text:
Bài giảng: "Phương pháp số"
Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:122
255
lượt xem 164
download
lượt xem 164
download
Bài giảng: "Phương pháp số"
Mô tả tài liệu
Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
Sách trình bày các phương pháp tính gần đúng tích phân, đạo hàm, nghiệm phương trình vi phân, phương pháp số trong đại số tuyến tính, phép nội suy và phép hồi quy… Do sách giành cho khối ngành kỹ thuật nên thiếu 1 phần quan trọng đối với sinh viên Vật Lý: phương pháp mô phỏng Monte – Carlos
Chủ đề:
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Bài giảng: "Phương pháp số"
- HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG ------- ------- BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP SỐ Biên soạn : Ths. PHAN THỊ HÀ Ts. PHAN ĐĂNG CẦU Lưu hành nội bộ HÀ NỘI - 2006
- Giới thiệu môn học GIỚI THIỆU MÔN HỌC I. GIỚI THIỆU CHUNG Phương pháp số là một lĩnh vực của toán học chuyên nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán (chủ yếu là gần đúng) bằng cách dựa trên những dữ liệu số cụ thể và cho kết quả cũng dưới dạng số. Nói gọn hơn, phương pháp số như bản thân tên gọi của nó, có nghĩa là phương pháp giải các bài toán bằng những con số cụ thể. Ngày nay phần lớn các công việc tính toán đều được thực hiện trên máy tính. Tuy vậy thực tế chứng tỏ rằng, việc áp dụng các thuật toán và phương pháp tính toán khác nhau có thể cho tốc độ tính toán và độ chính xác rất khác nhau. Lấy ví dụ đơn giản như tính định thức của ma trận chẳng hạn, nếu tính trực tiếp theo định nghĩa thì việc tính định thức của một ma trận vuông cấp 25 cũng mất hàng triệu năm (ngay cả với máy tính hiện đại nhất hiện nay); trong khi đó nếu sử dụng phương pháp khử Gauss thì kết quả nhận được gần như tức thời. Như vậy, phương pháp số là công cụ không thể thiếu trong các công việc cần thực hiện nhiều tính toán với tốc độ tính toán nhanh và độ chính xác cao như vật lý, điện tử viễn thông, ... và dĩ nhiên là tất cả các ngành và mọt lĩnh vực đều cần đến là công nghệ thông tin. Phương pháp số được nghiên cứu từ rất lâu và cho đến nay những thành tựu đạt được là một khối lượng kiến thức đồ sộ được in trong nhiều tài liệu sách, báo... Tuy nhiên, môn học "Phương pháp số" chỉ nhằm cung cấp những kiến thức căn bản nhất về phương pháp số. Với lượng kiến thức này sinh viên có thể áp dụng vào giải quyết những bài toán thông thường trong thực tế và có khả năng tự tìm hiểu để nâng cao kiến thức cho mình khi gặp các vấn đề phức tạp hơn. II. MỤC ĐÍCH Môn học phương pháp số cung cấp cho sinh viên kiến thức căn bản nhất về một số phương pháp giải gần đúng trên dữ liệu số . Tạo cơ sở để học tốt và nghiên cứu các nghành khoa học kỹ thuật nói chung và Công nghệ thông tin nói riêng. Góp phần rèn luyện phương pháp suy luận khoa học, tư duy logic, phương pháp nghiên cứu thực nghiệm Góp phần xây dựng thế giới quan khoa học và tác phong khoa học cần thiết cho người kỹ sư tương lai. III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu một số phương pháp cơ bản nhất của phương pháp số, được ứng dụng nhiều trong thực tế như các phương pháp số trong đại số tuyến tính, bài toán nội suy, tìm nghiệm gần đúng các phương trình phi tuyến, tính gần đúng đạo hàm và tích phân, giải gần đúng một số dạng của phương trình vi phân... Tìm hiểu các lĩnh vực ứng dụng của các phương pháp trong thực tế. Nghiên cứu cách cài đặt các thuật toán trên máy tính. 3
- Giới thiệu môn học IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Để học tốt môn học này, sinh viên cần lưu ý những vấn đề sau: 1. Kiến thức cần trước: - Sinh viên phải có kiến thức cơ bản về toán học cao cấp. - Thành thạo ít nhất một ngôn ngữ lập trình. Đặc biệt trong cuốn sách này đã sử dụng ngôn ngữ lập trình C để mô tả thuật toán, vì vậy sinh viên phải nắm được ngôn ngữ lập trình C. 2. Thu thập đầy đủ các tài liệu: Giáo trình Phương pháp số. Phan Đăng Cầu, Phan Thị Hà, Học viện Công nghệ BCVT, 2002. Nếu cần sinh viên nên tham khảo thêm: - Giải tích số. Phạm Kỳ Anh, nhà xuất bản đại học Quốc Gia Hà Nội, 1966. - Phương pháp tính. Tạ Văn Đỉnh, Nhà xuất bản Giáo dục - 1995. - Phương Pháp tính. Dương Thuỳ Vỹ, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 2001. 3. Đặt ra mục tiêu, thời hạn cho bản thân: Đặt ra các mục tiêu tạm thời và thời hạn cho bản thân và cố gắng thực hiện chúng Xây dựng mục tiêu trong chương trình nghiên cứu. 4 Nghiên cứu và nắm những kiến thức cốt lõi: Sinh viên nên đọc qua sách hướng dẫn học tập trước khi nghiên cứu bài giảng môn học và các tài liệu tham khảo khác. 5. Tham gia đầy đủ các buổi hướng dẫn học tập: Thông qua các buổi hướng dẫn học tập, giảng viên sẽ giúp sinh viên nắm được nội dung tổng thể của môn học và giải đáp thắc mắc, đồng thời sinh viên cũng có thể trao đổi, thảo luận với những sinh viên khác về nội dung bài học. 6. Chủ động liên hệ với bạn học và giảng viên: Cách đơn giản nhất là tham dự các diễn dàn học tập trên mạng Internet, qua đó có thể trao đổi trực tiếp các vấn đề vướng mắc với giảng viên hoặc các bạn học khác đang online. 7. Tự ghi chép lại những ý chính: Việc ghi chép lại những ý chính là một hoạt động tái hiện kiến thức, kinh nghiệm cho thấy nó giúp ích rất nhiều cho việc hình thành thói quen tự học và tư duy nghiên cứu. 8. Học đi đôi với hành Học lý thuyết đến đâu thực hành làm bài tập ngay đến đó để hiểu và nắm chắc lý thuyết. Nói chung cuối mỗi chương, sinh viên cần tự trả lời các câu hỏi, bài tập. Hãy cố gắng vạch ra những ý trả lời chính, từng bước phát triển thành câu trả lời hoàn thiện. Liên hệ với các môn học khác và các vấn đề thực tế có liên quan để hiểu sâu hơn ý nghĩa của các phương pháp. Cài đặt các thuật toán bằng nhiều cách khác nhau, có sử dụng đồ họa để làm nổi bật các đặc trưng và kết quả của các thuật toán. Dùng đồ thị so sánh các phương pháp khác nhau cùng giải quyết một bài toán, phân tích những điểm yếu điểm mạnh của các thuật toán. Khi cài đặt thuật toán nếu có gì vướng mắc thì sinh viên có thể tham khảo thêm phần code của toàn bộ chương trình tương ứng đã được viết bằng ngôn ngữ lập trình C trong tài liệu: “Phương pháp số. Phan Đăng Cầu, Phan Thị Hà, Học viện Công nghệ BCVT, 2002”. 4
- Chương 1: Số xấp xỉ và sai số CHƯƠNG 1 SỐ XẤP XỈ VÀ SAI SỐ MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU Sau khi nghiên cứu chương 1, yêu cầu sinh viên: 1. Hiểu được Phương Pháp Số là gì, vai trò và tầm quan trọng của Phương pháp số. 2. Hiểu được sai số tuyệt đối và sai số tương đối. 3. Nắm được cách viết số xấp xỉ. 4. Nắm được các qui tắc tính sai số. 5. Hiểu và biết cách đánh giá sai số tính toán và sai số phương pháp . 1.1. TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ 1.1.1. Phương pháp số là gì? Phương pháp số (numerical method) hay đôi khi còn được gọi là Phương pháp tính (Computational method), Toán học tính toán (Computational mathematics) hoặc Giải tích số (Numerical analysis) là một lĩnh vực của toán học chuyên nghiên cứu các phương pháp giải gần đúng các bài toán bằng cách dựa trên những dữ liệu số cụ thể và cho kết quả cũng dưới dạng số. Nói gọn hơn, phương pháp số như bản thân tên gọi của nó, có nghĩa là phương pháp giải các bài toán bằng những con số cụ thể. Trong phương pháp số chúng ta thường quan tâm đến hai vấn đề: • Phương pháp để giải bài toán. • Mối liên hệ giữa lời giải số gần đúng và lời giải đúng, hay vấn đề sai số của lời giải. 1.1.2. Những dạng sai số thường gặp Khi thực hiện một bài toán bằng phương pháp số ta thường gặp những loại sai số sau đây: • Sai số trong việc mô hình hóa bài toán • Sai số phương pháp • Sai số của số liệu • Sai số tính toán Những sai số trên đây tổng hợp lại nhiều khi dẫn đến những lời giải quá cách xa so với lời giải đúng và vì vậy không thể dùng được. Chính vì vậy việc tìm ra những thuật toán hữu hiệu để giải các bài toán thực tế là điều rất cần thiết. 5
- Chương 1: Số xấp xỉ và sai số 1.2. SAI SỐ TUYỆT ĐỐI VÀ SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI 1.2.1. Sai số tuyệt đối Trong tính gần đúng ta làm việc với các giá trị gần đúng của các đại lượng. Cho nên vấn đề đầu tiên cần nghiên cứu là vần đề sai số.Xét đại lượng đúng A và đại lượng gần đúng của nó là a. Ta nói a xấp xỉ A và viết a ≈ A. Trị tuyệt đối Δ a = | a-A | (1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a (khi dùng a để xấp xỉ A). Trong thực tế ta không biết được số đúng A, do đó nói chung sai số tuyệt đối không tính được. Vì vậy ta tìm cách ước lượng sai số tuyệt đối của a bằng số Ea>0 sao cho | a - A | ≤ Ea (1.2) Số dương Ea được gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của a. Rõ ràng nếu Ea là sai số tuyệt đối giới hạn của a thì mọi E > Ea đều là sai số tuyệt đối giới hạn của a. Nếu sai số tuyệt đối giới hạn quá lớn so với sai số tuyệt đối thì nó không còn có ý nghĩa về phương diện sai số nữa. Trong những điều kiện cụ thể người ta cố gắng chọn Ea là số dương bé nhất có thể được thoã mãn (1.1). Nếu Ea là sai số tuyệt đối giới hạn của a khi xấp xỉ A thì ta quy ước viết: A = a ± Ea (1.3) với ý nghĩa của (1.1), tức là a - Ea ≤ A ≤ a + Ea (1.4) 1.2.2. Sai số tương đối Gọi Δa là sai số tuyệt đối của a khi dùng a để xấp xỉ A, khi đó đại lượng Δa δa = (1.5) |a| được gọi là sai số tương đối của a. Tuy nhiên một lần nữa ta thấy rằng A thường không biết, vì vậy người ta định nghĩa đại lượng Ea εa = (1.6) |a| là sai số tương đối giới hạn của a. Từ đây ta có Ea = | a| εa (1.7) Từ đây người ta thường viết A = a(1 ± εa) (1.8) Vì trong thực tế chúng ta chỉ có thể thao tác với các sai số giới hạn, do đó người ta thường gọi một cách đơn giản Ea là sai số tuyệt đối, εa là sai số tương đối. Đôi khi người ta biểu diễn sai số tương đối dưới dạng %. Ví dụ với a =10, Ea = 0.05, khi đó ta có εa = 0.05/10 = 0.5 %. 1.2.3. Chú thích: Sai số tuyệt đối không nói lên đầy đủ "chất lượng" của một số xấp xỉ, “chất lượng” ấy còn được phản ánh qua sai số tương đối. 6
- Chương 1: Số xấp xỉ và sai số 1.3. CÁCH VIẾT SỐ XẤP XỈ 1.3.1. Chữ số có nghĩa Một số viết dưới dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số, nhưng ta chỉ kể các chữ số từ chữ số khác không đầu tiên tính từ trái đến chữ số cuối cùng khác không phía bên phải là các chữ số có nghĩa. Chẳng hạn số 2.740 có 3 chữ số có nghĩa, số 0.02078 có 4 chữ số có nghĩa. 1.3.2. Chữ số đáng tin Mọi số thập phân đều có dạng a = ± α nα n −1...α1α 0 .α −1α −2 ...α − m = ± Σ αs10s Trong đó αs là những số nguyên từ 0 đến 9. Giả sử a là xấp xỉ của số A với sai số tuyệt đối là Δa. Nếu Δa ≤ 0.5*10s thì ta nói rằng chữ số αs là đáng tin (và như vậy các chữ số có nghĩa bên trái αs đều là đáng tin). Nếu Δa > 0.5*10s thì ta nói rằng chữ số αs là đáng nghi (và như vậy các chữ số bên phải αs đều là đáng nghi). Ví dụ. Số xấp xỉ a = 4.67329 với Δa = 0.004726. Ta có | Δa | ≤ 0.5 *10-2 do đó các chữ số đáng tin là: 4,6,7; các chữ số đáng ngờ là 3,2, 9. với Δa = 0.005726. Ta có | Δa | ≤ 0.5 *10-1 (nhưng | Δa | > 0.5 *10-2 ) do đó các chữ số đáng tin là: 4,6; các chữ số đáng ngờ là 7, 3, 2, 9. 1.3.3. Cách viết số xấp xỉ a. Kèm theo sai số Cách thứ nhất là viết kèm theo sai số như công thức (1.3) A = a ± Ea b. Mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin Cách thứ hai là viết theo quy ước: mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin; có nghĩa là sai số tuyệt đối giới hạn không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng cuối cùng. 1.3.4. Sai số quy tròn Trong tính toán với các con số ta thường làm tròn các số theo quy ước sau: nếu chữ số bỏ đi đầu tiên ≥ 5 thì thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng một đơn vị, còn nếu chữ số bỏ đi đầu tiên < 5 thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng. Giả sử a là xấp xỉ của A với sai số tuyệt đối giới hạn là E . Giả sử ta quy tròn a thành a' với sai số quy tròn tuyệt đối giới hạn là θ, tức là: | a' - a| ≤ θ. Ta có | a' - A| = | a' - a + a -A| ≤ | a' - a| + | a -A| ≤ θ + E Vậy có thể lấy θ +E làm sai số tuyệt đối giới hạn của a'. Như vậy việc quy tròn làm tăng sai số tuyệt đối giới hạn. 7
- Chương 1: Số xấp xỉ và sai số 1.4. CÁC QUY TẮC TÍNH SAI SỐ 1.4.1. Mở đầu Ta xét bài toán tổng quát hơn như sau: Xét hàm số u của 2 biến số x và y: u = f(x,y) Giả sử x là xấp xỉ của giá trị đúng X, y là xấp xỉ của giá trị đúng Y và ta coi u là xấp xỉ của giá trị đúng U = f (X,Y). Cho biết sai số về x và y, hãy lập công thức tính sai số về u. Cho biến x ta sẽ ký hiệu Δx = x - X là số gia của x, còn dx là vi phân của x. Theo định nghĩa về sai số tuyệt đối, ta có | Δx | ≤ Δ x Theo công thức vi phân của hàm nhiều biến ta có: ∂u ∂u du = dx + dy ∂x ∂y Từ đây ∂u ∂u Δu ≈ Δx + Δy ∂x ∂y Suy ra ∂u ∂u Δu = | | Δx +| | Δy (1.9) ∂x ∂y 1.4.2. Sai số của tổng Cho u = x + y Ta có ∂u ∂u = =1 ∂x ∂y Từ (1.9) suy ra Δu = Δx + Δy (1.10) Ta có quy tắc sau: Sai số tuyệt đối giới hạn của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối giới hạn của các số hạng. Ghi chú. Xét trường hợp u = x - y và x, y cùng dấu. Lúc đó ta có δu = Δ u/|u| = ( Δ x + Δ y)/ |x-y| Ta thấy rằng nếu | x -y | rất bé thì sai số tương đối giới hạn rất lớn. Do đó trong tính toán người ta tìm cách tránh trừ những số gần nhau. 1.4.3. Sai số của tích Cho u = xy 8
- Chương 1: Số xấp xỉ và sai số Ta có ∂u ∂u = y, =x ∂x ∂y Từ (1.9) suy ra Δ u = |y| Δ x + |x| Δ y Do đó δu = Δ u/|u| = Δ x/|x| + Δ y/|y| = δx + δy Vậy δu = δx + δy (1.11) Ta có quy tắc sau: Sai số tương đối giới hạn của một tích bằng tổng các sai số tương đối giới hạn của các số hạng của tích. Xét trường hợp đặc biệt u = xn ta có δxn = n δx (1.12) 1.4.4. Sai số của thương Cho u = x/y Ta có ∂u 1 ∂u x = , = − 2 ∂x y ∂y y Từ (1.9) suy ra 1 x Δu = | |Δx + | 2 |Δy y y Ta có y y 1 x 1 1 Δ u / |u| = Δ u . | | = | | ( | | Δ x + | 2 | Δ y) = | | Δ x + | | Δ y = x x y y x y Suy ra: δxy = δx + δy (1.13) Ta có quy tắc sau: Sai số tương đối giới hạn của một thương bằng tổng các sai số tương đối giới hạn của các số hạng của thương. 1.4.5. Sai số của hàm bất kỳ Cho u = f(x1, x2,..., xn) Theo công thức vi phân của hàm nhiều biến ta có: ∂u ∂u ∂u du = dx1 + dx2 + ... + dxn ∂x1 ∂x 2 ∂x n 9
- Chương 1: Số xấp xỉ và sai số Từ đây ta có ∂u ∂u ∂u Δu ≈ Δx1 + Δx2 + ... + Δxn ∂x1 ∂x 2 ∂x n Suy ra ∂u ∂u ∂u Δu = | | Δ x1 +| | Δ x2 + ... + | | Δ xn (1.14) ∂x1 ∂x 2 ∂x n Ví dụ. Tính sai số tuyệt đối giới hạn và sai số tương đối giới hạn của thể tích hình cầu: V = (1/6)πd3 nếu cho đường kính d = 3.7 ± 0.05 cm và π = 3.14 ± 0.0016. Giải. Xem π và d là đối số của hàm V, áp dụng (1.12) và (1.13) ta có δV = δπ + 3δd (Hệ số 1/6 không ảnh hương đến sai số tương đối) δπ = 0.0016/3.14 = 0.0005 δd = 0.05/3.7 = 0.0135 Suy ra δV = 0.0005 + 3 * 0.0135 = 0.04 Mặt khác V = (1/6)πd3 = 26.5 cm3 Ta có Δ V = |V|*δV = 26.5*0.04 = 1.06 ≈ 1.1 cm3 V = 26.5 ± 1.1 cm3 1.5. SAI SỐ TÍNH TOÁN VÀ SAI SỐ PHƯƠNG PHÁP Như chúng tôi đã nhắc đến ở trên, khi giải một bài toán phức tạp ta phải thay bài toán đó bằng bài toán đơn giản hơn để có thể tính toán bằng tay hoặc bằng máy. Phương pháp thay bài toán phức tạp bằng một phương pháp đơn giản tính được như vậy gọi là phương pháp gần đúng. Sai số do phương pháp gần đúng tạo ra gọi là sai số phương pháp. Mặc dầu bài toán đã ở dạng đơn giản, có thể tính toán được bằng tay hoặc trên máy tính, nhưng trong quá trình tính toán ta thường xuyên phải làm tròn các kết quả trung gian. Sai số tạo ra bởi tất cả những lần quy tròn như vậy được gọi là sai số tính toán. Trong thực tế việc đánh giá các loại sai số, nhất là sai số tính toán nhiều khi là bài toán rất khó thực hiện. Để hiểu rõ hơn bản chất của sai số phương pháp và sai số tính toán ta xét ví dụ sau: Ta biết rằng với số x bất kỳ ta có x x2 xn ex = 1+ + + ... + +... 1! 2! n! Công thức này có thể dùng để tính giá trị ex . Tuy nhiên đây là tổng vô hạn, nên trong thực x x2 xn tế ta chỉ tính được tổng Sn = 1+ + + ... + , nghĩa là chúng ta đã dùng phương pháp gần 1! 2! n! đúng. Khi tính tổng Sn ta lại thường xuyên phải làm tròn, do đó ta lại gặp sai số khi tính toán Sn . Việc đưa ra một đánh giá về sai số tổng hợp của cả hai loại sai số trên là bài toán rất phức tạp. 10
