text:
Tổng hợp kiến thức ôn thi đại học môn Toán
Chia sẻ: Đào Xuân Lộc | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:22
lượt xem 870
download
Tổng hợp kiến thức ôn thi đại học môn Toán
Tài liệu tổng hợp lại kiến thức môn Toán, hỗ trợ việc ôn thi đại học của bạn được kỹ lưỡng và đầy đủ hơn.
Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Tổng hợp kiến thức ôn thi đại học môn Toán
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1. Giai thừa : n! = 1.2...n 0! = 1 n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n 2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n. 3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n. 4. Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : Pn = n !. k n! 5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn : Cn = k!(n − k)! 6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách : n! An = k , A n = Cn .Pk k k (n − k)! Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị 7. Tam giác Pascal : 1 C0 0 1 1 0 1 2 1 C1 C1 1 0 1 3 3 1 C2 C2 C2 1 2 1 4 6 4 1 0 C3 C3 C3 C3 1 2 3 C0 4 C4 C4 C4 C 4 1 2 3 4 Tính chất : C0 = Cn = 1 Cn = Cn−k n n , k n Cn−1 + Cn = Cn+1 k k k 8. Nhị thức Newton : * (a + b)n = C0anb0 + C1an−1b1 + ...+ Cna0bn n n n a = b = 1 : ... C0 + C1 + ... + Cn = 2n n n n Với a, b ∈ {± 1, ± 2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa : C0,C1 ,..., n n n Cn * (a + x)n = C0an + C1an−1x + ...+ Cnxn n n n Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa C0,C1 ,..., n n n Cn bằng cách : - Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ± 1, ± 2, ... a = ± 1, ± 2, ... - Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ± 1, ± 2, ... , a = ± 1, ± 2, ... ±1 ±2 β - Cho a = ± 1, ± 2, ..., ∫ hay ∫ ... hay α α 0 0 Chú ý : * (a + b)n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x : Ck a n −k b k = Kx m n Giải pt : m = 0, ta được k. * (a + b)n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ. m r k n −k Can b = Kc d k p q m/ p∈ Z Giải hệ pt : , tìm được k r / q∈ Z * k k Giải pt , bpt chứa A n ,Cn ...: đặt điều kiện k, n ∈ N* ..., k ≤ n. Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung. * Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp). 1 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) * Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp. * Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau : số cách chọn thỏa p. = số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p. Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác. * Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải). * Dấu hiệu chia hết : - Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. - Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. - Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. - Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3. - Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9. - Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5. - Cho 6 : chia hết cho 2 và 3. - Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75. II- ĐẠI SỐ b = c = 0 1. Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔ b ≠ 0 a = c/ b a = bc a/b = c ⇔ ; a2n+1 = b ⇔ a = 2n+1 b b≠ 0 a b = a 2n a 2n = b � a = � b, a = 2n 2n b � � ��a 0 b = ±a a= b ⇔ ,a = logα b ⇔ b = α a a≥ 0 b = 0,c > 0 b> 0 a + b < c ⇔ a < c − b ; ab< c ⇔ a < c/ b b< 0 a > c/ b 2. Giao nghiệm : x> a x< a ⇔ x > max{, b ; a } ⇔ x < min{, b a } x> b x< b xp x Γ x >a a a < x < b(ne� < b) < p q ua
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) a. b (neáub≥ 0) a, ab = − a. − b (neáub < 0) a, 2 b. . : phá . bằng cách bình phương : a = a2 hay bằng định nghĩa : a (neáu≥ 0) a a = − a(neáu< 0) a b ≥ 0 a = b⇔ ; a = b ⇔ a = ±b a = ±b a � � − b �a � b b ab a 0 a � � b < 0hay � b a −− �� b a b a ≤ b ⇔ a2 − b2 ≤ 0 c. Mũ : y = ax , x ∈ R,y > 0,y ↑ neáu> 1 y ↓ neáu< a < 1. a , 0 a0 = 1; a− m/ n = 1/ n am ; am.an = am+ n am / an = am−n ; (am)n = am.n ; an / bn = (a/ b)n an.bn = (ab)n ; am = an � (m = n,0 < a � ) � a =1 1 m < n(neáu> 1) a am < an ⇔ , α = aloga α m > n(neáu< a < 1) 0 d. log : y = logax , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R α y↑ nếu a > 1, y↓ nếu 0 < a < 1, α = logaa loga(MN) = logaM + logaN ( N ) loga(M/N) = logaM – logaN ( N ) loga M 2 = 2loga M ,2loga M = loga M 2 (⇒) logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc 1 logbc = logac/logab, log α M = loga M a α loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N 0 < M < N(ne� > 1) ua loga M N > 0(ne� < a < 1 u0 ) Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định. Mất log phải có điều kiện. 4. Đổi biến : a. Đơn giản : t = ax+ b∈ R, t = x2 ≥ 0, t = x ≥ 0,t = x ≥ 0,t = ax > 0,t = loga x ∈ R N?u trong ?? bài có ?i?u ki?n c?a x, ta chuy?n sang ?i?u ki?n c?a t b?ng cách bi?n ??i tr?c ti?p b?t ??ng th?c. b. Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định của f. c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện của t. d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên. 5. Xét dấu : a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu. b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0. c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f. 6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α : f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ( 0) 3 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x 1,x2) = 0 không đối xứng, giải hệ pt : g= 0 S = x1 + x2 P = x .x 1 2 Biết S, P thỏa S2 – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0 * Dùng ∆, S, P để so sánh nghiệm với 0 : ∆ >0 x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0, 0 < x1 < x2 ⇔ P > 0 S> 0 ∆ >0 x1 < x2 < 0 ⇔ P > 0 S< 0 * Dùng ∆, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < 0 ∆ >0 ∆ >0 α < x1 < x2 ⇔ a f (α ) > 0 . ; x1 < x2 < α ⇔ a f (α ) > 0 . α < S/ 2 S/ 2 < α β a.f(β) < 0 a.f (α ) < 0 β α < x1 < β < x2 ⇔ α a.f(α ) > 0 ; x1 < α < x2 < β ⇔ a f (β) > 0 . αα < β α 0 3 nghiệm phân biệt ⇔ f (α ) ≠ 0 ∆ > 0 ∆ = 0 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∨ f (α ) = 0 f (α) ≠ 0 ∆∆ =0 1 nghiệm ⇔∆ 0 2 nghiệm ⇔ yCÑ .yCT = 0 4 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) ∆ y' > 0 1 nghiệm ⇔ ∆ y' ≤ 0 ∨ yCÑ .yCT > 0 c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC : ∆ y' > 0 ⇔ = yuoán 0 d. So sánh nghiệm với α : • x = xo ∨f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x) với α. • Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa α vào BBT. • Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của (C m) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox) ∆ ∆ y' > 0 ∆ < yC�.yCT < 0 α < x1 < x2 < x3 ⇔ < α y(α) < 0 α x1 x2 x 3 αα < x α CT ∆ y' > 0 y .y < 0 α CÑ CT x1 x2 x1 < α < x2 < x3 ⇔ x3 y(α) > 0 α < xCT ∆ y' > 0 y .y < 0 CÑ CT x1 < x2 < α < x3 ⇔ y(α) < 0 x1 α x2 x3 xCÑ < α α ∆ ∆ y' > 0 ∆ x1 x2 < yC�.yCT < 0 x3 x1 < x2 < x3 < α ⇔ < α y(α) > 0 αx < α < CT 8. Phương trình bậc 2 có điều kiện : f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α ∆ >0 f (α) ≠ 0 f (α) = 0 2 nghiệm ⇔ , 1 nghiệm ⇔ ∆ >0 ∆ =0 f (α) ≠ 0 ∆ =0 Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ∨ f (α) = 0 Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN. 9. Phương trình bậc 4 : t = x2 ≥ 0 a. Trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) ⇔ f (t) = 0 t = x2 ⇔ x = ± t 5 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) ∆ >0 P=0 4 nghiệm ⇔ P > 0 ; 3 nghiệm ⇔ S> 0 S> 0 P=0 P 0 S/ 2 = 0 ∆ ≥0 S S VN ⇔ ∆ < 0 ∨ P > 0 ⇔∆ < 0 ∨> P > 0 S< 0 >S
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) 14. Bất phương trình, bất đẳng thức : * Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của , . , log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB. * Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều số âm : có đổi chiều Chia bất phương trình : tương tự. * Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm. * Bất đẳng thức Côsi : a+ b a, b ≥ 0 : ≥ ab 2 Dấu = xảy ra chỉ khi a = b. a+ b+ c 3 a, b, c ≥ 0 : ≥ abc 3 Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c. * Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d 15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm : Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung. Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I. 16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I : Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x ∈ I. f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt) f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt) III- LƯỢNG GIÁC + 0 1. Đường tròn lượng giác : Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M. −2π 2π Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π. Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội của π 1 ( cung −2π 0 2π 6 3 M π 1 phần tư) và ( cung phần tư) 4 2 α A 0 2kπ x=α+ : α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trên đường tròn lượng x+k2 n tg giác. sin 2. Hàm số lượng giác : M cotg M cos 3. Cung liên kết : chiếu xuyên * Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hichiπ (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu π). tâm ệ u ếu * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ π * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu). 2 4. Công thức : a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc. b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b. c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a. d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a. e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân ba. a f. Đưa về t = tg : đưa lượng giác về đại số. 2 g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2. h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b. 7 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) 5. Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ, π π sinα = 1 ⇔ α = + k2π; sinα = –1 ⇔ α = – + k2π, 2 2 π cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α = + kπ, 2 cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨u = π – v + k2π cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π tgu = tgv ⇔ u = v + kπ cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ 6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c * Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2 * Chia 2 vế cho a2 + b2 , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản. u (cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo t = tg ) 2 7. Phương trình đối xứng theo sin, cos : Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos. � π� t2 − 1 Đặt : t = sinu + cosu = 2sin� + � n 2 t u ,−i 2,sinu.cosu = � 4� 2 8. Phương trình chứa sinu + cosu và sinu.cosu : � π� t 2 −1 Đặt : t = sin u + cos u = 2 sin � +u �0 t u c , 2 ,sin u.cos u = � 4� 2 9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : � π� 1− t2 Đặt : t = sinu − cosu = 2sin� − � = 2 t u , −c 2,sinu.cosu = � 4� 2 10. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : � π� 1− t2 Đặt : t = sin u − cos u = 2 sin � −u �0 t u c , 2 ,sin u.cos u = � 4� 2 11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) : Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức 1/cos u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu. 2 12. Phương trình toàn phương mở rộng : * Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u. * Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu. 13. Giải phương trình bằng cách đổi biến : Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt : * t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x. * t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x. * t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x. * t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng x * t = tg : nếu cả 3 cách trên đều không đúng. 2 14. Phương trình đặc biệt : u= 0 * u2 + v2 = 0 ⇔ v= 0 u= v u= C * u≤ C ⇔ v≥ C v= C 8 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) u≤ A u= A * v≤ B ⇔ u+ v = A + B v = B sinu = 1 sinu = −1 * sinu.cosv = 1 ⇔ ∨ cos = 1 cos = −1 v v sinu = 1 sinu = −1 * sinu.cosv = – 1 ⇔ ∨ cos = −1 cos = 1 v v Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1. 15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg F(x) ± F(y) = m (1) a. Dạng 1 : . Dùng công thức đổi + thành nhân, x± y = n (2) x+ y = a thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình : x− y = b F(x).F(y) = m b. Dạng 2 : . Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +. x± y = n F(x) / F(y) = m c. Dạng 3 : . x± y = n a c a+ c a− c Dùng tỉ lệ thức : = ⇔ = biến đổi phương trình (1) rồi dùng b d b+ d b− d công thức đổi + thành x. d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản. 16. Toán ∆ : * Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π * A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2. * A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2) A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ; A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2) Dùng các tính chất này để chọn k. * Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin : a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA 1 1 abc * S = ah = absinC = a = pr 2 2 4R = p(p − a)(p − b)(p − c) 1 * Trung tuyến : ma = 2b2 + 2c2 − a2 2 A 2bccos * Phân giác : ℓa = 2 b+ c IV- TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa, công thức, tính chất : * F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F. Họ tất cả các nguyên hàm của f : ∫ f (x)dx= F(x) + C (C ∈ R) uα+1 � = u + C ; �du = α + 1+ C , α * du u α≠ –1 9 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) du � = ln u + C; �du = e + C; ∫ a du= a / lna+ C u u eu u u =sin udu = − cos u + C ; ∫ cosudu= sinu + C ∫ du/ sin u = − cotgu+ C ; ∫ du/ cos u = tgu+ C 2 2 b =f(x)dx = F(x) = F(b) − F(a) b * a a a b a c b c * ∫a = 0 ; ∫a = −∫b , ∫a= ∫a + ∫b b b b b b ∫ (f + g) = ∫ f + ∫ g ; ∫ kf = k∫ f a a a a a 2. Tích phân từng phần : � = uv − � udv vdu Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp. ∫ x e , ∫ x sinx ; ∫ x cosx : u = x n x n n n a. ∫ x lnx : u = lnx n b. ∫ e sinx , ∫ e cosx : u = e haydv= e dx x x x x c. từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ 3. Các dạng thường gặp : ∫ sin x.cos x : m 2n+1 a. u = sinx. ∫ cos x.sin x m 2n+1 : u = cosx. ∫ sin x.cos x 2m 2n : hạ bậc về bậc 1 ∫ tg x / cos x 2m 2n b. : u = tgx (n ≥ 0) ∫ cotg x / sin x : 2m 2n u = cotgx (n ≥ 0) c. ∫ chứa a – u 2 2 : u = asint ∫ chứa u – a 2 2 : u = a/cost ∫ chứa a + u 2 2 : u = atgt d. ∫ R(sinx,cosx) , R : hàm hữu tỷ R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx): u = tgx ∨u = cotgx x R đơn giản : u = tg 2 π/2 π ∫ :thöû u = ñaët 2 −x 0 π ∫ :thöû u = π − x ñaët 0 10 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) ∫ x (a+ bx ) , (m+ 1) / n∈ Z : u = a+ bx m n p/ q q n e. n p/ q m+ 1 p ∫ x (a+ bx ) , n + q ∈ Z : u x = a+ bx m q n n f. 1 ∫ dx/[(hx+ k) ax + bx+ c : hx+ k = u 2 g. h. ∫ R(x, (ax+ b) /(cx+ d) , R là hàm hữu tỷ : u = (ax+ b) /(cx+ d) i. ∫ chứa (a + bx ) : thử đặt u = a + bx . k m/n n k 4. Tích phân hàm số hữu tỷ : ∫ P(x) / Q(x) : bậc P < bậc Q * Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (∆ < 0) * Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q : A A A2 An x + a→ , (x + a)n → 1 + 2 + ...+ x+ a x + a (x + a) (x + a)n A (2ax+ b) B dx ax2 + bx+ c(∆ < 0) → 2 + 2 ∫ 2 (∆ < 0) = ∫ du/(u2 + a2) :ñaët= atgt u ax + bx+ c ax + bx+ c ax + bx+ c 5. Tính diện tích hình phẳng : b a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : SD = ∫ f (x) dx a f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở ; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] . của đường tròn lượng giác. b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x) b (C') : y = g(x) : SD = ∫ f (x) − g(x) dx a Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/. c. D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0 f(x) b α/ SD = =f(x) − g(x) dx a g(x) b x=a x=b y=b β/ SD = =f(y) − g(y) dy g(y) f(y) a y=a Với trường hợp α) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay chỗ gãy. Với trường hợp β) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đường ngang ngay chỗ gãy. Chọn tính ∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bị chia cắt. Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm. Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm . . Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn + hay − ( y = ...+ : treân = ...− ,y : döôùi = ...+ ,x : phaûi = ...− ,x ) : traùi 6. Tính thể tích vật thể tròn xoay : a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) : f(x) 11 a http://hoiphuonghoangvn.7forum.info b
