text: {"text": [{"text": "На гладком горизонтальном столе лежат, касаясь друг друга, две одинакового размера шайбы $1$ и $2$, радиус которых равен $R$. Шайбы соединены друг с другом с помощью тонкой легкой нити (см. рисунок). <img_0> Длина нити $L=2 R$. Нить начали тянуть в горизонталь-ном направлении с постоянной силой $\vec{F}$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите силу, с которой шайбы будут давить друг на друга, когда их движение установится. Сила $\vec{F}$ приложена в середине нити. Трение можно считать малым. Рассмотрите два случая: 1) шайбы имеют одинаковую массу; 2) масса одной шайбы в два раза больше массы другой."}]}
answer: [{"condition": "Найдите силу, с которой шайбы будут давить друг на друга, когда их движение установится. ", "solution": {"text": "В первом случае, когда массы шайб одинаковы, они будут двигаться вдоль биссектрисы угла, образованного половинками нити (см. рисунок). <img_1> Поскольку длина каждой половинки равна $R$, то из рисунка следует, что $\alpha=30^{\circ}$. Ясно, что силы натяжения половинок нити одинаковы. Движение равноускоренное. Ускорение каждой шайбы равно $a=a_{1}=a_{2}=\frac{F}{(2 M)}$, где $M$ — масса каждой шайбы. Напишем уравнения движения, например, шайбы $1$ в проекциях на оси координат: По оси $x$: $$ T \cos \alpha=M a \Rightarrow T=\frac{F}{2 \cos \alpha}, $$ где $$a=\frac{F}{2 M}.$$ По оси $y$: $$ N - T \sin \alpha = 0 \Rightarrow N=T \sin \alpha. $$ Таким образом, $N=\frac{F}{2} \operatorname{tg} \alpha=\frac{F}{2 \sqrt{3}}$. Во втором случае, когда $M_{1}=M$, $M_{2}=2 M$, шайбы будут двигаться под некоторым углом $\beta$ к биссектрисе (см. рисунок ниже). <img_2> Очевидно, поступательное движение шайб возможно, когда линия действия силы $\vec F$ проходит через центр масс системы. Легко получить, что центр масс системы находится на прямой, соединяющей центры шайб на расстоянии $\frac{2}{3} R$ от центра шайбы с массой $2 M$. Тогда, используя рисунок, находим $$ \operatorname{tg} \beta=\frac{1}{3} \operatorname{tg} \alpha=\frac{1}{3 \sqrt{3}}. $$ Ускорение каждой из шайб равно $$ a=a_{1}=a_{2}=\frac{F}{3 M}. $$ Запишем второй закон Ньютона для движения шайбы $M$ в проекции на направление $O x^{\prime}$, перпендикулярное силе натяжения $\vec{T}_{1}$ (см. рисунок ниже): $$ N \cos \alpha=M a \cos \left(90^{\circ}-\alpha-\beta\right)=M a \sin (\alpha+\beta) \Rightarrow N=\frac{F}{3} \frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos \alpha}. $$ <img_3> После тригонометрических преобразований находим $$ N=\frac{4 F}{3} \sin \beta ; \quad \sin \beta=\frac{\operatorname{tg} \beta}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^{2} \alpha}}=\frac{1}{\sqrt{28}}. $$ Окончательно $N=\frac{2 F}{3 \sqrt{7}} \approx 0.25 F$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: В первом случае, когда массы шайб одинаковы: $$ N=\frac{F}{2 \sqrt{3}}. $$ Во втором случае, когда $M_{1}=M$, $M_{2}=2 M$: $$ N=\frac{2 F}{3 \sqrt{7}} \approx 0.25 F. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]