- Chương 1: Số xấp xỉ và sai số 1.6. SỰ ỔN ĐỊNH CỦA MỘT QUÁ TRÌNH TÍNH TOÁN Xét một quá trình tính toán về lý thuyết có vô hạn bước để tính ra một đại lượng nào đó. Ta nói rằng quá trình tính là ổn định nếu sai số tính toán tức là sai số quy tròn tích lũy lại không tăng vô hạn. Nếu sai số đó tăng vô hạn thì ta nói quá trình tính là không ổn định. Rõ ràng nếu quá trình tính không ổn định thì không có hy vọng tính được đại lượng cần tính với sai số nhỏ hơn sai số cho phép. Để kiểm tra tính ổn định của một quá trình tính toán thường người ta giả sử sai số chỉ xảy ra tại một bước, các bước sau đó coi như không có sai số khác phát sinh. Nếu cuối cùng sai số tính toán không tăng vô hạn thì coi như quá trình tính là ổn định. 1.7. MỘT VÀI ĐIỀU VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA THỰC TẾ VÀ MÔ HÌNH Theo những điều vừa nói trên đây thì chúng ta luôn hiểu thực tế là tuyệt đối đúng, sai số chỉ xảy ra khi ta muốn mô hình hóa thực tế và tiến hành tính toán mô hình đó. Thực vậy, chúng ta có cảm giác rằng giới tự nhiên đang hoạt động một cách chính xác: hệ mặt trời đã có khoảng 5 tỷ năm tuổi, nhưng sự vận hành của nó có vẻ vẫn hoàn hảo: hàng ngày mặt trời mọc, mặt trời lặn đều theo quy luật. Cứ sau 365 ngày + 1/4 ngày thì quả đất quay đủ một vòng quanh mặt trời và hầu hết các vùng trên trái đất đều trải qua bốn mùa. Chúng ta có thể hình dung rằng chỉ cần mỗi năm sự vận hành của các hành tinh sai lệch đi chút ít thì trong hàng tỷ năm sai số tích lũy có thể sẽ gây nên những biến cố khôn lường! Tuy nhiên theo các nhà thiên văn thì sự vận hành của các hành tinh không tuyệt đối hoàn hảo như ta tưởng. Xét vị trí của mặt trời và trái đất chẳng hạn, theo lý thuyết thì nếu ngày hôm nay mặt trời đứng ở vị trí giữa bầu trời tính từ đông sang tây thì sau 24 giờ nữa nó cũng ở vị trí giữa bầu trời (tất nhiên là có thể chếch về phía nam nếu ta đang ở Việt nam). Nhưng trong thực tế không phải như vậy. Các nhà thiên văn đã không thể xây dựng được múi giờ một cách chính xác và nhất quán nếu dựa vào vị trí của mặt trời. Nói cụ thể hơn, nếu dựa vào vị trí mặt trời của năm nay làm múi giờ cho các vùng trên trái đất thì năm sau thời gian đó không còn thích hợp cho quỹ đạo của mặt trời nữa, mà có khác đi chút ít. Chính vì sự "đỏng đảnh" của mặt trời như vậy nên các nhà thiên văn đã đưa ra khái niệm mặt trời trung bình và thời gian trung bình. So với mặt trời trung bình và thời gian trung bình thì hàng năm mặt trời thật đi lệch trong khoảng thời gian từ -14,3 đến +16,3 phút. Tuy nhiên sở dĩ các sai số này không tích lũy từ năm này sang năm khác là vì các sai số giao động quanh vị trí trung bình và triệt tiêu lẫn nhau theo thời gian. Nghĩa là, không chỉ mô hình của chúng ta, mà ngay cả giới tự nhiên cũng có những sai số. Tuy nhiên các sai số trong giới tự nhiên đều có quy luật và thường triệt tiêu lẫn nhau, do đó không làm ảnh hưởng đến sự vận hành của các vật thể. BÀI TẬP Bài 1. Khi đo 1 số góc ta được các giá trị sau: a= 21o37’3”; b=1o10’ Hãy xác định sai số tương đối của các số xấp xỉ đó biết rằng sai số tuyệt đối trong phép đo là 1”. 11
- Chương 1: Số xấp xỉ và sai số Bài 2. Hãy xác định sai số tuyệt đối của các số xấp xỉ sau đây cho biết sai số tương đối của chúng: a) a= 13267 ; δa=0,1% b) b=2,32; δb=0,7% Bài 3. Hãy xác định số các chữ số đáng tin trong các số a,b với sai số như sau: a) a= 0,3941; Δ a=0,25.10-2 b) b=38,2543; Δ a= 0,27.10-2 Bài 4. Hãy xác định số những chữ số đáng tin trong các số a với sai số tương đối như sau: a) a=1,8921; δa=0,1.10-2 b) a=22,351; δa=0,1 Bài 5. Hãy qui tròn các số dưới đây( xem là đúng) với 3 chữ số có nghĩa đáng tin và xác định sai số tuyệt đối Δ và sai số tương đối δ của chúng: a) a= 2,514; b) 0,16152 c) 0,01204; d) –0,0015281 Bài 6. Hãy xác định giá trị của các hàm số dưới đây cùng với sai số tuyệt đối và sai số tương đối ứng với những giá trị của các đối số cho với mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin. a) u=ln(x+y2); x=0,97; y=1,132 b) u=(x+y)2z; x=3,28; y=0,932; z=1,132 12
- Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU: Sau khi nghiên cứu chương 1, yêu cầu sinh viên: 1. Hiểu và nắm được các phương pháp tìm nghiệm đúng, nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình tuyến tính. 2. Biết cách ứng dụng các phương pháp trên vào việc tính định thức của ma trận, tìm ma trận nghịch đảo, giải quyết các bài toán thực tế. 3. Biết cách đánh giá sai số của từng phương pháp 2.1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 2.1.1. Ma trận Cho ma trận chữ nhật A cấp m x n: a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n A= . . ... . am1 am2 ... amn ở đây aij là các số thực. Ma trận này có m hàng và n cột. Khi m = n ta có ma trận cấp nxn và được gọi tắt là ma trận vuông cấp n. Ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0, tức là aij = aji = 0 với i ≠ j, được gọi là ma trận đường chéo. Nếu ma trận đường chéo có aii = 1 thì ta gọi A là ma trận đơn vị và ta thường ký hiệu là E hoặc I. Ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác trên, nếu A có dạng a11 a12 ... a1n 0 a22 ... a2n A= . . ... . 0 0 ... ann 13
- Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính Tương tự, ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác dưới, nếu A có dạng: a11 0 ... 0 a21 a22 ... 0 A= . . ... . an1 an2 ... ann Ma trận chữ nhật AT cấp n x m được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A cấp m x n nếu: a11 a21 ... am1 a12 a22 ... am2 AT = . . ... . a1n a2n ... amn 2.1.2. Định thức của ma trận Trước khi đưa ra định nghĩa định thức của ma trận, chúng tôi giới thiệu khái niệm hoán vị chẵn, hoán vị lẻ của một tập hợp n số nguyên {1, 2, ... , n}. Cho α = (i1, i2,..., in) là một hoán vị của tập {1,2,...,n}. Ta xét tất cả các cặp (ik, ih), trong đó k < h. Nếu ik > ih thì ta gọi cặp (ik, ih) là cặp ngược, tức là các giá trị ik, ih được sắp xếp ngược với k,h. Nếu trong α số cặp ngược là chẵn thì ta gọi α là hoán vị chẵn, ngược lại thì ta gọi α là hoán vị lẻ. Với mỗi ma trận vuông A cấp n: a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n A= . . ... . an1 an2 ... ann tồn tại một số thực được gọi là định thức của ma trận A, ký hiệu là det A, được xác định bởi công thức: det A = ∑ s(i1, i2,..., in) a α 1i1 a 2i2 ...a nin (2.0) với α = (i1, i2,..., in) chạy trong tập tất cả các hoán vị của tập {1,2,...,n}, và 1 nếu α là hoán vị chẵn s(i1, i2,..., in) = -1 nếu α là hoán vị lẻ 14
- Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính Định thức của ma trận còn được ký hiệu là a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n A= . . ... . an1 an2 ... ann Với mỗi ma trận chữ nhật A cấp m x n bất kỳ ta có thể tính định thức của tất cả các ma trận con vuông cấp k, với k ≤ min (m, n). Nếu tồn tại một số r sao cho có một ma trận con cấp r có định thức khác 0, còn mọi ma trận con vuông cấp lớn hơn r đều bằng 0 thì ta nói rằng r là hạng của ma trận A. Các phép biến đổi sơ cấp sau đây không làm biến đổi hạng của ma trận: • Đổi chỗ 2 hàng hoặc 2 cột bất kỳ. • Nhân một hàng hay một cột bất kỳ với một số khác không. • Cộng các thành phần tương ứng của 2 hàng hoặc hai cột bất kỳ. Các phép biến đổi sơ cấp sẽ được sử dụng để tính định thức của ma trận và tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. Ma trận E được gọi là ma trận đơn vị cấp n nếu E là ma trận vuông cấp n và E có dạng 1 0 ... 0 0 1 ... 0 E= . . ... . 0 0 ... 1 2.1.3. Các phương pháp tính định thức a. Tính định thức dựa trực tiếp vào định nghĩa Ta có thể dùng (2.0) để tính định thức của một ma trận trên máy tính. Tuy nhiên cách tính này đòi hỏi khoảng c*n! phép tính. Đây là con số khổng lồ với n không lớn lắm. Ví dụ với máy tính hiện đại nhất hiện nay cũng cần hàng triệu năm để tính định thức của ma trận cấp n = 25. b. Tính định thức dựa vào công thức khai triển theo hàng Cho A là ma trận vuông cấp n và aij là một phần tử bất kỳ của nó. Định thức của ma trận con cấp n-1 sau khi “xóa” hàng thứ i và cột thứ j đi và không thay đổi vị trí các thành phần còn lại, được gọi là minor của phần tử aij , và được ký hiệu là Mij. Giá trị Aij = (-1)i+j Mij được gọi là phần bù đại số của phần tử aij. Ta có các công thức sau để tính định thức ma trận vuông cấp n thông qua việc tính định thức của các ma trận con cấp bé hơn: Khai triển định thức theo hàng thứ i: n det A = ∑ aij Aij j=1 15
- Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính Khai triển định thức theo cột thứ j: n det A = ∑ aij Aij i=1 Áp dụng các công thức trên đây ta có thể dùng thuật toán đệ quy sau đây để tính định thức của ma trận vuông cấp n : Nếu n = 1 : A11 = 1; det A = a11 A11 n n > 1: det A = ∑ a1j A1j j=1 Tuy nhiên, cũng như cách tính trực tiếp, cách tính này cần khoảng c*n! phép tính, và như vậy không thể thực hiện được trên máy tính hiện đại nhất hiện nay dù chỉ với n không lớn lắm. Rõ ràng việc phân tính thuật toán giúp chúng ta đánh giá được thời gian tính toán trên máy tính và nếu thời gian đó là quá lớn thì chúng ta khỏi phải tốn công vô ích viết chương trình và chạy thử. c. Tính định thức bằng cách chuyển ma trận về dạng tam giác trên Ta sẽ biến đổi để đưa ma trận A về dạng ma trận tam giác trên b11 b12 ... b1n 0 b22 ... B2n B B= . . ... . 0 0 ... bmn Vậy det A=det B = b11 b22...bnn 2.1.4. Ma trận nghịch đảo Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông A cấp n là ma trận được ký hiệu là A-1, thoả mãn điều kiện A-1A = A A-1 = E Trong đó E là ma trận đơn vị. Có thể chứng minh rằng để thỏa mãn điều kiện trên thì bắt buộc A-1 phải là ma trận vuông, và ma trận đảo nếu tồn tại là duy nhất. Điều kiện tồn tại của ma trận nghịch đảo: Ma trận vuông A cấp n có ma trận nghịch đảo khi và chỉ khi det A ≠ 0. Cách tính ma trận nghịch đảo: Gọi Aij là phần bù đại số của phần tử aij , khi đó ta có: A11 A21 ... An1 A12 A22 ... An2 1 A-1 = det A . . ... . A1n A2n ... Ann 16
- Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính Tuy nhiên công thức này chỉ có ý nghĩa lý thuyết, không thể áp dụng để tính trực tiếp ma trận đảo trên máy tính được vì số phép tính đòi hỏi quá lớn. Trong phần sau ta sẽ áp dụng phương pháp khử Gauss-Jordan để tính ma trận nghịch đảo với số phép tính nhỏ hơn nhiều (khoảng n3) 2.2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Xét một hệ phương trình gồm n phương trình tuyến tính với n ẩn số x1, x2,...,xn như sau: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 . . . . . . . . . . . . . . . . (2.1) an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn Hệ phương trình này có thể viết dưới dạng ma trận Ax = b, trong đó ⎡ a11 a12 ... a1n ⎤ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢a a 22 ... a 2 n ⎥ ⎥,x= ⎜ x2 ⎟ ⎜ b2 ⎟ A= ⎢ 21 ⎢ . . ... . ⎥ ⎜ . ⎟,b= ⎜ . ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜b ⎟ ⎣a n1 an2 ... a nn ⎦ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ Nếu det A ≠ 0 thì nghiệm của hệ (2.1) có thể tính theo công thức x = A-1b. Áp dụng công thức tính ma trận đảo ta có thể biến đổi và dẫn đến lời giải được diễn tả bằng định lý Cramer như sau: Định lý Cramer. Gọi Aj là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ j bằng cột b, khi đó hệ (2.1) có nghiệm duy nhất và xj được tính bởi công thức det A j xj = det A Tuy nhiên trong thực hành người ta không dùng công thức này để tính nghiệm vì số phép tính quá lớn. Người ta dùng những phương pháp hữu hiệu hơn mà chúng tôi sẽ giới thiệu sau đây. 2.2.1. Phương pháp trực tiếp giải hệ phương trình tuyến tính Giả sử ta giải hệ phương trình(2.1) a. Phương pháp khử Gauss Phương pháp khử Gauss dùng cách khử dần các ẩn để đưa hệ phương trình đã cho về một dạng tam giác trên rồi giải hệ tam giác này từ giới lên trên, không phải tính một định thức nào Phương pháp này được thực hiện qua các bước sau: Quá trình xuôi: - Bước 0: Dùng phương trình đầu tiên để khử x1 trong n-1 phương trình còn lại. Giả sử a11≠0. (Để cho công thức đơn giản , trước khi khử ta có thể chia phương trình thứ nhất cho a11 ). Cụ thể để khử x1 ở hàng thứ k( k=2,3,…n) ta phải tính lại các hệ số akj ở hàng thứ k (j=1,2,..n+1) như sau: akj=akj-a1j*ak1/a11 ... 17
- Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính - Bước 1: Dùng phương trình thứ 2 để khử x2 trong n-2 phương trình còn lại phía sau. Giả sử a22≠0. (Để cho công thức đơn giản, trước khi khử ta có thể chia phương trình thứ hai cho a22). Cụ thể để khử x2 ở hàng thứ k (k=3,4,…n) ta phải tính lại các hệ số akj ở hàng thứ k (j=2,..n+1) như sau: akj=akj-a2j*ak2/a22 ……. - Bước i: Dùng phương trình i để khử xi trong các phương trình thứ i+1,i+2, ..., n. Giả sử aii≠0. Để cho công thức đơn giản, trước khi khử ta có thể chia phương trình thứ i cho aii). Cụ thể để khử xi ở hàng thứ k (k=i+1,…n) ta phải tính lại các hệ số akj ở hàng thứ k (j=i,..n+1) như sau: akj=akj-aij*aki/aii - Bước n-1: Dùng phương trình thứ n-1 để khử xn-1 trong phương trình thứ n.Giả sử an-1 n-1≠0. (Để cho công thức đơn giản, trước khi khử ta có thể chia phương trình thứ n-1 cho an-1 n-1) Cụ thể để khử xn-1 ở hàng thứ n ta phải tính lại các hệ số anj ở hàng thứ n (j=n-1,n,n+1) như sau: anj=anj-an-1j*an-1i/an-1n-1 Kết thúc quá trình khử. Chú ý: Trong quá trình giải xuôi ta giả thiết a11≠0, a22≠0,a33≠0,...,an-1 n-1≠0. Nếu 1 trong các hệ số đó bằng không thì quá trình không tiếp tục được. Lúc đó ta phải thay đổi cách tính. Giả sử khi khử x1 ta gặp a11=0 thì ta nhìn các hệ số a21, a31 ...an1 của x1 ở các phương trình phía dưói, nếu có hệ số nào khác không ta có thể lấy nó thay cho vai trò của a11 bằng cách hoán vị hai phương trình. Nếu tất cả các hệ số số a11, a21, a31 ...,an1 đều bằng không thì hệ đã cho suy biến. Vậy tốt nhất là trước khi khử x1 ta chọn trong các hệ số a11, a21, a31 ...,an1 hệ số có giá trị tuyệt đối lớn nhất làm trụ thứ nhất( gọi là trụ tối đại thứ nhất) rồi hoán vị hàng thứ nhất cho hàng có giá trị tuyệt đối lớn nhất). Tức là ta chọn hàng r sao cho: | ar1 | = max {| ak1 | / k=1,2, ... ,n} Sau đó ta đổi hàng r cho hàng 1. Tương tự trong các bước khử x2,... xn-1 , trước khi khử ta cũng tìm trụ tối đại: | ari | = max {| aki | / k=i,i+1, ... ,n} ( với i=2,3,…,n-1) Sau đó ta đổi hàng r cho hàng i. Sau khi thực hiện xong quá trình giải xuôi hệ phương trình (2.1) có dạng: Dạng1: Tại các bước (bước i) ta không chia cho hệ số aii a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a22x2 + . . . + a2nxn = b2 . . . . . . . . . . . ann xn = bn 18
- Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính hoặc: Dạng 2: Tại các bước (bước i) ta chia cho hệ số aii: x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 x2 + . . . + a2nxn = b2 . . . . . . . . . . . xn = bn Xuất phát từ phương trình thứ n ta lần lượt tính được các giá trị xi bằng các công thức của quá trình giải ngược sau: Quá trình giải ngược xn = bn/ann hoặc ( xn=bn) ... n n xi = (bi -( ∑ aijxj) )/aii ) hoặc (bi -( ∑ aijxj) ), i =n-1, n-2, ..., 1 j=i+1 j=i+1 Để việc viết chương trình được đơn giản, khi cài đặt trên máy tính ta dùng một mảng a thay cho cả ma trận a và vec tơ b. Tức là ⎡ a11 a12 ... a1n a1,( n +1) ⎤ ⎡ a11 a12 ... a1n b1 ⎤ ⎢a ⎢ 21 a 22 ... a 2 n a 2,( n +1) ⎥ ⎢a 21 ⎥= ⎢ a 22 ... a 2 n b2 ⎥ ⎥ ⎢ . . ... . . ⎥ ⎢ . . ... . .⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a n1 ⎣ an2 ... a nn a n ,( n +1) ⎥ ⎣ a n1 ⎦ an2 ... a nn bn ⎦ Ta áp dụng các phép biến đổi sơ cấp như vừa trình bày để biến đổi ma trận chữ nhật cấp nx(n+1) trên đây về dạng ⎡1 a'12 ... a'1n a'1,( n +1) ⎤ ⎢0 1 ... a' 2 n a' 2,( n +1) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢. . ... . . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 ⎣ ... 1 a' n ,( n +1) ⎥ ⎦ Ví dụ:Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử Gauss: 2x1 + 3x2 +x3 = 11 -x1 + 2x2 -x3 = 0 3x1 + 2x3 =9 Bước1: Hệ phương trình trên tương đương với: 3x1 + 2x3 =9 h1=h3 -x1 + 2x2 -x3 = 0 h2=h2 2x1 + 3x2 +x3 = 11 h3=h1 19
- Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính 3x1 + 0 + 2x3 =9 h1=h1 2x2 - x3/3 = 3 h2=h2+h1/3 3x2 - x3/3 =5 h3=h3-2*h1/3 Bước 2: 3x1 + 0 +2x3 =9 h1=h1 3x2 - x3/3 =5 h2=h3 2x2 - x3/3 =3 h3=h2 3x1 + 0 + 2x3 = 9 h1=h1 x2 - x3 /3 = 5 h2=h2 -x3/9 = -1/3 h3=h3-2*h2/3 Vậy x3=3 x2=2 x1=1 Chương trình minh họa. Sau đây là đoạn chương trình chính thể hiện (mô tả) thuật toán khử Gauss. /*Giai he phuong trinh tuyen tinh dung khu Gauss, ma tran vuong n, cac phan tu cot thu n+1 la vecto b*/ /*Dua ma tran a ve dang tam giac tren Giai he phuong trinh tuyen tinh. Tra ve gia tri true neu co nghiem */ int khugauss(kmatran a,double *x,int n) { int i,j,k,h;double tmp,p;kmatran aa; int n1=n+1; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n1;j++) aa[i][j]=a[i][j]; for(i=1;i<=n;i++) //Vong lap cac buoc khu {//Tim hang co phan tu dau lon nhat h=i; for(k=i+1;k<=n;k++) if(fabs(a[k][i])>fabs(a[h][i]) {h=k;} if(a[h][i])==0) {cout<<"Ma tran suy bien";delay(1000);return false;} 20
- Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính if(h!=i) //Doi hang i va hang h vi a[h][i] > a[i][i] {int j;double tmp; for(j=i;j<=n1;j++) {tmp=a[i][j];a[i][j]=a[h][j];a[h][j]=tmp;} } //chuyen he so a[i][i] = 1 tmp=a[i][i]; for(j=i;j<=n1;j++) a[i][j] = a[i][j]/tmp; //Bat tinh lai cac hang for(k=i+1;k<=n;k++) {p=a[k][i]; /*Vi ta biet a[k][i] =0 sau bien doi, chi tinh tu a[k][i+1]*/ for(j=i+1;j<=n1;j++) a[k][j]=a[k][j] - p*a[i][j]; } } x[n]=a[n][n+1]; for(i=n-1;i>=1;i--) {double xx=0; for(j=i+1;j<=n;j++) xx=xx+a[i][j]*x[j]; x[i]=a[i][n+1]-xx;//b[i]-xx } //Dat cac gia tri phi duoi duong cheo chinh bang 0(phan nay khong can) for(i=2;i<=n;i++) for(j=1;j<i;j++) a[i][j]=0; //Thu lai kvecto bb; for(i=1;i<=n;i++) {bb[i]=aa[i][1]*x[1]; for(j=2;j<=n;j++) bb[i]+=aa[i][j]*x[j]; } //Dua ket qua vao tep ketqua return true; } 21
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

