text: {"text": [{"text": "На гладкой горизонтальной поверхности лежит «двойная гантель»~— система, состоящая из двух лёгких стержней длины $L$, соединённых шарниром массы $2m$. На свободных концах стержней закреплены грузы массы $m$.В этой задаче исследуется движение данной системы при разных условиях."}, {"text": "Часть A. Движение на поверхности (2.0 балла) В начальный момент грузы и шарнир лежат на одной прямой. В некоторой момент один из стержней начинают вращать с постоянной угловой скоростью $\omega$, причём груз на его конце всё время неподвижен. В этой части задачи необходимо найти угловую скорость вращения второго стержня в разные моменты движения. Считайте известным, что угловая скорость - векторная величина,направленная перпендикулярно плоскости движения( для первого стержня она сонаправлена с осью $OZ$ и равна $\vec\omega$).Также считайте известным закон сложения угловых скоростей $$\vec\omega=\vec\omega_{отн}+\vec\omega_{пер} $$ где $\vec\omega_{пер}$ - угловая скорость вращающейся системы отсчёта, $\vec\omega_{отн}$ - угловая скорость движения относительно вращающейся системы отсчёта."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите вектор угловой скорости второго стержня в начальный момент времени. Ответ выразите через $\vec\omega$. Перейдём во вращающуюся систему отсчёта, связанную с первым стержнем. Во вращающейся системе отсчёта на груз второго стержня в плоскости движения помимо силы его натяжения действуют центробежная и Кориолисова силы. Влияние Кориолисовой силы в данной задаче учитывать не нужно,поскольку она перпендикулярна скорости груза и не меняет его кинетическую энергию.Напомним выражение для центробежной силы $$\vec{F_{цб}}=m{\omega}^2\vec{r} $$ где $\vec{r}$ - радиус-вектор груза во вращающейся системы отсчёта, проведённый из начала координат."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,20"}, "text": "В начальный момент времени найдите вектор угловой скорости $\vec\omega_{отн_0}$второго стержня в системе отсчёта, связанной с первым стержнем. Ответ выразите через $\vec\omega$"}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите потенциальную энергию груза в поле центробежной силы на расстоянии $r$ от оси вращения с точностью до произвольной постоянной. Ответ выразите через $m$, $\omega$, $r$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,50"}, "text": "Пусть второй стержень повернулся на угол $\varphi$ относительно первого. Найдите его угловую скорость $\omega_{отн}$ в данном положении. Ответ выразите через $\omega$ и $\varphi$. Теперь вам предстоит скорость груза в неподвижной системе отсчёта. Используйте закон сложения скоростей для вращающихся систем отсчёта."}, {"text": "Часть B. Движение в вертикальной плоскости(4.2 балла) В этой части задачи в начальный момент времени грузы и шарнир находятся на одной прямой и шарниру сообщается скорость $v_0$, направленная вертикально вверх. Вам предлагается исследовать дальнейшее движение такой системы. Пусть в некоторый момент времени стержни образуют угол $\varphi$ с горизонтом. Ось $OX$ направлена горизонтально, а ось $OY$ - вертикально вверх. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите скорость груза в неподвижной системе отсчёта. Ответ выразите через $\omega$, $L$, $\varphi$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,40"}, "text": "Обозначим силу натяжения стержней за $T$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ Найдите ускорения грузов $a_{1л}$,$a_{1п}$ в проекции на ось $OX$ и ускорение шарнира $a_2$ в проекции на ось $OY$.Ответы выразите через $m$.$g$.$T$ и $\varphi$. $$ $$ Найдите ускорения грузов $a_{1л}$,$a_{1п}$ в проекции на ось $OX$ и ускорение шарнира $a_2$ в проекции на ось $OY$.Ответы выразите через $m$.$g$.$T$ и $\varphi$. $$ $$ Найдите ускорения грузов $a_{1л}$,$a_{1п}$ в проекции на ось $OX$ и ускорение шарнира $a_2$ в проекции на ось $OY$.Ответы выразите через $m$.$g$.$T$ и $\varphi$. $$ $$ Найдите ускорения грузов $a_{1л}$,$a_{1п}$ в проекции на ось $OX$ и ускорение шарнира $a_2$ в проекции на ось $OY$.