#import "../template.typ": proof, note, corollary, lemma, theorem, definition, example, remark, proposition, der, partialDer
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#show: note.with(
  title: "常微分方程",
  author: "YHTQ",
  date: none,
  logo: none,
)
= 前言
  - 教师：李伟固
  - 作业：王子康 <EMAIL>，单周周三前交
  含有单个未知函数的方程称为常微分方程，往往形如：
  $
  f(x, y， y', y'', ..., y^((n))) = 0
  $
  其中 $n$ 为方程的阶数，它的位置类似于代数方程中的次数。当然阶数更高的方程更加复杂。

  若 $f(x, y， y', y'', ..., y^((n))) = 0$ 中的 $f$ 是除去 $x$ 的多元线性函数（每个变量的次数都是1），则称为线性微分方程，否则称为非线性微分方程。线性微分方程的形式为：
  $
  sum_(i=0)^n a_i (x) y^((i)) = 0
  $
  这类方程有比较完善的理论。

  + 通解与特解

    形式上，定义若 $y=h(x)$ 代入 $f(x, y， y', y'', ..., y^((n))) = 0$ 是恒等式，则称 $y=h(x)$ 是方程的解。许多时候研究解的存在性与唯一性已经足够困难了。

    称微分方程的通解为含有 $n$ 个独立常数的解，对常数任意取值都可以获得一个解。相对的，称没有未定常数的解为特解，它就是某个固定的函数。一般而言，$n$ 阶的微分方程大约有 $n$ 阶的通解，通解包含了大多数的解，但很多时候并不是所有的解。

    #example[][
      微分方程 $y' = y^(1/3)$ 的一个通解为：
      $
      cases((2/3 x + C)^(3/2) quad 2/3x + C >0,
      0 quad 2/3x + C <= 0)
      $
      但 $y = 0$ 显然是一个解，并不能被通解包含。
    ]

  + 初值问题（柯西问题）

    往往给定一个初值条件便可在通解中减少一个自由变元。当给定足够的初值时以及合理的条件时，微分方程便有唯一解。以后我们会研究在何种条件下它确实有解/有唯一解。
  + 定性问题

    自然的，解微分方程是非常复杂的，简单易用的初等解法非常有限，且往往只能解一些特殊的方程。大部分微分方程相关的研究都是在避免解出具体的解的情况下进行的，例如直接通过方程本身分析它是否有周期解，有界解等等，或者通过方程大致描述解对应曲线的形状。
  类似 $f(x) + f'(x-1) = 0$ 的微分方程有时称为时滞微分方程，它与常微分方程的研究方法大不相同。
= 常微分方程初等解法
  尽管可以证明，绝大多数常微分方程没有初等解，更不可能被初等方法解出，但这些解法仍然十分重要。
  == 恰当形式与积分因子
    #definition[对称形式][
      若 $y$ 是关于 $x$ 的函数，则一阶常微分方程均可化简为：
      $
      der(y, x) = f(x, y)
      $

      形式上与 $f(x, y) dif x - dif y = 0$相当。严格来说这不是微分方程，但是它使用颇为方便，而且可以写成对称的形式：
      $
      p(x, y) dif x + q(x, y) dif y = 0
      $<proper>
      从而统一研究了 $x, y$ 作为自变量的形式，因此也将@proper 称为微分方程的对称形式。
    ]
    #definition[恰当形式][
      若存在一个可微函数 $u(x, y)$ 使得：
      $
      dif u = p(x, y) dif x + q(x, y) dif y\
      <=> cases(
      partialDer(u, x) = p(x, y),
      partialDer(u, y) = q(x, y)
      )
      $
      则称@proper 为恰当形式。
    ]
    #theorem[][
      设：
      $
      d u(x, y) = p(x, y) dif x + q(x, y) dif y
      $
      则 $u(x, y) = C$ 产生的可微隐函数为@proper 的通解
    ]
    #proof[
      只证明 $x$ 作为自变量的情形。设：
      $
      u(x, y(x)) = c
      $
      求导立得：
      $
      partialDer(u, x) + partialDer(u, y) der(y, x) = 0\
      p(x, y) + q(x, y) der(y, x) = 0
      $
      这就表明 $y(x)$ 是原方程的解
    ]
    这启示我们，形式上我们确实可以将 $der(y, x)$ 视作分式进行处理
    #theorem[][
      设 $p, q$ 在区域 $D$ 上 $C^1$ 且
      $
      p(x, y) dif x + q(x, y) dif y
      $
      恰当，则：
      $
      partialDer(p, y) = partialDer(q, x)
      $
      若 $D$ 是单连通区域，则反之也成立
    ]
    #proof[
      - 设 $dif u = p(x, y) dif x + q(x, y) dif y$，则：
        $
        partialDer(p, y) = partialDer(partialDer(u, x), y) = partialDer(partialDer(u, y), x) = partialDer(q, x)
        $
        （注意到 $u$ 是 $C^2$ 的，因此可以交换偏导数的次序）
      - 反之若上式成立且 $D$ 单连通，这就是格林公式的直接推论，取（与道路无关的）曲线积分：
        $
        u(x, y) = integral_(x_0, y_0)^(x, y) p(x, y) dif x + q(x, y) dif y
        $
        容易验证 $u$ 满足要求
    ]
    #example[][
      $
      (3x^2 + 6 x y^2) dif x + (6 x^2 y + 4 y^3) dif y = 0
      $
      可以验证这是恰当形式，下面我们具体求出 $u$
      - 由于 $partialDer(u, x) = 3x^2 + 6 x y^2$，可得：
        $
        u = integral (3x^2 + 6 x y^2) dif x = x^3 + 3 x^2 y^2 + C(y)
        $
      - 进一步
        $
        partialDer(u, y) = 6 x^2 y + C'(y) = 6 x^2 y + 4 y^3 => C'(y) = 4 y^3 => C(y) =  y^4 + C_1
        $
      - 因此 $u = x^3 + 3 x^2 y^2 + y^4 + C_1$，这就是通解
    ]
    #example[][
      $
      (x^2 + 2 x y - y^2) dif x + (x^2 - 2 x y - y^2) dif y = 0\
      dif (1/3 x^3 - 1/3 y^3) + 2x y dif x + x^2 dif y - (y^2 dif x + 2 x y dif y) = 0\
      dif (1/3 x^3 - 1/3 y^3) + dif (x^2 y) - dif (y^2 x) = 0\
      dif (1/3 x^3 - 1/3 y^3 + x^2 y - y^2 x) = 0
      $
    ]
    一旦微分方程的形式恰当，解出微分方程是十分容易的。然而事实上，一个微分方程可能对应众多的对称形式。设 $f(x, y) !=0$，则：
    $
    p(x, y) dif x + q(x, y) dif y = 0 <=> p(x, y) f(x, y) dif x + q(x, y) f(x, y) dif y = 0
    $
    选取不同的 $f(x, y)$ 可能改变对称形式的恰当性
    #definition[][
      设非零可微函数 $f(x, y)$ 满足：
      $
      p(x, y) f(x, y) dif x + q(x, y) f(x, y) dif y = 0
      $
      是恰当形式，则称 $f(x, y)$ 为@proper 的积分因子
    ]
    #example[][
      $
      y dif x - x dif y = 0
      $
      并不是恰当形式，但：
      $
      mu = 1/x^2, 1/y^2, ...
      $
      都是其积分因子\
      事实上：
      $
      dif(y/x) = 1/x dif y - y/x^2 dif x = 1/x^2 (y dif x - x dif y) = 0
      $
    ]
    我们当然希望对一般的对称形式找到合适的积分因子，具体而言，是要求：
    $
    partialDer(p f, y) = partialDer(q f, x) <=>\
    f (partialDer(p, y) - partialDer(q, x)) = q partialDer(f, x) - p partialDer(f, y)
    $<int_factor>
    这是一个一阶线性偏微分方程，不幸的是该类偏微分方程的通用解法只能归结于求解反推过程的常微分方程，因此一般的积分因子是没有通用的解法的。所幸，在一些特殊情形下，我们是可以求得积分因子的。我们直接对 $f$ 施加额外条件：
    - $f$ 与 $y$ 无关，原方程变为：
      $
      f partialDer(p, y) = f partialDer(q, x) + q partialDer(f, x) 
      $<ori_res>
      这是常微分方程：
      $
      partialDer(f, x) =f (partialDer(p, y) - partialDer(q, x)) / q
      $
      观察可得 $(partialDer(p, y) - partialDer(q, x)) / q$ 应与 $y$ 无关。同时此时我们只需解 $f$，$y$ 可以视作定值，因此上述方程可以化简为：
      $
      (dif f) / f = (partialDer(p, y) - partialDer(q, x)) / q dif x\
      ln |f| = integral (partialDer(p, y) - partialDer(q, x)) / q dif x + C
      $<res>
      由于 $f$ 是非零的，因此 $f$ 的符号是确定的，这就解出了 $f$\
      不难发现只要 $(partialDer(p, y) - partialDer(q, x)) / q$ 与 $y$ 无关，@res 便可给出一个与 $y$ 无关的 $f$ 满足@ori_res，进而代入@int_factor 应当也成立。这表明 $(partialDer(p, y) - partialDer(q, x)) / q$ 与 $y$ 无关是可以找到此形式的积分因子的充要条件。
    #theorem[一阶线性微分方程][
      一阶线性微分方程：
      $
      y' = p(x) y + q(x)
      $
      的对称形式为：
      $
      (p(x) y + q(x)) dif x - dif y = 0
      $
      计算:
      $
      (partialDer(p(x) y + q(x), y) - partialDer(1, x)) / (-1) = - p(x)
      $
      积分因子 $f$ 满足：
      $
      ln |f| = integral - p(x) dif x + C\
      |f| = e^C e^(-integral p(x) dif x) = A e^(-integral p(x) dif x)
      $
      因此取 $f = e^(-integral p(x) dif x)$  即可，进而原方程可解
    ]
    不幸的是，这样能够找到的积分因子仍然非常有限。实践上寻找积分因子更多只能靠直接观察形式
    #example[][
      寻找一个曲线使得从定点 $(c, 0)$ 射出的光线经曲线反射后与 $x$ 轴平行：
      - 通过几何方法可以列出方程 $y/x = (2y)/(1-y'^2)$
      - 不妨设 $y' > 0, y> 0$，解得：
        $
        y' = - x /y + sqrt(1 + (x/y)^2)\
        y dif y = (sqrt(x^2 + y^2)-x)dif x\
        x dif x + y dif y = sqrt(x^2 + y^2) dif x\
        (x dif x + y dif y)/sqrt(x^2 + y^2) = dif x\
        dif(sqrt(x^2 + y^2)) = dif x\
        sqrt(x^2 + y^2) = x + C
        $
      - 平方可得方程为：
        $
        y^2 = 2 x C + C^2 = 2C(x+1/2C)
        $
    ]
    #theorem[][
      假设 $p, q, f, g in C^1$，$f, g$ 都是对称形式：
      $
      0 = p(x, y) dif x + q(x, y) dif y := w
      $ 
      的积分因子，且 $f/g$ 不是常数，则 $f/g = C$ 是原方程的通解，其中 $C$ 为常数
    ]
    #proof[
      设：
      $
      f w = d u_1\
      g w = d u_2
      $
      不妨设 $partialDer(u_2, y) !=0$，则由隐函数定义， $u_2 = C$ 可以解出 $y = y(x)$，此时有：
      $
      0 = der(u_1(x, y(x)) w(x, y(x)), x)\
      = w(x, y)der(u_1(x, y(x)), x) + u_1(x, y)der(w(x, y(x)), x)\
      = w(x, y) 
      $
    ]
    理论上讲，所有常微分方程的初等解法都可以化为恰当方程。但是实践上我们更多采用具体的方法求解。
  == 分离变量法
    #theorem[分离变量法][
      设微分方程形如：
      $
      der(y, x) = f(x)g(y)
      $
      - 若 $g(y) = 0$，则 $f(x) = C$ 就是原方程的解
      - 否则，化为：
        $
        1/g(y) der(y, x) = f(x)
        $
        设 $G(y) = integral 1/(g(y)) dif y$，则:
        $
        G'(y) = 1/g(y) der(y, x) = f(x) => G(y) = integral f(x) dif x + C
        $
    ]
    #example[][
      求解 $der(y, x) = y^2 cos x$:
      - 首先 $y = 0$ 是它的一个解
      - 其次，假设 $y$ 不恒为零，则：
        $
        1/(y^2) dif y = cos x dif x\
        -1/y = sin x + C\
        y = -1/(sin x + C)
        $
    ]
    #remark[][
      这种形式下我们已经默认了 $y$ 是因变量而 $x$ 是自变量，因此不能让 $x$ 恒等于 $cos x$ 的零点。如果不考虑函数关系只考虑解曲线，则这也是一个特殊的解
    ]
    #example[][
      $der(y, x) = y^(1/3)$:
      - $y = 0$ 当然是解
      - 否则，我们先证明若 $y(x_0) = 0$，则当 $x < x_0$ 时 $y = 0$：
        - 否则，假设 $x_1 < x_0, f(x_1) !=0$，不妨设其大于零。取：
          $
          x_2 = inf(Inv(y)(0) sect [x_1, x_0])
          $
          注意到上式右侧是闭集，因此 $y(x_2) = 0 => der(y, x) |_(x = x_2)= 0$\
          此外，$der(y, x)$ 在 $[x_1, x_2]$ 之间恒正，这意味着 $y(x)$ 在 $[x_1, x_2]$ 之间单调递增，矛盾！
        - 之后，我们分离变量
          $
          1/y^(1/3) dif y = dif x\
          3/2 y^(2/3) = x + C\
          y = plus.minus (2/3 x + C)^(3/2)
          $
        - 综上，原方程的通解为：
          $
          y = cases((2/3 x + C)^(3/2) quad 2/3x + C >0,
          0 quad 2/3x + C <= 0)
          $
    ]
    #example[][
      下面是几种常见形式
      +  $der(y, x) = f(x)y$
        - $y = 0$ 当然是解
        - 否则：
          $
          1/y dif y = f(x) dif x\
          ln |y| = integral f(x) dif x + C\
          y = A e^(integral f(x) dif x)
          $
          事实上，可以证明若 $y(x_0) = 0$，则 $y = 0$，因此可以去掉绝对值 
      + $der(y, x) = g(y/x)$\
        令 $y = x u$，方程化为：
        $
        der(y, x) = u + x der(u, x) = g(u)\
        1/(g(u) - u) dif u = 1/x dif x\
        integral 1/(g(u) - u) dif u = ln |x| + C\
        $
      + $der(y, x) = (a_1 x + b_1 y + c_1)/(a_2 x + b_2 y + c_2)$\
        - 若 $c_1 = c_2 = 0$，上下同时除以 $x$ 即化为上一种情形
        - 否则，试图做线性替换：
          设 $A = mat(a_1, b_1;a_2, b_2), alpha = vec(c_1,c_2)$
          $
          vec(x, y) = B vec(x', y') + beta
          $
          我们希望：
          $
          A vec(x, y) + alpha = A(B vec(x', y') + beta) + alpha = A B vec(x', y')
          $
          也就是：
          $
          A beta + alpha = 0
          $
          该线性方程有解时，一定可以通过线性替换化为上一种情形\
          - 否则 $"rank"(A) = 1$，不妨设 $(a_2, b_2) = k (a_1, b_1)$，令：
            $
            u = a_1 x + b_1 y
            $
            原方程化为：
            $
            der(u, x) = a_1 + b_1 der(y, x) = a_1 + b_1 (u + c_1)/(k u + c_2)
            $
            这时右侧已无 $x$，直接分离变量积分即可
      + $y f(x y) dif x + x g(x y) dif y = 0$\
        令 $x y = u$，方程化为：
        $
        u/x f(u) dif x + g(u)(dif u - u/x dif x) = 0\
        $
        这也是分离变量的形式
    ]
    #example[最速降线][
      求 $a -> b$ 的一条曲线，使得小球从 $a$ 无摩擦的滑下的时间最短\
      严格来说这个问题需要用到变分法，不过抛开高级理论，利用光线折射定律的相关想法也可以不严格的求解。\
      可以证明，光线从 $a$ 点到 $b$ 点经过若干种介质时，入射角的正弦与介质中传播的速度是定值。我们依次来对曲线建立微分方程：
      - 在曲线上任意一点 $(x, y)$ 的速度表示为：
        $
        v = sqrt(2 g y)
        $
        （能量守恒）
      - “入射角”也即与垂直方向夹角满足 $sin alpha = sqrt(1+y'^2)$
      因此可以建立方程：
        $
        sqrt(2 g y)/ sqrt(1+y'^2) = C\
        2 g y = C^2 (1+y'^2)\
        1 + y'^2 = 2/C^2 g y\
        y' = sqrt(2/C^2 g y - 1)\
        1/sqrt(2/C^2 g y - 1) dif y = dif x\
        integral 1/sqrt(2/C^2 g y - 1) dif y = x + C\
        $
    ]
  == 一阶线性微分方程
    #theorem[常数变易法][
      对于一阶线性微分方程：
      $
      der(y, x) + p(x) y = q(x)
      $
      一般假设 $p, q$ 都连续且 $p(x)$ 不恒为零
      我们可以先解出齐次方程：
      $
      der(y, x) + p(x) y = 0
      $
      它的解为：
      $
      y = C e^(-integral p(x) dif x) := C v(x)
      $
      做变量替换：
      $
      y = u(x) v(x)
      $
      代入发现：
      $
      q(x) - p(x) u(x) v(x) = der(u(x) v(x), x) = v(x) der(u(x), x) + u(x) der(v(x), x)
      $
      但是注意到：
      $
      der(v(x), x) + p(x) v(x) = 0
      $
      上式化简为：
      $
      q(x) = v(x) der(u(x), x)\
      $
      待解的函数是 $u(x)$，这是可分离变量的
    ]
    #example[贝努利方程][
       形如：
       $
       der(y, x) = p(x) y + q(x) y^n
       $
       的方程称为贝努利方程。除去 $y = 0$ 的解外，可以做变量替换：
       $
       t = y^(1-n)\
       dif t = -(1-n) y^(-n) dif y\
       dif y = -1/(1-n) y^(n) dif t\
       $
       上式化简为：
        $
        y^(-n)der(y, x) = p(x) y^(-n+1) + q(x)\
        -1/(1-n) der(t, x) = p(x) t  + q(x)\ 
        $
         这就化为了一阶线性微分方程
    ]
    #example[][
      对于形如：
      $
      der(y, x) = p(x)y^2+q(x)y+r(x)
      $
      的微分方程，一般没有初等解法。但是假设我们猜出了一个解 $y = f(x)$，可以做变量替换：
      $
      y = u + f(x)\
      dif y = dif u + f'(x) dif x\
      $
      代入原方程后，仍然是该方程的形式。然而注意到 $u = 0$ 一定是一个解，最后一定会消掉零次项。代入发现：
      $
      dif u + f'(x) dif x = (p(x)(u+f(x))^2+q(x)(u+f(x))+r(x))dif x\
      dif u = (p(x)(u^2 + 2u f(x)) + q(x) u ) dif x\
      der(u, x) = p(x)u^2 + (2 p(x) f(x) + q(x))u
      $
      这是贝努利方程，进而可解
    ]
    #theorem[][
      设 $a, b in RR, a != 0$，方程：
      $
      der(y, x) = a y^2 + b x^m
      $
      当且仅当 $m = 0, - 2, - (4k)/(2k plus.minus 1)$ 时可积分求解
    ]
    #proof[
      无妨假设 $a = 1$\
      - $m = 0$ 时显然可解
      - $m = -2$ 时，做变量替换：
        $
        z = x y\
        dif z = x dif y + y dif x\
        dif y = 1/x dif z - y/x dif x\
        $
        代入得：
        $
        1/x dif z - y/x dif x = (y^2 + b x^(-2)) dif x\
        x dif z - x y dif x = ((x y)^2 + b) dif x\
        x dif z -z dif x = (z^2 + b) dif x
        $
        这是可分离变量的
      - $m = -(4k)/(2k plus.minus 1)$ 

