text: {"text": [{"text": "В данной задаче мы рассмотрим явления, вызванные взаимодействием воды и предметов, связанным с поверхностным натяжением. В части A изучается движение, а части B и C посвящены статике. При необходимости Вы можете использовать факт, что если функция $y(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $y''(x)=a y(x)$ ($a$ — положительная постоянная), общее решение этого уравнения будет $y(x)=Ae^{\sqrt{a}x}+B e^{-\sqrt{a}x}$, где $A$ и $B$ — произвольные постоянные. Как показано на рис. 1, мы рассматриваем две стационарные сферические капли воды на поверхности из абсолютно несмачиваемого материала. Первоначально находящиеся рядом две сферические капли воды с одинаковыми радиусами помещены на поверхность; затем эти две капли сливаются после касания друг друга и образуют большую сферическую каплю воды, которая неожиданно подпрыгивает."}, {"text": "Часть B. Вертикальная пластина (4.5 балла) Плоская пластина вертикально погружена в воду. На рисунках 2(a) и 2(b) соответственно показаны формы поверхности воды в случаях смачиваемой и несмачиваемой пластин. Пренебрегайте толщиной пластины. Поверхность пластины совпадает с плоскостью \(yz\), а горизонтальная поверхность воды далеко от пластины совпадает с плоскостью \(xy\). Форма поверхности не зависит от координаты \(y\). Пусть \(\theta (x)\) — угол между поверхностью воды и горизонтальной плоскостью в точке \((x, z)\) на поверхности воды в плоскости \(xz\). Здесь \(\theta (x)\) измеряется по отношению к положительному направлению оси \(x\) и вращение против часовой стрелки считается положительным. Пусть \(\theta (x)\) равен \(\theta_0\) в точке контакта пластины с поверхностью воды (\(x=0\)). Далее \(\theta_0\) не меняется вследствие свойств материала пластин. Плотность воды $\rho$ постоянна и коэффициент поверхностного натяжения $\gamma$ одинаков. Ускорение свободного падения обозначим через $g$. Атмосферное давление $P_0$ предполагается всегда неизменным. Определим форму поверхности воды в несколько шагов. Заметьте, что коэффициент поверхностного натяжения измеряется в $\text{Дж}/\text{м}^2$ или $\text{Н}/\text{м}$. <img_1>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "2,00"}, "text": "<img_0>"}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,60"}, "text": "Рассмотрим смачиваемую пластину, как показано на рис. 2(a). Атмосферное давление $P_0$ считается всегда постоянным. Заметим, что давление воды $P$, удовлетворяет неравенствам $P < P_0$ для $z > 0$ и $P = P_0$ для $z = 0$. Выразите $P$ от $z$ через $\rho$, $g$, $z$, и $P_0$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,80"}, "text": "Рассмотрим выделенный объем воды, изображение которого затенено на рис. 3(a). Его сечение плоскостью $xz$ показано в виде заштрихованной области на рис. 3(b). Пусть $z_1$ и $z_2$ соответственно будут координаты левого и правого краев границы (поверхность воды) между объемом воды и воздухом. <img_2>"}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,80"}, "text": "Поверхностное натяжение, действующее на объем воды, уравновешивается силой $f_x$, которая обсуждалась в B2. Обозначим соответственно за $\theta_1$ и $\theta_2$ углы между поверхностью воды и горизонтальной плоскостью на левом и правом краях. Выразите $f_x$ через $\gamma$, $\theta_1$, и $\theta_2$."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "0,80"}, "text": "Следующее уравнение выполняется в произвольной точке $(x, z)$ на поверхности воды$$\frac{1}{2}\left( \frac{z}{\ell}\right) ^{a}+\cos\theta(x)=\operatorname{const}.$$Определите показатель степени $a$ и выразите постоянную $\ell$ через $\gamma$ и $\rho$. Заметьте, что это уравнение выполняется независимо от того, является пластина смачиваемой или несмачиваемой."