text: {"text": [{"text": "Задача о движении частицы под действием как радиальной, так и тангенциальной сил, как правило, оказывается довольно сложной и требует знания продвинутого математического аппарата. Однако некоторые системы, такие как точечный заряд и диполь, обладающие очень спецефичным электростатическим полем, дают интересные результаты, даже когда момент импульса не сохраняется. Считайте, что релятивистскими эффектами и излучением можно пренебречь, если не сказано обратное. Электрическая постоянная равна $\varepsilon_0$."}, {"text": "Часть A. Движение диполя (2.4 балла) Рассмотрим плоскую задачу. Положения заряда $Q>0$ и центра диполя фиксированы и находятся на расстоянии $L$ друг от друга (см. рис. 1). Диполь состоит из двух частиц массой $m$, соединенных небольшим твердым стержнем длиной $d$, $d \ll L$. Заряды частиц равны $q>0$ и $-q$. Диполь может свободно вращаться вокруг центра. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите период малых колебаний диполя. Ответ выразите через $m$, $Q$, $q$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$. Теперь диполь насажен на невесомый стержень, который может свободно вращаться вокруг заряда $Q$. Диполь может свободно скользить вдоль стержня. Изначально диполь покоился на расстоянии $L$ от заряда, и в некоторый момент ему сообщили скорость $v_0$, направленную перпендикулярно стержню. <img_1>"}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите радиальную и азимутальную компоненты скорости $v_{r}$ и $v_\theta$ соответственно. Ответ выразите через $Q$, $q$, $m$, $d$, $v_0$, $L$, $\varepsilon_0$ и расстояние между зарядом и диполем $r$. Чтобы диполь приближался к заряду, его начальная скорость не должна превосходить некоторого критического значения $v_{\text{cr}}$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите критическую скорость $v_{\text{cr}}$. Ответ выразите через $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,40"}, "text": "Диполь запускают с критической скоростью $v_{\text{cr}}$. Изобразите траекторию, описываемую центром диполя за большое время, учитывая потери энергии на излучение. Диполь запускают со скоростью $v_0$, меньше критической."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите время $\tau$, за которое расстояние между диполем и зарядом уменьшается в два раза. Ответ выразите через $L$, $v_0$ и $v_{\text{cr}}$."}, {"text": "Часть B. Движение в поле неподвижного диполя (2.6 балла) Во всех последующих частях задачи рассматривается система, в которой момент импульса не сохраняется. Система та же, что и в предыдущей части, однако теперь диполь закреплен, и в его поле движется частица массой $m$ с зарядом $Q$. Для описания движения будем использовать полярную систему координат, т.е. положение заряда будем описывать расстоянием до диполя $r$ и углом $\theta$, отсчитываемым против часовой стрелки (см. рис. 3). Изначально заряд покоился на расстоянии $L$ от диполя, и в некоторый момент ему сообщили скорость $v_0$, направленную перпендикулярно стержню. <img_2>"}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": "0,60"}, "text": "Каков угол поворота стержня $\theta(\tau)$ к моменту времени $\tau$? Ответ выразите через $v_0$ и $v_{\text{cr}}$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите потенциал $\varphi(r, \theta)$ в точке с координатами $(r, \theta)$, где $r \gg d$. Ответ выразите через $q$, $d$, $r$,$\theta$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $q$, $d$, $r$,$\theta$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $q$, $d$, $r$,$\theta$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $q$, $d$, $r$,$\theta$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $q$, $d$, $r$,$\theta$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $q$, $d$, $r$,$\theta$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $q$, $d$, $r$,$\theta$ и $\varepsilon_0$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите проекции электрического поля $E_r$ и $E_{\theta}$. Ответ выразите через $r$, $\theta$, $q$, $d$ и $\varepsilon_0$."