
#import "../conf.typ": *
= Дифференцируемость функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Интегральная теорема Коши.

== Дифференцируемость функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана

#note[
  В ТФКП используются следующие станартные оборзначения
  $z$ - комплексная переменная

  $z = x + i y : x,y in RR$

  $f(z)$ - исследуемая функция

  $f(x+i y) = u(x,y) +i v(x, y) \: u,v in RR^2->RR$

]

#definition[
  Функция $f: B_r (z_0) -> CC$ называется _дифференцируемой_ в $z_0$ если
  #eq[
    $exists A in CC : f(z) = f(z_0) + A(z-z_0) + o(z-z_0)\, |z-z_0| -> 0$
  ]
]

#theorem[
  $f: B_r (z_0) -> CC$ дифференцируема тогда и только тогда когда
  + $u(x,y), v(x,y)$ дифференцируемы в $(x_0, y_0)$
  + Выполняются _условия Коши-Римана_:

    $cases(
      (partial u) / (partial x) = (partial v) / (partial y),
      (partial u) / (partial y) = -(partial v) / (partial x),

    )$

    При этом $f'(z_0) = (partial u)/(partial x) (x_0, y_0) + i (partial v) /(partial x) (x_0, y_0)$
]

#proof[

  ($==>$)

  Пусть $f$ дифференцируема. Тогда $Delta f = A Delta z + alpha(Delta z) = A Delta z + alpha_0(Delta x, Delta y) + i alpha_1(Delta x, Delta y)$

  Обозначим $A = a + i b$ и распишем $Delta f$ по координатно.

  #eq[$
      cases(
        Delta u = a Delta x - b Delta y + alpha_0(Delta x, Delta y),
        Delta v = b Delta x + a Delta y + alpha_1(Delta x, Delta y),

      )
    $]

  Из того, что $alpha(Delta z) = o(Delta z)$ следует $alpha_1, alpha_2$ тожe $o(Delta x, Delta y)$

  Отсюда по определению $u$, $v$ дифференцируемы. Причем $(partial u) / (partial x) = (partial v) / (partial y) = a, -(partial u) / (partial y) = (partial v) / (partial x) = b$

  ($<==$)

  Пусть $u, v$ дифференцируемы и выполняются УКР, тогда

  #eq[$
      Delta f = Delta u + i Delta v
        &= (partial u) / (partial x) Delta x + (partial u) / (partial y) Delta y + alpha_0(Delta x, Delta y) + i ((partial v) / (partial x) Delta x + (partial v) / (partial y) Delta y + alpha_1(Delta x, Delta y)) \

        &= (partial u) / (partial x) Delta x - (partial v) / (partial x) Delta y + i ((partial u) / (partial x) + (partial v) / (partial x)) alpha_0(Delta x, Delta y) + i alpha_1(Delta x, Delta y) \

        &= ((partial u) / (partial x) + i (partial v) / (partial x)) (Delta x + i Delta y) + alpha_0(Delta x, Delta y) + i alpha_1(Delta x, Delta y)
    $]

  Что и означает дифференцируемость.

]

== Интегральная теорема Коши

#lemma[
  Пусть D область f голоморфна в ней. Тогда
  + Если $f$ полный диференциал $=> space forall gamma$ кусочно гладкая замкнутая $integral_gamma f d z = 0$
  + Если интеграл по любой замкнутой ломанной 0 $=> f$ - полный диференциал
]

#theorem(
  "<NAME>",
)[
  Пусть $D$ область, $f$ голоморфна в ней.

  Тогда
  #eq[
    $forall "треугольника" Delta: overline(Delta) in D space integral_(partial Delta) f d z = 0$
  ]
]

#proof[
  Обозначим $I = integral_(partial Delta) f$. Разобъем каждую сторону треугольника
  пополам, и получим 4 треугольника: $Delta_1, Delta_2, Delta_3, Delta_4$. Тогда $I = (integral_(partial Delta_1) + integral_(partial Delta_2) +integral_(partial Delta_3) +integral_(partial Delta_4))f d z = I_1 + I_2 + I_3 + I_4$

  Тогда найдется треугольник (б.о.о. $Delta_1$), такой что $abs(I_1) >= abs(I / 4)$.

