text: {"text": [{"text": "Тело массой $m$ может совершать колебания с помощью легкой пружины жесткостью $k$ по горизонтальной поверхности пола вдоль направления оси пружины (см. рисунок). <img_0> Трения между телом и полом нет, но на тело во время движения действует сила сопротивления, пропорциональная его скорости: $\vec{F}_{с}=-\gamma \vec{v}$, где $\gamma > 0$. В случае недеформированной пружины телу сообщают скорость $v_{0}$, и на него начинает действовать сила, изменяющаяся со временем по гармоническому закону. Оказалось, что полная энергия установившихся колебаний в любой момент времени равна начальной энергии системы."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Считая известными $m$, $k$, $\gamma$, $v_{0}$, найдите циклическую частоту $\omega$ и максимальное значение $F_{0}$ вынуждающей гармонической силы."}]}
answer: [{"condition": "Считая известными $m$, $k$, $\gamma$, $v_{0}$, найдите циклическую частоту $\omega$ и максимальное значение $F_{0}$ вынуждающей гармонической силы. ", "solution": {"text": "Направим ось $O x$ вдоль оси пружины. Начало координат совместим с центром масс тела, соединенного с недеформированной пружиной. Пусть под действием вынуждающей силы $F(t)=F_{0} \cos (\omega t+\beta)$ тело совершает вынужденные колебания с частотой $\omega$ и амплитудой $A$. Тогда координата $x$, скорость и ускорение тела будут соответственно равны:\begin{array}{l}x=A \cos (\omega t+\alpha),\\v_{x}=-\omega A \sin (\omega t+\alpha), \\a_{x}=-\omega^{2} A \cos (\omega t+\alpha).\end{array}По условию,$$\frac{m v_{0}^{2}}{2}=\frac{m \omega^{2} A^{2}}{2} \sin ^{2}(\omega t+\alpha)+\frac{k A^{2}}{2} \cos ^{2}(\omega t+\alpha).$$Это равенство будет выполняться при любом $t$, если $m \omega^{2}=k$. Отсюда $\omega=\sqrt{k / m}$ и $A=v_{0} \sqrt{m / k}$. Подставим в уравнение второго закона Ньютона$$m a_{x}=-\gamma v_{x}-k x+F \cos (\omega t+\beta)$$записанные выше выражения для $x$, $v_{x}$, $a_{x}$, $\omega$ и $A$. После преобразований имеем:$$\gamma v_{0} \sin (\omega t+\alpha)=F_{0} \cos (\omega t+\beta).$$Если это равенство выполняется при любых $t$, то $\alpha$ и $\beta$ связаны соотношением $\alpha+\frac{\pi}{2}=\beta$, а искомая сила $F_{0}=\gamma v_{0}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \omega=\sqrt{k / m}. $$ $$ F_{0}=\gamma v_{0}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]