Ответы выразите через $m$.$g$.$T$ и $\varphi$. $$ $$ Найдите ускорения грузов $a_{1л}$,$a_{1п}$ в проекции на ось $OX$ и ускорение шарнира $a_2$ в проекции на ось $OY$.Ответы выразите через $m$.$g$.$T$ и $\varphi$. $$ $$ Найдите ускорения грузов $a_{1л}$,$a_{1п}$ в проекции на ось $OX$ и ускорение шарнира $a_2$ в проекции на ось $OY$.Ответы выразите через $m$.$g$.$T$ и $\varphi$. $$ $$ Найдите ускорения грузов $a_{1л}$,$a_{1п}$ в проекции на ось $OX$ и ускорение шарнира $a_2$ в проекции на ось $OY$.Ответы выразите через $m$.$g$.$T$ и $\varphi$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,60"}, "text": "В указанном положении найдите скорости грузов $v_1$ и скорость шарнира $v_2$."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "1,00"}, "text": "Запишите уравнение движения шарнира относительно любого из грузов,связывающее $v_1$,$v_2$,$a_1$,$a_2$,$L$ и $\varphi$"}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "0,70"}, "text": "Найдите силу натяжения $T$ из уравнения,полученного в пункте $B3$.Ответ выразите через $m,{v_0},g,L,{\varphi}$"}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "1,00"}, "text": "Предположим, что в некоторый момент грузы отрываются от поверхности. $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ Найдите значение угла $\varphi_{отр}$ в этот момент времени. $$ $$ Найдите значение угла $\varphi_{отр}$ в этот момент времени. $$ $$ Найдите значение угла $\varphi_{отр}$ в этот момент времени. $$ $$ Найдите значение угла $\varphi_{отр}$ в этот момент времени. $$ $$ Найдите значение угла $\varphi_{отр}$ в этот момент времени. $$ $$ Найдите значение угла $\varphi_{отр}$ в этот момент времени. $$ $$ Найдите значение угла $\varphi_{отр}$ в этот момент времени."}, {"text": "Часть C.Грузы в лёгких упругих оболочках(3.8 балла) Данная часть задачи является фактическим продолжением предыдущей.Отличие состоит в том, что теперь грузы находятся в центрах лёгких упругих оболочек радиуса $R<{L}$.Предполагается, что скорость $v_0$ шарнира достаточна для того, чтобы в части $B$ грузы оторвались от поверхности.Обозначим за ${\varphi_0}$ угол стержней с горизонтом в момент касания оболочек. <img_1>"}, {"balls": {"number": "B6", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите минимальное значение $v_0$, при котором грузы оторвутся от поверхности и значение угла $\varphi' $ в момент отрыва"}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,20"}, "text": "При каких значениях $R$ столкновение оболочек происходит раньше их отрыва от поверхности под действием стержней? Ответ выразите через $L$,$\varphi_{отр}$, В дальнейшем считайте, что условие на $R$, полученное в предыдущем пункте выполняется."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "1,00"}, "text": "Пусть сразу после столкновения проекции скорости груза на оси $OX$ и $OY$ равны $v_{1x}$ и $v_{1y}$ соответственно. $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ Выразите проекцию скорости шарнира на вертикальную ось $v_{2y}$ через $v_{1x}$,$v_{1y}$ и ${\varphi_0}$. $$ $$ Выразите проекцию скорости шарнира на вертикальную ось $v_{2y}$ через $v_{1x}$,$v_{1y}$ и ${\varphi_0}$. $$ $$ Выразите проекцию скорости шарнира на вертикальную ось $v_{2y}$ через $v_{1x}$,$v_{1y}$ и ${\varphi_0}$. $$ $$ Выразите проекцию скорости шарнира на вертикальную ось $v_{2y}$ через $v_{1x}$,$v_{1y}$ и ${\varphi_0}$. $$ $$ Выразите проекцию скорости шарнира на вертикальную ось $v_{2y}$ через $v_{1x}$,$v_{1y}$ и ${\varphi_0}$. $$ $$ Выразите проекцию скорости шарнира на вертикальную ось $v_{2y}$ через $v_{1x}$,$v_{1y}$ и ${\varphi_0}$. $$ $$ Выразите проекцию скорости шарнира на вертикальную ось $v_{2y}$ через $v_{1x}$,$v_{1y}$ и ${\varphi_0}$."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "1,30"}, "text": "Найдите скорость шарнира $v_2$ сразу после соударения. Ответ выразите через ${v_0},g,{L},R$"}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "1,30"}, "text": "Найдите модуль скоростей грузов $v_1$ сразу после соударения.Ответ выразите через ${v_0},g,{L},R$"}]}
