text:
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp dồn biến
Nội dung: Giới thiệu, BĐT 3 biến với cực trị đạt được đối xứng, Dồn biến bằng kỹ thuật hàm số, BĐT 3 biến với cực trị đạt được tại biên, BĐT 4 biến, Dồn biến bằng hàm lồi, Dồn biến về giá trị trung bình, Định lý dồn biến tổng quát, Nhìn lại
PHÖÔNG PHAÙP DOÀN BIEÁN
Phan Thaønh Vieät
Noäi dung:
1. Giôùi thieäu. 2. BÑT 3 bieán vôùi cöïc trò ñaït ñöôïc ñoái xöùng. 3. Doàn bieán baèng kó thuaät haøm soá. 4. BÑT 3 bieán vôùi cöïc trò ñaït ñöôïc taïi bieân. 5. BÑT 4 bieán. 6. Doàn bieán baèng haøm loài. 7. Doàn bieán veà giaù trò trung bình. 8. Ñònh lyù doàn bieán toång quaùt. 9. Nhìn laïi. 10. Baøi taäp.
1. Giôùi thieäu.
Caùc baïn thaân meán, raát nhieàu trong soá caùc BÑT maø ta ñaõ gaëp coù daáu ñaúng thöùc khi caùc bieán soá baèng nhau. Moät ví duï kinh ñieån laø
Ví duï 1: (BÑT Cauchy) Cho x, y, z > 0 thì x+ y + z ≥ 3 3√xyz.
Coù theå noùi soá löôïng BÑT nhö vaäy nhieàu ñeán noãi nhieàu baïn seõ thaáy ñieàu ñoù laø ... hieån nhieân. Taát nhieân, khoâng haún nhö vaäy. Tuy nhieân, trong tröôøng hôïp ñaúng thöùc khoâng xaûy ra khi taát caû caùc bieán baèng nhau thì ta laïi raát thöôøng rôi vaøo moät tröôøng hôïp khaùc, toång quaùt hôn: ñoù laø coù moät soá (thay vì taát caû) caùc bieán baèng nhau. ÔÛ ñaây chuùng toâi daãn ra moät ví duï seõ ñöôïc chöùng minh ôû phaàn sau.
Ví duï 2: (VMO) Cho x, y, z ∈ R, x2 + y2 + z2 = 9. Thì 2(x+ y + z)− xyz ≤ 10
Trong BÑT naøy thì daáu "=" xaûy ra khi x = y = 2, z = −1 (vaø caùc hoaùn vò).
1
Coù theå nhieàu baïn seõ ngaïc nhieân khi bieát raèng coøn coù nhöõng baát ñaúng thöùc maø daáu "=" xaûy ra khi caùc bieán ñeàu khaùc nhau. Ví duï sau ñaây cuõng seõ ñöôïc chöùng minh ôû phaàn sau.
Ví duï 3: (Jackgarfukel) Cho a, b, c laø 3 soá thöïc khoâng aâm vaø coù toái ña moät soá baèng 0. Thì ta luoân coù:
a√ a+ b
+ b√ b+ c
+ c√ c+ a
≤ 5 4
√ a+ b+ c
ÔÛ ñaây, daáu ñaúng thöùc xaûy ra khi a = 3b > 0, c = 0 (vaø caùc daïng hoaùn vò). Caùc baïn coù theå töï hoûi laø caùc giaù trò chaúng haïn nhö (3, 1, 0) coù gì ñaëc bieät maø laøm cho ñaúng thöùc xaûy ra. Moät caùch tröïc giaùc, ta thaáy döôøng nhö ñieåm ñaëc bieät ñoù laø do coù moät bieán baèng 0. Vì giaû thieát laø caùc bieán khoâng aâm, neân bieán baèng 0 coøn ñöôïc goïi laø bieán coù giaù trò treân bieân.
Toùm laïi, trong caùc BÑT maø ta gaëp, coù caùc tröôøng hôïp daáu "=" xaûy ra raát thöôøng gaëp: ñoù laø tröôøng hôïp taát caû caùc bieán baèng nhau (ta goïi laø "cöïc trò ñaït ñöôïc taïi taâm"), toång quaùt hôn laø tröôøng hôïp coù moät soá caùc bieán baèng nhau (ta goïi laø "cöïc trò ñaït ñöôïc coù tính ñoái xöùng"), moät tröôøng hôïp khaùc laø daáu "=" xaûy ra khi coù moät bieán coù giaù trò treân bieân (vaø ta goïi laø "cöïc trò ñaït ñöôïc taïi bieân").
Phöông phaùp doàn bieán ñöôïc ñaët ra ñeå giaûi quyeát caùc BÑT coù daïng nhö treân. YÙ töôûng chung laø: neáu ta ñöa ñöôïc veà tröôøng hôïp coù hai bieán baèng nhau, hoaëc laø moät bieán coù giaù trò taïi bieân, thì soá bieán seõ giaûm ñi. Do ñoù BÑT môùi ñôn giaûn hôn BÑT ban ñaàu, ñaëc bieät neáu BÑT môùi chæ coøn moät bieán thì baèng caùch khaûo saùt haøm moät bieán soá ta seõ chöùng minh BÑT khaù ñôn giaûn. Chính vì tö töôûng laø giaûm daàn soá bieán neân phöông phaùp naøy ñöôïc goïi laø phöông phaùp doàn bieán.
Baây giôø chuùng toâi seõ trình baøy caùc kó thuaät chính cuûa phöông phaùp thoâng qua caùc baøi toaùn cuï theå. Ñoái töôïng raát quan troïng maø chuùng toâi muoán baïn ñoïc naém baét laø caùc BÑT vôùi 3 bieán soá. Sau ñoù, caùc môû roäng cho 4 bieán seõ ñöôïc trình baøy. Cuoái cuøng, chuùng ta ñeán vôùi caùc phöông phaùp doàn bieán toång quaùt cho n bieán soá, trong ñoù baïn ñoïc seõ cuøng chuùng toâi ñi töø nhöõng keát quaû "coå ñieån" tôùi nhöõng caûi tieán nhoû vaø sau ñoù laø moät keát quaû
2
heát söùc toång quaùt. Tinh thaàn xuyeân suoát cuûa chuùng toâi laø muoán baïn ñoïc caûm nhaän ñöôïc tính töï nhieân cuûa vaán ñeà. Qua ñoù, caùc baïn seõ lyù giaûi ñöôïc "taïi sao", ñeå roài coù theå töï mình böôùc ñi treân con ñöôøng saùng taïo.
*Ghi chuù: Chuùng toâi seõ ñaùnh daáu caùc baøi toaùn theo töøng muïc. Vì soá löôïng caùc ñònh lyù laø raát ít neân chuùng toâi khoâng ñaùnh daáu. Chuùng toâi coá gaéng ghi teân taùc giaû vaø nguoàn trích daãn ñoái vôùi taát caû caùc keát quaû quan troïng, ngoaïi tröø nhöõng keát quaû cuûa chuùng toâi.
2. BÑT 3 bieán vôùi cöïc trò ñaït ñöôïc ñoái xöùng.
Xin phaùc hoïa laïi tö töôûng cuûa chuùng ta nhö sau. Baøi toaùn cuûa chuùng ta seõ coù daïng f(x, y, z) ≥ 0 vôùi x, y, z laø caùc bieán soá thöïc thoûa maõn caùc tính chaát naøo ñaáy. Ñieàu chuùng ta mong muoán laø seõ coù ñaùnh giaù f(x, y, z) ≥ f(t, t, z) vôùi t laø moät ñaïi löôïng thích hôïp tuøy theo moãi lieân heä giöõa x, y, z (ta seõ goïi ñaây laø kó thuaät doàn veà 2 bieán baèng nhau). Sau ñoù chuùng ta kieåm tra f(t, t, z) ≥ 0 ñeå hoaøn taát chöùng minh. Löu yù raèng neáu caùc bieán ñaõ ñöôïc chuaån hoùa thì böôùc cuoái chæ laø baøi toaùn vôùi moät bieán.
Trong muïc naøy, chuùng ta seõ chæ xem xeùt caùc ví duï cô baûn nhaát.
Baøi toaùn 1. (BÑT Cauchy) Cho x, y, z > 0, chöùng minh raèng
x+ y + z ≥ 3 3√xyz Lôøi giaûi:
Vì BÑT laø ñoàng baäc neân baèng caùch chuaån hoùa ta coù theå giaû söû x+y+z = 1 (*). Vieát laïi baøi toaùn döôùi daïng f(x, y, z) ≥ 0 vôùi f(x, y, z) = 1− 27xyz. Ta thaáy raèng khi thay x vaø y bôûi t = x+y
2 thì ñieàu kieän (*) vaãn baûo toaøn (töùc laø
vaãn coù t+ t+ z = 1), neân ta chæ phaûi xem xeùt söï thay ñoåi cuûa xyz. Theo BÑT Cauchy vôùi 2 bieán (chöùng minh raát ñôn giaûn) thì xy ≤ t2,
neân xyz ≤ t2z. Vaäy f(x, y, z) ≥ f(t, t, z). Cuoái cuøng ñeå yù laø z = 1 − 2t neân ta coù:
f(t, t, z) = 1− 27t2z = 1 − 27t2(1− 2t) = (1 + 6t)(1 − 3t)2 ≥ 0 vaø baøi toaùn chöùng minh xong. Ñaúng thöùc xaûy ra khi x = y vaø 3t = 1, nghóa laø x = y = 1/3, töông ñöông vôùi x = y = z.
3
*Nhaän xeùt: 1) Coù theå nhieàu baïn seõ bôõ ngôõ vôùi caùch chuaån hoùa ôû treân. Chuùng toâi xin noùi roõ: khoâng coù gì laø bí aån ôû ñaây caû. Neáu thích, caùc baïn hoaøn toaøn coù theå chuaån hoùa theo caùch khaùc, chaúng haïn giaû söû xyz = 1 vaø chöùng minh f(x, y, z) ≥ 0 vôùi f(x, y, z) = x+y+ z−3. Khi ñoù böôùc doàn bieán seõ laø chöùng minh f(x, y, z) ≥ f(t, t, z) vôùi t = √xy. Ñeà nghò baïn ñoïc töï lyù giaûi vì sao trong lôøi giaûi treân thì ta xeùt t = x+y
2 coøn ôû ñaây laïi xeùt t =
√ xy, vaø sau ñoù
hoaøn thaønh chöùng minh theo caùch naøy.
2) Baïn ñoïc coù theå thaéc maéc: khoâng caàn chuaån hoùa ñöôïc khoâng? Caâu traû lôøi laø: ñöôïc! Thaät vaäy, chuùng ta vaãn hoaøn toaøn coù theå xeùt baøi toaùn f(x, y, z) ≥ 0 vôùi f(x, y, z) = x+ y + z − 3√xyz. Khi ñoù böôùc doàn bieán seõ laø chöùng minh f(x, y, z) ≥ f(t, t, z) vôùi t = x+y
2 hay t =
√ xy ñeàu ñöôïc. Thöïc chaát, ñieàu naøy
hoaøn toaøn deã hieåu, noù chæ laø söï töông öùng giöõa BÑT coù ñieàu kieän vaø BÑT khoâng ñieàu kieän (qua kó thuaät chuaån hoùa).
3) Chuùng toâi nghó laø caùc baïn seõ ñoàng yù raèng: neáu moät baøi toaùn ñaõ chuaån hoùa (töùc laø BÑT coù ñieàu kieän) thì noù seõ "gôïi yù" cho chuùng ta caùch doàn bieán (phaûi ñaûm baûo ñieàu kieän), tuy nhieân, ngöôïc laïi moät baøi toaùn chöa chuaån hoùa (BÑT khoâng ñieàu kieän) thì chuùng ta seõ coù nhieàu caùch ñeå doàn bieán hôn (noùi chung, ta seõ choïn caùch doàn bieán sao cho baûo toaøn ñöôïc "nhieàu" bieåu thöùc nhaát trong BÑT - ñieàu naøy cuõng töông ñöông vôùi chuaån hoùa sao cho bieåu thöùc coù daïng ñôn giaûn nhaát). Do ñoù, moät söï phoái hôïp toát giöõa kó thuaät chuaån hoùa vaø doàn bieán laø moät ñieàu caàn thieát. Tuy nhieân, khi ñaõ quen vôùi nhöõng ñieàu naøy thì caùc baïn seõ thaáy khoâng coù söï khaùc bieät ñaùng keå naøo giöõa chuùng.
Baøi toaùn 2. (BÑT Schur) Cho a, b, c ≥ 0, chöùng minh raèng:
a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ a2(b+ c) + b2(c+ a) + c2(a+ b).
Lôøi giaûi: Xeùt f(a, b, c) = a3+ b3+ c3+3abc− a2(b+ c)− b2(c+ a)− c2(a+ b). Ñaët
t = b+c 2
, ta hi voïng: f(a, b, c) ≥ f(a, t, t). Xeùt
d = f(a, b, c)− f(a, t, t) = [ b+ c− 5
4 a ] (b− c)2
Ta thaáy vôùi a, b, c laø caùc soá khoâng aâm tuøy yù thì khoâng chaéc coù d ≥ 0. Tuy nhieân, neáu giaû söû a = min{a, b, c} thì ta vaãn coù d ≥ 0. Khi ñoù ta chæ coøn phaûi
4
chöùng minh f(a, t, t) ≥ 0. Nhöng BÑT naøy töông ñöông vôùi a(a− t)2 ≥ 0 neân hieån nhieân ñuùng. Baøi toaùn chöùng minh xong.
*Nhaän xeùt: Vieäc giaû söû a = min{a, b, c} laø moät thuû thuaät raát thöôøng ñöôïc aùp duïng ñeå doàn bieán. Nhaéc laïi laø neáu BÑT 3 bieán ñoái xöùng thì ta coù theå giaû söû a ≤ b ≤ c (hoaëc a ≥ b ≥ c), coøn trong tröôøng hôïp BÑT 3 bieán hoaùn vò voøng quanh thì ta coù theå giaû söû a = min{a, b, c} (hoaëc a = max{a, b, c}).
Baøi toaùn 3. Cho a, b, c laø 3 soá thöïc döông coù tích baèng 1. Chöùng minh raèng:
1
a +
1
b +
1
c +
6
a+ b+ c ≥ 5.
Höôùng daãn: Neáu nhö 2 baøi toaùn ban ñaàu laø nhöõng baøi toaùn quen thuoäc, thì ñaây laø
moät baøi toaùn khoù. Vôùi kinh nghieäm thu ñöôïc töø baøi toaùn 1, chuùng ta coù theå nghó ngay tôùi vieäc doàn bieán theo trung bình nhaân ñeå khai thaùc giaû thieát tích ba soá baèng 1. Moät lôøi giaûi theo höôùng ñoù ñaõ ñöôïc baïn Yptsoi (Ñaøi Loan) ñöa leân treân dieãn ñaøn Mathlinks, maø sau ñaây chuùng toâi xin daãn laïi moät caùch vaén taét.
Ta chöùng minh ñöôïc f(a, b, c) ≥ f(a,√bc,√bc) neáu giaû söû a ≥ b ≥ c. Tieáp theo, ta chöùng minh raèng f(a,
√ bc, √ bc) ≥ 5, hay laø
f
( 1
x2 , x, x
) ≥ 5, vôùi x =
√ bc
BÑT naøy töông ñöông vôùi (x − 1)2(2x4 + 4x3 − 4x2 − x + 2) ≥ 0. Vì bieåu thöùc trong ngoaëc thöù hai döông vôùi x > 0 neân chöùng minh hoaøn taát. Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi a = b = c = 1.
Qua caùc ví duï treân, chuùng ta ñaõ thaáy caùch doàn bieán veà trung bình coäng vaø trung bình nhaân thaät laø höõu duïng. Tuy nhieân, caùc caùch doàn bieán laø voâ cuøng phong phuù vaø uyeån chuyeån. Ví duï sau ñaây minh hoïa cho ñieàu ñoù.
Baøi toaùn 4.(Iran 1996) Chöùng minh raèng vôùi a, b, c > 0 thì:
(ab+ bc+ ca) ( 1 (a+ b)2
+ 1
(b+ c)2 +
1
(c+ a)2
) ≥ 9
4 .
Höôùng daãn: Ñaây laø moät baøi toaùn raát khoù. Caùc baïn coù theå thaáy ñieàu ñoù qua söï kieän
5
laø daáu "=" ñaït ñöôïc ngoaøi a = b = c coøn coù a = b, c→ 0. Caùc baïn neân thöû ñeå thaáy 2 caùch doàn bieán thoâng thöôøng laø trung bình
coäng vaø trung bình nhaân ñeàu daãn ñeán nhöõng BÑT voâ cuøng phöùc taïp. Lôøi giaûi sau ñaây laáy töø yù cuûa thaày Traàn Nam Duõng, maø neáu nhìn kó baïn seõ thaáy ñöôïc moái töông quan, khoâng chæ trong tính toaùn maø trong caû tö duy, cuûa caùc kó thuaät chuaån hoùa vaø doàn bieán, maø chuùng toâi ñaõ ñeà caäp trong nhaän xeùt 3) cuûa baøi toaùn 1.
Vì BÑT laø ñoàng baäc neân ta coù theå giaû söû ab + bc + ca = 1 (*). Baây giôø ta hi voïng coù ñaùnh giaù f(a, b, c) ≥ 9
4 vôùi f(a, b, c) laø bieåu thöùc thöù hai cuûa
veá traùi BÑT caàn chöùng minh. ÔÛ ñaây t phaûi thoûa moãi lieân heä ôû (*), nghóa laø t2 + 2tc = 1.
Baèng caùch giaû söû c = min{a, b, c} ta seõ chöùng minh ñöôïc f(a, b, c) ≥ f(t, t, c). Cuoái cuøng, ta kieåm tra f(t, t, c) ≥ 9
4 . ÔÛ ñaây baïn ñoïc coù theå thay
c = 1−t 2
2t vaøo BÑT ñeå thaáy:
f(t, t, c) = (1− t2)(1 − 3t2)2
4t2(1 + t2) ≥ 0
Baøi toaùn chöùng minh xong!
*Nhaän xeùt: ÔÛ böôùc cuoái, caùc baïn cuõng coù theå khoâng chuaån hoùa nöõa maø quay laïi BÑT ñoàng baäc:
(t2 + 2tc)( 2
(t+ c)2 +
1
4t2 ) ≥ 9
4
⇔ (t2 + 2tc)(8t2 + (t+ c)2) − 9(t+ c)2t2 ≥ 0⇔ 2tc(t− c)2 ≥ 0
Cuoái cuøng chuùng ta ñeán vôùi moät ví duï maø cöïc trò khoâng ñaït taïi taâm, maëc duø BÑT laø ñoái xöùng. Caùc baïn seõ thaáy raèng, trong con ñöôøng cuûa chuùng ta phaàn quan troïng nhaát laø doàn veà hai bieán baèng nhau, coøn sau ñoù thì cöïc trò ñaït taïi taâm hay khoâng khoâng phaûi laø ñieàu maáu choát.
Baøi toaùn 5. (VMO) Cho x, y, z laø caùc soá thöïc thoûa maõn: x2 + y2 + z2 = 9. Chöùng minh raèng: 2(x+ y + z)− xyz ≤ 10. Lôøi giaûi.
Ñaët f(x, y, z) = 2(x+ y + z)− xyz. Chuùng ta hi voïng seõ coù f(x, y, z) ≥ f(x, t, t), trong ñoù t2 = (y2+ z2)/2 (*) (chuùng toâi nghó raèng baây giôø baïn ñoïc ñaõ töï lyù giaûi ñöôïc ñieàu naøy). Löu yù laø trong (*) t coù theå nhaän 2 giaù trò, ñeå
6
ñònh yù ta haõy xeùt khi t ≥ 0. Ta coù: d = f(x, y, z) − f(x, t, t) = 2(y + z − 2t) − x(yz − t2). Ta thaáy
ngay y + z − 2t ≤ 0 vaø yz − t2 ≤ 0. Do ñoù ñeå coù d ≤ 0 ta chæ caàn x ≤ 0. Töø ñoù, ta giaû söû x = min{x, y, z}. Xeùt tröôøng hôïp x ≤ 0. Khi ñoù
ta doàn bieán nhö treân vaø chæ coøn phaûi chöùng minh f(x, t, t) ≤ 10. Thay t =
√ (9− x2)/2 ta coù:
g(x) = f(x, t, t) = 2x+ 2 √ 2(9 − x2)− x(9− x2)/2
Ta coù:
g′(x) = 3x2
2 − 5
2 − 4x√
18 − 2x2 Giaûi ra ta thaáy phöông trình g′(x) = 0 chæ coù 1 nghieäm aâm laø x = −1. Hôn nöõa g′ lieân tuïc vaø g′(−2) > 0 > g(0) neân suy ra g′ ñoåi daáu töø döông sang aâm khi ñi qua ñieåm x = −1. Vaäy ∀x ≤ 0 thì g(x) ≤ g(−1) = 10 vaø ta coù ñieàu phaûi chöùng minh. Tröôøng hôïp naøy ñaúng thöùc ñaït ñöôïc taïi x = −1, y = z = 2.
Phaàn coøn laïi ta phaûi giaûi quyeát tröôøng hôïp x > 0, töùc laø 3 soá x, y, z ñeàu döông. Luùc naøy daáu BÑT laø thöïc söï vaø ta chæ caàn ñaùnh giaù ñôn giaûn chöù khoâng phaûi thoâng qua doàn bieán. Neáu x ≥ 3/4 thì
f(x, y, z) = 2(x+y+z)−xyz ≤ 2 √ 3(x2 + y2 + z2)−(3
4 )3 = 2
√ 27− 27
64 < 10
Neáu x ≤ 3/4 thì
f(x, y, z) = 2(x+y+z)−xyz ≤ 2( √ 2(y2 + z2)+3/4) ≤= 2(
√ 18+3/4) < 10
Baøi toaùn chöùng minh xong!
3. Doàn bieán baèng kó thuaät haøm soá.
Ñaây laø moät kó thuaät raát quan troïng cuûa phöông phaùp doàn bieán. Tuy nhieân chuùng toâi giôùi thieäu noù ngay sau phaàn cô baûn nhaát laø nhaèm trang bò cho caùc baïn moät kó thuaät caàn thieát tröôùc khi ñi qua caùc muïc sau. Hôn nöõa, chuùng toâi nghó raèng khi ñaõ quen vôùi noù thì caùc baïn seõ khoâng coøn phaûi phaân bieät cöïc trò ñaït taïi taâm hay taïi bieân, vaø do ñoù muïc tieáp theo seõ nheï nhaøng hôn.
7
Trong $2 chuùng ta thaáy raèng ñeå chöùng toû f(x, y, z) ≥ f(t, t, z) ta chæ vieäc xeùt hieäu d = f(x, y, z)− f(t, t, z) roài tìm caùch ñaùnh giaù sao cho d ≥ 0. Tuy nhieân, ñoù laø vì daïng BÑT quaù ñôn giaûn, phuø hôïp vôùi caùc bieán ñoåi ñaïi soá. Giaû söû ta phaûi laøm vieäc vôùi bieåu thöùc f coù daïng, chaúng haïn, nhö: f(x, y, z) = xk + yk + zk vôùi k > 0 thì caùc caùch bieán ñoåi ñaïi soá seõ trôû neân raát coàng keành vaø phöùc taïp.
Kó thuaät haøm soá duøng ñeå giaûi quyeát caùc tröôøng hôïp nhö vaäy. YÙ töôûng chính theá naøy, chaúng haïn ñeå chöùng minh f(x, y, z) ≥ f(x, t, t) vôùi t = (y+ z)/2, ta xeùt haøm: g(s) = f(x, t+ s, t− s) vôùi s ≥ 0. Sau ñoù chöùng minh g taêng vôùi s ≥ 0 (thoâng thöôøng duøng coâng cuï ñaïo haøm raát tieän lôïi), suy ra g(s) ≥ g(0), ∀s ≥ 0, vaø ta seõ thu ñöôïc ñieàu mong muoán. Moät trong nhöõng ví duï quen thuoäc vôùi caùc baïn laø doàn bieán baèng haøm loài, tuy nhieân döôùi ñaây chuùng ta seõ quan saùt kó thuaät doàn bieán trong boái caûnh toång quaùt hôn, coøn vaán ñeà veà haøm loài seõ ñöôïc trôû laïi ôû moät muïc sau trong baøi toaùn vôùi n bieán.
Chuùng toâi nhaán maïnh raèng, ñaây laø moät kó thuaät khoù, bôûi noù chöùa ñöïng nhöõng neùt raát tinh teá cuûa phöông phaùp doàn bieán. Nhöõng ví duï sau ñaây theå hieän raát roõ veû ñeïp vaø söùc maïnh cuûa phöông phaùp doàn bieán.
Baøi toaùn 1. Cho k > 0 vaø a, b, c laø caùc soá khoâng aâm vaø chæ coù toái ña 1 soá baèng 0. Chöùng minh raèng:
( a
b+ c )k + (
b
c+ a )k + (
c
a+ b )k ≥ min{2, 3
2k } (∗)
Lôøi giaûi: Taát nhieân ta chæ caàn chöùng minh BÑT khi 2 = 3
2k ⇔ k = ln3
ln2 − 1 (caùc
baïn haõy suy nghó taïi sao BÑT ñuùng cho tröôøng hôïp naøy laïi daãn ñeán BÑT ñuùng cho tröôøng hôïp toång quaùt). Chuù yù vôùi k nhö treân thì ñaúng thöùc xaûy ra taïi hai choã laø a = b = c hoaëc a = b, c = 0 (vaø caùc hoaùn vò).
Khoâng maát toång quaùt coù theå giaû söû a + b + c = 1 vaø b ≥ c ≥ a. Ñaët t = b+c
2 vaø m = b−c
2 , suy ra b = t+m, c = t−m,a = 1− 2t . Khi ñoù veá traùi
BÑT caàn chöùng minh laø:
f(m) =
( 1 − 2t 2t
)k +
( t+m
1 − t−m )k
+
( t−m
1 +m− t )k
Vì c ≥ a neân 3t− 1 ≥ m ≥ 0, vaø 1 ≥ b+ c = 2t neân 1 2 ≥ t ≥ 1
3
Ta seõ khaûo saùt f(m) treân mieàn m ∈ [0, 3t− 1] vôùi t ∈ [1 3 , 1 2 ] laø haèng soá.
8
Ta coù:
f ′(m) = k(t+m)k−1
(1 − t−m)k+1 − k(t−m)k−1
(1 +m− t)k+1
f ′(m) ≥ 0⇔ (t+m) k−1
(1− t−m)k+1 ≥ (t−m)k−1
(1 +m− t)k+1
⇔ g(m) := [ln(t−m)− ln(t+m)]− k + 1 1 − k [ln(1− t−m)− ln(1 +m− t)] ≥ 0
Tieáp tuïc khaûo saùt g, ta coù:
g′(m) = − [
1
t−m + 1
t+m
] + k + 1
1− k [
1
1 − t−m + 1
1 +m− t ] ≥ 0
⇔ −2t (t−m)(t+m) +
k + 1
1 − k . 2(1− t)
(1− t−m)(1 +m− t) ≥ 0 (1)
Ñaùnh giaù k+1 1−k ≥ 2, do vaäy ñeå chöùng minh (1) ta caàn chöùng minh
⇔ −t t2 −m2 +
2(1 − t) (1 − t)2 −m2 ≥ 0 (1)
⇔ u(m) = −t+ 4t2 − 3t3 + 3tm2 − 2m2 ≥ 0 Thaät vaäy, vì u′(m) < 0 neân u(m) ≥ u(3t− 1) = 2(3t− 1)(2t− 1)2 ≥ 0
Vaäy g(m) ñoàng bieán suy ra g(m) ≥ g(0) = 0 suy ra f ′(m) ≥ 0 suy ra f(m) ≥ f(0). Nhôù laø khi m = 0 thì b = c = t.
Cuoái cuøng, ta caàn chöùng minh h(t) := f(0) ≥ 2. Vieát laïi:
h(t) =
( 1− 2t 2t
)k + 2
( t
1 − t )k
Ta khaûo saùt h(t) treân mieàn t ∈ [0, 1 3 ]. Ta coù:
h′(t) = 2ktk−1
(1 − t)k+1 − k
2k . (1− 2t)k−1
tk+1 ≤ 0
⇔ 2k+1t2k ≤ [(1− t)(1− 2t)]k−1 (2) Trong BÑT cuoái, veá traùi laø haøm ñoàng bieán theo t vaø veá phaûi laø haøm nghòch bieán theo t, vaø löu yù laø t ≤ 1
3 neân ñeå chöùng minh (2) ta caàn:
2k+1 ( 1
3
)2k ≤ [(1− 1
3 )(1 − 2
3 )]k−1
9
Baát ñaúng thöùc naøy ñuùng, neân h(t) nghòch bieán, suy ra
h(t) ≥ h(1 3 ) = 2
Baøi toaùn ñöôïc giaûi quyeát troïn veïn!
Nhaän xeùt: Ñeå thaáy ñöôïc neùt ñeïp cuûa baøi toaùn naøy, chuùng toâi xin daãn ra moät soá tröôøng hôïp rieâng cuûa noù, baûn thaân chuùng ñaõ laø caùc baøi toaùn hay vaø ñöôïc bieát ñeán moät caùch roäng raõi.
1) Tröôøng hôïp k = 1, ta thu ñöôïc BÑT Netbit:
a
b+ c +
b
c+ a +
c
a+ b ≥ 3
2
Ñaây laø moät BÑT raát noåi tieáng. Moät caùch chöùng minh "kinh ñieån" laø:
a
b+ c +
b
c+ a +
c
a+ b + 3 =
a+ b+ c
b+ c + a+ b+ c
a+ c + a+ b+ c
a+ b
= (a+ b+ c)( 1
b+ c +
1
c+ a +
1
a+ b )
≥ (a+ b+ c) 9 (b+ c) + (c+ a) + (a+ b)
= 9
2
2) Tröôøng hôïp k = 1 2 , ta thu ñöôïc BÑT sau:√
a
b+ c +
√ b
c+ a +
√ c
a+ b ≥ 2
Ñaây cuõng laø moät baøi toaùn raát ñeïp, tröôùc ñaây ñöôïc bieát ñeán nhö moät BÑT ngöôïc chieàu vôùi BÑT Netbit. Coù moät lôøi giaûi raát ñôn gaûn, chæ duøng BÑT Cauchy: √
a
b+ c =
2a
2 √ a(b+ c)
≥ 2a a+ b+ c
3) Tröôøng hôïp k ≥ 2 3 , ta coù BÑT sau:
( a
b+ c )k + (
a
b+ c )k + (
a
b+ c )k ≥ 3
2k
10
Ñaây cuõng laø moät baøi toaùn raát ñeïp ñaõ ñöôïc bieát ñeán töø tröôùc nhö laø moät môû roäng cho BÑT Netbit (noù cuõng töøng ñöôïc ñaêng treân taïp chí THTT vôùi teân cuûa taùc giaû laø Traàn Tuaán Anh). Töø keát quaû baøi toaùn toång quaùt, ta bieát raèng 2/3 khoâng phaûi laø soá toát nhaát ñeå coù giaù trò nhoû nhaát laø 3/2k . Tuy nhieân, noù laø soá toát nhaát theo nghóa coù theå aùp duïng BÑT Cauchy theo caùch sau ñaây. Ñeå ñôn giaûn chuùng toâi trình baøy vôùi tröôøng hôïp k = 2/3.
a+ b+ c = a+ b+ c
2 + b+ c
2 ≥ 3 3 √ a( b+ c
2 )2
⇒ ( 2a b+ c
) 2 3 ≥ 3a
a+ b+ c
Cuøng vôùi baøi toaùn 1, baøi toaùn sau ñaây cuõng laø moät trong nhöõng ví duï raát ñeïp cho kó thuaät haøm soá.
Baøi toaùn 2. Cho k > 0, a, b, c ≥ 0 vaø a+ b+ c = 3. Chöùng minh raèng:
(ab)k + (bc)k + (ca)k ≤ max{3, (3 2 )k} (∗)
Lôøi giaûi:
Khoâng maát toång quaùt coù theå giaû söû b ≥ c (coøn vieäc cho a = min hay max thì tuøy theo tình huoáng, ta seõ ñieàu chænh moät caùch "hôïp lí" khi caàn thieát).
Ñaët t = b+c 2
vaø m = b−c 2
suy ra b = t+m, c = t−m . Khi ñoù veá traùi BÑT caàn chöùng minh trôû thaønh:
f(m) = ak[(t+m)k + (t−m)k] + (t2 −m2)k
Ta khaûo saùt f(m) treân mieàn m ∈ [0, t]. Ta coù: f ′(m) = kak[(t+m)k−1 − (t−m)k−1]− 2km(t2 −m2)k−1 f ′(m) ≥ 0⇔ g(m) := ak[(t−m)1−k − (t+m)1−k]− 2m ≥ 0
Taát nhieân ta chæ caàn xeùt khi k > 1 (khi k ≤ 1 thì baøi toaùn ñôn giaûn). Ta coù:
g′′(m) = akk(k − 1)[(t−m)−k−1 − (t+m)−k] > 0
11
⇒ g′(m) ñoàng bieán, do ñoù coù toái ña moät nghieäm treân (0, t). Vì g(0) = 0, g(t) = +∞ neân chæ coù hai khaû naêng:
g(m) > 0 hoaëc g(m) = − 0 + Töông öùng ta coù f(m) ñi leân hoaëc f(m) ñi xuoáng roài laïi ñi leân. Trong tröôøng hôïp naøo thì cöïc ñaïi cuõng ñaït ôû bieân do ñoù
f(m) ≤ max{f(0), f(t)} Nhaéc laïi laø m = 0⇔ b = c = t vaø m = t⇔ c = 0.
Deã thaáy khi c = 0 thì:
f(t) = 2(ab)k ≤ ( 3
2
)2k neân ta chæ coøn phaûi xeùt tröôøng hôïp coøn laïi. Ñaët:
h(t) := f(0) = 2tkak + t2k = 2tk(3− 2t)k + t2k
Ta coù: h′(t) = −4k(3− 2t)k−1tk + 2k(3 − 2t)kbk−1 + 2kb2k−1
h′(t) ≥ 0⇔−2 ( 3− 2t t
)k−1 +
( 3− 2t t
)k + 1 ≥ 0
⇔ u(x) := xk − 2xk−1 + 1 ≥ 0 vôùi x = 3− 2t t
Ta coù: u′(x) = [kx− 2(k − 1)]xk−2. Vì u′(x) coù toái ña moät nghieäm treân R+ neân u(x) coù toái ña 2 nghieäm trong R+ , trong ñoù moät nghieäm laø x = 1.
Töø ñoù, ta seõ giaû söû a = min{a, b, c}. Khi ñoù ta chæ vieäc xeùt khi t ≥ 1 vaø töông öùng seõ laø x ≤ 1. Vì u(x) chæ coù toái ña 1 nghieäm trong (0, 1) neân h′(t) chæ coù toái ña 1 nghieäm trong (1, 3
2 ).
Löu yù laø löu yù h′(1) = 0, h′(3 2 ) > 0. Do ñoù, chæ coù hai khaû naêng hoaëc h(t)
ñoàng bieán hoaëc h(t) coù daïng −0+. Trong tröôøng hôïp naøo thì h(t) cuõng ñaït max taïi hai bieân, suy ra:
h(t) ≤ max{f(1), f(3 2 )} = max{3, (3
2 )2k}
vaø baøi toaùn giaûi quyeát xong!
12
*Nhaän xeùt: ÔÛ ñaây chuùng toâi khoâng giaû thieát a = min{a, b, c} ngay töø ñaàu laø muoán nhaán maïnh raèng: vieäc doàn veà 2 bieán baèng nhau luoân thöïc hieän ñöôïc maø khoâng caàn thöù töï saép ñöôïc giöõa caùc bieán. Taän duïng ñieàu ñoù, chuùng ta coù theå laøm caùch khaùc ñeå neù vieäc khaûo saùt baøi toaùn 1 bieán.
Thaät vaäy, nhö trong chöùng minh ñaõ chæ ra, ta luoân coù BÑT sau ñaây maø khoâng caàn giaû thieát gì veà thöù töï cuûa a, b, c:
f(a, b, c) ≤ max{(3 2 )2k, f(a,
b+ c
2 , b+ c
2 )} (∗)
Töø ñoù, vôùi moãi a, b, c coá ñònh, xeùt daõy soá sau: (a0, b0, c0) = (a, b, c), vaø ∀n ∈ Z+ thì ta ñònh nghóa baèng quy naïp:
(a2n−1, b2n−1, c2n−1) = (a2n−2, b2n−2 + b2n−2
2 , b2n−2 + b2n−2
2 )
vaø: (a2n, b2n, c2n) = (
a2n−1 + b2n−1 2
, a2n−1 + b2n−1
2 , c2n−1)
thì ta coù ngay
f(a, b, c) ≤ max{(3 2 )2k, f(an, bn, cn)},∀n ∈ Z+
Deã thaáy caùc daõy {an}, {bn}, {bn} ñeàu hoäi tuï veà 1, neân chuyeån qua giôùi haïn ta coù ñieàu phaûi chöùng minh.
Kó thuaät chuyeån qua giôùi haïn nhö vaäy cuõng khaù töï nhieân. Noù coù theå toång quaùt leân thaønh 2 ñònh lyù doàn bieán toång quaùt laø SMV vaø UMV maø chuùng toâi seõ giôùi thieäu ôû phaàn sau. Cuõng söû duïng tính lieân tuïc cuûa haøm soá nhöng vôùi kó thuaät khaùc, chuùng toâi coøn ñaït ñöôïc 1 keát quaû toång quaùt hôn.
Sau khi coù (*), coøn moät caùch khaùc ñeå ñaït ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh maø chæ caàn söû duïng moät soá höõu haïn laàn thay theá. Tuy nhieân, ñeå khoûi truøng laép chuùng toâi seõ giôùi thieäu noù trong muïc BÑT 4 bieán (vaø caùc muïc sau), khi maø noù thöïc söï caàn thieát. h Coøn trong tröôøng hôïp 3 bieán, chuùng toâi seõ chæ söû duïng caùch tieáp caän ñôn giaûn nhaát (doàn veà 1 bieán roài khaûo saùt), nhaèm giöõ ñöôïc tính trong saùng cuûa tö töôûng.
Chuùng toâi hi voïng raèng, sau khi ñoïc kó hai baøi toaùn treân, thì caùc baïn coù theå söû duïng kó thuaät haøm soá ñeå doàn bieán theo caùch baát kì, chöù khoâng nhaát
13
thieát laø doàn veà trung bình coäng. Sau ñaây laø moät ví duï cho kieåu doàn bieán veà trung bình nhaân.
Baøi toaùn 3: (Phaïm Kim Huøng) a) Cho caùc soá thöïc döông a, b, c coù tích baèng 1 . Chöùng minh raèng:
(i) 81(1 + a2)(1 + b2)(1 + c2) ≤ 8(a+ b+ c)4 (ii) 64(1 + a3)(1 + b3)(1 + c3) ≤ (a+ b+ c)6
Lôøi giaûi: (i). Ñaët f(a, b, c) = 8(a+ b+ c)4 − 81(1 + a2)(1 + b2)(1 + c2). Ta coù theå giaû söû a ≥ b. Xeùt haøm soá g(t) = f(ta, b/t, c) vôùi t ∈ [√b/a, 1]. Ta coù:
g′(t) = 32(a− b t2 )(ta+
b
t + c)3 − 81(a− b
t2 )(ta+
b
t )(1 + c2)
Vì t ∈ [√b/a, 1] neân g′(t) ≥ 0 neáu: 32(d + c)3 ≥ 81d(1 + c2) vôùi d = ta+ b
t
Ta coù: 32(d+c)3 > 32d(d2+2dc+3c2) ≥ 32d(3 3√d4c2+3c2) > 81d(1+c2) (löu yù laø d2c ≥ 4)
Vaäy g′(t) ≥ 0 vôùi t ∈ [√b/a, 1]. Do ñoù: g(1) ≥ g(√b/a). Vaäy f(a, b, c) ≥ f(s, s, c) vôùi s =
√ ab. Thay s = 1/
√ c ta ñöôïc:
f(s, s, c) = f( 1√ c , 1√ c , c) = 8(
2√ c + c)4 − 81(1 + 1
c )2(1 + c2)
= (
√ c− 1 c
)2(8c5 + 16c 9 2 + 24c4 + 96c
9 2 + 87c3 + 78c
5 2+
+99c2 + 120c 3 2 − 21c + 94√c + 47)
≥ 0 (ñpcm) Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi a = b = c = 1.
(ii) Baèng caùch laøm töông töï nhö treân, baïn ñoïc coù theå töï chöùng minh BÑT naøy. ÔÛ ñaây chuùng toâi xin löu yù raèng BÑT laø thöïc söï vaø 64 laø haèng soá toát nhaát.
Ñieàu cuoái cuøng maø chuùng toâi muoán noùi vôùi baïn ñoïc, ñoù laø töø vieäc naém ñöôïc phöông phaùp ñeán vieäc vaän ñuïng ñöôïc noù moät caùch thaønh thaïo laø caû moät quaù trình. Ñieàu caàn nhaát laø caùc baïn phaûi coù yù chí ñeå thöïc hieän vaán ñeà tôùi nôi tôùi choán chöù ñöøng boû dôû nöûa chöøng, duø phaûi ñoái maët vôùi nhöõng tính
14
toaùn phöùc taïp. Roài thaønh coâng tröôùc moãi baøi toaùn seõ khieán caùc baïn töï tin hôn. Chuùng toâi daãn ra ñaây moät baøi toaùn maø coù theå lôøi giaûi cuûa noù seõ khieán nhieàu baïn "khieáp sôï", tuy nhieân chuùng toâi hi voïng caùc baïn seõ bình taâm ñeå thaáy ñöôïc veû ñeïp trong saùng cuûa noù aån ñaèng sau nhöõng kó thuaät tính toaùn laõo luyeän.
Baøi toaùn 4. Cho a, b, c ≥ 0, a + b + c = 3. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc:
ab
3 + c2 +
bc
3 + a2 +
ca
3 + b2
Lôøi giaûi: Lôøi giaûi sau ñaây cuûa anh Phan Thaønh Nam. Giaû söû a ≥ b ≥ c. Ñaët a = s + t, b = s − t thì veá traùi BÑT caàn chöùng
minh laø:
f(t) := c(s− t)
3 + (s+ t)2 +
c(s+ t)
3 + (s− t)2 + s2 − t2 3 + c2
Ta khaûo saùt f(t) treân mieàn t ∈ [0, s− c]. Ta coù:
f ′(t) = −c
3 + (s+ t)2 − 2c(s
2 − t2) (3 + (s+ t)2)2
+ c
3 + (s− t)2 + 2c(s2 − t2)
(3 + (s − t)2)2 − 2t
3 + c2
= 4cst
uv +
8cst(s2 − t2)(u+ v) u2v2
− 2t 3 + c2
< 0,∀t ∈ (0, s− c) (∗)
vôùi u = 3 + (s+ t)2, v = 3 + (s− t)2 (BÑT (*) seõ chöùng minh sau). Vaäy ∀t ∈ [0, s− c] thì:
f(t) ≤ f(0) = 2cs 3 + s2
+ s2
3 + c2 =
2s(3− 2s) 3 + s2
+ s2
3 + (3− 2s)2 =: g(s) (1)
Xeùt g(s) vôùi s ∈ [1, 3 2 ]. Ta coù:
g′(s) = 24s − 12s2
(3 + (3− 2s)2)2+ 18− 24s − 6s2
(3 + s2)2 =
108(s2 − 3s + 4)(s− 1)2(−s2 − 3s + 6) [3 + (3− 2s)2]2[3 + s2]2
Deã thaáy s2 − 3s+ 4 > 0 vaø −s2 − 3s+6 = ( √ 33−3 2
− s)(s+ √ 33+3 2
) neân g′(s) döông treân (1, s0) vaø aâm treân (s0, 32) vôùi s0 :=
√ 33−3 2
= 1, 372281323... Vaäy ∀s ∈ [1, 3
2 ] thì:
g(s) ≤ g(s0) = 11 √ 33 − 45 24
(2)
15
Trong (1) vaø (2), daáu "=" xaûy ra ñoàng thôøi taïi t = 0 vaø s = s0, töùc laø a = b = s0 vaø c = 3− 2s0.
