text: {"text": [{"text": "Солнечным утром на освещаемом солнцем сухом асфальте видны блестящие пятна, похожие на лужи воды. Их появление является простейшим миражом — реально в этих «лужах» мы видим отражение неба. Цель данной задачи дать теоретическое описание этого явления. Показатель преломления воздуха $n$ зависит от концентрации молекул $\gamma$ в соответствии с формулой $$ n=1+\frac{\alpha \gamma}{2}. \ (1) $$ где $\alpha=2.3\cdot10^{-29}~м^{3}$ — средняя поляризуемость молекул воздуха. Будем считать, что темпе-ратура воздуха равна $t_{0}=20^{\circ}\mathrm{C}$, атмосферное давление $P_{0}=1.0\cdot 10^{5}~Па$. Благодаря солнечным лучам у поверхности асфальта образуется тонкий слой более нагретого воздуха, темпе-ратура которого на $\Delta t=2.0^{\circ}\mathrm{C}$ выше, чем температура более высоких слоев. Водитель движется прямолинейно по горизонтальной дороге, причем его глаза находятся на высоте $h=1.2~м$ над поверхностью асфальта."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "4,00"}, "text": "Оцените, на каком расстоянии от водителя он может увидеть ближайшую к нему лужу-мираж. Постоянная Больцмана $k_{B}=1.38\cdot 10^{-23}~Дж/К$. $$ (1+x)^{\gamma} \approx 1+\gamma x \\ \sin x \approx x \\ \cos x \approx 1-\frac{x^{2}}{2} $$"}]}
answer: [{"condition": "Оцените, на каком расстоянии от водителя он может увидеть ближайшую к нему лужу-мираж. ", "solution": {"text": "В действительности, кажущиеся «лужи» появляются из-за отражения лучей, идущих от неба, от более нагретого слоя воздуха вблизи асфальта. На рисунке схематично показан один из таких лучей. <img_0> Условие полного отражения имеет вид$$n_{0}=n_{1}\cos \varphi, \ (1)$$где $n_{0}$, $n_{1}$ — показатели преломления воздуха у поверхности асфальта и на удалении от него, соответственно. Показатель преломления зависит от концентрации молекул, и, следовательно, от температуры воздуха. Из уравнения состояния идеального газа $$P=\gamma kT, \ (2)$$выразим значение концентрации и подставим в формулу для показателя преломления:$$n_{1}=1+\frac{\alpha P}{2kT}, \quad n_{0}=1+\frac{\alpha P}{2k(T+\Delta T)}. \ (3)$$найдем отношение показателей преломления (с учетом того, что они мало отличаются от единицы).$$\frac{n_{0}}{n_{1}}=\frac{1+\frac{\alpha P}{2k(T+\Delta T)}}{1+\frac{\alpha P}{2kT}} \approx \frac{1+\frac{\alpha P}{2kT}\left(1-\frac{\Delta T}{T} \right)}{1+\frac{\alpha P}{2kT}} \approx 1-\frac{\alpha P\Delta T}{2kT^{2}}. \ (4)$$Так как угол $\varphi$ мал, можно воспользоваться приближенной формулой $\cos \varphi 1-\frac{\varphi ^{2}}{2}$. В этом случае из формул (1) и (4) следует, что $$\varphi =\sqrt{\frac{\alpha P \Delta T}{k T^{2}}}. \ (5)$$Теперь легко найти, что расстояние на котором видна «лужа» при заданных условиях равно$$L=\frac{h}{\varphi}=h\sqrt{\frac{kT^{2}}{\alpha P\Delta T}}=1.2\sqrt{\frac{1.38\cdot10^{-23}\cdot (293)^{2}}{2.3\cdot 10^{-29}\cdot 1.0 \cdot 10^{5}\cdot 2.0}} \approx 6.1\cdot 10^{2}~м. \ (6)$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$L=h\sqrt{\frac{kT^{2}}{\alpha P\Delta T}} \approx 6.1\cdot 10^{2}~м. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "4,00"}]