#import "@preview/problemst:0.1.0": pset

#show: doc => pset(
  doc,
  class: "Group Theory I",
  student: read("../.authorinfo"),
  title: "Homework 1",
  date: datetime(year: 2024, month: 9, day: 29),
)
=

对于某个三阶群 $G={e,a,b}$, 由于 $a e=e a=a$, 所以 $a^2!=a$. 若 $a^2=e$, 那么只有 $a b=b a=b$, 这与 $e b=b e=b$ 矛盾. 所以假设不成立, 这个群必须满足 $a^2=b$, 同理 $b^2=a$, $a b=b a=e$. 那么三阶群 $G={e,a,b}$ 只能为 $Z_3$: 
#align(
  center,
  table(
    align: center,
    columns: 4,
    [/], $e$, $a$, $b$,
    $e$, $e$, $a$, $b$,
    $a$, $a$, $b$, $e$,
    $b$, $b$, $e$, $a$,
  ),
)

=
对于群 $G$, 设其有子群 $A$, $B$, 由于 $A sect B subset A,A sect B subset B$, 根据子群 $A,B$ 的性质有
- 逆元: $forall g in A sect B$, $g$ 的逆 $g^(-1) in A, g^(-1) in B => g^(-1) in A sect B$
- 封闭性: $forall f,g in A sect B, f g in A, f g in B => f g in A sect B$
这足以证明集合 $A sect B$ 在群 $G$ 的乘法下也是群 $G$ 的子群. 

=

对于四阶群 $G$, 其任意一个非幺群元 $forall a in G$ 的阶只能为 $2,4$. 

如果其阶为4, 那么 $G$ 本身就是这个群元生成的循环群 $Z_4={e,a,a^2,a^3}$, 这个循环群群显然是交换群. 

如果所有群元的阶都为2, 也就是对于三个非幺群元 $a,b,c$ 有 $a^2=b^2=c^2=e$, 这使得$a b!=e$, 同时由于非幺,  $a b!=a,a b!= b$, 这使得 $a b=c$. 同理我们有 $a b = b a = c, b c = c b =a, c a = a c = b$. 这说明群 $G={e,a,b,c}=Z_2 times.circle Z_2$ 是一个交换群. 

所以四阶群只有2个, 且都是交换群. 

=

群 $G={1,i,-1,-i}$ 具有不变子群 $H={1,-1}$, 商群 $G\/H={H,i H}$

=

记 $A=mat(0,1;-1,0),B=mat(0,1;1,0)$
$ A^2 = mat(-1,0;0,-1) = -I, A^3 = -I A = -A, A^4 = I $
所以 $mat(0,1;-1,0)$ 是4阶群元. 
$ B^2 = I $
所以 $mat(0,1;1,0)$ 是2阶群元. 
$ A B=mat(1,0;0,-1), B A=mat(-1,0;0,1) = A^3 B $

那么乘法表就能直接得出了, 这是一个 $D_4$ 群, 阶为8
#align(
  center,
  table(
    align: center,
    columns: 9,
    [/], $I$, $A$, $A^2$, $A^3$, $B$, $A B$, $A^2 B$, $A^3 B$,
    $I$, $I$, $A$, $A^2$, $A^3$, $B$, $A B$, $A^2 B$, $A^3 B$,
    $A$, $A$, $A^2$, $A^3$, $I$, $A B$, $A^2 B$, $A^3 B$, $B$,
    $A^2$, $A^2$, $A^3$, $I$, $A$, $A^2 B$, $A^3 B$, $B$, $A B$,
    $A^3$, $A^3$, $I$, $A$, $A^2$, $A^3 B$, $B$, $A B$, $A^2 B$,
    $B$, $B$, $A^3 B$, $A^2 B$, $A B$, $I$, $A^3$, $A^2$, $A$,
    $A B$, $A B$, $B$, $A^3 B$, $A^2 B$, $A$, $I$, $A^3$, $A^2$,
    $A^2 B$, $A^2 B$, $A B$, $B$, $A^3 B$, $A^2$, $A$, $I$, $A^3$,
    $A^3 B$, $A^3 B$, $A^2 B$, $A B$, $B$, $A^3$, $A^2$, $A$, $I$,
  ),
)

共轭类有 ${I}, {A^2}, {A, A^3},{B,A^2 B},{A B,A^3 B}$

=
（该题以及之后所有涉及 $D_3$ 的题目均使用书上的记号）

$D_3={e,d,f,a,b,c}$ 的子群为 ${e,d,f},{e,a},{e,b},{e,c},{e},{e,d,f,a,b,c}$, 其中不变子群为 ${e},{e,d,f},{e,d,f,a,b,c}$

=

设群 $H$ 是群 $G$ 的子群, 对于非子群本身的左陪集 $g H != H, g in G$, 假设 $exists h in H, h in g H$, 这说明 $exists h' in H, g h' = h$ 这使得 $g = h (h')^(-1) in H$, 从而 $g H = H$, 这与$g H != H$矛盾. 故任意非子群本身的左陪集 $g H$ 都不包含子群的元. 

