text: {"text": [{"text": "Дирижабль завис над гористой местностью. Из-за естественной ионизации у воздуха имеется некоторая проводимость. Электрический заряд дирижабля уменьшается в $2$ раза за каждые $\tau=10~мин$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите удельное сопротивление $\rho$ воздуха."}]}
answer: [{"condition": "Найдите удельное сопротивление $\rho$ воздуха. ", "solution": {"text": "Заряд дирижабля зависит от времени следующим образом:$$q=q_{0} 2^{-\frac{t}{\tau}},$$где $q_{0}$ — начальный заряд. Сила тока разряжающегося дирижабля\begin{equation}I=-\frac{d q}{d t}=\frac{\ln 2}{\tau} q.\tag1\end{equation}Можно показать, что в произвольной точке проводящей среды справедлива следующая связь между плотностью тока $ј$, напряженностью электрического поля $E$ и удельным сопротивлением $\rho$ среды:$$\vec{j}=\frac{\vec{E}}{\rho}.$$Для вывода этой связи возьмем маленький цилиндр длины $L$ и площадью основания $S$, расположенный вдоль силовой линии поля. Напряжение между торцами цилиндра $U=E L$, его сопротивление $R=\frac{\rho L}{S}$. Поэтому$$j=\frac{I}{S}=\frac{U}{R S}=\frac{E L}{\frac{\rho L}{S} S}=\frac{E}{\rho} .$$Окружим мысленно дирижабль замкнутой поверхностью, расположенной вблизи дирижабля. Через малый элемент $\Delta S_{к}$ этой поверхности сила тока$$\Delta I_{к}=j_{к} \Delta S_{к}=\frac{E_{к}}{\rho} \Delta S_{к},$$где $E_{к}$ — напряженность электрического поля, перпендикулярная этому элементу. Суммирование по всем элементам дает$$\sum \Delta I_{к}=\frac{1}{\rho} \sum E_{к} \Delta S_{к}.$$Поскольку $\sum \Delta I_{к}=I$, а по теореме Гаусса $\sum E \Delta S_{к}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}$, то\begin{equation}I=\frac{q}{\varepsilon_{0} \rho}.\tag2\end{equation}Из $(1)$ и $(2)$ находим$$\rho=\frac{\tau}{\varepsilon_{0} \ln 2} \approx 10^{14}~Ом \cdot м.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \rho=\frac{\tau}{\varepsilon_{0} \ln 2} \approx 10^{14}~Ом \cdot м. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]