text: {"text": [{"text": "Из трех конденсаторов с емкостями $C_1$, $C_2$ и $C_3$ соответственно, катушки индуктивностью $L$ и источника постоянного напряжения $U_0$ собрана представленная на рисунке схема. В начальный момент времени конденсаторы не заряжены, а ток в катушке равен нулю. Ключ $K$ замыкают. Сопротивление соединительных проводов считать малым. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите максимальный ток через катушку $I_\max$."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Определите минимальное напряжение $U_\min$ на конденсаторе $C_2$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите максимальный ток через катушку $I_\max$. ", "solution": {"text": "Ток через катушку индуктивности мгновенно измениться не может и сразу после замыкания ключа \( K \) остается равным нулю. При этом, так как сопротивления подводящих проводов очень мало, то практически мгновенно заряжаются конденсаторы $C_{1}$ и $C_{2}$ до зарядов $ q_{10} $ и $ q_{20}$ соответственно, а конденсатор \( C_{3} \) останется не заряженным: \( q_{30}=0 \), так как он заряжается через катушку индуктивности. Отметим, что в проводах выделяется джоулево тепло. Таким образом, в в начальный момент времени конденсаторы $C_1$ и $C_2$ подключены последовательно к источнику постоянного напряжения \( U_{0} \) и заряды их равны \[ q_{10}=q_{20}, \] а напряжения на них складываются, так что \[ \frac{q_{10}}{C_{1}}+\frac{q_{20}}{C_{2}}=U_{0}, \] Таким образом, из уравнений выше находим \[ q_{10}=q_{20}=\frac{C_{1} C_{2}}{C_{1}+C_{2}} U_{0} \] Полная энергия системы сразу после замыкания ключа \( K \) оказывается равной \[ W_{0}=\frac{q_{10}^{2}}{2 C_{1}}+\frac{q_{20}^{2}}{2 C_{2}}=\frac{C_{1} C_{2} U_{0}^{2}}{2\left(C_{1}+C_{2}\right)} \] После зарядки конденсаторов \( C_{1} \) и \( C_{2} \) ток через катушку начинает возрастать и в системе начинаются гармонические колебания, при которых уже можно пренебречь джоулевыми потерями, так как сопротивления подводящих проводов мало. Заметим, что в тот момент времени, когда ток в катушке максимален, напряжение на ней равно нулю и конденсаторы $C_2$ и $C_3$ оказываются включенными параллельно. Для такого соединения конденсаторов выполняются следующие соотношения для зарядов $$ q_{1}=q_{2}+q_{3} \\ \frac{q_{2}}{C_{2}}=\frac{q_{3}}{C_{3}} \\ \frac{q_{1}}{C_{1}}+\frac{q_{2}}{C_{2}}=U_{0} $$ Решая совместно уравнения выше, находим заряды конденсаторов $$ q_{1}=\frac{C_{1}\left(C_{2}+C_{3}\right)}{C_{1}+C_{2}+C_{3}} U_{0} \\ q_{2}=\frac{C_{1} C_{2}}{C_{1}+C_{2}+C_{3}} U_{0} \\ q_{3}=\frac{C_{1} C_{3}}{C_{1}+C_{2}+C_{3}} U_{0} $$ а энергия системы в этом состоянии очевидно равна \[ W=\frac{C_{1}\left(C_{2}+C_{3}\right) U_{0}^{2}}{2\left(C_{1}+C_{2}+C_{3}\right)}+\frac{L I_{\max }^{2}}{2} \] Работа источника при этом составляет величину \[ A=\left(q_{1}-q_{10}\right) U_{0} \] а закон сохранения энергии записывается в виде \[ W_{0}+A=W \] откуда находим максимальный ток"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $ I_{\max }=\sqrt{\cfrac{C_{3}}{\left(C_{1}+C_{2}\right)\left(C_{1}+C_{2}+C_{3}\right) L}} C_{1} U_{0} $"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите минимальное напряжение $U_\min$ на конденсаторе $C_2$. ", "solution": {"text": "Нахождение минимального напряжения \( U_{\min } \) на конденсаторе \( C_{2} \) несколько более сложная задача, которая имеет простое решение. Очевидно, что в системе происходят гармонические колебания, при которых постоянно потенциальная энергия переходит в кинетическую. Для представленной электрической цепи роль кинетической энергии играет энергия катушки индуктивности. Следовательно, когда ток через катушку равен нулю, то система находится в самом крайнем положении, при этом напряжение на конденсаторе \( C_{2} \) равно \[ U_{20}=\frac{q_{20}}{C_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}} U_{0} \] Отметим, что равенство тока нулю соответствует начальному моменту замыкания ключа \( K . \) После того, как пройдет четверть периода, ток в катушке становится максимальным, система проходит через положение равновесия и напряжение на конденсаторе \( C_{2} \) падает до значения \[ U_{2}=\frac{q_{2}}{C_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}+C_{3}} U_{0} \] то есть падает на величину \( U_{20}-U_{2} . \) Еще через четверть периода напряжение на конденсаторе упадет еще на такую же величину, которая в тоже время равна \( U_{2}-U_{\min }, \) поэтому искомое минимальное напряжение оказывается равным"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $ U_{\min }=2 U_{2}-U_{20}=\cfrac{C_{1}\left(C_{1}+C_{2}-C_{3}\right)}{\left(C_{1}+C_{2}\right)\left(C_{1}+C_{2}+C_{3}\right)} U_{0} $"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]