text: {"text": [{"text": "В $U$-образную трубку с открытыми концами налили ртуть, после чего один из концов трубки запаяли (см. рисунок). <img_0> Затем ртуть вывели из состояния равновесия, в результате чего возникли малые колебания ртути в трубке."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите период этих колебаний, если известно, что масса ртути $m=367~г$, ее плотность $\rho=13.6 \cdot 10^{3}~кг/м^{3}$, площадь поперечного сечения трубки $S=1~см^{2}$, а высота столба воздуха в запаянном конце трубки равна $l=1~м$. Внешнее атмосферное давление $p_{0}=10^{5}~Па$. Процесс считать изотермическим."}]}
answer: [{"condition": "Найдите период этих колебаний, если известно, что масса ртути $m=367~г$, ее плотность $\rho=13.6 \cdot 10^{3}~кг/м^{3}$, площадь поперечного сечения трубки $S=1~см^{2}$, а высота столба воздуха в запаянном конце трубки равна $l=1~м$. ", "solution": {"text": "При смещении уровня ртути в каждом колене (см. рисунок) на расстояние $\Delta x$ из-за разности гидростатических давлений возникает сила, равная $$ F_{1}=2 \rho g S \Delta x. $$ <img_1> Воздух в левом колене сжимается, объем воздуха при этом становится равным $(l-\Delta x) S$. По закону Бойля-Мариотта $$ p_{0} l=\left(p_{0}+\Delta p\right)(l-\Delta x)=p_{0} l-p_{0} \Delta x+\Delta p l-\Delta x \Delta p. $$ Так как колебания малые, слагаемым $\Delta x \Delta p$ можно пренебречь. Отсюда $\Delta p=\frac{\Delta x}{l} p_{0}$, а сила, действующая со стороны воздуха, $F_{2}=\frac{\Delta x}{l} p_{0} S$. Уравнение движения ртути имеет вид $$ m a+S\left(2 \rho g+\frac{p_{0}}{l}\right) \Delta x=0. $$ Это уравнение совпадает с уравнением движения груза на пружинке с эффективной «жесткостью» $$ k=\left(2 \rho g+\frac{p_{0}}{l}\right) S. $$ Тогда по аналогии $$ T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{\left(2 \rho g+p_{0} / l\right) S}} \approx 0.63~с. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{\left(2 \rho g+p_{0} / l\right) S}} \approx 0.63~с. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]