text: {"text": [{"text": "В горизонтальном неподвижном цилиндре, закрытом с обоих концов, находится поршень, масса которого равна $M$ (см. рисунок). <img_0> Поршень может двигаться в цилиндре без трения. Равновесное положение поршня находится в центре цилиндра. Между поршнем и торцами цилиндра в плоскости среднего сечения летают в горизонтальном направлении два маленьких шарика, имеющие одинаковую массу $m\ (m \ll M)$. Частота столкновений каждого шарика с поршнем, находящимся в равновесии, равна $f$. Если поршень медленно сместить из положения равновесия на малое расстояние, то он начнет совершать гармонические колебания."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Считая удары шариков абсолютно упругими, определите период этих колебаний. При $x \ll 1$ выражение $(1+x)^{n} \approx 1+n x$."}]}
answer: [{"condition": "Считая удары шариков абсолютно упругими, определите период этих колебаний. ", "solution": {"text": "Пусть в некоторый произвольный момент времени поршень движется влево. Его смещение равно $x$, скорость $u(x)=\Delta x / \Delta t$. Обозначим скорость левого шарика в этот момент через $v$ (см. рисунок). <img_1> При каждом отскоке шарика от поршня скорость шарика увеличивается на $2u$. За малое время $\Delta t$ число ударов о поршень равно $$ \Delta N=\Delta t\left(\frac{2(l-x)}{v}\right)^{-1}=\frac{v \Delta t}{2(l-x)}, $$ где $l$ — расстояние между поршнем и стенкой при равновесии. Полное изменение скорости шарика за это время равно $\Delta v=2 u \Delta N=\frac{v \Delta x}{l-x}$. Получаем уравнение относительно $v$ и $x$: $$ \frac{\Delta v}{v}=\frac{\Delta x}{l-x}. $$ Строгое решение этого уравнения приводит к соотношению: $$ v(x)(l-x)=v_{0} I=\operatorname{const}, $$ где $v_{0}$ — скорость шарика при равновесном положении поршня $(x=0)$. Этот же результат получим и при малых смещениях поршня, если положить, что $\Delta x \approx x$, a $v \approx v_{0}$. Тогда $\Delta v=\frac{v_{0} x}{l-x}$, а $$ v(x)=v_{0}+\Delta v=v_{0} \frac{l}{l-x}. $$ Найдем силу $F_{1}$, действующую в этот момент на поршень со стороны левого шарика. Число ударов шарика о поршень в единицу времени $$ N=\frac{v}{2(l-x)}=\frac{v_{0} l}{2(l-x)^{2}}. $$ При каждом ударе изменение импульса шарика $$ \Delta p=-2 m v=-\frac{2 m v_{0} l}{l-x}. $$ Поэтому $$ F_{1}=\frac{m v_{0}^{2} l^{2}}{(l-x)^{3}}. $$ Аналогично сила со стороны правого шарика $$ F_{2}=\frac{m v_{0}^{2} l^{2}}{(l+x)^{3}}. $$ При $\frac{x}{l} \ll 1$. $$ F_{1} \approx \frac{m v_{0}^{2}}{l}\left(1+\frac{3 x}{l}\right), F_{2}=\frac{m v_{0}^{2}}{l}\left(1-\frac{3 x}{l}\right). $$ Уравнение движения поршня: $$ M \ddot{x}=F_{2}-F_{1}=-\frac{6 m v_{0}^{2} x}{l^{2}}. $$ Поскольку равновесная частота $f=v_{0} /(2 l)$, то уравнение движения будет иметь вид $$ \ddot{x}+24 f^{2} \frac{m}{M} x=0. $$ Следовательно, круговая частота равна $\omega=2 \sqrt{6} f \sqrt{\frac{m}{M}}$, а период $$ T=\frac{\pi}{\sqrt{6}} \sqrt{\frac{M}{m}} \frac{1}{f}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ T=\frac{\pi}{\sqrt{6}} \sqrt{\frac{M}{m}} \frac{1}{f}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]