text: {"text": [{"text": "Твердые тела (например металлы) представляют собой кристаллическую решетку из положительно заряженных ионов, между которыми движутся электроны. Электроны взаимодействуют с кристаллической решеткой и друг другом, поэтому для точного описания свойств твердого тела нужно решать крайне сложную многочастичную задачу. Однако в некоторых случаях оказывается, что все влияние взаимодействия сводится к тому, что вместо электронов в кристалле распространяются слабо взаимодействующие друг с другом частицы, уравнения движения которых существенно отличаются от уравнений для свободных электронов. Такие практически не взаимодействующие друг с другом частицы называют квазичастицами. Для простоты их обычно тоже называют электронами. Свойства квазичастиц определяются параметрами кристаллической решетки и величиной взаимодействия электронов и ионов. Для электрона (квазичастицы) зависимость энергии от импульса $\varepsilon(\vec{p})$ может иметь очень сложный вид. Тогда связь скорости и импульса задается соотношениями $$ v_x = \frac{\partial \varepsilon}{\partial p_x}, \quad v_y = \frac{\partial \varepsilon}{\partial p_y}, \quad v_z = \frac{\partial \varepsilon}{\partial p_z}. $$ Скорость понимается в обычном смысле — как производная соответствующей координаты по времени. Выражение для силы, действующей на электрон во внешних электрических и магнитных полях такое же, как и в случае движения в вакууме и уравнения движения имеют вид $$ \frac{d\vec{p}}{dt} =\vec{F}. $$ Заряд электрона равен $-q$, $q > 0$. В этой задаче вам предстоит рассмотреть некоторые случаи движения квазичастиц (электронов) с заданной зависимостью $\varepsilon(\vec{p})$. В части C вы сможете изучить еще один тип квазичастиц — фононы, представляющие собой колебания кристаллической решетки."}, {"text": "Часть A. Блоховские осцилляции (2 балла)"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,70"}, "text": "Пусть зависимость энергии электрона от импульса имеет вид $$\varepsilon(p) = \varepsilon_0 (3 - \cos(ap_x) - \cos( ap_y) - \cos (ap_z)).$$ $$\varepsilon(p) = \varepsilon_0 (3 - \cos(ap_x) - \cos( ap_y) - \cos (ap_z)).$$ $$\varepsilon(p) = \varepsilon_0 (3 - \cos(ap_x) - \cos( ap_y) - \cos (ap_z)).$$ Найдите его ускорение в момент времени, когда импульс равен $p_x = \dfrac{\pi}{2 a}$, $p_y = \dfrac{\pi}{3 a}$, $p_z = 0$, а компоненты действующей на электрон силы $F_x$, $F_y$, $F_z$. $$\varepsilon(p) = \varepsilon_0 (3 - \cos(ap_x) - \cos( ap_y) - \cos (ap_z)).$$ Найдите его ускорение в момент времени, когда импульс равен $p_x = \dfrac{\pi}{2 a}$, $p_y = \dfrac{\pi}{3 a}$, $p_z = 0$, а компоненты действующей на электрон силы $F_x$, $F_y$, $F_z$. $$\varepsilon(p) = \varepsilon_0 (3 - \cos(ap_x) - \cos( ap_y) - \cos (ap_z)).$$ Найдите его ускорение в момент времени, когда импульс равен $p_x = \dfrac{\pi}{2 a}$, $p_y = \dfrac{\pi}{3 a}$, $p_z = 0$, а компоненты действующей на электрон силы $F_x$, $F_y$, $F_z$. $$\varepsilon(p) = \varepsilon_0 (3 - \cos(ap_x) - \cos( ap_y) - \cos (ap_z)).$$ Найдите его ускорение в момент времени, когда импульс равен $p_x = \dfrac{\pi}{2 a}$, $p_y = \dfrac{\pi}{3 a}$, $p_z = 0$, а компоненты действующей на электрон силы $F_x$, $F_y$, $F_z$. $$\varepsilon(p) = \varepsilon_0 (3 - \cos(ap_x) - \cos( ap_y) - \cos (ap_z)).