text: {"text": [{"text": "Гироскопические силы являются причинами ряда интересных явлений. Например, сила Кориолиса приводит к размыванию берегов рек, сила Лоренца приводит к искривлению траекторий движения частиц, к прецессии атомов в магнитном поле и т.д. Помимо гироскопических сил, интересными для изучения являются паразитные виды трения — трение качения и трения верчения, возникающие при качении и верчении тел на поверхности. В данной задаче также изучается влияние магнитного поля и паразитных видов трения на механическое движение."}, {"text": "Часть A. Взаимодействие вращающегося шара с магнитным полем (1.5 балла) Как известно, момент сил, действующих на виток с током со стороны однородного магнитного поля, не равен нулю. Рассмотрим шар радиусом $r$ с неподвижным центром, заряженный равномерно по объёму зарядом $q$ и вращающийся с угловой скоростью $\vec{\omega}$ в однородном магнитном поле с индукцией $\vec{B}$. Вращающийся шар эквивалентен набору круговых токов."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,30"}, "text": "Рассмотрим кольцо, заряженное равномерно по периметру зарядом $Q$ и вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью $\Omega$. Найдите эквивалентную силу тока $i$ в кольце."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "1,00"}, "text": "Определите магнитный момент шара $\vec{m}$. Ответ выразите через $\vec{\omega}$, $q$ и $r$."}, {"text": "Часть B. Идеализированное движение (5.0 балла) В момент времени $t=0$ шар неподвижен, а его центр расположен в начале координат."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите момент сил $\vec{M}$, действующих на шар, относительно его центра. Ответ выразите через $\vec{\omega}$, $\vec{B}$, $q$ и $r$. Далее во всех пунктах задачи изучается движение однородного шара радиусом $r$ и массой $m$, заряженного равномерно по объёму положительным зарядом $q$. Шар без проскальзывания движется по плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтом, вдоль которой направлено однородное магнитное поле индукции $\vec{B}$. Ускорение свободного падения равно $\vec{g}$. <img_0> На приведённом рисунке показана система координат $xyz$ c единичными ортами $\vec{e}_x$, $\vec{e}_y$ и $\vec{e}_z$ такими, что орт $\vec{e}_y$ направлен горизонтально, а вектор индукции магнитного поля записывается как $\vec{B}=\vec{e}_x\cdot{B}$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,50"}, "text": "Запишите условие отсутствия проскальзывания шара по плоскости через $\vec{v}_C$, $\vec{\omega}$ и $\vec{r}$. Используя полученное выражение, выразите компоненты угловой скорости $\omega_x$ и $\omega_y$ через $v_{Cx}$, $v_{Cy}$ и $r$. Дифференцируя по времени условие отсутствия проскальзывания, выразите $\vec{a}_C$ через $\dot{\vec{\omega}}$ и $\vec{r}$. Дифференцируя по времени условие отсутствия проскальзывания, выразите $\vec{a}_C$ через $\dot{\vec{\omega}}$ и $\vec{r}$. Дифференцируя по времени условие отсутствия проскальзывания, выразите $\vec{a}_C$ через $\dot{\vec{\omega}}$ и $\vec{r}$. Дифференцируя по времени условие отсутствия проскальзывания, выразите $\vec{a}_C$ через $\dot{\vec{\omega}}$ и $\vec{r}$. Дифференцируя по времени условие отсутствия проскальзывания, выразите $\vec{a}_C$ через $\dot{\vec{\omega}}$ и $\vec{r}$. Дифференцируя по времени условие отсутствия проскальзывания, выразите $\vec{a}_C$ через $\dot{\vec{\omega}}$ и $\vec{r}$. Дифференцируя по времени условие отсутствия проскальзывания, выразите $\vec{a}_C$ через $\dot{\vec{\omega}}$ и $\vec{r}$. Поскольку момент инерции $I$ шара одинаков для любой оси, проходящей через центр, вектор его момента импульса относительно центра масс записывается в виде: $$\vec{L}_C=I\vec{\omega} $$"}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,20"}, "text": "Используя уравнение динамики вращательного движения относительно центра масс, выразите угловое ускорение шара $\dot{\vec{\omega}}$ через $q$, $m$, $r$, $\vec{\omega}$, $\vec{r}$, $\vec{B}$ и $\vec{F}$."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,20"}, "text": "Выразите силу трения $\vec{F}$ через $m$, $q$, $\vec{B}$, $\vec{\omega}$, $\vec{r}$ и $\vec{a}_C$. Из уравнения динамики вращательного движения видно, что при движении шар начинает вертеться (вращаться относительно оси $z$, перпендикулярной плоскости)."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите компоненту угловой скорости шара $\omega_z$ в точке с координатой $x_C$ его центра. Ответ выразите через $q$, $m$, $B$, $r$ и $x_C$. Перейдём к анализу траектории центра шара. Далее во всех пунктах изначально шар неподвижен, а его центр расположен в начале координат."