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,10"}, "text": "Найдите момент сил относительно диполя, действующий на заряд $Q$ в точке с координатами $(r{,}\theta)$. Ответ выразите через $Q$, $q$, $d$, $r$,$\theta$ и $\varepsilon_0$."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите азимутальную компоненту скорости $v_{\theta}$. Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$, $\varepsilon_0$, $r$ и $\theta$. Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$, $\varepsilon_0$, $r$ и $\theta$. Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$, $\varepsilon_0$, $r$ и $\theta$. Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$, $\varepsilon_0$, $r$ и $\theta$. Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$, $\varepsilon_0$, $r$ и $\theta$. Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$, $\varepsilon_0$, $r$ и $\theta$. Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$, $\varepsilon_0$, $r$ и $\theta$."}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите радиальную компоненту скорости $v_{r}$ как функцию $r$ и $\theta$. Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$, $\varepsilon_0$, $r$ и $\theta$. Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$, $\varepsilon_0$, $r$ и $\theta$. Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$, $\varepsilon_0$, $r$ и $\theta$. Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$, $\varepsilon_0$, $r$ и $\theta$. Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$, $\varepsilon_0$, $r$ и $\theta$. Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$, $\varepsilon_0$, $r$ и $\theta$. Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$, $\varepsilon_0$, $r$ и $\theta$."}, {"text": "Часть C. Круговое движение (1.7 балла) В данной части задачи заряд $Q$ массой $m$ соединен с диполем непроводящим стержнем длиной $L$, так что заряд движется по окружности радиусом $L$, причём в положении, показанном на рис.3, скорость заряда равна $v_0$. Стержень вращается свободно."}, {"balls": {"number": "B6", "exponent": "0,60"}, "text": "За какое время $\tau'$ расстояние между диполем и зарядом уменьшается в два раза? Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите максимальную и минимальную скорости заряда $v_{\max}$ и $v_{\min}$. Ответы выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$. Ответы выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$. Ответы выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$. Ответы выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$. Ответы выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$. Ответы выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$. Ответы выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите силу $N$, действующую на заряд со стороны стержня.\\ Ответ выразите через $m$, $L$, $Q$, $q$, $d$, $v_0$, $\theta$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $m$, $L$, $Q$, $q$, $d$, $v_0$, $\theta$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $m$, $L$, $Q$, $q$, $d$, $v_0$, $\theta$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $m$, $L$, $Q$, $q$, $d$, $v_0$, $\theta$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $m$, $L$, $Q$, $q$, $d$, $v_0$, $\theta$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $m$, $L$, $Q$, $q$, $d$, $v_0$, $\theta$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $m$, $L$, $Q$, $q$, $d$, $v_0$, $\theta$ и $\varepsilon_0$."