Vaäy giaù trò lôùn nhaát caàn tìm laø 11 √ 33−45 24
= 0, 757924546..., ñaït ñöôïc khi a = b =
√ 33−3 2
= 1, 372281323... , c = 6 −√33 = 0, 255437353... Ñeå keát thuùc, ta chöùng minh BÑT (*). Ñaây laø 1 BÑT khaù chaët. Ta seõ chæ
ra vôùi t ∈ (0, s− c) thì: 4cs
uv <
1
3 + c2 (3) vaø
8cs(s2 − t2)(u+ v) u2v2
≤ 1 3 + c2
(4)
laø xong! Chöùng minh (3): Vì c + 2s = 1 vaø s > 1 neân cs < 1. Hôn nöõa u =
3 + (s+ t)2 > 4, v = 3 + (s− t)2 > 3 + c2. Töø ñoù suy ra (3). Chöùng minh (4): Duøng BÑT Cauchy ta coù:
u2v2 = [[3 + (s + t)]2[3 + (s - t)]2]2 ≥ 16(s2 − t2),vaø
2cs(u+ v)(3+ c2) = 4cs(3+ s2+ t2)(3+ c2) ≤ ( 4cs + 3 + s2 + t2 + 3 + c2
3
)3 Thay c = 3− 2s vaøo, löu yù laø t ≤ s− c = 3s− 3, ta coù: 4cs + 3 + s2 + t2 + 3 + c2 ≤ 4(3 − 2s)s+ 6 + s2 + (3s − 3)2 + (3 − 2s)2 = 12 + 6(s− 1)(s− 2) ≤ 12
suy ra 2cs(u + v)(3 + c2) < 43. Vaäy:
8cs(s2 − t2)(u+ v) u2v2
= 4. s2 − t2 u2v2
. 2cs(u+ v)(3 + c2)
3 + c2 ≤ 4. 1
44 .
43
3 + c2 =
1
3 + c2
vaø baøi toaùn giaûi quyeát xong!
4. BÑT 3 bieán vôùi cöïc trò ñaït ñöôïc taïi bieân.
Neáu nhö trong phaàn tröôùc chuùng ta coù theå hieåu "doàn bieán" laø "ñaåy hai bieán laïi gaàn nhau", thì trong tröôøng hôïp naøy ta phaûi hieåu "doàn bieán" nghóa laø "ñaåy 1 bieán ra bieân". Chaúng haïn nhö xeùt BÑT f(x, y, z) ≥ 0 vôùi x, y, z ≥ 0, ta coù theå hi voïng vaøo ñaùnh giaù f(x, y, z) ≥ f(0, s, t), trong ñoù s, t laø caùc ñaïi löôïng thích hôïp sinh ra töø caùc bieán a, b, c (ta seõ goïi ñaây
16
laø kó thuaät doàn 1 bieán ra bieân). Taát nhieân ta seõ choïn s, t sao cho hieäu d = f(x, y, z) ≥ f(0, s, t) laø ñôn giaûn vaø coù theå ñaùnh giaù thuaän lôïi. Cuoái cuøng ta chæ vieäc kieåm chöùng f(0, s, t) ≥ 0.
Tröôùc heát, ñeå caùc baïn laøm quen vôùi caùch doàn bieán "môùi meû" naøy, chuùng toâi xin trôû laïi moät ví duï ôû phaàn tröôùc.
Baøi toaùn 1: (BÑT Schur) Cho a, b, c ≥ 0. Chöùng minh raèng:
a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ a2(b+ c) + b2(c+ a) + c2(a+ b).
Lôøi giaûi: Trong $2, baøi naøy ñaõ ñöôïc giaûi baèng caùch doàn 2 bieán veà baèng nhau. Tuy
nhieân nhaän xeùt laø ngoaøi ñieåm a = b = c, ñaúng thöùc coøn ñaït taïi a = b, c = 0 (vaø caùc hoaùn vò). Do ñoù, kó thuaät doàn bieán ra bieân vaãn coù khaû naêng thaønh coâng!
Ñaët f(a, b, c) = a3 + b3 + c3 + 3abc− a2(b+ c)− b2(c+ a)− c2(a+ b). Ta hi voïng seõ coù f(a, b, c) ≥ f(0, a+ b, c). Xeùt hieäu:
d = f(a, b, c)− f(0, a+ b, c) = ab(5c− 4a− 4b)
Nhö vaäy laø ta khoâng theå coù d ≥ 0, cho duø taän duïng söï kieän laø a, b, c coù theå ñöôïc saép.
Thaät ñaùng tieác! Tuy nhieân, neáu caùc baïn döøng laïi ôû ñaây thì coøn ñaùng tieác hôn. Thay vì boû dôõ, ta haõy xem laïi vì sao khoâng theå coù d ≥ 0. Neáu tinh yù, caùc baïn coù theå thaáy laø f(a, b, c) seõ nhoû ñi khi hai bieán tieán laïi gaàn nhau (ñoù chính laø lyù do maø ta coù theå doàn veà hai bieán baèng nhau nhö trong $2), coøn ôû ñaây khi thay boä (a, b, c) bôûi (0, a+ b, c) thì "döôøng nhö" caùc bieán caøng caùch xa nhau. Ñoù chính laø lyù do caùch doàn bieán ôû treân thaát baïi.
Töø ñoù, ta naûy ra yù laø thay (a, b, c) bôûi (0, b+ a/2, c + a/2). Xeùt hieäu:
da = f(a, b, c)− f(0, b+ a/2, c+ a/2) = a(a+ b− 2c)(a+ c− 2b)
Ñieàu thuù vò laø ta coù theå giaû söû da ≥ 0. Thaät vaäy, ñieàu naøy cuõng nhôø vieäc saép thöù töï nhöng khoâng phaûi laø giöõa caùc bieán a, b, c maø laø giöõa caùc hieäu da, db, dc (trong ñoù db, dc laø hai hieäu töông töï nhö da). Vì tính ñoái xöùng neân ta coù theå giaû söû da = max{da, db, dc}. Khi ñoù neáu da < 0 thì
0 > dadbdc = abc(b+ c− 2a)2(c+ a− 2b)2(a+ b− 2c)2
17
vaø maâu thuaãn! Vaäy da ≥ 0 neân f(a, b, c) ≥ f(0, s, t) vôùi s = b+ a/2, t = c + a/2. Cuoái
cuøng, ta thaáy
f(0, s, t) = t3 + s3 − t2s− ts2 = (t+ s)(t− s)2 ≥ 0
vaø chöùng minh ñöôïc hoaøn taát.
*Nhaän xeùt: Maëc duø BÑT Schur quaù quen thuoäc, nhöng caùch chöùng minh baèng doàn bieán môùi chæ ñöôïc chuù yù gaàn ñaây. Tuy nhieân, neáu nhö caùch doàn veà hai bieán baèng nhau coù veû khaù "hôïp lyù", thì caùch doàn moät bieán ra bieân laø moät keát quaû thöïc söï baát ngôø. Taát nhieân, chöùng minh treân khoâng phaûi laø caùch ngaén goïn nhaát, nhöng ôû ñaây chuùng toâi muoán nhaán maïnh ñeán söï töï nhieân cuûa noù.
Neáu nhö trong baøi toaùn 1 vieäc aùp duïng kó thuaät doàn bieán ra bieân gaây baát ngôø, thì trong baøi toaùn sau noù laø moät con ñöôøng taát yeáu.
Baøi toaùn 2: (Hojoo Lee) Cho a, b, c ≥ 0, ab + bc + ca = 1 (*). Chöùng minh raèng:
1
a+ b +
1
b+ c +
1
c+ a ≥ 5
2
Lôøi giaûi: Baøi naøy ñaúng thöùc khoâng xaûy ra taïi taâm, maø taïi a = b = 1, c = 0 vaø caùc
hoaùn vò. Xeùt moät tröôøng hôïp rieâng khi c = 0, thì baøi toaùn trôû thaønh:
"Chöùng minh raèng: 1
a +
1
b +
1
a+ b ≥ 5
2 , vôùi ab = 1.”
Ñaët s = a+b thì ñieàu treân töông ñöông vôùi s+ 1 s ≥ 5
2 , hay (2s−1)(s−2) ≥
0. BÑT cuoái laø hieån nhieân vì s = a+ b ≥ 2√ab = 2. Vaäy baây giôø ta chæ caàn doàn moät bieán veà 0 nöõa laø xong. Caùch laøm sau
ñaây laáy töø yù cuûa anh Phaïm Kim Huøng treân Dieãn Ñaøn Toaùn Hoïc. Ñaët f(a, b, c) laø veá traùi BÑT caàn chöùng minh. Ta hi voïng f(a, b, c) ≥
f(a + b, 1 a+b
, 0) (chuù yù laø caùch laáy naøy nhaèm ñaûm baûo ñieàu kieän (∗)). Xeùt
18
hieäu:
d = f(a, b, c)− f(a+ b, 1 a+ b
, 0)
=
( 1
a+ b +
1
a+ 1−ab a+b
+ 1
b+ 1−ab a+b
) − (
1
a+ b + a+ b+
1
a+ b+ 1 a+b
) .
= 1
1 + a2 +
1
1 + b2 − 1 − 1
1 + (a+ b)2
Töø ñoù quy ñoàng leân ta thaáy d ≥ 0 neáu 2(1 − ab) ≥ ab(a+ b)2. Neáu giaû söû c = max{a, b, c} thì 2(1 − ab) = 2c(a+ b) ≥ ab(a+ b)2. Vaäy luùc naøy d ≥ 0 vaø baøi toaùn chöùng minh xong!
*Nhaän xeùt: 1) Lôøi giaûi ñaày tieân ñöôïc ñöa ra treân Dieãn Ñaøn Toaùn Hoïc laø cuûa anh Phan Thaønh Nam, moät caùch chöùng minh raát ngaén goïn. Ñaët x = a+ b+ c.
Neáu x ≥ 2 thì: 1
a+ b = c+
ab
a+ b ≥ c+ ab
a+ b+ c ⇒ f(a, b, c) ≥ x+ 1
x ≥ 5
2
Neáu x ≤ 2 thì giaû söû a = max{a, b, c} ta coù:
f(a, b, c) = (c+ ab
a+ b ) + (b+
ac
a+ c ) +
1
b+ c
= (b+ c+ 1
b+ c ) +
a(1 + bc)
ax+ bc ≥ 2 + 1
2 =
5
2
(löu yù laø 2a(1 + bc) = 2a+ 2abc ≥ ax+ bc, vì x ≤ 2 vaø 2a ≥ 1 .) Tuy nhieân, nhöõng lôøi giaûi nhö vaäy khoâng phaûi deã daøng nghó ra. Veà lôøi giaûi
baèng doàn bieán ôû treân, moät laàn nöõa chuùng toâi nhaán maïnh ñeán tính töï nhieân cuûa noù.
2) Baøi toaùn 2 laø moät baøi toaùn hay vaø thu ñöôïc söï quan taâm cuûa nhieàu baïn. Tuy nhieân, caùc baïn seõ baát ngôø khi noù chæ laø moät heä quaû ...ñôn giaûn cuûa moät BÑT quen thuoäc khaùc. Ñoù chính laø BÑT Iran 1996. Thaät vaäy, vôùi giaû thieát ab+ bc+ ca = 1 thì töø keát quaû cuûa BÑT Iran 1996 ta coù ngay:
( 1
a+ b +
1
b+ c +
1
c+ a )2
= 1
(a+ b)2 +
1
(b+ c)2 +
1
(c+ a)2 +
4(a+ b+ c)
(a+ b)(b+ c)(c+ a) ≥ 9
4 + 4 =
25
4
19
(löu yù laø a+ b+ c = (a+ b+ c)(ab+ bc+ ca) ≥ (a+ b)(b+ c)(c+ a)) Töø nhaän xeùt treân, ta nhôù laïi laø trong $2, BÑT Iran 1996 ñaõ ñöôïc giaûi baèng
kó thuaät doàn veà hai bieán baèng nhau. Töø ñoù coù hai caâu hoûi raát töï nhieân laø, thöù nhaát: baøi toaùn 2 ôû treân coù theå giaûi baèng caùch doàn hai bieán baèng nhau khoâng, thöù hai: BÑT Iran 1996 coù theå giaûi baèng caùch doàn 1 bieán ra bieân khoâng? Chuùng toâi ñeà nghò caùc baïn töï giaûi ñaùp hai caâu hoûi ñoù.
3) Baøi toaùn 2 laïi daãn ñeán keát quaû thuù vò sau ñaây, maø taùc giaû laø baïn Zhao bin (Trung Quoác) "Cho x, y, z laø caùc soá thöïc khoâng aâm vaø chæ coù toái ña 1 soá baèng 0. Chöùng minh raèng:
1
x2 + y2 +
1
y2 + z2 +
1
z2 + x2 ≥ 10
(x+ y + z)2 .”
Baèng hai baøi toaùn "cuõ" ôû treân, chuùng toâi muoán baïn ñoïc coù moät caûm giaùc deã daøng ñoái vôùi kó thuaät doàn bieán veà bieân. Tuy nhieân, trong hai baøi naøy thì kó thuaät doàn bai bieán baèng nhau vaãn phaùt huy taùc duïng, do ñoù khoâng khoûi khoù khaên trong vieäc thuyeát phuïc baïn ñoïc veà söùc maïnh cuûa kó thuaät doàn bieán ra bieân. Do ñoù, chuùng toâi daãn ra baøi toaùn sau ñaây, caùc baïn seõ thaáy kó thuaät doàn veà hai bieán baèng nhau hoaøn toaøn beá taéc, ñôn giaûn vì ñaúng thöùc ñaït ñöôïc khi ... caùc bieán ñoâi moät khaùc nhau. Ñaây cuõng laø moät trong nhöõng ví duï quan troïng nhaát cuûa kó thuaät doàn bieán ra bieân maø chuùng toâi muoán trình baøy vôùi caùc baïn.
Baøi toaùn 3: (Jackgarfukel) Cho a, b, c laø 3 soá thöïc khoâng aâm vaø coù toái ña moät soá baèng 0. Chöùng minh raèng:
a√ a+ b
+ b√ b+ c
+ c√ c+ a
≤ 5 4
√ a+ b+ c (∗)
Lôøi giaûi: Tröôùc khi taán coâng baøi naøy, ta caàn xem khi naøo tröôøng hôïp daáu baèng
xaûy ra: deã thaáy a = b = c khoâng thoûa, do ñoù moät caùch töï nhieân ta nghó ñeán tröôøng hôïp bieân: c = 0. Vôùi c = 0 thì BÑT(*) trôû thaønh
a√ a+ b
+ √ b ≤ 5
4
√ a+ b (1)
20
Chuaån hoùa a+ b = 1. Ta coù
(1)⇔ 1 − b+ √ b ≤ 5
4 ⇔ (
√ b− 1/2)2 ≥ 0 (ñuùng!)
Vaäy ñaúng thöùc xaûy ra khi a = 3b, c = 0 (vaø caùc hoaùn vò). Nhö vaäy tröôøng hôïp daáu baèng xaûy ra khi caû ba bieán rôøi nhau, do ñoù caùc
phöông phaùp doàn veà hai bieán baèng nhau xem nhö khoâng coøn taùc duïng. Do ñoù, doàn moät bieán veà bieân coù theå xem laø con ñöôøng taát yeáu.
Khoâng maát toång quaùt coù theå giaû söû a = max{a, b, c} vaø a + b + c = 1. Ñaët t = a+c
2 vaø s = a−c
2 , suy ra a = t+ s, c = t− s, b = 1 − 2t. Ta coù
(∗)⇔ t+ s√ s+ 1− t +
1 − 2t√ 1 − t− s +
t− s√ 2t ≤ 5
4 (1)
Ñaët f(s) = V T (1) vôùi s ∈ [0, t], ta seõ chöùng minh f(s) ≤ max(f(0), f(t)). Ta coù :
f ′(s) = 1√
s+ 1− t − t+ s
2(s + 1− t)3/2 + 1 − 2t
2(1 − t− s)3/2 − 1√ 2t
Vì chöa xaùc ñònh ñöôïc daáu cuûa f ′(s) neân ta ñaïo haøm tieáp
f ′′(s) = − 1 (s+ 1 − t)3/2 +
3(t+ s)
4(s+ 1 − t)5/2 + 3(1− 2t)
4(1 − t− s)5/2
f ′′′(s) = 9
4(s+ 1 − t)5/2 − 15(t+ s)
8(s+ 1 − t)7/2 + 15(1 − 2t)
8(1 − t− s)7/2
= 18 + 3s− 33t (1− t− s)7/2 +
15(1 − 2t) 8(1 − t− s)7/2 > 0, vì b = 1 − 2t ≥ 0
Vaäy f ′′′(s) > 0 vôùi moïi s ∈ [0, t] neân theo ñònh lí Rolle ruy ra f ′(s) coù toái ña ña hai nghieäm treân [0, t]. Maët khaùc deã daøng chöùng minh f ′(0) ≤ 0 vaø f ′(t) ≥ 0 do ñoù f ′(s) chæ coù theå ñoåi daáu toái ña moät laàn treân (0, t), hôn nöõa f ′(s) chæ coù theå coù moät trong caùc daïng sau: f ′(s) > 0,∀s ∈ (0, t) hoaëc f ′(s) < 0,∀s ∈ (0, t) hoaëc f ′(s) coù daïng − 0 + treân (0, t). Tuy nhieân trong tröôøng hôïp naøo thì f(s) cuõng chæ coù theå ñaït cöïc ñaïi taïi bieân.
Vaäy f(s) ≤ max(f(0), f(t)) vôùi moïi s ∈ [0, t] neân ta chæ caàn chöùng minh BÑT sau nöõa laø xong:
max(f(0), f(t)) ≤ 5/4
21
Muoán vaäy ta chöùng minh laàn löôït caùc BÑT f(0) ≤ 5/4 vaø f(t) ≤ 5/4. Vieäc chöùng minh hai BÑT naøy ñeàu raát deã daøng, neân chuùng toâi ñeà nghò baïn ñoïc töï kieåm chöùng.
Haún nhieân caùc baïn ñeàu ñoàng yù veà söï caàn thieát cuûa phöông phaùp doàn bieán ra bieân ñoái vôùi baøi toaùn 3. Tuy nhieân, coù theå nhieàu baïn seõ cho raèng: vì baøi toaùn 3 khoâng ñoái xöùng neân môùi khoâng xaûy ra tröôøng hôïp daáu "=" khi coù hai bieán baèng nhau. Ñeå phuû ñònh nhaän xeùt ñoù, chuùng toâi keát thuùc muïc naøy baèng caùch daãn ra moät baøi toaùn cuûa anh Phaïm Kim Huøng treân THTT:
Baøi toaùn 4. Cho a, b, c ≥ 0, a+ b+ c = 3. Chöùng minh raèng:
(a3 + b3 + c3)(a3b3 + b3c3 + c3a3) ≤ 36(ab+ bc+ ca)
Lôøi giaûi:
Khoâng maát toång quaùt coù theå giaû söû a ≥ b ≥ c. Ñaët
f(a, b, c) = 36(ab+ bc+ ca)− (a3 + b3 + c3)(a3b3 + b3 + c3 + c3a3)
Khi ñoù f(a, b+ c, 0) = 36a(b + c)− (a3 + (b+ c)3)a3(b+ c)3. Ta seõ chöùng minh raèng f(a, b, c) ≥ f(a, b+ c, 0). Thaät vaäy, chuù yù raèng:
36(ab+ bc+ ca) ≥ 36a(b+ c)
vaø (a3 + b3 + c3)(a3b3 + b3c3 + c3a3) ≤ [a3 + (b+ c)3]a3(b+ c)3
(vì ta coù a3 + b3 + c3 ≤ a3 + (b+ c)3 vaø a3b3 + b3c3 + c3a3 ≤ a3(b+ c)3)
Do ñoù ta chæ caàn chöùng minh baøi toaùn trong tröôøng hôïp c = 0, hay
36ab ≥ a3b3(a3 + b3)⇔ 36 ≥ a2b2(a3 + b3)
Ñaët t = ab, baát ñaúng thöùc coù theå vieát laïi döôùi daïng t2(27 − 9t) ≤ 36 ⇔ t3 + 4 ≥ 3t2. Nhöng ñaây laïi laø BÑT Cauchy cuûa ba soá t3/2, t3/2, 4. Ñaúng thöùc xaûy ra khi c = 0 vaø a + b = 3, ab = 2 hay a = 2, b = 1, c = 0 (vaø caùc hoaùn vò).
22
*Nhaän xeùt: Moät ví duï nöõa, ñôn giaûn hôn, cuûa cuøng taùc giaû treân Dieãn Ñaøn Toaùn Hoïc:
" Cho a, b, c ≥ 0, a+ b+ c = 2. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa:
(a2 − ab+ b2)(b2 − bc+ c2)(c2 − ca+ a2).”
Baøi toaùn naøy khoâng khoù vaø ñeà nghò baïn ñoïc töï giaûi quyeát.
5. BÑT 4 bieán.
Sau khi naém vöõng kó thuaät doàn bieán vôùi 3 soá thì caùc baïn coù theå ñoïc muïc naøy moät caùch nhanh choùng. Chuùng toâi chæ xin löu yù ñaëc thuø cuûa tröôøng hôïp 4 bieán: Khi coù 4 bieán thì ta coù theå doàn bieán theo töøng caëp, vaø coù theå chöùng minh ñöôïc ngay baøi toaùn (chaúng haïn nhö BÑT Cauchy). Tuy nhieân, thuaän lôïi naøy thöôøng chæ xuaát hieän trong caùc baøi toaùn khaù ñôn giaûn. Ñoái vôùi caùc baøi phöùc taïp thì thöôøng ta chæ doàn ñöôïc 1 caëp nhôø thöù töï saép ñöôïc giöõa caùc bieán. Sau khi doàn ñöôïc hai bieán baèng nhau (hoaëc doàn ñöôïc moät bieán ra bieân) thì ta chöa coù ngay BÑT vôùi 1 bieán, maø phaûi qua moät BÑT trung gian (2 hay 3 bieán). Tuy nhieân thöôøng thì caùc BÑT trung gian naøy khaù deã ñeå coù theå chöùng minh tröïc tieáp hoaëc ñaùnh giaù ñeå quy veà 1 bieán. Noùi chung, chuùng toâi nhaán maïnh ñieàu caàn thieát ôû ñaây laø caùc baïn caàn quan saùt thaät kó moái lieân heä giöõa 4 bieán ñeå coù caùch xöû lyù thích hôïp.
Chuùng ta baét ñaàu vôùi moät ví duï "kinh ñieån" cho kó thuaät doàn bieán vôùi BÑT 4 bieán.
Baøi toaùn 1. (IMO SL, Vieät Nam ñeà nghò) Cho a, b, c, d ≥ 0, a+ b+ c+d = 1. Chöùng minh raèng:
abc+ bcd+ cda+ dab ≤ 1 27
+ 176
27 abcd
Lôøi giaûi: Baøi naøy ñaúng thöùc xaûy ra khi a = b = c = d = 1/4 hoaëc a = b = c =
1/3, c = 0. Do ñoù, nhöõng ñaùnh giaù thoâng thöôøng raát deã rôi vaøo beá taéc. Ñaët f(a, b, c, d) = abc+ bcd+ cda+ dab− kabcd vôùi k = 176
27 . Ta coù:
f(a, b, c, d) = ab(c+ d − kcd) + cd(a+ b)
23
Töø ñoù, ta hi voïng coù f(a, b, c, d) ≤ f(t, t, c, d) vôùi t = a+b 2
. Vì 0 ≤ ab ≤ t2 neân ñeå coù ñieàu naøy ta caàn c+ d − kcd ≥ 0. ÔÛ ñaây raát may maén laø neáu coù ñieàu naøy coù ñieàu ngöôïc laïi, nghóa laø c+ d− kcd < 0, thì BÑT ban ñaàu hieån nhieân ñuùng vì:
f(a, b, c, d) = ab(c+d−kcd)+cd(a+b)≤ cd(a+b) ≤ (c+ d+ (a+ b) 3
)3 = 1
27
Vaäy ta coù theå giaû söû laø luoân coù f(a, b, c, d) ≤ f(a+b 2 , a+b
2 , c, d). Löu yù laø ta
ñaõ thöïc hieän ñöôïc vieäc doàn bieán nhö treân maø khoâng caàn baát cöù giaû thieát phuï naøo aùp ñaët leân 2 bieán a, b. Do ñoù nhôø tính ñoái xöùng ta coù theå doàn 2 bieán baát kì trong 4 bieán veà baèng nhau.
Töø ñoù, ñaët theâm s = c+d 2
ta coù:
f(a, b, c, d) ≤ f(t, t, c, d) ≤ f(t, t, s, s) = f(t, s, t, s) ≤ f(t+ s
2 , t+ s
2 , t, s) ≤ f(t+ s
2 , t+ s
2 , t+ s
2 , t+ s
2 ) = f(
1
4 , 1
4 , 1
4 , 1
4 ) =
1
27
vaø baøi toaùn chöùng minh xong!
*Nhaän xeùt: 1) Trong lôøi giaûi treân, thöïc chaát laø cöù moãi böôùc ta laïi phaân ra 2 tröôøng hôïp: coù moät tröôøng hôïp thì doàn bieán ñöôïc vaø moät tröôøng hôïp maø BÑT hieån nhieân ñuùng. Do ñoù, lôøi giaûi khoâng khoûi coù phaàn roái raém. Baïn ñoïc neân trình baøy laïi baèng caùch phaûn chöùng (giaû söû coù (a0, b0, c0, d0) sao cho f(a0, b0, c0, d0) > 127) seõ goïn gaøng vaø chaët cheõ hôn. Moät caùch khaùc laø goäp caû hai tröôøng hôïp laïi:
f(a, b, c, d) ≤ max{ 1 27 , f(
a+ b
2 , a+ b
2 , c, d)} (1)
2) ÔÛ ñaây coøn coù moät caùch nhìn nöõa, thoaït nhìn thì khoâng khaùc maáy yù ôû treân (thaäm chí coù veû daøi doøng hôn), tuy nhieân ñaây laø moät kó thuaät raát coù ích. YÙ töôûng naøy laáy töø anh Phan Thaønh Nam vaø anh Phaïm Kim Huøng treân Dieãn Ñaøn Mathlinks.
Nhaéc laïi laø f(a, b, c, d) = ab(c+ d − kcd) + cd(a+ b). Ñaët g(x) = ab(c+ d− kcd) + cd(a+ b) thì g laø haøm tuyeán tính, vaø ab ∈ [0, t2] (vôùi t = a+b
2 ) neân
g(ab) ≤ max{g(0), g(t2)}. Chuù yù g(0) = f(0, a + b, c, d). Vaäy ta coù:
f(a, b, c, d) ≤ max{f(0, a+ b, c, d), f(t, t, c, d)} (2)
24
Vôùi caùch vieát trong BÑT (2) ôû treân thì vieäc cöïc trò ñaït taïi taâm hoaëc taïi bieân laø raát roõ raøng. Thaät ra, trong baøi toaùn naøy ta coù ngay f(0, a + b, c, d) ≤ 1
27
vaø coù theå chuyeån (2) veà (1). Tuy nhieân, vôùi caùc baøi phöùc taïp thì daïng (2) seõ toû ra raát coù ích, ñaëc bieät laø trong kó thuaät doàn bieán toång quaùt cho n soá maø chuùng toâi seõ trình baøy ôû phaàn sau.
3) Caùc baïn haõy töï giaûi quyeát baøi toaùn töông töï sau ñaây cuûa Nguyeãn Anh Cöôøng.
"Giaû söû x, y, z, t laø caùc soá thöïc khoâng aâm thoûa maõn x + y + z + t = 4, chöùng minh raèng:
3(x2 + y2 + z2 + t2) + 4xyzt ≥ 16 ”.
Chuùng ta tieáp tuïc vôùi 1 baøi toaùn maø trong ñoù caùc kó thuaät doàn 2 bieán baèng nhau laø thöïc söï roõ raøng.
Baøi toaùn 2. (Phan Thaønh Nam) Cho a, b, c, d laø caùc soá thöïc khoâng aâm coù toång baèng 4. Chöùng minh baèng:
abc+ bcd+ cda+ dab+ (abc)2 + (bcd)2 + (cda)2 + (dab)2 ≤ 8 Lôøi giaûi:
Lôøi giaûi sau ñaây cuûa taùc giaû baøi toaùn. Ñaët f(a, b, c, d) laø V T BÑT caàn chöùng minh. Ta coù:
f( a+ b
2 , a+ b
2 , c, d)− f(a, b, c, d)
= ( a− b 2
)2(c+ d) + ( a− b 2
)2[( a+ b
2 )2 + ab](c2+ d2)− (a− b)
2
2 c2d2
≥ (a− b 2
)2(c+ d+ 4abcd− 2c2d2)
Vaäy neáu c+ d + 4abcd ≥ 2c2d2 thì f(a+b 2 , a+b
2 , c, d) ≥ f(a, b, c, d).
Ta giaû söû a ≥ b ≥ c ≥ d thì theo treân ta coù: f(x, x, c, d) ≥ f(a, b, c, d) vôùi x = a+b
2 . Töông töï, ta xeùt: f(x, x, c+d
2 , c+d
2 )− f(x, x, c, d).
Neáu 2x + 4x2cd ≥ 2x4 thì f(x, x, c+d 2 , c+d
2 ) ≥ f(x, x, c, d). Vaø ta chæ caàn
chöùng minh f(x, x, y, y) ≤ 8 vôùi x+ y = 2. Ñieàu naøy ñôn giaûn. Neáu 2x+ 4x2cd < 2x4 thì ta ñaùnh giaù tieáp: 2xcd+ 2x2c2d2 <= 2x4 neân:
f(x, x, c, d) = x2(c+d)+2xcd+2x2c2d2+x4(c2+d2) ≥ x2(c+d)+x4(c+d)2
25
vaø do x2(c + d) ≤ (4/3)3 neân f(x, x, c, d) <= (4/3)3 + (4/3)6 < 8. Baøi toaùn chöùng minh xong!
*Nhaän xeùt: 1) Veà ñieàu kieän c + d + 4abcd ≥ 2c2d2 ñeå doàn hai bieán a, b baèng nhau, ta thaáy chæ caàn ab ≥ cd laø ñuû. Ñieàu ñoù coù nghóa laø neáu giaû söû a ≥ b ≥ c ≥ d thì ta coù theå doàn hai bieán baát kì trong 3 bieán a, b, c veà baèng nhau (hôn nöõa neáu 2 bieán chöa baèng nhau thì BÑT ôû ñaây laø thöïc söï, nghóa laø sau khi doàn bieán thì haøm f seõ taêng leân moät ñaïi löôïng > 0). Lieäu ñieàu ñoù coù daãn ñeán: f(a, b, c, d) ≤ f(t, t, t, c) vôùi t = a+b+c
3 hay khoâng?
Roõ raøng, neáu giaû söû f ñaït cöïc ñaïi taïi (a, b, c, d) thì theo ñoù ta phaûi coù a = b = c. Treân Dieãn Ñaøn Mathlinks baïn Zhao Bin ñaõ coù moät lôøi giaûi vôùi yù töôûng ñoù. Tuy nhieân, vieäc toàn taïi cöïc ñaïi cuûa haøm f (vôùi 4 bieán) khoâng phaûi laø chuyeän hieån nhieân (maëc duø noù raát roõ raøng veà maëc tröïc giaùc).
Moät yù nöõa, laø baèng caùch doàn bieán lieân tieáp giöõa 3 bieán a, b, c ta coù theå duøng daõy soá ñeå chuyeån qua giôùi haïn vaø ñöa veà 3 bieán baèng nhau. Nhöng moät laàn nöõa, maëc duø roõ raøng veà maëc tröïc giaùc nhöng caùch laøm treân khoâng phuø hôïp vôùi caùch tieáp caän sô caáp.
Tuy nhieân, trong baøi toaùn 3 ngay beân döôùi ñaây chuùng toâi seõ cung caáp cho caùc baïn moät caùch laøm heát söùc thuù vò ñeå chuyeån veà 3 bieán baèng nhau trong nhöõng tröôøng hôïp nhö vaäy. 2) Noùi theâm veà baøi toaùn 2. Baøi naøy khoâng khoù vaø theo lôøi taùc giaû baøi toaùn thì noù ñöôïc ñaët ra ñeå giaûi quyeát baøi toaùn sau ñaây cuûa anh Phaïm Kim Huøng: "Chöùng minh raèng vôùi 4 soá khoâng aâm a, b, c, d coù toång baèng 4 thì:
1
5 − abc + 1
5− bcd + 1
5 − cda + 1
5− dab ≤ 1.”
baèng caùch söû duïng boå ñeà sau ñaây: "Cho 4 soá xi ≥ 0 thoûa maõn:
∑4 i=1(xi + x
2 i ) ≤ 8 vaø xi + xj ≤ 3 ,∀i 6= j. Thì:
1
5− x1 + 1
5 − x2 + 1
5− x3 + 1
5− x4 ≤ 1.”
Boå ñeà naøy raát thuù vò nhöng noù khoâng naèm trong phaïm vi doàn bieán cuûa chuùng ta. Tuy nhieân, coù moät caâu hoûi laø lieäu coù theå giaûi quyeát baøi toaùn cuûa anh Phaïm Kim Huøng baèng caùch doàn bieán hay khoâng? Ñoù laø moät vaán ñeà hay maø chuùng toâi muoán caùch baïn töï mình suy nghó.
26
Trong baøi toaùn sau, caâu a) laø cuûa anh Phaïm Kim Huøng, coøn caâu b) laø moät keát quaû maïnh maø chuùng toâi tìm ñöôïc.
Baøi toaùn 3. Cho a, b, c, d ≥ 0, a+b+c+d = 4. Ñaët Fk = (1+ak)(1+bk)(1+ ck)(1 + dk). Chöùng minh raèng: a) F4 ≥ F3 b) F2 ≥ F1. Lôøi giaûi: a) Ta seõ chöùng minh BÑT naøy baèng phaûn chöùng. Giaû söû ngöôïc laïi töùc toàn taïi boä boán soá (a, b, c, d) thoûa maõn: a, b, c, d ≥ 0, a + b + c + d = 4 vaø F4 ≤ F3 (1).
Theo BÑT Bunhacoâpski ta coù: F4.F2 ≥ F 23 , F3.F1 ≥ F 22 , F2.F0 ≥ F 21 (2). Töø (1) vaø (2) suy ra F4 < F3 < F2 < F1 < F0 = 16 (3). Töø (3) ta coù F4 < 16 suy ra max(a, b, c, d) < 2.
Ñeå daãn tôùi maâu thuaãn vôùi (3), ta seõ chöùng minh F3 ≥ F1 (4). Thaät vaäy:
(4)⇔ (1− a+ a2)(1 − b+ b2)(1− c+ c2)(1− d+ d2) ≥ 1 ⇔ (3
4 +
(2a− 1)2 4
)( 3
4 +
(2b − 1)2 4
)( 3
4 +
(2c− 1)2 4
)( 3
4 +
(2d − 1)2 4
) ≥ 1
⇔ (1 + (2a− 1) 2
3 )(1 +
(2b − 1)2 3
)(1 + (2c− 1)2
3 )(1 +
(2d− 1)2 3
) ≥ ( 4
3
)4 ⇔ (1 + x2)(1 + y2)(1 + z2)(1 + t2) ≥
[ 1 +
( x+ y + z + t
4
)2]4 (5)
(Trong ñoù x = 2a−1√ 3 , y = 2b−1√
3 , z = 2c−1√
3 , t = 2d−1√
3 )
Töø ñoù xeùt BÑT
(1 +A2)(1 +B2) ≥ [ 1 +
( A+B
2
)2]2 (6)
⇔ 1 8 (A−B)2(8−A2 − 6AB −B2) ≥ 0
Ta thaáy neáu A+B ≤ 2 thì BÑT naøy ñuùng. Khoâng maát toång quaùt coù theå giaû söû a ≤ b ≤ c ≤ d. Keát hôïp vôùi a+ b+
c + d = 4 ta deã daøng chöùng minh: x + t < 2 vaø y + z < 2. Do vaäy theo
27
BÑT(6) ta coù:
(1 + x2)(1 + t2) ≥ [ 1 +
( x+ t
2
)2]2 (7)
(1 + y2)(1 + z2) ≥ [ 1 +
( y + z
2
)2]2 (8)
nhaân (7) vaø (8) veá theo veá suy ra:
(1 + x2)(1 + t2)(1 + y2)(1 + z2) ≥ [(
1 + ( x+ t
2 )2 )(
1 + ( y + z
2 )2 )]2
(9)
Töø x + t < 2 vaø y + z < 2 suy ra: x+t 2
+ y+z 2
< 2. Do ñoù laïi aùp duïng BÑT(6) ta ñöôïc:[
1 + ( x+ t
2 )2 ] [
1 + ( y + z
2 )2 ] ≥ [ 1 +
( x+ y + z + t
4
)2]2 (10)
Töø (9) vaø (10) suy ra:
(1 + x2)(1 + y2)(1 + z2)(1 + t2) ≥ [ 1 +
( x+ y + z + t
4
)2]4 Vaäy (5) ñuùng suy ra (4) ñuùng (maâu thuaãn vôùi (3)). Ñieàu ñoù coù nghóa vieäc
giaû söû ôû (1) laø sai töùc ta coù BÑT ngöôïc laïi laø F4 ≥ F3 (ñpcm).
b) Caâu naøy maïnh hôn caâu a) do ñoù duøng "maùnh lôùi" nhö caâu a thì khoâng oån, tuy nhieân neáu " ñöôøng lôùn tieán coâng" thì khoâng gaëp vaán ñeà gì:
Ñaët f(a, b, c, d) = V T − V P ta caàn chöùng minh f(a, b, c, d) ≥ 0. Muoán vaäy, tröôùc heát ta chöùng minh meänh ñeà sau: Meänh ñeà: Neáu a+ b ≤ 2 vaø a ≥ x ≥ b thì f(a, b, c, d)− f(x, a+ b− x, c, d) ≥ 0 Thaät vaäy: f(a, b, c, d)− f(x, a+ b− x, c, d) = (a− x)(x− b) [(d+ 1)(c + 1)− (d2 + 1)(c2 + 1)(ab− x2 + ax+ bx− 2)] töø ñoù söû duïng giaû thieát deã daøng suy ra ñieàu chöùng minh.
28
Trôû laïi baøi toaùn ta coù theå giaû söû a ≤ b ≤ c ≤ d. Ñaët x = a+b+c 3
thì: Chuù yù a+ c ≤ 2 vaø c ≥ x ≥ a neân aùp duïng meänh ñeà ta coù:
f(a, b, c, d) ≥ f(a+ c− x, b, x, d) (1) Chuù yù laø x = (a+c−x)+b+x
3 neân neáu x = min{x, b, a + c − x} hoaëc x =
max{x, b, a+c−x} thì a+c−x = b = x neân f(a+c−x, b, x, d) = f(x, x, x, d) vaø baøi toaùn chæ coøn 1 bieán.
Giaû söû ngöôïc laïi, khi ñoù coù hai tröôøng hôïp: b < x < a+ c− x (2) hoaëc a+ c− x < x < b (3) Laïi söû duïng meänh ñeà cho ta: (2) :f(a+ c− x, b, x, d) ≥ f(x, a+ b+ c− 2x, x, d) = f(x, x, x, d) hoaëc (3) :f(a+ c− x, b, x, d) ≥ f(a+ b+ c− 2x, x, x, d) = f(x, x, x, d) Noùi chung trong tröôøng hôïp naøo ta cuõng coù
f(x, b, a+ c− x, d) ≥ f(x, x, x, d) (2) Töø (1) vaø (2) suy ra f(a, b, c, d) ≥ f(x, x, x, d). Ñeå giaûi quyeát baøi toaùn 1 bieán, ta thay x = x+y+z
3 = 4−d
3 vaø chöùng minh:
f( 4 − d 3
, 4− d 3
, 4− d 3
, d) ≥ 0 (4) Thaät vaäy:
(4)⇔ 1 729
(d6− 22d5 +223d4 − 1268d3 +4210d2 − 7564d+6364)(d− 1)2 ≥ 0
Baát ñaúng thöùc cuoái ñuùng neân ta coù ñieàu phaûi chöùng minh.
*Nhaän xeùt: Vieäc ñoåi bieán tröôùc khi doàn bieán cuûa caâu a) laø khaù kì laï vaø ñem laïi hieäu quaû khoâng ngôø. Kó thuaät doàn veà 3 bieán baèng nhau cuûa caâu b) laø raát maïnh, vaø hoaøn toaøn sô caáp (bôûi soá böôùc doàn bieán chæ laø höõu haïn). Kó thuaät naøy coù theå öùng duïng cöïc toát cho caùc baøi 4 bieán. Hôn theá, ôû phaàn sau noù seõ ñöôïc môû roäng ñeå giaûi quyeát baøi toaùn vôùi n bieán.
Cuoái cuøng, chuùng ta ñeán vôùi moät ví duï cho tröôøng hôïp doàn bieán ra bieân. Ñaây cuõng laø moät baøi toaùn cuûa anh Phaïm Kim Huøng.
Baøi toaùn 4. Cho a, b, c, d ≥ 0 . Chöùng minh raèng: a
b2 + c2 + d2 +
b
a2 + c2 + d2 +
c
a2 + b2 + d2 +
d
a2 + b2 + c2 ≥ 4
a+ b+ c+ d
29
Lôøi giaûi: Xeùt
f(a, b, c, d) = ∑ 4
a
b2 + c2 + d2 − 4 a+ b+ c+ d
Giaû söû a ≥ b ≥ c ≥ d. Ta coù: f(a, b, c, d)− f(a, b,
√ a2 + b2, 0)
= c
a2 + b2 + d2 +
d
a2 + b2 + c2 − 4 a+ b+ c+ d
−( √ c2 + d2
a2 + b2 − 4 a+ b+
√ a2 + b2
)
(do a2 + b2 ≥ c2 + d2 neân deã thaáy BÑT treân ñuùng)
Vaäy vaán ñeà coøn laïi laø chöùng minh f(a, b, √ c2 + d2, 0) ≥ 0. BÑT cuoái chöùng
minh khoâng khoù neân xin nhöôøng laïi cho baïn ñoïc.
*Nhaän xeùt: Caùch doàn bieán ôû treân nhaèm baûo toaøn toång a2 + b2 + c2 + d2. Taát nhieân, vieäc naøy cuõng khoâng phaûi laø ñieàu quaù quan troïng, bôûi neáu thích caùc baïn cuõng coù theå baûo toaøn a+ b+ c+ d baèng caùch chöùng minh f(a, b, c, d) ≥ f(a+b
2 + a+b
2 , c, d), sau ñoù ñaùnh giaù
f(t, t, c, d) ≥ 2t t2 + (c+ d)2
+ c+ d
( c+d 2 )2 + 2t2
− 4 2t+ c+ d
= x
x2/4 + y2 +
y
y2/4 + x2/2 − 4 x+ y
(trong ñoù x = 2t, y = c+ d)
Böôùc cuoái cuøng laø f(x, y) ≥ 0 (chöùng minh caùi naøy khoâng khoù caùc baïn coù theå giaû söû x+ y = 1 cho goïn)
Ñeán ñaây chuùng ta taïm keát thuùc phaàn doàn bieán cho BÑT "cuï theå" (coù 3 hoaëc 4 bieán) ñeå böôùc sang phaàn doàn bieán cho BÑT n bieán. Nhö chuùng ta seõ thaáy, ñaây laø moät lónh vöïc khoù hôn haún. Tuy nhieân caùc kó thuaät chính ñeàu ñaët neàn taûng thoâng qua vieäc khaûo saùt BÑT "cuï theå", maø ñaëc bieät laø nhöõng tö töôûng manh nha khi khaûo saùt BÑT 4 bieán.
30
6. Doàn bieán baèng haøm loài.
Caùc baïn thaân meán, phöông phaùp doàn bieán maø chuùng ta ñaõ tìm hieåu trong caùc muïc tröôùc khoâng phaûi laø töø treân trôøi rôi xuoáng. Thaät ra yù töôûng doàn bieán ñaõ theå hieän raát roõ ngay trong caùc BÑT coå ñieån. Do ñoù neáu xeáp theo doøng chaûy thôøi gian thì leõ ra muïc naøy phaûi ñöôïc neâu ra ngay töø ñaàu. Tuy nhieân, chuùng toâi nghó laø seõ thuù vò hôn neáu chuùng ta trôû laïi goác reã sau khi caùc baïn ñaõ caûm nhaän doàn bieán nhö laø moät phöông phaùp "hieän ñaïi".
Moät trong nhöõng coâng cuï chính ñeå doàn bieán trong caùc BÑT "daïng coå ñieån" laø haøm loài. Ñaây laø moät khaùi nieäm quen thuoäc, tuy nhieân ñeå tieän lôïi cho baïn ñoïc chuùng toâi xin nhaéc laïi.