      必要性由刘维尔给出，颇为复杂
    ]
    特别的，$der(y, x) = x^2 + y^2$ 是不可积分求解的，这也说明了求解微分方程是非常之困难的。
  == 一阶隐方程
    #definition[][
      形如：
      $
      F(x, y, y') = 0
      $
      的方程称为一阶隐方程
    ]
    一般而言它的求解当然是非常困难的，但是对于特定的几类，我们可以尝试求解：
    #theorem[][
      对于以下几类隐方程我们给出一些思路：
      - 可以化为：
        $
        y = f(x, y')
        $<ori>
        的方程。\
        此时两边对 $x$ 求导得：
        $
        y' = partialDer(f(x, y'), x) = f'_1(x, y') + f'_2(x, y')y''
        $
        这是关于 $y', x$ 的显式微分方程。\
        若能解出 $y' = p(x)$，代入@ori 就是原方程的解\
        若只能解出 $x = q(y')$，代入@ori 就是原方程以 $y'$ 为参数的参数表达\
        否则，若只能解出 $g(x, y') = 0$，方程的解只能表达为：
        $
        cases(
          y = f(x, y'),
          g(x, y') = 0 
        )
        $
      - 可以化为：
        $
        x = f(y, y')
        $
        两边对 $y$ 求导得：
        $
        1/y' = partialDer(f(y, y'), y) = f'_1(y, y') + f'_2(y, y')der(y', y) = f'_1(y, y') + f'_2(y, y') y''/y'
        $
        做类似讨论即可
      - 可以化为 $f(x, y') = 0$，只需要考虑它的参数形式：
        $
        x = u(t)\
        y' = v(t)
        $
        则：
        $
        dif y = v(t) dif x = v(t) u'(t) dif t
        $
        两边积分即得 $y$
      - 可以化为 $f(y, y') = 0$ 的形式。类似的，如果能找到参数方程：
        $
        y = u(t)\
        y' = v(t)
        $
        则：
        $
        dif y = u'(t) dif t\
        dif y = v(t) dif x\
        v(t) dif x = u'(t) dif t\
        dif x = (u'(t))/v(t) dif t
        $
        积分即可\
        注意需要补充 $v(t) = 0$ 的解
    ]
    #example[][
      $y'^3+2x y' - y = 0$
      两边直接对 $y$ 求导得：
      $
      3y'^2 y''  + 2y'+ 2x y'' - y' = 0\
      (3y'^2 + 2x)y'' = -y'\
      (3P^2 + 2x)P' = -P\
      der(P, x) =- P/(3P^2+2x)\
      2P der(P, x) = -(2P^2)/(3P^2+2x)\
      der(P^2, x) = -(2P^2)/(3P^2+2x)\
      $
      这是方程右侧对于 $P^2$ 是齐一次的，是我们可解的方程\
      $
      der(x, P^2) = -3/2 - x/P^2
      $
      令 $u = x/P^2, dif u = (P^2 dif x - x dif P^2)/P^4$
      $
      der(u, P^2) = 1/P^2 der(x, P^2) - u/P^2 = -1/P^2(3/2+u) -u/P^2\
      (dif u)/(3/2 + 2u) = - 1/P^2 dif P^2\
      ln |3/2 + 2u| = - ln 1/P^2 + C\
      3/2 + 2u = C P^2\
      $
    ]
    #example[Clairaut][
      $y = x y' + f(y')$\
      求导得:
      $
      y' = y' + x y'' + f'(y') y''\
      x y'' + f'(y') y'' = 0\
      $
      讨论：
      - $y'' = 0$，此时原方程是一族直线 $y = x c + f(c)$
      - $x = - f'(y')$，此时代回得 $y = - y' f'(y') + f(y')$，这是以 $y'$ 为参数的特解
      当 $f'' != 0$ 时，直线族恰好是特解的切线族，这是因为此时 $f'$ 有反函数，在特解中可以解出：
      $
      y' = u(x)\
      y = x u(x) + f(u(x))
      $
      此时，直线：
      $
      y = x u(x_0) + f(u(x_0))
      $
      恰好就是特解于 $(x_0, y_0)$ 点的切线（显然直线过 $(x_0, y_0)$ 且斜率 $u(x)$ 当然就是该点处的导数）

      事实上，我们并没有说明这些就是原方程的所有解。后续我们会证明在 $f'' != 0$ 的情况下，确实这些囊括了原方程解的所有情况（但可以构造出其他的解，例如将切线-特解-切线拼接起来也是一个解）
    ]
    == 应用举例
      至此，我们已经给出了所有一阶微分方程的初等解法。尽管方法有限，但是它们已经能够解出了许多重要的方程
      #example[两个物种的生态方程][
        一战期间，生态学家发现随着人类捕鱼量下降，两类鱼中以其他鱼为食的鱼的比例上升，而以植物为食的鱼的比例下降。他们提出了一个模型：\
        设以鱼为食的鱼的数量为 $x = x(t)$, 以植物为食的鱼的数量为 $y = y(t)$，令 $r_x, r_y$ 是两者的增长率。显然 $r_x$ 应该随 $y$ 递增，而当 $y$ 较小时应该有 $r_x < 0$，进而设：
        $
        r_x = sigma y - lambda
        $
        类似的原因，设：
        $
        r_y = mu - delta x
        $
        （上面的常数应该都是正数）\
        这给出了微分方程组：
        $
        x'/x = sigma y - lambda\
        y'/y = mu - delta x
        $
        两式相比：
        $
        y'/x' x/y = (mu - delta x)/(sigma y - lambda)
        $
        注意到 $y'/x' = der(y, x)$，这就消掉了 $t$
        $
        y' (sigma y - lambda)/y = (mu - delta x)/x\
        sigma y - lambda ln y = mu ln x - delta x + C\
        sigma y + delta x - lambda ln y - mu ln x = C\
        $
        虽然我们难以继续计算，但我们可以做定性研究，可以发现它的解都是周期解。\
        同时，我们还可以求出平均值：
        $
        (dif x)/x = (-lambda + sigma y) dif t\
        integral_T (dif x)/x = integral_T  (-lambda + sigma y) dif t\
        integral_T (dif ln(x)) = integral_T  (-lambda + sigma y) dif t\
        0 = integral_T  (-lambda + sigma y) dif t\
        0 = -lambda T + sigma integral_T y dif t\
        (lambda)/sigma =  1/T integral_T y dif t
        $
        这就是 $y$ 在一个周期内的平均值\
        当捕捞量减少时，两个物种的增长率都增加，相当于 $mu$ 增大而 $lambda$ 减少，可以看到 $x$ 的平均值会增加，而 $y$ 的平均值会减少
      ]
      #example[$n$ 体问题][
        $n$ 体问题是指万有引力下 $n$ 个大质量质点相互作用的问题。设有 $n$ 个质点 $p_i$，分别有：
        - 坐标 $P_i = (x_i, y_i, z_i)$
        - 质量 $m_i$
        - 牛顿第二定律和万有引力定律：
          $
          m_i (dif^2 P_i)/(dif t^2) = sum_(j != i) G m_i m_j (P_j - P_i)/norm(P_j - P_i)^3
          $
        不妨设 $G = 1$，化简为：
        $
        m_i (dif^2 P_i)/(dif t^2) = sum_(j != i) G m_i m_j (P_j - P_i)/(sqrt((x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2 + (z_i - z_j)^2)^3)
        $
        记 $U = sum_(i != j)( m_i m_j )/norm(P_i -P_j)$，化简为：
        $
        m_i (dif^2 P_i)/(dif t^2)  = partialDer(U, P_i)
        $
        记 $q_i = der(P_i, t)$（速度），则：
        $
        m_i der(q_i, t) =  partialDer(U, P_i)
        $
        令 $p = autoVecN(p, n), q = autoVecN(q, n)$，则：
        $
        dif /(dif t) vec(p, q) = vec(q, m partialDer(U, p))
        $
        可以发现：
        $
        sum_i m_i der(q_i, t) = sum_i partialDer(U, q_i) = sum_i (sum_(j != i) m_i m_j (P_i - P_j)/norm(P_i - P_j)^3) = 0
        $
        这就是在说质心不动，也就是动量守恒，进而：
        $
        sum_i m_i q_i = C_1\
        integral sum_i m_i q_i dif t = C_1 t + C_2\
        sum_i m_i p_i =  C_1 t + C_2
        $
        质心以匀速直线运动

        类似的，可以验证角动量守恒，能量守恒\
        然而可以证明，除了这些以外不再有与之独立的代数的首次积分，因此代数的首次积分就是这些

        接下来我们解二体问题，由之前提到的守恒量可设质心恒定在原点，运动都在平面上，可以化简到：
        $
        cases(
          (dif^2 x)/(dif t^2) = -m x/(x^2 + y^2)^(3/2),
          (dif^2 y)/(dif t^2) = -m y/(x^2 + y^2)^(3/2)
        )
        $
        其中，1 对应 $ m = (m_2^3)/(m_1 + m_2)^2 $
        2 对应 $ m = (m_1^3)/(m_1 + m_2)^2 $
        角动量守恒给出：
        $
        x der(y, t) - y der(x, t) = c_1\
        $
        能量守恒给出：
        $
        (der(x, t))^2 + (der(y, t))^2 - (2m)/(sqrt(x^2 + y^2)) = c_2
        $
        做极坐标换元：
        $
        x = r cos theta\
        y = r sin theta
        $
        代入角动量守恒化简得：
        $
        c_1 = r^2 der(theta, t)\
        c_1 (t_2 - t_1) = integral_(t_1)^(t_2) r^2 dif theta\
        $
        上式右侧是扫过的扇形面积，这实际上就是开普勒第二定律\
        代入能量守恒化简得：
        $
        (der(r, t))^2 = c_1 + 2 m Inv(r) - c_1^2 r^(-2) \
        der(r, t) = sqrt(c_2 + m^2/c_1^2 - (c_1/r - m/c_1)^2)\
        der(theta, t) = c_1/r^2\
        der(r, theta) = r^2/c_1 sqrt(c_2 + m^2/c_1^2 - sqrt(c_1/r - m/c_1)^2)
        $
        这是可分离变量的，最终可以化简得到：
        $
        r = p/(1 + e cos (theta - theta_0))
        $
        其中 $e = c_1/m sqrt(c_2 + m^2/c_1^2), p = c_1^2/m$\
        这一定是一条圆锥曲线，这就是开普勒第一定律\
        再次带回：
        $
        (p/(1 + e cos (theta - theta_0)))^2 dif theta = c_1 dif t\
        c_1 T = integral_(0)^(2pi) p^2/(1 + e cos (theta - theta_0))^2 dif theta\
        = (2p^2 pi)/sqrt((1 - e^2)^3)
        $
        计算可得：
        $
        T^2/(p^3 /(1-e^2)^3) = (4 pi^2)/m
        $
        当 $m_1$ 很大时，$m$ 几乎就是 $m_2$，这也就是太阳系中的开普勒第三定律

