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= Einleitung

Ob in der Mathematik die Axiome der natürlichen Zahlen und der Mengenlehre, in der Physik die der klassischen Mechanik oder in der Biologie die der Evolutionstheorie, Axiome sind in der Wissenschaft allgegenwärtig.
Axiome sind Annahmen, die nicht bewiesen werden, sondern vorausgesetzt werden.
Warum jedoch setzt die Wissenschaft Axiome voraus, wenn sie doch auf Beweisen und Experimenten beruht und eben die historische Abkehr unter anderem von religiösen Dogmen sein soll? Diese Frage soll in dieser Arbeit behandelt werden. Es soll gezeigt werden, warum Axiome in der Wissenschaft notwendig sind, um überhaupt wissenschaftliche Theorien aufstellen zu können, wie sie sich von Dogmen unterscheiden und warum sie nicht im Widerspruch zu wissenschaftlicher Methodik stehen, sondern diese erst ermöglichen.

= Folgen des Induktionsproblems

Induktives Schließen bedeutet, aus spezifischen Beobachtungen allgemeine Schlussfolgerungen zu ziehen und zu Theorien zu entwickeln. @poser2001[vgl.&115, 117]
Im Gegensatz zum deduktiven Schließen, bei dem aus allgemeinen Prämissen spezifische Schlüsse gezogen werden. @poser2001[vgl.&115]
Ein klassisches Beispiel für induktives Schließen ist die Beobachtung, dass die Sonne jeden Tag im Osten aufgeht.
Aus einer Vielzahl solcher Beobachtungen könnte man induktiv schließen, dass die Sonne immer im Osten aufgehen wird. @poser2001[vgl.&117]
Diese Art der Schlussfolgerung ist jedoch prinzipiell unsicher, da sie auf der Annahme beruht, dass zukünftige Beobachtungen mit vergangenen Beobachtungen übereinstimmen werden. @poser2001[vgl.&118]
Das Induktionsproblem, das erstmals von <NAME> im 18. Jahrhundert artikuliert wurde, stellt genau diese Annahme infrage. @arnold1983[vgl.&31-32]
Hume argumentierte, dass es keine rationale Rechtfertigung dafür gibt, anzunehmen, dass die Zukunft der Vergangenheit ähneln wird. @arnold1983[vgl.&31]
Mit anderen Worten, nur weil die Sonne bisher immer im Osten aufgegangen ist, gibt es keine logische Notwendigkeit, die garantiert, dass sie es morgen wieder tun wird.
Diese Erkenntnis wirft ernsthafte Zweifel an der Zuverlässigkeit induktiver Schlussfolgerungen auf, da sie letztlich auf einer ungesicherten Annahme über die Regelmäßigkeit der Natur beruhen.
Verschiedene Philosophen und Wissenschaftstheoretiker haben versucht, das Induktionsproblem zu lösen oder zumindest dessen Auswirkungen abzumildern.
Das Induktionsproblem bleibt jedoch ein fundamentale ungelöstes. @poser2001[vgl.&115-126]
Es zwingt uns, die Grenzen unseres Wissens, anzuerkennen und zeigt die Notwendigkeit einer kritischen Haltung gegenüber unseren induktiven Schlussfolgerungen auf. @poser2001[vgl.&126-127]

= Axiome als Grundlage wissenschaftlicher Theorien

Wenn also Induktion keine stabile Grundlage für wissenschaftliche Theorien bietet, was soll die Alternative sein?
Deduktion?
Auf Basis wovon?
Für die Deduktion fehlt es an sicheren Wahrheiten, auf deren Grundlage weiter gedacht werden kann.
Der axiomatische Ansatz bietet hier eine Lösung.
Es wird eine Menge von Axiomen festgelegt, im Grunde Aussagen, die als wahr angenommen werden und von denen aus deduktiv weiter gearbeitet werden kann.
Die Axiome sind dabei keineswegs willkürlich, sondern müssen überlegt gewählt werden.
Sie müssen so gewählt werden, dass sie den gewünschten Geltungsbereich abdecken, dabei aber trotzdem so begrenzt wie möglich sind. @hintikka2011[vgl.&74]
Keineswegs dürfen sie Aussagen enthalten, die nicht notwendig sind und über den Geltungsbereich hinausgehen.
Die Axiome einer Theorie grenzen also auch den Geltungsbereich der Theorie ab. @hintikka2011[vgl.&74]
Offensichtlich müssen sie auch konsistent sein.
Axiome eines Systems dürfen sich nicht widersprechen, weder untereinander noch durch die deduktiven Schlüsse, die aus ihnen gezogen werden oder werden können. @hintikka2011[vgl.&74]
Eine axiomatische Theorie definiert mit ihren Axiomen Voraussetzungen, unter denen sie gilt.
Nehmen wir zum Beispiel die Mathematik und die Axiome der natürlichen Zahlen und der Mengenlehre, auf denen sie aufbaut. @hintikka2011[vgl.&80]
Bei Verwendung der Gleichen Axiome wird immer logisch beweisbar sein, dass $sqrt(4096) = plus.minus 64$ (die Quadratwurzel aus $4096$ eqivalent $plus.minus 64$ ist).
Eine auf Axiomen basierende Theorie folgt der Form:

