text: {"text": [{"text": "Китайский волчок — это особый волчок, который переворачивается при вращении. Представьте волчок, как усеченную сферу радиуса $R$ cо стержнем на оси. Волчок симметричен относительно этой оси. Центр масс $C$ волчка сдвинут относительно геометрического центра сферы на расстояние $\alpha R$, как показано на рисунке 1a. Отклонение стержня от вертикали в любой момент времени характеризуется углом $\theta$. Точка $A$ — точка касания волчка с полом. Если волчок такой формы раскрутить достаточно быстро, то стержень начнёт опускаться до тех пор, пока волчок не встанет и не начнёт вращаться на нём. Далее волчок начнёт замедляться и остановится. <img_0> <img_1> Определим $XYZ$, как неподвижную инерциальную систему координат. Плоскость $XY$ — пол, на котором находится волчок. Выше определена система координат $xyz$, она получается из $XYZ$ вращением относительно оси $Z$ на угол $\phi$ (рис. 3a). В частности единичные векторы направляющих $\widehat{\mathbf{z}} = \widehat{\mathbf{Z}}$. <img_2> Вращение твёрдого тела можно описывать углами Эйлера $(\theta,\ \phi,\ \psi)$. Опишем через эти углы, переходы от неподвижной системы координат $XYZ$ к промежуточной системе координат $xyz$, и от промежуточной $xyz$ к системе координат $123$, жёстко связанной с волчком. Угол $\theta$ — угол между осью симметрии волчка и осью $Z$. Угол $\phi$ — угол поворота относительно оси $Z$ (угол между промежуточным единичным вектором $\widehat{\mathbf{x}}$ и неподвижным $\widehat{\mathbf{X}}$, а также между $\widehat{\mathbf{y}}$ и $\widehat{\mathbf{Y}}$). Угол $\psi$ — угол вращение относительно оси симметрии волчка. Система координат $123$ жёстко связана с волчком. Она получается из $xyz$ вращением на угол $\theta$ относительно единичного вектора $\widehat{\mathbf{y}}$, таким образом вектор $\widehat{\mathbf{3}}$ совпадает с осью симметрии волчка. Переход от системы координат $xyz$ к $123$ показан на рисунке 3b. В частости $\widehat{\mathbf{2}} = \widehat{\mathbf{y}}$ В процессе движения китайского волчка все три угла Эйлера $(\theta,\ \phi,\ \psi)$, а также положение центра масс меняются. Нахождение полного решения о движении китайского волчка сложная задача для компьютерного моделирования. В этой задаче требуется требуется записать уравнения движения китайского волчка и сделать некоторые частные выводы из них. В движении волчка ключевой является сила трения, возникающая между ним и полом. Считайте, что волчок касается пола в точке $A$ до касания пола стержнем. Пусть ${\mathbf v}_A$— скорость движения точки $A$ волчка относительно пола. Коэффициент трения $\mu_k$ между волчком и полом — это коэффициент трения скольжения. Сила трения скольжения $|\mathbf{F_f}|=\mu_k N$, где $\mathbf{F}_f= F_{f,x}\hat{\mathbf{x}} + F_{f,y}\hat{\mathbf{y}} $, а $N$ — сила нормальной реакции опоры. Считайте, что изначально волчок только крутится относительно своей оси, начальный импульс волчка равен нулю. Пусть $m$ — масса волчка. Его моменты инерции: $I_3$ относительно оси симметрии, а $I_1=I_2$ относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс $C$ в плоскости перпендикулярной оси симметрии. Пусть вектор $\mathbf{s}$ определяет положение центра масс волчка, а $\mathbf{a}=\overrightarrow{CA}$ вектор из центра масс в точку касания волчка и пола. Все ответы дайте в системе отсчёта связанной с системой координат $xyz$ (если не сказано обратного)! Все моменты сил и моменты импульса рассматриваются относительно центра масс $C$ (если не сказано обратного)! При записи ответов считайте $N$ известным! Кроме части A8, считайте, что $\theta < \frac{\pi}{2}$, и что стержень не касается пола!"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите полную силу $\mathbf{F_{\rm{ext}}}$, действующую на китайский волчок. Изобразите все действующие на волчок силы в проекции на плоскости $xz$ и $xy$. Укажите направление ${\mathbf v}_A$ на вашем рисунке в проекции на плоскость $xy$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите полный внешний момент действующих на волчок сил $\vec{\pmb{\tau}}_{\rm{ext}}$ относительно центра масс."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,40"}, "text": "Покажите, что скорость точки $A$ не имеет $z$-компоненты, т.е. можно записать ${\mathbf v}_A = v_x \hat{\mathbf{x}} + v_y \hat{\mathbf{y}} $. Если требуется, считайте условие для точки касания $ (\mathbf{s}+\mathbf{a})\cdot\widehat{\mathbf{z}} = 0$ данным."