#import "/template.typ": *

#show: project.with(
  title: "חדו״א 1א׳ - שיעור 7",
  authors: ("<NAME>",),
  date: "18 בינואר, 2024",
)

#set enum(numbering: "(1.א)")

= תתי-סדרות
== דוגמה
תהא סדרה $a_n$: $[a_n: 1, 1/2, 1/3, dots]$
ותת-סדרה $b_k$: $[b_k: underbracket(b_1=1/3, (a_3)), underbracket(b_2= 1/7, (a_7)), underbracket(b_3=1/101, (a_101)), dots]$.

== הגדרה
תהי $(an)_(n=1)^oo$ סדרה. נאמר שסדרה $(b_k)_(k=1)^oo$ הינה *תת-סדרה* (תת״ס) שלה אם קיימת סדרה ${n_k}_(k=1)^oo$ עולה ממש של מספרים טבעיים (אינדקסים) כך ש-$b_k=a_(n_k)$.

=== דוגמאות נוספות
נתונה סדרה $(an)_(n=1)^oo$.

+ הסדרה היא תת״ס של עצמה: $n_k=k$ $arrl$ $b_k=a_k$.
+ $b_k = a_(2k)$ היא תת״ס של $(an)$: $n_k = 2k$.
+ $b_k = a_(k+1)$ היא תת״ס של $(an)$: $n_k = k+1$.
+ $(2a_k)_(k=1)^oo$ לא תת״ס של $(an)$ כי $2a k$ לא בהכרח שווה ל-$a_n_k$: $ an &: 1,3,5,7, dots \ 2a_k &: 2,6,10,14, dots $

=== שאלה
אם $(a_n_k)_(k=1)^oo$ היא תת״ס של $(an)_(n=1)^oo$ וכן $(b_m_k)_(k=1)^oo$ היא תת״ס של $(b_n)_(n=1)^oo$. האם $(a_n_k + b_m_k)_(k=1)^oo$ היא תת״ס של $(an + b_n)_(n=1)^oo$? *לא*:
  $ a_n &: bold(2),4,bold(6),8, dots => n_k = 2k - 1 \
    b_n &: 1,bold(3),5,bold(7), dots => m_k = 2k \
    a_n + b_n &: 3, 7, 11, dots
  $
  אך $a_n_1 + b_m_1 = 5$ ולא שייך ל-$(a_n + b_n)$.

== משפטים
=== (משפט) תהי $(an)_(n=1)^oo$ סדרה ותהי $(a_n_k)_(k=1)^oo$ תת״ס שלה. אזי:

+ אם הסדרה $(an)$ חסומה אז גם כל תת״ס שלה ($a_n_k$) חסומה.
+ אם הסדרה $(an)$ מתכנסת (כולל במובן הרחב) אז גם כל תת״ס שלה ($a_n_k$) מתכנסת (ולאותו הגבול).
+ אם הסדרה $(an)$ מונוטונית עולה (או יורדת) אז גם כל תת״ס שלה ($a_n_k$) מונוטונית עולה (או יורדת).

#pagebreak()

=== (משפט) לכל סדרה יש תת״ס מונוטונית
=== (למה) אם לסדרה $(an)$ אין איבר מקסימלי (למשל, $a_n = n^2$, או $a_n = 1-1/n$), אזי יש לה תת״ס עולה ממש

==== הוכחת הלמה
נסמן $(an) in.rev M_n = max{a_1, a_2, dots, a_n}$.
נבנה תת״ס עולה ממש בצורה אינדוקטיבית באופן הבא:

נגדיר $n_1 = 1$. מכיוון שלסדרה $(an)$ אין איבר מקסימלי, נובע ש-$exists n_2 > n_1$ כך ש-$a_n_2>M_n_1 = a_1$ (אחרת, $M_n_1$ איבר מקסימלי בסדרה וזוהי סתירה).

באופן דומה, $exists n_3 >n_2$ כך ש-$a_n_3 > M_n_2 >= a_n_2$ (אחרת $M_n_2$ איבר מקסימלי בסדרה וזוהי סתירה) - וכך הלאה.

נקבל סדרת אינדקסים $n_1 < n_2 < n_3 < dots$ כך ש-$a_n_1 < a_n_2 < a_n_3 < dots$. #QED

==== הוכחת המשפט
תהי $(an)$ סדרה. אם ל-$(an)$ יש תת״ס מונוטונית עולה ממש - סיימנו.

נניח כי ל-$(an)$ אין תת״ס עולה ממש. נבנה כעת באופן אינדוקטיבי תת״ס יורדת. מהלמה הקודמת, נובע שלסדרה $(an)$ יש איבר מקסימלי. נסמן איבר זה באופן הבא: $a_n_1 = max{an}$. נתבונן כעת בתת״ס הבאה: $a_(n_1+1), a_(n_1+2), a_(n_1+3), dots$, שגם לה אין תת״ס עולה ממש (הרי שלסדרה המקורית אין תת״ס עולה ממש). 