        二体问题还有著名的反问题，假设任何星球围绕太阳的有界轨道都是椭圆，且万有引力形如：
        $
        f = m_1 m_2 f(norm(p_1 - p_2))(p_1 - p_2)
        $
        那么数学上可以证明万有引力只能是正比于距离或者反比于距离的平方，前者会导致太阳位于轨道中心，后者太阳将位于焦点
      ]
  == 二阶自洽微分方程
    #theorem[二阶自洽微分方程的解法][
      称形如 
        $
        (dif^2 x)/(dif t^2) + f(x) = 0
        $
        为二阶自洽方程，引进 $F(x)$ 使得 $F'(x) = f(x)$，令 $y = x', H(x, y) = y^2/2 + F(x)$，有：
        $
        der(H, t) = y der(y, t) + F'(x) der(x, t) = y (dif^2 x)/(dif t^2) + f(x) der(x, t) = 0 
        $
        换言之，参数方程 $(x(t), y(t))$ 表示的函数就是 $H$ 的等高线，可以解得：
        $
        y = plus.minus sqrt(2(C - F(x)))\
        (dif x)/(dif t) = plus.minus sqrt(2(C - F(x)))\
        plus.minus 1/(sqrt(2(C - F(x)))) dif x = dif t
        $
        两边直接积分及得原方程的解
    ]
    #example[弹簧][
      弹簧方程 $(dif^2 x)/(dif t^2) + a x = 0, a > 0$ 就是上面的形式，因此可以解得：
      $
      t + C' = plus.minus integral 1/sqrt(2(C - 1/2 a x^2)) dif x
      $
      计算化简得到 
      $
      x = C_1 cos a t + C_2 sin a t\
      y = - a C_1 sin a t + a C_2 cos a t
      $
      容易发现所有解都以 $(2 pi)/a$ 为周期，且 $(0, 0)$ 为所有轨道的中心。由于所有轨道都是相同周期的，因此也称为等时中心。线性系统中一定是等时的
    ]
    #example[单摆方程][
      单摆方程 $(dif^2 x)/(dif t^2) + a sin x = 0, a > 0$ 也是上面的形式，因此可以解得：
      $
      dif t  =  1/sqrt(2(C - a cos x)) dif x
      $
      这是椭圆积分，我们无法写出它的初等形式\
      转而考虑：
      $
      H(x, y) = y^2/2 - a cos x + a
      $
      的等高线。注意到 $H$ 关于 $x$ 以 $2 pi$ 为周期，可以把它想象成定义在圆柱面上的函数。容易发现这里 $(0, 0)$ 也是中心，但不是等时中心，事实上，在等高线：
      $
      y^2 - a cos x = C
      $
      上，有：
      $
      1/4 T = integral_0^(pi/2) der(t, x) dif x = integral_0^(pi/2)  1/sqrt(2(C - a cos x)) dif x
      $
      显然不可能与 $C$ 无关
    ]
    #theorem[][
      设二阶自洽微分方程满足 $f(x)$ 连续且 $x f(x) > 0$，引进 $F(x)$ 并不妨设 $F(0) = 0$，则对：
      $
      H(x, y) = y^2/2 + F(x)
      $
      + $H(0, 0)$ 是 $H$ 的最小值点
      + 在 $(0, 0)$ 附近，$H(x, y) = C$ 给出一个闭合曲线
      + $H = h$ 交 $x$ 轴于 $x_1(h), x_2(h)$ 两点，$x_1 < x_2$
      + 原点是等时中心当且仅当 $(x_2(h) - x_1(h))/sqrt(h)$ 是与 $h$ 无关的常数
    ]
    #proof[
      + 由题设将有 $F(x) >= 0$ 因此显然
      + 直接解出 $y$ 即可
      + 由 $F(x)$ 的单调性及 $F(0) = 0$ 显然
      + 这个证明并不用到高级的知识，但极具技巧性\
        令 $s = F(x)$，则 $f(x) dif x = dif s$，有：
        $
        1/2 T_h = integral_(x_1)^(x_2) der(t, x) dif x = integral_(x_1)^(x_2)  1/sqrt(2(h - F(x))) dif x\
        = integral_0^(h)  1/sqrt(2(h - s)) 1/(f_+(x)) dif s - integral_0^(h)  1/sqrt(2(h - s)) 1/(f_-(x)) dif s\
        1/2 integral_0^H T_h/sqrt(H-h) dif h = integral_0^H ( integral_0^(h) 1/sqrt(2(H - h)(h - s)) 1/(f_+(x)) dif s)dif h - integral_0^H ( integral_0^(h) 1/sqrt(2(H - h) (h - s)) 1/(f_-(x)) dif s)dif h\
        = integral_0^H ( integral_s^H 1/sqrt(2(H - h)(h - s)) 1/(f_+(x)) - 1/sqrt(2(H - h) (h - s)) 1/(f_-(x)) dif h)dif s\
        = pi/(sqrt(2)) (integral_0^H 1/(f_+(x)) - 1/(f_-(x)) )dif s\
        = pi/(sqrt(2)) (integral_0^H 1/(f_+(x)) - 1/(f_-(x)) )dif F(x)\
        = pi/(sqrt(2)) (integral_0^H f(x)/(f_+(x)) - f(x)/(f_-(x)) )dif x\
        = pi/(sqrt(2)) (x_2(H) - x_1(H))\
        $
        - 假设周期与 $H$ 无关，则有：
        $
        T_0 sqrt(H) = pi/sqrt(2) (x_2(H) - x_1(H))\
        T_0 = pi/sqrt(2) (x_2(H) - x_1(H))/sqrt(H)
        $
        表明上式右侧与 $H$ 无关，这也给出了周期的计算公式
    ]
    #corollary[][
      若原点是等时中心且 $f(x)$ 是奇函数，则 $f(x)$ 一定线性
    ]
= 微分方程的解理论
  == Peano 定理
    #theorem[Peano][
      设：
      $
      f(x, y) in C(DD), DD = {abs(x - x_0) <= a, abs(y -y_0) <= b}
      $
      方程：
      $
      cases(
        der(y, x) = f(x, y),
        y(x_0) = y_0
      )
      $
      在 $[x_0 - h, x_0 + h]$ 上有解，其中：
      $
      h = min{a, b/(max_DD abs(f))}
      $
      若 $y, f$ 是向量值函数，结论也是类似的
    ]<peano>
    本节的目标就是证明它。\
    #lemma[][
      有界区间上等度连续的一致有界的函数列有一致收敛的子列
    ]
    #proof[ 
      #lemmaLinear[][
        设 $f_n: I -> RR$ 对于每个 $x in I, f_n (x)$ 都有界 $M_x$，$I$ 是有限区间，则任取 $I$ 的一个可数子集 $E$，存在 $f_n$ 的子列使得这个子列在 $E$ 上收敛
      ]
      #proof[
        设 $E = {x_1, x_2, ..., x_n}$，注意到 $f_n (x_1)$ 是有界序列，有收敛子列 $f_(n_1) (x_1)$\
        再考虑 $f_(n_1) (x_2)$ ，它当然也有收敛子列，记为 $f_(n_2) (x_2)$\
        不断进行下去，我们得到了若干子列 $f_(n_k) (x_k)$。\
        用对角线法，发现：
        $
        f_(n_n) (x_n), n = 1, 2, 3, ...
        $
        在每个 $x_k$ 上都收敛，证毕
      ]
      #lemmaLinear[][
        设 $I$ 是有限区间，$f_n : I -> RR$ 等度连续，且在 $I$ 的稠密子集上收敛，那么它在 $I$ 上一致收敛
      ]
      #proof[
        利用柯西收敛原理，任取 $epsilon > 0$，存在 $delta >0$，使得：
        $
        forall n in NN, forall x_1, x_2, abs(x_1 - x_2) < delta => abs(f_n (x_1) - f_n (x_2)) < epsilon
        $
        对于这个 $delta$，我们可以取出 $E$ 中有限个点 $E'$ 使得：
        $
        union_(x in E') B(x, delta) = I
        $
        由于这里只有有限个 $x$，当然 $f_n|_E'$ 将一致收敛，因此可设存在 $N$ 使得：
        $
        forall m, n > N, forall x in E', abs(f_m (x) - f_n (x)) < epsilon
        $
        因此，有：
        $
        forall m, n > N, forall x in I, exists x' in E'\
           abs(x - x') < delta &=>  abs(f_m (x) - f_n (x)) \
          &< abs(f_m (x) - f_m (x')) + abs(f_m (x') - f_n (x')) + abs(f_n (x') - f_n (x)) < 3 epsilon
        $
      ]
      在引理中取 $E = QQ sect I$，它是 $I$ 的稠密子集，因此结论成立
    ]
    回到 @peano 的证明，这个方法是所谓的欧拉折线法
    #proof[
      微分方程可以转化为积分方程:
      $
      y(x) = y_0 + integral_(x_0)^(x) f(t, y(t)) dif t
      $
      只需证明它在 $[x_0, x_0 + h]$ 上有解，另一侧类似。\
      将其 $n$ 等分，设分点为 $x_0, x_1, ..., x_n$，按照以下定义分段线性函数：
      $
      (x_(i-1), y_(i-1)) 到 (x_i, y_i) "的斜率由" f(x_(i-1), y_(i-1)) "给出"
      $
      需要验证这些点落在 $DD$ 中，显有：
      $
      y_k - y_(k-1) = f(x_(k-1), y_(k-1)) (x_k - x_(k-1))
      $
      两边求和：
      $
      y_k - y_0 &= sum_(i = 1)^(k) f(x_(i-1), y_(i-1)) (x_i - x_(i-1))\
      abs(y_k -y_0) &<= sum_(i = 1)^(k) abs(f(x_(i-1), y_(i-1)) (x_i - x_(i-1))) \
      &<= max_DD abs(f) sum_(i = 1)^(k) (x_i - x_(i-1)) <= max_DD abs(f) abs(x_k - x_0) \
      &<= h max_DD abs(f) <= b
      $
      这也体现了 $h$ 为何如此定义\
      设得到的函数为 $g_n (x)$，验证它们：
      - 一致有界：显然
      - 等度连续：注意到所有 $g_n (x)$ 均满足：
        $
        abs(g_n (x) - g_n (y)) <= max_DD abs(f) abs(x - y)
        $
        因此也成立
      由引理，它有一致收敛子列。不妨设其收敛，只需证明极限函数 $g(x)$ 满足积分方程\
      事实上（注意到 $f$ 是有界闭集上的连续函数，进而一致连续，从而 $f(t, g_n (x))$ 也一致收敛）：
      $
      g(x) - integral_(x_0)^x f(t, g(t)) dif t = lim_(n->+infinity)  g_n (x) - integral_(x_0)^x f(t, g_n (t)) dif t
      $
      有：
      $
      g_n (x_0 + k/(n h)) &= sum_(i = 1)^(k) f(x_i, y_i) (x_i - x_(i-1))\
      integral_(x_0)^(x_0 + k/(n h)) f(t, g_n (t)) dif t = sum_(i = 1)^(k) integral_(x_(i-1))^(x_i) f(t, g_n (t)) dif t &= sum_(i = 1)^(k) f(xi_i, g_n (xi_i)) (x_i - x_(i-1))\
      g_n (x_0 + k/(n h)) - integral_(x_0)^(x_0 + k/(n h)) f(t, g_n (t)) dif t &= sum_(i = 1)^(k) (f(x_i, y_i) - f(xi_i, g_n (xi_i))) (x_i - x_(i-1))\
      &=sum_(i = 1)^(k) (f(x_i, g_n (x_i)) - f(xi_i, g_n (xi_i))) (x_i - x_(i-1))
      $
      任意 $epsilon > 0$ ，令 $delta, delta'$ 满足：
      - $abs(x-x') < delta, abs(y-y') < delta => abs(f(x, y) - f(x', y')) < epsilon$
      - $abs(x-x') < delta' => abs(g_n (x) - g_n (x')) < min(delta, epsilon), forall x, forall n$
      取 $N$ 充分大使得 $forall n > N$：
      - $1/(n h) < delta' => abs(g_n (x) - g_n (x_0 + k/(n h))) < epsilon, g_n (x_i) - g_n (xi_i) < delta$
      - $1/(n h) < delta => abs(x_i - xi_i) < delta$
      - $1/(n h) $
    

    ]
    #lemma[Gronwall][
      设 $f, g in C[a, b], g(x) >= 0$，则有：
      $
      f(x) <= C + integral_a^x f(t) g(t) dif t => f(x) <= C e^(integral_a^x g(t) dif t)
      $
    ]
    #proof[
      令 $Phi(x) = integral_a^x f(t) g(t) dif t$，则有：
      $
      Phi' <= (C + Phi)g(x)
      $
      设 $h = e^(integral_a^x g(s) dif s), Phi = u h$，有：
      $
      u' h + u h' <= (C + u h)g\
      u' h <= C g\
      u' <= C g/h\
      u(x) - u(a) <= C integral_a^x g(s)/h(s) dif s\
      (Phi(a) = 0 => u(a) = 0)\
      u(x) <= C integral_a^x g(s)/h(s) dif s = C integral_a^x g(s) e^(-integral_a^x g(s) dif s) dif s = C (1 - 1/h(x))\
      $
      从而：
      $
      f(x) <= C + Phi(x) = C + u h <= C h
      $
      证毕

    ]
    #corollary[][
      若在 Gronwall 不等式中，有 $C <= 0, f(x) >= 0$，则 $f(x) = 0$
    ]
    #theorem[][
      在@peano 中，若 $f$ 是 Lipschitz 连续的，则解是唯一的。更进一步，构造出的折线列 $g_n (x)$ 本身即一致收敛
    ]
    #proof[
      假设 $y = phi(x), y= psi(x)$ 是两个解，则：
      $
      abs(phi(x) - psi(x)) = abs(integral_(x_0)^x f(t, phi(t)) dif t - integral_(x_0)^x f(t, psi(t)) dif t) <= L abs(integral_(x_0)^x abs(phi(t) - psi(t)) dif t)
      $
      - 当 $x > x_0$ 时，上式即为：
        $
        abs(phi(x) - psi(x)) <= L integral_(x_0)^x abs(phi(t) - psi(t)) dif t
        $
        直接利用 Gronwall 不等式可得 $abs(phi(x) - psi(x)) <= 0 => abs(phi(x) - psi(x)) = 0$
      - 当 $x < x_0$ 时，类似可以证明结论成立
      综上，$phi(x) = psi(x)$
    ]
    事实上，在一维的情形下，我们可以找到更弱的条件
    #theorem[][
      设 $f$ 满足 Osgoad 条件，也即：
      $
      exists F: [0, +infinity] -> [0, +infinity)\
      integral_(0)^(t)  1/F(r) dif r = +infinity\
      abs(f(x, y) - f(x, z)) <= F(abs(y - z))
      $
      则上述方程的解存在且唯一
    ]
    #proof[
      设 $y_1, y_2$ 是两个不同的解，令 $r(x) = y_1 (x) - y_2(x)$\
      注意到 $r(x_0) = 0$，若 $r$ 不恒为零，不妨设 $x_1$ 是零点且 $r(x) > 0 ,forall x in (x_1, x_2]$\
      此时：
      $
      der(r, x) = y'_1 - y'_2 = f(x, y_1) - f(x, y_2) <= F(abs(y_1 - y_2)) = F(r(x))\
      => r'/F(r(x)) <= 1\
      => integral_(s)^(t) r'/F(r(x)) dif x <= t -s\
      => integral_(r(s))^(r(t)) 1/F(r) dif r <= t - s
      $
      令 $s -> x_1$，上式左侧趋于无穷，而右侧有限，矛盾！
    ]
    #theorem[][
      设 $f(x, y)$ 满足 $f(x, y)$ 关于 $y$ 单调下降，则解也存在并唯一
    ]
    #proof[
      设 $y_1, y_2$ 是两个不同的解，令 $r(x) = y_1 (x) - y_2(x)$\
      注意到 $r(x_0) = 0$，若 $r$ 不恒为零，不妨设 $x_1$ 是零点且 $r(x) > 0 ,forall x in (x_1, x_2]$\
      此时：
      $
      der(r, x) = y'_1 - y'_2 = f(x, y_1) - f(x, y_2) <= 0
      $
      而 $r(x_1) = 0$，上式表明 $r$ 单调下降，进而 $r(x) <= 0$，因此只能 $= 0$，矛盾！
    ]
    本节利用的欧拉折线不仅在理论上很重要，在数值计算上也广泛用于数值求解微分方程，理论依据就是本节的定理
  == Picard 定理
    Picard 定理表面上和 Peano 定理的结论类似但条件更强，但是它的方法非常重要，因此仍有必要专门学习
    #theorem[Picard][
      在 @peano 中，再补充 $f$ Lipschitz 连续，则方程的解存在
    ]
    #proof[
      仍然转化为积分方程:
      $
      y(x) = y_0 + integral_(x_0)^(x) f(t, y(t)) dif t
      $
      总体思想是所谓的不动点法，递归定义：
      - $phi_0 (x) = y_0$
      - $phi_n (x) = y_0 + integral_(x_0)^(x) f(t, phi_(n-1) (t)) dif t$

      + 首先验证定义合理，需要保证所有的值不超出区域。
        - $x$ 的合理性是显然的
        - 假设 $phi_(n - 1) subset overline(U(y_0, b))$，则：
          $
          abs(phi_n (y_1) - y_0) <= integral_(x_0)^(x) abs(f(t, phi_(n-1) (t))) dif t\
          <= max_DD abs(f) h <= b
          $
          这就验证了 $phi_(n) subset overline(U(y_0, b))$
      + 接下来证明它一致收敛
        - 首先归纳证明 $abs(phi_n (x) - phi_(n-1)(x)) <= (M L^(n-1))/(n!) abs(x -x_0)^n$
          $
          abs(phi_n (x) - phi_(n-1)(x)) = abs(integral_(x_0)^(x) f(t, phi_(n-1) (t)) - f(t, phi_(n-2) (t)) dif t)\
          <= integral_(x_0)^(x) abs(f(t, phi_(n-1) (t)) - f(t, phi_(n-2) (t))) dif t\
          <= integral_(x_0)^(x) L abs(phi_(n-1) (t) - phi_(n-2) (t)) dif t 
          $
          利用归纳条件计算即可
        - 其次：
          $
          (M L^(n-1))/(n!) abs(x -x_0)^n <= (M L^(n-1))/(n!) h^n
          $
          上式右侧只需利用比较判别法知求和收敛，从而容易利用维尔斯特拉斯判别法知道原级数 $sum (phi_n (x) - phi_(n-1)(x))$ 一致收敛
      + 最后我们得到了极限函数 $phi(x)$，显然应当满足：
        $
        phi(x) = y_0 + integral_(x_0)^(x) f(t, phi(t)) dif t
        $
        这就是原方程
    ]
    #remark[][
      这个定理的证明有以下优点：
      - 可以推广到抽象的函数空间，例如 Banach 空间
      - 假设 $f$ 是解析函数，则构造的 $phi_n$ 都是解析函数，进而可以证明 $phi$ 也是解析的
    ]
  == 解的延拓
    之前我们给出了至少在某个局部，标准形式的微分方程是有解的。然而我们往往需要在更大的定义域上找到解
    #theorem[][
      设 $G$ 是开区域，$f(x, y)$ 在 $G$ 上连续，$(x_0, y_0) in G$\
      对含 $(x_0, y_0)$ 的任意有界闭区域 $G_1 subset G$，过 $(x_0, y_0)$ 点的微分方程的解 $y=f(x)$ 都可以延拓到 $G_1$ 的边界上
    ]
    #proof[
      由题设，$G_1$ 中的点到 $G$ 的边界的距离有正下界 $d$\
      因此可以找到闭集：
      $
      G_2 = {(x, y) | abs(x - x') <= delta, abs(y - y') <= delta, exists (x, y) in G_1} subset G
      $
      再令：
      $
      M = max_(f in G_2) abs(f) +1\
      delta'_0 = delta_0 / M
      $
      利用之前的存在性定理，可以找到 $U(x_0, delta'_0)$ 内的解。再次利用存在性定理可以继续前进，且步长为 $delta'_0$ 不变，因此经过有限步之后，我们就得到了直到 $G_1$ 的边界上的解
    ]
    #example[][
      - 
        设微分方程 $der(y, x) = x^2 + y^2$ 容易验证过任何一点的解存在且唯一。然而，可以证明任何一个解都只在有界区间上成立

        事实上，任取 $y(x)$ 在区间 $I$ 上是方程的一个解，假设 $I$ 无界，不妨取为 $[0, +infinity]$，则：
        $
        y' = x^2 + y^2 >= 1 + y^2\
        y'/(1+y^2) >= 1\
        integral_(1)^(t)  y'/(1+y^2) dif x >= x - 1\
        integral_(1)^(y(t))  1/(1+y^2) dif y >= x - 1\
        $
        然而令 $t -> +infinity$，上式左侧有界而右侧无界，矛盾！

