text:
Ctenodactylus gundi
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Ctenodactylus gundi là một loài động vật có vú trong họ Ctenodactylidae, bộ Gặm nhấm. Loài này được Rothmann mô tả năm 1776.[1]
Hình ảnh[sửa | sửa mã nguồn]
Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]
- ^ a ă Wilson, D. E.; Reeder, D. M. biên tập (2005). “Ctenodactylus gundi”. Mammal Species of the World . Baltimore: Nhà in Đại học Johns Hopkins, 2 tập (2.142 trang). ISBN 978-0-8018-8221-0. OCLC 62265494.
Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]
Phương tiện liên quan tới Ctenodactylus gundi tại Wikimedia Commons

markdown:
*Ctenodactylus gundi*
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
|
|Ctenodactylus gundi
|
|![]()
[Tình trạng bảo tồn](/wiki/T%C3%ACnh_tr%E1%BA%A1ng_b%E1%BA%A3o_t%E1%BB%93n) [Phân loại khoa học](/wiki/Ph%C3%A2n_lo%E1%BA%A1i_sinh_h%E1%BB%8Dc) [Giới](/wiki/Gi%E1%BB%9Bi_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *regnum*) [Animalia](/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_v%E1%BA%ADt) [Ngành](/wiki/Ng%C3%A0nh_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *phylum*) [Chordata](/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_v%E1%BA%ADt_c%C3%B3_d%C3%A2y_s%E1%BB%91ng) [Lớp](/wiki/L%E1%BB%9Bp_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *class*) [Mammalia](/wiki/L%E1%BB%9Bp_Th%C3%BA) [Bộ](/wiki/B%E1%BB%99_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *ordo*) [Rodentia](/wiki/B%E1%BB%99_G%E1%BA%B7m_nh%E1%BA%A5m) [Họ](/wiki/H%E1%BB%8D_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *familia*) [Ctenodactylidae](/wiki/Ctenodactylidae) [Chi](/wiki/Chi_(sinh_h%E1%BB%8Dc))( *genus*) [Ctenodactylus](/wiki/Ctenodactylus) [Loài](/wiki/Lo%C3%A0i)( *species*) **C. gundi** [Danh pháp hai phần](/wiki/Danh_ph%C3%A1p_hai_ph%E1%BA%A7n) *Ctenodactylus gundi*
(
[Rothmann](/w/index.php?title=G%C3%B6ran_Rothman&action=edit&redlink=1), [1776](/wiki/1776)) [[1]](#cite_note-msw3-1) ![ Ctenodactylus gundi range map.png](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c7/Ctenodactylus_gundi_range_map.png/272px-Ctenodactylus_gundi_range_map.png)
![ Ctenodactylus gundi range map.png](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c7/Ctenodactylus_gundi_range_map.png/272px-Ctenodactylus_gundi_range_map.png)
* là một loài Ctenodactylus gundi* [động vật có vú](/wiki/L%E1%BB%9Bp_Th%C3%BA)trong họ [Ctenodactylidae](/wiki/Ctenodactylidae), [bộ Gặm nhấm](/wiki/B%E1%BB%99_G%E1%BA%B7m_nh%E1%BA%A5m). Loài này được Rothmann mô tả năm 1776. [[1]](#cite_note-msw3-1)
## Hình ảnh[
[sửa](/w/index.php?title=Ctenodactylus_gundi&veaction=edit&vesection=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Ctenodactylus_gundi&action=edit§ion=1)]
## Chú thích[
[sửa](/w/index.php?title=Ctenodactylus_gundi&veaction=edit&vesection=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Ctenodactylus_gundi&action=edit§ion=2)]
- ^
**a** [Wilson, D. E.; Reeder, D. M. biên tập (2005).](#cite_ref-msw3_1-1) **ă** [“](http://www.bucknell.edu/msw3/browse.asp?id=13300005). *Ctenodactylus gundi*” *Mammal Species of the World*. Baltimore: Nhà in Đại học Johns Hopkins, 2 tập (2.142 trang). [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-8018-8221-0](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-8018-8221-0). [OCLC](/wiki/OCLC) [62265494](//www.worldcat.org/oclc/62265494).
## Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=Ctenodactylus_gundi&veaction=edit&vesection=3) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Ctenodactylus_gundi&action=edit§ion=3)]
## Liên kết ngoài[
[sửa](/w/index.php?title=Ctenodactylus_gundi&veaction=edit&vesection=4) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Ctenodactylus_gundi&action=edit§ion=4)]
Phương tiện liên quan tới
[Ctenodactylus gundi](//commons.wikimedia.org/wiki/Category:Ctenodactylus_gundi) tại [Wikimedia Commons](/wiki/Wikimedia_Commons)

WARC-Type: response

Content-Type: application/http; msgtype=response

Content-Type: text/html; charset=UTF-8

Connection: close

Content-Encoding: gzip

X-Cache: cp1068 miss (0), cp1052 frontend miss (0)