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "0,50"}, "text": "Возможно ли движение заряда по окружности при отсутствии стержня? Если да, то какова должна быть начальная скорость $v_{\text{cr}}$? Если да, то какова должна быть начальная скорость $v_{\text{cr}}$? Если да, то какова должна быть начальная скорость $v_{\text{cr}}$? Ответ выразите через $m$, $L$, $Q$, $q$, $d$, и $\varepsilon_0$. Если да, то какова должна быть начальная скорость $v_{\text{cr}}$? Ответ выразите через $m$, $L$, $Q$, $q$, $d$, и $\varepsilon_0$. Если да, то какова должна быть начальная скорость $v_{\text{cr}}$? Ответ выразите через $m$, $L$, $Q$, $q$, $d$, и $\varepsilon_0$. Если да, то какова должна быть начальная скорость $v_{\text{cr}}$? Ответ выразите через $m$, $L$, $Q$, $q$, $d$, и $\varepsilon_0$. Если да, то какова должна быть начальная скорость $v_{\text{cr}}$? Ответ выразите через $m$, $L$, $Q$, $q$, $d$, и $\varepsilon_0$. Если да, то какова должна быть начальная скорость $v_{\text{cr}}$? Ответ выразите через $m$, $L$, $Q$, $q$, $d$, и $\varepsilon_0$. Если да, то какова должна быть начальная скорость $v_{\text{cr}}$? Ответ выразите через $m$, $L$, $Q$, $q$, $d$, и $\varepsilon_0$."}, {"text": "Часть D. Сечение падения в центр неподвижного диполя (1.3 балла) Рассмотрим поток частиц с зарядом $Q$ и массой $m$, движущихся в направлении угла $\theta_0$ со скоростью $v_0$ из бесконечности, как показано на рис.4. <img_3>"}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "0,40"}, "text": "Начальная скорость заряда равна $v_{\text{cr}}$, полученной в предыдущем пункте. Изобразите траекторию, описываемую зарядом за большое время, учитывая потери энергии на излучение. Изобразите траекторию, описываемую зарядом за большое время, учитывая потери энергии на излучение. Изобразите траекторию, описываемую зарядом за большое время, учитывая потери энергии на излучение. Изобразите траекторию, описываемую зарядом за большое время, учитывая потери энергии на излучение. Изобразите траекторию, описываемую зарядом за большое время, учитывая потери энергии на излучение. Изобразите траекторию, описываемую зарядом за большое время, учитывая потери энергии на излучение. Изобразите траекторию, описываемую зарядом за большое время, учитывая потери энергии на излучение."}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "0,50"}, "text": "Считая применимым выражения для потенциала диполя $\varphi(r{,}\theta)$ при любых значениях $r$, покажите, что частицы могут упасть в центр поля диполя при углах $\theta_0<\pi/2$. Сечением падения называется площадь поперечного сечения потока падающих в центр поля частиц, на бесконечности летящих в направлении центра поля с одинаковыми по модулю и направлению скоростями."}, {"text": "Часть E. Рассеяние на малые углы (2.0 балла) Рассмотрим движение заряда $Q$ массой $m$ из бесконечности со скоростью $v_0$. На бесконечности прицельный параметр заряда равен $b$ (см.рис.5). <img_4>"}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите сечения падения $\sigma$ в центр поля диполя. Ответ выразите через $Q$, $q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $Q$, $q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $Q$, $q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $Q$, $q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $Q$, $q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $Q$, $q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $Q$, $q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$ и $\varepsilon_0$."