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите полную угловую скорость $\vec{\pmb{\omega}}$ вращения волчка относительно его центра масс $C$. Ответ выразите через производные углов Эйлера: $\dot{\theta}=\frac{d\theta}{dt}$, $\dot{\phi}=\frac{d\phi}{dt}$, и $\dot{\psi}=\frac{d\psi}{dt}$. Дайте ответы в двух системах координат: в координатах $xyz$ и в координатах $123$ ."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите Полную энергию движения волчка. Выразите ответ через производные углов Эйлера, $v_x$, и $v_y$. Если записать ответ через $\dot{\mathbf{s}}=\frac{d\mathbf{s}}{dt}$, то вы получите только часть баллов."}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите скорость изменения $z$-компоненты момента импульса."}, {"balls": {"number": "A7", "exponent": "1,40"}, "text": "Какие силы совершают работу кроме силы тяжести? Выразите через $\mathbf{v}_A$ с какой скоростью меняется полная энергия волчка. В пункте A5 полная энергия состояла из нескольких частей. Определите компоненты сил и моментов сил, которые меняют распределение энергии между этими частями."}, {"balls": {"number": "A8", "exponent": "2,00"}, "text": "Качественно изобразите следующие части полной энергии, как функции времени, в течение всех фаз движения китайского волчка (от до до до , показаны на рисунке 2): полная энергия $ E_T$, потенциальная гравитационная энергия $U_G$, кинетическая энергия поступательного движения $K_T$, кинетическая энергия вращения $K_R$. до , показаны на рисунке 2): полная энергия $ E_T$, потенциальная гравитационная энергия $U_G$, кинетическая энергия поступательного движения $K_T$, кинетическая энергия вращения $K_R$. до , показаны на рисунке 2): полная энергия $ E_T$, потенциальная гравитационная энергия $U_G$, кинетическая энергия поступательного движения $K_T$, кинетическая энергия вращения $K_R$. до , показаны на рисунке 2): полная энергия $ E_T$, потенциальная гравитационная энергия $U_G$, кинетическая энергия поступательного движения $K_T$, кинетическая энергия вращения $K_R$. до , показаны на рисунке 2): полная энергия $ E_T$, потенциальная гравитационная энергия $U_G$, кинетическая энергия поступательного движения $K_T$, кинетическая энергия вращения $K_R$. до , показаны на рисунке 2): полная энергия $ E_T$, потенциальная гравитационная энергия $U_G$, кинетическая энергия поступательного движения $K_T$, кинетическая энергия вращения $K_R$. до , показаны на рисунке 2): полная энергия $ E_T$, потенциальная гравитационная энергия $U_G$, кинетическая энергия поступательного движения $K_T$, кинетическая энергия вращения $K_R$."}, {"balls": {"number": "A9", "exponent": "0,50"}, "text": "Покажите, что компоненты момента импульса $\mathbf L$ и угловой скорости $\pmb{\omega}$, которые перпендикулярны единичному вектору $\mathbf{\widehat{3}}$ пропорциональны друг другу, то есть $$\mathbf L\times \mathbf{\widehat 3}=k(\pmb\omega\times \mathbf{\widehat 3})$$ $$\mathbf L\times \mathbf{\widehat 3}=k(\pmb\omega\times \mathbf{\widehat 3})$$ $$\mathbf L\times \mathbf{\widehat 3}=k(\pmb\omega\times \mathbf{\widehat 3})$$ Определите коэффициент пропорциональности $k$. $$\mathbf L\times \mathbf{\widehat 3}=k(\pmb\omega\times \mathbf{\widehat 3})$$ Определите коэффициент пропорциональности $k$. $$\mathbf L\times \mathbf{\widehat 3}=k(\pmb\omega\times \mathbf{\widehat 3})$$ Определите коэффициент пропорциональности $k$. $$\mathbf L\times \mathbf{\widehat 3}=k(\pmb\omega\times \mathbf{\widehat 3})$$ Определите коэффициент пропорциональности $k$. $$\mathbf L\times \mathbf{\widehat 3}=k(\pmb\omega\times \mathbf{\widehat 3})$$ Определите коэффициент пропорциональности $k$. $$\mathbf L\times \mathbf{\widehat 3}=k(\pmb\omega\times \mathbf{\widehat 3})$$ Определите коэффициент пропорциональности $k$. $$\mathbf L\times \mathbf{\widehat 3}=k(\pmb\omega\times \mathbf{\widehat 3})$$ Определите коэффициент пропорциональности $k$. Интегралы движения — это величины, которые остаются постоянными в процессе движения. Такие величины часто значительно упрощают вычисления. Обычно это энергия, импульс или момент импульса."