text: {"text": [{"text": "Вам могут пригодиться следующие сведения о поверхностном натяжении. Для молекул жидкости положение на границе с воздухом менее предпочтительно, чем в глубине. Поэтому граница обладает так называемой поверхностной энергией $U = \sigma S$, где $S$ — площадь поверхности жидкости, а $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения. Кроме того, два соседних фрагмента поверхности жидкости притягивают друг друга с силой $F = \sigma l$, где $l$ — длина прямой линии, разделяющей эти два фрагмента.Длинная металлическая трубка с внутренним диаметром $d$ направлена вниз, а из отверстия на её конце медленно капает вода, см. рис. Воду можно считать проводящей. Коэффициент поверхностного натяжения воды равен $\sigma$, а плотность — $\rho$.На протяжении всей задачи полагайте, что $d \ll r$, где $r$ — радиус капли, висящей непосредственно под трубкой, медленно растущий во времени до момента, когда капля отрывается от трубки и начинает падать из-за силы тяжести (ускорение свободного падения — $g$). <img_0>"}, {"text": "Часть A. Одна трубка"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "1,20"}, "text": "Найдите радиус $r_{\max}$ капли непосредственно перед её отрывом от трубки."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": "1,20"}, "text": "Электростатический потенциал трубки относительно бесконечно удалённой точки равен $\varphi$. Найдите заряд $Q$ капли в момент, когда её радиус равен $r$."}, {"text": "Часть B. Две трубки Аппарат под названием «капельница Кельвина» состоит из двух трубок (идентичных трубке из части $A$), соединённых T-образной трубкой, см. рис. Концы обеих трубок находятся в центре двух цилиндрических электродов (длиной $L$ и диаметром $D$, $L \gg D \gg r$); из обеих трубок капает $n$ капель в единицу времени. Капли падают с высоты $H$ в две проводящие чаши прямо под трубками, соединённые с электродами так, как показано на рисунке. Электроды соединены через конденсатор ёмкостью $C$. Суммарный заряд системы чаш и электродов равен нулю. Верхний контейнер с водой заземлён. <img_1>"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": "1,60"}, "text": "В этом подпункте полагайте, что $r$ остаётся неизменным, пока $\varphi$ медленно повышают. Капля станет нестабильной и распадется на капельки поменьше, если гидростатическое давление внутри капли станет меньше, чем атмосферное. Найдите критический потенциал трубки $\varphi_{\max}$, при котором это случится. Найдите критический потенциал трубки $\varphi_{\max}$, при котором это случится. Найдите критический потенциал трубки $\varphi_{\max}$, при котором это случится. Первая падающая капля имеет микроскопический заряд, что приводит к нарушению симметрии системы и небольшому разделению заряда на конденсаторе. Найдите критический потенциал трубки $\varphi_{\max}$, при котором это случится. Первая падающая капля имеет микроскопический заряд, что приводит к нарушению симметрии системы и небольшому разделению заряда на конденсаторе. Найдите критический потенциал трубки $\varphi_{\max}$, при котором это случится. Первая падающая капля имеет микроскопический заряд, что приводит к нарушению симметрии системы и небольшому разделению заряда на конденсаторе. Найдите критический потенциал трубки $\varphi_{\max}$, при котором это случится. Первая падающая капля имеет микроскопический заряд, что приводит к нарушению симметрии системы и небольшому разделению заряда на конденсаторе. Найдите критический потенциал трубки $\varphi_{\max}$, при котором это случится. Первая падающая капля имеет микроскопический заряд, что приводит к нарушению симметрии системы и небольшому разделению заряда на конденсаторе. Найдите критический потенциал трубки $\varphi_{\max}$, при котором это случится. Первая падающая капля имеет микроскопический заряд, что приводит к нарушению симметрии системы и небольшому разделению заряда на конденсаторе. Найдите критический потенциал трубки $\varphi_{\max}$, при котором это случится. Первая падающая капля имеет микроскопический заряд, что приводит к нарушению симметрии системы и небольшому разделению заряда на конденсаторе."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": "1,20"}, "text": "Выразите модуль заряда $Q_{0}$ капель, отделяющихся от трубок в момент, когда заряд конденсатора равен $q$, через $r_{\max}$ (описанный в части $A-1$). Эффектом, описанным в части $A-3$, пренебречь."