}, {"text": "Часть C. Взаимодействие двух стержней (3.5 балла) Одинаковые стержни A и B, сделанные из одинакового материала и плавающие параллельно друг другу на поверхности воды находятся на одинаковом расстоянии от оси y (рис. 4). <img_3>"}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "1,50"}, "text": "В уравнении (1), раздел B.4, мы предполагаем, что изменения положения поверхности воды небольшие. Разложите $\cos\theta(x)$ по $z' (x)$ до второго порядка. Затем, дифференцируя полученное уравнение по $x$, получите дифференциальное уравнение которому удовлетворяет $z(x)$. Решите это дифференциальное уравнение и определите $z(x)$ при $x\geq 0$ , выразив его через $\operatorname{tg}\theta_0$ и $\ell$. Заметьте, что вертикальные направления на рисунках 2 и 3 увеличены для большей наглядности и они не удовлетворяют условию $|z'(x)|\ll1$."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "1,00"}, "text": "Как показано на рис. 5, обозначим координаты по оси $z$ за $z_{\rm{a}}$ и $z_{\rm{b}}$в точках контактов между стержнем B и поверхностью воды, а также соответствующие углы обозначим за $\theta_{\rm{a}}$ и $\theta_{\rm{b}}$. Определите горизонтальную компоненту силы, $F_x$, действующей на стержень B на единицу длины вдоль оси $y$, выразив её через $\theta_{\rm{a}}$, $\theta_{\rm{b}}$, $z_{\rm{a}}$, $z_{\rm{b}}$, $\rho$, $g$, и $\gamma$. <img_4>"}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "1,50"}, "text": "Определим координату $z$ поверхности воды $z_0$, в средней точке между двумя стержнями в плоскости $xz$. Выразите силу $F_x$, полученную в пункте C1, не используя $\theta_{\rm{a}}$, $\theta_{\rm{b}}$, $z_{\rm{a}}$, и $z_{\rm{b}}$."}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "1,00"}, "text": "Пусть $x_{\rm{a}}$ — координата $x$ точки контакта поверхности воды и стержня B слева от стержня. Используя дифференциальное уравнение, полученное в разделе B4, выразите координату уровня воды $z_0$ в точке посередине между этими двумя стержнями A и B через $x_{\rm{a}}$ и $z_{\rm{a}}$. Вы можете использовать постоянную $\ell$, введённую в разделе B4."}]}
answer: [{"condition": "Радиусы $a$ обеих капель воды перед слиянием равны $100~ \text{мкм}$. Плотность воды $\rho$ равна $1.00 \times 10^3 \text{~кг} / \text{м}^3$. Коэффициент поверхностного натяжения $\gamma$ равен $7.27 \times 10^{-2} \text{~Дж} / \text{м}^2$.Доля $k$ от $\Delta E$ (изменения поверхностной энергии), преобразуется в кинетическую энергию подпрыгивающей капли воды. Определите начальную скорость подпрыгивания, $v$, слившейся капли воды с точностью до двух значащих цифр при следующих предположениях: $k=0.06$В процессе слияния объём воды не изменяется. ", "solution": {"text": "Поверхностная энергия каждой из капель до объединения$$E = 4\pi \gamma a^2.$$При объединении объем капель сохраняется, поэтому конечный радиус капли $a_1$ можно найти из соотношения$$\frac{4 \pi}{3} a_1^3 = 2 \frac{4 \pi}{3}a^3, \quad a_1 = 2^{1/3}a. $$Тогда изменение поверхностной энергии$$\Delta E = 2\times 4 \pi \gamma a^2 - 4\pi \gamma a_1^2 = (2 - 2^{2/3}) 4 \pi \gamma a^2.$$С учетом того, что в кинетическую энергию переходит доля $k$ всей поверхностной энергии, для скорости получим$$\frac{M v^2}{2} = k \Delta E,$$где масса капли после слияния$$M = 2 \frac{4\pi}{3} \rho a^3 = \frac{8\pi}{3} \rho a^3. $$Отсюда скорость$$v = \sqrt{\frac{2 k \Delta E}{M}} = \sqrt{3(2 - 2^{2/3})\frac{k \gamma}{\rho a}} = 0.23~\text{м}/\text{с}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$v= \sqrt{3(2 - 2^{2/3})\frac{k \gamma}{\rho a}} = 0.23~\text{м}/\text{с}$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Рассмотрим смачиваемую пластину, как показано на рис. 2(a). Атмосферное давление $P_0$ считается всегда постоянным. Заметим, что давление воды $P$, удовлетворяет неравенствам $P < P_0$ для $z > 0$ и $P = P_0$ для $z = 0$. Выразите $P$ от $z$ через $\rho$, $g$, $z$, и $P_0$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$P = P_0 - \rho g z$$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Рассмотрим выделенный объем воды, изображение которого затенено на рис. 3(a). Его сечение плоскостью $xz$ показано в виде заштрихованной области на рис. 3(b). Пусть $z_1$ и $z_2$ соответственно будут координаты левого и правого краев границы (поверхность воды) между объемом воды и воздухом.  