text: {"text": [{"text": "— это явление, при котором небольшие тела могут левитировать в сильной стоячей звуковой волне. С помощью акустической левитации можно создать , позволяющий бесконтактно и очень точно перемещать маленькие объекты. Из-за своих свойств акустический пинцет нашёл широкое применение, к примеру, в биомедицине для манипулирования структурами на масштабе клеток."}, {"text": "Часть A. Волновые соотношения (1.7 балла) Рассмотрим плоскую монохроматическую продольную звуковую волну в идеальном газе, распространяющуюся вдоль оси $x$. Волна задаётся смещением $u(x,t)$ элементов газовой среды относительно положения равновесия:\[u(x,t)=\operatorname{Re}\left(u_me^{i(\omega t-kx)}\right),\]где $u_m$ — комплексная амплитуда смещения, $\omega$ — угловая частота волны, $k$ — волновое число, а $x$ — элемента среды (координата, которую бы имел этот элемент газовой среды в положении равновесия). Пусть равновесное давление газа равно $p_0$, а плотность $\rho_0$. Показатель адиабаты газа равен $\gamma$. Тогда отклонение давления от равновесного значения задаётся выражением:\[\delta p(x,t)=p(x,t)-p_0=\operatorname{Re}\left(p_me^{i(\omega t-kx)}\right),\]где $p_m$ – комплексная амплитуда колебаний давления."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,30"}, "text": "Выразите $p_m$ через $u_m$, $k$, $\gamma$ и $p_0$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,30"}, "text": "Выразите скорость звука $c$ в газе через $\gamma$, $\rho_0$ и $p_0$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,30"}, "text": "Выразите $p_m$ через $\omega$, $c$, $\rho_0$ и $u_m$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,50"}, "text": "Получите выражение для средней плотности потока энергии $\mathcal J$ в такой волне. Выразите ответ через $\rho_0$, $c$, $\omega$ и $u_m$. Перейдём теперь к рассмотрению монохроматической стоячей волны в газе. Аналогично будем описывать её через смещение как\[u(x,t)=2u_m\cos(kx)\cos(\omega t).\]"}, {"text": "Часть B. Акустическая сила (2.0 балла) Когда частица вещества находится во внешней стоячей звуковой волне, на неё действует дополнительная сила, называемая . Вывод выражения для этой силы требует учёта поправок высшего порядка в волне."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "0,30"}, "text": "Запишите выражение для давления $\delta p(x,t)$ в такой стоячей волне. Выразите ответ через $\omega$, $c$, $\rho_0$, $u_m$, $x$ и $t$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,80"}, "text": "Запишите приближенное выражение для давления $\delta p_{Euler}(x_0,t)$ в рассматриваемой стоячей волне в случае $\left|\cfrac{\partial u}{\partial x}\right|\ll1$. Выразите ответ через $c$, $\omega$, $\rho_0$, $u_m$, $t$ и $x_0$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,40"}, "text": "Получите выражение для среднего давления $\overline{\delta p}(x_0)$ стоячей волны в фиксированной точке пространства. Выразите ответ через $\omega$, $c$, $\rho_0$, $u_m$ и $x_0$. Пусть теперь в волну помещают сферическую частицу. Частица несжимаема, её плотность много больше плотности окружающего вещества (т.е. её можно считать неподвижной), а её радиус $a$ много меньше характерной длины волны. Будем пока что считать, что наличие частицы не влияет на волну. Разница среднего давления в разных точках частицы приводит к возникновению средней силы, действующей на неё."}, {"text": "Часть C. Левитация в стоячей волне (2.0 балла) Если акустическая сила, действующая на частицу в стоячей волне, окажется больше силы тяжести, то частица сможет левитировать. В этой части задачи попробуем оценить, при каких условиях может возникнуть акустическая левитация в демонстрационной установке. Рассмотрим стоячую волну, представляющую собой суперпозицию двух бегущих плоских волн, распространяющихся по вертикали. Математически волна описывается точно так же, как в предыдущих частях."