#import "../template.typ": *

#show: project.with(
  title: "Linear Algebra Homework #3",
  authors: (
  (name: "<NAME> (#95)", email: "<EMAIL>", phone: "3230104585"),
  ),
  date: "October 11, 2023",
)

= P36 习题二 12(3) #ac

#prob[
	计算行列式的值：
	$ mat(
		2,0,dots.c,0,2;
		-1,2,dots.c,0,2;
		dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v;
		0,0,dots.c,2,2;
		0,0,dots.c,-1,2;
	)_n $
]

$
D
&= a_(1 n) A_(1 n) + a_(2 n) A_(2 n) + dots.c + a_(n n) A_(n n)\
&= 2 sum_(i=1)^n 2^(i-1) (-1)^(n-i) (-1)^(i+n)\
&= sum_(i=1)^n 2^i = 2^(n+1)-2
$

= P36 习题二 12(8) #ac

#prob[
	计算行列式的值：
	$ mat(
		space x,y,0,dots.c,0,0 space;
		space 0,x,y,dots.c,0,0 space;
		space 0,0,x,dots.c,0,0 space;
		space dots.v,dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v space;
		space 0,0,0,dots.c,x,y space;
		space y,0,0,dots.c,0,x space;
	)_n $
]

$
D_n
&= a_(11) A_(11) + a_(12) A_12\
&= (-1)^(1+1) x mat(
	x,y,dots.c,0,0;
	0,x,dots.c,0,0;
	dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v;
	0,0,dots.c,x,y;
	0,0,dots.c,0,x;
) + (-1)^(1+2) (-1)^(n-2) y mat(
	y,0,dots.c,0,0;
	x,y,dots.c,0,0;
	dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v;
	0,0,dots.c,y,0;
	0,0,dots.c,x,y;
) \
&= x^n + (-1)^(n-1) y^n
$

= P37 习题二 12(9) #ac

#prob[
	计算行列式的值：
	$ mat(
		x,-1,0,dots.c,0,0;
		0,x,-1,dots.c,0,0;
		0,0,x,dots.c,0,0;
		dots.v,dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v;
		0,0,0,dots.c,x,-1;
		a_n,a_(n-1),a_(n-2),dots.c,a_2,a_1+x;
	) $
]

$
D_n
&= mat(
	x,-1,0,dots.c,0,0;
	0,x,-1,dots.c,0,0;
	0,0,x,dots.c,0,0;
	dots.v,dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v;
	0,0,0,dots.c,x,-1;
	0,0,0,dots.c,0,x;
) + mat(
	x,-1,0,dots.c,0,0;
	0,x,-1,dots.c,0,0;
	0,0,x,dots.c,0,0;
	dots.v,dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v;
	0,0,0,dots.c,x,-1;
	a_n,a_(n-1),a_(n-2),dots.c,a_2,a_1;
)\
&= x^n + sum_(i=1)^n a_i x^(n-i) (-1)^(i-1) (-1)^(n-i+1+n)\
&= x^n + sum_(i=1)^n a_i x^(n-i)
$

= P37 习题二 12(11) #ac

#prob[
	计算行列式的值：
	$ mat(
		1,1,1,dots.c,1;
		2,2^2,2^3,dots.c,2^n;
		3,3^3,3^3,dots.c,3^n;
		dots.v,dots.v,dots.v,,dots.v;
		n,n^2,n^3,dots.c,n^n;
	) $
]

令 $display(|bold(A')|=mat(
	1,0,0,0,dots.c,0;
	1,1,1,1,dots.c,1;
	1,2,2^2,2^3,dots.c,2^n;
	1,3,3^3,3^3,dots.c,3^n;
	1,dots.v,dots.v,dots.v,,dots.v;
	1,n,n^2,n^3,dots.c,n^n;
))$，有 $D'=(-1)^(1+1) a'_(11)A'_11=D$．