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) b V = π ∫ [ f (x)] 2dx a b b f(y) b. V = π ∫ [ f (y)] dy 2 a a f(x) b g(x) c. V = π ∫ [f 2(x) − g2(x)]dx a a b b b d. V = π ∫ [f 2(y) − g2(y)]dy g(y) f(y) a a f(x) f(x) -g(x) c b e. V = π ∫ f 2(x)dx+ π ∫ g2(x)dx a b a c a c b g(x c b 0) f. V = π ∫ g (y)dy+ π ∫ f 2(y)dy 2 b f(y) a c c -g(y) a Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ ...dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ ... dy. V- KHẢO SÁT HÀM SỐ 0 ∞ 1. Tìm lim dạng , dạng 1 : 0 P(x) (x − a)P1(x) P a. Phân thức hữu tỷ : lim (daïng/ 0) = lim 0 = lim 1 x→a Q(x) x→a (x − a)Q1(x) x→a Q1 f (x) sinu b. Hàm lg : lim (daïng/ 0),duøng thöùc 0 coâng lim =1 x→a g(x) u→0 u f (x) c. Hàm chứa căn : lim (daïng/ 0) , dùng lượng liên hiệp : 0 x→a g(x) a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 3 d. ∞ Hàm chứa mũ hay log (dạng 1 ) : dùng công thức lim(1+ u)1/ u = e u→0 2. Đạo hàm : f (x) − f (xo ) a. Tìm đạo hàm bằng định nghĩa : f '(x0) = lim x→xo x − xo Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía : / / f+ (xo ) = lim ,f− (xo ) = lim . / / Nếu f+ (xo ) = f− (xo ) thì f có đạo hàm tại xo. + x→xo − x→xo 12 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info α f(x) M
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) b. Ý nghĩa hình học : k = tgα = f/(xM) c. f/ + : f ↑ , f/ – : f ↓ f// + : f lõm , f// – : f lồi f / (xM ) = 0 d. f đạt CĐ tại M ⇔ // f (xM ) < 0 f / (xM ) = 0 f đạt CT tại M ⇔ // f (xM ) > 0 M là điểm uốn của f ⇔ f//(xM) = 0 và f// đổi dấu khi qua xM. 1 e. Tính đạo hàm bằng công thức : C/ = 0, (x )/ = αx α α –1 , (lnx)/ = 1/x , ( loga x) x= , (ex)/ = ex xlna (ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x, (cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u ± v)/ = u/ ± v/, (uv)/ = u/v + uv/ , (u/v)/ = (u/v – uv/)/v2 * Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] . f/(x) * Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với hàm [f(x)] g(x) hay f(x) dạng tích, thương, chứa n ... / f. Vi phân : du = u dx 3. Tiệm cận : limy = ∞ ⇒ x = a : tcđ x→a x a y y lim y = b ⇒ y = b : tcn x→∞ x − + y b b x − + lim[y − (ax+ b)] = 0 ⇒ y = ax + b : tcx x→∞ y y * Vẽ đồ thị có tiệm cận : - t c đ : khi y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c . - t c x :khi x và y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. - t c n :khi x càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. P(x) * Xét y= Q(x) • Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ≠ 0 • Có tcn khi bậc P ≤ bậc Q : với x → ∞, tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc cao nhất của P chia số hạng bậc cao nhất của Q. P1(x) • Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có : f (x) = ax+ b + , tcx là y = ax + b. Nếu Q = Q(x) x – α, có thể chia Honer. * Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 : c y = ax + b + (d≠ 0) dx + e • a ≠ 0, c ≠ 0 : có tcđ, tcx • a = 0, c ≠ 0 : có tcn, tcđ. • c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc. 4. Đồ thị các hàm thường gặp : 13 a
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) a/ y = ax + b : b/ y = ax2 + bx + c a>0 c/ y = ax3 + bx2 + c + d a>0 a 0 : 0 a 0 e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ≠ 0) ad - bc > 0 ad - bc < 0 ax2 + bx+ c f/ y = (ad ≠ 0) dx+ e ad > 0 =0 >0 ad < 0 b g(x) = – f(x) : đx qua (Ox) a b y=b xa y
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(xo, yo) ⇔ yo = f(xo, m) có n nghiệm m. Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x ≠ α, bậc 3, trùng phương. 7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN : yC = yC/ a. (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm : / / . Nghiệm x của hệ là hoành y C = y C/ độ tiếp điểm. b. Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x) * Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo. * Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo. Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 / bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến). * // (∆) : y = ax + b : (d) // (∆) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx. 1 * ⊥ (∆) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (∆) ⇒ (d) : y = − x + m. Tìm m nhờ đk tx. a c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M ∈ (C/) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = yC = yd 0, 1, 2, ...), M(xo,yo) ∈ (C/) ⇔ g(xo,yo) = 0; (d) qua M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) : / (1). Thế k vào y C = k (1) được phương trình ẩn x, tham số xo hay yo. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp tuyến), tìm được xo hay yo. 8. TƯƠNG GIAO : * Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C/) : y = g(x) là : f(x) = g(x). Số nghiệm pt = số điểm chung. * Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C/m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) và (d) : y = m có n điểm chung. * Biện luận sự tương giao của (Cm) và (C/m) : • Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của (Cm) và (C/m) = số điểm chung của (C) và (d). • PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax2 + bx + c = 0 (x ≠ α) hay dạng bậc 3 : x = α ∨f(x) = 0 : lập ∆, xét dấu ∆, giải pt f(x) = 0 để biết m nào thì α là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bị bớt đi 1. 9. CỰC TRỊ : * f có đúng n cực trị ⇔ f/ đổi dấu n lần. f / (xo ) = 0 * f đạt cực đại tại xo ⇔ // f (xo ) < 0 f / (xo ) = 0 f đạt cực tiểu tại xo ⇔ // f (xo ) > 0 * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị ⇔ f có CĐ và CT ⇔ ∆f/ >0 * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị : • Bên phải (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm α < x1 < x2. • Bên trái (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 < α . ∆∆ f / > 0 ∆ • 1 bên (Ox) ⇔ ∆ > yCD .yCT > 0 ∆∆ f / > 0 ∆ • 2 bên (Ox) ⇔ ∆ < yCD .yCT < 0 * Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện yCĐ.yCT < 0 (>0) có thể thay bởi y = 0 VN (có 2 nghiệm.). * Tính yCĐ.yCT : • Hàm bậc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D) yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = 0. 15 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) u • Hàm bậc 2/ bậc 1 : y= v u (xCÑ ).u/ (xCT ) / yCĐ.yCT = , dùng Viète với pt y/ = 0. v/ (xCÑ ).v/ (xCT ) * Đường thẳng qua CĐ, CT : • Hàm bậc 3 : y = Cx + D • Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u/ / v/ * y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị ⇔ ab ≥ 0, 3 cực trị ⇔ ab < 0 10. ĐƠN ĐIỆU : a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 : i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng) ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm) iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2. Ngoài ra ta còn có : + x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn. + hàm số tăng trên (−∞, x1) + hàm số tăng trên (x2, +∞) + hàm số giảm trên (x1, x2) iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có : + hàm số giảm trên (−∞, x1) + hàm số giảm trên (x2, +∞) + hàm số tăng trên (x1, x2) baäc 2 b. Biện luận sự biến thiên của y = baäc 1 i) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác định. ii) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên từng khỏang xác định. iii) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thỏa x1 < x2 và x1 + x2 p =− . 2 m iv) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa x1 < x2 x1 + x2 p và =− . 2 m c. Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghịch biến) trên miền x ∈ I : đặt đk để I nằm trong miền đồng biến (nghịch biến) của các BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc 2 y/ = 0 với α. 11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ : a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo sát thì dùng đồ thị của f), số nghiệm = số điểm chung. b. Với pt mũ, log, , . , lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy biến cũ x; cần biết đk của t để cắt bớt đồ thị f. 12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) : Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa xo, yo, m; khử m, được F(xo, yo) = 0; suy ra M ∈ (C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn tại ⇔ m ? xo ? (hay yo ?) • Nếu xo = a thì M ∈ (d) : x = a. • Nếu yo = b thì M ∈ (d) : y = b. 13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG : a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc) tại I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; thế vào hàm số : Y = F(X), cm : F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I. b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y / = 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng là trục tung X = 0, tức x = a. c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn : 16 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Phạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) + xM + xN = 2xI + y + y = 2y + M N I + = yM = f(xM ) = yN = f(xN ) = d. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt ⊥ (d) là 1 (d') : y = – x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d'); giả sử pt có 2 nghiệm xA, xB, tính tọa độ trung điểm I của a AB theo m; A, B đối xứng qua (d) ⇔ I ∈ (d) ⇔ m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy ra yA, yB. c 14. Tìm điểm M ∈ (C) : y = ax + b + có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e ∈ Z) : giải hệ dx+ e c c yM = axM + b + yM = axM + b + dxM + e dxM + e ⇔ c xM ,yM ∈ Z xM , ∈Z dxM + e c yM = axM + b + ⇔ dxM + e xM ∈ Z,dxM + e = öôùc cuûa soá c 15. Tìm min, max của hàm số y = f(x) Lập BBT, suy ra miền giá trị và min, max. 16. Giải bất phương trình bằng đồ thị : x< a f f < g ⇔ a < x < b, f > g ⇔ b< x x≤ a g f ≤ g ⇔a ≤ x ≤ b , f ≥ g⇔ x≥ b a b VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 1. Tọa độ , vectơ : * (a,b) ± (a/, b/) = (a ± a/, b ± b/) k(a, b) = (ka, kb) a = a/ (a, b) = (a , b ) ⇔ / / / b= b (a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/ (a, b) = a2 + b2 rr r r/ v.v / cos( v ,v ) = r r/ v .v AB = (xB − xA ,yB − yA ),AB = AB MA = kMB M chia AB theo tỉ số k ⇔ x − kxB y − kyB ⇔ xM = A , yM = A (k ≠ 1) 1− k 1− k x + xB y + yB M : trung điểm AB ⇔ xM = A , yM = A 2 2 17 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) xA + xB + xC xM = 3 M : trọng tâm ∆ABC ⇔ yA + yB + yC yM = 3 (tương tự cho vectơ 3 chiều). * Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp : / v = (a, b,c),v = (a', b',c') [ rr ] b c c a a b v,v/ = / / , / / , / / b c c a a b rr r r rr [ v ,v / ] = v . v / .sin( v ,v / ) rr rr [v,v/ ] ⊥ v,v/ r r rr r r/ r r/ rr r * v ⊥ v/ ⇔ v.v/ = 0 ; v // v v [ v ,v ] = 0 ; v,v/ ,v// đồng phẳng rr r ⇔ [v, v/ ].v// = 0 S ABC = ∆ 1 2 [ AB,AC ] VS.ABC = 1 6 [ AB,AC .AS ] / V ABCD.A 'B'C'D' = [AB,AD].AA uuu uuu r r A, B, C thẳng hàng ⇔ AB // AC AH.BC = 0 * ∆ trong mp : H là trực tâm ⇔ BH.AC = 0 AH.BC = 0 H là chân đường cao ha ⇔ BH // BC ∧ AB M là chân phân giác trong A ⇔ MB = − AC MC ∧ AB M là chân phân giác ngòai ⇔ MB = + MC A AC I là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇔ IA = IB = IC. ∧ ∧ I là tâm đường tròn nội tiếp ⇔ I là chân phân giác trong của ∆ABM với M là chân phân giác trong B A của ∆ABC. 2. Đường thẳng trong mp : * Xác định bởi 1 điểm M(xo,yo) và 1vtcp v = (a,b) hay 1 pháp vectơ (A,B) : x = xo + at x − xo y − yo (d) : , (d) : = y = yo + bt a b (d) : A(x – xo) + B(y – yo) = 0 x y * (d) qua A(a, 0); B(0,b) : + =1 a b x − xA y − yA * (AB) : = xB − xA yB − yA * (d) : Ax + By + C = 0 có v = (−B,A ) ; n = (A ,B) 18 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Phạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) * (d) // (∆) : Ax + By + C = 0 ⇒ (d) : Ax + By + CC= 0 * (d) ⊥ (∆) ⇒ (d) : – Bx + Ay + C/ = 0 * (d), (d/) tạo góc nhọn ϕ thì : uu uur r u nd .nd / uu uur r u cosϕ = uu uur r u nd . nd / ( n cos( n ,n )) d d/ AxM + ByM + C * d(M,(d)) = A 2 + B2 * Phân giác của (d) : Ax + By + C = 0 và (d/) : A/x + B/y + C/ = 0 là : Ax + By + C A / x + B/ y + C/ =± A 2 + B2 A / 2 + B/ 2 nd.n > 0 : phân giác góc tù + , nhọn – d/ nd.n < 0 : phân giác góc tù – , nhọn + d/ * Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm. 3. Mặt phẳng trong không gian : * Xác định bởi 1 điểm M(xo, yo, zo) và 1 pháp vectơ : n = (A, B, C) hay 2 vtcp v , v' . (P) : A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0 n =[ v , v' ] (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có n = (A, B, C). (P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) ( (P) : x/a + y/b + z/c = 1 * Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D = 0 Axo + Byo + Czo + D d(M,(P)) = A 2 + B2 + C2 * (P) , (P/) tạo góc nhọn ϕ thì : cos ϕ = cos( (P) ,n(P') ) n * (P) ⊥ (P/) ⇔ n(P) ⊥ n(P') , (P) // (P/) ⇔ n(P) // n(P') 4. Đường thẳng trong không gian : * Xác định bởi 1 điểm M (xo, yo, zo) và 1 vtcp v = (a, b, c) hay 2 pháp vectơ : n , n' : x = xo + at x − xo y − yo z − zo (d) : y = yo + bt , (d) : = = z = z + ct a b c o v = [ n , n' ] x − xA y − yA z − zA * (AB) : = = xB − x A y B − y A z B − z A + Ax + By + Cz + D = 0 * (d) = (P) ∩ (P/) : + + A' x + B' y + C' z + D' = 0 * (d) qua A, vtcp v thì : [AM , v ] d(M,(d)) = v * ϕ là góc nhọn giữa (d), (d/) thì : cosϕ = cos(vd , v / ) d 19 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) * ϕ là góc nhọn giữa (d), (P) thì : sinϕ = cos(vd , np) * (d) qua M, vtcp v , (P) có pvt n : (d) cắt (P) ⇔ v.n ≠ 0 (d) // (P) ⇔ v. n = 0 và M ∉ (P) (d) ⊂ (P) ⇔ v.n = 0 và M ∈ (P) * (d) qua A, vtcp v ; (d /) qua B, vtcp v' : (d) cắt (d/) ⇔ [ v , v' ] ≠ 0 , [ v , v' ] AB =0 (d) // (d/) ⇔ [ v , v' ] = 0 , A ∉ (d/) (d) chéo (d/) ⇔ [ v , v' ] ≠ 0 , [ v , v' ] AB ≠ 0 (d) ≡ (d/) ⇔ [ v , v' ] = 0 , A ∈ (d/) [ v , v' ] AB * (d) chéo (d/) : d(d, d/) = [ v , v' ] * (d) chéo (d/) , tìm đường ⊥ chung (∆) : tìm n = [ v , v' ] ; tìm (P) chứa (d), // n ; tìm (P/) chứa (d/), // n ; (∆) = (P) ∩ (P/). * (d) ⊥ (P), cắt (d/) ⇒ (d) nằm trong mp ⊥ (P), chứa (d/). * (d) qua A, // (P) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, // (P). * (d) qua A, cắt (d/) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, chứa (d/). * (d) cắt (d/), // (d//) ⇒ (d) nằm trong mp chứa (d/), // (d//). * (d) qua A, ⊥ (d/) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, ⊥ (d/). * Tìm hc H của M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M, ⊥ (d), H = (d) ∩ (P). * Tìm hc H của M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M, ⊥ (P) : H = (d) ∩ (P). * Tìm hc vuông góc của (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d), ⊥ (P); (d/) = (P) ∩ (Q) * Tìm hc song song của (d) theo phương (∆) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d) // (∆); (d/) = (P) ∩ (Q). 5. Đường tròn : * Đường tròn (C) xác định bởi tâm I(a,b) và bk R : (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 * (C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 có tâm I(–A,–B), bk R = A 2 + B2 − C * (d) tx (C) ⇔ d(I, (d)) = R, cắt ⇔ < R, không cắt ⇔ > R. * Tiếp tuyến với (C) tại M(xo,yo) : phân đôi t/độ trong (C) : (xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = 0 * Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 thì PM/(C) = F(xM, yM) = MA .MB = MT2 = MI2 – R2 với MAB : cát tuyến, MT : tiếp tuyến ; M ∈ (C) ⇔ PM/(C) = 0 , M trong (C) ⇔ PM/(C) < 0, ngoài ⇔ > 0. * Trục đẳng phương của (C) và (C/) :2(A – A/)x + 2(B – B/)y + (C – C/) = 0 * (C), (C/) ngoài nhau ⇔ II/ > R + R/ : (có 4 tiếp tuyến chung); tx ngoài ⇔ = R + R/ (3 tiếp tuyến chung); cắt ⇔ R − R/ < II/ < R + R/ (2 tt chung); tx trong ⇔ = R − R/ (1 tt chung là trục đẳng phương) chứa nhau ⇔ < R − R/ (không có tt chung). 6. Mặt cầu : * Mc (S) xđ bởi tâm I (a, b, c) và bk R : (S) : (x – a)2 + (y – b2) + (z – c)2 = R2. * (S) : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 có tâm I(–A,–B,–C), bk R = A 2 + B2 + C2 − D * (P) tx (S) ⇔ d(I,(P)) = R, cắt ⇔ < R, không cắt ⇔ > R. * Pt tiếp diện với (S) tại M : phân đôi tđộ (S). * Cho (S) : F(x, y, z) = 0. PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) = 0 ⇔ M ∈ (S), < 0 20 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
60 đề ôn thi đại học môn toán 2007-2008
90 p | 1829 | 1206
-
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán - Tích phân
152 p | 1346 | 684
-
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán
52 p | 1324 | 668
-
Ôn thi đại học môn toán 2011 - Đề số 1
2 p | 837 | 391
-
Ôn thi đại học môn toán 2011 - Đề số 2
1 p | 548 | 280
-
Ôn thi đại học môn toán 2011 - Đề số 3
2 p | 459 | 244
-
TỔNG HỢP KIẾN THỨC ÔN THI ĐẠI HỌC 2010
32 p | 410 | 222
-
Ôn thi đại học môn toán 2011 - Đề số 4
1 p | 358 | 178
-
Ôn thi đại học môn toán 2011 - Đề số 6
2 p | 337 | 167
-
Ôn thi đại học môn toán 2011 - Đề số 5
2 p | 484 | 160
-
Ôn thi đại học môn toán 2011 - Đề số 7
2 p | 323 | 151
-
Ôn thi đại học môn toán 2011 - Đề số 8
2 p | 234 | 130
-
Bộ trợ kiến thức ôn thi đại học môn hóa học
19 p | 189 | 79
-
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2014
17 p | 104 | 38
-
Tài liệu Ôn thi Đại học môn Toán - ThS. Lê Văn Đoàn
253 p | 101 | 38
-
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013: Phương trình bất phương trình vô tỉ - ThS. Hoàng Huy Sơn
17 p | 109 | 25
-
Ôn thi đại học môn Toán - Chuyên đề: Bất đẳng thức
20 p | 71 | 11