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,80"}, "text": "Запишите выражение для силы $F(x_0)$, которая действует на частицу. (Полученное выражение и есть акустическая сила.) Запишите выражение для потенциала этой силы. Выразите ответ через $\omega$, $c$, $\rho_0$, $u_m$, $x_0$ и $a$."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите, при каком минимальном $|u_m|_{cr}$ возможна левитация частицы в волне. В ответ могут войти $a$, $\rho_0$, $\gamma$, $p_0$, частота звука $f_0$, плотность частицы $\rho$ и ускорение свободного падения $g$. В самой популярной демонстрации акустического пинцета используются шарики пенопласта плотностью $\rho=50~кг/м^3$ диаметром $2a=1~см$. Звук имеет частоту $f_0=10~кГц$. Воздух при нормальных условиях имеет плотность $\rho_0=1.29~кг/м^3$ и давление $p_0=101~кПа$, его показатель адиабаты равен $\gamma=1.4$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите численно $|u_m|_{cr}$ для параметров установки. Хотя в задачах при описании волн используются амплитуда давления или смещения молекул газа, в повседневной жизни громкость звука задаётся децибелами. децибел определяется через логарифм интенсивности:\[D~[дБ]=10\operatorname{log}_{10}\cfrac{\mathcal J}{\mathcal J_0},\]где $J_0=10^{-12}~Вт/м^2$ — интенсивность звуковой волны громкостью $0~дБ$."}, {"text": "Часть D. А как же вязкость? (0.8 балла) В выводе в части полностью пренебрегается действие вязкости, хотя в общем случае ей нельзя пренебрегать."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "1,00"}, "text": "Какой громкости $D$ в децибелах соответствует ответ предыдущего пункта? Приведите численный ответ."}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "0,30"}, "text": "Из соображений размерности получите выражение для характерной толщины пограничного слоя $\delta$ с точностью до численного коэффициента, который в дальнейшем принимается равным единице. Выразите ответ через $\eta$, $\rho_0$ и $f_0$. Фактически, поправка на вязкость должна учитывать, что вещество в пограничном слое практически не увлекается волной, что увеличивает эффективную массу частицы при движении в поле акустической потенциальной энергии."}, {"text": "Часть E. Акустическая сила и резонаторы. Теория (1.7 балла) Описанные в этой задаче явления применимы не только для создания акустических пинцетов и интересных демонстраций. Действие акустической силы позволяет бесконтактно исследовать акустические резонаторы, что особенно актуально для резонаторов с очень большой добротностью — они слишком чувствительны к прямому вмешательству!Резонатор представляет собой узкую заполненную водой кювету с малой толщиной $w=380~мкм$, высотой $h=160~мкм$ и большой длиной $l=40~мм$. Введём ось $x$ вдоль стороны $w$ с началом отсчёта в середине резонатора. Стоячая волна в таком резонаторе возбуждается вдоль оси $x$. Будем считать, что возбуждается только основная мода колебаний.Обычно исследователей интересует, какую среднюю плотность энергии в резонаторе они смогут получить при данной амплитуде напряжения на пьезоэлементах, возбуждающих стоячую волну. (Пьезоэлемент — специальный прибор, преобразующий поданное на него напряжение в механическое смещение.) Чтобы не вмешиваться в работу резонатора непосредственно, исследователи помещают в него стеклянные шарики маленького радиуса $a=10~мкм$ и наблюдают за их смещением под действием акустической силы. Это позволяет им вычислить плотностью энергии звуковых волн внутри.Характерная зависимость положения шариков от времени внутри резонатора показана на рисунке ниже. <img_1> Для простоты будем считать, что предположения о большой плотности и несжимаемости шариков всё ещё выполняются (это не совсем так, но качественно мало влияет на ответ). Более того, учитывая маленький размер шариков, их можно считать практически безынерционными, т.