text: {"text": [{"text": "В калориметр наливают ложку горячей воды, при этом его температура увеличивается на $5$ градусов. После того как в него добавили еще одну ложку горячей воды, температура возросла еще на $3$ градуса."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "На сколько еще градусов возрастет температура калориметра, если в чего добавить еще $48$ ложек горячей воды? Теплообменом с окружающей средой пренебречь."}]}
answer: [{"condition": "На сколько еще градусов возрастет температура калориметра, если в чего добавить еще $48$ ложек горячей воды? ", "solution": {"text": "$\begin{aligned} \Delta t_1 & =5^{\circ} \mathrm{C} \\ \Delta t_2 & =8^{\circ} \mathrm{C}\end{aligned}$Пусть $m$ — масса воды в калориметре до добавления ложек горячей воды, $t_0$ — ее температура в начальной момент.Пусть $\Delta m$ — масса воды в ложке, $t_л$ — ее температура. Если в калориметр добавить $n$ ложек горячей воды и дождаться установления теплового равновесия, то установится температура $t_n$, так что:$$t_n(m+n \Delta m)=t_л \cdot \Delta m \cdot n+m \cdot t_0 \\t_n=\frac{t_л \cdot n \cdot \Delta m+t_0 m}{m+n \Delta m} \\\Delta t_n=t_n-t_0=\frac{n t_л \cdot \Delta m+t_0 m}{m+n \Delta m}-t_0=\\=\frac{n \Delta m\left(t_л-t_0\right)}{m+n \Delta m}.$$В частности, $\Delta t_1=\frac{\Delta m\left(t_л-t_0\right)}{m+\Delta m}$; $\Delta t_2=\frac{2 \Delta m\left(t_л-t_0\right)}{m+2 \Delta m}$.$$\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}=\frac{2(m+\Delta m)}{m+2 \Delta m}=\frac{2\left(1+\frac{\Delta m}{m}\right)}{1+\frac{2 \Delta m}{m}} .\\\kappa:=\frac{\Delta m}{m} \\\begin{aligned}& \frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}(1+2 \kappa)=2+2 \kappa \\& 2\kappa\left(\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}-1\right)=2-\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1} \\& \kappa=\frac{2-\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}}{2\left(\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}-1\right)}=\frac{2 \Delta t_1-\Delta t_2}{2\left(\Delta t_2-\Delta t_1\right)}=\frac{1}{3}\end{aligned}. $$$$\begin{aligned}& \Delta t_{50}=\frac{50 \Delta m\left(t_л-t_0\right)}{m+50 \Delta m} \\& \frac{\Delta t_{50}}{\Delta t_1}=\frac{50(m+\Delta m)}{m+50 \Delta m}=\frac{50(1+\kappa)}{1+50 \kappa}=\frac{200}{53} . \\& \Delta t_{50}=\Delta t_1 \cdot \frac{200}{53} \approx 18.9{ }^{\circ} \mathrm{C} .\end{aligned}$$Тогда искомая температура равна $\Delta t_{50}-\Delta t_2=10.9^{\circ} \mathrm{C} $"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta t=10.9~{}^\circ\mathrm C$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]