}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "0,40"}, "text": "Докажите, что траектория центра шара является прямолинейной."}, {"balls": {"number": "B6", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите проекцию ускорения центра $a_{Cx}$ шара на ось $x$ в зависимости от положения его центра $x_C$."}, {"balls": {"number": "B7", "exponent": "0,70"}, "text": "Определите зависимость координаты $x_C$ центра шара от времени $t$. Ответ выразите через $g$, $\alpha$, $q$, $m$, $B$ и $t$. Проанализируем кинематику данного движения."}, {"balls": {"number": "B8", "exponent": "0,50"}, "text": "Опишите эволюцию угловой скорости шара $\vec{\omega}$. В качестве ответ укажите годограф вектора угловой скорости (в системе координат $xyz$), т.е кривой, описывающей положения конца вектора при его фиксированном начале. Укажите на рисунке все характерные значения. Выразите их через $m$, $g$, $q$, $B$, $\alpha$ и $r$."}, {"balls": {"number": "B9", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите максимальную скорость $v_{max}$ среди всех элементов шара в момент, когда скорость центра достигает своего максимума. Ответ выразите через $m$, $g$, $q$, $B$ и $\alpha$. Перейдём к необходимым условиям движения шара без проскальзывания."}, {"text": "Часть C. Трение качения (2.5 балла) Причиной возникновения сопротивления качению шара является неровность поверхности. Смоделировать эффект трения качения можно следующим образом: шар также движется по поверхности без проскальзывания, а эффективная точка приложения силы нормальной реакции приобретает плечо $k$ относительно точки касания шара с плоскостью (см.рис). При этом перераспределённая сила нормальной реакции даёт нулевой момент относительно центра шара и в силу своей природы никак не влияет на силу трения покоя или скольжения.Плечо $k$ всегда предполагается малым по сравнению с $r$, поэтому для силы трения качения $\vec{F}_\text{кач}$ можно написать:$$\vec{F}_\text{кач}=-\vec{e}_{v_C}\cdot\cfrac{kN}{r}$$где $\vec{e}_{v_C}$ — единичный вектор, направленный вдоль скорости центра шара.Будем считать коэффициент $k$ постоянным и не зависящим от направления скорости центра. <img_1> В момент времени $t=0$ шар неподвижен, а его центр расположен в начале координат."}, {"balls": {"number": "B10", "exponent": "0,60"}, "text": "При каком минимальном коэффициенте трения $\mu_{min}$ шара о плоскость возможно движение без проскальзывания? Ответ выразите через $g$, $\alpha$, $q$, $m$ и $B$. В действительности, на движение шара влияют сразу два вида паразитного трения - трение качения и трение верчения. В двух следующих частях независимо изучаются влияния данных эффектов на движение шара."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,80"}, "text": "Определите расстояние $S_{i{,}i+1}$ между положениями центра шара в моменты $i$-й и $(i+1)$-й остановок. Ответ выразите через $i$, $g$, $k$, $\alpha$, $q$, $m$ и $B$."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,20"}, "text": "Определите диапазон возможных положений $x_{C\text{к}}$ последней остановки центра шара. Ответ выразите через $g$, $k$, $\alpha$, $q$, $m$ и $B$. Далее считайте, что $\operatorname{tg}\alpha\gg{k/r}$."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите время $\tau$ движения шара. Ответ выразите через $g$, $k$, $\alpha$, $q$, $m$ и $B$."}, {"text": "Часть D. Трение верчения (3.0 балла) Трение верчения возникает вследствие неточечного контакта шара с плоскостью. Будем считать, что шар контактирует с плоскостью в области круга радиусом $r_0\ll{r}$, по площади которого равномерно распределена сила нормальной реакции $N$. Коэффициент трения скольжения шара по поверхности равен $\mu$. <img_2> Вообще говоря, величина $r_0$ определяется силой нормальной реакции $N$, но при решении задачи находить связь $r_0$ и $N$ не нужно. В момент времени $t=0$ шар неподвижен, а его центр расположен в начале координат."}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "1,00"}, "text": "Какое количество теплоты $Q$ выделилось при движении шара? Ответ выразите через $g$, $k$, $\alpha$, $q$, $m$ и $B$."}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "0,40"}, "text": "Определите модуль момента силы трения верчения $M'$. Ответ выразите через $\mu$, $m$, $g$, $\alpha$ и $r_0$."}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "0,50"}, "text": "В какой момент времени $t_1$ шар начнёт вертеться? Ответ выразите через $\mu$, $r_0$, $m$, $q$, $B$, $r$ и $\alpha$."}, {"balls": {"number": "D3", "exponent": "1,50"}, "text": "Постройте качественный график $\omega_z(t)$. На графике укажите все характерные значения, особенности и асимптоты. Выразите характерные значения через $m$, $g$, $\alpha$, $q$, $B$ и $r$."}, {"balls": {"number": "D4", "exponent": "0,60"}, "text": "Постройте качественный график $x_C(t)$. На графике укажите все характерные значения, особенности и асимптоты. Характерные значения могут быть выражены через введённые вами переменные."}]}
