text: {"text": [{"text": "По рельсам катится с постоянной скоростью вагонетка. Радиус её колеса равен $r$, а радиус реборды (бортика, выступающего за обод колеса и предохраняющего колесо от схода с рельса) существенно больше. В некоторый момент времени скорости двух диаметрально противоположных точек $A$ и $B$ обода равны по модулю $v_{A}$ и $v_{B}$ соответственно (см. рисунок). <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "C какой скоростью $v_{0}$ катится колесо?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "В тот же момент времени скорость некоторой точки $C$, находящейся на реборде, направлена вертикально и равна $v_{C}$. Однозначно ли определяется положение этой точки?"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Чему равна проекция ускорения $a_{C y}$ этой точки на вертикальную координатную ось?"}]}
answer: [{"condition": "C какой скоростью $v_{0}$ катится колесо? ", "solution": {"text": "Скорости точек $A$ и $B$ можно выразить через скорость поступательного движения колеса как целого и скорость вращательного движения. Но проще воспользоваться идеей о мгновенной оси вращения для тела, катящегося без проскальзывания. Обозначим точку касания колеса с рельсом буквой $D$. Скорость этой точки равна нулю. Ось, проходящая через точку $D$ — мгновенная ось вращения всех точек колеса. Пусть расстояние $A D=L$, а расстояние $B D=l$ (см. рисунок). <img_1> Предположим, что угловая скорость вращения колеса равна $\omega$. Тогда скорость $v_{A}=\omega L$, скорость $v_{B}=\omega l$, а скорость колеса $v_{0}=\omega r$. По условию $A B=2 r$. Угол $A B D$ прямой, так как опирается на диаметр окружности. Тогда по теореме Пифагора $L^{2}+l^{2}=(2 r)^{2}$. Умножим это равенство на квадрат угловой скорости: $L^{2} \omega^{2}+l^{2} \omega^{2}=(2 r)^{2} \omega^{2}$. Легко видеть, что получившееся выражение эквивалентно равенству $v_{A}^{2}+v_{B}^{2}=(2 v_{0})^{2}$. Следовательно, искомая скорость $$ v_{0}=\frac{\sqrt{v_{A}^{2}+v_{B}^{2}}}{2}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v_{0}=\frac{\sqrt{v_{A}^{2}+v_{B}^{2}}}{2}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "В тот же момент времени скорость некоторой точки $C$, находящейся на реборде, направлена вертикально и равна $v_{C}$. Однозначно ли определяется положение этой точки? ", "solution": {"text": "Поскольку вектор скорости точки $C$ направлен вертикально, эта точка должна находиться на одном уровне с рельсом, а её скорость $v_{C}=\omega x$, где $x=C D$. Таких точек две: по одной слева и справа от мгновенной оси вращения (точки $D$)."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Таких точек две: по одной слева и справа от мгновенной оси вращения (точки $D$)."]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Чему равна проекция ускорения $a_{C y}$ этой точки на вертикальную координатную ось? ", "solution": {"text": "Пусть расстояние $O C$ от оси колеса до точки $C$ равно $R$. Ускорение любой заданной точки колеса одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Найдем ускорение точки в системе отсчёта движущейся, как и центр колеса, поступательно со скоростью $v_{0}$. Ускорение $$ a_{C}=\omega^{2} R=\left(\frac{v_{0}}{r}\right)^{2} R. $$ Его проекция на вертикальную ось $$ a_{C y}=a_{C} \frac{r}{R}=\left(\frac{v_{0}}{r}\right)^{2} R \frac{r}{R}=\frac{v_{0}^{2}}{r}=\frac{v_{A}^{2}+v_{B}^{2}}{4 r} $$ и одинакова для всех точек колеса, находящихся на одном уровне с рельсом!"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ a_{C y}=\frac{v_{A}^{2}+v_{B}^{2}}{4 r}. $$"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]