= ДЗ 2

== Задача 25 (17)

Нужно чтобы из 5-ти товаров либо 4, либо 5 были с купоном.

Если четыре:
$ P_4 = (C_10000^4 C_490000^1) / C^5_500000 $

Если пять:
$ P_5 = (C_10000^5 C_490000^0) / C^5_500000 = C_10000^5 / C^5_500000 $

Итого:
$ P = P_4 + P_5 = (C_10000^4 C_490000^1 + C_10000^5) / C^5_500000 $

*FIXME:* ответ не сходится

== Задача 26 (19)

Найдем $P(A), P(B), P(A B)$ перебором вариантов.

$ P(A) = 5/6 $

$ P(B) = 1/9 $

$ P(A B) = 1/6 $

Т.к. $ P(A B) = 1/6 != 5/54 = P(A) P(B)$, то *зависимы*

== Задача 17 (20)

$ P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A B) $

$ P(A B) = P(A + B) - P(A) - P(B) <= 1 - 1/2 - 1/3 = 1/6 < 3/8 $

== Задача 28 (22)

$ p = 0.01 -> q = 0.99 $

$ 1 - q^n >= 0.95 $
$ 1 - 0.99^n >= 0.95 $
$ 0.05 >= 0.99^n $
$ log(0.05) >= n log(0.99) $
$ log(0.05)/log(0.99) <= n $
$ 298.07... <= n $
$ n = 299 $

== Задача 29 (23)

Студент должен вытянуть либо 3, либо 4, либо 5 счастливых билетов:

$ P = (C^3_20 C^2_5 + C^4_20 C^1_5 + C^5_20) / C^5_25 $

== Задача 30 (31)

$ P(A B) = P(A) P(B) = P(P) -> P(A) = 1 $
$ P(A + B) = 1 $

== Задача 31 (32)

$ P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) = 1/2 + 2/3 - P(A B)
    = 7/6 - P(A B) <= 7/6 - 1 = 1/6 $

Верно

== Задача 32 (36)

Вероятность того, что подбросили $n$ раз равна:
$ P_n = 0.5^(n - 1) dot 0.5 = 0.5^n $

То есть $n - 1$ раз выпадала решка и один раз герб.

$ "argmin"_(1 <= n) P_n = 1 $

Ответ. 1

== Задача 33 (37)

$ P(A) = 1/4 $

$ P(B) = 1/2 dot 17/35 $

$ P(A B) = 0 $ 

$ P(A) P(B) = 17/280 != P(A B) $

Ответ. Зависимы

== Задача 34 (40)

Должны работать: первый и (второй или третий)

$ P = p_1 dot [1 - (1 - p_2)(1 - p_3)]
    = 0.8 dot [1 - (1 - 0.7)(1 - 0.6)] = 0.704 $

== Задача 35 (43)

- (a)
    $ P_(1 2) = 1 - (1 - p_1)(1 - p_2) = 1 - (1 - 0.8)(1 - 0.7) = 0.94 $
    $ P_(1 2 3) = P_(1 2) dot p_3 = 0.564 $
    $ P = 1 - (1 - P_(1 2 3))(1 - p_4) = 0.782 $

- (б)
    $ P_(1 2) = 0.94 $ 
    $ P_(3 4) = p_3 dot p_4 = 0.3 $ 
    $ P_(3 4 5) = 1 - (1 - P_(3 4))(1 - p_5) = 0.58 $ 
    $ P = P_(1 2) dot P_(3 4 5) dot p_6 = 0.16356 $ 

== Задача 36 (46)

$ cases(
    0.05 = P(A B) = P(B | A) P(A),
    0.079 = P(A overline(B)) = P(overline(B) | A) P(A) = (1 - P(B | A)) P(A),
    0.089 = P(overline(A) B) = P(B | overline(A)) P(overline(A)),
    0.782 = P(overline(A) overline(B))
        = P(overline(B) | overline(A)) P(overline(A))
        = (1 - P(B | overline(A))) P(overline(A)),
) $ 

Из (1, 2):
$ P(B | A) / (1 - P(B | A)) = 0.05/0.079 = 0.6329 -> P(B | A) = 0.3876 $
$ P(overline(B) | A) = 1 - P(B | A) = 1 - 0.3876  = 0.6124 $

Из (3, 4):
$ P(B | overline(A)) / (1 - P(B | overline(A))) = 0.089 / 0.782 = 0.1138 ->
    P(B | overline(A)) = 0.1022 $
$ P(overline(B) | overline(A)) = 1 - P(B | overline(A)) = 1 - 0.1022 = 0.8978 $

== Задача 37 (47)

Игра закончится на $k$-ом шаге, если $k - 1$ раз выпадет решка и один раз
выпадет орел.

$ P_k = 0.5^(k - 1) dot 0.5 = 0.5^k $

Вероятность того, что игра закончится на четном ходу:
$ P_"чет" = P_2 + P_4 + ... = 0.5^2 + 0.5^4 + ... = 0.25^1 + 0.25^2 + ...
    = 0.25 / (1 - 0.25) = 1/3 $ 

Вероятность того, что игра закончится на нечетном ходу:
$ P_"нечет" = 1 - P_"чет" = 2/3 $

== Задача 38 (85)

$H_1$ --- выбрана урна первого типа

$H_2$ --- выбрана урна второго типа

$A$ --- вытянули белый шар

$ P(A) = P(H_1) P(A | H_1) + P(H_2) P(A | H_2)
    = 2/5 dot 1/4 + 3/5 dot 2/4 = 0.4 $ 

== Задача 39

Найдем значение перебором:
$ P(A) = P(B) = P(C) = 6/36 = 1/6 $ 

Любая пара или тройка событий означает "на всех выпала одна цифра":
$ P(A B) = P(B C) = P(A C) = P(A B C) = 1/(6^3) = 1 / 216$ 

События *попарно зависимы* т.к.
$ P(A) P(B) = P(A) P(C) = P(B) P(C) = 1/36 != 1/216$

Т.к. зависимы попарно, то и *совокупно зависимы*.

== Задача 40

- (а)

    $A$ --- цель поражена

    $ P = P(A) = 1 - (1 - p_1)(1 - p_2)(1 - p_3) $

- (б)

    $B$ --- все заряды потрачены.

    $B$ происходит, если 1-ый и 2-ой промазали
    
    $ P(B) = (1 - p_1)(1 - p_2) $

    $A B$ происходит, если 1-ый и 2-ой промазали, а 3-ий попал:

    $ P(A B) = (1 - p_1)(1 - p_2)p_3 $

    $ P(A | B) = P(A B) / P(B) = p_3 $

- (в)

    $ P(B | A) = P(A B) / P(A) = ((1 - p_1)(1 - p_2)p_3) / (1 - (1 - p_1)(1 - p_2)(1 - p_3)) $

== Задача 41

    $ P = 1 - ("все мимо") = 1 - (1 - 0.6)(1- 0.7)(1 - 0.8)
        = 1 - 0.4 dot 0.3 dot 0.2 = 0.976 $ 