answer: [{"condition": "Рассмотрим кольцо, заряженное равномерно по периметру зарядом $Q$ и вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью $\Omega$. Найдите эквивалентную силу тока $i$ в кольце. ", "solution": {"text": "Первое решение: За время оборота $T=2\pi/\Omega$ каждый элементарный заряд проходит через точку кольца, откуда: $$i=\cfrac{Q}{T} $$ Второе решение: Также результат может быть получен с помощью выражения: $$i=\lambda v $$ где $v=\Omega R$ - скорость элементов кольца. Оба выражения приводят к ответу:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$i=\cfrac{\Omega Q}{2\pi}$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Определите магнитный момент шара $\vec{m}$. Ответ выразите через $\vec{\omega}$, $q$ и $r$. ", "solution": {"text": "Первое решение: Магнитный момент системы определяется соотношением: $$\vec{m}=\int \cfrac{\bigl[\vec{r}\times\vec{v}\bigr]dq}{2}$$ где $dq$ - элементарный заряд, а $\vec{r}$ и $\vec{v}$ - его радиус-вектор и скорость соответственно. Заметим, что момент импульса механической системы определяется соотношением: $$\vec{L}=\int \bigl[\vec{r}\times\vec{v}\bigr] dM $$ где $dM$ - элементарная масса, а $\vec{r}$ и $\vec{v}$ - её радиус-вектор и скорость соответственно. Если распределения заряда и массы подобны, то мы приходим к следующему соотношению: $$\vec{m}=\cfrac{\vec{L}q}{2M}=\cfrac{Iq\vec{\omega}}{2M}$$ где $I=2Mr^2/5$ - момент инерции однородного шара относительно диаметра. Второе решение: рассмотрим диск радиусом $R$ и толщиной $h$ с плотностью заряда $\rho$ и вращающийся с угловой скоростью $\vec{\omega}$ вокруг своей оси вращения. Выделим кольцо радиусом $r$ толщиной $dr$. Тогда для магнитного момента кольца получим: $$d\vec{m}_\text{д}=\vec{n}S\cdot\cfrac{\omega dQ}{2\pi}$$ где $S=\pi{r}^2$ - площадь кольца. Преобразуем: $$d\vec{m}_{\text{д}}=\vec{\omega}\cdot\cfrac{2\pi{r}^3drh\rho}{2}\Rightarrow{\vec{m}_\text{д}=\cfrac{\pi{R}^4h\rho\vec{\omega}}{2}}$$ Перейдём к шару. Будем характеризовать $h$ и $R$ углом $\theta$ с осью симметрии шара. Тогда: $$R=r\sin\theta\qquad h=-r\cos\theta$$ Тогда для элемента магнитного момента шара имеем: $$d\vec{m}=\cfrac{\pi{r}^5\rho\vec{\omega}}{4}\sin^5\theta d\theta\Rightarrow{\vec{m}=\cfrac{\pi{r}^5\rho\vec{\omega}}{4}\int\limits_0^{\pi}\sin^5\theta d\theta}=\cfrac{\pi{r}^5\rho\vec{\omega}}{4}\int\limits_{-1}^{1}(1-2t^2+t^4)dt=\cfrac{4\pi{r}^5\rho\vec{\omega}}{15}$$ Для ответа на вопрос осталось подставить $\rho=3q/4\pi{r}^3$. Третье решение: рассмотрим тонкостенную сферическую оболочку радиусом $R$ толщиной $dR$, вращающуюся с угловой скоростью $\vec{\omega}$. Выделим кольцо, ограниченной углами $\theta$ и $\theta+d\theta$ сферической системы координат. Магнитный момент выделенного кольца равен: $$d\vec{m}_\text{сф}=\cfrac{dQ\vec{\omega}}{2\pi}\cdot \pi{R}^2\sin^2\theta=\vec{\omega}\cdot\cfrac{2\pi\rho R^2dR\sin\theta d\theta}{2\pi}\cdot\pi{R}^2\sin^2\theta=\pi\rho{R}^4dR\vec{\omega}\cdot\sin^3\theta d\theta$$ Проинтегрируем полученное выражение: $$\vec{m}_\text{сф}=\pi\rho{R}^4dR\vec{\omega}\int\limits_0^{\pi}\sin^3\theta d\theta=\pi\rho{R}^4dR\vec{\omega}\int\limits_{-1}^{1}(1-t^2)dt=\cfrac{4\pi\rho R^4dR\vec{\omega}}{3}$$ Магнитный момент шара получается интегрированием магнитного момента по сферам: $$\vec{m}=\cfrac{4\pi\rho\vec{\omega}}{3}\int\limits_{0}^rR^4dR=\cfrac{4\pi\rho{r}^5\vec{\omega}}{15}$$ Для ответа на вопрос осталось подставить $\rho=3q/4\pi{r}^3$. Окончательно:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\vec{m}=\cfrac{qr^2\vec{\omega}}{5}$$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите момент сил $\vec{M}$, действующих на шар, относительно его центра. Ответ выразите через $\vec{\omega}$, $\vec{B}$, $q$ и $r$. ", "solution": {"text": "Момент сил $\vec{M}$, действующих на виток с током в однородном магнитном поле, равен:$$\vec{M}=\bigl[\vec{m}\times\vec{B}\bigr]$$откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\vec{M}=\cfrac{qr^2\bigl[\vec{\omega}\times\vec{B}\bigr]}{5}$$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Запишите условие отсутствия проскальзывания шара по плоскости через $\vec{v}_C$, $\vec{\omega}$ и $\vec{r}$. Используя полученное выражение, выразите компоненты угловой скорости $\omega_x$ и $\omega_y$ через $v_{Cx}$, $v_{Cy}$ и $r$. Дифференцируя по времени условие отсутствия проскальзывания, выразите $\vec{a}_C$ через $\dot{\vec{\omega}}$ и $\vec{r}$.
  
