text: {"text": [{"text": "Соберите установку, как показано на рисунке: железный груз подвесьте на двух нитях (бифилярный подвес), что бы колебания проходили в одной плоскости. К железному грузу прикрепите снизу магнит.На подставке штатива закрепите с помощью кусочка пластилина головной телефон. Подвешенный груз с магнитом должен проходить точно над катушкой телефона.Для измерения амплитуды колебаний прикрепите к основанию штатива линейку. При раскачивании груза с магнитом в катушке телефона возникает пульсирующая ЭДС. Этот импульс не сложно увидеть на экране осциллографа, но очень сложно обеспечить всех участников олимпиады индивидуальными осциллографами. <img_0> Для экспериментального исследования явления вам предлагается использовать следующую электрическую схему. К катушке головного телефона $K$ подсоедините последовательно диод $D$ и конденсатор $C$, к последнему подключите мультиметр.Соберите установку. Добейтесь, чтобы напряжение на конденсаторе достигало не менее $500~мВ$. Основная цель вашей работы – экспериментальное изучение закона электромагнитной индукции. <img_1>"}, {"text": "Часть A. Период колебаний"}, {"text": "Часть B. Разрядка через мультиметр"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": null}, "text": "Измерьте длину вашего маятника. Измерьте период колебаний вашего маятника. Укажите погрешность измерения периода колебаний."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": null}, "text": "Зарядите конденсатор и измерьте зависимость напряжения на нем от времени при разрядке только через мультиметр."}, {"text": "Часть C. Разрядка через диод"}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": null}, "text": "Определите сопротивление мультиметра, рассчитайте погрешность измеренного значения."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": null}, "text": "Зарядите конденсатор и измерьте зависимость напряжения на нем от времени при разрядке через вольтметр, диод и телефон."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": null}, "text": "Сопротивление диода не является постоянным, а зависит от напряжения на нем. Однако, можно ввести характерное время разрядки конденсатора в цепи $\tau=RC$, даже в том случае, когда сопротивление цепи не является постоянным. Рассчитайте $\tau$ в зависимости от напряжения на конденсаторе по имеющимся данным $\tau=\tau(U)$."}, {"text": "Часть D. Зарядка конденсатора"}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": null}, "text": "Оцените среднее характерное время разрядки конденсатора через всю цепь. Укажите примерный вид зависимости."}, {"balls": {"number": "D1", "exponent": null}, "text": "Разрядите конденсатор. Пусть груз с магнитом колеблется над катушкой телефона. Поддерживайте амплитуду колебаний груза примерно постоянной. Укажите, после какого числа прохождений напряжение на конденсаторе достигает максимального значения."}, {"text": "Часть E. От напряжения к ЭДС индукции"}, {"balls": {"number": "D2", "exponent": null}, "text": "Измерьте зависимость максимального напряжения на конденсаторе от амплитуды колебаний груза с магнитом. Постройте график полученной зависимости."}, {"balls": {"number": "E1", "exponent": null}, "text": "Теоретически опишите зависимость напряжения на конденсаторе от времени (можно и нужно сделать разумные допущения). Получите приближенную формулу, описывающую зависимость максимального напряжения на конденсаторе от амплитуды колебаний маятника."}, {"balls": {"number": "E2", "exponent": null}, "text": "Покажите, что данный эксперимент подтверждает закон электромагнитной индукции Фарадея. Оцените максимальный магнитный поток, который создает магнит в катушке головного телефона. ЭДС индукции, возникающая в катушке головного телефона, очень сильно зависит от расстояния между магнитом и телефоном. Не стремитесь добиться максимальной ЭДС – проводите измерения (в части ) при расстояниях между магнитом и телефоном порядка $1.5~см$ – в этом случае показания будут более стабильными."}]}