markdown:
# Bài giảng: "Phương pháp số"
Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:122
![](images/blank.gif)
![](images/blank.gif)
255
lượt xem 164
download
lượt xem 164
download
![](http://image1.tlvnimg.com/document/thumbnail/2010/20100706/trungtrancbspkt/80x100/6961345478052.jpg)
##
Bài giảng: "Phương pháp số"
Mô tả tài liệu
[Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ](javascript:void(0);)
Download
![](images/down16x21.png)
Sách trình bày các phương pháp tính gần đúng tích phân, đạo hàm, nghiệm phương trình vi phân, phương pháp số trong đại số tuyến tính, phép nội suy và phép hồi quy… Do sách giành cho khối ngành kỹ thuật nên thiếu 1 phần quan trọng đối với sinh viên Vật Lý: phương pháp mô phỏng Monte – Carlos
Chủ đề:
![](images/graphics/blank.gif)
Bình luận(0)
[Đăng nhập để gửi bình luận!](javascript:void(0);)
##
Nội dung Text: Bài giảng: "Phương pháp số"
- HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG ------- ------- BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP SỐ Biên soạn : Ths. PHAN THỊ HÀ Ts. PHAN ĐĂNG CẦU Lưu hành nội bộ HÀ NỘI - 2006
- Giới thiệu môn học GIỚI THIỆU MÔN HỌC I. GIỚI THIỆU CHUNG Phương pháp số là một lĩnh vực của toán học chuyên nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán (chủ yếu là gần đúng) bằng cách dựa trên những dữ liệu số cụ thể và cho kết quả cũng dưới dạng số. Nói gọn hơn, phương pháp số như bản thân tên gọi của nó, có nghĩa là phương pháp giải các bài toán bằng những con số cụ thể. Ngày nay phần lớn các công việc tính toán đều được thực hiện trên máy tính. Tuy vậy thực tế chứng tỏ rằng, việc áp dụng các thuật toán và phương pháp tính toán khác nhau có thể cho tốc độ tính toán và độ chính xác rất khác nhau. Lấy ví dụ đơn giản như tính định thức của ma trận chẳng hạn, nếu tính trực tiếp theo định nghĩa thì việc tính định thức của một ma trận vuông cấp 25 cũng mất hàng triệu năm (ngay cả với máy tính hiện đại nhất hiện nay); trong khi đó nếu sử dụng phương pháp khử Gauss thì kết quả nhận được gần như tức thời. Như vậy, phương pháp số là công cụ không thể thiếu trong các công việc cần thực hiện nhiều tính toán với tốc độ tính toán nhanh và độ chính xác cao như vật lý, điện tử viễn thông, ... và dĩ nhiên là tất cả các ngành và mọt lĩnh vực đều cần đến là công nghệ thông tin. Phương pháp số được nghiên cứu từ rất lâu và cho đến nay những thành tựu đạt được là một khối lượng kiến thức đồ sộ được in trong nhiều tài liệu sách, báo... Tuy nhiên, môn học "Phương pháp số" chỉ nhằm cung cấp những kiến thức căn bản nhất về phương pháp số. Với lượng kiến thức này sinh viên có thể áp dụng vào giải quyết những bài toán thông thường trong thực tế và có khả năng tự tìm hiểu để nâng cao kiến thức cho mình khi gặp các vấn đề phức tạp hơn. II. MỤC ĐÍCH Môn học phương pháp số cung cấp cho sinh viên kiến thức căn bản nhất về một số phương pháp giải gần đúng trên dữ liệu số . Tạo cơ sở để học tốt và nghiên cứu các nghành khoa học kỹ thuật nói chung và Công nghệ thông tin nói riêng. Góp phần rèn luyện phương pháp suy luận khoa học, tư duy logic, phương pháp nghiên cứu thực nghiệm Góp phần xây dựng thế giới quan khoa học và tác phong khoa học cần thiết cho người kỹ sư tương lai. III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu một số phương pháp cơ bản nhất của phương pháp số, được ứng dụng nhiều trong thực tế như các phương pháp số trong đại số tuyến tính, bài toán nội suy, tìm nghiệm gần đúng các phương trình phi tuyến, tính gần đúng đạo hàm và tích phân, giải gần đúng một số dạng của phương trình vi phân... Tìm hiểu các lĩnh vực ứng dụng của các phương pháp trong thực tế. Nghiên cứu cách cài đặt các thuật toán trên máy tính. 3
- Giới thiệu môn học IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Để học tốt môn học này, sinh viên cần lưu ý những vấn đề sau: 1. Kiến thức cần trước: - Sinh viên phải có kiến thức cơ bản về toán học cao cấp. - Thành thạo ít nhất một ngôn ngữ lập trình. Đặc biệt trong cuốn sách này đã sử dụng ngôn ngữ lập trình C để mô tả thuật toán, vì vậy sinh viên phải nắm được ngôn ngữ lập trình C. 2. Thu thập đầy đủ các tài liệu: Giáo trình Phương pháp số. Phan Đăng Cầu, Phan Thị Hà, Học viện Công nghệ BCVT, 2002. Nếu cần sinh viên nên tham khảo thêm: - Giải tích số. Phạm Kỳ Anh, nhà xuất bản đại học Quốc Gia Hà Nội, 1966. - Phương pháp tính. Tạ Văn Đỉnh, Nhà xuất bản Giáo dục - 1995. - Phương Pháp tính. Dương Thuỳ Vỹ, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 2001. 3. Đặt ra mục tiêu, thời hạn cho bản thân: Đặt ra các mục tiêu tạm thời và thời hạn cho bản thân và cố gắng thực hiện chúng Xây dựng mục tiêu trong chương trình nghiên cứu. 4 Nghiên cứu và nắm những kiến thức cốt lõi: Sinh viên nên đọc qua sách hướng dẫn học tập trước khi nghiên cứu bài giảng môn học và các tài liệu tham khảo khác. 5. Tham gia đầy đủ các buổi hướng dẫn học tập: Thông qua các buổi hướng dẫn học tập, giảng viên sẽ giúp sinh viên nắm được nội dung tổng thể của môn học và giải đáp thắc mắc, đồng thời sinh viên cũng có thể trao đổi, thảo luận với những sinh viên khác về nội dung bài học. 6. Chủ động liên hệ với bạn học và giảng viên: Cách đơn giản nhất là tham dự các diễn dàn học tập trên mạng Internet, qua đó có thể trao đổi trực tiếp các vấn đề vướng mắc với giảng viên hoặc các bạn học khác đang online. 7. Tự ghi chép lại những ý chính: Việc ghi chép lại những ý chính là một hoạt động tái hiện kiến thức, kinh nghiệm cho thấy nó giúp ích rất nhiều cho việc hình thành thói quen tự học và tư duy nghiên cứu. 8. Học đi đôi với hành Học lý thuyết đến đâu thực hành làm bài tập ngay đến đó để hiểu và nắm chắc lý thuyết. Nói chung cuối mỗi chương, sinh viên cần tự trả lời các câu hỏi, bài tập. Hãy cố gắng vạch ra những ý trả lời chính, từng bước phát triển thành câu trả lời hoàn thiện. Liên hệ với các môn học khác và các vấn đề thực tế có liên quan để hiểu sâu hơn ý nghĩa của các phương pháp. Cài đặt các thuật toán bằng nhiều cách khác nhau, có sử dụng đồ họa để làm nổi bật các đặc trưng và kết quả của các thuật toán. Dùng đồ thị so sánh các phương pháp khác nhau cùng giải quyết một bài toán, phân tích những điểm yếu điểm mạnh của các thuật toán. Khi cài đặt thuật toán nếu có gì vướng mắc thì sinh viên có thể tham khảo thêm phần code của toàn bộ chương trình tương ứng đã được viết bằng ngôn ngữ lập trình C trong tài liệu: “Phương pháp số. Phan Đăng Cầu, Phan Thị Hà, Học viện Công nghệ BCVT, 2002”. 4
- Chương 1: Số xấp xỉ và sai số CHƯƠNG 1 SỐ XẤP XỈ VÀ SAI SỐ MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU Sau khi nghiên cứu chương 1, yêu cầu sinh viên: 1. Hiểu được Phương Pháp Số là gì, vai trò và tầm quan trọng của Phương pháp số. 2. Hiểu được sai số tuyệt đối và sai số tương đối. 3. Nắm được cách viết số xấp xỉ. 4. Nắm được các qui tắc tính sai số. 5. Hiểu và biết cách đánh giá sai số tính toán và sai số phương pháp . 1.1. TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ 1.1.1. Phương pháp số là gì? Phương pháp số (numerical method) hay đôi khi còn được gọi là Phương pháp tính (Computational method), Toán học tính toán (Computational mathematics) hoặc Giải tích số (Numerical analysis) là một lĩnh vực của toán học chuyên nghiên cứu các phương pháp giải gần đúng các bài toán bằng cách dựa trên những dữ liệu số cụ thể và cho kết quả cũng dưới dạng số. Nói gọn hơn, phương pháp số như bản thân tên gọi của nó, có nghĩa là phương pháp giải các bài toán bằng những con số cụ thể. Trong phương pháp số chúng ta thường quan tâm đến hai vấn đề: • Phương pháp để giải bài toán. • Mối liên hệ giữa lời giải số gần đúng và lời giải đúng, hay vấn đề sai số của lời giải. 1.1.2. Những dạng sai số thường gặp Khi thực hiện một bài toán bằng phương pháp số ta thường gặp những loại sai số sau đây: • Sai số trong việc mô hình hóa bài toán • Sai số phương pháp • Sai số của số liệu • Sai số tính toán Những sai số trên đây tổng hợp lại nhiều khi dẫn đến những lời giải quá cách xa so với lời giải đúng và vì vậy không thể dùng được. Chính vì vậy việc tìm ra những thuật toán hữu hiệu để giải các bài toán thực tế là điều rất cần thiết. 5
- Chương 1: Số xấp xỉ và sai số 1.2. SAI SỐ TUYỆT ĐỐI VÀ SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI 1.2.1. Sai số tuyệt đối Trong tính gần đúng ta làm việc với các giá trị gần đúng của các đại lượng. Cho nên vấn đề đầu tiên cần nghiên cứu là vần đề sai số.Xét đại lượng đúng A và đại lượng gần đúng của nó là a. Ta nói a xấp xỉ A và viết a ≈ A. Trị tuyệt đối Δ a = | a-A | (1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a (khi dùng a để xấp xỉ A). Trong thực tế ta không biết được số đúng A, do đó nói chung sai số tuyệt đối không tính được. Vì vậy ta tìm cách ước lượng sai số tuyệt đối của a bằng số Ea>0 sao cho | a - A | ≤ Ea (1.2) Số dương Ea được gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của a. Rõ ràng nếu Ea là sai số tuyệt đối giới hạn của a thì mọi E > Ea đều là sai số tuyệt đối giới hạn của a. Nếu sai số tuyệt đối giới hạn quá lớn so với sai số tuyệt đối thì nó không còn có ý nghĩa về phương diện sai số nữa. Trong những điều kiện cụ thể người ta cố gắng chọn Ea là số dương bé nhất có thể được thoã mãn (1.1). Nếu Ea là sai số tuyệt đối giới hạn của a khi xấp xỉ A thì ta quy ước viết: A = a ± Ea (1.3) với ý nghĩa của (1.1), tức là a - Ea ≤ A ≤ a + Ea (1.4) 1.2.2. Sai số tương đối Gọi Δa là sai số tuyệt đối của a khi dùng a để xấp xỉ A, khi đó đại lượng Δa δa = (1.5) |a| được gọi là sai số tương đối của a. Tuy nhiên một lần nữa ta thấy rằng A thường không biết, vì vậy người ta định nghĩa đại lượng Ea εa = (1.6) |a| là sai số tương đối giới hạn của a. Từ đây ta có Ea = | a| εa (1.7) Từ đây người ta thường viết A = a(1 ± εa) (1.8) Vì trong thực tế chúng ta chỉ có thể thao tác với các sai số giới hạn, do đó người ta thường gọi một cách đơn giản Ea là sai số tuyệt đối, εa là sai số tương đối. Đôi khi người ta biểu diễn sai số tương đối dưới dạng %. Ví dụ với a =10, Ea = 0.05, khi đó ta có εa = 0.05/10 = 0.5 %. 1.2.3. Chú thích: Sai số tuyệt đối không nói lên đầy đủ "chất lượng" của một số xấp xỉ, “chất lượng” ấy còn được phản ánh qua sai số tương đối. 6
- Chương 1: Số xấp xỉ và sai số 1.3. CÁCH VIẾT SỐ XẤP XỈ 1.3.1. Chữ số có nghĩa Một số viết dưới dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số, nhưng ta chỉ kể các chữ số từ chữ số khác không đầu tiên tính từ trái đến chữ số cuối cùng khác không phía bên phải là các chữ số có nghĩa. Chẳng hạn số 2.740 có 3 chữ số có nghĩa, số 0.02078 có 4 chữ số có nghĩa. 1.3.2. Chữ số đáng tin Mọi số thập phân đều có dạng a = ± α nα n −1...α1α 0 .α −1α −2 ...α − m = ± Σ αs10s Trong đó αs là những số nguyên từ 0 đến 9. Giả sử a là xấp xỉ của số A với sai số tuyệt đối là Δa. Nếu Δa ≤ 0.5*10s thì ta nói rằng chữ số αs là đáng tin (và như vậy các chữ số có nghĩa bên trái αs đều là đáng tin). Nếu Δa > 0.5*10s thì ta nói rằng chữ số αs là đáng nghi (và như vậy các chữ số bên phải αs đều là đáng nghi). Ví dụ. Số xấp xỉ a = 4.67329 với Δa = 0.004726. Ta có | Δa | ≤ 0.5 *10-2 do đó các chữ số đáng tin là: 4,6,7; các chữ số đáng ngờ là 3,2, 9. với Δa = 0.005726. Ta có | Δa | ≤ 0.5 *10-1 (nhưng | Δa | > 0.5 *10-2 ) do đó các chữ số đáng tin là: 4,6; các chữ số đáng ngờ là 7, 3, 2, 9. 1.3.3. Cách viết số xấp xỉ a. Kèm theo sai số Cách thứ nhất là viết kèm theo sai số như công thức (1.3) A = a ± Ea b. Mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin Cách thứ hai là viết theo quy ước: mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin; có nghĩa là sai số tuyệt đối giới hạn không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng cuối cùng. 1.3.4. Sai số quy tròn Trong tính toán với các con số ta thường làm tròn các số theo quy ước sau: nếu chữ số bỏ đi đầu tiên ≥ 5 thì thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng một đơn vị, còn nếu chữ số bỏ đi đầu tiên < 5 thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng. Giả sử a là xấp xỉ của A với sai số tuyệt đối giới hạn là E . Giả sử ta quy tròn a thành a' với sai số quy tròn tuyệt đối giới hạn là θ, tức là: | a' - a| ≤ θ. Ta có | a' - A| = | a' - a + a -A| ≤ | a' - a| + | a -A| ≤ θ + E Vậy có thể lấy θ +E làm sai số tuyệt đối giới hạn của a'. Như vậy việc quy tròn làm tăng sai số tuyệt đối giới hạn. 7
- Chương 1: Số xấp xỉ và sai số 1.4. CÁC QUY TẮC TÍNH SAI SỐ 1.4.1. Mở đầu Ta xét bài toán tổng quát hơn như sau: Xét hàm số u của 2 biến số x và y: u = f(x,y) Giả sử x là xấp xỉ của giá trị đúng X, y là xấp xỉ của giá trị đúng Y và ta coi u là xấp xỉ của giá trị đúng U = f (X,Y). Cho biết sai số về x và y, hãy lập công thức tính sai số về u. Cho biến x ta sẽ ký hiệu Δx = x - X là số gia của x, còn dx là vi phân của x. Theo định nghĩa về sai số tuyệt đối, ta có | Δx | ≤ Δ x Theo công thức vi phân của hàm nhiều biến ta có: ∂u ∂u du = dx + dy ∂x ∂y Từ đây ∂u ∂u Δu ≈ Δx + Δy ∂x ∂y Suy ra ∂u ∂u Δu = | | Δx +| | Δy (1.9) ∂x ∂y 1.4.2. Sai số của tổng Cho u = x + y Ta có ∂u ∂u = =1 ∂x ∂y Từ (1.9) suy ra Δu = Δx + Δy (1.10) Ta có quy tắc sau: Sai số tuyệt đối giới hạn của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối giới hạn của các số hạng. Ghi chú. Xét trường hợp u = x - y và x, y cùng dấu. Lúc đó ta có δu = Δ u/|u| = ( Δ x + Δ y)/ |x-y| Ta thấy rằng nếu | x -y | rất bé thì sai số tương đối giới hạn rất lớn. Do đó trong tính toán người ta tìm cách tránh trừ những số gần nhau. 1.4.3. Sai số của tích Cho u = xy 8
- Chương 1: Số xấp xỉ và sai số Ta có ∂u ∂u = y, =x ∂x ∂y Từ (1.9) suy ra Δ u = |y| Δ x + |x| Δ y Do đó δu = Δ u/|u| = Δ x/|x| + Δ y/|y| = δx + δy Vậy δu = δx + δy (1.11) Ta có quy tắc sau: Sai số tương đối giới hạn của một tích bằng tổng các sai số tương đối giới hạn của các số hạng của tích. Xét trường hợp đặc biệt u = xn ta có δxn = n δx (1.12) 1.4.4. Sai số của thương Cho u = x/y Ta có ∂u 1 ∂u x = , = − 2 ∂x y ∂y y Từ (1.9) suy ra 1 x Δu = | |Δx + | 2 |Δy y y Ta có y y 1 x 1 1 Δ u / |u| = Δ u . | | = | | ( | | Δ x + | 2 | Δ y) = | | Δ x + | | Δ y = x x y y x y Suy ra: δxy = δx + δy (1.13) Ta có quy tắc sau: Sai số tương đối giới hạn của một thương bằng tổng các sai số tương đối giới hạn của các số hạng của thương. 1.4.5. Sai số của hàm bất kỳ Cho u = f(x1, x2,..., xn) Theo công thức vi phân của hàm nhiều biến ta có: ∂u ∂u ∂u du = dx1 + dx2 + ... + dxn ∂x1 ∂x 2 ∂x n 9
- Chương 1: Số xấp xỉ và sai số Từ đây ta có ∂u ∂u ∂u Δu ≈ Δx1 + Δx2 + ... + Δxn ∂x1 ∂x 2 ∂x n Suy ra ∂u ∂u ∂u Δu = | | Δ x1 +| | Δ x2 + ... + | | Δ xn (1.14) ∂x1 ∂x 2 ∂x n Ví dụ. Tính sai số tuyệt đối giới hạn và sai số tương đối giới hạn của thể tích hình cầu: V = (1/6)πd3 nếu cho đường kính d = 3.7 ± 0.05 cm và π = 3.14 ± 0.0016. Giải. Xem π và d là đối số của hàm V, áp dụng (1.12) và (1.13) ta có δV = δπ + 3δd (Hệ số 1/6 không ảnh hương đến sai số tương đối) δπ = 0.0016/3.14 = 0.0005 δd = 0.05/3.7 = 0.0135 Suy ra δV = 0.0005 + 3 * 0.0135 = 0.04 Mặt khác V = (1/6)πd3 = 26.5 cm3 Ta có Δ V = |V|*δV = 26.5*0.04 = 1.06 ≈ 1.1 cm3 V = 26.5 ± 1.1 cm3 1.5. SAI SỐ TÍNH TOÁN VÀ SAI SỐ PHƯƠNG PHÁP Như chúng tôi đã nhắc đến ở trên, khi giải một bài toán phức tạp ta phải thay bài toán đó bằng bài toán đơn giản hơn để có thể tính toán bằng tay hoặc bằng máy. Phương pháp thay bài toán phức tạp bằng một phương pháp đơn giản tính được như vậy gọi là phương pháp gần đúng. Sai số do phương pháp gần đúng tạo ra gọi là sai số phương pháp. Mặc dầu bài toán đã ở dạng đơn giản, có thể tính toán được bằng tay hoặc trên máy tính, nhưng trong quá trình tính toán ta thường xuyên phải làm tròn các kết quả trung gian. Sai số tạo ra bởi tất cả những lần quy tròn như vậy được gọi là sai số tính toán. Trong thực tế việc đánh giá các loại sai số, nhất là sai số tính toán nhiều khi là bài toán rất khó thực hiện. Để hiểu rõ hơn bản chất của sai số phương pháp và sai số tính toán ta xét ví dụ sau: Ta biết rằng với số x bất kỳ ta có x x2 xn ex = 1+ + + ... + +... 1! 2! n! Công thức này có thể dùng để tính giá trị ex . Tuy nhiên đây là tổng vô hạn, nên trong thực x x2 xn tế ta chỉ tính được tổng Sn = 1+ + + ... + , nghĩa là chúng ta đã dùng phương pháp gần 1! 2! n! đúng. Khi tính tổng Sn ta lại thường xuyên phải làm tròn, do đó ta lại gặp sai số khi tính toán Sn . Việc đưa ra một đánh giá về sai số tổng hợp của cả hai loại sai số trên là bài toán rất phức tạp. 10
