text: {"text": [{"text": "Измерения радиусов звёзд — сложная задача ввиду большого расстояния до них. Неоднородности в атмосфере размывают изображение, затрудняя определение их реального размера. Один из возможных методов измерения радиуса звёзд — использование интерферометра. Этот метод был предложен Майкельсоном и Пизом в 1921 году для измерения диаметра Бетельгейзе. На рисунке ниже представлена схема интерферометра, использованного для измерения радиуса звезды. <img_0> Отражаясь от зеркала M1, луч 1 попадает на светоделитель HM, который отражает $50\%$ света по интенсивности и пропускает остальные $50\%$. Отражённый луч попадает на зеркало M3, отразившись от которого проходит сквозь HM и падает на экран. В это же время луч 2 отражается от зеркала M2. Отразившись от HM, он также попадает на экран. Считайте, что зеркала M1, M2, M3 отражают весь падающий на них свет, добавляя при этом к его фазе $\pi$ радиан. Длина волны используемого света равна $\lambda$."}, {"text": "Часть A. Лучи, параллельные оси $z$ (1.6 балла)"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,20"}, "text": "Рассмотрим случай, когда лучи 1 и 2 параллельны оси $z$, а зеркало M3 параллельно плоскости $xy$. Найдите разность оптических путей $\Delta_{12}$ между лучами 1 и 2, если они оба падают на экран в точке $O$."}, {"text": "Часть B. Лучи под углом $\theta$ в плоскости $yz$ (4.7 балла) Пусть теперь лучи падают на интерферометр под углом $\theta\ll1$ к оси $z$ в плоскости $yz$, как показано на рисунке ниже. Как и в , зеркало M3 отклонено на угол $\alpha$. <img_1>"}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "1,40"}, "text": "Рассмотрим случай, когда зеркало M3 отклоняют на угол $\alpha$ от плоскости $xy$ путём вращения вокруг оси $x$ (см. рис. 1). Если луч 1' падает на экран в точке $O$, найдите разность оптических путей $\Delta_{1'2}$ между лучами 1' и 2. Покажите, что в первом приближении разность хода не зависит от $\alpha$ и упростите ваш ответ при $\alpha\ll1$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,80"}, "text": "Пусть лучи 1 и 2 падают в фиксированные точки зеркал M1 и M2 соответственно. Покажите в листах решений, что в первом приближении оптические пути лучей 1 и 2 от точек отражения от зеркал M1 и M2 соответственно до экрана не зависят от углов $\theta$ и $\alpha$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,80"}, "text": "Пусть углы $\alpha$ и $\theta$ зафиксированы, а положения точек падения лучей 1 и 2 на зеркала M1 и M2 соответственно могут изменяться. Покажите в листах решений, что оптические пути лучей 1 и 2 от пунктирной линии, соответствующей координате $z_\text{п}=L_3+L_4$ (подразумеваются точки пересечения пунктирной линии с траекториями лучей 1 и 2 до падений на зеркала M1 и M2 соответственно), до экрана в первом приближении не зависят от углов $\theta$ и $\alpha$. Если лучи 1 и 2 падают на экран в точке $O$, разность фаз между ними может быть записана в виде:\[\delta_{12}=\frac{2\pi}\lambda b\theta+\delta_O.\]"}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите $b$ и $\delta_O$ через $\lambda$, $L_1$, $L_2$, $L_3$, $L_4$. Если луч 1', отражённый от зеркала M1, и луч 2', отражённый от зеркала M2, падают в одну и ту же точку на экране с координатой $y$, разность фаз между ними может быть записана в виде:\[\delta_{1'2'}=\frac{2\pi}\lambda b\theta+\delta_y.