}, {"balls": {"number": "E1", "exponent": "0,50"}, "text": "Определите минимальное расстояние $r_{min}$ между частицей и диполем. Ответ выразите через $q$, $Q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$, $b$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $q$, $Q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$, $b$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $q$, $Q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$, $b$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $q$, $Q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$, $b$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $q$, $Q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$, $b$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $q$, $Q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$, $b$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $q$, $Q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$, $b$ и $\varepsilon_0$. Рассмотрим случай рассеяния на малые углы, соответствующий таким прицельным параметрам $b$, что: $$b\gg\sqrt{\cfrac{Qqd}{\varepsilon_0mv^2_0}} $$"}, {"balls": {"number": "E2", "exponent": "1,50"}, "text": "Определите угол отклонения $\Delta{\theta}$ скорости частицы от первоначального направления, когда она снова окажется бесконечно далеко от диполя. Считайте, что $\Delta{\theta}\ll{\theta_0}$. Ответ выразите через $Q$, $q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$, $b$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $Q$, $q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$, $b$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $Q$, $q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$, $b$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $Q$, $q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$, $b$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $Q$, $q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$, $b$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $Q$, $q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$, $b$ и $\varepsilon_0$. Ответ выразите через $Q$, $q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$, $b$ и $\varepsilon_0$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите период малых колебаний диполя. Ответ выразите через $m$, $Q$, $q$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$. ", "solution": {"text": "На диполь действует электрическое поле $E$ со стороны заряда: $E =Q/(4\pi\varepsilon_0 L^2)$. Со стороны поля на диполь действует момент $\vec{M} = \bigl[\vec{p} \times \vec{E}\bigr]$. Для малых колебаний диполя получаем уравнение на угол между $\vec{p}$ и $\vec{E}$:$$ 2 m \left(\frac{d}{2}\right)^2 \ddot{\theta} = - q d E \theta,$$откуда находим частоту колебаний и период:$$ \omega^2 = \frac{q d E}{2 m d^2 / 4} = \frac{q Q}{2 \pi \varepsilon_0 m d L^2},$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$T = 2\pi \sqrt{\frac{2\pi \varepsilon_0 m d L^2}{q Q}}.$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите радиальную и азимутальную компоненты скорости $v_{r}$ и $v_\theta$ соответственно. Ответ выразите через $Q$, $q$, $m$, $d$, $v_0$, $L$, $\varepsilon_0$ и расстояние между зарядом и диполем $r$. ", "solution": {"text": "На систему стержень + диполь действуют радиальные силы со стороны электрического поля, а также сила реакции в точке крепления, поэтому момент сил относительно центра равен нулю. Получаем, что сохраняется момент импульса, откуда находим азимутальную скорость: Найдем потенциальную энергию:$$ U(r) = \frac{Q q}{4\pi\varepsilon_0} \left( - \frac{1}{r-d/2} + \frac{1}{r+d/2} \right) \approx -\frac{Q q}{4\pi\varepsilon_0 d r^2}.$$Для нахождения радиальной скорости запишем ЗСЭ:$$ \frac{2m v_r^2}{2} + \frac{2 m v_{\theta}^2}{2} + U(r) = mv^2_0 + U(L).$$Подставляя $v_{\tau}$ и $U$, получаем уравнение на $v_r$:$$ v_r^2 + \frac{L^2 u^2}{r^2} - \frac{Q q d}{4\pi\varepsilon_0 m} \frac{1}{r^2} = v^2_0 - \frac{Q q d}{4\pi\varepsilon_0 m} \frac{1}{L^2}.