根据 Vandermonde 行列式，可以得到：

$
D_n
= product_(0<=i<j<=n) (j-i)
= product_(i=1)^n i^(n-i+1)
$

#note[也可以提出每一行的公因子，共 $n!$．剩下的恰为 Vandermonde 矩阵．]

= P37 习题二 13 #ac

#prob[
	设 $display(D_n = mat(
		1,2,3,dots.c,n-1,n;
		1,1,0,dots.c,0,0;
		1,0,1,dots.c,0,0;
		dots.v,dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v;
		1,0,0,dots.c,1,0;
		1,0,0,dots.c,0,1;
	))$，计算 $D_n$ 及 $t_1 A_(11) + t_2A_12 + dots.c + t_n A_(1 n)$，这里 $A_(i j)$ 为 $D_n$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素的代数余子式．
]

$
D_n=product_(i=2)^n -(i-1) = (-1)^(n-1) dot (n-1)!
$

$
t_1 A_(11) + t_2A_12 + dots.c + t_n A_(1 n)
=& mat(
	t_1,t_2,t_3,dots.c,t_(n-1),t_n;
	1,1,0,dots.c,0,0;
	1,0,1,dots.c,0,0;
	dots.v,dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v;
	1,0,0,dots.c,1,0;
	1,0,0,dots.c,0,1;
)\
=& mat(
	t_1-sum_(i=2)^n t_i,t_2,t_3,dots.c,t_(n-1),t_n;
	0,1,0,dots.c,0,0;
	0,0,1,dots.c,0,0;
	dots.v,dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v;
	0,0,0,dots.c,1,0;
	0,0,0,dots.c,0,1;
)\
=& t_1-sum_(i=2)^n t_i
$

= P37 习题二 14 #pc

#prob[
	计算行列式
	$ mat(
		1,1,dots.c,1,1;
		x_1,x_2,dots.c,x_(n-1),x_n;
		dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v;
		x_1^(n-2),x_2^(n-2),dots.c,x_(n-1)^(n-2),x_n^(n-2);
		x_1^n,x_2^n,dots.c,x_(n-1)^n,x_n^n;
	) $
]

$
D_n
=& sum_(k=1)^n x_k^n (-1)^(k+n) A_(k,n) \
=& sum_(k=1)^n x_k^n (-1)^(k+n) sum_(1<=i<j<=n\ i!=k and j != k) (x_j-x_i) \
=& (-1)^n sum_(1<=i<j<=n) (x_j-x_i) (sum_(k=1)^n (-1)^k x_k - (-1)^i x_i - (-1)^j x_j)
$

#warn[
	考虑 $display(A_(n+1) = mat(
		1,1,dots.c,1,1,1;
		x_1,x_2,dots.c,x_(n-1),x_n,y;
		dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v,dots.v;
		x_1^(n-2),x_2^(n-2),dots.c,x_(n-1)^(n-2),x_n^(n-2),y^(n-2);
		x_1^(n-1),x_2^(n-1),dots.c,x_(n-1)^(n-1),x_n^(n-1),y^(n-1);
		x_1^n,x_2^n,dots.c,x_(n-1)^n,x_n^n,y^n;
	) = product_(i=1)^n (y-x_i) product_(1<=j<k<=n) (x_k-x_j))$．

	题设行列式 $D_n$ 是 $A_(n+1)$ 中对应项的余子式．故：
	$
	(-1)^(n+n+1) D_n =
	-sum_(i=1)^n x_i product_(1<=j<k<=n) (x_k-x_j)
	$
	所以 $display(D_n = sum_(i=1)^n product_(1<=j<k<=n) (x_k-x_j))$．
]

= P38 习题二 16(4) #ac

#prob[
	利用 Laplace 定理计算行列式的值：
	$ mat(
		1,b,c,0,0,0;
		0,0,3,0,0,0;
		a_11,a_12,a_13,0,2,d;
		a_21,a_22,a_23,0,0,1;
		a_31,a_32,a_33,3,e,f;
		0,2,g,0,0,0;
	) $
]

