text: {"text": [{"text": "<img_0> На~рисунке показана система из~100 одинаковых квадратных проводящих пластин, размещённых параллельно друг другу. Сторона пластин $L$, расстояние между соседними пластинами $d$ (причём $d\ll L$, потому краевыми эффектами можно пренебречь). Пластины пронумерованы слева направо от~1~до~100. Изначально пластины заряжены, причём заряд на~$n$-ной пластине задаётся выражением $q_n=nq_1$, где $q_1 > 0$~— заряд на~первой пластине. В~некоторый момент времени первую и~сотую пластины заземляют."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите заряды $\Delta q_1$ и $\Delta q_{100}$, которые при этом перетекут с первой и сотой пластин в землю соответственно."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Найдите номер $n_{max}$, который имеет пластина с наибольшим потенциалом, и найдите его значение $U_{max}$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите заряды $\Delta q_1$ и $\Delta q_{100}$, которые при этом перетекут с первой и сотой пластин в землю соответственно. ", "solution": {"text": "Поскольку каждая пластина представляет собой проводник, и поле внутри него должно быть $=0$, то заряд на правой стороне $i$-той пластины должен быть равен по величине и противоположен по знаку заряду на левой стороне $i+1$-ой пластины. Более того, заряд на левой стороне первой пластины $=0$, как и заряд на правой стороне сотой пластины. Отсюда получаем систему уравнений:\[\begin{cases}Q_{1l}=0 & Q_{1r}=-Q_0 \\Q_{2l}=Q_0 & Q_{2r}=-Q_0+q_2 \\Q_{3l}=Q_0-q_2 & Q_{3r}=-Q_0+q_2+q_3 \\\vdots & \vdots \\Q_{nl}=Q_0-q_2-q_3-\ldots-q_{n-1} & Q_{nr}=-Q_0+q_2+q_3+\ldots+q_n \\\vdots & \vdots \\Q_{99l}=Q_0-q_2-q_3-\ldots-q_{98} & Q_{99r}=-Q_0+q_2+q_3+\ldots+q_{99} \\Q_{100l}=Q_0-q_2-q_3-\ldots-q_{99} & Q_{100r}=0\end{cases}\]Здесь $Q_0$ — некоторый заряд, который ещё предстоит найти. Ёмкость конденсатора, образованного двумя соседними пластинами, равна $C=L^2/4\pi kd$. Если обозначить потенциал $i$-той пластины как $U_i$, получим систему:\[\begin{cases}U_2-U_1=Q_{2l}/C \\U_3-U_2=Q_{3l}/C \\\vdots \\U_n-U_{n-1}=Q_{nl}/C \\\end{cases}\]Отсюда «очевидно, что»\[CU_n=Q_{2l}+Q_{3l}+\ldots+Q_{nl}=(n-1)Q_0-(n-2)q_2-(n-3)q_3-\ldots-[n-(n-1)]q_{n-1}=\]\[=(n-1)Q_0-\left[\frac{n(n+1)(n-2)}2-\frac{(n-1)n(2n-1)}6+1\right]q_1.\]Поскольку $U_{100}=0$, получим $Q_0=5047q_1/3$. Таким образом,\[\Delta q_1=q_1-(Q_{1l}+Q_{1r})=q_1+Q_0=5050q_1/3,\\\Delta q_{100}=q_{100}-(Q_{100l}+Q_{100r})=q_{100}-(Q_0-q_2-q_3-\ldots-q_{99})=10100q_1/3.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\Delta q_1=\frac{5050q_1}{3},\qquad\Delta q_{100}=\frac{10100q_1}{3}\]"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите номер $n_{max}$, который имеет пластина с наибольшим потенциалом, и найдите его значение $U_{max}$. ", "solution": {"text": "Пластина, на которой достигается максимум потенциала, должна иметь положительный заряд на обеих сторонах, т.е. нам нужно решить систему:\[\begin{cases}Q_{nl} > 0\\Q_{nr} > 0\end{cases}\implies\begin{cases}Q_0-q_2-q_3-\ldots-q_{n-1} > 0\\-Q_0+q_2+q_3+\ldots+q_n > 0\end{cases}\implies\begin{cases}2047q_1/3-\frac12(n+1)(n-2)q_1 > 0\\-2047q_1/3+\frac12(n+2)(n-1)q_1 > 0\end{cases}\]\[\implies57.5 < n < 58.5\implies \] Подставим явное выражение для ёмкости $C$, чтобы найти её потенциал:\[U_\text{max}=U_{58}=\frac{4\pi kd}{L^2}\left[57Q_0-(58\cdot59\cdot56/2-57\cdot58\cdot115/6)q_1 \right]\implies\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[n_\text{max}=58\]  Подставим явное выражение для ёмкости $C$, чтобы найти её потенциал:\[U_\text{max}=U_{58}=\frac{4\pi kd}{L^2}\left[57Q_0-(58\cdot59\cdot56/2-57\cdot58\cdot115/6)q_1 \right]\implies\]", "Ответ: \[U_{max}=63441\frac{4\pi kdq_1}{L^2}.\]"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]