text: {"text": [{"text": "Автомобиль движется по горизонтальному неподвижному конвейеру со скоростью $v_{0}=20~м/с$ в безветренную погоду. При этом половина мощности двигателя затрачивается на преодоление сопротивления воздуха, другая половина - на преодоление трения качения."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Навстречу автомобилю подул ветер со скоростью $v_{0}=20~м/с$ (относительно земли). С какой установившейся скоростью $v_{1}$ относительно земли будет двигаться автомобиль, если развиваемая двигателем мощность не изменилась, а конвейер неподвижен?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "В некоторый момент ветер утих, а конвейер стал двигаться с постоянной скоростью $v_{0}=20~м/с$ в сторону, противоположную движению автомобиля. С какой установившейся скоростью $v_{2}$ относительно земли будет двигаться автомобиль, если развиваемая двигателем мощность не изменилась? Примечание 1. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату относительной скорости, сила трения качения постоянна. Примечание 2. Во всех случаях проскальзывания колес не возникает. Примечание 3. Уравнение третьей степени можно решить методом подбора."}]}
answer: [{"condition": "Навстречу автомобилю подул ветер со скоростью $v_{0}=20~м/с$ (относительно земли). С какой установившейся скоростью $v_{1}$ относительно земли будет двигаться автомобиль, если развиваемая двигателем мощность не изменилась, а конвейер неподвижен? ", "solution": {"text": "Сила трения $F_{в}$ между автомобилем и воздухом и сила трения качения $F_{к}$ уравновешиваются силой трения $F_{т}$ между колёсами и дорогой. Момент силы трения $M$ равен по модулю моменту, развиваемому двигателем машины: $$ M=F_{т} r=F_{в} r+F_{к} r, $$ где $r$ — радиус колёс машины. Двигатель развивает мощность $$ P=M \omega=M \frac{v_{отн}}{r}=\left(F_{в}+F_{к}\right) v_{отн}, $$ где $v_{отн}$ — скорость движения автомобиля относительно конвейера, $\omega$ — угловая скорость вращения колёс. По условию $F_{в}=k v_{в}^{2}$, где $v_{в}$ — скорость движения воздуха относительно автомобиля. Запишем выражения для мощностей, затрачиваемых на преодоление сопротивления воздуха и трения качения в случае неподвижного конвейера и отсутствия ветра: $$ \frac{P}{2}=k v_{0}^{3}=F_{к} v_{0}. $$ Отсюда найдем коэффициент пропорциональности в зависимости силы сопротивления воздуха от скорости и силу трения качения: $$ k=\frac{P}{2 v_{0}^{3}}, F_{к}=\frac{P}{2 v_{0}}. $$ В случае неподвижного конвейера и дующего навстречу ветра мощность двигателя равна $$ P=\left(k\left(v_{1}+v_{0}\right)^{2}+F_{к}\right) v_{1}, $$ откуда получаем уравнение на скорость: $$ \left(\frac{v_{1}}{v_{0}}\right)^{3}+2\left(\frac{v_{1}}{v_{0}}\right)^{2}+2\left(\frac{v_{1}}{v_{0}}\right)-2=0 . $$ Это уравнение имеет ровно один корень из промежутка $0$$ v_{1} \approx 0.575 v_{0} \approx 11.5~м/с. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v_{1} \approx 11.5~м/с. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "В некоторый момент ветер утих, а конвейер стал двигаться с постоянной скоростью $v_{0}=20~м/с$ в сторону, противоположную движению автомобиля. С какой установившейся скоростью $v_{2}$ относительно земли будет двигаться автомобиль, если развиваемая двигателем мощность не изменилась? ", "solution": {"text": "Аналогично в случае движущегося конвейера мощность двигателя: $$ P=\left(k v_{2}^{2}+F_{к}\right)\left(v_{0}+v_{2}\right), $$ соответствующее уравнение на скорость: $$ \left(\frac{v_{2}}{v_{0}}\right)^{3}+\left(\frac{v_{2}}{v_{0}}\right)^{2}+\left(\frac{v_{2}}{v_{0}}\right)-1=0 . $$ Его решение также единственно, находим ответ численно: $$ v_{2} \approx 0.544 v_{0} \approx 10.9~м/с. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v_{2} \approx 10.9~м/с. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]