answer: [{"condition": "Найдите вектор угловой скорости второго стержня в начальный момент времени. Ответ выразите через $\vec\omega$. ", "solution": {"text": "В момент начала вращения шарик на конце второго стержня неподвижен. Поэтому стержни начинают вращаться в противоположных направлениях. Поскольку шарики покоятся и длины стержней одинаковы $$\vec{\omega}_2=-\vec{\omega}_1 $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "В начальный момент времени найдите вектор угловой скорости $\vec\omega_{отн_0}$второго стержня в системе отсчёта, связанной с первым стержнем. Ответ выразите через $\vec\omega$ ", "solution": {"text": "Из закона сложения угловых скоростей $$\vec{\omega}_{отн}=\vec{\omega}_2-\vec{\omega}_1 $$ Комбинируя равенство с результатом пункта $A1$ $$\vec{\omega}_{отн}=-2\vec{\omega} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите потенциальную энергию груза в поле центробежной силы на расстоянии $r$ от оси вращения с точностью до произвольной постоянной. Ответ выразите через $m$, $\omega$, $r$. ", "solution": {"text": "Потенциальная энергия может быть получена как потенциальная энергия пружины с коэффициентом жёсткости $-m{\omega}^2$. Отсюда $$W_p=-\frac{m{\omega}^2r^2}{2}+C $$ В дальнейшем константу будем считать равной нулю."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Пусть второй стержень повернулся на угол $\varphi$ относительно первого. Найдите его угловую скорость $\omega_{отн}$ в данном положении. Ответ выразите через $\omega$ и $\varphi$. ", "solution": {"text": "Как и говорилось ранее, сила Кориолиса не меняет кинетическую энергию системы. Тогда в системе выполняется закон сохранения механической энергии $$W_k+W_p=E $$ В начальный момент времени $$2m{\omega}^2L^2=W_k $$ $$-2m{\omega}^2L^2=W_p $$ Таким образом $$E=0 $$ В произвольный момент времени $$W_k=\frac{m{\omega_{отн}}^2L^2}{2} $$ $$W_p=-2m{\omega}^2L^2\cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right) $$ Откуда $$\vec{\omega}_{отн}=-2\vec{\omega}\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите скорость груза в неподвижной системе отсчёта. Ответ выразите через $\omega$, $L$, $\varphi$. ", "solution": {"text": "Одна составляющая скорости будет направлена вдоль второго стержню, а другая - перпендикулярно ему. Получим $$v_1={\omega}L\sin(\varphi) $$ $$v_2={\omega}L(1+\cos(\varphi))-{\omega_{отн}}L $$ Для квадрата скорости получим $$v^2={v_1}^2+{v_2}^2=(2\omega{L})^2\left(\left(\cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)-\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)^2+\sin^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right) $$ Откуда после простых преобразований $$v=2{\omega}L\sqrt{2\left(\cos^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)-\cos^3\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right)} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A5", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Обозначим силу натяжения стержней за $T$  $$  $$  Найдите ускорения грузов $a_{1л}$,$a_{1п}$ в проекции на ось $OX$ и ускорение шарнира $a_2$ в проекции на ось $OY$.Ответы выразите через $m$.$g$.$T$ и $\varphi$. ", "solution": {"text": "$$a_{1лx}=\frac{T\cos(\varphi)}{m} $$ $$a_{1пx}=-\frac{T\cos(\varphi)}{m} $$ $$a_{2y}=-\left(\frac{T\sin(\varphi)}{m}+g\right) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "В указанном положении найдите скорости грузов $v_1$ и скорость шарнира $v_2$. ", "solution": {"text": "Из закона сохранения механической энергии $$\frac{2m}{2}({v_1}^2+{v_2}^2)=2m\left(\frac{{v_0}^2}{2}-gL\sin(\varphi)\right) $$ Уравнение кинематической связи $${v_1}={v_2}\tan(\varphi) $$ Откуда $$v_1=\sqrt{{v_0}^2-2gL\sin(\varphi)}\sin(\varphi) $$ $$v_2=\sqrt{{v_0}^2-2gL\sin(\varphi)}\cos(\varphi) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Запишите уравнение движения шарнира относительно любого из грузов,связывающее $v_1$,$v_2$,$a_1$,$a_2$,$L$ и $\varphi$ ", "solution": {"text": "Относительно грузов шарнир движется по окружности. Отсюда $$\frac{v^2_{отн}}{L}={a_{1лx}}\cos(\varphi)-{a_{2y}}\sin(\varphi) $$ Поскольку скорости шарнира и грузов перпендикулярны $$v^2_{отн}={v_1}^2+{v_2}^2 $$ и окончательно $$\frac{{v_1}^2+{v_2}^2}{L}={a_{1лx}}\cos(\varphi)-{a_{2y}}\sin(\varphi) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите силу натяжения $T$ из уравнения,полученного в пункте $B3$.