text: {"text": [{"text": "С момента открытия Эйнштейном теории относительности человечество поставило перед собой задачу о достижении ракетами скоростей, близких к скорости света в вакууме. Известные на данный момент технологии не позволяют добиться скоростей, требующий учёта релятивистских эффектов. Так, на данный момент наибольшая теоретически достижимая скорость ракеты, которой позволяют добиться существующие технологии, составляет примерно $0{.}1c$, чему соответствует релятивистский гамма-фактор $\gamma\approx 1{.}005$, поэтому динамика движения даже современных ракет с хорошей точностью описывается механикой Ньютона. Теоретические же исследования, как известно, опережают технологический прогресс, и к данному моменту построено большое количество теоретических способов запуска релятивистских ракет. В рамках данной задачи вам предлагается ознакомиться с некоторыми особенностями динамики релятивистской ракеты."}, {"text": "Часть A. Классическая модель релятивистской ракеты (2.8 балла) Рассмотрим покоящуюся в вакууме релятивистскую ракету массой $M$. Ракета приходит в движение, при котором горючее вылетает из двигателя со скоростью $u$ относительно ракеты. Массу движущейся ракеты обозначим за $m$."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,70"}, "text": "Чему равна скорость $v$ ракеты в момент, когда её масса уменьшается до значения $m$? Ответ выразите через $m$, $M$, $c$ и $u$. Пусть ракета движется таким образом, что её пассажиры испытывают постоянное ускорение свободного падения $a$. Двигатель ракеты прекращает работу через время $\tau$, измеренное по часам ракеты."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,30"}, "text": "Определите массу $m$ ракеты к моменту прекращения работы двигателя. Ответ выразите через $M$, $a$, $u$, $c$ и $\tau$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите перемещение $S$ ракеты к моменту прекращения работы двигателя. Ответ выразите через $c$, $u$, $a$ и $\tau$. Рассмотрим ракету, для которой $u/c=0{.}1$. Двигатель ракеты прекращает работу через время $\tau_0$, измеренное по часам ракеты. В процессе движения проводилось измерение массы ракеты $m$ от времени $\tau$, прошедшего по часам ракеты от момента старта. Данная зависимость представлена в таблице ниже в виде $y(x)$, где $y=m/M$, а $x=\tau/\tau_0$:"}, {"text": "Часть B. Двухкомпонентная струя (1.4 балла) Рассмотрим покоящуюся в вакууме релятивистскую ракету массой $M$. Ракета приходит в движение, при котором струя горючего, вылетающего из ракеты, имеет две компоненты $1$ и $2$. Горючие вещества $1$ и $2$ вылетают из двигателя со скоростями $u_1$ и $u_2$ соответственно относительно ракеты, причём масса вылетающего в единицу времени вещества $2$ в $\alpha$ раз больше вылетающего в единицу времени вещества $1$. Во всех пунктах данной части задачи считайте известными величины $M$, $c$, $u_1$, $u_2$ и $\alpha$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "1,50"}, "text": "Как можно точнее определите перемещение $S$ ракеты в лабораторной системе отсчёта к моменту прекращения работы двигателя. Ответ выразите через $c$ и $\tau_0$. Приведите необходимые численные значения в таблице в листах ответов. При необходимости вы можете использовать миллиметровую бумагу в листах ответов для построения графиков."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,70"}, "text": "Пусть масса ракеты уменьшилась до значения $m$. Найдите массы $m_1$ и $m_2$ вылетевших из ракеты горючих веществ $1$ и $2$ соответственно. Ответ выразите через $m$ и известные величины."