text: {"text": [{"text": "Гидравлический пресс (см. рис.) с двумя поршнями различной площади, заполненный водой, снизу закреплён на жёстком неподвижном штоке, а сверху подвешен на лёгкой пружине, верхний конец которой закреплён. Пресс находится в состоянии равновесия. Более того, при смещении верхнего поршня на любое не очень большое расстояние пресс остается в равновесии. Такое равновесие называется безразличным. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Определите жёсткость пружины $k$. Площади поршней $S$ и $S_0$, плотность воды $\rho$ и ускорение свободного падения $g$ считайте известными. Пространство между поршнями всегда целиком заполнено водой. Ось симметрии гидравлического пресса вертикальна. Трение между поршнями и стенками пресса отсутствует."}]}
answer: [{"condition": "Определите жёсткость пружины $k$. Площади поршней $S$ и $S_0$, плотность воды $\rho$ и ускорение свободного падения $g$ считайте известными. ", "solution": {"text": "<img_1> После смещения верхнего поршня на расстояние $x$ вниз сила упругости станет равна $F_{упр}+kx$. Изменится также сила давления воды, обозначим её новую величину как $P_2S$. Неизменными останутся сила тяжести поршня $mg$ и сила атмосферного давления $P_0S$. Условие равновесия поршня в этом случае:\[F_{упр}+kx+P_2S=mg+P_0S.\tag{2}\]Обозначим первоначальное расстояние от верхнего поршня до нижнего за $h$. Тогда давление воды около нижнего поршня равно $P_1+\ \rho gh$.После смещения верхнего поршня расстояние между поршнями уменьшится до величины $(h-x)$. Давление воды около нижнего поршня станет равным $P_2+\rho g(h-x)$. <img_2> Условие равновесия для этой системы: \[P_1S+Mg=F+P_1S_0+\rho ghS_0. \tag{3}\]Аналогично в случае смещённого верхнего поршня:\[P_2S+Mg=F+P_2S_0+\rho ghS_0-\rho gxS_0.\tag{4}\]Из (1) и (2) уравнений получим: $\left(P_1-P_2\right)S=kx. \tag{*}$Из (3) и (4) уравнений получим: $\left(P_1-P_2\right)\left(S-S_0\right)= \rho gS_0x.\tag{**}$Из (*) и (**) получим искомый ответ:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$k=\dfrac{\rho gS S_0}{S-S_0}.$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}]