$ A_1, A_2, dots.h, A_n -> T_1, T_2, dots.h, T_n $

Wobei $A_1, A_2, dots.h, A_n$ die Axiome und $T_1, T_2, dots.h, T_n$ die Theoreme sind.
Die Theoreme sind dabei Aussagen, die aus den Axiomen folgen.
Sie folgen deduktiv logisch aus den Axiomen.
Die Wahrheit der Theoreme und mit ihnen die Wahrheit der Theorie hängt also von der Wahrheit der Axiome ab.
Der Inhalt einer Theorie wird so zu relativem Wissen, relativ zu den jeweiligen Axiomen.
Im weiteren Sinne kann man bei diesem Wissen von relativem a priori sprechen. @poser2001[vgl.&36-37]
Nicht als "es könnte auch anders sein", sondern im Sinne von "es ist so, unter der Voraussetzung, der Axiome".
Ohne absolute Wahrheiten zu kennen, kann so dennoch Wissen generiert werden.
Wissen, das die Zusammenhänge, Strukturen und Logik des Geltungsbereichs der Theorie beschreibt.
Axiomatisierung macht so wissenschaftliche Arbeit außerhalb von experimenteller Falsifikation möglich.

= Basis aller Naturwissenschaft

In vielen Wissenschaften sind auch Axiome vorausgesetzt, die nicht explizit ausformuliert werden.
Sie sind dann in der jeweiligen Wissenschaftsgemeinschaft Kontext der für selbstverständlich gehalten wird.
Grundlegend muss z.B. jede Naturwissenschaft voraussetzen, dass die Welt (und der spezifische Geltungsbereich) verstehbar ist, um überhaupt anzufangen, sie erklären zu wollen.
Auch diese Annahme ist ein Axiom.
Wenn so eine Theorie aufgestellt wird, ist immer ein "unter der Voraussetzung, dass die Welt sich systematisch wissenschaftlich erklären lässt" axiomatisch impliziert.
Je nach wissenschaftlicher Disziplin werden dann spezifische Axiome angenommen, in der Physik meinetwegen Aussagen über Zeit und Raum.

= Unterschied zu Dogmen

Axiome unterscheiden sich von Dogmen in ihrer Natur. Dogmen sollen unveränderliche, unantastbare Wahrheiten sein, die nicht hinterfragt werden dürfen. Axiome hingegen sind Annahmen, die als wahr angenommen werden, um von ihnen aus weiterzudenken. Sie sind nicht zwangsweise unveränderlich, sondern können und müssen hinterfragt und auch angepasst werden, wenn sie sich als falsch herausstellen oder stärkere gefunden werden. Axiome sind zwangsweise konsistent und folgen einer logischen Struktur und sind damit nicht willkürlich, eine Einschränkung, die für Dogmen nicht gemacht wird. Axiome sind nicht in Widerspruch zur wissenschaftlichen Methode, sondern ihre Voraussetzung.

//TODO: rechtschreibung ab hier überprüfen

= Der historische Kontext

Im Folgenden ein auf <NAME> Arbeit @hintikka2011 basierender historischer Überblick über die axiomatische Methode in der Mathematik und Logik.