$
mat(
	1,b,c,0,0,0;
	0,0,3,0,0,0;
	a_11,a_12,a_13,0,2,d;
	a_21,a_22,a_23,0,0,1;
	a_31,a_32,a_33,3,e,f;
	0,2,g,0,0,0;
) =& (-1)^3 mat(
	1,b,c,0,0,0;
	0,0,3,0,0,0;
	0,2,g,0,0,0;
	a_11,a_12,a_13,0,2,d;
	a_21,a_22,a_23,0,0,1;
	a_31,a_32,a_33,3,e,f;
)\ =& (-1)^3 (-1)^((3 times 2)/2) mat(
	1,b,c;
	0,0,3;
	0,2,g;
) mat(
	0,2,d;
	0,0,1;
	3,e,f;
)\ =& 36
$

= P39 习题二 24 #ac

#prob[
	问 $a,b,c$ 满足什么条件时，线性方程组
	$ cases(
		x    &&+y    &&+z    &&=a+b+c,
		a x  &&+b y  &&+c z  &&=a^2+b^2+c^2,
		b c x&&+a c y&&+a b z&&=3a b c,
	) $
	有唯一解，并求出该解．
]

求线性方程组的系数矩阵的行列式：

$
|bold(D)|
=& mat(
	1,1,1;
	a,b,c;
	b c,a c,a b;
) = mat(
	1,1,1;
	0,b-a,c-a;
	0,-c(b-a),-b(c-a);
)\ =& mat(
	1,1,1;
	0,b-a,c-a;
	0,0,(c-b)(c-a);
)\ =& (b-a)(c-a)(c-b)
$

根据 Cramer 法则，当且仅当 $a,b,c$ 互异时，原线性方程组有唯一解．

对原线性方程组的系数矩阵的增广矩阵应用初等行变换得

#set math.mat(delim: "(")
$
bold(A) &= mat(
	1,1,1,a+b+c;
	a,b,c,a^2+b^2+c^2;
	b c,a c,a b,3a b c;
)\ &xarrow(R_2-a R_1\ R_3-b c R_1) mat(
	1,1,1,a+b+c;
	0,b-a,c-a,b^2+c^2-a b-a c;
	0,c(a-b),b(a-c),2a b c-b^2 c-b c^2;
)\ &xarrow(R_3+c R_2) mat(
	1,1,1,a+b+c;
	0,b-a,c-a,(b-a)b+(c-a)c;
	0,0,(c-a)(c-b),(c-a)(c-b)c
)
$
#set math.mat(delim: "|")

解得 $display(cases(
	x_1 = a,
	x_2 = b,
	x_3 = c,
))$ 是原线性方程组的唯一解．

#note[由于解唯一，可以直接把 $x_1=a,sp x_2=b,sp x_3=c$ 代入验证，而不必要将系数矩阵化为阶梯形．]

= P39 习题二 26 #wa

#prob[
	已知 $n$ 阶行列式 $D_n=|a_(i j)|_n!=0$，证明：线性方程组
	$ cases(
		a_11 x_1 + a_12 x_2 + &&dots.c + a_(1,n-1) x_(n-1) = a_(1 n),
		a_21 x_1 + a_22 x_2 + &&dots.c + a_(2,n-1) x_(n-1) = a_(2 n),
		&&dots.c,
		a_(n 1) x_1 + a_(n 2) x_2 + &&dots.c + a_(n,n-1) x_(n-1) = a_(n n),
	) $
	无解．
]

取前 $n-1$ 个线性方程组，由于 $|a_(i j)|_n!=0$，那么 $D_(n-1)=|a_(i j)|_(n-1)!=0$．根据 Cramer 法则，只考虑前 $n-1$ 个线性方程组时，有唯一解．

先假设线性方程组有解，我们有 $forall k in [1,n)$，$display(x_k=((-1)^(n-k-1) M_(n,k))/(D_(n-1)) = -A_(n,k)/D_(n-1) = -A_(n,k)/A_(n,n))$．

