text: {"text": [{"text": "Внутрь закреплённого цилиндра радиуса $R$, ось~$O$ которого горизонтальна, помещают легкий цилиндр вдвое меньшего радиуса. Ось~$C$ меньшего цилиндра также горизонтальна. На~поверхности меньшего цилиндра закреплено маленькое тело массы~$m$. Меньший цилиндр удерживают так, что~тело находится на~оси большего цилиндра, а~плоскость~$OC$ (в~которой лежат оси обоих цилиндров) составляет угол $\alpha$ с~вертикалью~(см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Меньший цилиндр отпускают, и~он начинает катиться по~внутренней поверхности большего без проскальзывания. Определите ускорение тела сразу после начала движения."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Определите ускорение и~скорость тела в~момент времени, когда плоскость $OC$ вертикальна. Считайте, что до~этого момента движение шло без проскальзывания."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Определите минимальное значение коэффициента трения между цилиндрами $\mu$, при котором возможно движение без проскальзывания до~момента, когда плоскость $OC$ займёт положение симметричное начальному по~отношению к вертикали."}, {"balls": {"number": "4", "exponent": null}, "text": "Определите скорость тела в~момент начала проскальзывания, если коэффициент трения между цилиндрами задан и~равен $\mu$."}]}
answer: [{"condition": "Меньший цилиндр отпускают, и~он начинает катиться по~внутренней поверхности большего без проскальзывания. Определите ускорение тела сразу после начала движения. ", "solution": {"text": "Если проскальзывания нет, то длина дуги $AB$ равна длине дуги $BD$ (и $OE$). Так как радиусы цилиндров различаются в два раза, то $\angle OCE = 2 \cdot \angle AOB$. <img_1> Треугольник $OCE$~— равнобедренный, значит $\angle COE = 90^\circ - \cfrac{1}{2} \angle OCE = 90^\circ - \angle AOB$, а значит $\angle AOE = 90^\circ$. Таким образом тело всегда находится на перпендикуляре к $OA$, то есть движется по прямой, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Запишем закон сохранения энергии для тела, которое движется по прямой линии. Пусть оно сместилось на расстояние $l$ вдоль прямой $OE$. Тогда изменение высоты равно $\Delta h= -l \sin \alpha $. В итоге получаем: $0 = - mg l \sin \alpha + \cfrac{m v^2}{2}$, а ускорение постоянно и равно: $$a = g \sin \alpha. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$a = g \sin \alpha. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите ускорение и~скорость тела в~момент времени, когда плоскость $OC$ вертикальна. Считайте, что до~этого момента движение шло без проскальзывания. ", "solution": {"text": "Найдём изменение высоты тела, когда плоскость $OC$ вертикальна~(см. рисунок ниже). $\Delta h = -R(1 - \cos(2 \alpha))/2$. Тогда по закону сохранения энергии: $$v = \sqrt{2 g R} \sin \alpha.$$ <img_2>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v = \sqrt{2 g R} \sin \alpha.$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите минимальное значение коэффициента трения между цилиндрами $\mu$, при котором возможно движение без проскальзывания до~момента, когда плоскость $OC$ займёт положение симметричное начальному по~отношению к вертикали. ", "solution": {"text": "На систему «тело-меньший цилиндр» действуют сила тяжести $m\vec{g}$, сила реакции $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$~(см. рисунок). <img_3> Сумма векторов сил реакции и трения направлена перпендикулярно $OE$ (прямо на тело, т.к. на~меньший цилиндр не~может действовать ненулевой момент сил, потому что массой цилиндра и~размером тела мы пренебрегаем) и~равна по~модулю $m g \cos \alpha$. Тогда: $$ N = mg \cos \alpha \cos (\alpha + \beta), \\ F_{тр} = mg \cos \alpha \sin (\alpha + \beta), $$ где $\beta$~— угол отклонения плоскости $OC$ от вертикали, отсчитываемый в направлении качения. Условие $F_{тр} \leq \mu N$ даёт условие для отсутствия проскальзывания: $$ \mu \geq \operatorname{tg} (\alpha + \beta). $$ Для того, чтобы плоскость $OC$ заняла симметричное начальному положение должно быть выполнено $\beta = \alpha$: $$ \mu_{min} = \operatorname{tg} (2\alpha). $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \mu_{min} = \operatorname{tg} (2\alpha). $$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите скорость тела в~момент начала проскальзывания, если коэффициент трения между цилиндрами задан и~равен $\mu$. ", "solution": {"text": "Проскальзывание начнётся при $\operatorname{tg} (\alpha + \beta) = \mu$. А к этому моменту тело вдоль прямой $OE$ пройдёт расстояние $l = R \sin (\alpha + \beta) = R \cfrac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}$. В таком случае из закона сохранения энергии получаем: $$ v = \sqrt{\cfrac{2gR \mu \sin \alpha}{\sqrt{1+\mu^2}}}. $$ Отметим, что при любом $\mu$ $l < R$, то есть проскальзывание всегда начинается раньше, чем тело ударится о поверхность большого цилиндра."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v = \sqrt{\cfrac{2gR \mu \sin \alpha}{\sqrt{1+\mu^2}}}. $$"]}, "number_part": "4", "exponent_part": "??"}]