text:
Giả thuyết Riemann
Trong toán học, giả thuyết Riemann, nêu bởi Bernhard Riemann (Riemann (1859)), là một phỏng đoán về các không điểm phi tầm thường của hàm zeta Riemann tất cả đều có phần thực bằng 1/2. Tên gọi này đôi khi cũng có nghĩa tương tự cho một số giả thuyết khác như giả thuyết Riemann cho các đường cong trên trường hữu hạn.
Giả thuyết Riemann hàm ý kết quả về sự phân bố các số nguyên tố. Cùng với những dạng tổng quát hóa phù hợp, các nhà toán học coi nó là một trong những bài toán quan trọng nhất chưa được giải trong toán học thuần túy Bombieri 2000. Giả thuyết Riemann, cùng với giả thuyết Goldbach thuộc về bài toán thứ tám của Hilbert trong danh sách 23 bài toán chưa giải được của David Hilbert; nó cũng là một trong bày bài toán của Giải thưởng Bài toán Thiên niên kỷ do Viện Toán học Clay khởi xướng.
Hàm zeta Riemann ζ(s) là hàm với đối số s là một số phức bất kỳ khác 1, và giá trị của hàm cũng là giá trị phức. Các không điểm của hàm (nghiệm) bao gồm tại các số nguyên âm; tức là ζ(s) = 0 khi s nhận các giá trị −2, −4, −6, .... Chúng được gọi là các không điểm tầm thường. Tuy nhiên, các số nguyên âm không phải là các nghiệm duy nhất của hàm zeta; và những nghiệm này gọi là không điểm phi tầm thường hay "không điểm không tầm thường". Giả thuyết Riemann đề cập đến vị trí của các không điểm phi tầm thường này, và phát biểu rằng:
- Phần thực của mọi không điểm không tầm thường của hàm zeta Riemann là bằng 12.
Do vậy các không điểm phi tầm thường sẽ nằm trên đường giới hạn chứa các số phức 12 + i t, với t là số thực và i là đơn vị ảo.
Có một vài sách phổ biến về giả thuyết Riemann, như của Derbyshire (2003), Rockmore (2005), Sabbagh (2003), du Sautoy (2003). Các sách như Edwards (1974), Patterson (1988) và Borwein et al. (2008) đưa ra nội dung toán học của nó, trong khi Titchmarsh (1986), Ivić (1985) và Karatsuba & Voronin (1992) trình bày ở mức khó hơn.
Hàm zeta Riemann[sửa | sửa mã nguồn]
Hàm zeta Riemann xác định đối với số phức s với phần thực lớn hơn 1 bởi chuỗi vô hạn hội tụ tuyệt đối
Leonhard Euler chứng minh được rằng chuỗi này bằng tích Euler
với tích vô hạn mở rộng trên mọi số nguyên tố p, và chuỗi này hội tụ đối với các số phức s với phần thực lớn hơn 1. Sự hội tụ của tích Euler chứng tỏ rằng hàm ζ(s) không có một không điểm nào trong miền này, do không có một giá trị s nào làm cho hàm bằng 0.
Giả thuyết Riemann đề cập đến các không điểm nằm ngoài miền hội tụ của chuỗi này, do vậy nó cần phải liên tục giải tích đối với mọi số phức số phức s. Điều này có thể chứng minh khi biểu diễn nó theo hàm eta Dirichlet như sau. Nếu phần thực của s lớn hơn 1, thì hàm zeta thỏa mãn
Tuy nhiên, chuỗi bên vế phải hội tụ không những khi s lớn hơn 1, mà còn trong trường hợp s có phần thực dương. Do vậy, chuỗi thay thế này mở rộng hàm zeta từ miền Re(s) > 1 sang miền lớn hơn Re(s) > 0, ngoại trừ tại các không điểm của (xem hàm eta Dirichlet). Hàm zeta cũng có thể mở rộng tới những giá trị này bằng cách lấy giới hạn, sẽ thu được giá trị hữu hạn cho mọi giá trị của s với phần thực dương ngoại trừ một trường hợp khi s = 1.
Trong miền 0 < Re(s) < 1 hàm zeta thỏa mãn phương trình hàm
Có thể định nghĩa ζ(s) cho mọi số phức s khác 0 còn lại bằng cách giả sử rằng phương trình này thỏa mãn cả bên ngoài miền xác định, và đặt ζ(s) bằng vế phải của phương trình khi s có phần thực không dương. Nếu s là một số nguyên âm chẵn thì ζ(s) = 0 bởi vì nhân tử sin(πs/2) bằng 0; đây là các không điểm tầm thường của hàm zeta. (Lập luận này không đúng nếu s là một số nguyên dương chẵn bởi vì giá trị 0 của sin bị triệt tiêu tại các cực của hàm gamma khi nó nhận các tham số nguyên âm.) Giá trị tại ζ(0) = −1/2 là không xác định bởi phương trình hàm, nhưng nó là giới hạn của ζ(s) khi s tiến đến 0. Phương trình hàm cũng hàm ý rằng hàm zeta không có các không điểm với phần thực âm ngoại trừ các không điểm tầm thường nêu ở trên; do đó mọi không điểm phi tầm thường nằm trong miền giới hạn với s có phần thực nằm giữa 0 và 1.
Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]
- Tổng quát hóa giả thuyết Riemann
- Giả thuyết Riemann cho các đường cong trên trường hữu hạn
- Bài toán Hilbert
- Giải thưởng Thiên niên kỷ Toán học
Thư mục tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
- Artin, Emil (1924), “Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil”, Mathematische Zeitschrift 19 (1): 207–246, doi:10.1007/BF01181075
- Beurling, Arne (1955), “A closure problem related to the Riemann zeta-function”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 41 (5): 312–314, doi:10.1073/pnas.41.5.312, MR 0070655
- Bohr, H.; Landau, E. (1914), “Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die ζ-Funktion und die L-Funktionen”, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 37 (1): 269–272, doi:10.1007/BF03014823
- Bombieri, Enrico (2000), The Riemann Hypothesis – official problem description (PDF), Clay Mathematics Institute, truy cập ngày 25 tháng 10 năm 2008 Reprinted in Borwein & ctg 2008.
- Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea biên tập (2008), The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, doi:10.1007/978-0-387-72126-2, ISBN 978-0-387-72125-5
- Borwein, Peter; Ferguson, Ron; Mossinghoff, Michael J. (2008), “Sign changes in sums of the Liouville function”, Mathematics of Computation 77 (263): 1681–1694, doi:10.1090/S0025-5718-08-02036-X, MR 2398787
- de Branges, Louis (1992), “The convergence of Euler products”, Journal of Functional Analysis 107 (1): 122–210, doi:10.1016/0022-1236(92)90103-P, MR 1165869
- Cartier, P. (1982), “Comment l'hypothèse de Riemann ne fut pas prouvée”, Seminar on Number Theory, Paris 1980–81 (Paris, 1980/1981), Progr. Math. 22, Boston, MA: Birkhäuser Boston, tr. 35–48, MR 693308
- Connes, Alain (1999), “Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function”, Selecta Mathematica. New Series 5 (1): 29–106, arXiv:math/9811068, doi:10.1007/s000290050042, MR 1694895
- Connes, Alain (2000), “Noncommutative geometry and the Riemann zeta function”, Mathematics: frontiers and perspectives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, tr. 35–54, MR 1754766
- Conrey, J. B. (1989), “More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line”, J. Reine angew. Math. 399: 1–16, MR 1004130
- Conrey, J. Brian (2003), “The Riemann Hypothesis” (PDF), Notices of the American Mathematical Society: 341–353 Reprinted in Borwein & ctg 2008.
- Conrey, J. B.; Li, Xian-Jin (2000), “A note on some positivity conditions related to zeta and L-functions”, International Mathematics Research Notices 2000 (18): 929–940, arXiv:math/9812166, doi:10.1155/S1073792800000489, MR 1792282
- Deligne, Pierre (1974), “La conjecture de Weil. I”, Publications Mathématiques de l'IHÉS 43: 273–307, doi:10.1007/BF02684373, MR 0340258
- Deligne, Pierre (1980), “La conjecture de Weil: II”, Publications Mathématiques de l'IHÉS 52: 137–252, doi:10.1007/BF02684780
- Deninger, Christopher (1998), Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces, “Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998)”, Documenta Mathematica: 163–186, MR 1648030
- Derbyshire, John (2003), Prime Obsession, Joseph Henry Press, Washington, DC, ISBN 978-0-309-08549-6, MR 1968857
- Dyson, Freeman (2009), “Birds and frogs”, Notices of the American Mathematical Society 56 (2): 212–223, MR 2483565
- Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-41740-0, MR 0466039
- Fesenko, Ivan (2010), “Analysis on arithmetic schemes. II”, Journal of K-theory 5: 437–557
- Ford, Kevin (2002), “Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function”, Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 85 (3): 565–633, doi:10.1112/S0024611502013655, MR 1936814
- Franel, J.; Landau, E. (1924), “Les suites de Farey et le problème des nombres premiers" (Franel, 198–201); "Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel (Landau, 202–206)”, Göttinger Nachrichten: 198–206
- Ghosh, Amit (1983), “On the Riemann zeta function—mean value theorems and the distribution of |S(T)|”, J. Number Theory 17: 93–102, doi:10.1016/0022-314X(83)90010-0
- Gourdon, Xavier (2004), The 1013 first zeros of the Riemann Zeta function, and zeros computation at very large height (PDF)
- Gram, J. P. (1903), “Note sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann”, Acta Mathematica 27: 289–304, doi:10.1007/BF02421310
- Hadamard, Jacques (1896), “Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques”, Bulletin Société Mathématique de France 14: 199–220 Reprinted in Borwein & ctg 2008.
- Hardy, G. H. (1914), “Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann”, C. R. Acad. Sci. Paris 158: 1012–1014, JFM 45.0716.04 Reprinted in Borwein & ctg 2008.
- Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. (1921), “The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line”, Math. Z. 10 (3–4): 283–317, doi:10.1007/BF01211614
- Haselgrove, C. B. (1958), “A disproof of a conjecture of Pólya”, Mathematika 5 (2): 141–145, doi:10.1112/S0025579300001480, ISSN 0025-5793, MR 0104638, Zbl 0085.27102 Reprinted in Borwein & ctg 2008.
- Haselgrove, C. B.; Miller, J. C. P. (1960), Tables of the Riemann zeta function, Royal Society Mathematical Tables, Vol. 6, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-06152-0, MR 0117905 Review
- Hutchinson, J. I. (1925), “On the Roots of the Riemann Zeta-Function”, Transactions of the American Mathematical Society 27 (1): 49–60, doi:10.2307/1989163, JSTOR 1989163
- Ingham, A.E. (1932), The Distribution of Prime Numbers, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics 30, Cambridge University Press. Reprinted 1990, ISBN 978-0-521-39789-6,
- Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition), New York: Springer, ISBN 0-387-97329-X
- Ivić, A. (1985), The Riemann Zeta Function, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80634-9, MR 0792089 (Reprinted by Dover 2003)
- Ivić, Aleksandar (2008), “On some reasons for doubting the Riemann hypothesis”, trong Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea, The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, tr. 131–160, arXiv:math.NT/0311162, ISBN 978-0-387-72125-5
- Karatsuba, A. A. (31 tháng 7 năm 1984), “Zeros of the function ζ(s) on short intervals of the critical line”, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. (bằng tiếng Nga) 48 (3): 569–584, MR 0747251
- Karatsuba, A. A. (31 tháng 7 năm 1984), “Distribution of zeros of the function ζ(1/2 + it)”, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. (bằng tiếng Nga) 48 (6): 1214–1224, MR 0772113
- Karatsuba, A. A. (1985), “Zeros of the Riemann zeta-function on the critical line”, Trudy Mat. Inst. Steklov. (bằng tiếng Nga) (167): 167–178, MR 0804073
- Karatsuba, A. A. (1992), “On the number of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all short intervals of the critical line”, Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat. (bằng tiếng Nga) 56 (2): 372–397, MR 1180378
- Karatsuba, A. A.; Voronin, S. M. (1992), The Riemann zeta-function, de Gruyter Expositions in Mathematics 5, Berlin: Walter de Gruyter & Co., ISBN 978-3-11-013170-3, MR 1183467
- Keating, Jonathan P.; Snaith, N. C. (2000), “Random matrix theory and ζ(1/2 + it)”, Communications in Mathematical Physics 214 (1): 57–89, doi:10.1007/s002200000261, MR 1794265
- Knauf, Andreas (1999), “Number theory, dynamical systems and statistical mechanics”, Reviews in Mathematical Physics. A Journal for Both Review and Original Research Papers in the Field of Mathematical Physics 11 (8): 1027–1060, doi:10.1142/S0129055X99000325, MR 1714352
