#import "../template.typ": *

#show: project.with(
  course: "Calculus I",
  course_fullname: "Calculus (A) I",
  course_code: "821T0150",
  semester: "Autumn-Winter 2023",
  title: "Note #1: 基础知识",
  authors: (
    (
      name: "memset0",
      email: "<EMAIL>",
      id: "3230104585",
    ),
  ),
  date: "October 22, 2023",
)

#let def(x) = text("【" + x + "】", weight: "bold")
#let deft(x) = text("【" + x + "】", weight: "bold", fill: rgb("#FFFFFF"))

= 常用公式

== 三角恒等变换

#[
  #set text(size: 11.5pt)
  #table(
    columns: (1fr, auto),
    inset: 11pt,
    stroke: 0.5pt,
    align: center + horizon,
    [和差角公式],
    [$
        sin(u pm v) = sin u cos v pm cos u sin v quad quad
        cos(u pm v) = cos u cos v mp sin u sin v
      $],
    [倍角公式],
    [$
        sin 2theta &= 2 sin theta cos theta quad quad
        cos 2theta &= cos^2 theta - sin^2 theta = 2 cos^2 theta - 1 = 1 - 2 sin^2 theta\
      $],
    [半角公式],
    [$
        sin theta / 2 = pm sqrt((1-cos theta)/2) quad quad
        cos theta / 2 = pm sqrt((1+cos theta)/2) quad quad
        tan theta / 2 = (sin theta) / (1 + cos theta) = (1 - cos theta) / (sin theta)
      $],
    [和差化积],
    [$
        sin u + sin v = 2 sin (u+v) / 2 cos (u-v) / 2 quad quad
        sin u - sin v = 2 cos (u+v) / 2 sin (u-v) / 2\
        cos u + cos v = 2 cos (u+v) / 2 cos (u-v) / 2 quad quad
        cos u - cos v = -2 sin (u+v) / 2 sin (u-v) / 2\
      $],
    [积化和差],
    [$
        sin u cos v = 1 / 2(sin(u+v) + sin(u-v)) quad quad
        cos u sin v = 1 / 2(sin(u+v) - sin(u-v))\
        cos u cos v = 1 / 2(cos(u+v) + cos(u-v)) quad quad
        sin u sin v = -1 / 2(cos(u+v) + cos(u-v))\
      $],
    [万能公式],
    [$
        sin u = display(2 tan u/2) / display(1 + tan^2 u/2) quad quad
        cos u = display(1 - tan^2 u/2) / display(1 + tan^2 u/2) quad quad
        tan u = display(2 tan u/2) / display(1 - tan^2 u/2)\
      $],
    [辅助角公式],
    [
      设 $A,B != 0$，那么 $A sin x + B cos x = sqrt(A^2 + B^2) sin(x + phi)$

      其中 $phi$ 满足：$display(sin phi = display(B/sqrt(A^2 + B^2)\, sp cos phi = display(A/sqrt(A^2 + B^2))))$ 。
    ],
  )
]

== 二项式定理

$ (a+b)^n = sum_(i=0)^n binom(n,i) a^(n-i) b^i $

== 均值不等式

$
  a
  < 2 / display(1/a+1/b)
  < sqrt(a b)
  < (a-b) / (ln a - ln b)
  < (a+b) / 2
  < sqrt((a^2 + b^2) / 2)
  < b
$

== 柯西不等式

== 伯努利不等式

设 $x>-1$，$alpha$ 是大于 $0$ 的有理数。

1. 如果 $alpha>1$，那么 $(1+x)^alpha >= 1 + alpha x$，当且仅当 $x=0$ 时取等；
2. 如果 $0<alpha<1$，那么 $(1+x)^alpha <= 1 + alpha x$，当且仅当 $x=0$ 时取等。

= 有界集、确界原理

== 有界集

#definition[
  既有上界，又有下界的数集称为*有界集*。因此 $ A "有界" quad <==> quad exists M_1, M_2 in RR,sp st forall x in A,sp M_2 <= x <= M_1 . $

  等价于 $ A "有界" quad<==>quad exists M>0,sp st forall x in A ,sp |x|<=M. $

  若 $A$ 不是有界集，则称 $A$ 为*无界集*。因此 $ A "无界" quad<==>quad forall M>0,sp exists x_0 in A,sp st |x_0| >M. $
]

== 确界

#definition[
  设 $A subset RR, A != emptyset$，若存在常数 $alpha$，满足：

  1. $forall x in A,sp x <= alpha.$（$alpha$ 是 $A$ 的一个上界）

  2. $forall eps>0,sp exists x_0 in A,sp st x_0>alpha-eps$（即 $alpha$ 是 $A$ 的最小上界）

  则称 $alpha$ 为数集 $A$ 的*上确界*，记为 $alpha=sup A$。同理可定义数集 $A$ 的*下确界*，记为 $beta=inf A$。
]

== 有界集确界原理

#theorem(name: "有界集确界原理")[

  1. 非空有上界的数集，必有上确界。非空有下界的数集，必有下确界。

  2. 非空有界数集，必有上、下确界。

  #note[
    有界集确界原理告诉我们，在判断是否数集是否存在确界时，不需要找出确界，只需要证明有界性即可说明确界存在。
  ]
]
