text: {"text": [{"text": "Очень маленький, размером с муравья, автомобиль, едет по ровной горизонтальной поверхности вдоль главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием $f$. На его крыше закреплён точечный источник света $S$, находящийся на главной оптической оси линзы. Скорость автомобиля изменяется так, что скорость изображения $S_{1}$ точечного источника $S$ остаётся постоянной и равной $v_{0}$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите, на каких расстояниях от линзы возможно такое движение «автомобиля». Коэффициент трения между колёсами автомобиля и дорогой равен $\mu$."}]}
answer: [{"condition": "Определите, на каких расстояниях от линзы возможно такое движение «автомобиля». ", "solution": {"text": "Пусть расстояние от источника $S$ до переднего фокуса линзы paвно $x$, а расстояние от его изображения до заднего фокуса равно $y$. <img_0> Воспользуемся формулой тонкой линзы в форме Ньютона:$$x y=f^{2}.$$Ее можно легко получить из стандартной формулы тонкой линзы $1 / a+1 / b=1 / f$, выполнив замену $a=x+f$ и $b=y+f$. Для малых перемещений $\Delta x$ и $\Delta y$ получим$$x \Delta y+y \Delta x=0 \Rightarrow \frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{v}{v_{0}}=-\frac{x}{y}=-\frac{x y}{y^{2}}=-\frac{f^{2}}{y^{2}},$$отсюда скорость автомобиля: $v=-v_{0} f^{2} / y^{2}$. Знак «ー» означает, что если автомобиль удаляется от фокуса ($x$ растет, то есть $v>0$), его изображение приближается к фокусу ($y$ уменьшается, $v_{0}<0$). Ускорение автомобиля:$$a=\frac{d v}{d t}=2 \frac{v_{0} f^{2}}{y^{3}} \frac{d y}{d t}=2 \frac{v_{0}^{2} f^{2}}{y^{3}}=2 \frac{v_{0}^{2} x^{3}}{f^{4}}.$$Это ускорение не может превышать (по модулю) значения $a_{\max }=\mu g$. Следовательно, получаем неравенство:$$\frac{2 v_{0}^{2}|x|^{3}}{f^{4}} \leqslant \mu g, \quad \text { откуда } \quad|x| \leqslant f \sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}},$$т.е. автомобиль не может удалиться от фокуса на расстояние, большее, чем $f \sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}}$.В случае $v_{0}>\sqrt{\frac{\mu g f}{2}}$ расстояние $l$ от автомобиля до линзы может изменяться в пределах$$f\left(1-\sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}}\right) \leqslant l < f \quad \text { или } \quad f < l \leqslant f\left(1+\sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}}\right).$$Изображение может быть как мнимым $(l < f)$, так и действительным $(l > f)$.В случае $v_{0} < \sqrt{\frac{\mu g f}{2}}$ получаем$$0 < l < f \quad \text { или } \quad f < l \leqslant f\left(1+\sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}}\right).$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: В случае $v_{0}>\sqrt{\frac{\mu g f}{2}}$ расстояние $l$ от автомобиля до линзы может изменяться в пределах$$f\left(1-\sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}}\right) \leqslant l < f \quad \text { или } \quad f < l \leqslant f\left(1+\sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}}\right).$$В случае $v_{0} < \sqrt{\frac{\mu g f}{2}}$ получаем$$0 < l < f \quad \text { или } \quad f < l \leqslant f\left(1+\sqrt[3]{\frac{\mu g f}{2 v_{0}^{2}}}\right).$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]