  
  
                  
              
              
  
  
  
                          
   Если твердое тело вращается с угловой скоростью $\vec{\omega}$, а скорость точки $A$ равна $\vec{v}_A$, то скорость точки $B$ задаётся выражением:$$\vec{v}_B=\vec{v}_A+\bigl[\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}\bigr]$$Отсюда получим условие отсутствия проскальзывания:
  
  
  
  Ответ: 
                      
   $$\vec{v}_C+\bigl[\vec{\omega}\times\vec{r}\bigr]=0$$
  
                      
  
                          
   Спроецируем полученное уравнение на оси $x$ и $y$:$$v_{Cx}-\omega_yr=0\qquad v_{Cy}+\omega_xr=0$$Отсюда:
  
  
  
  Ответ: 
                      
   $$\omega_x=-\cfrac{v_{Cy}}{r}\qquad \omega_y=\cfrac{v_{Cx}}{r}$$
  
                      
  
                          
   Вектор $\vec{r}$ остаётся постоянным, поскольку шар движется по плоскости. Тогда дифференцируя, получим:
  
  
  
  Ответ: 
                      
   $$\vec{a}_C=-\bigr[\dot{\vec{\omega}}\times\vec{r}\bigr]$$", "solution": {"text": "Если твердое тело вращается с угловой скоростью $\vec{\omega}$, а скорость точки $A$ равна $\vec{v}_A$, то скорость точки $B$ задаётся выражением:$$\vec{v}_B=\vec{v}_A+\bigl[\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}\bigr]$$Отсюда получим условие отсутствия проскальзывания: Спроецируем полученное уравнение на оси $x$ и $y$:$$v_{Cx}-\omega_yr=0\qquad v_{Cy}+\omega_xr=0$$Отсюда: Вектор $\vec{r}$ остаётся постоянным, поскольку шар движется по плоскости. Тогда дифференцируя, получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\vec{v}_C+\bigl[\vec{\omega}\times\vec{r}\bigr]=0$$  Спроецируем полученное уравнение на оси $x$ и $y$:$$v_{Cx}-\omega_yr=0\qquad v_{Cy}+\omega_xr=0$$Отсюда:", "Ответ: $$\omega_x=-\cfrac{v_{Cy}}{r}\qquad \omega_y=\cfrac{v_{Cx}}{r}$$  Вектор $\vec{r}$ остаётся постоянным, поскольку шар движется по плоскости. Тогда дифференцируя, получим:", "Ответ: $$\vec{a}_C=-\bigr[\dot{\vec{\omega}}\times\vec{r}\bigr]$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Используя уравнение динамики вращательного движения относительно центра масс, выразите угловое ускорение шара $\dot{\vec{\omega}}$ через $q$, $m$, $r$, $\vec{\omega}$, $\vec{r}$, $\vec{B}$ и $\vec{F}$. ", "solution": {"text": "Запишем уравнение динамики вращательного движения относительно центра масс:$$\cfrac{d\vec{L}_C}{dt}=\vec{M}_C$$Для момента сил относительно центра масс имеем:$$\vec{M}_C=\bigl[\vec{r}\times\vec{F}\bigr]+\cfrac{qR^2\bigl[\vec{\omega}\times\vec{B}\bigr]}{5}$$а для производной момента импульса по времени имеем:$$\cfrac{d\vec{L}_C}{dt}=I\dot{\vec{\omega}}$$откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\dot{\vec{\omega}}=\cfrac{5\bigl[\vec{r}\times\vec{F}\bigr]}{2mr^2}+\cfrac{q\bigl[\vec{\omega}\times\vec{B}\bigr]}{2m}$$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Выразите силу трения $\vec{F}$ через $m$, $q$, $\vec{B}$, $\vec{\omega}$, $\vec{r}$ и $\vec{a}_C$. Примечание: Воспользуйтесь свойством двойного векторного произведения: $$\bigl[\vec{a}\times\bigl[\vec{b}\times\vec{c}\bigr]\bigr]=\vec{b}\bigl({~}\vec{a}\cdot\vec{c}{~}\bigr)-\vec{c}\bigl({~}\vec{a}\cdot\vec{b}{~}\bigr)$$
  
  
  
                  
              
              
  
  
  
                          
   Рассмотрим векторное произведение с $\vec{r}$ слагаемых в уравнении, полученном в пункте $\mathrm{B3}$:$$I\bigl[\vec{r}\times\dot{\vec{\omega}}\bigr]=\bigl[\vec{r}\times\bigl[\vec{r}\times\vec{F}\bigr]\bigr]+\cfrac{qr^2\bigl[\vec{r}\times\bigl[\vec{\omega}\times\vec{B}\bigr]\bigr]}{5}$$Учитывая, что $\vec{a}_C=\bigl[\vec{r}\times\dot{\vec{\omega}}\bigr]$, и используя свойство двойного векторного произведения с учётом $\vec{r}\perp\vec{F}$, $\vec{r}\perp\vec{B}$, получим:$$I\vec{a}_C=-r^2\vec{F}-\cfrac{qr^2\vec{B}\bigl({~}\vec{r}\cdot\vec{\omega}{~}\bigr)}{5}$$откуда:
  
  
  