е. можно считать, что акустическая сила в любой момент времени уравновешена силой вязкого трения, действующей на шарик. Эта сила задаётся формулой Стокса $F_{сопр}=6\pi\eta av$, где $v$ — скорость шарика, $\eta\approx0.9~мПа\cdot с$ — вязкость воды. Таким образом, шарик, помещённый в точку с координатой $x_0$, со временем будет перемещаться в область наименьшей потенциальной энергии."}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "0,50"}, "text": "Для установки, описанной в предыдущей части, найдите отношение массы воздуха в пограничном слое $m_{вяз}$ к массе шарика $m_0$. Вязкость воздуха $\eta=1.8\cdot10^{-5}~Па\cdot с$. Вязкость воздуха $\eta=1.8\cdot10^{-5}~Па\cdot с$. Вязкость воздуха $\eta=1.8\cdot10^{-5}~Па\cdot с$. Вязкость воздуха $\eta=1.8\cdot10^{-5}~Па\cdot с$. Вязкость воздуха $\eta=1.8\cdot10^{-5}~Па\cdot с$. Вязкость воздуха $\eta=1.8\cdot10^{-5}~Па\cdot с$. Вязкость воздуха $\eta=1.8\cdot10^{-5}~Па\cdot с$."}, {"balls": {"number": "E1", "exponent": "0,30"}, "text": "Выразите среднюю плотность звуковой энергии $\mathcal W$ в резонаторе через $\rho_0$, $\omega$ и $u_m$."}, {"balls": {"number": "E2", "exponent": "1,00"}, "text": "Получите зависимость положения шарика от времени $x(t)$, если в начальный момент времени $x(t=0)=x_0$. Ответ выразите через $x_0$, $t$, $w$, $a$, $c$, $\mathcal W$, $\eta$ и частоту колебаний $f_0$."}, {"text": "Часть F. Акустическая сила и резонаторы. Эксперимент (1.8 балла) Средняя плотность энергии звуковой волны в резонаторе теоретически зависит от напряжения на пьезоэлементах степенным образом $\mathcal W=A U_{pp}^2$, где $U_{pp}$ — амплитуда напряжения на пьезоэлементах."}, {"balls": {"number": "E3", "exponent": "0,40"}, "text": "Выразите среднюю плотность энергии $\mathcal W$ звуковой волны в резонаторе через начальную ($x_0$) и конечную ($x$) координаты шарика, время его движения $t$ и известные величины ($w$, $a$, $f_0$, $\eta$, $c$)."}, {"balls": {"number": "F1", "exponent": "0,30"}, "text": "Чему равна рабочая частота $f_0$ резонатора? Рабочая частота — это частота, при которой в резонаторе может возбуждаться стоячая волна. В таблице ниже приведены положения шарика через $t_0=10~мин$ после отпускания в точке $x_0=150~мкм$."}, {"balls": {"number": "F2", "exponent": "1,50"}, "text": "Найдите $A$. Рассчитайте добротность резонатора $Q$, если на рабочей частоте импеданс пьезоэлементов равен $Z=(4+3i)\cdot32~кОм$."}]}
answer: [{"condition": "Выразите $p_m$ через $u_m$, $k$, $\gamma$ и $p_0$. ", "solution": {"text": "Относительное изменение объёма сегментов газовой среды\[\varepsilon(x,t)\equiv\frac{\partial u}{\partial x}=\operatorname{Re}\left(-iku_me^{i(\omega t-kx)}\right).\]Поскольку колебания изоэнтропичны, то\[(p(x,t)-p_0)/p_0+\gamma\varepsilon(x,t)=0\implies p_m/p_0+\gamma\cdot (-iku_m)=0\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[p_m=ik\gamma p_0u_m\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Выразите скорость звука $c$ в газе через $\gamma$, $\rho_0$ и $p_0$. ", "solution": {"text": "Рассматриваем динамику элемента среды:\[\frac{\mathrm dF}{\mathrm dx~\mathrm dS}=-\frac{\partial p}{\partial x}=\fbox{$-k^2\gamma p_0u_m$}=\rho_0\ddot u=-\rho_0\omega^2 u=\fbox{$-\rho_0k^2c^2u$}\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[c=\sqrt{\gamma p_0/\rho_0}\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Выразите $p_m$ через $\omega$, $c$, $\rho_0$ и $u_m$. ", "solution": {"text": "Подставляя $\gamma p_0=\rho_0 c^2$ в результат A1, получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[p_m=i\omega c\rho_0u_m\]"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Получите выражение для средней плотности потока энергии $\mathcal J$ в такой волне. Выразите ответ через $\rho_0$, $c$, $\omega$ и $u_m$. ", "solution": {"text": "Поток энергии можно найти, усреднив мощность среды на единицу площади. Мощность среды\[N=p\frac{\partial u}{\partial t}=\left(p_0+\operatorname{Re}\left(i\omega c\rho_0u_me^{i(\omega t-kx)}\right)\right)\cdot \operatorname{Re}\left(i\omega u_me^{i(\omega t-kx)}\right).