}, {"text": "Часть C. Движение ракеты в веществе (1.8 балла) Рассмотрим неподвижную ракету массой $M$, находящуюся в неподвижном веществе с постоянной плотностью $\rho$. Площадь поперечного сечения ракеты равна $S$. Ракету приводят в движение с помощью двигателя, испускающего горючее с постоянной скоростью $u$ относительно ракеты в одном и том же направлении, перпендикулярном поперечному сечению $S$. Всё вещество, попавшее на переднее основание ракеты, проходит внутрь ракеты и превращается в топливо. Во всех пунктах данной части задачи считайте известными величины $M$, $c$, $u$, $\rho$ и $S$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,70"}, "text": "Найдите скорость $v$ ракеты в момент, когда её масса уменьшилась до значения $m$. Ответ выразите через $m$ и известные величины."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,50"}, "text": "Пусть двигатель ракеты выключен, а ракета движется со скоростью $v$. С какой скоростью $dm/d\tau$ по часам ракеты изменяется её масса? Ответ выразите через $v$ и известные величины."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,50"}, "text": "Пусть двигатель ракеты работает таким образом, что масса движущейся в вакууме ракеты изменяется со скоростью $dm_0/d\tau$ по часам ракеты в момент времени $\tau$. С какой скоростью $dm/d\tau$ по часам ракеты изменяется её масса в момент времени $\tau$, если ракета движется со скоростью $v$, а двигатель ракеты работает так же, как и при движении в вакууме (т.е в в момент времени $\tau$ в единицу времени из ракеты вылетает та же масса горючего с той же скоростью)? Ответ выразите через $dm_0/d\tau$, $v$ и известные величины. С какой скоростью $dm/d\tau$ по часам ракеты изменяется её масса в момент времени $\tau$, если ракета движется со скоростью $v$, а двигатель ракеты работает так же, как и при движении в вакууме (т.е в в момент времени $\tau$ в единицу времени из ракеты вылетает та же масса горючего с той же скоростью)? Ответ выразите через $dm_0/d\tau$, $v$ и известные величины. С какой скоростью $dm/d\tau$ по часам ракеты изменяется её масса в момент времени $\tau$, если ракета движется со скоростью $v$, а двигатель ракеты работает так же, как и при движении в вакууме (т.е в в момент времени $\tau$ в единицу времени из ракеты вылетает та же масса горючего с той же скоростью)? Ответ выразите через $dm_0/d\tau$, $v$ и известные величины. С какой скоростью $dm/d\tau$ по часам ракеты изменяется её масса в момент времени $\tau$, если ракета движется со скоростью $v$, а двигатель ракеты работает так же, как и при движении в вакууме (т.е в в момент времени $\tau$ в единицу времени из ракеты вылетает та же масса горючего с той же скоростью)? Ответ выразите через $dm_0/d\tau$, $v$ и известные величины. С какой скоростью $dm/d\tau$ по часам ракеты изменяется её масса в момент времени $\tau$, если ракета движется со скоростью $v$, а двигатель ракеты работает так же, как и при движении в вакууме (т.е в в момент времени $\tau$ в единицу времени из ракеты вылетает та же масса горючего с той же скоростью)? Ответ выразите через $dm_0/d\tau$, $v$ и известные величины. С какой скоростью $dm/d\tau$ по часам ракеты изменяется её масса в момент времени $\tau$, если ракета движется со скоростью $v$, а двигатель ракеты работает так же, как и при движении в вакууме (т.