- von Koch, Helge (1901), “Sur la distribution des nombres premiers”, Acta Mathematica 24: 159–182, doi:10.1007/BF02403071
- Kurokawa, Nobushige (1992), “Multiple zeta functions: an example”, Zeta functions in geometry (Tokyo, 1990), Adv. Stud. Pure Math. 21, Tokyo: Kinokuniya, tr. 219–226, MR 1210791
- Lapidus, Michel L. (2008), In search of the Riemann zeros, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4222-5, MR 2375028
- Bản mẫu:Eom
- Lehmer, D. H. (1956), “Extended computation of the Riemann zeta-function”, Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics 3 (2): 102–108, doi:10.1112/S0025579300001753, MR 0086083
- Leichtnam, Eric (2005), “An invitation to Deninger's work on arithmetic zeta functions”, Geometry, spectral theory, groups, and dynamics, Contemp. Math. 387, Providence, RI: Amer. Math. Soc., tr. 201–236, MR 2180209.
- Levinson, N. (1974), “More than one-third of the zeros of Riemann's zeta function are on σ = 1/2”, Adv. In Math. 13 (4): 383–436, doi:10.1016/0001-8708(74)90074-7, MR 0564081
- Littlewood, J. E. (1962), “The Riemann hypothesis”, The scientist speculates: an anthology of partly baked idea, New York: Basic books
- van de Lune, J.; te Riele, H. J. J.; Winter, D. T. (1986), “On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip. IV”, Mathematics of Computation 46 (174): 667–681, doi:10.2307/2008005, JSTOR 2008005, MR 829637
- Massias, J.-P.; Nicolas, Jean-Louis; Robin, G. (1988), “Évaluation asymptotique de l'ordre maximum d'un élément du groupe symétrique”, Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny. Acta Arithmetica 50 (3): 221–242, MR 960551
- Montgomery, Hugh L. (1973), “The pair correlation of zeros of the zeta function”, Analytic number theory, Proc. Sympos. Pure Math. XXIV, Providence, R.I.: American Mathematical Society, tr. 181–193, MR 0337821 Reprinted in Borwein & ctg 2008.
- Montgomery, Hugh L. (1983), “Zeros of approximations to the zeta function”, trong Erdős, Paul, Studies in pure mathematics. To the memory of Paul Turán, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, tr. 497–506, ISBN 978-3-7643-1288-6, MR 820245
- Nicely, Thomas R. (1999), “New maximal prime gaps and first occurrences”, Mathematics of Computation 68 (227): 1311–1315, doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0, MR 1627813.
- Nyman, Bertil (1950), On the One-Dimensional Translation Group and Semi-Group in Certain Function Spaces, PhD Thesis, University of Uppsala: University of Uppsala, MR 0036444
- Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J. (1985), “Disproof of the Mertens conjecture”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 357: 138–160, doi:10.1515/crll.1985.357.138, MR 783538
- Odlyzko, A. M. (1987), “On the distribution of spacings between zeros of the zeta function”, Mathematics of Computation 48 (177): 273–308, doi:10.2307/2007890, JSTOR 2007890, MR 866115
- Odlyzko, A. M. (1990), “Bounds for discriminants and related estimates for class numbers, regulators and zeros of zeta functions: a survey of recent results”, Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux, Série 2 2 (1): 119–141, MR 1061762
- Odlyzko, A. M. (1992), The 1020-th zero of the Riemann zeta function and 175 million of its neighbors This unpublished book describes the implementation of the algorithm and discusses the results in detail.
- Odlyzko, A. M. (1998), The 1021st zero of the Riemann zeta function
- Ono, Ken; Soundararajan, K. (1997), “Ramanujan's ternary quadratic form”, Inventiones Mathematicae 130 (3): 415–454, doi:10.1007/s002220050191
- Patterson, S. J. (1988), An introduction to the theory of the Riemann zeta-function, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 14, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33535-5, MR 933558
- Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5
- Riemann, Bernhard (1859), “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse”, Monatsberichte der Berliner Akademie. In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953). Original manuscript (with English translation). Reprinted in Borwein & ctg 2008 and Edwards 1874
- Riesel, Hans; Göhl, Gunnar (1970), “Some calculations related to Riemann's prime number formula”, Mathematics of Computation 24 (112): 969–983, doi:10.2307/2004630, JSTOR 2004630, MR 0277489
- Riesz, M. (1916), “Sur l'hypothèse de Riemann”, Acta Mathematica 40: 185–190, doi:10.1007/BF02418544
- Robin, G. (1984), “Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série 63 (2): 187–213, MR 774171
- Rockmore, Dan (2005), Stalking the Riemann hypothesis, Pantheon Books, ISBN 978-0-375-42136-5, MR 2269393
- Rosser, J. Barkley; Yohe, J. M.; Schoenfeld, Lowell (1969), “Rigorous computation and the zeros of the Riemann zeta-function. (With discussion)”, Information Processing 68 (Proc. IFIP Congress, Edinburgh, 1968), Vol. 1: Mathematics, Software, Amsterdam: North-Holland, tr. 70–76, MR 0258245
- Rudin, Walter (1973), Functional Analysis, 1st edition (January 1973), New York: McGraw-Hill, ISBN 0-070-54225-2
- Sabbagh, Karl (2003), The Riemann hypothesis, Farrar, Straus and Giroux, New York, ISBN 978-0-374-25007-2, MR 1979664
- Salem, Raphaël (1953), “Sur une proposition équivalente à l'hypothèse de Riemann”, Les Comptes rendus de l'Académie des sciences 236: 1127–1128, MR 0053148
- Sarnak, Peter (2008), “Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis” (PDF), trong Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea, The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, tr. 107–115, ISBN 978-0-387-72125-5
- du Sautoy, Marcus (2003), The music of the primes, HarperCollins Publishers, ISBN 978-0-06-621070-4, MR 2060134
- Schoenfeld, Lowell (1976), “Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II”, Mathematics of Computation 30 (134): 337–360, doi:10.2307/2005976, JSTOR 2005976, MR 0457374
- Schumayer, Daniel; Hutchinson, David A. W. (2011), Physics of the Riemann Hypothesis, arXiv:1101.3116
- Selberg, Atle (1942), “On the zeros of Riemann's zeta-function”, Skr. Norske Vid. Akad. Oslo I. 10: 59 pp, MR 0010712
- Selberg, Atle (1946), “Contributions to the theory of the Riemann zeta-function”, Arch. Math. Naturvid. 48 (5): 89–155, MR 0020594
- Selberg, Atle (1956), “Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series”, J. Indian Math. Soc. (N.S.) 20: 47–87, MR 0088511
- Serre, Jean-Pierre (1969/70), “Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définitions et conjectures)”, Séminaire Delange-Pisot-Poitou 19
- Sheats, Jeffrey T. (1998), “The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for Fq[T]”, Journal of Number Theory 71 (1): 121–157, doi:10.1006/jnth.1998.2232, MR 1630979
- Siegel, C. L. (1932), “Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie”, Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2: 45–80 Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
- Speiser, Andreas (1934), “Geometrisches zur Riemannschen Zetafunktion”, Mathematische Annalen 110: 514–521, doi:10.1007/BF01448042, JFM 60.0272.04
- Stein, William; Mazur, Barry (2007), What is Riemann’s Hypothesis? (PDF)
- Suzuki, Masatoshi (2011), “Positivity of certain functions associated with analysis on elliptic surfaces”, Journal of Number Theory 131: 1770–1796
- Titchmarsh, Edward Charles (1935), “The Zeros of the Riemann Zeta-Function”, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences (The Royal Society) 151 (873): 234–255, doi:10.1098/rspa.1935.0146, JSTOR 96545
- Titchmarsh, Edward Charles (1936), “The Zeros of the Riemann Zeta-Function”, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences (The Royal Society) 157 (891): 261–263, doi:10.1098/rspa.1936.0192, JSTOR 96692
- Titchmarsh, Edward Charles (1986), The theory of the Riemann zeta-function (ấn bản 2), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853369-6, MR 882550
- Trudgian, Timothy (2011), “On the success and failure of Gram's Law and the Rosser Rule”, Acta Arithmetica 125: 225–256
- Turán, Paul (1948), “On some approximative Dirichlet-polynomials in the theory of the zeta-function of Riemann”, Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd. 24 (17): 36, MR 0027305 Reprinted in Borwein & ctg 2008.
- Turing, Alan M. (1953), “Some calculations of the Riemann zeta-function”, Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 3: 99–117, doi:10.1112/plms/s3-3.1.99, MR 0055785
- de la Vallée-Poussin, Ch.J. (1896), “Recherches analytiques sur la théorie des nombers premiers”, Ann. Soc. Sci. Bruxelles 20: 183–256
- de la Vallée-Poussin, Ch.J. (1899–1900), “Sur la fonction ζ(s) de Riemann et la nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée”, Mem. Couronnes Acad. Sci. Belg. 59 (1) Reprinted in Borwein & ctg 2008.
- Weil, André (1948), Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent, Actualités Sci. Ind., no. 1041 = Publ. Inst. Math. Univ. Strasbourg 7 (1945), Hermann et Cie., Paris, MR 0027151
- Weil, André (1949), “Numbers of solutions of equations in finite fields”, Bulletin of the American Mathematical Society 55 (5): 497–508, doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4, MR 0029393 Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by Andre Weil ISBN 0-387-90330-5
- Weinberger, Peter J. (1973), “On Euclidean rings of algebraic integers”, Analytic number theory (St. Louis Univ., 1972), Proc. Sympos. Pure Math. 24, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., tr. 321–332, MR 0337902
- Wiles, Andrew (2000), “Twenty years of number theory”, Mathematics: frontiers and perspectives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, tr. 329–342, ISBN 978-0-8218-2697-3, MR 1754786
- Zagier, Don (1977), “The first 50 million prime numbers” (PDF), Math. Intelligencer (Springer) 0: 7–19, doi:10.1007/BF03039306, MR 643810
- Zagier, Don (1981), “Eisenstein series and the Riemann zeta function”, Automorphic forms, representation theory and arithmetic (Bombay, 1979), Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math. 10, Tata Inst. Fundamental Res., Bombay, tr. 275–301, MR 633666
Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]
Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]
- American institute of mathematics, Riemann hypothesis
- Apostol, Tom, Where are the zeros of zeta of s? Poem about the Riemann hypothesis, sung by John Derbyshire.
- Borwein, Peter, The Riemann Hypothesis (PDF) (Slides for a lecture)
- Conrad, K. (2010), Consequences of the Riemann hypothesis
- Conrey, J. Brian; Farmer, David W, Equivalences to the Riemann hypothesis
- Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2004), Computation of zeros of the Zeta function (Reviews the GUE hypothesis, provides an extensive bibliography as well).
- Odlyzko, Andrew, Home page including papers on the zeros of the zeta function and tables of the zeros of the zeta function
- Odlyzko, Andrew (2002), Zeros of the Riemann zeta function: Conjectures and computations (PDF) Slides of a talk
- Pegg, Ed (2004), Ten Trillion Zeta Zeros, Math Games website, Bản gốc lưu trữ ngày 2 tháng 11 năm 2004. A discussion of Xavier Gourdon's calculation of the first ten trillion non-trivial zeros
- Pugh, Glen, Java applet for plotting Z(t)
- Rubinstein, Michael, algorithm for generating the zeros.
- du Sautoy, Marcus (2006), Prime Numbers Get Hitched, Seed Magazine
- Stein, William A., What is Riemann's hypothesis
- de Vries, Andreas (2004), The Graph of the Riemann Zeta function ζ(s), a simple animated Java applet.
- Watkins, Matthew R. (18 tháng 7 năm 2007), Proposed proofs of the Riemann Hypothesis
- Zetagrid (2002) A distributed computing project that attempted to disprove Riemann's hypothesis; closed in November 2005