markdown:
# Tổng hợp kiến thức ôn thi đại học môn Toán
Chia sẻ: Đào Xuân Lộc | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:22
lượt xem 870
download
![](https://tailieu.vn/image/document/thumbnail/2010/20100224/daoxuanloc/80x100/tong_hop_kien_thuc_on_thi_dai_hoc_mon_toan_0368.jpg)
##
Tổng hợp kiến thức ôn thi đại học môn Toán
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](https://tailieu.vn/static/b2013az/templates/version1/default/images/down16x21.png)
Tài liệu tổng hợp lại kiến thức môn Toán, hỗ trợ việc ôn thi đại học của bạn được kỹ lưỡng và đầy đủ hơn.
Bình luận(1)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
##
Nội dung Text: Tổng hợp kiến thức ôn thi đại học môn Toán
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1. Giai thừa : n! = 1.2...n 0! = 1 n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n 2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n. 3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n. 4. Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : Pn = n !. k n! 5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn : Cn = k!(n − k)! 6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách : n! An = k , A n = Cn .Pk k k (n − k)! Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị 7. Tam giác Pascal : 1 C0 0 1 1 0 1 2 1 C1 C1 1 0 1 3 3 1 C2 C2 C2 1 2 1 4 6 4 1 0 C3 C3 C3 C3 1 2 3 C0 4 C4 C4 C4 C 4 1 2 3 4 Tính chất : C0 = Cn = 1 Cn = Cn−k n n , k n Cn−1 + Cn = Cn+1 k k k 8. Nhị thức Newton : * (a + b)n = C0anb0 + C1an−1b1 + ...+ Cna0bn n n n a = b = 1 : ... C0 + C1 + ... + Cn = 2n n n n Với a, b ∈ {± 1, ± 2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa : C0,C1 ,..., n n n Cn * (a + x)n = C0an + C1an−1x + ...+ Cnxn n n n Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa C0,C1 ,..., n n n Cn bằng cách : - Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ± 1, ± 2, ... a = ± 1, ± 2, ... - Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ± 1, ± 2, ... , a = ± 1, ± 2, ... ±1 ±2 β - Cho a = ± 1, ± 2, ..., ∫ hay ∫ ... hay α α 0 0 Chú ý : * (a + b)n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x : Ck a n −k b k = Kx m n Giải pt : m = 0, ta được k. * (a + b)n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ. m r k n −k Can b = Kc d k p q m/ p∈ Z Giải hệ pt : , tìm được k r / q∈ Z * k k Giải pt , bpt chứa A n ,Cn ...: đặt điều kiện k, n ∈ N* ..., k ≤ n. Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung. * Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp). 1 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) * Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp. * Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau : số cách chọn thỏa p. = số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p. Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác. * Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải). * Dấu hiệu chia hết : - Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. - Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. - Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. - Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3. - Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9. - Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5. - Cho 6 : chia hết cho 2 và 3. - Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75. II- ĐẠI SỐ b = c = 0 1. Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔ b ≠ 0 a = c/ b a = bc a/b = c ⇔ ; a2n+1 = b ⇔ a = 2n+1 b b≠ 0 a b = a 2n a 2n = b � a = � b, a = 2n 2n b � � ��a 0 b = ±a a= b ⇔ ,a = logα b ⇔ b = α a a≥ 0 b = 0,c > 0 b> 0 a + b < c ⇔ a < c − b ; ab< c ⇔ a < c/ b b< 0 a > c/ b 2. Giao nghiệm : x> a x< a ⇔ x > max{, b ; a } ⇔ x < min{, b a } x> b x< b xp x Γ x >a a a < x < b(ne� < b) < p q ua
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) a. b (neáub≥ 0) a, ab = − a. − b (neáub < 0) a, 2 b. . : phá . bằng cách bình phương : a = a2 hay bằng định nghĩa : a (neáu≥ 0) a a = − a(neáu< 0) a b ≥ 0 a = b⇔ ; a = b ⇔ a = ±b a = ±b a � � − b �a � b b ab a 0 a � � b < 0hay � b a −− �� b a b a ≤ b ⇔ a2 − b2 ≤ 0 c. Mũ : y = ax , x ∈ R,y > 0,y ↑ neáu> 1 y ↓ neáu< a < 1. a , 0 a0 = 1; a− m/ n = 1/ n am ; am.an = am+ n am / an = am−n ; (am)n = am.n ; an / bn = (a/ b)n an.bn = (ab)n ; am = an � (m = n,0 < a � ) � a =1 1 m < n(neáu> 1) a am < an ⇔ , α = aloga α m > n(neáu< a < 1) 0 d. log : y = logax , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R α y↑ nếu a > 1, y↓ nếu 0 < a < 1, α = logaa loga(MN) = logaM + logaN ( N ) loga(M/N) = logaM – logaN ( N ) loga M 2 = 2loga M ,2loga M = loga M 2 (⇒) logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc 1 logbc = logac/logab, log α M = loga M a α loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N 0 < M < N(ne� > 1) ua loga M N > 0(ne� < a < 1 u0 ) Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định. Mất log phải có điều kiện. 4. Đổi biến : a. Đơn giản : t = ax+ b∈ R, t = x2 ≥ 0, t = x ≥ 0,t = x ≥ 0,t = ax > 0,t = loga x ∈ R N?u trong ?? bài có ?i?u ki?n c?a x, ta chuy?n sang ?i?u ki?n c?a t b?ng cách bi?n ??i tr?c ti?p b?t ??ng th?c. b. Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định của f. c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện của t. d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên. 5. Xét dấu : a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu. b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0. c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f. 6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α : f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ( 0) 3 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x 1,x2) = 0 không đối xứng, giải hệ pt : g= 0 S = x1 + x2 P = x .x 1 2 Biết S, P thỏa S2 – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0 * Dùng ∆, S, P để so sánh nghiệm với 0 : ∆ >0 x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0, 0 < x1 < x2 ⇔ P > 0 S> 0 ∆ >0 x1 < x2 < 0 ⇔ P > 0 S< 0 * Dùng ∆, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < 0 ∆ >0 ∆ >0 α < x1 < x2 ⇔ a f (α ) > 0 . ; x1 < x2 < α ⇔ a f (α ) > 0 . α < S/ 2 S/ 2 < α β a.f(β) < 0 a.f (α ) < 0 β α < x1 < β < x2 ⇔ α a.f(α ) > 0 ; x1 < α < x2 < β ⇔ a f (β) > 0 . αα < β α 0 3 nghiệm phân biệt ⇔ f (α ) ≠ 0 ∆ > 0 ∆ = 0 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∨ f (α ) = 0 f (α) ≠ 0 ∆∆ =0 1 nghiệm ⇔∆ 0 2 nghiệm ⇔ yCÑ .yCT = 0 4 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) ∆ y' > 0 1 nghiệm ⇔ ∆ y' ≤ 0 ∨ yCÑ .yCT > 0 c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC : ∆ y' > 0 ⇔ = yuoán 0 d. So sánh nghiệm với α : • x = xo ∨f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x) với α. • Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa α vào BBT. • Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của (C m) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox) ∆ ∆ y' > 0 ∆ < yC�.yCT < 0 α < x1 < x2 < x3 ⇔ < α y(α) < 0 α x1 x2 x 3 αα < x α CT ∆ y' > 0 y .y < 0 α CÑ CT x1 x2 x1 < α < x2 < x3 ⇔ x3 y(α) > 0 α < xCT ∆ y' > 0 y .y < 0 CÑ CT x1 < x2 < α < x3 ⇔ y(α) < 0 x1 α x2 x3 xCÑ < α α ∆ ∆ y' > 0 ∆ x1 x2 < yC�.yCT < 0 x3 x1 < x2 < x3 < α ⇔ < α y(α) > 0 αx < α < CT 8. Phương trình bậc 2 có điều kiện : f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α ∆ >0 f (α) ≠ 0 f (α) = 0 2 nghiệm ⇔ , 1 nghiệm ⇔ ∆ >0 ∆ =0 f (α) ≠ 0 ∆ =0 Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ∨ f (α) = 0 Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN. 9. Phương trình bậc 4 : t = x2 ≥ 0 a. Trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) ⇔ f (t) = 0 t = x2 ⇔ x = ± t 5 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) ∆ >0 P=0 4 nghiệm ⇔ P > 0 ; 3 nghiệm ⇔ S> 0 S> 0 P=0 P 0 S/ 2 = 0 ∆ ≥0 S S VN ⇔ ∆ < 0 ∨ P > 0 ⇔∆ < 0 ∨> P > 0 S< 0 >S
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) 14. Bất phương trình, bất đẳng thức : * Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của , . , log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB. * Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều số âm : có đổi chiều Chia bất phương trình : tương tự. * Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm. * Bất đẳng thức Côsi : a+ b a, b ≥ 0 : ≥ ab 2 Dấu = xảy ra chỉ khi a = b. a+ b+ c 3 a, b, c ≥ 0 : ≥ abc 3 Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c. * Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d 15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm : Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung. Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I. 16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I : Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x ∈ I. f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt) f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt) III- LƯỢNG GIÁC + 0 1. Đường tròn lượng giác : Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M. −2π 2π Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π. Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội của π 1 ( cung −2π 0 2π 6 3 M π 1 phần tư) và ( cung phần tư) 4 2 α A 0 2kπ x=α+ : α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trên đường tròn lượng x+k2 n tg giác. sin 2. Hàm số lượng giác : M cotg M cos 3. Cung liên kết : chiếu xuyên * Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hichiπ (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu π). tâm ệ u ếu * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ π * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu). 2 4. Công thức : a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc. b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b. c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a. d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a. e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân ba. a f. Đưa về t = tg : đưa lượng giác về đại số. 2 g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2. h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b. 7 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) 5. Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ, π π sinα = 1 ⇔ α = + k2π; sinα = –1 ⇔ α = – + k2π, 2 2 π cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α = + kπ, 2 cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨u = π – v + k2π cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π tgu = tgv ⇔ u = v + kπ cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ 6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c * Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2 * Chia 2 vế cho a2 + b2 , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản. u (cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo t = tg ) 2 7. Phương trình đối xứng theo sin, cos : Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos. � π� t2 − 1 Đặt : t = sinu + cosu = 2sin� + � n 2 t u ,−i 2,sinu.cosu = � 4� 2 8. Phương trình chứa sinu + cosu và sinu.cosu : � π� t 2 −1 Đặt : t = sin u + cos u = 2 sin � +u �0 t u c , 2 ,sin u.cos u = � 4� 2 9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : � π� 1− t2 Đặt : t = sinu − cosu = 2sin� − � = 2 t u , −c 2,sinu.cosu = � 4� 2 10. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : � π� 1− t2 Đặt : t = sin u − cos u = 2 sin � −u �0 t u c , 2 ,sin u.cos u = � 4� 2 11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) : Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức 1/cos u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu. 2 12. Phương trình toàn phương mở rộng : * Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u. * Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu. 13. Giải phương trình bằng cách đổi biến : Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt : * t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x. * t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x. * t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x. * t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng x * t = tg : nếu cả 3 cách trên đều không đúng. 2 14. Phương trình đặc biệt : u= 0 * u2 + v2 = 0 ⇔ v= 0 u= v u= C * u≤ C ⇔ v≥ C v= C 8 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) u≤ A u= A * v≤ B ⇔ u+ v = A + B v = B sinu = 1 sinu = −1 * sinu.cosv = 1 ⇔ ∨ cos = 1 cos = −1 v v sinu = 1 sinu = −1 * sinu.cosv = – 1 ⇔ ∨ cos = −1 cos = 1 v v Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1. 15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg F(x) ± F(y) = m (1) a. Dạng 1 : . Dùng công thức đổi + thành nhân, x± y = n (2) x+ y = a thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình : x− y = b F(x).F(y) = m b. Dạng 2 : . Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +. x± y = n F(x) / F(y) = m c. Dạng 3 : . x± y = n a c a+ c a− c Dùng tỉ lệ thức : = ⇔ = biến đổi phương trình (1) rồi dùng b d b+ d b− d công thức đổi + thành x. d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản. 16. Toán ∆ : * Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π * A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2. * A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2) A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ; A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2) Dùng các tính chất này để chọn k. * Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin : a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA 1 1 abc * S = ah = absinC = a = pr 2 2 4R = p(p − a)(p − b)(p − c) 1 * Trung tuyến : ma = 2b2 + 2c2 − a2 2 A 2bccos * Phân giác : ℓa = 2 b+ c IV- TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa, công thức, tính chất : * F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F. Họ tất cả các nguyên hàm của f : ∫ f (x)dx= F(x) + C (C ∈ R) uα+1 � = u + C ; �du = α + 1+ C , α * du u α≠ –1 9 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) du � = ln u + C; �du = e + C; ∫ a du= a / lna+ C u u eu u u =sin udu = − cos u + C ; ∫ cosudu= sinu + C ∫ du/ sin u = − cotgu+ C ; ∫ du/ cos u = tgu+ C 2 2 b =f(x)dx = F(x) = F(b) − F(a) b * a a a b a c b c * ∫a = 0 ; ∫a = −∫b , ∫a= ∫a + ∫b b b b b b ∫ (f + g) = ∫ f + ∫ g ; ∫ kf = k∫ f a a a a a 2. Tích phân từng phần : � = uv − � udv vdu Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp. ∫ x e , ∫ x sinx ; ∫ x cosx : u = x n x n n n a. ∫ x lnx : u = lnx n b. ∫ e sinx , ∫ e cosx : u = e haydv= e dx x x x x c. từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ 3. Các dạng thường gặp : ∫ sin x.cos x : m 2n+1 a. u = sinx. ∫ cos x.sin x m 2n+1 : u = cosx. ∫ sin x.cos x 2m 2n : hạ bậc về bậc 1 ∫ tg x / cos x 2m 2n b. : u = tgx (n ≥ 0) ∫ cotg x / sin x : 2m 2n u = cotgx (n ≥ 0) c. ∫ chứa a – u 2 2 : u = asint ∫ chứa u – a 2 2 : u = a/cost ∫ chứa a + u 2 2 : u = atgt d. ∫ R(sinx,cosx) , R : hàm hữu tỷ R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx): u = tgx ∨u = cotgx x R đơn giản : u = tg 2 π/2 π ∫ :thöû u = ñaët 2 −x 0 π ∫ :thöû u = π − x ñaët 0 10 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) ∫ x (a+ bx ) , (m+ 1) / n∈ Z : u = a+ bx m n p/ q q n e. n p/ q m+ 1 p ∫ x (a+ bx ) , n + q ∈ Z : u x = a+ bx m q n n f. 1 ∫ dx/[(hx+ k) ax + bx+ c : hx+ k = u 2 g. h. ∫ R(x, (ax+ b) /(cx+ d) , R là hàm hữu tỷ : u = (ax+ b) /(cx+ d) i. ∫ chứa (a + bx ) : thử đặt u = a + bx . k m/n n k 4. Tích phân hàm số hữu tỷ : ∫ P(x) / Q(x) : bậc P < bậc Q * Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (∆ < 0) * Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q : A A A2 An x + a→ , (x + a)n → 1 + 2 + ...+ x+ a x + a (x + a) (x + a)n A (2ax+ b) B dx ax2 + bx+ c(∆ < 0) → 2 + 2 ∫ 2 (∆ < 0) = ∫ du/(u2 + a2) :ñaët= atgt u ax + bx+ c ax + bx+ c ax + bx+ c 5. Tính diện tích hình phẳng : b a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : SD = ∫ f (x) dx a f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở ; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] . của đường tròn lượng giác. b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x) b (C') : y = g(x) : SD = ∫ f (x) − g(x) dx a Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/. c. D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0 f(x) b α/ SD = =f(x) − g(x) dx a g(x) b x=a x=b y=b β/ SD = =f(y) − g(y) dy g(y) f(y) a y=a Với trường hợp α) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay chỗ gãy. Với trường hợp β) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đường ngang ngay chỗ gãy. Chọn tính ∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bị chia cắt. Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm. Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm . . Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn + hay − ( y = ...+ : treân = ...− ,y : döôùi = ...+ ,x : phaûi = ...− ,x ) : traùi 6. Tính thể tích vật thể tròn xoay : a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) : f(x) 11 a http://hoiphuonghoangvn.7forum.info b
