text: {"text": [{"text": "На партy с углом наклона $\alpha = 40^\circ$ к горизонту кладут шестигранный карандаш так, чтобы он не скатывался вниз и не скользил (см. рис). <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "При каком коэффициенте трения это возможно?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Под каким углом $\varphi$ к горизонтальному направлению нужно положить карандаш? Значения тригонометрических функций можно взять из таблиц."}]}
answer: [{"condition": "При каком коэффициенте трения это возможно? ", "solution": {"text": "Изобразим силы, действующие на карандаш. <img_1> Силы изображены условно на картинке.$N=mg\cos\alpha$$F_{m p} \leqslant \mu N=\mu m g \cos \alpha$1) Чтобы карандаш не соскальзывал, необходимо и достаточно $\left(F_{тр}\right)_{\max } \geqslant m g \sin \alpha$, т.е.:$$\mu m g \cos \alpha \geqslant m g \sin \alpha\\\mu \geqslant \operatorname{tg} \alpha \approx 0.84 $$$\beta=\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \varphi)$ <img_2> Посмотрим на поперечное сечение карандаша. Если он и будет скатываться, то он начнет поворачиваться относительно ребра, помеченного $O$.Чтобы понять, будет ли перекатываться карандаш, нужно понять: суммарный момент сил относительно точки $O$ закручивает карандаш по часовой или против часовой стрелки на рисунке. Это эквивалентно тому, направлен ли вектор $\bar g_{рез}$, приложенный в центре масс карандаша, «выше» или «ниже» точки $O$. А это эквивалентно сравнению угла $\beta=\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \varphi)$ с $30^{\circ}$.Карандаш не будет перекатываться тогда и только тогда, когда $\beta\leq30^{\circ}$.$$\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \varphi) \leqslant 30^{\circ} \\\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \varphi \leqslant \operatorname{tg}\left(30^{\circ}\right) \approx 0.58 \\\cos \varphi \leqslant 0.69 \\\varphi \in\left[46.5^{\circ} ; 90^{\circ}\right] .$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: при $\mu \geqslant \operatorname{tg} \alpha \approx 0.84 $"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Под каким углом $\varphi$ к горизонтальному направлению нужно положить карандаш? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: при $\varphi \in \left[\arccos \left(\frac{\operatorname{tg} 30^{\circ}}{\operatorname{tg} \alpha}\right) ; 90^{\circ}\right] \approx\left[46.5^{\circ} ; 90^{\circ}\right] $"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]