- Chương 1: Số xấp xỉ và sai số 1.6. SỰ ỔN ĐỊNH CỦA MỘT QUÁ TRÌNH TÍNH TOÁN Xét một quá trình tính toán về lý thuyết có vô hạn bước để tính ra một đại lượng nào đó. Ta nói rằng quá trình tính là ổn định nếu sai số tính toán tức là sai số quy tròn tích lũy lại không tăng vô hạn. Nếu sai số đó tăng vô hạn thì ta nói quá trình tính là không ổn định. Rõ ràng nếu quá trình tính không ổn định thì không có hy vọng tính được đại lượng cần tính với sai số nhỏ hơn sai số cho phép. Để kiểm tra tính ổn định của một quá trình tính toán thường người ta giả sử sai số chỉ xảy ra tại một bước, các bước sau đó coi như không có sai số khác phát sinh. Nếu cuối cùng sai số tính toán không tăng vô hạn thì coi như quá trình tính là ổn định. 1.7. MỘT VÀI ĐIỀU VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA THỰC TẾ VÀ MÔ HÌNH Theo những điều vừa nói trên đây thì chúng ta luôn hiểu thực tế là tuyệt đối đúng, sai số chỉ xảy ra khi ta muốn mô hình hóa thực tế và tiến hành tính toán mô hình đó. Thực vậy, chúng ta có cảm giác rằng giới tự nhiên đang hoạt động một cách chính xác: hệ mặt trời đã có khoảng 5 tỷ năm tuổi, nhưng sự vận hành của nó có vẻ vẫn hoàn hảo: hàng ngày mặt trời mọc, mặt trời lặn đều theo quy luật. Cứ sau 365 ngày + 1/4 ngày thì quả đất quay đủ một vòng quanh mặt trời và hầu hết các vùng trên trái đất đều trải qua bốn mùa. Chúng ta có thể hình dung rằng chỉ cần mỗi năm sự vận hành của các hành tinh sai lệch đi chút ít thì trong hàng tỷ năm sai số tích lũy có thể sẽ gây nên những biến cố khôn lường! Tuy nhiên theo các nhà thiên văn thì sự vận hành của các hành tinh không tuyệt đối hoàn hảo như ta tưởng. Xét vị trí của mặt trời và trái đất chẳng hạn, theo lý thuyết thì nếu ngày hôm nay mặt trời đứng ở vị trí giữa bầu trời tính từ đông sang tây thì sau 24 giờ nữa nó cũng ở vị trí giữa bầu trời (tất nhiên là có thể chếch về phía nam nếu ta đang ở Việt nam). Nhưng trong thực tế không phải như vậy. Các nhà thiên văn đã không thể xây dựng được múi giờ một cách chính xác và nhất quán nếu dựa vào vị trí của mặt trời. Nói cụ thể hơn, nếu dựa vào vị trí mặt trời của năm nay làm múi giờ cho các vùng trên trái đất thì năm sau thời gian đó không còn thích hợp cho quỹ đạo của mặt trời nữa, mà có khác đi chút ít. Chính vì sự "đỏng đảnh" của mặt trời như vậy nên các nhà thiên văn đã đưa ra khái niệm mặt trời trung bình và thời gian trung bình. So với mặt trời trung bình và thời gian trung bình thì hàng năm mặt trời thật đi lệch trong khoảng thời gian từ -14,3 đến +16,3 phút. Tuy nhiên sở dĩ các sai số này không tích lũy từ năm này sang năm khác là vì các sai số giao động quanh vị trí trung bình và triệt tiêu lẫn nhau theo thời gian. Nghĩa là, không chỉ mô hình của chúng ta, mà ngay cả giới tự nhiên cũng có những sai số. Tuy nhiên các sai số trong giới tự nhiên đều có quy luật và thường triệt tiêu lẫn nhau, do đó không làm ảnh hưởng đến sự vận hành của các vật thể. BÀI TẬP Bài 1. Khi đo 1 số góc ta được các giá trị sau: a= 21o37’3”; b=1o10’ Hãy xác định sai số tương đối của các số xấp xỉ đó biết rằng sai số tuyệt đối trong phép đo là 1”. 11
- Chương 1: Số xấp xỉ và sai số Bài 2. Hãy xác định sai số tuyệt đối của các số xấp xỉ sau đây cho biết sai số tương đối của chúng: a) a= 13267 ; δa=0,1% b) b=2,32; δb=0,7% Bài 3. Hãy xác định số các chữ số đáng tin trong các số a,b với sai số như sau: a) a= 0,3941; Δ a=0,25.10-2 b) b=38,2543; Δ a= 0,27.10-2 Bài 4. Hãy xác định số những chữ số đáng tin trong các số a với sai số tương đối như sau: a) a=1,8921; δa=0,1.10-2 b) a=22,351; δa=0,1 Bài 5. Hãy qui tròn các số dưới đây( xem là đúng) với 3 chữ số có nghĩa đáng tin và xác định sai số tuyệt đối Δ và sai số tương đối δ của chúng: a) a= 2,514; b) 0,16152 c) 0,01204; d) –0,0015281 Bài 6. Hãy xác định giá trị của các hàm số dưới đây cùng với sai số tuyệt đối và sai số tương đối ứng với những giá trị của các đối số cho với mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin. a) u=ln(x+y2); x=0,97; y=1,132 b) u=(x+y)2z; x=3,28; y=0,932; z=1,132 12
- Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU: Sau khi nghiên cứu chương 1, yêu cầu sinh viên: 1. Hiểu và nắm được các phương pháp tìm nghiệm đúng, nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình tuyến tính. 2. Biết cách ứng dụng các phương pháp trên vào việc tính định thức của ma trận, tìm ma trận nghịch đảo, giải quyết các bài toán thực tế. 3. Biết cách đánh giá sai số của từng phương pháp 2.1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 2.1.1. Ma trận Cho ma trận chữ nhật A cấp m x n: a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n A= . . ... . am1 am2 ... amn ở đây aij là các số thực. Ma trận này có m hàng và n cột. Khi m = n ta có ma trận cấp nxn và được gọi tắt là ma trận vuông cấp n. Ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0, tức là aij = aji = 0 với i ≠ j, được gọi là ma trận đường chéo. Nếu ma trận đường chéo có aii = 1 thì ta gọi A là ma trận đơn vị và ta thường ký hiệu là E hoặc I. Ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác trên, nếu A có dạng a11 a12 ... a1n 0 a22 ... a2n A= . . ... . 0 0 ... ann 13
- Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính Tương tự, ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác dưới, nếu A có dạng: a11 0 ... 0 a21 a22 ... 0 A= . . ... . an1 an2 ... ann Ma trận chữ nhật AT cấp n x m được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A cấp m x n nếu: a11 a21 ... am1 a12 a22 ... am2 AT = . . ... . a1n a2n ... amn 2.1.2. Định thức của ma trận Trước khi đưa ra định nghĩa định thức của ma trận, chúng tôi giới thiệu khái niệm hoán vị chẵn, hoán vị lẻ của một tập hợp n số nguyên {1, 2, ... , n}. Cho α = (i1, i2,..., in) là một hoán vị của tập {1,2,...,n}. Ta xét tất cả các cặp (ik, ih), trong đó k < h. Nếu ik > ih thì ta gọi cặp (ik, ih) là cặp ngược, tức là các giá trị ik, ih được sắp xếp ngược với k,h. Nếu trong α số cặp ngược là chẵn thì ta gọi α là hoán vị chẵn, ngược lại thì ta gọi α là hoán vị lẻ. Với mỗi ma trận vuông A cấp n: a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n A= . . ... . an1 an2 ... ann tồn tại một số thực được gọi là định thức của ma trận A, ký hiệu là det A, được xác định bởi công thức: det A = ∑ s(i1, i2,..., in) a α 1i1 a 2i2 ...a nin (2.0) với α = (i1, i2,..., in) chạy trong tập tất cả các hoán vị của tập {1,2,...,n}, và 1 nếu α là hoán vị chẵn s(i1, i2,..., in) = -1 nếu α là hoán vị lẻ 14
- Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính Định thức của ma trận còn được ký hiệu là a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n A= . . ... . an1 an2 ... ann Với mỗi ma trận chữ nhật A cấp m x n bất kỳ ta có thể tính định thức của tất cả các ma trận con vuông cấp k, với k ≤ min (m, n). Nếu tồn tại một số r sao cho có một ma trận con cấp r có định thức khác 0, còn mọi ma trận con vuông cấp lớn hơn r đều bằng 0 thì ta nói rằng r là hạng của ma trận A. Các phép biến đổi sơ cấp sau đây không làm biến đổi hạng của ma trận: • Đổi chỗ 2 hàng hoặc 2 cột bất kỳ. • Nhân một hàng hay một cột bất kỳ với một số khác không. • Cộng các thành phần tương ứng của 2 hàng hoặc hai cột bất kỳ. Các phép biến đổi sơ cấp sẽ được sử dụng để tính định thức của ma trận và tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. Ma trận E được gọi là ma trận đơn vị cấp n nếu E là ma trận vuông cấp n và E có dạng 1 0 ... 0 0 1 ... 0 E= . . ... . 0 0 ... 1 2.1.3. Các phương pháp tính định thức a. Tính định thức dựa trực tiếp vào định nghĩa Ta có thể dùng (2.0) để tính định thức của một ma trận trên máy tính. Tuy nhiên cách tính này đòi hỏi khoảng c*n! phép tính. Đây là con số khổng lồ với n không lớn lắm. Ví dụ với máy tính hiện đại nhất hiện nay cũng cần hàng triệu năm để tính định thức của ma trận cấp n = 25. b. Tính định thức dựa vào công thức khai triển theo hàng Cho A là ma trận vuông cấp n và aij là một phần tử bất kỳ của nó. Định thức của ma trận con cấp n-1 sau khi “xóa” hàng thứ i và cột thứ j đi và không thay đổi vị trí các thành phần còn lại, được gọi là minor của phần tử aij , và được ký hiệu là Mij. Giá trị Aij = (-1)i+j Mij được gọi là phần bù đại số của phần tử aij. Ta có các công thức sau để tính định thức ma trận vuông cấp n thông qua việc tính định thức của các ma trận con cấp bé hơn: Khai triển định thức theo hàng thứ i: n det A = ∑ aij Aij j=1 15
- Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính Khai triển định thức theo cột thứ j: n det A = ∑ aij Aij i=1 Áp dụng các công thức trên đây ta có thể dùng thuật toán đệ quy sau đây để tính định thức của ma trận vuông cấp n : Nếu n = 1 : A11 = 1; det A = a11 A11 n n > 1: det A = ∑ a1j A1j j=1 Tuy nhiên, cũng như cách tính trực tiếp, cách tính này cần khoảng c*n! phép tính, và như vậy không thể thực hiện được trên máy tính hiện đại nhất hiện nay dù chỉ với n không lớn lắm. Rõ ràng việc phân tính thuật toán giúp chúng ta đánh giá được thời gian tính toán trên máy tính và nếu thời gian đó là quá lớn thì chúng ta khỏi phải tốn công vô ích viết chương trình và chạy thử. c. Tính định thức bằng cách chuyển ma trận về dạng tam giác trên Ta sẽ biến đổi để đưa ma trận A về dạng ma trận tam giác trên b11 b12 ... b1n 0 b22 ... B2n B B= . . ... . 0 0 ... bmn Vậy det A=det B = b11 b22...bnn 2.1.4. Ma trận nghịch đảo Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông A cấp n là ma trận được ký hiệu là A-1, thoả mãn điều kiện A-1A = A A-1 = E Trong đó E là ma trận đơn vị. Có thể chứng minh rằng để thỏa mãn điều kiện trên thì bắt buộc A-1 phải là ma trận vuông, và ma trận đảo nếu tồn tại là duy nhất. Điều kiện tồn tại của ma trận nghịch đảo: Ma trận vuông A cấp n có ma trận nghịch đảo khi và chỉ khi det A ≠ 0. Cách tính ma trận nghịch đảo: Gọi Aij là phần bù đại số của phần tử aij , khi đó ta có: A11 A21 ... An1 A12 A22 ... An2 1 A-1 = det A . . ... . A1n A2n ... Ann 16
- Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính Tuy nhiên công thức này chỉ có ý nghĩa lý thuyết, không thể áp dụng để tính trực tiếp ma trận đảo trên máy tính được vì số phép tính đòi hỏi quá lớn. Trong phần sau ta sẽ áp dụng phương pháp khử Gauss-Jordan để tính ma trận nghịch đảo với số phép tính nhỏ hơn nhiều (khoảng n3) 2.2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Xét một hệ phương trình gồm n phương trình tuyến tính với n ẩn số x1, x2,...,xn như sau: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 . . . . . . . . . . . . . . . . (2.1) an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn Hệ phương trình này có thể viết dưới dạng ma trận Ax = b, trong đó ⎡ a11 a12 ... a1n ⎤ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢a a 22 ... a 2 n ⎥ ⎥,x= ⎜ x2 ⎟ ⎜ b2 ⎟ A= ⎢ 21 ⎢ . . ... . ⎥ ⎜ . ⎟,b= ⎜ . ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜b ⎟ ⎣a n1 an2 ... a nn ⎦ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ Nếu det A ≠ 0 thì nghiệm của hệ (2.1) có thể tính theo công thức x = A-1b. Áp dụng công thức tính ma trận đảo ta có thể biến đổi và dẫn đến lời giải được diễn tả bằng định lý Cramer như sau: Định lý Cramer. Gọi Aj là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ j bằng cột b, khi đó hệ (2.1) có nghiệm duy nhất và xj được tính bởi công thức det A j xj = det A Tuy nhiên trong thực hành người ta không dùng công thức này để tính nghiệm vì số phép tính quá lớn. Người ta dùng những phương pháp hữu hiệu hơn mà chúng tôi sẽ giới thiệu sau đây. 2.2.1. Phương pháp trực tiếp giải hệ phương trình tuyến tính Giả sử ta giải hệ phương trình(2.1) a. Phương pháp khử Gauss Phương pháp khử Gauss dùng cách khử dần các ẩn để đưa hệ phương trình đã cho về một dạng tam giác trên rồi giải hệ tam giác này từ giới lên trên, không phải tính một định thức nào Phương pháp này được thực hiện qua các bước sau: Quá trình xuôi: - Bước 0: Dùng phương trình đầu tiên để khử x1 trong n-1 phương trình còn lại. Giả sử a11≠0. (Để cho công thức đơn giản , trước khi khử ta có thể chia phương trình thứ nhất cho a11 ). Cụ thể để khử x1 ở hàng thứ k( k=2,3,…n) ta phải tính lại các hệ số akj ở hàng thứ k (j=1,2,..n+1) như sau: akj=akj-a1j*ak1/a11 ... 17
- Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính - Bước 1: Dùng phương trình thứ 2 để khử x2 trong n-2 phương trình còn lại phía sau. Giả sử a22≠0. (Để cho công thức đơn giản, trước khi khử ta có thể chia phương trình thứ hai cho a22). Cụ thể để khử x2 ở hàng thứ k (k=3,4,…n) ta phải tính lại các hệ số akj ở hàng thứ k (j=2,..n+1) như sau: akj=akj-a2j*ak2/a22 ……. - Bước i: Dùng phương trình i để khử xi trong các phương trình thứ i+1,i+2, ..., n. Giả sử aii≠0. Để cho công thức đơn giản, trước khi khử ta có thể chia phương trình thứ i cho aii). Cụ thể để khử xi ở hàng thứ k (k=i+1,…n) ta phải tính lại các hệ số akj ở hàng thứ k (j=i,..n+1) như sau: akj=akj-aij*aki/aii - Bước n-1: Dùng phương trình thứ n-1 để khử xn-1 trong phương trình thứ n.Giả sử an-1 n-1≠0. (Để cho công thức đơn giản, trước khi khử ta có thể chia phương trình thứ n-1 cho an-1 n-1) Cụ thể để khử xn-1 ở hàng thứ n ta phải tính lại các hệ số anj ở hàng thứ n (j=n-1,n,n+1) như sau: anj=anj-an-1j*an-1i/an-1n-1 Kết thúc quá trình khử. Chú ý: Trong quá trình giải xuôi ta giả thiết a11≠0, a22≠0,a33≠0,...,an-1 n-1≠0. Nếu 1 trong các hệ số đó bằng không thì quá trình không tiếp tục được. Lúc đó ta phải thay đổi cách tính. Giả sử khi khử x1 ta gặp a11=0 thì ta nhìn các hệ số a21, a31 ...an1 của x1 ở các phương trình phía dưói, nếu có hệ số nào khác không ta có thể lấy nó thay cho vai trò của a11 bằng cách hoán vị hai phương trình. Nếu tất cả các hệ số số a11, a21, a31 ...,an1 đều bằng không thì hệ đã cho suy biến. Vậy tốt nhất là trước khi khử x1 ta chọn trong các hệ số a11, a21, a31 ...,an1 hệ số có giá trị tuyệt đối lớn nhất làm trụ thứ nhất( gọi là trụ tối đại thứ nhất) rồi hoán vị hàng thứ nhất cho hàng có giá trị tuyệt đối lớn nhất). Tức là ta chọn hàng r sao cho: | ar1 | = max {| ak1 | / k=1,2, ... ,n} Sau đó ta đổi hàng r cho hàng 1. Tương tự trong các bước khử x2,... xn-1 , trước khi khử ta cũng tìm trụ tối đại: | ari | = max {| aki | / k=i,i+1, ... ,n} ( với i=2,3,…,n-1) Sau đó ta đổi hàng r cho hàng i. Sau khi thực hiện xong quá trình giải xuôi hệ phương trình (2.1) có dạng: Dạng1: Tại các bước (bước i) ta không chia cho hệ số aii a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a22x2 + . . . + a2nxn = b2 . . . . . . . . . . . ann xn = bn 18
- Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính hoặc: Dạng 2: Tại các bước (bước i) ta chia cho hệ số aii: x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 x2 + . . . + a2nxn = b2 . . . . . . . . . . . xn = bn Xuất phát từ phương trình thứ n ta lần lượt tính được các giá trị xi bằng các công thức của quá trình giải ngược sau: Quá trình giải ngược xn = bn/ann hoặc ( xn=bn) ... n n xi = (bi -( ∑ aijxj) )/aii ) hoặc (bi -( ∑ aijxj) ), i =n-1, n-2, ..., 1 j=i+1 j=i+1 Để việc viết chương trình được đơn giản, khi cài đặt trên máy tính ta dùng một mảng a thay cho cả ma trận a và vec tơ b. Tức là ⎡ a11 a12 ... a1n a1,( n +1) ⎤ ⎡ a11 a12 ... a1n b1 ⎤ ⎢a ⎢ 21 a 22 ... a 2 n a 2,( n +1) ⎥ ⎢a 21 ⎥= ⎢ a 22 ... a 2 n b2 ⎥ ⎥ ⎢ . . ... . . ⎥ ⎢ . . ... . .⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a n1 ⎣ an2 ... a nn a n ,( n +1) ⎥ ⎣ a n1 ⎦ an2 ... a nn bn ⎦ Ta áp dụng các phép biến đổi sơ cấp như vừa trình bày để biến đổi ma trận chữ nhật cấp nx(n+1) trên đây về dạng ⎡1 a'12 ... a'1n a'1,( n +1) ⎤ ⎢0 1 ... a' 2 n a' 2,( n +1) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢. . ... . . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 ⎣ ... 1 a' n ,( n +1) ⎥ ⎦ Ví dụ:Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử Gauss: 2x1 + 3x2 +x3 = 11 -x1 + 2x2 -x3 = 0 3x1 + 2x3 =9 Bước1: Hệ phương trình trên tương đương với: 3x1 + 2x3 =9 h1=h3 -x1 + 2x2 -x3 = 0 h2=h2 2x1 + 3x2 +x3 = 11 h3=h1 19
- Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính 3x1 + 0 + 2x3 =9 h1=h1 2x2 - x3/3 = 3 h2=h2+h1/3 3x2 - x3/3 =5 h3=h3-2*h1/3 Bước 2: 3x1 + 0 +2x3 =9 h1=h1 3x2 - x3/3 =5 h2=h3 2x2 - x3/3 =3 h3=h2 3x1 + 0 + 2x3 = 9 h1=h1 x2 - x3 /3 = 5 h2=h2 -x3/9 = -1/3 h3=h3-2*h2/3 Vậy x3=3 x2=2 x1=1 Chương trình minh họa. Sau đây là đoạn chương trình chính thể hiện (mô tả) thuật toán khử Gauss. /*Giai he phuong trinh tuyen tinh dung khu Gauss, ma tran vuong n, cac phan tu cot thu n+1 la vecto b*/ /*Dua ma tran a ve dang tam giac tren Giai he phuong trinh tuyen tinh. Tra ve gia tri true neu co nghiem */ int khugauss(kmatran a,double *x,int n) { int i,j,k,h;double tmp,p;kmatran aa; int n1=n+1; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n1;j++) aa[i][j]=a[i][j]; for(i=1;i<=n;i++) //Vong lap cac buoc khu {//Tim hang co phan tu dau lon nhat h=i; for(k=i+1;k<=n;k++) if(fabs(a[k][i])>fabs(a[h][i]) {h=k;} if(a[h][i])==0) {cout<<"Ma tran suy bien";delay(1000);return false;} 20
- Chương 2: Các phương pháp số trong đại số tuyến tính if(h!=i) //Doi hang i va hang h vi a[h][i] > a[i][i] {int j;double tmp; for(j=i;j<=n1;j++) {tmp=a[i][j];a[i][j]=a[h][j];a[h][j]=tmp;} } //chuyen he so a[i][i] = 1 tmp=a[i][i]; for(j=i;j<=n1;j++) a[i][j] = a[i][j]/tmp; //Bat tinh lai cac hang for(k=i+1;k<=n;k++) {p=a[k][i]; /*Vi ta biet a[k][i] =0 sau bien doi, chi tinh tu a[k][i+1]*/ for(j=i+1;j<=n1;j++) a[k][j]=a[k][j] - p*a[i][j]; } } x[n]=a[n][n+1]; for(i=n-1;i>=1;i--) {double xx=0; for(j=i+1;j<=n;j++) xx=xx+a[i][j]*x[j]; x[i]=a[i][n+1]-xx;//b[i]-xx } //Dat cac gia tri phi duoi duong cheo chinh bang 0(phan nay khong can) for(i=2;i<=n;i++) for(j=1;j<i;j++) a[i][j]=0; //Thu lai kvecto bb; for(i=1;i<=n;i++) {bb[i]=aa[i][1]*x[1]; for(j=2;j<=n;j++) bb[i]+=aa[i][j]*x[j]; } //Dua ket qua vao tep ketqua return true; } 21
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD