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) b V = π ∫ [ f (x)] 2dx a b b f(y) b. V = π ∫ [ f (y)] dy 2 a a f(x) b g(x) c. V = π ∫ [f 2(x) − g2(x)]dx a a b b b d. V = π ∫ [f 2(y) − g2(y)]dy g(y) f(y) a a f(x) f(x) -g(x) c b e. V = π ∫ f 2(x)dx+ π ∫ g2(x)dx a b a c a c b g(x c b 0) f. V = π ∫ g (y)dy+ π ∫ f 2(y)dy 2 b f(y) a c c -g(y) a Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ ...dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ ... dy. V- KHẢO SÁT HÀM SỐ 0 ∞ 1. Tìm lim dạng , dạng 1 : 0 P(x) (x − a)P1(x) P a. Phân thức hữu tỷ : lim (daïng/ 0) = lim 0 = lim 1 x→a Q(x) x→a (x − a)Q1(x) x→a Q1 f (x) sinu b. Hàm lg : lim (daïng/ 0),duøng thöùc 0 coâng lim =1 x→a g(x) u→0 u f (x) c. Hàm chứa căn : lim (daïng/ 0) , dùng lượng liên hiệp : 0 x→a g(x) a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 3 d. ∞ Hàm chứa mũ hay log (dạng 1 ) : dùng công thức lim(1+ u)1/ u = e u→0 2. Đạo hàm : f (x) − f (xo ) a. Tìm đạo hàm bằng định nghĩa : f '(x0) = lim x→xo x − xo Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía : / / f+ (xo ) = lim ,f− (xo ) = lim . / / Nếu f+ (xo ) = f− (xo ) thì f có đạo hàm tại xo. + x→xo − x→xo 12 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info α f(x) M
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) b. Ý nghĩa hình học : k = tgα = f/(xM) c. f/ + : f ↑ , f/ – : f ↓ f// + : f lõm , f// – : f lồi f / (xM ) = 0 d. f đạt CĐ tại M ⇔ // f (xM ) < 0 f / (xM ) = 0 f đạt CT tại M ⇔ // f (xM ) > 0 M là điểm uốn của f ⇔ f//(xM) = 0 và f// đổi dấu khi qua xM. 1 e. Tính đạo hàm bằng công thức : C/ = 0, (x )/ = αx α α –1 , (lnx)/ = 1/x , ( loga x) x= , (ex)/ = ex xlna (ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x, (cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u ± v)/ = u/ ± v/, (uv)/ = u/v + uv/ , (u/v)/ = (u/v – uv/)/v2 * Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] . f/(x) * Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với hàm [f(x)] g(x) hay f(x) dạng tích, thương, chứa n ... / f. Vi phân : du = u dx 3. Tiệm cận : limy = ∞ ⇒ x = a : tcđ x→a x a y y lim y = b ⇒ y = b : tcn x→∞ x − + y b b x − + lim[y − (ax+ b)] = 0 ⇒ y = ax + b : tcx x→∞ y y * Vẽ đồ thị có tiệm cận : - t c đ : khi y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c . - t c x :khi x và y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. - t c n :khi x càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. P(x) * Xét y= Q(x) • Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ≠ 0 • Có tcn khi bậc P ≤ bậc Q : với x → ∞, tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc cao nhất của P chia số hạng bậc cao nhất của Q. P1(x) • Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có : f (x) = ax+ b + , tcx là y = ax + b. Nếu Q = Q(x) x – α, có thể chia Honer. * Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 : c y = ax + b + (d≠ 0) dx + e • a ≠ 0, c ≠ 0 : có tcđ, tcx • a = 0, c ≠ 0 : có tcn, tcđ. • c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc. 4. Đồ thị các hàm thường gặp : 13 a
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) a/ y = ax + b : b/ y = ax2 + bx + c a>0 c/ y = ax3 + bx2 + c + d a>0 a 0 : 0 a 0 e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ≠ 0) ad - bc > 0 ad - bc < 0 ax2 + bx+ c f/ y = (ad ≠ 0) dx+ e ad > 0 =0 >0 ad < 0 b g(x) = – f(x) : đx qua (Ox) a b y=b xa y
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(xo, yo) ⇔ yo = f(xo, m) có n nghiệm m. Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x ≠ α, bậc 3, trùng phương. 7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN : yC = yC/ a. (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm : / / . Nghiệm x của hệ là hoành y C = y C/ độ tiếp điểm. b. Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x) * Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo. * Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo. Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 / bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến). * // (∆) : y = ax + b : (d) // (∆) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx. 1 * ⊥ (∆) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (∆) ⇒ (d) : y = − x + m. Tìm m nhờ đk tx. a c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M ∈ (C/) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = yC = yd 0, 1, 2, ...), M(xo,yo) ∈ (C/) ⇔ g(xo,yo) = 0; (d) qua M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) : / (1). Thế k vào y C = k (1) được phương trình ẩn x, tham số xo hay yo. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp tuyến), tìm được xo hay yo. 8. TƯƠNG GIAO : * Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C/) : y = g(x) là : f(x) = g(x). Số nghiệm pt = số điểm chung. * Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C/m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) và (d) : y = m có n điểm chung. * Biện luận sự tương giao của (Cm) và (C/m) : • Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của (Cm) và (C/m) = số điểm chung của (C) và (d). • PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax2 + bx + c = 0 (x ≠ α) hay dạng bậc 3 : x = α ∨f(x) = 0 : lập ∆, xét dấu ∆, giải pt f(x) = 0 để biết m nào thì α là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bị bớt đi 1. 9. CỰC TRỊ : * f có đúng n cực trị ⇔ f/ đổi dấu n lần. f / (xo ) = 0 * f đạt cực đại tại xo ⇔ // f (xo ) < 0 f / (xo ) = 0 f đạt cực tiểu tại xo ⇔ // f (xo ) > 0 * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị ⇔ f có CĐ và CT ⇔ ∆f/ >0 * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị : • Bên phải (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm α < x1 < x2. • Bên trái (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 < α . ∆∆ f / > 0 ∆ • 1 bên (Ox) ⇔ ∆ > yCD .yCT > 0 ∆∆ f / > 0 ∆ • 2 bên (Ox) ⇔ ∆ < yCD .yCT < 0 * Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện yCĐ.yCT < 0 (>0) có thể thay bởi y = 0 VN (có 2 nghiệm.). * Tính yCĐ.yCT : • Hàm bậc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D) yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = 0. 15 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) u • Hàm bậc 2/ bậc 1 : y= v u (xCÑ ).u/ (xCT ) / yCĐ.yCT = , dùng Viète với pt y/ = 0. v/ (xCÑ ).v/ (xCT ) * Đường thẳng qua CĐ, CT : • Hàm bậc 3 : y = Cx + D • Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u/ / v/ * y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị ⇔ ab ≥ 0, 3 cực trị ⇔ ab < 0 10. ĐƠN ĐIỆU : a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 : i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng) ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm) iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2. Ngoài ra ta còn có : + x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn. + hàm số tăng trên (−∞, x1) + hàm số tăng trên (x2, +∞) + hàm số giảm trên (x1, x2) iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có : + hàm số giảm trên (−∞, x1) + hàm số giảm trên (x2, +∞) + hàm số tăng trên (x1, x2) baäc 2 b. Biện luận sự biến thiên của y = baäc 1 i) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác định. ii) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên từng khỏang xác định. iii) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thỏa x1 < x2 và x1 + x2 p =− . 2 m iv) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa x1 < x2 x1 + x2 p và =− . 2 m c. Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghịch biến) trên miền x ∈ I : đặt đk để I nằm trong miền đồng biến (nghịch biến) của các BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc 2 y/ = 0 với α. 11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ : a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo sát thì dùng đồ thị của f), số nghiệm = số điểm chung. b. Với pt mũ, log, , . , lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy biến cũ x; cần biết đk của t để cắt bớt đồ thị f. 12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) : Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa xo, yo, m; khử m, được F(xo, yo) = 0; suy ra M ∈ (C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn tại ⇔ m ? xo ? (hay yo ?) • Nếu xo = a thì M ∈ (d) : x = a. • Nếu yo = b thì M ∈ (d) : y = b. 13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG : a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc) tại I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; thế vào hàm số : Y = F(X), cm : F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I. b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y / = 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng là trục tung X = 0, tức x = a. c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn : 16 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Phạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) + xM + xN = 2xI + y + y = 2y + M N I + = yM = f(xM ) = yN = f(xN ) = d. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt ⊥ (d) là 1 (d') : y = – x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d'); giả sử pt có 2 nghiệm xA, xB, tính tọa độ trung điểm I của a AB theo m; A, B đối xứng qua (d) ⇔ I ∈ (d) ⇔ m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy ra yA, yB. c 14. Tìm điểm M ∈ (C) : y = ax + b + có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e ∈ Z) : giải hệ dx+ e c c yM = axM + b + yM = axM + b + dxM + e dxM + e ⇔ c xM ,yM ∈ Z xM , ∈Z dxM + e c yM = axM + b + ⇔ dxM + e xM ∈ Z,dxM + e = öôùc cuûa soá c 15. Tìm min, max của hàm số y = f(x) Lập BBT, suy ra miền giá trị và min, max. 16. Giải bất phương trình bằng đồ thị : x< a f f < g ⇔ a < x < b, f > g ⇔ b< x x≤ a g f ≤ g ⇔a ≤ x ≤ b , f ≥ g⇔ x≥ b a b VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 1. Tọa độ , vectơ : * (a,b) ± (a/, b/) = (a ± a/, b ± b/) k(a, b) = (ka, kb) a = a/ (a, b) = (a , b ) ⇔ / / / b= b (a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/ (a, b) = a2 + b2 rr r r/ v.v / cos( v ,v ) = r r/ v .v AB = (xB − xA ,yB − yA ),AB = AB MA = kMB M chia AB theo tỉ số k ⇔ x − kxB y − kyB ⇔ xM = A , yM = A (k ≠ 1) 1− k 1− k x + xB y + yB M : trung điểm AB ⇔ xM = A , yM = A 2 2 17 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) xA + xB + xC xM = 3 M : trọng tâm ∆ABC ⇔ yA + yB + yC yM = 3 (tương tự cho vectơ 3 chiều). * Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp : / v = (a, b,c),v = (a', b',c') [ rr ] b c c a a b v,v/ = / / , / / , / / b c c a a b rr r r rr [ v ,v / ] = v . v / .sin( v ,v / ) rr rr [v,v/ ] ⊥ v,v/ r r rr r r/ r r/ rr r * v ⊥ v/ ⇔ v.v/ = 0 ; v // v v [ v ,v ] = 0 ; v,v/ ,v// đồng phẳng rr r ⇔ [v, v/ ].v// = 0 S ABC = ∆ 1 2 [ AB,AC ] VS.ABC = 1 6 [ AB,AC .AS ] / V ABCD.A 'B'C'D' = [AB,AD].AA uuu uuu r r A, B, C thẳng hàng ⇔ AB // AC AH.BC = 0 * ∆ trong mp : H là trực tâm ⇔ BH.AC = 0 AH.BC = 0 H là chân đường cao ha ⇔ BH // BC ∧ AB M là chân phân giác trong A ⇔ MB = − AC MC ∧ AB M là chân phân giác ngòai ⇔ MB = + MC A AC I là tâm đường tròn ngoại tiếp ⇔ IA = IB = IC. ∧ ∧ I là tâm đường tròn nội tiếp ⇔ I là chân phân giác trong của ∆ABM với M là chân phân giác trong B A của ∆ABC. 2. Đường thẳng trong mp : * Xác định bởi 1 điểm M(xo,yo) và 1vtcp v = (a,b) hay 1 pháp vectơ (A,B) : x = xo + at x − xo y − yo (d) : , (d) : = y = yo + bt a b (d) : A(x – xo) + B(y – yo) = 0 x y * (d) qua A(a, 0); B(0,b) : + =1 a b x − xA y − yA * (AB) : = xB − xA yB − yA * (d) : Ax + By + C = 0 có v = (−B,A ) ; n = (A ,B) 18 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Phạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) * (d) // (∆) : Ax + By + C = 0 ⇒ (d) : Ax + By + CC= 0 * (d) ⊥ (∆) ⇒ (d) : – Bx + Ay + C/ = 0 * (d), (d/) tạo góc nhọn ϕ thì : uu uur r u nd .nd / uu uur r u cosϕ = uu uur r u nd . nd / ( n cos( n ,n )) d d/ AxM + ByM + C * d(M,(d)) = A 2 + B2 * Phân giác của (d) : Ax + By + C = 0 và (d/) : A/x + B/y + C/ = 0 là : Ax + By + C A / x + B/ y + C/ =± A 2 + B2 A / 2 + B/ 2 nd.n > 0 : phân giác góc tù + , nhọn – d/ nd.n < 0 : phân giác góc tù – , nhọn + d/ * Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm. 3. Mặt phẳng trong không gian : * Xác định bởi 1 điểm M(xo, yo, zo) và 1 pháp vectơ : n = (A, B, C) hay 2 vtcp v , v' . (P) : A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0 n =[ v , v' ] (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có n = (A, B, C). (P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) ( (P) : x/a + y/b + z/c = 1 * Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D = 0 Axo + Byo + Czo + D d(M,(P)) = A 2 + B2 + C2 * (P) , (P/) tạo góc nhọn ϕ thì : cos ϕ = cos( (P) ,n(P') ) n * (P) ⊥ (P/) ⇔ n(P) ⊥ n(P') , (P) // (P/) ⇔ n(P) // n(P') 4. Đường thẳng trong không gian : * Xác định bởi 1 điểm M (xo, yo, zo) và 1 vtcp v = (a, b, c) hay 2 pháp vectơ : n , n' : x = xo + at x − xo y − yo z − zo (d) : y = yo + bt , (d) : = = z = z + ct a b c o v = [ n , n' ] x − xA y − yA z − zA * (AB) : = = xB − x A y B − y A z B − z A + Ax + By + Cz + D = 0 * (d) = (P) ∩ (P/) : + + A' x + B' y + C' z + D' = 0 * (d) qua A, vtcp v thì : [AM , v ] d(M,(d)) = v * ϕ là góc nhọn giữa (d), (d/) thì : cosϕ = cos(vd , v / ) d 19 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) * ϕ là góc nhọn giữa (d), (P) thì : sinϕ = cos(vd , np) * (d) qua M, vtcp v , (P) có pvt n : (d) cắt (P) ⇔ v.n ≠ 0 (d) // (P) ⇔ v. n = 0 và M ∉ (P) (d) ⊂ (P) ⇔ v.n = 0 và M ∈ (P) * (d) qua A, vtcp v ; (d /) qua B, vtcp v' : (d) cắt (d/) ⇔ [ v , v' ] ≠ 0 , [ v , v' ] AB =0 (d) // (d/) ⇔ [ v , v' ] = 0 , A ∉ (d/) (d) chéo (d/) ⇔ [ v , v' ] ≠ 0 , [ v , v' ] AB ≠ 0 (d) ≡ (d/) ⇔ [ v , v' ] = 0 , A ∈ (d/) [ v , v' ] AB * (d) chéo (d/) : d(d, d/) = [ v , v' ] * (d) chéo (d/) , tìm đường ⊥ chung (∆) : tìm n = [ v , v' ] ; tìm (P) chứa (d), // n ; tìm (P/) chứa (d/), // n ; (∆) = (P) ∩ (P/). * (d) ⊥ (P), cắt (d/) ⇒ (d) nằm trong mp ⊥ (P), chứa (d/). * (d) qua A, // (P) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, // (P). * (d) qua A, cắt (d/) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, chứa (d/). * (d) cắt (d/), // (d//) ⇒ (d) nằm trong mp chứa (d/), // (d//). * (d) qua A, ⊥ (d/) ⇒ (d) nằm trong mp chứa A, ⊥ (d/). * Tìm hc H của M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M, ⊥ (d), H = (d) ∩ (P). * Tìm hc H của M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M, ⊥ (P) : H = (d) ∩ (P). * Tìm hc vuông góc của (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d), ⊥ (P); (d/) = (P) ∩ (Q) * Tìm hc song song của (d) theo phương (∆) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d) // (∆); (d/) = (P) ∩ (Q). 5. Đường tròn : * Đường tròn (C) xác định bởi tâm I(a,b) và bk R : (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 * (C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 có tâm I(–A,–B), bk R = A 2 + B2 − C * (d) tx (C) ⇔ d(I, (d)) = R, cắt ⇔ < R, không cắt ⇔ > R. * Tiếp tuyến với (C) tại M(xo,yo) : phân đôi t/độ trong (C) : (xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = 0 * Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 thì PM/(C) = F(xM, yM) = MA .MB = MT2 = MI2 – R2 với MAB : cát tuyến, MT : tiếp tuyến ; M ∈ (C) ⇔ PM/(C) = 0 , M trong (C) ⇔ PM/(C) < 0, ngoài ⇔ > 0. * Trục đẳng phương của (C) và (C/) :2(A – A/)x + 2(B – B/)y + (C – C/) = 0 * (C), (C/) ngoài nhau ⇔ II/ > R + R/ : (có 4 tiếp tuyến chung); tx ngoài ⇔ = R + R/ (3 tiếp tuyến chung); cắt ⇔ R − R/ < II/ < R + R/ (2 tt chung); tx trong ⇔ = R − R/ (1 tt chung là trục đẳng phương) chứa nhau ⇔ < R − R/ (không có tt chung). 6. Mặt cầu : * Mc (S) xđ bởi tâm I (a, b, c) và bk R : (S) : (x – a)2 + (y – b2) + (z – c)2 = R2. * (S) : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 có tâm I(–A,–B,–C), bk R = A 2 + B2 + C2 − D * (P) tx (S) ⇔ d(I,(P)) = R, cắt ⇔ < R, không cắt ⇔ > R. * Pt tiếp diện với (S) tại M : phân đôi tđộ (S). * Cho (S) : F(x, y, z) = 0. PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) = 0 ⇔ M ∈ (S), < 0 20 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
60 đề ôn thi đại học môn toán 2007-2008
90 p |
1829 |
1206
-
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán - Tích phân
152 p |
1346 |
684
-
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán
52 p |
1324 |
668
-
Ôn thi đại học môn toán 2011 - Đề số 1
2 p |
837 |
391
-
Ôn thi đại học môn toán 2011 - Đề số 2
1 p |
548 |
280
-
Ôn thi đại học môn toán 2011 - Đề số 3
2 p |
459 |
244
-
TỔNG HỢP KIẾN THỨC ÔN THI ĐẠI HỌC 2010
32 p |
410 |
222
-
Ôn thi đại học môn toán 2011 - Đề số 4
1 p |
358 |
178
-
Ôn thi đại học môn toán 2011 - Đề số 6
2 p |
337 |
167
-
Ôn thi đại học môn toán 2011 - Đề số 5
2 p |
484 |
160
-
Ôn thi đại học môn toán 2011 - Đề số 7
2 p |
323 |
151
-
Ôn thi đại học môn toán 2011 - Đề số 8
2 p |
234 |
130
-
Bộ trợ kiến thức ôn thi đại học môn hóa học
19 p |
189 |
79
-
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2014
17 p |
104 |
38
-
Tài liệu Ôn thi Đại học môn Toán - ThS. Lê Văn Đoàn
253 p |
101 |
38
-
Chuyên đề ôn thi Đại học môn Toán năm 2013: Phương trình bất phương trình vô tỉ - ThS. Hoàng Huy Sơn
17 p |
109 |
25
-
Ôn thi đại học môn Toán - Chuyên đề: Bất đẳng thức
20 p |
71 |
11

