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#show: project.with(
  title: "Calculus Homework #2.5",
  authors: ((
		name: "<NAME> (#47)",
		email: "<EMAIL>",
		phone: "3230104585"
	),),
  date: "October 8, 2023",
)

= 课堂练习 10/7 课前热身

#prob[求：$ lim_(n->oo) (1^2/sqrt(n^6+1^2) + 2^2/sqrt(n^6+2^2) + 3^2/sqrt(n^6+3^2) + dots.c + n^2/sqrt(n^6+n^2)) $]

= 课堂练习 10/7 9:08

#prob[
	设 $a>0$，$x_0>0$，$k$ 是正整数，数列 ${x_n}$ 满足：
	$ x_(n+1)=1/(k+1) (k x_n + a/(x_n^k)) $
  求 $display(lim_(n->oo)) x_n$．
]

= 习题1-2 5

#prob[证明：数列 ${a_k}$ 收敛的充要条件是子列 ${a_(2k)}$ 与 ${a_(2k-1)}$ 均收敛且极限相等．]

- 必要性：

  若 ${a_k}$ 的某一子列发散，则 ${a_k}$ 也发散．故 ${a_k}$ 收敛的必要条件是 ${a_(2k)}$ 和 ${a_(2k-1)}$ 均收敛．
	
	设 ${a_(2k)}$ 的极限为 $A$，${a_(2k-1)}$ 的极限为 $B$．下证 $A!=B$ 时 ${a_k}$ 发散：

	$forall eps>0$，当 $2k>N_1$ 时，有 $a_(2k)$ $in$ $(A-eps,A+eps)$；当 $2k-1>N_2$ 时，有 $a_(2k-1)$ $in$ $(B-eps,B+eps)$．
	
	不妨认为 $A<B$，取 $0<eps'<display(((B-eps)-(A+eps))/2)$，则对于任意 $n>max{N_1,N_2}$，无法取常数 $C$ 使得 $|a_n-C|<eps'$，故此时 ${a_k}$ 的极限不存在．

- 充分性：

  设 ${a_(2k)}$ 和 ${a_(2k-1)}$ 的极限都存在且均为 $A$，下证 ${a_k}$ 也收敛且极限为 $A$．

	根据极限的定义，$forall eps>0$，存在常数 $N_1,N_2$ 使得当 $2k>N_1$ 时，$|a_(2k)-A|<eps$；当 $2k-1>N_2$ 时，$|a_(2k-1)-A|<eps$．

	令 $N=max{N_1,N_2}$，则 $forall n>N$，$|a_n-A|<eps$．故 ${a_k}$ 的极限存在且为 $A$．

= 习题1-2 9(1)

#prob[利用单调有界定理，判断数列是否收敛．若收敛，则求出极限．$ x_n = (a^n) /n! quad (a>0 "为常数") $]

由于 $a$ 是常数，令常数 $M$ 为大于 $a$ 的最小正整数．

$ forall n>M,quad x_n/x_(n-1) < M/n < 1 $

改变数列的有限项，数列极限不变，可通过修改前 $M$ 项使得 $a_n$ 是单调递减数列．

由于 $a>0$，易得 $x_n>0$ 为下界．根据单调有界定理，数列 ${x_n}$ 收敛．

取 $display(x'_n=x_M (M/(M+1))^(n-M))$．$forall n>M$，$display(M/n<=M/(M+1))$，故 $x_n<=x'_n$．

由于 $display(lim_(n->oo) (M/(M+1)))^n=0$．根据夹逼定理，$display(lim_(n->oo)x_n=0)$．

综上，原数列收敛且极限为 $0$．

= 习题1-2 9(3)

#prob[
	利用单调有界定理，判断数列是否收敛．若收敛，则求出极限．
	$ x_n = cases(
		sqrt(5) quad& (n=1),
		sqrt(5+x_(n-1)) quad& (n>1),
	) $
]

令 $phi(x) = sqrt(5+x) quad (x>0)$，有 $phi'(x) = display(1/(2 sqrt(5+x)))>0$．可知数列 ${x_n}$ 单增．

若 $x<4$，则 $phi(x)=sqrt(5+x)<sqrt(5+4)=3<4$．由于 $x_1=sqrt(5)<4$，故 $x_n<4$．

根据单调有界定理，数列 ${x_n}$ 必有极限．

设极限为 $a$，取 $n->oo$，应有 $a=sqrt(5+a)$，解得 $a=display((1+sqrt(21))/2)$．

综上，原数列收敛且极限为 $display((1+sqrt(21))/2)$．

= 习题1-2 11

#prob[设 $0<=a<b$，$x_1=a$，$y_1=b$ 且 $x_n=display((x_(n-1)+y_(n-1))/2)$，$y_n=sqrt(x_(n-1)y_(n-1))$，试证 ${x_n}$，${y_n}$ 的极限存在且相等．]

根据均值不等式链

$ a<(a+b)/2<sqrt(a b)<b $

容易得到 $x_n<y_n$ 恒成立．那么，

$
x_n-x_(n-1) &= (y_(n-1) - x_(n-1))/2>0 \
y_n/y_(n-1) &= sqrt(x_(n-1) / y_(n-1))<1 
$

所以 ${x_n}$ 单调递增，${y_n}$ 单调递减．那么 ${y_n-x_n}$ 单调递减且存在下界 $y_n-x_n>0$．根据单调有界定理，${y_n-x_n}$ 存在极限 $C$ 且 $C>=0$．故 ${x_n}$ 的上界和 ${y_n}$ 的下界均存在，再根据单调有界定理，${x_n}$ 和 ${y_n}$ 存在极限，分别设为 $A$ 和 $B$．

令 $n->oo$，应有 $display(cases(
	A = display((A+B)/2),
	B = sqrt(A B)
))$，解得 $A=B$．故数列 ${x_n}$ 和 ${y_n}$ 的极限都存在且相等．

= 习题1-2 13(1)

#prob[用单调有界定理判断数列是否收敛：$ x_n=10/1 times 11/3 times dots.c times (n+9)/(2n-1) $]

当 $n>10$ 时，$n+9<2n-1$，此时

$ x_n/x_(n-1) = (n+9)/(2n-1)<1 $

改变数列有限项，敛散性不变。对于 $n>10$ 的部分，显然 $x_n>0$ 且单调递减。根据单调有界定理，原数列收敛。

= 习题1-2 13(3)

#prob[用单调有界定理判断数列是否收敛：$ x_n=1+1/(2^2)+1/(3^2)+dots.c+1/(n^2) $]

$
x_n
&= 1+1/2^2+1/3^2+dots.c+1/n^2\
&< 1+1/(1times 2)+1/(2times 3)+dots.c+1/((n-1)times n) \
&= 1+1-1/2+1/2-1/3+dots.c+1/(n-1)-1/n\
&= 2-1/n<2
$

故 ${x_n}$ 存在上界 $2$。另 $x_n-x_(n-1)=display(1/(n^2))>0$，可得 ${x_n}$ 单调递增。根据单调有界原理，原数列收敛。

= 习题1-2 15

#prob[证明：若单调数列的某一个子列收敛，则此单调数列本身也收敛．]

不妨认为数列是单调递增的。设子列 ${a_n_k}$ 的上界为 $A$，下证明原单调数列 ${a_n}$ 的上界也为 $A$．

反证法：若存在 $n in NN_+$ 使得 $a_n>A$。则必存在 $k$ 使得 $n_k>n$。由于 $a_(n_k)<A$，可得 $a_(n_k)<a_n$。与数列是单调递增的矛盾。

根据单调有界定理，单调数列本身也收敛。