text: {"text": [{"balls": {"number": "A1", "exponent": null}, "text": "Установите массу одного витка пружинки $\gamma$. Оцените погрешность. Для одного витка пружинки выполняется закон Гука, то есть удлинение одного витка $\Delta x$ пропорционально силе $F$, приложенной к витку:\[\Delta x = \frac{F}{k_1}\]где $k_1$ — коэффициент жесткости одного витка пружинки."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": null}, "text": "Предложите метод, в котором можно измерить коэффициент жесткости одного витка с высокой точностью. Измерьте его по серии экспериментальных данных. Оцените погрешность. Период колебаний весомой пружины, подвешенной вертикально, описывается формулой: \[T = 2\pi \sqrt{\frac{m_{пр}}{\beta k}}\]где $m_{пр}$ – масса всей пружины, $k$ – жесткость всей пружины, $\beta$ – постоянный коэффициент."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": null}, "text": "По серии экспериментальных данных определите коэффициент $\beta$. Опишите Ваш метод измерения. Оцените погрешность полученного результата."}]}
answer: [{"condition": "Установите массу одного витка пружинки $\gamma$. Оцените погрешность.  ", "solution": {"text": "Для того, чтобы узнать массу одного витка пружинки необходимо разделить массу всей пружинки на количество витков в ней. Количество витков в пружинке составило $45~шт$, а масса всей пружины составила: $m_{пр} = 36.4\pm 0.1~г$.Следовательно, масса одного витка составляет:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $\gamma = (8.09\pm0.02)\cdot 10^{-4}~ кг$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Предложите метод, в котором можно измерить коэффициент жесткости одного витка с высокой точностью. Измерьте его по серии экспериментальных данных. Оцените погрешность.  ", "solution": {"text": "<img_0> Линейку прикрепим к столу с помощью канцелярского зажима. Важно контролировать то, что пружинка подвешена на координате в горизонтальной плоскости такой же, как координата окончания последнего витка пружинки. Погрешность измерения длины контрольных витков составляет $\sim 1~мм$. Количество свободных витков232221201918171615141312Длина контрольных витков, см31.530.229.127.926.525.22423.322.120.72018.9Количество свободных витков1110987654321$-$Длина контрольных витков, см17.517.216.315.114.313.112.111.110.18.97.9$-$ Построим график зависимости длины контрольных витков от количества свободных витков: <img_1> Как видно получившийся график хорошо аппроксимируется линейной зависимостью, что говорит о выполнении закона Гука для исследуемой пружины. Угловой коэффициент этой зависимости составляет:\[l = (1.05\pm0.01)~см\]Из величины $l$ и массы одного витка легко установить коэффициент жесткости контрольных витков:\[k_{10} = \frac{\gamma g}{l} = (0.76\pm 0.01)~{Н}/{м}\]Из последнего можно рассчитать коэффициент жесткости для одного витка: | Количество свободных витков | 23 | 22 | 21 | 20 | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | Длина контрольных витков, см | 31\.5 | 30\.2 | 29\.1 | 27\.9 | 26\.5 | 25\.2 | 24 | 23\.3 | 22\.1 | 20\.7 | 20 | 18\.9 | | Количество свободных витков | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | $\-$ | | Длина контрольных витков, см | 17\.5 | 17\.2 | 16\.3 | 15\.1 | 14\.3 | 13\.1 | 12\.1 | 11\.1 | 10\.1 | 8\.9 | 7\.9 | $\-$ |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[k_1 = 10 k_{10} = (7.6\pm 0.1)~{Н}/{м}\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "По серии экспериментальных данных определите коэффициент $\beta$. Опишите Ваш метод измерения. Оцените погрешность полученного результата. ", "solution": {"text": "Исследуем зависимость периода колебаний пружинки от количества колеблющихся витков $n$.Масса колеблющихся витков пропорциональна их количеству, а коэффициент жесткости пружины обратно пропорционален количеству витков:\[m_{пр} = \gamma n ,\qquad k=\frac{k_1}{n}\]Таким образом, теоретически зависимость периода колебаний от количества колеблющихся витков должна быть линейной:\[T=2\pi \sqrt{\frac{\gamma}{k_1\beta}}n\]Коэффициент зависимости должен быть равен:\[A=2\pi \sqrt{\frac{\gamma}{k_1\alpha}}\]Снимем зависимость периода колебаний пружинки от количества витков в ней. Погрешность оценим по разбросу измеряемых времен: $n$$10T_1,~с$$10T_2,~с$$10T_3,~с$$10T,~с$$\Delta 10T,~с$$T,~с$$\Delta T,~с$125.155.0355.060.060.5060.006156.066.166.053330.035560.6053330.003556197.437.417.347.393330.035560.7393330.003556249.289.319.289.290.013330.9290.0013333112.1212.1312.3512.20.11.220.013513.9414.114.1314.056670.077781.4056670.007778 <img_2> Как видно экспериментальные точки хорошо согласуются с предполагаемой линейной зависимостью. Коэффициент наклона зависимости, полученный из линейной аппроксимации, составляет:\[A = (3.82\pm0.09)\cdot10^{-2}~ с\]Из полученного углового коэффициента легко определить искомый коэффициент $\beta$: Полученный коэффициент хорошо согласуется с теоретическим значением равным $3$. | $n$ | $10T\_1,\~с$ | $10T\_2,\~с$ | $10T\_3,\~с$ | $10T,\~с$ | $\\Delta 10T,\~с$ | $T,\~с$ | $\\Delta T,\~с$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 12 | 5\.15 | 5\.03 | 5 | 5\.06 | 0\.06 | 0\.506 | 0\.006 | | 15 | 6\.06 | 6\.1 | 6 | 6\.05333 | 0\.03556 | 0\.605333 | 0\.003556 | | 19 | 7\.43 | 7\.41 | 7\.34 | 7\.39333 | 0\.03556 | 0\.739333 | 0\.003556 | | 24 | 9\.28 | 9\.31 | 9\.28 | 9\.29 | 0\.01333 | 0\.929 | 0\.001333 | | 31 | 12\.12 | 12\.13 | 12\.35 | 12\.2 | 0\.1 | 1\.22 | 0\.01 | | 35 | 13\.94 | 14\.1 | 14\.13 | 14\.05667 | 0\.07778 | 1\.405667 | 0\.007778 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\beta = \frac{4\pi^2\gamma}{k^2\alpha} =2.87\pm0.18\]  Полученный коэффициент хорошо согласуется с теоретическим значением равным $3$."]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "??"}]