text: {"text": [{"text": "Воздушная подушка часто используется чтобы перемещать тяжелые грузы. В этой задаче мы исследуем принцип ее работы, который схематично изображен на рисунке ниже. Рассмотрим следующую конфигурацию системы. Под платформой расположено цилиндрическое пространство диаметром $D=40~\text{см}$ и высотой $h=10~\text{см}$, в которое нагнетается воздух. Температура окружающего воздуха равна $T_0=300~\text{К}$, атмосферное давление $P_{atm}=1.01\cdot 10^5~\text{Па}$. Вес платформы и окружающих конструкций составляет $W=78.48~\text{кН}$. Когда сила давления воздуха превышает эту величину, платформа приподнимается, образуя с поверхностью зазор ширины $\varepsilon$. Считайте, что компрессор поддерживает постоянный поток воздуха. В задаче воздух можно считать идеальным газом. Течение газа считать адиабатическим и равновесным. Нас в основном будут интересовать стационарные режимы работы. Для численных расчетов в задаче используйте значения молярной массы воздуха $\mu=29.0~\text{г/моль}$ и $\gamma=c_P/c_V=1.4$. Также для удельных теплоемкостей при постоянном давлении и объеме справедливо соотношение $c_P-c_V=r$, где $r=287~\text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}$, и уравнение состояния можно записать в виде $P=\rho rT$. <img_0>"}, {"text": "Часть A. Равновесие платформы (1 балл)"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите $c_V$ и $c_P$ через $r$ и $\gamma$. Найдите их значения."}, {"text": "Часть B. Основы работы воздушной подушки (5.5 балла) Массовый расход газа при истечении через зазор у поверхности. задается выражением $dm/dt=\rho vA$, где $v$ и $\rho$~— скорость и плотность вытекающего газа. Рассмотрим некоторый скачок плотности и давления газа, распространяющийся со скоростью $c$ в трубке единичного сечения. Возмущённая область газа движется со скоростью $v$, а невозмущённая покоится. Пусть давление и плотность в возмущенной области газа равны $P$ и $\rho$ соответственно, а в невозмущенной~— $P_0$ и $\rho_0$ соответственно. Температура в невозмущённой области газа равна $T$. Некоторые из дальнейших рассуждений удобно проводить в системе отсчёта, в которой волновой фронт (граница невозмущенной области) покоится."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,50"}, "text": "Как зависит отношение давления в цилиндрической полости к атмосферному $P_0/P_{atm}$ от веса платформы и геометрических параметров системы?"}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите скорость движения возмущенной области газа $v$ через $c$, $\rho$ и $\rho_0$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите разность давлений $P-P_0$ через $\rho$, $\rho_0$, и $c$."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите $c$ через $\gamma, r, T$."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "0,50"}, "text": "Рассчитайте скорость звука в воздухе при заданной температуре $T_0$ окружающей среды. Когда газ вытекает из-под платформы, он адиабатически расширяется, и его температура $T$ будет отличной от $T_0$. Для удобства можно ввести число Маха, равное $M=v/c$, где $c$ - скорость звука в вытекающем газе, таким образом массовый расход можно переписать в виде $dm/dt=\rho AMc$."}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите массовый расход $dm/dt$ через $M, \gamma, T/T_0$ и соотношение $P_0A\gamma/c_0$, где $c_0$~— скорость звука при температуре $T_0$."}, {"balls": {"number": "B6", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите скорость газа $v$ через $M, T, r$ и $\gamma$."}, {"text": "Часть C. Критический режим течения газа (2.0 балла) Можно показать, что когда газ течет из узкого места в широкое, скорость потока $v$ не может превысить скорость звука в этой среде (т.е. $M\le1$). Когда нагнетаемый поток воздуха меняется, меняется и скорость истечения газа $v$. Для достаточно больших потоков, скорость $v$ может достичь максимального значения $c$."}, {"balls": {"number": "B7", "exponent": "1,50"}, "text": "Используя уравнение Бернулли для сжимаемого газа в виде $\cfrac{v^2}{2}+c_PT=\mathrm{const}$, найдите отношение температур $T/T_0$ через $M$ и $\gamma$."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите $dm/dt$ через $M, \gamma$ и $P_0A\gamma/c_0$, и схематично нарисуйте эту зависимость от $M$ для $M\in[0;1]$. Найдите такое значение $M$, для которого поток достигает своего максимального значения (этот режим называется критическим)."