$$ Найдите его ускорение в момент времени, когда импульс равен $p_x = \dfrac{\pi}{2 a}$, $p_y = \dfrac{\pi}{3 a}$, $p_z = 0$, а компоненты действующей на электрон силы $F_x$, $F_y$, $F_z$. $$\varepsilon(p) = \varepsilon_0 (3 - \cos(ap_x) - \cos( ap_y) - \cos (ap_z)).$$ Найдите его ускорение в момент времени, когда импульс равен $p_x = \dfrac{\pi}{2 a}$, $p_y = \dfrac{\pi}{3 a}$, $p_z = 0$, а компоненты действующей на электрон силы $F_x$, $F_y$, $F_z$. $$\varepsilon(p) = \varepsilon_0 (3 - \cos(ap_x) - \cos( ap_y) - \cos (ap_z)).$$ Найдите его ускорение в момент времени, когда импульс равен $p_x = \dfrac{\pi}{2 a}$, $p_y = \dfrac{\pi}{3 a}$, $p_z = 0$, а компоненты действующей на электрон силы $F_x$, $F_y$, $F_z$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,80"}, "text": "Пусть электрон с $\varepsilon(\vec{p})$ из движется в постоянном электрическом поле величины $E$, направленном вдоль оси $x$. Начальные координаты и проекции импульса равны нулю. Заряд электрона $-q$. Найдите его закон движения $x(t)$. движется в постоянном электрическом поле величины $E$, направленном вдоль оси $x$. Начальные координаты и проекции импульса равны нулю. Заряд электрона $-q$. Найдите его закон движения $x(t)$. движется в постоянном электрическом поле величины $E$, направленном вдоль оси $x$. Начальные координаты и проекции импульса равны нулю. Заряд электрона $-q$. Найдите его закон движения $x(t)$. движется в постоянном электрическом поле величины $E$, направленном вдоль оси $x$. Начальные координаты и проекции импульса равны нулю. Заряд электрона $-q$. Найдите его закон движения $x(t)$. движется в постоянном электрическом поле величины $E$, направленном вдоль оси $x$. Начальные координаты и проекции импульса равны нулю. Заряд электрона $-q$. Найдите его закон движения $x(t)$. движется в постоянном электрическом поле величины $E$, направленном вдоль оси $x$. Начальные координаты и проекции импульса равны нулю. Заряд электрона $-q$. Найдите его закон движения $x(t)$. движется в постоянном электрическом поле величины $E$, направленном вдоль оси $x$. Начальные координаты и проекции импульса равны нулю. Заряд электрона $-q$. Найдите его закон движения $x(t)$."}, {"text": "Часть B. Движение в магнитном поле (4 балла) В этой части будем рассматривать движение электрона в постоянном магнитном поле $\vec{B}$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,50"}, "text": "Концентрация свободных электронов в некотором веществе равна $n$, зависимость $\varepsilon(p)$ как в . В начальный момент времени включается постоянное электрическое поле $E$, направленное вдоль оси $x$. Найдите зависимость плотности тока $j$ от времени. . В начальный момент времени включается постоянное электрическое поле $E$, направленное вдоль оси $x$. Найдите зависимость плотности тока $j$ от времени. . В начальный момент времени включается постоянное электрическое поле $E$, направленное вдоль оси $x$. Найдите зависимость плотности тока $j$ от времени. . В начальный момент времени включается постоянное электрическое поле $E$, направленное вдоль оси $x$. Найдите зависимость плотности тока $j$ от времени. . В начальный момент времени включается постоянное электрическое поле $E$, направленное вдоль оси $x$. Найдите зависимость плотности тока $j$ от времени. . В начальный момент времени включается постоянное электрическое поле $E$, направленное вдоль оси $x$. Найдите зависимость плотности тока $j$ от времени. . В начальный момент времени включается постоянное электрическое поле $E$, направленное вдоль оси $x$. Найдите зависимость плотности тока $j$ от времени."