text:
Giáo án - Bài giảng
Toán học
Xem bản đầy đủ
các chuyên đề hàm số luyện thi đại học
Các chuyên đề hàm số
CHUYÊN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Bài 1. Tuỳ theo a khảo sát sự biến thiên của hàm số
( )
3 2
4 3 axy x a x= + + +
Bài 2. Tìm m để hàm số
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
− +
=
−
đồng biến trong khoảng
( )
1;+∞
Bài 3. Tìm m đẻ hàm số
2 2
2 3
2
x mx m
y
m x
− +
=
−
nghịch biến trên
( )
1;+∞
Bài 4. Tìm m để hàm số
( ) ( )
3 2
1
1 3 4
3
y x m x m x= − + − + − −
đồng biến trên
( )
0;3
Bài 5. Tìm m để hàm số
2
6 2
2
mx x
y
x
+ −
=
+
nghịch biến trên
[
)
1;+∞
Bài 6. Tuỳ theo m xét sự biến thiên của hàm số
2
2
mx
y
x m
+
=
+ +
Bài 7. Tìm a để hàm số
( )
3
2
1 3sin 2
sin cos
3 2 4
x a
y a a x x= − + +
luôn đồng biến
Bài 8. Cho hàm số
( )
( )
2 2
1 6 6 12y m x m m x= + − − − +
, tìm m để hàm số thoả mãn
a. Nghịch biến với mọi x
b. nghịch biến với mọi x>0
c. Nghịch biến với mọi x<- 1
d. Nghịch biến với mọi
[ ]
0;1x∈
Bài 9. Chứng tỏ rằng với mọi
α
thì phương trình
3 2
3 2 os 0x x c
α
− + =
luôn có 2 nghiệm
phân biệt
Bài 10. Tìm m để hàm số
4 2
8 9y x mx m= − +
đồng biến trên
( )
2;+∞
Bài 11. Cho
0;
2
x
π
∈
÷
chứng minh rằng
a. sinx < x b. tanx < x
Bài 12. Cho x > 0 chứng minh rằng
3
sinx
6
x
x − <
Bài 13. Tìm a để hàm số
2
1
x a
y
x
+
=
+
luôn nghịch biến
Written by Hưng Vũ Viết
Hungmap2004@gmail.com.vn
Các chuyên đề hàm số
CHUYÊN ĐỀ 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ
Bài 1. Tìm cực trị của hàm số
2
. 2 3 1
2 3
. 3 sinx cos
2
a y x x
x
b y x
= − + +
+
= + +
Bài 2. Tìm
α
để hàm số
2
2 os 1
2sin
x xc
y
x
α
α
+ +
=
+
có cực đại và cực tiểu
Bài 3. Tìm a để hàm số
( )
4 3 2
8 3 1 2 4y x ax a x= + + + −
chỉ có một cực tiểu mà không có
cực đại
Bài 4. Cho hàm số
2
2x mx m
y
x m
− +
=
+
, Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Hãy viết
phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị
Bài 5. Hãy Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm
số
3 2
94 95y x x x= − − +
Bài 6. Chứng minh rằng các điểm cực trị của hàm số
4
3 2
3 8
4
x
y x x x= − − +
nằm trên 1
đường parabol xác định
Bài 7. Tìm điều kiện để các hàm số sau đây có cực trị
( )
3
2
2 2 2
1 3sin 2
. sin cos
3 2 4
2
.
1
x a
a y a a x x
x m x m
b y
x
= − + +
+ +
=
+
Bài 8. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
2
cos 3sin 8 cos2 1 1
3
y x a a x a x= + − − + +
a. Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại, cực tiểu
b. Giả sử hàm số đạt cực trị tại
1 2
,x x
chứng minh rằng
2 2
1 2
18x x+ ≤
với mọi a
Bài 9. Tìm m để đồ thị hàm số
( )
2 2 3
1 4mx m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
có một điểm cực trị nằm ở
góc phần tư thứ (II) một điểm cực trị nằm ở góc phần tư thứ (IV) của mặt phẳng toạ độ
Bài 10. Chứng minh rằng nếu hàm số
2
2 3 2
2
x x m
y
x
− + −
=
+
đạt cực trị tại
1 2
,x x
thì ta có
( ) ( )
1 2 1 2
4y x y x x x− = −
Bài 11. Tìm m để hàm số
2
2 3x x m
y
x m
− +
=
−
có cực đại cực tiểu thoả mãn
ax min
8
m
y y− >
Bài 12. Tìm m để hàm số
2
3 2 1
1
mx mx m
y
x
+ + +
=
−
có cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía của
trục Ox
Written by Hưng Vũ Viết
Hungmap2004@gmail.com.vn
Các chuyên đề hàm số
Bài tập cực trị làm thêm
Bài 1 :Tìm để hàm số có cực đại cực tiểu
Bài 2: Tìm để hàm số có cực đại cực tiểu
Bài 3 :Tìm để hàm số có cực đại cực tiểu
Bài 4: Tìm để hàm số có cực trị
Bài 5: Tìm để hàm số có điểm cực trị
Bài 6: Tìm để hàm số có cực đại cực tiểu
Bài 7: Chứng minh với mọi hàm số luôn có cực đại cực
tiểu
Bài 8 :Chứng minh mọi khác hàm số luôn có cực đại và cực tiểu
Bài 9: Tìm để hàm số đạt cực trị tại
Bài 10: Tìm để hàm số đạt cực tiểu tại
Bài 11: Tìm để hàm số đạt cực tiểu tại
Bài 12: Tìm để hàm số có cực đại và cực tiểu thoả
Bài 13: Tìm để hàm số đạt cực đại tại
Bài 14: Tìm m để hàm số có cực trị có hoành độ dương
Bài 15: Cho hàm số:
CMR: có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu với mọi tham số . Tìm để
Bài 16: Tìm để đồ thị hàm số: có giá trị cực trị trái dấu nhau.
Bài 17: Tìm để đồ thị hàm số: có hai điểm cực đại cực tiểu và
điểm đó nằm về hai phải với trục
Bài 18: Tìm để hàm số: có cực đại cực tiểu ở
hai phía đối với trục
Bài 19: Tìm để đồ thị hàm số: có hai điểm cực đại cực tiểu và
hai điểm đó nằm về hai phía đối với
Bài 20: Tìm để hàm số có cực đại cực tiểu. Tính tọa
độ điểm cực tiểu.
Written by Hưng Vũ Viết
Hungmap2004@gmail.com.vn
Các chuyên đề hàm số
Bài 21: Tìm để hàm số: không có cực đại cực tiểu.
Bài 22: Tìm m để đồ thị hàm số: có cực trị và tính
khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị.
Bài 23: Tìm m để đồ thị hàm số: có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm
cực trị bằng
Bài 24: Tìm để đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối điểm
cực đại và cực tiểu của
Bài 25: Tìm để đồ thị của hàm số: có cực trị và khoảng cách từ điểm cực
tiểu của đồ thị đến tiệm cận xiên bằng
Bài 26: Tìm để hàm số có điểm cực trị là đỉnh của một tam
giác vuông vân.
Bài 27: Tìm để đồ thị hàm số ( khác ) có điểm cực trị lập
thành một tam giác đều
Bài 28: Tìm để đồ thị hàm số có điểm cực trị là ba đỉnh của một tam
giác vuông
Bài 29: Tìm để đồ thị hàm số có đúng một cực trị.
Bài 30: Cho hàm số . Tìm để các điểm cực đại và cực tiểu của
ở về hai phía khác nhau của đường tròn
Bài 31: Cho họ Tìm để có điểm cực đại và cực
tiểu và hai điểm này đối cứng nhau qua phân giác thứ nhất.
Bài 32: Cho họ Tìm để có điểm cực đại và
cực tiểu và điểm này cách đều trục tung.
Bài 33: Cho họ Tìm để có điểm cực đại và cực tiểu
tại các điểm có hoành độ thỏa
Bài 34: Cho họ Tìm để có điểm cực đại và cực tiểu
cách đều đường thẳng
Bài 35: Cho họ Tìm để đồ thị có điểm cực đại
và cực tiểu và tích các giá trị cực đại và cực tiểu đat giá trị nhỏ nhất.
Written by Hưng Vũ Viết
Hungmap2004@gmail.com.vn
Các chuyên đề hàm số
CHUYÊN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT CỦA HÀM SÔ
Bài 1. Tìm Max, min của hàm số
cos sinxy x= +
Bài 2. Gọi
1 2
,x x
là nghiệm của phương trình
2 2
2
12
12 6 4 0x mx m
m
− + − + =
Tìm m sao cho
3 3
1 2
x x+
a. Đạt Max
b. Đạt min
Bài 3. Tìm Max, min của hàm số
4 3 2
4 12 10y x x x= − +
trên
6
0;
5
Bài 4. Tìm Max, min của các hàm số sau đây
3 3
. 2 4
. 1 1
a y x x
b y x x
= − + −
= − + +
Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 4 2 2
4 4 2 2
a b a b a b
F
b a b a b a
= + − + + +
÷
Bài 6. Tìm Max, min của hàm số
6 6
4 4
1 sin os
1 sin os
x c x
y
x c x
+ +
=
+ +
Bài 7. Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm
2 2
1 1x x x x m+ + − − + =
Bài 8. Tìm Max, min của hàm số
2
sinx 1
sin sinx 1
y
x
+
=
+ +
Bài 9. Cho
2 2
1x y+ =
. Tìm Max, min của biểu thức
( )
2
2
2
2 2 1
xy y
P
xy x
+
=
+ +
Bài 10. Tìm GTNN của
( )
cos sinx 1y a x a a= + + + ≥
Bài 11. Tìm Max, min của biểu thức sau biết rằng x, y không đồng thời bằng không
2 2
2 2
4
x y
P
x xy y
+
=
+ +
Written by Hưng Vũ Viết
Hungmap2004@gmail.com.vn
Tài liệu liên quan
các chuyên đề hàm số luyện thi đại học
Chuyên đề bài tập luyện thi đại học 2
33 dạng toán khảo sát hàm số luyện thi đại học 2011
chuyen de ham so luyen thi dai hoc
Tài liệu Chuyên đề hàm số luyện thi đại học 12 pdf
chuyên đề vật lí luyện thi đại học - Nguyễn Xuân Trị
chuyên đề ôn tập luyện thi đại học hóa họci
chuyên đề các câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số luyện thi đại học
CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG ppt
chuyên đề hàm số ôn thi đại học - nguyễn đức thắng
Generate time = 0.11122298240662 s. Memory usage = 1.93 MB

