text: {"text": [{"text": "В архиве ЦПМК 2011 года была обнаружена задача, в которой описывалось довольно странное устройство для экспериментов с идеальным газом. Закрытая снизу тонкостенная цилиндрическая трубка длиной $L$, установленная вертикально, жёстко соединена с закреплённым цилиндрическим сосудом, ось которого также вертикальна, а диаметр во много раз превышает диаметр трубки (см. рис.). Верхняя часть трубки расположена на расстоянии $l$ выше дна сосуда. В трубке без трения может перемещаться тонкий лёгкий герметичный поршень. Под поршнем находится воздух, который можно считать идеальным газом. В верхней части трубки расположены небольшие упоры, ограничивающие движение поршня вверх.В стенке сосуда вблизи его дна проделано небольшое отверстие. С помощью тонкой трубочки через отверстие сосуд очень медленно наполняют ртутью, а затем так же медленно понижают уровень ртути в сосуде до его дна. Далее везде $h$ обозначает уровень ртути в сосуде относительно верхней части трубки, а $x$ — расстояние между поршнем и упорами. Считайте, что в процессе изменения уровня ртути в сосуде температура воздуха под поршнем и атмосферное давление остаются постоянными.Параметры установки: $L=3{,}04~м$, $l=0{,}04~м$, атмосферное давление $p_0$ равно гидростатическому давлению столба ртути высотой $h_0=p_0/\rho g=0{,}76~м$, где $\rho$ — плотность ртути, а $g$ — ускорение свободного падения. Величины $p_0$, $\rho$ и $g$ считайте неизвестными.Во всех пунктах задачи приведите как аналитические выражения, так и численные значения для ответов.Изначально ртути в сосуде и над поршнем нет, а давление воздуха под поршнем превышает величину атмосферного давления. В пунктах $1-3$ считайте, что когда уровень ртути в сосуде достиг максимального значения $h_{max}=1{,}52~м$, расстояние между поршнем и упорами составило $x_{max}=2{,}28~м$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Рассмотрим процесс повышения уровня ртути в сосуде. При каком значении уровня $h_1$ ртути в сосуде поршень пришёл в движение?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Пусть уровень ртути в сосуде в процессе его повышения составил $h_1+\Delta h$, где $0<\Delta h\ll h_1$. Найдите возможные значения $x_1$ между поршнем и упорами."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "На каком расстоянии $x_2$ до упоров будет находиться поршень, когда уровень ртути в сосуде понизится до его дна? Ответ обоснуйте."}, {"balls": {"number": "4", "exponent": null}, "text": "Ртуть полностью откачали из сосуда и пространства над поршнем, после чего изменили количество воздуха под поршнем. Далее процессы повышения и понижения уровня в сосуде с помощью трубочки через отверстие повторили. Оказалось, что когда уровень ртути в сосуде достиг величины $h_{max}=1{.}52~м$, расстояние между поршнем и упорами составило $x'_{max}=1{.}52~м$. При каком значении уровня $h_2$ ртути в сосуде в процессе его понижения поршень достигает упоров?"}]}
