text: {"text": [{"text": "Тонкое проволочное кольцо массы $M$ стоит на горизонтальной плоскости (см. рисунок). <img_0> По кольцу могут скользить без трения две одинаковые бусинки массой $m$ каждая. В начальный момент времени бусинки находятся вблизи верхней точки кольца. Их одновременно отпускают, и они начинают двигаться симметрично."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "При каком отношении масс $n = m/M$ кольцо оторвётся от плоскости?"}]}
answer: [{"condition": "При каком отношении масс $n = m/M$ кольцо оторвётся от плоскости? ", "solution": {"text": "В силу симметрии системы, при движении бусинок кольцо не будет смещаться по горизонтали. Для отрыва кольца от плоскости необходимо, чтобы $N_{1}=0$ (см. рисунок). <img_1> Это возможно, если силы реакции со стороны бусинок на кольцо$N$ направлены от центра. К этому моменту времени каждая тз бусинок сместится от вертикали на угол $\alpha$ (см. рисунок ниже). <img_2> Тогда по второму закону Ньютона для каждой из них будет справедливо соотношение: $$ m\frac{v^{2}}{R}=N+mg\cos \alpha, $$ где $N$ — сила, действующая на бусинку со стороны кольца. Согласно закону сохранения энергии, верно равенство: $$ m\frac{v^{2}}{R}=mgR(1-\cos \alpha). $$ Решая совместно эти уравнения, получим: $$ N=mg(2-3\cos \alpha). $$ Для момента отрыва кольца: $$ 2N\cos \alpha=Mg. $$ Из полученного выражения можно найти отношение $m/M$: $$ \frac{m}{M}=\frac{1}{2(2\cos \alpha-3\cos^{2} \alpha)}. $$ В знаменателе квадратичная зависимость с максимумом при $\cos \alpha = 1/3$, при этом $m/M=3/2$. Следовательно, отрыв происходит при $$ \frac{m}{M}\geqslant \frac{3}{2}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{m}{M} \geqslant \frac{3}{2}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]