩm
Đảm bảo giao hàng đúng hẹn
Bảo vệ thanh toán
Thông tin sản phẩm
Lịch sử Giao dịch(
)
Report Suspicious Activity
Các Thông tin nhanh
Nơi xuất xứ:
Trung Quốc (Đại lục)
Nhãn hiệu:
Yaxin- 3d trường hợp điện thoại cho iphone 4/5/5s/5c
Model:
cho iPhone 5
Tương thích thương hiệu:
Apple iPhone
Vật liệu:
Silicon
mẫu:
cung cấp mẫu miễn phí nhưng vận chuyển hàng hóa
tính năng sản phẩm:
Despicable Me trường hợp bảo vệ điện thoại
loại:
Trường hợp điện thoại, 3d trường hợp điện thoại cho iphone 4/5/5s/5c
sản phẩm:
silicone trường hợp điện thoại
bàn giao lệ phí:
Cảm ứng tốt, 3d trường hợp điện thoại cho iphone 4/5/5s/5c
sử dụng:
Quà tặng, xúc tiến hoặc khác
đóng gói:
Pp, opp và pe túi, theo yêu cầu của bạn
nhân vật:
xử lý trường hợp
màu:
bất kỳ màu sắc là ok
chức năng:
bảo vệ điện thoại
Thông tin đóng gói
Thông tin đóng gói:
Điện thoại đóng gói despicable bảo vệ : 1.OPP gói ( miễn phí ) : 1 ) 1 cái / polybag 2 ) 10 cái/túi 3 ) 500 cái pc/thùng, Kích thước đóng gói : 2 45 35 * 30 cm. Đóng gói tùy chỉnh có avaible ( 3d cho điện thoại iphone 4 5 5S 5c )
Gửi thư của bạn tới nhà cung cấp này
Những sản phẩm hoặc Kết quả của Nhà cung cấp vừa được dịch nhờ các công cụ hỗ trợ để tiện tìm hiểu. Nếu bạn có góp ý về kết quả dịch
vui lòng giúp chúng tôi cải thiện.
All product and supplier information in the language(s) other than English displaying on this page are information of
www.alibaba.com
translated by the language-translation tool automatically. If you have any query or suggestion about the quality of the auto-translation, please email us at (email address). Alibaba.com and its affiliates hereby expressly disclaim any warranty, express or implied, and liability whatsoever for any loss howsoever arising from or in reliance upon any auto-translated information or caused by any technical error of the language-translation tool.
Đang tải...
Hãy thử so sánh các báo giá 1-nhấp chuột với Yêu Cầu Mua Hàng 1-phút.
Nhận báo giá >>
Tìm Sản phẩm
globalmuses010176213124

markdown:
# Vỏ điện thoại 3d cho iphone 4 5 5S 5c, Điện thoại di động cho iphone 5 giá rẻ, Vỏ silicon cho iphone 5
|Giá FOB:|| US $ 0.7-0.8 / Piece |
### Các Thông tin nhanh
|Nơi xuất xứ:|| |
Trung Quốc (Đại lục)
|Nhãn hiệu:|| |
Yaxin- 3d trường hợp điện thoại cho iphone 4/5/5s/5c
|Model:|| |
cho iPhone 5
|Tương thích thương hiệu:|| |
Apple iPhone
|Vật liệu:|| |
Silicon
|mẫu:|| |
cung cấp mẫu miễn phí nhưng vận chuyển hàng hóa
|tính năng sản phẩm:|| |
Despicable Me trường hợp bảo vệ điện thoại
|loại:|| |
Trường hợp điện thoại, 3d trường hợp điện thoại cho iphone 4/5/5s/5c
|sản phẩm:|| |
silicone trường hợp điện thoại
|bàn giao lệ phí:|| |
Cảm ứng tốt, 3d trường hợp điện thoại cho iphone 4/5/5s/5c
|sử dụng:|| |
Quà tặng, xúc tiến hoặc khác
|đóng gói:|| |
Pp, opp và pe túi, theo yêu cầu của bạn
|nhân vật:|| |
xử lý trường hợp
|màu:|| |
bất kỳ màu sắc là ok
|chức năng:|| |
bảo vệ điện thoại
### Thông tin đóng gói
|Thông tin đóng gói:||Điện thoại đóng gói despicable bảo vệ : 1.OPP gói ( miễn phí ) : 1 ) 1 cái / polybag 2 ) 10 cái/túi 3 ) 500 cái pc/thùng, Kích thước đóng gói : 2 45 35 * 30 cm. Đóng gói tùy chỉnh có avaible ( 3d cho điện thoại iphone 4 5 5S 5c )|