  Ответ: 
                      
   $$\vec{F}=-\cfrac{2m\vec{a}_C}{5}-\cfrac{q\vec{B}\bigl({~}\vec{r}\cdot\vec{\omega}{~}\bigr)}{5}$$", "solution": {"text": "Рассмотрим векторное произведение с $\vec{r}$ слагаемых в уравнении, полученном в пункте $\mathrm{B3}$:$$I\bigl[\vec{r}\times\dot{\vec{\omega}}\bigr]=\bigl[\vec{r}\times\bigl[\vec{r}\times\vec{F}\bigr]\bigr]+\cfrac{qr^2\bigl[\vec{r}\times\bigl[\vec{\omega}\times\vec{B}\bigr]\bigr]}{5}$$Учитывая, что $\vec{a}_C=\bigl[\vec{r}\times\dot{\vec{\omega}}\bigr]$, и используя свойство двойного векторного произведения с учётом $\vec{r}\perp\vec{F}$, $\vec{r}\perp\vec{B}$, получим:$$I\vec{a}_C=-r^2\vec{F}-\cfrac{qr^2\vec{B}\bigl({~}\vec{r}\cdot\vec{\omega}{~}\bigr)}{5}$$откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\vec{F}=-\cfrac{2m\vec{a}_C}{5}-\cfrac{q\vec{B}\bigl({~}\vec{r}\cdot\vec{\omega}{~}\bigr)}{5}$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Найдите компоненту угловой скорости шара $\omega_z$ в точке с координатой $x_C$ его центра. Ответ выразите через $q$, $m$, $B$, $r$ и $x_C$. ", "solution": {"text": "Поскольку векторы $\vec{r}$ и $\vec{e}_z$ коллинеарные, уравнение динамики вращательного движения в проекции на ось $z$ записывается следующим образом:$$I\dot{\omega}_z=\cfrac{qr^2\bigl[\vec{\omega}\times\vec{B}\bigr]_z}{5}=-\cfrac{qr^2B\omega_y}{5}\Rightarrow{\dot{\omega}_z=-\cfrac{qB\omega_y}{2m}}$$С другой стороны, $\omega_yr=v_x$, откуда:$$\dot{\omega}_z=-\cfrac{qBv_x}{2mr}$$и окончательно:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega_z=-\cfrac{qBx_C}{2mr}$$"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Докажите, что траектория центра шара является прямолинейной. ", "solution": {"text": "Запишем теорему о движении центра масс:$$m\vec{a}_C=m\vec{g}+\vec{N}+\vec{F}+q\bigl[\vec{v}_C\times\vec{B}\bigr]$$Подставляя выражение для $\vec{F}$, полученное в пункте $\mathrm{B3}$, получим:$$m\vec{a}_C=m\vec{g}+\vec{N}+q\bigl[\vec{v}_C\times\vec{B}\bigr]-\cfrac{2m\vec{a}_C}{5}-\cfrac{q\vec{B}\bigl({~}\vec{r}\cdot\vec{\omega}{~}\bigr)}{5}$$откуда:$$\vec{a}_C=\cfrac{5\vec{g}}{7}+\cfrac{5\vec{N}}{7m}+\cfrac{5q\bigl[\vec{v}_C\times\vec{B}\bigr]}{7m}-\cfrac{q\vec{B}\bigl({~}\vec{r}\cdot\vec{\omega}{~}\bigr)}{7m}$$Обратим внимание, что все силы лежат в плоскости $xz$, значит, движение является одномерным, поскольку изначально шар был неподвижен"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B5", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите проекцию ускорения центра $a_{Cx}$ шара на ось $x$ в зависимости от положения его центра $x_C$. ", "solution": {"text": "Проецируя ускорение центра шара на ось $x$:$$a_{Cx}=\cfrac{5g\sin\alpha}{7}+\cfrac{qBr\omega_z}{7m}$$Подставляя выражение для $\omega_z$, получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$a_{Cx}=\cfrac{5g\sin\alpha}{7}-\cfrac{q^2B^2x}{14m^2}$$"]}, "number_part": "B6", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Определите зависимость координаты $x_C$ центра шара от времени $t$. Ответ выразите через $g$, $\alpha$, $q$, $m$, $B$ и $t$. ", "solution": {"text": "Вводя переменную $x'=x-10g\sin\alpha\left(\cfrac{m}{qB}\right)^2$, получим:$$\ddot{x}'=-\left(\cfrac{qB}{m}\right)^2\cfrac{x'}{14}$$Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой $\omega_0=qB/m\sqrt{14}$.Тогда общее решение для $x(t)$:$$x(t)=10g\sin\alpha\left(\cfrac{m}{qB}\right)^2+A\cos(\omega_0t+\varphi_0)$$Учтём начальные условия:$$\begin{cases}x(0)=0\\\dot{x}(0)=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\varphi_0=\pi\\A=10g\sin\alpha\left(\cfrac{m}{qB}\right)^2\end{cases}$$Для для $x(t)$ имеем:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$x(t)=10g\sin\alpha\left(\cfrac{m}{qB}\right)^2\left(1-\cos\left(\cfrac{qBt}{m\sqrt{14}}\right)\right)$$"]}, "number_part": "B7", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Опишите эволюцию угловой скорости шара $\vec{\omega}$. В качестве ответ укажите годограф вектора угловой скорости (в системе координат $xyz$), т.