answer: [{"condition": "Рассмотрим процесс повышения уровня ртути в сосуде. При каком значении уровня $h_1$ ртути в сосуде поршень пришёл в движение? ", "solution": {"text": "Пусть $\Delta{p}$ — отличие давления воздуха под поршнем от атмосферного в начале процесса. Поршень придёт в движение, когда давление ртути на поршень сравняется с избыточным давлением воздуха под поршнем, откуда:$$p_0+\rho gh_1=p_0+\Delta{p}\Rightarrow h_1=\cfrac{\Delta{p}}{\rho g}{.}$$Температура воздуха под поршнем может считаться постоянной. Поскольку нижняя часть трубы закрыта, количество воздуха под поршнем также будет оставаться постоянным. Тогда, если давление воздуха под поршнем обозначить за $p_в$, его зависимость от $x$ определяется законом Бойля—Мариотта:$$p_вV=const\Rightarrow p_в=\cfrac{(p_0+\Delta{p})L}{L-x}{.}$$Пусть уровень ртути в сосуде равен $h$. Тогда давление $p_р$ ртути на поршень составляет:$$p_р=p_0+\rho g(h+x){.}$$В положении равновесия давление воздуха под поршнем равно давлению ртути на поршень, поэтому:$$p_0+\rho g(x+h)=\cfrac{(p_0+\Delta p)L}{L-x}{.}$$Когда уровень ртути в сосуде достигает максимального значения $h_{max}$, величина $x=x_{max}$, получаем:$$\cfrac{\Delta{p}}{\rho g}=h_1=\left(\cfrac{p_0}{\rho g}+x_{max}+h_{max}\right)\left(1-\cfrac{x_{max}}{L}\right)-\cfrac{p_0}{\rho g}{,}$$или с учётом $p_0/(\rho g)=h_0$:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$h_1=\cfrac{(h_0+h_{max}+x_{max})(L-x_{max})}{L}-h_0= 380~мм{.}$$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Пусть уровень ртути в сосуде в процессе его повышения составил $h_1+\Delta h$, где $0<\Delta h\ll h_1$. Найдите возможные значения $x_1$ между поршнем и упорами. ", "solution": {"text": "Перепишем условие равновесия поршня в следующем виде:$$(h_0+h+x)(L-x)=(h_0+h_1)L{.}$$Раскроем скобки и получим:$$x^2-(L-h_0-h)x+(h_1-h)L=0{.}$$Обратим внимание, что при $h>h_1$ свободный член полученного квадратного уравнения является отрицательным, что следует из теоремы Виета, а значит уравнение имеет ровно один положительный корень. Тогда, поскольку нахождение поршня выше упоров не является возможным, при $h>h_1$ поршень имеет единственное положение равновесия.Так как $\Delta h\ll h_1$, свободный член можно принять равным нулю. Сокращая решение $x=0$, получим:$$x_1=L-h_0-h_1{,}$$или же:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$x_1=L-\cfrac{(h_0+h_{max}+x_{max})(L-x_{max})}{L}=1900~мм{.}$$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "На каком расстоянии $x_2$ до упоров будет находиться поршень, когда уровень ртути в сосуде понизится до его дна? Ответ обоснуйте. ", "solution": {"text": "После того, как уровень ртути в сосуде окажется ниже верхней части трубы, положение равновесия поршня перестанет изменяться.Решим квадратное уравнение, получаемое из условия равновесия поршня, при $h=0$:$$x_{2(1{,}2)}=\cfrac{L-h_0\pm\sqrt{(L-h_0)^2-4Lh_1}}{2}=0{.}76~м{,}~1{.}52~м{.}$$Таким образом, когда уровень ртути в сосуде понизится до практически нулевого, поршень имеет два положения равновесия и расположится в том из них, которое является устойчивым. Проанализируем оба найденных положения равновесия поршня на устойчивость.Положение равновесия поршня является устойчивым, если при повышении расстояния между ним и упорами давление воздуха под поршнем становится выше, чем давление ртути на поршень. Если расстояние между поршнем и упорами увеличилось на малую величину $\Delta{x}$, то условия устойчивости положения равновесия поршня можно записать следующим образом:$$p_0+\rho g(h+x+\Delta x)<\frac{(p_0+\Delta p)L}{L-x-\Delta x}{.}$$Используя условие равновесия, получим:$$\rho g\Delta x<\cfrac{(p_0+\Delta{p})L}{L-x-\Delta x}-(p_0+\rho g(h+x))=\frac{(p_0+\Delta p)L}{L-x-\Delta x}-\frac{(p_0+\Delta p)L}{L-x}{,}$$С учётом малости $\Delta{x}$ имеем:$$\rho g\Delta x<\cfrac{(p_0+\Delta{p})L\Delta x}{(L-x-\Delta x)(L-x)}\approx\cfrac{(p_0+\Delta p)L\Delta x}{(L-x)^2}\Rightarrow \rho g<\cfrac{(p_0+\Delta p)L}{(L-x)^2}{.