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#show: project.with(
  course: "Calculus I",
  course_fullname: "Calculus (A) I",
  course_code: "821T0150",
  semester: "Autumn-Winter 2023",
  title: "Note #3: 导数与微分",
  authors: (
    (
      name: "memset0",
      email: "<EMAIL>",
      id: "3230104585",
    ),
  ),
  date: "October 31, 2023",
)

#let def(x) = text("【" + x + "】", weight: "bold")
#let deft(x) = text("【" + x + "】", weight: "bold", fill: rgb("#FFFFFF"))

= 导数

== 导数的定义

#definition[
  设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的邻域有定义，若 $display(lim_(x->x_0)frac(f(x)-f(x_0),x-x_0) = lim_(Delta x->0)frac(Delta y,Delta x))$ 存在，则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称此极限为 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的#bb[导数]。
]

#definition[
  若函数在开区间 $I$ 内的每点都可导，就称函数在 $I$ 内可导。此时函数值构成的新函数称为#bb[导函数]。
]

#theorem[
  函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可导的充分必要条件是 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的左导数 $f'_-(x_0)$ 和右导数 $f'_+(x_0)$ 均存在且相等。
]

#theorem[
  可导一定连续，连续不一定可导。（如 $y=abs(x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导。）
]

== 高阶导数的定义

#definition[
  若函数 $y=f(x)$ 的导数 $y'=f'(x)$ 可导，则称 $f'(x)$ 的导数为 $f(x)$ 的#bb[二阶导数]，记作 $y''$ 或 $display(ddy/(dx^2))$。函数 $y=f(x)$ 的 #bb[$n$ 阶导数]可以记为 $y^((n))$ 或 $display(dny/(dx^n))$。
]

== 求导

=== 基本初等函数的求导公式

$
  & (C)'=0 quad quad quad quad quad quad quad quad quad quad && (x^mu)' = mu x^(mu - 1)\
  & (sin x)' = cos x && (cos x)' = -sin x\
  & (tan x)' = sec^2 x && (cot x)' = -csc^2 x\
  & (sec x)' = sec x tan x && (csc x)' = -csc x cot x\
  & (a^x)' = a^x ln a && (e^x)' = e^x\
  & (log_a x)' = display(1/(x ln a)) && (ln x)' = display(1/x)\
  & (arcsin x)' = display(1/sqrt(1-x^2)) && (arccos x)' = -display(1/sqrt(1-x^2))\
  & (arctan x)' = display(1/(1+x^2)) && (arccot x)' = -display(1/(1+x^2))\
$

#theorem[
  初等函数在定义区间内可导，且导数仍为初等函数。

  #proof[
    通过构造性定义和两个重要极限可以得到 $(C)'=0$、$(sin x)' = cos x$、$(ln x)' = 1/x$，再利用求导法则得到其他基本初等函数的求导公式。
  ]
]

=== 四则运算求导法则

#theorem[
  函数 $u(x)$ 和 $v(x)$ 都在 $x$ 具有导数 $=>$ $u(x)$ 与 $v(x)$ 的和、差、积、商（$v(x)=0$ 时除外）都在点 $x$ 可导，且：

  1. $[u(x) pm v(x)]' = u'(x) pm v'(x)$

  2. $[u(x) v(x)]' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)$

  3. $display([u(x)/v(x)]' = (u'(x) v(x) - u(x) v'(x))/(v^2(x))) quad (v(x) != 0)$

  #proof[
    乘法求导法则的证明：设 $f(x) = u(x) v(x)$，则有
    $
      f'(x)
      &= lim_(h->0)(f(x+h)-f(x)) / h
      = lim_(h->0)(u(x+h) v(x+h) - u(x) v(x)) / h\
      &= lim_(h->0) [frac(u(x+h)-u(x),h) v(x+h) + u(x) frac(v(x+h) - v(x), h)]\
      &= u'(x) v(x) + u(x) v'(x)\
    $
    除法求导法则的证明：设 $f(x) = display(u(x)/v(x))$，则有
    $
      f'(x)
      &= lim_(h->0)(f(x+h) - f(x)) / h
      = lim_(h->0)(frac(u(x+h),v(x+h))-frac(u(x),v(x))) / (h)\
      &= lim_(h->0) [frac(
			(u(x+h)-u(x))/h v(x) - u(x) (v(x+h) - v(x))/h
		,v(x+h) v(x))]\
      &= (u'(x) v(x) - u(x) v'(x)) / (v^2(x))
    $
  ]
]