\]"}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "0,60"}, "text": "Покажите в листах решений, что $$\delta_y=\delta_O-\cfrac{2\pi}{\lambda}\cdot 2\alpha y $$"}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "0,60"}, "text": "Таким образом, на экране возникнет интерференционная картина. Найдите расстояние $y_1$ до ближайшего к точке $O$ интерференционного максимума. Найдите также расстояние $\Delta y_m$ между двумя соседними интерференционными максимумами. Приведите численные ответы в случае $L_1=0.50~м$, $L_2=1.50~м$, $L_3=0.50~м$, $L_4=1.00~м$, $\alpha=10^{-4}$, $\theta=10^{-5}$, $\lambda=500~нм$."}, {"text": "Часть C. Ну совсем произвольные лучи (1.0 балла) Пусть теперь лучи 1'' и 2'' падают на интерферометр под углом $\theta_x\ll1$ к плоскости $yz$ и под углом $\theta_y\ll1$ к плоскости $xz$ (см. рис. 3). <img_2>"}, {"balls": {"number": "B6", "exponent": "0,90"}, "text": "Найдите, как интенсивность $I(y)$ на экране зависит от координаты $y$, если её максимальное значение равно $I_0$, подставив сюда численные значения из предыдущего пункта. Учтите влияние светоделителя на интенсивность прошедшего света."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "0,40"}, "text": "Выразите волновой вектор $\vec k$ падающих лучей через $\theta_x$, $\theta_y$, модуль волнового вектора $k=2\pi/\lambda$ и единичные орты координатных осей. Итак, пусть луч ''1'', отражённый от зеркала M1, и луч ''2'', отражённый от зеркала M2, падают в одну и ту же точку на экране на оси $y$ на расстоянии $y$ от точки $O$."}, {"text": "Часть D. Измерение радиуса (2.7 балла) Рассмотрим звезду с угловым радиусом $\theta_R$, который нам необходимо определить. Для простоты будем считать, что звезда излучает как однородный диск, т.е. интенсивность света, приходящего из телесного угла $\mathrm d\Omega=\mathrm d\theta_x\mathrm d\theta_y$, равна $\mathcal J\mathrm d\Omega$, где $\mathcal J$ — постоянная величина в любом направлении внутри диска звезды. <img_3>"}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,60"}, "text": "Выразите разность фаз между лучами 1'' и 2'' через $\lambda$, $L_1$, $L_2$, $L_3$, $L_4$, $\theta_x$, $\theta_y$, $\alpha$, $y$."}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": "1,80"}, "text": "Запишите $V$ в виде интеграла по одной переменной. Явно производить интегрирование при этом необязательно. Интерферометр используется для наблюдения Бетельгейзе. Если симметрично отдалять зеркала M1 и M2 от центра HM $\Big($так что $L_1^*=L_1+d/2$ и $L_2^*=L_2+d/2\Big)$, то видность $V$ обнулится при $d=0.97~м,3.12~м,\ldots$ (параметры системы те же, что и в ). В данной части задачи $L_1$ и $L_2$ численно не заданы, а $\lambda=500~\text{нм}$."}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": "0,90"}, "text": "Найдите угловой радиус Бетельгейзе $\theta_R$. Найдите её радиус $R$, если расстояние до неё $h=6.079\cdot10^{15}~км$."}]}
