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  *同伦论简史* (摘要)

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同伦论发源于拓扑学的研究, 而逐渐抽象成为独立的学科. 当今的同伦论, 可以说是研究无穷群胚、谱与相关对象的学科. 从代数拓扑逐渐现代化的过程中, 同伦论曾经多次将学科的基础语言重写. 因此, 许多概念或许会稍显晦涩. 理清其历史脉络, 对于同伦论中概念的学习有很大帮助.

= 开端

一般认为, 同伦论的起源是 Poincaré 于 1895 年发表的 _Analysis Situs_.

在 Poincaré 之前, 可以说唯一的重要同伦概念是曲面的 Euler 特征. Betti 提出了任意维度的 Betti 数的概念, 大致而言是几何体中可以画出多少个 $k$ 维曲面, 使得它们不构成某个 $(k+1)$ 维曲面的边界.
Poincaré 将这个想法放在了同调的框架下, 即考虑曲面的线性组合, 并且商去边界. 利用这个框架, Poincaré 将 Euler 的多面体公式推广到了高维, 并且发现了 Poincaré 对偶的现象.

在 _Analysis Situs_ 中的另一个重要想法是基本群的概念. Poincaré 注意到了将曲面沿着边界粘起后得到的基本群可以从粘接的方式直接得到. 同时, 在一份补充中他构造了一个与三维球面 $SS^3$ 同调相同但是基本群不同的空间.

// Poincaré 的三种构造方式: 方程、坐标、粘接. https://webspace.science.uu.nl/~siers101/ArticleDownloads/Poincare%27_naw5-2012-13-3-196.pdf
事实上, 此时数学中甚至还没有拓扑空间的概念. Poincaré 的论证并不完全严谨. Fréchet 在 1906 年定义了度量空间, 而 Hausdorff 在 1914 年提出了拓扑空间的概念. 这使得拓扑学能严谨地研究更一般的几何体, 而不仅限于代数方程等传统方式构造的空间.

= 代数拓扑

Poincaré 也注意到, Betti 数 —— 在当代视角看, 就是同调群中无挠部分的秩 —— 遗漏了同调中的一部分信息. 例如在射影平面 $RR PP^2$ 中, 无穷远直线本身不是曲面的边界, 但是与自身相加之后是 $RR^2 subset.eq RR PP^2$ 的边界. 这种现象来自于空间的扭曲, 因此被称作 “挠” (torsion).

1925 年, Noether 认识到 Betti 数和挠数实际上可以统一到一个代数结构中, 即同调群. “挠元” 这个术语就是从拓扑引入到代数中的. 由于同调等计算是利用了空间的三角剖分或者类似的组合结构, 这部分数学被称作 “组合拓扑”. 随着同调群的提出, “代数拓扑” 这个名字就逐渐取代了原先的名字.

随着点集拓扑的理论逐渐成熟, 许多数学家致力于将同调推广到更一般的, 无需三角剖分的空间. 上同调理论也是在这段时间提出的. 1943 年, Eilenberg 提出奇异同调的概念, 随后数学界对一般的拓扑空间同调与上同调进行了系统性的研究. 1945 年, Eilenberg 与 Steenrod 提出了统摄同调理论的 Eilenberg–Steenrod 公理. 这 (至少限制在有限复形的范围内) 统一了当时提出的各种各样的同调与上同调理论.

= 同调代数

不同系数的同调之间有相互关联. 1935 年, Čech 发现整数系数的同调可以确定任何其他交换群系数的同调. 在 Čech 的文章中可以看到交换群的张量积与 $"Tor"_1$ 积的表现. 上同调的万有系数定理也随着 $"Hom"$ 与 $"Ext"$ 这两个代数概念一起提出.

群的低维同调与上同调是早已被研究的课题, 如叉同态 (crossed homomorphism) 的概念对应 $H^1 (G; A)$. Eilenberg 与 Mac Lane 利用 $K(G, 1)$ 空间定义了群的任意维数同调与上同调, 将同调代数的语言正式引入了代数学. 在此之后, 对结合代数与 Lie 代数的研究也利用这种新语言迅速发展.

Lyndon 在对群上同调的研究中已经注意到了谱序列的雏形. 1947 年, 根据 Cartan 的建议, Koszul 以滤链复形为核心概念, 发展出了谱序列的代数框架. 在第二次世界大战中, 数学家 Leray 在被俘期间发展了层论与层上同调, 谱序列成为了计算层上同调的重要工具. 在战后, Cartan, Eilenberg, Serre 等人将谱序列与层的理论进一步发展成熟.