=== 反函数的求导法则

#theorem[
  设 $y=f(x)$ 为 $x=f^(-1)(y)$ 的反函数，$f^(-1)(y)$ 在 $y$ 的某领域内单调可导，且 $[f^(-1)(y)]!=0$：

  $
    f'(x) = 1 / ([f^(-1)(y)]') sp "或表示为" sp dy / dx = 1 / (sp dx / dy sp)
  $

  #example[
    1. 设 $y = arcsin x$，则 $x = sin y,sp y in (display(-pi/2\,pi/2))$，则：

    $
      (arcsin x)' &= 1 / ((sin y)') = 1 / (cos y) = 1 / (sqrt(1 - sin^2 y)) = 1 / sqrt(1-x^2)\
      (arccos x)' &= (pi / 2 - arcsin x)' = -1 / sqrt(1-x^2)\
      (arctan x)' &= 1 / ((tan y)') = cos^2 y = 1 / (1 + tan^2 y) = 1 / (1+x^2)\
      (arccot x)' &= (pi / 2 - arctan x)' = -1 / (1+x^2)\
    $

    2. 设 $y=a^x$，则 $x = log_a y,sp y in (0,+oo)$，则：

    $
      (a^x)' = 1 / ((log_a y)') = y ln a = a^x ln a
    $
  ]
]

=== 复合函数的求导法则

#theorem[
  若 $u=g(x)$ 在点 $x$ 可导，$y=f(u)$ 在点 $u=g(x)$ 可导 $=>$ 复合函数 $y=f[g(x)]$ 在点 $x$ 可导，且 $display(dy/dx = f'(u) g'(x))$。

  #note[多层复合函数求导的情形：由外向内逐层求导。]

  #proof[
    $y=f(u)$ 在点 $u$ 可导 $=>$ $display(lim_(Du -> 0) Dy/Du = f'(u))$

    $=>$ $Dy = f'(u) Du + alpha Du$（当 $Du->0$ 时 $alpha->0$）

    $=>$ $display(Dy / Dx = f'(u) Du/Dx + alpha Du/Dx) quad (Delta x!=0)$

    由于 $u=g(x)$ 在点 $x$ 可导，所以 $u=g(x)$ 在点 $x$ 连续 $=>$ 当 $Dx->0$ 时 $Du->0$，同时有 $alpha->0$。

    $=> display(Dy/Dx = lim_(Dx->0) Dy/Dx = lim)$

    我们可以用类似 $display(Dy/Dx = Dy/Du dot Du/Dx)$ 的语言来表述，但这不严谨（有可能 $Du=0$）。
  ]
]

= 微分

#definition[
  设 $y=f(x)$ 在 $x$ 的某邻域 $U(x)$ 内有定义，若 $Dy=f(x+Dx)-f(x)$ 可表示为：

  $ Dy=A Dx+o(Dx) quad (Dx->0) $

  其中 $A$ 是与 $Dx$ 无关的量，则称 $y=f(x)$ 在点 $x$ 处可微。$A Dx$ 是 $Dy$ 的#bb[线性主部]，并称其为 $y=f(x)$ 在点 $x$ 处的#bb[微分]，记为 $dy=A Dx$。
]

== 可微与可导的关系

#theorem[
  函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可微的*充要条件*是 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可导，且 $A=f'(x_0)$，即
  $ dy=f'(x)dx <==> dy / dx=f'(x) $
  所以导数又称微商，可以将 $display(dy/dx)$ 看作 $dy$ 和 $dx$ 的商。

  #caution[这一结论对于高阶导数并不成立。]

  #proof[
    （充分性）已知 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可导，那么：
    $ lim_(x->x_0) Dy / Dx=f'(x_0) => Dy / Dx=f'(x_0)+alpha $

