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#show: note.with(
  title: "作业8",
  author: "YHTQ  ",
  date: none,
  logo: none,
  withOutlined: false,
  withTitle: true
)
= 
  +
    总收入 $R = p q  = q(a - b q) $\
    边际收入 $M R = der(R, q) = a - b q - b q = a - 2 b q $
  +
    垄断时应有边际收入等于边际成本，也即：
    $
    a - 2 b q = c\
    q_0 = (a - c)/(2 b)\
    p_0 = a - b q_0 = a -(a-c)/2 = (a + c)/2\
    $
    利润为：
    $
    w = p_0 q_0 - c q_0 = (a^2 - c^2)/(4 b) - c (a - c)/(2b) = (a^2 - 2 a c +c^2)/(4b) = (a - c)^2/(4b)
    $
    消费者剩余为：
    $
    u = integral_(0)^(q_0) p(q) - p_0 dif q\
    = integral_(0)^(q_0) a - p_0 - b q dif q\
    = integral_(0)^(q_0) (a - c)/2 - b q dif q\
    = b integral_(0)^(q_0) (a - c)/(2 b) - q dif q\
    = b integral_(0)^(q_0) q_0 - q dif q\
    = b integral_(0)^(q_0) q dif q\
    = b q_0^2/2 = (a-c)^2/(8b)\
    $
  +
    完全竞争状态下，应有边际收益 $M R' = p_0'$，边际成本为 $c$ ，因此：
    $
    p_0 ' = c\
    q_0 ' = (a - c)/b
    $
    利润为：
    $
    p_0 ' q_0 ' - c q_0 ' = 0
    $
    消费者剩余为：
    $
    u ' = integral_(0)^(q_0 ') p(q) - p(q_0 ') dif q\
    = q_0 ' p((q_0 ')/2) = (a-c)/b (a - (a-c)/2) = (a^2 - c^2)/(2b) 
    $

=
  + 
    总利润为：
    $
    p q -338 = (25 - 0.5 q)q - 338 < 0
    $
    利润最大化时有 $25 = q$，利润为 $25^2/2 -338 = 312.5 - 338 < 0 $\
    从而无论如何都会亏本
  +
    总利润为：
    $
    p q  + t q -338 = (25 - 0.51q +t)q -338 = (t + 25 - 0.51q)q -338
    $
    上式取最大值时 $q$ 满足：
    $
    t + 25 = 2 dot 0.51 q = 1.02q
    $
    利润为：
    $
    (1.02q)^2/2 - 338
    $
    考虑到 $q$ 是整数，取 $q = 26$ 利润已经为正，此时 $t = 1.02 * 26 - 25 = 1.52$\
    发放的总补贴为：
    $
    26 t = 39.52
    $
  + 
    总利润为：
    $
    p q + K -338 = 312.5 + K - 338 >0 => K > 25.5
    $
  +
    方案二的政府支出更小。注意到按量补贴时，相当于边际收益增加，因此会改变企业最优化利润的点，企业更倾向于生产更多的同时获得更多的补贴，因此政府的支出更大。
=
  +
  $
  q = cases(
    0 space &p > 7,
    140 - 20p space &5.5 < p lt.eq 7,
    360 - 60p space &0 < p lt.eq 5.5
  )
  $
  +
    对后两段分别计算
    - 在第二段时，最优价格满足：
      $
      40p = 140 => p = 3.5
      $
      不合法，因此不在这段内取最大值
    - 在第三段时，最优价格满足：
      $
      360 = 120p => p = 3
      $
      这就是利润最大化时的价格，利润为：
      $
      (360 - 180)*3 = 540
      $
      此时：
      $
      q_s = 220 - 40 * 3 = 100\
      q_n = 140 - 20 * 3 = 80
      $
  +
    设对两群体售价分别为 $p_s, p_n$，总利润为：
    $
    p_s q_s + p_n q_n = p_s (220 - 40p_s) +  p_n (140 - 20 p_n)
    $
    利润最大化时有：
    $
    80 p_s = 220 => p_s = 11/4\
    40 p_n = 140 => p_n = 7/2
    $
    最大总利润为：
    $
    11/4 * 110 + 7/2 * 70 = (1210 + 980)/4 = 1095/2 > 540
    $
    厂商总利润增大了
  +
    厂商当然受益了。对于两类顾客，分别计算前后的消费者剩余：
    $
    u_s = integral_(0)^(q_s) (p(q) - p(q_s)) dif q\
    = integral_(p_0)^(5.5) p - p_0  dif 40p\
    =40 integral_(p_0)^(5.5) p - p_0 dif p\
    =40 integral_(p_0)^(5.5) p - p_0 dif p\
    = 40 integral_0^(5.5-3) p dif p\
    = 40 * (2.5)^2/2 = 125
    $
    $
    u_n = integral_(0)^(q_n)p(q) - p(q_n) dif q\
    = p(q_n/2)q_n - p(q_n)q_n\
    = (7 - 40/20 - 3) * 80 = 160
    $
    $
    u_s ' = integral_(0)^(q_s') (p(q) - p(q_s')) dif q\
    = (5.5 - 55/40 - 11/4) * 110 = 151.25
    $
    $
    u_n ' = integral_(0)^(q_n') (p(q) - p(q_n')) dif q\
    = (7 - 35/20 - 3) * 70 = 157.5
    $
    因此学生受益了，其他人群亏损了