מהלמה הקודמת, נובע שלתת״ס זו יש איבר מקסימלי. נסמן אותו $a_n_2 = max{a_(n_1+1), a_(n_1+2), dots}$. לכן $n_2 > n_1$! ברור כי $n_2 >= n_1 + 1 > n_1$. לבסוף, נראה כי מתקיים $a_n_2 <= a_n_1$. כעת ממשיכים בצורה אינדוקטיבית ומקבלים $n_1 < n_2 < n_3 < dots$  כש-$a_n_1 >= a_n_2 >= a_n_3 >= dots$.
#QED

== משפט בולצנו-ויירשטראס
=== (משפט בולצנו-ויירשטראס) לכל סדרה חסומה יש תת״ס מתכנסת

==== הוכחה
תהי $(an)$ סדרה חסומה. לפי המשפט הקודם, יש ל-$(an)$ תת״ס $(a_n_k)$ מונוטונית עולה או יורדת. מהמשפט הראשון בהרצאה, נובע כי $(a_n_k)$ חסומה גם כן. אז, $(a_n_k)$ סדרה מונוטונית וחסומה, ולכן מתכנסת. #QED

=== (מסקנה: משפט בולצנו-ויירשראטס המוכלל) לכל סדרה יש תת״ס מתכנסת, כולל במובן הרחב

#pagebreak()
== הלמה של קנטור על קטעים מקוננים
=== (למה)
נתונות שתי סדרות $(an)$ ו-$(b_n)$ המקיימות $a_n < b_n forall n in NN$ ונסמן $I_n = [a_n, b_n]$. נניח כי מתקיים:

+ הקטעים $I_n$ הינם קטעים מקוננים: $I_1 suq I_2 suq I_3 suq dots suq I_n supset I_(n+1) suq dots $.
+ $lim (b_n - a_n) = 0$.

אזי קיימת נקודה יחידה המשותפת לכל הקטעים: $sect.big_(n=1)^oo I_n = {c}$.

==== הוכחה
נתון: $ a_1<=a_2<= dots <= a_(n-1) <= a_n < b_n <= b_(n-1) <= dots <= b_2 <= b_1, forall n in NN $
מכאן, $(a_n)$ עולה וחסומה מלמעלה, למשל, ע״י $b_1$. לכן $exists lim an = sup an =: a$. בדומה, $(b_n)$ יורדת וחסומה מלמטה, למשל, ע״י $a_1$. לכן $exists lim b_n = inf b_n =: b$. נקבל $0 = lim (b_n - a_n) = b-a$ $arrl$ $a=b$. נראה כעת שהנקודה $a=b$ הינה הנקודה המבוקשת $c$. ברור כי $ forall m in NN, a_m <= sup a_n = a = b = inf b_n <= b_m $

כלומר, $a=b in I_m, forall m in NN$. מכאן, $exists a=b in sect.big_(n=1)^oo I_n$.

כדי להוכיח את יחידות הנקודה הנ״ל, נניח בשלילה כי: $exists a' != a$, כך ש-$forall m in NN, a_m <= a' <= b_m$. נשים לב כי $a_m$ ו-$b_m$ שואפות ל-$a$, ומכלל הסנדוויץ׳ מתקיים כי $a' = lim a' = a$ - בסתירה. 
#QED

=== הוכחה נוספת למשפט בולצנו-ויירשטראס ("אריה במדבר")

תהי $(c_n)$ סדרה חסומה בקטע $[a,b]$. צ״ל שקיימת תת״ס $(c_n_k)$ מתכנסת.
נגדיר את $(a_k)_(k=0)^oo$ ו-$(b_k)_(k=0)^oo$ באופן הבא:

$
  a_0 = a and  b_0 = b \
  forall k in NN, a_k < b_k \
  b_k - a_k = frac(1, 2^k) (b-a) \
  (a_k) arrow.t and (b_k) arrow.b 
$

ואינסוף מאיברי הסדרה ($c_n$) מוכלים בקטע $[a_k, b_k]$ לכל $k$ טבעי.

#align(center, image("/attachments/image.png", height: 4.9cm))

ואז לפי הלמה של קנטור $exists c in sect.big_(k=0)^oo [a_k, b_k]$ יחיד. נוכיח כעת ש-$c$ הינו הגבול של איזושהי תת״ס של $(c_n)$. נבנה תת״ס המתכנסת ל-$c$: נבחר $c_n_1 in [a_1, b_1]$ ו-$n_2> n_1$, $c_n_2 in [a_2, b_2]$ וכו׳ $n_k > n_(k-1)$ ומתקיים $c_n_k in [a_k, b_k]$ לכל $k>=3$ באופן אינדוקטיבי. נראה כי $a_k <= c_n_k <= b_k$, ומכלל הסנדוויץ׳ $c_n_k -> c$. #QED