markdown:
# Giả thuyết Riemann
Trong
[toán học](/wiki/To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc), **giả thuyết Riemann**, nêu bởi [Bernhard Riemann](/wiki/Bernhard_Riemann) ( [Riemann (1859)](#CITEREFRiemann1859)), là một [phỏng đoán](/w/index.php?title=Ph%E1%BB%8Fng_%C4%91o%C3%A1n&action=edit&redlink=1) về [các không điểm phi tầm thường](/wiki/Nghi%E1%BB%87m_s%E1%BB%91) của [hàm zeta Riemann](/w/index.php?title=H%C3%A0m_zeta_Riemann&action=edit&redlink=1) tất cả đều có [phần thực](/wiki/S%E1%BB%91_ph%E1%BB%A9c) bằng 1/2. Tên gọi này đôi khi cũng có nghĩa tương tự cho một số giả thuyết khác như [giả thuyết Riemann cho các đường cong trên trường hữu hạn](/w/index.php?title=Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Riemann_cho_c%C3%A1c_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_cong_tr%C3%AAn_tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_h%E1%BB%AFu_h%E1%BA%A1n&action=edit&redlink=1).
Giả thuyết Riemann hàm ý kết quả về sự phân bố các
[số nguyên tố](/wiki/S%E1%BB%91_nguy%C3%AAn_t%E1%BB%91). Cùng với những dạng tổng quát hóa phù hợp, các nhà toán học coi nó là một trong những bài toán quan trọng nhất chưa được giải trong [toán học thuần túy](/w/index.php?title=To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc_thu%E1%BA%A7n_t%C3%BAy&action=edit&redlink=1) [Bombieri 2000](#CITEREFBombieri2000). Giả thuyết Riemann, cùng với [giả thuyết Goldbach](/wiki/Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Goldbach) thuộc về [bài toán thứ tám của Hilbert](/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_th%E1%BB%A9_t%C3%A1m_c%E1%BB%A7a_Hilbert&action=edit&redlink=1) trong danh sách [23 bài toán chưa giải được](/wiki/C%C3%A1c_b%C3%A0i_to%C3%A1n_c%E1%BB%A7a_Hilbert) của [David Hilbert](/wiki/David_Hilbert); nó cũng là một trong bày bài toán của [Giải thưởng Bài toán Thiên niên kỷ](/w/index.php?title=Gi%E1%BA%A3i_th%C6%B0%E1%BB%9Fng_B%C3%A0i_to%C3%A1n_Thi%C3%AAn_ni%C3%AAn_k%E1%BB%B7&action=edit&redlink=1) do [Viện Toán học Clay](/wiki/Vi%E1%BB%87n_To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc_Clay) khởi xướng.
Hàm zeta Riemann ζ(
*s*) là [hàm](/wiki/H%C3%A0m_s%E1%BB%91) với đối số *s* là một [số phức](/wiki/S%E1%BB%91_ph%E1%BB%A9c) bất kỳ khác 1, và giá trị của hàm cũng là giá trị phức. Các không điểm của hàm (nghiệm) bao gồm tại các số nguyên âm; tức là ζ( *s*) = 0 khi *s* nhận các giá trị −2, −4, −6, .... Chúng được gọi là các **không điểm tầm thường**. Tuy nhiên, các số nguyên âm không phải là các nghiệm duy nhất của hàm zeta; và những nghiệm này gọi là **không điểm phi tầm thường** hay "không điểm không tầm thường". Giả thuyết Riemann đề cập đến vị trí của các không điểm phi tầm thường này, và phát biểu rằng:
- Phần thực của mọi không điểm không tầm thường của hàm zeta Riemann là bằng 12.
Do vậy các không điểm phi tầm thường sẽ nằm trên
**đường giới hạn** chứa các số phức 12 + *i t*, với *t* là [số thực](/wiki/S%E1%BB%91_th%E1%BB%B1c) và *i* là [đơn vị ảo](/wiki/%C4%90%C6%A1n_v%E1%BB%8B_%E1%BA%A3o).
Có một vài sách phổ biến về giả thuyết Riemann, như của
[Derbyshire (2003)](#CITEREFDerbyshire2003), [Rockmore (2005)](#CITEREFRockmore2005), [Sabbagh (2003)](#CITEREFSabbagh2003), [du Sautoy (2003)](#CITEREFdu_Sautoy2003). Các sách như [Edwards (1974)](#CITEREFEdwards1974), [Patterson (1988)](#CITEREFPatterson1988) và [Borwein et al. (2008)](#CITEREFBorweinChoiRooneyWeirathmueller2008) đưa ra nội dung toán học của nó, trong khi [Titchmarsh (1986)](#CITEREFTitchmarsh1986), [Ivić (1985)](#CITEREFIvi.C4.871985) và [Karatsuba & Voronin (1992)](#CITEREFKaratsubaVoronin1992) trình bày ở mức khó hơn.
## Hàm zeta Riemann[
[sửa](/w/index.php?title=Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Riemann&veaction=edit&vesection=1) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Riemann&action=edit§ion=1)] [Hàm zeta Riemann](/w/index.php?title=H%C3%A0m_zeta_Riemann&action=edit&redlink=1) xác định đối với số phức *s* với phần thực lớn hơn 1 bởi [chuỗi vô hạn](/wiki/Chu%E1%BB%97i_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)) [hội tụ tuyệt đối](/w/index.php?title=H%E1%BB%99i_t%E1%BB%A5_tuy%E1%BB%87t_%C4%91%E1%BB%91i&action=edit&redlink=1) [Leonhard Euler](/wiki/Leonhard_Euler) chứng minh được rằng chuỗi này bằng [tích Euler](/w/index.php?title=T%C3%ADch_Euler&action=edit&redlink=1)
với
[tích vô hạn](/w/index.php?title=T%C3%ADch_v%C3%B4_h%E1%BA%A1n&action=edit&redlink=1) mở rộng trên mọi số nguyên tố *p*, và chuỗi này hội tụ đối với các số phức *s* với phần thực lớn hơn 1. Sự hội tụ của tích Euler chứng tỏ rằng hàm ζ( *s*) không có một không điểm nào trong miền này, do không có một giá trị s nào làm cho hàm bằng 0.
Giả thuyết Riemann đề cập đến các không điểm nằm ngoài miền hội tụ của chuỗi này, do vậy nó cần phải
[liên tục giải tích](/w/index.php?title=Li%C3%AAn_t%E1%BB%A5c_gi%E1%BA%A3i_t%C3%ADch&action=edit&redlink=1) đối với mọi số phức số phức *s*. Điều này có thể chứng minh khi biểu diễn nó theo [hàm eta Dirichlet](/w/index.php?title=H%C3%A0m_eta_Dirichlet&action=edit&redlink=1) như sau. Nếu phần thực của *s* lớn hơn 1, thì hàm zeta thỏa mãn
Tuy nhiên, chuỗi bên vế phải hội tụ không những khi
*s* lớn hơn 1, mà còn trong trường hợp *s* có phần thực dương. Do vậy, chuỗi thay thế này mở rộng hàm zeta từ miền Re( *s*) > 1 sang miền lớn hơn Re( *s*) > 0, ngoại trừ tại các không điểm
của
(xem
[hàm eta Dirichlet](/w/index.php?title=H%C3%A0m_eta_Dirichlet&action=edit&redlink=1)). Hàm zeta cũng có thể mở rộng tới những giá trị này bằng cách lấy giới hạn, sẽ thu được giá trị hữu hạn cho mọi giá trị của *s* với phần thực dương ngoại trừ một trường hợp khi *s* = 1.
Trong miền 0 < Re(
*s*) < 1 hàm zeta thỏa mãn [phương trình hàm](/w/index.php?title=Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_h%C3%A0m&action=edit&redlink=1)
Có thể định nghĩa ζ(
*s*) cho mọi số phức *s* khác 0 còn lại bằng cách giả sử rằng phương trình này thỏa mãn cả bên ngoài miền xác định, và đặt ζ( *s*) bằng vế phải của phương trình khi *s* có phần thực không dương. Nếu *s* là một số nguyên âm chẵn thì ζ( *s*) = 0 bởi vì nhân tử sin(π *s*/2) bằng 0; đây là các **không điểm tầm thường** của hàm zeta. (Lập luận này không đúng nếu *s* là một số nguyên dương chẵn bởi vì giá trị 0 của [sin](/wiki/Sin) bị triệt tiêu tại các cực của [hàm gamma](/w/index.php?title=H%C3%A0m_gamma&action=edit&redlink=1) khi nó nhận các tham số nguyên âm.) Giá trị tại [ζ(0) = −1/2](/w/index.php?title=1_%2B_1_%2B_1_%2B_1_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7&action=edit&redlink=1) là không xác định bởi phương trình hàm, nhưng nó là giới hạn của ζ( *s*) khi *s* tiến đến 0. Phương trình hàm cũng hàm ý rằng hàm zeta không có các không điểm với phần thực âm ngoại trừ các không điểm tầm thường nêu ở trên; do đó mọi không điểm phi tầm thường nằm trong **miền giới hạn** với *s* có phần thực nằm giữa 0 và 1.
## Xem thêm[
[sửa](/w/index.php?title=Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Riemann&veaction=edit&vesection=2) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Riemann&action=edit§ion=2)] [Tổng quát hóa giả thuyết Riemann](/w/index.php?title=T%E1%BB%95ng_qu%C3%A1t_h%C3%B3a_gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Riemann&action=edit&redlink=1) [Giả thuyết Riemann cho các đường cong trên trường hữu hạn](/w/index.php?title=Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Riemann_cho_c%C3%A1c_%C4%91%C6%B0%E1%BB%9Dng_cong_tr%C3%AAn_tr%C6%B0%E1%BB%9Dng_h%E1%BB%AFu_h%E1%BA%A1n&action=edit&redlink=1) [Bài toán Hilbert](/w/index.php?title=B%C3%A0i_to%C3%A1n_Hilbert&action=edit&redlink=1) [Giải thưởng Thiên niên kỷ Toán học](/w/index.php?title=Gi%E1%BA%A3i_th%C6%B0%E1%BB%9Fng_Thi%C3%AAn_ni%C3%AAn_k%E1%BB%B7_To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc&action=edit&redlink=1)
## Thư mục tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Riemann&veaction=edit&vesection=3) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Riemann&action=edit§ion=3)] [Artin, Emil](/wiki/Emil_Artin)(1924), “Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil”, [Mathematische Zeitschrift](/w/index.php?title=Mathematische_Zeitschrift&action=edit&redlink=1) **19**(1): 207–246, [doi](/wiki/DOI): [10.1007/BF01181075](http://dx.doi.org/10.1007%2FBF01181075) [Beurling, Arne](/w/index.php?title=Arne_Beurling&action=edit&redlink=1)(1955), “A closure problem related to the Riemann zeta-function”, [Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America](/w/index.php?title=Proceedings_of_the_National_Academy_of_Sciences&action=edit&redlink=1) **41**(5): 312–314, [doi](/wiki/DOI): [10.1073/pnas.41.5.312](http://dx.doi.org/10.1073%2Fpnas.41.5.312), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0070655](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0070655) [Bohr, H.](/w/index.php?title=Harald_Bohr&action=edit&redlink=1); [Landau, E.](/w/index.php?title=Edmund_Landau&action=edit&redlink=1)(1914), “Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die ζ-Funktion und die *L*-Funktionen”, [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo](/w/index.php?title=Rendiconti_del_Circolo_Matematico_di_Palermo&action=edit&redlink=1) **37**(1): 269–272, [doi](/wiki/DOI): [10.1007/BF03014823](http://dx.doi.org/10.1007%2FBF03014823) [Bombieri, Enrico](/w/index.php?title=Enrico_Bombieri&action=edit&redlink=1)(2000), [(PDF),](http://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf) *The Riemann Hypothesis – official problem description* [Clay Mathematics Institute](/w/index.php?title=Clay_Mathematics_Institute&action=edit&redlink=1), truy cập ngày 25 tháng 10 năm 2008 Reprinted in [Borwein & ctg 2008](#CITEREFBorweinChoiRooneyWeirathmueller2008). [Borwein, Peter](/w/index.php?title=Peter_Borwein&action=edit&redlink=1); Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea biên tập (2008), *The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike*, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, [doi](/wiki/DOI): [10.1007/978-0-387-72126-2](http://dx.doi.org/10.1007%2F978-0-387-72126-2), [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-387-72125-5](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-387-72125-5) [Borwein, Peter](/w/index.php?title=Peter_Borwein&action=edit&redlink=1); Ferguson, Ron; Mossinghoff, Michael