  Продолжая так делать получим последовательность треугольников $seq(Delta)$.

  Заметим, что в силу компактности $exists z_0 = sect.big_0^oo overline(Delta_n)$.

  В силу дифференцируемости
  #eq[
    $forall epsilon > 0 : forall z in O_delta (z_0) : space abs(f(z) - f(z_0) - f'(z_0)(z - z_0)) < epsilon (z-z_0)$
  ]

  Заметим, что $-f(z_0) - f'(z_0)(z - z_0)$ это полный диференциал, тогда
  #eq[$
      integral_(Delta_n) f(z) - f(z_0) - f'(z_0)(z - z_0) d z = integral_(Delta_n) f(z) d z + 0
    $]

  Следовательно для достаточно больших n
  #eq[$
      |I_n| = abs(integral_(Delta_n) f(z) d z) <= integral_(Delta_n) abs(f(z) - f(z_0) - f'(z_0)(z - z_0)) |d z| <= epsilon dot (l / 2^n)^2
    $]

  Где $l$ периметр $Delta$, и соответсвенно $l/2^n$ периметр $Delta_n$.

  Но по построению $abs(I_n) >= I / 4^n$, следовательно $forall epsilon > 0 space abs(I) < epsilon => I = 0$
]

#lemma[_Усиленная Лемма Гурса_

  Следствие предыдущей теоремы верно и в условиях, что $f$ голоморфна в $D without {a}$,
  непрерывна в $D$
]
#proof[
  Картиночки порисовать.
]

#theorem("Коши для выпуклой области")[
  Пусть $D$ выпуклая область, $f$ голоморфна в ней.

  Тогда $forall gamma$ - кусочно гладкой замкнутой
  $integral_gamma f d z = 0$.
]
#proof[
  Явно предъявим полный дифференциал $F(z) = integral_[a; z] f(zeta) d zeta$.
  #eq[$
      F(z) - F(z_0) = integral_[a; z] f(zeta) d zeta - integral_[a; z_0] f(zeta) d zeta =^"Лемма  Гурса" integral_[z_0; z] f(z_0) d z
    $]

  Тогда очевидно, что
  #eq[$
      (F(z) - F(z_0)) / (z - z_0) -> f(z_0)
    $]
]

#definition[
  Пусть $gamma$ - кусочно гладкая кривая в $D$ - области.

  Тогда _приращением аргумента функции вдоль кривой_ $Delta_gamma f$ называется
  $\Im integral_gamma (f'(z) d z) / f(z)$
]

#definition[
  Пусть $gamma$ - кусочно гладкая замкнутая кривая в $CC$, $a in C without gamma$.

  Тогда _индексом $a$ относительно $gamma$_ называется
  #eq[$J_gamma (a) = (Delta_gamma (z-a)) / (2 pi )$]
]

#definition[
  Пусть $gamma$ - кусочно гладкая кривая лежит в области $D$.

  Тогда говорят что $gamma space ~ space 0 space (mod D)$ _гомологично эквивалентна нулю_,
  если
  #eq[
    $forall a in CC without D :space J_gamma (a) = 0$
  ]
]

#definition[
  Циклом $Gamma$ называется формальная линейная комбинация с целыми коэфициентами
  кусочно-гладких замкнутых кривых. Все определения и теоремы для кривых
  тривиально переносятся на циклы.
]

#definition[
  Пусть $gamma$ кусочно гладкая кривая, $phi$ непрерывна на $gamma$. Тогда
  интегралом Коши называется
  #eq[$F_n (z, phi) = integral_gamma phi(xi) / (xi - z)^n d xi $]
]