answer: [{"condition": "Рассмотрим случай, когда лучи 1 и 2 параллельны оси $z$, а зеркало M3 параллельно плоскости $xy$. Найдите разность оптических путей $\Delta_{12}$ между лучами 1 и 2, если они оба падают на экран в точке $O$. ", "solution": {"text": "На горизонтальных участках разность путей составляет $L_1 - L_2$, ещё первый луч дважды проходит расстояние $L_3$. Таким образом, суммарная разность:$$\Delta_{12} = L_1+2L_3-L_2$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\Delta_{12}=L_1+2L_3-L_2\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Рассмотрим случай, когда зеркало M3 отклоняют на угол $\alpha$ от плоскости $xy$ путём вращения вокруг оси $x$ (см. рис. 1). Если луч 1' падает на экран в точке $O$, найдите разность оптических путей $\Delta_{1'2}$ между лучами 1' и 2. Покажите, что в первом приближении разность хода не зависит от $\alpha$ и упростите ваш ответ при $\alpha\ll1$. ", "solution": {"text": "Заметим, что треугольник полученный из путей лучей 1 и 1' от зеркала М3 до точки $O$ равнобедренный. Ещё изменения горизонтального и вертикального путей из-за изменения точки падения луча компенсируют друг друга. Единственный параметр влияющий на путь, пройденный лучом 1, это координата $z$ точки попадания на зеркало М3: она влияет на расстояние пройденное от HM до M3. А оптический путь луча 2 никак не изменяется. Получаем:$$\Delta_{1'2} = \Delta_{12} - \left(2(L_3+L_4)\sin{\alpha}\right)\cdot \sin{\alpha} = \Delta_{12} - 2(L_3+L_4)\sin^2{\alpha}$$Подставляя результат прошлого пункта:$$\Delta_{12'} = L_1+2L_3-L_2 - 2(L_3+L_4)\sin^2{\alpha} \approx L_1+2L_3-L_2 - 2(L_3+L_4)\alpha^2$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\Delta_{1'2}=L_1+2L_3-L_2-(L_3+L_4)\frac{\sin\alpha\sin2\alpha}{\cos\alpha}=L_1+2L_3-L_2-2(L_3+L_4)\alpha^2\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "1,40"}, {"condition": "Пусть лучи 1 и 2 падают в фиксированные точки зеркал M1 и M2 соответственно. Покажите в листах решений, что в первом приближении оптические пути лучей 1 и 2 от точек отражения от зеркал M1 и M2 соответственно до экрана не зависят от углов $\theta$ и $\alpha$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Пусть углы $\alpha$ и $\theta$ зафиксированы, а положения точек падения лучей 1 и 2 на зеркала M1 и M2 соответственно могут изменяться. Покажите в листах решений, что оптические пути лучей 1 и 2 от пунктирной линии, соответствующей координате $z_\text{п}=L_3+L_4$ (подразумеваются точки пересечения пунктирной линии с траекториями лучей 1 и 2 до падений на зеркала M1 и M2 соответственно), до экрана в первом приближении не зависят от углов $\theta$ и $\alpha$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Выразите $b$ и $\delta_O$ через $\lambda$, $L_1$, $L_2$, $L_3$, $L_4$. ", "solution": {"text": "$\delta_O$ можно найти, используя прошлую часть задачи, так как это значение разности фаз для $\theta = 0$. Заметим, что разность фаз возникает не только из-за разности оптических путей, но и из-за отражений: луч 1 отражается на один раз больше, поэтому он дополнительно смещён на $\pi$.$$\delta_O = \cfrac{2\pi}{\lambda}\left(L_1+2L_3-L_2\right) + \pi$$Можно заметить, что в силу утверждений, доказанных в B1 и B2 при изменении угла $\theta$ разность фаз возникает только из-за изменения путей до пересечения с пунктирной линией $z_\text{п} = L_3 + L_4$, то есть:$$\cfrac{2\pi}{\lambda}(L_1 + L_2) \theta = \cfrac{2\pi}{\lambda}b\theta$$$$b = L_1+L_2$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[b=L_1+L_2\\\delta_O=\frac{2\pi}\lambda\big[L_1+2L_3-L_2\big]+\pi\]"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Покажите в листах решений, что $$\delta_y=\delta_O-\cfrac{2\pi}{\lambda}\cdot 2\alpha y $$ Примечание: Далее во всех пунктах задачи можно пользоваться утверждениями пунктов B1-B4, даже если они не доказаны.
  