answer: [{"condition": "Измерьте длину вашего маятника. Измерьте период колебаний вашего маятника. Укажите погрешность измерения периода колебаний. ", "solution": {"text": "(Из длины нити $l = 40~ см\implies T=1.28 ~с$)"}, "answer": {"answers": ["Ответ: Измерение периода колебаний проводится обычным способом и дает значение", "Ответ: \[T= 1.27 ~с\]  (Из длины нити $l = 40~ см\implies T=1.28 ~с$)"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Зарядите конденсатор и измерьте зависимость напряжения на нем от времени при разрядке только через мультиметр. ", "solution": {"text": "Зарядив конденсатор, проводим измерения зависимости силы напряжения от времени. Результаты измерений представлены в таблице и на графиках ниже (второй в логарифмическом масштабе). | $t,\~с$ | 0 | 5 | 10 | 16 | 22 | 28 | 35 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $U,\~мВ$ | 1000 | 950 | 900 | 850 | 800 | 750 | 700 | | $\\ln U$ | 6\.907755 | 6\.856462 | 6\.802395 | 6\.745236 | 6\.684612 | 6\.620073 | 6\.55108 | | | | | | | | | | | $t,\~с$ | 42 | 50 | 59 | 69 | 80 | 92 | 105 | | $U,\~мВ$ | 650 | 600 | 550 | 500 | 450 | 400 | 350 | | $\\ln U$ | 6\.476972 | 6\.39693 | 6\.309918 | 6\.214608 | 6\.109248 | 5\.991465 | 5\.857933 | | | | | | | | | | | $t,\~с$ | 121 | 140 | 162 | 192 | 234 | $\-$ | $\-$ | | $U,\~мВ$ | 300 | 250 | 200 | 150 | 100 | $\-$ | $\-$ | | $\\ln U$ | 5\.703782 | 5\.521461 | 5\.298317 | 5\.010635 | 4\.60517 | $\-$ | $\-$ |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $t,\~с$ | 0 | 5 | 10 | 16 | 22 | 28 | 35 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $U,\~мВ$ | 1000 | 950 | 900 | 850 | 800 | 750 | 700 | | $\\ln U$ | 6\.907755 | 6\.856462 | 6\.802395 | 6\.745236 | 6\.684612 | 6\.620073 | 6\.55108 | | | | | | | | | | | $t,\~с$ | 42 | 50 | 59 | 69 | 80 | 92 | 105 | | $U,\~мВ$ | 650 | 600 | 550 | 500 | 450 | 400 | 350 | | $\\ln U$ | 6\.476972 | 6\.39693 | 6\.309918 | 6\.214608 | 6\.109248 | 5\.991465 | 5\.857933 | | | | | | | | | | | $t,\~с$ | 121 | 140 | 162 | 192 | 234 | $\-$ | $\-$ | | $U,\~мВ$ | 300 | 250 | 200 | 150 | 100 | $\-$ | $\-$ | | $\\ln U$ | 5\.703782 | 5\.521461 | 5\.298317 | 5\.010635 | 4\.60517 | $\-$ | $\-$ | Ответ: $t,~с$051016222835$U,~мВ$1000950900850800750700$\ln U$6.9077556.8564626.8023956.7452366.6846126.6200736.55108$t,~с$425059698092105$U,~мВ$650600550500450400350$\ln U$6.4769726.396936.3099186.2146086.1092485.9914655.857933$t,~с$121140162192234$-$$-$$U,~мВ$300250200150100$-$$-$$\ln U$5.7037825.5214615.2983175.0106354.60517$-$$-$", "<img_2>", "<img_3>"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Определите сопротивление мультиметра, рассчитайте погрешность измеренного значения. ", "solution": {"text": "Определенное по методу наименьших квадратов значение времени разрядки равно\begin{equation} \tau=(102\pm2) ~с\tag{1}\end{equation} Сопротивление мультиметра рассчитывается по формуле"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation} R_V=\frac{\tau}{C}=(1.02\pm0.05) ~МОм\tag{1}\end{equation}"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Зарядите конденсатор и измерьте зависимость напряжения на нем от времени при разрядке через вольтметр, диод и телефон. ", "solution": {"text": "Измерения временной зависимости напряжения на конденсаторе при его разрядке через диод и катушку телефона проводятся аналогично, результаты этих измерений приведены в таблице и на графиках ниже. <img_5> | $t, \~с$ | 0 | 5 | 10 | 15 | 21 | 28 | 34 