text: {"text": [{"text": "В электрических цепях (см. рисунки) сопротивление $R_{A B}$ между зажимами $A$ и $B$ и сопротивление $R_{C D}$ между зажимами $C$ и $D$ равны, а сопротивления резисторов $R_{1}$, $R_{2}$ и $R_{3}$ — заданы. <img_0> <img_1>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите все возможные значения сопротивления $R_{x}$. Докажите, что других решений нет. Вы можете воспользоваться тем фактом, что для всякой схемы из трех резисторов, соединенных «треугольником» (см. рисунок ниже), существует эквивалентная схема из трех резисторов, соединенных «звездой» (см. последний рисунок). <img_2> <img_3>"}]}
answer: [{"condition": "Найдите все возможные значения сопротивления $R_{x}$.  Докажите, что других решений нет. ", "solution": {"text": "Наиболее просто сопротивления $R_{A B}$ и $R_{C D}$ можно вычислить, если соединение «треугольником» резисторов $R_{1}, R_{2}$ и $R_{x}$ (на рисунках ниже оно обведено пунктирным контуром) заменить эквивалентным соединением «звездой» (см. рисунки ниже). <img_4> <img_5> <img_6> <img_7> На данном этапе мы воздержимся от пересчета «треугольника» в «звезду», а будем считать, что $r_{A}, r_{1}$ и $r_{2}$ нами уже найдены. Поскольку $R_{A B}=R_{C D}$, то и $R_{M B}=R_{N D}$, так как $r_{A}$ соединено последовательно с каждым из них: $$ R_{M B}=\frac{\left(r_{1}+R_{3}\right)\left(r_{2}+R_{x}\right)}{r_{1}+r_{2}+R_{3}+R_{x}}=R_{N D}=\frac{\left(r_{1}+R_{x}\right)\left(r_{2}+R_{3}\right)}{r_{1}+r_{2}+R_{3}+R_{x}} . $$Так как в последнем уравнении знаменатели равны, то должны быть равны и числители: $\left(r_{1}+R_{3}\right)\left(r_{2}+R_{x}\right)=\left(r_{1}+R_{x}\right)\left(r_{2}+R_{3}\right) .$ После раскрытия скобок и приведения подобных членов это уравнение примет вид $$ r_{1}(R_{x}-R_{3})=r_{2}(R_{x}-R_{3}). $$Такое равенство возможно в двух случаях: Данное равенство указывает на симметрию соединения «звездой», но симметрия «звезды» возможна только тогда, когда и исходная схема соединения «треугольником» обладает подобной симметрией, то есть когда $R_{1}=R_{x}$ — это второй корень уравнения. Других решений у составленного нами уравнения нет. Следовательно, возможны только два значения $R_{x}$: $$ R_{x}=R_{1} \text { и } R_{x}=R_{3} . $$ При внимательном анализе схем (см. рисунки условия) оба решения легко «угадываются», но их единственность не очевидна."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$R_{x}=R_{1} \quad\text {и}\quad R_{x}=R_{3} .$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]