е в в момент времени $\tau$ в единицу времени из ракеты вылетает та же масса горючего с той же скоростью)? Ответ выразите через $dm_0/d\tau$, $v$ и известные величины. С какой скоростью $dm/d\tau$ по часам ракеты изменяется её масса в момент времени $\tau$, если ракета движется со скоростью $v$, а двигатель ракеты работает так же, как и при движении в вакууме (т.е в в момент времени $\tau$ в единицу времени из ракеты вылетает та же масса горючего с той же скоростью)? Ответ выразите через $dm_0/d\tau$, $v$ и известные величины."}, {"text": "Часть D. Ракета, использующая антивещество (1.5 балла) Рассмотрим неподвижную ракету массой $M$, находящуюся в неподвижном веществе с постоянной плотностью $\rho$. Площадь поперечного сечения ракеты равна $S$. Топливом двигателя ракеты является антивещество, которое аннигилирует с попавшим в ракету веществом, после чего из двигателя ракеты вылетают фотоны в направлении, перпендикулярном поперечному сечению ракеты. Массы аннигилирующих топлива ракеты и попавшего в неё вещества одинаковы. Во всех пунктах данной части задачи считайте известными величины $M$, $c$, $\rho$ и $S$."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "0,80"}, "text": "Пусть двигатель ракеты включен, но работает неизвестным образом. Наблюдатель, находящийся на ракете, выяснил, что в некоторый момент времени масса ракеты равнялась $m$, скорость изменения массы ракеты по часам ракеты равнялась $dm/d\tau$, а ракета двигалась со скоростью $v$ относительно лабораторной системы отсчёта. Какое ускорение свободного падения $a$ испытывал в рассматриваемый момент пассажир? Ответ выразите через $v$, $m$, $dm/d\tau$ и известные величины."}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "0,50"}, "text": "Пусть ракета массой $m$ движется со скоростью $v$. Определите ускорение свободного падения $a$, испытываемое пассажирами ракеты. Ответ выразите через $m$, $v$ и известные величины."}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "0,70"}, "text": "Какой скорости $v$ достигнет ракета к моменту, когда её масса уменьшится до значения $m$? Ответ выразите $m$ и известные величины."}, {"text": "Часть E. Движение в веществе с малой плотностью (2.5 балла) Рассмотрим изначально неподвижную ракету, движущуюся в вакууме. Пусть $\tau$ — время, прошедшее по часам ракеты с момента старта. Массовый расход вылетающего из ракеты горючего зависит от $\tau$ таким образом, что при движении ракеты в вакууме пассажиры испытывают постоянное ускорение свободного падения $a$. Когда двигатель ракеты прекратил работу, скорость ракеты оказалась равной $v_1$. Теперь рассмотрим движение ракеты с тем же двигателем (т.е. с той же зависимостью массового расхода вылетающего из ракеты горючего от $\tau$, измеренного по часам ракеты, движущейся в веществе), но в среде с малой плотностью $\rho$. Поскольку плотность $\rho$ является малой, зависимости $v(\tau)$ и $M(\tau)$, где $\tau$ — время, прошедшее по часам ракеты, можно представить в следующей форме: $$v(\tau)=v_0(\tau)+\delta v(\tau)\qquad m(\tau)=m_0(\tau)+\delta m(\tau){.} $$ Здесь $v_0(\tau)$ и $m_0(\tau)$ — зависимости скорости и массы ракеты соответственно от времени $\tau$, прошедшего по часам ракеты при движении ракеты в вакууме. Cчитайте, что $\delta v(\tau)\ll v_0(\tau)$ и $\delta{m}(\tau)\ll m_0(\tau)$. Оба двигателя работают в течение одного и того же времени, измеренного часам соответствующих ракет. Во всех пунктах данной части задачи считайте известными величины $M$, $\rho$, $S$, $c$, $u$ и $a$."