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": "1,50"}, "text": "Найдите зависимость величины $q$ от времени $t$, представив её как непрерывную функцию от времени $q(t)$ и приняв $q(0) = q_{0}$."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": "1,30"}, "text": "Работе капельницы может помешать эффект, описанный в части $A-3$. Более того, существует предел $U_{\max}$ для допустимого напряжения между электродами, вызванный электростатическим отталкиванием капли и чаши под ней. Найдите $U_{\max}$. части $A-3$. Более того, существует предел $U_{\max}$ для допустимого напряжения между электродами, вызванный электростатическим отталкиванием капли и чаши под ней. Найдите $U_{\max}$. части $A-3$. Более того, существует предел $U_{\max}$ для допустимого напряжения между электродами, вызванный электростатическим отталкиванием капли и чаши под ней. Найдите $U_{\max}$. части $A-3$. Более того, существует предел $U_{\max}$ для допустимого напряжения между электродами, вызванный электростатическим отталкиванием капли и чаши под ней. Найдите $U_{\max}$. части $A-3$. Более того, существует предел $U_{\max}$ для допустимого напряжения между электродами, вызванный электростатическим отталкиванием капли и чаши под ней. Найдите $U_{\max}$. части $A-3$. Более того, существует предел $U_{\max}$ для допустимого напряжения между электродами, вызванный электростатическим отталкиванием капли и чаши под ней. Найдите $U_{\max}$. части $A-3$. Более того, существует предел $U_{\max}$ для допустимого напряжения между электродами, вызванный электростатическим отталкиванием капли и чаши под ней. Найдите $U_{\max}$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите радиус $r_{\max}$ капли непосредственно перед её отрывом от трубки. ", "solution": {"text": "Перед отрывом сумма сил на каплю равна нулю. Из условия равновесия в проекции на ось, направленную вертикально вниз, имеем:$$F_g - F_\sigma + F_p=0{.}$$Здесь $F_g$ — сила тяжести,$F_\sigma$ — сила поверхностного натяжения и $F_p$ — равнодействующая сил давления на каплю, обусловленная разностью давлений в трубке и в атмосфере.Для силы тяжести имеем:$$F_g = \cfrac{4\pi r^3\rho g}{3}{.}$$В момент отрыва сила поверхностного натяжения в месте крепления капли действует вертикально и поэтому составляет:$$F_\sigma = \sigma \pi d{.}$$Перепад давлений в атмосфере и в трубке обусловлен Лапласовым и гидростатическим давлением:$$\Delta{p}=\cfrac{2\sigma}{r}-2\rho gr{,}$$откуда для разности сил давления находим:$$F_p = \cfrac{\pi d^2}{4}\Delta p = \cfrac{\pi d^2}{4}\left(\cfrac{2\sigma}{r}-2\rho gr\right) = \sigma \pi d \cdot \cfrac{d}{2r}-\cfrac{\pi\rho grd^2}{2} \ll F_\sigma{,}F_g{.}$$Видно, что равнодействующей сил давления можно пренебречь. Таким образом, условие равновесия капли:$$\cfrac{4\pi r^3\rho g}{3} = \sigma \pi d{,}$$откуда:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$r_{max} = \sqrt[3]{\cfrac{3\sigma d}{4 \rho g}}{.}$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Электростатический потенциал трубки относительно бесконечно удалённой точки равен $\varphi$. Найдите заряд $Q$ капли в момент, когда её радиус равен $r$. ", "solution": {"text": "Потенциал, создаваемый зарядами капли в её центре, составляет:$$\varphi_\text{к}= \cfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}{.}$$Покажем, что в центре капли потенциалом, создаваемым зарядами на поверхности трубки, можно пренебречь.Рассмотри сечение трубки, находящееся на расстоянии $x$ от центра капли. Нормальная к цилиндрической поверхности компонента электрического поля капли составляет:$$E_\perp=\cfrac{kqd}{2x^3}=\cfrac{qd}{8\pi\varepsilon_0x^3}{.}$$Поскольку трубку можно считать тонкой, а напряжённость электростатического поля в её объёме должна быть равна нулю — поверхностную плотность заряда в рассматриваемом сечении можно оценить, приравнивая напряжённость электростатического поля плоскости к $E_\perp$, откуда:$$\sigma(x)\approx 2\varepsilon_0E_\perp\approx\cfrac{qd}{4\pi x^3}{.}$$Тогда получим приближение для потенциала, создаваемого зарядами трубки:$$\varphi_\text{т}\approx\int\limits_{r}^{\infty}\cfrac{qd}{4\pi x^3}\cfrac{\pi d}{x}\cfrac{dx}{4\pi\varepsilon_0}=\cfrac{qd^2}{16\pi\varepsilon_0}\int\limits_{r}^{\infty}\cfrac{dx}{x^4}=\cfrac{qd^2}{48\pi\varepsilon_0r^3}{.}$$Множитель $(d/r)^2$ является величиной второго порядка малости, что позволяет пренебречь вкладом в потенциал от зарядов трубки.Таким образом"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$Q = 4\pi\varepsilon_0r\varphi{.