Die historische Entwicklung der axiomatischen Methode offenbart eine Evolution im Kern der mathematischen und logischen Theoriebildung. @hintikka2011[vgl.&72]
Ursprünglich im antiken Griechenland als ein Weg zur systematischen Grundlegung mathematischer Beweise konzipiert; @hintikka2011[vgl.&72]
erfuhr sie im 19. Jahrhundert eine entscheidende Neukonzeptualisierung, maßgeblich angetrieben durch das Bestreben, Mathematik durch die Präzisierung ihrer Grundlagen neu zu definieren. @hintikka2011[vgl.&69-70]
Die Metatheorie eines Axiomensystems, also die Untersuchung der Eigenschaften und der Struktur des Systems selbst, wurde zu einem zentralen Bestandteil der axiomatischen Methode. @hintikka2011[vgl.&70-71]
Diese Entwicklung reflektiert das Verständnis, dass die Ableitung von Theoremen aus Axiomen nicht lediglich neue Tiefeninformationen erzeugt, sondern vielmehr Oberflächeninformationen liefert, die für das Verständnis der Struktur und der inneren Logik des Systems unerlässlich sind. @hintikka2011[vgl.&69, 78]
Die Auseinandersetzung mit der Axiomatisierung der Logik und der Mengenlehre verdeutlichte die Grenzen und Herausforderungen, die mit der axiomatischen Methode einhergehen. @hintikka2011[vgl.&75]
Insbesondere die Versuche, die Logik axiomatisch zu fassen, stießen auf das Problem, dass ein logisches System zur Untersuchung seiner selbst verwendet wird, was eine Reihe von Paradoxien und Unklarheiten mit sich brachte. @hintikka2011[vgl.&75-76]
Ähnlich verhält es sich mit der Axiomatisierung der Mengenlehre, deren Modelle nicht adäquat die Strukturen von Mengen widerspiegelten, wie ursprünglich beabsichtigt. @hintikka2011[vgl.&79]
Die historische Betrachtung der axiomatischen Methode offenbart nicht nur ihre zentrale Bedeutung für die Entwicklung der Mathematik und Logik, sondern auch die tiefgreifenden philosophischen und methodologischen Fragen, die mit ihr verbunden sind. @hintikka2011[vgl.&84-85] Diese reichen von der Natur mathematischer Wahrheit und der Rolle von Axiomen in der Theoriebildung bis hin zu den Grenzen logischer und mathematischer Systeme. @hintikka2011[vgl.&84-85]

= Mangel an Allternativen

Es gibt zahlreiche scheinbare Alternativen zur axiomatischen Methode, die sich jedoch bei genauerer Betrachtung als unzureichend oder im Grunde äquivalent herausstellen. @poser2001[vgl.&]
Entweder sie scheitern am Induktionsproblem, sind im Kern selbst axiomatisch, es wird nur nicht explizit von Axiomen gesprochen, oder sie widersprechen der axiomatischen Methode nicht und formulieren z.B. nur aus, wie eine axiomatische Theorie durch eine andere ersetzt werden kann (Paradigmenwechsel, hermeneutische Spriralbewegung des Verstehens). @poser2001[vgl.&157 ff., 230-231]
Zum Beispiel wird die Annahme, dass die Welt verstehbar ist und sich systematisch wissenschaftlich erklären lässt, implizit vorausgesetzt.
Oder auch einfach ein anderes Wort für Axiome verwendet, z.B. Festsetzung.
Es scheint der Wissenschaft also an Alternativen zum axiomatischen Ansatz zu mangeln.

= Fazit

Axiome erweisen sich als unverzichtbare Basis wissenschaftlicher Theorien.
Ein Axiom ist eine Annahme, die als wahr angenommen wird, um von ihr aus weiterzuarbeiten, also eine Bedingung unter der die aus ihr gefolgerten Theoreme gelten.
Die axiomatische Methode ermöglicht es, so auch ohne absolute Wahrheiten, systematisch und kohärentes Wissen zu generieren, was durch induktive Schlussfolgerungen allein nicht möglich wäre.
Es wird eine Menge von Axiomen gewählt, die den gewünschten Geltungsbereich abdecken.
Aus ihnen werden dann deduktiv Theoreme abgeleitet, die die Struktur und Logik des Geltungsbereichs der Theorie beschreiben.
Wichtig dabei Axiome sind dabei keineswegs dogmatisch, da sie nicht als wahr festgelegt sind sondern nur innerhalb einer Theorie als wahr angenommen werden und durchaus hinterfragt werden sollen und angepasst werden können.
Diese Flexibilität erlaubt es, Theorien zu bilden, im Bewusstsein der relativen Natur des daraus gewonnen Wissens.
Axiome sind also nicht im Widerspruch zur wissenschaftlichen Methode, sondern in großen Teilen ihre Voraussetzung und auch Ausdruck der wissenschaftlichen Bestrebung, die Welt systematisch und kohärent zu erklären.
