text: {"text": [{"text": "Часть A. Отверстие На круглое отверстие радиуса $R_0$ в непрозрачной плоскости падает плоская монохроматическая волна с длиной волны $\lambda$ интенсивности $I_0$ параллельно оси отверстия. За плоскостью находится экран на расстоянии $L$. Считайте, что $\frac{ \sqrt{\lambda L}}{R_0} \gtrsim 1$."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,20"}, "text": "Оцените радиус пятна $R$ на экране."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,20"}, "text": "Оцените интенсивность $I$ в центре пятна."}, {"text": "Часть B. Обычная линза На линзу диаметра $D$ и фокусного расстояния $F$ падает плоская монохроматическая волна с длиной волны $\lambda$ интенсивности $I_0$ параллельно оси линзы."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,30"}, "text": "Оцените минимальный достижимый радиус пятна $R_{\text{min}}$ при варьировании радиуса отверстия."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,20"}, "text": "Оцените диаметр $D_F$ пятна в фокусе линзы."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,30"}, "text": "Оцените интенсивность $I_F$ в фокусе линзы из энергетических соображений."}, {"text": "Часть С.  Уже не очень линза На идеальное параболическое зеркало параметра параболы $p$ и диаметра $D$ падает плоская монохроматическая волна с длиной волны $\lambda$ и интенсивностью $I_0$ параллельно оси зеркала. Данная"}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "1,00"}, "text": "Теперь посчитайте ответ для интенсивности $I_F$ в фокусе линзы точно. Сравните с предыдущим пунктом."}, {"balls": {"number": "С1", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите фокусное $F$ расстояние зеркала."}, {"balls": {"number": "С2", "exponent": "0,30"}, "text": "Оцените интенсивность $I$ в фокусе зекрала."}, {"text": "Часть D. Почти как линза На идеальное сферическое зеркало радиусом $R = 1 м$ и диаметром $D$ посветили пучком лучей с длиной волны $\lambda = 800$ нм и с интенсивностью $I_0$ параллельно оси зеркала. <img_0>"}, {"balls": {"number": "С3", "exponent": "0,20"}, "text": "Во сколько раз изменится это значение при уменьшении длины волны в два раза?"}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите фокусное расстояние $F$ зеркала."}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "1,30"}, "text": "Оцените размер пятна $d$ в фокальной плоскости зеркала, для двух диаметров зеркала: $D_1 = 1~см$, $D_2 = 15~см$."}, {"balls": {"number": "D3", "exponent": "0,80"}, "text": "Для этих двух диаметров зеркал ($D_1 = 1~см$, $D_2 = 15~см$) оцените интенсивность в фокусе."}, {"text": "Часть E.  Вообще не линза На дифракционную решетку с периодом $d$ и шириной щели $a$ падает нормально плоская волна. Длина волны $\lambda = d/100$, интенсивность плоской волны $I_S$. Далее под интенсивностью максимума следует понимать интенсивность плоской волны, распространяющейся в направлении максимума с номером $h$."}, {"balls": {"number": "D4", "exponent": "0,70"}, "text": "Как найденные в прошлом пункте интенсивности в фокусе зависят от длины волны $\lambda$?"}, {"balls": {"number": "E1", "exponent": "1,00"}, "text": "Определите интенсивность нулевого максимума $I_0$. Выразите ответ в общем виде через $d$ и $a$. Укажите ответ для $d=3a$."}, {"balls": {"number": "E2", "exponent": "1,00"}, "text": "Определите интенсивность $I_h$ максимума с номером $h$. Выразите ответ в общем виде через $d$ и $a$. Укажите ответ для $d=3a$."}, {"balls": {"number": "E3", "exponent": "1,00"}, "text": "Какая доля энергии $\beta$ попадает во все максимумы на экране, кроме нулевого $(h≠0)$? Вычислите ответ для $d=3a$."}, {"balls": {"number": "E4", "exponent": "1,00"}, "text": "Какая доля энергии $\gamma$ поглощается не пропускающей частью дифракционной решеткой? Вычислите ответ для $d=3a$."}]}