  
  
                  
              
              
  
  
  
                          
   Рассмотрим два луча 1, которые приходят в точки на экране, расположенные на расстоянии $y$. В силу малости $\alpha$ расстояние между точками отражения этих лучей от М3 тоже равно $y$. Заметим, что разность оптических путей между ними возникает только из-за из-за разных координат $z$ точек отражения от M3: сокращается путь от HM до M3 и от M3 до экрана.$$\Delta L = -2y\alpha$$$$\delta_y = \delta_O - \cfrac{2\pi}{\lambda}\cdot 2\alpha y$$
  
  
  
  Ответ: 
                      
   \[\delta_y=\frac{2\pi}\lambda\big[L_1+2L_3-L_2-2\alpha y\big]+\pi\]", "solution": {"text": "Рассмотрим два луча 1, которые приходят в точки на экране, расположенные на расстоянии $y$. В силу малости $\alpha$ расстояние между точками отражения этих лучей от М3 тоже равно $y$. Заметим, что разность оптических путей между ними возникает только из-за из-за разных координат $z$ точек отражения от M3: сокращается путь от HM до M3 и от M3 до экрана.$$\Delta L = -2y\alpha$$$$\delta_y = \delta_O - \cfrac{2\pi}{\lambda}\cdot 2\alpha y$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\delta_y=\frac{2\pi}\lambda\big[L_1+2L_3-L_2-2\alpha y\big]+\pi\]"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Таким образом, на экране возникнет интерференционная картина. Найдите расстояние $y_1$ до ближайшего к точке $O$ интерференционного максимума. Найдите также расстояние $\Delta y_m$ между двумя соседними интерференционными максимумами. Приведите численные ответы в случае $L_1=0.50~м$, $L_2=1.50~м$, $L_3=0.50~м$, $L_4=1.00~м$, $\alpha=10^{-4}$, $\theta=10^{-5}$, $\lambda=500~нм$. ", "solution": {"text": "Подставляя численные значения, получаем:$$\delta = 81\pi - 800\cfrac{\pi}{1\text{м}}\cdot y$$Максимум соответсвует $\delta = 2\pi n$. В точке $O$ находится минимум.$$y_1 = \cfrac{\lambda}{4\alpha} = 1.25\text{мм}$$$$\Delta y_m = \cfrac{\lambda}{2\alpha} = 2.5\text{мм}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[y_1=1.25\cdot10^{-3}~м\\\Delta y_m=\frac\lambda{2\alpha}=2.5~мм\]"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите, как интенсивность $I(y)$ на экране зависит от координаты $y$, если её максимальное значение равно $I_0$, подставив сюда численные значения из предыдущего пункта. Учтите влияние светоделителя на интенсивность прошедшего света. ", "solution": {"text": "Амплитуда поля в луче 1 в $\sqrt{2}$ раз меньше, чем во втором. Тогда интенсивность, пропорциональная квадрату амплитуды:$$I \sim 1 + 2 + 2\sqrt{2}\cos{\delta}$$$$I(y)=I_0\frac{3-2\sqrt2\cos\left[80\pi\left(1-10\cfrac{y}{1\text{м}}\right)\right]}{3+2\sqrt2}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[I(y)=I_0\frac{3-2\sqrt2\cos\left[80\pi\left(1-10\cfrac{y}{1\text{м}}\right)\right]}{3+2\sqrt2}\]"]}, "number_part": "B6", "exponent_part": "0,90"}, {"condition": "Выразите волновой вектор $\vec k$ падающих лучей через $\theta_x$, $\theta_y$, модуль волнового вектора $k=2\pi/\lambda$ и единичные орты координатных осей. ", "solution": {"text": "В силу малости углов $\theta_x$ и $\theta_y$:$$k_z = - k$$$$k_x = -k\theta_x$$$$k_y = -k\theta_y$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\vec k=-k\big(\theta_x\hat x+\theta_y\hat y+\hat z\big)\]"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Выразите разность фаз между лучами 1'' и 2'' через $\lambda$, $L_1$, $L_2$, $L_3$, $L_4$, $\theta_x$, $\theta_y$, $\alpha$, $y$. ", "solution": {"text": "Заметим, что начальное смещение по оси $x$ лучей, попадающих в одну точку на экране, величина порядка $L_3 \theta_x$, разность оптических путей соответсвенно пропорциональна $\theta_x^2$, поэтому вклад $\theta_x$ можно не учитывать. Ответ аналогичен прошлой части задачи:\[\delta_{1''2''}=\cfrac{2\pi}{\lambda}\big((L_1+L_2)\theta_y+(L_1+2L_3-L_2)-2\alpha y\big)+\pi\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\delta_{1''2''}=\cfrac{2\pi}{\lambda}\big((L_1+L_2)\theta_y+(L_1+2L_3-L_2)-2\alpha y\big)+\pi\]"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Запишите $V$ в виде интеграла по одной переменной. Явно производить интегрирование при этом необязательно. Подсказка: интеграл некоторой функции $f(\theta_y)$, зависящей только от $\theta_y$, по поверхности диска радиусом $\theta_R$ можно представить в виде:\[I=\int\limits_{-\theta_R}^{\theta_R}\mathrm d\theta_y\int\limits_{-\sqrt{\theta^2_R-\theta^2_y}}^{\sqrt{\theta^2_R-\theta^2_y}}\mathrm d\theta_x~f(\theta_y)=\int\limits_{-\theta_R}^{\theta_R}\mathrm d\theta_y\cdot 2\sqrt{\theta^2_R-\theta^2_y}f(\theta_y).\]
  