Content-Language: en-US

Server: Tengine

Content-Security-Policy-Report-Only: style-src 'self' 'unsafe-inline' *.alibaba.com *.alisoft.com *.aliyun.com *.alipay.com *.aliexpress.com *.taobao.com *.taobao.net https://assets.alicdn.com https://login.alibaba.com *.alicdn.com *.tbcdn.com *.tbcdn.cn *.aliimg.com *.aliunicorn.com *.1688.com https://*.1688.com *.taobaocdn.com *.taobaocdn.cn *.mmstat.com *.alimama.com *.alimama.cn *.amap.com *.meitipu.com yui.yahooapis.com *.amap.com http://localhost.wwbizsrv.alibaba.com:4012 http://localhost.wwbizsrv.alibaba.com:4812 https://localhost.wwbizsrv.alibaba.com:4013 https://localhost.wwbizsrv.alibaba.com:4813 *.cnzz.com *.cnzz.net www.google.com apis.google.com translate.googleapis.com translate.google.com widgets.twimg.com platform.twitter.com twitter.com;img-src 'self' data: *.alibaba.com *.alisoft.com *.aliyun.com *.alipay.com *.aliexpress.com *.taobao.com *.taobao.net https://assets.alicdn.com https://login.alibaba.com *.alicdn.com *.tbcdn.com *.tbcdn.cn *.aliimg.com *.aliunicorn.com *.1688.com https://*.1688.com *.taobaocdn.com *.taobaocdn.cn *.mmstat.com *.alimama.com *.alimama.cn *.amap.com *.meitipu.com yui.yahooapis.com *.amap.com http://localhost.wwbizsrv.alibaba.com:4012 http://localhost.wwbizsrv.alibaba.com:4812 https://localhost.wwbizsrv.alibaba.com:4013 https://localhost.wwbizsrv.alibaba.com:4813 *.cnzz.com *.cnzz.net www.google.com apis.google.com translate.googleapis.com translate.google.com widgets.twimg.com platform.twitter.com twitter.com www.google-analytics.com www.googleadservices.com googleads.g.doubleclick.net stats.g.doubleclick.net;script-src 'self' 'unsafe-inline' 'unsafe-eval' *.alibaba.com *.alisoft.com *.aliyun.com *.alipay.com *.aliexpress.com *.taobao.com *.taobao.net https://assets.alicdn.com https://login.alibaba.com *.alicdn.com *.tbcdn.com *.tbcdn.cn *.aliimg.com *.aliunicorn.com *.1688.com https://*.1688.com *.taobaocdn.com *.taobaocdn.cn *.mmstat.com *.alimama.com *.alimama.cn *.amap.com *.meitipu.com yui.yahooapis.com *.amap.com http://localhost.wwbizsrv.alibaba.com:4012 http://localhost.wwbizsrv.alibaba.com:4812 https://localhost.wwbizsrv.alibaba.com:4013 https://localhost.wwbizsrv.alibaba.com:4813 *.cnzz.com *.cnzz.net www.google.com apis.google.com translate.googleapis.com translate.google.com widgets.twimg.com platform.twitter.com twitter.com www.google-analytics.com www.googleadservices.com googleads.g.doubleclick.net stats.g.doubleclick.net;;report-uri //pointman.alibaba.com/csp?app=default

P3P: CP="CAO PSA OUR"