对于任意两个 $g H!=H$ 中的元素 $g h_1,g h_2$, $(g h_1)(g h_2)=g (h_1 g h_2)$, 而由于 $g in.not H$, 所以 $h_1 g h_2 in.not H$, 也即 $g(h_1 g h_2) in.not g H$. 这说明 $g H$ 不满足封闭性, 不能为群. 
同理任意非子群本身的右陪集 $H g$ 也不包含子群的元, 也不能为群. 

=

可以, 因为这个群本身 $G$ 和群的幺元构成的群 ${e}$ 都是不变子群. 

=

对于这样的群 $G$, 任取其中两个元素 $a,b$, 有 $a^(-1)=a, b^(-1)=b$, 那么 $a b=a b a^(-1) b^(-1) b a = a b a b b a = (a b)^2 b a = b a$, 这说明群 $G$ 为Abel群. 

=

记
$ mat(1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1)=e,mat(0,0,0,1;1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0)=a $
则很容易发现
$ a^2=mat(0,0,1,0;0,0,0,1;1,0,0,0;0,1,0,0), a^4=e $
那么只需要补一个
$ a^3=mat(0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1;1,0,0,0) $
这样就能构成一个4阶循环群了. 

共轭类为 ${e},{a},{a^2},{a^3}$

=

乘法表为
#align(
  center,
  table(
    align: center,
    columns: 7,
    [/], $f_1$, $f_2$, $f_3$, $f_4$, $f_5$, $f_6$,
    $f_1$, $f_1$, $f_2$, $f_3$, $f_4$, $f_5$, $f_6$,
    $f_2$, $f_2$, $f_1$, $f_5$, $f_6$, $f_3$, $f_4$,
    $f_3$, $f_3$, $f_6$, $f_1$, $f_5$, $f_4$, $f_2$,
    $f_4$, $f_4$, $f_5$, $f_6$, $f_1$, $f_2$, $f_3$,
    $f_5$, $f_5$, $f_4$, $f_2$, $f_3$, $f_6$, $f_1$,
    $f_6$, $f_6$, $f_3$, $f_4$, $f_2$, $f_1$, $f_5$,
  ),
)
这说明这六个函数能够构成一个群, 且与群 $D_3={e,d,f,a,b,c}$ 满足同构关系 $f_1->e,f_5->d,f_6->f,f_2->a,f_3->b,f_4->c$

=

记这些共轭类所在的群为$G$, 对于任意的$a in C_i,g in G$, 必有 $g a g^(-1) = b in C_i$, 则$g a^(-1) g^(-1) = (g a g^(-1))^(-1) = b^(-1) in C_i^*$ 也就是说 $a^(-1)$ 所在的共轭类中的元素必在 $C_i^*$中, 且有一一对应关系. 那么 $C_i^*$ 就是 $a^(-1)$ 所在的共轭类本身, 所以它是一个共轭类. 

=

$
  p_1^(-1) = mat(3,5,7,1,2,8,4,6;1,2,3,4,5,6,7,8) = mat(1,2,3,4,5,6,7,8;4,5,1,7,2,8,3,6)\
  p_2^(-1) = mat(2,5,6,8,1,7,4,3;1,2,3,4,5,6,7,8) = mat(1,2,3,4,5,6,7,8;5,1,8,7,2,3,6,4)
$
$
  (p_1 p_2)^(-1) &= [mat(1,2,3,4,5,6,7,8;3,5,7,1,2,8,4,6) mat(1,2,3,4,5,6,7,8;2,5,6,8,1,7,4,3)]^(-1)\
  &= [mat(1,2,3,4,5,6,7,8;3,5,7,1,2,8,4,6)mat(3,5,7,1,2,8,4,6;6,1,4,2,5,3,8,7)]^(-1)\
  &= mat(1,2,3,4,5,6,7,8;6,1,4,2,5,3,8,7)^(-1)\
  &= mat(1,2,3,4,5,6,7,8;2,4,6,3,5,1,8,7)
$
$
  p_2^(-1)p_1^(-1) &= mat(1,2,3,4,5,6,7,8;5,1,8,7,2,3,6,4)mat(1,2,3,4,5,6,7,8;4,5,1,7,2,8,3,6)\
  &= mat(1,2,3,4,5,6,7,8;5,1,8,7,2,3,6,4)mat(5,1,8,7,2,3,6,4;2,4,6,3,5,1,8,7)\
  &=mat(1,2,3,4,5,6,7,8;2,4,6,3,5,1,8,7)\
$
所以$(p_1 p_2)^(-1) = p_2^(-1) p_1^(-1)$

