text: {"text": [{"text": "В сверхпроводящем тонком кольце радиусом $R$, индуктивностью $L$ и массой $M$ течет наведенный ток $I_{0}$. Кольцо, подвешенное на тонкой неупругой нити, опускают в область горизонтального однородного магнитного поля индукцией $B$. В устойчивом положении равновесия угол между вектором $\vec{B}$ и его проекцией на плоскость кольца равен $\alpha$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найти зависимость угла $\alpha$ от начального тока $I_{0}$ в кольце и построить график $\alpha=\alpha\left(I_{0}\right)$."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Найти зависимость установившейся силы тока $I$ в кольце от величины начальной силы тока $I_{0}$ и построить график $I=I\left(I_{0}\right)$."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Для случая, когда $I_{0}>\frac{\pi R^{2} B}{L}$, определить минимальную работу, которую необходимо совершить, чтобы вынуть кольцо из магнитного поля."}]}
answer: [{"condition": "Найти зависимость угла $\alpha$ от начального тока $I_{0}$ в кольце и построить график $\alpha=\alpha\left(I_{0}\right)$. ", "solution": {"text": "Если кольцо находится в однородном магнитном поле индукции $B$ и в кольце течет ток $I \neq 0$ (при $0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$), то единственным положением устойчивого равновесия является положение, когда $\alpha=\frac{\pi}{2}$ и вектор индукции собственного магнитного поля кольца в его центре направлен вдоль $\vec{B}$. Пусть $\alpha=\frac{\pi}{2}$, а в кольце течет ток $I$ таким образом, что кольцо находится в устойчивом положении равновесия. Магнитный поток, пронизывающий сверхпроводящее кольцо сохраняется, поэтому $$ L I_{0}=L I+B \pi R^{2}. $$ Отсюда $$ I=I_{0}-\frac{B \pi R^{2}}{L}. $$ Из условия, что $I>0$ следует, что $I_{0}>\frac{B \pi R^{2}}{L}$. Следовательно при $I_{0}>\frac{B \pi R^{2}}{L}$ угол $\alpha=\frac{\pi}{2}$. При $I_{0}<\frac{B \pi R^{2}}{L}$ устойчивого положения с током $I \neq 0$ нет, поэтому устойчивое положение равновесия в этом случае будет при $I=0$. Пусть при $I=0$ угол $\alpha \neq \frac{\pi}{2}$. По закону сохранения магнитного пoтoкa $$ L I_{0}=\pi R^{2} B \sin \alpha. $$ Отсюда $$ \alpha=\arcsin \left(\frac{L I_{0}}{\pi R^{2} B}\right). $$ Графики зависимости $\propto\left(I_{0}\right)$ и $I\left(I_{0}\right)$ приведены на рисунках ниже."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \alpha=\arcsin \left(\frac{L I_{0}}{\pi R^{2} B}\right). $$", "<img_0>"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найти зависимость установившейся силы тока $I$ в кольце от величины начальной силы тока $I_{0}$ и построить график $I=I\left(I_{0}\right)$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ I=I_{0}-\frac{B \pi R^{2}}{L}. $$", "<img_1>"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Для случая, когда $I_{0}>\frac{\pi R^{2} B}{L}$, определить минимальную работу, которую необходимо совершить, чтобы вынуть кольцо из магнитного поля. ", "solution": {"text": "Пусть в отсутствие внешнего магнитного поля в кольце $I_{0}>\frac{\pi R^{2} B}{L}$, а в магнитном поле сила тока в кольце $I=I_{0}-\frac{\pi R^{2} B}{L}$. Найдем работу по удалению кольца из области однородного магнитного поля. На рисунке ниже показано произвольное положение кольца, когда его вытянули на величину $x$. <img_2> На кольцо со стороны поля будет действовать сила Ампера $$ F_{x}=I_{x} B l_{x}, \quad (1) $$ где $I_{x}$ — сила тока в кольце. По закону сохранения магнитного потока $$ L I_{0}=L I_{x}+B\left(\pi R^{2}-S_{x}\right), $$ где $S_{x}$ — площадь заштрихованной на рисунке области. Следовательно, $$ I_{x}=I_{0}-\frac{\left(\pi R^{2}-S_{x}\right) B}{L}. \quad (2) $$ После подстановки $(2)$ в $(1)$ получим $$ F_{x}=\left[I_{0}-\frac{\left(\pi R^{2}-S_{x}\right) B}{L}\right] B l_{x}. $$ Работа по удалению кольца из поля равна $$ A_{магн}=\int \limits_{0}^{2 R} F_{x} d x=\int \limits_{0}^{2 R}\left[I_{0}-\frac{\left(\pi R^{2}-S_{x}\right) B}{L}\right] B l_{x} d x= \\ =\int \limits_{0}^{\pi R^{2}}\left[I_{0}-\frac{\left(\pi R^{2}-S_{x}\right) B}{L}\right] B d S_{x}=\pi R^{2} B\left(I_{0}-\frac{\pi R^{2} B}{2 L}\right). $$ С учетом поля тяжести $$ A=A_{магн}+2 M g R=\pi R^{2} B\left(I_{0}-\frac{\pi R^{2} B}{2 L}\right)+2 M g R. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ A=\pi R^{2} B\left(I_{0}-\frac{\pi R^{2} B}{2 L}\right)+2 M g R. $$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]