text: {"text": [{"text": "На гладкой горизонтальной непроводящей поверхности расположены три небольших по размерам шарика массой $m$ и зарядом $q$ каждый, связанные двумя нерастяжимыми непроводящими нитями длиной $a$ каждая. Шарики удерживают в положении, когда нити составляют угол, близкий к $180^{\circ}$ (см. рисунок). <img_0> Затем шарики отпускают."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите период свободных малых колебаний системы."}]}
answer: [{"condition": "Найдите период свободных малых колебаний системы. ", "solution": {"text": "Направим ось $x$ вдоль линии движения среднего шарика, поместив начало координат в точку его равновесного положения (см. рисунок). <img_1> Если в произвольный момент координата и скорость среднего шарика соответственно равны $x$ и $v=\dot{x}$, то координата и скорость (в проекциях на ось $x$) крайних шариков будут $-x / 2$ и $-v / 2$. Полная энергия системы сохраняется: $$ \frac{m v^{2}}{2}+2 \frac{m(v / 2)^{2}}{2}+\frac{k q^{2}}{2 a \cos \alpha}+2 \frac{k q^{2}}{a}=\operatorname{const} $$ или $$ \frac{3}{4} m v^{2}+\frac{k q^{2}}{2 a \cos \alpha}+2 \frac{k q^{2}}{a}=\operatorname{const}. $$ Учтя, что $\cos \alpha=\sqrt{1-\left(\frac{3 x}{2 a}\right)^{2}}$ и продифференцировав по времени последнее уравнение, получим $$ \ddot{x}+\frac{3 k q^{2}}{4 m a^{3}} \frac{x}{\sqrt{\left[1-\left(\frac{3 x}{2 a}\right)^{2}\right]^{3}}}=0. $$ Так как $\frac{x}{a} \ll 1$, то получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний $$ \ddot{x}+\frac{3 k q^{2}}{4 m a^{3}} x=0. $$ Период свободных колебаний системы шариков равен $$ T=2 \pi \sqrt{\frac{4 m a^{3}}{3 k q^{2}}}=2 \pi \sqrt{\frac{16 \pi \varepsilon_{0} m a^{3}}{3 q^{2}}}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ T=2 \pi \sqrt{\frac{16 \pi \varepsilon_{0} m a^{3}}{3 q^{2}}}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]