Cartan 与 Eilenberg 在 1950 年代著书 《同调代数》, 为这个领域带来了一场革命. 他们定义了投射模的概念, 与内射模对举. 这使得 $"Ext"$ 和 $"Tor"$ 能统一地作为导出函子处理. 如 Hochschild 所言, 这本书的出现标志着同调代数的摸索时代正式结束.

// https://www.math.uchicago.edu/~may/PAPERS/118.pdf

= 范畴论

1945 年, Eilenberg 与 <NAME> 提出了范畴、函子与自然变换. 这是为了定义自然同构, 因此范畴在一段时间内都只是一种同调代数中临时方便性质的语言. 1955 年左右, Kan 提出了伴随函子、极限与余极限、Kan 扩张等的定义, 这些形成了当今范畴论的基础概念.

范畴论真正成为独立的学科, 是在 Grothendieck 发表于 1957 年的 _Sur quelques points d'algèbre homologique_. Grothendieck 公理化地定义了 Abel 范畴等. 这使得同调代数可以在更高的抽象层次上进行. 这也启发了数学家, 可以在其他领域中寻找能够囊括领域基础概念的范畴公理化体系. 同时, 伴随函子等概念在数学中的普遍性逐渐显现出来, 许多领域中的重要定理都可以放在范畴的框架下表述.

接下来, 在 1960 年代, Lawvere 将范畴论与数学基础联系起来. 他将集合构成的范畴公理化, 并且找到了许多逻辑系统的范畴语言表述. 同时, Lambek 将推理系统的性质放在了范畴的框架下研究. 这些研究催生了意象 (topos) 的概念. Grothendieck 将意象用于代数几何的研究. 而在 1970 年代, 意象在各个领域都得到了应用, 展现出截然不同的面貌, 正如盲人摸象一般.

同调论中的 $"Ext", "Tor"$ 等导出函子的概念, 被 Grothendieck 放在了导出范畴的体系下. 这将同调和同伦统一到了一起, 传统的同调理论成为了同伦理论的一个低维投影. 这一点之后会在无穷范畴的发展中得到进一步体现.

= 无穷范畴

一直以来, 同伦论的研究受制于空间的性质. 许多同伦定理都是先在性质较好的空间 (如 $Delta$ 复形) 上建立的. 1948 年, Whitehead 提出了 CW 复形. 它满足 Whitehead 定理, 即弱同伦等价能推出同伦等价. 1949 年, Eilenberg, Zilber 提出了单纯集的概念. 它相较之前的单纯复形避免了一些退化的面难以处理的问题. 之后, 由 Kan 发展了单纯集上的同伦论, 完全脱离了拓扑空间的限制.
1967 年, 仿照同调代数的做法, Quillen 提出了同伦代数的概念, 试图在范畴中抽象地考虑同伦. 这最终的结果是模型范畴的提出.

单纯集可以看作是无穷群胚的一种表现, 正如群表现之于群一样. 而单纯集构成的模型范畴给出了一种抽象的通过表现操作无穷群胚的办法. 1973 年, Boardman 与 Vogt 引入了拟范畴 (quasicategory), 标志着无穷范畴论的开端. 在这个框架下, 同伦范畴可以看作是无穷范畴包含信息的截断, 正如基本群是拓扑空间所包含信息的截断. 导出范畴也可以视作一种同伦范畴, 因此其对应的无穷范畴视角揭示了其本质. 进入 21 世纪, <NAME> 写出了《高阶意象论》, 整理了对无穷范畴论与无穷意象的研究.

= 展望

当今, 同伦论也有着激动人心的发展. 2009 年, 由 Voevodsky 等人提出了同伦类型论, 使得同伦理论可以脱离具体的模型而公理化的进行, 正如 Euclid 公理使得平面几何不需要具体构造实数一样. 这种类型论也可以作为数学的基础. 2012–13 年举办了泛等数学基础特别年, 从各个角度大大发展了同伦类型论.

当然, 同伦论的发展也有许多挑战. <NAME> 在《同伦论的未来》中提出了一些学科发展的忧虑. 例如同伦论仍然被视为拓扑学的子分支, 而实际上它所关心的问题与研究的方法已经与拓扑学相差较远, 因此这不利于审稿等学术活动.

同伦论有着非常丰富的历史, 在相对较短的时间内, 能凭借新的发现对旧有的基础理论作出多次重写, 是相当罕见的. 同时, 同伦论与数学、物理、计算机等领域都有广泛的联系. 这都是同伦论在未来蓬勃发展的动力源.
