= ДЗ 4
== Задача 64

$H_i (i = 0, 1, 2)$ --- в первой двойке мячей игранных было $i$

$A$ --- во второй двойке мячей игранных было 0.

$ P(H_0) = 12/20 dot 11/19 = 0.347 $
$ P(H_1) = 12/20 dot 8/19 + 8/20 dot 12/19 = 0.505 $
$ P(H_2) = 8/20 dot 7/19 = 0.147 $

$ P(A | H_0) = 10/20 dot 9/19 = 0.237 $
$ P(A | H_1) = 11/20 dot 10/19 = 0.289 $
$ P(A | H_2) = 12/20 dot 11/19 = 0.347 $

$ P(A) = P(A | H_0) P(H_0) + P(A | H_1) P(H_1) + P(A | H_2) P(H_2) = 0.279 $

$ P(H_0 | A) = (P(H_0) P(A | H_0))/(P(A)) = 0.295 $

== Задача 65

$H_i (i = 1, 2, 3)$ --- телевизор был из $i$-ой фирмы

$A$ --- телевизор требует ремонта

$ P(H_1) = 0.1 $
$ P(H_2) = 0.3 $
$ P(H_3) = 0.6 $

$ P(A | H_1) = 0.15 $
$ P(A | H_2) = 0.10 $
$ P(A | H_3) = 0.07 $

$ P(A H_1) = P(A | H_1) P(H_1) = 0.015 $
$ P(A H_2) = P(A | H_2) P(H_2) = 0.03 $
$ P(A H_3) = P(A | H_3) P(H_3) = 0.042 $

$ P(A) = P(A H_1) + P(A H_2) + P(A H_3) = 0.087 $

$ P(H_1 | A) = P(A H_1) / P(A) = 0.172 $
$ P(H_2 | A) = P(A H_2) / P(A) = 0.345 $
$ P(H_3 | A) = P(A H_3) / P(A) = 0.483 $

$ P(H_1 | A) < P(H_2 | A) < P(H_3 | A) $

Ответ. В третью фирму (потом во вторую, потом в третью)

== Задача 72

Нас интересуют только детали, имеющие дефект. Далее рассматриваем только их.

$H_i (i = 1, 2)$ --- деталь проверял $i$-ый контролер

$A$ --- дефект был обнаружен

$ P(H_1) = P(H_2) = 1/2 $

$ P(A | H_1) = p_1 $
$ P(A | H_2) = p_2 $

$ P(A H_1) = P(A | H_1) P(H_1) = 1/2 p_1 $
$ P(A H_2) = P(A | H_2) P(H_2) = 1/2 p_2 $

$ P(A) = P(A H_1) + P(A H_2) = (p_1 + p_2) / 2 $

$ P(H_1 | A) = P(A H_1) / P(A) = p_1 / (p_1 + p_2) $
$ P(H_2 | A) = P(A H_2) / P(A) = p_2 / (p_1 + p_2) $

Ответ. а) $p_1 / (p_1 + p_2)$, б) $p_2 / (p_1 + p_2)$

== Задача 73

Нужно, чтобы студент
- либо знал два случайно выбранных билета
    $P_1 = 15/20 dot 14/19$

- либо знал первых билет, не знал второй и знал ещё один случайный
    $P_2 = 15/20 dot 5/19 dot 14/18$

- либо не знал первых билет, знал второй и знал ещё один случайный
    $P_3 = 5/20 dot 15/19 dot 14/18$

$ P = P_1 + P_2 + P_3 = 0.8596 $

== Задача 77

Карандаш имеет сломанный грифель, если он из "плохой" коробки.
Таких коробок 4 из 20-ти.

$ P = 4/20 = 0.2 $

== Задача 78

$H_i (i = 1, 2)$ --- 13-ую страницу писала $i$-ая машинистка

$A$ --- на 13-ой странице есть опечатка

$ P(H_1) = 1/3 $
$ P(H_2) = 2/3 $

$ P(A | H_1) = 0.15 $
$ P(A | H_2) = 0.1 $

$ P(A H_1) = P(H_1) P(A | H_1) = 1/20 $
$ P(A H_2) = P(H_2) P(A | H_2) = 1/15 $

$ P(A) = P(A H_1) + P(A H_2) = 7/60 $

$ P(H_1 | A) = P(A H_1) / P(A) = (1/20) / (7/60) = 3/7 $
$ P(H_2 | A) = P(A H_2) / P(A) = (1/15) / (7/60) = 4/7 $

Ответ. $P(H_1 | A) = 3/7$

== Задача 79

$H_i (i = 1,2,3)$ --- пассажир пошел в $i$-ую кассу

$A$ --- в кассе *остались* билеты

$ P(H_1) = 1/3 $
$ P(H_2) = 1/6 $
$ P(H_3) = 1/2 $

$ P(A | H_1) = 1 - 3/4 = 1/4 $
$ P(A | H_2) = 1 - 1/2 = 1/2 $
$ P(A | H_3) = 1 - 2/3 = 1/3 $

$ P(A H_1) = P(H_1) P(A | H_1) = 1/12 $
$ P(A H_2) = P(H_2) P(A | H_2) = 1/12 $
$ P(A H_3) = P(H_3) P(A | H_3) = 1/6 $

$ P(A) = P(A H_1) + P(A H_2) + P(A H_3) = 1/3 $

$ P(H_1 | A) = P(A H_1) / P(A) = 1/4 $

Ответ. $P(H_1 | A) = 1/4$

== Задача 80

$H_1$ --- студент подготовлен *отлично* (знает $20/20$ вопросов)
$H_2$ --- студент подготовлен *хорошо* (знает $16/20$ вопросов)
$H_3$ --- студент подготовлен *удовлетворительно* (знает $10/20$ вопросов)
$H_4$ --- студент подготовлен *плохо* (знает $5/20$ вопросов)

$A$ --- студент ответил на все три вопроса

$ P(H_1) = 3/10 $
$ P(H_2) = 4/10 $
$ P(H_3) = 2/10 $
$ P(H_4) = 1/10 $

$ P(A | H_1) = 1 $
$ P(A | H_2) = 16/20 dot 15/19 dot 14/18 = 28/57 $
$ P(A | H_3) = 10/20 dot 9/19 dot 8/18 = 2/19 $
$ P(A | H_4) = 5/20 dot 4/19 dot 3/18 = 1/114 $

$ P(A H_1) = P(H_1) P(A | H_1) = 3/10 $
$ P(A H_2) = P(H_2) P(A | H_2) = 56/285 $
$ P(A H_3) = P(H_3) P(A | H_3) = 2/95 $
$ P(A H_4) = P(H_4) P(A | H_4) = 1/1140 $

$ P(A) = P(A H_1) + P(A H_2) + P(A H_3) + P(A H_4) = 197/380 $

$ P(H_1 | A) = P(A H_1) / P(A) = 114/197 = 0.57868 $
$ P(H_4 | A) = P(A H_4) / P(A) = 1/591 = 0.00169 $

Ответ. а) $P(H_1 | A) = 0.57868$ б) $P(H_4 | A) = 0.00169$