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

Server: Apache

Vary: Accept-Encoding

Content-Encoding: gzip

Connection: close

Content-Type: text/html; charset=UTF-8


text:
TruyệnĐọc.Mobi
truyen les sex dong tinh nu
HOME
CHAT
TRUYỆN
Forumviet.Mobi - Chơi game avatar ngay trên wap, đang đẫn đầu trên xu thế di động, tham gia để chém gió nào!
WAPCHOI.MOBI - Trang wap game, wap tải nhạc hình nền khủng nhất việt nam
truyen les sex dong tinh nu
TAGS:
truyen les sex dong tinh nu
,
tai truyen les sex dong tinh nu
,
download truyen les sex dong tinh nu
,
truyen les sex dong tinh nu moi 2014
,
xem truyen les sex dong tinh nu miễn phí
Bình Luận Về truyen les sex dong tinh nu
Lên Trên
Chia sẻ bài viết
Chào Bạn Mình Muốn Chia Sẽ Bài Viết Này [url=http://truyendoc.mobi/tag/truyen les sex dong tinh nu]truyen les sex dong tinh nu[/url] Hi Vọng Là Sẽ Có Ít Cho Bạn Nguồn: Seo.Waptin.Net
Thống Kê
Trang chủ
©
Truyendoc.mobi