text:
Danh Mục
Danh Sách Nhà Đầu Tư
- Cty TM Kỹ thuật & Đầu tư Petec
- Cty cổ phần dầu khí Vũng Tàu
- Cty đầu tư&phát triển hạ tầng IDI
- Cty chế biến&kinh doanh các sản phẩm dầu mỏ
- Cty TNHH Interfluor Việt Nam
- Cty TNHH nhựa&hóa chất Phú Mỹ
- Cty chế biến&kinh doanh các sản phẩm khí
- Cty TNHH đĩa tin học Bách Việt
- Cty TNHH xay xát lúa mì Việt Nam
- Cty TNHH FRITTA Việt Nam
Giới Thiệu Ban Quản Lý
BAN QUẢN LÝ CÁC KHU CÔNG NGHIỆP TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU
Do có tiềm năng lớn về dầu khí, cảng biển, có trung tâm điện năng lớn nhất cả nước là Phú Mỹ và nhiều điều kiện thuận lợi khác nên Bà Rịa - Vũng Tàu có khả năng thu hút đầu tư phát triển các khu công nghiệp.
Tỉnh đã và đang huy động các nguồn vốn để đầu tư hạ tầng kỹ thuật 7 khu công nghiệp (KCN) đã được Thủ tướng phê duyệt quy hoạch và cho phép thành lập, bao gồm: KCN Đông Xuyên 160,8 ha, KCN Phú Mỹ (I) 954,4 ha, KCN Mỹ Xuân (A) 122,6 ha, KCN Mỹ Xuân A (mở rộng) 146,6 ha, KCN Mỹ Xuân (Bi) 222,8 ha, KCN Mỹ Xuân (A2) 312,8 ha, KCN Cái Mép 670 ha. Đến nay, tại các KCN này đã có 89 dự án đầu tư với tổng số vốn đăng ký gần 3 tỉ USD.
Ban Quản lý các Khu công nghiệp Bà Rịa-Vũng Tàu được thành lập theo quyết định số 485/TTg ngày 29/7/1996 của Thủ tướng Chính phủ. Ban quản lý các Khu công nghiệp Bà Ria - Vũng Tàu là cơ quan quản lý các khu công nghiệp có nhiệm vụ và quyền hạn được qui đinh tại Điều 27 Quy chế Khu công nghiệp và Khu chế xuất ban hành kèm theo Nghị đinh 36/CP ngày 24/4/1997 của Chính phủ
- Nghiên cứu, tham mưu giúp công tác quản lý nhà nước đối với các doanh nghiệp hoạt động sản xuất kinh doanh và cung cấp dịch vụ trong các KCN Bà Rịa-Vũng Tàu.
- Quản lý và xúc tiến Đầu Tư
- Quản lý Quy hoạch - Hạ tầng
Địa chỉ : 124 Võ Thị Sáu, Tp. Vũng Tàu, tỉnh Bà rịa – Vũng tàu.
Tên gọi tắt : BIZA
Điện thoại : (84-64) 811735
Fax : (84-64) 858531
Tên gọi tắt : BIZA
Điện thoại : (84-64) 811735
Fax : (84-64) 858531
Ông LÊ MINH CHÂU – Trưởng ban - Điện thoại: 0903 901 378
Ông NGUYỄN VĂN LAM - Phó trưởng ban - Điện thoại: 0903 706 335
Ông Bùi Kế Nhàn - Chánh văn phòng - Điện thoại: 0983 724 684
Văn phòng - Điện thoại: 064 811 735
KCN Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu
VIIPIP PROPERTIES
Vùng Kinh Tế Trọng Điểm Miền Bắc
-
Thủ đô Hà Nội
14 khu công nghiệp
-
Tỉnh Vĩnh Phúc
5 khu công nghiệp
-
Tỉnh Quảng Ninh
4 khu công nghiệp
-
Tỉnh Bắc Ninh
15 khu công nghiệp
-
Thành phố Hải Phòng
5 khu công nghiệp
-
Tỉnh Hưng Yên
5 khu công nghiệp
-
Tỉnh Hải Dương
11 khu công nghiệp
-
Hà Nam
2 khu công nghiệp
-
Bắc Giang
1 khu công nghiệp
-
Nam Định
2 khu công nghiệp
Vùng Kinh Tế Trọng Điểm Miền Trung
-
Thành Phố Đà Nẵng
6 khu công nghiệp
-
Tỉnh Thừa Thiên Huế
3 khu công nghiệp
-
Tỉnh Khánh Hòa
5 khu công nghiệp
-
Tỉnh Quảng Ngãi
6 khu công nghiệp
-
Tỉnh Quảng Nam
8 khu công nghiệp
-
Tỉnh Bình Định
7 khu công nghiệp
-
Tỉnh Phú Yên
4 khu công nghiệp
-
Gia Lai
1 khu công nghiệp
-
ĐĂK NÔNG
1 khu công nghiệp
-
ĐĂK LĂK
1 khu công nghiệp
-
KON TUM
0 khu công nghiệp
Vùng Kinh Tế Trọng Điểm Miền Nam
-
Bình Thuận
6 khu công nghiệp
-
Thành Phố Hồ Chí Minh
20 khu công nghiệp
-
Tỉnh Đồng Nai
31 khu công nghiệp
-
Tỉnh Bình Dương
28 khu công nghiệp
-
Tỉnh Long An
37 khu công nghiệp
-
Tỉnh Tây Ninh
4 khu công nghiệp
-
Tỉnh Tiền Giang
5 khu công nghiệp
-
Tỉnh Bình Phước
7 khu công nghiệp