        这不与解的延拓定理矛盾，容易想到它在 $x$ 方向有垂直渐近线，而在 $y$ 方向可以进行无限延伸
      - 给定微分方程：
        $
        der(y, x) = (x^2 + y^2 +1) sin (pi y)
        $
        可以验证它也满足存在唯一的条件，并且
        - $y = k, k in ZZ$ 当然是一个解
        - 对于其他的解，显然必须夹在上下两个水平直线之间（否则若相交，则交点处解将不唯一），因此在 $x$ 方向必将可以无限延伸
      - 给定微分方程：
        $
        der(y, x) = (y-3)(y+1) e^(x+y)^2
        $
        容易验证满足存在唯一的条件
        - 显然 $y = 3, -1$ 是两个解
        - 若 $y_0 in [-1, 3]$，过该点的解同样与 $y = 3, -1$ 不相交，进而导数总为负数，单调下降，因此在 $-infinity, +infinity$ 方向都有极限。观察等式可知极限只能分别为 $3, -1$
        - 若 $y_0 in [3, +infinity]$ ，负向仍然有水平渐近线，而正向类似刚才的将会存在垂直渐近线
      这些例子都说明，只要延拓定理的条件成立，最终得到的解一定在某个方向上无界
    ]
  == 比较定理
    给定两个微分方程，我们希望从形式看出解的大小关系，由如下定理：
    #theorem[第一比较定理][
      设 $f, F$ 都连续，且 $f < F$，两个微分方程：
      $
      cases(
        der(y, x) = f(x, y),
        y(x_0) = y_0
      )\
      cases(
        der(Y, X) = F(X, Y),
        Y(X_0) = Y_0
      )
      $
      在区间 $I$ 上各有解 $y, Y$，则有：
      $
      y < Y, forall x > x_0\
      y > Y, forall x < x_0
      $
    ]
    #proof[
      显然 $Y'(x_0) = F(x_0, y_0) > y'(x_0)$，而 $Y(x_0) = y(x_0)$，因此可取 $delta$ 使得：
      $
      forall x in (x_0, x_0 + delta), Y(x) > y(x)\
      forall x in (x_0 - delta, x_0), Y(x) < y(x)
      $
      设 $S = {x in I | Y(x) = y(x) }$，仿照之前的过程可以看出 $S$ 中每个点都孤立，然而任取 $x_1 > x_2 in S$，设 $g(x) = Y(x) - y(x)$，既然：
        $
        g(x_1) = g(x_2) = 0
        $
        且 $g$ 在 $x_2$ 右侧严格单增，在 $x_1$ 左侧严格单减，因此其间一定有 $S$ 中的点。反复进行，这将与 $S$ 中每个点都孤立矛盾\
        这意味着 $S$ 中恰有一点，只能是 $x_0$，故结论当然成立
    ]
    #corollary[][
      设 $f in C(a, b), abs(f) <= A(x) abs(y) + B(x), forall x in (a, b)$，则微分方程：
      $
      cases(
        der(y, x) = f(x, y),
        y(x_0) = y_0
      )
      $
      所有的解都可以延拓到 $(a, b)$
    ]
    #proof[
      #lemma[][
        两个微分方程：
        $
        der(y, x) = A(x) abs(y) + B(x)\
        der(y, x) = - A(x) abs(y) - B(x)
        $
        过任意点的解存在唯一，且解的存在区间都是 $(a, b)$ 
      ]<linear_all_range>
      #proof[
        存在唯一性是容易的。对于存在区间，只证明第一个方程\
        显然它的解单调递增，若解的存在区间不是 $(a, b)$ ，则必然在某点 $x_0 in (a, b)$ 处的左/右极限为 $+\/minus infinity$，不妨设为左极限为正无穷\
        这意味着存在 $delta, (x_0 - delta, delta)$ 上时有：
        $
        der(y, x) = A(x) abs(y) + B(x) = A(x) y + B(x) < M_1 y + M_2
        $
        但稍加计算可得 $der(y, x) = M_1 y + M_2$ 的解不可能在有界区间内趋于无穷，进而该方程的解由比较定理被控制在有界区间，矛盾！
      ]
      回到原题，显然有：
      $
      -(A(x) abs(y) + B(x) + 1)<= der(y, x) = f < A(x) abs(y) + B(x) + 1
      $
      由比较定理，每个有限区间上的解当然被控制在有界区间，证毕

    ]
    #definition[][
      给定微分方程
      $
      cases(
        der(y, x) = f(x, y),
        y(x_0) = y_0
      )
      $
      称其解 $f, g$ 为最大解，最小解，若任取 $y$ 为一个解，都有：
      $
      g <= y <= f
      $
    ]
    #theorem[][
      设 $D = {abs(x-x_0) < delta_x, abs(y - y_0) < delta_y}$，则存在 $tau > 0$ 使得方程
      $
      cases(
        der(y, x) = f(x, y),
        y(x_0) = y_0
      )
      $
      在 $x in [x_0 , x_0 + tau]$ 上有最大/最小解
    ]
    #proof[
      设 $y_n$ 是微分方程：
      $
      cases(
        der(y, x) = f(x, y) + 1/n,
        y(x_0) = y_0
      )
      $
      由 @peano，每个方程的解都在：
      $
      [x_0 - h_n, x_0 + h_n] "where"
      h_n = min{delta_x, delta_y/(max_DD abs(f_n))}
      $
      存在，显然 $h_n$ 有公共正下界，取 $tau$ 是一个正下界，则这些方程都在 $[x_0 - tau, x_0 + tau]$ 上有界\
      // 我们希望找到一些一致收敛性。事实上，这些函数：
      // - 等度连续，既然：
      //   $
      //   y'_n (x) <= max_DD abs(f) + 1.n <= max_DD abs(f) + 1
      //   $
      // - 一致有界，既然导数有一致界且都定义在有限区间上
      事实上，这些解一致收敛。这是因为若设 $forall n, m > N, phi(x) = y_n (x) - y_m (x) $，则：
      $
      abs(der(phi, x)) = abs(1/n - 1/m) < 1/N\
      abs(phi(x) - phi(0)) = abs(integral_(x_0)^(x) der(y, x) dif s) <= integral_(x_0)^(x) abs(der(y, x)) dif s <= (x - x_0)/N <= tau/N 
      $
      柯西原理给出了一致收敛性，因此我们可以取极限，而转化为积分方程，它们的极限就是原方程的解，而容易验证这个解一定是原方程的最大解
    ]
    #remark[][
      我们当然可以将两端的最大解拼接，得到双边的最大解
    ]
    #theorem[][
      设 $f, g$ 是微分方程：
      $
      cases(
        der(y, x) = f(x, y) ,
        y(x_0) = y_0
      )
      $
      在 $I$ 上的最大/最小解，则任取 $x_1 in I, y_1 in [g(x_1), f(x_1)]$，存在方程的解 $h$ 使得 $h(x_1) = y_1$
    ]
    #proof[
      #lemmaLinear[][
        设 $g_1, g_2$ 在区间 $I$ 上均满足 $g'_i (x) = f(x, g_i (x))$，则 $max(g_1, g_2), min(g_1, g_2)$ 也满足
      ]
      #proof[
        只证 $max$，$min$ 类似\
        设 $h = max(g_1, g_2)$，验证上面的等式只需逐点验证即可：
        - 任取 $x in I$，讨论：
          - 若 $g_1(x) > g_2(x)$，则有 $g_1, g_2$ 连续性知存在 $x$ 的开邻域 $B$ 使得：
            $
            h|_B = g_1
            $
            此时由于 $g_1$ 在该点是微分方程的解，$h$ 当然也是
          - 若 $g_1(x) < g_2(x)$，同理
          - 若 $g_1(x) = g_2(x)$，注意到：
            $
            g'_1(x) = f(x, g_1(x)) = f(x, g_2(x)) = g'_2(x) := d
            $
            因此：
            $
            abs((h(x + Delta x) - h(x))/(Delta x) - d) &<= abs((h(x + Delta x) - g_1 (x + Delta x))/(Delta x)) + abs((g_1 (x + Delta x) - g_1 (x))/(Delta x) - g'_1 (x))\
            &<= abs((g_2(x + Delta x) - g_1 (x + Delta x))/(Delta x)) + abs((g_1 (x + Delta x) - g_1 (x))/(Delta x) - g'_1 (x))\
            &<= abs(((g_2(x + Delta x) - g_1 (x + Delta x)) - (g_2 (x) - g_1 (x)))/(Delta x)) + abs((g_1 (x + Delta x) - g_1 (x))/(Delta x) - g'_1 (x))\
            &<= abs(g'_2 (xi) - g'_1 (xi)) + abs((g_1 (x + Delta x) - g_1 (x))/(Delta x) - g'_1 (x))\
            &"（对" g_2(x) - g_1(x) 在 x, x + Delta x "上利用微分中值定理）"
            $
            其中 $xi$ 在 $x, x + Delta x$ 之间。注意到由微分方程，$g_1, g_2$ 当然连续可导，进而当 $Delta x -> 0$ 时上式 $-> 0$，这就保证了：
            $
            h'(x) = d = f(x, h(x))
            $
            也即 $h$ 在该点满足微分方程
          得证   
        ]
        考虑微分方程：
        $
        cases(
          y' = f(x, y) ,
          y(x_1) = y_1
        )
        $
        它在 $x_1$ 的某个邻域内有解 $h$，又可不妨设 $h$ 在 $I$ 内某个极大的区间 $I_1$（也即所有可延拓闭区间的并）上是原方程的解，并设：
        $
        h_1 = max(min(h, Z), W), x in I_1
        $
        将满足 $h'_1 (x) = f(x, h_1 (x))$，同时也不难验证 $h_1(x_1) = y_1$，因此是过该点的微分方程的解\
        另一方面，显然有：
        $
        max(min(h, Z), W) >= W\
        max(min(h, Z), W) <= max(Z, W) = Z
        $
        因此 $h_1$ 是区间上有界的微分方程的解
        从而：
        - 若 $x_0 in I_1$，由上面的条件和引理知 $h_1$ 就是要找的解
        - 否则，设 $I_1$ 闭包中距 $x_0$ 最近的点为 $x_2$，注意到 $h_1$ 在 $I_1$ 上有界，因此由延拓定理要么意味着存在 $x'$ 使得 $abs(h_1(x') - y_0) = b$，要么 $h_1$ 一定可以至少延拓到 $x_2 := x'$，然而已经假设 $h$ 不能再延拓，因此该点附近一定取 $Z$ 或 $W$ ，无论如何一定有：
          $
          exists x', h_1(x') = Z(x') 或 W(x')
          $
          无论何者，都意味着 $h_1$ 可以与 $Z$ 或 $W$ 的其中之一拼接起来，这就是所要找的解。
    ]
    #corollary[][
      若微分方程的单侧的最大解，最小解均存在且不相等，则该侧微分方程有无穷多解，这无穷多解被控制在最大/最小解之间
    ]
    #example[][
      -  微分方程：
        $
        cases(
          der(y, x) = y^(1/3),
          y(0) = 0
        )
        $
        通解为：
        $
        y = cases(
          0 quad x <= -C\
          plus.minus (2/3 x + C)^(3/2) quad x > C
        )
        $
        在 $0$ 右侧的最大解为 $y = (2/3 x)^(3/2)$，最小解为 $y = -(2/3 x)^(3/2)$
      - 微分方程：
        $
        cases(
          der(y, x) = abs(y)^(1/2),
          y(0) = 0
        )
        $
        通解为：
        $
        y = cases(
          1/4(C_1 - x)^2 quad x <= C_1,
          0 quad C_1 <= x <= C_2,
          1/4(x - C_2)^2 quad x >= C_2
        )
        $
    ]
    #theorem[第二比较定理][
      设 $f, F$ 都连续，且 $f <= F$，两个微分方程：
      $
      cases(
        der(y, x) = f(x, y),
        y(x_0) = y_0
      )\
      cases(
        der(Y, X) = F(X, Y),
        Y(X_0) = Y_0
      )
      $
      则：
      - 在初值右侧，前者的最小解小于等于后者的任意解;在初值左侧，前者的最大解大于等于后者的任意解
      - 在初值右侧，后者的最大解大于等于前者的任意解;在初值左侧，后者的最小解小于等于前者的任意解
    ]
    #proof[
      仿照上面的逼近过程再使用第一比较定理即可
    ]
  == 奇解
    #definition[奇解][
      设 $Gamma = {(x, y) | y = f(x)}$ 是微分方程 $F(x, y') = 0$ 的一个解，若对任意的 $(x_, y) in Gamma$，在该点的任何一个邻域里存在过 $(x_0, y_0)$ 的不同于 $Gamma$ 的解，且该解与 $Gamma$ 在该点相切，则称 $Gamma$ 是奇解
    ]
    #example[][
      - $y = x y' - 1/2 y'^2$，它的解为：
        $
        y = 1/2 x^2\
        y = c x - c^2/2
        $
        注意到下面的直线族恰好是上面抛物线的所有切线，因此抛物线当然就是一个奇解
      - $y^2 + y'^2 = 1$\
        令 $y = cos theta, y' = sin theta, x = u(theta)$，有：
        $
        (-sin theta)/(u') = sin theta\
        sin theta = 0 或 u' = -1
        $
        因此解为：
        $
        y' = 0 => y = plus.minus 1\
        u' = -1 => x = -theta + C => y = cos(x - C)
        $
        可以看出 $y = plus.minus 1$ 是奇解
    ]
    #theorem[奇解的必要条件][
      设 $G subset RR^3, F(x, y, y') in C^0, partialDer(F, y), partialDer(F, y')$ 存在且连续。假设 $y = phi(x)$ 是奇解，则：
      $
      cases(
        F(x, phi(x), phi'(x)) = 0,
        partialDer(F, y') (x, phi(x), phi'(x)) = 0
      )
      $
    ]
    #proof[
      第一个式子是显然的。对于第二个式子，假设存在 $x_0$ 使得 $partialDer(F, y) (x_0, phi(x_0), phi'(x_0)) != 0$，设 $(x_0, y_0, P_0) = (x_0, phi(x_0), phi'(x_0))$，在该点对 $F$ 利用隐函数定理，存在某个开邻域使得：
      $
      F(x, y, P) = 0 <=> P = f(x, y)
      $
      且 $f$ 是连续函数且关于 $y$ 连续可导，将在 $(x_0, y_0)$ 的某个邻域内 Lipschitz 连续，可以利用解的存在唯一性定理可知该邻域内微分方程的解存在唯一，与 $phi$ 是奇解显然矛盾
    ]
    上面的定理给出了奇解的一个必要条件。这里有两个等式，若可以化简直到可解出 $y$，便可能求出原方程的奇解。更进一步，若能消去 $y'$ 得到：
    $
    Delta (x, y) =  0
    $
    则奇解就在该曲线之中，这条曲线被称为判别曲线
    #example[][
      -
        $
        y = P x ln x + (x p)^2 - y\
        $ 
        可以解得判别曲线为
        $y = -1/4 (ln x)^2$，容易验证它是一个解，稍后会判断它是否是奇解
      - $y'^2 + y - x = 0$\
        可以解得判别曲线为 $y = x$，但不是原方程的解，因此原方程没有奇解
      - $y'^2 - y'^2 = 0$，它的判别曲线是 $y = 0$ 是解，然而容易看出它的所有解是:
        $
        y = C e^(plus.minus x)
        $
        以及它们可能的拼接，然而仅有 $y = 0$ 唯一一个解可能经过 $x$ 轴，因此过 $(x_0, 0)$ 的解都是存在且唯一的
    ]
    #theorem[奇解的充分条件][
      设 $F(x, y, y') in C^infinity$，假设：
      $
      cases(
        F(x, phi(x), phi'(x)) = 0,
        partialDer(F, y') (x, phi(x), phi'(x)) = 0
      ) <=> y = psi(x)
      $
      （事实上，也就是 $Delta(x, y)$ 是原方程的解）\
      若：
      $
      cases(
        (diff^(k+l) F)/(diff y^k diff p^l) (x, psi(x), psi'(x)) = 0\, forall 0 <=k <= m-1\, 0 <= l <= n-1,
        (diff^m F)/(diff y^m) (x, psi(x), psi'(x)) != 0,
        (diff^n F)/(diff p^n) (x, psi(x), psi'(x)) != 0
      )
      $
      其中 $n, m in NN, n > m$。如果：
      - $m, n$ 之一为奇数，或
      - $m, n$ 均为偶数，且 $(diff^m F)/(diff y^m) (diff^n F)/(diff p^n) < 0$
      则 $psi$ 是奇解
    ]
    #proof[
      #lemma[][
        设 $f(x, y) : C^infinity (RR^n times RR -> RR)$，设：
        $
        f(x, y) = sum_(k=0)^n f_k (x) y^k + R_(n+1) (x, y) y^n
        $
        是关于 $y$ 的泰勒展开，则 $R_n (x)$ 也是 $C^infinity$
      ]
      #proof[
        利用积分余项：
        $
        f(x, y) - sum_(k=0)^n f_k (x) y^k = y^n/n! integral_0^1 (1-t)^n (diff^n f(x, y t))/(diff t^n)   dif t
        $
        容易看出结论成立
      ]
      #lemma[][
        考虑微分方程 $u' = plus.minus A(x, u) abs(u)^alpha, 0< alpha <1 $ 其中有：
        - $A$ 连续且在 $u !=0$ 时连续可导
        - $A$ 有正下界 $c_0$，正上界 $c_1$
        则 $u = 0$ 是奇解
      ]<lemma0_is_odd>
      #proof[
        不妨设符号取正，此时方程的解当然递增。\
        我们的目标是在 $x_0$ 处构造一个原方程的非平凡解。先考虑右侧，注意到：
        $
        u' = A(x, u)u^alpha\
        u^(-alpha) u' = A(x, u)\
        $
        设 $v = u^(1 - alpha), v' = (1-alpha) u^(-alpha) u'$，则：
        $
        1/(1-alpha) v' = A(x, v^(1/(1-alpha)))
        $
      ]
      回到原方程，做换元 $y = psi(x) + u$，方程变成：
      $
      H(x, u, u') = F(x, psi(x) + u, psi'(x) + u')  = 0
      $
      只需证明 $u = 0$ 是奇解即可。事实上，$H$ 满足如下条件：
      $
      cases(
        (diff^(k+l) F)/(diff y^k diff p^l) (x, 0, 0) = 0\, forall 0 <=k <= m-1\, 0 <= l <= n-1,
        (diff^m F)/(diff y^m) (x, 0, 0) != 0,
        (diff^n F)/(diff p^n) (x, 0, 0) != 0
      )
      $
      可以想象，$H$ 泰勒展开后的形式非常简单。事实上，有：
      $
      H(x, u, u') = u^m H_1 (x, u, u') + u'^n H_2 (x, u, u')
      $
      其中 $H_1, H_2$ 都无穷阶可导，且：
      $
      H_1 (x, 0, 0) = (diff^m F)/(diff y^m) (x, psi(x), psi'(x)) != 0\
      H_2 (x, 0, 0) = (diff^n F)/(diff p^n) (x, psi(x), psi'(x)) != 0
      $
      因此可以（在某个小邻域内）不妨设 $H_1, H_2 !=0 $，方程化为：
      $
      u^m H_1 (x, u, u') + u'^n H_2 (x, u, u') = 0
      $
      我们当然希望进行开方，可以验证在假设的条件下（即 $m, n$ 之一为奇数，或 $m, n$ 均为偶数，且 $(diff^m F)/(diff y^m) (diff^n F)/(diff p^n) < 0$），我们将确实可以开方，对开方后的函数利用 @lemma0_is_odd 即可
    ]
    #corollary[][
      设 $F(x, y, y') in C^2$，且：
      $
      cases(
        F(x, phi(x), phi'(x)) = 0,
        partialDer(F, y') (x, phi(x), phi'(x)) = 0
      ) <=> y = psi(x)
      $
      若：
      $
      (diff^2 F)/(diff p^2) (x, psi(x), psi'(x)) != 0\
      partialDer(F, y) (x, phi(x), phi'(x)) != 0
      $
      则 $psi$ 是奇解
    ]
    #proof[
      就是在上面的定理中取 $n = 2, m = 1$ 的结果，至于条件可以放松的原因可以在上面的证明过程中仔细验证
    ]
  == 包络
    #definition[包络][
      设 $k_c, c in C$ 是光滑曲线族，称光滑曲线 $gamma$ 为 $k_c$ 的包络，如果 $forall (x, y) in gamma, exists k_c$ 使得 $k_c$ 与 $gamma$ 相切，且在该点的任意开邻域内 $k_c != gamma$
    ]
    #example[][
      - 给定一族曲线 $y = (x-c)^2 + 1$，当然 $y = 1$ 是其一个包络
      - 给定一族直线 $y = c x - c^2 / 4$，它就是 $y = x^2$ 的切线族，自然 $y = x^2$ 是包络
    ]
    #theorem[][
      假设 $F(x, y, y') = 0$ 有通解 $u(x, y, c) = 0$，假设 $partialDer(u, y) != 0$。设 $u(x, y, c) = 0$ 关于 $c$ 构成的曲线族有包络 $gamma := y = phi(x)$，则 $y = phi(x)$ 是奇解
    ]
    #proof[
       - 首先证明 $gamma$ 是解。当然 $gamma$ 上每点都可以找到解 $u(x, y, c_0) = 0$ 与之在该点相切。由假设条件和隐函数定理，可以反解出：
        $
        u(x, y, c_0) = 0<=> y = psi(x)
        $
        当然 $phi(x)$ 与 $psi(x)$ 相切但不相同，这表明该点处 $gamma$ 的函数值和导数值满足微分方程，因此 $gamma$ 是解
       - 其次，过 $gamma$ 每点都可以找到与之相切的不同解，这就表明它是奇解
    ]
    #theorem[][
      假设 $Gamma$ 是曲线族 $k_c: v(x, y, c) = 0$ 的包络，并且 $Gamma$ 与 $k_C$ 切于 $(f(c), g(c))$，其中 $f, g in C^1$，则 $Gamma$ 满足方程：
      $
      cases(
        v(x, y, c) = 0,
        v'_c (x, y, c) = 0
      )
      $
      如果这个方程组中能消去 $c$，则称消去后的曲线为 $C$ 判别曲线
    ]
    #proof[
      任取 $(x_0, y_0) in Gamma sect k_c$，则首先第一个方程当然成立\
      在 $v(f(c), g(c), c) = 0$ 中，两边对 $c$ 求导得：
      $
      v'_x (f(c), g(c), c) f'(c) + v'_y (f(c), g(c), c) g'(c) + v'_c (f(c), g(c), c) = 0
      $
      只需证明 $vec(v'_x (f(c), g(c), c), v'_y (f(c), g(c), c) ) dot vec(f'(c), g'(c)) = 0$，不妨设他们都不为零\
      然而注意到 $vec(f(c), g(c))$ 事实上是 $Gamma$ 在局部上的一个参数方程，$vec(f'(c), g'(c))$ 将成为 $Gamma$ 的切向量。\
      同时，$vec(v'_x (f(c), g(c), c), v'_y (f(c), g(c), c) )$ 事实上是 $v(x, y, c) = 0$ 在 $(f(c), g(c))$ 处的法向量，由于 $Gamma$ 是包络当然两者正交
    ]
    #theorem[][
       假设 曲线族 $k_c: v(x, y, c) = 0$ 的 $C$ 判别曲线确定了一条 $C^1$ 曲线 $x = x(c), y = y(c)$，且满足非退化条件：
       $
       (x'(c), y'(c)) != (0, 0)\
       (partialDer(v,y)(x(c), y(c), c), partialDer(v,x)(x(c), y(c), c)) != (0, 0)
       $
       并且该曲线在曲线上任意一点的局部都不在原曲线族中，则它是包络
    ]
    #proof[
      任取 $c$，在 $P(c) = (x(c), y(c))$ 的局部都可以利用隐函数定理反解出 $v(x, y, c) = 0$ 的解，可以验证这个解与 $Gamma$ 在该点相切，因此是包络
    ]
    #example[][
      求一条曲线，满足其任意一点的切线两个截距的倒数平方和为 $1$