=

$
  S_3 = {mat(1,2,3;1,2,3),mat(1,2,3;2,3,1),mat(1,2,3;3,1,2),mat(1,2,3;1,3,2),mat(1,2,3;3,2,1),mat(1,2,3;2,1,3)}
$
所以子群有
$
  H_1={mat(1,2,3;1,2,3)},\
  H_2={mat(1,2,3;1,2,3),mat(1,2,3;2,3,1),mat(1,2,3;3,1,2)},\
  H_3={mat(1,2,3;1,2,3),mat(1,2,3;1,3,2)},\
  H_4={mat(1,2,3;1,2,3),mat(1,2,3;3,2,1)},\
  H_5={mat(1,2,3;1,2,3),mat(1,2,3;2,1,3)},\
  H_6={mat(1,2,3;1,2,3),mat(1,2,3;2,3,1),mat(1,2,3;3,1,2),mat(1,2,3;1,3,2),mat(1,2,3;3,2,1),mat(1,2,3;2,1,3)}
$
这6个. 其中 $H_1,H_2,H_6$ 是不变子群, $H_2$ 是含元素 $mat(1,2,3;2,3,1)$ 的循环群. 

=

六阶循环群 $Z_6 = {e,a,a^2,a^3,a^4,a^5}$ 是交换群, 故其所有子群均为不变子群, 它的不变子群有 $H_1={e},H_2={e,a^3},H_3={e,a^2,a^4},H_4={e,a,a^2,a^3,a^4,a^5}$, 商群分别为 $Z_6\/H_1 = {H,a H,a^2H,a^3H,a^4H,a^5H}, Z_6\/H_2 = {H,a H,a^2 H}, Z_6\/H_3 = {H,a H}, Z_6\/H_4 = {H}$

=

可以构建一个 $2 k$ 阶群 $G={E, B, B^2,dots, B^(k-1), A, A B, A B^2,dots, A B^(k-1)}$

由于 $(A B)^2 = E$, 那么 $B A = A^(-1) B^(-1) = A B^(k-1) $
这使得 $B^n A = B^(n-1) A B^(k-1) = dots = A B^(n(k-1))$
也就是说乘法表为 
$
  (A^a B^b) (A^c B^d) = A^a (B^b A^c) B^d = A^a A B^b(k-1) A^c B^d = A^(a+c)B^(d+b dot (k-1)^c) 
$
且逆元为
$
  (A B^n)^(-1) = B^(-n)A = B^(n(k-1))A = A B^(n(k-1)^2) = A B^(n)
$
这说明我们所构建的群是满足群的性质的.

= 

$D_3$ 群的自同构映射群为
$
  A(D_3) = {&mat(e,d,f,a,b,c;e,d,f,a,b,c;),mat(e,d,f,a,b,c;e,d,f,b,c,a),mat(e,d,f,a,b,c;e,d,f,c,a,b)\
  &mat(e,d,f,a,b,c;e,f,d,a,c,b),mat(e,d,f,a,b,c;e,f,d,c,b,a),mat(e,d,f,a,b,c;e,f,d,b,a,c)}
$
这六个元素依次对应 $e,d,f,a,b,c$ 所形成的内自同构映射, 所以是内自同构群. 

=

$ (g h g^(-1))^2 = g h g^(-1) g h g^(-1) = e $
故 $g h g^(-1)$ 的阶为1或2.