}, {"text": "Часть D. Неровность поверхности (1.5 балла) На практике неровности поверхности не позволяют зазору $\varepsilon$ принять значение выше 0.5 мм, таким образом критический режим не может быть достигнут."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "1,00"}, "text": "Пусть компрессор выдает поток $5.0~\text м^3/\text{мин}$. Рассчитайте значения $\varepsilon, T, P, v$ и $\rho$ выходного потока в критическом режиме."}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "1,50"}, "text": "Рассчитайте значения $M, T, P, v$ и $\rho$ вытекающего газа при $\varepsilon=0.5~\text{мм}$ и $dm/dt=0.1~\text{кг/с}$."}]}
answer: [{"condition": "Выразите $c_V$ и $c_P$ через $r$ и $\gamma$. Найдите их значения. ", "solution": {"text": "Воспользуемся заданными в условии формулами $$ \begin{cases} c_P - c_V = r \\ c_P/c_V = \gamma \end{cases} $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ c_P=\frac{\gamma{r}}{\gamma-1}= \frac{7}{2} \: r \approx 1005 \frac{Дж}{кг \cdot К} $$", "Ответ: $$ c_V=\frac{r}{\gamma-1}= \frac{5}{2} \: r \approx 718 \frac{Дж}{кг \cdot К} $$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Как зависит отношение давления в цилиндрической полости к атмосферному $P_0/P_{atm}$ от веса платформы и геометрических параметров системы? ", "solution": {"text": "Из условия равновесия платформы получим $$ (P_0-P_{atm})\frac{{\pi}D^2}{4}=W, $$ откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \frac{P_0}{P_{atm}}=1+\frac{4W}{{P_{atm}} \pi D^2} \approx 7,18 $$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите скорость движения возмущенной области газа $v$ через $c$, $\rho$ и $\rho_0$. ", "solution": {"text": "Выделим мысленно область, ограниченную двумя положениями волнового фронта: в моменты времени $t$ и $t + \Delta t$. Рассмотрим изменение массы газа в рассматриваемой области: $$ m(t) = \rho_0 Ac \: \Delta t \\ m(t + \Delta t) = \rho Ac \: \Delta t $$ С другой стороны, суммарный поток массы (втекающий) через обе грани равен $$ \frac{dm}{dt} = \rho v A $$ откуда $$ m(t + \Delta t) - m(t) = \frac{dm}{dt} \Delta t \\ (\rho - \rho_0) c = \rho v $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v=c\left(1-\frac{\rho_0}{\rho}\right) $$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите разность давлений $P-P_0$ через $\rho$, $\rho_0$, и $c$. ", "solution": {"text": "Из закона изменения импульса невозмущённой части газа получим $$(P-P_0)A=\frac{dp}{dt}=v\frac{dm}{dt}={\rho_0}Acv $$ Подставляя выражение для $v$ из предыдущего пункта, получим"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ (P-P_0)=\left(1-\frac{\rho_0}{\rho}\right) \rho_0 c^2 $$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Выразите $c$ через $\gamma, r, T$. ", "solution": {"text": "$$c^2=\frac{\rho}{\rho_0} \frac{P-P_0}{\rho-\rho_0} $$ Поскольку давление газа должно изменяться непрерывно $$c^2=\frac{dP}{d\rho} $$ Течение газа считается адиабатическим, поэтому $$P{\rho}^{-\gamma}=const $$ дифференцируя данное соотношение, получим $$\frac{dP}{d\rho}=\gamma\frac{P}{\rho}=\gamma{rT} $$ и окончательно"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$c=\sqrt{{\gamma{rT}}} $$"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Рассчитайте скорость звука в воздухе при заданной температуре $T_0$ окружающей среды. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$c_0= \sqrt{\gamma r T_0} \approx 347 м/с $$"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите массовый расход $dm/dt$ через $M, \gamma, T/T_0$ и соотношение $P_0A\gamma/c_0$, где $c_0$~— скорость звука при температуре $T_0$. ", "solution": {"text": "Выражение для массового расхода принимает вид $$\frac{dm}{dt}={\rho}A{c}{M} $$ Выразим $\rho$ из уравнения Менделеева-Клапейрона $$\frac{dm}{dt}=\frac{PAcM}{rT} $$ Комбинируя последнее выражение с результатом предыдущего пункта $$\frac{dm}{dt}=\frac{\gamma{AMP}}{c_0}\sqrt{\frac{T_0}{T}} $$ Поскольку процесс протекает адиабатически $$T^{\gamma}P^{1-\gamma}=const $$ Откуда $$P={P_0}\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}} $$ Подставим данное соотношение в выражение для $\frac{dm}{dt}:$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\frac{dm}{dt}=\frac{P_0{A\gamma}}{c_0}M\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}} $$"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Выразите