  
  
                  
              
              
  
  
  
                          
   Части звезды излучают независимо, поэтому интенсивности от них можно складывать.$$dI = J d\theta_x d\theta_y\left(3 - 2\sqrt{2}\cos{\left(\frac{2\pi}\lambda\big(L_1+2L_3-L_2-2\alpha y\big)+\cfrac{2\pi}{\lambda}(L_1 + L_2 + d) \theta_y\right)}\right)$$Обозначим $\varphi_0 = \frac{2\pi}\lambda\big(L_1+2L_3-L_2\big)$.$$I = \int\limits_{-\theta_R}^{\theta_R} J\sqrt{\theta^2_R - \theta^2_y}\left(3 - 2\sqrt{2}\cos{\left(-\frac{4\pi}\lambda\alpha y+\cfrac{2\pi}{\lambda}(L_1 + L_2+d) \theta_y + \varphi_0\right)}\right)d\theta_y$$Заметим, что:$$I_{max} = \int\limits_{-\theta_R}^{\theta_R} J\sqrt{\theta^2_R - \theta^2_y}\left(3 + 2\sqrt{2}\cos{\left(\cfrac{2\pi}{\lambda}(L_1 + L_2 + d) \theta_y\right)}\right)d\theta_y$$$$I_{min} = \int\limits_{-\theta_R}^{\theta_R} J\sqrt{\theta^2_R - \theta^2_y}\left(3 - 2\sqrt{2}\cos{\left(\cfrac{2\pi}{\lambda}(L_1 + L_2 + d) \theta_y\right)}\right)d\theta_y$$Тогда видность:$$V = \cfrac{2\sqrt{2}\int\limits_{-\theta_R}^{\theta_R} \sqrt{\theta^2_R - \theta^2_y}\cos{\left(\cfrac{2\pi}{\lambda}(L_1 + L_2 + d) \theta_y\right)}d\theta_y}{3\int\limits_{-\theta_R}^{\theta_R} \sqrt{\theta^2_R - \theta^2_y}d\theta_y}$$Обозначим $\omega = \cfrac{\theta_y}{\theta_R}$.$$V = \cfrac{2\sqrt{2}\int\limits_{-1}^{1} \sqrt{1 - \omega^2}\cos{\left(\cfrac{2\pi}{\lambda}(L_1 + L_2 + d) \theta_R\omega\right)}d\omega}{3\int\limits_{-1}^{1} \sqrt{1 - \omega^2}d\omega}$$Интеграл в знаменателе равен площади половины окружности единичного радиуса, то есть $\cfrac{\pi}{2}$. Обозначим $\eta = \cfrac{2\pi}{\lambda}(L_1 + L_2 + d)\theta_R$.$$V=\frac{4\sqrt2}{3\pi}\int\limits_{-1}^1\mathrm dw\sqrt{1-w^2}\cos(\eta w)$$Заметим, что интегрируемая функция чётная, поэтому:\[V=\frac{8\sqrt2}{3\pi}\int\limits_0^1\mathrm dw\sqrt{1-w^2}\cos(\eta w)\]
  
  
  
  Ответ: 
                      