#proposition[Свойства интеграла Коши
  1. $F_n$ голоморфна в $CC without gamma$
  2. $F'_n (z, phi) = n F_(n+1)(z, phi)$
]

#lemma(
  "Общая теорема Коши",
)[
  Пусть $D$ - область в $CC$, $f$ - голоморфна в $D$

  Тогда
  1. #eq[$ g(xi, z) = cases((f(xi)-f(z)) / (xi - z) \, xi != z, (f'(z)) \, z = xi)$]
  непрерывна в $D times D$
  2. Для любой кусочно гладкой $gamma in D$
  #eq[$
      h(z) = integral_gamma g(xi, z) d xi
    $]
  голоморфна в D
]

#theorem(
  "Лиувиля",
)[
  Пусть $f$ голоморфная в $CC$ и
  #eq[
    $exists M,m,R : forall z, |z| > R: space |f(z)| < M z^m$,
  ]
  тогда $f$ полином степени $m$. В частности, если $f$ ограничена, то она
  константа.
]

#theorem(
  "Интегральная теорема + формула Коши",
)[
  Пусть $D$ - область в $CC$, $f$ - голоморфна в $D$.

  Пусть $Gamma$ - цикл в $D$, причем $Gamma space ~ space 0 space (mod D)$, тогда
  1. (формула) $forall z in D without Gamma: J_Gamma (z) f(z) 1 / (2 pi i ) = integral_Gamma (f(xi) d xi) / (xi - z)$
  2. (теорема) $ integral_Gamma f(z) d z = 0$
]

#proof[
  (Необязательно) Пусть $G = {z in CC without Gamma | J_Gamma (z) = 0}$ оно
  открытое. Рассмотрим две функции
  + $ 2 pi i space tilde(h)(z) = integral_Gamma (f(xi) d xi) / (xi - z)$

    Она голоморфна в $G$ как интеграл Коши.

  + $ 2 pi i space h(z) = integral_Gamma ((f(xi)-f(z)) / (xi - z)) d xi$

    Она голоморфна в $D$ по 2 пункту общей теоремы Коши

  Заметим, что $forall z in G sect D : space h(z) = tilde(h)(z) $ так как
  #eq[$
      h(z) - tilde(h)(z) = 1 / (2 pi i) integral_Gamma (f(z)) / (xi - z) d xi = J_Gamma(z) f(z) = 0
    $]

  Из того, что $Gamma space ~ space 0 (mod D) $ следует $CC without D subset G$
  Тогда рассмотрим новую функцию:
  #eq[$
      F(z) = cases(h(z)\, z in D, tilde(h)(z), z in CC without D subset G)
    $]
  Она голоморфна в каждой из компонент. А так как на границе $h$ и $tilde(h)$ равны,
  то голоморфна и в $CC$.

  Заметим, что
  #eq[$
      |tilde(h)(z)| <= 1 / (2 pi) integral_Gamma (max_Gamma |f| |d xi|) / ( \d\i\s\t (z, Gamma)) ->_(\d\i\s\t (z, Gamma) -> infinity) 0
    $]
  А следовательно по теореме Лиувиля $F(z) equiv 0$.

  Следовательно в $D without Gamma space h(z) = 0$. То есть #eq[$
      f(z) / (2 pi i) integral_Gamma (d xi) / (xi - z) = integral_Gamma (f(xi) d xi) / (xi - z) \
      f(z) J_Gamma(z) = integral_Gamma (f(xi) d xi) / (xi - z)
    $]

  (1 $=>$ 2)

  Применим 1 к $tilde(f)(z) = (z-a)(f(z))$, где $a in CC without Gamma$ (естественно
  в области определения f) Тогда
  #eq[$
      0 = J_Gamma(a) (a - a) f(a) = J_Gamma(a) tilde(f)(a) = integral_Gamma (tilde(f)(xi) d xi) / (xi - a) = integral_Gamma f(xi) d xi
    $]
]