#import "@preview/charged-ieee:0.1.2": ieee

#show: ieee.with(
  title: [3年後期ゼミ資料],
  authors: (
    (
      name: "<NAME>",
      email: "<EMAIL>"
    ),
  ),
  bibliography: bibliography("refs.bib"),
)

= Introduction

$bold("Definition") 1.1$

n次正方行列 $A in RR^(n times n)$ に対して、
\
\
$
A A^(-1) = A^(-1) A = E_n
$
\
を満たす正方行列 $A^(-1) in RR^(n times n)$ が存在するとき $A$ は可逆行列という.
ただし、$E_n$ は $n times n$ の単位行列である.

\

$bold("Definition" 1.2)$

- 階段行列とは以下のような行列 $B$ のことである.
ある整数 $r >= 1$ があって、$B$ の第1行から第 $r$ 行までの各行は $bold("ピボット")$ とよばれる数1を含み、
次の条件 (1) - (3) を満たす.

(1) $B$ の第(r + 1)行から最後の行までの各行において、すべての成分が0.

(2) $B$ の第1行から第 $r$ 行までの各行では、ピボットより左の成分はすべて0.

(3) $B$ の第 $i$ 行 のピボットが含まれる列の番号を $p_i$ とすると、$p_1 < p_2 < dots.h.c < p_r$ であり、$B$ の第 $p_i$ 列ではピボット以外の成分はすべて0.

- ここで、零行列 $O$ も階段行列であるとする.

例: $mat(
  0, 1, 0, 0;
  0, 0, 1, 1;
  0, 0, 0, 0;
  0, 0, 0, 0;
), mat(
  1, 0, 0, 0;
  0, 0, 1, 0;
  0, 0, 0, 1;
  0, 0, 0, 0;
), mat(
  1, 1, 0, 0;
  0, 0, 1, 0;
  0, 0, 0, 1;
)$

\

= Exercise @strang

== Exercise 6
真か偽か(真ならば理由を説明し、偽ならば反例をあげよ)

\

(a) 正方行列には自由変数はない.

偽: (反例)

$A = mat(
  1, 2;
  2, 4;
), bold(b) = mat(
  0;
  0;
)$ について考える.

$bold(x) = mat(
  x_1;
  x_2;
) in RR^2$,  とする.

ここで $A bold(x) = bold(b)$ を解く.

$A bold(x) = mat(
  x_1 + 2 x_2;
  2 x_1 + 4 x_2;
)$
であるから、

$mat(
  x_1 + 2 x_2;
  2 x_1 + 4x_2
) = mat(
  0;
  0;
)$ を解けば良い. これを解くと
$
bold(x) = mat(
  x_1;
  x_2;
) = mat(
  -2c;
  c;
) 
$ となる. ただし、$c in RR$ である. ここで、$c$ は自由変数であるから、これは命題(a)に対する反例である.

\

(b) 可逆行列には自由変数はない.

真: (理由)

$A in RR^(n times n), bold(x) in RR^n, bold(b) in RR^n$ とする. 
ここで $A$ は可逆行列とする.
$A$ は可逆行列であるから、ある $A^(-1)$ が存在して、
$
A^(-1) A = E_n
$
が成り立つ.

ここで、
$
A bold(x) = bold(b)
$ <axb>
を解く.
左から @axb の両辺に $A^(-1)$ をかけると
$
bold(x) = A^(-1) bold(b)
$
となる. ここで、$A^(-1), bold(b)$ はそれぞれ定数行列、定数ベクトルであるから、
解 $bold(x)$ はただ一つに定まり、自由変数を含まない.

\

(c) $m times n$ 行列に含まれるピボットは高々$n$個である.

真: (理由)

Definition 1.2 の (3) より、1つの列に複数個のピボットは存在しないため、行列のそれぞれの列に存在するピボットの数は1以下となる. 行列の列の数は $n$ であるから $m times n$ 行列に含まれるピボットは高々$n$個である.

\

(d) $m times n$ 行列に含まれるピボットは高々$m$個である.

真: (理由)

Definition 1.2 の (2) より、1つの行に複数個のピボットは存在しない. 実際、1つの行に複数個のピボットが存在するとする. この行ベクトルを $bold(v)$ とする. $bold(v)$ の１つ目のピボットを $bold(v)_i$ とする. ここで $i < j$ を満たすピボットを $bold(v)_j$ とする. しかしこれは、$bold(v_j)$ の左にピボット $bold(v_i)$ が存在しており、Definition 1.2 の (2) に矛盾する. よって、1つの行に複数個のピボットは存在しないので、それぞれの行に含まれるピボットの個数は1以下となる. 行列の行の数は $m$ であるから、$m times n$ 行列に含まれるピボットは高々 $m$ 個である.