Server: Apache/2.2.31 (CentOS)

Set-Cookie: TLDEVNamespace=3h87hsa018v01rh4vpkffjdso1; path=/; domain=.tailieu.vn; HttpOnly


text:
Tìm theo dịch vụ
Dịch vụ quan tâm nhiều nhất
600.000 ₫
Liên hệ
900.000 ₫
1.000.000 ₫
250.000 ₫
3.300.000 ₫
Dịch vụ sửa Xiaomi Mi chính hãng, giá rẻ uy tín tại TP.HCM. Cam kết sử dụng linh kiện iPad mới 100%, giá sửa chữa iPad với mức giá phải chăng, phù hợp với mọi khách hàng. Sửa iPad lấy ngay trong ngày - Bảo hành dài hạn 3 - 12 tháng. Liên hệ hotline 1900.0360 (24/7).
Thành Trung Mobile - địa chỉ hơn 8 năm hoạt động với mục tiêu "Đem lại giá trị tốt nhất cho mọi khách hàng".
Khuyến mãi tháng 7
Giảm giá 10% cho dịch vụ sửa chữa tại Thành Trung Mobile
từ 17/07/18 00:00
đến 17/09/18 23:59
Giảm giá 30% khi mua phụ kiện HappyMobile
100% khách hàng sửa chữa tại Thành Trung Mobile để nhận được Voucher 30% tất cả phụ kiện điện thoại tại HappyMobile
từ 12/04/18 00:00
đến 05/06/18 23:59
Miễn phí vệ sinh, kiểm tra máy kể cả không sửa điện thoại
Áp dụng chương trình kiểm tra lỗi, vệ sinh máy miễn phí cho mọi khách hàng
từ 17/07/18 00:00
đến 02/09/18 23:59
Xem chi tiết
Tìm kiếm nhiều:
thay màn hình iPhone 7
Thay màn hình Samsung S8
Thay màn hình iPhone 8
Thay mặt kính iPhone 7
Thay màn hình iPhone 5
Thay màn hình iPhone 6