е кривой, описывающей положения конца вектора при его фиксированном начале. Укажите на рисунке все характерные значения. Выразите их через $m$, $g$, $q$, $B$, $\alpha$ и $r$. ", "solution": {"text": "Вектор угловой скорости шара всегда лежит в плоскости $yz$.Для $\omega_z$ имеем:$$\omega_z(t)=-\cfrac{qBx(t)}{2mr}=-\cfrac{5mg\sin\alpha}{qBr}\left(1-\cos\left(\cfrac{qBt}{m\sqrt{14}}\right)\right)$$Для $\omega_y$ имеем:$$\omega_y(t)=\cfrac{v_{Cx}(t)}{r}=\cfrac{5mg\sin\alpha}{qBr}\sqrt{\cfrac{2}{7}}\sin\left(\cfrac{qBt}{m\sqrt{14}}\right)$$Отсюда:$$\sin^2\left(\cfrac{qBt}{m\sqrt{14}}\right)+\cos^2\left(\cfrac{qBt}{m\sqrt{14}}\right)=\left(\cfrac{\omega_y}{\cfrac{5mg\sin\alpha}{qBr}\sqrt{\cfrac{2}{7}}}\right)^2+\left(1+\cfrac{\omega_z}{\cfrac{5mg\sin\alpha}{qBr}}\right)^2=1$$Из полученных соотношений видно, что годограф вектора угловой скорости является эллипсом с полуосями $\omega_{0z}$ и $\omega_{0y}$, равными:$$\omega_{0z}=\cfrac{5mg\sin\alpha}{qBr}\qquad \omega_{0y}=\cfrac{5mg\sin\alpha}{qBr}\sqrt{\cfrac{2}{7}}$$"}, "answer": {"answers": ["<img_3>"]}, "number_part": "B8", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите максимальную скорость $v_{max}$ среди всех элементов шара в момент, когда скорость центра достигает своего максимума. Ответ выразите через $m$, $g$, $q$, $B$ и $\alpha$. ", "solution": {"text": "<img_4> Для компонент угловой скорости имеем:$$\omega_y=\omega\cos\varphi\qquad \omega_z=-\omega\sin\varphi$$Из уравнения эллипса получим:$$\cfrac{\omega^2\cos^2\varphi}{\omega^2_{0y}}+\cfrac{(\omega_{0z}-\omega\sin\varphi)^2}{\omega^2_{0z}}=1\Rightarrow{\omega=\cfrac{2\omega_{0z}\sin\varphi}{\sin^2\varphi+\cfrac{\omega^2_{0z}\cos^2\varphi}{\omega^2_{0y}}}}$$Отсюда для максимальной скорости имеем:$$v_{max}=\cfrac{2\omega_{0z}r\sin\varphi(1+\cos\varphi)}{\sin^2\varphi+\cfrac{\omega^2_{0z}\cos^2\varphi}{\omega^2_{0y}}}=\cfrac{2\omega_{0z}r\tan\varphi(1+\sqrt{1+\tan^2\varphi})}{\tan^2\varphi+\cfrac{\omega^2_{0z}}{\omega^2_{0y}}}$$В рассматриваемый момент $\tan\varphi=\omega_{0z}/\omega_{0y}$, поэтому:$$v_{max}=\omega_{0y}r\left(1+\sqrt{1+\cfrac{\omega^2_{0z}}{\omega^2_{0y}}}\right)$$Подставляя $\omega_{0y}$ и $\omega_{0z}$, находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_{max}=\cfrac{5mg\sin\alpha(3+\sqrt{2})}{qB\sqrt{7}}$$"]}, "number_part": "B9", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "При каком минимальном коэффициенте трения $\mu_{min}$ шара о плоскость возможно движение без проскальзывания? Ответ выразите через $g$, $\alpha$, $q$, $m$ и $B$. ", "solution": {"text": "Мы показали, что движение является одномерным, а значит сила Лоренца в любой момент равна нулю. Тогда сила нормальной реакции плоскости $N$ в любой момент равна $$N=mg\cos\alpha$$Определим силу трения $F_x$ из теоремы о движении центра масс:$$F_x=ma_{Cx}-mg\sin\alpha=mg\sin\alpha\left(\cfrac{5}{7}\cos\left(\cfrac{qBt}{m\sqrt{14}}\right)-1\right)\geq{-\cfrac{12mg\sin\alpha}{7}}$$откуда сила трения $F_x$ всегда находится в следующем диапазоне:$$-\cfrac{2mg\sin\alpha}{7}\geq{F_x}\geq{-\cfrac{12mg\sin\alpha}{7}}$$Минимально возможный коэффициент трения определяется выражением:$$\mu_{min}=\cfrac{|F_x|_{max}}{N}$$откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\mu_{min}=\cfrac{12\tan\alpha}{7}$$"]}, "number_part": "B10", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Определите расстояние $S_{i{,}i+1}$ между положениями центра шара в моменты $i$-й и $(i+1)$-й остановок. Ответ выразите через  $i$, $g$, $k$, $\alpha$, $q$, $m$ и $B$. ", "solution": {"text": "Поскольку при качении происходит лишь перераспределение силы нормальной реакции - уравнение динамики вращательного движения относительно центра масс остаётся верным, а в теорему о движении центра масс должно быть изменено:$$m\vec{a}_C=m\vec{g}+\vec{N}+\vec{F}+q\bigl[\vec{v}_C\times\vec{B}\bigr]+\vec{F}_\text{кач}$$где $$\vec{F}_\text{кач}=\mp\vec{e}_x\cdot\cfrac{Nk}{r}$$где знак $-$ соответствует движению центра шара вдоль оси $x$, а знак $+$ - движению в противоположную сторону.