text: {"text": [{"text": "Колёса велосипеда имеют одинаковый радиус $R$, а расстояние между центрами колёс $l = 3R$. В протекторе покрышек переднего и заднего колёс застряли два маленьких камня. В начальный момент камень на заднем колесе касается земли, а камень на переднем колесе находится в крайнем переднем положении (см. рисунок). <img_0> Велосипед едет прямолинейно со скоростью $v$, колёса не скользят по дороге, камни не отрываются от покрышек."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите максимальное $L_{\max}$ и минимальное $L_{\min}$ расстояния между камнями в процессе движения велосипеда."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Через какое минимальное время $t$ после начала движения расстояние между камнями достигает максимального значения?"}]}
answer: [{"condition": "Найдите максимальное $L_{\max}$ и минимальное $L_{\min}$ расстояния между камнями в процессе движения велосипеда. ", "solution": {"text": "Поскольку колёса имеют одинаковые размеры и не проскальзывают, они вращаются с одинаковыми угловыми скоростями $\omega=v/R$. Поэтому угол между радиус-векторами камней $\vec r_{1}$ и $\vec r_{2}$ относительно центров колёс в любой момент времени составляет $90^\circ$ (см. рисунок). <img_1> Радиус-вектор $\vec r_{21}$ второго камня относительно первого можно найти из векторного равенства $$ \vec r_{21}=\vec r_{0}+\vec r_{2}-\vec r_{1}, $$ где $\vec r_{0}$ — радиус-вектор центра переднего колеса относительно центра заднего. Так как угол между векторами $\vec r_{1}$ и $\vec r_{2}$ всегда равен $90^\circ$, то вектор $\vec r_{2}-\vec r_{1}$ имеет длину $\sqrt{2}R$ и вращается с постоянной угловой скоростью, равной угловой скорости колёс. Таким образом, радиус-вектор второго камня относительно первого можно найти как сумму вектора $\vec r_{0}$ (который не меняется в процессе движения велосипеда) и вектора, имеющего длину $\sqrt{2}R$ и вращающегося с угловой скоростью $\omega$. Сложение этих векторов показано на рисунке ниже, причём концы векторов $\vec r_{2}-\vec r_{1}$ и $\vec r_{21}$ лежат на окружности радиуса $\sqrt{2}R$ с центром в конце вектора $\vec r_{0}$. <img_2> Из рисунка выше следует, что вектор $\vec r_{21}$ имеет минимальную длину в тот момент времени, когда вектор $\vec r_{2}-\vec r_{1}$ направлен противоположно вектору $\vec r_{0}$, максимальную — когда вектор $\vec r_{2}-\vec r_{1}$ направлен так же, как и вектор $\vec r_{0}$. Поэтому $$ r_{21}^{\min}=3R-\sqrt{2}R=R(3-\sqrt{2}); \\ r_{21}^{\max}=3R+\sqrt{2}R=R(3+\sqrt{2}). $$ Эти два случая показаны на рисунках $а$ и $б$ (см. рисунок ниже), соответственно. <img_3>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ L_{\min}=R(3-\sqrt{2}); \\ L_{\max}=R(3+\sqrt{2}). $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Через какое минимальное время $t$ после начала движения расстояние между камнями достигает максимального значения? ", "solution": {"text": "Длина вектора $\vec r_{21}$ будет максимальна, когда вектор $\vec r_{2}$ повернётся на угол $\pi/4$ по сравнению с начальным положением. Отсюда находим момент времени $t$, когда расстояние между камнями достигает максимального значения: $$ t=\frac{\pi}{4\omega}=\frac{\pi R}{4 v}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ t=\frac{\pi R}{4 v}. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]