      事实上，容易想到满足这个条件的曲线一定是一族直线的包络，这族直线满足截距的倒数平方和为 $1$，进而形如
      $
      a x plus.minus sqrt(1 - a^2) y = 1
      $
      只需找到：
      $
      v(x, y, c) = c x plus.minus sqrt(1 - c^2) y - 1 = 0
      $
      的包络，计算：
      $
      partialDer(v, x) = c\
      partialDer(v, y) = plus.minus sqrt(1 - c^2)\
      partialDer(v, c) = x minus.plus y c/sqrt(1 - c^2)
      $
      计算其 $c$ 判别式，发现就是单位圆 $x^2 + y^2 = 1$\
      当然，单位圆和满足要求的直线的任意光滑拼接都满足要求
    ]
= 解对参数和初值的依赖性
  == $n$ 维欧式空间的微分方程
    首先，叙述高维的常用定理，设 $R: abs(x - x_0) <= a, norm(y - y_0) <= b$
    #theorem[Picard][
      设 $f in C(R, RR^n), abs(f(x, y) - f(x, z)) <= L norm(y - z)$，则微分方程：
      $
      cases(
        der(y, x) = f(x, y),
        y(x_0) = y_0
      )
      $
      在 $[x_0 - h, x_0 + h]$ 上有唯一解，其中 $h = min{a, b/(max_R norm(f))}$
    ]
    #theorem[Peano][
      设 $f in C(R, RR^n)$，则微分方程：
      $
      cases(
        der(y, x) = f(x, y),
        y(x_0) = y_0
      )
      $
      在 $[x_0 - h, x_0 + h]$ 上有解，其中 $h = min{a, b/(max_R norm(f))}$
    ]
    #definition[$n$ 维线性方程组][
      设微分方程组：
      $
      cases(
        der(y, x) = A(x) y + B(x),
        y(x_0) = y_0
      )
      $
      满足 $A, B$ 都在 $(a, b)$ 上是连续函数，则称其为 $n$ 维线性方程组
    ]
    #proposition[][
      对于任意初值，$n$ 维线性方程组的解在 $(a, b)$ 内存在唯一
    ]
  == 解对初值和参数的依赖性
    微分方程的初值当然依赖于初值。出于多种考虑，我们当然希望这种依赖有某种连续性，这就是本章的核心内容。
    #example[][
      考虑微分方程：
      $
      y' = y^(1/3),
      y(0) = epsilon(epsilon < 0)
      $
      的最大解为：
      $
      cases(
        -(2/3 x + epsilon^(2/3))^(3/2) quad x >= 0,
        0 quad x < 0
      )
      $
      然而令 $epsilon -> 0$，它与 $0$ 处的最大解相去甚远
    ]
    这个例子表明最大/最小解的连续依赖性往往并不成立，我们往往只研究微分方程解唯一时的初值依赖性\
    此外，我们说明初值依赖性与参数依赖性之间是一致的。事实上，给定参数方程：
    $
    cases(
      y' = f(x, y, lambda),
      y(x_0) = y_0(lambda)
    )
    $
    令 $Y = vec(y, lambda)$，它等价于：
    $
    cases(
      Y' = vec(f, 0),
      Y(x_0) = vec(y_0(lambda), lambda)
    )
    $
    反过来，也可以通过平移将初值吸收进参数
    #theorem[连续依赖性][
      给定一族微分方程：
      $
      cases(
        y' = f(x, y),
        y(x_0) = y_0
      )
      $<ori-equation>
      （其中 $f$ 连续）的解存在唯一，并设其解的存在区间为闭区间 $I$ \
      设 $phi(x, xi, eta)$ 满足：
      $
      cases(
        partialDer(phi, x) = f(x, phi(x, xi, eta)),
        y(xi) = eta
      )
      $
      则：
      $
      lim_((s, xi, eta) ->(x, x_0, y_0)) phi(s, xi, eta) = phi(x, x_0, y_0), forall x in I
      $
    ]
    #proof[
      用反证法。如若不然，则则存在点列使得：
      $
      (s_n, xi_n, eta_n) -> (x, x_0, y_0)\
      d(phi(s_n, xi_n, eta_n), phi(x, x_0, y_0)) > epsilon
      $
      注意到有积分方程：
      $
      phi(x, xi_n, eta_n) = eta_n + integral_(xi_0)^(x) f(s, phi(s, xi_n, eta_n)) dif s
      $
      因此这族关于 $x$ 的函数等度收敛一致有界，不妨就假设一致收敛到 $psi(x)$，两边取极限将有：
      $
      lim_(n -> infinity) phi(x, xi_n, eta_n) = y_0 + integral_(x_0)^(x) f(s, lim_(n -> infinity) phi(x, xi_n, eta_n)) dif s
      $
      （还要利用 $f$ 一致连续/有界）\
      表明 $lim_(n -> infinity) phi(x, xi_n, eta_n)$ 就是@ori-equation 的唯一一个解 $phi(x, x_0, y_0)$，与假设矛盾！
    ]
    #corollary[][
      给定一族微分方程：
      $
      cases(
        y' = f(x, y, lambda),
        y(x_0) = y_0
      )
      $
      对于任意 $x_0, y_0, lambda$ 的解都存在唯一，则设 $phi(x, x_0, y_0, lambda)$ 是上述方程的解，它将是连续函数
    ]
    #theorem[光滑依赖性][
      $
      cases(
        y' = f(x, y, lambda),
        y(x_0) = y_0
      )
      $
      其中 $f$ 连续，对 $y, lambda$ 是 $C^1$ 的，且对于任意 $x_0, y_0, lambda$ 的解都存在唯一，则设 $phi(x, x_0, y_0, lambda)$ 是上述方程的解，它将是 $C^1$ 的
    ]
    #proof[
      由定义，$phi$ 关于 $x space C^1$ 是显然的。对于 $y, lambda$，前面叙述了 $lambda, y_0$ 互相转换，只需证明关于 $lambda$ 连续可导就好，进一步，不妨假设方程就是：
      $
      cases(
        y' = f(x, y, lambda),
        y(0) = 0
      )
      $
      为了证明结论，构造 Picard 序列：
      $
      phi_0 = 0\
      phi_(n) (x) = integral_(0)^(x) f(s, phi_(n-1), lambda) dif s
      $
      由于这里关于 $y$ 已经 $C^1$，Lipschitz 条件当然成立，因此它一致收敛到原方程的解。同时，容易归纳得到 $phi_n$ 关于 $lambda$ 都是 $C^1$ 的，计算导数：
      $
      partialDer(phi_n (x), lambda) = integral_(0)^(x) partialDer(f, y) (s, phi_(n-1), lambda) partialDer(phi_(n-1), lambda) + partialDer(f, lambda) (s, phi_(n-1), lambda) dif s
      $
      这里如果 $lambda, y$ 是高维的，无非采用梯度/向量导数即可。\
      由分析学结论，只需证明上面的序列一致收敛。不妨设：
      $
      norm(partialDer(f, y)), norm(partialDer(f, lambda)) <= M
      $  
      将有：
      $
      norm(partialDer(phi_1 (x), lambda)) <=  integral_(0)^(x) norm(partialDer(f, lambda) (s, phi_(n-1), lambda)) dif s <= alpha norm(x)\
      norm(partialDer(phi_2 (x), lambda)) <= integral_(0)^(x) alpha^2 norm(x) + alpha dif s <= alpha^2 norm(x)^2/2 + alpha norm(x)\
      $
      可以归纳证明它一致有界\
      设：
      $
      V_(k, n) = norm(partialDer(phi_(k+n) (x), lambda) - partialDer(phi_(k) (x), lambda))
      $
      将有：
      $
      V_(k+1, n) = norm(integral_(0)^(x) (partialDer(f, lambda) (s, phi_(k+n), lambda)  - partialDer(f, lambda) (s, phi_(k+1), lambda)) \
      + (partialDer(f, y) (s, phi_(k+n), lambda)partialDer(phi_(k+n), lambda) - partialDer(f, y) (s, phi_(k+1), lambda)partialDer(phi_(k+1), lambda) )dif s)\
      <=  integral_(0)^(x_0) norm(partialDer(f, y) (s, phi, lambda)) v_(k, k+1) dif s\
      + d_(k, n) 
      $
      其中 $d_(k, n)$ 在 $k$ 充分大时一致收敛于零，因此 $exists E_n$ 单调下降使得 $d_(k, n) <= E_n$，原式化为：
      $
      V_(k+1, n) <= alpha integral_(0)^(x_0) V_(k, k+1) dif s + E_n
      $
      归纳计算将可得到 $V_(k, n)$ 关于 $k$ 一致收敛于零，由柯西法则知结论成立

      最后，我们还要考察关于 $x_0$ 的偏导数。这里我们无法直接吸收，因为我们没有假设 $f$ 关于 $x$ 可求偏导，这里 $lambda,y_0$ 无关紧要，不妨设方程为：
      $
      cases(
        y' = f(x, y),
        y(x_0) = 0
      )
      $
      仍然构造 Picard 序列：
      $
      phi_0 = 0\
      phi_(n) (x) = integral_(x_0)^(x) f(s, phi_(n-1)) dif s
      $
      类似的，计算：
      $
      partialDer(phi_n, x_0) = -f(x_0, phi_(n-1)) + integral_(x_0)^(x) partialDer(f, y) partialDer(phi_(n-1), x_0) dif s
      $
      接下来的计算是完全类似的
    ]
    #remark[][
      这里我们不对关于 $x$ 的光滑性有很高要求，当然是因为微分方程的解相当于 $x$ 的积分，当然会提高光滑性。
    ]
    #corollary[][
      $
      cases(
        y' = f(x, y, lambda),
        y(x_0) = y_0
      )
      $
      其中 $f$ 连续，对 $y, lambda$ 是 $C^k$ 的（$k$ 可能为无穷），且对于任意 $x_0, y_0, lambda$ 的解都存在唯一，则设 $phi(x, x_0, y_0, lambda)$ 是上述方程的解，它将是关于 $y_0, lambda$ 是 $C^k$ 的，关于 $x, x_0$ 是 $C^1$ 的
    ]
    #proof[
      $C^1$ 刚刚已经证明，同时也可以将 $y_0$ 吸收，化为：
      $
      cases(
        y' = f(x, y, lambda),
        y(0) = 0
      )
      $
      化为积分方程：
      $
      y = integral_(0)^(x) f(s, y, lambda) dif s
      $
      可以直接求导：
      $
      partialDer(y, lambda) = integral_(0)^(x) partialDer(f, y) (s, y, lambda) partialDer(y, lambda) + partialDer(f, lambda) (s, y, lambda) dif s
      $
      设 $p = partialDer(y, lambda)$，将有：
      $
      p' = partialDer(f, y) (x, y, lambda) p + partialDer(f, lambda) (x, y, lambda)
      $
      这是关于 $p$ 的线性微分方程，而右侧关于 $lambda$ 是 $C^(k-1)$，关于 $y$ 是 $C^infinity$ 的，不断利用定理即可
    ]
    #remark[][
      上面的定理换成关于 $y, lambda$ 解析也对，既然 Picard 序列中每一项的解析，而解析函数的一致收敛极限也是解析的
    ]
    #corollary[][
      在上面的定理中将条件换成 $f$ 对所有参数都 $C^k$，则 $phi$ 就是 $C^k$ 的
    ]
    #proof[
      此时不妨将所有系数吸收进参数，只需研究方程：
      $
      cases(
        der(y, x) = f(x, y, x_0, y_0, lambda),
        y(0) = 0
      )
      $
      前面已经证明关于 $x_0, y_0, lambda$ 都是 $C^k$ 的，只需考虑关于 $x$ 的，然而：
      $
      partialDer(phi, x) = f(x, phi, x_0, y_0, lambda) 
      $
      前面已经证明 $phi$ 是 $C^1$ 的，上式表明 $phi$ 将是 $C^2$ 的，继而归纳可得 $phi$ 是 $C^k$ 的
    ]
    #corollary[解对初值和参数的光滑依赖性 最终版本][
      在上面的定理中将条件换成 $f$ 对所有参数都 $C^(k-1)$，且对 $y, lambda$ 是 $C^k$ 的，则 $phi$ 就是 $C^k$ 的
    ]
    #proof[
      已经证明了 $k = 1$ 时情景，同时 $phi in C^(k-1)$ 也已经成立，同样可以直接看到关于 $x$ 是 $C^k$ 的，并且注意到：
      $
      partialDer(phi, x) = f(x, phi, lambda)\
      partialDer(partialDer(phi, x), x_0) = partialDer(f, y) partialDer(phi, x_0) 
      $
      令 $Y = partialDer(phi, x_0)$ ，将有微分方程：
      $
      Y' = partialDer(f, y) Y 
      $
      上式右端关于所有参数都是 $C^(k-1)$ 的，因此 $Y$ 关于 $x_0$ 也是 $C^(k-1)$，这就证明了对 $x_0$ 的可微性\
    ]
    #example[][
      $
      cases(
        y' = y + mu (x^2 + y^2),
        y(0) = 1
      )
      $
      试求 $partialDer(phi, mu)|_(mu = 0)$

