text: {"text": [{"text": "В архиве Снеллиуса нашли чертёж оптической схемы, на которой была изображена линза, положение точечного источника света $S_{0}$ и его изображения $S_{1}$. От времени чернила выцвели, и на схеме осталось видно только положение оптической оси линзы, источника $S_{0}$, изображения $S_{1}$ и одного из фокусов $F$ (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Построением циркулем и линейкой без делений восстановите возможные положения линзы."}]}
answer: [{"condition": "Построением циркулем и линейкой без делений восстановите возможные положения линзы. ", "solution": {"text": "Для начала проведём качественный анализ того, где может располагаться линза и какой она может быть. Рассеивающая линза. Изображение в рассеивающей линзе всегда мнимое и лежит по ту же сторону от линзы, что и источник, причем расстояние от линзы до изображения меньше расстояния от линзы до источника. Таким образом, условию удовлетворяет рассеивающая линза, которая находится правее $S_{1}$ (см. рисунок ниже). <img_2> Собирающая линза. Изображение может быть как мнимым, так и действительным. Мнимое (причём увеличенное) изображение расположено от линзы всегда дальше, чем источник, поэтому линза, дающая мнимое изображение, расположена слева от $S_{0}$ (см. рисунок ниже). <img_3> Если линза расположена между источником $S_{0}$ и изображением $S_{1}$, то изображение - действительное. Так как линза имеет два фокуса, то точка $F$ может лежать как справа (см. рисунок), так и слева от линзы (см. рисунок). Таким образом, существуют четыре решения! <img_4> Теперь найдём точные координаты оптических центров этих линз и выполним построения. Пусть расстояние от источника света до фокуса равно $d$, до изображения - $L$, а до линзы - $x$. Запишем формулу тонкой линзы: $$ \frac{1}{|x|} \pm \frac{1}{|L-x|}=\pm \frac{1}{|d-x|}, $$ где знак плюс в левой части соответствует действительному изображению, а минус - мнимому. Знак плюс перед оптической силой линзы соответствует собирающей линзе, а знак минус - рассеивающей. Данные в задаче точки $S_{0}$, $F$ и $S_{1}$ делят оптическую ось на четыре промежутка, в каждом из которых модули в уравнении выше будут раскрываться с различными знаками. Найдём все решения уравнения выше. Раскроем знаки на промежутке $S_{0} F$. Как мы заметили выше, здесь может располагаться только собирающая линза, тогда: $$ \frac{1}{x}+\frac{1}{L-x}=\frac{1}{d-x}, $$ $$ x^{2}-2 L x+L d=0, $$ следовательно, $$ L-x=\mp \sqrt{L(L-d)}, $$ причем решение со знаком минус попадает в рассматриваемый нами промежуток. Решая по аналогии уравнение тонкой линзы на оставшихся трёх промежутках, найдём, что ещё две собирающие линзы находятся в точках $x=\pm \sqrt{L d}$, а в точке $L-x=\sqrt{L(L-d)}$ находится рассеивающая линза. Все построения в данной задаче сводятся к построению корней из произведений длин отрезков. В курсе геометрии доказывается, что если в прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу равны $a$ и $b$, то длина высоты этого треугольника, опущенной из вершины прямого угла, равна $\sqrt{a b}$. С помощью этого факта построим отрезки длиной $\sqrt{S_{0} S_{1} \cdot F S_{1}}$ и $\sqrt{S_{0} S_{1} \cdot S_{0} F}$ и отложим полученные отрезки от точки $S_{0}$ вправо и от точки $S_{1}$ в обе стороны соответственно. "}, "answer": {"answers": ["<img_1>", "Ответ: Пошаговая инструкция к построению (см. рисунок выше): 1. Отложим на оптической оси отрезок $S_{1} M_{1}$ длины $S_{1} M_{1}=$ $=S_{0} S_{1}=L$, так что точка $M_{1}$ лежит справа от точки $S_{1}$. 2. Найдём среднее геометрическое длин отрезков $F S_{1}=L-d$ и $L$. Для этого построим окружность на диаметре $F M_{1}$. Найдём точку $P_{1}$ пересечения этой окружности и перпендикуляра к оптической оси, проходящего через $S_{1}$. Длина отрезка $S_{1} P_{1}$ равна $\sqrt{L(L-d)}$. 3. Отложим на оптической оси отрезки длины $S_{1} P_{1}$ влево и вправо от $S_{1}$. Левая линза $O_{1}$ окажется собирающей, а правая $O_{2}$ - рассеивающей. 4. Отложим на оптической оси отрезок $S_{0} M_{0}$ длины $S_{0} M_{0}=S_{0} S_{1}=L$, так что точка $M_{0}$ лежит справа от точки $S_{0}$. 5. По аналогии с пунктом $2$ построим окружность на диаметpe $M_{0} F$ и перпендикуляр $S_{0} P_{0}$, длина которого равна $\sqrt{L d}$. 6. Отложим на оптической оси отрезки длины $S_{0} P_{0}$ влево и вправо от точки $S_{0}$. Линзы $O_{3}$ и $O_{4}$ являются собирающими."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]