text: {"text": [{"text": "Две одинаковые высокие теплонепроницаемые трубки заполнены до высоты $h=25~см$. Первая льдом, полученным при замораживании воды в той же трубке, вторая — при температуре $t_в=10~{}^\circ С$. Воду выливают на лед и сразу же отмечают уровень. После установления теплового равновесия оказалось, что он повысился на $\Delta h = 0.5~см$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Какова была начальная температура льда? Плотность льда $\varrho_л =900~кг/м^3$. Удельная теплота плавления льда $\lambda =340~кДж/кг$, удельная теплоемкость льда $c_л=2100~Дж/(кг\cdot К$)."}]}
answer: [{"condition": "Какова была начальная температура льда? ", "solution": {"text": "После долива воды ко льду могут теоретически произойти три процесса:1) лед нагреется до $0^\circ$ и начнет таять $\rho_{л}<\rho_{в}$ $\Rightarrow$ объем содержимого понизится.2) лед нагреется до $0^\circ$ и вода охладится до $0^\circ$, объем содержимого не изменится.3) вода охладится до $0^\circ$ и начнет замерзать $\rho_{л}<\rho_{в}$ $\Rightarrow$ объем содержимого повысится.По условию объем вырос $\Rightarrow$ реализуется 3).$m_{л}$ — масса льда, $m_{л}=\rho_{л} S h$.$m_{в}$ — масса воды, $m_{в}=\rho_{в} S h$.$\Delta m$ — масса той части воды, которая замерзла.$t_{л}$ — изначальная температура льда. В конце имеем смесь льда и воды $\Rightarrow$ ее температура равна $0^\circ\mathrm{C}$. Из уравнения теплового баланса: $$m_{л}c_{л}(0^\circ\mathrm{C}-t_{л})=\lambda \Delta m+c_{в}m_{в}(t_{в}-0^\circ\mathrm{C})$$Начальный объем: $2Sh$, конечный объем: $\frac{m_{л}+\Delta m}{\rho_{л}}+\frac{m_{в}-\Delta m}{\rho_{в}}$.$$2Sh+S\Delta h=\frac{m_{л}+\Delta m}{\rho_{л}}+\frac{m_{в}-\Delta m}{\rho_{в}}=2Sh+\Delta m(\frac{1}{\rho_{л}}-\frac{1}{\rho_{в}}).$$$$\Delta m=\frac{S\Delta h\rho_{л}\rho_{в}}{\rho_{в}-\rho_{л}}$$Подставляем с учетом выражений для $m_{в}$ и $m_{л}$:$$c_{л}\rho_{л}Sh(0^\circ\mathrm{C}-t_{л})=\lambda\cdot\frac{S\Delta h\rho_{л}\rho_{в}}{\rho_{в}-\rho_{л}}+c_{в}\rho_{в}Sh(t_{в}-0^\circ\mathrm{C}).$$$$0^\circ\mathrm{C}-t_{л}=\frac{\lambda\rho_{в}}{c_{л}(\rho_{в}-\rho_{л})}\frac{\Delta h}{h}+\frac{c_{в}\rho_{в}}{c_{л}\rho_{л}}(t_{в}-0^\circ\mathrm{C}). $$Считаем $t_{в}$ и $t_{л}$ в $^\circ\mathrm{C}.$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$t_л=-\frac{\lambda}{c_л} \frac{\Delta h}{h} \frac{\rho_в}{\rho_в - \rho_л} - \frac{c_в}{c_л} \frac{\rho_в}{\rho_л} t_в \approx -54~{}^\circ С, $$здесь $\rho_в = 10^3~кг/м^3$ — плотность, $c_в = 4200~Дж/(кг\cdot К)$ — удельная теплоемкость воды."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]