= 問３　星の明るさと距離

== (1)

  見かけの等級を$m$、絶対等級を$M$、星の地球からの距離を$d$とすると、

  $ m - M = 5 log_(10) d - 5 $

  の関係がある。まず、こと座α星の絶対等級は、

  $ M &= m + 5 - 5 log_(10) d \
    &= 0 + 5 - 5 log_(10) 7.67 \
    &= 0 + 5 - 5 times 0.8848 \
    &= 0 + 5 - 4.424 = 0.576 $

  より、$0.58$ 等級である。次にわし座α星の絶対等級は、

  $ M &= m + 5 - 5 log_(10) d \
    &= 0.77 + 5 - 5 log_(10) 5.1 \
    &= 0.77 + 5 - 5 times 0.7076 \
    &= 0.77 + 5 - 3.538 = 2.232 $

  より、$2.23$ 等級である。

== (2)

  太陽とベテルギウスの平均光度、表面温度、半径をそれぞれ、$L_0$、$L$、$T_0$、$T$、$R_0$、$R$とする。この時、以下の関係が成り立つ。

  $ L / L_0 = (R / R_0)^2 (T / T_0)^4 $

  よって、この式を変形することで、ベテルギウスと太陽の半径比は、

  $ R / R_0 &= (L / L_0)^(1/2) (T / T_0)^(-2) \
    &= ((126000 L_(dot.circle)) / L_(dot.circle))^(1/2) (3600 / 6000)^(-2) \
    &= 354.96 times 2.7778 tilde.eq 986 "倍" $

  次に、ベテルギウスの半径を１天文単位で表すことを考える。太陽半径は$R_0 = 6.955 times 10^8 m$であること（第4回講義スライドより）と、太陽から地球までの距離(1 au)が$1.5 times 10^11 m$（第3回講義スライドより）であることを考慮すると、ベテルギウスの半径は、

  $ R &= 986 R_0 \
    &= (986 times 6.955 times 10^8) / (1.5 times 10^11) \
    &= 4.571 tilde.eq 4.57 "au" $
    

  