}, {"balls": {"number": "D3", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите перемещение $L$ ракеты к моменту, когда её скорость достигает значения $v$. Ответ выразите через $v$ и известные величины."}, {"balls": {"number": "E1", "exponent": "0,50"}, "text": "Получите зависимость $\delta{m}(\tau)$. Ответ выразите через $\tau$ и известные величины."}, {"balls": {"number": "E2", "exponent": "0,20"}, "text": "На какую величину $\delta{m}_1$ отличаются массы ракет, движущихся в вакууме и веществе к моменту окончания работы двигателей? Ответ выразите через $v_1$ и известные величины."}, {"balls": {"number": "E3", "exponent": "1,50"}, "text": "Получите зависимость $\delta{v}(\tau)$. Ответ выразите через $\tau$ и известные величины."}, {"balls": {"number": "E4", "exponent": "0,30"}, "text": "На какую величину $\delta{v}_1$ отличаются скорости ракет, движущихся в вакууме и веществе к моменту окончания работы двигателей? Ответ выразите через $v_1$ и известные величины."}]}
answer: [{"condition": "Чему равна скорость $v$ ракеты в момент, когда её масса уменьшается до значения $m$? Ответ выразите через $m$, $M$, $c$ и $u$. ", "solution": {"text": "Будем решать данную задачу с использованием быстроты $\theta$, определяемой выражением:$$\beta=\cfrac{v}{c}=\tanh\theta{.}$$С учётом этого Лоренц-фактор $\gamma$, а также энергия $E$ и импульс $p$ частицы массой $m$ могут быть записаны следующим образом:$$\gamma=\cfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=\cosh\theta\qquad E=\gamma mc^2=mc^2\cosh\theta\qquad p=\gamma\beta mc=mc\sinh\theta{.}$$Пусть частица движется вдоль оси $x$ со скоростью $v$, а скорость инерциальной системы отсчёта $S'$ направлена вдоль оси $x$ и равна $V$. Тогда скорость частицы $v_{отн}$ относительно системы отсчёта $S'$ составляет:$$v_{отн}=\cfrac{v-V}{1-\cfrac{vV}{c^2}}{.}$$Пусть $v_{отн}/c=\tanh\theta_{отн}$, а $V/c=\tanh\theta_V$. Тогда имеем:$$\tanh\theta_{отн}=\cfrac{\tanh\theta-\tanh\theta_V}{1-\tanh\theta\tanh\theta_V}=\tanh(\theta-\theta_V){,}$$откуда:$$\theta_{отн}+\theta_V=\theta{.}$$Таким образом, быстрота частицы $\theta$ в лабораторной системе отсчёта является суммой быстрот $\theta_V$ и $\theta_{отн}$, характеризующих движение системы отсчёта $S'$ и движение частицы относительно неё соответственно. Из этого также следует, что изменения быстрот частицы относительно всех инерциальных систем отсчёта, движущихся вдоль оси $x$, должны быть одинаковы. Далее мы будем использовать доказанное утверждение.Рассмотрим движение ракеты из сопутствующей ей инерциальной системы отсчёта, называющейся собственной. Для изменения скорости ракеты имеем:$$dv_{отн}=c~d\tanh\theta_{отн}=\cfrac{c}{\cosh^2\theta_{отн}}~d\theta_{отн}{.}$$Поскольку $\theta_{отн}=0$, имеем:$$dv_{отн}=c~d\theta_{отн}=c~d\theta{,}$$где $\theta$ — быстрота ракеты в лабораторной системе отсчёта.Рассмотрим динамику ускорения ракеты в собственной системе отсчёта. Пусть $dE_г$ — энергия вылетающего из ракеты горючего, а $dE_р$ — изменение энергии ракеты. Тогда из закона сохранения энергии:$$dE_г=-dE_р{.}$$При этом для ракеты имеем:$$E=\gamma_{отн} mc^2=mc^2\cosh\theta_{отн}\Rightarrow dE=c^2(\cosh\theta_{отн} dm+m\sinh_{отн}d\theta_{отн}){.}$$ Поскольку $\theta_{отн}=0$:$$dE_{р}=c^2dm\Rightarrow dE_г=-c^2dm{.}$$Для импульса топлива имеем:$$dp_г=\cfrac{udE_г}{c^2}=-udm{.}$$Применяя закон сохранения импульса, получим:$$dp_р=dp_г=-udm{.