text: {"text": [{"text": "Рассмотрим тонкий плоский диск массой $M$ и площадью $S$, с начальной температурой $T_1$, находящийся в невесомости. Изначально диск покоится в газе с массовой плотностью $\rho$ и температурой $T_0$ ($T_1 = 1000T_0$). Одна из поверхностей диска покрыта теплоизолирующим слоем, другая — имеет очень хороший контакт с окружающим газом: молекулы газа массой $m$ приобретают температуру диска после однократного столкновения с его поверхностью. Диск отпускают."}, {"balls": {"number": "A", "exponent": null}, "text": "Оцените его начальное ускорение $a_0$."}, {"balls": {"number": "B", "exponent": null}, "text": "Оцените максимальную скорость $v_\max$ диска при его последующем движении. Считайте, что теплоемкость диска имеет порядок $Nk_B$, где $N$ — число атомов в диске, $k_B$ — постоянная Больцмана. Молярные массы диска и газа одного порядка. Средняя длина свободного пробега молекул (среднее расстояние, которое молекула преодолевает между двумя последовательными столкновениями) гораздо больше размеров диска. Краевые эффекты на краях диска не учитывайте."}]}
answer: [{"condition": "Оцените его начальное ускорение $a_0$. ", "solution": {"text": "Со стороны, где есть хороший тепловой контакт, каждая прилетающая молекула отлетает со скоростью в среднем $\sqrt{T_1/T_0}$ больше, чем до этого. С точки зрения оказываемого на диск давления это значит, что с этой стороны на диск действует давление:\[P_1=\sqrt{\frac{T_1}{T_0}}P_0=\sqrt{\frac{T_1}{T_0}}nk_BT_0=nk_B\sqrt{T_1T_0}\gg P_0.\]Тогда на диск действует сила:\[F=Snk_B\sqrt{T_1T_0}\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $a_{0} \approx \cfrac{S \rho k_{B}}{m M} \sqrt{T_{0} T_{1}}$"]}, "number_part": "A", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Оцените максимальную скорость $v_\max$ диска при его последующем движении. ", "solution": {"text": "Поскольку $P_1\gg P_0$, диск перестанет разгоняться, примерно когда его скорость сравняется со скоростью теплового движения окружающих его молекул: Поскольку требуется лишь оценка, точный численный коэффициент получать необязательно (более того, это слишком сложно). Осталось проверить, что за это время диск не успеет заметно охладиться. Действительно, характерная теплоёмкость диска имеет порядок $C\sim k_BM/m$, скорость отвода тепла от диска:\[\dot Q\sim \dot N k_B T_1\sim Sn\sqrt{\frac{k_BT_0}{m}}k_BT_1.\]Таким образом, за характерное время разгона $v_{\max}/a_0$ диск охладится на:\[\Delta T\sim\frac{v_{\max}}{a_0}\frac{\dot Q}{C}\sim\sqrt{T_1T_0}\ll T_1.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $v_{\max } \sim \sqrt{\cfrac{k_{B} T_{0}}{m}}$  Поскольку требуется лишь оценка, точный численный коэффициент получать необязательно (более того, это слишком сложно). Осталось проверить, что за это время диск не успеет заметно охладиться. Действительно, характерная теплоёмкость диска имеет порядок $C\sim k_BM/m$, скорость отвода тепла от диска:\[\dot Q\sim \dot N k_B T_1\sim Sn\sqrt{\frac{k_BT_0}{m}}k_BT_1.\]Таким образом, за характерное время разгона $v_{\max}/a_0$ диск охладится на:\[\Delta T\sim\frac{v_{\max}}{a_0}\frac{\dot Q}{C}\sim\sqrt{T_1T_0}\ll T_1.\]"]}, "number_part": "B", "exponent_part": "??"}]