      事实上，容易看出 $f$ 是解析函数，继而它的解都解析，我们直接求偏导并交换顺序：
      $
      partialDer(partialDer(phi, x), mu) = partialDer(phi, mu) + (x^2 + phi^2) + 2 mu phi partialDer(phi, mu)
      $
      设 $u = partialDer(phi, mu)$，它满足微分方程：
      $
      u' = u + (x^2 + phi^2) + 2 phi u mu = (1 + 2 phi mu) u+ x^2 + phi^2
      $
      这是关于 $u$ 的一阶线性微分方程\
      同时，注意到 $mu = 0$ 时方程是好解的，因此：
      $
      phi(x, 0) = e^x
      $
      代入得：
      $
      u' = u + x^2 + e^(2 x)
      $
      解出 $u(x, 0) = e^(2 x) - x - 1$
    ]
  == 局部变换
    本章的内容是从理论上研究微分方程。
    #definition[自治系统][
      自治系统是指形如：
      $
      cases(
        der(x, t) = f(x),
        x(t_0) = x_0 
      )
      $
    ]
    局部变换是希望将一个自治系统的解在局部变换为另一个常微分方程的解。
    #definition[][
      - 称 $x_0$ 是常点，如果 $f(x_0) != 0$
      - 称 $x_0$ 是奇点/平衡点，如果 $f(x_0) = 0$
    ]
    #theorem[][
      设 $U$ 是微分同胚，$x = U(y)$，将微分方程：
      $
      der(x, t) = f(x)
      $
      变成
      $
      der(y, t) = g(y)
      $
      则：
      $
      g(y) = Inv((U')) f(x)
      $<local-transform>
      这里 $U$ 指微分同胚的雅可比矩阵
    ]
    #proof[
      $
      der(U y, t) = f(x)\
      U' der(y, t) = f(x)\
      U'  g(y) = f(x)
      $
    ]
    #definition[][
      设两个微分方程：
      $
      der(x, t) = f(x)\
      der(y, t) = g(y)
      $
      之间，存在 $C^k$ 的微分同胚使得满足@local-transform ，则称两个方程 $C^k$ 等价。\
      类似的，若在 $x_0$ 处的某个邻域存在 $C^k$ 的微分同胚使得满足@local-transform ，则称两个方程在 $x_0$ 处局部 $C^k$ 等价。
    ]
    #theorem[常点的 $C^k$ 分类/拉直定理][
      设微分方程 $der(x, t) = f(x)$ 满足 $f(0) != 0$，则方程在 $0$ 处局部 $C^k$ 等价于：
      $
      der(y, t) = Y(y), Y(y) = vec(1, 0, dots.v, 0)
      $
    ]
    #proof[
      #let vc = $vec(1, 0, dots.v, 0)$
      设 $f_i (x)$ 是分量，不妨设 $f_1 (0) != 0$\
      显然第二个方程的解就是：
      $
      psi = y_0 + t vc
      $
      设 $phi(t, x_0)$ 是原方程的解，令:
      $
      U(0) = 0\
      U(y) = phi(y_1, 0, y_2, dots, y_(n))
      $
      为了验证微分同胚，计算：
      $
      abs(der(U, y)) = abs(partialDer(phi, t) der(y_1, y) + partialDer(phi, x_0) der((0, y_2, ..., y_n)^T, y))\
      = abs(f(phi) der(y_1, y) + partialDer(phi, x_0) der((0, y_2, ..., y_n)^T, y))
      $
      此外，将有：
      $
      U(psi(t, y)) = U(t+y_1, y_2, ..., y_n) = phi(t+y_1, 0, y_2, ..., y_n) 
      $
      求导再令 $t = 0$ 可得：
      $
      U'(y) Y(y) = f(phi(y_1, 0, y_2, ... y_n)) = f(U(y))
      $
      证毕
    ]
    说明常点的局部等价分类是非常简单的，接下来我们考虑奇点处的局部等价分类
    #theorem[][
      线性微分方程 $x' = A x, x' = B x$ 在 $0$ 处局部 $C^k$ 等价当且仅当 $A, B$ 相似
    ]
    #proof[
      任取微分同胚 $U$ 在 $0$ 处泰勒展开计算即可
    ]
    对于一般的方程，我们当然希望通过泰勒展开将其化为线性方程。然而方程 $x' = A x + o(x)$ 当然不总是与 $x' = A x$ 等价，至少我们需要 $A$ 非退化。在什么条件下可以将其化为线性方程是上个世纪常微分方程研究的重要课题之一
    #theorem[][
      设 $f(x) = A x + o(x)$ 是 $C^infinity$ 的，而 $A$ 的特征根满足非共振条件：
      $
      sum_(i = 1)^n m_i lambda_i != 0, (m_i) in ZZ^n - {0} 
      $
      则方程 $x' = f(x)$ 在 $0$ 处局部 $C^infinity$ 等价于 $x' = A x$
    ]
= 线性微分方程
  == 一般线性微分方程
    方便起见，这里约定对向量/矩阵的求导/积分都是逐元素进行的
    #definition[][
      设 $x in RR^n, t in RR$\
      称微分方程：
      $
      der(x, t) = A(t) x + B(t)
      $<linear-equation>
      为一般线性微分方程，如果 $A, B$ 都关于 $t$ 连续
    ]
    #proposition[][
      - 一般线性微分方程在任何点处的解都存在唯一
      - 每个解总是在大范围存在
    ]
    #proof[
      - 就是 @peano 
      - 就是 @linear_all_range
    ]
    一般而言，当 $A(t)$ 不是常数时，方程是无法写出解的。我们的目标是研究解空间的性质。
  == 齐次线性微分方程
    #definition[][
      在 @linear-equation 中，若 $B(t) = 0$，则称之为齐次微分方程
    ]
    #proposition[][
      - 齐次线性方程的解构成线性空间
      - 齐次线性方程的解要么恒为零，要么恒不为零
      - 齐次线性方程的若干解线性相关当且仅当在存在某点，它们在该点线性相关
    ]<homogeneous-linear>
    #proof[
      - 简单验证即可
      - 注意到 $x = 0$ 是平凡解，结合解的唯一性立得
      - 注意到若干解的线性组合还是解，利用上一条性质立得
    ]
    #theorem[][
      $n$ 维齐次线性微分方程的解空间恰为 $n$ 维线性空间。换言之，若可以找到 $n$ 个线性无关的解，则它们生成的线性空间恰为解空间，这称为方程的通解
    ]
    #proof[
      令 $e_i$ 是 $RR^n$ 中一组标准基，令 $x_i (t)$ 是方程：
      $
      cases(
        der(x, t) = A(t) x,
        x(t_0) = e_i
      )
      $
      的一个解，断言它们就是原方程解的基
      - 首先，它们线性无关，既然它们在 $t_0$ 处线性无关，利用 @homogeneous-linear 即可
      - 其次，任取原方程的初值为 $x(t_0) = x_0$，令：
        $
        x(t) = sum_i x_0^i x_i (t)
        $
        容易看出 $x(t)$ 也是符合该初值的解，由唯一性这就是唯一一个解
      证毕
    ]
    #definition[][
      若矩阵 $X$ 是齐次线性微分方程的解，也即：
      $
      der(X, t) = A(t) X
      $
      则称之为矩阵解。显然矩阵是解当且仅当每一列都是原方程的一个解，继而该矩阵的列秩至多为 $n$，恰为 $n$ 时称之为基本解矩阵或者基解阵
    ]
    #proposition[][
      矩阵解 $X$ 是基础解矩阵当且仅当在某个点上有 $det(X) != 0$
    ]
    #proof[
      就是 @homogeneous-linear
    ]
    #theorem()[][
      设 $Phi(t)$ 是基解阵，则 $X(t)$ 是基解阵当且仅当存在可逆矩阵 $C$ 使得：
      $
      Phi(t) C = X(t)
      $
    ]
    #proof[
      注意到求导是线性的，因此：
      $
      der(Phi(t) C, t) = der(Phi(t), t) C = A(t) Phi(t) C
      $
      因此 $Phi(t) C$ 确实是解，计算行列式可得它是基础解矩阵

      另一方面，设 $X(t)$ 是基础解矩阵，任取 $t_0$ 并设有：
      $
      Phi(t_0) C = X(t_0)
      $
      注意到 $ Phi(t_0), X(t_0)$ 都是可逆矩阵，$C$ 当然存在\
      此时 $X(t) - Phi(t) C$ 是原方程有零点的解，就是零
    ]
    #proposition()[Liouville][
      设 $x_i$ 是 $n$ 个解，设 $det(x_1, x_2, ..., x_n) := W(t)$，则：
      $
      W'(t) = tr(A(t)) W(t)
      $
    ]
    #proof[
      容易发现：
      $
      W'(t) = sum_i det(x_1, x_2, ..., x'_i, ..., x_n) = sum_i det(x_1, x_2, ..., A x_i, ..., x_n)
      $
      #lemmaLinear[][
        $
        sum_i det(x_1, x_2, ..., A x_i, ..., x_n) = tr(A) det(x_1, x_2, ..., x_n)
        $
      ]
    ]
  == 非齐次线性微分方程
    #proposition[][
      设线性微分方程：
      $
      x' = A(t) x + B(t)
      $
      则：
      - 任意两个解的差是对应齐次线性微分方程 $x' = A(t) x$ 的解
      - 设 $gamma(t)$ 是一个特解（任意一个解），$X$ 是对应齐次微分方程的解空间，则原方程的所有解为 $gamma(t) + X$
    ]
    #proposition[常数变易法][
      设 $Phi(t)$ 是 $x' = A(t) x$ 的基本解矩阵，则 $x' = A(t) x + f(t)$ 的解可以通过常数变易：
      $
      x = Phi(t) C(t)\
      Phi'(t) C(t) + Phi(t) C'(t) = A(t) Phi(t) C(t) + f(t)\
      Phi(t) C'(t) = f(t)\
      C'(t) = Inv(Phi(t)) f(t)\
      C(t) = integral_(t_0)^(t) Inv(Phi(s)) f(s) dif s
      $
      这给出了可行的 $C$
    ]<constant-variation>
    上述命题表明，解一般线性微分方程的困难根本上来源于求齐次线性微分方程基础解矩阵的困难
  == 常系数线性微分方程
    为了叙述方便，我们先给出矩阵幂级数，指数等定义
    #definition[][
      - 本节中定义矩阵的模为 $sum_(i, j) abs(a_(i j))$ 或 $max_(abs(x) = 1) abs(A x)$，它们都满足 $abs(A B) <= abs(A) abs(B)$
      - 形式定义：
        $
        e^A = sum_(n = 0)^infinity A^n/n!
        $
        注意到矩阵绝对收敛只需要每个分量绝对收敛，同时
        $
        sum_(n = 0)^infinity abs(A^n/n!) <= sum_(n = 0)^infinity abs(A)^n/n! = e^(abs(A)) < +infinity
        $
        满足性质：
        - 若 $A B = B A$ 则 $e^(A + B) = e^A e^B$
        - $det(e^A) = e^(tr(A)) > 0$（证明需要若当标准型）
    ]
    #theorem[][
      给定常系数微分方程 $y' = A y + f(x)$ ，则 $e^(A x)$ 是方程的基础解矩阵 
    ]
    以上结论非常漂亮，结合之前的理论我们可以求解出方程的通解。唯一的问题是按照定义求出 $e^(A x)$ 并不容易。

    #example[][
      由约当标准型，可设：
      $
      A = P D P^(-1)\
      D = sum_(d=1)^(d_max) sum_(lambda in Lambda)  sum_s lambda I +  J_(d s)
      $
      其中 $d$ 是约当块维度，$s$ 代表不同的块。这些块都在不同的位置上，乘积为零，因此：
      $
      D^n = (sum_(d) sum_(lambda in Lambda)  sum_s lambda I +  J_(d s))^n\
        = sum_(d) sum_(lambda in Lambda)  sum_s (lambda I +  J_(d s))^n\
        = sum_(d) sum_(lambda in Lambda)  sum_s sum_(i=0)^n C_n^i lambda^(n-i) J_(d s)^i\
        = sum_(d) sum_(lambda in Lambda)  sum_s sum_(i=0)^(min {d, n}) C_n^i lambda^(n-i) J_(d s)^i\
      $
      注意到 $n > d$ 时上式的求和项数已与 $n$ 无关，$n < d$ 仅有有限个，因此可以求出 $D^n$ 的通式，利用：
      $
      e^(A x) = sum_(k=0)^infinity A^k/k! x^k = P (sum_(k=0)^infinity D^k/k! x^k) Inv(P)\
      = P (sum_(k=0)^infinity 1/k! (sum_(d) sum_(lambda in Lambda)  sum_s sum_(i=0)^(min {d, k}) C_k^i lambda^(k-i) J_(d s)^i x^k)) Inv(P)\
      = P (sum_(k=0)^infinity 1/k! (sum_(d) sum_(lambda in Lambda)  sum_s sum_(i=0)^(min {d_max, k}) C_k^i lambda^(k-i) J_(d s)^i x^k)) Inv(P)\
      = P (sum_(k=0)^d_max 1/k! (sum_(d) sum_(lambda in Lambda)  sum_s sum_(i=0)^(n) C_k^i lambda^(k-i) J_(d s)^i x^k) + sum_(k=d_max + 1)^infinity 1/k! (sum_(d) sum_(lambda in Lambda)  sum_s sum_(i=0)^(d_max) C_k^i lambda^(k-i) J_(d s)^i x^k)) Inv(P)\
      = P (sum_(k=0)^d_max 1/k! (sum_(d) sum_(lambda in Lambda)  sum_s sum_(i=0)^(k) C_k^i lambda^(k-i) J_(d s)^i x^k) +  sum_(d) sum_(lambda in Lambda)  sum_s   sum_(i=0)^(d_max) J_(d s)^i  sum_(k=d_max + 1)^infinity 1/k! C_k^i lambda^(k-i) x^k ) Inv(P)\
      $
      上式第二项可以求得，第一项仅有有限项

      当然，这里的计算是极其麻烦的。有些时候，我们可以用技巧大大简化，例如：
      - 若 $A$ 可对角化，则 $d_(max) = 0$ 上式简化为：
        $
        P (sum_(lambda in Lambda)  sum_s sum_(k=0)^infinity 1/k! lambda^(k) x^k J_(0 s) ) Inv(P) = P e^(D x) Inv(P) 
        $
      - 若可求得 $A$ 的零化多项式，可以尝试降次
      - 若 $A$ 仅有一个特征值 $lambda$ 则有：
        $
        e^(A x) = e^(lambda x) e^((A - lambda) x)
        $
        后者第二项是幂零矩阵，可以直接求出
    ]
    #example[][
      大部分时候如果只为了求方程的解，没必要完整算出 $e^(A x)$ ，既然若设：
      $
      e^(A x) = P e^(D x) Inv(P)
      $
      则 $e^(A x) P = P e^(D x)$ 也是基础解矩阵，它会更加好求，既然 $D$ 是对角/约当矩阵，$e^(D x)$ 是容易求的，而 $P$ 恰由特征向量/循环子空间的基构成。
    ]
    #example[][
      有些形式较好的方程并不用使用上面的一般方法求解，例如：
      $
      cases(
        x' = y + z,
        y' = x + y,
        z' = x + z
      )
      $
      三式相加，立得 $(x + y + z)' = x' + y' + z' = 2 (x + y + z), x+ y + z = C_1 e^(2t)$，代回得 $x' = e^(2 t) - x$ 解出即可
    ]
  == 高阶线性微分方程
    #theorem[][
      给定高阶线性微分方程：
      $
      x^((n)) + a_(n-1)(t) x^((n-1)) + dots + a_1(t) x' + a_0(t) x = f(t)
      $
      可做换元，令：
      $
      x_0 = x\
      x_1 = x'\
      ...\
      x_n = x^((n))
      $
      方程变为多元线性微分方程：
      $
      vec(x_0, x_1, dots.v, x_(n-1), x_n)' = 
      mat(0, 1, ...,0,  0;
          0, 0, ...,0,  0;
          dots.v, dots.v, ..., dots.v,  dots.v;
          0, 0, ..., 0, 1;
          -a_0 (t), -a_1 (t), ..., -a_(n-1) (t), 1) vec(x_0, x_1, dots.v, x_(n-1), x_n) + vec(0, 0, dots.v, 0, f(t))
      $
      因此，可以利用线性方程组的理论知道：
      - 方程的解是齐次线性方程的解空间 $n$ 维线性空间加上一个特解
      - 给定初值 $x(0), x'(0), ..., x^((n))(0)$ 则方程的解唯一存在，且解是大范围的
    ]
    #lemma[Wronskian][
      假设 $x_1 (t), x_2 (t), ..., x_n (t)$ 都 $n-1$ 阶可导，则称：
      $
      Det(x_1, x_2, ..., x_n;
          x'_1, x'_2, ..., x'_n;
          dots.v, dots.v, ..., dots.v;
          x_1^((n-1)), x_2^((n-1)), ..., x_n^((n-1))) = W(t)
    