}$$где $dp_{р}$ — изменение импульса ракеты, для которого имеем:$$dp_р=d(\gamma_{отн} Mv_{отн})=d(mc\sinh\theta_{отн})=c(m\cosh\theta_{отн}d\theta_{отн}+\sinh\theta_{отн}~dM)=mcd\theta{.}$$Таким образом:$$mcd\theta=-udm{.}$$Интегрируя, получим:$$\theta=\cfrac{u}{c}\ln\cfrac{M}{m}{.}$$Окончательно:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v=c\tanh\left(\cfrac{u}{c}\ln\cfrac{M}{m}\right)=c\cfrac{\left(\cfrac{M}{m}\right)^{2u/c}-1}{\left(\cfrac{M}{m}\right)^{2u/c}+1}{.}$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Определите массу $m$ ракеты к моменту прекращения работы двигателя. Ответ выразите через $M$, $a$, $u$, $c$ и $\tau$. ", "solution": {"text": "Воспользуемся результатом решения пункта $\mathrm{A1}$:$$a=\cfrac{dv_{отн}}{d\tau}=c~\cfrac{d\theta}{d\tau}\Rightarrow \theta=\cfrac{a\tau}{c}{.}$$Поскольку для $M(\theta)$ имеем:$$m=Me^{-\theta c/u}{,}$$для $M(\tau)$ находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$m=Me^{-a\tau/c}{.}$$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите перемещение $S$ ракеты к моменту прекращения работы двигателя. Ответ выразите через $c$, $u$, $a$ и $\tau$. ", "solution": {"text": "За время $d\tau$ в собственной системе отсчёта в лабораторной системе отсчёта успевает пройти время $dt$, равное:$$dt=\gamma d\tau=\cosh\theta d\tau{.}$$Для перемещения ракеты $dS$ за время $dt$ имеем:$$dS=vdt=c\tanh\theta\cosh\theta d\tau=c\sinh\theta d\tau{.}$$Поскольку $d\tau=cd\theta/a$, получим:$$dS=\cfrac{c^2\sinh\theta d\theta}{a}\Rightarrow S(\theta)=\cfrac{c^2(\cosh\theta-1)}{a}{.}$$Подставляя $\theta(\tau)$, находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$S=\cfrac{c^2\left(\cosh\cfrac{a\tau}{c}-1\right)}{a}$$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Как можно точнее определите перемещение $S$ ракеты в лабораторной системе отсчёта к моменту прекращения работы двигателя. Ответ выразите через $c$ и $\tau_0$. Приведите необходимые численные значения в таблице в листах ответов. При необходимости вы можете использовать миллиметровую бумагу в листах ответов для построения графиков. ", "solution": {"text": "Для перемещения ракеты $dS$ имеем:$$dS=c\sinh\theta d\tau{.}$$Подставляя $\theta(M)$, получим:$$dS=c\sinh\left(\cfrac{u}{c}\ln\cfrac{M}{m}\right)d\tau=c\tau_0\cdot \sinh\left(\cfrac{u}{c}\ln\cfrac{1}{y}\right)dx{.}$$Для перемещения $S$ к моменту прекращения работы двигателей получим:$$S=c\tau_0\int\limits_{0}^{1}\sinh\left(\cfrac{u}{c}\ln\cfrac{1}{y}\right)dx{.}$$Данный интеграл лучше всего вычислить, предварительно построив график зависимости от $x$ подынтегральной функции, однако можно обойтись и методом трапеций. Имеем:$$\int\limits_{0}^{1}\sinh\left(\cfrac{u}{c}\ln\cfrac{1}{y}\right)dx=0{.}146\pm 0{.}004{.}$$Таким образом:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$S=(0{.}146\pm 0{.}04)c\tau_0{.}$$"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Пусть масса ракеты уменьшилась до значения $m$. Найдите массы $m_1$ и $m_2$ вылетевших из ракеты горючих веществ $1$ и $2$ соответственно. Ответ выразите через $m$ и известные величины. ", "solution": {"text": "Воспользуемся законом сохранения энергии в системе отсчёта, сопутствующей движению ракеты:$$dE_1+dE_2=\gamma_1c^2dm_1+\gamma_2c^2dm_2=-dE_р=-c^2dM{,}$$где $\gamma_1$ и $\gamma_2$ — релятивистские гамма—факторы, соответствующие скоростям $u_1$ и $u_2$.Поскольку $\gamma_1$ и $\gamma_2$ являются постоянными величинами:$$\gamma_1m_1+\gamma_2m_2=M-m{.