WARC-Truncated: length

Cache-Control: no-store, no-cache, must-revalidate, post-check=0, pre-check=0

Pragma: no-cache

Set-Cookie: hosty=1; expires=Sun, 19-Apr-2015 00:00:00 GMT


text:
Gian hàng bán
Rao vặt
Hỏi đáp
Thêm
Danh sách gian hàng
Tin tức từ Vatgia.com
Để kinh doanh Online thành công
Đánh giá sản phẩm
BaoKim.vn
MyTour.vn
Nhanh.vn
WebBNC.net
Sản phẩm
Sản phẩm
Rao vặt
Hỏi đáp
Cửa hàng
Tìm trong danh mục
Bàn phím
Bảng vẽ cảm ứng
Bluetooth USB Adapter
Bộ bàn phím & Chuột
Bộ chia màn hình
Bộ lưu điện (UPS)
Cáp usb - USB cable
Cáp VGA - cable VGA
Card kỹ xảo
Card mở rộng
Chuột máy tính ( Mouse)
Connectors - Đầu nối
Dụng cụ vệ sinh máy tính
Electromechanical
Gaming Mouse - Chuột game thủ
Home Theater PC (HTPC)
KVM Switch
Loa máy tính
Mac Accessories
Màn hình cảm ứng CRT
Màn hình cảm ứng LCD
Màn hình cảm ứng LCD (dùng cho Kiôt)
Màn hình cảm ứng LCD treo tường
Màn hình CRT
Màn hình LCD
Màn hình LCD quảng cáo - đa dụng
Màn hình LED
Máy văn phòng
Mousepad (Bàn di chuột)
NetComputer
Optoelectronic
Passive Components
Prototyping - Accessories
Từ điển điện tử
USB memory
USB Memory 3.0
VGA Cooler (Tản nhiệt VGA)
Video capture card - Card thu hình camera
Webcam
Đầu đọc thẻ nhớ
Điều khiển đa năng
Hỗ trợ
Tuyển dụng
Nạp tiền
Đăng ký
Đăng ký thành viên
Đăng ký gian hàng
Đăng nhập
Tên truy cập:
Mật khẩu:
Nhớ mật khẩu
Quên mật khẩu
Toàn bộ danh mục
PHILIPS SPC500NC
Báo lỗi sản phẩm
So sánh với sản phẩm khác
Thông số kỹ thuật
Xem chi tiết
Hãng sản xuất:
Philips
/ Độ phân giải ảnh: - / Số điểm ảnh: - / Tốc độ khung :
30fps
/ Kết nối:
USB2.0
,
/ Tính năng:
-
,
/ Trọng lượng(g):
79 /
Cùng Hãng sản xuất
Philips SPC 1300NC
Liên hệ gian hàng...
Philips SPC 620NC
Liên hệ gian hàng...
Philip 502NC
Liên hệ gian hàng...
PHILIPS 200
Liên hệ gian hàng...
PHILIPS SPC200NC
Liên hệ gian hàng...
PHILIP SC 200NC
Liên hệ gian hàng...
Philips SPC 900NC
Liên hệ gian hàng...
Philips SPC 1000NC
Liên hệ gian hàng...
Có
982
sản phẩm
Thiết bị cho máy tính
Webcam (Xem tất cả)
Tìm kiếm nâng cao
Theo khoảng giá (VNĐ)
Từ :
Đến :
Theo Tỉnh/ Thành phố
Hà Nội
(263)
Hồ Chí Minh
(211)
Bình Dương
(22)
Đà Nẵng
(6)
An Giang
(1)
Bà Rịa - Vũng Tàu
(3)
Bến Tre
(2)
Bình Phước
(2)
Cần Thơ
(3)
Hà Nội 2
(3)
Lâm Đồng
(1)
Long An
(2)
Thái Bình
(1)
Tiền Giang
(2)
Đồng Nai
(2)
... Xem thêm
Hãng sản xuất
-
(141)
A4tech
(42)
Colorvis
(83)
Creative
(44)
Genius
(38)
Logitech
(66)
Delux
(21)
Funny
(35)
Logicool
(24)
Microsoft
(23)
NOVO
(31)
Acrox
(1)
ANC
(7)
AOC
(4)
Apacer
(2)
APEXIS
(9)
Arvel
(8)
Asus
(1)
AZBUY
(1)
BCIT
(12)
Bluelover
(3)
Buffalo
(3)
CLONE
(1)
ConnectLand
(6)
Cypresscom
(2)
D@DELI
(14)
DEPO
(5)
Diboom
(3)
E-BLUE
(4)
Elecom
(19)
Encore
(1)
EXOO
(6)
Foxdigi
(2)
FUJITECH
(2)
Gate
(1)
Generic
(4)
Green house
(5)
HAMA
(1)
Havit
(15)
Hercules
(19)
Hytech
(5)
Hyundai
(19)
Imation
(1)
iMicro
(3)
Iodata
(10)
Jeteck
(7)
Jetway
(3)
Jeway
(4)
JVC
(4)
JVJ
(7)
Kenko
(1)
King Master
(8)
Labtec
(1)
Lebeca
(1)
LeoLink
(11)
Lexma
(4)
LINKPRO
(1)
Links
(4)
Linksys
(2)
Loas
(2)
Maxell
(9)
Nansin
(6)
NASUN
(9)
Nh Japan
(1)
Nimbus
(3)
Novac
(1)
Panasonic
(12)
Persol
(1)
Philips
(9)
Planex
(5)
Princeton
(5)
Prolink
(3)
QQX3
(1)
Queen
(3)
QuickCam
(1)
Rosewill
(5)
S-COM
(5)
Sairship
(2)
Sanyo
(2)
Sony
(6)
SSK
(18)
Sunrise
(7)
Surecom
(2)
TAIWAN
(10)
Tako
(10)
Teddy
(1)
Toshiba
(1)
TravelPac
(2)
V7
(3)
VTCOM
(14)
Yahoo
(2)
Zalman
(1)
Zeway
(2)
Zonet
(3)
... Xem thêm
Độ phân giải ảnh
≥ 320x240
(735)
≥ 640x480
(719)
≥ 800x600
(369)
Kết nối
Ethernet
(30)
Wireless
(16)
USB2.0
(509)
USB
(455)
USB 1.1
(171)
RJ-45
(3)
Bạn muốn thêm lựa chọn ?
Các từ khóa liên quan
philips m600
,
philips
,
philips xenium
,
loa philips
,
philips 2094
,
philips 1701
,
philips 1711
,
philips 1643
,
philips 1843
,
philips 650
,
philips 149
,
philips 1720
,
philips 148
,
philips 1301
,
philips 190b6
,
tivi philips
,
webcam philips
,
ban la philips
PHILIPS SPC500NC - So sánh giá
Lịch sử giá
0.0
/
0
đánh giá
Xếp hạng
651
/ 982
So sánh giá
Thông số kỹ thuật
Nhận xét
Đánh giá
Hỏi đáp
Hình ảnh
Bạn nghĩ gì về sản phẩm này?
Hiện tại chưa có gian hàng nào bán sản phẩm
PHILIPS SPC500NC
trên Vatgia.com
Click vào đây
để bán sản phẩm
Nhận xét về PHILIPS SPC500NC
x
Nhận xét về PHILIPS SPC500NC
Rao vặt liên quan đến PHILIPS SPC500NC -
Xem thêm
Webcam họp trực tuyến Logitech BCC950, có mic thu âm tích hợp
(6.100.000 ₫ / chiếc)
Cần Bán Webcam Logitech C270h Full box (có kèm Stereo Headset)
(500.000 ₫)
Webcam HD dùng cho hội nghị truyền hình hãng A4tech PK-920H 1080p Full-HD
(1.700.000 ₫)
Webcam cho hội nghị truyền hình Full HD chính hãng A4tek PK-910H 1080p
(1.700.000 ₫)
Webcam microsoft chính hãng đây
(Thỏa thuận...)
Webcam logitech bcc950
(5.090.000 ₫ / cái)
Logitech BCC 950 Webcam hội họp : Hàng Mỹ
(6.300.000 ₫ / Chiếc)
Webcam facecam độ phân giải: HD720p 1280x720, tự động lấy nét
(626.000 ₫)
Webcam hội họp Logitech BCC 950 : Hàng Mỹ
(6.300.000 ₫ / Chiếc)
Webcam dùng để hội họp Logitech BCC950 - Chính hãng
(6.100.000 ₫ / Chiếc)
Các sản phẩm khác.
webcam Linksys WVC200
8.505.000₫
Logitech QuickCam Sphere AF
1.449.000₫
Webcam Huyndai Full HD
139.000₫
Jeway JW5330
140.000₫
Logitech Webcam C210
460.000₫
Webcam Logitech C170
450.000₫
Logitech QuickCam Orbit AF
2.540.000₫
webcam cây súng
55.000₫
Logitech B990 HD
2.616.000₫
Sony CMU-BR100
1.700.000₫
Logitech HD Pro C920
2.130.000₫
Camera Sony CMU-BR200
2.090.000₫
Colorvis ND40
140.000₫
Thiết bị hội nghị ConferenceCam Logitech...
4.890.000₫
Webcam Huyndai T100 hình pháo
55.000₫
Hyundai 5.0
89.000₫
Webcam SP030
80.000₫
Webcam Metal PC04M kèm theo mic
94.000₫
Logitech C930e
2.490.000₫
Logitech Quickcam C250 (Tích hợp...
595.000₫
Logitech C270H
650.000₫
COLORVIS 1001A
144.900₫
Colorvis 1010A
105.000₫
Logitech HD Webcam C310
660.000₫
Genius 1000X
590.000₫
LeoLink PC01
65.500₫
Webcam tự nhận (rô bốt, chân cao)
51.000₫
LeoLink PC11 webcam
109.900₫
Sản phẩm mới
Sản phẩm nổi bật
Logitech C615
Webcam Huyndai Full HD
Thiết bị hội nghị ConferenceCam Logitech BCC950 hình ảnh sắc nét
Sony CMU-BR100
A4tech Driver-FREE WebCam PK-635E
Logitech HD Pro C920
webcam Linksys WVC200
Hyundai 5.0
webcam quả bóng có mic
Colorvis HD PC Webcam ND11
Sản phẩm xem nhiều
Webcam Tako 05
Logitech HD Webcam C525
Webcam Sunrise 1 chân kèm mic
Microsoft LifeCam HD-3000 (T3H-00001)
TAKO 12
USB Webcam siêu nét hồng ngoại
Microsoft LifeCam Studio (Q2F-00001)
Logitech C615
Webcam Metal PC04M kèm theo mic
Sony CMU-BR100
Nhiều gian hàng bán
Logitech HD Webcam C270
Hyundai CJC X510
COLOVIS 2005
Webcam HC-333
Camera Sony CMU-BR200
Logitech Quickcam Pro 9000
Logitech HD Webcam C525
A4Tech PK-720G
A4tech Driver-FREE WebCam PK-635E
Webcam sắt hình bán nguyệt
Hàng công nghệ
>
Máy tính, linh kiện
>
Thiết bị cho máy tính
>
Webcam
(
Webcam
,
web camera
)
Trang thông tin, giá cả, cửa hàng bán, bình chọn, hỏi đáp về
PHILIPS SPC500NC
trong mục
Webcam
Từ khóa nổi bật trong tuần:
tc
,
iphone 5
,
ipod
,
hoa dat ban
,
tivi sony
Rao vặt
|
Hỏi đáp
|
Review - Đánh giá
|
Lưu trữ rao vặt
|
Quà tết
|
Việc làm
|
Exciter 150
|
Dien thoai
|
Laptop
|
Mua ban oto
|
Xe may
|
iPhone 5
|
iPhone 5s
|
iPhone 6
|
iPhone 6 Plus
|
iPhone 4
|
iPhone 4s
|
Điện thoại iphone
|
Galaxy s5
|
Điện thoại samsung
|
HTC One
|
Điện thoại HTC
|
Nokia
|
Nokia lumia 625
|
Nokia lumia 520
|
Sony xperia z3
|
Sony xperia m
|
Sony xperia z1
|
Áo khoác đẹp
|
Áo khoác da
|
Áo khoác nam
|
Giày nam
|
Vest nam
|
Đầm công sở
|
Áo khoác nữ
|
Giày cao gót
|
Điện thoại sony
|
Bất động sản
|
Cho thue nha
|
Tìm việc
|
Máy lọc nước
|
Cách làm trắng da
|
Sim số đẹp
|
Đồ chơi laptop
|
Quần áo bóng chuyền
|
Áo len nam
|
Máy ghi âm băng từ
|
Webcam
|
DVD phim tổng hợp
|
Projector (máy chiếu)
|
Chậu hoa, đôn hoa
|
Bộ đục
|
Bảng LED
|
Máy xúc đào
Giới thiệu
|
Hướng dẫn
|
Quy chế hoạt động
|
Chính sách bảo mật thông tin
Công ty Cổ phần Vật Giá Việt Nam. Số GCNDT: 011032001615, cấp ngày 21/06/2012, nơi cấp: UBND thành phố Hà Nội
Trụ sở chính: Lê Đại Hành, Hai Bà Trưng, Hà Nội - Chi nhánh Hồ Chí Minh: Đường Lữ Gia, Phường 15, Quận 11, Hồ Chí Minh

Set-Cookie: history_product=279079%7C0; path=/


text:
Gian hàng bán
Rao vặt
Hỏi đáp
Thêm
Danh sách gian hàng
Tin tức từ Vatgia.com
Để kinh doanh Online thành công
Đánh giá sản phẩm
BaoKim.vn
MyTour.vn
Nhanh.vn
WebBNC.net
Sản phẩm
Sản phẩm
Rao vặt
Hỏi đáp
Cửa hàng
Tìm trong danh mục
Xe máy
Xe máy phân khối lớn (Motor)
Ắc quy xe máy
Baga xe máy
Bánh mâm xe máy
Bạt phủ xe máy
Bát phốt xe máy
Bi nồi xe máy
Bình xăng xe máy
Bộ bát phốt xe máy
Bộ chế hòa khí xe máy
Bộ nạp xe máy
Bộ nồi tăng tốc xe máy
Bố thắng (má phanh) xe máy
Bố thắng đĩa xe máy
Bơm xe máy
Bộ chế hòa khí xe máy
Bộ IC đánh lửa xe máy
Bộ nạp, sạc Ắc quy xe máy
Búa côn xe máy
Bugi xe máy
Căm (nan hoa) xe máy
Cần đạp xe máy
Can-Am (Xe ba bánh)
Chắn bùn xe máy
Chân chống xe máy
Chìa khóa xe máy
Cốc đề xe máy
Còi xe máy
Công tắc xe máy
Cuộn điện xe máy
Dầu nhớt cho động cơ xe máy
Dây Curoa Xe máy
Dây phanh, Đồng hồ xe máy
Dịch vụ sửa chữa, Bảo dưỡng xe máy
Dịch vụ vẽ mũ bảo hiểm
Dụng cụ, thiết bị sửa chữa Xe máy
Giá để hàng xe máy
Giảm xóc, Phuộc nhún Xe máy
Gương (Kính) xe máy
Keo vá săm xe máy
Két nước xe máy
Khóa chống trộm xe máy
Lá côn xe máy
Lọc dầu xe máy
Lọc gió xe máy
Lọc xăng xe máy
Logo, Decal Xe máy
Lốp xe máy
Mặt nạ xe máy
Miếng vá săm xe máy
Mô tơ đề (Củ đề) xe máy
Mobin xe máy
Mũ (Nón) bảo hiểm xe máy
Nước, Dung dịch làm mát xe máy
Ổ khóa xe máy
OFFROAD
Ốp trang trí xe máy
Ốp, Chụp Pô xe máy
Phao xăng xe máy
Phụ Kiện Mũ bảo hiểm
Phụ kiện trang trí xe máy
Phụ tùng xe OFFROAD
Piston Xe máy
Pô xe máy
Quạt gió xe máy
Săm xe máy
Sên cam (xích cam) xe máy
Sên nhông đĩa
Séc măng xe máy
Sơn xe máy
Tay nắm xe máy
Tay Phanh, Tay côn xe máy
Thảm lót chân Xe Máy
Than đề xe máy
Thiết bị tiết kiệm xăng xe máy
Thiết bị định vị xe máy
Thùng sau Xe máy
Trang phục bảo hiểm xe máy
Vành xe máy
Vỏ nhựa xe máy
Vòng bi xe máy
Xe máy ba bánh chở hàng
Xe máy Offroad địa hình
Xe máy điện
Xe máy độ
Xe một bánh
Yên xe máy
Đèn xe máy
Đĩa phanh xe máy
Đồ độ xe máy
Động cơ xe máy
Động cơ xe OFFROAD
Đồng hồ đo km xe máy
Đùm xe máy
Các phụ tùng xe máy khác
Hỗ trợ
Tuyển dụng
Nạp tiền
Đăng ký
Đăng ký thành viên
Đăng ký gian hàng
Đăng nhập
Tên truy cập:
Mật khẩu:
Nhớ mật khẩu
Quên mật khẩu
Toàn bộ danh mục
Honda Click trắng
Báo lỗi sản phẩm
So sánh với sản phẩm khác
Thông số kỹ thuật
Xem chi tiết
Hãng sản xuất:
HONDA
Dung tich xy lanh:
108cc
Loại Xe:
Xe ga
Công suất tối đa:
6.7kw/7500rpm
Người mua xem sản phẩm này thường xem thêm.
Honda Click 125i Idling 2013...
58.200.000₫
Honda Click 125i ldling Stop...
Liên hệ gian hàng...
Yamaha Mio Ultimo (Vành đúc)
Liên hệ gian hàng...
Honda Click Forward 125i 2012...
58.000.000₫
Honda Click Exceed 2010 Đen
Liên hệ gian hàng...
Honda Click đỏ
300.000.000₫
Honda Click Exceed 2010 Đỏ
Liên hệ gian hàng...
Honda Click Play Vàng
Liên hệ gian hàng...
Honda Click 125i Idling 2013...
57.500.000₫
Mầu khác của Honda Click trắng
Honda Click đen
Liên hệ gian hàng...
Honda Click đỏ
300.000.000₫
Cùng Series với Honda Click trắng
Honda Click đen
Liên hệ gian hàng...
Honda Click đỏ
300.000.000₫
Đối thủ của Honda Click trắng
Xem tất cả
Honda Click
vs
Honda Wave 110 RSX FI AT
Bình chọn ngay
Honda Click
vs
Suzuki Hayate
Bình chọn ngay
Honda Click
vs
Honda Vision
Bình chọn ngay
Yamaha Nouvo
vs
Honda Click
Bình chọn ngay
Honda Click
vs
Yamaha Luvias
Bình chọn ngay
Honda Click
vs
Yamaha Mio Ultimo
Bình chọn ngay
SYM Joyride
vs
Honda Click
Bình chọn ngay
Cùng Hãng sản xuất.
Honda Super Cub 110 2013 ( Màu...
89.000.000₫
Honda Lead 125cc Fi 2013 ( Màu...
38.800.000₫
Honda Air Blade FI 125cc 2014...
38.700.000₫
Honda Lead 125cc Fi 2013 ( Màu...
36.500.000₫
Honda Air Blade FI 125cc 2014...
36.200.000₫
Honda Air Blade FI 125cc 2014...
38.000.000₫
Honda Air Blade FI 125cc 2014...
38.600.000₫
Honda PCX 125 ESP 2014 Việt...
51.000.000₫
Honda PCX 125 ESP 2014 Việt...
51.000.000₫
Có
5.912
sản phẩm
Xe máy, phụ tùng xe máy
Xe máy (Xem tất cả)
Tìm kiếm nâng cao
Theo khoảng giá (VNĐ)
Từ :
Đến :
Theo Tỉnh/ Thành phố
Hà Nội
(1046)
Hồ Chí Minh
(957)
Bình Dương
(212)
Đà Nẵng
(22)
Quảng Trị
(22)
Đồng Nai
(49)
... Xem thêm
Loại Xe
Xe số
(1311)
Xe ga
(3310)
Xe côn
(1209)
Xe côn tay kết hợp số chân
(72)
Hãng sản xuất
HONDA
(1073)
YAMAHA
(832)
PIAGGIO
(437)
SYM
(439)
SUZUKI
(326)
KYMCO
(170)
Daehan
(97)
HAOJIN
(99)
JIAJUE
(167)
REBEL
(99)
YIN XIANG
(115)
-
(20)
AJS
(13)
Ala
(3)
APRILIA
(10)
Bajaj
(7)
Baotian
(84)
Benelil
(5)
BETTER
(42)
Black
(1)
bmw
(1)
Camel
(1)
CBR
(1)
CF MOTO
(4)
CPI
(14)
Custom USA
(2)
Dayang
(30)
Deahan
(2)
Dealim
(48)
DEMU
(1)
DERBI
(33)
Ducati
(1)
Embassy Bella
(10)
Fashion
(7)
FILA
(1)
Geely
(74)
Generic
(44)
Gilera
(20)
HARAY
(38)
Harwan
(47)
Hero
(27)
Honmaki
(4)
Hupper
(9)
Jialing
(8)
Jianshe
(43)
Jmstar
(80)
Kamax
(17)
KAWASAKI
(27)
KEEWAY
(59)
KTM
(6)
Kwasaki
(7)
Lamborghini
(1)
Lambretta
(7)
LIFAN
(13)
Lintex
(73)
LML
(15)
Loncin
(1)
Mantoca
(26)
Maxsuki
(25)
Megelli
(3)
Minsk
(7)
MOTO MINI GIANG LONG
(19)
Motorking
(29)
MX
(5)
Ninja
(1)
Nitro
(1)
Noname
(2)
NSR
(2)
Peugeot
(44)
PGO
(7)
Qlink
(2)
Red
(1)
Regal Raptor
(9)
Reshine
(41)
Riya
(48)
Sachs
(21)
Sanya
(19)
Sanyou
(73)
Shaphire
(1)
Silver
(1)
Sonik
(14)
SUFAT
(39)
SUMMIT
(23)
SUZUKI - HAOJUE
(11)
SYW
(2)
Tianma
(64)
TianMa
(18)
TVS
(22)
UM
(13)
Visitor
(8)
West
(1)
White
(1)
XCross
(36)
Yamasaki
(64)
Yatian
(14)
YIBEN
(42)
Yujue
(96)
Zhejiang
(18)
ZHONGXING
(70)
ZNen
(80)
ZNEN
(20)
Zongshen
(24)
ZXMCO
(27)
... Xem thêm
Dung tich xy lanh
≥ 50cc
(3688)
≥ 100cc
(3103)
≥ 110cc
(2598)
≥ 120cc
(2151)
≥ 130cc
(806)
≥ 140cc
(729)
Công suất tối đa
≥ 4.4kw/7000rpm
(493)
≥ 6.7kw/7500rpm
(489)
≥ 7.7kw/8000rpm
(351)
Xuất xứ
India
(113)
Indonesia
(103)
Liên Doanh
(103)
Thái Lan
(140)
Trung Quốc
(1542)
Việt Nam
(447)
Ấn Độ
(88)
Italia - Ý
(70)
Malaysia
(86)
Mỹ
(76)
Nhật Bản
(55)
-
(29)
Australia
(6)
Canada
(6)
Korea
(48)
Philippines
(9)
UK
(50)
Đài Loan
(27)
... Xem thêm
Số km đã đi
Đang chờ cập nhật
(1372)
Năm đăng ký xe
Đang chờ cập nhật
(1372)
Bạn muốn thêm lựa chọn ?
Các từ khóa liên quan.
honda
,
honda click
,
click
,
xe click
,
honda ps
,
xe may honda
,
honda scr 110
,
honda civic
,
xe máy honda
,
xe honda
,
honda scr
,
honda sh
,
xe may click
,
honda wave
,
honda sh150i
,
xe honda click
,
xe click honda
,
click honda
,
honda sdh 125
,
click trắng
Honda Click trắng - Thông số kỹ thuật
Lịch sử giá
4.3
/
18
đánh giá
Xếp hạng
135
/ 5.912
So sánh giá
Thông số kỹ thuật
Nhận xét
Đánh giá
(18)
Hỏi đáp
(49)
Hình ảnh
Bạn nghĩ gì về sản phẩm này?
Thông số kĩ thuật trên Vatgia.com chỉ mang tính tham khảo, thông số có thể thay đổi mà không báo trước.
Nếu bạn phát hiện thông số sai xin hãy
Click vào đây
để thông báo cho chúng tôi. Xin trân trọng cảm ơn bạn!
Loại Xe
Xe ga
Thông số chi tiết
Hãng sản xuất
HONDA
Động cơ
Xăng, 4 kỳ, 1 xi lanh, cam đơn, làm mát bằng dung dịch
Dung tich xy lanh
108cc
Tỷ số nén
11:1
Công suất tối đa
6.7kw/7500rpm
Mô men cực đại
9,2Nm/5500 rpm
Hệ thống truyền động,động cơ
Hệ thống khởi động
• Đạp chân
• Khởi động bằng điện
Dầu nhớt động cơ
0.9 lít
Hệ thống ly hợp
• Tự động
• Ma sát
Kích thước,trọng lượng
Chiều dài (mm)
1890mm
Chiều rộng (mm)
680mm
Chiều cao (mm)
1080mm
Độ cao yên xe
750mm
Trọng lượng
100kg
Khoảng cách giữa 2 trục bánh xe
1270mm
Khoảng cách gầm xe
115mm
Phanh xe
Phanh trước
• Phanh đĩa thủy lực
Phanh sau
• Phanh thường
Thông số khác
Dung tích bình xăng
3,6lít
Bánh xe trước/ sau
80/90 - 14 / 90/90 - 14
Giảm xóc trước
• Lò xo trụ
• Giảm chấn thủy lực
Giảm xóc
Giảm xóc sau
• Kiểu đòn lắc
• Giảm chấn thủy lực
Sản phẩm cũ
Sản phẩm cũ
Sản phẩm cũ
Nhận xét về Honda Click trắng
x
Nhận xét về Honda Click trắng
Sản phẩm mới
Honda PCX 125 2015 Việt Nam (Đen mờ)
Honda PCX 125 2015 Việt Nam (Bạc Mờ)
Honda SH Mode 125 2015 Việt Nam (Vàng Nhạt Nâu)
Honda Lead 125 PGM-FI 2015 Cao Cấp Màu Vàng Nâu
Honda PCX 125 2015 Việt Nam (Đen)
Honda SH Mode 125 2015 Việt Nam (Xanh Nâu)
Honda SH Mode 125 2015 Việt Nam (Đỏ)
Honda PCX 125 2015 Việt Nam (Xám)
Honda SH Mode 125 2015 Việt Nam (Xanh Ngọc Đen)
Honda SH Mode 125 2015 Việt Nam (Xám Đen)
Sản phẩm nổi bật
Yamaha Nouvo SX GP 125 FI 2015 (Xanh Trắng Đen)
Piaggio Vespa Sprint 125 3V i.e 2014 Việt Nam (Xanh)
Piaggio Vespa Primavera 125 3V i.e LEm 2014 Việt Nam (Màu Xanh Ngọc)
Piaggio Liberty S 125 2014 Việt Nam
Honda Wave Alpha 2012 (Màu Trắng)
Piaggio Vespa PX 125 i.e 2013 Việt Nam ( Màu đen )
Piaggio Vespa LX 125 3V i.e 2013 Việt Nam ( Màu đỏ )
Honda Air Blade FI 125cc 2014 (Đỏ Trắng Đen) Việt Nam
Yamaha Exciter 150 RC 2015 (Vàng Đen)
Piaggio Vespa GTS Super 125 3V i.e 2014 Việt Nam (Màu Ghi)
Sản phẩm xem nhiều
Honda Super Dream 110cc 2013
SYM Attila Elizabeth EFI 2012 Màu đỏ - Thắng đùm
Honda Vision 110cc Fi 2013 (Màu Trắng)
Yamaha Sirius RC Fi 2013 ( Vàng đen )
Suzuki Viva 115 Fi 2013 Việt Nam (Xanh Trắng)
Honda Air Blade Fi 125cc 2013 Việt Nam (Đỏ Đen Trắng)
YAMAHA MIO CLASSICO NEW
YAMAHA JUPITER GRAVITA RC
Honda Vision 110cc Màu bạc
Honda LEAD Ánh Vàng
Nhiều gian hàng bán
Suzuki Hayate 125 (Phiên bản đặc biệt)
Honda Happy Vision 110cc 2014 (Xanh-Nan Hoa- Đĩa) Việt Nam
Yamaha Jupiter RC FI 2014 ( Màu đen )
Yamaha Grande STD 125 2014 (Bạc) Việt Nam
SYM Attila Elizabeth EFI 2012 Màu nâu - Thắng đĩa
Honda SH 125i Việt Nam 2012 (Mới) Màu xám
SYM Elegant 50cc 2013
Honda SH125 Mode 2013 Việt Nam (Màu Trắng Nâu)
Piaggio Vespa Primavera 125 3V i.e LEm 2014 Việt Nam (Màu Trắng)
Honda Air Blade FI 125cc 2014 (Đỏ Đen) Việt Nam
Hàng công nghệ
>
Ô tô, xe máy, xe đạp
>
Xe máy, phụ tùng xe máy
>
Xe máy
>
Xe máy Honda
>
Honda Click
(
Xe máy
,
Xe tay ga
,
xe ga
,
xe so
)
Trang thông tin, giá cả, cửa hàng bán, bình chọn, hỏi đáp về
Honda Click trắng
trong mục
Xe máy
Từ khóa nổi bật trong tuần:
tay do
,
iphone
,
ipod
,
hoa co
,
s1
Rao vặt
|
Hỏi đáp
|
Review - Đánh giá
|
Lưu trữ rao vặt
|
Quà tết
|
Việc làm
|
Exciter 150
|
Dien thoai
|
Laptop
|
Mua ban oto
|
Xe may
|
iPhone 5
|
iPhone 5s
|
iPhone 6
|
iPhone 6 Plus
|
iPhone 4
|
iPhone 4s
|
Điện thoại iphone
|
Galaxy s5
|
Điện thoại samsung
|
HTC One
|
Điện thoại HTC
|
Nokia
|
Nokia lumia 625
|
Nokia lumia 520
|
Sony xperia z3
|
Sony xperia m
|
Sony xperia z1
|
Áo khoác đẹp
|
Áo khoác da
|
Áo khoác nam
|
Giày nam
|
Vest nam
|
Đầm công sở
|
Áo khoác nữ
|
Giày cao gót
|
Điện thoại sony
|
Bất động sản
|
Cho thue nha
|
Tìm việc
|
Máy lọc nước
|
Cách làm trắng da
|
Sim số đẹp
|
Đồ chơi laptop
|
Quần áo bóng chuyền
|
Áo len nam
|
Máy ghi âm băng từ
|
Webcam
|
DVD phim tổng hợp
|
Projector (máy chiếu)
|
Chậu hoa, đôn hoa
|
Bộ đục
|
Bảng LED
|
Máy xúc đào
Giới thiệu
|
Hướng dẫn
|
Quy chế hoạt động
|
Chính sách bảo mật thông tin
Công ty Cổ phần Vật Giá Việt Nam. Số GCNDT: 011032001615, cấp ngày 21/06/2012, nơi cấp: UBND thành phố Hà Nội
Trụ sở chính: Lê Đại Hành, Hai Bà Trưng, Hà Nội - Chi nhánh Hồ Chí Minh: Đường Lữ Gia, Phường 15, Quận 11, Hồ Chí Minh