answer: [{"condition": "Оцените радиус пятна $R$  на экране. ", "solution": {"text": "Как известно, при дифракции на отверстии лучи приближённо расходятся на $\theta = \frac{\lambda}{2R_0}$. Тогда размер пятна на экране $$R \approx R_0 + L \theta = R_0 \left(1 + \frac{L \lambda}{2R_0^2} \right)$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Оцените интенсивность $I$ в центре пятна. ", "solution": {"text": "Из ЗСЭ получим $I_0 \pi R_0^2 \approx I \pi R^2$. Тогда ответ $$I = I_0 \frac{1}{ \left(1 + \frac{L \lambda}{2R_0^2} \right)^2}$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Оцените минимальный достижимый радиус пятна $R_{\text{min}}$ при варьировании радиуса отверстия. ", "solution": {"text": "Продифференцировав выражение для размера пятна, получим, что $R_{\text{min}}$ соответствует $R_0 = \sqrt{L \lambda /2} $. Тогда ответ $$R_{\text{min}} \approx \sqrt{2 L\lambda}$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Оцените диаметр $D_F$ пятна в фокусе линзы. ", "solution": {"text": "Лучи расходятся на угол $\theta$. Расстояние до фокуса $F$. Тогда диаметр пятна $$D_F \approx 2 \theta F = 2 \frac{F\lambda}{D}.$$ Здесь считаем, что радиус первого светлого пятна определяется первым минимумом. Можно считать, что радиус первого светлого пятна в два раза меньше, чем первый минимум."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Оцените интенсивность $I_F$ в фокусе линзы из энергетических соображений. ", "solution": {"text": "Запишем ЗСЭ: $$I_0 \frac{\pi}{4}D^2 = I \pi R^2 = I \pi \left(\frac{F\lambda}{D}\right)^2.$$ Тогда ответ: $$I \approx I_0 \frac{D^4}{4 F^2 \lambda^2}$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Теперь посчитайте ответ для интенсивности $I_F$ в фокусе линзы точно. Сравните с предыдущим пунктом. ", "solution": {"text": "Точный ответ можно посчитать при помощи зон Френеля. Пусть интенсивности $I$ и $I_0$ соответствуют амплитудам $E$ и $E_0$ соответственно. Заметим, что фокус — такая точка, что лучи проходят одинаковые пути от внешней поверности линзы до него и, соответственно, прибывают туда в фазе. Если бы линзы не было, то из отверстия из-под линзы в фокусе было бы видно $m$ зон Френеля, $\frac{1}{4}D^2 = m \lambda F$. Тогда длина спирали Френеля равна $\pi m E_0 = \frac{\pi}{4}\frac{D^2}{\lambda F} E_0$. Заметим, что когда есть линза, все волновые фронты приходят в фокус в фазе и спираль "выпрямляется". Тогда $E = E_0 \frac{\pi}{4} \frac{D^2}{\lambda F}$ и ответ: $$I = I_0 \frac{\pi^2}{16}\frac{D^4}{F^2 \lambda^2}$$ Видно, что оценка в предыдущем пункте сходится с ответом.\\ Можно получить ответ, если показать, что при некой ширине ког в фокусе линзы будет наблюдаться большая интенсивность, чем на поверхности источника."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите фокусное $F$ расстояние зеркала. ", "solution": {"text": "Уравнения параболы , при вращении которой образуется зеркало $ y^2 = 2px$. Как известно, парабола — ГМТ точек, равноудалённых от некой прямой и точки. Пусть фокусное расстояние $F$. Тогда расстояние от точки $(0, 0)$ до прямой тоже $F$. Рассмотрим точку параболы, $x$ - координата которой равна координате фокуса. Тогда она удалена на $2F$ от прямой и от фокуса. Получаем, что $4F^2 = 2 pF$ и ответ: $$F = \frac{1}{2}p$$."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "С1", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Оцените интенсивность $I$ в фокусе зекрала. ", "solution": {"text": "Опять запишем ЗСЭ. Оценка углового расхождения аналогична $\theta \approx \frac{\lambda}{D}$. Тогда размер пятна в фокусе $R = F \theta = \frac{F \lambda}{D} = \frac{p \lambda}{D}$. Из ЗСЭ получаем: $$I \approx I_0 \frac{D^4}{p^2 \lambda^2}$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "С2", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Во сколько раз изменится это значение при уменьшении длины волны в два раза? ", "solution": {"text": "То есть, $I \sim \lambda^{-2}$. Тогда при уменьшении длины волны волны в два раза интенсивность увеличивается в 4 раза."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "С3", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите фокусное расстояние $F$ зеркала. ", "solution": {"text": "Посчитаем фокусное расстояние. Из чертежа ниже видно, что оно равно $\frac{1}{2} R$ <img_1>"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Оцените размер пятна $d$ в фокальной плоскости зеркала, для двух диаметров зеркала: $D_1 = 1~см$, $D_2 = 15~см$. ", "solution": {"text": "Первый эффект: дифракционное размытие. Тогда радиус пятна $r_D = \frac{\lambda R}{2D}$. Второй эффект: аберрация. Из чертежа видно, что \begin{align*} H =&\; R \sin \varphi \\ H + r =&\; R \tan{2\varphi} \left(\frac{1}{2} - (1 - \cos \varphi)\right)\\ r =&\; R \tan{2\varphi} \left(\cos \varphi - \frac{1}{2}\right) - R \sin \varphi \\ r_A \approx&\; \frac{1}{2} \varphi^{3} R = \frac{1}{2} (D/R)^3 R = \frac{D^3}{2R^2}.\\ \end{align*} Для $D_1$ реализуется дифракция. Для $D_2$ аберрация. Надо посчитать."