text: {"text": [{"text": "Тело брошено под углом к горизонту с высокого обрыва (см. рисунок). <img_0> Из-за сопротивления воздуха время подъема тела до наибольшей высоты и время падения до точки $A$, находящейся на линии горизонта, которая проходит через точку $O$ старта, отличаются на $\tau$. В той же точке $A$ горизонтальная составляющая скорости тела равна $v_{гА}$, а вертикальная составляющая на $\Delta v$ меньше вертикальной составляющей скорости в точке $O$ старта."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "На какую высоту $H$ от линии горизонта поднялось тело, если наибольшее удаление его по горизонтали от точки $A$ за время полета составило $\Delta L_{0}$? Сила сопротивления движению тела в воздухе прямо пропорциональна его скорости."}]}
answer: [{"condition": "На какую высоту $H$ от линии горизонта поднялось тело, если наибольшее удаление его по горизонтали от точки $A$ за время полета составило $\Delta L_{0}$? ", "solution": {"text": "Рассмотрим сначала движение тела по вертикали. За малый промежуток времени $\Delta t$ изменение его импульса составит: $$ m \Delta v_{в}=-m g \Delta t-k v_{в} \Delta t=-m g \Delta t-k \Delta H, $$ где $k$ — коэффициент пропорциональности в выражении для силы сопротивления воздуха. Когда тело достигнет верхней точки траектории, изменение импульса тела будет равно $$ -m v_{в 0}=-m g t_{1}-k H. \quad (1) $$ При движении тела вниз от верхней точки траектории до точки $A$ изменение импульса составит $$ m v_{в A}=m g t_{2}-k H. \quad (2) $$ Складывая $(1)$ и $(2)$, получим $$ -m \Delta v=m g \tau-2 k H, $$ где $\tau=t_{2}-t_{1}$, $\Delta v=v_{в 0}-v_{в A}$. Отсюда $$ H=\frac{m}{k} \frac{g \tau+\Delta v}{2}. \quad (3) $$ Рассмотрим теперь движение тела по горизонтали. Изменение горизонтальной составляющей импульса тела $\Delta v_{г}$ равно импульсу силы сопротивления воздуха: $$ m \Delta v_{г}=-k v_{г} \Delta t=-k \Delta L, $$ где $\Delta L$ — малое смещение тела по горизонтали. Когда тело достигает точки $A$, изменение горизонтальной составляющей импульса составит (по модулю) $$ m v_{г 0}-m v_{г A}=k L_{A}, \quad (4) $$ где $L_{A}$ — расстояние между точками $A$ и $O$. При максимальном удалении, когда горизонтальная составляющая скорости станет равной нулю, полное изменение импульса тела будет равно $$ m v_{г 0}=k L_{\max }. \quad (5) $$ Вычитая $(4)$ из $(5)$, получаем $$ \frac{m}{k}=\frac{\Delta L_{0}}{v_{г A}}, $$ где $\Delta L_{0}=L_{\max }-L_{A}$. Следовательно, $$ H=\frac{\Delta L_{0}}{2 v_{г A}}(g \tau+\Delta v). $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ H=\frac{\Delta L_{0}}{2 v_{г A}}(g \tau+\Delta v). $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]