\]Усредняя по времени, получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\mathcal J=\frac12\rho_0c\omega^2|u_m|^2\]"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Запишите выражение для давления $\delta p(x,t)$ в такой стоячей волне. Выразите ответ через $\omega$, $c$, $\rho_0$, $u_m$, $x$ и $t$. ", "solution": {"text": "Стоячая волна может быть представлена как суперпозиция двух бегущих волн $u_m\operatorname{Re}\left(e^{i(\omega t-kx)}\right)+u_m\operatorname{Re}\left(e^{i(\omega t+kx)}\right)$. Тогда давление выразится как\[p(x,t)=p_0+u_m\operatorname{Re}\left(i\omega c\rho_0e^{i(\omega t-kx)}\right)-u_m\operatorname{Re}\left(i\omega c\rho_0e^{i(\omega t+kx)}\right).\]Упрощая, получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\delta p(x,t)=2\rho_0\omega cu_m\sin(kx)\cos(\omega t)\]"]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Запишите приближенное выражение для давления $\delta p_{Euler}(x_0,t)$ в рассматриваемой стоячей волне в случае $\left|\cfrac{\partial u}{\partial x}\right|\ll1$. Выразите ответ через $c$, $\omega$, $\rho_0$, $u_m$, $t$ и $x_0$. ", "solution": {"text": "Запишем точное выражение $x_0=x+u(x,t)$. В случае малых смещений можно заменить $x$ на $x_0$ в аргументе $u$, т.е. $x=x_0-u(x_0,t)=x_0-2u_m\cos(kx)\cos(\omega t)$. Подставляя это выражение в результат предыдущего пункта, получаем\[\delta p(x,t)=2\rho_0\omega cu_m\sin(kx_0-2ku_m\cos(kx)\cos(\omega t))\cos(\omega t).\]Раскрывая в первом порядке, получаем ответ:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\delta p_{Euler}(x_0,t)=2\rho_0\omega cu_m\sin(kx)\cos(\omega t)-4\rho_0u_m^2\omega^2\cos^2(kx)\cos^2(\omega t)^2\]"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Получите выражение для среднего давления $\overline{\delta p}(x_0)$ стоячей волны в фиксированной точке пространства. Выразите ответ через $\omega$, $c$, $\rho_0$, $u_m$ и $x_0$. ", "solution": {"text": "В результате усреднения $\overline{\cos(\omega t)}=0$, $\overline{\cos^2(\omega t)}=0$, поэтому:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\overline{\delta p}(x_0)=-2\rho_0\omega^2|u_m|^2\cos^2(kx_0)\]"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Запишите выражение для силы $F(x_0)$, которая действует на частицу. (Полученное выражение и есть акустическая сила.) Запишите выражение для потенциала этой силы. Выразите ответ через $\omega$, $c$, $\rho_0$, $u_m$, $x_0$ и $a$. ", "solution": {"text": "Сила, которая действует на тело при наличии градиента давления (также известная как сила Архимеда) даётся выражением\[F=-V\frac{\partial p}{\partial x}.\]Таким образом, средняя сила, действующая на частицу, будет равна ($V=4\pi a^3/3$):"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[F(x_0)=-\frac{8\pi}{3}\frac{\rho_0a^3\omega^3|u_m|^2}{c}\sin(2kx_0)\]"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Найдите, при каком минимальном $|u_m|_{cr}$ возможна левитация частицы в волне. В ответ могут войти $a$, $\rho_0$, $\gamma$, $p_0$, частота звука $f_0$, плотность частицы $\rho$ и ускорение свободного падения $g$. ", "solution": {"text": "Левитация станет возможна, если $\underset{x_0}{\max} F(x_0)=mg=\frac{4\pi}{3}a^3\rho g$. Подставляя $c=\sqrt{\gamma p_0/\rho_0}$, $\omega=2\pi f_0$, получаем:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[|u_m|_{cr}=\sqrt{\frac{\rho g}{16\pi^3f_0^3\rho_0}\sqrt{\frac{\gamma p_0}{\rho_0}}}\]"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите численно $|u_m|_{cr}$ для параметров установки. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[|u_m|_{cr}\approx16~мкм\]"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Какой громкости $D$ в децибелах соответствует ответ предыдущего пункта? Приведите численный ответ. ", "solution": {"text": "Поскольку стоячая волна — это суперпозиция двух бегущих, можно найти громкость одной бегущей волны. Используя результат пункта A4, имеем:\[D_1=120+10\log_{10}\left(\frac12\sqrt{\gamma p_0\rho_0}\cdot4\pi^2f_0^2|u_m|^2\right).