}$$Учитывая, что $m_2/m_1=\alpha$, получим:$$m_1=\cfrac{M-m}{\gamma_1+\alpha\gamma_2}\qquad m_2=\cfrac{\alpha(M-m)}{\gamma_1+\alpha\gamma_2}{,}$$или же:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$m_1=\cfrac{M-m}{\cfrac{1}{\sqrt{1-u^2_1/c^2}}+\cfrac{\alpha}{\sqrt{1-u^2_2/c^2}}}\qquad m_2=\cfrac{\alpha(M-m)}{\cfrac{1}{\sqrt{1-u^2_1/c^2}}+\cfrac{\alpha}{\sqrt{1-u^2_2/c^2}}}$$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Найдите скорость $v$ ракеты в момент, когда её масса уменьшилась до значения $m$. Ответ выразите через $m$ и известные величины. ", "solution": {"text": "Запишем уравнение движения ракеты:$$\cfrac{dp_р}{d\tau}=mc\cfrac{d\theta}{d\tau}=\cfrac{dp_г}{d\tau}=\gamma_1u_1\cfrac{dm_1}{d\tau}+\gamma_2u_2\cfrac{dm_2}{d\tau}{.}$$Отсюда:$$d\theta=-\cfrac{dm}{m}\cfrac{\gamma_1u_1+\alpha\gamma_2u_2}{c(\gamma_1+\alpha\gamma_2)}\Rightarrow \theta=\cfrac{\gamma_1u_1+\alpha\gamma_2u_2}{c(\gamma_1+\alpha\gamma_2)}\ln\cfrac{M}{m}{.}$$Поскольку $v=c\tanh\theta$, получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v=c\tanh\left(\cfrac{\cfrac{u_1}{\sqrt{1-u^2_1/c^2}}+\cfrac{\alpha u_2}{\sqrt{1-u^2_2/c^2}}}{c\left(\cfrac{1}{\sqrt{1-u^2_1/c^2}}+\cfrac{\alpha}{\sqrt{1-u^2_2/c^2}}\right)}\ln\cfrac{M}{m}\right){.}$$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Пусть двигатель ракеты выключен, а ракета движется со скоростью $v$. С какой скоростью $dm/d\tau$ по часам ракеты изменяется её масса? Ответ выразите через $v$ и известные величины. ", "solution": {"text": "В лабораторной системе отсчёта в единицу времени в ракету попадает масса вещества, равная:$$\cfrac{dm_в}{dt}=\rho Sv{.}$$Тогда в системе отсчёта, сопутствующей движению ракеты:$$\mu_в=\cfrac{dm_в}{d\tau}=\cfrac{dm_{в}}{dt}\cfrac{dt}{d\tau}=\gamma\rho Sv{.}$$Энергия вещества $dE_{в}$, попавшего в ракету, трансформируется в энергию ракеты $dE_р$, поэтому:$$dE_р=c^2dm=dE_{в}=\gamma c^2dm_в=\gamma^2c^2\rho Svd\tau{.}$$Окончательно"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\cfrac{dm}{d\tau}=\cfrac{\rho Sv}{1-v^2/c^2}{.}$$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Пусть двигатель ракеты работает таким образом, что масса движущейся в вакууме ракеты изменяется со скоростью $dm_0/d\tau$ по часам ракеты в момент времени $\tau$.  С какой скоростью $dm/d\tau$ по часам ракеты изменяется её масса в момент времени $\tau$, если ракета движется со скоростью $v$, а двигатель ракеты работает так же, как и при движении в вакууме (т.е в в момент времени $\tau$ в единицу времени из ракеты вылетает та же масса горючего с той же скоростью)? Ответ выразите через $dm_0/d\tau$, $v$ и известные величины. ", "solution": {"text": "Воспользуемся законом сохранения энергии в системе отсчёта, сопутствующей движению ракеты:$$\cfrac{dE_р}{d\tau}=c^2\cfrac{dm}{d\tau}=\cfrac{dE_в}{d\tau}-\cfrac{dE_г}{d\tau}=\gamma^2\rho Sc^2v-\cfrac{dE_г}{d\tau}{.}$$Когда ракета расположена неподвижно:$$\cfrac{dE_г}{d\tau}=-c^2\cfrac{dm_0}{d\tau}{.}$$Таким образом:$$\cfrac{dm}{d\tau}=\cfrac{dm_0}{d\tau}+\gamma^2\rho Sv{,}$$или же:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\cfrac{dm}{d\tau}=\cfrac{dm_0}{d\tau}+\cfrac{\rho Sv}{1-v^2/c^2}{.}$$"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Пусть двигатель ракеты включен, но работает неизвестным образом. Наблюдатель, находящийся на ракете, выяснил, что в некоторый момент времени масса ракеты равнялась $m$, скорость изменения массы ракеты по часам ракеты равнялась $dm/d\tau$, а ракета двигалась со скоростью $v$ относительно лабораторной системы отсчёта. Какое ускорение свободного падения $a$ испытывал в рассматриваемый момент пассажир? Ответ выразите через $v$, $m$, $dm/d\tau$ и известные величины. ", "solution": {"text": "В системе отсчёта, сопутствующей движению ракеты, закон сохранения энергии выглядит следующим образом:$$dE_г+dE_р=dE_в\Rightarrow dE_г=\gamma^2c^2\rho Svd\tau-c^2dm{.