}$$Определим значения $x$, при которых положения равновесия поршня является устойчивым:$$L> x>L-\sqrt{\cfrac{(p_0+\Delta p)L}{\rho g}}=L-\sqrt{(h_0+h_1)L}=x_{кр}\approx 1178~мм{.}$$Таким образом, положение равновесия $x_{2(1)}=760~мм$ является неустойчивым, а $x_{2(2)}=1520~мм$ — устойчивым.Отметим, что при $h=0$ положение $x=0$ также является положением равновесия, поскольку для данного положения давление воздуха под поршнем будет выше, чем давление ртути на поршень, равное атмосферному. Однако, пока поршень не окажется на расстоянии $x=x_{кр}$ от упоров, он всегда будет располагаться в устойчивом положении равновесия. При этом величина $x$ монотонно возрастает с увеличением уровня $h$ ртути в сосуде. Поскольку найденная при $h=0$ величина $x_{2(2)}>x_{кр}$, то поршень в процессе понижения уровня ртути в сосуде всегда расположен в положении устойчивого равновесия и не может его покинуть.Таким образом, конечному положению поршня соответствует следующая величина $x_2$: Примечание: Исследование на устойчивость положений равновесия поршня можно осуществить не только аналитически, но и графически. Для это построим график зависимости $p_в(x)$ (чёрная линия на рис.), а поверх него — прямые $p_р(x)$ при различных значениях $h$, где давления измеряются в миллиметрах ртутного столба. Точки пересечения графиков функций $p_в(x)$ и $p_р(x)$ соответствуют положениям равновесия поршня. Если вблизи точки пересечения с увеличением $x$ функция $p_в(x)$ возрастает на большую величину, чем функция $p_р(x)$, то при малом смещении поршня равнодействующая приложенных к нему сил будет направлена противоположно смещению поршня, и, следовательно, положения равновесия будет являться устойчивым. Если же вблизи точки пересечения с увеличением $x$ функция $p_в(x)$ возрастает на меньшую величину, чем функция $p_р(x)$, то при малом смещении поршня равнодействующая приложенных к нему сил будет направлена вдоль смещения поршня, и, следовательно, положение равновесия поршня будет являться неустойчивым. Из рисунка видно, что при $h>h_1$ все положения равновесия поршня являются устойчивыми, а положение равновесия $x=0$ при $h=h_1$ является неустойчивым. Если мы рассмотрим случай $h=0$ (красная прямая на графике), то точка пересечения $x_{2(1)}=760~мм$ соответствует неустойчивому, а $x_{2(2)}=1520~мм$ – устойчивому положению равновесия. <img_1>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$x_2=\cfrac{L-h_0+\sqrt{(L+h_0)^2-4(h_0+h_{max}+x_{max})(L-x_{max})}}{2}=1520~мм$$  Примечание: Исследование на устойчивость положений равновесия поршня можно осуществить не только аналитически, но и графически. Для это построим график зависимости $p_в(x)$ (чёрная линия на рис.), а поверх него — прямые $p_р(x)$ при различных значениях $h$, где давления измеряются в миллиметрах ртутного столба. Точки пересечения графиков функций $p_в(x)$ и $p_р(x)$ соответствуют положениям равновесия поршня. Если вблизи точки пересечения с увеличением $x$ функция $p_в(x)$ возрастает на большую величину, чем функция $p_р(x)$, то при малом смещении поршня равнодействующая приложенных к нему сил будет направлена противоположно смещению поршня, и, следовательно, положения равновесия будет являться устойчивым. Если же вблизи точки пересечения с увеличением $x$ функция $p_в(x)$ возрастает на меньшую величину, чем функция $p_р(x)$, то при малом смещении поршня равнодействующая приложенных к нему сил будет направлена вдоль смещения поршня, и, следовательно, положение равновесия поршня будет являться неустойчивым. Из рисунка видно, что при $h>h_1$ все положения равновесия поршня являются устойчивыми, а положение равновесия $x=0$ при $h=h_1$ является неустойчивым. Если мы рассмотрим случай $h=0$ (красная прямая на графике), то точка пересечения $x_{2(1)}=760~мм$ соответствует неустойчивому, а $x_{2(2)}=1520~мм$ – устойчивому положению равновесия."]