= Условная вероятность

Обозначение $A$ при $B$: $P(A|B)$ или $P_B (A)$

$ P(A) P(B|A) = P(A B) = P(B) P(A|B) $

= Гипотезы

Формула полной вероятности: $ P(A) = sum^n_(j = 1) P(H_j) P(A|H_j) $

Формула Баеса: $ P(H_i|A)
    = (P(H_i)P(A|H_i)) / (sum^n_(j = 1) P(H_j) P(A|H_j))
    = (P(H_i)P(A|H_i))/P(A) $

$H_i$ --- гипотезы

$A$ --- событие

= Задачи

== Задача
Два стрелка

$P_1 = 0.8$
$P_2 = 0.7$

$A$ --- поражение цели хотя бы одним
$A_1$ --- поражение цели первым
$A_2$ --- поражение цели вторым

Методы:
+ $P(A) = P(A_1) + P(A_2) - underbrace(P(A_1 A_2), P(A_1) P(A_2))$
+ $P(A) = P(A_1) P(overline(A_2)) + P(A_2) P(overline(A_1)) + P(A_1) P(A_2)$
+ $P(A) = 1 - P(overline(A_1)) P(overline(A_2))$

== Задача про Золушку

$A$ --- достала хрустальную

$H_i$ --- выбрала $i$-ую коробку

$D_1$ --- утеряна хрустальная, $D_2$ --- утеряна серебряная 

$ P(D_1) = 3/5, P(D_2) = 2/5 $
$ P(A|H_1) = P(D_1) dot 2/4 + P(D_2) dot 3/4 = 3/5 dot 2/4 + 2/5 dot 3/4 = 3/5 $
$ P(A|H_2) = 2/6 $
$ P(A|H_3) = 1 $
$ P(A) = sum^3_i_1 P(H_i)P(A|H_i) = 1/3 dot (3/5 + 1/3 + 1) = 29/45 $

== Задача про Завод

$ P(A) = 0.05 $
$ P(B|A) = 0.1 $
$ P(B|overline(A)) = 0.01 $
$ P(overline(B)) = ? $

$ P(B) = P(A) P(B|A) + P(overline(A)) P(overline(A))
    = 0.05 dot 0.1 + 0.95 dot 0.01 = 0.0145 $

$ P(overline(B)) = 1 - P(B) = 0.9855 $

== Задача про схему

#figure(image("./scheme.svg", height: 3cm))

$ P_1 = 0.8 $
$ P_2 = 0.7 $
$ P_3 = 0.6 $
$ P(A_1) = P_1 $

$ P(A) = P(A_1) dot [1 - (1 - P(A_2)) dot (1 - P(A_3))] $

== Задача 31

$A, B$ --- независимы
$ P(A B) = P(B) = 1/4 $
$ P(A + B) = ? $

$ P(A) P(B) underbrace(=, "т.к. независимы") = P(A B) = 1/4 $
$ P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A B) = ... $

== Задача 32

$ P(A) = 1/2, P(B) = 2/3, P(A + B) underbrace(>=, ?) 1/6 $

$ P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A B) = 7/6 - underbrace(P(A B), <=1) >= 1/6 $

== Задача 22

$ 1 - (1 - p)^n >= 0.95 $
$ 1 - 0.99^n >= 0.95 $
$ 0.05 >= 0.99^n $
$ ln(0.05) >= n ln(0.99) $
$ ln(0.05)/ln(0.99) <= n $
$ 298.07... <= n $
$ n = 299 $

== Задача 23

$ 1 - (1 - 0.9)^n >= 0.999 $
$ 0.001 >= 0.1^n $
$ ln(0.001)/ln(0.1) <= n $
$ 3 <= n $
$ n = 3 $