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,50"}, "text": "Пусть зависимость энергии от импульса $\varepsilon(\vec{p})$ произвольна. Докажите, что энергия $\varepsilon$ и проекция импульса на направление магнитного поля сохраняются. Дальше будем считать, что магнитное поле величины $B$ направлено вдоль оси $z$, а движение электрона происходит в плоскости $xy$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "1,10"}, "text": "Пусть зависимость энергии от импульса имеет вид $$\varepsilon = \frac{p_x^2}{2 m_x} + \frac{p_y^2}{2 m_y} .$$ $$\varepsilon = \frac{p_x^2}{2 m_x} + \frac{p_y^2}{2 m_y} .$$ $$\varepsilon = \frac{p_x^2}{2 m_x} + \frac{p_y^2}{2 m_y} .$$ Энергия электрона равна $\varepsilon$. Найдите частоту движения $\omega$. Изобразите траекторию движения частицы на плоскости $xy$, укажите характерные размеры и направление движения. Начало координат поместите в центре симметрии траектории. $$\varepsilon = \frac{p_x^2}{2 m_x} + \frac{p_y^2}{2 m_y} .$$ Энергия электрона равна $\varepsilon$. Найдите частоту движения $\omega$. Изобразите траекторию движения частицы на плоскости $xy$, укажите характерные размеры и направление движения. Начало координат поместите в центре симметрии траектории. $$\varepsilon = \frac{p_x^2}{2 m_x} + \frac{p_y^2}{2 m_y} .$$ Энергия электрона равна $\varepsilon$. Найдите частоту движения $\omega$. Изобразите траекторию движения частицы на плоскости $xy$, укажите характерные размеры и направление движения. Начало координат поместите в центре симметрии траектории. $$\varepsilon = \frac{p_x^2}{2 m_x} + \frac{p_y^2}{2 m_y} .$$ Энергия электрона равна $\varepsilon$. Найдите частоту движения $\omega$. Изобразите траекторию движения частицы на плоскости $xy$, укажите характерные размеры и направление движения. Начало координат поместите в центре симметрии траектории. $$\varepsilon = \frac{p_x^2}{2 m_x} + \frac{p_y^2}{2 m_y} .$$ Энергия электрона равна $\varepsilon$. Найдите частоту движения $\omega$. Изобразите траекторию движения частицы на плоскости $xy$, укажите характерные размеры и направление движения. Начало координат поместите в центре симметрии траектории. $$\varepsilon = \frac{p_x^2}{2 m_x} + \frac{p_y^2}{2 m_y} .$$ Энергия электрона равна $\varepsilon$. Найдите частоту движения $\omega$. Изобразите траекторию движения частицы на плоскости $xy$, укажите характерные размеры и направление движения. Начало координат поместите в центре симметрии траектории. $$\varepsilon = \frac{p_x^2}{2 m_x} + \frac{p_y^2}{2 m_y} .$$ Энергия электрона равна $\varepsilon$. Найдите частоту движения $\omega$. Изобразите траекторию движения частицы на плоскости $xy$, укажите характерные размеры и направление движения. Начало координат поместите в центре симметрии траектории. Пусть теперь в дополнение к магнитному полю на электрон из действует электрическое поле $E$, направленное вдоль оси $x$. Начальные значения координаты и импульса электрона равны нулю."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,60"}, "text": "Найдите годограф вектора импульса электрона (траекторию, по которой движется конец вектора импульса, если его откладывать от одной точки). Изобразите его на плоскости $p_x$, $p_y$. Укажите характерные размеры."