\]Так как бегущих волны две, громкость в стоячей волне будет на $10\log_{10}2~дБ$ больше. Итого: Громкость получилась реалистичной =)"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[D=120+10\log_{10}\left(\sqrt{\gamma p_0\rho_0}\left(2\pi f_0|u_m|\right)^2\right)\approx146~дБ\]  Громкость получилась реалистичной =)"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Из соображений размерности получите выражение для характерной толщины пограничного слоя $\delta$ с точностью до численного коэффициента, который в дальнейшем принимается равным единице. Выразите ответ через $\eta$, $\rho_0$ и $f_0$. ", "solution": {"text": "Метод размерностей: $[\eta]=Па\cdot с=\cfrac{кг}{м \cdot с}$, $[f_0]=с^{-1}$, $[\delta] =м$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\delta=\sqrt{\eta/\rho_0 f_0}\]"]}, "number_part": "D1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Для установки, описанной в предыдущей части, найдите отношение массы воздуха в пограничном слое $m_{вяз}$ к массе шарика $m_0$.   Вязкость воздуха $\eta=1.8\cdot10^{-5}~Па\cdot с$. ", "solution": {"text": "Оценим $\delta \approx 5\cdot10^{-5}~м\ll a$, поэтому $m_{вяз}/m_0={S\delta\rho_0}/{V\rho}\implies$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[m_{вяз}/m_0=\frac{3\sqrt{\eta\rho_0/f_0}}{a\rho}\approx5.8\cdot10^{-4}\]"]}, "number_part": "D2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите среднюю плотность звуковой энергии $\mathcal W$ в резонаторе через $\rho_0$, $\omega$ и $u_m$. ", "solution": {"text": "Стоячая волна — это суперпозиция двух бегущих. В каждой волне плотность энергии (кинетической $+$ потенциальной) равна $\mathcal W_1=\frac{1}{2}\rho_0\omega^2|u_m|^2$. Таким образом, полная средняя плотность энергии равна"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\mathcal W=\rho_0\omega^2|u_m|^2\]"]}, "number_part": "E1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Получите зависимость положения шарика от времени $x(t)$, если в начальный момент времени $x(t=0)=x_0$. Ответ выразите через $x_0$, $t$, $w$, $a$, $c$, $\mathcal W$, $\eta$ и частоту колебаний $f_0$. ", "solution": {"text": "Поскольку по условию резонаторы высокодобротные, амплитуда колебаний их стенок (пьезоэлементов) должна быть намного меньше, чем амплитуда колебаний элементов среды в резонаторе. Иными словами, на границах резонатора будут находиться узлы смещения, и стоячая волна будет описываться так же, как в предыдущих частях. Поскольку шарики безынерционные, в любой момент времени должно выполняться\[-\frac{8\pi}{3}\frac{\rho_0a^3\omega^3|u_m|^2}{c}\sin(2\pi x/w)=6\pi\eta a\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}.\]Подставляя $\xi=\pi x/w$, получаем:\[-\frac{16\pi^2}{9}\frac{a^2f_0\mathcal W}{w\eta c}\mathrm dt=\frac{\mathrm (2\xi)}{\sin(2\xi)}.\]Интегрируем:\[\int\frac{\mathrm d(2\xi)}{\sin(2\xi)}=\ln\operatorname{tg}(\xi)\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[x(t)=\frac{w}{\pi}\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi x_0}{w}\right)\exp\left(-\frac{16\pi^2}{9}\frac{a^2f_0\mathcal W}{w\eta c}t\right)\right)\]"]}, "number_part": "E2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Выразите среднюю плотность энергии $\mathcal W$ звуковой волны в резонаторе через начальную ($x_0$) и конечную ($x$) координаты шарика, время его движения $t$ и известные величины ($w$, $a$, $f_0$, $\eta$, $c$). ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\mathcal W=\frac{9}{16\pi^2}\frac{w\eta c}{a^2f_0t}\ln\left(\frac{\operatorname{tg}(\pi x_0/w)}{\operatorname{tg}(\pi x/w)}\right)\]"]}, "number_part": "E3", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Чему равна рабочая частота $f_0$ резонатора? Рабочая частота — это минимальная частота, при которой в резонаторе может возбуждаться стоячая волна. Скорость звука в воде $c=1.5~км/с$.