将其代入原线性方程组的最后一个方程得：

$
-(a_(n,1) A_(n,1))/A_(n,n)-(a_(n,2) A_(n,2))/A_(n,n)-dots.c-(a_(n,n-1) A_(n,n-1))/A_(n,n)=a_(n,n)
$

即：

$
a_(n,1)A_(n,1)+a_(n,2)A_(n,2)+dots.c+a_(n,n)A_(n,n)=D_n=0
$

与题设矛盾，前 $n-1$ 个线性方程的解不符合第 $n$ 个方程，即原线性方程组无解．

#warn[
	注意到 $r(bold(A)) <= n-1$；而根据 Vandermonde 行列式，$|bold(A)| = D_n != 0$，故 $r(overline(bold(A))) = n$．所以有 $r(bold(A)) != r(bold(overline(A)))$，故无解．
]

= P40 补充题二 3(1) #pc

#prob[
	试计算行列式的值：
	$ mat(
		x,a,a,dots.c,a,a;
		b,x,a,dots.c,a,a;
		b,b,x,dots.c,a,a;
		dots.v,dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v;
		b,b,b,dots.c,x,a;
		b,b,b,dots.c,b,x;
	)_n $
]

$
D_n =& mat(
	x,a,a,dots.c,a,0+a;
	b,x,a,dots.c,a,0+a;
	b,b,x,dots.c,a,0+a;
	dots.v,dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v;
	b,b,b,dots.c,x,0+a;
	b,b,b,dots.c,b,(x-b)+b;
) = mat(
	x,a,a,dots.c,a,0;
	b,x,a,dots.c,a,0;
	b,b,x,dots.c,a,0;
	dots.v,dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v;
	b,b,b,dots.c,x,0;
	b,b,b,dots.c,b,x-b;
) + mat(
	x,a,a,dots.c,a,a;
	b,x,a,dots.c,a,a;
	b,b,x,dots.c,a,a;
	dots.v,dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v;
	b,b,b,dots.c,x,a;
	b,b,b,dots.c,b,b;
)\ =& (x-b) D_(n-1) + mat(
	x-a,0,0,dots.c,0,a;
	b-a,x-a,0,dots.c,0,a;
	b-a,b-a,x-a,dots.c,0,a;
	dots.v,dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v;
	b-a,b-a,b-a,dots.c,x-a,a;
	0,0,0,dots.c,0,b;
)\ =& (x-b) D_(n-1) + b (x-a)^(n-1)
$

对转置后的矩阵应用同理可得 $D_n = (x-a) D_(n-1) + a (x-b)^(n-1)$．

$ cases(
	(x-a)D_n &= (x-a)(x-b) D_(n-1) + b(x-a)^n,
	(x-b)D_n &= (x-a)(x-b) D_(n-1) + a(x-b)^n,
) $

两式相减得：$ D_n &= (b(x-a)^n - a(x-b)^n)/(b-a) $

#warn[
	要分 $a=b$ 和 $a!=b$ 两种情况讨论．
]

= P40 补充题二 3(5) #ac

#prob[
	试计算行列式的值：
	$ mat(
		a_0+a_1,a_1,0,dots.c,0,0;
		a_1,a_1+a_2,a_2,dots.c,0,0;
		0,a_2,a_2+a_3,dots.c,0,0;
		dots.v,dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v;
		0,0,0,dots.c,a_(n-2)+a_(n-1),a_(n-1);
		0,0,0,dots.c,a_(n-1),a_(n-1)+a_n;
	) $
]

$
D_n =& (a_(n-1) + a_n) (-1)^(2n) A_(n,n) + a_(n-1) (-1)^(2n-1) A_(n-1,n)\
=& (a_(n-1) + a_n) D_(n-1) - a_(n-1)^2 D_(n-2)
$

下归纳证明：$display(D_n=sum_(i=1)^n 1/a_i product_(i=1)^n a_i)$．

- 当 $n=1$ 时，$D_1 = a_0+a_1$，合法；

- 当 $n=2$ 时，$display(D_2 = (a_0+a_1)(a_1+a_2-(a_1^2)/(a_0+a_1))) = a_0a_1+a_0a_2+a_1a_2$，合法；