Получите горизонтальную компоненту (компоненту $x$ ) силы, $f_x$, которая действует на выделенный объем воды из-за давления, на единицу длины вдоль оси $y$, выразив её через $\rho$, $g$, $z_1$, and $z_2$. Заметьте, что атмосферное давление $P_0$ не создаёт горизонтальной силы на этот объем воды. ", "solution": {"text": "Постоянное атмосферное давление не создает никакой горизонтальной силы на выделенный объем, сила возникает только за счет избыточного давления воды. Она равна (на единицу длины)$$f_x = \int_{z_2}^{z_1} (- \rho g z) dz = \frac{1}{2} \rho g (z_2^2 - z_1^2).$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$f_x= \frac{1}{2} \rho g (z_2^2 - z_1^2)$$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Поверхностное натяжение, действующее на объем воды, уравновешивается силой $f_x$, которая обсуждалась в B2. Обозначим соответственно за $\theta_1$ и $\theta_2$ углы между поверхностью воды и горизонтальной плоскостью на левом и правом краях. Выразите $f_x$ через $\gamma$, $\theta_1$, и $\theta_2$. ", "solution": {"text": "Обратим внимание, что здесь нужна не сила поверхностного натяжения, действующая на заданный объем воды, а выражение силы давления воды $f_x$ через силы поверхностного натяжения в состоянии равновесия. Это важно для правильного выбора знаков."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$f_x = \gamma \cos \theta_1 - \gamma \cos \theta_2$$"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Следующее уравнение выполняется в произвольной точке $(x, z)$ на поверхности воды$$\frac{1}{2}\left( \frac{z}{\ell}\right) ^{a}+\cos\theta(x)=\operatorname{const}.$$Определите показатель степени $a$ и выразите постоянную $\ell$ через $\gamma$ и $\rho$. Заметьте, что это уравнение выполняется независимо от того, является пластина смачиваемой или несмачиваемой. ", "solution": {"text": "Условие равновесия имеет вид$$f_x = \frac{1}{2} \rho g (z_2^2 - z_1^2) = \gamma \cos \theta_1 - \gamma \cos \theta_2,$$откуда $$\frac{1}{2}\rho g z_1^2 + \gamma \cos \theta_1 = \frac{1}{2}\rho g z_2^2 + \gamma \cos \theta_2.$$Разделив на $\gamma$, получим$$\frac{1}{2} \frac{z^2}{\gamma/(\rho g)} + \cos \theta(x) = const$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$a = 2, \quad l = \sqrt{\frac{\gamma}{\rho g}}.$$"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "В уравнении (1), раздел B.4, мы предполагаем, что изменения положения поверхности воды небольшие. Разложите $\cos\theta(x)$ по $z' (x)$ до второго порядка. Затем, дифференцируя полученное уравнение по $x$, получите дифференциальное уравнение которому удовлетворяет $z(x)$. Решите это дифференциальное уравнение и определите $z(x)$ при $x\geq 0$ , выразив его через $\operatorname{tg}\theta_0$ и $\ell$. Заметьте, что вертикальные направления на рисунках 2 и 3 увеличены для большей наглядности и они не удовлетворяют условию $|z'(x)|\ll1$. ", "solution": {"text": "Производная функции $z(x)$ задает тангенс угла поверхности с горизонталью:$$\tan\theta (x) = z'(x),$$откуда$$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + z^{\prime 2}}} \approx 1 - \frac{1}{2} z^{\prime 2},$$где мы учли малость производной.Подставляя это в условие из предыдущего пункта, получим$$\frac{1}{2} \frac{z^2}{l^2} + 1 - \frac{1}{2} z^{\prime 2} = const,$$$$ \frac{z^2}{l^2} - z^{\prime 2} = const.$$Продифференцировав, найдем уравнение на форму поверхности$$z'' = \frac{z}{l^2},$$его общее решение$$z = Ae^{x/l} + B e^{- x/l}.$$На большом расстоянии до стенки $z (\infty) = 0$, поэтому коэффициент перед растущей экспонентой $A = 0$.