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите закон движения $x(t)$, $y(t)$. Электрическое поле снова равно нулю. Зависимость энергии электрона от импульса имеет вид $$\varepsilon = \varepsilon_0(1 - \cos (ap_x)) + \frac{p_y^2}{2 m_y}.$$"}, {"text": "Часть C. Распад фонона (4 балла) Другой тип квазичастиц, встречающихся в физике твердого тела — фононы, которые представляют собой колебания кристаллической решетки. По своим свойствам они похожи на фотоны, однако из-за особенностей решетки зависимость энергии от импульса нелинейна. Пусть зависимость энергии от импульса для фонона имеет вид $$\varepsilon(p) = u p + \alpha p^3.$$ Здесь $u$ — скорость звука в кристалле, постоянная $\alpha$ задает величину дисперсии. В этой части будем считать, что второе слагаемое много меньше первого, $\alpha p^3 \ll up$. В отличие от фотона, фонон при определенных условиях может распасться на два фонона. Исследуем этот процесс. Пусть импульс исходного фонона равен $p$, и он распадается на два фонона с импульсами $q_1$ и $q_2$, которые движутся под углами $\theta_1$, $\theta_2$ с направлением движения исходного фонона. <img_0>"}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "1,40"}, "text": "Если энергия больше минимального значения, траектории на плоскости становятся незамкнутыми, и частица может неограниченно далеко некотором направлении. Найдите эту минимальную энергию $\varepsilon_{min}$. При энергии $\varepsilon > \varepsilon_{min}$ изобразите траекторию, укажите характерные геометрические размеры. Наличие незамкнутых электронных орбит существенно меняет свойства материала. В частности, такие орбиты определяют поведение сопротивления в сильных магнитных полях."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,50"}, "text": "Сначала пренебрежем дисперсией и рассмотрим случай $\alpha = 0$. При каких углах $\theta_1$, $\theta_2$ возможен распад? Далее будем рассматривать случай $\alpha \ne 0$. Оказывается, что в случае малого импульса исходного фонона $p$, углы $\theta_1$, $\theta_2$ также малы."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите модуль импульса второго фонона $q_2$ через $p$, $q_1$, $\theta_1$. Получите выражение выражение в пределе малых $\theta_1$ с точностью до второго порядка по $\theta_1$."}, {"balls": {"number": "С3", "exponent": "1,20"}, "text": "Зависимость импульса излучаемого фонона от угла при малых углах имеет вид $$q_1(\theta_1) = A + B \theta_1.$$ Определите постоянные $A$, $B$. Выразите их через $p$, $u$, $\alpha$. Определите постоянные $A$, $B$. Выразите их через $p$, $u$, $\alpha$. Определите постоянные $A$, $B$. Выразите их через $p$, $u$, $\alpha$. Определите постоянные $A$, $B$. Выразите их через $p$, $u$, $\alpha$. Определите постоянные $A$, $B$. Выразите их через $p$, $u$, $\alpha$. Определите постоянные $A$, $B$. Выразите их через $p$, $u$, $\alpha$. Определите постоянные $A$, $B$. Выразите их через $p$, $u$, $\alpha$."}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "0,30"}, "text": "При каком знаке постоянной $\alpha$ распад возможен?"}, {"balls": {"number": "C5", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите максимальный угол $\theta_{max}$, под которым может излучаться фонон. При каком условии на $p$ импульс фонона можно считать малым?"}, {"balls": {"number": "C6", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите угол $\theta_2$, под которым излучается второй фонон, через $\theta_1$, $p$, $u$, $\alpha$. Считайте углы малыми, учитывайте вклады первого порядка по $\theta_1$, $\theta_2$."}]}