J. (2008), “Sign changes in sums of the Liouville function”, [Mathematics of Computation](/w/index.php?title=Mathematics_of_Computation&action=edit&redlink=1) **77**(263): 1681–1694, [doi](/wiki/DOI): [10.1090/S0025-5718-08-02036-X](http://dx.doi.org/10.1090%2FS0025-5718-08-02036-X), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [2398787](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2398787) [de Branges, Louis](/w/index.php?title=Louis_de_Branges&action=edit&redlink=1)(1992), “The convergence of Euler products”, *Journal of Functional Analysis* **107**(1): 122–210, [doi](/wiki/DOI): [10.1016/0022-1236(92)90103-P](http://dx.doi.org/10.1016%2F0022-1236%2892%2990103-P), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [1165869](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1165869) [Cartier, P.](/w/index.php?title=Pierre_Cartier_(mathematician)&action=edit&redlink=1)(1982), “Comment l'hypothèse de Riemann ne fut pas prouvée”, *Seminar on Number Theory, Paris 1980–81 (Paris, 1980/1981)*, Progr. Math. **22**, Boston, MA: Birkhäuser Boston, tr. 35–48, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [693308](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=693308) [Connes, Alain](/w/index.php?title=Alain_Connes&action=edit&redlink=1)(1999), “Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function”, *Selecta Mathematica. New Series* **5**(1): 29–106, [arXiv](/wiki/ArXiv): [math/9811068](http://arxiv.org/abs/math/9811068), [doi](/wiki/DOI): [10.1007/s000290050042](http://dx.doi.org/10.1007%2Fs000290050042), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [1694895](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1694895) [Connes, Alain](/w/index.php?title=Alain_Connes&action=edit&redlink=1)(2000), “Noncommutative geometry and the Riemann zeta function”, *Mathematics: frontiers and perspectives*, Providence, R.I.: [American Mathematical Society](/w/index.php?title=American_Mathematical_Society&action=edit&redlink=1), tr. 35–54, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [1754766](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1754766) [Conrey, J. B.](/w/index.php?title=Brian_Conrey&action=edit&redlink=1)(1989), [“More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line”](http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002206781), *J. Reine angew. Math.* **399**: 1–16, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [1004130](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1004130) [Conrey, J. Brian](/w/index.php?title=Brian_Conrey&action=edit&redlink=1)(2003), [“The Riemann Hypothesis”](http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf)(PDF), *Notices of the American Mathematical Society*: 341–353 Reprinted in [Borwein & ctg 2008](#CITEREFBorweinChoiRooneyWeirathmueller2008). [Conrey, J. B.](/w/index.php?title=Brian_Conrey&action=edit&redlink=1); [Li, Xian-Jin](/w/index.php?title=Xian-Jin_Li&action=edit&redlink=1)(2000), “A note on some positivity conditions related to zeta and L-functions”, *International Mathematics Research Notices* **2000**(18): 929–940, [arXiv](/wiki/ArXiv): [math/9812166](http://arxiv.org/abs/math/9812166), [doi](/wiki/DOI): [10.1155/S1073792800000489](http://dx.doi.org/10.1155%2FS1073792800000489), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [1792282](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1792282) [Deligne, Pierre](/wiki/Pierre_Deligne)(1974), [“La conjecture de Weil. I”](http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0), [Publications Mathématiques de l'IHÉS](/w/index.php?title=Publications_Math%C3%A9matiques_de_l%27IH%C3%89S&action=edit&redlink=1) **43**: 273–307, [doi](/wiki/DOI): [10.1007/BF02684373](http://dx.doi.org/10.1007%2FBF02684373), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0340258](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0340258) [Deligne, Pierre](/wiki/Pierre_Deligne)(1980), [“La conjecture de Weil: II”](http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1980__52__137_0), *Publications Mathématiques de l'IHÉS* **52**: 137–252, [doi](/wiki/DOI): [10.1007/BF02684780](http://dx.doi.org/10.1007%2FBF02684780) [Deninger, Christopher](/w/index.php?title=Christopher_Deninger&action=edit&redlink=1)(1998), [, “Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998)”,](http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/documenta/xvol-icm/00/Deninger.MAN.html) *Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces* *Documenta Mathematica*: 163–186, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [1648030](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1648030) [Derbyshire, John](/w/index.php?title=John_Derbyshire&action=edit&redlink=1)(2003), *, Joseph Henry Press, Washington, DC,* [Prime Obsession](/w/index.php?title=Prime_Obsession&action=edit&redlink=1) [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-309-08549-6](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-309-08549-6), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [1968857](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1968857) [Dyson, Freeman](/w/index.php?title=Freeman_Dyson&action=edit&redlink=1)(2009), [“Birds and frogs”](http://www.ams.org/notices/200902/rtx090200212p.pdf), [Notices of the American Mathematical Society](/w/index.php?title=Notices_of_the_American_Mathematical_Society&action=edit&redlink=1) **56**(2): 212–223, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [2483565](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2483565) [Edwards, H. M.](/w/index.php?title=Harold_Edwards_(mathematician)&action=edit&redlink=1)(1974), *Riemann's Zeta Function*, New York: [Dover Publications](/w/index.php?title=Dover_Publications&action=edit&redlink=1), [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-486-41740-0](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-486-41740-0), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0466039](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0466039) [Fesenko, Ivan](/w/index.php?title=Ivan_Fesenko&action=edit&redlink=1)(2010), “Analysis on arithmetic schemes. II”, *Journal of K-theory* **5**: 437–557
- Ford, Kevin (2002), “Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function”,
*Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series* **85**(3): 565–633, [doi](/wiki/DOI): [10.1112/S0024611502013655](http://dx.doi.org/10.1112%2FS0024611502013655), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [1936814](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1936814) [Franel, J.](/w/index.php?title=J%C3%A9r%C3%B4me_Franel&action=edit&redlink=1); [Landau, E.](/w/index.php?title=E._Landau&action=edit&redlink=1)(1924), “Les suites de Farey et le problème des nombres premiers" (Franel, 198–201); "Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel (Landau, 202–206)”, *Göttinger Nachrichten*: 198–206
- Ghosh, Amit (1983), “On the Riemann zeta function—mean value theorems and the distribution of |S(T)|”,
*J. Number Theory* **17**: 93–102, [doi](/wiki/DOI): [10.1016/0022-314X(83)90010-0](http://dx.doi.org/10.1016%2F0022-314X%2883%2990010-0)
- Gourdon, Xavier (2004),
[(PDF)](http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeros1e13-1e24.pdf) *The 10* 13first zeros of the Riemann Zeta function, and zeros computation at very large height [Gram, J. P.](/w/index.php?title=J%C3%B8rgen_Pedersen_Gram&action=edit&redlink=1)(1903), “Note sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann”, *Acta Mathematica* **27**: 289–304, [doi](/wiki/DOI): [10.1007/BF02421310](http://dx.doi.org/10.1007%2FBF02421310) [Hadamard, Jacques](/w/index.php?title=Jacques_Hadamard&action=edit&redlink=1)(1896), [“Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques”](http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1896__24__199_1), *Bulletin Société Mathématique de France* **14**: 199–220 Reprinted in [Borwein & ctg 2008](#CITEREFBorweinChoiRooneyWeirathmueller2008). [Hardy, G. H.](/w/index.php?title=G._H._Hardy&action=edit&redlink=1)(1914), [“Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann”](http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3111d.image.f1014.langEN), *C. R. Acad. Sci. Paris* **158**: 1012–1014, [JFM](/wiki/Zentralblatt_MATH) [45.0716.04](http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/search/?format=complete&q=an:45.0716.04)Reprinted in [Borwein & ctg 2008](#CITEREFBorweinChoiRooneyWeirathmueller2008). [Hardy, G. H.](/w/index.php?title=G._H._Hardy&action=edit&redlink=1); [Littlewood, J. E.](/w/index.php?title=John_Edensor_Littlewood&action=edit&redlink=1)(1921), “The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line”, *Math. Z.* **10**(3–4): 283–317, [doi](/wiki/DOI): [10.1007/BF01211614](http://dx.doi.org/10.1007%2FBF01211614)
- Haselgrove, C. B. (1958), “A disproof of a conjecture of Pólya”,
*Mathematika* **5**(2): 141–145, [doi](/wiki/DOI): [10.1112/S0025579300001480](http://dx.doi.org/10.1112%2FS0025579300001480), [ISSN](/wiki/ISSN) [0025-5793](//www.worldcat.org/issn/0025-5793), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0104638](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0104638), [Zbl](/wiki/Zentralblatt_MATH) [0085.27102](http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/search/?format=complete&q=an:0085.27102)Reprinted in [Borwein & ctg 2008](#CITEREFBorweinChoiRooneyWeirathmueller2008). [Haselgrove, C. B.](/w/index.php?title=C._Brian_Haselgrove&action=edit&redlink=1); [Miller, J. C. P.](/w/index.php?title=J._C._P._Miller&action=edit&redlink=1)(1960), *Tables of the Riemann zeta function*, Royal Society Mathematical Tables, Vol. 6, [Cambridge University Press](/wiki/Cambridge_University_Press), [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-521-06152-0](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-521-06152-0), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0117905](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0117905) [Review](http://www.jstor.org/stable/2003098) [Hutchinson, J. I.](/w/index.php?title=John_Irwin_Hutchinson&action=edit&redlink=1)(1925), “On the Roots of the Riemann Zeta-Function”, [Transactions of the American Mathematical Society](/w/index.php?title=Transactions_of_the_American_Mathematical_Society&action=edit&redlink=1) **27**(1): 49–60, [doi](/wiki/DOI): [10.2307/1989163](http://dx.doi.org/10.2307%2F1989163), [JSTOR](/wiki/JSTOR) [1989163](http://www.jstor.org/stable/1989163) [Ingham, A.E.](/w/index.php?title=Albert_Ingham&action=edit&redlink=1)(1932), *The Distribution of Prime Numbers*, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics **30**, Cambridge University Press. Reprinted 1990, [ISBN 978-0-521-39789-6](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/9780521397896),