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

WARC-Identified-Payload-Type: application/xhtml+xml

Server: nginx

X-Content-Type-Options: nosniff

Connection: close

Cache-Control: no-cache, private

X-XSS-Protection: 1; mode=block

Content-Type: text/html; charset=UTF-8


text:
Trợ giúp
Các trang liên kết tới (8840) 1989 WT
←
(8840) 1989 WT
Jump to navigation
Jump to search
Các liên kết đến đây
Trang:
Không gian tên:
tất cả
(Chính)
Thảo luận
Thành viên
Thảo luận Thành viên
Wikipedia
Thảo luận Wikipedia
Tập tin
Thảo luận Tập tin
MediaWiki
Thảo luận MediaWiki
Bản mẫu
Thảo luận Bản mẫu
Trợ giúp
Thảo luận Trợ giúp
Thể loại
Thảo luận Thể loại
Chủ đề
Thảo luận Chủ đề
Mô đun
Thảo luận Mô đun
Tiện ích
Thảo luận Tiện ích
Định nghĩa tiện ích
Thảo luận Định nghĩa tiện ích
Đảo ngược lựa chọn
Bộ lọc
Ẩn
trang nhúng |
Ẩn
liên kết |
Ẩn
trang đổi hướng
Các trang sau liên kết đến
(8840) 1989 WT
Xem (50 kết quả trước) (50 kết quả sau) (
20
|
50
|
100
|
250
|
500
)
(8841) 1990 EA7
(
liên kết
|
sửa đổi
)
Thảo luận:(8840) 1989 WT
(
liên kết
|
sửa đổi
)
Xem (50 kết quả trước) (50 kết quả sau) (
20
|
50
|
100
|
250
|
500
)
Lấy từ “
https://vi.wikipedia.org/wiki/Đặc_biệt:Liên_kết_đến_đây/(8840)_1989_WT
”
Trình đơn chuyển hướng
Công cụ cá nhân
Chưa đăng nhập
Thảo luận cho địa chỉ IP này
Đóng góp
Mở tài khoản
Đăng nhập
Không gian tên
Bài viết
Thảo luận
Biến thể
Các hiển thị
Đọc
Sửa đổi
Sửa mã nguồn
Xem lịch sử
Khác
Tìm kiếm
Xem nhanh
Trang Chính
Bài viết chọn lọc
Tin tức
Bài viết ngẫu nhiên
Thay đổi gần đây
Phản hồi lỗi
Quyên góp
Tương tác
Hướng dẫn
Giới thiệu Wikipedia
Cộng đồng
Thảo luận chung
Giúp sử dụng
Liên lạc
Công cụ
Các trang đặc biệt
Bản để in ra
Ngôn ngữ khác
Quy định quyền riêng tư
Giới thiệu Wikipedia
Lời phủ nhận
Nhà phát triển
Tuyên bố về cookie
Phiên bản di động

WARC-Identified-Payload-Type: text/html

P3P: CP="This is not a P3P policy! See https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:CentralAutoLogin/P3P for more info."

X-Frame-Options: DENY

X-Cache-Status: pass

Set-Cookie: GeoIP=US:VA:Ashburn:39.05:-77.47:v4; Path=/; secure; Domain=.wikipedia.org

X-Cache: cp1054 pass, cp1054 pass

Via: 1.1 varnish (Varnish/5.1), 1.1 varnish (Varnish/5.1)

Accept-Ranges: bytes

Cache-Control: private, s-maxage=0, max-age=0, must-revalidate

Vary: Accept-Encoding,Cookie,Authorization

Link: </static/images/project-logos/viwiki.png>;rel=preload;as=image;media=not all and (min-resolution: 1.5dppx),</static/images/project-logos/viwiki-1.5x.png>;rel=preload;as=image;media=(min-resolution: 1.5dppx) and (max-resolution: 1.999999dppx),</static/images/project-logos/viwiki-2x.png>;rel=preload;as=image;media=(min-resolution: 2dppx)

Content-Language: vi


text:
Bọ cạp
Bọ cạp hay bò cạp là giống động vật không xương sống, tám chân thuộc lớp Arachnida (động vật hình nhện). Bọ cạp được đặc trưng bởi một chiếc đuôi có móc độc. Chúng là biểu tượng văn hóa với hình tượng cung bọ cạp (hổ cáp) trong 12 cung hoàng đạo của phương Tây.
Mục lục
Giải phẫu[sửa | sửa mã nguồn]
Thân bọ cạp chia làm hai phần: phần đầu ngực (đốt thân trước) và phần bụng (vùng thân sau). Phần bụng bao gồm phần bụng dưới và đuôi.
Phần đầu ngực/Đốt thân trước: bao gồm lớp giáp, mắt, chân kìm (một phần của miệng), chân kìm sờ và 8 chân.
Phần bụng dưới: chia làm 8 đoạn. Đoạn đầu tiên chứa cơ quan sinh dục và dấu vết của một bộ phận phụ nay đã bị tiêu giảm gọi là nắp sinh dục. Đoạn thứ hai là 1 cặp cơ quan cảm giác giống như chất Pectine. Bốn đoạn còn lại bao gồm hai lá phổi. Phần bụng dưới được bọc giáp bằng chất sừng.
Phần đuôi: gồm 6 đốt (đốt đầu tiên như đốt bụng cuối cùng). Hậu môn của bọ cạp nằm ở đốt cuối cùng, đồng thời đốt này mang nọc độc. Đốt cuối lần lượt gồm một túi chứa, một cặp tuyến độc và một mũi tiêm nọc độc.
Giáp: bao quanh cơ thể, một số chỗ có lông làm cơ quan cân bằng. Một lớp phủ ngoài giáp vốn trong suốt sẽ biến thành màu xanh lục huỳnh quang dưới tia tử ngoại. Những con bọ cạp mới lột xác sẽ không phát sáng cho tới khi lớp giáp nó cứng cáp. Lớp phủ đó có thể không bị sứt mẻ trong hóa thạch suốt hàng trăm triệu năm.
Trong một số trường hợp hiếm hoi, bọ cạp sinh ra có thể có hai đuôi. Nó không phải là một loài mới mà chỉ là một sự bất thường trong di truyền học.
Nọc độc[sửa | sửa mã nguồn]
Ngoài loài Hemiscorpius lepturus có nọc độc hoại tế bào, tất cả các loài bọ cạp khác đều có độc làm hủy thần kinh. Những độc tố ảnh hưởng đến thần kinh này chứa một lượng nhỏ protein, natri và cation kali. Bọ cạp dùng nọc độc của nó để giết hoặc làm tê liệt con mồi; hành động này khá nhanh và hiệu quả.
Thật may mắn là nọc độc của đa số loài bọ cạp vô hại đối với con người, tuy nhiên nó có thể gây ra các phản ứng khác như đau, tê cứng hay sưng phồng. Một vài loài bọ cạp, chủ yếu trong họ Buthidae có thể gây nguy hiểm tới con người. Những loài bọ cạp nguy hiểm nhất là Leiurus quinquestriatus - có nọc độc mạnh nhất trong họ Buthidae, và các loài trong chi Parabuthus, Tityus, Centruroides, đặc biệt là Androctonus - cũng có nọc độc mạnh. Loài bọ cạp giết người nhiều nhất là Androctonus australis, hoặc loài bọ cạp đuôi béo Bắc Phi. Nọc độc của Androctonus australis chỉ bằng một nửa so với Leiurus quinquestriatus, nhưng người bị nó chích có thể chết. Bọ cạp thật ra không đủ nọc để giết chết một người trưởng thành khỏe mạnh. Một vài người bị dị ứng với bọ cạp có thể chết nhanh hơn. Triệu chứng đơn giản nhất sau khi bị bọ cạp chích là chỗ đau tê cứng trong vài ngày. Bọ cạp nói chung khá nhút nhát và vô hại, chúng chỉ chích khi bắt mồi hay tự vệ. Trong trường hợp nguy hiểm, bọ cạp thường bỏ chạy hoặc đứng yên.
Bọ cạp có khả năng điều chỉnh lượng nọc chích, thông thường 0,1-0,6 mg. Đó cũng là một gợi ý về giả thiết bọ cạp để dành nọc độc của mình trong những trận giao tranh khác. Bọ cạp có hai loại nọc: loại nhẹ chỉ làm đối phương choáng váng và loại mạnh đủ để giết chết kẻ thù. Có lẽ bọ cạp mất khá nhiều năng lượng cho loại độc này đến nỗi nó phải mất vài ngày mới hồi phục sau khi dùng hết số độc có sẵn.
Giao phối[sửa | sửa mã nguồn]
Bọ cạp có khả năng tự tái tạo, mỗi loài bọ cạp đều có con đực và cái riêng biệt. Bọ cạp sinh sản bằng cách chuyển bào tinh từ con đực qua con cái.
Đầu tiên bọ cạp đực giữ lấy các chân kìm sờ của con cái rồi bắt đầu một điệu nhảy. Trên thực tế, con đực đang dẫn dắt con cái tìm nơi để đặt túi bào tinh của nó. Nghi thức này còn có thể bao gồm thêm vài hành động khác như rung mạnh hoặc hôn vào chân kìm của con cái (đôi lúc con đực bơm một ít nọc độc của nó vào người con cái), tất cả những hành động trên là để làm yên lòng con cái.
Khi tìm được nơi thích hợp, bọ cạp đực đặt túi bào tinh và hướng dẫn con cái giữ lấy nó. Con cái sẽ đưa túi bào tinh vào trong nắp sinh dục của mình, bào tinh sẽ vỡ ra đưa tinh trùng vào người con cái. Việc giao cấu có thể mất từ 1 đến hơn 25 giờ tùy thuộc vào khả năng của bọ cạp đực tìm thấy nơi đặt túi tinh của nó nhanh hay chậm. Nếu quá chậm, con cái có thể mất kiên nhẫn và bỏ đi.
Một khi giao cấu xong, chúng sẽ tách nhau ra. Con đực sẽ rút lui thật nhanh chóng để phòng trường hợp bị bạn tình của mình ăn sống, mặc dù tục ăn sống này hiếm khi xảy ra ở bọ cạp.
Sinh trưởng[sửa | sửa mã nguồn]
Không giống các loài thuộc lớp Nhện, bọ cạp đẻ con. Bọ cạp được sinh ra từng con một và bám trên lưng mẹ cho tới khi chúng trải qua ít nhất một kỳ lột xác. Trước kỳ lột xác đầu tiên, bọ cạp con không thể sống sót nếu không phụ thuộc vào mẹ chúng.
Bọ cạp con khá giống ba mẹ chúng. Chúng lớn lên bằng cách lột xác. Sau 5-7 lần lột xác, bọ cạp mới trưởng thành. Việc lột xác bắt đầu bởi lớp xương trong, khi lớp giáp ở mép đốt thân trước bị nứt. Những chân kìm sờ và chân của chúng sẽ được lột xác đầu tiên, sau đó là phần bụng. Khi lột xác xong, lớp giáp của chúng rất mềm và sẽ bị tổn thương nếu có sự tấn công. Quá trình làm cứng lại lớp giáp này gọi là sự xơ cứng. Bộ giáp ngoài mới đầu không có màu, nhưng khi nó trở nên cứng cáp ta sẽ thấy nó có màu huỳnh quang.
Tập tính[sửa | sửa mã nguồn]
Tuổi thọ tối đa của bọ cạp vẫn chưa được xác định. Chúng có thể sống tối thiểu 4 năm và tối đa là 25 năm (loài H. arizonensis). Bọ cạp thích sống ở nơi có nhiệt độ khoảng 20 đến 37 độ C (68-99 độ F) nhưng giới hạn chịu đựng khoảng 14-45 độ C (57-113 độ F). Bọ cạp là động vật về đêm và hay đào bới, chúng đào hang suốt ngày để tìm nơi trú ẩn mát mẻ, thường là mặt dưới các tảng đá, và ban đêm ra ngoài săn mồi. Bọ cạp có chứng sợ ánh sáng và các loài chim, rết, thằn lằn, những thú có túi và chuột.
Tiêu hoá[sửa | sửa mã nguồn]
Bọ cạp ăn những động vật chân khớp nhỏ và sâu bọ. Đầu tiên chúng dùng càng để bắt mồi. Tùy vào lượng nọc độc và kích cỡ càng mà bọ cạp sẽ chích độc hay dùng càng ép con mồi. Cách này có thể làm tê liệt, thâm chí là giết chết mồi để sau đó bọ cạp có thể ăn. Bọ cạp có một kiểu ăn duy nhất là sử dụng chân kìm. Đó là những vuốt nhỏ từ miệng, chỉ có một số loài có (trong đó có nhện). Chân kìm rất sắc và có thể được dùng để chia nhỏ con mồi ra cho dễ tiêu hóa. Bọ cạp chỉ có thể tiêu hóa thức ăn ở một dạng chất lỏng nhất định, bất kỳ chất rắn nào (lông, bộ xương ngoài... của con mồi) đều bị chúng bỏ lại. Bọ cạp được tìm thấy trong nhiều hóa thạch có độ tuổi khoảng 425-450 triệu năm.
Đồ ăn về bọ cạp[sửa | sửa mã nguồn]
Bò cạp còn có thể chế biến thành nhiều món ăn khác nhau... Tuy nhiên có một số loài có độc mạnh không thể ăn được nên cẩn thận đề phòng trước khi ăn thịt bò cạp phải chắc chắn là nó không có độc. Nên làm ăn sau khi mấy ngày bắt về, rửa sạch các chất độc và sau khi chín bỏ thêm hương vị tuy theo sở thích mỗi người, nhiều người nghĩ bụng của bò cạp là ngon nhất. Món bò cạp đa số được bán ở các vùng. Bò cạp hiện có bán tại một số nơi với giá 30.000 đồng cho 10 con. Vì môi trường thay đổi nên một số loài bọ cạp đang có nguy cơ bị tuyệt chủng và có thể ảnh hưởng tới nền nông nghiệp vì bọ cạp là loài ăn các loài côn trùng có hại cho nông sản.[1]
Những hiểu lầm[sửa | sửa mã nguồn]
Người ta nghĩ rằng bọ cạp tự sát bằng cách tự chích mình cho tới chết. Tuy nhiên thật ra nọc độc của bọ cạp miễn nhiễm với bản thân nó cũng như bất kỳ con bọ cạp nào cùng loại, trừ khi nọc độc bị tiêm thẳng vào hạch thần kinh. Có lẽ sự hiểu lầm xuất phát từ thực tế đó là bọ cạp là động vật biến nhiệt nhưng một số chuyển hóa trong cơ thể nó làm nó nóng hẳn lên. Điều này làm bọ cạp co thắt bừa bãi và dẫn đến việc là nó tự chích mình. Thêm một ý kiến sai lầm nữa đó là cồn sẽ khiến bọ cạp tự tiêm nọc vào người nó.
Lợi ích[sửa | sửa mã nguồn]
Bọ cạp còn thường được dùng để làm thuốc đông y gọi là toàn yết, nếu dùng đuôi không gọi là yết vĩ rất có lợi cho người. Đặc trị các bệnh về thần kinh, trẻ em kinh phong... Nọc độc có khi còn được sử dụng như thuốc và rất đắt tiền còn hơn cả nọc độc rắn. Thường mùa xuân và mùa hạ là có nhiều bò cạp nhất để bắt.
Phân loại[sửa | sửa mã nguồn]
- Bộ Bọ cạp Scorpiones
- Phân thứ bộ Orthosterni Pocock, 1911
- Tiểu bộ Pseudochactida Soleglad et Fet, 2003
- Siêu họ Pseudochactoidea Gromov, 1998
- Họ Pseudochactidae Gromov, 1998
- Siêu họ Pseudochactoidea Gromov, 1998
- Tiểu bộ Buthida Soleglad et Fet, 2003
- Siêu họ Buthoidea C. L. Koch, 1837
- Họ Buthidae C. L. Koch, 1837 (Bọ cạp đuôi mỏng)
- Họ Microcharmidae Lourenço, 1996
- Siêu họ Buthoidea C. L. Koch, 1837
- Tiểu bộ Chaerilida Soleglad et Fet, 2003
- Siêu họ Chaeriloidea Pocock, 1893
- Họ Chaerilidae Pocock, 1893
- Siêu họ Chaeriloidea Pocock, 1893
- Tiểu bộ Iurida Soleglad et Fet, 2003
- Siêu họ Chactoidea Pocock, 1893
- Họ Chactidae Pocock, 1893
- Họ Euscorpiidae Laurie, 1896
- Họ Superstitioniidae Stahnke, 1940
- Họ Vaejovidae Thorell, 1876
- Siêu họ Iuroidea Thorell, 1876
- Họ Caraboctonidae Kraepelin, 1905
- Họ Iuridae Thorell, 1876
- Siêu họ Scorpionoidea Latreille, 1802
- Họ Bothriuridae Simon, 1880
- Họ Hemiscorpiidae Pocock, 1893 (= Ischnuridae, =Liochelidae)
- Họ Scorpionidae Latreille, 1802
- Siêu họ Chactoidea Pocock, 1893
- Tiểu bộ Pseudochactida Soleglad et Fet, 2003
Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]
- ^ “Thông báo”. Tuổi Trẻ Online. Truy cập 27 tháng 10 năm 2015.
Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]
(tiếng Việt)
(tiếng Anh)
- Scorpion tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
- Bọ cạp tại trang Trung tâm Thông tin Công nghệ sinh học quốc gia Hoa Kỳ (NCBI).
- Scorpiones (TSN 82713) tại Hệ thống Thông tin Phân loại Tích hợp (ITIS).
- Bọ cạp tại Encyclopedia of Life