Ñònh nghóa: Moät haøm soá f : [a, b]→ R ñöôïc goïi laø loài neáu:
f(tx+ (1− ty)) ≤ tf(x) + (1 − t)f(y),∀x, y ∈ [a, b],∀t ∈ [0, 1]
*Nhaän xeùt: 1) Neáu f khaû vi 2 laàn thì moät tieâu chuaån raát quan troïng ñeå kieåm tra tính loài laø f ′′(x) ≥ 0,∀x ∈ (a, b). 2) Neáu f loài thì f lieân tuïc. Ngöôïc laïi, neáu f lieân tuïc thì tính loài cuûa f laø töông ñöông vôùi ñieàu coù veû "yeáu hôn" laø: f(x+y
2 ) ≤ f(x)+f(y)
2 .
Caùc baïn coù theå thaáy, ñònh nghóa haøm loài ñaõ ñaùnh ngay vaøo muïc tieâu doàn bieán. Chuùng ta coù ngay keát quaû quen thuoäc sau:
Ñònh lyù: (BÑT Jensen) Cho f laø haøm soá loài [a, b]→ R. (i) Vôùi xi laø n soá thuoäc [a, b] ta coù:
f( x1 + x2 + ...+ xn
n ) ≤ f(x1) + f(x2) + ...+ f(xn)
n
(ii) Vôùi xi laø n soá thuoäc A vaø λi laø n soá khoâng aâm coù toång baèng 1 ta coù:
f(λ1x1 + λ2x2 + ...+ λnxn) ≤ λ1f(x1) + λ2f(x2) + ...+ λ1f(xn)
Nhöõng keát quaû treân laø quen thuoäc vaø chuùng toâi boû qua chöùng minh. Thay vaøo ñoù chuùng toâi daãn ra ñaây moät chöùng minh cho BÑT Cauchy baèng caùch duøng haøm loài. Nhaéc laïi:
31
Baøi toaùn 1. (BÑT Cauchy) Cho n soá thöïc döông xi. Chöùng minh raèng:
x1 + x2 + ...+ xn n
≥ n√x1x2...xn
Lôøi giaûi: Laáy logarit 2 veá, ta chuyeån veà daïng:
ln( x1 + x2 + ...+ xn
n ) ≥ ln(x1) + ln(x2) + ...+ ln(xn)
n
Haøm soá f(x) = ln(x) ñi töø R+ → R khaû vi 2 laàn vaø f ′′(x) = −x−2 < 0,∀x > 0. Do vaäy haøm g(x) = −f(x) seõ thoûa g′′(x) > 0,∀x > 0. Vaäy g loài. Töø ñoù, aùp duïng BÑT Jensen ta coù ngay ñieàu phaûi chöùng minh.
*Nhaän xeùt: Moät caùch khaùc raát thoâng duïng duøng ñeå chöùng minh BÑT Cauchy, ñoù laø chöùng minh quy naïp theo n. Caùch laøm ñoù raát hay, ñeán noãi ta coù caûm giaùc laø "caùi gì ñuùng cho n = 2 thì cuõng ñuùng cho n tuøy yù". Caùc baïn haõy quan saùt kó caùch chöùng minh ñoù, roài chöùng minh laïi BÑT Jensen, caùc baïn seõ thaáy haøm loài laø moät toång quaùt noùi leân baûn chaát cuûa vaán ñeà.
Haøm loài coù theå öùng duïng trong raát nhieàu BÑT coå ñieån, vaø nhöõng BÑT coå dieån naøy laïi giaûi quyeát ñöôïc raát nhieàu baøi toaùn khaùc. Taát nhieân, noù khoâng phaûi laø moät coâng cuï "vaïn naêng", tuy nhieân neáu bieát söû duïng kheùo leùo thì söùc maïnh cuûa noù khoâng nhoû. Chuùng toâi daãn ra ñaây moät ví duï cho thaáy chuùng ta khoâng theå aùp duïng haøm loài ñeå cho ngay keát quaû, song noù giuùp giaûi quyeát ñöôïc moät tröôøng hôïp quan troïng maø caùc tröôøng hôïp coøn laïi coù theå chöùng minh ñôn giaûn baèng caùch naøy hay caùch khaùc.
Baøi toaùn 2. Cho caùc soá thöïc x, y, z coù toång baèng 1. Chöùng minh raèng:
x
1 + x2 +
y
1 + y2 +
z
1 + z2 ≤ 9
10
Lôøi giaûi: Xeùt f(t) = t
1+t2 thì BÑT caàn chöùng minh töông ñöông:
f(x) + f(y) + f(z) ≤ 3f(x+ y + z 3
)
32
Do ñoù, neáu −f laø haøm loài thì coi nhö baøi toaùn ñöôïc giaûi quyeát. Ta coù:
−f ′′(t) = 2t(3 − t 2)
(1 + t2)3
neân −f ′′(t) ≥ 0,∀t ∈ [0,√3]. Vaäy neáu x, y, z ∈ [0,√3] thì baøi toaùn ñöôïc giaûi quyeát.
Trong tröôøng hôïp coøn laïi thì chaéc chaén ta seõ coù daáu BÑT thöïc söï. Do vaäy cöù vieäc chia thaønh nhieàu tröôøng hôïp con ñeå xeùt.
Coù theå giaû söû x ≥ y ≥ z löu yù x+ y+ z = 1 vaø x, y, z /∈ [0, 1] neân z phaûi aâm suy ra f(z) < 0 *Neáu y aâm suy ra x döông vaø f(y) < 0, ta coù f(x) + f(y) + f(z) < f(x) < 1/2 < 9/10 *Neáu y döông suy ra x döông vaø löu yù f(y), f(x) nghòch bieán treân [
√ 3,+∞]
do ñoù f(x) + f(y) + f(z) < f(x) + f(y) < f( √ 3) + f(
√ 3) < 9/10
Baøi toaùn chöùng minh xong.
*Nhaän xeùt: Taát nhieân lôøi giaûi treân chöa phaûi laø ngaén goïn so vôùi nhieàu lôøi giaûi khaùc cho baøi toaùn naøy maø chuùng toâi ñöôïc bieát. Tuy nhieân tö töôûng cuûa noù hoaøn toaøn trong saùng. ÔÛ ñaây, neáu thay vì mong muoán doàn bieán toaøn cuïc (doàn 1 laàn 3 bieán) baèng vieäc hi voïng hôïp lyù hôn laø doàn ñöôïc 2 bieán veà baèng nhau thì lôøi giaûi seõ ngaén hôn. Thaät vaäy, neáu coù 2 trong 3 bieán x, y, z thuoäc ñoaïn [0,
√ 3] thì duøng haøm loài ta doàn ñöôïc 2 bieán naøy veà baèng nhau, vaø
baøi toaùn chæ coøn 1 bieán, xem nhö giaûi quyeát xong. Trong phaàn coøn laïi thì vieäc chia tröôøng hôïp seõ ñôn giaûn hôn. Nhö vaäy, chuùng ta coù theâm moät kó thuaät ñeå doàn 2 bieán veà baèng nhau laø söû duïng haøm loài.
Maëc duø ñaây laø moät coâng cuï toát, nhöng moät ñieåm yeáu raát deã nhaän ra laø trong BÑT, caùc bieán phaûi naèm trong caùc bieåu thöùc ñoäc laäp nhau (ñeå coù theå vieát thaønh daïng f(x1) + ...+ f(xn)). Trong khi ñoù, nhöõng BÑT maø ta ñaõ gaëp phaàn lôùn khoâng coù ñieàu ñoù, vaø ta seõ phaûi laøm vieäc vôùi daïng toång quaùt hôn laø f(x1, ..., xn). Chuùng ta seõ phaûi thieát laäp caùc keát quaû veà doàn bieán cho daïng toång quaùt naøy ôû muïc sau.
Nhö ñaõ noùi ôû treân, vôùi haøm loài thì yù töôûng doàn caùc bieán veà baèng nhau theå hieän ngay töø ñònh nghóa. Tuy nhieân, ñieàu baát ngôø laø kó thuaät doàn bieán ra bieân cuõng coù theå thöïc hieän thoâng qua haøm loài. Caùc baïn coù theå thaáy ngay ñieàu ñoù qua keát quaû sau ñaây:
33
Ñònh lyù: Cho f : [a, b]→ R laø moät haøm loài. Khi ñoù: f(x) ≤ max{f(a), f(b)},∀x ∈ [a, b]
Chöùng minh: Vì f lieân tuïc neân f ñaït giaù trò lôùn nhaát taïi x0 ∈ [a, b]. Xeùt khi |x0− a| ≤
|x0 − b| (nghóa laø x0 gaàn a hôn b). Thì x1 = 2x0 − a ∈ [a, b]. Khi ñoù theo ñònh nghóa haøm loài ta coù:
f(a) + f(x1) ≥ 2f(a+ x1 2
) = 2f(x0)
suy ra f(a) = f(x0). Vôùi x0 gaàn b hôn a thì chöùng minh töông töï.
*Nhaän xeùt: Ñeå caùc baïn coù theå caûm nhaän "caùi ñuùng" cuûa ñònh lyù treân chuùng toâi seõ neâu ra moät hình aûnh khi f ′′(x) > 0,∀x ∈ (a, b). Khi ñoù, f ′ ñoàng bieán neân chæ coù toái ña 1 nghieäm treân (a, b), noùi caùch khaùc laø chæ ñoåi daáu toái ña 1 laàn. Do ñoù f seõ rôi vaøo caùc tröôøng hôïp sau ñaây: ñoàng bieán, nghòch bieán, "ñi leân roài ñi xuoáng", hoaëc "ñi xuoáng roài ñi leân". Vaø trong tröôøng hôïp naøo ta cuõng thu ñöôïc keát quaû caàn thieát. (Moät chöùng minh khaùc trong tröôøng hôïp naøy laø giaû söû f ñaït cöïc ñaïi taïi x0 ∈ (a, b) thì f ′′(x0) ≤ 0, maâu thuaãn.)
Chuùng toâi seõ daãn ra ñaây 2 baøi toaùn maø chuùng thöïc söï laø caùc baøi toaùn khoù cho duø giaûi baèng bieán ñoåi ñaïi soá hay quy naïp.
Baøi toaùn 3. Cho 0 < p < q, vaø n soá thöïc xi ∈ [p, q]. Chöùng minh raèng:
(x1 + x2 + ...+ xn)( 1
x1 +
1
x2 + ...+
1
xn ) ≤ n2 +
[ n2
4
] (p − q)2
pq
trong ñoù kí hieäu [x] laø chæ phaàn nghuyeân cuûa x
(*Ghi chuù: Ñaây laø moät baøi toång quaùt, trong ñoù tröôøng hôïp n = 5 laø baøi USAMO 77, coøn n = 3 laø ñeà thi Olympic 30− 4 naêm 2001 )
Lôøi giaûi: Töø giaû thieát xi ∈ [p, q], ta deã daøng ñoaùn raèng: GTLN seõ ñaït ñöôïc khi
xi ∈ [p.q] vôùi moïi i. Khi ñoù, g/s trong n soá xi coù k soá p vaø n− k soá q thì:
V T = (kp + (n− k)q)(k q + n − k q
) = k2 + (n− k)2 + k(n− k)(p q + q
p )
34
= n2 + k(n − k)(p − q) 2
pq = n2 +
1
4
[ n2 − (n − 2k)2] (p− q)2
pq
Vì k nguyeân neân n2−(n−2k)2 ≤ n2 (khi n chaún) vaø n2−(n−2k)2 ≤ n2−1 (khi n leû). Töø ñoù, ta thu ñöôïc BÑT ban ñaàu ñoàng thôøi chæ ra luoân tröôøng hôïp daáu baèng xaûy ra.
Ñeán ñaây, ta chôït nhaän ra: maáu choát cuûa vaán ñeà chæ laø nhaän xeùt: "GTLN seõ ñaït ñöôïc khi xi = p hoaëc xi = q vôùi moïi i". Vaø thaät baát ngôø, nhaän xeùt naøy chöùng minh raát deã.
Vôùi moïi i, ta xem veá traùi laø moät haøm theo xi, ta seõ chöùng toû: f(xi) ≤ max{f(p), f(q)} , vaø daáu baèng xaûy ra khi vaø chæ khi xi ∈ {p, q}.
Ta coù: f(x) = Ax+ B x +C . Coù theå khaûo saùt haøm ñeå ra ngay keát quaû (suy
ra luoân daáu baèng xaûy ra khi xi ∈ {p, q}). Song ôû ñaây trình baøy moät caùch sô caáp hôn. Ñeå yù:
f(xi)− f(p) = (xi − p)(A− B xip
)
f(xi)− f(q) = (xi − q)(A− B xiq
)
Töø ñoù neáu f(xi) > max{f(p), f(q)} thì roõ raøng xi /∈ {p, q} vaø:
A− B xip
> 0, A− B xiq
⇒ B xip
< A < B
xiq
maâu thuaãn p < q. Vaäy f(xi) ≤ max{f(p), f(q)}. Caàn noùi theâm veà tröôøng hôïp daáu baèng: g/s f(xi) = max{f(p), f(q)} maø
xi /∈ {p, q}. Neáu f(xi) = f(p) thì A = Bxip > Bxip , khi ñoù f(xi) − f(p) < 0 (maâu thuaãn). Töông töï, neáu f(xi) = f(q) cuõng maâu thuaãn. Vaäy f(xi) = max{f(p), f(q)} töông ñöông vôùi xi ∈ {p, q}
*Nhaän xeùt: Ta coù baøi toaùn môû roäng sau: "Cho ai ∈ [a,A], bi ∈ [b,B] vôùi 0 < a ≤ A vaø 0 < b ≤ B. Tìm giaù trò lôùn
nhaát cuûa
T = (a21 + ...+ a
2 n)(b
2 1 + ...+ b
2 n)
a1b1 + ...+ anbn .”
Nhaø toaùn hoïc Polya ñaõ cho moät chaën treân laø: 1 4
(√ AB ab
+ √
ab AB
)2 Baøi toaùn treân mang yù nghóa laø tìm chaën treân cuûa BÑT Bunhacoâpski,
35
moät ñieàu raát töï nhieân ñöôïc ñaët ra laø chaën treân cuûa BÑT Coâsi laø gì ? Neáu baïn toø moø thì haõy xem tieáp baøi toaùn sau ñaây:
Baøi toaùn 4. (Phan Thaønh Nam) Cho 0 < a < b, vaø n soá thöïc xi ∈ [p, q]. Chöùng minh raèng:
T = x1 x2
+ x2 x3
+ ...+ xn x1 ≤ n +
[n 2
] (p − q)2 pq
Lôøi giaûi: Vôùi moïi i, thay xi bôûi p hay q thì ít nhaát moät tröôøng hôïp T phaûi taêng
leân, vaø neáu T khoâng taêng thì buoät xi ∈ {p, q}.
Cho i chaïy töø 1 tôùi n, vôùi moãi i ta thay xi bôûi p hay q sao cho T taêng leân (hoaëc giöõ nguyeân neáu hai tröôøng hôïp ñeàu khoâng taêng)
Sau böôùc bieán ñoåi treân ta ñaõ coù xi ∈ [p, q] vôùi moïi i. Neáu xi = q vôùi moïi i thì T = n, khoâng phaûi GTLN, do ñoù chæ caàn xeùt khi ∃xi = p.Do hoaùn vò voøng quanh neân coù theå giaû söû x1 = p. Khi ñoù baát keå x3 = p hay q ta thay x2 bôûi q thì T vaãn khoâng giaûm. Sau khi thay x2 bôûi q ta laïi thay x3 bôûi p thì T vaãn khoâng giaûm ... Cöù nhö vaäy ta xen keõ p, q cho tôùi soá xn thì T vaãn khoâng giaûm. Sau khi thöïc hieän quaù trình nhö treân luùc naøy ta coù
T = n
2 ( p
q + q
p ) (neáu n chaün) vaø T =
n− 1 2
( p
q + q
p ) + 1 (neáu n leû)
Ta vieát laïi 2 tröôøng hôïp döôùi daïng:
T = n+ [n 2
] (p − q)2 pq
,∀n
vaø ñaây chính laø veá phaûi BÑT caàn chöùng minh. Ñaúng thöùc xaûy ra khi xi ∈ {p, q} vaø xen keõ keå töø x1 tôùi xn (khoâng keå voøng xn, x1). Baøi toaùn ñeán ñaây ñöôïc giaûi quyeát troïn veïn !
Nhö vaäy, chuùng ta coù theå thaáy yù töôûng doàn bieán ñaõ xuaát hieän raát sôùm ngay trong caùch tieáp caän coå ñieån. Chuùng ta ñaõ gaëp laïi 2 kó thuaät doàn bieán quan troïng ôû caùc muïc tröôùc laø: doàn bieán veà taâm vaø doàn bieán ra bieân. Ñaëc
36
bieät trong tröôøng hôïp cöïc trò ñaït ñöôïc taïi taâm, haøm loài coøn cho ta moät kieåu doàn bieán nöõa raát thuù vò maø chuùng ta seõ tìm hieåu ôû muïc sau. Maëc duø vôùi moät loaït caùc baøi BÑT xuaát hieän gaàn ñaây thì coù veû nhö coâng cuï coå ñieån laø khoâng ñuû (hoaëc raát khoù khaên), nhöng moät laàn nöõa, chuùng toâi nhaán maïnh taàm quan troïng cuûa nhöõng yù töôûng "coå ñieån", maø döïa vaøo ñoù chuùng ta môùi coù theå "ñöùng treân vai nhöõng ngöôøi khoång loà".
7. Doàn bieán veà giaù trò trung bình.
Cho ñeán baây giôø, trong phöông phaùp doàn bieán cuûa chuùng ta, soá laàn thöïc hieän thao taùc doàn bieán luoân laø höõu haïn, nhôø ñoù lôøi giaûi laø roõ raøng vaø hoaøn toaøn sô caáp. Ñaây laø moät ñieàu raát toát maø chuùng toâi muoán duy trì tieáp tuïc trong muïc naøy.
Tröôùc heát, chuùng toâi giôùi thieäu theâm moät caùch doàn bieán nöõa daønh cho haøm loài. Ta seõ goïi ñaây laø kó thuaät doàn bieán veà giaù trò trung bình, maø caùc baïn seõ thaáy roõ ñieàu ñoù qua keát quaû sau:
Ñònh lyù: Cho f laø haøm loài [a, b]→ R. Ta coù: f(a) + f(b) ≥ f(x) + f(a+ b− x),∀x ∈ [a, b]
Chöùng minh: Vì x ∈ [a, b] neân: x = ta+ (1 − t)b vôùi t ∈ [0, 1]. Khi ñoù: a + b − x =
(1− t)a+ tb. AÙp duïng ñònh nghóa haøm loài, ta coù: f(x) + f(a+ b− x) = f(ta+ (1− t)b) + f((1− t)a+ tb) ≤ [tf(a) + (1− t)f(b)] + [(1− t)f(a) + tf(b)] = f(a) + f(b)
ÖÙng duïng keát quaû naøy, ta coù ngay chöùng minh cho BÑT Jensen. Nhaéc laïi:
Ñònh lyù: (BÑT Jensen) Cho f laø haøm soá loài [a, b]→ R. Thì vôùi xi ∈ [a, b] laø n soá coù trung bình coäng baèng T, ta coù:
f(x1) + f(x2) + ...+ f(xn) ≥ nf(T ) Chöùng minh:
Ta cho thöïc hieän thuaät toaùn sau: *Böôùc 1: Neáu xi = T,∀i thì döøng laïi. Neáu khoâng thì qua böôùc 2.
37
*Böôùc 2: Vì khoâng coù xi = T,∀i neân phaûi coù 1 bieán lôùn hôn hôn T vaø 1 bieán nhoû hôn T, maø ta coù theå giaû söû laø x1 > T > x2. Khi ñoù thay boä (x1, x2, ..., xn) bôûi boä (T, x1 + x2 − T, ..., xn). Sau ñoù trôû laïi böôùc 1.
Nhö vaäy moãi laàn thöïc hieän böôùc 2 thì boä môùi cuõng coù trung bình coäng laø T, tuy nhieân noù laøm cho bieåu thöùc f taêng leân. Maët khaùc moãi laàn thöïc hieän böôùc 2 thì soá bieán baèng T taêng leân ít nhaát laø 1, do ñoù sau höõu haïn (coù theå laáy laø n − 1) laàn thöïc hieän böôùc 2, ta seõ phaûi döøng laïi ôû böôùc 1. Chuù yù laø trong quaù trình thay theá thì bieåu thöùc f taêng leân, do vaäy ta coù ñieàu phaûi chöùng minh.
Vaäy laø chuùng ta coù theâm moät caùch doàn bieán môùi. Sôõ dó chuùng toâi khoâng döa caùch doàn bieán naøy ra ôû caùc muïc tröôùc, laø vì noù chæ coù giaù trò khi doàn bieán veà taâm, maø khi ñoù vôùi n = 3 thì kó thuaät doàn 2 bieán veà baèng nhau ñaõ ñuû söû duïng. Tuy nhieân, kó thuaät naøy seõ phaùt huy taùc duïng khi soá bieán taêng leân, cuï theå laø vôùi tröôøng hôïp n bieán toång quaùt. Lyù do khaù ñôn giaûn: trong BÑT vôùi n bieán, cho duø ta doàn ñöôïc 2 bieán veà baèng nhau thì cuõng chöa thu ñöôïc gì ñaùng keå, vaø trong tröôøng hôïp ñoù thì sau höõu haïn laàn doàn bieán vaãn khoâng theå ñöa ñöôïc veà tröôøng hôïp 1 bieán (chöù chöa noùi laø ñöa ñöôïc veà tröôøng hôïp caùc bieán baèng nhau). Tuy nhieân, neáu söû duïng kó thuaät doàn bieán ra bieân hoaëc doàn bieán veà giaù trò trung bình thì tình hình laïi khaùc: sau moãi laàn doàn bieán thì soá löôïng bieán coù giaù trò coá ñònh taêng leân (laø giaù trò taïi bieân hoaëc giaù trò trung bình), do ñoù chæ caàn höõu haïn laàn doàn bieán ta seõ ñöa ñöôïc taát caû caùc bieán veà caùc giaù trò coá ñònh vaø baøi toaùn xem nhö giaûi quyeát xong.
Taát nhieân, khaû naêng ñeå coù theå doàn 1 bieán baát kì veà bieân hoaëc giaù trò trung bình laø khoâng cao. Tuy nhieân, caùi quan troïng laø tinh thaàn cuûa noù: doàn 1 bieán veà giaù trò coá ñònh. Baïn ñoïc coù theå thaáy yù töôûng naøy cöïc kì hieäu quaû trong tröôøng hôïp 4 bieán (xem caâu c), Baøi toaùn 3, $5). Trong muïc naøy, chuùng toâi tieáp tuïc giôùi thieäu 2 baøi toaùn khaùc, maø trong ñoù yù töôûng doàn bieán veà giaù trò trung bình ñaõ cho lôøi giaûi baát ngôø. Ñaây laø 2 baøi toaùn ñaëc saéc cuûa anh Phaïm Kim Huøng, maø vieäc giaûi quyeát chuùng ñaõ ñem laïi cho chuùng toâi nhieàu yù töôûng môùi cho phöông phaùp doàn bieán. Baøi toaùn 1. Cho n soá thöïc döông a1, a2, ..., an coù tích baèng 1 . Chöùng minh raèng vôùi k = 4(n − 1) ta luoân coù:
1
a1 +
1
a2 + ...+
1
an +
k
a1 + a1 + ...+ an ≥ n+ k
n (1)
Lôøi giaûi:
38
Vôùi n = 1, n = 2 thì baøi toaùn ñôn giaûn, neân döôùi ñaây ta xeùt khi n ≥ 3. Tröôùc heát, ta khaûo saùt caùc tröôøng hôïp coù theå doàn bieán vaø ruùt ra:
Meänh ñeà 1: Kí hieäu f(a1, a2, ..., an) laø bieåu thöùc veá traùi BÑT caàn chöùng minh. (i) Neáu a1 ≤ x ≤ a2 vaø a1a2 ≤ 1 thì
f(a1, a2, ..., an) ≥ f(x, a1a2 x
, a3, ..., an)
(ii) Neáu (1 − a1)(1− a2)[ka1a2 − ( ∑n
i=1 ai)( ∑n
i=3 ai + a1a2 + 1)] ≥ 0 thì f(a1, a2, ..., an) ≥ f(1, a1a2, a3, ..., an)
(iii) Neáu a1, a2 ≥ 1 ≥ a3 thì: f(a1, a2, ..., an) ≥ min{f(1, a1a2, a3, ..., an), f(1, a2, a1a3, a1ai, ..., an)}
Chöùng minh meänh ñeà 1: Ñeå vieát cho goïn ta ñaët A =
∑n i=3 ai.
(i) Ta coù:
f(a1, a2, ..., an)− f(x, a1a2 x
, a3, ..., an)
= 1
a1 +
1
a2 − 1 x − x a1a2
+ k
A+ a1 + a2 − k A+ x+ a1a2
x
= (x− a1)(a2 − x)[(A+ a1 + a2)(A+ x+ a1a2x )− ka1a2]
a1a2(A+ a1 + a2)(A+ x+ a1a2 x )
Theo BÑT Cauchy:
(A+ a1 + a2)(A+ x+ a1a2 x
)) ≥ n2 ≥ 4(n − 1) = k ≥ ka1a2 vaø ta coù ñpcm. (ii) Cuõng töø ñaúng thöùc ôû treân cho x = 1 ta coù:
f(a1, a2, ..., an)− f(1, a1a2, a3, ..., an) =
(1− a1)(1 − a2)[ka1a2 − (A+ a1 + a2)(A+ a1a2 + 1)] a1a2(A+ a1 + a2)(A+ a1a2 + 1
vaø ta coù ñpcm. (iii) Xeùt hai tröôøng hôïp:
39
Tröôøng hôïp 1: Neáu ka1a2 ≥ ( ∑n
i=1 ai)(( ∑n
i=3 ai+ a1a2+1)]) thì duøng (ii) ta coù f(a1, a2, ..., an) ≥ f(1, a1a2, a3, ..., an). Tröôøng hôïp 2: Neáu ka1a2 ≤ (
∑n i=1 ai)((
∑n i=3 ai+a1a2+1)]) thì vì a3 ≤ 1 ≤ a2
neân:
ka1a3 ≤ ( n∑
i=1
ai)( ∑ i 6=1,3
ai + a1a3 + 1)
(thaät vaäy: ∑ i 6=1,3 ai + a1a3 + 1
a1a3 =
∑n i=1 ai − a1 − a3 + 1
a1a3 + 1
≥ ∑n
i=1 ai − a1 − a2 + 1 a1a2
+ 1 =
∑n i=3 ai + a1a2 + 1
a1a2 )
Do ñoù, duøng (ii) ta coù: f(a1, a2, ..., ai, ..., an) ≥ f(1, a2, ..., a1ai, ..., an). Meänh ñeà 1 chöùng minh xong! Noù seõ cho pheùp ta ñöa baøi toaùn veà 1 bieán.
Meänh ñeà 2: Ta seõ luoân ñöa ñöôïc baøi toaùn veà tröôøng hôïp coù n − 1 bieán baèng nhau vaø ≤ 1. Chöùng minh meänh ñeà 2: *Böôùc 1: Ñöa veà tröôøng hôïp coù n − 1 bieán ≤ 1.
Giaû söû coøn coù nhieàu hôn 1 bieán lôùn hôn 1, maø ta coù theå giaû söû laø a1, a2. Thì söû duïng meänh ñeà 1 (iii) ta luoân coù theå thay boä (a1, ..., an) bôûi 1 boä khaùc, vaãn coù tích baèng 1, laøm cho f khoâng taêng, vaø hôn nöõa coù soá bieán baèng 1 taêng leân ít nhaát laø 1. Do ñoù sau höõu haïn laàn thay (khoâng quaù n − 1) ta seõ coù ñöôïc n− 1 bieán ≤ 1. *Böôùc 2: Ñöa n− 1 bieán ≤ 1 veà baèng nhau.
Giaû söû a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an−1 ≤ 1 laø n − 1 bieán coù trung bình nhaân laø x. Neáu n − 1 bieán naøy chöa baèng nhau thì a1 < x < an−1 vaø duøng meänh ñeà 1 (i) ta coù theå thay boä (a1, a2, ..., an−1, an) bôûi (x, a2, ...,
a1an−1 x
, an). Khi ñoù f khoân giaûm vaø soá bieán baèng x taêng leân ít nhaát laø 1. Ta cuõng löu yù laø a1an−1
x ≤ a1
x ≤ 1 (vì a1 laø soá nhoû nhaát trong n− 1 soá a1, ..., an−1 neân a1 ≤ x),
do ñoù vieäc thay theá naøy vaãn ñaûm baûo n−1 bieán ñeàu ≤ 1, ñieàu ñoù cho pheùp vieäc thay theá coù theå thöïc hieän lieân tieáp. Vaäy sau höõu haïn (khoâng quaù n−1) laàn thay theá ta seõ coù n− 1 bieán ≤ 1 ñeàu baèng nhau.
Cuoái cuøng, ta giaûi quyeát baøi toaùn 1 bieán, töùc laø chöùng minh:
f(x, x, ..., x, 1
xn−1 ) ≥ f(1, 1, ..., 1) vôùi x ≤ 1
40
Ñaët:
g(x) := f(x, x, ..., x, 1
xn−1 ) =
n− 1 x
+ xn−1 + k
(n− 1)x+ 1 xn−1
vôùi x ∈ (0, 1]. Ta coù:
g′(x) = −n− 1 x2
+ (n− 1)xn−2 − k[n− 1− n−1 xn
]
((n− 1)x+ 1 xn−1 )
2
= (n− 1)x n − 1 x2
( (n− 1)xn − 1 (n− 1)xn + 1
)2 löu yù laø k = 4(n − 1)
Ta thaáy ngay g(x) ≤ 0 vôùi x ∈ (0, 1], neân g(x) ≥ g(1) vaø ta coù ñpcm. Baøi toaùn chöùng minh xong!
*Ghi chuù: Baøi toaùn ban ñaàu cuûa anh Phaïm Kim Huøng laø vôùi k = 3n, n ≥ 4. Keát quaû ôû ñaây maïnh hôn, vaø nhö caùc baïn thaáy trong chöùng minh cho tröôøng hôïp 1 bieán thì soù k = 4(n− 1) "hôïp lyù" hôn.
Baøi toaùn 2. Cho n soá thöïc döông a1, a2, ..., an coù tích baèng 1. Chöùng minh raèng:
(1 + a21)(1 + a 2 2)...(1 + a
2 n) ≤
2n
n2n−2 (a1 + a2 + ...+ an)
2n−2
Lôøi giaûi: Vôùi n = 1, n = 2 thì ñôn giaûn neân ta chöùng minh cho n ≥ 3. Ta
thaáy baøi toaùn töông ñöông vôùi f(a1, a2, ..., an) ≥ 0 vaø cuõng töông ñöong vôùi g(a1, a2, ..., an) ≥ 0, trong ñoù:
f(a1, a2, ..., an) = k(a1 + a2 + ...+ an) 2n−2 − (1 + a21)(1 + a22)...(1 + a2n)
g(a1, a2, ..., an) = ln(k) + (2n − 2) ln(a1 + a2 + ...+ an)+ − ln(1 + a21)− ln(1 + a22)− ...− ln(1 + a2n)
(veà vieäc taïi sao phaûi xeùt caû f vaø g seõ bình luaän ôû sau) Khaûo saùt sô boä caùc tröôøng hôïp coù theå doàn bieán, ta coù:
•Meänh ñeà 1: (i) Neáu a1 ≥ 1 ≥ a2, a3 thì:
f(a1, a2, ..., an) ≥ min{f(1, a1a2, a3, ..., an), f(a1, 1, a2a3, ..., an)}
41
(ii) Neáu a1 = max{ai}ni=1 vaø a1 ≥ x ≥ a2 ≥ 1 thì:
g(a1, a2, ..., an) ≥ g(x, a1a2 x
, a3, ..., an)
Chöùng minh meänh ñeà 1: (i) Xeùt caùc hieäu
f(a1, a2, ..., an)− f(1, a1a2, a3, ..., an) = ks2n−2 − ku2n−2 + [2(1 + a21a22)− (1 + a21)(1 + a22)](1 + a23)...(1 + a2n)
(vôùi s = a1 + a2 + ...+ an, u = 1 + a1a2 + ...+ an) = k(a1 + a2 − 1− a1a2)(s2n−3 + s2n−4u+ ...+ u2n−3)+
+(1 − a21)(1− a22)(1 + a23)...(1 + a2n) = −(1− a1)(1 − a2)[k(s2n−3 + ...+ u2n−3)+
−(1 + a1)(1 + a2)(1 + a23)...(1 + a2n)]
Söû duïng laïi ñaúng thöùc ôû treân vôùi a3 ñoåi choã cho a1, ta coù:
f(a1, a2, ..., an)− f(a1, 1, a2a3, ..., an) = −(1− a2)(1− a3)[k(s2n−3 + ...+ v2n−3)+
−(1 + a2)(1 + a3)(1 + a21)(1 + a24)...(1 + a2n)] (vôùi v = 1 + a2a3 + a1 + a4 + ...+ an)
Töø 2 ñaúng thöùc ôû treân, ta thaáy: ∗ neáu k(s2n−3 + ...+ u2n−3)− (1 + a1)(1 + a2)(1 + a23)...(1 + a2n) ≥ 0 (2) Thì f(a1, a2, ..., an) ≥ f(1, a1a2, a3, ..., an) ∗ neáu k(s2n−3+...+v2n−3)−(1+a2)(1+a3)(1+a21)(1+a24)...(1+a2n) ≤ 0 (3) Thì f(a1, a2, ..., an) ≥ f(1, a1a2, a3, ..., an) Do ñoù, ta chæ caàn chöùng minh trong 2 BÑT (2) vaø (3) coù ít nhaát moät caùi ñuùng laø xong! Chaúng haïn, ta giaû söû (2) sai, vaø seõ chöùng minh (3) ñuùng. Muoán vaäy, ta chæ caàn chöùng minh: u ≥ v vaø (1+a1)(1+a23) ≤ (1+a3)(1+a21) laø xong! Ñieàu naøy coù ñöôïc töø vieäc tính toaùn ñôn giaûn:
u− v = a3 + a1a2 − a1 − a2a3 = (1 − a2)(a1 − a3) ≥ 0 (1 + a1)(1 + a
2 3)− (1 + a3)(1 + a21) = (a3 − a1)(a1a3 + a1 + a3 − 1) ≤ 0
Vaäy meänh ñeà (i) chöùng minh xong! (ii) Vôùi vieäc xuaát hieän haøm ln ta khoâng theå xeùt hieäu roài bieán ñoåi, maø thay
42
vaøo ñoù ta duøng ñaïo haøm. Xeùt:
g(t) = ln(k) + 2(n − 1) ln(ta1 + a2 t + a3 + ...+ an)+
− ln(1 + t2a21)− ln(1 + a22 t2 )− ln(1 + a23)− ...− ln(1 + a2n)
vôùi t ∈ [√a2/a1, 1]. Ta coù:
g′(t) = 2(n− 1)(a1 − a2t2 )
ta1 + a2 t + a3 + ...+ an
− 2ta 2 1 − 2a
2 2
t3
(1 + t2a21)(1 + a22 t2 )
= 2(a1 − a2 t2 )[
(n− 1) ta1+
a2 t + a3 + ...+ an
− ta1 + a2 t
(1 + t2a21)(1 + a22 t2 ) ]
Vì t ∈ [√a2/a1, 1] neân a1 − a2t ≥ 0. Do ñoù, goïi T laø thöøa soá coøn laïi, ta chæ caàn chöùng minh T ≥ 0 laø coù theå suy ra g ñoàng bieán (treân [√a2/a1, 1]).
Ñeå vieát cho goïn, ta ñaët
c =
√ (1 + t2a21)(1 +
a22 t2 ), d = ta1 +
a2 t
Ta coù:
T ≥ 0⇔ n− 1 d+ a3 + ...+ an
≥ d c2 ⇔ (n− 1)c2 ≥ d2 + d(a3 + ...+ an)
Vì c ≥ d (BÑT Bunhiacopski) neân ñeå coù BÑT treân ta chæ caàn: (n− 2)c ≥ a3 + ...+ an
Ñieàu naøy ñuùng vì c > a1a2 ≥ a1 ≥ max{a3, ..., an}. Laáy t0 = max{x, a1a2x }/a1, thì
t0 ∈ [ √ a2 a1 , 1], t0a1 = max{x, a1a2
x }, a2
t0 = min{x, a1a2
x }
Vì g ñoàng bieán treân [ √ a2/a1, 1] neân g(1) ≥ g(t0) vaø ta coù ñpcm.
Vaäy meänh ñeà (ii) chöùng minh xong! Meänh ñeà 1 chöùng minh xong!
43
Trôû laïi baøi toaùn, ta seõ noùi laø boä (a1, a2, ..., an) ñöôïc thay theá bôûi boä (b1, b2, ..., bn)) neáu f(a1, a2, ..., an) ≥ f(b1, b2, ..., bn) hoaëc g(a1, a2, ..., an) ≥ g(b1, b2, ..., bn).
Meänh ñeà 2: Luoân ñöa ñöôïc veà tröôøng hôïp coù n− 1 bieán baèng nhau ≥ 1. Chöùng minh meänh ñeà 2: *Böôùc 1: Ñöa veà tröôøng hôïp coù n − 1 bieán ≥ 1.
Giaû söû coøn coù 2 bieán a2, a3 < 1. Khi ñoù phaûi coù 1 bieán > 1, maø ta coù theå giaû söû laø a1. Söû duïng meänh ñeà 1 (i), ta coù theå thay boä (a1, a2, ..., an) bôûi boä (1, a1a2, a3, ..., an) hoaëc boä (a1, 1, a2a3, ..., an). Chuù yù laø cho duø thay bôûi boä naøo, thì soá caùc bieán baèng 1 cuõng taêng leân ít nhaát laø 1. Do ñoù, ñoäng taùc thay theá naøy seõ phaûi döøng laïi sau khoâng quaù n − 1 laàn. Khi ñoù, ta seõ coù n − 1 bieán ≥ 1. *Böôùc 2: Ta chöùng minh luoân coù theå thay n − 1 bieán ≥ 1 bôûi trung bình nhaân cuûa chuùng. Thaät vaäy, giaû söû a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an−1 ≥ 1 ≥ an vaø ñaët x = n−1√a1, a2, ..., an−1 ≥ 1. Neáu trong n − 1 bieán ñaàu tieân vaãn coøn bieán khaùc x thì a1 > x > an−1. Söû duïng meänh ñeà (ii) ta coù theå thay boä (a1, a2, ..., an−1, an) bôûi boä (x, a3, ..., a1a2x , an). Chuù yù laø
a1an−1 x
≥ an−1 ≥ 1 (vì a1 laø soá lôùn nhaát trong caùc soá {ai}n−1i=1 neân a1 ≥ x) cho neân vieäc thay theá naøy vaãn ñaûm baûo n − 1 bieán ñaàu tieân ≥ 1 (ñeå coù theå thay theá lieân tieáp). Chuù yù raèng sau khi thay theá thì soá bieán baèng x taêng leân ít nhaát laø 1. Do ñoù, sau khoâng quaù n−1 laàn thay theá thì caû n−1 bieán ñaàu tieân ñeàu baèng x.
Cuoái cuøng ta giaûi quyeát baøi toaùn 1 bieán. Xeùt haøm soá h(x) := g(x, x, ..., x, 1
xn−1 )
= ln(k) + 2(n − 1) ln((n− 1)x+ 1 xn−1
)− (n− 1) ln(1 + x2)− ln(1 + 1 x2n−2
)
vôùi x ≥ 1. Ta coù:
h′(x) = 2(n − 1) n − 1 − n−1 xn
(n− 1)x+ 1 xn−1
− 2(n − 1)x 1 + x2
− − 2(n−1) x2n−1
1 + 1 x2n−2
= 2(n − 1)
x
( (n− 1)(xn − 1) (n− 1)xn + 1 −
x2
1 + x2 +
1
1 + x2n−2
) =
2(n − 1) x
( (n− 1)(xn − 1) (n− 1)xn + 1 −
x2n − 1 (1 + x2)(1 + x2n−2)
) 44
Chuù yù laø x ≥ 1 neân ñeå coù h′(x) ≥ 0 ta chæ caàn: n− 1
(n− 1)xn + 1 ≥ xn + 1
(1 + x2)(1 + x2n−2)
Ta ñaït ñöôïc ñieàu naøy baèng ñaùnh giaù ñôn giaûn:
n− 1 (n− 1)xn + 1 ≥
1
xn + 1 ≥ x
n + 1
(1 + x2)(1 + x2n−2)
(Coù daáu ≥ thöù hai laø do BÑT Bunhiacopski ) Vaäy vôùi x ≥ 1 thì h′(x) ≥ 0 neân h(x) ñoàng bieán, suy ra h(x) ≥ h(1) = 0 vaø ta coù ñpcm. Vaäy baøi toaùn chöùng minh xong! Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi a1 = a2 = ... = an = 1 vôùi n ≥ 3 (coøn vôùi n = 1, n = 2 thì coù ñaúng thöùc).
*Nhaän xeùt: 1) Baøi toaùn naøy do anh Phaïm Kim Huøng ñaët ra döôùi daïng baøi toaùn môû vaø chöùng minh treân ñaây cuûa chuùng toâi laø chöùng minh ñaàu tieân cho noù. 2) ÔÛ ñaây vieäc xeùt ñoàng thôøi 2 haøm f, g cho pheùp ta môû roäng khaû naêng doàn bieán: khi thì xeùt f ñôn giaûn hôn, khi thì xeùt g ñôn giaûn hôn. Trong baøi toaùn 1 thì vì vaán ñeà ñôn giaûn hôn neân chæ caàn moät haøm f laø ñuû.
8. Ñònh lyù doàn bieán toång quaùt.
Caùc baïn thaân meán, noùi veà caùc ñònh lyù doàn bieán phaûi nhaéc tôùi 2 keát quaû ñaàu tieân heát söùc aán töôïng, laø ñònh lyù doàn bieán maïnh (SMV) cuûa anh Phaïm Kim Huøng vaø ñònh lyù doàn bieán khoâng xaùc ñònh (UMV) cuûa baïn Ñinh Ngoïc An. Trong ñoù, "xöông soáng" cuûa caùc ñònh lyù naøy laø boå ñeà daõy soá, moät keát quaû cho ta caûm giaùc roõ raøng theá naøo laø doàn bieán.
Trong muïc naøy, chuùng toâi seõ cung caáp cho caùc baïn moät ñònh lyù doàn bieán raát toång quaùt − ñònh lyù GMV cuûa anh Phan Thaønh Nam − vôùi moät caùch tieáp caän môùi. Coù theå trình baøy ngaén goïn baèng caùch daãn ra ñònh lyù vaø chöùng minh noù, tuy nhieân chuùng toâi khoâng laøm nhö vaäy vì muoán chia seõ vôùi caùc baïn caû con ñöôøng (trong tö duy) ñeå xaây döïng noù. Hi voïng laø sau khi xem xong, caùc baïn seõ coù caûm giaùc laø coù voâ soá ñònh lyù doàn bieán.
Chuùng ta baét ñaàu baèng moät soá ñònh nghóa trong khoâng gian Rn .
45
Ñònh nghóa 1: • Khoâng gian Rn laø taäp hôïp caùc boä thöù töï x = (x1, x2, ..., xn) vôùi xi ∈ R,∀i. • Moät daõy {xm = (x1,m, ..., xn,m)} trong Rn goïi laø hoäi tuï veà z = (z1, ..., zn) ∈ Rn neáu töøng daõy xi,m hoäi tuï veà zi khi m→∞, ∀i = 1, 2, ..., n. • Cho D ⊂ Rn . Moät haøm soá f : D → R goïi laø lieân tuïc treân D neáu: vôùi moïi daõy {xm} ⊂ D vaø vôùi moïi z ∈ D sao cho {xm} hoäi tuï veà z, thì ta ñeàu coù: f(xm) hoäi tuïveà f(z).
Ñònh nghóa 2: Cho D ⊂ Rn . Ta noùi: • D ñoùng neáu vôùi moïi daõy {xm} ⊂ D vaø vôùi moïi z ∈ Rn sao cho {xm} hoäi tuï veà z, thì ta ñeàu coù z ∈ D. • D bò chaën neáu toàn taïi soá thöïc M sao cho: ∀x = (x1, ..., xn) ∈ D}, thì |xi| ≤M,∀i = 1, 2, ..., n.