  
  
  
                  
              
              
  
  
  
                          
   По условию рабочая частота — это минимальная частота, при которой в резонаторе может возникнуть стоячая волна вдоль оси $x$. Это значит, что на ширине резонатора $w$ должна укладываться половина волны. Учитывая $c=\lambda f_0$, получаем:
  
  
  
  Ответ: 
                      
   \[f_0=\frac{c}{2w}\approx2.0~МГц\]", "solution": {"text": "По условию рабочая частота — это минимальная частота, при которой в резонаторе может возникнуть стоячая волна вдоль оси $x$. Это значит, что на ширине резонатора $w$ должна укладываться половина волны. Учитывая $c=\lambda f_0$, получаем:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[f_0=\frac{c}{2w}\approx2.0~МГц\]"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Найдите $A$. Рассчитайте добротность резонатора $Q$, если на рабочей частоте импеданс пьезоэлементов равен $Z=(4+3i)\cdot32~кОм$. ", "solution": {"text": "Для получения $\mathcal W$ через $x$, $x_0$ и $t$ воспользуемся результатами предыдущей части. Для линеаризации построим зависимость $\mathcal W(U_{pp}^2)$. Пересчитаем точки, занесём в таблицу и построим график: $U_{pp},~В$$5$$10$$12$$15$$18$$20$$22$$x,~мкм$$144$$124$$110$$74$$54$$34$$18$$U_{pp}^2,~В^2$$25$$100$$144$$225$$324$$400$$484$$\mathcal W,~мДж/м^3$$0.038$$0.141$$0.203$$0.351$$0.446$$0.571$$0.732$ <img_2> Угловой коэффициент этого графика будет равен $A$. Фитируя прямой, проходящей через начало координат, получаем: Наконец, свяжем $A$ с добротностью резонатора. Полная энергия, содержащаяся в резонаторе:\[E=V\mathcal W=lhw\mathcal W.\]Потери энергии равны мощности, выделяющейся на пьезоэлементах, т.е.\[P=\overline{U(t)I(t)}=\frac12\frac{U_{pp}^2}{|Z|}\arg Z=\frac12U_{pp}^2\frac{\operatorname{Re}Z}{|Z|^2}.\]По определению добротности\[Q\equiv\frac{2\pi f_0E}{P}=4\pi f_0lhw A |Z|^2/\operatorname{Re}Z\implies\] | $U\_{pp},\~В$ | $5$ | $10$ | $12$ | $15$ | $18$ | $20$ | $22$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $x,\~мкм$ | $144$ | $124$ | $110$ | $74$ | $54$ | $34$ | $18$ | | $U\_{pp}^2,\~В^2$ | $25$ | $100$ | $144$ | $225$ | $324$ | $400$ | $484$ | | $\\mathcal W,\~мДж/м^3$ | $0\.038$ | $0\.141$ | $0\.203$ | $0\.351$ | $0\.446$ | $0\.571$ | $0\.732$ |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[A\approx 1.47~\frac{мкДж}{м^3\cdot В^2}\]  Наконец, свяжем $A$ с добротностью резонатора. Полная энергия, содержащаяся в резонаторе:\[E=V\mathcal W=lhw\mathcal W.\]Потери энергии равны мощности, выделяющейся на пьезоэлементах, т.е.\[P=\overline{U(t)I(t)}=\frac12\frac{U_{pp}^2}{|Z|}\arg Z=\frac12U_{pp}^2\frac{\operatorname{Re}Z}{|Z|^2}.\]По определению добротности\[Q\equiv\frac{2\pi f_0E}{P}=4\pi f_0lhw A |Z|^2/\operatorname{Re}Z\implies\]", "Ответ: \[Q\approx0.018\]"]}, "number_part": "F2", "exponent_part": "1,50"}]