markdown:
Danh Mục
Danh Sách Nhà Đầu Tư
[Cty TM Kỹ thuật & Đầu tư Petec](#) [Cty cổ phần dầu khí Vũng Tàu](#) [Cty đầu tư&phát triển hạ tầng IDI](#) [Cty chế biến&kinh doanh các sản phẩm dầu mỏ](#) [Cty TNHH Interfluor Việt Nam](#) [Cty TNHH nhựa&hóa chất Phú Mỹ](#) [Cty chế biến&kinh doanh các sản phẩm khí](#) [Cty TNHH đĩa tin học Bách Việt](#) [Cty TNHH xay xát lúa mì Việt Nam](#) [Cty TNHH FRITTA Việt Nam](#)
Giới Thiệu Ban Quản Lý
**BAN QUẢN LÝ CÁC KHU CÔNG NGHIỆP TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU**
Do có tiềm năng lớn về dầu khí, cảng biển, có trung tâm điện năng lớn nhất cả nước là Phú Mỹ và nhiều điều kiện thuận lợi khác nên Bà Rịa - Vũng Tàu có khả năng
*thu* *hút đầu tư phát triển các khu công nghiệp* *.*
Tỉnh đã và đang huy động các nguồn vốn để đầu tư hạ tầng kỹ thuật 7 khu công nghiệp (KCN) đã được Thủ tướng phê duyệt quy hoạch và cho phép thành lập, bao gồm: KCN Đông Xuyên 160,8 ha, KCN Phú Mỹ (I) 954,4 ha, KCN Mỹ Xuân (A) 122,6 ha, KCN Mỹ Xuân A (mở rộng) 146,6 ha, KCN Mỹ Xuân (Bi) 222,8 ha, KCN Mỹ Xuân (A2) 312,8 ha, KCN Cái Mép 670 ha. Đến nay, tại các KCN này đã có 89 dự án đầu tư với tổng số vốn đăng ký gần 3 tỉ USD.
Ban Quản lý các Khu công nghiệp Bà Rịa-Vũng Tàu được thành lập theo quyết định số 485/TTg ngày 29/7/1996 của Thủ tướng Chính phủ. Ban quản lý các Khu công nghiệp Bà Ria - Vũng Tàu là cơ quan quản lý các khu công nghiệp có nhiệm vụ và quyền hạn được qui đinh tại Điều 27 Quy chế Khu công nghiệp và Khu chế xuất ban hành kèm theo Nghị đinh 36/CP ngày 24/4/1997 của Chính phủ
- Nghiên cứu, tham mưu giúp công tác quản lý nhà nước đối với các doanh nghiệp hoạt động sản xuất kinh doanh và cung cấp dịch vụ trong các KCN Bà Rịa-Vũng Tàu.
- Quản lý và xúc tiến Đầu Tư
- Quản lý Quy hoạch - Hạ tầng
**Địa chỉ :**124 Võ Thị Sáu, Tp. Vũng Tàu, tỉnh Bà rịa – Vũng tàu.
Tên gọi tắt :
**BIZA** **Điện thoại :**(84-64) 811735 **Fax :**(84-64) 858531
Ông LÊ MINH CHÂU – Trưởng ban - Điện thoại: 0903 901 378
Ông NGUYỄN VĂN LAM - Phó trưởng ban - Điện thoại: 0903 706 335
Ông Bùi Kế Nhàn - Chánh văn phòng - Điện thoại: 0983 724 684
**Văn phòng -**Điện thoại: 064 811 735
KCN Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu
VIIPIP PROPERTIES
[Vùng Kinh Tế Trọng Điểm Miền Bắc](#)
-
Thủ đô Hà Nội
14 khu công nghiệp
-
Tỉnh Vĩnh Phúc
5 khu công nghiệp
-
Tỉnh Quảng Ninh
4 khu công nghiệp
-
Tỉnh Bắc Ninh
15 khu công nghiệp
-
Thành phố Hải Phòng
5 khu công nghiệp
-
Tỉnh Hưng Yên
5 khu công nghiệp
-
Tỉnh Hải Dương
11 khu công nghiệp
-
Hà Nam
2 khu công nghiệp
-
Bắc Giang
1 khu công nghiệp
-
Nam Định
2 khu công nghiệp
[Vùng Kinh Tế Trọng Điểm Miền Trung](#)
-
Thành Phố Đà Nẵng
6 khu công nghiệp
-
Tỉnh Thừa Thiên Huế
3 khu công nghiệp
-
Tỉnh Khánh Hòa
5 khu công nghiệp
-
Tỉnh Quảng Ngãi
6 khu công nghiệp
-
Tỉnh Quảng Nam
8 khu công nghiệp
-
Tỉnh Bình Định
7 khu công nghiệp
-
Tỉnh Phú Yên
4 khu công nghiệp
-
Gia Lai
1 khu công nghiệp
-
ĐĂK NÔNG
1 khu công nghiệp
-
ĐĂK LĂK
1 khu công nghiệp
-
KON TUM
0 khu công nghiệp
[Vùng Kinh Tế Trọng Điểm Miền Nam](#)
-
Bình Thuận
6 khu công nghiệp
-
Thành Phố Hồ Chí Minh
20 khu công nghiệp
-
Tỉnh Đồng Nai
31 khu công nghiệp
-
Tỉnh Bình Dương
28 khu công nghiệp
-
Tỉnh Long An
37 khu công nghiệp
-
Tỉnh Tây Ninh
4 khu công nghiệp
-
Tỉnh Tiền Giang
5 khu công nghiệp
-
Tỉnh Bình Phước
7 khu công nghiệp

Cache-control: private