Ví duï nhö moät taäp hôïp höõu haïn thì ñoùng vaø bò chaën. Xuaát phaùt ñieåm cuûa chuùng ta laø keát quaû tuyeät ñeïp sau ñaây:
Ñònh lyù 1: Cho D ñoùng vaø bò chaën trong Rn , vaø f : D → R lieân tuïc. Thì f ñaït giaù trò nhoû nhaát treân D, nghóa laø toàn taïi x0 ∈ D sao cho: f(x0) ≤ f(x),∀x ∈ R.
Ñaây laø moät keát quaû cô baûn vaø coù trong chöông trình phoå thoâng ôû caùc nöôùc, tuy nhieân ôû nöôùc ta thì noù ñöôïc xem laø thuoäc "Toaùn cao caáp". Tuy nhieân, ñeå tieän lôïi cho baïn ñoïc chuùng toâi daãn ra ñaây moät chöùng minh maø caùc baïn hoaøn toaøn coù theå hieåu ñöôïc vôùi kieán thöùc phoå thoâng.
Chuùng toâi nhaéc laïi moät keát quaû coù trong SGK: " moïi daõy soá thöïc ñôn ñieäu vaø bò chaën thì hoäi tuï". "Tieân ñeà" naøy seõ ñöôïc söû duïng ñeå chöùng minh moät keát quaû veà daõy con.
Ñònh nghóa 2: Cho 1 daõy soá {am}∞m=1 (trong R hoaëc trong Rn). Moät daõy {amk}∞k=1 ñöôïc goïi laø moät daõy con cuûa daõy {am}∞m=1 neáu {mk}∞k=1 laø moät daõy taêng ngaët caùc soá nguyeân döông.
*Ví duï: {a2m}∞m=1 laø moät daõy con cuûa daõy {am}∞m=1. Döôùi ñaây caùc caän cuûa chæ soá seõ ñöôïc boû qua neáu khoâng gaây hieåu laàm.
Boå ñeà 1: (Weierstrass) Moãi daõy am bò chaën trong R thì coù 1 daõy con hoäi tuï. Chöùng minh:
Ta chöùng minh coù moät daõy con ñôn ñieäu laø xong. Xeùt taäp T := {m ∈ Z+|∃m′ > m sao cho am′ ≥ am}. Neáu T höõu haïn thì
46
daõy {am} seõ giaûm keå töø 1 chæ soá naøo ñoù. Neáu T voâ haïn thì ta seõ trích ñöôïc 1 daõy con taêng. Trong caû hai tröôøng hôïp thì ta luoân coù 1 daõy con ñôn ñieäu.
Boå ñeà 2: (Weierstrass) Moãi daõy am bò chaën trong Rn thì coù 1 daõy con hoäi tuï. Chöùng minh:
Xeùt {am = (x1,m, ..., xn,m)} laø moät daõy bò chaën trong Rn . Khi ñoù daõy {x1,m} bò chaën trong R neân coù 1 daõy con {x1,mk1} hoäi tuï. Daõy {x2,mk1} cuõng bò chaën trong R neân coù 1 daõy con {x2,mk2} hoäi tuï. Baèng caùch laáy "daõy con cuûa daõy con" lieân tieáp nhö vaäy, cuoái cuøng ta thu ñöôïc daõy con {amk = (x1,mk , ..., xn,mk} maø ∀i = 1, 2, ..., n, ta coù daõy {xi,mk} hoäi tuï trong R. Ñieàu ñoù cuõng coù nghóa laø daõy {amk} hoäi tuï trong Rn .
Boå ñeà 3: (Tính ñaày ñuû cuûa R) Cho A laø 1 taäp bò chaën trong R. Thì toàn taïi M ∈ R sao cho: M ≤ A (nghóa laø M ≤ a,∀a ∈ A) vaø coù 1 daõy {ak} trong A hoäi tuï veà M. Ta seõ kí hieäu M = infA. Chöùng minh:
Ta chöùng minh raèng ∀ε > 0, ∃a ∈ A, a − ε ≤ A. Giaû söû ngöôïc laïi. Khi ñoù laáy x1 ∈ A tuøy yù, baèng quy naïp ta xaây döïng ñöôïc daõy {xm} trong A sao cho xm+1 ≤ xm − ε, ∀m ∈ Z+ . Khi ñoù ta coù: xm ≤ x1 − (m− 1)ε, ∀m ∈ Z+ vaø ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi A bò chaän döôùi.
Nhö vaäy, ∀m ∈ Z+ , toàn taïi am ∈ A sao cho am− 1m ≤ A. Vì daõy {am} bò chaën neân coù daõy con {amk} hoäi tuï veà M trong R. Ta chöùng minh M ≤ A nöõa laø xong. Thaät vaäy, laáy a ∈ A baát kì thì amk − 1mk ≤ a, ∀k ∈ Z+, neân cho k→∞ suy ra M ≤ a.
Chöùng minh ñònh lyù 1: Xeùt A = f(D). Ta chöùng minh A coù phaàn töû nhoû nhaát.
Ta seõ chæ ra A coù tính chaát sau: neáu daõy {am} chöùa trong A vaø am → α thì α ∈ A. Thaät vaäy, theo ñònh nghóa ta coù xm ∈ D sao cho f(xm) = am → α. Vì daõy {xm} bò chaën (chöùa trong D) neân coù daõy con {xmk} hoäi tuï veà c trong Rn . Vì D ñoùng neân c ∈ D. Vì f(xm) → α neân Vì f(xmk ) → α. Maët khaùc, vì {xmk} → c vaø f lieân tuïc neân f(xmk) → f(c). Vì giôùi haïn laø duy nhaát neân f(c) = α.
Baây giôø, ta thaáy A bò chaën döôùi (vì töø laäp luaän treân vôùi α = −∞ ta seõ gaëp maâu thuaãn). Do ñoù toàn taïi M = infA. Do ñònh nghóa inf vaø tính chaát cuûa A vöøa chæ ra ôû treân, suy ra M ∈ A. Vaäy A coù phaàn töû nhoû nhaát laø M. Ñònh lyù chöùng minh xong!
47
Ñònh lyù 1 laø moät môû roäng cuûa moät keát quaû quen thuoäc coù trong SGK: "Cho [a, b] laø 1 khoaûng ñoùng trong R vaø f : [a, b]→ R lieân tuïc, thì f coù giaù trò nhoû nhaát treân [a, b]". Do ñoù, veà maët tröïc giaùc thì ñònh lyù 1 khaù roõ raøng. Tuy nhieân, coù theå caùc baïn seõ khoù hình dung laø ñònh lyù naøy thì lieân quan gì ñeán vaán ñeà doàn bieán? Heä quaû sau ñaây cuûa ñònh lyù 1 seõ laø "chìa khoùa" cho caùc ñònh lyù doàn bieán cuûa chuùng ta. Löu yù raèng taát caû caùc keát quaû trong muïc naøy khoâng caàn ñieàu kieän f ñoái xöùng.
Ñònh lyù 2: Cho: • D laø 1 taäp ñoùng, bò chaän trong Rn , vaø Λ laø 1 taäp con ñoùng cuûa D. • T : D → D laø moät pheùp bieán ñoåi baát kì. • f : D → R laø moät haøm soá lieân tuïc thoûa maõn f(x) > f(T (x)),∀x ∈ D\Λ.
Thì ta coù GTNN cuûa f ñaït ñöôïc treân Λ, nghóa laø:
f(x) > min y∈Λ
{f(y)},∀x ∈ D\Λ.
Chöùng minh: Do ñònh lyù 1, toàn taïi x0 ∈ D sao cho f(x0) ≤ f(x),∀x ∈ D. Neáu x0
khoâng thuoäc Λ thì f(x0) > f(T (x0)), maâu thuaãn. Vaäy x0 ∈ Λ vaø ta coù ñieàu phaûi chöùng minh. *Ghi chuù: Ta thaáy pheùp bieán ñoåi T : D → D nhöng thöïc ra trong ñònh lyù treân chæ ñoøi hoûi tính chaát cuûa T treân D\Λ. Do ñoù vôùi x ∈ Λ thì T (x) coù theå laáy giaù trò tuøy yù vaø ta coù theå xem nhö T (x) = x. Quy öôùc naøy seõ ñöôïc söû duïng trong phaàn coøn laïi, nghóa laø T (x) = x,∀x ∈ Λ vaø ta chæ quan taâm giaù trò cuûa T treân D\Λ.
Ñaây laø moät heä quaû quaù ñôn giaûn phaûi khoâng caùc baïn, tuy nhieân yù töôûng doàn bieán cuûa noù ñaõ loä roõ. Ñeå minh hoïa, chuùng toâi daãn ra ñaây moät chöùng minh cho BÑT Cauchy. Baøi toaùn 1: (BÑT Cauchy) Cho n soá thöïc khoâng aâm x1, ..., xn. Chöùng minh raèng:
x1 + ...+ xn ≥ n n√x1...xn Chöùng minh:
Baèng caùch chuaån hoùa, ta coù theå giaû söû x1...xn = 1 vaø chöùng minh x1 + ...+ xn ≥ n. Taát nhieân ta chæ caàn xeùt khi xi ≤ n,∀i.
Xeùt: D = {x = (x1, ..., xn)|xi ∈ [0, n], x1...xn = 1} thì deã thaáy D ñoùng vaø bò chaën. Xeùt Λ = {x0 = (1, 1, 1, ..., 1)}.
Xeùt f : D → R lieân tuïc nhö sau: vôùi moãi x = (x1, ..., xn) ∈ D
48
thì f(x) = x1 + ... + xn. Xeùt T : D\Λ → D nhö sau: Vôùi moãi x = (x1, ..., xn) ∈ D\Λ, thì toàn taïi xi 6= xj vaø ta ñaët T (x) laø boä thu ñöôïc töø x sau khi thay xi vaø xj bôûi trung bình nhaân cuûa chuùng, khi ñoù deã thaáy f(x)− f(T (x)) = (√xi −√xj)2 > 0.
Vaäy ta coù theå aùp duïng ñònh lí 2 ñeå suy ra f(x) ≥ f(x0),∀x ∈ D, hôn nöõa daáu ” = ” chæ xaûy ra khi x = x0.
Trong nhieàu tröôøng hôïp, coù theå haøm f seõ khoâng ñuû toát vaø ta seõ chæ coù coù ñieàu kieän f(x) ≥ f(T (x)). Taát nhieân khi ñoù ta khoâng theå aùp duïng ñònh lyù 1. Moät ñoøi hoûi hôïp lyù laø pheùp bieán ñoåi T phaûi ñuû toát ñeå buø laïi (nhôù laø pheùp bieán ñoåi T laø do ta choïn). Ñieàu naøy ñöa ñeán:
Ñònh lyù 3: Cho: • D laø 1 taäp ñoùng, bò chaän trong Rn , vaø Λ laø 1 taäp con ñoùng cuûa D. • T : D → D laø 1 pheùp bieán ñoåi sao cho toàn taïi moät haøm soá h lieân tuïc D → R thoûa maõn: h(T (x)) < h(x),∀x ∈ D\Λ. • f : D → R laø moät haøm soá lieân tuïc thoûa maõn f(x) ≥ f(T (x))∀x ∈ D.
Thì ta coù GTNN cuûa f treân D cuõng laø GTNN cuûa f treân Λ, nghóa laø:
f(x) ≥ min y∈Λ
{f(y)},∀x ∈ D.
Maëc duø laø tröôøng hôïp rieâng cuûa moät ñònh lyù toång quaùt hôn ôû cuoái baøi, nhöng vì taàm quan troïng cuûa ñònh lyù naøy neân chuùng toâi vaãn daãn ra ñaây moät chöùng minh cho noù. Chöùng minh:
Laáy y0 ∈ Λ sao cho f(y0) = min y∈Λ
{f(y)}. Giaû söû phaûn chöùng raèng toàn taïi z ∈ D sao cho f(z) < f(y0). Taát nhieân ta coù theå giaû söû h(x) ≥ 0,∀x ∈ D (neáu khoâng chæ vieäc thay h bôûi h′ = h−M , vôùi M laø GTNN cuûa h treân D). Choïn ε > 0 ñuû nhoû ta coù: f(z) + εh(z) < f(y0). Ñaët g(x) := f(x) + εh(x), ∀x ∈ D. Thì g : D → R lieân tuïc, g(x) > g(T (x))∀x ∈ D\Λ vaø g(z) < f(y0) ≤ min
y∈Λ {g(y)}. Ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi ñònh lyù 2.
Sau ñaây laø moät heä quaû aán töôïng cuûa ñònh lyù 3. Heä quaû 1: (SMV-Strongly Mixing Variables) Cho: • D ∈ Rn , D = {x = (x1, ..., xn)|xi ≥ α,
∑ xi = ns = const} vaø s0 :=
(s, s, ..., s) ∈ D. • Pheùp bieán ñoåi T : D → D nhö sau: vôùi moãi phaàn töû a = (a1, .., an) ∈ D, a 6= s0, ta choïn ra 2 chæ soá i 6= j naøo ñoù (tuøy theo haøm f beân döôùi) sao cho
49
ai 6= aj , roài thay ai, aj bôùi trung bình coäng cuûa chuùng. • f : D → R laø haøm soá lieân tuïc thoûa maõn: f(a) ≥ f(T (a)),∀a ∈ D.
Khi ñoù: f(a) ≥ f(s0),∀a ∈ D. Chöùng minh: Vôùi pheùp bieán ñoåi T nhö vaäy, ta choïn h(x) =
∑n i=1 x
2 i ,∀x =
(x1, ..., xn) ∈ D. AÙp duïng ñònh lyù 3 (ôû ñaây Λ = {s0}). *Nhaän xeùt: Thoâng thöôøng, trong aùp duïng ta seõ laáy ai, aj laø min vaø max cuûa {a1, ..., an}. Khi ñoù, coù theå chöùng minh töø 1 phaàn töû baát kì cuûa D, sau voâ haïn laàn laëp T seõ thu ñöôïc (s, s, ..., s), vaø söû duïng tính lieân tuïc cuûa f ta cuõng thu ñöôïc keát luaän.
Rieâng trong tröôøng hôïp naøy (min vaø max) thì khoâng nhaát thieát thay ai, aj bôûi trung bình coäng maø coù theå toång quaùt hôn: Heä quaû 2: Cho: • D ∈ Rn ñoùng vaø bò chaën. Goïi Λ laø taäp hôïp caùc phaàn töû trong D coù daïng (s, s, ..., s), vaø giaû söû Λ khaùc roãng. • Pheùp bieán ñoåi T : D → D nhö sau: vôùi moãi phaàn töû a = (a1, .., an) ∈ D\Λ, ta choïn ra 2 chæ soá i 6= j sao cho ai, aj laø min vaø max cuûa {a1, ..., an}, sau ñoù thay ai, aj bôûi α, β ∈ (ai, aj). • f : D → R laø haøm soá lieân tuïc thoûa maõn: f(a) ≥ f(T (a)), ∀a ∈ D.
Khi ñoù: f(x) ≥ min
y∈Λ {f(y)},∀x ∈ D.
Chöùng minh: Moät caùch töï nhieân, ta hi voïng vaøo haøm
h(a) = max{a1, ..., an} −min{a1, ..., an},∀a = (a1, ..., an) ∈ D Tuy nhieân, ta khoâng coù ngay h(a) > h(T (a)), ∀a ∈ D\Λ. Ñoù laø vì trong n soá a1, ..., an coù theå coù nhieàu soá baèng nhau vaø baèng max hay min cuûa {a1, ..., an}. Nhöng ta chæ vieäc thay T bôûi T ∗ = T n (T k nghóa laø laëp laïi T vôùi k laàn) thì h(a) > h(T ∗(a)),∀a ∈ D\Λ vaø ta coù theå aùp duïng ñònh lyù 3.
Tuy nhieân, ñoâi khi chæ 1 pheùp bieán ñoåi T seõ khoâng ñuû, ví duï nhö khi ta chöa bieát chính xaùc laø doàn bieán veà bieân hay veà taâm. Do ñoù, ñònh lyù 3 ñöôïc môû roäng thaønh ñònh lyù doàn bieán toång quaùt sau ñaây.
Ñònh lyù 4: (GMV − General Mixing Variables) Cho: • D laø 1 taäp ñoùng, bò chaän trong Rn , vaø Λ laø 1 taäp con ñoùng cuûa D. • Tj : D → D laø caùc pheùp bieán ñoåi sao cho toàn taïi caùc haøm soá hj lieân tuïc D → R thoûa maõn: h(Tj(x)) < hj(x),∀x ∈ D\Λ, ∀j ∈ {1, ..., k}.
50
• f : D → R lieân tuïc thoûa maõn f(x) ≥ min j∈{1,...,k}
{f(Tj(x))},∀x ∈ D. Thì f(x) ≥ min
y∈Λ {f(y)},∀x ∈ D.
Ta söû duïng laïi chöùng minh cuûa ñònh lyù 3 cuøng vôùi 1 caûi tieán nhoû. Chöùng minh:
Laáy y0 ∈ Λ sao cho f(y0) = min y∈Λ
{f(y)}. Giaû söû phaûn chöùng raèng toàn taïi z ∈ D sao cho f(z) < f(y0). Taát nhieân ta coù theå giaû söû hj(x) ≥ 0,∀x ∈ D,∀j = 1, ..., k. Choïn ε > 0 ñuû nhoû ta coù: f(z)+εhj(z) < f(y0),∀j = 1, ..., k. Ñaët gj(x) := f(x) + εhj(x), ∀x ∈ D,∀j = 1, ..., k.
Ñaët g(x) = min{g1(x), ..., gk(x)},∀x ∈ D. Thì g : D → R lieân tuïc, g(x) > g(T (x))∀x ∈ D\Λ vaø g(z) < f(y0) ≤ min
y∈Λ {g(y)}. Ñieàu naøy maâu
thuaãn vôùi ñònh lyù 2. *Chi chuù: Ta ñaõ söû duïng keát quaû laø neáu gj laø caùc haøm lieân tuïc thì g = min{g1, ..., gk} cuõng laø haøm lieân tuïc. Taát nhieân ta chæ caàn chöùng minh vôùi k = 2, vaø trong tröôøng hôïp naøy thì chæ caàn ñeå yù laø min{g1, g2} = 1 2 (g1+ g2− |g1− g2|). Coøn söï kieän g(x) > g(T (x)),∀x ∈ D\Λ thì raát roõ raøng,
vì neáu uj > vj,∀j = 1, ..., k thì min{u1, ..., uk} > min{u1, ..., uk}.
Caùc baïn thaân meán, tuy hình thöùc phaùt bieåu ngaén goïn nhöng GMV coù taàm öùng duïng cöïc kì roäng raõi. Cöù moãi moät (hay moät vaøi) pheùp bieán ñoåi T thích hôïp laø ta laïi coù moät ñònh lyù doàn bieán môùi. Chuùng toâi keát thuùc muïc naøy baèng moät heä quaû cuûa GMV, maø coù theå xem laø söï môû roäng cuûa SMV ôû Heä quaû 2. Cuõng xin löu yù raèng caùc keát quaû coù teân SMV vaø UMV ôû ñaây toång quaùt hôn so vôùi caùc ñònh lyù cuøng teân maø chuùng toâi ñaõ daãn ra ban ñaàu.
Heä quaû 3: (UMV − Undefined Mixing Variables) Cho: • D ⊂ {x = (x1, ..., xn) ∈ Rn|xi ≥ 0,∀i = 1, ..., n}, D ñoùng vaø bò chaën. Goïi Λ laø taäp hôïp caùc phaàn töû trong D coù t thaønh phaàn baèng 0 vaø n − t thaønh phaàn baèng nhau (t ≥ 0). • 2 pheùp bieán ñoåi T1, T2 : D→ D nhö sau: vôùi moãi phaàn töû a = (a1, .., an) ∈ D\Λ, choïn ra 2 chæ soá i 6= j sao cho ai = min{at > 0, t = 1, ..., n} vaø aj = max{a1, ..., an}, sau ñoù thay ai, aj bôùi α, β ∈ (ai, aj) (öùng vôùi T1) vaø α′ < ai < aj < β ′ (öùng vôùi T2). • f : D → R lieân tuïc thoûa maõn: f(a) ≥ min{f(T1(a)), f(T1(a))}, ∀a ∈ D.
Thì f(x) ≥ min
y∈Λ {f(y)},∀x ∈ D.
51
Chöùng minh: Choïn h1(a) = max{a1, ..., an} − min{a1, ..., an} vaø h2(a) = −h1(a),
∀a = (a1, ..., an) ∈ D. Töông töï nhö heä quaû 2, ta thay T1 bôûi T ∗1 = T n1 vaø T ∗2 = T
n 2 ñeå coù: h1(a) > h1(T
∗ 1 (a)), h2(a) > h2(T
∗ 2 (a)), ∀a = (a1, ..., an) ∈ D.
AÙp duïng GMV ta coù ñieàu phaûi chöùng minh.
9. Nhìn laïi.
Caùc baïn thaân meán, coù leõ baây giôø laø luùc taïm döøng ñeå nhìn laïi haønh trình vöøa qua. Nhö chuùng toâi ñaõ noùi trong $6, doàn bieán ñaõ ñöôïc bieát ñeán töø raát sôùm thoâng qua haøm loài vaø daãn ñeán caùc keát quaû tuyeät ñeïp. BÑT Jensen coù theå xem nhö moät tieâu chuaån ñeå doàn bieán veà taâm moät caùch toaøn cuïc. Veà caùc keát quaû naøy, caùc baïn coù theå tìm ñoïc moät caùch raát ñaày ñuû trong cuoán "Baát ñaúng thöùc" noåi tieáng cuûa 3 nhaø toaùn hoïc Hardy−Polya−Littewood.
Trong tröôøng hôïp 3 bieán, coù leõ quen thuoäc nhaát vôùi baïn ñoïc laø nhöõng BÑT löôïng giaùc, chaúng haïn nhö:
sinA+ sinB + sinC ≤ 3 √ 3
2 (1)
cosA+ cosB + cosC ≤ 3 2
(2)
vôùi A,B,C laø 3 caïnh 1 tam giaùc. BÑT (1) coù theå thu ñöôïc ngay baèng caùch aùp duïng BÑT Jensen cho haøm
loài. BÑT (2) thì tinh teá hôn, haøm f(x) = −cosx coù f ′′(x) = cosx neân chæ loài treân [0, pi]. Do ñoù ta khoâng theå aùp duïng ngay BÑT Jensen cho 3 bieán A,B,C. Tuy nhieân, ta coù theå giaû söû A ≤ B ≤ C vaø khi ñoù thì A,B ∈ [0, pi] neân ta coù theå doàn 2 bieán A,B veà baèng nhau. Sau ñoù baøi toaùn chæ coøn moät bieán vaø trôû neân ñôn giaûn.
Nhö vaäy, tö töôûng doàn bieán ñaõ daàn loä roõ. Thay vì mong muoán coù ngay moät caùch doàn bieán toaøn cuïc, chuùng ta hi voïng coù theå töøng böôùc ñôn giaûn baøi toaùn baèng caùch giaûm daàn soá bieán. Ñaây chính laø tö töôûng chính cuûa phöông phaùp doàn bieán. Trong tröôøng hôïp 3 bieán, sau khi thöïc hieän ñöôïc ñoäng taùc doàn bieán (baát keå laø veà 2 bieán baèng nhau, hay doàn 1 bieán ra bieân, hay doàn 1 bieán veà giaù trò trung bình) thì gaàn nhö baøi toaùn chæ coøn 1 bieán vaø xem nhö giaûi quyeát ñôn giaûn. Do ñoù, pheùp doàn bieán khoâng caàn taùc duïng vôùi 2 bieán baát kì maø coù theå taän duïng thöù töï saép ñöôïc giöõa caùc bieán neáu BÑT laø ñoái xöùng.
52
Caùc baïn thaân meán, chuùng toâi daønh ra 3 muïc ñeå khaûo saùt vaán ñeà doàn bieán cho BÑT 3 bieán cuõng chæ laø ñeå caùc baïn naém ñöôïc tö töôûng cuûa phöông phaùp, chöù khoâng phaûi lieät keâ taát caû caùc kó thuaät caàn thieát. Chaúng haïn nhö doàn bieán trong BÑT löôïng giaùc vôùi caùc BÑT tuyeät ñeïp cuûa Jackgarfulkel (xem phaàn baøi taäp) cuõng khaù thuù vò. Tuy nhieân chuùng toâi nghó raèng trình baøy taát caû seõ nhaøm chaùn vaø voâ vò, vì moät khi naém ñöôïc tö töôûng chính thì caùc baïn coù theå aùp duïng trong voâ vaøn tröôøng hôïp khaùc nhau.
Ñoïc xong phaàn BÑT 3 bieán, coù leõ baïn ñoïc seõ coù caûm giaùc laø hình nhö moïi BÑT ñeàu coù theå chuyeån veà tröôøng hôïp 2 bieán baèng nhau hoaëc 1 bieán ñaït giaù trò taïi bieân. Phaûi noùi raèng ñieàu naøy ñuùng cho haàu heát caùc BÑT maø chuùng ta ñaõ gaëp. Tuy nhieân, ngay sau ñaây chuùng toâi seõ cung caáp cho caùc baïn moät ví duï naèm ngoaøi "thoâng leä" ñoù. Trong ví duï naøy, thaäm chí BÑT ñang xeùt laø ña thöùc ñoái xöùng thuaàn nhaát 3 bieán. Ví duï naøy laáy töø yù töôûng cuûa anh Buøi Vieät Anh.
Baøi toaùn 1. Cho a, b, c ≥ 0. Khi ñoù BÑT: (a3 + b3 + c3 − 6abc)2 + ((a+ b+ c)3 − 36abc)2 ≥ 0
chæ xaûy ra daáu "=" trong tröôøng hôïp (a, b, c) = (t, 2t, 3t), t ≥ 0 (vaø caùc hoaùn vò).
Baïn ñoïc töï kieåm tra ñieàu ñoù. Nhö vaäy, caùc baïn coù theå yeân taâm laø phöông phaùp doàn bieán coù yù nghóa.
Vôùi baøi toaùn 4 bieán thì thoâng thöôøng chuùng ta phaûi thöïc hieän hôn 1 laàn ñoäng taùc doàn bieán neân seõ phöùc taïp hôn. Trong tröôøng hôïp n bieán toång quaùt thì vieäc doàn bieán trôû neân cöïc kì khoù khaên. Ngoaøi BÑT Jensen cho pheùp doàn 1 luùc caû n bieán (nhöng ñaùng tieác, noù chæ giaûi quyeát ñöôïc 1 löôïng khaù nhoû caùc BÑT) thì gaàn nhö ta khoâng coù coâng cuï naøo khaùc. Trong tröôøng hôïp naøy, thoâng thöôøng quy naïp cuõng laø moät yù hay. Chuùng toâi daãn ra ñaây moät ví duï cho thaáy söï tinh teá cuûa chöùng minh quy naïp trong BÑT.
Baøi toaùn 2. (Phaïm Kim Huøng) Cho n soá thöïc döông a1, a2, ..., an coù tích baèng 1. Chöùng minh raèng vôùi moïi k > 0 thì:
1
(1 + a1)k +
1
(1 + a2)k + ...+
1
(1 + an)k ≥ min{1, n
2k }
Baøi toaùn naøy ñaõ ñöôïc ñöa leân Dieãn Ñaøn Toaùn Hoïc vôùi teân goïi laø Thaùch Thöùc 1, vaø laø moät baøi raát khoù. Tuy nhieân, noù seõ voâ cuøng ñôn giaûn neáu ta
53
laøm vieäc vôùi baøi toaùn toång quaùt hôn: "Cho n soá thöïc döông a1, a2, ..., an coù tích baèng s ≥ 1. Chöùng minh raèng vôùi moïi k > 0 thì:
1
(1 + a1)k +
1
(1 + a2)k + ...+
1
(1 + an)k ≥ min{1, n
1 + n √ s }.”
Vôùi baøi toaùn toång quaùt hôn naøy thì laïi coù theå chöùng minh baèng quy naïp. Thaät vaäy, xeùt baøi toaùn vôùi n soá, ta coù theå giaû söû an = min{a1, ..., an}. Khi ñoù aùp duïng giaû thieát quy naïp cho (n − 1) soá a1, a2, ..., an−1 coù tích ≥ 1, ta ñöa ñöôïc ngay baøi toaùn veà 1 bieán. Coâng vieäc coøn laïi chæ laø khaûo saùt haøm moät bieán.
Moät kó thuaät khaùc ñeå ñöa caùc BÑT n bieán veà 1 bieán laø doàn bieán veà giaù trò trung binh trong $7. Nhö chuùng toâi ñaõ chæ ra, yù töôûng caùch doàn naøy döïa treân caùch doàn bieán veà giaù trò trung bình cho haøm loài. Ñaây laø caùch doàn bieán raát toát vì noù coù tính höõu haïn. Tuy nhieân, noù chæ aùp duïng ñöôïc cho caùc baøi cöïc trò ñaït ñöôïc taïi taâm.
Baây giôø ta phaûi ñoái maët vôùi khaû naêng cöïc trò ñaït taïi caû taâm vaø bieân. Roõ raøng khaû naêng doàn veà moät bieán laø khoâng cao. Do ñoù chuùng ta hi voïng vaøo ñieàu toát nhaát laø coù moät caùch doàn bieán toaøn cuïc, ñaïi loaïi nhö BÑT Jensen. Vôùi muïc tieâu ñoù, 2 ñònh lyù tuyeät ñeïp phaûi keå ñeán laø ñònh lyù SMV (doàn bieán maïnh) vaø UMV (doàn bieán khoâng xaùc ñònh). Hai ñònh lyù naøy coù theå noùi laø "anh em song sinh". SMV duøng ñeå "chuyeân trò" caùc BÑT cöïc trò ñaït ñöôïc taïi taâm, trong ñoù caûi tieán ñaùng keå nhaát laø khoâng caàn doàn ñöôïc 2 bieán baát kì veà baèng nhau maø chæ caàn doàn bieán lôùn nhaát vaø bieán nhoû nhaát. UMV thì ñoøi hoûi giaû thieát ñaët leân 2 bieán baát kì, tuy nhieân noù cho pheùp ta dung hoøa caû 2 tröôøng hôïp cöïc trò ñaït ñöôïc taïi taâm vaø taïi bieân döôùi moät daïng toång quaùt. Ñeå cho hình thöùc ñôn giaûn, 2 ñònh lyù naøy ñeàu chæ xeùt cho haøm ñoái xöùng.
Chuùng toâi ñaõ quan saùt 2 keát quaû treân vaø nhaän thaáy söï khoâng caàn thieát cuûa vieäc taùch rôøi 2 tröôøng hôïp, vaø ñaõ tìm ra moät keát quaû hoäi tuï ñaày ñuû öu ñieåm cuûa 2 ñònh lyù treân. Tuy nhieân noù chæ laø moät tröôøng hôïp rieâng cuûa Heä quaû 3 trong $8. Ñònh lyù GMV khoâng chæ ñôn thuaàn laø toång quaùt 2 ñònh lyù keå treân, maø noù môû ra moät chaân trôøi môùi vôùi voâ vaøn caùc kieåu doàn bieán . Moät ñieàu kì laï laø ôû ñaây chæ ñoøi hoûi: neáu boä x = (x1, x2, ..., xn) chöa rôi vaøo caùc tröôøng hôïp "tôùi haïn" (töùc laø thuoäc Λ), thì luoân coù theå thay theá baèng 1 boä (laø T (x)). Neáu nhö trong SMV ("coå ñieån"), söï kieän doàn 2 bieán, lôùn nhaát vaø
54
nhoû nhaát, veà baèng nhau coù theå daãn ñeán moät caûm nhaän roõ raøng laø n bieán seõ tieán veà giaù trò trung bình, thì trong tröôøng hôïp naøy boå ñeà daõy soá khoâng coøn taùc duïng. Tuy nhieân, keát quaû vaãn ñöôïc chæ ra.
Caùc baïn thaân meán, caùc baïn ñaõ cuøng chuùng toâi ñi treân moät haønh trình, maø chuùng toâi choïn vì noù toát nhaát chöù khoâng phaûi laø ñaày ñuû nhaát. Coù nhieàu vaán ñeà chuùng toâi khoâng ñöa ra, hoaëc khoâng trình baøy kó, vì chuùng toâi khoâng coi troïng söï ñaày ñuû. Caùi maø chuùng toâi coi troïng laø coá gaéng ñeå caùc baïn thaáy ñöôïc vaán ñeà moät caùch nhanh choùng, roõ raøng vaø hôïp lyù. Hi voïng vôùi nhöõng tö töôûng maø chuùng toâi ñaõ khôi gôïi caùc baïn seõ ñuû caûm höùng vaø khaû naêng ñeå tieáp böôùc treân con ñöôøng saùng taïo.
Cuoái cuøng, chuùng toâi muoán göûi lôøi caûm ôn ñaëc bieät tôùi anh Phan Thaønh Nam vaø anh Phaïm Kim Huøng, nhöõng ngöôøi ñaõ coù raát nhieàu keát quaû vaø yù töôûng ñöôïc söû duïng. Chuùng toâi cuõng xin chaân thaønh caûm ôn taát caû taùc giaû caùc baøi toaùn, caùc nguoàn trích daãn, trong ñoù coù thaày Phaïm Vaên Thuaän − ngöôøi ñaõ cung caáp cho chuùng toâi moät taøi lieäu veà doàn bieán coù giaù trò.
10. Baøi taäp.
Sau ñaây laø moät soá baøi taäp daønh cho baïn ñoïc. Hi voïng caùc baïn seõ tìm ñöôïc nhieàu nieàm vui khi thöû söùc vôùi chuùng. (ghi chuù: Θ baøi deã, Φ baøi trung bình, Ξ baøi khoù, Ψ baøi cöïc khoù)
Θ Baøi taäp 1: (Asian Pacific Math.2004) Giaû söû a, b, c laø caùc soá döông tuøy yù. Chöùng minh BÑT
(a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9(ab+ bc+ ca)
Θ Baøi taäp 2: (MOSP 2001) Chöùng minh raèng neáu a, b, c laø caùc soá döông coù tích baèng 1 thì ta coù BÑT
(a+ b)(b+ c)(c+ a) ≥ 4(a+ b+ c− 1)
Θ Baøi taäp 3: Cho a, b, c khoâng aâm thoûa maõn a2+ b2+ c2 = 3. Chöùng minh raèng
a+ b+ c ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2
55
Θ Baøi taäp 4: (Huyønh Taán Chaâu) Cho x, y, z ≥ 0 vaø x + y + z = 1.Chöùng minh raèng:
x3 + y3 + z3 + 6xyz ≥ 1 4
Θ Baøi taäp 5: Chöùng minh raèng neáu x, y, z laø caùc soá thöïc khoâng aâm thoûa maõn ñieàu kieän x2 + y2 + z2 = 3 thì ta coù BÑT:
7(xy + yz + zx) ≤ 12 + 9xyz Φ Baøi taäp 6: (Choïn ñoäi tuyeån Vieät Nam 1996) Cho a, b, c laø caùc soá thöïc baát kì, chöùng minh raèng:
F (a, b, c) = (a+ b)4 + (b+ c)4 + (c+ a)4 − 4 7 (a4 + b4 + c4) ≥ 0
Φ Baøi taäp 7: (Phaïm Vaên Thuaän−Zhao Bin). Giaû söû x, y, z laø ba soá thöïc khoâng aâm nhöng chæ coù nhieàu nhaát moät soá baèng 0. Chöùng minh raèng
1
x3 + y3 +
1
y3 + z3 +
1
z3 + x3 ≥ 20
(a+ b+ c)3
Φ Baøi taäp 8 (Phaïm Kim Huøng). Chöùng minh raèng vôùi moïi soá thöïc a, b, c khoâng aâm ta luoân coù BÑT:
1√ 4a2 + bc
+ 1√
4b2 + ca +
1√ 4c2 + ab
≥ 4 a+ b+ c
Φ Baøi taäp 9: (Murray Klamkin) Chöùng minh raèng vôùi caùc soá thöïc khoâng aâm a, b, c coù toång baèng 2, thì
(a2 + ab+ b2)(b2 + bc+ c2)(c2 + ca+ a2) ≤ 3
Ξ Baøi taäp 10: (Toång quaùt RMO2000) Cho a, b, c ≥ 0 vaø a+ b+ c = 3. Tìm haèng soá k > 0 nhoû nhaát sao cho BÑT sau luoân ñuùng:
ak + bk + ck ≥ ab+ bc+ ca
Ξ Baøi taäp 11: (Trung Quoác 2005) Cho a, b, c > 0 vaø ab + bc + ca = 1/3.
56
Chöùng minh raèng:
1
a2 − bc+ 1 + 1
b2 − ca+ 1 + 1
c2 − ab+ 1 ≤ 3
Ξ Baøi taäp 12: (mathlinks) Cho a, b, c ≥ 0 vaø ab+ bc+ ca = 1. Chöùng minh raèng:
1 + a2b2
(a+ b)2 +
1 + b2c2
(b+ c)2 +
1 + c2a2
(c+ a)2 ≥ 5
2
Ξ Baøi toaùn 13 Cho a, b, c ∈ [p, q] vôùi 0 < p ≤ q. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa: a
b+ c +
b
c+ a +
c
a+ b
Baøi toaùn 14.(Jackgarfulkel) Cho tam giaùc nhoïn ABC. Chöùng minh raèng: Φ a)
sin A
2 + sin
B
2 + sin
C
2 ≥ 4
3 (1 + sin
A
2 sin
B
2 sin
C
2 )
Φ b)
cos A
2 + cos
B
2 + cos
C
2 ≥ 4√
3 (1 + cos
A
2 cos
B
2 cos
C
2 )
Φ Baøi toaùn 15.(Jackgarfulkel) Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng:
cos( A−B
2 ) + cos(
B − C 2
) + cos( C −A
2 ) ≥ 2√
3 (sinA+ sinB + sinC)
Ξ Baøi toaùn 16 (Phan Thaønh Nam) Cho ba soã thöïc x, y, z khoâng aâm coù toång baèng 1. Chöùng minh raèng√
x+ y2 + √ y + z2 +
√ z + x2 ≥ 2
Ξ Baøi taäp 17 (Vasile Cirtoaje) Xeùt ba soá thöïc khoâng aâm a, b, c thoûa ñieàu kieän a2 + b2 + c2 = 1. Chöùng minh raèng:
1
1− ab + 1
1 − bc + 1
1 − ca ≤ 9
2
57
Ξ Baøi taäp 18: (Phan Thaønh Nam) Cho a, b, c ≥ 0 vaø thoûa maõn a+ b+ c= 1. Chöùng minh raèng: a) (VMEO1)√
a+ (b− c)2
12 +
√ b+
(c− a)2 12
+
√ c+
(a− b)2 12
≤ √ 3
b) √ a+ k(b− c)2 +
√ a+ k(b− c)2 +
√ a+ k(b− c)2 ≤ √3
Trong ñoù k = 1− √ 3 2
Ξ Baøi toaùn 19 (Phan Thaønh Vieät) Cho tam giaùc ABC coù ñoä daøi 3 caïnh laø BC = a,CA = b,AB = c . Goïi p laø nöûa chu vi cuûa tam giaùc vaø ma,mb,mc laø ñoä daøi ba ñöôøng trung tuyeán töông öùng haï töø A,B,C xuoáng caùc caïnh ñoái dieän. Chöùng minh raèng:
ma +mb +mc ≤ √ 3p2 +
1
2 [(a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2]
Baøi taäp 20: (Phan Thaønh Nam) Cho x, y, z ∈ [−1, 1] vaø x + y + z = 0. Chöùng minh raèng Ξ a) √
1 + x+ y2 + √ 1 + y + z2 +
√ 1 + z + x2 ≥ 3
Ψ b) √ 1 + x+
7
9 y2 +
√ 1 + y +
7
9 z2 +
√ 1 + z +
7
9 x2 ≥ 3
Φ Baøi taäp 21 (Phaïm Kim Huøng) Cho x, y, z, t ≥ 0 vaø x + y + z + t = 4. Chöùng minh raèng:
(1 + 3x)(1 + 3y)(1 + 3z)(1 + 3t) ≤ 125 + 131xyzt
Φ Baøi taäp 22 (Baát ñaúng thöùc Tukervici) Vôùi moïi soá thöïc döông a, b, c, d thì
a4 + b4 + c4 + d4 + 2abcd ≥ a2b2 + b2c2 + c2d2 + d2a2 + a2c2 + b2d2
58
Φ Baøi taäp 23 (Phaïm Vaên Thuaän− Nguyeãn Anh Tuaán) Xeùt 4 soá thöïc a, b, c, d thoûa maõn a2 + b2 + c2 + d2 = 1.Chöùng minh raèng
1
1− ab + 1
1− bc + 1
1− cd + 1
1 − da + 1
1− db + 1
1− ca ≤ 8
Ξ Baøi taäp 24 (Phaïm Kim Huøng) Cho caùc soá thöïc khoâng aâm a, b, c, d, k coù toång baèng 4. Chöùng minh raèng
(abc)k + (bcd)k + (cda)k + (dab)k ≤ max{4, (4 3 )3k}
Ξ Baøi taäp 25 (Phan Thaønh Nam) Cho caùc soá thöïc x, y, z, t thoûa: max{xy, yz, zt, tx} ≥ 1. Chöùng minh raèng√
1− xy + y2 + √ 1− yz + z2 +√1− zt+ t2 +√1 − tx+ x2
≥ √ 16 + (x− y + z − t)2
Ψ Baøi taäp 26 (Phan Thaønh Nam) Cho caùc soá thöïc x, y, z, t ∈ [−1, 1] thoûa maõn x+ y + z + t = 0. Chöùng minh raèng√
1 + x+ y2 + √ 1 + y + z2 +
√ 1 + z + t2 +
√ 1 + t+ x2 ≥ 4
(*Ghi chuù: Baøi naøy xuaát phaùt töø tröôøng hôïp ba soá trong baøi 20a, dó nhieân seõ khoù hôn raát nhieàu. BÑT töông töï vôùi 5 soá khoâng coøn ñuùng nöõa)
Φ Baøi taäp 27 (Vasile Cirtoaje) Chöùng minh raèng neáu a1, a2, ..., an khoâng aâm vaø coù toång baèng n thì
(n− 1)(a21 + a22 + ...+ a2n) + na1a2...an ≥ n2
Ξ Baøi taäp 28: (Phaïm Kim Huøng) Giaû söû a1, a2, ..., an laø caùc soá thöïc khoâng aâm coù toång baèng n. Tìm gtnn cuûa bieåu thöùc
S = a21 + a 2 2 + ...+ a
2 n + a1a2...an(
1
a1 +
1
a2 + ...+
1
an )
59
Ξ baøi taäp 29 Tìm haèng soá döông km toát nhaát ñeå BÑT sau luoân ñuùng vôùi moïi daõy soá thöïc khoâng aâm x1, x2, ..., xn coù toång baèng n
(1 +mx1)(1 +mx2)...(1 +mxn) ≤ (m+ 1)n + km(x1x2...xn − 1)
trong ñoù m laø haèng soá döông baát kì.
Baøi toaùn 30 (Phan Thaønh Vieät) Cho a1, a2, ..., an, s, k laø caùc soá thöïc döông thoûa maõn: a1a2...an = sn vaø n − 1 = n(1+s)k . Xeùt BÑT:
1
(1 + a1)k +
1
(1 + a2)k + ...+
1
(1 + an)k ≤ n− 1
Θ a) Chöùng minh raèng BÑT treân noùi chung khoâng ñuùng. Φ b) (VMO 1999) Chöùng minh BÑT treân ñuùng trong tröôøng hôïp k = 1. Ψ c) Tìm taát caû caùc giaù trò k (tuøy thuoäc n) ñeå BÑT treân ñuùng.