скорость газа $v$ через $M, T, r$ и $\gamma$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v=Mc=M\sqrt{{\gamma{rT}}} $$"]}, "number_part": "B6", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Используя уравнение Бернулли для сжимаемого газа в виде $\cfrac{v^2}{2}+c_PT=\mathrm{const}$, найдите отношение температур $T/T_0$ через $M$ и $\gamma$. ", "solution": {"text": "Подставляя полученные ранее выражения для $v$ и $c_P$ $$rT\left(\frac{{\gamma}M^2}{2}+\frac{\gamma}{\gamma-1}\right)=const $$ или же $$T((\gamma-1)M^2+2)=const $$ откуда"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\frac{T}{T_0}=\frac{2}{2+(\gamma-1)M^2} $$"]}, "number_part": "B7", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Выразите $dm/dt$ через $M, \gamma$ и $P_0A\gamma/c_0$, и схематично нарисуйте эту зависимость от $M$ для $M\in[0;1]$. Найдите такое значение $M$, для которого поток достигает своего максимального значения (этот режим называется критическим). ", "solution": {"text": "Комбинируя результаты пунктов $B5$ и $B7$ $$\frac{dm}{dt}=\frac{P_0{A\gamma}}{c_0}M\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)^{-\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}} $$ дифференцируя по $M$ $$1+\frac{\gamma-1}{2}M^2+\frac{M(\gamma+1)}{2(1-\gamma)}\cdot{M(\gamma-1)}=0 $$ откуда"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$M=1 $$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Пусть компрессор выдает поток $5.0~\text м^3/\text{мин}$. Рассчитайте значения $\varepsilon, T, P, v$ и $\rho$ выходного потока в критическом режиме. ", "solution": {"text": "Для критического режима Теперь найдём значения давления и плотности из уравнения Пуассона: $$ P^{1-\gamma} \: T^{\gamma} = const \\ P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}} $$ Плотность входящего воздуха $$\rho_0=\frac{P_0}{rT_0} $$ откуда также из уравнения Пуассона Поскольку $M=1$, с учётом найденной температуры Найдём $\varepsilon$. Подставим температуру $T$ в выражение для массового расхода $$\frac{dm}{dt}=I\frac{P_{atm}}{rT_0}=\frac{{\gamma}P_0A}{c_0}\left(\frac{2}{1+\gamma}\right)^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}} $$ где $$A={\pi}D{\varepsilon} $$ откуда"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T=\frac{2T_0}{1+\gamma}= 250К $$  Теперь найдём значения давления и плотности из уравнения Пуассона: $$ P^{1-\gamma} \: T^{\gamma} = const \\ P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}} $$", "Ответ: $$P={P_0}\left(\frac{2}{1+\gamma}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}= 7,22 \cdot 10^5 Па $$  Плотность входящего воздуха $$\rho_0=\frac{P_0}{rT_0} $$ откуда также из уравнения Пуассона", "Ответ: $$\rho=\frac{P_0}{rT_0}\left(\frac{2}{1+\gamma}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}} = 5,34 \: кг / м^3 $$  Поскольку $M=1$, с учётом найденной температуры", "Ответ: $$v=\sqrt{\frac{2{\gamma}rT_0}{\gamma+1}} = 317 м/с $$  Найдём $\varepsilon$. Подставим температуру $T$ в выражение для массового расхода $$\frac{dm}{dt}=I\frac{P_{atm}}{rT_0}=\frac{{\gamma}P_0A}{c_0}\left(\frac{2}{1+\gamma}\right)^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}} $$ где $$A={\pi}D{\varepsilon} $$ откуда", "Ответ: $$\varepsilon=\frac{I}{c_0 \pi D} \frac{P_{atm}}{P_0} \left(\frac{1+\gamma}{2}\right)^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}= 0,047 мм $$"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Рассчитайте значения $M, T, P, v$ и $\rho$ вытекающего газа при $\varepsilon=0.5~\text{мм}$ и $dm/dt=0.1~\text{кг/с}$. ", "solution": {"text": "Идея решения данного пункта схожа с пунктом $C2$, но за тем исключением, что для начала необходимо определить число Маха $M$. Получим выражение для массового расхода как функцию $M$ $$\frac{dm}{dt}=\frac{P_{0}{A\gamma}}{c_0}M\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}=\frac{P_0{{\pi}{\varepsilon}D\gamma}}{c_0}M\left(1+\frac{({\gamma}-1)M^2}{2}\right)^{\frac{\gamma+1}{2(1-\gamma)}} $$ Решая данное уравнение на калькуляторе, получим Найдя $M$, по ранее полученным формулам находим"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ M= 0,055 $$  Найдя $M$, по ранее полученным формулам находим", "Ответ: $$ T= 297K $$", "Ответ: $$ P= 6,98 \cdot 10^5 Па $$", "Ответ: $$ \rho= 8,20 кг/м^3 $$", "Ответ: $$v= 18,8 м/c $$"]}, "number_part": "D1", "exponent_part": "1,50"}]