text: {"text": [{"text": "В рамках данной задачи вам предстоит исследовать, как длина тени лёгкого чёрного шара, привязанного ко дну широкого сосуда ниткой и освещаемого солнечным светом зависит от уровня прозрачной жидкости $h$ в сосуде. Длина тени определяется как максимальное расстояние между её граничными точками. Считайте, что сила Архимеда, действующая на шар в воздухе достаточна для того, чтобы нить была натянута. В дальнейшем используйте следующие обозначения: 1) Длина нити $l$ 2) Радиус шара $R$ 3) Угол падения лучей на поверхность жидкости $\alpha$ 4) Угол преломления лучей $\beta$ 5) Длина тени $L$ На графике представлена зависимость длины тени от уровня жидкости в сосуде. <img_0> <img_1>"}, {"text": "Часть A. До излома"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,20"}, "text": "Выразите $L$ через $R$ и $\alpha$ при $h=0$. Пусть $h_1$ — уровень воды в сосуде в момент, когда на графике начинается излом."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,30"}, "text": "Выразите $L$ через $R$, $\alpha$, $\beta$, $l$ и $h$ при $0 < h < h_1$."}, {"text": "Часть B. Исследование излома Пусть $h_2$ — уровень воды в момент, когда излом переходит в линейный участок зависимости."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите $h_1$ через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "2,50"}, "text": "При $h_1 < h < h_2$ получите зависимость длины тени от $l$, $R$, $\alpha$, $\beta$ и $h$."}, {"text": "Часть C. Линейный участок Пусть $h_3$ — уровень жидкости в момент, когда длина тени перестаёт меняться."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите $h_2$ через $l$, $R$, $\alpha$, $\beta$."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "1,30"}, "text": "Поскольку участок линейный, зависимость $L(h)$ имеет вид $L=L_0-kh$. Выразите $L_0$ и $k$ через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,20"}, "text": "Выразите минимальную длину тени через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$."}, {"text": "Часть D. Численные значения"}, {"balls": {"number": "С3", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите $h_3$ через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$."}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "1,50"}, "text": "Найдите численные значения $\cos\alpha$ и $\cos\beta$."}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите радиус шарика $R$."}, {"balls": {"number": "D3", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите показатель преломления жидкости $n$."}, {"balls": {"number": "D4", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите длину нити $l$."}]}
answer: [{"condition": "Выразите $L$ через $R$ и $\alpha$ при $h=0$. ", "solution": {"text": "Солнечные лучи можно считать параллельными. При нулевом уровне жидкости в сосуде дно крайними не освещающими дно являются лучи, касающиеся шара. Проводя их продолжения до пересечения с дном $$L=\frac{2R}{cos(\alpha)} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Выразите $L$ через $R$, $\alpha$, $\beta$, $l$ и $h$ при $0 < h < h_1$. ", "solution": {"text": "Лучи преломляются и остаются параллельны друг другу. Поскольку поверхность жидкости параллельна основанию сосуда, преломление лучей, касающихся шара, не влияет на длину тени. Таким образом $$L=\frac{2R}{cos(\alpha)} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Выразите $h_1$ через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$. ", "solution": {"text": "Излом графика наступает тогда, когда один из крайних лучей не может коснуться шара до преломления в жидкости. Таким образом, в момент, когда на графике начинается излом, касательная к шару направлена под углом $\alpha$ к вертикали. Отсюда получаем ответ $$h_1=l+R\left(1-sin(\alpha)\right) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "При $h_1 < h < h_2$ получите зависимость длины тени от $l$, $R$, $\alpha$, $\beta$ и $h$. ", "solution": {"text": "Поскольку $\beta<\alpha$, пока касательная к шару не станет образовывать угол $\beta$ с