text: {"text": [{"text": "Вертикальный цилиндр радиуса $R$ укреплён на гладкой горизонтальной поверхности. На цилиндр плотно намотана нить, свободный конец которой длиной $l_0$ соединён с небольшой шайбой массы $m$. Шайбе сообщили горизонтальную скорость $v$, перпендикулярную нити (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "4,00"}, "text": "Через какое время после этого нить порвётся, если максимальная сила, которую она выдерживает, равна $T$."}]}
answer: [{"condition": "Через какое время после этого нить порвётся, если максимальная сила, которую она выдерживает, равна $T$. ", "solution": {"text": "Так как нить нерастяжима и натянута, то скорость шайбы всегда перпендикулярна нити. Поэтому сила натяжения нити работы не совершает и скорость шайбы остаётся постоянной по модулю$$v=\operatorname{const}. \tag{1}$$Шайба движется по траектории с радиусом кривизны, равным длине не намотанной нити $l$, поэтому условие разрыва нити находится из второго закона Ньютона$$T=m\frac{v^2}{l}. \tag{2}$$Длина нити изменяется в результате наматывания на цилиндр на величину$$dl=-Rd\alpha, \tag{3}$$где$$d\alpha=\omega dt, \tag{4}$$а угловая скорость вращения нити равна$$\omega=\frac{v}{l}. \tag{5}$$Из уравнений $(3)-(5)$ следует, что$$ldl=-Rvdt, \tag{6}$$а его интегрирование дает$$l^2-l^2_0=-2R vt. \tag{7}$$Подставляя $(1)$ в $(7)$, получаем искомое время$$t=\frac{l_0^2-\left(\frac{mv^2}{T}\right)^2}{2Rv}=\frac{l_0^2T^2-m^2v^4}{2RvT^2}. \tag{8}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$t=\frac{l_0^2T^2-m^2v^4}{2RvT^2}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "4,00"}]