$$Окончательно получаем"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v_{\theta} = \frac{Lv_0}{r}.$$  Найдем потенциальную энергию:$$ U(r) = \frac{Q q}{4\pi\varepsilon_0} \left( - \frac{1}{r-d/2} + \frac{1}{r+d/2} \right) \approx -\frac{Q q}{4\pi\varepsilon_0 d r^2}.$$Для нахождения радиальной скорости запишем ЗСЭ:$$ \frac{2m v_r^2}{2} + \frac{2 m v_{\theta}^2}{2} + U(r) = mv^2_0 + U(L).$$Подставляя $v_{\tau}$ и $U$, получаем уравнение на $v_r$:$$ v_r^2 + \frac{L^2 u^2}{r^2} - \frac{Q q d}{4\pi\varepsilon_0 m} \frac{1}{r^2} = v^2_0 - \frac{Q q d}{4\pi\varepsilon_0 m} \frac{1}{L^2}.$$Окончательно получаем", "Ответ: $$v_r=\pm\sqrt{\left(v^2_0L^2 - \cfrac{Qqd}{4\pi\varepsilon_0m} \right) \left(\frac{1}{L^2} - \frac{1}{r^2}\right)}.$$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите критическую скорость $v_{\text{cr}}$. Ответ выразите через $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$. ", "solution": {"text": "Как видно из вида ЗСЭ, движение диполя вдоль $r$ совпадает с движением частицы единичной массы в потенциале$$ U_{eff}(r) = \frac{1}{2 r^2} \left(L^2 u^2 - \cfrac{Qqd}{4\pi\varepsilon_0m} \right).$$Этот потенциал будет притягивающим при$$ L^2 u^2 - \cfrac{Qqd}{4\pi\varepsilon_0m} < 0,$$т.е:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v_{\text{cr}} = \frac{1}{L} \sqrt{ \cfrac{Qqd}{4\pi\varepsilon_0m}}.$$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Диполь запускают с критической скоростью $v_{\text{cr}}$. Изобразите траекторию, описываемую центром диполя за большое время, учитывая потери энергии на излучение. ", "solution": {"text": "При запуске с критической скоростью при отсутствии излучения орбита была бы круговой. Наличие излучения приводит к медленному уменьшению энергии $E$ и момента импульса $K$ системы, а значит, орбита будет приближённо представлять круговую с медленно уменьшающимся радиусом, и в конечном итоге диполь упадёт на заряд:"}, "answer": {"answers": ["<img_5>"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите время $\tau$, за которое расстояние между диполем и зарядом уменьшается в два раза. Ответ выразите через $L$, $v_0$ и $v_{\text{cr}}$. ", "solution": {"text": "Перепишем выражение для $v_r$ через $v_{\text{cr}}$:$$ v_r= -L \sqrt{v_{\text{cr}}^2 - v^2_0} \sqrt{\frac{1}{r^2} - \frac{1}{L^2}}.$$Найдем время:$$ \tau= \int d\tau = \int_{L}^{L/2} \frac{dr}{v_r} = \frac{1}{L \sqrt{v_{\text{cr}}^2 - v^2_0}} \int_{L/2}^{L} \frac{dr}{\sqrt{\frac{1}{r^2} - \frac{1}{L^2}}} = - \frac{L}{2\sqrt{v_{\text{cr}}^2 - v^2_0}} \int_{L/2}^{L} \frac{d\left(1 - \frac{r^2}{L^2}\right)}{\sqrt{1 - \frac{r^2}{L^2}}} =$$$$ =-\frac{L}{2\sqrt{v_{\text{cr}}^2-v^2_0}} \cdot \left(2 \sqrt{ 1 - \frac{r^2}{L^2} } \right) \Biggr|_{L/2}^{L} $$и окончательно:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\tau=\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{L}{\sqrt{v_{\text{cr}}^2-v^2_0}}$$"]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Каков угол поворота стержня $\theta(\tau)$ к моменту времени $\tau$? Ответ выразите через $v_0$ и $v_{\text{cr}}$. ", "solution": {"text": "Запишем систему дифференциальных уравнений для $r$ и $\theta$:$$\dot{r}=-L \sqrt{v_{\text{cr}}^2 - v^2_0} \sqrt{\frac{1}{r^2} - \frac{1}{L^2}}\qquad r^2\dot\theta=Lv_0$$откуда:$$\cfrac{d\theta}{dr}=-\cfrac{v_0}{\sqrt{v^2_{\text{cr}}-v^2_0}}\cdot\cfrac{L}{r^2\sqrt{\cfrac{L^2}{r^2}-1}}$$Воспользуемся подстановкой Бине:$$u=\cfrac{1}{r}$$Тогда:$$d\theta=\cfrac{v_0}{\sqrt{v^2_{\text{cr}}-v^2_0}}\cdot\cfrac{Ldu}{\sqrt{L^2u^2-1}}$$Вводя переменную $t=Lu$, получим:$$\theta=\cfrac{v_0}{\sqrt{v^2_{\text{cr}}-v^2_0}}\cdot\int\limits_1^{2}\cfrac{dt}{\sqrt{t^2-1}}=\cfrac{v_0}{\sqrt{v^2_{\text{cr}}-v^2_0}}\cdot\int\limits_0^{\mathrm{arccosh{~}2}}dz=\cfrac{v_0{~}\mathrm{arccosh{~}2}}{\sqrt{v^2_{\text{cr}}-v^2_0}}$$Для $\mathrm{arccosh{~}z}$ имеем:$$\mathrm{arccosh{~}z}=\ln(z+\sqrt{z^2-1})$$откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\theta(\tau)=\cfrac{v_0\ln(2+\sqrt{3})}{\sqrt{v^2_{\text{cr}}-v^2_0}}$$"]}, "number_part": "A6", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите потенциал $\varphi(r, \theta)$ в точке с координатами $(r, \theta)$, где $r \gg d$.  