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $U, \~мВ$ | 1000 | 950 | 900 | 850 | 800 | 750 | 700 | | $\\ln U$ | 6\.91 | 6\.86 | 6\.80 | 6\.75 | 6\.68 | 6\.62 | 6\.55 | | $\\tau, \~с$ | $\-$ | 94\.9 | 89\.9 | 93\.4 | 103\.9 | 97\.4 | 97\.8 | | | | | | | | | | | $t, \~с$ | 42 | 50 | 59 | 68 | 79 | 90 | 104 | | $U, \~мВ$ | 650 | 600 | 550 | 500 | 450 | 400 | 350 | | $\\ln U$ | 6\.48 | 6\.40 | 6\.31 | 6\.21 | 6\.11 | 5\.99 | 5\.86 | | $\\tau, \~с$ | 103\.8 | 101\.8 | 98\.7 | 99\.7 | 98\.6 | 99\.5 | 100\.8 | | | | | | | | | | | $t, \~с$ | 119 | 138 | 161 | 190 | 231 | $\-$ | $\-$ | | $U, \~мВ$ | 300 | 250 | 200 | 150 | 100 | $\-$ | $\-$ | | $\\ln U$ | 5\.70 | 5\.52 | 5\.30 | 5\.01 | 4\.61 | $\-$ | $\-$ | | $\\tau, \~с$ | 101\.0 | 103\.6 | 101\.8 | 101\.0 | $\-$ | $\-$ | $\-$ |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $t, \~с$ | 0 | 5 | 10 | 15 | 21 | 28 | 34 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $U, \~мВ$ | 1000 | 950 | 900 | 850 | 800 | 750 | 700 | | $\\ln U$ | 6\.91 | 6\.86 | 6\.80 | 6\.75 | 6\.68 | 6\.62 | 6\.55 | | $\\tau, \~с$ | $\-$ | 94\.9 | 89\.9 | 93\.4 | 103\.9 | 97\.4 | 97\.8 | | | | | | | | | | | $t, \~с$ | 42 | 50 | 59 | 68 | 79 | 90 | 104 | | $U, \~мВ$ | 650 | 600 | 550 | 500 | 450 | 400 | 350 | | $\\ln U$ | 6\.48 | 6\.40 | 6\.31 | 6\.21 | 6\.11 | 5\.99 | 5\.86 | | $\\tau, \~с$ | 103\.8 | 101\.8 | 98\.7 | 99\.7 | 98\.6 | 99\.5 | 100\.8 | | | | | | | | | | | $t, \~с$ | 119 | 138 | 161 | 190 | 231 | $\-$ | $\-$ | | $U, \~мВ$ | 300 | 250 | 200 | 150 | 100 | $\-$ | $\-$ | | $\\ln U$ | 5\.70 | 5\.52 | 5\.30 | 5\.01 | 4\.61 | $\-$ | $\-$ | | $\\tau, \~с$ | 101\.0 | 103\.6 | 101\.8 | 101\.0 | $\-$ | $\-$ | $\-$ | Ответ: $t, ~с$051015212834$U, ~мВ$1000950900850800750700$\ln U$6.916.866.806.756.686.626.55$\tau, ~с$$-$94.989.993.4103.997.497.8$t, ~с$425059687990104$U, ~мВ$650600550500450400350$\ln U$6.486.406.316.216.115.995.86$\tau, ~с$103.8101.898.799.798.699.5100.8$t, ~с$119138161190231$-$$-$$U, ~мВ$300250200150100$-$$-$$\ln U$5.705.525.305.014.61$-$$-$$\tau, ~с$101.0103.6101.8101.0$-$$-$$-$", "<img_4>"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Сопротивление диода не является постоянным, а зависит от напряжения на нем. Однако, можно ввести характерное время разрядки конденсатора в цепи $\tau=RC$,  даже в том случае, когда сопротивление цепи  не является постоянным. Рассчитайте  $\tau$ в зависимости от напряжения на конденсаторе по имеющимся данным $\tau=\tau(U)$. ", "solution": {"text": "Сопротивление диода (следовательно, и время разряда) может не являться постоянным, а зависеть от приложенного напряжения. Поэтому следует построить зависимость времени разрядки от напряжения на конденсаторе. Эта зависимость может быть рассчитана на основании уравнения $(3)$, из которого следует, что \begin{equation} \tau= -U\frac{\Delta t}{\Delta U} = -1\left/\frac{\mathrm d\ln U}{\mathrm dt}\right.\tag{3}\end{equation}"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "C2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Оцените среднее характерное время разрядки конденсатора через всю цепь. Укажите примерный вид зависимости. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: Отметим, что в этом случае время разрядки почти не отличается от времени разрядки только через мультиметр и является примерно постоянной величиной."]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Разрядите конденсатор. Пусть груз с магнитом колеблется над катушкой телефона. Поддерживайте амплитуду колебаний груза примерно постоянной. Укажите, после какого числа прохождений напряжение на конденсаторе достигает максимального значения. Результаты измерений зависимости максимального напряжения на конденсаторе от амплитуды колебаний приведены в таблице ниже.