Тогда уравнение движения в проекции на ось $x$:$$a_{Cx}=\cfrac{5g\sin\alpha}{7}\mp\cfrac{5kg\cos\alpha}{r}-\cfrac{q^2B^2x}{14m^2}$$ <img_5> Из фазовой диаграммы видно, что если $a_i$ - амплитуда половины колебания с номером $i$, то амплитуда половины колебания $a_{i+1}$ с номером $i+1$ определяется выражением:$$a_{i+1}=a_i-2\Delta{x}$$Учитывая выражение для $a_1$:$$a_1=x_0-\Delta{x}$$имеем:$$a_{i+1}=x_0-(1+2i)\Delta{x}$$Тогда для $S_{i{,}i+1}$ имеем:$$S_{i{,}i+1}=2a_{i+1}$$или же:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$S_{i{,}i+1}=2\cdot 10g\sin\alpha\left(\cfrac{m}{qB}\right)^2\left(1-\cfrac{k(1+2i)}{r\tan\alpha}\right)$$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Определите диапазон возможных положений $x_{C\text{к}}$ последней остановки центра шара. Ответ выразите через $g$, $k$, $\alpha$, $q$, $m$ и $B$. ", "solution": {"text": "Качение прекращается, если в точке остановки $$|F_\text{кач}|\leq kmg\cos\alpha/r $$Этому соответствуют следующие координаты $x$:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$x\in\biggl[10g\sin\alpha\left(\cfrac{m}{qB}\right)^2\left(1-\cfrac{k}{r\tan\alpha}\right){;}10g\sin\alpha\left(\cfrac{m}{qB}\right)^2\left(1+\cfrac{k}{r\tan\alpha}\right)\biggr]$$"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите время $\tau$ движения шара. Ответ выразите через $g$, $k$, $\alpha$, $q$, $m$ и $B$. ", "solution": {"text": "Колебания происходят до тех пор, пока очередная точка остановки не окажется в диапазоне $x_\text{ост}\in\bigl[-\Delta{x}{;}\Delta{x}\bigr]$, что приводит к выражению для количества $N$ колебаний:$$N=\Biggl[\cfrac{a_1}{2\Delta{x}}\Biggr]+1$$Поскольку $\tan\alpha\gg{k/r}$, с хорошей точностью верно:$$N=\cfrac{r\tan\alpha}{2k}$$Для времени движение имеем:$$t=\cfrac{\pi N}{\omega_0}$$или же:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$t=\cfrac{\pi mr\tan\alpha}{kqB}\sqrt{\cfrac{7}{2}}$$"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Какое количество теплоты $Q$ выделилось при движении шара? Ответ выразите через $g$, $k$, $\alpha$, $q$, $m$ и $B$. ", "solution": {"text": "Первое решение: Воспользуемся законом сохранения энергии: $$Q=-\Delta{W}_p-E_k$$ где $\Delta{W}_p$ - изменение потенциальной энергии системы, а $E_k$ - её кинетическая энергия. Для $\Delta{W}_p$ имеем: $$\Delta{W}_p=-mg\sin\alpha x_0=-10mg^2\sin^2\alpha\left(\cfrac{m}{qB}\right)^2$$ Для нахождения кинетической энергии определим конечную угловую скорость верчения шара: $$E_k=\cfrac{I\omega^2_z}{2}=\cfrac{Iq^2B^2x^2_0}{8m^2r^2}=\cfrac{q^2B^2}{20m}\cdot 100g^2\sin^2\alpha\left(\cfrac{m}{qB}\right)^4=5mg^2\sin^2\alpha\left(\cfrac{m}{qB}\right)^2$$ Первое решение: явно посчитаем работу силы трения качения. Для неё имеем: $$A_i=-\cfrac{kN}{r}\cdot{2A_i}=-\cfrac{2kmg\cos\alpha}{r}\cdot{a_i} $$ После подстановки $a_i$ получим выражение для работы: $$A=-\cfrac{20mg^2\sin\alpha\cos\alpha k}{r}\left(\cfrac{m}{qB}\right)^2\sum\limits_{i=1}^N \left(1+\cfrac{k}{r\tan\alpha}-\cfrac{2ik}{r\tan\alpha}\right)$$ Суммируя, получим: $$A=-\cfrac{20mg^2\sin\alpha\cos\alpha k}{r}\left(\cfrac{m}{qB}\right)^2\left(\left(1+\cfrac{k}{r\tan\alpha}\right)N-\cfrac{N(N+1)k}{r\tan\alpha}\right)$$ Подставляя $N$ и учитывая малость, получим: $$A=-\cfrac{20mg^2\sin\alpha\cos\alpha k}{r}\left(\cfrac{m}{qB}\right)^2\left(\cfrac{r\tan\alpha}{2k}-\cfrac{r\tan\alpha}{4k}\right)=-5mg^2\sin^2\alpha\left(\cfrac{m}{qB}\right)^2$$ Количество теплоты $Q=-A$, откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$Q=5mg^2\sin^2\alpha\left(\cfrac{m}{qB}\right)^2$$"]}, "number_part": "C4", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Определите модуль момента силы трения верчения $M'$. Ответ выразите через $\mu$, $m$, $g$, $\alpha$ и $r_0$. ", "solution": {"text": "Сила реакции $N$ равномерно распределена по площади круга радиусом $r_0$, поэтому:$$\cfrac{dN}{dS}=\cfrac{mg\cos\alpha}{\pi{r}^2_0}$$Тогда для момента силы трения имеем:$$dM'=\cfrac{\mu dN}{dS}\cdot{2\pi{r}dr}\cdot{r}\Rightarrow{M'=\cfrac{\mu dN}{dS}\cdot{\cfrac{2\pi{r}^3_0}{3}}}$$откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$M'=\cfrac{2\mu mgr_0\cos\alpha}{3}$$"]}, "number_part": "D1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "В какой момент времени $t_1$ шар начнёт вертеться? Ответ выразите через $\mu$, $r_0$, $m$, $q$, $B$, $r$ и $\alpha$. ", "solution": {"text": "Поскольку возникающий момент трения верчения направлен вдоль оси $z$ - выражение для силы трения $\vec{F}$, и, как следствие, теорема о движении центра масс остаются верными:$$a_{Cx}=\cfrac{5g\sin\alpha}{7}+\cfrac{qBr\omega_z}{7m}$$В уравнение динамики вращательного движения необходимо внести изменения:$$I\dot{\omega}_z=M_\text{тр}-\cfrac{qr^2B\omega_y}{5}$$где $M_\text{тр}$ - возникающий момент силы трения верчения.До тех пор, пока скорость центра шара не достигает значения$$v_0=\cfrac{2M'mr}{IqB}=\cfrac{10\mu mgr_0\cos\alpha}{3qBr}$$шар движется равноускоренно и не вертится. Тогда выражение для времени $t_1$ следующее:$$t_1=\cfrac{7v_0}{5g\sin\alpha}$$или же:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$t_1=\cfrac{14\mu mr_0}{3qBr\tan\alpha}$$"]}, "number_part": "D2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Постройте качественный график $\omega_z(t)$. На графике укажите все характерные значения, особенности и асимптоты. Выразите характерные значения через $m$, $g$, $\alpha$, $q$, $B$ и $r$. ", "solution": {"text": "Для анализа последующего движения продифференцируем выражение для ускорения $a_{Cx}$:$$\dot{a}_{Cx}=\ddot{v}_{Cx}=\cfrac{qBr\dot{\omega}_z}{7m}=\cfrac{qBr}{7m}\left(\cfrac{M'}{I}-\cfrac{qBv_x}{2mr}\right)$$Вводя величину $v_1=v_{Cx}-v_0$, получим:$$\ddot{v}_1=-\left(\cfrac{qB}{m}\right)^2\cfrac{v_1}{14}\Rightarrow{v_1(t_1)=A\sin(\omega_0\tau+\varphi_0)}$$где время $\tau=t-t_1$ - время, прошедшее от момента начала верчения. Воспользуемся начальными условиями:$$\begin{cases}v_1(0)=A\sin\varphi_0=0\\\dot{v}_1(0)=\omega_0A\cos\varphi_0=\cfrac{5g\sin\alpha}{7}\end{cases}\Rightarrow v_{Cx}(\tau)=v_0+\cfrac{5g\sin\alpha\sin\omega_0\tau}{7\omega_0}$$Подставляя в уравнение динамики вращательного движения относительно оси $z$:$$\dot{\omega}_z=-\cfrac{qB}{2mr}\cdot{\cfrac{5g\sin\alpha\sin\omega_0\tau}{7\omega_0}}\Rightarrow{\omega_z(\tau)=-\cfrac{qB}{2mr}\cdot{\cfrac{5g\sin\alpha(1-\cos\omega_0\tau)}{7\omega^2_0}}}$$В исходных терминах:$$\omega_z(\tau)=-\cfrac{5mg\sin\alpha}{qBr}\left(1-\cos\left(\cfrac{qB\tau}{m\sqrt{14}}\right)\right)$$Из полученного выражения видно, что шар в моменты прекращения верчения вновь повторяет его по тому же закону, поскольку и скорость центра, и угловая скорость верчения изменяются с одинаковым периодом. Это можно интерпретировать как непрерывное верчение.Тогда график имеет вид, показанный на рисунке ниже:"}, "answer": {"answers": ["<img_6>"]}, "number_part": "D3", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Постройте качественный график $x_C(t)$. На графике укажите все характерные значения, особенности и асимптоты. Характерные значения могут быть выражены через введённые вами переменные. ", "solution": {"text": "Мы уже упоминали, что до начала проскальзывания в течение времени $t_1$ шар движется равноускоренно и успевает пройти расстояние:$$x_1=\cfrac{7v^2_0}{10g\sin\alpha}=\cfrac{70\mu^2m^2gr^2_0\cos^2\alpha}{9q^2B^2r^2\sin\alpha}$$Определим зависимость $x(\tau)$:$$x(\tau)=x_1+\int\limits_0^{\tau}\left(v_0+\cfrac{5g\sin\alpha\sin\omega_0\tau}{7\omega_0}\right)d\tau=x_1+v_0\tau+\cfrac{5g\sin\alpha(1-\cos\omega_0\tau)}{7\omega^2_0}$$Изобразим это на графике:"}, "answer": {"answers": ["<img_7>"]}, "number_part": "D4", "exponent_part": "0,60"}]