Ответ выразите через $q$, $d$, $r$,$\theta$ и $\varepsilon_0$. ", "solution": {"text": "Потенциал поля диполя $\varphi$ равен:$$\varphi(\vec{r})=\cfrac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0r^3}$$откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\varphi(r{,}\theta)=-\cfrac{qd\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}$$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите проекции электрического поля $E_r$ и $E_{\theta}$. Ответ выразите через $r$, $\theta$, $q$, $d$ и $\varepsilon_0$. ", "solution": {"text": "Выражение для $\vec{E}$ в общем виде записывается следующим образом:$$\vec{E}=-\nabla\varphi$$Тогда:$$E_r=-\cfrac{\partial\varphi(r{,}\theta)}{\partial r}\qquad E_\theta=-\cfrac{1}{r}\cdot\cfrac{\partial \varphi}{\partial \theta}$$откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$E_r=-\cfrac{2qd\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}\qquad E_\theta=-\cfrac{qd\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}$$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Найдите момент сил относительно диполя, действующий на заряд $Q$ в точке с координатами $(r{,}\theta)$. Ответ выразите через $Q$, $q$, $d$, $r$,$\theta$ и $\varepsilon_0$. ", "solution": {"text": "Для момента сил $M_z$ имеем:$$M_z=QE_\theta r$$откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$M_z=-\cfrac{Qqd\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}$$"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,10"}, {"condition": "Найдите азимутальную компоненту скорости $v_{\theta}$.  Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$, $\varepsilon_0$, $r$ и $\theta$. ", "solution": {"text": "Избавимся от времени в данной задаче, вместо неё рассматривая производную момента импульса $K$ по углу $\theta$. Из теоремы об изменении момента импульса:$$\cfrac{dK}{dt}=M=-\cfrac{Qqd\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}=\cfrac{dK}{d\theta}\cdot\cfrac{d\theta}{dt}$$С другой стороны, из выражения для $K$ имеем:$$\cfrac{d\theta}{dt}=\cfrac{K}{mr^2}$$откуда:$$\cfrac{K}{m}\cdot\cfrac{dK}{d\theta}=-\cfrac{Qqd\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0}\Rightarrow \cfrac{K^2}{2m}-\cfrac{Qqd\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0}=C=\cfrac{mv^2_0L^2}{2}-\cfrac{Qqd}{4\pi\varepsilon_0}$$Учитывая, что $K=mrv_\theta$, находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_\theta=\sqrt{\cfrac{v^2_0L^2}{r^2}-\cfrac{Qqd(1-\cos\theta)}{2\pi\varepsilon_0mr^2}}$$"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите радиальную компоненту скорости $v_{r}$ как функцию $r$ и $\theta$.  Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$, $\varepsilon_0$, $r$ и $\theta$. ", "solution": {"text": "Запишем закон сохранения энергии:$$E=\cfrac{mv^2_0}{2}-\cfrac{Qqd}{4\pi\varepsilon_0L^2}=\cfrac{mv^2_r}{2}+\cfrac{K^2}{2mr^2}-\cfrac{Qqd\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}=\cfrac{mv^2_r}{2}+\cfrac{C}{r^2}$$откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v_r=\pm\sqrt{\left(v^2_0L^2-\cfrac{Qqd}{2\pi m\varepsilon_0}\right)\left(\cfrac{1}{r^2}-\cfrac{1}{L^2}\right)}$$"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "За какое время $\tau'$ расстояние между диполем и зарядом уменьшается в два раза?  Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$. ", "solution": {"text": "Выражение для $v_r$ аналогично полученному в пункте $\mathrm{A2}$. Имеем:$$\tau'=\cfrac{L\sqrt{3}}{2\sqrt{v^2_{\text{cr}}-v^2_0}}$$Для $v^2_{\text{cr}}$ имеем:$$v^2_{\text{cr}}=\cfrac{Qqd}{2\pi m\varepsilon_0L^2}$$откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\tau'=\cfrac{L\sqrt{3}}{2\sqrt{\cfrac{Qqd}{2\pi m\varepsilon_0L^2}-v^2_0}}$$"]}, "number_part": "B6", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите максимальную и минимальную скорости заряда $v_{\max}$ и $v_{\min}$.  Ответы выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$. ", "solution": {"text": "Из ЗСЭ или зная зависимость $K (\theta)$, находим скорость $v(\theta)$:$$ v^2 = v^2_0-\cfrac{Qqd}{2\pi m\varepsilon_0}\frac{1-\cos \theta}{L^2}.$$Ясно, что максимальная скорость достигается при $\theta=0$ и равна $$ v_{\max} = v_0$$ В зависимости от того, достигает ли заряд точки $\theta=\pi$, минимальная скорость либо достигается при $\theta = \pi$, либо равна нулю в точках разворота:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v_{\min} = \begin{cases} v_{\min} = \sqrt{v^2_0 - \cfrac{Qqd}{\pi m\varepsilon_0L^2}} , \quad \text{ при } v^2_0\geq\cfrac{Qqd}{\pi m\varepsilon_0L^2}, \\ v_{\min} = 0, \quad \text{ при } v^2_0{<}\cfrac{Qqd}{\pi m\varepsilon_0L^2} \end{cases}$$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите силу $N$, действующую на заряд со стороны стержня.\\  Ответ выразите через $m$, $L$, $Q$, $q$, $d$, $v_0$, $\theta$ и $\varepsilon_0$. ", "solution": {"text": "Запишем второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление:$$ Q E_r- N = -\frac{m v^2}{L},$$$$ N = Q E_r + \frac{m v^2}{L}$$Подставляя $v(\theta)$ и $E_r(\theta)$, получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$N=\frac{m v^2_0}{L} - \frac{Q q d}{2 \pi \varepsilon_0 L^3}$$"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Возможно ли движение заряда по окружности при отсутствии стержня?  Если да, то какова должна быть начальная скорость $v_{\text{cr}}$?  Ответ выразите через $m$, $L$, $Q$, $q$, $d$, и $\varepsilon_0$. ", "solution": {"text": "Поскольку сила реакции $N$ не зависит от угла $\theta$ - подбором начальной скорости $v_0$, соответствующей $N=0$, этого можно добиться, поэтому: При $N=0$ имеем:$$\cfrac{mv^2_0}{L}=\cfrac{Qqd}{2\pi\varepsilon_0L^3}$$откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: Да, это возможно.  При $N=0$ имеем:$$\cfrac{mv^2_0}{L}=\cfrac{Qqd}{2\pi\varepsilon_0L^3}$$откуда:", "Ответ: $$v_{\text{cr}}=\sqrt{\cfrac{Qqd}{2\pi\varepsilon_0mL^2}}$$"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Начальная скорость заряда равна $v_{\text{cr}}$, полученной в предыдущем пункте.  Изобразите траекторию, описываемую зарядом за большое время, учитывая потери энергии на излучение. ", "solution": {"text": "Если бы излучения не было - заряд двигался бы по полуокружности, однако наличие излучения приводит к постоянному уменьшению энергии и вкладу в изменение момента импульса.Вклад в изменение энергии является основным, поэтому траектория частицы приближённо представляет собой набор полуокружностей с медленно уменьшающимся радиусом: <img_6>"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C4", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Считая применимым выражения для потенциала диполя $\varphi(r{,}\theta)$ при любых значениях $r$, покажите, что частицы могут упасть в центр поля диполя при углах $\theta_0<\pi/2$. ", "solution": {"text": "Воспользуемся результатами решения части $\mathrm{B}$:$$\cfrac{K^2}{2m}-\cfrac{Qqd\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0}=C=\cfrac{K^2_0}{2m}-\cfrac{Qqd\cos\theta_0}{4\pi\varepsilon_0}$$Запишем закон сохранения энергии:$$E=\cfrac{mv^2_0}{2}=\cfrac{mv^2_r}{2}+\cfrac{K^2}{2mr^2}-\cfrac{Qqd\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}=\cfrac{mv^2_r}{2}+\cfrac{C}{r^2}$$откуда:$$v^2_r=v^2_0-\cfrac{2C}{mr^2}$$При $C{>}0$ у функции $v^2_r(r)$ существует нулевое значение, а при $C\leq 0$ — нет, поэтому Частицы падают в центр поля только при $C\leq 0$.