}$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "В этом подпункте полагайте, что $r$ остаётся неизменным, пока $\varphi$ медленно повышают. Капля станет нестабильной и распадется на капельки поменьше, если гидростатическое давление внутри капли станет меньше, чем атмосферное.  Найдите критический потенциал трубки $\varphi_{\max}$, при котором это случится.  Первая падающая капля имеет микроскопический заряд, что приводит к нарушению симметрии системы и небольшому разделению заряда на конденсаторе. ", "solution": {"text": "Рассмотрим силы действующие на малый элемент равномерно заряженной сферы. Поле снаружи на поверхности сферы $E_0 = Q/(4\pi\varepsilon_0r^2)$ при этом вклад от малого участка в этой точке равен полю плоскости с такой же поверхностной плотностью заряда, то есть: $$E_\text{уч}=\cfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}=Q/(8\pi\varepsilon_0 r^2){.}$$ Отсюда находим поле $E_\text{ост}$, действующее на рассматриваемый участок: $$E_\text{ост}=Q/(8\pi\varepsilon_0 r^2){.}$$Таким образом, электростатическое давление, представляющее собой силу, действующее на единицу площади поверхности капли, направлено наружу и составляет:$$\Delta p_\text{эл}=E_\text{ост}\cdot \cfrac{Q}{4\pi r^2}=\cfrac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0 r^4}{.}$$Лапласово давление направлено внутрь капли и составляет: $$\Delta p_\sigma=\cfrac{2\sigma}{r}{.}$$В граничной ситуации давление в капле равно атмосферному, то ест $\Delta p_\text{эл} = \Delta p_\sigma$, откуда:$$\cfrac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0 r^4} = \cfrac{\varepsilon_0\varphi_{max}^2}{2r^2} = \cfrac{2\sigma}{r}{.}$$Таким образом:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\varphi_{max} = 2\sqrt{\cfrac{\sigma r}{\varepsilon_0}}{.}$$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "1,60"}, {"condition": "Выразите модуль заряда $Q_{0}$ капель, отделяющихся от трубок в момент, когда заряд конденсатора равен $q$, через $r_{\max}$ (описанный в части $A-1$). Эффектом, описанным в части $A-3$, пренебречь. ", "solution": {"text": "Напряжение на конденсаторе в рассматриваемый момент $U = q/C$. Суммарный заряд системы равен нулю, поэтому потенциал отрицательного электрода равен $-U/2$. Сосуд с водой заземлён, поэтому суммарный потенциал капли равен нулю, то есть её собственный потенциал должен компенсировать потенциал электрода.$$\cfrac{Q_0}{4\pi\varepsilon_0 r_{max}} = \cfrac{U}{2} = \cfrac{q}{2C}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$Q_0 = \cfrac{2\pi\varepsilon_0r_{max}q}{C}$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Найдите зависимость величины $q$ от времени $t$, представив её как непрерывную функцию от времени $q(t)$ и приняв $q(0) = q_{0}$. ", "solution": {"text": "Заметим, что заряд конденсатора в данной схеме будет увеличиваться. Ток через конденсатор $I = nQ_0$.$$\dot{q} = I = nQ_0 = \cfrac{2\pi\varepsilon_0r_{max}n}{C}q$$Обозначим $\gamma = 2\pi\varepsilon_0r_{max}n/C$, тогда $q = q_0e^{\gamma t}$. Подставим $r_{max}$.$$\gamma = \cfrac{2\pi\varepsilon_0r_{max}n}{C} = \cfrac{\pi\varepsilon_0n}{C}\sqrt[3]{\cfrac{6\sigma d}{\rho g}}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$q(t) = q_0 e^{\gamma t},\quad\gamma = \cfrac{\pi\varepsilon_0n}{C}\sqrt[3]{\cfrac{6\sigma d}{\rho g}}$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "1,50"}, {"condition": "Работе капельницы может помешать эффект, описанный в  части $A-3$. Более того, существует предел $U_{\max}$ для допустимого напряжения между электродами, вызванный электростатическим отталкиванием капли и чаши под ней. Найдите $U_{\max}$. ", "solution": {"text": "Заметим, что разность потенциалов цилиндра и чаши под ним равна $U$. Таким образом изменение электростатической энергии капли при падении равно $QU$. При этом капля будет падать, пока её суммарная потенциальная энергия не увеличивается, то есть: $UQ - mgH \geqslant 0$. Для максимального напряжения будет равенство.$$2\pi\varepsilon_0r_{max} U_{max}^2 = \cfrac{4\pi r_{max}^3 \rho g H}{3}$$$$U_{max} = r_{max} \sqrt{\cfrac{2\rho g H}{3\varepsilon_0}} = \sqrt[3]{\cfrac{3\sigma d}{4 \rho g}}\sqrt{\cfrac{2\rho g H}{3\varepsilon_0}} = \left(\cfrac{9\sigma^2d^2}{16\rho^2 g^2}\cdot\cfrac{8\rho^3 g^3 H^3}{27\varepsilon_0^3}\right)^\cfrac{1}{6}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$U_{max} = \left(\cfrac{\sigma^2d^2\rho gH^3}{6\varepsilon_0^3}\right)^\cfrac{1}{6}$$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "1,30"}]