若 $g h g^(-1)$ 的阶为1, 则 $g h g^(-1) = e$, $h = g^(-1) g = e$, 这与 $h$ 的阶为2矛盾

则 $g h g^(-1)$ 的阶为2, 又由于此群只有一个阶为2的元素 $h$, 则 $g h g^(-1) = g$, 也即 $g h = h g$

=

群 $G_1$ 的自同构群为 $ A(G_1)={mat(e,r,r^2,r^3;e,r,r^2,r^3),mat(e,r,r^2,r^3;e,r^3,r^2,r)} $
这说明 $G_2$ 与 $A(G_1)$ 有且仅有一种同态映射 $nu$
$ nu_e = mat(e,r,r^2,r^3;e,r,r^2,r^3), nu_a = mat(e,r,r^2,r^3;e,r^3,r^2,r) $
这使得 $G_1 times.circle_s G_2$ 的乘法表为
#align(
  center,
  table(
    align: center,
    columns: 9,
    [/], $e$, $r$, $r^2$, $r^3$, $a$, $r a$, $r^2 a$, $r^3 a$,
    $e$, $e$, $r$, $r^2$, $r^3$, $a$, $r a$, $r^2 a$, $r^3 a$,
    $r$, $r$, $r^2$, $r^3$, $e$, $r a$, $r^2 a$, $r^3 a$, $a$,
    $r^2$, $r^2$, $r^3$, $e$, $r$, $r^2 a$, $r^3 a$, $a$, $r a$,
    $r^3$, $r^3$, $e$, $r$, $r^2$, $r^3 a$, $a$, $r a$, $r^2 a$,
    $a$, $a$, $r^3 a$, $r^2 a$, $r a$, $e$, $r^3$, $r^2$, $r$,
    $r a$, $r a$, $a$, $r^3 a$, $r^2 a$, $r$, $e$, $r^3$, $r^2$,
    $r^2 a$, $r^2 a$, $r a$, $a$, $r^3 a$, $r^2$, $r$, $e$, $r^3$,
    $r^3 a$, $r^3 a$, $r^2 a$, $r a$, $a$, $r^3$, $r^2$, $r$, $e$,
  ),
)
这说明 $G_1 times.circle_s G_2 = D_4$.

=

== 

$ forall k_1,k_2 in K,(H k_1)(H k_2) = (H H k_1 k_2) = (H k_1 k_2) $
所以显然有 $forall (H k) in G\/H, Phi(H k) = k$ 的同构映射 $Phi$

==

映射 $forall g = (h k) in G, Phi_1(g) = h, Phi_2(g) = k$ 满足如下性质: 
$ Phi_1((h_1 k_1)(h_2 k_2)) = Phi_1(h_1 h_2 k_1 k_2) = h_1 h_2 = Phi_1(h_1 k_1) Phi_1(h_2 k_2) $
$ Phi_2((h_1 k_1)(h_2 k_2)) = Phi_2(h_1 h_2 k_1 k_2) = k_1 k_2 = Phi_2(h_1 k_1) Phi_2(h_2 k_2) $
所以 $G$ 与 $H$ 和 $K$ 同态

=

== 

$ forall k_1,k_2 in K,angle.l H k_1 angle.r angle.l H k_2 angle.r = angle.l H nu_k_1(H) k_1 k_2 angle.r = angle.l H k_1 k_2angle.r $
所以显然有 $forall (H k) in G\/H, Phi(H k) = k$ 的同构映射 $Phi$

==

映射 $forall g = angle.l h k angle.r in G, Phi(g) = k$ 满足如下性质: 

$ Phi_2(angle.l h_1 k_1 angle.r angle.l h_2 k_2 angle.r) = Phi(h_1 nu_k_1(h_2) k_1 k_2) = k_1 k_2 = Phi(angle.l h_1 k_1 angle.r) Phi(angle.l h_2 k_2 angle.r) $
所以 $G$ 与 $K$ 同态

=

否. 考虑到讲义上定义同态映射时要求为j满射, 所以一个群与其子群不一定同态. 

反例: 不存在 $D_3$ 群 $D_3 = {e,d,f,a,b,c}$ 到子群 $Z_3 = {e,d,f}$ 的同态映射. 

证明: 若存在一个同态映射 $Phi$, 由于 $a^2 = b^2 = c^2 = e$, 而 $Z_3$ 中只有 $e$ 满足其平方为 $e$, 故该映射要求 $Phi(a)=Phi(b)=Phi(c)=e$, 这使得 $Phi(d) = Phi(d) Phi(a) = Phi(d a) = Phi(c) = e$, 同理$Phi(f)=e$, 这导致该映射不是满映射, 这与该映射为同态映射矛盾. 

所以矛盾点在于“满射”这个要求. 

=

对于集合$A in G$, 定义$A^(-1) = {a^(-1) | forall a in A} $, 显然 $H^(-1) = H$
$ H f^(-1) = H^(-1) f^(-1) = (f H)^(-1) = (g H)^(-1) = H^(-1) g^(-1) = H g^(-1) $