answer: [{"condition": "Пусть зависимость энергии электрона  от импульса имеет вид  $$\varepsilon(p) = \varepsilon_0 (3 - \cos(ap_x) - \cos( ap_y) - \cos (ap_z)).$$  Найдите его ускорение в момент времени, когда импульс равен $p_x = \dfrac{\pi}{2 a}$, $p_y = \dfrac{\pi}{3 a}$, $p_z = 0$, а компоненты действующей на электрон силы $F_x$, $F_y$, $F_z$. ", "solution": {"text": "Выразим скорость электрона через его импульс:$$v_x = \frac{\partial \varepsilon}{\partial p_x} = \varepsilon_0 a \sin (a p_x),$$аналогично для остальных двух компонент$$v_y = \varepsilon_0 a \sin(a p_y), \; v_z = \varepsilon_0 a \sin(a p_z). $$Из уравнения движения $\dfrac{d}{dt}\vec{p} = \vec{F}$. Выразим ускорение через производную импульса:$$a_x = \dot{v}_x = \varepsilon_0 a^2 \cos (a p _x) \dot{p}_x = \varepsilon_0 a^2 \cos(a p_x) F_x.$$Формулы остальных компонент аналогичны. Для значений импульса из условия"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$a_x = 0, \; a_y = \frac{1}{2} \varepsilon_0 a^2 F_y, \; a_z = \varepsilon_0 a^2 F_z.$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Пусть  электрон с $\varepsilon(\vec{p})$ из A1 движется в постоянном электрическом поле величины $E$, направленном вдоль оси $x$.  Начальные координаты и проекции импульса равны нулю. Заряд электрона $-q$. Найдите его закон движения $x(t)$. ", "solution": {"text": "На электрон действует сила $F_x = - q E$, поэтому импульс$$p_x = - q E t,$$а соответствующая скорость$$v_x = -a \varepsilon_0 \sin(aqE t). $$Остальные проекции скорости равны нулю. Интегрируя, найдем зависимость координаты $x$ от времени"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$x(t) = -\frac{\varepsilon_0}{q E}(1 - \cos(a q Et ))$$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Концентрация свободных электронов в некотором веществе равна $n$, зависимость $\varepsilon(p)$ как в A1 . В начальный момент времени включается постоянное электрическое поле $E$, направленное вдоль оси $x$. Найдите зависимость плотности тока $j$ от времени. ", "solution": {"text": "Плотность тока выражается через скорость и концентрацию электронов$$j_x = - n q v_x = n q a \varepsilon_0 \sin (a q E t).$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$j_x = n q a \varepsilon_0 \sin (a q E t).$$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Пусть зависимость энергии от импульса $\varepsilon(\vec{p})$ произвольна. Докажите, что энергия $\varepsilon$ и проекция импульса на направление магнитного поля сохраняются. ", "solution": {"text": "Уравнение движения$$\dot{\vec{p}} = - q \vec{v} \times \vec{B}.$$Производная энергии по времени$$\frac{d \varepsilon} {dt} = \frac{\partial \varepsilon}{\partial p_x} \dot{p}_x + \frac{\partial \varepsilon}{\partial p_y} \dot{p}_y +\frac{\partial \varepsilon}{\partial p_z} \dot{p}_z = v_x \dot{p}_x + v_y \dot{p}_y + v_z \dot {p}_z = \vec{v} \dot{\vec{p}}.$$Подставляя выражение для производной импульса, получим$$\dot{\varepsilon} = \vec{v} \cdot\left(- q \vec{v} \times \vec{B}\right) = 0.