60

markdown:
![pdf](http://idoc.vn/public/idocv3/assets/img/docs/pdf.gif)
![ Tài liệu Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp dồn biến](http://cdn.idoc.vn/store/image/012012/4fbb3c729c6c6ab60d015a69.png)
**Chia sẻ iDoc.vn với bạn bè để nhận tiền thưởng với mỗi lượt click vào link Bạn được:** **20 đ**vào tài khoản thưởng **100 đ**vào tài khoản thưởng cho mỗi lượt đăng ký thành viên mới **Chia sẻ iDoc.vn qua các mạng xã hội** **Chia sẻ iDoc.vn với bạn bè để nhận tiền thưởng với mỗi lượt click vào link Bạn được:** **20 đ**vào tài khoản thưởng **100 đ**vào tài khoản thưởng cho mỗi lượt đăng ký thành viên mới **Chia sẻ iDoc.vn qua các mạng xã hội** ![ Thành viên bautroidemcuaem1010](http://cdn.idoc.vn/images/accounts/default.jpg)
# Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp dồn biến
[bautroidemcuaem1010](/bautroidemcuaem1010)- 12 tháng trước *Báo lỗi*
Nội dung: Giới thiệu, BĐT 3 biến với cực trị đạt được đối xứng, Dồn biến bằng kỹ thuật hàm số, BĐT 3 biến với cực trị đạt được tại biên, BĐT 4 biến, Dồn biến bằng hàm lồi, Dồn biến về giá trị trung bình, Định lý dồn biến tổng quát, Nhìn lại
PHÖÔNG PHAÙP DOÀN BIEÁN
Phan Thaønh Vieät
Noäi dung:
1. Giôùi thieäu. 2. BÑT 3 bieán vôùi cöïc trò ñaït ñöôïc ñoái xöùng. 3. Doàn bieán baèng kó thuaät haøm soá. 4. BÑT 3 bieán vôùi cöïc trò ñaït ñöôïc taïi bieân. 5. BÑT 4 bieán. 6. Doàn bieán baèng haøm loài. 7. Doàn bieán veà giaù trò trung bình. 8. Ñònh lyù doàn bieán toång quaùt. 9. Nhìn laïi. 10. Baøi taäp.
1. Giôùi thieäu.
Caùc baïn thaân meán, raát nhieàu trong soá caùc BÑT maø ta ñaõ gaëp coù daáu ñaúng thöùc khi caùc bieán soá baèng nhau. Moät ví duï kinh ñieån laø
Ví duï 1: (BÑT Cauchy) Cho x, y, z > 0 thì x+ y + z ≥ 3 3√xyz.
Coù theå noùi soá löôïng BÑT nhö vaäy nhieàu ñeán noãi nhieàu baïn seõ thaáy ñieàu ñoù laø ... hieån nhieân. Taát nhieân, khoâng haún nhö vaäy. Tuy nhieân, trong tröôøng hôïp ñaúng thöùc khoâng xaûy ra khi taát caû caùc bieán baèng nhau thì ta laïi raát thöôøng rôi vaøo moät tröôøng hôïp khaùc, toång quaùt hôn: ñoù laø coù moät soá (thay vì taát caû) caùc bieán baèng nhau. ÔÛ ñaây chuùng toâi daãn ra moät ví duï seõ ñöôïc chöùng minh ôû phaàn sau.
Ví duï 2: (VMO) Cho x, y, z ∈ R, x2 + y2 + z2 = 9. Thì 2(x+ y + z)− xyz ≤ 10
Trong BÑT naøy thì daáu "=" xaûy ra khi x = y = 2, z = −1 (vaø caùc hoaùn vò).
1
Coù theå nhieàu baïn seõ ngaïc nhieân khi bieát raèng coøn coù nhöõng baát ñaúng thöùc maø daáu "=" xaûy ra khi caùc bieán ñeàu khaùc nhau. Ví duï sau ñaây cuõng seõ ñöôïc chöùng minh ôû phaàn sau.
Ví duï 3: (Jackgarfukel) Cho a, b, c laø 3 soá thöïc khoâng aâm vaø coù toái ña moät soá baèng 0. Thì ta luoân coù:
a√ a+ b
+ b√ b+ c
+ c√ c+ a
≤ 5 4
√ a+ b+ c
ÔÛ ñaây, daáu ñaúng thöùc xaûy ra khi a = 3b > 0, c = 0 (vaø caùc daïng hoaùn vò). Caùc baïn coù theå töï hoûi laø caùc giaù trò chaúng haïn nhö (3, 1, 0) coù gì ñaëc bieät maø laøm cho ñaúng thöùc xaûy ra. Moät caùch tröïc giaùc, ta thaáy döôøng nhö ñieåm ñaëc bieät ñoù laø do coù moät bieán baèng 0. Vì giaû thieát laø caùc bieán khoâng aâm, neân bieán baèng 0 coøn ñöôïc goïi laø bieán coù giaù trò treân bieân.
Toùm laïi, trong caùc BÑT maø ta gaëp, coù caùc tröôøng hôïp daáu "=" xaûy ra raát thöôøng gaëp: ñoù laø tröôøng hôïp taát caû caùc bieán baèng nhau (ta goïi laø "cöïc trò ñaït ñöôïc taïi taâm"), toång quaùt hôn laø tröôøng hôïp coù moät soá caùc bieán baèng nhau (ta goïi laø "cöïc trò ñaït ñöôïc coù tính ñoái xöùng"), moät tröôøng hôïp khaùc laø daáu "=" xaûy ra khi coù moät bieán coù giaù trò treân bieân (vaø ta goïi laø "cöïc trò ñaït ñöôïc taïi bieân").
Phöông phaùp doàn bieán ñöôïc ñaët ra ñeå giaûi quyeát caùc BÑT coù daïng nhö treân. YÙ töôûng chung laø: neáu ta ñöa ñöôïc veà tröôøng hôïp coù hai bieán baèng nhau, hoaëc laø moät bieán coù giaù trò taïi bieân, thì soá bieán seõ giaûm ñi. Do ñoù BÑT môùi ñôn giaûn hôn BÑT ban ñaàu, ñaëc bieät neáu BÑT môùi chæ coøn moät bieán thì baèng caùch khaûo saùt haøm moät bieán soá ta seõ chöùng minh BÑT khaù ñôn giaûn. Chính vì tö töôûng laø giaûm daàn soá bieán neân phöông phaùp naøy ñöôïc goïi laø phöông phaùp doàn bieán.
Baây giôø chuùng toâi seõ trình baøy caùc kó thuaät chính cuûa phöông phaùp thoâng qua caùc baøi toaùn cuï theå. Ñoái töôïng raát quan troïng maø chuùng toâi muoán baïn ñoïc naém baét laø caùc BÑT vôùi 3 bieán soá. Sau ñoù, caùc môû roäng cho 4 bieán seõ ñöôïc trình baøy. Cuoái cuøng, chuùng ta ñeán vôùi caùc phöông phaùp doàn bieán toång quaùt cho n bieán soá, trong ñoù baïn ñoïc seõ cuøng chuùng toâi ñi töø nhöõng keát quaû "coå ñieån" tôùi nhöõng caûi tieán nhoû vaø sau ñoù laø moät keát quaû
2
heát söùc toång quaùt. Tinh thaàn xuyeân suoát cuûa chuùng toâi laø muoán baïn ñoïc caûm nhaän ñöôïc tính töï nhieân cuûa vaán ñeà. Qua ñoù, caùc baïn seõ lyù giaûi ñöôïc "taïi sao", ñeå roài coù theå töï mình böôùc ñi treân con ñöôøng saùng taïo.
*Ghi chuù: Chuùng toâi seõ ñaùnh daáu caùc baøi toaùn theo töøng muïc. Vì soá löôïng caùc ñònh lyù laø raát ít neân chuùng toâi khoâng ñaùnh daáu. Chuùng toâi coá gaéng ghi teân taùc giaû vaø nguoàn trích daãn ñoái vôùi taát caû caùc keát quaû quan troïng, ngoaïi tröø nhöõng keát quaû cuûa chuùng toâi.
2. BÑT 3 bieán vôùi cöïc trò ñaït ñöôïc ñoái xöùng.
Xin phaùc hoïa laïi tö töôûng cuûa chuùng ta nhö sau. Baøi toaùn cuûa chuùng ta seõ coù daïng f(x, y, z) ≥ 0 vôùi x, y, z laø caùc bieán soá thöïc thoûa maõn caùc tính chaát naøo ñaáy. Ñieàu chuùng ta mong muoán laø seõ coù ñaùnh giaù f(x, y, z) ≥ f(t, t, z) vôùi t laø moät ñaïi löôïng thích hôïp tuøy theo moãi lieân heä giöõa x, y, z (ta seõ goïi ñaây laø kó thuaät doàn veà 2 bieán baèng nhau). Sau ñoù chuùng ta kieåm tra f(t, t, z) ≥ 0 ñeå hoaøn taát chöùng minh. Löu yù raèng neáu caùc bieán ñaõ ñöôïc chuaån hoùa thì böôùc cuoái chæ laø baøi toaùn vôùi moät bieán.
Trong muïc naøy, chuùng ta seõ chæ xem xeùt caùc ví duï cô baûn nhaát.
Baøi toaùn 1. (BÑT Cauchy) Cho x, y, z > 0, chöùng minh raèng
x+ y + z ≥ 3 3√xyz Lôøi giaûi:
Vì BÑT laø ñoàng baäc neân baèng caùch chuaån hoùa ta coù theå giaû söû x+y+z = 1 (*). Vieát laïi baøi toaùn döôùi daïng f(x, y, z) ≥ 0 vôùi f(x, y, z) = 1− 27xyz. Ta thaáy raèng khi thay x vaø y bôûi t = x+y
2 thì ñieàu kieän (*) vaãn baûo toaøn (töùc laø
vaãn coù t+ t+ z = 1), neân ta chæ phaûi xem xeùt söï thay ñoåi cuûa xyz. Theo BÑT Cauchy vôùi 2 bieán (chöùng minh raát ñôn giaûn) thì xy ≤ t2,
neân xyz ≤ t2z. Vaäy f(x, y, z) ≥ f(t, t, z). Cuoái cuøng ñeå yù laø z = 1 − 2t neân ta coù:
f(t, t, z) = 1− 27t2z = 1 − 27t2(1− 2t) = (1 + 6t)(1 − 3t)2 ≥ 0 vaø baøi toaùn chöùng minh xong. Ñaúng thöùc xaûy ra khi x = y vaø 3t = 1, nghóa laø x = y = 1/3, töông ñöông vôùi x = y = z.
3
*Nhaän xeùt: 1) Coù theå nhieàu baïn seõ bôõ ngôõ vôùi caùch chuaån hoùa ôû treân. Chuùng toâi xin noùi roõ: khoâng coù gì laø bí aån ôû ñaây caû. Neáu thích, caùc baïn hoaøn toaøn coù theå chuaån hoùa theo caùch khaùc, chaúng haïn giaû söû xyz = 1 vaø chöùng minh f(x, y, z) ≥ 0 vôùi f(x, y, z) = x+y+ z−3. Khi ñoù böôùc doàn bieán seõ laø chöùng minh f(x, y, z) ≥ f(t, t, z) vôùi t = √xy. Ñeà nghò baïn ñoïc töï lyù giaûi vì sao trong lôøi giaûi treân thì ta xeùt t = x+y
2 coøn ôû ñaây laïi xeùt t =
√ xy, vaø sau ñoù
hoaøn thaønh chöùng minh theo caùch naøy.
2) Baïn ñoïc coù theå thaéc maéc: khoâng caàn chuaån hoùa ñöôïc khoâng? Caâu traû lôøi laø: ñöôïc! Thaät vaäy, chuùng ta vaãn hoaøn toaøn coù theå xeùt baøi toaùn f(x, y, z) ≥ 0 vôùi f(x, y, z) = x+ y + z − 3√xyz. Khi ñoù böôùc doàn bieán seõ laø chöùng minh f(x, y, z) ≥ f(t, t, z) vôùi t = x+y
2 hay t =
√ xy ñeàu ñöôïc. Thöïc chaát, ñieàu naøy
hoaøn toaøn deã hieåu, noù chæ laø söï töông öùng giöõa BÑT coù ñieàu kieän vaø BÑT khoâng ñieàu kieän (qua kó thuaät chuaån hoùa).
3) Chuùng toâi nghó laø caùc baïn seõ ñoàng yù raèng: neáu moät baøi toaùn ñaõ chuaån hoùa (töùc laø BÑT coù ñieàu kieän) thì noù seõ "gôïi yù" cho chuùng ta caùch doàn bieán (phaûi ñaûm baûo ñieàu kieän), tuy nhieân, ngöôïc laïi moät baøi toaùn chöa chuaån hoùa (BÑT khoâng ñieàu kieän) thì chuùng ta seõ coù nhieàu caùch ñeå doàn bieán hôn (noùi chung, ta seõ choïn caùch doàn bieán sao cho baûo toaøn ñöôïc "nhieàu" bieåu thöùc nhaát trong BÑT - ñieàu naøy cuõng töông ñöông vôùi chuaån hoùa sao cho bieåu thöùc coù daïng ñôn giaûn nhaát). Do ñoù, moät söï phoái hôïp toát giöõa kó thuaät chuaån hoùa vaø doàn bieán laø moät ñieàu caàn thieát. Tuy nhieân, khi ñaõ quen vôùi nhöõng ñieàu naøy thì caùc baïn seõ thaáy khoâng coù söï khaùc bieät ñaùng keå naøo giöõa chuùng.
Baøi toaùn 2. (BÑT Schur) Cho a, b, c ≥ 0, chöùng minh raèng:
a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ a2(b+ c) + b2(c+ a) + c2(a+ b).
Lôøi giaûi: Xeùt f(a, b, c) = a3+ b3+ c3+3abc− a2(b+ c)− b2(c+ a)− c2(a+ b). Ñaët
t = b+c 2
, ta hi voïng: f(a, b, c) ≥ f(a, t, t). Xeùt
d = f(a, b, c)− f(a, t, t) = [ b+ c− 5
4 a ] (b− c)2
Ta thaáy vôùi a, b, c laø caùc soá khoâng aâm tuøy yù thì khoâng chaéc coù d ≥ 0. Tuy nhieân, neáu giaû söû a = min{a, b, c} thì ta vaãn coù d ≥ 0. Khi ñoù ta chæ coøn phaûi
4
chöùng minh f(a, t, t) ≥ 0. Nhöng BÑT naøy töông ñöông vôùi a(a− t)2 ≥ 0 neân hieån nhieân ñuùng. Baøi toaùn chöùng minh xong.
*Nhaän xeùt: Vieäc giaû söû a = min{a, b, c} laø moät thuû thuaät raát thöôøng ñöôïc aùp duïng ñeå doàn bieán. Nhaéc laïi laø neáu BÑT 3 bieán ñoái xöùng thì ta coù theå giaû söû a ≤ b ≤ c (hoaëc a ≥ b ≥ c), coøn trong tröôøng hôïp BÑT 3 bieán hoaùn vò voøng quanh thì ta coù theå giaû söû a = min{a, b, c} (hoaëc a = max{a, b, c}).
Baøi toaùn 3. Cho a, b, c laø 3 soá thöïc döông coù tích baèng 1. Chöùng minh raèng:
1
a +
1
b +
1
c +
6
a+ b+ c ≥ 5.
Höôùng daãn: Neáu nhö 2 baøi toaùn ban ñaàu laø nhöõng baøi toaùn quen thuoäc, thì ñaây laø
moät baøi toaùn khoù. Vôùi kinh nghieäm thu ñöôïc töø baøi toaùn 1, chuùng ta coù theå nghó ngay tôùi vieäc doàn bieán theo trung bình nhaân ñeå khai thaùc giaû thieát tích ba soá baèng 1. Moät lôøi giaûi theo höôùng ñoù ñaõ ñöôïc baïn Yptsoi (Ñaøi Loan) ñöa leân treân dieãn ñaøn Mathlinks, maø sau ñaây chuùng toâi xin daãn laïi moät caùch vaén taét.
Ta chöùng minh ñöôïc f(a, b, c) ≥ f(a,√bc,√bc) neáu giaû söû a ≥ b ≥ c. Tieáp theo, ta chöùng minh raèng f(a,
√ bc, √ bc) ≥ 5, hay laø
f
( 1
x2 , x, x
) ≥ 5, vôùi x =
√ bc
BÑT naøy töông ñöông vôùi (x − 1)2(2x4 + 4x3 − 4x2 − x + 2) ≥ 0. Vì bieåu thöùc trong ngoaëc thöù hai döông vôùi x > 0 neân chöùng minh hoaøn taát. Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi a = b = c = 1.
Qua caùc ví duï treân, chuùng ta ñaõ thaáy caùch doàn bieán veà trung bình coäng vaø trung bình nhaân thaät laø höõu duïng. Tuy nhieân, caùc caùch doàn bieán laø voâ cuøng phong phuù vaø uyeån chuyeån. Ví duï sau ñaây minh hoïa cho ñieàu ñoù.
Baøi toaùn 4.(Iran 1996) Chöùng minh raèng vôùi a, b, c > 0 thì:
(ab+ bc+ ca) ( 1 (a+ b)2
+ 1
(b+ c)2 +
1
(c+ a)2
) ≥ 9
4 .
Höôùng daãn: Ñaây laø moät baøi toaùn raát khoù. Caùc baïn coù theå thaáy ñieàu ñoù qua söï kieän
5
laø daáu "=" ñaït ñöôïc ngoaøi a = b = c coøn coù a = b, c→ 0. Caùc baïn neân thöû ñeå thaáy 2 caùch doàn bieán thoâng thöôøng laø trung bình
coäng vaø trung bình nhaân ñeàu daãn ñeán nhöõng BÑT voâ cuøng phöùc taïp. Lôøi giaûi sau ñaây laáy töø yù cuûa thaày Traàn Nam Duõng, maø neáu nhìn kó baïn seõ thaáy ñöôïc moái töông quan, khoâng chæ trong tính toaùn maø trong caû tö duy, cuûa caùc kó thuaät chuaån hoùa vaø doàn bieán, maø chuùng toâi ñaõ ñeà caäp trong nhaän xeùt 3) cuûa baøi toaùn 1.
Vì BÑT laø ñoàng baäc neân ta coù theå giaû söû ab + bc + ca = 1 (*). Baây giôø ta hi voïng coù ñaùnh giaù f(a, b, c) ≥ 9
4 vôùi f(a, b, c) laø bieåu thöùc thöù hai cuûa
veá traùi BÑT caàn chöùng minh. ÔÛ ñaây t phaûi thoûa moãi lieân heä ôû (*), nghóa laø t2 + 2tc = 1.
Baèng caùch giaû söû c = min{a, b, c} ta seõ chöùng minh ñöôïc f(a, b, c) ≥ f(t, t, c). Cuoái cuøng, ta kieåm tra f(t, t, c) ≥ 9
4 . ÔÛ ñaây baïn ñoïc coù theå thay
c = 1−t 2
2t vaøo BÑT ñeå thaáy:
f(t, t, c) = (1− t2)(1 − 3t2)2
4t2(1 + t2) ≥ 0
Baøi toaùn chöùng minh xong!
*Nhaän xeùt: ÔÛ böôùc cuoái, caùc baïn cuõng coù theå khoâng chuaån hoùa nöõa maø quay laïi BÑT ñoàng baäc:
(t2 + 2tc)( 2
(t+ c)2 +
1
4t2 ) ≥ 9
4
⇔ (t2 + 2tc)(8t2 + (t+ c)2) − 9(t+ c)2t2 ≥ 0⇔ 2tc(t− c)2 ≥ 0
Cuoái cuøng chuùng ta ñeán vôùi moät ví duï maø cöïc trò khoâng ñaït taïi taâm, maëc duø BÑT laø ñoái xöùng. Caùc baïn seõ thaáy raèng, trong con ñöôøng cuûa chuùng ta phaàn quan troïng nhaát laø doàn veà hai bieán baèng nhau, coøn sau ñoù thì cöïc trò ñaït taïi taâm hay khoâng khoâng phaûi laø ñieàu maáu choát.
Baøi toaùn 5. (VMO) Cho x, y, z laø caùc soá thöïc thoûa maõn: x2 + y2 + z2 = 9. Chöùng minh raèng: 2(x+ y + z)− xyz ≤ 10. Lôøi giaûi.
Ñaët f(x, y, z) = 2(x+ y + z)− xyz. Chuùng ta hi voïng seõ coù f(x, y, z) ≥ f(x, t, t), trong ñoù t2 = (y2+ z2)/2 (*) (chuùng toâi nghó raèng baây giôø baïn ñoïc ñaõ töï lyù giaûi ñöôïc ñieàu naøy). Löu yù laø trong (*) t coù theå nhaän 2 giaù trò, ñeå
6
ñònh yù ta haõy xeùt khi t ≥ 0. Ta coù: d = f(x, y, z) − f(x, t, t) = 2(y + z − 2t) − x(yz − t2). Ta thaáy
ngay y + z − 2t ≤ 0 vaø yz − t2 ≤ 0. Do ñoù ñeå coù d ≤ 0 ta chæ caàn x ≤ 0. Töø ñoù, ta giaû söû x = min{x, y, z}. Xeùt tröôøng hôïp x ≤ 0. Khi ñoù
ta doàn bieán nhö treân vaø chæ coøn phaûi chöùng minh f(x, t, t) ≤ 10. Thay t =
√ (9− x2)/2 ta coù:
g(x) = f(x, t, t) = 2x+ 2 √ 2(9 − x2)− x(9− x2)/2
Ta coù:
g′(x) = 3x2
2 − 5
2 − 4x√
18 − 2x2 Giaûi ra ta thaáy phöông trình g′(x) = 0 chæ coù 1 nghieäm aâm laø x = −1. Hôn nöõa g′ lieân tuïc vaø g′(−2) > 0 > g(0) neân suy ra g′ ñoåi daáu töø döông sang aâm khi ñi qua ñieåm x = −1. Vaäy ∀x ≤ 0 thì g(x) ≤ g(−1) = 10 vaø ta coù ñieàu phaûi chöùng minh. Tröôøng hôïp naøy ñaúng thöùc ñaït ñöôïc taïi x = −1, y = z = 2.
Phaàn coøn laïi ta phaûi giaûi quyeát tröôøng hôïp x > 0, töùc laø 3 soá x, y, z ñeàu döông. Luùc naøy daáu BÑT laø thöïc söï vaø ta chæ caàn ñaùnh giaù ñôn giaûn chöù khoâng phaûi thoâng qua doàn bieán. Neáu x ≥ 3/4 thì
f(x, y, z) = 2(x+y+z)−xyz ≤ 2 √ 3(x2 + y2 + z2)−(3
4 )3 = 2
√ 27− 27
64 < 10
Neáu x ≤ 3/4 thì
f(x, y, z) = 2(x+y+z)−xyz ≤ 2( √ 2(y2 + z2)+3/4) ≤= 2(
√ 18+3/4) < 10
Baøi toaùn chöùng minh xong!
3. Doàn bieán baèng kó thuaät haøm soá.
Ñaây laø moät kó thuaät raát quan troïng cuûa phöông phaùp doàn bieán. Tuy nhieân chuùng toâi giôùi thieäu noù ngay sau phaàn cô baûn nhaát laø nhaèm trang bò cho caùc baïn moät kó thuaät caàn thieát tröôùc khi ñi qua caùc muïc sau. Hôn nöõa, chuùng toâi nghó raèng khi ñaõ quen vôùi noù thì caùc baïn seõ khoâng coøn phaûi phaân bieät cöïc trò ñaït taïi taâm hay taïi bieân, vaø do ñoù muïc tieáp theo seõ nheï nhaøng hôn.
7
Trong $2 chuùng ta thaáy raèng ñeå chöùng toû f(x, y, z) ≥ f(t, t, z) ta chæ vieäc xeùt hieäu d = f(x, y, z)− f(t, t, z) roài tìm caùch ñaùnh giaù sao cho d ≥ 0. Tuy nhieân, ñoù laø vì daïng BÑT quaù ñôn giaûn, phuø hôïp vôùi caùc bieán ñoåi ñaïi soá. Giaû söû ta phaûi laøm vieäc vôùi bieåu thöùc f coù daïng, chaúng haïn, nhö: f(x, y, z) = xk + yk + zk vôùi k > 0 thì caùc caùch bieán ñoåi ñaïi soá seõ trôû neân raát coàng keành vaø phöùc taïp.
Kó thuaät haøm soá duøng ñeå giaûi quyeát caùc tröôøng hôïp nhö vaäy. YÙ töôûng chính theá naøy, chaúng haïn ñeå chöùng minh f(x, y, z) ≥ f(x, t, t) vôùi t = (y+ z)/2, ta xeùt haøm: g(s) = f(x, t+ s, t− s) vôùi s ≥ 0. Sau ñoù chöùng minh g taêng vôùi s ≥ 0 (thoâng thöôøng duøng coâng cuï ñaïo haøm raát tieän lôïi), suy ra g(s) ≥ g(0), ∀s ≥ 0, vaø ta seõ thu ñöôïc ñieàu mong muoán. Moät trong nhöõng ví duï quen thuoäc vôùi caùc baïn laø doàn bieán baèng haøm loài, tuy nhieân döôùi ñaây chuùng ta seõ quan saùt kó thuaät doàn bieán trong boái caûnh toång quaùt hôn, coøn vaán ñeà veà haøm loài seõ ñöôïc trôû laïi ôû moät muïc sau trong baøi toaùn vôùi n bieán.
Chuùng toâi nhaán maïnh raèng, ñaây laø moät kó thuaät khoù, bôûi noù chöùa ñöïng nhöõng neùt raát tinh teá cuûa phöông phaùp doàn bieán. Nhöõng ví duï sau ñaây theå hieän raát roõ veû ñeïp vaø söùc maïnh cuûa phöông phaùp doàn bieán.
Baøi toaùn 1. Cho k > 0 vaø a, b, c laø caùc soá khoâng aâm vaø chæ coù toái ña 1 soá baèng 0. Chöùng minh raèng:
( a
b+ c )k + (
b
c+ a )k + (
c
a+ b )k ≥ min{2, 3
2k } (∗)
Lôøi giaûi: Taát nhieân ta chæ caàn chöùng minh BÑT khi 2 = 3
2k ⇔ k = ln3
ln2 − 1 (caùc
baïn haõy suy nghó taïi sao BÑT ñuùng cho tröôøng hôïp naøy laïi daãn ñeán BÑT ñuùng cho tröôøng hôïp toång quaùt). Chuù yù vôùi k nhö treân thì ñaúng thöùc xaûy ra taïi hai choã laø a = b = c hoaëc a = b, c = 0 (vaø caùc hoaùn vò).
Khoâng maát toång quaùt coù theå giaû söû a + b + c = 1 vaø b ≥ c ≥ a. Ñaët t = b+c
2 vaø m = b−c
2 , suy ra b = t+m, c = t−m,a = 1− 2t . Khi ñoù veá traùi
BÑT caàn chöùng minh laø:
f(m) =
( 1 − 2t 2t
)k +
( t+m
1 − t−m )k
+
( t−m
1 +m− t )k
Vì c ≥ a neân 3t− 1 ≥ m ≥ 0, vaø 1 ≥ b+ c = 2t neân 1 2 ≥ t ≥ 1
3
Ta seõ khaûo saùt f(m) treân mieàn m ∈ [0, 3t− 1] vôùi t ∈ [1 3 , 1 2 ] laø haèng soá.
8
Ta coù:
f ′(m) = k(t+m)k−1
(1 − t−m)k+1 − k(t−m)k−1
(1 +m− t)k+1
f ′(m) ≥ 0⇔ (t+m) k−1
(1− t−m)k+1 ≥ (t−m)k−1
(1 +m− t)k+1
⇔ g(m) := [ln(t−m)− ln(t+m)]− k + 1 1 − k [ln(1− t−m)− ln(1 +m− t)] ≥ 0
Tieáp tuïc khaûo saùt g, ta coù:
g′(m) = − [
1
t−m + 1
t+m
] + k + 1
1− k [
1
1 − t−m + 1
1 +m− t ] ≥ 0
⇔ −2t (t−m)(t+m) +
k + 1
1 − k . 2(1− t)
(1− t−m)(1 +m− t) ≥ 0 (1)
Ñaùnh giaù k+1 1−k ≥ 2, do vaäy ñeå chöùng minh (1) ta caàn chöùng minh
⇔ −t t2 −m2 +
2(1 − t) (1 − t)2 −m2 ≥ 0 (1)
⇔ u(m) = −t+ 4t2 − 3t3 + 3tm2 − 2m2 ≥ 0 Thaät vaäy, vì u′(m) < 0 neân u(m) ≥ u(3t− 1) = 2(3t− 1)(2t− 1)2 ≥ 0
Vaäy g(m) ñoàng bieán suy ra g(m) ≥ g(0) = 0 suy ra f ′(m) ≥ 0 suy ra f(m) ≥ f(0). Nhôù laø khi m = 0 thì b = c = t.
Cuoái cuøng, ta caàn chöùng minh h(t) := f(0) ≥ 2. Vieát laïi:
h(t) =
( 1− 2t 2t
)k + 2
( t
1 − t )k
Ta khaûo saùt h(t) treân mieàn t ∈ [0, 1 3 ]. Ta coù:
h′(t) = 2ktk−1
(1 − t)k+1 − k
2k . (1− 2t)k−1
tk+1 ≤ 0
⇔ 2k+1t2k ≤ [(1− t)(1− 2t)]k−1 (2) Trong BÑT cuoái, veá traùi laø haøm ñoàng bieán theo t vaø veá phaûi laø haøm nghòch bieán theo t, vaø löu yù laø t ≤ 1
3 neân ñeå chöùng minh (2) ta caàn:
2k+1 ( 1
3
)2k ≤ [(1− 1
3 )(1 − 2
3 )]k−1
9
Baát ñaúng thöùc naøy ñuùng, neân h(t) nghòch bieán, suy ra
h(t) ≥ h(1 3 ) = 2
Baøi toaùn ñöôïc giaûi quyeát troïn veïn!
Nhaän xeùt: Ñeå thaáy ñöôïc neùt ñeïp cuûa baøi toaùn naøy, chuùng toâi xin daãn ra moät soá tröôøng hôïp rieâng cuûa noù, baûn thaân chuùng ñaõ laø caùc baøi toaùn hay vaø ñöôïc bieát ñeán moät caùch roäng raõi.
1) Tröôøng hôïp k = 1, ta thu ñöôïc BÑT Netbit:
a
b+ c +
b
c+ a +
c
a+ b ≥ 3
2
Ñaây laø moät BÑT raát noåi tieáng. Moät caùch chöùng minh "kinh ñieån" laø:
a
b+ c +
b
c+ a +
c
a+ b + 3 =
a+ b+ c
b+ c + a+ b+ c
a+ c + a+ b+ c
a+ b
= (a+ b+ c)( 1
b+ c +
1
c+ a +
1
a+ b )
≥ (a+ b+ c) 9 (b+ c) + (c+ a) + (a+ b)
= 9
2
2) Tröôøng hôïp k = 1 2 , ta thu ñöôïc BÑT sau:√
a
b+ c +
√ b
c+ a +
√ c
a+ b ≥ 2
Ñaây cuõng laø moät baøi toaùn raát ñeïp, tröôùc ñaây ñöôïc bieát ñeán nhö moät BÑT ngöôïc chieàu vôùi BÑT Netbit. Coù moät lôøi giaûi raát ñôn gaûn, chæ duøng BÑT Cauchy: √
a
b+ c =
2a
2 √ a(b+ c)
≥ 2a a+ b+ c
3) Tröôøng hôïp k ≥ 2 3 , ta coù BÑT sau:
( a
b+ c )k + (
a
b+ c )k + (
a
b+ c )k ≥ 3
2k
10
Ñaây cuõng laø moät baøi toaùn raát ñeïp ñaõ ñöôïc bieát ñeán töø tröôùc nhö laø moät môû roäng cho BÑT Netbit (noù cuõng töøng ñöôïc ñaêng treân taïp chí THTT vôùi teân cuûa taùc giaû laø Traàn Tuaán Anh). Töø keát quaû baøi toaùn toång quaùt, ta bieát raèng 2/3 khoâng phaûi laø soá toát nhaát ñeå coù giaù trò nhoû nhaát laø 3/2k . Tuy nhieân, noù laø soá toát nhaát theo nghóa coù theå aùp duïng BÑT Cauchy theo caùch sau ñaây. Ñeå ñôn giaûn chuùng toâi trình baøy vôùi tröôøng hôïp k = 2/3.
a+ b+ c = a+ b+ c
2 + b+ c
2 ≥ 3 3 √ a( b+ c
2 )2
⇒ ( 2a b+ c
) 2 3 ≥ 3a
a+ b+ c
Cuøng vôùi baøi toaùn 1, baøi toaùn sau ñaây cuõng laø moät trong nhöõng ví duï raát ñeïp cho kó thuaät haøm soá.
Baøi toaùn 2. Cho k > 0, a, b, c ≥ 0 vaø a+ b+ c = 3. Chöùng minh raèng:
(ab)k + (bc)k + (ca)k ≤ max{3, (3 2 )k} (∗)
Lôøi giaûi:
Khoâng maát toång quaùt coù theå giaû söû b ≥ c (coøn vieäc cho a = min hay max thì tuøy theo tình huoáng, ta seõ ñieàu chænh moät caùch "hôïp lí" khi caàn thieát).
Ñaët t = b+c 2
vaø m = b−c 2
suy ra b = t+m, c = t−m . Khi ñoù veá traùi BÑT caàn chöùng minh trôû thaønh:
f(m) = ak[(t+m)k + (t−m)k] + (t2 −m2)k
Ta khaûo saùt f(m) treân mieàn m ∈ [0, t]. Ta coù: f ′(m) = kak[(t+m)k−1 − (t−m)k−1]− 2km(t2 −m2)k−1 f ′(m) ≥ 0⇔ g(m) := ak[(t−m)1−k − (t+m)1−k]− 2m ≥ 0
Taát nhieân ta chæ caàn xeùt khi k > 1 (khi k ≤ 1 thì baøi toaùn ñôn giaûn). Ta coù:
g′′(m) = akk(k − 1)[(t−m)−k−1 − (t+m)−k] > 0
11
⇒ g′(m) ñoàng bieán, do ñoù coù toái ña moät nghieäm treân (0, t). Vì g(0) = 0, g(t) = +∞ neân chæ coù hai khaû naêng:
g(m) > 0 hoaëc g(m) = − 0 + Töông öùng ta coù f(m) ñi leân hoaëc f(m) ñi xuoáng roài laïi ñi leân. Trong tröôøng hôïp naøo thì cöïc ñaïi cuõng ñaït ôû bieân do ñoù
f(m) ≤ max{f(0), f(t)} Nhaéc laïi laø m = 0⇔ b = c = t vaø m = t⇔ c = 0.
Deã thaáy khi c = 0 thì:
f(t) = 2(ab)k ≤ ( 3
2
)2k neân ta chæ coøn phaûi xeùt tröôøng hôïp coøn laïi. Ñaët:
h(t) := f(0) = 2tkak + t2k = 2tk(3− 2t)k + t2k
Ta coù: h′(t) = −4k(3− 2t)k−1tk + 2k(3 − 2t)kbk−1 + 2kb2k−1
h′(t) ≥ 0⇔−2 ( 3− 2t t
)k−1 +
( 3− 2t t
)k + 1 ≥ 0
⇔ u(x) := xk − 2xk−1 + 1 ≥ 0 vôùi x = 3− 2t t
Ta coù: u′(x) = [kx− 2(k − 1)]xk−2. Vì u′(x) coù toái ña moät nghieäm treân R+ neân u(x) coù toái ña 2 nghieäm trong R+ , trong ñoù moät nghieäm laø x = 1.
Töø ñoù, ta seõ giaû söû a = min{a, b, c}. Khi ñoù ta chæ vieäc xeùt khi t ≥ 1 vaø töông öùng seõ laø x ≤ 1. Vì u(x) chæ coù toái ña 1 nghieäm trong (0, 1) neân h′(t) chæ coù toái ña 1 nghieäm trong (1, 3
2 ).
Löu yù laø löu yù h′(1) = 0, h′(3 2 ) > 0. Do ñoù, chæ coù hai khaû naêng hoaëc h(t)
ñoàng bieán hoaëc h(t) coù daïng −0+. Trong tröôøng hôïp naøo thì h(t) cuõng ñaït max taïi hai bieân, suy ra:
h(t) ≤ max{f(1), f(3 2 )} = max{3, (3
2 )2k}
vaø baøi toaùn giaûi quyeát xong!
12
*Nhaän xeùt: ÔÛ ñaây chuùng toâi khoâng giaû thieát a = min{a, b, c} ngay töø ñaàu laø muoán nhaán maïnh raèng: vieäc doàn veà 2 bieán baèng nhau luoân thöïc hieän ñöôïc maø khoâng caàn thöù töï saép ñöôïc giöõa caùc bieán. Taän duïng ñieàu ñoù, chuùng ta coù theå laøm caùch khaùc ñeå neù vieäc khaûo saùt baøi toaùn 1 bieán.
Thaät vaäy, nhö trong chöùng minh ñaõ chæ ra, ta luoân coù BÑT sau ñaây maø khoâng caàn giaû thieát gì veà thöù töï cuûa a, b, c:
f(a, b, c) ≤ max{(3 2 )2k, f(a,
b+ c
2 , b+ c
2 )} (∗)
Töø ñoù, vôùi moãi a, b, c coá ñònh, xeùt daõy soá sau: (a0, b0, c0) = (a, b, c), vaø ∀n ∈ Z+ thì ta ñònh nghóa baèng quy naïp:
(a2n−1, b2n−1, c2n−1) = (a2n−2, b2n−2 + b2n−2
2 , b2n−2 + b2n−2
2 )
vaø: (a2n, b2n, c2n) = (
a2n−1 + b2n−1 2
, a2n−1 + b2n−1
2 , c2n−1)
thì ta coù ngay
f(a, b, c) ≤ max{(3 2 )2k, f(an, bn, cn)},∀n ∈ Z+
Deã thaáy caùc daõy {an}, {bn}, {bn} ñeàu hoäi tuï veà 1, neân chuyeån qua giôùi haïn ta coù ñieàu phaûi chöùng minh.
Kó thuaät chuyeån qua giôùi haïn nhö vaäy cuõng khaù töï nhieân. Noù coù theå toång quaùt leân thaønh 2 ñònh lyù doàn bieán toång quaùt laø SMV vaø UMV maø chuùng toâi seõ giôùi thieäu ôû phaàn sau. Cuõng söû duïng tính lieân tuïc cuûa haøm soá nhöng vôùi kó thuaät khaùc, chuùng toâi coøn ñaït ñöôïc 1 keát quaû toång quaùt hôn.
Sau khi coù (*), coøn moät caùch khaùc ñeå ñaït ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh maø chæ caàn söû duïng moät soá höõu haïn laàn thay theá. Tuy nhieân, ñeå khoûi truøng laép chuùng toâi seõ giôùi thieäu noù trong muïc BÑT 4 bieán (vaø caùc muïc sau), khi maø noù thöïc söï caàn thieát. h Coøn trong tröôøng hôïp 3 bieán, chuùng toâi seõ chæ söû duïng caùch tieáp caän ñôn giaûn nhaát (doàn veà 1 bieán roài khaûo saùt), nhaèm giöõ ñöôïc tính trong saùng cuûa tö töôûng.
Chuùng toâi hi voïng raèng, sau khi ñoïc kó hai baøi toaùn treân, thì caùc baïn coù theå söû duïng kó thuaät haøm soá ñeå doàn bieán theo caùch baát kì, chöù khoâng nhaát
13
thieát laø doàn veà trung bình coäng. Sau ñaây laø moät ví duï cho kieåu doàn bieán veà trung bình nhaân.
Baøi toaùn 3: (Phaïm Kim Huøng) a) Cho caùc soá thöïc döông a, b, c coù tích baèng 1 . Chöùng minh raèng:
(i) 81(1 + a2)(1 + b2)(1 + c2) ≤ 8(a+ b+ c)4 (ii) 64(1 + a3)(1 + b3)(1 + c3) ≤ (a+ b+ c)6
Lôøi giaûi: (i). Ñaët f(a, b, c) = 8(a+ b+ c)4 − 81(1 + a2)(1 + b2)(1 + c2). Ta coù theå giaû söû a ≥ b. Xeùt haøm soá g(t) = f(ta, b/t, c) vôùi t ∈ [√b/a, 1]. Ta coù:
g′(t) = 32(a− b t2 )(ta+
b
t + c)3 − 81(a− b
t2 )(ta+
b
t )(1 + c2)
Vì t ∈ [√b/a, 1] neân g′(t) ≥ 0 neáu: 32(d + c)3 ≥ 81d(1 + c2) vôùi d = ta+ b
t
Ta coù: 32(d+c)3 > 32d(d2+2dc+3c2) ≥ 32d(3 3√d4c2+3c2) > 81d(1+c2) (löu yù laø d2c ≥ 4)
Vaäy g′(t) ≥ 0 vôùi t ∈ [√b/a, 1]. Do ñoù: g(1) ≥ g(√b/a). Vaäy f(a, b, c) ≥ f(s, s, c) vôùi s =
√ ab. Thay s = 1/
√ c ta ñöôïc:
f(s, s, c) = f( 1√ c , 1√ c , c) = 8(
2√ c + c)4 − 81(1 + 1
c )2(1 + c2)
= (
√ c− 1 c
)2(8c5 + 16c 9 2 + 24c4 + 96c
9 2 + 87c3 + 78c
5 2+
+99c2 + 120c 3 2 − 21c + 94√c + 47)
≥ 0 (ñpcm) Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi a = b = c = 1.
(ii) Baèng caùch laøm töông töï nhö treân, baïn ñoïc coù theå töï chöùng minh BÑT naøy. ÔÛ ñaây chuùng toâi xin löu yù raèng BÑT laø thöïc söï vaø 64 laø haèng soá toát nhaát.
Ñieàu cuoái cuøng maø chuùng toâi muoán noùi vôùi baïn ñoïc, ñoù laø töø vieäc naém ñöôïc phöông phaùp ñeán vieäc vaän ñuïng ñöôïc noù moät caùch thaønh thaïo laø caû moät quaù trình. Ñieàu caàn nhaát laø caùc baïn phaûi coù yù chí ñeå thöïc hieän vaán ñeà tôùi nôi tôùi choán chöù ñöøng boû dôû nöûa chöøng, duø phaûi ñoái maët vôùi nhöõng tính
14
toaùn phöùc taïp. Roài thaønh coâng tröôùc moãi baøi toaùn seõ khieán caùc baïn töï tin hôn. Chuùng toâi daãn ra ñaây moät baøi toaùn maø coù theå lôøi giaûi cuûa noù seõ khieán nhieàu baïn "khieáp sôï", tuy nhieân chuùng toâi hi voïng caùc baïn seõ bình taâm ñeå thaáy ñöôïc veû ñeïp trong saùng cuûa noù aån ñaèng sau nhöõng kó thuaät tính toaùn laõo luyeän.
Baøi toaùn 4. Cho a, b, c ≥ 0, a + b + c = 3. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc:
ab
3 + c2 +
bc
3 + a2 +
ca
3 + b2
Lôøi giaûi: Lôøi giaûi sau ñaây cuûa anh Phan Thaønh Nam. Giaû söû a ≥ b ≥ c. Ñaët a = s + t, b = s − t thì veá traùi BÑT caàn chöùng
minh laø:
f(t) := c(s− t)
3 + (s+ t)2 +
c(s+ t)
3 + (s− t)2 + s2 − t2 3 + c2
Ta khaûo saùt f(t) treân mieàn t ∈ [0, s− c]. Ta coù:
f ′(t) = −c
3 + (s+ t)2 − 2c(s
2 − t2) (3 + (s+ t)2)2
+ c
3 + (s− t)2 + 2c(s2 − t2)
(3 + (s − t)2)2 − 2t
3 + c2
= 4cst
uv +
8cst(s2 − t2)(u+ v) u2v2
− 2t 3 + c2
< 0,∀t ∈ (0, s− c) (∗)
vôùi u = 3 + (s+ t)2, v = 3 + (s− t)2 (BÑT (*) seõ chöùng minh sau). Vaäy ∀t ∈ [0, s− c] thì:
f(t) ≤ f(0) = 2cs 3 + s2
+ s2
3 + c2 =
2s(3− 2s) 3 + s2
+ s2
3 + (3− 2s)2 =: g(s) (1)
Xeùt g(s) vôùi s ∈ [1, 3 2 ]. Ta coù:
g′(s) = 24s − 12s2
(3 + (3− 2s)2)2+ 18− 24s − 6s2
(3 + s2)2 =
108(s2 − 3s + 4)(s− 1)2(−s2 − 3s + 6) [3 + (3− 2s)2]2[3 + s2]2
Deã thaáy s2 − 3s+ 4 > 0 vaø −s2 − 3s+6 = ( √ 33−3 2
− s)(s+ √ 33+3 2
) neân g′(s) döông treân (1, s0) vaø aâm treân (s0, 32) vôùi s0 :=
√ 33−3 2
= 1, 372281323... Vaäy ∀s ∈ [1, 3
2 ] thì:
g(s) ≤ g(s0) = 11 √ 33 − 45 24
(2)
15
Trong (1) vaø (2), daáu "=" xaûy ra ñoàng thôøi taïi t = 0 vaø s = s0, töùc laø a = b = s0 vaø c = 3− 2s0.