}, {"balls": {"number": "A10", "exponent": "1,70"}, "text": "При движении китайского волчка не сохраняется ни энергия, ни момент импульса. Это происходит из-за диссипативных сил и момента внешних сил. Однако, сохраняется постоянной величина $\lambda$, которая называется интегралом Желлета. Она показывает сохраняющуюся компоненту момента импульса. Это означает, что существует некоторый вектор $\mathbf{v}$, такой что $\lambda = \mathbf{L}\cdot\mathbf{v}$ постоянно во времени. Используя результаты предыдущих пунктов, найдите $\mathbf{v}$. Покажите, что производная $\lambda$ по времени равна нулю. Используя результаты предыдущих пунктов, найдите $\mathbf{v}$. Покажите, что производная $\lambda$ по времени равна нулю. Используя результаты предыдущих пунктов, найдите $\mathbf{v}$. Покажите, что производная $\lambda$ по времени равна нулю. Используя результаты предыдущих пунктов, найдите $\mathbf{v}$. Покажите, что производная $\lambda$ по времени равна нулю. Используя результаты предыдущих пунктов, найдите $\mathbf{v}$. Покажите, что производная $\lambda$ по времени равна нулю. Используя результаты предыдущих пунктов, найдите $\mathbf{v}$. Покажите, что производная $\lambda$ по времени равна нулю. Используя результаты предыдущих пунктов, найдите $\mathbf{v}$. Покажите, что производная $\lambda$ по времени равна нулю."}]}
answer: [{"condition": "Найдите полную силу $\mathbf{F_{\rm{ext}}}$, действующую на китайский волчок. Изобразите все действующие на волчок силы в проекции на плоскости $xz$ и $xy$. Укажите направление ${\mathbf v}_A$ на вашем рисунке в проекции на плоскость $xy$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите полный внешний момент действующих на волчок сил $\vec{\pmb{\tau}}_{\rm{ext}}$ относительно центра масс. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Покажите, что скорость точки $A$ не имеет $z$-компоненты, т.е. можно записать ${\mathbf v}_A = v_x \hat{\mathbf{x}} + v_y \hat{\mathbf{y}} $. Если требуется, считайте условие для точки касания $ (\mathbf{s}+\mathbf{a})\cdot\widehat{\mathbf{z}} = 0$ данным. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите полную угловую скорость $\vec{\pmb{\omega}}$ вращения волчка относительно его центра масс $C$. Ответ выразите через производные углов Эйлера: $\dot{\theta}=\frac{d\theta}{dt}$, $\dot{\phi}=\frac{d\phi}{dt}$, и $\dot{\psi}=\frac{d\psi}{dt}$. Дайте ответы в двух системах координат: в координатах $xyz$ и в координатах $123$ . ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Найдите Полную энергию движения волчка. Выразите ответ через производные углов Эйлера, $v_x$, и $v_y$. Если записать ответ через $\dot{\mathbf{s}}=\frac{d\mathbf{s}}{dt}$, то вы получите только часть баллов. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A5", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите скорость изменения $z$-компоненты момента импульса. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A6", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Какие силы совершают работу кроме силы тяжести? Выразите через $\mathbf{v}_A$ с какой скоростью меняется полная энергия волчка. В пункте A5 полная энергия состояла из нескольких частей. Определите компоненты сил и моментов сил, которые меняют распределение энергии между этими частями. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A7", "exponent_part": "1,40"}, {"condition": "Качественно изобразите следующие части полной энергии, как функции времени, в течение всех фаз движения китайского волчка (от I до V , показаны на рисунке 2): полная энергия $ E_T$, потенциальная гравитационная энергия $U_G$, кинетическая энергия поступательного движения $K_T$, кинетическая энергия вращения $K_R$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A8", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Покажите, что компоненты момента импульса $\mathbf L$ и угловой скорости $\pmb{\omega}$, которые перпендикулярны единичному вектору $\mathbf{\widehat{3}}$ пропорциональны друг другу, то есть  $$\mathbf L\times \mathbf{\widehat 3}=k(\pmb\omega\times \mathbf{\widehat 3})$$  Определите коэффициент пропорциональности $k$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A9", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "При движении китайского волчка не сохраняется ни энергия, ни момент импульса. Это происходит из-за диссипативных сил и момента внешних сил. Однако, сохраняется постоянной величина $\lambda$, которая называется интегралом Желлета. Она показывает сохраняющуюся компоненту момента импульса. Это означает, что существует некоторый вектор $\mathbf{v}$, такой что $\lambda = \mathbf{L}\cdot\mathbf{v}$ постоянно во времени.   Используя результаты предыдущих пунктов, найдите $\mathbf{v}$. Покажите, что производная $\lambda$ по времени равна нулю. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A10", "exponent_part": "1,70"}]