text: {"text": [{"text": "Груз, соединенный пружиной с вертикальной стенкой, совершает колебания, двигаясь по горизонтальной поверхности (см. рисунок). <img_0> Масса груза равна $m$, коэффициент трения между грузом и поверхностью равен $\mu$, жесткость пружины равна $k$. В моменты времени, когда пружина максимально растянута, по грузу ударяют и сообщают ему некоторый импульс, так что он приобретает скорость $v_{0}$ в направлении к стенке."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите скорость $v_{0}$, если колебания оказываются установившимися, а максимальное удлинение пружины равно $l$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите скорость $v_{0}$, если колебания оказываются установившимися, а максимальное удлинение пружины равно $l$. ", "solution": {"text": "При движении груза влево от точки $(1)$ (см. рисунок) закон сохранения энергии имеет вид: $$ \frac{m v_{0}^{2}}{2}+\frac{k l^{2}}{2}=\frac{k l_{1}^{2}}{2}+\mu m g\left(l+l_{1}\right), \quad (1) $$ где $l_{1}$ — максимальное сжатие пружины. <img_1> При движении груза вправо от точки $(2)$ имеем $$ \frac{k l_{1}^{2}}{2}=\frac{k l^{2}}{2}+\mu m g\left(l+l_{1}\right). \quad (2) $$ Из $(1)$ и $(2)$, находим $$ \frac{m v_{0}^{2}}{2}=2 \mu m g\left(l+l_{1}\right). \quad (3) $$ Из уравнений $(3)$ и $(1)$ можем найти максимальное сжатие $l_{1}$ пружины: $$ l_{1}=l+2 \mu \frac{m g}{k}. \quad (4) $$ Подставляя полученное выражение для $l_{1}$ в $(3)$, получим: $$ \frac{m v_{0}^{2}}{2}=4 \mu m g\left(l+\frac{\mu m g}{k}\right), $$ откуда $$ v_{0}=\sqrt{8 \mu g\left(l+\frac{\mu m g}{k}\right)}. $$ Заметим, что задача имеет решение, если $l>\frac{\mu m g}{k}$. Область $-\frac{\mu m g}{k} \leq x \leq \frac{\mu m g}{k}$ называется зоной застоя."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ v_{0}=\sqrt{8 \mu g\left(l+\frac{\mu m g}{k}\right)}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]