$$Умножив уравнение движения скалярно на магнитное поле получим$$\frac{d}{dt} (\vec{B}{\vec{p}}) = \vec{B} \dot{\vec{p}} = - q \vec{B} (\vec{v} \times \vec{B}) = 0,$$то есть проекция импульса на магнитное поле постоянна."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\dot{\varepsilon} = \vec{v} \cdot\left(- q \vec{v} \times \vec{B}\right) = 0.$$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Пусть зависимость энергии от импульса имеет вид  $$\varepsilon = \frac{p_x^2}{2 m_x} + \frac{p_y^2}{2 m_y} .$$  Энергия электрона равна $\varepsilon$. Найдите частоту движения $\omega$. Изобразите траекторию движения частицы на плоскости $xy$, укажите характерные размеры и направление движения. Начало координат поместите в центре симметрии траектории. ", "solution": {"text": "Запишем уравнения движения:\begin{align*}m_x\dot{v}_x &= - q v_y B;\\m_y \dot{v}_y &= q v_x B.\end{align*}Исключим из первого уравнения $v_y$ продифференцировав его и выразив $\dot{v}_y$ из второго уравнения. Получим$$m_x \ddot{v}_x = - q \dot{v}_y B = - \frac{q^2 B^2}{m_y} v_x,$$то есть$$\ddot{v}_x = - \frac{q^2 B^2}{m_x m_y} v_x.$$Это уравнение гармонических колебаний с частотой $$\omega = \frac{qB}{\sqrt{m_x m_y}}.$$ Зависимость скорости от времени имеет вид $$v_x = A \cos (\omega t + \varphi),$$где амплитуду $A$ можно найти, зная энергию электрона:$$A = \sqrt{\frac{2\varepsilon}{m_x}}.$$Вторую компоненту скорости можно найти из уравнения движения$$v_y = - \frac{m_x}{q B} \dot{v}_x = \sqrt{\frac{2\varepsilon}{m_x}} \frac{\omega}{qB} \sin(\omega t + \varphi) = \sqrt{\frac{2 \varepsilon}{m_y}} \sin (\omega t + \varphi).$$Интегрируя, получим траекторию частицы\begin{align*}x(t) &= \sqrt{\frac{2 \varepsilon}{m_x}} \frac{1}{\omega} \sin(\omega t + \varphi) = \frac{\sqrt{2 m_y \varepsilon}}{q B} \sin (\omega t + \varphi);\\y(t ) &= - \frac{\sqrt{2 m_x \varepsilon}}{qB} \cos (\omega t + \varphi).\end{align*}Таким образом, траектория представляет собой эллипс с полуосями$$A_x = \frac{\sqrt{2 m_y \varepsilon}}{q B},\; A_y = \frac{\sqrt{2 m_x \varepsilon}}{qB}.$$Движение происходит против часовой стрелки. <img_1>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega = \frac{qB}{\sqrt{m_x m_y}}, \; A_x = \frac{\sqrt{2 m_y \varepsilon}}{q B},\; A_y = \frac{\sqrt{2 m_x \varepsilon}}{qB}.$$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "1,10"}, {"condition": "Найдите годограф вектора импульса электрона (траекторию, по которой движется конец вектора импульса, если его откладывать от одной точки). Изобразите его на плоскости $p_x$, $p_y$. Укажите характерные размеры. ", "solution": {"text": "С учетом электрического поля уравнения движения\begin{align*}m_x\dot{v}_x &= -qE- q v_y B;\\m_y \dot{v}_y &= q v_x B.\end{align*}Введем новую переменную $u_y$ с помощью соотношения$$v_y = - \frac{E}{B} + u_y,$$тогда уравнения движения примут такой же вид, как и в предыдущей части:\begin{align*}m_x\dot{v}_x &= - q u_y B;\\m_y \dot{u}_y &= q v_x B.\end{align*}Начальные условия$$v_x (0) = 0 ,\; v_y(0) = 0, \; u_y(0) = \frac{E}{B}.$$С учетом этого решение$$v_x = -\sqrt{\frac{m_y}{m_x}}\frac{E}{B} \sin \omega t;\; v_y =- \frac{E}{B}(1- \cos \omega t).$$Тогда импульсы$$p_x =- \sqrt{m_x m_y} \frac{E}{B} \sin \omega t, \;p_y = -m_y \frac{E}{B}(1 - \cos \omega t ).