#import "config.typ"
#import "utils/core.typ": *

#set heading(numbering: none)

= Полезные утверждения с первого курса

#def(label: "def-compact")[
  Пусть $X$ --- топологическое пространство. Множество $K subset X$ называется _компактом_, если из любого покрытия $K$ открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие, которое все равно будет покрывать $K$. 
]

#th(label: "def-seq-compact")[
  В метрическом пространстве компактность равносильна секвенциальной компактности. Множество $K subset X$ называется секвенциально компактным, если из любой последовательности точек множества $K$ можно выбрать сходящуюся к какой-то точке из $K$ подпоследовательность.
]

#th(label: "R-compact")[
  В $RR^n$ компактность равносильна замкнутости и ограниченности.
]

#th(name: "Вейерштрасса", label: "weierstrass")[
  Непрерывная фукнция $f: K --> RR$, где $K$ --- компакт принимает наибольшее и наименьшее значение, то есть $ exists a, b in K space f(a) <= f(x) <= f(b) space forall x in K. $
]

#th(label: "continious-image-compact")[
  Непрерывный образ компакта --- компакт.
]

#def(label: "lagrange")[
  Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, и дифференцируема на интервале $(a, b)$, то найдется точка $c in (a, b)$ такая, что
  $
    (f(b) - f(a)) / (b - a) = f'(c)
  $
]

#th(name: "Барроу", label: "barrow")[
  Если $f in C[a, b]$, то $Phi(x) = integral_a^x f dif x$ --- первообразная $f$.
]

#th(name: "формула Стирлинга", label: "stirling")[
  $ n! tilde n^n e^(-n) sqrt(2pi n) $
]

#th(name: "формула длины кривой", label: "curve-length")[
  Пусть $y$ --- гладкая кривая в $RR^d$, а $gamma(t): [a, b] --> RR^d$ --- ее параметризация. Тогда
  $
    l(y) = integral_a^b norm(gamma'(t)) dif t.
  $
]

#th(name: "<NAME>", label: "d'alembert")[
  Пусть $a_n > 0$. Тогда
  - Если $a_(n+1)/a_n <= d < 1$, то $sum a_n$ сходится.
  - Если $a_(n+1)/a_n >= 1$, то $sum a_n$ расходится.
  - Пусть $d^* = lim_(n -> +oo) a_(n + 1)/a_n$. Если $d^* < 1$, то ряд сходится. Если $d^* > 1$ --- то расходится.
]

#th(name: "о связи частных производных и дифференцируемости", label: "diff-through-partial-derivatives")[
  Пусть $f: E --> RR$, $E subset RR^n$, $a in Int f$, все частные производные существуют в окрестности $a$, и в точке $a$ непрерывны. Тогда $f$ дифференцируема в точке $a$.
]

#th(name: "о неявной функции", label: "implicit-fn")[
  Пусть $f: D --> RR^n$ --- непрерывно дифференцируемая функция из открытого $D subset RR^(n + m)$. Точка $(a, b) in D$ такова, что $f(a, b) = 0$, и производная $A = f'(a, b)$ в этой точке удовлетворяет условию $A(h, 0) = 0 ==> h = 0$. Тогда существует окрестность $W$ точки $b$ и единственная функция $g: W --> RR^n$ такая, что $g$ --- непрерывно дифференцируема, $g(b) = a$, и для любого $y in W$ выполняется $f(g(y), y) = 0$. 
]

#th(name: "об обратной функции", label: "inverse-fn")[
  Пусть $f: D --> RR^n$, и $D subset RR^n$ --- открытое. $x_0 in D$, причем $f$ непрерывно диффиренцируема в окрестности $x_0$, $f(x_0) = y_0$. Дифференциал (то есть линейное отображение --- матрица Якоби в точке $x_0$) $Aa = f'(x_0)$ обратим. Тогда существует окрестность $U$ точки $x_0$, и окрестность $V$ точки $y_0$ такая, что $f: U --> V$ обратима, и $f^(-1): V --> U$ непрерывна.
]
