text: {"text": [{"text": "На гладкий жесткий неподвижный стержень, образующий угол $\alpha$ с горизонтом, надето колечко $A$ массы $m_1$, которое может скользить по стержню без трения (см. рис.). К колечку при помощи невесомой нити $AB$ прикреплен грузик $B$ массы $m_2$. Первоначально колечко удерживают рукой таким образом, что нить $AB$ вертикальна. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Чему будет равно натяжение нити в первый момент времени после того, как колечко отпустят?"}]}
answer: [{"condition": "Чему будет равно натяжение нити в первый момент времени после того, как колечко отпустят? ", "solution": {"text": "Нарисуем силы, действующие на колечко и грузик.На грузик действует сила натяжения нити $T$ и сила тяжести $m_2g$, а на колечко действует сила натяжения $T$, сила тяжести $m_1g$ и сила нормальной реакции со стороны стержня. <img_1> Колечко может двигаться только вдоль стержня. Его ускорение равно $a_1$, т.ч. по $\mathrm{II}$ закону Ньютона: $$m_1 a_1=\left(T+m_1 g\right) \sin \alpha \Rightarrow a_1=\frac{\left(T+m_1 g\right) \sin \alpha}{m_1} .$$Ускорение грузика вертикально, направлено вниз и равно $a_2$ т.г. $m_2 a_2=m_2 q-T \Rightarrow a_2=\frac{m_2 g-T}{m_2} .$Гипотетически возможны две ситуации: 1) нить натянута2) нить не натянута. $1.$ Нить натянута, т.е. $T>0$.За очень малое время $t$ нижний конец нити перемещается вниз на $\approx \frac{a_2 t^2}{2}$, а верхний конец смещается вдоль стержня по направлению к стенке на $\frac{a_1 t^2}{2}$, т.ч. его смещение по вертикали $\approx \frac{a_1 t^2}{2} \sin \alpha$ вниз.Так как нить нерастяжима и натянута, то при малых $t$: $$\frac{a_1 t^2}{2} \sin \alpha=\frac{a_2 t^2}{2} \Rightarrow a_1 \sin \alpha=a_2\\\begin{aligned}& \frac{\left(T+m_1 g\right) \sin ^2 \alpha}{m_1}=\frac{m_2 g-T}{m_2} \\& T\left(\frac{\sin ^2 \alpha}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)=g\left(1-\sin ^2 \alpha\right)=g \cos ^2 \alpha . \\& T=\frac{m_1 m_2 g \cos ^2 \alpha}{m_1+m_2 \sin ^2 \alpha}>0 .\end{aligned}$$ $2.$ Предположим, что нить не натянута. Так как нить нерастяжима, то $a_1 \sin \alpha \geqslant a_2$.Имеем при $T=0$:$a_1=g \sin \alpha, \quad a_2=g$, так что $a_1 \sin \alpha \geqslant a_2 \Leftrightarrow \sin ^2 \alpha \geqslant 1$.Этого быть не может т.к. $\alpha \in(0 ; \pi / 2)$ и $\sin \alpha \in(0 ; 1)$, т.ч. $\sin ^2 \alpha<1$.Поэтому случай ненатянутой нити не реализуется."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T=\frac{m_1m_2g\cos^2\alpha}{m_1+m_2\sin^2\alpha}$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]