Ответ выразите через $m,{v_0},g,L,{\varphi}$ ", "solution": {"text": "Комбинируя результаты первых трёх пунктов $$\left(\frac{{v_0}^2}{L}-2g\sin(\varphi)\right)=\frac{T}{m}+g\sin(\varphi) $$ откуда $$T=m\left(\frac{{v_0}^2}{L}-3g\sin(\varphi)\right) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B4", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Предположим, что в некоторый момент грузы отрываются от поверхности.  $$  $$  Найдите значение угла $\varphi_{отр}$ в этот момент времени. ", "solution": {"text": "Условие, при котором грузы отрываются от поверхности $$T\sin(\varphi)=mg $$ Подставляя ответ на пункт $B4$ $$m\left(\frac{{v_0}^2}{L}-3g\sin(\varphi)\right)\sin(\varphi)=mg $$ откуда $$3\sin^2(\varphi)-\frac{{v_0}^2}{gL}\sin(\varphi)+1=0 $$ Найдём корни квадратного уравнения $$\sin(\varphi)=\frac{\frac{{v_0}^2}{gL}\pm\sqrt{\left(\frac{{v_0}^2}{gL}\right)^2-12}}{6} $$ Первым достигается меньший корень, а потому окончательный ответ $$\sin(\varphi)=\frac{\frac{{v_0}^2}{gL}-\sqrt{\left(\frac{{v_0}^2}{gL}\right)^2-12}}{6} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B5", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите минимальное значение $v_0$, при котором грузы оторвутся от поверхности и значение угла $\varphi' $ в момент отрыва ", "solution": {"text": "Дискриминант квадратного уравнения должен быть неотрицателен, откуда $$v_0\geq{\sqrt{2\sqrt{3}gL}} $$ Минимум достигается в случае нулевого дискриминанта, поэтому $$sin(\varphi_{max})=\frac{1}{\sqrt{3}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B6", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "При каких значениях $R$ столкновение оболочек происходит раньше их отрыва от поверхности под действием стержней? Ответ выразите через $L$,$\varphi_{отр}$, ", "solution": {"text": "Условие, при котором столкновение произойдёт раньше отрыва $$R\geq{L}\cos(\varphi) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Пусть сразу после столкновения проекции скорости груза на оси $OX$ и $OY$ равны $v_{1x}$ и $v_{1y}$ соответственно.  $$  $$  Выразите проекцию скорости шарнира на вертикальную ось $v_{2y}$ через $v_{1x}$,$v_{1y}$ и ${\varphi_0}$. ", "solution": {"text": "Груз движется по окружности относительно шарнира, поэтому $$\pm{v_{1x}}=(v_{1y}-v_{2y})\tan(\varphi_0) $$ $$v_{2y}=v_{1y}\pm{\frac{v_{1x}}{\tan(\varphi_0)}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите скорость шарнира $v_2$ сразу после соударения. Ответ выразите через ${v_0},g,{L},R$ ", "solution": {"text": "Решим задачу в системе отсчёта центра масс. Пусть $v_x$ и $v_y$ - модуль относительной скорости грузов и модуль скорости груза относительно шарнира по вертикали соответственно. Тогда выражение для кинетической энергии в системе отсчёта центра масс следующее $$\frac{m{v_x}^2}{4}+\frac{m{v_y}^2}{2}=W_k $$ После соударения это также выполняется. $$ $$ Из уравнения кинематической связи $$\frac{v_x}{v_y}=tg(\varphi_0) $$ Сразу после соударения это соотношение также выполняется. Поэтому, из закона сохранения энергии следует, что после соударения модули относительных скоростей остаются постоянными. Это говорит о том, что грузы обмениваются друг с другом горизонтальными составляющими скоростей, а шарнир обменивается с ними вертикальными составляющими скоростей. Таким образом, при соударении шарнир останавливается. $$v_{2}=0 $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C3", "exponent_part": "1,30"}, {"condition": "Найдите модуль скоростей грузов $v_1$ сразу после соударения.Ответ выразите через ${v_0},g,{L},R$ ", "solution": {"text": "Вся кинетическая энергия переходит к грузам. Из закона сохранения энергии получаем ответ $$v_{1}=\sqrt{{v_0}^2-2g\sqrt{L^2-R^2}} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C4", "exponent_part": "1,30"}]