text: {"text": [{"text": "Катушка состоит из $n$ витков, площадь каждого витка $S$, индуктивность катушки $L$. Перпендикулярно виткам включают внешнее однородное магнитное поле, возрастающее линейно от $0$ до $B_0$ в течение времени $\tau_1$, затем вновь равномерно убывающее до нуля в течение времени $\tau_2$."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Какой заряд протек по катушке, если она была замкнута накоротко? Омическим сопротивлением цепи пренебречь."}]}
answer: [{"condition": "Какой заряд протек по катушке, если она была замкнута накоротко? ", "solution": {"text": "Зафиксируем ориентацию контура: замкнутой накоротко катушке.Пусть в моменты времени $[0;\tau_1]$ поле $B$ направлено так, что поток через контур положителен.Итак, при $t \in\left[0 ; \tau_1\right] \quad \Phi(t)=B_0 \frac{t}{\tau_1} n S$ — поток магнитного поля через контур.При $t \in\left[\tau_1 ; \tau_1+\tau_2\right]: \quad \Phi(t)=B_0 nS \cdot \frac{\tau_1+\tau_2-t}{\tau_2}$.При $t \in\left(0 ; \tau_1\right): \dot{\Phi}(t)=\frac{B_0 n S}{\tau_1}$, а при $t \in\left(\tau_1, \tau_1+\tau_2\right)\\\dot{\Phi}(t)=-\frac{B_0 n S}{\tau_2} .$На промежутке $(0;\tau_1)$ в контуре возникает ЭДС: $\varepsilon_1=-\dot{\Phi}=\frac{B_0 n S .}{\tau_1}$, а на промежутке $\left(\tau_1 ; \tau_1+\tau_2\right)$ в контуре возникает ЭДС: $\varepsilon_2=-\dot{\Phi}=\frac{B_0 n S .}{\tau_2}$.$1)$ $\varepsilon_1=L \dot{I} \Rightarrow I(t)=\frac{\varepsilon_1}{L} t$ на промежутке времени $(0;\tau_1)$.$2)$ $\varepsilon_2=L \dot{I} \Rightarrow I(t)=\frac{\varepsilon_1}{L} \tau_1+\frac{\varepsilon_2}{L}\left(t-\tau_1\right)$ на промежутке $(\tau_1, \tau_1+\tau_2)$.Заметим, что $I( \tau_1+\tau_2)=\frac{\varepsilon_1}{L} \tau_1+\frac{\varepsilon_2 \tau_2}{L}=-\frac{B_0 n S}{L}+\frac{B_0 n S}{L}=0 .$ <img_0> Суммарный заряд, протекающий через катушку, равен площади под графиком $I(t)$ и равен по модулю $$q_{\Sigma}=\frac{1}{2} \cdot \frac{\left|\varepsilon_1\right| \tau_1}{L} \cdot\left(\tau_1+\tau_2\right)=\frac{B_0 n S}{L} \frac{\tau_1+\tau_2}{2}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$q_{\Sigma}=B_0nS(\tau_1 + \tau_2)/(2L)$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]