- Ireland, Kenneth;
[Rosen, Michael](/w/index.php?title=Michael_Rosen_(mathematician)&action=edit&redlink=1)(1990), *A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition)*, New York: [Springer](/w/index.php?title=Springer_Science%2BBusiness_Media&action=edit&redlink=1), [ISBN](/wiki/ISBN) [0-387-97329-X](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-387-97329-X)
- Ivić, A. (1985),
*The Riemann Zeta Function*, New York: [John Wiley & Sons](/w/index.php?title=John_Wiley_%26_Sons&action=edit&redlink=1), [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-471-80634-9](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-471-80634-9), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0792089](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0792089)(Reprinted by Dover 2003)
- Ivić, Aleksandar (2008), “On some reasons for doubting the Riemann hypothesis”, trong Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea,
*The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike*, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, tr. 131–160, [arXiv](/wiki/ArXiv): [math.NT/0311162](http://arxiv.org/abs/math.NT/0311162), [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-387-72125-5](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-387-72125-5) [Karatsuba, A. A.](/w/index.php?title=Anatolii_Alexeevitch_Karatsuba&action=edit&redlink=1)(31 tháng 7 năm 1984), “Zeros of the function ζ(s) on short intervals of the critical line”, *Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat.*(bằng tiếng Nga) **48**(3): 569–584, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0747251](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0747251) [Karatsuba, A. A.](/w/index.php?title=Anatolii_Alexeevitch_Karatsuba&action=edit&redlink=1)(31 tháng 7 năm 1984), “Distribution of zeros of the function *ζ*(1/2 + *it*)”, *Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat.*(bằng tiếng Nga) **48**(6): 1214–1224, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0772113](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0772113) [Karatsuba, A. A.](/w/index.php?title=Anatolii_Alexeevitch_Karatsuba&action=edit&redlink=1)(1985), “Zeros of the Riemann zeta-function on the critical line”, *Trudy Mat. Inst. Steklov.*(bằng tiếng Nga) (167): 167–178, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0804073](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0804073) [Karatsuba, A. A.](/w/index.php?title=Anatolii_Alexeevitch_Karatsuba&action=edit&redlink=1)(1992), “On the number of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all short intervals of the critical line”, *Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat.*(bằng tiếng Nga) **56**(2): 372–397, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [1180378](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1180378) [Karatsuba, A. A.](/w/index.php?title=Anatolii_Alexeevitch_Karatsuba&action=edit&redlink=1); Voronin, S. M. (1992), *The Riemann zeta-function*, de Gruyter Expositions in Mathematics **5**, Berlin: Walter de Gruyter & Co., [ISBN](/wiki/ISBN) [978-3-11-013170-3](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-3-11-013170-3), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [1183467](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1183467)
- Keating, Jonathan P.;
[Snaith, N. C.](/w/index.php?title=Nina_Snaith&action=edit&redlink=1)(2000), “Random matrix theory and *ζ*(1/2 + *it*)”, *Communications in Mathematical Physics* **214**(1): 57–89, [doi](/wiki/DOI): [10.1007/s002200000261](http://dx.doi.org/10.1007%2Fs002200000261), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [1794265](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1794265)
- Knauf, Andreas (1999), “Number theory, dynamical systems and statistical mechanics”,
*Reviews in Mathematical Physics. A Journal for Both Review and Original Research Papers in the Field of Mathematical Physics* **11**(8): 1027–1060, [doi](/wiki/DOI): [10.1142/S0129055X99000325](http://dx.doi.org/10.1142%2FS0129055X99000325), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [1714352](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1714352) [von Koch, Helge](/wiki/Helge_von_Koch)(1901), “Sur la distribution des nombres premiers”, *Acta Mathematica* **24**: 159–182, [doi](/wiki/DOI): [10.1007/BF02403071](http://dx.doi.org/10.1007%2FBF02403071)
- Kurokawa, Nobushige (1992), “Multiple zeta functions: an example”,
*Zeta functions in geometry (Tokyo, 1990)*, Adv. Stud. Pure Math. **21**, Tokyo: Kinokuniya, tr. 219–226, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [1210791](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1210791)
- Lapidus, Michel L. (2008),
*In search of the Riemann zeros*, Providence, R.I.: American Mathematical Society, [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-8218-4222-5](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-8218-4222-5), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [2375028](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2375028) [Bản mẫu:Eom](/w/index.php?title=B%E1%BA%A3n_m%E1%BA%ABu:Eom&action=edit&redlink=1) [Lehmer, D. H.](/w/index.php?title=D._H._Lehmer&action=edit&redlink=1)(1956), “Extended computation of the Riemann zeta-function”, *Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics* **3**(2): 102–108, [doi](/wiki/DOI): [10.1112/S0025579300001753](http://dx.doi.org/10.1112%2FS0025579300001753), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0086083](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0086083) [Leichtnam, Eric](/w/index.php?title=Eric_Leichtnam&action=edit&redlink=1)(2005), “An invitation to Deninger's work on arithmetic zeta functions”, *Geometry, spectral theory, groups, and dynamics*, Contemp. Math. **387**, Providence, RI: Amer. Math. Soc., tr. 201–236, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [2180209](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2180209). [Levinson, N.](/wiki/Norman_Levinson)(1974), “More than one-third of the zeros of Riemann's zeta function are on σ = 1/2”, *Adv. In Math.* **13**(4): 383–436, [doi](/wiki/DOI): [10.1016/0001-8708(74)90074-7](http://dx.doi.org/10.1016%2F0001-8708%2874%2990074-7), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0564081](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0564081) [Littlewood, J. E.](/w/index.php?title=John_Edensor_Littlewood&action=edit&redlink=1)(1962), “The Riemann hypothesis”, *The scientist speculates: an anthology of partly baked idea*, New York: Basic books
- van de Lune, J.;
[te Riele, H. J. J.](/w/index.php?title=Herman_te_Riele&action=edit&redlink=1); Winter, D. T. (1986), “On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip. IV”, *Mathematics of Computation* **46**(174): 667–681, [doi](/wiki/DOI): [10.2307/2008005](http://dx.doi.org/10.2307%2F2008005), [JSTOR](/wiki/JSTOR) [2008005](http://www.jstor.org/stable/2008005), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [829637](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=829637)
- Massias, J.-P.; Nicolas, Jean-Louis; Robin, G. (1988),
[“Évaluation asymptotique de l'ordre maximum d'un élément du groupe symétrique”](http://matwbn.icm.edu.pl/tresc.php?wyd=6&tom=50&jez=), *Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny. Acta Arithmetica* **50**(3): 221–242, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [960551](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=960551) [Montgomery, Hugh L.](/w/index.php?title=Hugh_Montgomery_(mathematician)&action=edit&redlink=1)(1973), “The pair correlation of zeros of the zeta function”, *Analytic number theory*, Proc. Sympos. Pure Math. **XXIV**, Providence, R.I.: American Mathematical Society, tr. 181–193, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0337821](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0337821)Reprinted in [Borwein & ctg 2008](#CITEREFBorweinChoiRooneyWeirathmueller2008). [Montgomery, Hugh L.](/w/index.php?title=Hugh_Montgomery_(mathematician)&action=edit&redlink=1)(1983), “Zeros of approximations to the zeta function”, trong [Erdős, Paul](/wiki/Paul_Erd%C5%91s), *Studies in pure mathematics. To the memory of Paul Turán*, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, tr. 497–506, [ISBN](/wiki/ISBN) [978-3-7643-1288-6](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-3-7643-1288-6), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [820245](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=820245)
- Nicely, Thomas R. (1999),
[“New maximal prime gaps and first occurrences”](http://www.trnicely.net/gaps/gaps.html), *Mathematics of Computation* **68**(227): 1311–1315, [doi](/wiki/DOI): [10.1090/S0025-5718-99-01065-0](http://dx.doi.org/10.1090%2FS0025-5718-99-01065-0), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [1627813](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1627813).
- Nyman, Bertil (1950),
