text: {"text": [{"text": "Экспериментатор Глюк исследовал неизвестный газ и обнаружил, что он подчиняется уравнению Менделеева—Клапейрона лишь приближенно. Зависимость его давления $p$ от температуры $T$, объема $V$ и количества молей $\nu$ можно описать формулой $$ p=\frac{v R T}{V}+\frac{v^{2}}{V^{2}}(b T-a), $$ где $a$ и $b$ — малые параметры. Глюк предположил, что выражение для внутренней энергии $U$ также немного отличается от формулы в случае идеального газа и имеет вид: $$ U=\frac{3}{2} \nu R T-\frac{c \nu^{2}}{V} . $$ Размышляя нал различными способами измерения коэффициента $c$, Глюк вспомнил, что КПД цикла Карно зависит только от температур нагревателя и холодильника. Используя это утверждение, он определил значение коэффициента $c$ без проведения измерений."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите $c$, считая известными $a$ и $b$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите $c$, считая известными $a$ и $b$. ", "solution": {"text": "Рассмотрим малый цикл Карно $1 2 3 4$ (см. рисунок). <img_0> При $\Delta T \ll T$ и $\Delta V \ll V$ можно приближенно считать, что совершенная в этом цикле работа равна площади $1 2 3^{\prime} 4^{\prime}$ и пренебречь разностью площадей треугольников $1 4 4^{\prime}$ и $2 3 3^{\prime}$. Поскольку расстояние между изотермами вдоль изохоры$$\Delta p=\Delta T\left(\frac{\nu R}{V}+\frac{\nu^{2}}{V^{2}} b\right),$$то площадь параллелограмма $1 2 3^{\prime} 4^{\prime}$ соответствует работе$$A=\Delta p \Delta V=\Delta T\left(\frac{\nu R}{V}+\frac{\nu^{2}}{V^{2}} b\right) \Delta V .$$КПД цикла Карно$$\eta=\frac{A}{Q_{+}}=\frac{\Delta T}{T},$$откуда теплота, полученная от нагревателя,$$Q_{+}=T\left(\frac{\nu R}{V}+\frac{\nu^{2}}{V^{2}} b\right) \Delta V.$$Согласно первому закону термодинамики $Q_{+}=U_{2}-U_{1}+A_{+}$, причем работа газа на изотерме $T$$$A_{+}=\left(\frac{\nu R T}{V}+\frac{\nu^{2}}{V^{2}}(b T-a)\right) \Delta V.$$Следовательно, $$U_{2}-U_{1}=Q_{+}-A_{+}= a \frac{\nu^{2}}{V^{2}} \Delta V .$$По формуле для внутренней энергии из условия имеем:$$U_{2}-U_{1}=c \nu^{2}\left(\frac{1}{V_{1}}-\frac{1}{V_{2}}\right) \approx c \frac{\nu^{2}}{V^{2}} \Delta V.$$Сравнивая последние два выражения, находим $c=a$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ c=a. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]