}$$Воспользуемся законом сохранения импульса:$$\cfrac{dp_р}{d\tau}=ma=\cfrac{dp_г}{d\tau}-\cfrac{dp_в}{d\tau}=\cfrac{u}{c^2}\cfrac{dE_г}{d\tau}-\gamma v\cfrac{dm_в}{d\tau}{.}$$Подставляя найденные величины, получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$a=\cfrac{\gamma^2\rho Sv(u-v)}{m}-\cfrac{u}{m}\cfrac{dm}{d\tau}{.}$$"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Пусть ракета массой $m$ движется со скоростью $v$. Определите ускорение свободного падения $a$, испытываемое пассажирами ракеты. Ответ выразите через $m$, $v$ и известные величины. ", "solution": {"text": "С учётом того, что массы аннигилирующих вещества и топлива ракеты одинаковы, можно записать:$$\cfrac{dm}{d\tau}=-\gamma\rho Sv{.}$$Тогда для ускорения ракеты с учётом $u=c$ получим:$$a=\cfrac{\gamma\rho Sv}{m}(c(\gamma+1)-\gamma v){,}$$или же:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$a=\cfrac{\rho Sv}{m\sqrt{1-v^2/c^2}}\left(c\left(1+\cfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)-\cfrac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right){.}$$"]}, "number_part": "D1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Какой скорости $v$ достигнет ракета к моменту, когда её масса уменьшится до значения $m$? Ответ выразите $m$ и известные величины. ", "solution": {"text": "Перейдём к быстроте:$$a=c\cfrac{d\theta}{d\tau}=\cfrac{\rho Sc^2\sinh\theta}{m}\left(1+\cosh\theta-\sinh\theta\right){.}$$При этом:$$\cfrac{dm}{d\tau}=-\rho Sc\sinh\theta{.}$$Таким образом:$$\cfrac{d\theta}{1+\cosh\theta-\sinh\theta}=\cfrac{1}{1+e^{-\theta}}=-\cfrac{dm}{m}{.}$$Проинтегрируем полученное выражение:$$\int\limits_{0}^{\theta}\cfrac{d\theta}{1+e^{-\theta}}=\int\limits_0^{e^\theta}\cfrac{dx}{1+x}=\ln\cfrac{1+e^\theta}{2}=-\int\limits_{M}^m\cfrac{dm}{m}=\ln\cfrac{M}{m}{,}$$откуда:$$e^\theta=\cfrac{2M}{m}-1{.}$$Для скорости $v$ имеем:$$v=c\tanh\theta=c~\cfrac{e^{2\theta}-1}{e^{2\theta}+1}{,}$$откуда находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v=c~\cfrac{\left(\cfrac{2M}{m}-1\right)^2-1}{\left(\cfrac{2M}{m}-1\right)^2+1}{.}$$"]}, "number_part": "D2", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Найдите перемещение $L$ ракеты к моменту, когда её скорость достигает значения $v$. Ответ выразите через $v$ и известные величины. ", "solution": {"text": "Изменение массы ракеты равно массе попавшего в неё вещества:$$m_в=(M-m)=\rho SL{.}$$При этом:$$m=\cfrac{2M}{1+e^\theta}{.}$$Найдём $e^{\theta}(v)$:$$\cfrac{v}{c}=\cfrac{e^{2\theta}-1}{e^{2\theta}+1}\Rightarrow e^{\theta}=\sqrt{\cfrac{1+v/c}{1-v/c}}{.}$$Таким образом:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$L=\cfrac{M}{\rho S}\left(1-\cfrac{2}{1+\sqrt{\cfrac{1+v/c}{1-v/c}}}\right){.}$$"]}, "number_part": "D3", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Получите зависимость $\delta{m}(\tau)$. Ответ выразите через $\tau$ и известные величины. ", "solution": {"text": "Различие масс обусловлено попаданием вещества в ракету. Поскольку двигатель настроен на движение ракеты в вакууме:$$\cfrac{dE_{вещ}}{d\tau}=-c^2\cfrac{dm_0}{d\tau}{.