text: {"text": [{"text": "Для измерения скорости мельчайших частиц, взвешенных в текущей жидкости, используется интерференционная схема, изображенная на рисунке. <img_0> Параллельный пучок света от лазера с $\lambda=0.63~мкм$ падает на две одинаковые призмы, сложенные основаниями (бипризма). Преломляющий угол каждой из призм $\alpha=5.7^{\circ}$, показатель преломления $n=1.5$. После прохождения сквозь бипризму свет разбивается на два пучка, которые проходят сквозь кювету с жидкостью. Частицы, двигаясь вместе с жидкостью с некоторой скоростью $v$, рассеивают свет."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите скорость частиц, если известно, что при регистрации рассеянного света фотоприемником ФП частота колебаний тока фотоприемника $f=10~кГц$."}]}
answer: [{"condition": "Определите скорость частиц, если известно, что при регистрации рассеянного света фотоприемником ФП частота колебаний тока фотоприемника $f=10~кГц$. ", "solution": {"text": "Покажем, что в случае малого преломляющегося угла $\alpha$ призмы, параллельный пучок света после прохождения сквозь призму выйдет также в виде параллельного пучка с углом отклонения $\gamma$ от горизонтали, где $$ \gamma=\alpha (n-1). $$ В этой и во всех последующих формулах углы $\alpha$ и $\gamma$ измеряются в радианах. Для этого рассмотрим произвольный луч света, проходящий через призму. Ход этого луча показан на рисунке ниже. <img_1> Как видно из этого рисунка, $$ \frac{\sin (\alpha+\gamma)}{\sin \alpha} \approx \frac{\alpha+\gamma}{\alpha}=n. $$ Отсюда $$ \gamma \approx \alpha(n-1). $$ <img_2> Рассмотрим интерференционную картину (см. рисунок выше), которая возникает в результате пересечения под углом $2 \gamma$ двух когерентных параллельных пучков. В плоскости $y=0$ выберем произвольную точку $C$ с координатой $x$. В этой точке происходит сложение двух световых волн с амплитудами $E_{0}$ и сдвинутыми по фазе на некоторый угол $\varphi$. Если отсчитывать фазы обеих волн от точки $O$, то фаза первой волны $$ \varphi_{1}=-\frac{2 \pi}{\lambda}|C A|=-\frac{2 \pi}{\lambda} x \sin \gamma \approx-\frac{2 \pi}{\lambda} x \gamma, $$ где $\lambda$ — длина волны света. Фаза второй волны $$ \varphi_{2}=\frac{2 \pi}{\lambda}|C B| \approx \frac{2 \pi}{\lambda} x \gamma. $$ Сдвиг фаз между двумя волнами в точке $C$ $$ \varphi=\varphi_{2}-\varphi_{1}=\frac{4 \pi}{\lambda} x \gamma. $$ Интенсивность результирующего колебания в точке $C$ $$ I=E_{0}^{2}+E_{0}^{2}+2 E_{0}^{2} \cos \left(\frac{4 \pi}{\lambda} x \gamma\right)=2 E_{0}^{2}\left[1+\cos \left(\frac{4 \pi}{\lambda} x \gamma\right)\right]. $$ Расстояние между соседними максимумами интенсивности (ширина интерференционных полос) этой интерференционной картины $$ l=\frac{\lambda}{2 \gamma}=\frac{\lambda}{2 \alpha(n-1)}. $$ Частицы, двигаясь вдоль оси $x$ со скоростью $v$, периодически пересекают области максимальной и минимальной интенсивностей света. Такая же периодичность будет иметь место в рассеянном свете. Период $T$ колебаний интенсивности рассеянного света равен времени, за которое частица перемещается на расстояние, равное ширине интерференционной полосы: $$ T=\frac{l}{v}=\frac{\lambda}{2 v \alpha(n-1)}. $$ Отсюда скорость частицы $$ v=\frac{\lambda}{2 T \alpha(n-1)}=\frac{\lambda f}{2 \alpha(n-1)}=6.3~см/с. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v=\frac{\lambda f}{2 \alpha(n-1)}=6.3~см/с. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]