Второй коэффициент найдем из значения угла $\theta_0$ вблизи стенки,$$\tan \theta_0 = z'(0) = - B/l, \quad B = - l \tan \theta_0.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$z = - l \tan \theta_0 e^{- x/l}$$"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Как показано на рис. 5, обозначим координаты по оси $z$ за $z_{\rm{a}}$ и $z_{\rm{b}}$в точках контактов между стержнем B и поверхностью воды, а также соответствующие углы обозначим за $\theta_{\rm{a}}$ и $\theta_{\rm{b}}$. Определите горизонтальную компоненту силы, $F_x$, действующей на стержень B на единицу длины вдоль оси $y$, выразив её через $\theta_{\rm{a}}$, $\theta_{\rm{b}}$, $z_{\rm{a}}$, $z_{\rm{b}}$, $\rho$, $g$, и $\gamma$. ", "solution": {"text": "Используем результаты пунктов B2 и B3. В отличие от пункта B3 здесь нужна именно сила поверхностного натяжения, которая действует на выделенный объем. Вклад силы поверхностного натяжения$$F_{surf} = \gamma (\cos \theta_b - \cos \theta_a)$$ можно записать сразу.Для вычисления силы давления разобьем цилиндр на левую и правую части, координата нижней точки цилиндра $z_{bottom}$, тогда сила давления$$F = \int_{z_{bottom}}^{z_a} (- \rho g z) dz - \int_{z_{bottom}}^{z_b} (- \rho g z) dz = \int _{z_a}^{z_b} \rho g z \, dz= \frac{1}{2} \rho g (z_b^2 - z_a^2).$$ <img_5> Докажем также, что горизонтальная составляющая силы давления зависит только от уровня воды, но не от формы объекта. Для этого заметим, что в некоторой точке $s$ сила давления направлена перпендикулярно поверхности и равна (на единицу длины)$$d\vec{F}= - P \vec{n} ds = (- P_0 + \rho g z)\vec{n} ds$$где $\vec{n}$ — единичный вектор нормали к поверхности, $ds$ — длина выбранного участка поверхности. Горизонтальная составляющая вектора $\vec{n} ds = dx$, поэтому горизонтальная составляющая силы$$dF_x=-P_0 dz + \rho g z dz.$$Интегрируя это выражение по поверхности, получим требуемый результат. Вклад постоянного давления $P_0$ сокращается, поскольку оно действует на всю поверхность цилиндра (а не только на погруженную в воду)."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$F_x = \frac{1}{2} \rho g (z_b^2 - z_a^2) + \gamma (\cos \theta_b - \cos \theta_a)$$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Определим координату $z$ поверхности воды $z_0$, в средней точке между двумя стержнями в плоскости $xz$. Выразите силу $F_x$, полученную в пункте C1, не используя $\theta_{\rm{a}}$, $\theta_{\rm{b}}$, $z_{\rm{a}}$, и $z_{\rm{b}}$. ", "solution": {"text": "Используя граничные условия (на большом расстоянии справа $z = 0$, и поверхность горизонтальна, в центре $z = z_0$, поверхность также горизонтальна), а также уравнение из B4, найдем $$\frac{1}{2} \rho g z_a^2 + \gamma \cos \theta_a = \frac{1}{2} \rho g z_0^2 + \gamma $$из условия в центре, из условия на бесконечности$$\frac{1}{2} \rho g z_b^2 + \gamma \cos \theta_b = \gamma.$$Подставляя это в выражение для силы, получим"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$F = - \frac{1}{2} \rho g z_0^2$$"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Пусть $x_{\rm{a}}$ — координата $x$ точки контакта поверхности воды и стержня B слева от стержня. Используя дифференциальное уравнение, полученное в разделе B4, выразите координату уровня воды $z_0$ в точке посередине между этими двумя стержнями A и B через $x_{\rm{a}}$ и $z_{\rm{a}}$. Вы можете использовать постоянную $\ell$, введённую в разделе B4. ", "solution": {"text": "Общее решение для $z(x)$ между цилиндрами$$z(x) = A e^{x/l} + B e^{-x/l}.$$Из условий в центре $z(0) = z_0$, $z'(0) = 0$ получим$$A + B = z_0 , \quad A = B,$$поэтому$$A = B = \frac{z_0}{2}.$$Тогда$$z(x) = \frac{z_0}{2} \left( e^{x/l} + e^{-x/l}\right) = z_0 \cosh \frac{x}{l}, \quad z_a = z_0 \cosh \frac{x_a}{l}.$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$z_0 = \frac{z_a}{\cosh (x_a/l)} = \frac{2 z_a}{e^{x_a/l} +e^{-x_a/l} }$$"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "1,00"}]