*On the One-Dimensional Translation Group and Semi-Group in Certain Function Spaces*, PhD Thesis, University of Uppsala: University of Uppsala, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0036444](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0036444) [Odlyzko, A. M.](/w/index.php?title=Andrew_Odlyzko&action=edit&redlink=1); [te Riele, H. J. J.](/w/index.php?title=Herman_te_Riele&action=edit&redlink=1)(1985), [“Disproof of the Mertens conjecture”](http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262633), [Journal für die reine und angewandte Mathematik](/w/index.php?title=Journal_f%C3%BCr_die_reine_und_angewandte_Mathematik&action=edit&redlink=1) **357**: 138–160, [doi](/wiki/DOI): [10.1515/crll.1985.357.138](http://dx.doi.org/10.1515%2Fcrll.1985.357.138), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [783538](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=783538) [Odlyzko, A. M.](/w/index.php?title=Andrew_Odlyzko&action=edit&redlink=1)(1987), “On the distribution of spacings between zeros of the zeta function”, *Mathematics of Computation* **48**(177): 273–308, [doi](/wiki/DOI): [10.2307/2007890](http://dx.doi.org/10.2307%2F2007890), [JSTOR](/wiki/JSTOR) [2007890](http://www.jstor.org/stable/2007890), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [866115](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=866115) [Odlyzko, A. M.](/w/index.php?title=Andrew_Odlyzko&action=edit&redlink=1)(1990), [“Bounds for discriminants and related estimates for class numbers, regulators and zeros of zeta functions: a survey of recent results”](http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1990__2_1_119_0), *Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux*, Série 2 **2**(1): 119–141, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [1061762](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1061762) [Odlyzko, A. M.](/w/index.php?title=Andrew_Odlyzko&action=edit&redlink=1)(1992), [This unpublished book describes the implementation of the algorithm and discusses the results in detail.](http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/unpublished/zeta.10to20.1992.pdf) *The 10* 20-th zero of the Riemann zeta function and 175 million of its neighbors [Odlyzko, A. M.](/w/index.php?title=Andrew_Odlyzko&action=edit&redlink=1)(1998), *The 10* 21st zero of the Riemann zeta function [Ono, Ken](/w/index.php?title=Ken_Ono&action=edit&redlink=1); [Soundararajan, K.](/w/index.php?title=Kannan_Soundararajan&action=edit&redlink=1)(1997), “Ramanujan's ternary quadratic form”, *Inventiones Mathematicae* **130**(3): 415–454, [doi](/wiki/DOI): [10.1007/s002220050191](http://dx.doi.org/10.1007%2Fs002220050191)
- Patterson, S. J. (1988),
*An introduction to the theory of the Riemann zeta-function*, Cambridge Studies in Advanced Mathematics **14**, Cambridge University Press, [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-521-33535-5](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-521-33535-5), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [933558](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=933558) [Ribenboim, Paulo](/w/index.php?title=Paulo_Ribenboim&action=edit&redlink=1)(1996), *The New Book of Prime Number Records*, New York: [Springer](/w/index.php?title=Springer_Science%2BBusiness_Media&action=edit&redlink=1), [ISBN](/wiki/ISBN) [0-387-94457-5](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-387-94457-5) [Riemann, Bernhard](/wiki/Bernhard_Riemann)(1859), [“Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse”](http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/), *Monatsberichte der Berliner Akademie*. In *Gesammelte Werke*, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953). [Original manuscript](http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/1859_manuscript/)(with English translation). Reprinted in [Borwein & ctg 2008](#CITEREFBorweinChoiRooneyWeirathmueller2008)and [Edwards 1874](#CITEREFEdwards1874) [Riesel, Hans](/w/index.php?title=Hans_Riesel&action=edit&redlink=1); Göhl, Gunnar (1970), “Some calculations related to Riemann's prime number formula”, *Mathematics of Computation* **24**(112): 969–983, [doi](/wiki/DOI): [10.2307/2004630](http://dx.doi.org/10.2307%2F2004630), [JSTOR](/wiki/JSTOR) [2004630](http://www.jstor.org/stable/2004630), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0277489](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0277489) [Riesz, M.](/w/index.php?title=Marcel_Riesz&action=edit&redlink=1)(1916), “Sur l'hypothèse de Riemann”, *Acta Mathematica* **40**: 185–190, [doi](/wiki/DOI): [10.1007/BF02418544](http://dx.doi.org/10.1007%2FBF02418544)
- Robin, G. (1984), “Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann”,
*, Neuvième Série* [Journal de Mathématiques Pures et Appliquées](/w/index.php?title=Journal_de_Math%C3%A9matiques_Pures_et_Appliqu%C3%A9es&action=edit&redlink=1) **63**(2): 187–213, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [774171](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=774171)
- Rockmore, Dan (2005),
*Stalking the Riemann hypothesis*, Pantheon Books, [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-375-42136-5](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-375-42136-5), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [2269393](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2269393) [Rosser, J. Barkley](/w/index.php?title=J._Barkley_Rosser&action=edit&redlink=1); Yohe, J. M.; [Schoenfeld, Lowell](/w/index.php?title=Lowell_Schoenfeld&action=edit&redlink=1)(1969), “Rigorous computation and the zeros of the Riemann zeta-function. (With discussion)”, *Information Processing 68 (Proc. IFIP Congress, Edinburgh, 1968), Vol. 1: Mathematics, Software*, Amsterdam: North-Holland, tr. 70–76, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0258245](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0258245) [Rudin, Walter](/w/index.php?title=Walter_Rudin&action=edit&redlink=1)(1973), *Functional Analysis, 1st edition (January 1973)*, New York: [McGraw-Hill](/wiki/McGraw-Hill), [ISBN](/wiki/ISBN) [0-070-54225-2](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0-070-54225-2) [Sabbagh, Karl](/w/index.php?title=Karl_Sabbagh&action=edit&redlink=1)(2003), *The Riemann hypothesis*, Farrar, Straus and Giroux, New York, [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-374-25007-2](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-374-25007-2), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [1979664](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1979664) [Salem, Raphaël](/w/index.php?title=Rapha%C3%ABl_Salem&action=edit&redlink=1)(1953), “Sur une proposition équivalente à l'hypothèse de Riemann”, [Les Comptes rendus de l'Académie des sciences](/w/index.php?title=Les_Comptes_rendus_de_l%27Acad%C3%A9mie_des_sciences&action=edit&redlink=1) **236**: 1127–1128, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0053148](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0053148) [Sarnak, Peter](/w/index.php?title=Peter_Sarnak&action=edit&redlink=1)(2008), [“Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis”](http://www.claymath.org/sites/default/files/sarnak_rh_0.pdf)(PDF), trong Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea, *The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike*, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, tr. 107–115, [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-387-72125-5](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-387-72125-5) [du Sautoy, Marcus](/wiki/Marcus_du_Sautoy)(2003), *The music of the primes*, HarperCollins Publishers, [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-06-621070-4](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-06-621070-4), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [2060134](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2060134) [Schoenfeld, Lowell](/w/index.php?title=Lowell_Schoenfeld&action=edit&redlink=1)(1976), “Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II”, *Mathematics of Computation* **30**(134): 337–360, [doi](/wiki/DOI): [10.2307/2005976](http://dx.doi.org/10.2307%2F2005976), [JSTOR](/wiki/JSTOR) [2005976](http://www.jstor.org/stable/2005976), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0457374](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0457374)
- Schumayer, Daniel; Hutchinson, David A. W. (2011),
*Physics of the Riemann Hypothesis*, [arXiv](/wiki/ArXiv): [1101.3116](http://arxiv.org/abs/1101.3116) [Selberg, Atle](/wiki/Atle_Selberg)(1942), “On the zeros of Riemann's zeta-function”, *Skr. Norske Vid. Akad. Oslo I.* **10**: 59 pp, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0010712](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0010712) [Selberg, Atle](/wiki/Atle_Selberg)(1946), “Contributions to the theory of the Riemann zeta-function”, *Arch. Math. Naturvid.* **48**(5): 89–155, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0020594](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0020594) [Selberg, Atle](/wiki/Atle_Selberg)(1956), “Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series”, *J. Indian Math. Soc. (N.S.)* **20**: 47–87, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0088511](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0088511) [Serre, Jean-Pierre](/w/index.php?title=Peter_Sarnak&action=edit&redlink=1)(1969/70), “Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définitions et conjectures)”, *Séminaire Delange-Pisot-Poitou* **19**
- Sheats, Jeffrey T. (1998), “The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for
**F** q[T]”, [Journal of Number Theory](/w/index.php?title=Journal_of_Number_Theory&action=edit&redlink=1) **71**(1): 121–157, [doi](/wiki/DOI): [10.1006/jnth.1998.2232](http://dx.doi.org/10.1006%2Fjnth.1998.2232), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [1630979](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1630979) [Siegel, C. L.](/w/index.php?title=Carl_Ludwig_Siegel&action=edit&redlink=1)(1932), “Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie”, *Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2*: 45–80 Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966. [Speiser, Andreas](/w/index.php?title=Andreas_Speiser&action=edit&redlink=1)(1934), [“Geometrisches zur Riemannschen Zetafunktion”](http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0110&DMDID=DMDLOG_0032&L=1), [Mathematische Annalen](/w/index.php?title=Mathematische_Annalen&action=edit&redlink=1) **110**: 514–521, [doi](/wiki/DOI): [10.1007/BF01448042](http://dx.doi.org/10.1007%2FBF01448042), [JFM](/wiki/Zentralblatt_MATH) [60.0272.04](http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/search/?format=complete&q=an:60.0272.04) [Stein, William](/w/index.php?title=William_A._Stein&action=edit&redlink=1); [Mazur, Barry](/w/index.php?title=Barry_Mazur&action=edit&redlink=1)(2007), [(PDF)](http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/notes/rh.pdf) *What is Riemann’s Hypothesis?*
- Suzuki, Masatoshi (2011), “Positivity of certain functions associated with analysis on elliptic surfaces”,
