text: {"text": [{"text": "На гладком горизонтальном столе лежит шар массы $m$. С шаром упруго сталкивается клин массы $M=m / 2$, движущийся углом вперед со скоростью $v=5~м/с$ (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите время, через которое шар опять столкнется с клином. Угол клина $\alpha=30^{\circ}$. Задачу решать в предположении, что импульс передается клину только в горизонтальном направлении."}]}
answer: [{"condition": "Определите время, через которое шар опять столкнется с клином. ", "solution": {"text": "Поскольку трения нет, то во время столкновения шара с клином на шар со стороны клина действует сила, перпендикулярная поверхности клина, т. е. шар приобретает скорость под углом $\alpha$ к вертикали (см. рисунок). <img_1> Найдем скорости шара $V$ и клина $v^{\prime}$ после столкновения, для чего запишем закон сохранения энергии и закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось $x$: $$ \frac{M v^{2}}{2}=\frac{m V^{2}}{2}+\frac{M v^{\prime 2}}{2}, \quad (1) \\ M v=m V \sin \alpha+M v^{\prime}. \quad (2) $$ Из $(2)$ находим $v^{\prime}=v-\frac{m}{M} V \sin \alpha$. Подставляя это выражение в $(1)$, получим $$ V=\frac{2 v \sin \alpha}{1+\frac{m}{M} \sin ^{2} \alpha}. $$ Зная скорость шара $V$, определим скорость клина $v^{\prime}$, используя ранее полученное выражение: $$ v^{\prime}=v\left(\frac{1-\frac{m}{M} \sin ^{2} \alpha}{1+\frac{m}{M} \sin ^{2} \alpha}\right). $$ Найдем составляющие $u_{x}$ и $u_{y}$ скорости шара относительно клина: $$ u_{y}=V_{y}=V \cos \alpha=\frac{2 v \sin \alpha \cos \alpha}{1+\frac{m}{M} \sin ^{2} \alpha}, \\ u_{x}=V_{x}-v^{\prime}=v \frac{\left(2+\frac{m}{M}\right) \sin ^{2} \alpha-1}{1+\frac{m}{M} \sin ^{2} \alpha}. $$ При $M=\frac{m}{2}$ и $\sin \alpha=\frac{1}{2}$ скорость $u_{x}=0$, т. е. шар относительно клина движется вертикально вверх. Искомое время $t_{0}=\frac{2 u_{y}}{g}$. Так как $u_{y}=\frac{v}{\sqrt{3}}$, тo $t_{0}=\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{v}{g} \approx 0.6~c$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ t_{0}=\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{v}{g} \approx 0.6~c. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]