- 下证 $n=k-1$ 和 $n=k-2$ 时均成立，则 $n=k$ 也成立：

  $
	D_k =& (a_(k-1)+a_k) sum_(i=1)^(k-1) 1/a_i product_(i=1)^(k-1) a_i - a_(k-1)^2 sum_(i=1)^(k-2) 1/a_i product_(i=1)^(k-2) a_i\
	=& (1+a_(k-1)/a_k) sum_(i=1)^(k-1) 1/a_i product_(i=1)^k a_i - a_(k-1)/a_k sum_(i=1)^(k-2) 1/a_i product_(i=1)^k a_i\
	=& sum_(i=1)^(k-1) 1/a_i product_(i=1)^k a_i - a_(k-1)/a_k dot 1/a_(k-1)product_(i=1)^k a_i\
	=& sum_(i=1)^k 1/a_i product_(i=1)^k a_i\
	$

得证．

= P41 补充题二 3(6) #pc

#prob[
	试计算行列式的值：
	$ mat(
		2^n-2,2^(n-1)-2,2^(n-2)-2,dots.c,2^2-2;
		3^n-3,3^(n-1)-3,3^(n-2)-3,dots.c,3^2-3;
		4^n-4,4^(n-1)-4,4^(n-2)-4,dots.c,4^2-4;
		dots.v,dots.v,dots.v,,dots.v;
		n^n-n,n^(n-1)-n,n^(n-2)-n,dots.c,n^2-n;
	) $
]

$
|bold(D)| &= product_(k=2)^n k(k-1) mat(
	sum_(i=0)^(n-2) 2^i,sum_(i=0)^(n-3) 2^i,dots.c,2^2+2+1,2+1,1;
	sum_(i=0)^(n-2) 3^i,sum_(i=0)^(n-3) 3^i,dots.c,3^2+3+1,3+1,1;
	dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v;
	sum_(i=0)^(n-2) n^i,sum_(i=0)^(n-3) n^i,dots.c,n^2+n+1,n+1,1;
)\ &= product_(k=2)^n k(k-1) mat(
	sum_(i=0)^(n-2) 2^i,sum_(i=0)^(n-3) 2^i,dots.c,2^2+2+1,2+1,1;
	sum_(i=0)^(n-2) 3^i,sum_(i=0)^(n-3) 3^i,dots.c,3^2+3+1,3+1,1;
	dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v;
	sum_(i=0)^(n-2) n^i,sum_(i=0)^(n-3) n^i,dots.c,n^2+n+1,n+1,1;
)\ &= product_(k=2)^n k(k-1) mat(
	2^(n-2),2^(n-3),dots.c,2^2,2,1;
	3^(n-2),3^(n-3),dots.c,3^2,3,1;
	dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v;
	n^(n-2),n^(n-3),dots.c,n^2,n,1;
)\
&= n! (n-1)! product_(1<=i<j<=(n-1)) ((j+1)-(i+1)) \
&= n! (n-1)! product_(i=1)^(n-2) i^(n-1-i)
$

#warn[
	倒数第三行的方阵并不是 Vandermonde 矩阵，需要将其左右翻转．故行列式还需要乘以系数 $(-1)^(n(n-1)/2)$．
]

= P41 补充题二 4 #ac

#prob[
	设 $n space (n>1)$ 阶行列式 $D=|a_(i j)|_n=4$，且 $D$ 中各列元素之和均为 $3$，并记元素 $a_(i j)$ 的代数余子式为 $A_(i j)$，试求 $display(sum_(i=1)^n sum_(j=1)^n A_(i j))$．
]

一方面，
$
sum_(i=1)^n sum_(j=1)^n a_(i,j) sum_(k=1)^n A_(k,j)
= sum_(k=1)^n sum_(j=1)^n A_(k,j) sum_(i=1)^n a_(i,j)
= 3 sum_(k=1)^n sum_(j=1)^n A_(k,j)
$