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Ртуть полностью откачали из сосуда и пространства над поршнем, после чего изменили количество воздуха под поршнем. Далее процессы повышения и понижения уровня в сосуде с помощью трубочки через отверстие повторили. Оказалось, что когда уровень ртути в сосуде достиг величины $h_{max}=1{.}52~м$, расстояние между поршнем и упорами составило $x'_{max}=1{.}52~м$. При каком значении уровня $h_2$ ртути в сосуде в процессе его понижения поршень достигает упоров? ", "solution": {"text": "Используя результаты решения первого пункта, определим величину $h_1$, при которой поршень приходит в движение:$$h_1=\cfrac{(h_0+h_{max}+x_{max})(L-x_{max})}{L}-h_0= 1140~мм{.}$$Запишем условие равновесия поршня:$$x^2-x(L-h_0-h)+L(h_1-h)=0{.}$$Решению $x=0$ соответствует величина $h=h_1$. Однако при решении второго пункта мы получали, что при $h=h_1$ у поршня существует второе положение равновесия на расстоянии $x_1$ от упоров, равном:$$x_1=L-\cfrac{(h_0+h_{max}+x_{max})(L-x_{max})}{L}=1140~мм{.}$$Данное положение является устойчивым, что можно показать, используя критерий устойчивости положения равновесия, полученный при решении четвёртого пункта:$$x>L-\sqrt{(h_0+h_1)L}=x_{кр}\approx 637~мм{.}$$Данное условие выполнено при $x=x_1$, поэтому в процессе понижения уровня ртути в сосуде поршень не достигает упоров при $h=h_1$.При последующем понижении уровня ртути в сосуде у поршня есть два положения равновесия, одно из которых является устойчивым, а другое — неустойчивым. Пока расстояние $x$ между поршнем и упорами удовлетворяет условию $x>x_{кр}$, поршень располагается в положении устойчивого равновесия. Когда расстояние между поршнем и упорами станет равны $x=x_{кр}$, два положения равновесия поршня, одно из которых является устойчивым, а второе — неустойчивым, совпадут и станут единым положением неустойчивого равновесия по отношению к смещению в сторону упоров. Данное положение соответствует касанию на графиков зависимостей $p_в(x)$ и $p_р(x)$, приведённых в примечании к решению четвёртого пункта задачи. Из этого же графика видна неустойчивость данного положения равновесия поршня по отношению к смещению в сторону упоров.Таким образом, если при некотором значении $h=h_2$ поршень оказывается в положении $x=x_{кр}$, то при данном значении $h$ во всех положениях, кроме $x=x_{кр}$, давление воздуха под поршнем будет больше, чем давление ртути на поршень (см. рис. ниже), поэтому поршень скачкообразно перемещается в сторону упоров и при дальнейшем понижении уровня ртути в сосуде от них не оторвётся. <img_2> Учтём, что касание графиков соответствует наличию единственного корня у квадратного уравнения, получаемого из условия равновесия поршня. Воспользуемся теоремой Виета:$$2x_{кр}=L-h_0-h_2{.}$$После подстановки $h_1$ в выражение для $x_{кр}$ находим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$h_2=2\sqrt{(h_0+h_{max}+x_{max})(L-x_{max})}-(L+h_0)\approx 1007~мм{.} $$"]}, "number_part": "4", "exponent_part": "??"}]