text: {"text": [{"text": "Игрушечная катапульта может стрелять сразу двумя шариками, выпуская их с одинаковыми по модулю начальными скоростями $v_{0}$, направленными под разными углами к горизонту. Угол, под которым запускается один из шариков, можно менять как угодно. Конструкция катапульты такова, что после выстрела с горизонтальной плоскости оба шарика попадают в одну и ту же точку этой плоскости. После большого числа испытаний выяснилось, что максимальное из возможных расстояний между шариками в то время, пока они оба находились в воздухе, достигало $L_{\max }=19~м$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите начальную скорость $v_{0}$ шариков. Примите $g=10~м/с^{2}$ ."}]}
answer: [{"condition": "Определите начальную скорость $v_{0}$ шариков. ", "solution": {"text": "Дальность полёта шарика, выпущенного из катапульты под углом $\varphi$ к горизонту, равна $$ L=v_{0} \cos \varphi \cdot \frac{2 v_{0} \sin \varphi}{g}=\frac{v_{0}^{2}}{g} \sin 2 \varphi. $$ Так как шарики имеют одинаковую начальную скорость и попадают в одну и ту же точку, углы $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$, под которыми их выпускают, удовлетворяют условию $\sin 2 \varphi_{1}=\sin 2 \varphi_{2}$. С учетом того, что углы острые и не равны друг другу, отсюда следует равенство $$ \varphi_{1}+\varphi_{2}=\frac{\pi}{2}. $$ Геометрически это условие означает, что векторы начальных скоростей шариков направлены симметрично относительно луча, образующего угол $\pi / 4$ с горизонтом (см. рисунок). <img_0> Пусть $\alpha$ — угол между этим лучом и каждой из скоростей. Время, в течение которого оба шарика находятся в полете, определяется временем полета нижнего шарика (верхний шарик летит дольше): $$ t_{п}=\frac{2 v_{0} \sin (\pi / 4-\alpha)}{g}. $$ В течение всего времени полета нижнего шарика ускорения обоих шариков одинаковы, поэтому их относительная скорость постоянна. Модуль этой скорости равен $$ \Delta v=2 v_{0} \sin \alpha. $$ Расстояние между шариками увеличивается со скоростью $\Delta v$ и за время $t_{п}$ достигает своего максимального для данного угла запуска значения $$ L=\Delta v t_{п}=\frac{4 v_{0}^{2}}{g} \sin \alpha \sin \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\frac{2 v_{0}^{2}}{g}\left(\cos \left(2 \alpha-\frac{\pi}{4}\right)-\cos \frac{\pi}{4}\right). $$ Максимум этого выражения достигается, когда $\cos (2 \alpha-\pi / 4)=1$, то есть $\alpha=\pi / 8$. Значит, $$ L_{\max }=\frac{2 v_{0}^{2}}{g}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right), $$ откуда начальная скорость равна $$ v_{0}=\sqrt{\frac{L_{\max } g}{2-\sqrt{2}}}=18~м/с. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v_{0}=\sqrt{\frac{L_{\max } g}{2-\sqrt{2}}}=18~м/с. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]