text: {"text": [{"text": "Низкая двухосная тележка связана нитью с грузом (см. рис.). Тележку отпускают, и она движется по столу с некоторым ускорением. Опыт повторяют, заклинив одну из осей (колеса жестко насажены на ось). При этом ускорение тележки оказывается в $k$ раз меньше, чем в первом опыте. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Во сколько раз еще уменьшится ускорение, если отпустить тележку, заклинив обе оси? Задачу решить для $k_1=1.5$ и $k_2=3.0$."}]}
answer: [{"condition": "Во сколько раз еще уменьшится ускорение, если отпустить тележку, заклинив обе оси? Задачу решить для $k_1=1.5$ и $k_2=3.0$. ", "solution": {"text": "<img_1> В первом случае, $F_{тр}=0$.Ускорение груза $m$ равно по модулю ускорению тележки $a$, так что $$\left\{\begin{array}{l}T=M a_1 \\m g-T=m a_1\end{array} \quad \Rightarrow \quad m g=(m+M) a_1 \Rightarrow a_1=\frac{m g}{M+m} .\right.$$Во втором случае, на одну из пар колес начинает действовать сила трения $\mu N_{1/2}$. Мы считаем, что сила реакции опоры распределена равномерно по двум осям. Имеем $$N_{1 / 2}=\frac{M g}{2}, \quad F_{тр}=\frac{\mu M g}{2}=\mu N_{1 / 2} .\\\left\{\begin{array}{l}T-F_{T p}=T-\frac{\mu M g}{2}=M a_2 \\m g-T=m a_2\end{array} \Rightarrow\right. \\\Rightarrow \quad m g-\frac{\mu M g}{2}=a_2(M+m) \Rightarrow \\\Rightarrow a_2=\frac{g}{M+m}\left(m-\frac{\mu M}{2}\right) .$$В третьем случае, если тележка поедет, то сила трения со стороны стола уже равна $\mu N=\mu Mg$.$$\left\{\begin{array}{l}T-\mu M g=M a_3 \\m g-T=m a_3\end{array} \Rightarrow\right. \begin{aligned}& g(m-\mu M)=a_3(M+m) \\& a_3=\frac{g}{M+m}(m-\mu M).\end{aligned}$$ 1) Пусть $k_1=1.5.$ Тогда$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{m}{m-\frac{\mu M}{2}}=k_1 \Rightarrow 1-\frac{\mu M}{2 m}=\frac{1}{k_1} \Rightarrow \\\begin{aligned}& \Rightarrow \frac{\mu M}{m}=2\left(1-\frac{1}{k_1}\right)=\frac{2}{3} . \\& a_3=\frac{g m}{M+m}\left(1-\frac{\mu M}{m}\right)=\frac{a_1}{3}=\frac{a_2}{2} .\end{aligned}$$Поэтому в случае $k_1=1.5$ ускорение уменьшится еще в $2$ раза.2) Пусть $k_2=3$. $$\frac{\mu M}{m}=2\left(1-\frac{1}{k_2}\right)=\frac{4}{3}>1 .$$Если тележка поедет, то $a_3=-\frac{1}{3} a_1<0$, чего быть не может. Поэтому в случае $k_2=3$ тележка не двинется с места."}, "answer": {"answers": ["Ответ: В первом случае ($k_1=1.5$) ускорение тележки уменьшится еще в $2$ раза, во втором случае ($k_2=3$) тележка вообще не будет двигаться."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]