$$"}, "answer": {"answers": ["<img_2>"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите закон движения $x(t)$, $y(t)$. ", "solution": {"text": "Интегрируя скорости из предыдущего пункта, получим"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{align*}x(t) &= -\frac{m_y E}{qB^2} (1 - \cos \omega t)\\y(t) &= - \frac{E}{B} t + \frac{\sqrt{m_x m_y} E}{q B^2} \sin \omega t, \; \omega = \frac{qB}{\sqrt{m_x m_y}}.\end{align*}"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Если энергия больше минимального значения, траектории на плоскости становятся незамкнутыми, и частица может неограниченно далеко некотором направлении. Найдите эту минимальную энергию $\varepsilon_{min}$. При энергии $\varepsilon > \varepsilon_{min}$ изобразите траекторию, укажите характерные геометрические размеры. ", "solution": {"text": "Запишем уравнения движения$$\dot{\vec{p}} = - q \vec{v} \times \vec{B} = - q \dot{\vec{r}}\times \vec{B}.$$Интегрируя, получаем$$\Delta \vec{p} = - q \Delta \vec{r} \times \vec{B}.$$Умножим это равенство векторно на $\vec{B}$.$$\Delta \vec{p} \times \vec{B} = - q(\Delta \vec{r} \times \vec{B}) \times \vec{B} = q B^2 \Delta \vec{r}.$$Таким образом, вектор перемещения можно выразить через изменение импульса$$\Delta \vec{r} = \frac{1}{qB^2} \Delta \vec{p} \times \vec{B}.$$Рассмотрим сначала в импульсном пространстве. Из постоянства энергии следует, что годограф импульса — поверхность$$\frac{p^2_y}{2m_y} + \varepsilon_0 (1 - \cos ap_x) = \varepsilon = const.$$Уравнение этой поверхности можно представить в виде$$p_y = \pm \sqrt{2 m_y (\varepsilon - \varepsilon _0 + \varepsilon _0 \cos a p_x)}.$$В том случае, если $\varepsilon \le 2 \varepsilon_0$, годограф представляет собой замкнутую кривую. Тогда траектория также будет замкнутой кривой. Если же $\varepsilon > 2 \varepsilon_0$, годограф импульса — незамкнутая кривая, направленная вдоль оси $x$. Тогда траектория движения частицы - кривая, направленная вдоль $y$, причем зависимость $x(y)$ — периодическая. Найдем период этой функции и ширину полосы вдоль оси $x$, которую она занимает.$$\Delta y = \frac{1}{qB} \frac{2\pi}{a}, \; \Delta x = \frac{1}{qB} \Delta p_y = \frac{\sqrt{2 m_y}}{qB} (\sqrt{\varepsilon} - \sqrt{\varepsilon - 2 \varepsilon _0}). $$"}, "answer": {"answers": ["<img_3>"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "1,40"}, {"condition": "Сначала пренебрежем дисперсией и рассмотрим случай $\alpha = 0$. При каких углах $\theta_1$, $\theta_2$ возможен распад? ", "solution": {"text": "Запишем законы сохранения энергии и импульса:$$u p = u q_1 + u q_2,\; \vec{p} = \vec{q}_1 + \vec{q}_2.$$Поскольку длина вектора $\vec{p}$ равна сумме длин остальных двух векторов, все три вектора должны быть направлены в одну и ту же сторону."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $\theta_1 = \theta_2 = 0$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите модуль импульса второго фонона $q_2$ через $p$, $q_1$, $\theta_1$. Получите выражение выражение в пределе малых $\theta_1$ с точностью до второго порядка по $\theta_1$. ", "solution": {"text": "Из закона сохранения импульса$$\vec{q}_2 = \vec{p} - \vec{q}_1.$$Отсюда$$q_2^2 = p^2 + q_1^2 - 2 p q_1 \cos \theta_1 = p^2 + q_1^2 - 2 p q_1 (1 - \theta_1^2/2) = (p - q_1)^2+ p q_1 \theta_1^2.$$Извлечем корень и разложим в ряд до требуемого порядка$$q_2 = \sqrt{ (p - q_1)^2+ p q_1 \theta_1^2} \approx p - q_1 + \frac{p q_1}{2(p - q_1)} \theta_1^2$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Зависимость импульса излучаемого фонона от угла при малых углах имеет вид $$q_1(\theta_1) = A + B \theta_1.