}$$Тогда из закона сохранения энергии имеем:$$\cfrac{dm}{d\tau}-\cfrac{dm_0}{d\tau}=\cfrac{d(\delta m)}{d\tau}=\gamma^2\rho Sv=\rho Sc\sinh\theta\cosh\theta{.}$$Обратим внимание, что поправка к скорости движения ракеты, вызванная попаданием в неё вещества, является малой. Тогда $\tau=c\theta/a$. Таким образом:$$\delta m(\theta)=\cfrac{\rho Sc^2}{a}\int\limits_0^\theta \sinh\theta\cosh\theta d\theta=\cfrac{\rho Sc^2\sinh^2\theta}{2a}{.}$$Подставляя $\theta$, получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\delta m(\tau)=\cfrac{\rho Sc^2\sinh^2\left(a\tau/c\right)}{2a}{.}$$"]}, "number_part": "E1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "На какую величину $\delta{m}_1$ отличаются массы ракет, движущихся в вакууме и веществе к моменту окончания работы двигателей? Ответ выразите через $v_1$ и известные величины. ", "solution": {"text": "Поскольку $v/c=\tanh\theta$:$$\delta m(v)=\cfrac{\rho Sv^2}{2a(1-v^2/c^2)}{.}$$Таким образом:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\delta m_1=\cfrac{\rho Sv^2_1}{2a(1-v^2_1/c^2)}{.}$$"]}, "number_part": "E2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Получите зависимость $\delta{v}(\tau)$. Ответ выразите через $\tau$ и известные величины. ", "solution": {"text": "Уравнение движения ракеты в вакууме выглядит следующим образом::$$m_0a=-u\cfrac{dm_0}{d\tau}{.}$$Движение ракеты в веществе выглядит следующим образом:$$ma=\gamma^2\rho Sv(u-v)-u\cfrac{dm}{d\tau}{.}$$Перепишем последнее соотношение с учётом малости $\delta v/v_0$ и $\delta m/m_0$:$$a\delta m+m_0c\cfrac{d(\delta \theta)}{d\tau}=\gamma^2\rho Sv(u-v)-u\cfrac{d(\delta m)}{d\tau}{.}$$Подставляя $m_0$, $\delta m$ и $d(\delta m)/d\tau$, получим:$$\cfrac{\rho Sc^2\sinh^2\theta}{2}+\cfrac{Mae^{-\theta c/u}}{c}\cfrac{d(\delta \theta)}{d\theta}=-\gamma^2\rho Sv^2=-\rho Sc^2\sinh^2\theta{.}$$Таким образом:$$\cfrac{d(\delta \theta)}{d\theta}=-\cfrac{3\rho Sc^2e^{\theta c/u}\sinh^2\theta}{2Ma}{.}$$Таким образом:$$\delta \theta=-\cfrac{3\rho Sc^2}{2Ma}\int\limits_0^\theta\sinh^2\theta e^{\theta c/u}d\theta=-\cfrac{3\rho Sc^3}{8Ma}\int\limits_0^\theta\left(e^{\theta(2+c/u)}-2e^{\theta c/u}+e^{\theta(c/u-2)}\right)d\theta=$$$$=—\cfrac{3\rho Sc^2}{8Ma}\left(\cfrac{e^{\theta(2+c/u)}-1}{2+c/u}-2~\cfrac{e^{\theta c/u}-1}{c/u}+\cfrac{e^{\theta(c/u-2)}-1}{c/u-2}\right){.}$$При этом:$$\delta v=c\delta\tanh\theta=\cfrac{c\delta\theta}{\cosh^2\theta}{.}$$Таким образом:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\delta v(\tau)=-\cfrac{3\rho Sc^3}{8Ma\cosh^2(a\tau/c)}\left(\cfrac{e^{(2+c/u)a\tau/c}-1}{2+c/u}-2~\cfrac{e^{a\tau/u}-1}{c/u}+\cfrac{e^{(c/u-2)a\tau/c}-1}{c/u-2}\right){.}$$"]}, "number_part": "E3", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "На какую величину $\delta{v}_1$ отличаются скорости ракет, движущихся в вакууме и веществе к моменту окончания работы двигателей? Ответ выразите через $v_1$ и известные величины. ", "solution": {"text": "Выразим $e^\theta$ через скорость $v$:$$v/c=\tanh\theta=\cfrac{e^{2\theta}-1}{e^{2\theta}+1}\Rightarrow e^\theta=\sqrt{\cfrac{1+v/c}{1-v/c}}{.}$$Подставляя в выражение для $\delta v(\theta)$, получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\delta v_1=-\cfrac{\rho Sc^3(1-v^2_1/c^2)}{8Ma}\left(\cfrac{\left(\cfrac{1+v_1/c}{1-v_1/c}\right)^{1+c/(2u)}-1}{2+c/u}-2~\cfrac{\left(\cfrac{1+v_1/c}{1-v_1/c}\right)^{c/(2u)}-1}{c/u}+\cfrac{\left(\cfrac{1+v_1/c}{1-v_1/c}\right)^{c/(2u)-1}-1}{c/u-2}\right){.}$$"]}, "number_part": "E4", "exponent_part": "0,30"}]