Vaäy giaù trò lôùn nhaát caàn tìm laø 11 √ 33−45 24
= 0, 757924546..., ñaït ñöôïc khi a = b =
√ 33−3 2
= 1, 372281323... , c = 6 −√33 = 0, 255437353... Ñeå keát thuùc, ta chöùng minh BÑT (*). Ñaây laø 1 BÑT khaù chaët. Ta seõ chæ
ra vôùi t ∈ (0, s− c) thì: 4cs
uv <
1
3 + c2 (3) vaø
8cs(s2 − t2)(u+ v) u2v2
≤ 1 3 + c2
(4)
laø xong! Chöùng minh (3): Vì c + 2s = 1 vaø s > 1 neân cs < 1. Hôn nöõa u =
3 + (s+ t)2 > 4, v = 3 + (s− t)2 > 3 + c2. Töø ñoù suy ra (3). Chöùng minh (4): Duøng BÑT Cauchy ta coù:
u2v2 = [[3 + (s + t)]2[3 + (s - t)]2]2 ≥ 16(s2 − t2),vaø
2cs(u+ v)(3+ c2) = 4cs(3+ s2+ t2)(3+ c2) ≤ ( 4cs + 3 + s2 + t2 + 3 + c2
3
)3 Thay c = 3− 2s vaøo, löu yù laø t ≤ s− c = 3s− 3, ta coù: 4cs + 3 + s2 + t2 + 3 + c2 ≤ 4(3 − 2s)s+ 6 + s2 + (3s − 3)2 + (3 − 2s)2 = 12 + 6(s− 1)(s− 2) ≤ 12
suy ra 2cs(u + v)(3 + c2) < 43. Vaäy:
8cs(s2 − t2)(u+ v) u2v2
= 4. s2 − t2 u2v2
. 2cs(u+ v)(3 + c2)
3 + c2 ≤ 4. 1
44 .
43
3 + c2 =
1
3 + c2
vaø baøi toaùn giaûi quyeát xong!
4. BÑT 3 bieán vôùi cöïc trò ñaït ñöôïc taïi bieân.
Neáu nhö trong phaàn tröôùc chuùng ta coù theå hieåu "doàn bieán" laø "ñaåy hai bieán laïi gaàn nhau", thì trong tröôøng hôïp naøy ta phaûi hieåu "doàn bieán" nghóa laø "ñaåy 1 bieán ra bieân". Chaúng haïn nhö xeùt BÑT f(x, y, z) ≥ 0 vôùi x, y, z ≥ 0, ta coù theå hi voïng vaøo ñaùnh giaù f(x, y, z) ≥ f(0, s, t), trong ñoù s, t laø caùc ñaïi löôïng thích hôïp sinh ra töø caùc bieán a, b, c (ta seõ goïi ñaây
16
laø kó thuaät doàn 1 bieán ra bieân). Taát nhieân ta seõ choïn s, t sao cho hieäu d = f(x, y, z) ≥ f(0, s, t) laø ñôn giaûn vaø coù theå ñaùnh giaù thuaän lôïi. Cuoái cuøng ta chæ vieäc kieåm chöùng f(0, s, t) ≥ 0.
Tröôùc heát, ñeå caùc baïn laøm quen vôùi caùch doàn bieán "môùi meû" naøy, chuùng toâi xin trôû laïi moät ví duï ôû phaàn tröôùc.
Baøi toaùn 1: (BÑT Schur) Cho a, b, c ≥ 0. Chöùng minh raèng:
a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ a2(b+ c) + b2(c+ a) + c2(a+ b).
Lôøi giaûi: Trong $2, baøi naøy ñaõ ñöôïc giaûi baèng caùch doàn 2 bieán veà baèng nhau. Tuy
nhieân nhaän xeùt laø ngoaøi ñieåm a = b = c, ñaúng thöùc coøn ñaït taïi a = b, c = 0 (vaø caùc hoaùn vò). Do ñoù, kó thuaät doàn bieán ra bieân vaãn coù khaû naêng thaønh coâng!
Ñaët f(a, b, c) = a3 + b3 + c3 + 3abc− a2(b+ c)− b2(c+ a)− c2(a+ b). Ta hi voïng seõ coù f(a, b, c) ≥ f(0, a+ b, c). Xeùt hieäu:
d = f(a, b, c)− f(0, a+ b, c) = ab(5c− 4a− 4b)
Nhö vaäy laø ta khoâng theå coù d ≥ 0, cho duø taän duïng söï kieän laø a, b, c coù theå ñöôïc saép.
Thaät ñaùng tieác! Tuy nhieân, neáu caùc baïn döøng laïi ôû ñaây thì coøn ñaùng tieác hôn. Thay vì boû dôõ, ta haõy xem laïi vì sao khoâng theå coù d ≥ 0. Neáu tinh yù, caùc baïn coù theå thaáy laø f(a, b, c) seõ nhoû ñi khi hai bieán tieán laïi gaàn nhau (ñoù chính laø lyù do maø ta coù theå doàn veà hai bieán baèng nhau nhö trong $2), coøn ôû ñaây khi thay boä (a, b, c) bôûi (0, a+ b, c) thì "döôøng nhö" caùc bieán caøng caùch xa nhau. Ñoù chính laø lyù do caùch doàn bieán ôû treân thaát baïi.
Töø ñoù, ta naûy ra yù laø thay (a, b, c) bôûi (0, b+ a/2, c + a/2). Xeùt hieäu:
da = f(a, b, c)− f(0, b+ a/2, c+ a/2) = a(a+ b− 2c)(a+ c− 2b)
Ñieàu thuù vò laø ta coù theå giaû söû da ≥ 0. Thaät vaäy, ñieàu naøy cuõng nhôø vieäc saép thöù töï nhöng khoâng phaûi laø giöõa caùc bieán a, b, c maø laø giöõa caùc hieäu da, db, dc (trong ñoù db, dc laø hai hieäu töông töï nhö da). Vì tính ñoái xöùng neân ta coù theå giaû söû da = max{da, db, dc}. Khi ñoù neáu da < 0 thì
0 > dadbdc = abc(b+ c− 2a)2(c+ a− 2b)2(a+ b− 2c)2
17
vaø maâu thuaãn! Vaäy da ≥ 0 neân f(a, b, c) ≥ f(0, s, t) vôùi s = b+ a/2, t = c + a/2. Cuoái
cuøng, ta thaáy
f(0, s, t) = t3 + s3 − t2s− ts2 = (t+ s)(t− s)2 ≥ 0
vaø chöùng minh ñöôïc hoaøn taát.
*Nhaän xeùt: Maëc duø BÑT Schur quaù quen thuoäc, nhöng caùch chöùng minh baèng doàn bieán môùi chæ ñöôïc chuù yù gaàn ñaây. Tuy nhieân, neáu nhö caùch doàn veà hai bieán baèng nhau coù veû khaù "hôïp lyù", thì caùch doàn moät bieán ra bieân laø moät keát quaû thöïc söï baát ngôø. Taát nhieân, chöùng minh treân khoâng phaûi laø caùch ngaén goïn nhaát, nhöng ôû ñaây chuùng toâi muoán nhaán maïnh ñeán söï töï nhieân cuûa noù.
Neáu nhö trong baøi toaùn 1 vieäc aùp duïng kó thuaät doàn bieán ra bieân gaây baát ngôø, thì trong baøi toaùn sau noù laø moät con ñöôøng taát yeáu.
Baøi toaùn 2: (Hojoo Lee) Cho a, b, c ≥ 0, ab + bc + ca = 1 (*). Chöùng minh raèng:
1
a+ b +
1
b+ c +
1
c+ a ≥ 5
2
Lôøi giaûi: Baøi naøy ñaúng thöùc khoâng xaûy ra taïi taâm, maø taïi a = b = 1, c = 0 vaø caùc
hoaùn vò. Xeùt moät tröôøng hôïp rieâng khi c = 0, thì baøi toaùn trôû thaønh:
"Chöùng minh raèng: 1
a +
1
b +
1
a+ b ≥ 5
2 , vôùi ab = 1.”
Ñaët s = a+b thì ñieàu treân töông ñöông vôùi s+ 1 s ≥ 5
2 , hay (2s−1)(s−2) ≥
0. BÑT cuoái laø hieån nhieân vì s = a+ b ≥ 2√ab = 2. Vaäy baây giôø ta chæ caàn doàn moät bieán veà 0 nöõa laø xong. Caùch laøm sau
ñaây laáy töø yù cuûa anh Phaïm Kim Huøng treân Dieãn Ñaøn Toaùn Hoïc. Ñaët f(a, b, c) laø veá traùi BÑT caàn chöùng minh. Ta hi voïng f(a, b, c) ≥
f(a + b, 1 a+b
, 0) (chuù yù laø caùch laáy naøy nhaèm ñaûm baûo ñieàu kieän (∗)). Xeùt
18
hieäu:
d = f(a, b, c)− f(a+ b, 1 a+ b
, 0)
=
( 1
a+ b +
1
a+ 1−ab a+b
+ 1
b+ 1−ab a+b
) − (
1
a+ b + a+ b+
1
a+ b+ 1 a+b
) .
= 1
1 + a2 +
1
1 + b2 − 1 − 1
1 + (a+ b)2
Töø ñoù quy ñoàng leân ta thaáy d ≥ 0 neáu 2(1 − ab) ≥ ab(a+ b)2. Neáu giaû söû c = max{a, b, c} thì 2(1 − ab) = 2c(a+ b) ≥ ab(a+ b)2. Vaäy luùc naøy d ≥ 0 vaø baøi toaùn chöùng minh xong!
*Nhaän xeùt: 1) Lôøi giaûi ñaày tieân ñöôïc ñöa ra treân Dieãn Ñaøn Toaùn Hoïc laø cuûa anh Phan Thaønh Nam, moät caùch chöùng minh raát ngaén goïn. Ñaët x = a+ b+ c.
Neáu x ≥ 2 thì: 1
a+ b = c+
ab
a+ b ≥ c+ ab
a+ b+ c ⇒ f(a, b, c) ≥ x+ 1
x ≥ 5
2
Neáu x ≤ 2 thì giaû söû a = max{a, b, c} ta coù:
f(a, b, c) = (c+ ab
a+ b ) + (b+
ac
a+ c ) +
1
b+ c
= (b+ c+ 1
b+ c ) +
a(1 + bc)
ax+ bc ≥ 2 + 1
2 =
5
2
(löu yù laø 2a(1 + bc) = 2a+ 2abc ≥ ax+ bc, vì x ≤ 2 vaø 2a ≥ 1 .) Tuy nhieân, nhöõng lôøi giaûi nhö vaäy khoâng phaûi deã daøng nghó ra. Veà lôøi giaûi
baèng doàn bieán ôû treân, moät laàn nöõa chuùng toâi nhaán maïnh ñeán tính töï nhieân cuûa noù.
2) Baøi toaùn 2 laø moät baøi toaùn hay vaø thu ñöôïc söï quan taâm cuûa nhieàu baïn. Tuy nhieân, caùc baïn seõ baát ngôø khi noù chæ laø moät heä quaû ...ñôn giaûn cuûa moät BÑT quen thuoäc khaùc. Ñoù chính laø BÑT Iran 1996. Thaät vaäy, vôùi giaû thieát ab+ bc+ ca = 1 thì töø keát quaû cuûa BÑT Iran 1996 ta coù ngay:
( 1
a+ b +
1
b+ c +
1
c+ a )2
= 1
(a+ b)2 +
1
(b+ c)2 +
1
(c+ a)2 +
4(a+ b+ c)
(a+ b)(b+ c)(c+ a) ≥ 9
4 + 4 =
25
4
19
(löu yù laø a+ b+ c = (a+ b+ c)(ab+ bc+ ca) ≥ (a+ b)(b+ c)(c+ a)) Töø nhaän xeùt treân, ta nhôù laïi laø trong $2, BÑT Iran 1996 ñaõ ñöôïc giaûi baèng
kó thuaät doàn veà hai bieán baèng nhau. Töø ñoù coù hai caâu hoûi raát töï nhieân laø, thöù nhaát: baøi toaùn 2 ôû treân coù theå giaûi baèng caùch doàn hai bieán baèng nhau khoâng, thöù hai: BÑT Iran 1996 coù theå giaûi baèng caùch doàn 1 bieán ra bieân khoâng? Chuùng toâi ñeà nghò caùc baïn töï giaûi ñaùp hai caâu hoûi ñoù.
3) Baøi toaùn 2 laïi daãn ñeán keát quaû thuù vò sau ñaây, maø taùc giaû laø baïn Zhao bin (Trung Quoác) "Cho x, y, z laø caùc soá thöïc khoâng aâm vaø chæ coù toái ña 1 soá baèng 0. Chöùng minh raèng:
1
x2 + y2 +
1
y2 + z2 +
1
z2 + x2 ≥ 10
(x+ y + z)2 .”
Baèng hai baøi toaùn "cuõ" ôû treân, chuùng toâi muoán baïn ñoïc coù moät caûm giaùc deã daøng ñoái vôùi kó thuaät doàn bieán veà bieân. Tuy nhieân, trong hai baøi naøy thì kó thuaät doàn bai bieán baèng nhau vaãn phaùt huy taùc duïng, do ñoù khoâng khoûi khoù khaên trong vieäc thuyeát phuïc baïn ñoïc veà söùc maïnh cuûa kó thuaät doàn bieán ra bieân. Do ñoù, chuùng toâi daãn ra baøi toaùn sau ñaây, caùc baïn seõ thaáy kó thuaät doàn veà hai bieán baèng nhau hoaøn toaøn beá taéc, ñôn giaûn vì ñaúng thöùc ñaït ñöôïc khi ... caùc bieán ñoâi moät khaùc nhau. Ñaây cuõng laø moät trong nhöõng ví duï quan troïng nhaát cuûa kó thuaät doàn bieán ra bieân maø chuùng toâi muoán trình baøy vôùi caùc baïn.
Baøi toaùn 3: (Jackgarfukel) Cho a, b, c laø 3 soá thöïc khoâng aâm vaø coù toái ña moät soá baèng 0. Chöùng minh raèng:
a√ a+ b
+ b√ b+ c
+ c√ c+ a
≤ 5 4
√ a+ b+ c (∗)
Lôøi giaûi: Tröôùc khi taán coâng baøi naøy, ta caàn xem khi naøo tröôøng hôïp daáu baèng
xaûy ra: deã thaáy a = b = c khoâng thoûa, do ñoù moät caùch töï nhieân ta nghó ñeán tröôøng hôïp bieân: c = 0. Vôùi c = 0 thì BÑT(*) trôû thaønh
a√ a+ b
+ √ b ≤ 5
4
√ a+ b (1)
20
Chuaån hoùa a+ b = 1. Ta coù
(1)⇔ 1 − b+ √ b ≤ 5
4 ⇔ (
√ b− 1/2)2 ≥ 0 (ñuùng!)
Vaäy ñaúng thöùc xaûy ra khi a = 3b, c = 0 (vaø caùc hoaùn vò). Nhö vaäy tröôøng hôïp daáu baèng xaûy ra khi caû ba bieán rôøi nhau, do ñoù caùc
phöông phaùp doàn veà hai bieán baèng nhau xem nhö khoâng coøn taùc duïng. Do ñoù, doàn moät bieán veà bieân coù theå xem laø con ñöôøng taát yeáu.
Khoâng maát toång quaùt coù theå giaû söû a = max{a, b, c} vaø a + b + c = 1. Ñaët t = a+c
2 vaø s = a−c
2 , suy ra a = t+ s, c = t− s, b = 1 − 2t. Ta coù
(∗)⇔ t+ s√ s+ 1− t +
1 − 2t√ 1 − t− s +
t− s√ 2t ≤ 5
4 (1)
Ñaët f(s) = V T (1) vôùi s ∈ [0, t], ta seõ chöùng minh f(s) ≤ max(f(0), f(t)). Ta coù :
f ′(s) = 1√
s+ 1− t − t+ s
2(s + 1− t)3/2 + 1 − 2t
2(1 − t− s)3/2 − 1√ 2t
Vì chöa xaùc ñònh ñöôïc daáu cuûa f ′(s) neân ta ñaïo haøm tieáp
f ′′(s) = − 1 (s+ 1 − t)3/2 +
3(t+ s)
4(s+ 1 − t)5/2 + 3(1− 2t)
4(1 − t− s)5/2
f ′′′(s) = 9
4(s+ 1 − t)5/2 − 15(t+ s)
8(s+ 1 − t)7/2 + 15(1 − 2t)
8(1 − t− s)7/2
= 18 + 3s− 33t (1− t− s)7/2 +
15(1 − 2t) 8(1 − t− s)7/2 > 0, vì b = 1 − 2t ≥ 0
Vaäy f ′′′(s) > 0 vôùi moïi s ∈ [0, t] neân theo ñònh lí Rolle ruy ra f ′(s) coù toái ña ña hai nghieäm treân [0, t]. Maët khaùc deã daøng chöùng minh f ′(0) ≤ 0 vaø f ′(t) ≥ 0 do ñoù f ′(s) chæ coù theå ñoåi daáu toái ña moät laàn treân (0, t), hôn nöõa f ′(s) chæ coù theå coù moät trong caùc daïng sau: f ′(s) > 0,∀s ∈ (0, t) hoaëc f ′(s) < 0,∀s ∈ (0, t) hoaëc f ′(s) coù daïng − 0 + treân (0, t). Tuy nhieân trong tröôøng hôïp naøo thì f(s) cuõng chæ coù theå ñaït cöïc ñaïi taïi bieân.
Vaäy f(s) ≤ max(f(0), f(t)) vôùi moïi s ∈ [0, t] neân ta chæ caàn chöùng minh BÑT sau nöõa laø xong:
max(f(0), f(t)) ≤ 5/4
21
Muoán vaäy ta chöùng minh laàn löôït caùc BÑT f(0) ≤ 5/4 vaø f(t) ≤ 5/4. Vieäc chöùng minh hai BÑT naøy ñeàu raát deã daøng, neân chuùng toâi ñeà nghò baïn ñoïc töï kieåm chöùng.
Haún nhieân caùc baïn ñeàu ñoàng yù veà söï caàn thieát cuûa phöông phaùp doàn bieán ra bieân ñoái vôùi baøi toaùn 3. Tuy nhieân, coù theå nhieàu baïn seõ cho raèng: vì baøi toaùn 3 khoâng ñoái xöùng neân môùi khoâng xaûy ra tröôøng hôïp daáu "=" khi coù hai bieán baèng nhau. Ñeå phuû ñònh nhaän xeùt ñoù, chuùng toâi keát thuùc muïc naøy baèng caùch daãn ra moät baøi toaùn cuûa anh Phaïm Kim Huøng treân THTT:
Baøi toaùn 4. Cho a, b, c ≥ 0, a+ b+ c = 3. Chöùng minh raèng:
(a3 + b3 + c3)(a3b3 + b3c3 + c3a3) ≤ 36(ab+ bc+ ca)
Lôøi giaûi:
Khoâng maát toång quaùt coù theå giaû söû a ≥ b ≥ c. Ñaët
f(a, b, c) = 36(ab+ bc+ ca)− (a3 + b3 + c3)(a3b3 + b3 + c3 + c3a3)
Khi ñoù f(a, b+ c, 0) = 36a(b + c)− (a3 + (b+ c)3)a3(b+ c)3. Ta seõ chöùng minh raèng f(a, b, c) ≥ f(a, b+ c, 0). Thaät vaäy, chuù yù raèng:
36(ab+ bc+ ca) ≥ 36a(b+ c)
vaø (a3 + b3 + c3)(a3b3 + b3c3 + c3a3) ≤ [a3 + (b+ c)3]a3(b+ c)3
(vì ta coù a3 + b3 + c3 ≤ a3 + (b+ c)3 vaø a3b3 + b3c3 + c3a3 ≤ a3(b+ c)3)
Do ñoù ta chæ caàn chöùng minh baøi toaùn trong tröôøng hôïp c = 0, hay
36ab ≥ a3b3(a3 + b3)⇔ 36 ≥ a2b2(a3 + b3)
Ñaët t = ab, baát ñaúng thöùc coù theå vieát laïi döôùi daïng t2(27 − 9t) ≤ 36 ⇔ t3 + 4 ≥ 3t2. Nhöng ñaây laïi laø BÑT Cauchy cuûa ba soá t3/2, t3/2, 4. Ñaúng thöùc xaûy ra khi c = 0 vaø a + b = 3, ab = 2 hay a = 2, b = 1, c = 0 (vaø caùc hoaùn vò).
22
*Nhaän xeùt: Moät ví duï nöõa, ñôn giaûn hôn, cuûa cuøng taùc giaû treân Dieãn Ñaøn Toaùn Hoïc:
" Cho a, b, c ≥ 0, a+ b+ c = 2. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa:
(a2 − ab+ b2)(b2 − bc+ c2)(c2 − ca+ a2).”
Baøi toaùn naøy khoâng khoù vaø ñeà nghò baïn ñoïc töï giaûi quyeát.
5. BÑT 4 bieán.
Sau khi naém vöõng kó thuaät doàn bieán vôùi 3 soá thì caùc baïn coù theå ñoïc muïc naøy moät caùch nhanh choùng. Chuùng toâi chæ xin löu yù ñaëc thuø cuûa tröôøng hôïp 4 bieán: Khi coù 4 bieán thì ta coù theå doàn bieán theo töøng caëp, vaø coù theå chöùng minh ñöôïc ngay baøi toaùn (chaúng haïn nhö BÑT Cauchy). Tuy nhieân, thuaän lôïi naøy thöôøng chæ xuaát hieän trong caùc baøi toaùn khaù ñôn giaûn. Ñoái vôùi caùc baøi phöùc taïp thì thöôøng ta chæ doàn ñöôïc 1 caëp nhôø thöù töï saép ñöôïc giöõa caùc bieán. Sau khi doàn ñöôïc hai bieán baèng nhau (hoaëc doàn ñöôïc moät bieán ra bieân) thì ta chöa coù ngay BÑT vôùi 1 bieán, maø phaûi qua moät BÑT trung gian (2 hay 3 bieán). Tuy nhieân thöôøng thì caùc BÑT trung gian naøy khaù deã ñeå coù theå chöùng minh tröïc tieáp hoaëc ñaùnh giaù ñeå quy veà 1 bieán. Noùi chung, chuùng toâi nhaán maïnh ñieàu caàn thieát ôû ñaây laø caùc baïn caàn quan saùt thaät kó moái lieân heä giöõa 4 bieán ñeå coù caùch xöû lyù thích hôïp.
Chuùng ta baét ñaàu vôùi moät ví duï "kinh ñieån" cho kó thuaät doàn bieán vôùi BÑT 4 bieán.
Baøi toaùn 1. (IMO SL, Vieät Nam ñeà nghò) Cho a, b, c, d ≥ 0, a+ b+ c+d = 1. Chöùng minh raèng:
abc+ bcd+ cda+ dab ≤ 1 27
+ 176
27 abcd
Lôøi giaûi: Baøi naøy ñaúng thöùc xaûy ra khi a = b = c = d = 1/4 hoaëc a = b = c =
1/3, c = 0. Do ñoù, nhöõng ñaùnh giaù thoâng thöôøng raát deã rôi vaøo beá taéc. Ñaët f(a, b, c, d) = abc+ bcd+ cda+ dab− kabcd vôùi k = 176
27 . Ta coù:
f(a, b, c, d) = ab(c+ d − kcd) + cd(a+ b)
23
Töø ñoù, ta hi voïng coù f(a, b, c, d) ≤ f(t, t, c, d) vôùi t = a+b 2
. Vì 0 ≤ ab ≤ t2 neân ñeå coù ñieàu naøy ta caàn c+ d − kcd ≥ 0. ÔÛ ñaây raát may maén laø neáu coù ñieàu naøy coù ñieàu ngöôïc laïi, nghóa laø c+ d− kcd < 0, thì BÑT ban ñaàu hieån nhieân ñuùng vì:
f(a, b, c, d) = ab(c+d−kcd)+cd(a+b)≤ cd(a+b) ≤ (c+ d+ (a+ b) 3
)3 = 1
27
Vaäy ta coù theå giaû söû laø luoân coù f(a, b, c, d) ≤ f(a+b 2 , a+b
2 , c, d). Löu yù laø ta
ñaõ thöïc hieän ñöôïc vieäc doàn bieán nhö treân maø khoâng caàn baát cöù giaû thieát phuï naøo aùp ñaët leân 2 bieán a, b. Do ñoù nhôø tính ñoái xöùng ta coù theå doàn 2 bieán baát kì trong 4 bieán veà baèng nhau.
Töø ñoù, ñaët theâm s = c+d 2
ta coù:
f(a, b, c, d) ≤ f(t, t, c, d) ≤ f(t, t, s, s) = f(t, s, t, s) ≤ f(t+ s
2 , t+ s
2 , t, s) ≤ f(t+ s
2 , t+ s
2 , t+ s
2 , t+ s
2 ) = f(
1
4 , 1
4 , 1
4 , 1
4 ) =
1
27
vaø baøi toaùn chöùng minh xong!
*Nhaän xeùt: 1) Trong lôøi giaûi treân, thöïc chaát laø cöù moãi böôùc ta laïi phaân ra 2 tröôøng hôïp: coù moät tröôøng hôïp thì doàn bieán ñöôïc vaø moät tröôøng hôïp maø BÑT hieån nhieân ñuùng. Do ñoù, lôøi giaûi khoâng khoûi coù phaàn roái raém. Baïn ñoïc neân trình baøy laïi baèng caùch phaûn chöùng (giaû söû coù (a0, b0, c0, d0) sao cho f(a0, b0, c0, d0) > 127) seõ goïn gaøng vaø chaët cheõ hôn. Moät caùch khaùc laø goäp caû hai tröôøng hôïp laïi:
f(a, b, c, d) ≤ max{ 1 27 , f(
a+ b
2 , a+ b
2 , c, d)} (1)
2) ÔÛ ñaây coøn coù moät caùch nhìn nöõa, thoaït nhìn thì khoâng khaùc maáy yù ôû treân (thaäm chí coù veû daøi doøng hôn), tuy nhieân ñaây laø moät kó thuaät raát coù ích. YÙ töôûng naøy laáy töø anh Phan Thaønh Nam vaø anh Phaïm Kim Huøng treân Dieãn Ñaøn Mathlinks.
Nhaéc laïi laø f(a, b, c, d) = ab(c+ d − kcd) + cd(a+ b). Ñaët g(x) = ab(c+ d− kcd) + cd(a+ b) thì g laø haøm tuyeán tính, vaø ab ∈ [0, t2] (vôùi t = a+b
2 ) neân
g(ab) ≤ max{g(0), g(t2)}. Chuù yù g(0) = f(0, a + b, c, d). Vaäy ta coù:
f(a, b, c, d) ≤ max{f(0, a+ b, c, d), f(t, t, c, d)} (2)
24
Vôùi caùch vieát trong BÑT (2) ôû treân thì vieäc cöïc trò ñaït taïi taâm hoaëc taïi bieân laø raát roõ raøng. Thaät ra, trong baøi toaùn naøy ta coù ngay f(0, a + b, c, d) ≤ 1
27
vaø coù theå chuyeån (2) veà (1). Tuy nhieân, vôùi caùc baøi phöùc taïp thì daïng (2) seõ toû ra raát coù ích, ñaëc bieät laø trong kó thuaät doàn bieán toång quaùt cho n soá maø chuùng toâi seõ trình baøy ôû phaàn sau.
3) Caùc baïn haõy töï giaûi quyeát baøi toaùn töông töï sau ñaây cuûa Nguyeãn Anh Cöôøng.
"Giaû söû x, y, z, t laø caùc soá thöïc khoâng aâm thoûa maõn x + y + z + t = 4, chöùng minh raèng:
3(x2 + y2 + z2 + t2) + 4xyzt ≥ 16 ”.
Chuùng ta tieáp tuïc vôùi 1 baøi toaùn maø trong ñoù caùc kó thuaät doàn 2 bieán baèng nhau laø thöïc söï roõ raøng.
Baøi toaùn 2. (Phan Thaønh Nam) Cho a, b, c, d laø caùc soá thöïc khoâng aâm coù toång baèng 4. Chöùng minh baèng:
abc+ bcd+ cda+ dab+ (abc)2 + (bcd)2 + (cda)2 + (dab)2 ≤ 8 Lôøi giaûi:
Lôøi giaûi sau ñaây cuûa taùc giaû baøi toaùn. Ñaët f(a, b, c, d) laø V T BÑT caàn chöùng minh. Ta coù:
f( a+ b
2 , a+ b
2 , c, d)− f(a, b, c, d)
= ( a− b 2
)2(c+ d) + ( a− b 2
)2[( a+ b
2 )2 + ab](c2+ d2)− (a− b)
2
2 c2d2
≥ (a− b 2
)2(c+ d+ 4abcd− 2c2d2)
Vaäy neáu c+ d + 4abcd ≥ 2c2d2 thì f(a+b 2 , a+b
2 , c, d) ≥ f(a, b, c, d).
Ta giaû söû a ≥ b ≥ c ≥ d thì theo treân ta coù: f(x, x, c, d) ≥ f(a, b, c, d) vôùi x = a+b
2 . Töông töï, ta xeùt: f(x, x, c+d
2 , c+d
2 )− f(x, x, c, d).
Neáu 2x + 4x2cd ≥ 2x4 thì f(x, x, c+d 2 , c+d
2 ) ≥ f(x, x, c, d). Vaø ta chæ caàn
chöùng minh f(x, x, y, y) ≤ 8 vôùi x+ y = 2. Ñieàu naøy ñôn giaûn. Neáu 2x+ 4x2cd < 2x4 thì ta ñaùnh giaù tieáp: 2xcd+ 2x2c2d2 <= 2x4 neân:
f(x, x, c, d) = x2(c+d)+2xcd+2x2c2d2+x4(c2+d2) ≥ x2(c+d)+x4(c+d)2
25
vaø do x2(c + d) ≤ (4/3)3 neân f(x, x, c, d) <= (4/3)3 + (4/3)6 < 8. Baøi toaùn chöùng minh xong!
*Nhaän xeùt: 1) Veà ñieàu kieän c + d + 4abcd ≥ 2c2d2 ñeå doàn hai bieán a, b baèng nhau, ta thaáy chæ caàn ab ≥ cd laø ñuû. Ñieàu ñoù coù nghóa laø neáu giaû söû a ≥ b ≥ c ≥ d thì ta coù theå doàn hai bieán baát kì trong 3 bieán a, b, c veà baèng nhau (hôn nöõa neáu 2 bieán chöa baèng nhau thì BÑT ôû ñaây laø thöïc söï, nghóa laø sau khi doàn bieán thì haøm f seõ taêng leân moät ñaïi löôïng > 0). Lieäu ñieàu ñoù coù daãn ñeán: f(a, b, c, d) ≤ f(t, t, t, c) vôùi t = a+b+c
3 hay khoâng?
Roõ raøng, neáu giaû söû f ñaït cöïc ñaïi taïi (a, b, c, d) thì theo ñoù ta phaûi coù a = b = c. Treân Dieãn Ñaøn Mathlinks baïn Zhao Bin ñaõ coù moät lôøi giaûi vôùi yù töôûng ñoù. Tuy nhieân, vieäc toàn taïi cöïc ñaïi cuûa haøm f (vôùi 4 bieán) khoâng phaûi laø chuyeän hieån nhieân (maëc duø noù raát roõ raøng veà maëc tröïc giaùc).
Moät yù nöõa, laø baèng caùch doàn bieán lieân tieáp giöõa 3 bieán a, b, c ta coù theå duøng daõy soá ñeå chuyeån qua giôùi haïn vaø ñöa veà 3 bieán baèng nhau. Nhöng moät laàn nöõa, maëc duø roõ raøng veà maëc tröïc giaùc nhöng caùch laøm treân khoâng phuø hôïp vôùi caùch tieáp caän sô caáp.
Tuy nhieân, trong baøi toaùn 3 ngay beân döôùi ñaây chuùng toâi seõ cung caáp cho caùc baïn moät caùch laøm heát söùc thuù vò ñeå chuyeån veà 3 bieán baèng nhau trong nhöõng tröôøng hôïp nhö vaäy. 2) Noùi theâm veà baøi toaùn 2. Baøi naøy khoâng khoù vaø theo lôøi taùc giaû baøi toaùn thì noù ñöôïc ñaët ra ñeå giaûi quyeát baøi toaùn sau ñaây cuûa anh Phaïm Kim Huøng: "Chöùng minh raèng vôùi 4 soá khoâng aâm a, b, c, d coù toång baèng 4 thì:
1
5 − abc + 1
5− bcd + 1
5 − cda + 1
5− dab ≤ 1.”
baèng caùch söû duïng boå ñeà sau ñaây: "Cho 4 soá xi ≥ 0 thoûa maõn:
∑4 i=1(xi + x
2 i ) ≤ 8 vaø xi + xj ≤ 3 ,∀i 6= j. Thì:
1
5− x1 + 1
5 − x2 + 1
5− x3 + 1
5− x4 ≤ 1.”
Boå ñeà naøy raát thuù vò nhöng noù khoâng naèm trong phaïm vi doàn bieán cuûa chuùng ta. Tuy nhieân, coù moät caâu hoûi laø lieäu coù theå giaûi quyeát baøi toaùn cuûa anh Phaïm Kim Huøng baèng caùch doàn bieán hay khoâng? Ñoù laø moät vaán ñeà hay maø chuùng toâi muoán caùch baïn töï mình suy nghó.
26
Trong baøi toaùn sau, caâu a) laø cuûa anh Phaïm Kim Huøng, coøn caâu b) laø moät keát quaû maïnh maø chuùng toâi tìm ñöôïc.
Baøi toaùn 3. Cho a, b, c, d ≥ 0, a+b+c+d = 4. Ñaët Fk = (1+ak)(1+bk)(1+ ck)(1 + dk). Chöùng minh raèng: a) F4 ≥ F3 b) F2 ≥ F1. Lôøi giaûi: a) Ta seõ chöùng minh BÑT naøy baèng phaûn chöùng. Giaû söû ngöôïc laïi töùc toàn taïi boä boán soá (a, b, c, d) thoûa maõn: a, b, c, d ≥ 0, a + b + c + d = 4 vaø F4 ≤ F3 (1).
Theo BÑT Bunhacoâpski ta coù: F4.F2 ≥ F 23 , F3.F1 ≥ F 22 , F2.F0 ≥ F 21 (2). Töø (1) vaø (2) suy ra F4 < F3 < F2 < F1 < F0 = 16 (3). Töø (3) ta coù F4 < 16 suy ra max(a, b, c, d) < 2.
Ñeå daãn tôùi maâu thuaãn vôùi (3), ta seõ chöùng minh F3 ≥ F1 (4). Thaät vaäy:
(4)⇔ (1− a+ a2)(1 − b+ b2)(1− c+ c2)(1− d+ d2) ≥ 1 ⇔ (3
4 +
(2a− 1)2 4
)( 3
4 +
(2b − 1)2 4
)( 3
4 +
(2c− 1)2 4
)( 3
4 +
(2d − 1)2 4
) ≥ 1
⇔ (1 + (2a− 1) 2
3 )(1 +
(2b − 1)2 3
)(1 + (2c− 1)2
3 )(1 +
(2d− 1)2 3
) ≥ ( 4
3
)4 ⇔ (1 + x2)(1 + y2)(1 + z2)(1 + t2) ≥
[ 1 +
( x+ y + z + t
4
)2]4 (5)
(Trong ñoù x = 2a−1√ 3 , y = 2b−1√
3 , z = 2c−1√
3 , t = 2d−1√
3 )
Töø ñoù xeùt BÑT
(1 +A2)(1 +B2) ≥ [ 1 +
( A+B
2
)2]2 (6)
⇔ 1 8 (A−B)2(8−A2 − 6AB −B2) ≥ 0
Ta thaáy neáu A+B ≤ 2 thì BÑT naøy ñuùng. Khoâng maát toång quaùt coù theå giaû söû a ≤ b ≤ c ≤ d. Keát hôïp vôùi a+ b+
c + d = 4 ta deã daøng chöùng minh: x + t < 2 vaø y + z < 2. Do vaäy theo
27
BÑT(6) ta coù:
(1 + x2)(1 + t2) ≥ [ 1 +
( x+ t
2
)2]2 (7)
(1 + y2)(1 + z2) ≥ [ 1 +
( y + z
2
)2]2 (8)
nhaân (7) vaø (8) veá theo veá suy ra:
(1 + x2)(1 + t2)(1 + y2)(1 + z2) ≥ [(
1 + ( x+ t
2 )2 )(
1 + ( y + z
2 )2 )]2
(9)
Töø x + t < 2 vaø y + z < 2 suy ra: x+t 2
+ y+z 2
< 2. Do ñoù laïi aùp duïng BÑT(6) ta ñöôïc:[
1 + ( x+ t
2 )2 ] [
1 + ( y + z
2 )2 ] ≥ [ 1 +
( x+ y + z + t
4
)2]2 (10)
Töø (9) vaø (10) suy ra:
(1 + x2)(1 + y2)(1 + z2)(1 + t2) ≥ [ 1 +
( x+ y + z + t
4
)2]4 Vaäy (5) ñuùng suy ra (4) ñuùng (maâu thuaãn vôùi (3)). Ñieàu ñoù coù nghóa vieäc
giaû söû ôû (1) laø sai töùc ta coù BÑT ngöôïc laïi laø F4 ≥ F3 (ñpcm).
b) Caâu naøy maïnh hôn caâu a) do ñoù duøng "maùnh lôùi" nhö caâu a thì khoâng oån, tuy nhieân neáu " ñöôøng lôùn tieán coâng" thì khoâng gaëp vaán ñeà gì:
Ñaët f(a, b, c, d) = V T − V P ta caàn chöùng minh f(a, b, c, d) ≥ 0. Muoán vaäy, tröôùc heát ta chöùng minh meänh ñeà sau: Meänh ñeà: Neáu a+ b ≤ 2 vaø a ≥ x ≥ b thì f(a, b, c, d)− f(x, a+ b− x, c, d) ≥ 0 Thaät vaäy: f(a, b, c, d)− f(x, a+ b− x, c, d) = (a− x)(x− b) [(d+ 1)(c + 1)− (d2 + 1)(c2 + 1)(ab− x2 + ax+ bx− 2)] töø ñoù söû duïng giaû thieát deã daøng suy ra ñieàu chöùng minh.
28
Trôû laïi baøi toaùn ta coù theå giaû söû a ≤ b ≤ c ≤ d. Ñaët x = a+b+c 3
thì: Chuù yù a+ c ≤ 2 vaø c ≥ x ≥ a neân aùp duïng meänh ñeà ta coù:
f(a, b, c, d) ≥ f(a+ c− x, b, x, d) (1) Chuù yù laø x = (a+c−x)+b+x
3 neân neáu x = min{x, b, a + c − x} hoaëc x =
max{x, b, a+c−x} thì a+c−x = b = x neân f(a+c−x, b, x, d) = f(x, x, x, d) vaø baøi toaùn chæ coøn 1 bieán.
Giaû söû ngöôïc laïi, khi ñoù coù hai tröôøng hôïp: b < x < a+ c− x (2) hoaëc a+ c− x < x < b (3) Laïi söû duïng meänh ñeà cho ta: (2) :f(a+ c− x, b, x, d) ≥ f(x, a+ b+ c− 2x, x, d) = f(x, x, x, d) hoaëc (3) :f(a+ c− x, b, x, d) ≥ f(a+ b+ c− 2x, x, x, d) = f(x, x, x, d) Noùi chung trong tröôøng hôïp naøo ta cuõng coù
f(x, b, a+ c− x, d) ≥ f(x, x, x, d) (2) Töø (1) vaø (2) suy ra f(a, b, c, d) ≥ f(x, x, x, d). Ñeå giaûi quyeát baøi toaùn 1 bieán, ta thay x = x+y+z
3 = 4−d
3 vaø chöùng minh:
f( 4 − d 3
, 4− d 3
, 4− d 3
, d) ≥ 0 (4) Thaät vaäy:
(4)⇔ 1 729
(d6− 22d5 +223d4 − 1268d3 +4210d2 − 7564d+6364)(d− 1)2 ≥ 0
Baát ñaúng thöùc cuoái ñuùng neân ta coù ñieàu phaûi chöùng minh.
*Nhaän xeùt: Vieäc ñoåi bieán tröôùc khi doàn bieán cuûa caâu a) laø khaù kì laï vaø ñem laïi hieäu quaû khoâng ngôø. Kó thuaät doàn veà 3 bieán baèng nhau cuûa caâu b) laø raát maïnh, vaø hoaøn toaøn sô caáp (bôûi soá böôùc doàn bieán chæ laø höõu haïn). Kó thuaät naøy coù theå öùng duïng cöïc toát cho caùc baøi 4 bieán. Hôn theá, ôû phaàn sau noù seõ ñöôïc môû roäng ñeå giaûi quyeát baøi toaùn vôùi n bieán.
Cuoái cuøng, chuùng ta ñeán vôùi moät ví duï cho tröôøng hôïp doàn bieán ra bieân. Ñaây cuõng laø moät baøi toaùn cuûa anh Phaïm Kim Huøng.
Baøi toaùn 4. Cho a, b, c, d ≥ 0 . Chöùng minh raèng: a
b2 + c2 + d2 +
b
a2 + c2 + d2 +
c
a2 + b2 + d2 +
d
a2 + b2 + c2 ≥ 4
a+ b+ c+ d
29
Lôøi giaûi: Xeùt
f(a, b, c, d) = ∑ 4
a
b2 + c2 + d2 − 4 a+ b+ c+ d
Giaû söû a ≥ b ≥ c ≥ d. Ta coù: f(a, b, c, d)− f(a, b,
√ a2 + b2, 0)
= c
a2 + b2 + d2 +
d
a2 + b2 + c2 − 4 a+ b+ c+ d
−( √ c2 + d2
a2 + b2 − 4 a+ b+
√ a2 + b2
)
(do a2 + b2 ≥ c2 + d2 neân deã thaáy BÑT treân ñuùng)
Vaäy vaán ñeà coøn laïi laø chöùng minh f(a, b, √ c2 + d2, 0) ≥ 0. BÑT cuoái chöùng
minh khoâng khoù neân xin nhöôøng laïi cho baïn ñoïc.
*Nhaän xeùt: Caùch doàn bieán ôû treân nhaèm baûo toaøn toång a2 + b2 + c2 + d2. Taát nhieân, vieäc naøy cuõng khoâng phaûi laø ñieàu quaù quan troïng, bôûi neáu thích caùc baïn cuõng coù theå baûo toaøn a+ b+ c+ d baèng caùch chöùng minh f(a, b, c, d) ≥ f(a+b
2 + a+b
2 , c, d), sau ñoù ñaùnh giaù
f(t, t, c, d) ≥ 2t t2 + (c+ d)2
+ c+ d
( c+d 2 )2 + 2t2
− 4 2t+ c+ d
= x
x2/4 + y2 +
y
y2/4 + x2/2 − 4 x+ y
(trong ñoù x = 2t, y = c+ d)
Böôùc cuoái cuøng laø f(x, y) ≥ 0 (chöùng minh caùi naøy khoâng khoù caùc baïn coù theå giaû söû x+ y = 1 cho goïn)
Ñeán ñaây chuùng ta taïm keát thuùc phaàn doàn bieán cho BÑT "cuï theå" (coù 3 hoaëc 4 bieán) ñeå böôùc sang phaàn doàn bieán cho BÑT n bieán. Nhö chuùng ta seõ thaáy, ñaây laø moät lónh vöïc khoù hôn haún. Tuy nhieân caùc kó thuaät chính ñeàu ñaët neàn taûng thoâng qua vieäc khaûo saùt BÑT "cuï theå", maø ñaëc bieät laø nhöõng tö töôûng manh nha khi khaûo saùt BÑT 4 bieán.
30
6. Doàn bieán baèng haøm loài.
Caùc baïn thaân meán, phöông phaùp doàn bieán maø chuùng ta ñaõ tìm hieåu trong caùc muïc tröôùc khoâng phaûi laø töø treân trôøi rôi xuoáng. Thaät ra yù töôûng doàn bieán ñaõ theå hieän raát roõ ngay trong caùc BÑT coå ñieån. Do ñoù neáu xeáp theo doøng chaûy thôøi gian thì leõ ra muïc naøy phaûi ñöôïc neâu ra ngay töø ñaàu. Tuy nhieân, chuùng toâi nghó laø seõ thuù vò hôn neáu chuùng ta trôû laïi goác reã sau khi caùc baïn ñaõ caûm nhaän doàn bieán nhö laø moät phöông phaùp "hieän ñaïi".
