text: {"text": [{"text": "С одним молем идеального одноатомного газа проводят квазистатический процесс, в результате которого его начальный объем $V_0=1~м^3$ увеличивается в четыре раза, а начальное давление $p_0=10^5~Па$ уменьшается в два раза. Известно, что для каждого малого участка квазистатического процесса отношение работы к изменению внутренней энергии является величиной постоянной."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "3,00"}, "text": "Найдите полную работу $A$ газа в этом процессе."}]}
answer: [{"condition": "Найдите полную работу $A$ газа в этом процессе. ", "solution": {"text": "Работа $dA$, совершаемая газом при изменении его объема на $dV$$$dA = pdV, \tag{1}$$где $p$ — его давление.Изменение внутренней энергии $dU$ одного моля идеального одноатомного газа связано с изменением его температуры $dT$ соотношением$$dU=\frac{3}{2}RdT. \tag{2}$$По условию задачи должно выполняться соотношение$$\eta=\frac{dA}{dU}=\operatorname{const}, \tag{3}$$которое, наряду с уравнением идеального газа$$pV=RT, \tag{4}$$приводит к следующему уравнению$$\frac{2}{3\eta}\frac{dV}{V}=\frac{dT}{T}. \tag{5}$$Уравнение $(5)$ легко интегрируется и приводится к виду$$\frac{T}{T}=\left(\frac{V}{V_0}\right)^{\frac{2}{3\eta}}. \tag{6}$$В начальном состоянии уравнение идеального газа дает$$p_0V_0=RT_0, \tag{7}$$а в конечном состоянии $$\frac{p_0}{2}4V_0=RT, \tag{8}$$откуда получаем температуру газа в конечном состоянии$$T=2T_0. \tag{9}$$Из уравнений $(6)$ и $(9)$ легко находится коэффициент$$\eta=\frac{4}{3}. \tag{10}$$Полная работа газа в процессе определяется интегралом уравнения $(1)$ и равна$$A=\int\limits_{V_0}^{4V_0}pdV=2p_0V_0=2.0\times 10^5~Дж. \tag{11}$$ Примечание: Описанный в данной задаче процесс является политропным, то есть происходит при постоянной теплоемкости. Действительно, так как совершаемая газом работа составляет фиксированную часть изменения внутренней энергии, то это и означает, что теплоемкость газа остается постоянной за все время процесса. При этом уравнение политропы $pV^n=\operatorname{const}$ справедливо при выбранных условиях задачи для $n =1/ 2$, а работа газа, очевидно, не зависит от его типа, будь то одноатомный или многоатомный газ."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$A=2p_0V_0=2.0\times 10^5~Дж. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "3,00"}]