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D2", "exponent_part": "1,30"}, {"condition": "Для  этих двух диаметров зеркал ($D_1 = 1~см$, $D_2 = 15~см$) оцените интенсивность в фокусе. ", "solution": {"text": "Для дифракции считаем как раньше через энергию: $$I \left( \frac{\lambda R}{2D} \right)^2 = I_0 \frac{D^2}{4} ,$$ $$I = I_0 \frac{D^4}{\lambda^2 R^2} .$$ Для аберрации посчитаем интенсивность в центре как отношение мощности к радиусу. Возъмём в центре диск радуса $r$, в этот диск попадают лучи из зеркала диаметром $$d = (2 r R^2)^{1/3}$$. Мощность, которая собирается этим зеркалом $I_0 \pi d^2/ 4$. Интенсивность в этом диске вокруг центра: $$I = \frac{I_0 \pi (2 r R^2)^{2/3}}{4 \pi r^2} = I_0 \frac{2^{2/3}R^{4/3}}{4r^{4/3}}.$$ Видно, что в предельном переходе ответ стремится к бесконечности."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D3", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Как найденные в прошлом пункте интенсивности в фокусе зависят от длины волны $\lambda$? ", "solution": {"text": "Дифракция: $$ I \approx \frac{D^4}{\lambda^2} I_0$$ Второй случай: никто не знает. Но Зенькович говорит вот так: Здесь же в фокус, точнее, в ту область, в которой дифрация усредняет интенсивности попадают только те лучи, которые падали под $\varphi < \varphi_{crit}$, где$\varphi_{crit}$ — угол, при котором смещение, вызванное аберрацией, меньше, чем дифракционное отклонение: $$\frac{1}{2}\varphi_{crit}^3 R = \frac{1}{2}R \frac{\lambda}{D}$$ $$\varphi_{crit} \approx \left(\frac{\lambda}{D}\right)^{\frac{1}{3}}$$ Площадь, лучи из которой упадут на зеркало под углом, меньшим $\varphi_{crit}$, равна $\pi R^2 \varphi_{crit}^2$ Тогда запишем ЗСЭ: $$I_0 \pi R^2 \varphi_{crit}^2 = I \frac{1}{4} \pi R^2 \frac{\lambda^2}{D^2}$$ $$I \approx I_0 \left(\frac{\lambda}{D}\right)^{-\frac{4}{3}}$$ Тогда при уменьшении длины волны интенсивность увеличится в $2^\frac{4}{3} \approx 2.5$ раз. Это ответ на второй вопрос."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "D4", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Определите интенсивность нулевого максимума $I_0$. Выразите ответ в общем виде через $d$ и $a$. Укажите ответ для $d=3a$. ", "solution": {"text": "Амплитуда падающей волны $E_S=√(I_S )$. В нулевой максимум попадают все волны, которые пропускаются щелью, причём с одинаковой фазой. Поэтому, амплитуда нулевого максимума $$E_0=a/d E_S,$$ интенсивность нулевого максимума $$I_0=(a/d)^2 I_S.$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "E1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Определите интенсивность $I_h$ максимума с номером $h$. Выразите ответ в общем виде через $d$ и $a$. Укажите ответ для $d=3a$. ", "solution": {"text": "Направление на максимум $h$: $$\sin⁡φ=hλ/d.$$ Находим амплитуду максимума с номером $h$: $$E_h=\frac{E_0}{a} ∫_0^a e^{(-i 2π/λ x \sin⁡φ )} dx=\frac{E_0}{a} ∫_0^a e^{(-i 2π x/d h)} dx ∼ E_S \frac{\sin⁡(πha/d)}{πh}.$$ Тут опущена фаза, которая не важна для интенсивности. В итоге: $$I_h=E_h^2=I_S \left( \frac{ \sin⁡(πh a/d)}{ πh} \right)^2.$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "E2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Какая доля энергии $\beta$ попадает во все максимумы на экране, кроме нулевого $(h≠0)$? Вычислите ответ для $d=3a$. ", "solution": {"text": "Плоская волна в плоскости решетки является источником вторичных волн. То есть непропускающая часть $d-a$ поглощает не только энергию, которая идёт в нулевой максимум, но и всё то, что рассеивалось бы во все направления. Можно показать, что дополняющая решетка рассеивает туда же и столько же, сколько и начальная. Поглощает в нулевом направлении: $$I_0=((d-a)/d)^2 I_S,$$ Поглощает во всех направлениях (и столько же попадает в реальные максимумы): $$βI_S.$$ Итого: $$1=(a/d)^2+((d-a)/d)^2+2β$$ $$β=\frac{a(d-a)}{d^2} $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "E3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Какая доля энергии $\gamma$ поглощается не пропускающей частью дифракционной решеткой? Вычислите ответ для $d=3a$. ", "solution": {"text": "Поглощается решеткой: $$γ=((d-a)/d)^2+β=(d-a)/d.$$ Если что, суммарно на экран попадает доля энергии $$(a/d)^2+β=a/d,$$ Что равно $1-γ$, как и должно быть из ЗСЭ."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "E4", "exponent_part": "1,00"}]