вертикалью, все лучи после преломления не будут пересекать шар. Тогда границей тени является луч, преломляющийся в точке контакта шара с поверхностью жидкости. Пусть $H$ - высота центра шара над поверхностью жидкости. Тогда найдём длину тени $$L=\frac{R}{cos(\alpha)}+Htg(\alpha)+\sqrt{R^2-H^2} $$ Выражение для $H$ следующее $$H=l+R-h $$ Откуда $$L=\frac{R}{cos(\alpha)}+(l+R-h)tg(\alpha)+\sqrt{R^2-(l+R-h)^2} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B1", "exponent_part": "2,50"}, {"condition": "Выразите $h_2$ через $l$, $R$, $\alpha$, $\beta$. ", "solution": {"text": "Как мы уже знаем, пока касательная к шару составляет с вертикалью угол больший, чем $\beta$, границей тени является луч, преломленный в точке контакта шара с поверхностью. Отсюда $$h_2=l+R(1-sin(\beta)) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Поскольку участок линейный, зависимость $L(h)$ имеет вид $L=L_0-kh$. Выразите $L_0$ и $k$ через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$. ", "solution": {"text": "Если касательная к шару в точке контакта с поверхностью жидкости составляет с вертикалью угол меньший чем $\beta$, один из лучей после преломления касается шара уже внутри жидкости и уже является границей тени. Сохраним обозначение $H$, введённое при решении пункта $B1$. Тогда $$L=\frac{R}{cos(\alpha)}+Htg(\alpha)+\frac{R}{cos(\beta)}-Htg(\beta) $$ Подставляя выражение для $H$, получим $$L=\frac{R}{cos(\alpha)}+\frac{R}{cos(\beta)}+(l+R)(tg(\alpha)-tg(\beta))-(tg(\alpha)-tg(\beta))h $$ Откуда $$L_0=\frac{R}{cos(\alpha)}+\frac{R}{cos(\beta)}+(l+R)(tg(\alpha)-tg(\beta)) $$ $$k=tg(\alpha)-tg(\beta) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C1", "exponent_part": "1,30"}, {"condition": "Выразите минимальную длину тени через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$. ", "solution": {"text": "В некоторый момент уровень поднимется так высоко, что верхний касающийся шара луч будет касаться его и после преломления. В дальнейшем именно верхний луч, касающийся шара после преломления, определяет длину его тени. Она остаётся постоянной и равна $$L=\frac{2R}{cos(\beta)} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Выразите $h_3$ через $l$, $R$, $\alpha$ и $\beta$. ", "solution": {"text": "Используем результат предыдущего пункта $$\frac{2R}{cos(\beta)}=\frac{R}{cos(\alpha)}+\frac{R}{cos(\beta)}+(l+R)(tg(\alpha)-tg(\beta))-(tg(\alpha)-tg(\beta))h_3 $$ Откуда $$h_3=l+R(1+\frac{cos(\beta)-cos(\alpha)}{sin(\alpha-\beta)}) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "С3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите численные значения $\cos\alpha$ и $\cos\beta$. ", "solution": {"text": "Из графика получим, что $$\frac{L_{max}}{L_{min}}=\frac{cos(\beta)}{cos(\alpha)}=\frac{4}{3} $$ Найдём угловой коэффициент линейного участка графика $$k=tg(\alpha)-tg(\beta)=\frac{7}{12} $$ Используя известное выражение $$\frac{1}{cos^2(\alpha)}=1+tg^2(\alpha) $$ получаем $$tg(\alpha)-\sqrt{\frac{9}{16}(1+tg^2(\alpha))-1}=\frac{7}{12} $$ Получаем квадратное уравнение относительно $tg(\alpha)$ $$tg^2(\alpha)-\frac{8tg(\alpha)}{3}+\frac{16}{9}=0 $$ Его решение $$tg(\alpha)=\frac{4}{3} $$ Получим ответы на вопросы $$cos(\alpha)=\frac{3}{5};~cos(\beta)=\frac{4}{5} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D1", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Найдите радиус шарика $R$. ", "solution": {"text": "Максимальная длина тени равна $$L_{max}=\frac{2R}{cos(\alpha)}=14~см $$ откуда $$R=\frac{L_{max}cos(\alpha)}{2}=4,2~см $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите показатель преломления жидкости $n$. ", "solution": {"text": "$$n=\frac{sin(\alpha)}{sin(\beta)}=\frac{4}{3} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите длину нити $l$. ", "solution": {"text": "Наиболее точно $l$ можно измерить по точке $h_3$ $$l=h_3-R(1+\frac{cos(\beta)-cos(\alpha)}{sin(\alpha-\beta)})=h_3-\frac{12}{7}R=5,3~см $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D4", "exponent_part": "0,50"}]