Set-Cookie: history_product=14286%7C0; path=/


text:
Gian hàng bán
Rao vặt
Hỏi đáp
Thêm
Danh sách gian hàng
Tin tức từ Vatgia.com
Để kinh doanh Online thành công
Đánh giá sản phẩm
BaoKim.vn
MyTour.vn
Nhanh.vn
WebBNC.net
Toàn quốc
Toàn quốc
Hà Nội
Hồ Chí Minh
An Giang
Bà Rịa - Vũng Tàu
Bắc Ninh
Bắc Giang
Bình Dương
Bình Định
Bình Phước
Bình Thuận
Bạc Liêu
Bến Tre
Bắc Cạn
Cần Thơ
Đà Nẵng
Khánh Hòa
Trà Vinh
Thừa Thiên Huế
Lào Cai
Quảng Ninh
Đồng Nai
Nam Định
Cà Mau
Cao Bằng
Gia Lai
Hà Giang
Hà Nam
Hà Nội 2
Hà Tĩnh
Hải Dương
Hải Phòng
Hoà Bình
Hưng Yên
Kiên Giang
Kon Tum
Lai Châu
Lâm Đồng
Lạng Sơn
Long An
Nghệ An
Ninh Bình
Ninh Thuận
Phú Thọ
Phú Yên
Quảng Bình
Quảng Nam
Quảng Ngãi
Quảng Trị
Sóc Trăng
Sơn La
Tây Ninh
Thái Bình
Thái Nguyên
Thanh Hoá
Tiền Giang
Tuyên Quang
Vĩnh Long
Vĩnh Phúc
Yên Bái
Đắc Lắc
Buôn Mê Thuột
Đồng Tháp
Đắc Nông
Hậu Giang
Đà Lạt
Điện Biên
Hỗ trợ
Tuyển dụng
Nạp tiền
Đăng tin
Đăng sản phẩm
Đăng rao vặt
Đăng hỏi đáp
Đăng ký
Đăng ký thành viên
Đăng ký gian hàng
Đăng nhập
Tên truy cập:
Mật khẩu:
Nhớ mật khẩu
Quên mật khẩu
Tìm kiếm Rao vặt
Sản phẩm
Rao vặt
Hỏi đáp
Đánh giá
Cửa hàng
Vatgia.com
|
Sản phẩm
|
Rao vặt
|
Hỏi đáp, tư vấn tiêu dùng
|
Đánh giá (Review)
|
Lưu trữ rao vặt
|
iPhone 6
|
iPhone 6 Plus
|
iPad Air
|
Xe may
|
Dien thoai
|
Netbook
|
Máy tính laptop
|
Galaxy S5
|
Thiet bi ve sinh cao cap
|
Máy ảnh số
|
iPhone
|
Máy nghe nhạc MP3
|
Galaxy Tab
|
Tivi LCD
|
Mainboard
|
RAM
|
Màn hình LCD
|
Điều hòa
|
BlackBerry
|
Máy chấm công
|
Máy chiếu
|
Máy photocopy
|
Bat dong san
|
Can thue nha
|
Cho thue nha, nha cho thue
|
iPhone 5
|
Sách
|
San go cong nghiep
|
iPhone 5S
|
Ao cuoi
|
Sàn gỗ công nghiệp
|
Ô tô
|
O to
|
Oto
|
Xe hơi
|
Tủ rack
|
Các nguyên vật liệu, phụ kiện cho bể cá treo
|
Đèn trang trí dưới nước
|
Bánh ngọt
|
Nồi nướng
|
Sản phẩm dành cho ngực
|
An toàn cho bé khi đi ô tô
|
Thước thuỷ
|
Màn hình cảm ứng
|
Máy cắt kính
|
Máy trộn bê tông
|
Màn hình
Giới thiệu
|
Hướng dẫn
|
Quy chế hoạt động
|
Chính sách bảo mật thông tin
Công ty Cổ phần Vật Giá Việt Nam. Số GCNDT: 011032001615, cấp ngày 21/06/2012, nơi cấp: UBND thành phố Hà Nội
Trụ sở chính: Lê Đại Hành, Hai Bà Trưng, Hà Nội - Chi nhánh Hồ Chí Minh: Đường Lữ Gia, Phường 15, Quận 11, Hồ Chí Minh

Set-Cookie: u_nologin_id=1840611584; expires=Mon, 27-Jul-2015 11:40:53 GMT; path=/; httponly


text:
Từ: فدايي
Thêm vào: 04/12/2010 Đã nghe: 6 lầntrong: Thêm thể loại cho فدايي
Phát âm bằng Tiếng Ba Tư [fa]
- Phát âm của leila1389 (Nữ từ Iran)
0 bình chọn
Bạn có thể làm tốt hơn? bằng giọng khác? Phát âm فدايي trong Tiếng Ba Tư
Giọng & ngôn ngữ ở trên bản đồ
- Từ ngẫu nhiên: پرتغالی
Chưa hài lòng?
Sửa từ:
· Thêm ngôn ngữ
· Thêm thể loại
Báo cáo về từ:
Có gì không ổn với từ này?
Xin báo cáo nó tại đây.
Kể cho bạn bè về cách phát âm فدايي:
thư điện tử

markdown:
## Từ:
**فدايي** **Thêm vào:**04/12/2010 **Đã nghe:**6 lần [Thêm thể loại cho](/word-modify/%D9%81%D8%AF%D8%A7%D9%8A%D9%8A/) **فدايي**
### Phát âm bằng
[Tiếng Ba Tư](/languages/fa/) [fa] [Phát âm của](/word/%D9%81%D8%AF%D8%A7%D9%8A%D9%8A/) [leila1389](/user/leila1389/)(Nữ từ Iran)
0 bình chọn
Bạn có thể làm tốt hơn? bằng giọng khác?
[Phát âm فدايي trong Tiếng Ba Tư](/word-record/%D9%81%D8%AF%D8%A7%D9%8A%D9%8A/fa/)
### Giọng & ngôn ngữ ở trên bản đồ
- Từ ngẫu nhiên:
[پرتغالی](/word/%D9%BE%D8%B1%D8%AA%D8%BA%D8%A7%D9%84%DB%8C/)
#### Chưa hài lòng?
#### Sửa từ:
·
[Thêm ngôn ngữ](/word-modify/%D9%81%D8%AF%D8%A7%D9%8A%D9%8A/)
·
[Thêm](/word-modify/%D9%81%D8%AF%D8%A7%D9%8A%D9%8A/) **thể loại**
#### Báo cáo về từ:
Có gì không ổn với từ này?
[Xin báo cáo nó tại đây](/word-report/%D9%81%D8%AF%D8%A7%D9%8A%D9%8A/).
#### Kể cho bạn bè về cách phát âm فدايي:
[thư điện tử](mailto:?subject=C%C3%A1ch%20ph%C3%A1t%20%C3%A2m%20%D9%81%D8%AF%D8%A7%D9%8A%D9%8A%20trong%20Ti%E1%BA%BFng%20Ba%20T%C6%B0&body=Nghe%20c%C3%A1ch%20ph%C3%A1t%20%C3%A2m%20b%E1%BA%A3n%20x%E1%BB%A9%20trong%20Forvo%2C%20http%3A%2F%2Fvi.forvo.com%2Fword%2F%25D9%2581%25D8%25AF%25D8%25A7%25D9%258A%25D9%258A%2F)

Server: nginx

Set-Cookie: forvo_cookies=1; expires=Sun, 17-Apr-2016 11:40:39 GMT; Max-Age=31536000; path=/; domain=.forvo.com


text:
Hotels.com mang đến cho bạn những ưu đãi và khuyến mãi giá phòng khách sạn tuyệt vời tại Sturgeon Bay, Mỹ. Đặt phòng khách sạn trực tuyến ngay hôm nay cùng chúng tôi để hưởng giá tốt nhất.
Tại Hotels.com, bạn có thể tìm và so sánh giá phòng khách sạn tại Sturgeon Bay để chọn khách sạn hoàn hảo cho chuyến đi của mình. Bất kể bạn đang lên kế hoạch cho một chuyến du lịch, kỳ nghỉ hè hay đi công tác tại Sturgeon Bay, Hotels.com luôn có phòng phù hợp cho nhu cầu của bạn.
Tại Hotels.com, bạn có thể tìm và so sánh giá phòng khách sạn tại Sturgeon Bay để chọn khách sạn hoàn hảo cho chuyến đi của mình. Bất kể bạn đang lên kế hoạch cho một chuyến du lịch, kỳ nghỉ hè hay đi công tác tại Sturgeon Bay, Hotels.com luôn có phòng phù hợp cho nhu cầu của bạn.

Content-Language: vi-VN

X-UA-Compatible: IE=Edge

Cache-Control: max-age=0, no-cache, no-store

Set-Cookie: user=QSp2aV9WTnxIQ09NX1ZO; Domain=.hotels.com; Expires=Sun, 17-Apr-2016 11:53:34 GMT; Path=/