另一方面，

$
sum_(i=1)^n sum_(j=1)^n a_(i,j) sum_(k=1)^n A_(k,j)
= sum_(i=1)^n sum_(k=1)^n [i=k] sum_(j=1)^n a_(i,j) A_(k,j)
= sum_(i=1)^n sum_(j=1)^n a_(i,j) A_(i,j) = n D = 4n
$

故：$display(sum_(i=1)^n sum_(j=1)^n A_(i j) = (4n)/3)$．

#warn[也可以把每一列都累加到第一行去，此时第一行全为 $3$．利用 Laplace 展开可以得到 $display(D = 3 sum_(j=1)^n A_(1 j) = 4)$．对 $i=1,2,dots,n$ 分别做这个过程，也可以得到答案．]

= P41 补充题二 5 #ac

#prob[
	已知 $a!=pm b$，试证明线性方程组
	$ cases(
		a x_1 + b x_(2n) &= 1,
		a x_2 + b x_(2n-1) &= 1,
		&dots.c,
		a x_n + b x_(n+1) &= 1,
		b x_n + a x_(n+1) &= 1,
		&dots.c,
		b x_2 + a x_(2n-1) &= 1,
		b x_1 + a x_(2n) &= 1,
	) $
	有唯一解，并求该解．
]

考虑线性方程组的系数矩阵的行列式：

$
D_n =& mat(
	a,0,0,dots.c,0,0,dots.c,0,0,b;
	0,a,0,dots.c,0,0,dots.c,0,b,0;
	0,0,a,dots.c,0,0,dots.c,b,0,0;
	dots.v,dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v,dots.v;
	0,0,0,dots.c,a,b,dots.c,0,0,0;
	0,0,0,dots.c,b,a,dots.c,0,0,0;
	dots.v,dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v,,dots.v,dots.v,dots.v;
	0,0,b,dots.c,0,0,dots.c,a,0,0;
	0,b,0,dots.c,0,0,dots.c,0,a,0;
	b,0,0,dots.c,0,0,dots.c,0,0,a;
)_(2n)\
=& a (-1)^(1+1) A_(1,1) + b (-1)^(1+2n) A_(1,2n)\
=& a (-1)^(1+1) dot a (-1)^((2n-1)+(2n-1)) dot D_(n-1) + b (-1)^(1+2n) dot b (-1)^(1+(2n-1)) dot D_(n-1)\
=& (a^2 - b^2) D_(n-1)\
=& (a^2 - b^2)^n
$

由于 $a!=pm b$，故 $D_n!=0$．根据 Cramer 法则，原线性方程组有唯一解．

猜想该解为 $x_1=x_2=dots.c=x_(2n)=display(1/(a+b))$，容易验证合法．由于原线性方程组的解只有一个，故这就是其唯一解．

= P41 补充题二 9 #ac

#prob[
	设 $a,b,c$ 均不为零，且互异，试证明平面上的 $3$ 条不同直线
	$
		l_1 &: &space a x &+ b y &+ c &= 0\
		l_2 &: &space b x &+ c y &+ a &= 0\
		l_3 &: &space c x &+ a y &+ b &= 0\
	$
	相交于一点的充分必要条件为 $a+b+c=0$．
]

相交于一点的充分必要条件是三条直线方程构成的线性方程组有唯一解．

求线性方程组的系数矩阵的行列式：

$
D_3 =& a mat(c,a;a,b) - b mat(b,a;c,b) + c mat(b,c;c,a)\
=& a(b c - a^2) - b (b^2 - a c) + c(a b - c^2)\
=& 3 a b c -a^3 - b^3 - c^3\
=& (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-a b-a c-b c)\
=& 1/2(a+b+c)((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2)\
$

根据 Cramer 法则，线性方程组有唯一解的充分必要条件是 $D_3=0$ ．由于 $a,b,c$ 互异，故当且仅当 $a+b+c=0$ 时成立，得证．