text: {"text": [{"text": "На горизонтальной поверхности в точке $O$ удерживают шайбу массой $m$, связанную с двумя невесомыми резинками, продетыми через зафиксированные на этой поверхности гладкие колечки $B$ и $C$. Другие концы резинок закреплены в точках $A$ и $D$, при этом $AB=CD=L$, $BC=2L$, $BO=CO=L\sqrt{2}$ (см. рис.)Длины обеих резинок в свободном состоянии равны $L$, а коэффициенты жёсткости $k_{OBA}=k$, $k_{OCD}=3k$, где $k$ — известная величина. Коэффициент трения шайбы о поверхность равен $\mu$, а резинки не касаются поверхности. Ускорение свободного падения $g$. Шайбу отпускают. <img_0> Рис. 1"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите максимальную скорость $v_{max}$ шайбы в процессе дальнейшего движения."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Определите время $\tau$ от момента старта до момента, когда максимальная скорость достигается."}]}
answer: [{"condition": "Найдите максимальную скорость $v_{max}$ шайбы в процессе дальнейшего движения. ", "solution": {"text": "<img_1> <img_2> Задача свелась к исследованию движения по прямой в присутствии сухого трения. Длина отрезка $OF$ равна $l_0=\cfrac{L\sqrt{5}}{2}$, начальное значение силы упругости $F_0=2\sqrt{5}kL$. Если максимальная сила трения покоя превышает её, то есть $\mu mg\geq{2\sqrt{5}kL}$ - шайба не начнет движение, и её скорость останется равной $0$. В противном случае шайба придет в движение, для описания которого введем ось $x$ с началом в точке $F$, направленную к точке $O$. Уравнение движения шайбы от момента начала движения до момента первой остановки шайбы: $$ma_x=-4kx+\mu mg $$ заменой $x'=x-\frac{\mu mg}{4k}$ приводится к уравнению гармонических колебаний $$ma'_x=-4kx' $$ с нулевой начальной скоростью и начальным отклонением от «смещенного» положения равновесия $l_1=l_0-\cfrac{\mu mg}{4k}$. Тогда ясно, что максимальная скорость шайбы достигается при прохождении «смещенного» положения равновесия и определяется из закона сохранения энергии: $$\frac{mv^2_{max}}{2}=\frac{4kl^2_1}{2}\Rightarrow{v_{max}=2l_1\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{5k}{m}}L-\frac{\mu g}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}}{.} $$ После этого момента времени скорость шайбы будет уменьшаться вплоть до остановки, после которой нам снова нужно будет сравнивать силу упругости пружины с максимальной величиной силы трения (чтобы выяснить, начнется ли возвратное движение шайбы). Но в любом случае, поскольку механическая энергия системы убывает за счет работы силы трения, максимумы скорости на новых полупериодах движения будут меньше уже найденного."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_{max}=\begin{cases} {0}\quad\text{при}\quad\mu mg\geq{2\sqrt{5}kL}\\ \sqrt{\displaystyle\frac{5k}{m}}L-\displaystyle\frac{\mu g}{2}\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}\quad\text{при}\quad\mu mg<2\sqrt{5}kL \end{cases} $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите время $\tau$ от момента старта до момента, когда максимальная скорость достигается. ", "solution": {"text": "Как было показано при решении первого пункта, при $\mu mg<2\sqrt{5}kL$ максимальная скорость движения шайбы достигается в её положении равновесия, т.е через четверть периода колебаний $T=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m}{4k}}$ после старта. При $\mu mg\geq{2\sqrt{5}kL}$ - движение не начнётся."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\tau=\begin{cases} \text{Движение не начнётся при}\quad\mu mg\geq{2\sqrt{5}kL}\\ \displaystyle\frac{\pi}{4}\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}\quad\text{при}\quad\mu mg<2\sqrt{5}kL \end{cases} $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]