*Journal of Number Theory* **131**: 1770–1796 [Titchmarsh, Edward Charles](/w/index.php?title=Edward_Charles_Titchmarsh&action=edit&redlink=1)(1935), “The Zeros of the Riemann Zeta-Function”, *Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences*(The Royal Society) **151**(873): 234–255, [doi](/wiki/DOI): [10.1098/rspa.1935.0146](http://dx.doi.org/10.1098%2Frspa.1935.0146), [JSTOR](/wiki/JSTOR) [96545](http://www.jstor.org/stable/96545) [Titchmarsh, Edward Charles](/w/index.php?title=Edward_Charles_Titchmarsh&action=edit&redlink=1)(1936), “The Zeros of the Riemann Zeta-Function”, *Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences*(The Royal Society) **157**(891): 261–263, [doi](/wiki/DOI): [10.1098/rspa.1936.0192](http://dx.doi.org/10.1098%2Frspa.1936.0192), [JSTOR](/wiki/JSTOR) [96692](http://www.jstor.org/stable/96692) [Titchmarsh, Edward Charles](/w/index.php?title=Edward_Charles_Titchmarsh&action=edit&redlink=1)(1986), *The theory of the Riemann zeta-function*(ấn bản 2), The Clarendon Press Oxford University Press, [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-19-853369-6](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-19-853369-6), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [882550](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=882550)
- Trudgian, Timothy (2011), “On the success and failure of Gram's Law and the Rosser Rule”,
*Acta Arithmetica* **125**: 225–256 [Turán, Paul](/w/index.php?title=P%C3%A1l_Tur%C3%A1n&action=edit&redlink=1)(1948), “On some approximative Dirichlet-polynomials in the theory of the zeta-function of Riemann”, *Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd.* **24**(17): 36, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0027305](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0027305)Reprinted in [Borwein & ctg 2008](#CITEREFBorweinChoiRooneyWeirathmueller2008). [Turing, Alan M.](/w/index.php?title=A._M._Turing&action=edit&redlink=1)(1953), “Some calculations of the Riemann zeta-function”, *Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series* **3**: 99–117, [doi](/wiki/DOI): [10.1112/plms/s3-3.1.99](http://dx.doi.org/10.1112%2Fplms%2Fs3-3.1.99), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0055785](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0055785) [de la Vallée-Poussin, Ch.J.](/w/index.php?title=Charles_Jean_de_la_Vall%C3%A9e-Poussin&action=edit&redlink=1)(1896), “Recherches analytiques sur la théorie des nombers premiers”, *Ann. Soc. Sci. Bruxelles* **20**: 183–256 [de la Vallée-Poussin, Ch.J.](/w/index.php?title=Charles_Jean_de_la_Vall%C3%A9e-Poussin&action=edit&redlink=1)(1899–1900), “Sur la fonction ζ(s) de Riemann et la nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée”, *Mem. Couronnes Acad. Sci. Belg.* **59**(1) Reprinted in [Borwein & ctg 2008](#CITEREFBorweinChoiRooneyWeirathmueller2008). [Weil, André](/w/index.php?title=Andr%C3%A9_Weil&action=edit&redlink=1)(1948), *Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent*, Actualités Sci. Ind., no. 1041 = Publ. Inst. Math. Univ. Strasbourg 7 (1945), Hermann et Cie., Paris, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0027151](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0027151) [Weil, André](/w/index.php?title=Andr%C3%A9_Weil&action=edit&redlink=1)(1949), “Numbers of solutions of equations in finite fields”, [Bulletin of the American Mathematical Society](/w/index.php?title=Bulletin_of_the_American_Mathematical_Society&action=edit&redlink=1) **55**(5): 497–508, [doi](/wiki/DOI): [10.1090/S0002-9904-1949-09219-4](http://dx.doi.org/10.1090%2FS0002-9904-1949-09219-4), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0029393](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0029393)Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by Andre Weil [ISBN 0-387-90330-5](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/0387903305)
- Weinberger, Peter J. (1973), “On Euclidean rings of algebraic integers”,
*Analytic number theory (St. Louis Univ., 1972)*, Proc. Sympos. Pure Math. **24**, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., tr. 321–332, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [0337902](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0337902) [Wiles, Andrew](/wiki/Andrew_Wiles)(2000), “Twenty years of number theory”, *Mathematics: frontiers and perspectives*, Providence, R.I.: American Mathematical Society, tr. 329–342, [ISBN](/wiki/ISBN) [978-0-8218-2697-3](/wiki/%C4%90%E1%BA%B7c_bi%E1%BB%87t:Ngu%E1%BB%93n_s%C3%A1ch/978-0-8218-2697-3), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [1754786](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1754786) [Zagier, Don](/w/index.php?title=Don_Zagier&action=edit&redlink=1)(1977), [“The first 50 million prime numbers”](http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/misc/zagier-the_first_50_million_prime_numbers.pdf)(PDF), *Math. Intelligencer*(Springer) **0**: 7–19, [doi](/wiki/DOI): [10.1007/BF03039306](http://dx.doi.org/10.1007%2FBF03039306), [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [643810](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=643810) [Zagier, Don](/w/index.php?title=Don_Zagier&action=edit&redlink=1)(1981), “Eisenstein series and the Riemann zeta function”, *Automorphic forms, representation theory and arithmetic (Bombay, 1979)*, Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math. **10**, Tata Inst. Fundamental Res., Bombay, tr. 275–301, [MR](/w/index.php?title=Mathematical_Reviews&action=edit&redlink=1) [633666](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=633666)
## Tham khảo[
[sửa](/w/index.php?title=Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Riemann&veaction=edit&vesection=4) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Riemann&action=edit§ion=4)]
## Liên kết ngoài[
[sửa](/w/index.php?title=Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Riemann&veaction=edit&vesection=5) | [sửa mã nguồn](/w/index.php?title=Gi%E1%BA%A3_thuy%E1%BA%BFt_Riemann&action=edit§ion=5)] [American institute of mathematics](/w/index.php?title=American_institute_of_mathematics&action=edit&redlink=1), [Riemann hypothesis](http://www.aimath.org/WWN/rh/) [Apostol, Tom](/w/index.php?title=Tom_M._Apostol&action=edit&redlink=1), [Poem about the Riemann hypothesis,](http://www.math.wisc.edu/~robbin/funnysongs.html#Zeta) *Where are the zeros of zeta of s?* [sung](http://www.olimu.com/RIEMANN/Song.htm)by [John Derbyshire](/w/index.php?title=John_Derbyshire&action=edit&redlink=1). [Borwein, Peter](/w/index.php?title=Peter_Borwein&action=edit&redlink=1), [(PDF) (Slides for a lecture)](http://oldweb.cecm.sfu.ca/~pborwein/COURSE/MATH08/LECTURE.pdf) *The Riemann Hypothesis*
- Conrad, K. (2010),
*Consequences of the Riemann hypothesis*
- Conrey, J. Brian; Farmer, David W,
*Equivalences to the Riemann hypothesis*
- Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2004),
[(Reviews the GUE hypothesis, provides an extensive bibliography as well).](http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeroscompute.html) *Computation of zeros of the Zeta function* [Odlyzko, Andrew](/w/index.php?title=Andrew_Odlyzko&action=edit&redlink=1), [including](http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/) *Home page* [papers on the zeros of the zeta function](http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/zeta.html)and [tables of the zeros of the zeta function](http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/index.html) [Odlyzko, Andrew](/w/index.php?title=Andrew_Odlyzko&action=edit&redlink=1)(2002), [(PDF) Slides of a talk](http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/talks/riemann-conjectures.pdf) *Zeros of the Riemann zeta function: Conjectures and computations* [Pegg, Ed](/w/index.php?title=Ed_Pegg,_Jr.&action=edit&redlink=1)(2004), [, Math Games website,](http://web.archive.org/web/20041102173644/http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_10_18_04.html) *Ten Trillion Zeta Zeros* [Bản gốc](http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_10_18_04.html)lưu trữ ngày 2 tháng 11 năm 2004. A discussion of Xavier Gourdon's calculation of the first ten trillion non-trivial zeros
- Pugh, Glen,
*Java applet for plotting Z(t)*
- Rubinstein, Michael,
[.](http://pmmac03.math.uwaterloo.ca/~mrubinst/l_function_public/L.html) *algorithm for generating the zeros* [du Sautoy, Marcus](/wiki/Marcus_du_Sautoy)(2006), [,](http://www.seedmagazine.com/news/2006/03/prime_numbers_get_hitched.php) *Prime Numbers Get Hitched* [Seed Magazine](http://www.seedmagazine.com) [Stein, William A.](/w/index.php?title=William_A._Stein&action=edit&redlink=1), *What is Riemann's hypothesis*
- de Vries, Andreas (2004),
[, a simple animated Java applet.](http://math-it.org/Mathematik/Riemann/RiemannApplet.html) *The Graph of the Riemann Zeta function ζ(s)*
- Watkins, Matthew R. (18 tháng 7 năm 2007),
*Proposed proofs of the Riemann Hypothesis* *(2002) A distributed computing project that attempted to disprove Riemann's hypothesis; closed in November 2005* [Zetagrid](http://www.zetagrid.net/)

X-Content-Type-Options: nosniff

Content-language: vi

X-UA-Compatible: IE=Edge

Vary: Accept-Encoding,Cookie

Via: 1.1 varnish, 1.1 varnish

Accept-Ranges: bytes

X-Cache: cp1053 hit (1), cp1052 frontend miss (0)

Cache-Control: private, s-maxage=0, max-age=0, must-revalidate

Set-Cookie: WMF-Last-Access=31-Jul-2015;Path=/;HttpOnly;Expires=Tue, 01 Sep 2015 12:00:00 GMT