text: {"text": [{"text": "«Хитрый» источник обеспечивает постоянную мощность $P$ во внешней цепи."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите силу тока через источник и напряжение на нём в зависимости от времени, если его подключили к резистору с сопротивлением $R$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите силу тока через источник и напряжение на нём в зависимости от времени, если его подключили к конденсатору ёмкости $C$. Теперь к «хитрому» источнику подключили цепь, схема которой приведена на рисунке. $R=5~\text{Ом}$, $P=8~\text{Вт}$, напряжение открытия диода $U_0=2~\text{В}$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "3,00"}, "text": "Найдите силу тока и напряжение на каждом элементе цепи в момент открытия диода."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "3,00"}, "text": "Будет ли достигнут установившийся режим? Если да, то рассчитайте силу тока и напряжение на каждом элементе цепи в установившемся режиме."}]}
answer: [{"condition": "Найдите силу тока через источник и напряжение на нём в зависимости от времени, если его подключили к резистору с сопротивлением $R$. ", "solution": {"text": "Мощность определяется законом Джоуля-Ленца: $P=I^2 R$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[I=\sqrt{\frac{P}{R}},\quad U=\sqrt{PR}\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите силу тока через источник и напряжение на нём в зависимости от времени, если его подключили к конденсатору ёмкости $C$. ", "solution": {"text": "Запишем ЗСЭ: $Pt=\frac{CU^2}{2}$. Ток найдем, как производную заряда $I=\dot{q}=C\dot{U} =\sqrt{\frac{CP}{2t}}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[I=\sqrt{\frac{CP}{2t}}, \quad U=\sqrt{\frac{2Pt}{C}}\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите силу тока и напряжение на каждом элементе цепи в момент открытия диода. ", "solution": {"text": "В момент открытия диода напряжение на нем равно $U_0$, а ток нулевой. Из симметрии схемы следует, что в ветвях будут течь одинаковые токи $I$, а напряжения на конденсаторах равны. Обозначим напряжение на конденсаторах, как U. Тогда, записав II правило Кирхгофа в любом из контуров резистор-конденсатор-диод, получим $U=IR+U_0$.Напряжение на источнике $\mathcal{E}=R\cdot2I + 2RI+ U_0$, а полная выделяемая им мощность $P=\mathcal{E} \cdot 2I$. Таким образом, получилось квадратное уравнение на ток $I$: $8 I^2 R + 2 I U_0 - P = 0$, его решение $I=\frac{-U_0 + \sqrt{U_0^2 + 8 PR}}{8R}=0.4~\text{А}$. | Элемент | Ток | Напряжение | | --- | --- | --- | | Источник | $2I\=0\.8\~\\text{А}$ | $4RI\+U\_0\=10\~\\text{В}$ | | “Внутренние” резисторы | $I\=0\.4\~\\text{А}$ | $RI\=2\~\\text{В}$ | | “Внешний” резистор | $2I\=0\.8\~\\text{А}$ | $RI\=4\~\\text{В}$ | | Конденсаторы | $I\=0\.4\~\\text{А}$ | $RI\+U\_0\=4\~\\text{В}$ | | Диод | $I\=0\~\\text{А}$ | $U\_0\=2\~\\text{В}$ |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | Элемент | Ток | Напряжение | | --- | --- | --- | | Источник | $2I\=0\.8\~\\text{А}$ | $4RI\+U\_0\=10\~\\text{В}$ | | “Внутренние” резисторы | $I\=0\.4\~\\text{А}$ | $RI\=2\~\\text{В}$ | | “Внешний” резистор | $2I\=0\.8\~\\text{А}$ | $RI\=4\~\\text{В}$ | | Конденсаторы | $I\=0\.4\~\\text{А}$ | $RI\+U\_0\=4\~\\text{В}$ | | Диод | $I\=0\~\\text{А}$ | $U\_0\=2\~\\text{В}$ | Ответ: ЭлементТокНапряжениеИсточник$2I=0.8~\text{А}$$4RI+U_0=10~\text{В}$“Внутренние” резисторы$I=0.4~\text{А}$$RI=2~\text{В}$“Внешний” резистор$2I=0.8~\text{А}$$RI=4~\text{В}$Конденсаторы$I=0.4~\text{А}$$RI+U_0=4~\text{В}$Диод$I=0~\text{А}$$U_0=2~\text{В}$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "3,00"}, {"condition": "Будет ли достигнут установившийся режим? Если да, то рассчитайте силу тока и напряжение на каждом элементе цепи в установившемся режиме. ", "solution": {"text": "В начальный момент времени диод закрыт и конденсаторы начинают заряжаться, пока тот диод не откроется. После открытия диода пока через конденсаторы идет ток, напряжение на них, а значит и напряжение на резисторах, повышается. Соответственно, мощность, выделяющаяся на резисторах и на диоде, также возрастает. Так как общая мощность в цепи постоянна, то мощность на конденсаторах будет падать, пока не упадет до нуля – тогда через них престанет идти ток, и мы получим цепь с последовательным соединением трех резисторов и диода. Из пункта A1 состояние такой системы стационарно, значит установившийся режим будет достигнут.В установившемся режиме через резисторы и диод идет одинаковый ток $I$, при этом на диоде падает напряжение $U_0$. Таким образом, напряжение на источнике $\mathcal{E}=3RI+U_0$ и выражение для мощности имеет вид: $P=3RI^2+U_0 I$. Из него легко получить квадратное уравнение на $I$, решая которое, получаем $I=\frac{-U_0+\sqrt{U_0^2 + 12 PR}}{6RP} = \frac{2}{3}~\text{А}$. | Элемент | Ток | Напряжение | | --- | --- | --- | | Источник | $I\=\\frac{2}{3}\~\\text{А}$ | $3RI\+U\_0\=12\~\\text{В}$ | | “Внутренние” резисторы | $I\=\\frac{2}{3}\~\\text{А}$ | $RI\=\\frac{10}{3}\~\\text{В}$ | | “Внешний” резистор | $I\=\\frac{2}{3}\~\\text{А}$ | $RI\=\\frac{10}{3}\~\\text{В}$ | | Конденсаторы | $I\=0\~\\text{А}$ | $RI\+U\_0\=\\frac{16}{3}\~\\text{В}$ | | Диод | $I\=\\frac{2}{3}\~\\text{А}$ | $U\_0\=2\~\\text{В}$ |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | Элемент | Ток | Напряжение | | --- | --- | --- | | Источник | $I\=\\frac{2}{3}\~\\text{А}$ | $3RI\+U\_0\=12\~\\text{В}$ | | “Внутренние” резисторы | $I\=\\frac{2}{3}\~\\text{А}$ | $RI\=\\frac{10}{3}\~\\text{В}$ | | “Внешний” резистор | $I\=\\frac{2}{3}\~\\text{А}$ | $RI\=\\frac{10}{3}\~\\text{В}$ | | Конденсаторы | $I\=0\~\\text{А}$ | $RI\+U\_0\=\\frac{16}{3}\~\\text{В}$ | | Диод | $I\=\\frac{2}{3}\~\\text{А}$ | $U\_0\=2\~\\text{В}$ | Ответ: ЭлементТокНапряжениеИсточник$I=\frac{2}{3}~\text{А}$$3RI+U_0=12~\text{В}$“Внутренние” резисторы$I=\frac{2}{3}~\text{А}$$RI=\frac{10}{3}~\text{В}$“Внешний” резистор$I=\frac{2}{3}~\text{А}$$RI=\frac{10}{3}~\text{В}$Конденсаторы$I=0~\text{А}$$RI+U_0=\frac{16}{3}~\text{В}$Диод$I=\frac{2}{3}~\text{А}$$U_0=2~\text{В}$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "3,00"}]