  
  
  
  Ответ: 
                      
   
  $A,  ~мм$252015105$U_{ср},~ мB$14701200780460240", "solution": {"text": "Результаты измерений зависимости максимального напряжения на конденсаторе от амплитуды колебаний приведены в таблице ниже. | $A, \~мм$ | 25 | 20 | 15 | 10 | 5 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $U\_{ср},\~ мB$ | 1470 | 1200 | 780 | 460 | 240 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $A, \~мм$ | 25 | 20 | 15 | 10 | 5 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $U\_{ср},\~ мB$ | 1470 | 1200 | 780 | 460 | 240 | Ответ: $A, ~мм$252015105$U_{ср},~ мB$14701200780460240"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Измерьте зависимость максимального напряжения на конденсаторе от амплитуды колебаний груза с магнитом. Постройте график полученной зависимости. ", "solution": {"text": "Полученная зависимость близка к линейной."}, "answer": {"answers": ["<img_6>"]}, "number_part": "D2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Теоретически опишите зависимость напряжения на конденсаторе от времени (можно и нужно сделать разумные допущения). Получите приближенную формулу, описывающую зависимость максимального напряжения на конденсаторе от амплитуды колебаний маятника. ", "solution": {"text": "<img_7> Схематическая зависимость напряжения на конденсаторе от времени показана на рисунке. В течение промежутка времени $t_1$ (магнит проходит над катушкой) напряжение на конденсаторе возрастает от некоторого значения $U_1$ до максимального $U_{\max}$. Процесс зарядки описывается уравнением \begin{equation} C\frac{ \mathrm d U}{ \mathrm d t}=\frac{E-U}{R} = \frac{1}{R}\frac{\mathrm d\Phi}{\mathrm dt}-\frac{U}{R} \tag{5}\end{equation}Учитывая малость времени $t_1$ по сравнению со временем разрядки, можно записать \begin{equation} U_{\max}=U_1+\frac{\Phi_0}{R_0C}-\frac{U_1}{R_0C}t_1 \tag{6}\end{equation}Здесь в качестве сопротивления цепи следует брать сопротивление катушки, так как во время зарядки диод открыт, и его сопротивлением можно пренебречь. Величина \begin{equation} R_0C=1.4\cdot10^3 ~Ом\cdot10^{-4}~Ф=1.4\cdot10^{-1}~с \tag{7}\end{equation} больше чем время прохождения магнита над катушкой (которое меньше, чем одна сотая периода колебаний).За промежуток времени $t_2\approx T/2$ примерно равный половине периода колебаний конденсатор разряжается через закрытый диод. Процесс разрядки описывается уравнением \begin{equation}C \frac{\mathrm d U}{\mathrm d t} = -\frac{U}{R} \tag{8}\end{equation} из которого можно получить приближенное соотношение\begin{equation}U_1=U_{\max}\left(1-\frac{t_2}{RC} \right).\tag{9}\end{equation}Из формул $(6)-(9)$ следует \begin{equation}U_{\max}= \frac{\Phi_0}{R_0C} \left(\frac{t_1}{R_0C} +\frac{t_2}{RC} \right)^{-1}.\tag{10}\end{equation}Определим время прохождения магнита над катушкой (точнее над половиной катушки) из закона движения маятника. Так как размер катушки и магнита значительно меньше амплитуды колебаний, то это время оценивается формулой \begin{equation}t_1= \frac{\Delta l}{V_{\max}}.\tag{11}\end{equation}где $\Delta l$ сумма диаметра магнита радиуса катушки (в наших экспериментах) $\Delta l \approx 3 ~см$, а максимальная скорость может быть найдена из закона сохранения энергии\begin{equation}\frac {V_{\max}^2}{2}= \frac{\omega^2A^2}{2},\tag{12}\end{equation} где $\omega = {2\pi}/{T}$ — круговая частота колебаний маятника. Таким образом, мы получаем, \begin{equation}t_1= \frac{\Delta l}{V_{\max}} = \frac{T}{2\pi} \frac{\Delta l}{A}.\tag{13}\end{equation} Оценим численные значения слагаемых в формуле $(10)$ \begin{equation}\frac{t_1}{R_0C}\approx \frac{T}{2\pi} \frac{\Delta l}{A} \frac{1}{R_0C}\approx 0.5,\qquad\frac{t_2}{RC}= \frac{T}{2RC} \approx 0.03.\end{equation}Второе слагаемое более чем на порядок меньше первого, поэтому в первом приближении им можно пренебречь. В итоге максимальное напряжение на конденсаторе примерно оказывается равным среднему значению ЭДС и пропорциональным амплитуде колебаний, что неплохо подтверждается экспериментом."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation}U_{\max}\approx \frac{\Phi_0}{t_1}= \Phi_0\frac{2\pi}{T\Delta l}A.\tag{14}\end{equation}  и пропорциональным амплитуде колебаний, что неплохо подтверждается экспериментом."]}, "number_part": "E1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Покажите, что данный эксперимент подтверждает закон электромагнитной индукции Фарадея. Оцените максимальный магнитный поток, который создает магнит в катушке головного телефона. ", "solution": {"text": "Коэффициент пропорциональности в формуле $(14)$ может быть определен из наклона графика зависимости напряжения от амплитуды колебаний и равен \begin{equation}K = \frac{\Delta U_{\max}}{\Delta A}= 6.4\cdot10^{-2}~ {В}/{см}.\end{equation}Теперь с его помощью можно оценить максимальный магнитный поток, который создает магнит в катушке"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \begin{equation}\Phi_0 \approx K \frac{T\Delta l}{2\pi} \approx 3.9\cdot10^{-2} ~Вб\end{equation}"]}, "number_part": "E2", "exponent_part": "??"}]