markdown:
# Bọ cạp
[Jump to navigation](#mw-head) [Jump to search](#p-search) [Bọ cạp (định hướng)](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p_(%C4%91%E1%BB%8Bnh_h%C6%B0%E1%BB%9Bng)&action=edit&redlink=1).
|Bọ cạp|
|
|![]()
![ Scorpion Photograph By Shantanu Kuveskar.jpg](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fe/Scorpion_Photograph_By_Shantanu_Kuveskar.jpg/300px-Scorpion_Photograph_By_Shantanu_Kuveskar.jpg)
![ Scorpion Photograph By Shantanu Kuveskar.jpg](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fe/Scorpion_Photograph_By_Shantanu_Kuveskar.jpg/300px-Scorpion_Photograph_By_Shantanu_Kuveskar.jpg)
![ Deathstalker ST 07.JPG](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/39/Deathstalker_ST_07.JPG/300px-Deathstalker_ST_07.JPG)
[Phân loại khoa học](/wiki/Ph%C3%A2n_lo%E1%BA%A1i_sinh_h%E1%BB%8Dc) [Giới](/wiki/Gi%E1%BB%9Bi_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *regnum*) [Animalia](/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_v%E1%BA%ADt) [Ngành](/wiki/Ng%C3%A0nh_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *phylum*) [Arthropoda](/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_v%E1%BA%ADt_Ch%C3%A2n_kh%E1%BB%9Bp) [Phân ngành](/wiki/Ph%C3%A2n_ng%C3%A0nh)( *subphylum*) [Chelicerata](/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_v%E1%BA%ADt_Ch%C3%A2n_k%C3%ACm) [Lớp](/wiki/L%E1%BB%9Bp_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *class*) [Arachnida](/wiki/L%E1%BB%9Bp_H%C3%ACnh_nh%E1%BB%87n) [Bộ](/wiki/B%E1%BB%99_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *ordo*) **Scorpiones**
C. L. Koch, 1837
**Bọ cạp** hay **bò cạp** là giống [động vật không xương sống](/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_v%E1%BA%ADt_kh%C3%B4ng_x%C6%B0%C6%A1ng_s%E1%BB%91ng), tám chân thuộc lớp * (động vật hình nhện). Bọ cạp được đặc trưng bởi một chiếc đuôi có móc độc. Chúng là biểu tượng văn hóa với hình tượng cung bọ cạp (hổ cáp) trong 12 cung hoàng đạo của phương Tây.
Arachnida*
## Mục lục
## Giải phẫu[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&veaction=edit§ion=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&action=edit§ion=1)]
Thân bọ cạp chia làm hai phần: phần đầu ngực (đốt thân trước) và phần bụng (vùng thân sau). Phần bụng bao gồm phần bụng dưới và đuôi.
**Phần đầu ngực/Đốt thân trước**: bao gồm lớp giáp, mắt, chân kìm (một phần của miệng), chân kìm sờ và 8 chân.
**Phần bụng dưới**: chia làm 8 đoạn. Đoạn đầu tiên chứa cơ quan sinh dục và dấu vết của một bộ phận phụ nay đã bị tiêu giảm gọi là nắp sinh dục. Đoạn thứ hai là 1 cặp cơ quan cảm giác giống như chất Pectine. Bốn đoạn còn lại bao gồm hai lá phổi. Phần bụng dưới được bọc giáp bằng chất sừng.
**Phần đuôi**: gồm 6 đốt (đốt đầu tiên như đốt bụng cuối cùng). Hậu môn của bọ cạp nằm ở đốt cuối cùng, đồng thời đốt này mang nọc độc. Đốt cuối lần lượt gồm một túi chứa, một cặp tuyến độc và một mũi tiêm nọc độc.
**Giáp**: bao quanh cơ thể, một số chỗ có lông làm cơ quan cân bằng. Một lớp phủ ngoài giáp vốn trong suốt sẽ biến thành màu xanh lục huỳnh quang dưới tia tử ngoại. Những con bọ cạp mới lột xác sẽ không phát sáng cho tới khi lớp giáp nó cứng cáp. Lớp phủ đó có thể không bị sứt mẻ trong hóa thạch suốt hàng trăm triệu năm.
Trong một số trường hợp hiếm hoi, bọ cạp sinh ra có thể có hai đuôi. Nó không phải là một loài mới mà chỉ là một sự bất thường trong di truyền học.
## Nọc độc[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&veaction=edit§ion=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&action=edit§ion=2)]
Ngoài loài Hemiscorpius lepturus có nọc độc hoại tế bào, tất cả các loài bọ cạp khác đều có độc làm hủy thần kinh. Những độc tố ảnh hưởng đến thần kinh này chứa một lượng nhỏ protein, natri và cation kali. Bọ cạp dùng nọc độc của nó để giết hoặc làm tê liệt
[con mồi](/wiki/Con_m%E1%BB%93i); hành động này khá nhanh và hiệu quả.
Thật may mắn là nọc độc của đa số loài bọ cạp vô hại đối với con người, tuy nhiên nó có thể gây ra các phản ứng khác như đau, tê cứng hay sưng phồng. Một vài loài bọ cạp, chủ yếu trong họ
* có thể gây nguy hiểm tới con người. Những loài bọ cạp nguy hiểm nhất là Buthidae* *- có nọc độc mạnh nhất trong họ* [Leiurus quinquestriatus](/wiki/Leiurus_quinquestriatus) *Buthidae*, và các loài trong chi *, đặc biệt là* [Parabuthus](/wiki/Parabuthus), [Tityus](/wiki/Tityus), [Centruroides](/wiki/Centruroides) *- cũng có nọc độc mạnh. Loài bọ cạp giết người nhiều nhất là* [Androctonus](/wiki/Androctonus) *, hoặc loài bọ cạp đuôi béo* [Androctonus australis](/wiki/Androctonus_australis) [Bắc Phi](/wiki/B%E1%BA%AFc_Phi). Nọc độc của *Androctonus australis*chỉ bằng một nửa so với *, nhưng người bị nó chích có thể chết. Bọ cạp thật ra không đủ nọc để giết chết một người trưởng thành khỏe mạnh. Một vài người bị* [Leiurus quinquestriatus](/wiki/Leiurus_quinquestriatus) [dị ứng](/wiki/D%E1%BB%8B_%E1%BB%A9ng)với bọ cạp có thể chết nhanh hơn. Triệu chứng đơn giản nhất sau khi bị bọ cạp chích là chỗ đau tê cứng trong vài ngày. Bọ cạp nói chung khá nhút nhát và vô hại, chúng chỉ chích khi bắt mồi hay tự vệ. Trong trường hợp nguy hiểm, bọ cạp thường bỏ chạy hoặc đứng yên.
Bọ cạp có khả năng điều chỉnh lượng nọc chích, thông thường 0,1-0,6 mg. Đó cũng là một gợi ý về giả thiết bọ cạp để dành nọc độc của mình trong những trận giao tranh khác. Bọ cạp có hai loại nọc: loại nhẹ chỉ làm đối phương choáng váng và loại mạnh đủ để giết chết kẻ thù. Có lẽ bọ cạp mất khá nhiều năng lượng cho loại độc này đến nỗi nó phải mất vài ngày mới hồi phục sau khi dùng hết số độc có sẵn.
## Giao phối[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&veaction=edit§ion=3) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&action=edit§ion=3)]
Bọ cạp có khả năng tự tái tạo, mỗi loài bọ cạp đều có con đực và cái riêng biệt. Bọ cạp sinh sản bằng cách chuyển bào tinh từ con đực qua con cái.
Đầu tiên bọ cạp đực giữ lấy các chân kìm sờ của con cái rồi bắt đầu một điệu nhảy. Trên thực tế, con đực đang dẫn dắt con cái tìm nơi để đặt túi bào tinh của nó. Nghi thức này còn có thể bao gồm thêm vài hành động khác như rung mạnh hoặc hôn vào chân kìm của con cái (đôi lúc con đực bơm một ít nọc độc của nó vào người con cái), tất cả những hành động trên là để làm yên lòng con cái.
Khi tìm được nơi thích hợp, bọ cạp đực đặt túi bào tinh và hướng dẫn con cái giữ lấy nó. Con cái sẽ đưa túi bào tinh vào trong nắp sinh dục của mình, bào tinh sẽ vỡ ra đưa tinh trùng vào người con cái. Việc giao cấu có thể mất từ 1 đến hơn 25 giờ tùy thuộc vào khả năng của bọ cạp đực tìm thấy nơi đặt túi tinh của nó nhanh hay chậm. Nếu quá chậm, con cái có thể mất kiên nhẫn và bỏ đi.
Một khi giao cấu xong, chúng sẽ tách nhau ra. Con đực sẽ rút lui thật nhanh chóng để phòng trường hợp bị bạn tình của mình ăn sống, mặc dù tục ăn sống này hiếm khi xảy ra ở bọ cạp.
## Sinh trưởng[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&veaction=edit§ion=4) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&action=edit§ion=4)]
Không giống các loài thuộc lớp Nhện, bọ cạp đẻ con. Bọ cạp được sinh ra từng con một và bám trên lưng mẹ cho tới khi chúng trải qua ít nhất một kỳ lột xác. Trước kỳ lột xác đầu tiên, bọ cạp con không thể sống sót nếu không phụ thuộc vào mẹ chúng.
Bọ cạp con khá giống ba mẹ chúng. Chúng lớn lên bằng cách lột xác. Sau 5-7 lần lột xác, bọ cạp mới trưởng thành. Việc lột xác bắt đầu bởi lớp xương trong, khi lớp giáp ở mép đốt thân trước bị nứt. Những chân kìm sờ và chân của chúng sẽ được lột xác đầu tiên, sau đó là phần bụng. Khi lột xác xong, lớp giáp của chúng rất mềm và sẽ bị tổn thương nếu có sự tấn công. Quá trình làm cứng lại lớp giáp này gọi là sự xơ cứng. Bộ giáp ngoài mới đầu không có màu, nhưng khi nó trở nên cứng cáp ta sẽ thấy nó có màu huỳnh quang.
## Tập tính[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&veaction=edit§ion=5) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&action=edit§ion=5)]
Tuổi thọ tối đa của bọ cạp vẫn chưa được xác định. Chúng có thể sống tối thiểu 4 năm và tối đa là 25 năm (loài H. arizonensis). Bọ cạp thích sống ở nơi có nhiệt độ khoảng 20 đến 37 độ C (68-99 độ F) nhưng giới hạn chịu đựng khoảng 14-45 độ C (57-113 độ F). Bọ cạp là động vật về đêm và hay đào bới, chúng đào hang suốt ngày để tìm nơi trú ẩn mát mẻ, thường là mặt dưới các tảng đá, và ban đêm ra ngoài săn mồi. Bọ cạp có chứng sợ ánh sáng và các loài chim, rết, thằn lằn, những thú có túi và chuột.
