text: {"text": [{"text": "Некто предложил новый способ запуска ракет. Вместо того, чтобы запускать их вверх, он рекомендовал отпускать ракеты вниз по направляющим, образующим дугу большого радиуса $R$ (см. рисунок). <img_0> В некоторый момент движения по направляющим следовало включать двигатель. Автор изобретения утверждал, что при таком запуске высота $H_{2}$ подъема ракеты будет превышать высоту $H_{1}$, достижимую при обычном запуске (вертикально вверх)."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Полагая $H_{1}$ и $R$ заданными, найдите максимально возможное значение высоты $H_{2}$. Считать, что двигатель ракеты работает короткий промежуток времени, а сопротивлением воздуха и трением между корпусом ракеты и направляющими можно пренебречь."}]}
answer: [{"condition": "Полагая $H_{1}$ и $R$ заданными, найдите максимально возможное значение высоты $H_{2}$. ", "solution": {"text": "Скорость ракеты при ее запуске вверх после срабатывания реактивного двигателя равна $$ v_{р}=\sqrt{2 g H_{1}}. $$ При движении ракеты по направляющим непосредственно перед включением двигателя — $$ v_{R}=\sqrt{2 g R \sin \alpha} $$ (угол $\alpha$ указан на рисунке), а ее скорость сразу после срабатывания двигателя — $$ v_{\alpha}=v_{R}+v_{р}. $$ <img_1> Из закона сохранения энергии $$ m_{р} \frac{v_{\alpha}^{2}}{2}=m_{р} g\left(H_{2}+R \sin \alpha\right) $$ получаем $$ H_{2}=H_{1}+2 \sqrt{H_{1} R \sin \alpha}. $$ Максимальной высоты подъема ракета достигнет при $\alpha_{0}=90^{\circ}$, следовательно, $$ H_{2}=H_{1}+2 \sqrt{H_{1} R}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ H_{2}=H_{1}+2 \sqrt{H_{1} R}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]