= ДЗ 5

== Задача 3

#figure(
    table(
        columns: 3,
        align: center,
        $x$, $a$, $-a$,
        $P$, $1/2$, $1/2$,
    )
)

$ M(x) = a dot 1/2 + (-a) dot 1/2 = 0 $
$ M(x^2) = a^2 dot 1/2 + (-a)^2 dot 1/2 = a^2 $
$ D(x) = M(x^2) - (M(x))^2 = a^2 - 0^2 = a^2 $

Ответ. Не верно

== Задача 4 (в)

#figure(
    table(
        columns: 6,
        align: center,
        $x$,       $-0.5$,  $0$,   $0.5$,   $1$,   $1.5$,
        $P$,       $0.1$,   $0.4$, $0.1$,   $0.3$, $0.1$,
        $2^x$,     $0.707$, $1$,   $1.414$, $2$,   $2.828$,
        $(2^x)^2$, $0.5$,   $1$,   $2$,     $4$,   $8$,
    )
)

$ M(2^x) = 0.707 dot 0.1 + 1 dot 0.4 + 1.414 dot 0.1 + 2 dot 0.3 + 2.828 dot 0.1 = 1.495 $
$ M((2^x)^2) = 0.5 dot 0.1 + 1 dot 0.4 + 2 dot 0.1 + 4 dot 0.3 + 8 dot 0.1 = 2.65 $
$ D(2^x) = M((2^x)^2) - (M(2^x))^2 = 0.415 $

Ответ. $M(2^x) = 1.495, D(2^x) = 2.65$

== Задача 9

#figure(table(
    columns: 3,
    $X$, $-1$, $1$,
    $P$, $1/2$, $1/2$,
))

$ F_X (1/2) = P(X <= 1/2) = P(-1) = 1/2 $
$ F_X (-1/2) = P(X <= -1/2) = P(-1) = 1/2 $

Ответ. $F_X (1/2) = F_X (-1/2) = 1/2$

== Задача 10

$ xi ~ "Bi"(1, 0.2) $

#figure(table(
    columns: 3,
    $xi$,          $0$,                   $1$,
    $p$,           $C_1^0 p^0 q^1 = 0.8$, $C_1^1 p^1 q^0 = 0.2$,
    $y = 1 - x^n$, $1 - 0^n = 1$,         $1 - 1^n = 0$,
))

Ответ. $y ~ "Bi"(1, 0.8)$

== Задача 11

$ X ~ "Bi"((1, 1/2))$

#figure(table(
    columns: 3,
    align: center,
    $x$,   $0$,   $1$,
    $p$,   $1/2$, $1/2$,
    $x^2$, $0$,   $1$,
))

$ M(x) = 0 dot 1/2 + 1 dot 1/2 = 1/2 $
$ M(x^2) = 0 dot 1/2 + 1 dot 1/2 = 1/2 $
$ D(x) = M(x^2) - (M(x))^2 = 1/2 - 1/4 = 1/4 $

Ответ. равны

== Задача 12

$ X ~ "Bi"(4, 0.1) $

$X$ принимает значения $0, 1, 2, 4$.

$ F_X (-10) = P(X <= -10) = 0 $

Ответ. 0

== Задача 19

$ X ~ R(-1, 1) $

- (а)
    $ M(x) = (-1 + 1) / 2 = 0 $
    $ P(x < M(x)) = F_x (M(x)) = F_x (0) = (0 - (-1)) / (1 - (-1)) = 1/2 $
    $ P(x > M(x)) = 1 - F_x (M(x)) = 1/2 $

    Ответ. $P(x < M(x)) = P(x > M(x)) = 1/2$

- (б)
    $ sqrt(D(x)) = sqrt((1 - (-1))^2 / 12) = 1/sqrt(3)$
    $ abs(x - M(x)) = abs(x) ~ R(0, 1) $
    $ P(abs(x) < 1/sqrt(3)) = F_abs(x) (1/sqrt(3)) = (1/sqrt(3) - 0) / (1 - 0)
        = 1/sqrt(3) = 0.577 $

    Ответ. $1/sqrt(3) = 0.577$


== Задача 27

- Чтобы агент обратился к ровно $k (k <= 4)$ покупателям, $k - 1$ первых должны ему
отказать, а $k$-ый должен согласиться.

- Чтобы агент обратился к ровно пяти покупателям, 4 первых должны ему отказать

#figure(caption: [Ряд распределения], table(
    columns: 6,
    $x$,   $1$,   $2$,   $3$,    $4$,     $5$,
    $p$,   $0.5$, $0.2$, $0.12$, $0.054$, $0.126$,
))

$ M(x) = 1 dot 0.5 + 2 dot 0.2 + 3 dot 0.12 + 4 dot 0.054 + 5 dot 0.126 = 2.106 $
$ M(x^2) = 1 dot 0.5 + 4 dot 0.2 + 9 dot 0.12 + 16 dot 0.054 + 25 dot 0.126 = 6.394 $
$ D(x) = M(x^2) - (M(x))^2 = 1.959 $

Ответ. $M(x) = 2.106, D(x) = 1.959$

== Задача 28

$ x ~ "Bi"(200, 0.3) $

- (а)

    $ M(x) = n p = 200 dot 0.3 = 60 $
    $ D(x) = n p q = 200 dot 0.3 dot 0.7 = 42 $

- (б)
    $ P(x = [M(x)]) = P(x = 60) = C_200^60 dot 0.3^60 dot 0.7^140 = 0.06146$

== Задача 29 (а)

Вероятность, что некоторая карта совпадет равна $1/36$.
Тогда $x ~ "Bi"(36, 1/36)$.

$ M(x) = n p = 36 dot 1/36 = 1 $

== Задача 32 

$ x ~ "Bi"(10'000, 0.2) $

$ M(x) = n p = 10'000 dot 0.2 = 2000 $
$ D(x) = n p q = 10'000 dot 0.2 dot 0.8 = 1600 $
$ sigma(x) = sqrt(D(x)) = 40 $