$$  Определите постоянные $A$, $B$. Выразите их через $p$, $u$, $\alpha$. ", "solution": {"text": "Запишем закон сохранения энергии $$u p + \alpha p^3 = u q_1 + \alpha q_1^3 + u q_2 + \alpha q_2^3.$$Подставим выражение для $q_2$:$$u p + \alpha p^3 = u q_1 + \alpha q_1^3 + u \left(p - q_1 + \frac{p q_1}{2(p - q_1)} \theta_1^2\right) + \alpha \left( p - q_1 + \frac{p q_1}{2(p - q_1)} \theta_1^2\right)^3.$$Раскроем скобки и оставим вклады порядка $\theta_1^2$:$$\alpha p^3 = \alpha q^3 + \frac{u p q_1}{2 (p - q_1)} \theta_1^2 +\alpha (p - q_1)^3 + \frac{3 \alpha}{2} p q_1 (p - q_1)\theta_1^2.$$Перенесем слагаемые, не зависящие от угла, налево:$$\alpha (p^3 - q_1^3 - (p-q_1)^3) = \frac{u p q_1 \theta_1^2}{2(p - q_1)} \left( 1 + \frac{3 \alpha}{u } (p - q_1)^2\right).$$Вторым слагаемым в скобках в правой части можно пренебречь в силу условия $\alpha p^3 \ll u p$, в левой части раскроем скобки и получим$$3 \alpha (p - q_1) p q_1 = \frac{u p q_1 \theta_1^2}{2(p - q_1)}.$$Отсюда $$(p-q_1 )^2 = \frac{u }{6 \alpha} \theta_1^2, \; q_1 = p - \sqrt{\frac{u}{6 \alpha}} \theta_1.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$A = p, \; B = - \sqrt{\frac{u}{6 \alpha}}.$$"]}, "number_part": "С3", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "При каком знаке постоянной  $\alpha$ распад возможен? ", "solution": {"text": "У уравнения в предыдущем пункте есть решение, если $\alpha > 0$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $\alpha > 0$"]}, "number_part": "C4", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите максимальный угол $\theta_{max}$, под которым может излучаться фонон. При каком условии на $p$ импульс фонона можно считать малым? ", "solution": {"text": "Максимальный угол достигается при минимальном импульсе испускаемого фонона $q_1 \to 0$. Тогда из выражения для $q_1$ находим$$\theta_{\max} = \sqrt{\frac{6 \alpha}{u}} p.$$Вся задача решалась в приближении малых углов. Это приближение работает при условии $\theta_{max} \ll 1$, то есть $$p \ll \sqrt{\frac{u}{\alpha}}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\theta_{\max} = \sqrt{\frac{6 \alpha}{u}} p.$$"]}, "number_part": "C5", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите угол $\theta_2$, под которым излучается второй фонон, через $\theta_1$, $p$, $u$, $\alpha$. Считайте углы малыми, учитывайте вклады первого порядка по $\theta_1$, $\theta_2$. ", "solution": {"text": "Из результатов $\mathrm{C3}$ следует, что импульсы фононов выражаются через углы излучения как $$q_1 = p - \sqrt{\frac{u}{6 \alpha}} \theta_1, \; q_2 = p - \sqrt{\frac{u}{6 \alpha}} \theta_2.$$ Запишем проекцию закона сохранения импульса на ось, перпендикулярную направлению движения исходного фонона:\begin{align*}q_1 \theta_1 &= q_2 \theta_2, \\p \theta_1 - \sqrt{\frac{u}{6 \alpha}} \theta_1^2 &= p \theta_2 - \sqrt{\frac{u}{6 \alpha}} \theta_2^2.\end{align*}Перегруппируем слагаемые:$$p(\theta_1 - \theta_2) = \sqrt{\frac{u}{6 \alpha}} (\theta_1^2 -\theta_2^2), \;p = \sqrt{\frac{u}{6 \alpha}} (\theta_1 + \theta_2).$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\theta_2 = \sqrt{\frac{6 \alpha}{u}} p - \theta_1$$"]}, "number_part": "C6", "exponent_part": "1,00"}]