Это можно записать в виде условия:$$\cfrac{K^2_0}{2m}\leq\cfrac{Qqd\cos\theta_0}{4\pi\varepsilon_0}$$Данное неравенство возможно только при $\cos\theta_0{>}0$, или при $\theta_0{<}\pi/2$."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите сечения падения $\sigma$ в центр поля диполя.  Ответ выразите через $Q$, $q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$ и $\varepsilon_0$. ", "solution": {"text": "Обратим внимание, что каждая траектория является плоской и условие падения определяется только модулем прицельного параметра, но не его ориентацией, т.е:$$\cfrac{mv^2_0b^2}{2}\leq\cfrac{Qqd\cos\theta_0}{4\pi\varepsilon_0}$$Поперечное сечение частиц, падающих в центр поля, представляет собой круг радиусом $b$, поэтому для $\sigma$ имеем:$$\sigma=\pi{b}^2_{max}$$или же"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\sigma=\cfrac{Qqd\cos\theta_0}{2mv^2_0\varepsilon_0}$$"]}, "number_part": "D2", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Определите минимальное расстояние $r_{min}$ между частицей и диполем.  Ответ выразите через $q$, $Q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$, $b$ и $\varepsilon_0$. ", "solution": {"text": "Запишем выражение для $v^2_r(r)$:$$v^2_r=\cfrac{2E}{m}-\cfrac{2C}{mr^2}$$Минимальное расстояние достигается при $v_r=0$, откуда:$$r_{min}=\sqrt{\cfrac{C}{E}}$$или же:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$r_{min}=\sqrt{b^2-\cfrac{Qqd\cos\theta_0}{2\pi mv^2_0\varepsilon_0}}$$"]}, "number_part": "E1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Определите угол отклонения $\Delta{\theta}$ скорости частицы от первоначального направления, когда она снова окажется бесконечно далеко от диполя. Считайте, что $\Delta{\theta}\ll{\theta_0}$.  Ответ выразите через $Q$, $q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$, $b$ и $\varepsilon_0$. ", "solution": {"text": "Далее будем использовать подстановку Бине:$$r=\cfrac{1}{u}\qquad \dot r=-\cfrac{K}{m}\cfrac{du}{d\theta}$$В терминах $u$ выражение для $v^2_r$ запишется в следующей форме:$$\cfrac{K^2}{m^2}\left(\cfrac{du}{d\theta}\right)^2=\cfrac{2E}{m}-\cfrac{2Cu^2}{m}$$Отсюда:$$\left(\cfrac{du}{d\theta}\right)^2=\cfrac{E-Cu^2}{C+\cfrac{Qqd\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0}}$$Отсюда:$$\cfrac{du}{\sqrt{E-Cu^2}}=\pm\cfrac{d\theta}{\sqrt{C+\cfrac{Qqd\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0}}}$$Данное выражение необходимо проинтегрировать от бесконечного расстояние до положения минимального сближения, а затем вновь до положения бесконечного состояния. При этом угол поворота радиус-вектора частицы составит $\pi-\Delta\theta$. Получим:$$\int\limits_{\theta_0}^{\pi+\theta_0-\Delta\theta}\cfrac{d\theta}{\sqrt{1+\cfrac{Qqd\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0C}}}=2\int\limits_0^{\sqrt{E/C}}\cfrac{du}{\sqrt{E/C-u^2}}=2\int\limits_0^1\cfrac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\pi$$Далее, учитывая, что$$\cfrac{Qqd\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0C}\ll 1$$получим:$$\pi=\int\limits_{\theta_0}^{\pi+\theta_0-\Delta\theta}\left(1-\cfrac{Qqd\cos\theta}{8\pi\varepsilon_0C}\right)d\theta=\pi-\Delta\theta+\cfrac{Qqd(\sin\theta_0+\sin(\theta_0-\Delta\theta))}{8\pi\varepsilon_0C}$$Поскольку $\Delta\theta\ll\theta_0$, получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Delta\theta=\cfrac{Qqd\sin\theta_0}{2\pi\varepsilon_0mv^2_0b^2}$$"]}, "number_part": "E2", "exponent_part": "1,50"}]