Moät trong nhöõng coâng cuï chính ñeå doàn bieán trong caùc BÑT "daïng coå ñieån" laø haøm loài. Ñaây laø moät khaùi nieäm quen thuoäc, tuy nhieân ñeå tieän lôïi cho baïn ñoïc chuùng toâi xin nhaéc laïi.
Ñònh nghóa: Moät haøm soá f : [a, b]→ R ñöôïc goïi laø loài neáu:
f(tx+ (1− ty)) ≤ tf(x) + (1 − t)f(y),∀x, y ∈ [a, b],∀t ∈ [0, 1]
*Nhaän xeùt: 1) Neáu f khaû vi 2 laàn thì moät tieâu chuaån raát quan troïng ñeå kieåm tra tính loài laø f ′′(x) ≥ 0,∀x ∈ (a, b). 2) Neáu f loài thì f lieân tuïc. Ngöôïc laïi, neáu f lieân tuïc thì tính loài cuûa f laø töông ñöông vôùi ñieàu coù veû "yeáu hôn" laø: f(x+y
2 ) ≤ f(x)+f(y)
2 .
Caùc baïn coù theå thaáy, ñònh nghóa haøm loài ñaõ ñaùnh ngay vaøo muïc tieâu doàn bieán. Chuùng ta coù ngay keát quaû quen thuoäc sau:
Ñònh lyù: (BÑT Jensen) Cho f laø haøm soá loài [a, b]→ R. (i) Vôùi xi laø n soá thuoäc [a, b] ta coù:
f( x1 + x2 + ...+ xn
n ) ≤ f(x1) + f(x2) + ...+ f(xn)
n
(ii) Vôùi xi laø n soá thuoäc A vaø λi laø n soá khoâng aâm coù toång baèng 1 ta coù:
f(λ1x1 + λ2x2 + ...+ λnxn) ≤ λ1f(x1) + λ2f(x2) + ...+ λ1f(xn)
Nhöõng keát quaû treân laø quen thuoäc vaø chuùng toâi boû qua chöùng minh. Thay vaøo ñoù chuùng toâi daãn ra ñaây moät chöùng minh cho BÑT Cauchy baèng caùch duøng haøm loài. Nhaéc laïi:
31
Baøi toaùn 1. (BÑT Cauchy) Cho n soá thöïc döông xi. Chöùng minh raèng:
x1 + x2 + ...+ xn n
≥ n√x1x2...xn
Lôøi giaûi: Laáy logarit 2 veá, ta chuyeån veà daïng:
ln( x1 + x2 + ...+ xn
n ) ≥ ln(x1) + ln(x2) + ...+ ln(xn)
n
Haøm soá f(x) = ln(x) ñi töø R+ → R khaû vi 2 laàn vaø f ′′(x) = −x−2 < 0,∀x > 0. Do vaäy haøm g(x) = −f(x) seõ thoûa g′′(x) > 0,∀x > 0. Vaäy g loài. Töø ñoù, aùp duïng BÑT Jensen ta coù ngay ñieàu phaûi chöùng minh.
*Nhaän xeùt: Moät caùch khaùc raát thoâng duïng duøng ñeå chöùng minh BÑT Cauchy, ñoù laø chöùng minh quy naïp theo n. Caùch laøm ñoù raát hay, ñeán noãi ta coù caûm giaùc laø "caùi gì ñuùng cho n = 2 thì cuõng ñuùng cho n tuøy yù". Caùc baïn haõy quan saùt kó caùch chöùng minh ñoù, roài chöùng minh laïi BÑT Jensen, caùc baïn seõ thaáy haøm loài laø moät toång quaùt noùi leân baûn chaát cuûa vaán ñeà.
Haøm loài coù theå öùng duïng trong raát nhieàu BÑT coå ñieån, vaø nhöõng BÑT coå dieån naøy laïi giaûi quyeát ñöôïc raát nhieàu baøi toaùn khaùc. Taát nhieân, noù khoâng phaûi laø moät coâng cuï "vaïn naêng", tuy nhieân neáu bieát söû duïng kheùo leùo thì söùc maïnh cuûa noù khoâng nhoû. Chuùng toâi daãn ra ñaây moät ví duï cho thaáy chuùng ta khoâng theå aùp duïng haøm loài ñeå cho ngay keát quaû, song noù giuùp giaûi quyeát ñöôïc moät tröôøng hôïp quan troïng maø caùc tröôøng hôïp coøn laïi coù theå chöùng minh ñôn giaûn baèng caùch naøy hay caùch khaùc.
Baøi toaùn 2. Cho caùc soá thöïc x, y, z coù toång baèng 1. Chöùng minh raèng:
x
1 + x2 +
y
1 + y2 +
z
1 + z2 ≤ 9
10
Lôøi giaûi: Xeùt f(t) = t
1+t2 thì BÑT caàn chöùng minh töông ñöông:
f(x) + f(y) + f(z) ≤ 3f(x+ y + z 3
)
32
Do ñoù, neáu −f laø haøm loài thì coi nhö baøi toaùn ñöôïc giaûi quyeát. Ta coù:
−f ′′(t) = 2t(3 − t 2)
(1 + t2)3
neân −f ′′(t) ≥ 0,∀t ∈ [0,√3]. Vaäy neáu x, y, z ∈ [0,√3] thì baøi toaùn ñöôïc giaûi quyeát.
Trong tröôøng hôïp coøn laïi thì chaéc chaén ta seõ coù daáu BÑT thöïc söï. Do vaäy cöù vieäc chia thaønh nhieàu tröôøng hôïp con ñeå xeùt.
Coù theå giaû söû x ≥ y ≥ z löu yù x+ y+ z = 1 vaø x, y, z /∈ [0, 1] neân z phaûi aâm suy ra f(z) < 0 *Neáu y aâm suy ra x döông vaø f(y) < 0, ta coù f(x) + f(y) + f(z) < f(x) < 1/2 < 9/10 *Neáu y döông suy ra x döông vaø löu yù f(y), f(x) nghòch bieán treân [
√ 3,+∞]
do ñoù f(x) + f(y) + f(z) < f(x) + f(y) < f( √ 3) + f(
√ 3) < 9/10
Baøi toaùn chöùng minh xong.
*Nhaän xeùt: Taát nhieân lôøi giaûi treân chöa phaûi laø ngaén goïn so vôùi nhieàu lôøi giaûi khaùc cho baøi toaùn naøy maø chuùng toâi ñöôïc bieát. Tuy nhieân tö töôûng cuûa noù hoaøn toaøn trong saùng. ÔÛ ñaây, neáu thay vì mong muoán doàn bieán toaøn cuïc (doàn 1 laàn 3 bieán) baèng vieäc hi voïng hôïp lyù hôn laø doàn ñöôïc 2 bieán veà baèng nhau thì lôøi giaûi seõ ngaén hôn. Thaät vaäy, neáu coù 2 trong 3 bieán x, y, z thuoäc ñoaïn [0,
√ 3] thì duøng haøm loài ta doàn ñöôïc 2 bieán naøy veà baèng nhau, vaø
baøi toaùn chæ coøn 1 bieán, xem nhö giaûi quyeát xong. Trong phaàn coøn laïi thì vieäc chia tröôøng hôïp seõ ñôn giaûn hôn. Nhö vaäy, chuùng ta coù theâm moät kó thuaät ñeå doàn 2 bieán veà baèng nhau laø söû duïng haøm loài.
Maëc duø ñaây laø moät coâng cuï toát, nhöng moät ñieåm yeáu raát deã nhaän ra laø trong BÑT, caùc bieán phaûi naèm trong caùc bieåu thöùc ñoäc laäp nhau (ñeå coù theå vieát thaønh daïng f(x1) + ...+ f(xn)). Trong khi ñoù, nhöõng BÑT maø ta ñaõ gaëp phaàn lôùn khoâng coù ñieàu ñoù, vaø ta seõ phaûi laøm vieäc vôùi daïng toång quaùt hôn laø f(x1, ..., xn). Chuùng ta seõ phaûi thieát laäp caùc keát quaû veà doàn bieán cho daïng toång quaùt naøy ôû muïc sau.
Nhö ñaõ noùi ôû treân, vôùi haøm loài thì yù töôûng doàn caùc bieán veà baèng nhau theå hieän ngay töø ñònh nghóa. Tuy nhieân, ñieàu baát ngôø laø kó thuaät doàn bieán ra bieân cuõng coù theå thöïc hieän thoâng qua haøm loài. Caùc baïn coù theå thaáy ngay ñieàu ñoù qua keát quaû sau ñaây:
33
Ñònh lyù: Cho f : [a, b]→ R laø moät haøm loài. Khi ñoù: f(x) ≤ max{f(a), f(b)},∀x ∈ [a, b]
Chöùng minh: Vì f lieân tuïc neân f ñaït giaù trò lôùn nhaát taïi x0 ∈ [a, b]. Xeùt khi |x0− a| ≤
|x0 − b| (nghóa laø x0 gaàn a hôn b). Thì x1 = 2x0 − a ∈ [a, b]. Khi ñoù theo ñònh nghóa haøm loài ta coù:
f(a) + f(x1) ≥ 2f(a+ x1 2
) = 2f(x0)
suy ra f(a) = f(x0). Vôùi x0 gaàn b hôn a thì chöùng minh töông töï.
*Nhaän xeùt: Ñeå caùc baïn coù theå caûm nhaän "caùi ñuùng" cuûa ñònh lyù treân chuùng toâi seõ neâu ra moät hình aûnh khi f ′′(x) > 0,∀x ∈ (a, b). Khi ñoù, f ′ ñoàng bieán neân chæ coù toái ña 1 nghieäm treân (a, b), noùi caùch khaùc laø chæ ñoåi daáu toái ña 1 laàn. Do ñoù f seõ rôi vaøo caùc tröôøng hôïp sau ñaây: ñoàng bieán, nghòch bieán, "ñi leân roài ñi xuoáng", hoaëc "ñi xuoáng roài ñi leân". Vaø trong tröôøng hôïp naøo ta cuõng thu ñöôïc keát quaû caàn thieát. (Moät chöùng minh khaùc trong tröôøng hôïp naøy laø giaû söû f ñaït cöïc ñaïi taïi x0 ∈ (a, b) thì f ′′(x0) ≤ 0, maâu thuaãn.)
Chuùng toâi seõ daãn ra ñaây 2 baøi toaùn maø chuùng thöïc söï laø caùc baøi toaùn khoù cho duø giaûi baèng bieán ñoåi ñaïi soá hay quy naïp.
Baøi toaùn 3. Cho 0 < p < q, vaø n soá thöïc xi ∈ [p, q]. Chöùng minh raèng:
(x1 + x2 + ...+ xn)( 1
x1 +
1
x2 + ...+
1
xn ) ≤ n2 +
[ n2
4
] (p − q)2
pq
trong ñoù kí hieäu [x] laø chæ phaàn nghuyeân cuûa x
(*Ghi chuù: Ñaây laø moät baøi toång quaùt, trong ñoù tröôøng hôïp n = 5 laø baøi USAMO 77, coøn n = 3 laø ñeà thi Olympic 30− 4 naêm 2001 )
Lôøi giaûi: Töø giaû thieát xi ∈ [p, q], ta deã daøng ñoaùn raèng: GTLN seõ ñaït ñöôïc khi
xi ∈ [p.q] vôùi moïi i. Khi ñoù, g/s trong n soá xi coù k soá p vaø n− k soá q thì:
V T = (kp + (n− k)q)(k q + n − k q
) = k2 + (n− k)2 + k(n− k)(p q + q
p )
34
= n2 + k(n − k)(p − q) 2
pq = n2 +
1
4
[ n2 − (n − 2k)2] (p− q)2
pq
Vì k nguyeân neân n2−(n−2k)2 ≤ n2 (khi n chaún) vaø n2−(n−2k)2 ≤ n2−1 (khi n leû). Töø ñoù, ta thu ñöôïc BÑT ban ñaàu ñoàng thôøi chæ ra luoân tröôøng hôïp daáu baèng xaûy ra.
Ñeán ñaây, ta chôït nhaän ra: maáu choát cuûa vaán ñeà chæ laø nhaän xeùt: "GTLN seõ ñaït ñöôïc khi xi = p hoaëc xi = q vôùi moïi i". Vaø thaät baát ngôø, nhaän xeùt naøy chöùng minh raát deã.
Vôùi moïi i, ta xem veá traùi laø moät haøm theo xi, ta seõ chöùng toû: f(xi) ≤ max{f(p), f(q)} , vaø daáu baèng xaûy ra khi vaø chæ khi xi ∈ {p, q}.
Ta coù: f(x) = Ax+ B x +C . Coù theå khaûo saùt haøm ñeå ra ngay keát quaû (suy
ra luoân daáu baèng xaûy ra khi xi ∈ {p, q}). Song ôû ñaây trình baøy moät caùch sô caáp hôn. Ñeå yù:
f(xi)− f(p) = (xi − p)(A− B xip
)
f(xi)− f(q) = (xi − q)(A− B xiq
)
Töø ñoù neáu f(xi) > max{f(p), f(q)} thì roõ raøng xi /∈ {p, q} vaø:
A− B xip
> 0, A− B xiq
⇒ B xip
< A < B
xiq
maâu thuaãn p < q. Vaäy f(xi) ≤ max{f(p), f(q)}. Caàn noùi theâm veà tröôøng hôïp daáu baèng: g/s f(xi) = max{f(p), f(q)} maø
xi /∈ {p, q}. Neáu f(xi) = f(p) thì A = Bxip > Bxip , khi ñoù f(xi) − f(p) < 0 (maâu thuaãn). Töông töï, neáu f(xi) = f(q) cuõng maâu thuaãn. Vaäy f(xi) = max{f(p), f(q)} töông ñöông vôùi xi ∈ {p, q}
*Nhaän xeùt: Ta coù baøi toaùn môû roäng sau: "Cho ai ∈ [a,A], bi ∈ [b,B] vôùi 0 < a ≤ A vaø 0 < b ≤ B. Tìm giaù trò lôùn
nhaát cuûa
T = (a21 + ...+ a
2 n)(b
2 1 + ...+ b
2 n)
a1b1 + ...+ anbn .”
Nhaø toaùn hoïc Polya ñaõ cho moät chaën treân laø: 1 4
(√ AB ab
+ √
ab AB
)2 Baøi toaùn treân mang yù nghóa laø tìm chaën treân cuûa BÑT Bunhacoâpski,
35
moät ñieàu raát töï nhieân ñöôïc ñaët ra laø chaën treân cuûa BÑT Coâsi laø gì ? Neáu baïn toø moø thì haõy xem tieáp baøi toaùn sau ñaây:
Baøi toaùn 4. (Phan Thaønh Nam) Cho 0 < a < b, vaø n soá thöïc xi ∈ [p, q]. Chöùng minh raèng:
T = x1 x2
+ x2 x3
+ ...+ xn x1 ≤ n +
[n 2
] (p − q)2 pq
Lôøi giaûi: Vôùi moïi i, thay xi bôûi p hay q thì ít nhaát moät tröôøng hôïp T phaûi taêng
leân, vaø neáu T khoâng taêng thì buoät xi ∈ {p, q}.
Cho i chaïy töø 1 tôùi n, vôùi moãi i ta thay xi bôûi p hay q sao cho T taêng leân (hoaëc giöõ nguyeân neáu hai tröôøng hôïp ñeàu khoâng taêng)
Sau böôùc bieán ñoåi treân ta ñaõ coù xi ∈ [p, q] vôùi moïi i. Neáu xi = q vôùi moïi i thì T = n, khoâng phaûi GTLN, do ñoù chæ caàn xeùt khi ∃xi = p.Do hoaùn vò voøng quanh neân coù theå giaû söû x1 = p. Khi ñoù baát keå x3 = p hay q ta thay x2 bôûi q thì T vaãn khoâng giaûm. Sau khi thay x2 bôûi q ta laïi thay x3 bôûi p thì T vaãn khoâng giaûm ... Cöù nhö vaäy ta xen keõ p, q cho tôùi soá xn thì T vaãn khoâng giaûm. Sau khi thöïc hieän quaù trình nhö treân luùc naøy ta coù
T = n
2 ( p
q + q
p ) (neáu n chaün) vaø T =
n− 1 2
( p
q + q
p ) + 1 (neáu n leû)
Ta vieát laïi 2 tröôøng hôïp döôùi daïng:
T = n+ [n 2
] (p − q)2 pq
,∀n
vaø ñaây chính laø veá phaûi BÑT caàn chöùng minh. Ñaúng thöùc xaûy ra khi xi ∈ {p, q} vaø xen keõ keå töø x1 tôùi xn (khoâng keå voøng xn, x1). Baøi toaùn ñeán ñaây ñöôïc giaûi quyeát troïn veïn !
Nhö vaäy, chuùng ta coù theå thaáy yù töôûng doàn bieán ñaõ xuaát hieän raát sôùm ngay trong caùch tieáp caän coå ñieån. Chuùng ta ñaõ gaëp laïi 2 kó thuaät doàn bieán quan troïng ôû caùc muïc tröôùc laø: doàn bieán veà taâm vaø doàn bieán ra bieân. Ñaëc
36
bieät trong tröôøng hôïp cöïc trò ñaït ñöôïc taïi taâm, haøm loài coøn cho ta moät kieåu doàn bieán nöõa raát thuù vò maø chuùng ta seõ tìm hieåu ôû muïc sau. Maëc duø vôùi moät loaït caùc baøi BÑT xuaát hieän gaàn ñaây thì coù veû nhö coâng cuï coå ñieån laø khoâng ñuû (hoaëc raát khoù khaên), nhöng moät laàn nöõa, chuùng toâi nhaán maïnh taàm quan troïng cuûa nhöõng yù töôûng "coå ñieån", maø döïa vaøo ñoù chuùng ta môùi coù theå "ñöùng treân vai nhöõng ngöôøi khoång loà".
7. Doàn bieán veà giaù trò trung bình.
Cho ñeán baây giôø, trong phöông phaùp doàn bieán cuûa chuùng ta, soá laàn thöïc hieän thao taùc doàn bieán luoân laø höõu haïn, nhôø ñoù lôøi giaûi laø roõ raøng vaø hoaøn toaøn sô caáp. Ñaây laø moät ñieàu raát toát maø chuùng toâi muoán duy trì tieáp tuïc trong muïc naøy.
Tröôùc heát, chuùng toâi giôùi thieäu theâm moät caùch doàn bieán nöõa daønh cho haøm loài. Ta seõ goïi ñaây laø kó thuaät doàn bieán veà giaù trò trung bình, maø caùc baïn seõ thaáy roõ ñieàu ñoù qua keát quaû sau:
Ñònh lyù: Cho f laø haøm loài [a, b]→ R. Ta coù: f(a) + f(b) ≥ f(x) + f(a+ b− x),∀x ∈ [a, b]
Chöùng minh: Vì x ∈ [a, b] neân: x = ta+ (1 − t)b vôùi t ∈ [0, 1]. Khi ñoù: a + b − x =
(1− t)a+ tb. AÙp duïng ñònh nghóa haøm loài, ta coù: f(x) + f(a+ b− x) = f(ta+ (1− t)b) + f((1− t)a+ tb) ≤ [tf(a) + (1− t)f(b)] + [(1− t)f(a) + tf(b)] = f(a) + f(b)
ÖÙng duïng keát quaû naøy, ta coù ngay chöùng minh cho BÑT Jensen. Nhaéc laïi:
Ñònh lyù: (BÑT Jensen) Cho f laø haøm soá loài [a, b]→ R. Thì vôùi xi ∈ [a, b] laø n soá coù trung bình coäng baèng T, ta coù:
f(x1) + f(x2) + ...+ f(xn) ≥ nf(T ) Chöùng minh:
Ta cho thöïc hieän thuaät toaùn sau: *Böôùc 1: Neáu xi = T,∀i thì döøng laïi. Neáu khoâng thì qua böôùc 2.
37
*Böôùc 2: Vì khoâng coù xi = T,∀i neân phaûi coù 1 bieán lôùn hôn hôn T vaø 1 bieán nhoû hôn T, maø ta coù theå giaû söû laø x1 > T > x2. Khi ñoù thay boä (x1, x2, ..., xn) bôûi boä (T, x1 + x2 − T, ..., xn). Sau ñoù trôû laïi böôùc 1.
Nhö vaäy moãi laàn thöïc hieän böôùc 2 thì boä môùi cuõng coù trung bình coäng laø T, tuy nhieân noù laøm cho bieåu thöùc f taêng leân. Maët khaùc moãi laàn thöïc hieän böôùc 2 thì soá bieán baèng T taêng leân ít nhaát laø 1, do ñoù sau höõu haïn (coù theå laáy laø n − 1) laàn thöïc hieän böôùc 2, ta seõ phaûi döøng laïi ôû böôùc 1. Chuù yù laø trong quaù trình thay theá thì bieåu thöùc f taêng leân, do vaäy ta coù ñieàu phaûi chöùng minh.
Vaäy laø chuùng ta coù theâm moät caùch doàn bieán môùi. Sôõ dó chuùng toâi khoâng döa caùch doàn bieán naøy ra ôû caùc muïc tröôùc, laø vì noù chæ coù giaù trò khi doàn bieán veà taâm, maø khi ñoù vôùi n = 3 thì kó thuaät doàn 2 bieán veà baèng nhau ñaõ ñuû söû duïng. Tuy nhieân, kó thuaät naøy seõ phaùt huy taùc duïng khi soá bieán taêng leân, cuï theå laø vôùi tröôøng hôïp n bieán toång quaùt. Lyù do khaù ñôn giaûn: trong BÑT vôùi n bieán, cho duø ta doàn ñöôïc 2 bieán veà baèng nhau thì cuõng chöa thu ñöôïc gì ñaùng keå, vaø trong tröôøng hôïp ñoù thì sau höõu haïn laàn doàn bieán vaãn khoâng theå ñöa ñöôïc veà tröôøng hôïp 1 bieán (chöù chöa noùi laø ñöa ñöôïc veà tröôøng hôïp caùc bieán baèng nhau). Tuy nhieân, neáu söû duïng kó thuaät doàn bieán ra bieân hoaëc doàn bieán veà giaù trò trung bình thì tình hình laïi khaùc: sau moãi laàn doàn bieán thì soá löôïng bieán coù giaù trò coá ñònh taêng leân (laø giaù trò taïi bieân hoaëc giaù trò trung bình), do ñoù chæ caàn höõu haïn laàn doàn bieán ta seõ ñöa ñöôïc taát caû caùc bieán veà caùc giaù trò coá ñònh vaø baøi toaùn xem nhö giaûi quyeát xong.
Taát nhieân, khaû naêng ñeå coù theå doàn 1 bieán baát kì veà bieân hoaëc giaù trò trung bình laø khoâng cao. Tuy nhieân, caùi quan troïng laø tinh thaàn cuûa noù: doàn 1 bieán veà giaù trò coá ñònh. Baïn ñoïc coù theå thaáy yù töôûng naøy cöïc kì hieäu quaû trong tröôøng hôïp 4 bieán (xem caâu c), Baøi toaùn 3, $5). Trong muïc naøy, chuùng toâi tieáp tuïc giôùi thieäu 2 baøi toaùn khaùc, maø trong ñoù yù töôûng doàn bieán veà giaù trò trung bình ñaõ cho lôøi giaûi baát ngôø. Ñaây laø 2 baøi toaùn ñaëc saéc cuûa anh Phaïm Kim Huøng, maø vieäc giaûi quyeát chuùng ñaõ ñem laïi cho chuùng toâi nhieàu yù töôûng môùi cho phöông phaùp doàn bieán. Baøi toaùn 1. Cho n soá thöïc döông a1, a2, ..., an coù tích baèng 1 . Chöùng minh raèng vôùi k = 4(n − 1) ta luoân coù:
1
a1 +
1
a2 + ...+
1
an +
k
a1 + a1 + ...+ an ≥ n+ k
n (1)
Lôøi giaûi:
38
Vôùi n = 1, n = 2 thì baøi toaùn ñôn giaûn, neân döôùi ñaây ta xeùt khi n ≥ 3. Tröôùc heát, ta khaûo saùt caùc tröôøng hôïp coù theå doàn bieán vaø ruùt ra:
Meänh ñeà 1: Kí hieäu f(a1, a2, ..., an) laø bieåu thöùc veá traùi BÑT caàn chöùng minh. (i) Neáu a1 ≤ x ≤ a2 vaø a1a2 ≤ 1 thì
f(a1, a2, ..., an) ≥ f(x, a1a2 x
, a3, ..., an)
(ii) Neáu (1 − a1)(1− a2)[ka1a2 − ( ∑n
i=1 ai)( ∑n
i=3 ai + a1a2 + 1)] ≥ 0 thì f(a1, a2, ..., an) ≥ f(1, a1a2, a3, ..., an)
(iii) Neáu a1, a2 ≥ 1 ≥ a3 thì: f(a1, a2, ..., an) ≥ min{f(1, a1a2, a3, ..., an), f(1, a2, a1a3, a1ai, ..., an)}
Chöùng minh meänh ñeà 1: Ñeå vieát cho goïn ta ñaët A =
∑n i=3 ai.
(i) Ta coù:
f(a1, a2, ..., an)− f(x, a1a2 x
, a3, ..., an)
= 1
a1 +
1
a2 − 1 x − x a1a2
+ k
A+ a1 + a2 − k A+ x+ a1a2
x
= (x− a1)(a2 − x)[(A+ a1 + a2)(A+ x+ a1a2x )− ka1a2]
a1a2(A+ a1 + a2)(A+ x+ a1a2 x )
Theo BÑT Cauchy:
(A+ a1 + a2)(A+ x+ a1a2 x
)) ≥ n2 ≥ 4(n − 1) = k ≥ ka1a2 vaø ta coù ñpcm. (ii) Cuõng töø ñaúng thöùc ôû treân cho x = 1 ta coù:
f(a1, a2, ..., an)− f(1, a1a2, a3, ..., an) =
(1− a1)(1 − a2)[ka1a2 − (A+ a1 + a2)(A+ a1a2 + 1)] a1a2(A+ a1 + a2)(A+ a1a2 + 1
vaø ta coù ñpcm. (iii) Xeùt hai tröôøng hôïp:
39
Tröôøng hôïp 1: Neáu ka1a2 ≥ ( ∑n
i=1 ai)(( ∑n
i=3 ai+ a1a2+1)]) thì duøng (ii) ta coù f(a1, a2, ..., an) ≥ f(1, a1a2, a3, ..., an). Tröôøng hôïp 2: Neáu ka1a2 ≤ (
∑n i=1 ai)((
∑n i=3 ai+a1a2+1)]) thì vì a3 ≤ 1 ≤ a2
neân:
ka1a3 ≤ ( n∑
i=1
ai)( ∑ i 6=1,3
ai + a1a3 + 1)
(thaät vaäy: ∑ i 6=1,3 ai + a1a3 + 1
a1a3 =
∑n i=1 ai − a1 − a3 + 1
a1a3 + 1
≥ ∑n
i=1 ai − a1 − a2 + 1 a1a2
+ 1 =
∑n i=3 ai + a1a2 + 1
a1a2 )
Do ñoù, duøng (ii) ta coù: f(a1, a2, ..., ai, ..., an) ≥ f(1, a2, ..., a1ai, ..., an). Meänh ñeà 1 chöùng minh xong! Noù seõ cho pheùp ta ñöa baøi toaùn veà 1 bieán.
Meänh ñeà 2: Ta seõ luoân ñöa ñöôïc baøi toaùn veà tröôøng hôïp coù n − 1 bieán baèng nhau vaø ≤ 1. Chöùng minh meänh ñeà 2: *Böôùc 1: Ñöa veà tröôøng hôïp coù n − 1 bieán ≤ 1.
Giaû söû coøn coù nhieàu hôn 1 bieán lôùn hôn 1, maø ta coù theå giaû söû laø a1, a2. Thì söû duïng meänh ñeà 1 (iii) ta luoân coù theå thay boä (a1, ..., an) bôûi 1 boä khaùc, vaãn coù tích baèng 1, laøm cho f khoâng taêng, vaø hôn nöõa coù soá bieán baèng 1 taêng leân ít nhaát laø 1. Do ñoù sau höõu haïn laàn thay (khoâng quaù n − 1) ta seõ coù ñöôïc n− 1 bieán ≤ 1. *Böôùc 2: Ñöa n− 1 bieán ≤ 1 veà baèng nhau.
Giaû söû a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an−1 ≤ 1 laø n − 1 bieán coù trung bình nhaân laø x. Neáu n − 1 bieán naøy chöa baèng nhau thì a1 < x < an−1 vaø duøng meänh ñeà 1 (i) ta coù theå thay boä (a1, a2, ..., an−1, an) bôûi (x, a2, ...,
a1an−1 x
, an). Khi ñoù f khoân giaûm vaø soá bieán baèng x taêng leân ít nhaát laø 1. Ta cuõng löu yù laø a1an−1
x ≤ a1
x ≤ 1 (vì a1 laø soá nhoû nhaát trong n− 1 soá a1, ..., an−1 neân a1 ≤ x),
do ñoù vieäc thay theá naøy vaãn ñaûm baûo n−1 bieán ñeàu ≤ 1, ñieàu ñoù cho pheùp vieäc thay theá coù theå thöïc hieän lieân tieáp. Vaäy sau höõu haïn (khoâng quaù n−1) laàn thay theá ta seõ coù n− 1 bieán ≤ 1 ñeàu baèng nhau.
Cuoái cuøng, ta giaûi quyeát baøi toaùn 1 bieán, töùc laø chöùng minh:
f(x, x, ..., x, 1
xn−1 ) ≥ f(1, 1, ..., 1) vôùi x ≤ 1
40
Ñaët:
g(x) := f(x, x, ..., x, 1
xn−1 ) =
n− 1 x
+ xn−1 + k
(n− 1)x+ 1 xn−1
vôùi x ∈ (0, 1]. Ta coù:
g′(x) = −n− 1 x2
+ (n− 1)xn−2 − k[n− 1− n−1 xn
]
((n− 1)x+ 1 xn−1 )
2
= (n− 1)x n − 1 x2
( (n− 1)xn − 1 (n− 1)xn + 1
)2 löu yù laø k = 4(n − 1)
Ta thaáy ngay g(x) ≤ 0 vôùi x ∈ (0, 1], neân g(x) ≥ g(1) vaø ta coù ñpcm. Baøi toaùn chöùng minh xong!
*Ghi chuù: Baøi toaùn ban ñaàu cuûa anh Phaïm Kim Huøng laø vôùi k = 3n, n ≥ 4. Keát quaû ôû ñaây maïnh hôn, vaø nhö caùc baïn thaáy trong chöùng minh cho tröôøng hôïp 1 bieán thì soù k = 4(n− 1) "hôïp lyù" hôn.
Baøi toaùn 2. Cho n soá thöïc döông a1, a2, ..., an coù tích baèng 1. Chöùng minh raèng:
(1 + a21)(1 + a 2 2)...(1 + a
2 n) ≤
2n
n2n−2 (a1 + a2 + ...+ an)
2n−2
Lôøi giaûi: Vôùi n = 1, n = 2 thì ñôn giaûn neân ta chöùng minh cho n ≥ 3. Ta
thaáy baøi toaùn töông ñöông vôùi f(a1, a2, ..., an) ≥ 0 vaø cuõng töông ñöong vôùi g(a1, a2, ..., an) ≥ 0, trong ñoù:
f(a1, a2, ..., an) = k(a1 + a2 + ...+ an) 2n−2 − (1 + a21)(1 + a22)...(1 + a2n)
g(a1, a2, ..., an) = ln(k) + (2n − 2) ln(a1 + a2 + ...+ an)+ − ln(1 + a21)− ln(1 + a22)− ...− ln(1 + a2n)
(veà vieäc taïi sao phaûi xeùt caû f vaø g seõ bình luaän ôû sau) Khaûo saùt sô boä caùc tröôøng hôïp coù theå doàn bieán, ta coù:
•Meänh ñeà 1: (i) Neáu a1 ≥ 1 ≥ a2, a3 thì:
f(a1, a2, ..., an) ≥ min{f(1, a1a2, a3, ..., an), f(a1, 1, a2a3, ..., an)}
41
(ii) Neáu a1 = max{ai}ni=1 vaø a1 ≥ x ≥ a2 ≥ 1 thì:
g(a1, a2, ..., an) ≥ g(x, a1a2 x
, a3, ..., an)
Chöùng minh meänh ñeà 1: (i) Xeùt caùc hieäu
f(a1, a2, ..., an)− f(1, a1a2, a3, ..., an) = ks2n−2 − ku2n−2 + [2(1 + a21a22)− (1 + a21)(1 + a22)](1 + a23)...(1 + a2n)
(vôùi s = a1 + a2 + ...+ an, u = 1 + a1a2 + ...+ an) = k(a1 + a2 − 1− a1a2)(s2n−3 + s2n−4u+ ...+ u2n−3)+
+(1 − a21)(1− a22)(1 + a23)...(1 + a2n) = −(1− a1)(1 − a2)[k(s2n−3 + ...+ u2n−3)+
−(1 + a1)(1 + a2)(1 + a23)...(1 + a2n)]
Söû duïng laïi ñaúng thöùc ôû treân vôùi a3 ñoåi choã cho a1, ta coù:
f(a1, a2, ..., an)− f(a1, 1, a2a3, ..., an) = −(1− a2)(1− a3)[k(s2n−3 + ...+ v2n−3)+
−(1 + a2)(1 + a3)(1 + a21)(1 + a24)...(1 + a2n)] (vôùi v = 1 + a2a3 + a1 + a4 + ...+ an)
Töø 2 ñaúng thöùc ôû treân, ta thaáy: ∗ neáu k(s2n−3 + ...+ u2n−3)− (1 + a1)(1 + a2)(1 + a23)...(1 + a2n) ≥ 0 (2) Thì f(a1, a2, ..., an) ≥ f(1, a1a2, a3, ..., an) ∗ neáu k(s2n−3+...+v2n−3)−(1+a2)(1+a3)(1+a21)(1+a24)...(1+a2n) ≤ 0 (3) Thì f(a1, a2, ..., an) ≥ f(1, a1a2, a3, ..., an) Do ñoù, ta chæ caàn chöùng minh trong 2 BÑT (2) vaø (3) coù ít nhaát moät caùi ñuùng laø xong! Chaúng haïn, ta giaû söû (2) sai, vaø seõ chöùng minh (3) ñuùng. Muoán vaäy, ta chæ caàn chöùng minh: u ≥ v vaø (1+a1)(1+a23) ≤ (1+a3)(1+a21) laø xong! Ñieàu naøy coù ñöôïc töø vieäc tính toaùn ñôn giaûn:
u− v = a3 + a1a2 − a1 − a2a3 = (1 − a2)(a1 − a3) ≥ 0 (1 + a1)(1 + a
2 3)− (1 + a3)(1 + a21) = (a3 − a1)(a1a3 + a1 + a3 − 1) ≤ 0
Vaäy meänh ñeà (i) chöùng minh xong! (ii) Vôùi vieäc xuaát hieän haøm ln ta khoâng theå xeùt hieäu roài bieán ñoåi, maø thay
42
vaøo ñoù ta duøng ñaïo haøm. Xeùt:
g(t) = ln(k) + 2(n − 1) ln(ta1 + a2 t + a3 + ...+ an)+
− ln(1 + t2a21)− ln(1 + a22 t2 )− ln(1 + a23)− ...− ln(1 + a2n)
vôùi t ∈ [√a2/a1, 1]. Ta coù:
g′(t) = 2(n− 1)(a1 − a2t2 )
ta1 + a2 t + a3 + ...+ an
− 2ta 2 1 − 2a
2 2
t3
(1 + t2a21)(1 + a22 t2 )
= 2(a1 − a2 t2 )[
(n− 1) ta1+
a2 t + a3 + ...+ an
− ta1 + a2 t
(1 + t2a21)(1 + a22 t2 ) ]
Vì t ∈ [√a2/a1, 1] neân a1 − a2t ≥ 0. Do ñoù, goïi T laø thöøa soá coøn laïi, ta chæ caàn chöùng minh T ≥ 0 laø coù theå suy ra g ñoàng bieán (treân [√a2/a1, 1]).
Ñeå vieát cho goïn, ta ñaët
c =
√ (1 + t2a21)(1 +
a22 t2 ), d = ta1 +
a2 t
Ta coù:
T ≥ 0⇔ n− 1 d+ a3 + ...+ an
≥ d c2 ⇔ (n− 1)c2 ≥ d2 + d(a3 + ...+ an)
Vì c ≥ d (BÑT Bunhiacopski) neân ñeå coù BÑT treân ta chæ caàn: (n− 2)c ≥ a3 + ...+ an
Ñieàu naøy ñuùng vì c > a1a2 ≥ a1 ≥ max{a3, ..., an}. Laáy t0 = max{x, a1a2x }/a1, thì
t0 ∈ [ √ a2 a1 , 1], t0a1 = max{x, a1a2
x }, a2
t0 = min{x, a1a2
x }
Vì g ñoàng bieán treân [ √ a2/a1, 1] neân g(1) ≥ g(t0) vaø ta coù ñpcm.
Vaäy meänh ñeà (ii) chöùng minh xong! Meänh ñeà 1 chöùng minh xong!
43
Trôû laïi baøi toaùn, ta seõ noùi laø boä (a1, a2, ..., an) ñöôïc thay theá bôûi boä (b1, b2, ..., bn)) neáu f(a1, a2, ..., an) ≥ f(b1, b2, ..., bn) hoaëc g(a1, a2, ..., an) ≥ g(b1, b2, ..., bn).
Meänh ñeà 2: Luoân ñöa ñöôïc veà tröôøng hôïp coù n− 1 bieán baèng nhau ≥ 1. Chöùng minh meänh ñeà 2: *Böôùc 1: Ñöa veà tröôøng hôïp coù n − 1 bieán ≥ 1.
Giaû söû coøn coù 2 bieán a2, a3 < 1. Khi ñoù phaûi coù 1 bieán > 1, maø ta coù theå giaû söû laø a1. Söû duïng meänh ñeà 1 (i), ta coù theå thay boä (a1, a2, ..., an) bôûi boä (1, a1a2, a3, ..., an) hoaëc boä (a1, 1, a2a3, ..., an). Chuù yù laø cho duø thay bôûi boä naøo, thì soá caùc bieán baèng 1 cuõng taêng leân ít nhaát laø 1. Do ñoù, ñoäng taùc thay theá naøy seõ phaûi döøng laïi sau khoâng quaù n − 1 laàn. Khi ñoù, ta seõ coù n − 1 bieán ≥ 1. *Böôùc 2: Ta chöùng minh luoân coù theå thay n − 1 bieán ≥ 1 bôûi trung bình nhaân cuûa chuùng. Thaät vaäy, giaû söû a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an−1 ≥ 1 ≥ an vaø ñaët x = n−1√a1, a2, ..., an−1 ≥ 1. Neáu trong n − 1 bieán ñaàu tieân vaãn coøn bieán khaùc x thì a1 > x > an−1. Söû duïng meänh ñeà (ii) ta coù theå thay boä (a1, a2, ..., an−1, an) bôûi boä (x, a3, ..., a1a2x , an). Chuù yù laø
a1an−1 x
≥ an−1 ≥ 1 (vì a1 laø soá lôùn nhaát trong caùc soá {ai}n−1i=1 neân a1 ≥ x) cho neân vieäc thay theá naøy vaãn ñaûm baûo n − 1 bieán ñaàu tieân ≥ 1 (ñeå coù theå thay theá lieân tieáp). Chuù yù raèng sau khi thay theá thì soá bieán baèng x taêng leân ít nhaát laø 1. Do ñoù, sau khoâng quaù n−1 laàn thay theá thì caû n−1 bieán ñaàu tieân ñeàu baèng x.
Cuoái cuøng ta giaûi quyeát baøi toaùn 1 bieán. Xeùt haøm soá h(x) := g(x, x, ..., x, 1
xn−1 )
= ln(k) + 2(n − 1) ln((n− 1)x+ 1 xn−1
)− (n− 1) ln(1 + x2)− ln(1 + 1 x2n−2
)
vôùi x ≥ 1. Ta coù:
h′(x) = 2(n − 1) n − 1 − n−1 xn
(n− 1)x+ 1 xn−1
− 2(n − 1)x 1 + x2
− − 2(n−1) x2n−1
1 + 1 x2n−2
= 2(n − 1)
x
( (n− 1)(xn − 1) (n− 1)xn + 1 −
x2
1 + x2 +
1
1 + x2n−2
) =
2(n − 1) x
( (n− 1)(xn − 1) (n− 1)xn + 1 −
x2n − 1 (1 + x2)(1 + x2n−2)
) 44
Chuù yù laø x ≥ 1 neân ñeå coù h′(x) ≥ 0 ta chæ caàn: n− 1
(n− 1)xn + 1 ≥ xn + 1
(1 + x2)(1 + x2n−2)
Ta ñaït ñöôïc ñieàu naøy baèng ñaùnh giaù ñôn giaûn:
n− 1 (n− 1)xn + 1 ≥
1
xn + 1 ≥ x
n + 1
(1 + x2)(1 + x2n−2)
(Coù daáu ≥ thöù hai laø do BÑT Bunhiacopski ) Vaäy vôùi x ≥ 1 thì h′(x) ≥ 0 neân h(x) ñoàng bieán, suy ra h(x) ≥ h(1) = 0 vaø ta coù ñpcm. Vaäy baøi toaùn chöùng minh xong! Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi a1 = a2 = ... = an = 1 vôùi n ≥ 3 (coøn vôùi n = 1, n = 2 thì coù ñaúng thöùc).
*Nhaän xeùt: 1) Baøi toaùn naøy do anh Phaïm Kim Huøng ñaët ra döôùi daïng baøi toaùn môû vaø chöùng minh treân ñaây cuûa chuùng toâi laø chöùng minh ñaàu tieân cho noù. 2) ÔÛ ñaây vieäc xeùt ñoàng thôøi 2 haøm f, g cho pheùp ta môû roäng khaû naêng doàn bieán: khi thì xeùt f ñôn giaûn hôn, khi thì xeùt g ñôn giaûn hôn. Trong baøi toaùn 1 thì vì vaán ñeà ñôn giaûn hôn neân chæ caàn moät haøm f laø ñuû.
8. Ñònh lyù doàn bieán toång quaùt.
Caùc baïn thaân meán, noùi veà caùc ñònh lyù doàn bieán phaûi nhaéc tôùi 2 keát quaû ñaàu tieân heát söùc aán töôïng, laø ñònh lyù doàn bieán maïnh (SMV) cuûa anh Phaïm Kim Huøng vaø ñònh lyù doàn bieán khoâng xaùc ñònh (UMV) cuûa baïn Ñinh Ngoïc An. Trong ñoù, "xöông soáng" cuûa caùc ñònh lyù naøy laø boå ñeà daõy soá, moät keát quaû cho ta caûm giaùc roõ raøng theá naøo laø doàn bieán.
Trong muïc naøy, chuùng toâi seõ cung caáp cho caùc baïn moät ñònh lyù doàn bieán raát toång quaùt − ñònh lyù GMV cuûa anh Phan Thaønh Nam − vôùi moät caùch tieáp caän môùi. Coù theå trình baøy ngaén goïn baèng caùch daãn ra ñònh lyù vaø chöùng minh noù, tuy nhieân chuùng toâi khoâng laøm nhö vaäy vì muoán chia seõ vôùi caùc baïn caû con ñöôøng (trong tö duy) ñeå xaây döïng noù. Hi voïng laø sau khi xem xong, caùc baïn seõ coù caûm giaùc laø coù voâ soá ñònh lyù doàn bieán.
Chuùng ta baét ñaàu baèng moät soá ñònh nghóa trong khoâng gian Rn .
45
Ñònh nghóa 1: • Khoâng gian Rn laø taäp hôïp caùc boä thöù töï x = (x1, x2, ..., xn) vôùi xi ∈ R,∀i. • Moät daõy {xm = (x1,m, ..., xn,m)} trong Rn goïi laø hoäi tuï veà z = (z1, ..., zn) ∈ Rn neáu töøng daõy xi,m hoäi tuï veà zi khi m→∞, ∀i = 1, 2, ..., n. • Cho D ⊂ Rn . Moät haøm soá f : D → R goïi laø lieân tuïc treân D neáu: vôùi moïi daõy {xm} ⊂ D vaø vôùi moïi z ∈ D sao cho {xm} hoäi tuï veà z, thì ta ñeàu coù: f(xm) hoäi tuïveà f(z).