    且 $display(lim_(Dx->0) alpha=0)$，故
    $ Dy = f'(x_0) Dx+alpha Dx=f'(x_0) Dx+ o(Dx) $

    （必要性）已知 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可微，那么：
    $
      Dy=f(x_0+Dx)-f(x_0) = A Dx+o(Dx)\
      => lim_(Dx->0) Dy / Dx=lim_(Dx->0) (A+(o(Dx)) / Dx) = A
    $

    故 $f'(x)$ 在 $x_0$ 可导且 $f'(x_0) = A$。
  ]
]

= 求导的方法及应用

== 高阶导数的求导方法

=== 常用的高阶导数公式

$
  & (1 / (a+x))^((n)) = (-1)^n (n!) / (a+x)^(n+1) quad quad quad quad
  && (1 / (a-x))^((n)) = (n!) / (a-x)^(n+1)\
$

=== 莱布尼茨（Leibniz）公式

设函数 $u=u(x)$ 及 $v=v(x)$ 均有 $n$ 阶导数，则有：

$
  (u v)^((n))
  = & u^((n)) v
  + n u^((n-1)) v'
  + (n(n-1)) / 2 u^((n-2)) v''
  + dots.c
  + binom(n,k) u^((n-k)) v^((k))
  + dots.c
  + u v^((n))
$

=== 泰勒公式法

$f(x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒公式为：
$
  f(x) = f(0) + f'(0) x + (f''(0)) / (2!) x^2 + dots.c + (f^((n))(0)) / (n!) x^n + R_n(x)
$
再令 $display((f^((n))(x))/(n!))$ 等于麦克劳林公式 $x^n$ 项的系数，即可求得 $f^((n)) (0)$。

== 参数方程下的导数

若曲线上任一点的直角坐标 $(x,y)$ 分别可被表示为关于某第三变量 $t$ 的函数，即$display(cases(x=phi(t),y=psi(t)))$，则有以下结论。

1. 若 $x=phi(t),y=psi(t)$ 均可导且 $phi(t)!=0$，则：
  $
    dy / dx
    = (dif psi(t)) / (dif phi(t))
    = (psi'(t) dt) / (phi(t) dt)
    = (psi'(t)) / (phi'(t))
  $

2. 若 $x=phi(t),y=psi(t)$ 均二阶可导且 $phi(t)!=0$，则：
  $
    ddy / (dx^2)
    = (dif (display(dy/dx))) / dx
    = (dif (display((psi'(t))/(phi'(t))))) / (dif phi(t))
    = display((psi''(t)phi'(t) - psi'(t)phi''(t))/((phi'(t))^2)dt) / (phi'(t)dt)
    = (psi''(t)phi'(t) - psi'(t)phi''(t)) / ((phi'(t))^3)
  $

#warning[注意到与 $display(dy/dx)$ 不同，$display(ddy/(dx^2))$ 须看成整体的记号，如果认为是 $(dx)^2$ 而直接进行与其他微分相消的话就可能出现错误。]

== 极坐标方程下的导数

同一点的直角坐标 $(x,y)$ 与极坐标 $(r,theta)$ 满足：

$
  x=r cos theta, quad
  y=r cos theta, quad
  r^2 = x^2+y^2, quad
  tan theta=y / x sp (x!=0)
$

#example[
  #problem[
    求曲线 $r=a sin 2 theta$（$a$ 是常数）在 $theta=display(pi/4)$ 处的法线方程。
  ]

  #solution[
    令 $display(cases(
			x=r cos theta=a sin 2theta cos theta=2a sin theta cos^2 theta,
			y=r sin theta=a sin 2theta sin theta=2a sin^2 theta cos theta,
		))$，所以

    $
      dy / dx
      = display(dy\/dif theta) / display(dx\/dif theta)
      = display(2a cos^3 theta - 4a sin^2 theta cos theta) / display(4a sin theta cos^2 theta - 2a sin^3 theta)
    $

    代入 $display(theta=pi/4)$ 得 $display(dy/dx = -1)$，所以法线方程为 $display(y-sqrt(2)/2 a = x-sqrt(2)/2 a) => y=x$。
  ]
]
