text: {"text": [{"text": "Виток тонкого провода, имеющий форму квадрата, обладает индуктивностью $L_{1}$ (см. рисунок $а$). Виток из такого же провода, идущего по ребрам куба, как это показано на рисунке $б$ имеет индуктивность $L_{2}$. <img_0> <img_1> <img_2>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите индуктивность показанного на рисунке $в$ витка из такого же провода. (Витки на рисунках выделены толстыми линиями)."}]}
answer: [{"condition": "Найдите индуктивность показанного на рисунке $в$ витка из такого же провода. (Витки на рисунках выделены толстыми линиями). ", "solution": {"text": "Пусть вдоль контура $1 2 3 4 5 6 1$ течет ток $I$. Такой контур можно заменить двумя контурами $1 2 3 6 1$ и $6 3 4 5 6$ с тем же током $I$. Это понятно из рисунка ниже. <img_3> Магнитный поток, пронизывающий контур $1 2 3 4 5 6 1$, состоит из двух одинаковых магнитных потоков, создаваемых контурами $1 2 3 6 1$ и $6 3 4 5 6$. Рассмотрим один из этих контуров, например, $1 2 3 6 1$. Поток, пронизывающий собственный контур $(1 2 3 6 1)$, очевидно равен $L_{1} I$ и направлен на нас. Одновременно линии индукции магнитного поля этого тока пронизывают контур $6 3 4 5 6$. Этот магнитный поток будет равен $L_{21} I$ и направлен от нас. Здесь $L_{21}$ — коэффициент взаимной индукции. Поэтому полный магнитный поток, пронизывающий контур $1 2 3 4 5 6 1$ двумя эквивалентными контурами, будет равен $$ \Phi_{2}=2\left(L_{1}-L_{21}\right) I. $$ По определению коэффициент самоиндукции (индуктивности) контура $1 2 3 4 5 6 1$ $$ L_{2}=\Phi_{2} / I=2(L_{1}-L_{21}). $$ Отсюда неизвестный коэффициент самоиндукции $$ L_{21}=L_{1}-\frac{L_{2}}{2}. \quad (1) $$ Рассмотрим теперь контур $1 2 3 4 5 6 1$, по которому течет ток $I$ (см. рисунок ниже). <img_4> Заменим этот контур тремя эквивалентными контурами: $1 2 7 6 1$, $2 3 4 7 2$ и $6 7 4 5 6$. Магнитный поток, пронизывающий каждый из этих трех контуров, $$ \Phi=L_{1} I-2 L_{21} I. $$ Суммарный магнитный поток через три контура $$ \Phi_{3}=3 \Phi=3 L_{1} I-6 L_{21} I. $$ Поток $\Phi_{3}$ входит через три грани нашего куба: $1 2 7 6 1$, $2 3 4 7 2$ и $6 7 4 5 6$. Этот же поток будет выходить через три другие грани, поскольку через любую замкнутую поверхность поток равен нулю. Этот закон является следствием отсутствия магнитных зарядов. Следовательно, магнитный поток $\Phi_{3}$ будет пересекать контур $1 2 3 4 5 6 1$. По определению $$ L_{3}=\Phi_{3} / I=3 L_{1}-6 L_{21}=3(L_{2}-L_{1}). $$ При написании последнего равенства было использовано выражение $(1)$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ L_{3}=3(L_{2}-L_{1}). $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]