   \[V=\frac{8\sqrt2}{3\pi}\int\limits_0^1\mathrm dw\sqrt{1-w^2}\cos(\eta w)\]", "solution": {"text": "Части звезды излучают независимо, поэтому интенсивности от них можно складывать.$$dI = J d\theta_x d\theta_y\left(3 - 2\sqrt{2}\cos{\left(\frac{2\pi}\lambda\big(L_1+2L_3-L_2-2\alpha y\big)+\cfrac{2\pi}{\lambda}(L_1 + L_2 + d) \theta_y\right)}\right)$$Обозначим $\varphi_0 = \frac{2\pi}\lambda\big(L_1+2L_3-L_2\big)$.$$I = \int\limits_{-\theta_R}^{\theta_R} J\sqrt{\theta^2_R - \theta^2_y}\left(3 - 2\sqrt{2}\cos{\left(-\frac{4\pi}\lambda\alpha y+\cfrac{2\pi}{\lambda}(L_1 + L_2+d) \theta_y + \varphi_0\right)}\right)d\theta_y$$Заметим, что:$$I_{max} = \int\limits_{-\theta_R}^{\theta_R} J\sqrt{\theta^2_R - \theta^2_y}\left(3 + 2\sqrt{2}\cos{\left(\cfrac{2\pi}{\lambda}(L_1 + L_2 + d) \theta_y\right)}\right)d\theta_y$$$$I_{min} = \int\limits_{-\theta_R}^{\theta_R} J\sqrt{\theta^2_R - \theta^2_y}\left(3 - 2\sqrt{2}\cos{\left(\cfrac{2\pi}{\lambda}(L_1 + L_2 + d) \theta_y\right)}\right)d\theta_y$$Тогда видность:$$V = \cfrac{2\sqrt{2}\int\limits_{-\theta_R}^{\theta_R} \sqrt{\theta^2_R - \theta^2_y}\cos{\left(\cfrac{2\pi}{\lambda}(L_1 + L_2 + d) \theta_y\right)}d\theta_y}{3\int\limits_{-\theta_R}^{\theta_R} \sqrt{\theta^2_R - \theta^2_y}d\theta_y}$$Обозначим $\omega = \cfrac{\theta_y}{\theta_R}$.$$V = \cfrac{2\sqrt{2}\int\limits_{-1}^{1} \sqrt{1 - \omega^2}\cos{\left(\cfrac{2\pi}{\lambda}(L_1 + L_2 + d) \theta_R\omega\right)}d\omega}{3\int\limits_{-1}^{1} \sqrt{1 - \omega^2}d\omega}$$Интеграл в знаменателе равен площади половины окружности единичного радиуса, то есть $\cfrac{\pi}{2}$. Обозначим $\eta = \cfrac{2\pi}{\lambda}(L_1 + L_2 + d)\theta_R$.$$V=\frac{4\sqrt2}{3\pi}\int\limits_{-1}^1\mathrm dw\sqrt{1-w^2}\cos(\eta w)$$Заметим, что интегрируемая функция чётная, поэтому:\[V=\frac{8\sqrt2}{3\pi}\int\limits_0^1\mathrm dw\sqrt{1-w^2}\cos(\eta w)\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[V=\frac{8\sqrt2}{3\pi}\int\limits_0^1\mathrm dw\sqrt{1-w^2}\cos(\eta w)\]"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Найдите угловой радиус Бетельгейзе $\theta_R$. Найдите её радиус $R$, если расстояние до неё $h=6.079\cdot10^{15}~км$. Подсказка: Первые два нуля интеграла\[F_n=\int_0^1\left(1-w^2\right)^n\cos(\eta w)~\mathrm dw\]как функции $\eta$ приведены в таблице ниже.
  
  
  
                  
              
              
  
  
  
                          
   Первые обнуления видности соответствуют $\eta_1$ и $\eta_2$ для $n = 0.5$. Таким образом:$$\eta_2 - \eta_1 = \cfrac{2\pi}{\lambda}(d_2 - d_1)\theta_R$$$$\theta_R = \cfrac{(\eta_2 - \eta_1)\lambda}{2\pi(d_2 - d_1)} = 1.18\cdot10^{-7}$$$$R = \theta_Rh = 7.16\cdot10^8 \text{км}$$
  
  
  
  Ответ: 
                      
   $$\theta_R = \cfrac{(\eta_2 - \eta_1)\lambda}{2\pi(d_2 - d_1)} = 1.18\cdot10^{-7}$$$$R = \theta_Rh = 7.16\cdot10^8 \text{км}$$", "solution": {"text": "Первые обнуления видности соответствуют $\eta_1$ и $\eta_2$ для $n = 0.5$. Таким образом:$$\eta_2 - \eta_1 = \cfrac{2\pi}{\lambda}(d_2 - d_1)\theta_R$$$$\theta_R = \cfrac{(\eta_2 - \eta_1)\lambda}{2\pi(d_2 - d_1)} = 1.18\cdot10^{-7}$$$$R = \theta_Rh = 7.16\cdot10^8 \text{км}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\theta_R = \cfrac{(\eta_2 - \eta_1)\lambda}{2\pi(d_2 - d_1)} = 1.18\cdot10^{-7}$$$$R = \theta_Rh = 7.16\cdot10^8 \text{км}$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]