text: {"text": [{"text": "Спускаемый аппарат осуществляет посадку на поверхность экзотической планеты. Во время спуска проводилось измерение зависимости давления $p$ в атмосфере планеты от расстояния $z$ до поверхности планеты (см. рисунок). <img_0> Измерение температуры, произведённое на высоте $z_{1}=5~км$ дало значение $T_{1}=250~К$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Вычислите температуру $T_{0}$ у поверхности планеты. Считайте, что радиус планеты $R \gg z_{1}$. Атмосфера состоит из углекислого газа."}]}
answer: [{"condition": "Вычислите температуру $T_{0}$ у поверхности планеты. ", "solution": {"text": "Рассмотрим силы, действующие на цилиндрический участок атмосферы площадью поперечного сечения $S$, находящийся между слоями с координатами $z$ и $z+\Delta z$. К нему приложены силы давления $p(z) S$ и $p(z+\Delta z) S$ снизу и сверху соответственно, а также направленная вниз сила тяжести $\rho S \Delta z g$, где $\rho$ — плотность воздуха на данной высоте. Так как атмосфера находится в равновесии, сумма сил, приложенных к рассматриваемому участку, равна $0$: $$ (p(z)-p(z+\Delta z)) S-\rho S \Delta z g=0. $$ Перепишем это уравнение в виде $\Delta p=-\rho g \Delta z$, где $\Delta p=p(z+\Delta z)-p(z)$. Давление газа с молярной массой $\mu$ выражается через его плотность и температуру соотношением $p=\frac{\rho}{\mu} R T$, из которого получим: $$ T=\frac{p}{-\Delta p / \Delta z} \frac{\mu g}{R}. $$ Ускорение свободного падения $g$ считаем постоянным, так как радиус планеты много больше величины перемещения спускаемого аппарата. Следовательно, температура пропорциональна величине: $$ T \propto \frac{p}{\Delta p / \Delta z}. $$ Значение этого выражения на нужной высоте можно найти из графика, определив давление и угловой коэффициент касательной. При $z=0$ имеем $p=100~атм$, $|\Delta p / \Delta z| \approx 38~атм/км$, а при $z=5~км$ находим $p=6~атм$ и $|\Delta p / \Delta z| \approx 6~атм/км$. Отсюда находим требуемую температуру: $$ T_{0} / T_{1} \approx 2.6, T_{0} \approx 650~K. $$ Заметим, что точность этого результата невысока, основная погрешность возникает при проведении касательных к графику."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ T_{0} \approx 650~K. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]