text: {"text": [{"text": "Сферический конденсатор с радиусами обкладок $R_{1}=R$ и $R_{3}=3 R$ подсоединен к источнику тока, который поддерживает на обкладках постоянное напряжение $U$ (см. рисунок). <img_0> Пространство между обкладками заполнено двумя слоями различных веществ с удельными сопротивлениями $\rho_{1}=\rho$ и $\rho_{2}=2 \rho$ и диэлектрическими проницаемостями $\varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=1$. Радиус сферической границы между слоями $R_{2}=2 R$. Удельная проводимость слоев между обкладками конденсатора намного меньше удельной проводимости материала обкладок."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите заряд на границе между слоями различных веществ."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите силу тока, протекающего через конденсатор."}]}
answer: [{"condition": "Найдите заряд на границе между слоями различных веществ. ", "solution": {"text": "Пусть заряд обкладок конденсатора $Q_{1}$ и $Q_{3}$, а заряд на границе слоев, заполняющих конденсатор, $Q_{2}$. Эти три физические величины нам предстоит найти. Для этого необходимо составить три уравнения (по числу неизвестных), содержащих эти величины. Запишем закон сохранения заряда: $$ Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}=0. \quad (1) $$ Выразим разность потенциалов между обкладками конденсатора через потенциалы на границе сферических поверхностей конденсатора: $$ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{Q_{1}}{R}+\frac{Q_{2}}{2 R}+\frac{Q_{3}}{3 R}\right)=U. \quad (2) $$ Плотности тока $j$ по обе стороны границы, разделяющей вещества с $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$, одинаковы: $$ j_{1}=j_{2}. \quad (3) $$ Плотность тока находим из закона Ома для участка цепи сферического слоя толщины $\Delta R$: $$ j=\frac{I}{S}=\frac{\Delta U}{S \Delta r}=\frac{E \Delta R}{S \frac{\rho \Delta R}{S}}=\frac{E}{\rho}, \quad (4) $$ где $S$ — площадь поверхности сферического слоя, $E$ — напряженность электрического поля, $\Delta r$ — сопротивление сферического слоя. С учетом $(4)$ выражение $(3)$ представим в виде $$ \frac{1}{\rho} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q_{1}}{(2 R)^{2}}=\frac{1}{2 \rho} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{Q_{1}}{(2 R)^{2}}+\frac{Q_{2}}{(2 R)^{2}}\right). \quad (5) $$ Отсюда получим $$ Q_{1}=Q_{2}. \quad (6) $$ Из $(1)$, $(2)$ и $(6)$ находим $$ Q_{2}=\frac{24}{5} \pi \varepsilon_{0} U R. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ Q_{2}=\frac{24}{5} \pi \varepsilon_{0} U R. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Найдите силу тока, протекающего через конденсатор. ", "solution": {"text": "Плотность тока вблизи обкладки радиуса $R$ равна $$ j=\frac{1}{\rho} \frac{Q_{1}}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{2}}=\frac{6}{5} \cdot \frac{U}{\rho R}. $$ Тогда сила тока, текущего через конденсатор, $$ I=j \cdot 4 \pi R^{2}=\frac{24 \pi}{5} \frac{U R}{\rho}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ I=\frac{24 \pi}{5} \frac{U R}{\rho}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]