      $
      为朗斯基行列式。若这些函数线性相关，则朗斯基行列式恒为零。反之结论一般是不成立的，但若这些函数是齐次线性微分方程的解，则反命题也成立。
    ]
    #proof[
      设 $sum_i c_i x_i (t) = 0$，对于任意 $t$ 反复求导可得：
      $
      mat(x_1, x_2, ..., x_n;
          x'_1, x'_2, ..., x'_n;
          dots.v, dots.v, ..., dots.v;
          x_1^((n-1)), x_2^((n-1)), ..., x_n^((n-1)))vec(c_1, c_2, dots.v, c_n) = 0
      $
      线性相关性相当于上面的齐次线性方程有非零解，因此行列式为零，证毕。

      至于反命题，一个简单的反例是 $x^2, x abs(x)$，而都是同一个齐次方程的解的情形就是 @homogeneous-linear 

    ]
    #example[][
      假设我们已求出齐次方程的解，根据 @constant-variation 当然可以通过常数变易求出线性方程的解。实际这么做时，我们要遇到对：
      $
      sum_i c_i (t) x_i (t)
      $
      求 $n$ 阶导的问题，由于我们只需要一个解即可，不妨添加条件：
      $
      sum_i c'_i (t) x_i (t) = 0\
      sum_i c'_i (t) x'_i (t) = 0\
      ...\
      sum_i c'_i (t) x_i^((n-1)) (t) = 0
      $
      这样求导的形式就很简单：
      $
      (sum_i c_i (t) x_i (t)) ' = sum_i c_i (t) x'_i (t) \
      (sum_i c_i (t) x_i (t)) '' = sum_i c_i (t) x''_i (t) \
      ...\
      (sum_i c_i (t) x_i (t)) ^((n-1)) = sum_i c_i (t) x^((n-1))_i (t)\
      (sum_i c_i (t) x_i (t)) ^((n)) = sum_i c_i (t) x^((n))_i (t) + sum_i c'_i (t) x^((n-1))_i (t) 
      $
      最终方程变成：
      $
      sum_i a_i (sum_i c_i (t) x_i (t)) ^((i)) = f(t)\
      a_n sum_j c'_i (t) x^((n-1))_i (t)  + sum_i a_i (sum_j  c_j (t) x^((i))_j (t)) = f(t)\
      a_n sum_j c'_i (t) x^((n-1))_i (t) = f(t)
      $
      这是因为中间凑出了齐次方程的解，因此可以直接消去。加上之前的假设方程变成关于 $c'_i$ 的线性方程组，求解即可 。
    ]
    #lemma[][
      对于二阶齐次线性微分方程：
      $
      x'' + a(t) x' + b(t) x = 0
      $
      设有两无关解 $x_1, x_2$ 不难验证若令：
      $
      W = Det(x_1, x_2; x'_1, x'_2)  = x_1 x'_2 - x'_1 x_2
      $
      则有：
      $
      W' 
      &= x'_1 x'_2 + x_1 x''_2 - x''_1 x_2 - x'_1 x'_2  = x_1 x''_2 - x''_1 x_2 \
      &= - x_1 (a(t) x'_2 + x_2) + x_2 (a(t) x'_1 + x_1) \
      &= - a(t) (x_1 x'_2 - x'_1 x_2) \
      &= - a(t) W
      $
      可以直接解出 $W$，此时假设 $x_1$ 已知，方程变成了关于 $x_2$ 的一阶线性微分方程，是可解的。这表明对于二阶齐次线性微分方程，若已知一个解，另一个解可以通过一阶线性微分方程求出。
    ]
    #theorem[][
      对于二阶常系数齐次线性微分方程：
      $
      x^((n)) + a_(n-1)(t) x^((n-1)) + dots + a_1(t) x' + a_0(t) x = 0
      $
      设：
      $
      p(lambda) = lambda^n + a_(n-1) lambda^(n-1) + dots + a_1 lambda + a_0
      $
      有 $s$ 个不同根 $lambda_i$ ，重数分别为 $m_1, m_2, ..., m_s$，则：
      $
      x^k e^(lambda_i x) forall k <= m_i, forall i = 1, 2, ..., s
      $
      恰构成一组基础解
    ]
    #proof[
      设 $L(x) = x^((n)) + a_(n-1)(t) x^((n-1)) + dots + a_1(t) x' + a_0(t) x$，则有：
      $
      L(e^(lambda x)) = p(lambda) e^(lambda x)
      $
      因此当然 $p(lambda) = 0$ 时 $e^(lambda x)$ 是解。进一步，两边对 $lambda$ 求导得：
      $
      L(x e^(lambda x)) = (lambda p(lambda) + p'(lambda)) e^(lambda x)
      $
      若 $lambda$ 是至少二重根，上式也是零，反复进行即得结论。

      它们的线性无关性是显然的
    ]
= 幂级数解法
  == 一般幂级数
    本章中 $y$ 允许多元函数
    #lemma[][
      设微分方程：
      $
      cases(
        der(y, x) = f(x, y),
        y(x_0) = y_0
      )
      $
      其中 $f$ 在 $x_0$ 附近解析，则它的解存在唯一，且是解析函数。
    ]
    #proof[
      前面 Picard 序列的证明中给出了这个推论
    ]
    理论上来说，幂级数展开并比对系数可以将一般的微分方程化为代数方程。然而一般的情形仍然难以计算，最常见的情形是对线性方程做展开。
    #example[][
      - $der(y, x) = y - x$，令 $y = sum_i a_i x^i$，计算得：
        $
        sum_(i >= 1) i a_i x^(i-1) = sum_i a_i x^i - x
        $
        有：
        $
        a_1 = a_0\
        2 a_2 = a_1 - 1\
        (i+1) a_(i+1) = a_i\
        $
        可以递推解得 $a_i$
      - $y'' - 2 x y' + 4 y = 0$，令 $y = sum_i a_i x^i$，计算得：
        $
        sum_i (i+1)(i+2)a_(i+2)x^i - 2 sum_i i a_(i) x^i - 4 sum_i a_i x^i = 0 
        $
        得到一般的递推关系：
        $
        (i+1)(i+2)a_(i+2) = 2 i a_i + 4 a_i\
        (i+1) a_(i+2) = 2 a_i
        $
      - $y'' = x y$，计算得：
        $
        sum_i (i+1)(i+2)a_(i+2)x^i = sum_i a_(i-1) x^i
        $
        有：
        $
        a_2 = 0\
        (i+1)(i+2)a_(i+2) = a_(i-1)
        $
        可以解得：
        $
        a_(3 k + 2) = 0\
        a_(3 k) = ((3k - 3)!!!)/((3k) !) a_0
        $
    ]
    #remark[][
      对于形如：
      $
      u(x) der(y, x) = v(x, y)
      $
      的微分方程，如果 $u(x) > 0$，将其除掉即可得到解的解析性。但若 $u(x)$  有零点情形未必。例如：
      $
      cases(
        x^2 der(y, x) = y - x,
        y(0) = 0
      )
      $
      若其有解析解，比对系数发现一定有 $a_n = n!$，但是这个幂级数不收敛，因此是荒谬的。下节的目标便是处理这种方程。
    ]
  == 广义幂级数 
    #definition[广义幂级数][
      称：
      $
      sum_(n=0)^(+infinity) a_n x^(n + alpha), alpha in RR
      $
      为广义幂级数。
    ]
    #theorem[][
      设二阶微分方程：
      $
      y'' + p(x) y' + q(x) y = 0
      $
      其中 $p, q$ 可能以 $0$ 为奇点，但 $x p, x^2 q$ 都在 $0$ 处解析且不全为零，则它在 $0$ 附近有广义幂级数解
    ]
    #proof[
      方程等价于：
      $
      x^2 y'' + x (sum_i a_i x^i) y' +  (sum_i b_i x^i) y = 0
      $
      设 $y = sum_(n=0)^(+infinity) c_n x^(n + alpha)$，代入得：
      $
      x^(alpha)(sum_(n=2)^(+infinity) c_n (n+alpha)(n+alpha-1) x^(n) \
      + (sum_(n=1)^(+infinity) c_n (n+alpha) x^(n))(sum_(i=0)^infinity a_i x^i) \
      + (sum_(n=0)^(+infinity) c_n  x^(n))(sum_(i=0)^infinity a_i x^i)) = 0
      $
    ]
    #example[贝塞尔方程][
      方程：
      $
      y'' + 1/x y' + (x^2 - n^2) / x^2 y = 0
      $
      称为贝塞尔方程，由上面的定理它在 $0$  附近有广义幂级数解，并且计算可得 $n$ 是正整数时解是整函数。
    ]
= 微分方程定性理论：边值问题
  == Sturm 比较定理
    本节我们的研究的是形如：
    $
    y'' + p(x) y' + q(x) y = 0
    $<obj-def>
    其中 $p, q$ 是某个区间 $J$ 上的连续函数
    #lemma[][
      @obj-def 的非零解都是简单零点（导数非零），进一步都是孤立零点
    ]
    #proof[
      如若不然，设 $x_0$ 处函数值和导数值均为零，由存在唯一性这将导致解恒为零，矛盾！
    ]
    #lemma[][
      设 $f, g$ 是 @obj-def 的两个非零解，且都有零点：
      - $f, g$ 线性相关当且仅当有相同的零点集
      - $f, g$ 线性无关当且仅当零点相间，也即每两个相邻零点构成的开区间内有对方的零点
    ]
    #proof[
      - 
        - 若 $f, g$ 相关则 $lambda f + mu g = 0$，不难发现 $lambda, mu$ 非零，因此零点集相同
        - 若零点集相同，考虑 Wronskian 行列式：
          $
          W(x) = Det(f, g; f', g') 
          $
          由条件可知存在一个共同零点，则在该点处 $W(x) = 0$，之前的结论表明 $f, g$ 线性相关
      - 设 $x_1, x_2$ 是 $f$ 的相邻零点，不妨假设在 $(x_1, x_2)$ 上有 $f > 0$
        - 设 $f, g$ 无关，则：
          $
          W(x) = Det(f, g; f', g') 
          $
          定号，进而 $W(x_1) W(x_2) > 0$，而：
          $
          W(x_1) = -g(x_1) f'(x_1)\
          W(x_2) = -g(x_2) f'(x_2)
          $
          之前证明了 $f'(x_1), f'(x_2) != 0$，不难发现一定有 $f'(x_1) > 0, f'(x_1) < 0$，上式表明 $g(x_1), g(x_2)$ 异号，当然就有介质定理。同时其间只能有一个零点，否则若有两个可以反过来找到 $f$ 的零点，与 $x_1, x_2$ 相邻矛盾！
        - 反之，若零点相间结论由前一条结论知零点集不同，当然无关
    ]
    #remark[][
      上面的引理中需要留意零点的存在性，例如 $f, g$ 无关而 $f$ 仅有一个零点，此时 $g$ 的零点个数可能是 $0, 1, 2$，与定理都不矛盾 
    ]
    #theorem[比较定理][
      设有两个微分方程：
      $
      y'' + p(x) y' + q(x) y = 0
      $<eq-1>
      $
      y'' + p(x) y' + r(x) y = 0
      $<eq-2>
      且满足：
      $
      r(x) >= q(x)
      $
      设 $f, g$ 分别是@eq-1 和@eq-2 的两个非零解，$x_1, x_2$ 是 $f$ 的两个相邻零点，则 $g$ 在 $[x_1, x_2]$  上有零点。
    ]<compare-two>
    #proof[
      不妨假设 $f$ 在 $(x_1, x_2)$ 上恒正，有：
      $
      f'(x_1) > 0, f'(x_2) < 0
      $
      假设 $g(x)$ 在 $[x_1, x_2]$ 上无零点，不妨设其恒正。令：
      $
      W(x) = Det(f, g;f', g') = f g' - f' g\
      W'(x) = Det(f, g;f'', g'') = Det(f, g;-p(x)f' - q(x) f, -p(x) g' - r(x) g)\
      =Det(f, g;-p(x)f', -p(x) g' - (r(x) - p(x)) g)\
      = - p(x) W(x) - f g (r(x) - p(x))
      $
      注意到一定有：
      $
      f g(r(x) - p(x)) >= 0
      $
      由一阶方程的比较定理，有：
      $
      B e^(-p(x))<= W(x) <= A e^(-p(x))
      $
      其中 $A e^(-p(x))$ 是：
      $
      cases(
        W'(x) = -p(x) W(x),
        W(x_1) = - g(x_1) f'(x_1)
      )
      $
      的解，而 $B e^(-p(x))$ 是：
      $
      cases(
        W'(x) = -p(x) W(x),
        W(x_1) = - g(x_2) f'(x_2)
      )
      $
      的解，然而不难发现 $- g(x_1) f'(x_1) < 0, - g(x_2) f'(x_2) > 0$ 导致 $A < 0, B > 0$，这是荒谬的！
    ]
    #remark[][
      上面的定理实际上是说 $y$ 前面的系数表示解振荡的频率，系数越大振荡越快。因此有如下对于振动的研究：
    ]
    #definition[][
      设@obj-def 的有至少两个零点的非零解为振动解，有无穷多个零点的非零解为无穷解
    ]
    #example[][
      - 考虑方程：
        $
        y'' + p(x) y' + r(x) = 0
        $<eq-3>
        其中 $r(x) <= 0$，注意到它可以对：
        $
        y'' + p(x) y' = 0
        $<eq-4>
        利用比较定理。假如@eq-3 有振动解，则由 @compare-two 可知@eq-4 的任意一个解都有零点，然而@eq-4 有解 $y = 1$ 无零点，矛盾！因此@eq-3 不可能有振动解
      - 考虑方程：
        $
        y'' + q(x) y = 0
        $
        其中 $q(x) >= m > 0$，则它任意非零解无限振动，且相邻零点间距离不超过 $pi / sqrt(m)$\
        首先证明对于任何 $a$, $[a, a + pi / sqrt(m)]$ 的区间都有方程的解即可。考虑方程：
        $
        y'' + m y = 0
        $
        后面的方程有解：
        $
        y = sin (sqrt(m) (x - a))
        $
        以 $a, a + pi / sqrt(m)$ 为零点，利用 @compare-two 立得结论。当然这样的区间有无穷多，因此方程的解有无穷多个零点。\
        注意这个结论不能加强到 $q(x) > 0$，例如：
        $
        y'' + 1/(4 x^2) y = 0, x in [1, +infinity]
        $
        这是欧拉方程，可以解得：
        $
        y = sqrt(x) (c_1 + c_2 ln x)
        $
        当然至多只有一个零点
      - 考虑微分方程：
        $
        y'' + q(x) y = 0
        $
        且存在非负整数 $n$ 使得：
        $
        n^2 < q(x) < (n+1)^2
        $
        则方程的任意非零解不是 $2 pi$ 周期的。\
        如若不然，设 $f$ 是非零的 $2 pi$ 周期解，代入方程不难发现 $q(x) f$ 也是以 $2 pi$ 周期的，而 $f$ 的零点孤立，由 $q$ 的连续性知它应该以 $2 pi$ 为周期，因此有最大最小值。设：
        $
        m^2 <= q(x) <= M^2
        $
        仿照上面的例子，利用 @compare-two 可以导出 $f$ 的两个相邻零点间的距离在 $pi/M, pi/m$ 之间\
        设 $f$ 在一个周期上有 $2n$ 个零点，零点分别为：
        $
        t_0 < t_1 < ... < t_(2 n) = t_0 + 2 pi
        $
        对距离求和，可得：
        $
        2n/M pi <= 2 pi <= 2n/m pi\
        m <= n <= M
        $
        然而由条件 $m, M$ 夹在两个连续整数之间，与 $n$ 是整数矛盾！
      - 考虑微分方程：
        $
        y'' + q(y) = f(x)
        $
        且存在非负整数 $n$ 使得：
        $
        n^2 < q'(y) < (n+1)^2
        $
        则方程至多有一个 $2 pi$ 周期解，否则设 $y_1, y_2$ 是两个 $2 pi$ 周期解，容易得到：
        $
        (y_1 - y_2)' + q(y_1) - q(y_2) = 0
        $
        令 $p(x) = (q(y_1) - q(y_2))/(y_1 - y_2)$，则 $y_1 - y_2$ 成为微分方程：
        $
        y'' + p(x) y = 0
        $
        的 $2 pi$ 周期解，然而上面的结论表明这样的方程没有 $2 pi$ 周期解，矛盾！
    ]
  == 边值问题
    #definition[][
      设有微分方程：
      $
      cases(
        (p(x) y')' + (lambda r(x) + q(x)) y = 0,
        k y(a) + l y'(a) = M y(b) + N y'(b) = 0  
      )
      $
      其中 $p, q, r in C[a, b], p, r > 0, (K, L) != 0, (M, N) != 0$