Ñònh nghóa 2: Cho D ⊂ Rn . Ta noùi: • D ñoùng neáu vôùi moïi daõy {xm} ⊂ D vaø vôùi moïi z ∈ Rn sao cho {xm} hoäi tuï veà z, thì ta ñeàu coù z ∈ D. • D bò chaën neáu toàn taïi soá thöïc M sao cho: ∀x = (x1, ..., xn) ∈ D}, thì |xi| ≤M,∀i = 1, 2, ..., n.
Ví duï nhö moät taäp hôïp höõu haïn thì ñoùng vaø bò chaën. Xuaát phaùt ñieåm cuûa chuùng ta laø keát quaû tuyeät ñeïp sau ñaây:
Ñònh lyù 1: Cho D ñoùng vaø bò chaën trong Rn , vaø f : D → R lieân tuïc. Thì f ñaït giaù trò nhoû nhaát treân D, nghóa laø toàn taïi x0 ∈ D sao cho: f(x0) ≤ f(x),∀x ∈ R.
Ñaây laø moät keát quaû cô baûn vaø coù trong chöông trình phoå thoâng ôû caùc nöôùc, tuy nhieân ôû nöôùc ta thì noù ñöôïc xem laø thuoäc "Toaùn cao caáp". Tuy nhieân, ñeå tieän lôïi cho baïn ñoïc chuùng toâi daãn ra ñaây moät chöùng minh maø caùc baïn hoaøn toaøn coù theå hieåu ñöôïc vôùi kieán thöùc phoå thoâng.
Chuùng toâi nhaéc laïi moät keát quaû coù trong SGK: " moïi daõy soá thöïc ñôn ñieäu vaø bò chaën thì hoäi tuï". "Tieân ñeà" naøy seõ ñöôïc söû duïng ñeå chöùng minh moät keát quaû veà daõy con.
Ñònh nghóa 2: Cho 1 daõy soá {am}∞m=1 (trong R hoaëc trong Rn). Moät daõy {amk}∞k=1 ñöôïc goïi laø moät daõy con cuûa daõy {am}∞m=1 neáu {mk}∞k=1 laø moät daõy taêng ngaët caùc soá nguyeân döông.
*Ví duï: {a2m}∞m=1 laø moät daõy con cuûa daõy {am}∞m=1. Döôùi ñaây caùc caän cuûa chæ soá seõ ñöôïc boû qua neáu khoâng gaây hieåu laàm.
Boå ñeà 1: (Weierstrass) Moãi daõy am bò chaën trong R thì coù 1 daõy con hoäi tuï. Chöùng minh:
Ta chöùng minh coù moät daõy con ñôn ñieäu laø xong. Xeùt taäp T := {m ∈ Z+|∃m′ > m sao cho am′ ≥ am}. Neáu T höõu haïn thì
46
daõy {am} seõ giaûm keå töø 1 chæ soá naøo ñoù. Neáu T voâ haïn thì ta seõ trích ñöôïc 1 daõy con taêng. Trong caû hai tröôøng hôïp thì ta luoân coù 1 daõy con ñôn ñieäu.
Boå ñeà 2: (Weierstrass) Moãi daõy am bò chaën trong Rn thì coù 1 daõy con hoäi tuï. Chöùng minh:
Xeùt {am = (x1,m, ..., xn,m)} laø moät daõy bò chaën trong Rn . Khi ñoù daõy {x1,m} bò chaën trong R neân coù 1 daõy con {x1,mk1} hoäi tuï. Daõy {x2,mk1} cuõng bò chaën trong R neân coù 1 daõy con {x2,mk2} hoäi tuï. Baèng caùch laáy "daõy con cuûa daõy con" lieân tieáp nhö vaäy, cuoái cuøng ta thu ñöôïc daõy con {amk = (x1,mk , ..., xn,mk} maø ∀i = 1, 2, ..., n, ta coù daõy {xi,mk} hoäi tuï trong R. Ñieàu ñoù cuõng coù nghóa laø daõy {amk} hoäi tuï trong Rn .
Boå ñeà 3: (Tính ñaày ñuû cuûa R) Cho A laø 1 taäp bò chaën trong R. Thì toàn taïi M ∈ R sao cho: M ≤ A (nghóa laø M ≤ a,∀a ∈ A) vaø coù 1 daõy {ak} trong A hoäi tuï veà M. Ta seõ kí hieäu M = infA. Chöùng minh:
Ta chöùng minh raèng ∀ε > 0, ∃a ∈ A, a − ε ≤ A. Giaû söû ngöôïc laïi. Khi ñoù laáy x1 ∈ A tuøy yù, baèng quy naïp ta xaây döïng ñöôïc daõy {xm} trong A sao cho xm+1 ≤ xm − ε, ∀m ∈ Z+ . Khi ñoù ta coù: xm ≤ x1 − (m− 1)ε, ∀m ∈ Z+ vaø ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi A bò chaän döôùi.
Nhö vaäy, ∀m ∈ Z+ , toàn taïi am ∈ A sao cho am− 1m ≤ A. Vì daõy {am} bò chaën neân coù daõy con {amk} hoäi tuï veà M trong R. Ta chöùng minh M ≤ A nöõa laø xong. Thaät vaäy, laáy a ∈ A baát kì thì amk − 1mk ≤ a, ∀k ∈ Z+, neân cho k→∞ suy ra M ≤ a.
Chöùng minh ñònh lyù 1: Xeùt A = f(D). Ta chöùng minh A coù phaàn töû nhoû nhaát.
Ta seõ chæ ra A coù tính chaát sau: neáu daõy {am} chöùa trong A vaø am → α thì α ∈ A. Thaät vaäy, theo ñònh nghóa ta coù xm ∈ D sao cho f(xm) = am → α. Vì daõy {xm} bò chaën (chöùa trong D) neân coù daõy con {xmk} hoäi tuï veà c trong Rn . Vì D ñoùng neân c ∈ D. Vì f(xm) → α neân Vì f(xmk ) → α. Maët khaùc, vì {xmk} → c vaø f lieân tuïc neân f(xmk) → f(c). Vì giôùi haïn laø duy nhaát neân f(c) = α.
Baây giôø, ta thaáy A bò chaën döôùi (vì töø laäp luaän treân vôùi α = −∞ ta seõ gaëp maâu thuaãn). Do ñoù toàn taïi M = infA. Do ñònh nghóa inf vaø tính chaát cuûa A vöøa chæ ra ôû treân, suy ra M ∈ A. Vaäy A coù phaàn töû nhoû nhaát laø M. Ñònh lyù chöùng minh xong!
47
Ñònh lyù 1 laø moät môû roäng cuûa moät keát quaû quen thuoäc coù trong SGK: "Cho [a, b] laø 1 khoaûng ñoùng trong R vaø f : [a, b]→ R lieân tuïc, thì f coù giaù trò nhoû nhaát treân [a, b]". Do ñoù, veà maët tröïc giaùc thì ñònh lyù 1 khaù roõ raøng. Tuy nhieân, coù theå caùc baïn seõ khoù hình dung laø ñònh lyù naøy thì lieân quan gì ñeán vaán ñeà doàn bieán? Heä quaû sau ñaây cuûa ñònh lyù 1 seõ laø "chìa khoùa" cho caùc ñònh lyù doàn bieán cuûa chuùng ta. Löu yù raèng taát caû caùc keát quaû trong muïc naøy khoâng caàn ñieàu kieän f ñoái xöùng.
Ñònh lyù 2: Cho: • D laø 1 taäp ñoùng, bò chaän trong Rn , vaø Λ laø 1 taäp con ñoùng cuûa D. • T : D → D laø moät pheùp bieán ñoåi baát kì. • f : D → R laø moät haøm soá lieân tuïc thoûa maõn f(x) > f(T (x)),∀x ∈ D\Λ.
Thì ta coù GTNN cuûa f ñaït ñöôïc treân Λ, nghóa laø:
f(x) > min y∈Λ
{f(y)},∀x ∈ D\Λ.
Chöùng minh: Do ñònh lyù 1, toàn taïi x0 ∈ D sao cho f(x0) ≤ f(x),∀x ∈ D. Neáu x0
khoâng thuoäc Λ thì f(x0) > f(T (x0)), maâu thuaãn. Vaäy x0 ∈ Λ vaø ta coù ñieàu phaûi chöùng minh. *Ghi chuù: Ta thaáy pheùp bieán ñoåi T : D → D nhöng thöïc ra trong ñònh lyù treân chæ ñoøi hoûi tính chaát cuûa T treân D\Λ. Do ñoù vôùi x ∈ Λ thì T (x) coù theå laáy giaù trò tuøy yù vaø ta coù theå xem nhö T (x) = x. Quy öôùc naøy seõ ñöôïc söû duïng trong phaàn coøn laïi, nghóa laø T (x) = x,∀x ∈ Λ vaø ta chæ quan taâm giaù trò cuûa T treân D\Λ.
Ñaây laø moät heä quaû quaù ñôn giaûn phaûi khoâng caùc baïn, tuy nhieân yù töôûng doàn bieán cuûa noù ñaõ loä roõ. Ñeå minh hoïa, chuùng toâi daãn ra ñaây moät chöùng minh cho BÑT Cauchy. Baøi toaùn 1: (BÑT Cauchy) Cho n soá thöïc khoâng aâm x1, ..., xn. Chöùng minh raèng:
x1 + ...+ xn ≥ n n√x1...xn Chöùng minh:
Baèng caùch chuaån hoùa, ta coù theå giaû söû x1...xn = 1 vaø chöùng minh x1 + ...+ xn ≥ n. Taát nhieân ta chæ caàn xeùt khi xi ≤ n,∀i.
Xeùt: D = {x = (x1, ..., xn)|xi ∈ [0, n], x1...xn = 1} thì deã thaáy D ñoùng vaø bò chaën. Xeùt Λ = {x0 = (1, 1, 1, ..., 1)}.
Xeùt f : D → R lieân tuïc nhö sau: vôùi moãi x = (x1, ..., xn) ∈ D
48
thì f(x) = x1 + ... + xn. Xeùt T : D\Λ → D nhö sau: Vôùi moãi x = (x1, ..., xn) ∈ D\Λ, thì toàn taïi xi 6= xj vaø ta ñaët T (x) laø boä thu ñöôïc töø x sau khi thay xi vaø xj bôûi trung bình nhaân cuûa chuùng, khi ñoù deã thaáy f(x)− f(T (x)) = (√xi −√xj)2 > 0.
Vaäy ta coù theå aùp duïng ñònh lí 2 ñeå suy ra f(x) ≥ f(x0),∀x ∈ D, hôn nöõa daáu ” = ” chæ xaûy ra khi x = x0.
Trong nhieàu tröôøng hôïp, coù theå haøm f seõ khoâng ñuû toát vaø ta seõ chæ coù coù ñieàu kieän f(x) ≥ f(T (x)). Taát nhieân khi ñoù ta khoâng theå aùp duïng ñònh lyù 1. Moät ñoøi hoûi hôïp lyù laø pheùp bieán ñoåi T phaûi ñuû toát ñeå buø laïi (nhôù laø pheùp bieán ñoåi T laø do ta choïn). Ñieàu naøy ñöa ñeán:
Ñònh lyù 3: Cho: • D laø 1 taäp ñoùng, bò chaän trong Rn , vaø Λ laø 1 taäp con ñoùng cuûa D. • T : D → D laø 1 pheùp bieán ñoåi sao cho toàn taïi moät haøm soá h lieân tuïc D → R thoûa maõn: h(T (x)) < h(x),∀x ∈ D\Λ. • f : D → R laø moät haøm soá lieân tuïc thoûa maõn f(x) ≥ f(T (x))∀x ∈ D.
Thì ta coù GTNN cuûa f treân D cuõng laø GTNN cuûa f treân Λ, nghóa laø:
f(x) ≥ min y∈Λ
{f(y)},∀x ∈ D.
Maëc duø laø tröôøng hôïp rieâng cuûa moät ñònh lyù toång quaùt hôn ôû cuoái baøi, nhöng vì taàm quan troïng cuûa ñònh lyù naøy neân chuùng toâi vaãn daãn ra ñaây moät chöùng minh cho noù. Chöùng minh:
Laáy y0 ∈ Λ sao cho f(y0) = min y∈Λ
{f(y)}. Giaû söû phaûn chöùng raèng toàn taïi z ∈ D sao cho f(z) < f(y0). Taát nhieân ta coù theå giaû söû h(x) ≥ 0,∀x ∈ D (neáu khoâng chæ vieäc thay h bôûi h′ = h−M , vôùi M laø GTNN cuûa h treân D). Choïn ε > 0 ñuû nhoû ta coù: f(z) + εh(z) < f(y0). Ñaët g(x) := f(x) + εh(x), ∀x ∈ D. Thì g : D → R lieân tuïc, g(x) > g(T (x))∀x ∈ D\Λ vaø g(z) < f(y0) ≤ min
y∈Λ {g(y)}. Ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi ñònh lyù 2.
Sau ñaây laø moät heä quaû aán töôïng cuûa ñònh lyù 3. Heä quaû 1: (SMV-Strongly Mixing Variables) Cho: • D ∈ Rn , D = {x = (x1, ..., xn)|xi ≥ α,
∑ xi = ns = const} vaø s0 :=
(s, s, ..., s) ∈ D. • Pheùp bieán ñoåi T : D → D nhö sau: vôùi moãi phaàn töû a = (a1, .., an) ∈ D, a 6= s0, ta choïn ra 2 chæ soá i 6= j naøo ñoù (tuøy theo haøm f beân döôùi) sao cho
49
ai 6= aj , roài thay ai, aj bôùi trung bình coäng cuûa chuùng. • f : D → R laø haøm soá lieân tuïc thoûa maõn: f(a) ≥ f(T (a)),∀a ∈ D.
Khi ñoù: f(a) ≥ f(s0),∀a ∈ D. Chöùng minh: Vôùi pheùp bieán ñoåi T nhö vaäy, ta choïn h(x) =
∑n i=1 x
2 i ,∀x =
(x1, ..., xn) ∈ D. AÙp duïng ñònh lyù 3 (ôû ñaây Λ = {s0}). *Nhaän xeùt: Thoâng thöôøng, trong aùp duïng ta seõ laáy ai, aj laø min vaø max cuûa {a1, ..., an}. Khi ñoù, coù theå chöùng minh töø 1 phaàn töû baát kì cuûa D, sau voâ haïn laàn laëp T seõ thu ñöôïc (s, s, ..., s), vaø söû duïng tính lieân tuïc cuûa f ta cuõng thu ñöôïc keát luaän.
Rieâng trong tröôøng hôïp naøy (min vaø max) thì khoâng nhaát thieát thay ai, aj bôûi trung bình coäng maø coù theå toång quaùt hôn: Heä quaû 2: Cho: • D ∈ Rn ñoùng vaø bò chaën. Goïi Λ laø taäp hôïp caùc phaàn töû trong D coù daïng (s, s, ..., s), vaø giaû söû Λ khaùc roãng. • Pheùp bieán ñoåi T : D → D nhö sau: vôùi moãi phaàn töû a = (a1, .., an) ∈ D\Λ, ta choïn ra 2 chæ soá i 6= j sao cho ai, aj laø min vaø max cuûa {a1, ..., an}, sau ñoù thay ai, aj bôûi α, β ∈ (ai, aj). • f : D → R laø haøm soá lieân tuïc thoûa maõn: f(a) ≥ f(T (a)), ∀a ∈ D.
Khi ñoù: f(x) ≥ min
y∈Λ {f(y)},∀x ∈ D.
Chöùng minh: Moät caùch töï nhieân, ta hi voïng vaøo haøm
h(a) = max{a1, ..., an} −min{a1, ..., an},∀a = (a1, ..., an) ∈ D Tuy nhieân, ta khoâng coù ngay h(a) > h(T (a)), ∀a ∈ D\Λ. Ñoù laø vì trong n soá a1, ..., an coù theå coù nhieàu soá baèng nhau vaø baèng max hay min cuûa {a1, ..., an}. Nhöng ta chæ vieäc thay T bôûi T ∗ = T n (T k nghóa laø laëp laïi T vôùi k laàn) thì h(a) > h(T ∗(a)),∀a ∈ D\Λ vaø ta coù theå aùp duïng ñònh lyù 3.
Tuy nhieân, ñoâi khi chæ 1 pheùp bieán ñoåi T seõ khoâng ñuû, ví duï nhö khi ta chöa bieát chính xaùc laø doàn bieán veà bieân hay veà taâm. Do ñoù, ñònh lyù 3 ñöôïc môû roäng thaønh ñònh lyù doàn bieán toång quaùt sau ñaây.
Ñònh lyù 4: (GMV − General Mixing Variables) Cho: • D laø 1 taäp ñoùng, bò chaän trong Rn , vaø Λ laø 1 taäp con ñoùng cuûa D. • Tj : D → D laø caùc pheùp bieán ñoåi sao cho toàn taïi caùc haøm soá hj lieân tuïc D → R thoûa maõn: h(Tj(x)) < hj(x),∀x ∈ D\Λ, ∀j ∈ {1, ..., k}.
50
• f : D → R lieân tuïc thoûa maõn f(x) ≥ min j∈{1,...,k}
{f(Tj(x))},∀x ∈ D. Thì f(x) ≥ min
y∈Λ {f(y)},∀x ∈ D.
Ta söû duïng laïi chöùng minh cuûa ñònh lyù 3 cuøng vôùi 1 caûi tieán nhoû. Chöùng minh:
Laáy y0 ∈ Λ sao cho f(y0) = min y∈Λ
{f(y)}. Giaû söû phaûn chöùng raèng toàn taïi z ∈ D sao cho f(z) < f(y0). Taát nhieân ta coù theå giaû söû hj(x) ≥ 0,∀x ∈ D,∀j = 1, ..., k. Choïn ε > 0 ñuû nhoû ta coù: f(z)+εhj(z) < f(y0),∀j = 1, ..., k. Ñaët gj(x) := f(x) + εhj(x), ∀x ∈ D,∀j = 1, ..., k.
Ñaët g(x) = min{g1(x), ..., gk(x)},∀x ∈ D. Thì g : D → R lieân tuïc, g(x) > g(T (x))∀x ∈ D\Λ vaø g(z) < f(y0) ≤ min
y∈Λ {g(y)}. Ñieàu naøy maâu
thuaãn vôùi ñònh lyù 2. *Chi chuù: Ta ñaõ söû duïng keát quaû laø neáu gj laø caùc haøm lieân tuïc thì g = min{g1, ..., gk} cuõng laø haøm lieân tuïc. Taát nhieân ta chæ caàn chöùng minh vôùi k = 2, vaø trong tröôøng hôïp naøy thì chæ caàn ñeå yù laø min{g1, g2} = 1 2 (g1+ g2− |g1− g2|). Coøn söï kieän g(x) > g(T (x)),∀x ∈ D\Λ thì raát roõ raøng,
vì neáu uj > vj,∀j = 1, ..., k thì min{u1, ..., uk} > min{u1, ..., uk}.
Caùc baïn thaân meán, tuy hình thöùc phaùt bieåu ngaén goïn nhöng GMV coù taàm öùng duïng cöïc kì roäng raõi. Cöù moãi moät (hay moät vaøi) pheùp bieán ñoåi T thích hôïp laø ta laïi coù moät ñònh lyù doàn bieán môùi. Chuùng toâi keát thuùc muïc naøy baèng moät heä quaû cuûa GMV, maø coù theå xem laø söï môû roäng cuûa SMV ôû Heä quaû 2. Cuõng xin löu yù raèng caùc keát quaû coù teân SMV vaø UMV ôû ñaây toång quaùt hôn so vôùi caùc ñònh lyù cuøng teân maø chuùng toâi ñaõ daãn ra ban ñaàu.
Heä quaû 3: (UMV − Undefined Mixing Variables) Cho: • D ⊂ {x = (x1, ..., xn) ∈ Rn|xi ≥ 0,∀i = 1, ..., n}, D ñoùng vaø bò chaën. Goïi Λ laø taäp hôïp caùc phaàn töû trong D coù t thaønh phaàn baèng 0 vaø n − t thaønh phaàn baèng nhau (t ≥ 0). • 2 pheùp bieán ñoåi T1, T2 : D→ D nhö sau: vôùi moãi phaàn töû a = (a1, .., an) ∈ D\Λ, choïn ra 2 chæ soá i 6= j sao cho ai = min{at > 0, t = 1, ..., n} vaø aj = max{a1, ..., an}, sau ñoù thay ai, aj bôùi α, β ∈ (ai, aj) (öùng vôùi T1) vaø α′ < ai < aj < β ′ (öùng vôùi T2). • f : D → R lieân tuïc thoûa maõn: f(a) ≥ min{f(T1(a)), f(T1(a))}, ∀a ∈ D.
Thì f(x) ≥ min
y∈Λ {f(y)},∀x ∈ D.
51
Chöùng minh: Choïn h1(a) = max{a1, ..., an} − min{a1, ..., an} vaø h2(a) = −h1(a),
∀a = (a1, ..., an) ∈ D. Töông töï nhö heä quaû 2, ta thay T1 bôûi T ∗1 = T n1 vaø T ∗2 = T
n 2 ñeå coù: h1(a) > h1(T
∗ 1 (a)), h2(a) > h2(T
∗ 2 (a)), ∀a = (a1, ..., an) ∈ D.
AÙp duïng GMV ta coù ñieàu phaûi chöùng minh.
9. Nhìn laïi.
Caùc baïn thaân meán, coù leõ baây giôø laø luùc taïm döøng ñeå nhìn laïi haønh trình vöøa qua. Nhö chuùng toâi ñaõ noùi trong $6, doàn bieán ñaõ ñöôïc bieát ñeán töø raát sôùm thoâng qua haøm loài vaø daãn ñeán caùc keát quaû tuyeät ñeïp. BÑT Jensen coù theå xem nhö moät tieâu chuaån ñeå doàn bieán veà taâm moät caùch toaøn cuïc. Veà caùc keát quaû naøy, caùc baïn coù theå tìm ñoïc moät caùch raát ñaày ñuû trong cuoán "Baát ñaúng thöùc" noåi tieáng cuûa 3 nhaø toaùn hoïc Hardy−Polya−Littewood.
Trong tröôøng hôïp 3 bieán, coù leõ quen thuoäc nhaát vôùi baïn ñoïc laø nhöõng BÑT löôïng giaùc, chaúng haïn nhö:
sinA+ sinB + sinC ≤ 3 √ 3
2 (1)
cosA+ cosB + cosC ≤ 3 2
(2)
vôùi A,B,C laø 3 caïnh 1 tam giaùc. BÑT (1) coù theå thu ñöôïc ngay baèng caùch aùp duïng BÑT Jensen cho haøm
loài. BÑT (2) thì tinh teá hôn, haøm f(x) = −cosx coù f ′′(x) = cosx neân chæ loài treân [0, pi]. Do ñoù ta khoâng theå aùp duïng ngay BÑT Jensen cho 3 bieán A,B,C. Tuy nhieân, ta coù theå giaû söû A ≤ B ≤ C vaø khi ñoù thì A,B ∈ [0, pi] neân ta coù theå doàn 2 bieán A,B veà baèng nhau. Sau ñoù baøi toaùn chæ coøn moät bieán vaø trôû neân ñôn giaûn.
Nhö vaäy, tö töôûng doàn bieán ñaõ daàn loä roõ. Thay vì mong muoán coù ngay moät caùch doàn bieán toaøn cuïc, chuùng ta hi voïng coù theå töøng böôùc ñôn giaûn baøi toaùn baèng caùch giaûm daàn soá bieán. Ñaây chính laø tö töôûng chính cuûa phöông phaùp doàn bieán. Trong tröôøng hôïp 3 bieán, sau khi thöïc hieän ñöôïc ñoäng taùc doàn bieán (baát keå laø veà 2 bieán baèng nhau, hay doàn 1 bieán ra bieân, hay doàn 1 bieán veà giaù trò trung bình) thì gaàn nhö baøi toaùn chæ coøn 1 bieán vaø xem nhö giaûi quyeát ñôn giaûn. Do ñoù, pheùp doàn bieán khoâng caàn taùc duïng vôùi 2 bieán baát kì maø coù theå taän duïng thöù töï saép ñöôïc giöõa caùc bieán neáu BÑT laø ñoái xöùng.
52
Caùc baïn thaân meán, chuùng toâi daønh ra 3 muïc ñeå khaûo saùt vaán ñeà doàn bieán cho BÑT 3 bieán cuõng chæ laø ñeå caùc baïn naém ñöôïc tö töôûng cuûa phöông phaùp, chöù khoâng phaûi lieät keâ taát caû caùc kó thuaät caàn thieát. Chaúng haïn nhö doàn bieán trong BÑT löôïng giaùc vôùi caùc BÑT tuyeät ñeïp cuûa Jackgarfulkel (xem phaàn baøi taäp) cuõng khaù thuù vò. Tuy nhieân chuùng toâi nghó raèng trình baøy taát caû seõ nhaøm chaùn vaø voâ vò, vì moät khi naém ñöôïc tö töôûng chính thì caùc baïn coù theå aùp duïng trong voâ vaøn tröôøng hôïp khaùc nhau.
Ñoïc xong phaàn BÑT 3 bieán, coù leõ baïn ñoïc seõ coù caûm giaùc laø hình nhö moïi BÑT ñeàu coù theå chuyeån veà tröôøng hôïp 2 bieán baèng nhau hoaëc 1 bieán ñaït giaù trò taïi bieân. Phaûi noùi raèng ñieàu naøy ñuùng cho haàu heát caùc BÑT maø chuùng ta ñaõ gaëp. Tuy nhieân, ngay sau ñaây chuùng toâi seõ cung caáp cho caùc baïn moät ví duï naèm ngoaøi "thoâng leä" ñoù. Trong ví duï naøy, thaäm chí BÑT ñang xeùt laø ña thöùc ñoái xöùng thuaàn nhaát 3 bieán. Ví duï naøy laáy töø yù töôûng cuûa anh Buøi Vieät Anh.
Baøi toaùn 1. Cho a, b, c ≥ 0. Khi ñoù BÑT: (a3 + b3 + c3 − 6abc)2 + ((a+ b+ c)3 − 36abc)2 ≥ 0
chæ xaûy ra daáu "=" trong tröôøng hôïp (a, b, c) = (t, 2t, 3t), t ≥ 0 (vaø caùc hoaùn vò).
Baïn ñoïc töï kieåm tra ñieàu ñoù. Nhö vaäy, caùc baïn coù theå yeân taâm laø phöông phaùp doàn bieán coù yù nghóa.
Vôùi baøi toaùn 4 bieán thì thoâng thöôøng chuùng ta phaûi thöïc hieän hôn 1 laàn ñoäng taùc doàn bieán neân seõ phöùc taïp hôn. Trong tröôøng hôïp n bieán toång quaùt thì vieäc doàn bieán trôû neân cöïc kì khoù khaên. Ngoaøi BÑT Jensen cho pheùp doàn 1 luùc caû n bieán (nhöng ñaùng tieác, noù chæ giaûi quyeát ñöôïc 1 löôïng khaù nhoû caùc BÑT) thì gaàn nhö ta khoâng coù coâng cuï naøo khaùc. Trong tröôøng hôïp naøy, thoâng thöôøng quy naïp cuõng laø moät yù hay. Chuùng toâi daãn ra ñaây moät ví duï cho thaáy söï tinh teá cuûa chöùng minh quy naïp trong BÑT.
Baøi toaùn 2. (Phaïm Kim Huøng) Cho n soá thöïc döông a1, a2, ..., an coù tích baèng 1. Chöùng minh raèng vôùi moïi k > 0 thì:
1
(1 + a1)k +
1
(1 + a2)k + ...+
1
(1 + an)k ≥ min{1, n
2k }
Baøi toaùn naøy ñaõ ñöôïc ñöa leân Dieãn Ñaøn Toaùn Hoïc vôùi teân goïi laø Thaùch Thöùc 1, vaø laø moät baøi raát khoù. Tuy nhieân, noù seõ voâ cuøng ñôn giaûn neáu ta
53
laøm vieäc vôùi baøi toaùn toång quaùt hôn: "Cho n soá thöïc döông a1, a2, ..., an coù tích baèng s ≥ 1. Chöùng minh raèng vôùi moïi k > 0 thì:
1
(1 + a1)k +
1
(1 + a2)k + ...+
1
(1 + an)k ≥ min{1, n
1 + n √ s }.”
Vôùi baøi toaùn toång quaùt hôn naøy thì laïi coù theå chöùng minh baèng quy naïp. Thaät vaäy, xeùt baøi toaùn vôùi n soá, ta coù theå giaû söû an = min{a1, ..., an}. Khi ñoù aùp duïng giaû thieát quy naïp cho (n − 1) soá a1, a2, ..., an−1 coù tích ≥ 1, ta ñöa ñöôïc ngay baøi toaùn veà 1 bieán. Coâng vieäc coøn laïi chæ laø khaûo saùt haøm moät bieán.
Moät kó thuaät khaùc ñeå ñöa caùc BÑT n bieán veà 1 bieán laø doàn bieán veà giaù trò trung binh trong $7. Nhö chuùng toâi ñaõ chæ ra, yù töôûng caùch doàn naøy döïa treân caùch doàn bieán veà giaù trò trung bình cho haøm loài. Ñaây laø caùch doàn bieán raát toát vì noù coù tính höõu haïn. Tuy nhieân, noù chæ aùp duïng ñöôïc cho caùc baøi cöïc trò ñaït ñöôïc taïi taâm.
Baây giôø ta phaûi ñoái maët vôùi khaû naêng cöïc trò ñaït taïi caû taâm vaø bieân. Roõ raøng khaû naêng doàn veà moät bieán laø khoâng cao. Do ñoù chuùng ta hi voïng vaøo ñieàu toát nhaát laø coù moät caùch doàn bieán toaøn cuïc, ñaïi loaïi nhö BÑT Jensen. Vôùi muïc tieâu ñoù, 2 ñònh lyù tuyeät ñeïp phaûi keå ñeán laø ñònh lyù SMV (doàn bieán maïnh) vaø UMV (doàn bieán khoâng xaùc ñònh). Hai ñònh lyù naøy coù theå noùi laø "anh em song sinh". SMV duøng ñeå "chuyeân trò" caùc BÑT cöïc trò ñaït ñöôïc taïi taâm, trong ñoù caûi tieán ñaùng keå nhaát laø khoâng caàn doàn ñöôïc 2 bieán baát kì veà baèng nhau maø chæ caàn doàn bieán lôùn nhaát vaø bieán nhoû nhaát. UMV thì ñoøi hoûi giaû thieát ñaët leân 2 bieán baát kì, tuy nhieân noù cho pheùp ta dung hoøa caû 2 tröôøng hôïp cöïc trò ñaït ñöôïc taïi taâm vaø taïi bieân döôùi moät daïng toång quaùt. Ñeå cho hình thöùc ñôn giaûn, 2 ñònh lyù naøy ñeàu chæ xeùt cho haøm ñoái xöùng.
Chuùng toâi ñaõ quan saùt 2 keát quaû treân vaø nhaän thaáy söï khoâng caàn thieát cuûa vieäc taùch rôøi 2 tröôøng hôïp, vaø ñaõ tìm ra moät keát quaû hoäi tuï ñaày ñuû öu ñieåm cuûa 2 ñònh lyù treân. Tuy nhieân noù chæ laø moät tröôøng hôïp rieâng cuûa Heä quaû 3 trong $8. Ñònh lyù GMV khoâng chæ ñôn thuaàn laø toång quaùt 2 ñònh lyù keå treân, maø noù môû ra moät chaân trôøi môùi vôùi voâ vaøn caùc kieåu doàn bieán . Moät ñieàu kì laï laø ôû ñaây chæ ñoøi hoûi: neáu boä x = (x1, x2, ..., xn) chöa rôi vaøo caùc tröôøng hôïp "tôùi haïn" (töùc laø thuoäc Λ), thì luoân coù theå thay theá baèng 1 boä (laø T (x)). Neáu nhö trong SMV ("coå ñieån"), söï kieän doàn 2 bieán, lôùn nhaát vaø
54
nhoû nhaát, veà baèng nhau coù theå daãn ñeán moät caûm nhaän roõ raøng laø n bieán seõ tieán veà giaù trò trung bình, thì trong tröôøng hôïp naøy boå ñeà daõy soá khoâng coøn taùc duïng. Tuy nhieân, keát quaû vaãn ñöôïc chæ ra.
Caùc baïn thaân meán, caùc baïn ñaõ cuøng chuùng toâi ñi treân moät haønh trình, maø chuùng toâi choïn vì noù toát nhaát chöù khoâng phaûi laø ñaày ñuû nhaát. Coù nhieàu vaán ñeà chuùng toâi khoâng ñöa ra, hoaëc khoâng trình baøy kó, vì chuùng toâi khoâng coi troïng söï ñaày ñuû. Caùi maø chuùng toâi coi troïng laø coá gaéng ñeå caùc baïn thaáy ñöôïc vaán ñeà moät caùch nhanh choùng, roõ raøng vaø hôïp lyù. Hi voïng vôùi nhöõng tö töôûng maø chuùng toâi ñaõ khôi gôïi caùc baïn seõ ñuû caûm höùng vaø khaû naêng ñeå tieáp böôùc treân con ñöôøng saùng taïo.
Cuoái cuøng, chuùng toâi muoán göûi lôøi caûm ôn ñaëc bieät tôùi anh Phan Thaønh Nam vaø anh Phaïm Kim Huøng, nhöõng ngöôøi ñaõ coù raát nhieàu keát quaû vaø yù töôûng ñöôïc söû duïng. Chuùng toâi cuõng xin chaân thaønh caûm ôn taát caû taùc giaû caùc baøi toaùn, caùc nguoàn trích daãn, trong ñoù coù thaày Phaïm Vaên Thuaän − ngöôøi ñaõ cung caáp cho chuùng toâi moät taøi lieäu veà doàn bieán coù giaù trò.
10. Baøi taäp.
Sau ñaây laø moät soá baøi taäp daønh cho baïn ñoïc. Hi voïng caùc baïn seõ tìm ñöôïc nhieàu nieàm vui khi thöû söùc vôùi chuùng. (ghi chuù: Θ baøi deã, Φ baøi trung bình, Ξ baøi khoù, Ψ baøi cöïc khoù)
Θ Baøi taäp 1: (Asian Pacific Math.2004) Giaû söû a, b, c laø caùc soá döông tuøy yù. Chöùng minh BÑT
(a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9(ab+ bc+ ca)
Θ Baøi taäp 2: (MOSP 2001) Chöùng minh raèng neáu a, b, c laø caùc soá döông coù tích baèng 1 thì ta coù BÑT
(a+ b)(b+ c)(c+ a) ≥ 4(a+ b+ c− 1)
Θ Baøi taäp 3: Cho a, b, c khoâng aâm thoûa maõn a2+ b2+ c2 = 3. Chöùng minh raèng
a+ b+ c ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2
55
Θ Baøi taäp 4: (Huyønh Taán Chaâu) Cho x, y, z ≥ 0 vaø x + y + z = 1.Chöùng minh raèng:
x3 + y3 + z3 + 6xyz ≥ 1 4
Θ Baøi taäp 5: Chöùng minh raèng neáu x, y, z laø caùc soá thöïc khoâng aâm thoûa maõn ñieàu kieän x2 + y2 + z2 = 3 thì ta coù BÑT:
7(xy + yz + zx) ≤ 12 + 9xyz Φ Baøi taäp 6: (Choïn ñoäi tuyeån Vieät Nam 1996) Cho a, b, c laø caùc soá thöïc baát kì, chöùng minh raèng:
F (a, b, c) = (a+ b)4 + (b+ c)4 + (c+ a)4 − 4 7 (a4 + b4 + c4) ≥ 0
Φ Baøi taäp 7: (Phaïm Vaên Thuaän−Zhao Bin). Giaû söû x, y, z laø ba soá thöïc khoâng aâm nhöng chæ coù nhieàu nhaát moät soá baèng 0. Chöùng minh raèng
1
x3 + y3 +
1
y3 + z3 +
1
z3 + x3 ≥ 20
(a+ b+ c)3
Φ Baøi taäp 8 (Phaïm Kim Huøng). Chöùng minh raèng vôùi moïi soá thöïc a, b, c khoâng aâm ta luoân coù BÑT:
1√ 4a2 + bc
+ 1√
4b2 + ca +
1√ 4c2 + ab
≥ 4 a+ b+ c
Φ Baøi taäp 9: (Murray Klamkin) Chöùng minh raèng vôùi caùc soá thöïc khoâng aâm a, b, c coù toång baèng 2, thì
(a2 + ab+ b2)(b2 + bc+ c2)(c2 + ca+ a2) ≤ 3
Ξ Baøi taäp 10: (Toång quaùt RMO2000) Cho a, b, c ≥ 0 vaø a+ b+ c = 3. Tìm haèng soá k > 0 nhoû nhaát sao cho BÑT sau luoân ñuùng:
ak + bk + ck ≥ ab+ bc+ ca
Ξ Baøi taäp 11: (Trung Quoác 2005) Cho a, b, c > 0 vaø ab + bc + ca = 1/3.
56
Chöùng minh raèng:
1
a2 − bc+ 1 + 1
b2 − ca+ 1 + 1
c2 − ab+ 1 ≤ 3
Ξ Baøi taäp 12: (mathlinks) Cho a, b, c ≥ 0 vaø ab+ bc+ ca = 1. Chöùng minh raèng:
1 + a2b2
(a+ b)2 +
1 + b2c2
(b+ c)2 +
1 + c2a2
(c+ a)2 ≥ 5
2
Ξ Baøi toaùn 13 Cho a, b, c ∈ [p, q] vôùi 0 < p ≤ q. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa: a
b+ c +
b
c+ a +
c
a+ b
Baøi toaùn 14.(Jackgarfulkel) Cho tam giaùc nhoïn ABC. Chöùng minh raèng: Φ a)
sin A
2 + sin
B
2 + sin
C
2 ≥ 4
3 (1 + sin
A
2 sin
B
2 sin
C
2 )
Φ b)
cos A
2 + cos
B
2 + cos
C
2 ≥ 4√
3 (1 + cos
A
2 cos
B
2 cos
C
2 )
Φ Baøi toaùn 15.(Jackgarfulkel) Cho tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng:
cos( A−B
2 ) + cos(
B − C 2
) + cos( C −A
2 ) ≥ 2√
3 (sinA+ sinB + sinC)
Ξ Baøi toaùn 16 (Phan Thaønh Nam) Cho ba soã thöïc x, y, z khoâng aâm coù toång baèng 1. Chöùng minh raèng√
x+ y2 + √ y + z2 +
√ z + x2 ≥ 2
Ξ Baøi taäp 17 (Vasile Cirtoaje) Xeùt ba soá thöïc khoâng aâm a, b, c thoûa ñieàu kieän a2 + b2 + c2 = 1. Chöùng minh raèng:
1
1− ab + 1
1 − bc + 1
1 − ca ≤ 9
2
57
Ξ Baøi taäp 18: (Phan Thaønh Nam) Cho a, b, c ≥ 0 vaø thoûa maõn a+ b+ c= 1. Chöùng minh raèng: a) (VMEO1)√
a+ (b− c)2
12 +
√ b+
(c− a)2 12
+
√ c+
(a− b)2 12
≤ √ 3
b) √ a+ k(b− c)2 +
√ a+ k(b− c)2 +
√ a+ k(b− c)2 ≤ √3
Trong ñoù k = 1− √ 3 2
Ξ Baøi toaùn 19 (Phan Thaønh Vieät) Cho tam giaùc ABC coù ñoä daøi 3 caïnh laø BC = a,CA = b,AB = c . Goïi p laø nöûa chu vi cuûa tam giaùc vaø ma,mb,mc laø ñoä daøi ba ñöôøng trung tuyeán töông öùng haï töø A,B,C xuoáng caùc caïnh ñoái dieän. Chöùng minh raèng:
ma +mb +mc ≤ √ 3p2 +
1
2 [(a− b)2 + (b− c)2 + (c− a)2]
Baøi taäp 20: (Phan Thaønh Nam) Cho x, y, z ∈ [−1, 1] vaø x + y + z = 0. Chöùng minh raèng Ξ a) √
1 + x+ y2 + √ 1 + y + z2 +
√ 1 + z + x2 ≥ 3
Ψ b) √ 1 + x+
7
9 y2 +
√ 1 + y +
7
9 z2 +
√ 1 + z +
7
9 x2 ≥ 3
Φ Baøi taäp 21 (Phaïm Kim Huøng) Cho x, y, z, t ≥ 0 vaø x + y + z + t = 4. Chöùng minh raèng:
(1 + 3x)(1 + 3y)(1 + 3z)(1 + 3t) ≤ 125 + 131xyzt
Φ Baøi taäp 22 (Baát ñaúng thöùc Tukervici) Vôùi moïi soá thöïc döông a, b, c, d thì
a4 + b4 + c4 + d4 + 2abcd ≥ a2b2 + b2c2 + c2d2 + d2a2 + a2c2 + b2d2
58
Φ Baøi taäp 23 (Phaïm Vaên Thuaän− Nguyeãn Anh Tuaán) Xeùt 4 soá thöïc a, b, c, d thoûa maõn a2 + b2 + c2 + d2 = 1.Chöùng minh raèng
1
1− ab + 1
1− bc + 1
1− cd + 1
1 − da + 1
1− db + 1
1− ca ≤ 8
Ξ Baøi taäp 24 (Phaïm Kim Huøng) Cho caùc soá thöïc khoâng aâm a, b, c, d, k coù toång baèng 4. Chöùng minh raèng
(abc)k + (bcd)k + (cda)k + (dab)k ≤ max{4, (4 3 )3k}
Ξ Baøi taäp 25 (Phan Thaønh Nam) Cho caùc soá thöïc x, y, z, t thoûa: max{xy, yz, zt, tx} ≥ 1. Chöùng minh raèng√
1− xy + y2 + √ 1− yz + z2 +√1− zt+ t2 +√1 − tx+ x2
≥ √ 16 + (x− y + z − t)2
Ψ Baøi taäp 26 (Phan Thaønh Nam) Cho caùc soá thöïc x, y, z, t ∈ [−1, 1] thoûa maõn x+ y + z + t = 0. Chöùng minh raèng√
1 + x+ y2 + √ 1 + y + z2 +
√ 1 + z + t2 +
√ 1 + t+ x2 ≥ 4
(*Ghi chuù: Baøi naøy xuaát phaùt töø tröôøng hôïp ba soá trong baøi 20a, dó nhieân seõ khoù hôn raát nhieàu. BÑT töông töï vôùi 5 soá khoâng coøn ñuùng nöõa)
Φ Baøi taäp 27 (Vasile Cirtoaje) Chöùng minh raèng neáu a1, a2, ..., an khoâng aâm vaø coù toång baèng n thì
(n− 1)(a21 + a22 + ...+ a2n) + na1a2...an ≥ n2
Ξ Baøi taäp 28: (Phaïm Kim Huøng) Giaû söû a1, a2, ..., an laø caùc soá thöïc khoâng aâm coù toång baèng n. Tìm gtnn cuûa bieåu thöùc
S = a21 + a 2 2 + ...+ a
2 n + a1a2...an(
1
a1 +
1
a2 + ...+
1
an )
59
Ξ baøi taäp 29 Tìm haèng soá döông km toát nhaát ñeå BÑT sau luoân ñuùng vôùi moïi daõy soá thöïc khoâng aâm x1, x2, ..., xn coù toång baèng n
(1 +mx1)(1 +mx2)...(1 +mxn) ≤ (m+ 1)n + km(x1x2...xn − 1)
trong ñoù m laø haèng soá döông baát kì.
Baøi toaùn 30 (Phan Thaønh Vieät) Cho a1, a2, ..., an, s, k laø caùc soá thöïc döông thoûa maõn: a1a2...an = sn vaø n − 1 = n(1+s)k . Xeùt BÑT:
1
(1 + a1)k +
1
(1 + a2)k + ...+
1
(1 + an)k ≤ n− 1
Θ a) Chöùng minh raèng BÑT treân noùi chung khoâng ñuùng. Φ b) (VMO 1999) Chöùng minh BÑT treân ñuùng trong tröôøng hôïp k = 1. Ψ c) Tìm taát caû caùc giaù trò k (tuøy thuoäc n) ñeå BÑT treân ñuùng.
60

X-Powered-By: PHP

Pragma: public

Vary: Accept-Encoding,User-Agent