## Tiêu hoá[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&veaction=edit§ion=6) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&action=edit§ion=6)]
Bọ cạp ăn những động vật chân khớp nhỏ và sâu bọ. Đầu tiên chúng dùng càng để bắt mồi. Tùy vào lượng nọc độc và kích cỡ càng mà bọ cạp sẽ chích độc hay dùng càng ép con mồi. Cách này có thể làm tê liệt, thâm chí là giết chết mồi để sau đó bọ cạp có thể ăn. Bọ cạp có một kiểu ăn duy nhất là sử dụng chân kìm. Đó là những vuốt nhỏ từ miệng, chỉ có một số loài có (trong đó có nhện). Chân kìm rất sắc và có thể được dùng để chia nhỏ con mồi ra cho dễ tiêu hóa. Bọ cạp chỉ có thể tiêu hóa thức ăn ở một dạng chất lỏng nhất định, bất kỳ chất rắn nào (lông, bộ xương ngoài... của con mồi) đều bị chúng bỏ lại. Bọ cạp được tìm thấy trong nhiều hóa thạch có độ tuổi khoảng 425-450 triệu năm.
## Đồ ăn về bọ cạp[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&veaction=edit§ion=7) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&action=edit§ion=7)]
Bò cạp còn có thể chế biến thành nhiều món ăn khác nhau... Tuy nhiên có một số loài có độc mạnh không thể ăn được nên cẩn thận đề phòng trước khi ăn thịt bò cạp phải chắc chắn là nó không có độc. Nên làm ăn sau khi mấy ngày bắt về, rửa sạch các chất độc và sau khi chín bỏ thêm hương vị tuy theo sở thích mỗi người, nhiều người nghĩ bụng của bò cạp là ngon nhất. Món bò cạp đa số được bán ở các vùng. Bò cạp hiện có bán tại một số nơi với giá 30.000 đồng cho 10 con. Vì môi trường thay đổi nên một số loài bọ cạp đang có nguy cơ bị tuyệt chủng và có thể ảnh hưởng tới nền nông nghiệp vì bọ cạp là loài ăn các loài côn trùng có hại cho nông sản.
[[1]](#cite_note-1)
## Những hiểu lầm[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&veaction=edit§ion=8) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&action=edit§ion=8)]
Người ta nghĩ rằng bọ cạp tự sát bằng cách tự chích mình cho tới chết. Tuy nhiên thật ra nọc độc của bọ cạp miễn nhiễm với bản thân nó cũng như bất kỳ con bọ cạp nào cùng loại, trừ khi nọc độc bị tiêm thẳng vào hạch thần kinh. Có lẽ sự hiểu lầm xuất phát từ thực tế đó là bọ cạp là động vật biến nhiệt nhưng một số chuyển hóa trong cơ thể nó làm nó nóng hẳn lên. Điều này làm bọ cạp co thắt bừa bãi và dẫn đến việc là nó tự chích mình. Thêm một ý kiến sai lầm nữa đó là cồn sẽ khiến bọ cạp tự tiêm nọc vào người nó.
## Lợi ích[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&veaction=edit§ion=9) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&action=edit§ion=9)]
![]()
không bảo đảm tính pháp lý cho các thông tin có liên quan đến y học và sức khỏe.
Đề nghị liên hệ và nhận tư vấn từ các bác sĩ hay các chuyên gia.
Bọ cạp còn thường được dùng để làm thuốc đông y gọi là toàn yết, nếu dùng đuôi không gọi là yết vĩ rất có lợi cho người. Đặc trị các bệnh về thần kinh, trẻ em kinh phong... Nọc độc có khi còn được sử dụng như thuốc và rất đắt tiền còn hơn cả nọc độc rắn. Thường mùa xuân và mùa hạ là có nhiều bò cạp nhất để bắt.
## Phân loại[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&veaction=edit§ion=10) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&action=edit§ion=10)]
- Bộ Bọ cạp
*Scorpiones*
- Phân thứ bộ
[Orthosterni](/w/index.php?title=Orthosterni&action=edit&redlink=1) [Pocock](/w/index.php?title=Reginald_Innes_Pocock&action=edit&redlink=1), 1911
- Tiểu bộ
[Pseudochactida](/w/index.php?title=Pseudochactida&action=edit&redlink=1) [Soleglad](/w/index.php?title=Michael_E._Soleglad&action=edit&redlink=1)et [Fet](/w/index.php?title=Victor_Fet&action=edit&redlink=1), 2003
- Siêu họ
[Pseudochactoidea](/w/index.php?title=Pseudochactoidea&action=edit&redlink=1) [Gromov](/w/index.php?title=Alexander_V._Gromov&action=edit&redlink=1), 1998
- Họ
[Pseudochactidae](/w/index.php?title=Pseudochactidae&action=edit&redlink=1) [Gromov](/w/index.php?title=Alexander_V._Gromov&action=edit&redlink=1), 1998
- Họ
- Siêu họ
- Tiểu bộ
[Buthida](/w/index.php?title=Buthida&action=edit&redlink=1) [Soleglad](/w/index.php?title=Michael_E._Soleglad&action=edit&redlink=1)et [Fet](/w/index.php?title=Victor_Fet&action=edit&redlink=1), 2003
- Siêu họ
[Buthoidea](/w/index.php?title=Buthoidea&action=edit&redlink=1) [C. L. Koch](/w/index.php?title=Carl_Ludwig_Koch&action=edit&redlink=1), 1837
- Họ
[Buthidae](/wiki/Buthidae) [C. L. Koch](/w/index.php?title=Carl_Ludwig_Koch&action=edit&redlink=1), 1837 (Bọ cạp đuôi mỏng)
- Họ
[Microcharmidae](/w/index.php?title=Microcharmidae&action=edit&redlink=1) [Lourenço](/w/index.php?title=Wilson_R._Louren%C3%A7o&action=edit&redlink=1), 1996
- Họ
- Siêu họ
- Tiểu bộ
[Chaerilida](/w/index.php?title=Chaerilida&action=edit&redlink=1) [Soleglad](/w/index.php?title=Michael_E._Soleglad&action=edit&redlink=1)et [Fet](/w/index.php?title=Victor_Fet&action=edit&redlink=1), 2003
- Siêu họ
[Chaeriloidea](/w/index.php?title=Chaeriloidea&action=edit&redlink=1) [Pocock](/w/index.php?title=Reginald_Innes_Pocock&action=edit&redlink=1), 1893
- Họ
[Chaerilidae](/w/index.php?title=Chaerilidae&action=edit&redlink=1) [Pocock](/w/index.php?title=Reginald_Innes_Pocock&action=edit&redlink=1), 1893
- Họ
- Siêu họ
- Tiểu bộ
[Iurida](/w/index.php?title=Iurida&action=edit&redlink=1) [Soleglad](/w/index.php?title=Michael_E._Soleglad&action=edit&redlink=1)et [Fet](/w/index.php?title=Victor_Fet&action=edit&redlink=1), 2003
- Siêu họ
[Chactoidea](/w/index.php?title=Chactoidea&action=edit&redlink=1) [Pocock](/w/index.php?title=Reginald_Innes_Pocock&action=edit&redlink=1), 1893
- Họ
[Chactidae](/w/index.php?title=Chactidae&action=edit&redlink=1) [Pocock](/w/index.php?title=Reginald_Innes_Pocock&action=edit&redlink=1), 1893
- Họ
[Euscorpiidae](/wiki/Euscorpiidae)Laurie, 1896
- Họ
[Superstitioniidae](/w/index.php?title=Superstitioniidae&action=edit&redlink=1) [Stahnke](/w/index.php?title=Herbert_Stahnke&action=edit&redlink=1), 1940
- Họ
[Vaejovidae](/wiki/Vaejovidae) [Thorell](/w/index.php?title=Tord_Tamerlan_Teodor_Thorell&action=edit&redlink=1), 1876
- Họ
- Siêu họ
[Iuroidea](/w/index.php?title=Iuroidea&action=edit&redlink=1) [Thorell](/w/index.php?title=Tord_Tamerlan_Teodor_Thorell&action=edit&redlink=1), 1876
- Họ
[Caraboctonidae](/w/index.php?title=Caraboctonidae&action=edit&redlink=1) [Kraepelin](/w/index.php?title=Karl_Kraepelin&action=edit&redlink=1), 1905
- Họ
[Iuridae](/w/index.php?title=Iuridae&action=edit&redlink=1) [Thorell](/w/index.php?title=Tord_Tamerlan_Teodor_Thorell&action=edit&redlink=1), 1876
- Họ
- Siêu họ
[Scorpionoidea](/w/index.php?title=Scorpionoidea&action=edit&redlink=1) [Latreille](/wiki/Pierre_Andr%C3%A9_Latreille), 1802
- Họ
[Bothriuridae](/wiki/Bothriuridae) [Simon](/wiki/Eug%C3%A8ne_Simon), 1880
- Họ
[Hemiscorpiidae](/wiki/Hemiscorpiidae) [Pocock](/w/index.php?title=Reginald_Innes_Pocock&action=edit&redlink=1), 1893 (= Ischnuridae, =Liochelidae)
- Họ
[Scorpionidae](/wiki/Scorpionidae) [Latreille](/wiki/Pierre_Andr%C3%A9_Latreille), 1802
- Họ
- Siêu họ
- Tiểu bộ
## Chú thích[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&veaction=edit§ion=11) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&action=edit§ion=11)] [^](#cite_ref-1) [“Thông báo”](http://tuoitre.vn/Pages/Printview.aspx?ArticleID=89782). [Tuổi Trẻ Online](/wiki/Tu%E1%BB%95i_Tr%E1%BA%BB_(b%C3%A1o)). Truy cập 27 tháng 10 năm 2015.
## Liên kết ngoài[
[sửa](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&veaction=edit§ion=12) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=B%E1%BB%8D_c%E1%BA%A1p&action=edit§ion=12)]
|
|![]()
có thông tin sinh học về
|
|![]()
|Wikimedia Commons có thư viện hình ảnh và phương tiện truyền tải về |**(tiếng Việt)**
**(tiếng Anh)**
[Scorpion](http://www.britannica.com/EBchecked/topic/529352)tại [Encyclopædia Britannica](/wiki/Encyclop%C3%A6dia_Britannica) **(tiếng Anh)** [Bọ cạp](http://www.ncbi.nlm.nih.gov/Taxonomy/Browser/wwwtax.cgi?id=6855)tại trang [Trung tâm Thông tin Công nghệ sinh học quốc gia Hoa Kỳ](/wiki/Trung_t%C3%A2m_Th%C3%B4ng_tin_C%C3%B4ng_ngh%E1%BB%87_sinh_h%E1%BB%8Dc_qu%E1%BB%91c_gia_Hoa_K%E1%BB%B3)(NCBI). [tại](http://www.itis.gov/servlet/SingleRpt/SingleRpt?search_topic=TSN&search_value=82713) *Scorpiones*(TSN 82713) [Hệ thống Thông tin Phân loại Tích hợp](/wiki/H%E1%BB%87_th%E1%BB%91ng_Th%C3%B4ng_tin_Ph%C3%A2n_lo%E1%BA%A1i_T%C3%ADch_h%E1%BB%A3p)(ITIS). [tại Encyclopedia of Life](http://www.eol.org/pages/8542) *Bọ cạp*

X-Cache-Status: miss

X-Cache: cp1068 miss, cp1054 miss