      该微分方程非平凡解的存在性称为二阶微分方程的边值问题。若对 $lambda = lambda_0$ 方程有非零解 $phi$，则称 $lambda_0$ 为一个特征值，$phi$ 为对应的特征函数。
    ]<boundary-value>
    #remark[][
      这个叫法是因为若设：
      $
      A y = ((p y')' + q y)/(-r)
      $
      则它是线性算子，而边值问题实际上是求解 $A y = lambda y$ 的问题
    ]
    #example[][
      - 考虑方程：
        $
        cases(
          y'' + lambda y = 0,
          y'(0) = y'(l) = 0
        )
        $
        - 当 $lambda = -a^2 < 0$ 时，方程的通解为：
          $
          y = linearCombinationC(e^(a x), e^(-a x))
          $
          计算发现若要符合边值，将有：
          $
          cases(
            C_1 = C_2,
            C_1 = -C_2
          )
          $
          导出零解
        - 当 $lambda = 0$ 时方程的解是线性函数，因此每个常函数都是特征函数
        - 当 $lambda = a^2 > 0$，通解为：
          $
          linearCombinationC(cos a x, sin a x)
          $
          计算得：
          $
          cases(
            C_2 = 0,
            - C_1 sin a l + C_2 cos a l = 0
          )
          $
          当且仅当 $a$ 为 $(n pi)/l$ 时有非零解
        综上，特征值为 $(n^2 pi^2)/l^2, forall n in NN$
    ]<sin-cos-example>
    @boundary-value 中的形式当然可以再简化，通过一些简单的线性变换，可设 $a = 0, b = 1$，进一步由 $p > 0$，设：
    $
    t = 1/(c_0) integral_(0)^(x) 1/(p(s)) dif s \
    tilde(y) (t) = y(x(t))
    $
    $x(t)$ 存在是因为 $t$ 关于 $x$ 单调上升，有反函数。不难计算得：
    $
    p(x) der(y, x) = 1/(c_0) der(tilde(y), t)\
    der(p(x) der(y, x) , x) = 1/(c_0^2 p(x)) tilde(y)'' 
    $
    总之，方程化为了
    $
    cases(
      y'' + (lambda c_0^2 p(x(t))r(x(t)) + c_0^2 p(x(t)) q(x(t))) y = 0,
      K y(0) + L /(c_0 p(a)) y'(0) = M y(1) + N /(c_0 p(b)) y'(1) = 0)
    $
    #lemma[][
      @boundary-value 中的问题可以化归为以下标准形式：
      $
      cases(
        y'' + (lambda r(x) + q(x)) y = 0,
        y(0) cos alpha - y'(0) sin alpha = y(1) cos beta - y'(1) sin beta = 0
      )
      $<standard-form-boundary-value>
      其中 $r, q$ 连续，$r > 0, alpha, beta in [0, pi)$
    ]
    #theorem[Sturm-Liouville][
      @standard-form-boundary-value 给出的边值问题有可数多个特征值，且所有特征值形成链：
      $
      lambda_0 < lambda_1 < ... < lambda_n < ...
      $
      其中 $lambda_n -> +infinity$\
      设 $phi_n (x)$ 是 $lambda_n$ 对应的特征函数，则 $phi_n$ 恰有 $n$ 个零点
    ]<sturm-liouville-theorem>
    #proof[
      令 $y = phi(x, lambda)$ 是满足：
      $
      y(0) = sin alpha, y'(0) = cos alpha
      $
      的解。@standard-form-boundary-value 中第一个边值条件已经满足，只需找到 $lambda$ 满足第二个方程。显然 $y$ 不是零解，$y, y'$ 不同时为零，因此可做极坐标变换：
      $
      cases(
        phi = rho cos theta,
        phi' = rho sin theta
      )
      $
      此时，第二个边值条件等价于 $theta(1) = beta + 2 k pi$\
      计算：
      $
      
      der(theta, x) = der(arctan phi/phi', x) = (phi'^2  - phi phi'' )/(phi^2 + phi'^2) = (phi'^2  + (lambda r + q) phi^2 )/(phi^2 + phi'^2)\
      = cos^2 theta + (lambda r + q) sin^2 theta
      $<eq-order1>
      结合 $theta(0, lambda) = 0$，这是关于 $theta$ 的一阶微分方程，接下来的讨论都是关于这个方程的。
      - 上式对 $lambda$ 求偏导得到的是关于 $lambda$ 的一阶线性微分方程，可以解得：
        $
        partialDer(theta, lambda)  = integral_(0)^(x) e^(integral_(t)^(x) E(s, lambda) dif x) r(t) sin^2 theta  dif t 
        $
        （其中 $E(s, lambda) = (lambda r(s) + q(x) - 1) sin(2 theta)$）
        由条件知被积函数恒正，从而 $theta$ 关于 $lambda$ 严格递增
      - 观察方程可以发现 $theta = 0$ 时 $theta' = 1$，且当 $lambda$ 充分小时，只要 $theta$ 不太小，就有 $theta' < 0$，我们猜测并证明以下结论：
        - $theta(x) > 0$\
          如若不然，假设 $x_0$ 是最小的零点，之前的论述表明 $theta'(x_0) = 1 > 0$，而 $theta(0) = alpha > 0$，利用介质定理将可构造出更小的零点，矛盾！
        - 
          $
          lim_(lambda -> +infinity) theta(x) = +infinity, forall x_0
          $
          设 $h = min r > 0$，将有：
          $
          theta' >= (lambda h + q) sin^2 theta + cos^2 theta 
          $
          取 $lambda$ 充分大，可设 $lambda h + q > n + 1$，将有：
          $
          theta' >= 1 + n sin^2 theta
          $
          由比较定理，只需证明 $theta' = 1 + n sin^2 theta$ 的解充分大即可。事实上：
          $
          x = integral_(alpha)^(theta) 1/(1 + n sin^2 t) dif t
          $
          观察不难发现 $n$ 充分大时 $theta$ 也应该充分大
        - 
          $
          lim_(lambda -> -infinity) theta(x) = 0, forall x_0
          $
          任取 $epsilon > 0$，当 $lambda$ 充分小时可以证明，$theta$ 落在线段 $(0, alpha) -> (1, epsilon)$ 时，一定有 $theta' < 0$，因此 $theta$ 被限制在该折线和 $y = 0$ 之间，当然意味着 $theta(1) < epsilon$，证毕
      以上论断表明，$theta(1, lambda) = beta + 2 k pi$ 对于每个 $k in NN$ 都恰有一解，且每个解都逐个增大。此外，特征函数为：
        $
        phi(x) = rho(x) sin (theta_(lambda_k) (x))
        $
        由介质定理，至少：
        $
        theta_(lambda_k) (x) = j pi
        $
        对于 $j = 1, 2, ..., k$ 都有一个解 $x_k$，并且注意到 $forall x with theta(x) = i pi, i in ZZ$，都有：
        $
        phi'(x) = cos^2 theta(x) + (lambda r(x) + q(x)) sin^2 theta(x) = 1
        $
        换言之：
        $
        theta_(lambda_k) (x) = j pi
        $
        只能有一个解（否则两个相邻解的导数值必然反号）\
        同时，对于 $j > k$， $theta_(lambda_k) (x) = j pi$ 将无解，否则由于 $theta(0), theta(1) < j pi$，至少产生两解，与上面的论述矛盾！
        
    ]
  == 特征函数系的正交性
    #lemma[][
      在 @sturm-liouville-theorem 中，每个特征值对应的特征函数彼此相关（特征空间只有一维）
    ]
    #proof[
      假设 $phi, psi$ 是 $lambda_n$ 的特征函数，将有：
        $
        Det(phi(0), phi'(0);psi(0), psi'(0)) = 0
        $
        由 Wronskian 行列式的结论，这意味着 $phi, psi$ 线性相关
    ]
    #theorem[][
      在 @sturm-liouville-theorem 中，每个特征值对应的特征函数彼此正交，也即：
      $
      integral_(0)^(1) r(x) phi_m phi_n dif x = 0, m != n 
      $
    ]
    #proof[
      有两个方程：
      $
      cases(
        phi''_n + (lambda_n r + q)phi_n = 0,
        phi''_m + (lambda_m r + q)phi_m = 0
      )
      $
      两式分别乘以 $phi_m, phi_n$ 并相减，得到：
      $
      phi''_n phi_m - phi''_m phi_n + (lambda_n - lambda_m) r phi_m phi_n = 0
      $
      只需计算：
      $
      &integral_(0)^(1) phi''_n phi_m - phi''_m phi_n dif x \
      &= integral_(0)^(1) (phi'_n phi_m - phi_n phi'_m)' dif x\
      &=  (phi'_n phi_m - phi_n phi'_m)|_0^1\
      &= 0 
      $
      证毕
    ]
    #remark[][
      有了正交性，对于任意的以上形式的二阶线性微分方程，我们都可以考虑在特征函数系上做傅里叶展开。事实上，@sin-cos-example 说明了通常 $sin, cos$ 产生的傅里叶展开是本章定理的一种特殊情况。
    ]
= 一阶偏微分方程
  == 首次积分
    #let yv = $bold(y)$
    #let xv = $bold(x)$
    #definition[][
      在微分方程：
      $
      der(yv, x) = f(x, yv), f in C^1
      $

      中，称 $H(xv, yv)$ 为首次积分，若 $H$ 不是常数且在方程的任意解曲线上取常值
    ]
    #example[][
      - 考虑方程：
        $
        cases(
          der(x,t) = -y,
          der(y, t) = x
        )
        $
        则 $x^2 + y^2$ 就是一个首次积分，既然设 $x, y$ 是一族解，将有：
        $
        (x^2 + y^2)' = 2 x x' + 2 y y' = 0
        $
      - 一般的，方程：
        $
        cases(
          der(x,t) = f(y),
          der(y, t) = g(x)
        )
        $
        则 $integral f(y) - integral g(x)$ 就是一个首次积分，既然：
        $
        (integral f(y) - integral g(x))' = f(y)y' - g(x)x' = 0
        $
      - 考虑方程：
        $
        cases(
          der(x,t) = y - x(x^2 + y^2 - 1),
          der(y, t) = -x - y(x^2 + y^2 - 1)
        )
        $
        注意到：
        $
        (x^2 + y^2)' = 2 x' x + 2 y' y = -x^2 (x^2 + y^2 - 1) - y^2 (x^2 + y^2 - 1) \
        = (x^2 + y^2) - (x^2 + y^2)^2
        $
        可以解出 $x^2 + y^2$ 进而产生一个首次积分\
        同时：
        $
        x y' - y x' = -x^2 - y^2\
        (y/x)' = -1 - (y/x)^2
        $
        也可以解出 $y/x$ 产生一个首次积分。事实上，可以发现方程有唯一的平衡点 $(0, 0)$ 和孤立的有界闭解曲线（称为极限环）。对于形如：
        $
        cases(
          x' = f(x, y),
          y' = g(x, y)
        )
        $
        其中 $f, g$ 是不超过 $n$ 次的多项式，这个系统称为 $n$ 次系统。$n$ 次系统极限环个数的上界及极限环的分布情况是希尔伯特第十六问题的重要部分，至今二次系统的情况都仍未解决，目前最多举出了四个极限环的例子，并且证明了每个二次系统的极限环个数都是有限的。
    ]
    #lemma[][
      $H(x, yv)$ 是 $yv' = f(x, yv)$ 的首次积分当且仅当：
      $
      partialDer(H, x) + partialDer(H, yv) dot der(yv, x) =  partialDer(H, x) + partialDer(H, yv) dot  f(x, yv) = 0
      $
    ]
    #proof[
      由定义显然可得
    ]
    验证首次积分是非常简单的，然而找到一个首次积分是极其困难的。
    #theorem[][
      首次积分可以将原方程降维。具体而言，假设首次积分形如：
      $
      phi(yv)
      $
      由于 $phi(yv) !=0$，若还有 $der(phi(yv), yv) != 0$，便可在局部找到隐函数消去若干变量 
    ]
    #definition[][
      设 $phi_i$ 是 $n$ 个首次积分，如果：
      $
      abs(partialDer((phi_1, phi_2, ..., phi_n), (yv_1, yv_2, ..., yv_n))) != 0
      $
      则称 $phi_1, phi_2, ..., phi_n$ 为相互独立的首次积分
    ]
    #theorem[][
      $n$ 维自治系统至多 $n$ 个独立的首次积分，且在局部恰有 $n$ 个独立的首次积分。设 $phi_i$ 是 $n$ 个独立的首次积分，则任何首次积分在局部都形如 $h(phi_1, ..., phi_n), H in C^1$
    ]<first-integral>
    #proof[
      第一部分我们不证明，可以参考教材

      对于第二个结论，设 $c = vec(c_1, dots.v, c_n)$，在任何一个点 $(x_0, c)$ 由存在唯一性可以找到解 $y = phi(x, c)$，显然有：
      $
      partialDer(phi, c)|_(x = x_0) = id
      $
      因此由隐函数定理，可以反解出：
      $
      c = psi(x, y)
      $
      并有：
      $
      der(y, c) = partialDer(phi, c)\
      der(c, y) = Inv((partialDer(phi, c)))
      $
      这个 $psi$ 当然就是局部的首次积分，恰有 $n$ 个独立的分量（既然在 $x_0$ 处上式表明偏导是 $id$）也即 $n$ 个首次积分。

      第三部分是类似的，也不证明。
    ]
  == 一阶线性齐次偏微分方程
    #definition[一阶线性齐次偏微分方程][
      称：
      $
      A(xv) der(u, xv) = f(xv)
      $
      是一阶线性齐次偏微分方程
    ]
    #definition[特征方程][
      称：
      $
      der(x_i, A_i (xv)) = der(x_j, A_j (xv))
      $
      为齐次一阶线性偏微分方程的特征方程，它可以看成关于某个分量的 $n-1$ 阶常微分方程
    ]
    #theorem[][
      设特征方程有 $n-1$ 个独立的首次积分 $phi_i$ ，则原偏微分方程的通解恰为：
      $
      Phi(phi_1, phi_2, ..., phi_(n-1))
      $
      其中 $Phi$ 是任何 $C^1$ 函数
    ]
    #proof[
      设 $A_1 (xv) != 0$，特征方程实际上形如：
      $
      der(x_i, x_1) = (A_i (x))/(A_1 (x))
      $
      不难发现 $u$ 是偏微分方程的解当且仅当 $u$ 是常数或者是特征方程的一个首次积分，由 @first-integral 立得结论。
    ]
    #example[][
      - 考虑方程：
        $
        (x + y) partialDer(u, x) - (x  - y) partialDer(u, y) = 0
        $
        其特征方程为：
        $
        der(y, x) = (y  - x)/(y + x)
        $
        可以解出一个首次积分：
        $
        (x^2 + y^2)e^(2 arctan y/x) 
        $
        因此原方程的通解为：
        $
        phi((x^2 + y^2)e^(2 arctan y/x) )
        $
      - 
        $
        sqrt(x) partialDer(f, x) + sqrt(y) partialDer(f, y) + z partialDer(f, z) = 0
        $
        且 $f(x, y, 1) = x y$，求 $f$\
        类似的可以解出：
        $
        f = phi(sqrt(x) - sqrt(y), sqrt(y) - ln z)\
        $
        代入可得：
        $
        x y = f(x, y, 1) = phi(sqrt(x) - sqrt(y), sqrt(y) )
        $
        做变量替换：
        $
        cases(
          u = sqrt(x) - sqrt(y),
          v = sqrt(y)
        )
        $
        可反解出 $phi$
    ]
  == 一阶拟线性偏微分方程
    #definition[一阶拟线性偏微分方程][
      称：
      $
      A(xv, u) der(u, xv) = B(xv, u)
      $
      是一阶拟线性偏微分方程
    ]
    #theorem[][
      #let sumf = sumf.with(lower: $1$, upper: $n$)
      对于一阶拟线性偏微分方程，考虑微分方程：
      $
      sumf() A_i (xv, u) der(Phi, x_i) + B(xv, u) der(Phi, u) = 0
      $<eq-t>
      这是关于 $xv, u$ 的一阶线性齐次偏微分方程，设其解为：
      $
      Phi(xv, u)
      $
      则 $Phi(xv, u) = 0$ 对应的 $u$ 就是原方程的解。反之，任意原方程的解 $u = phi(xv)$ 都有：
      $
      Phi = phi(xv) - u
      $
      是@eq-t 的解
    ]
    #theorem[][
      若称：
      $
      der(x_i, A_i (xv)) = der(x_j, A_j (xv)) = der(u, B (xv, u))
      $
      为拟线性方程的特征方程，且有 $n$ 个独立的首次积分，则原方程的通解恰为：
      $
      Phi(phi_1, phi_2, ..., phi_n) = 0
      $
    ]