text: {"text": [{"text": "Электромагнитное реле через ключ $K_{1}$ подключено к батарее, ЭДС которой равна $\mathscr{E}$. Ключ $K_{1}$ нормально замкнут и размыкается при срабатывании реле (см. рисунок). <img_0> Омическое сопротивление обмотки реле $R=50~Ом$, индуктивность обмотки $L=0.5~Гн$. Когда сила тока достигает значения $I_{2}=\frac{2}{3} \frac{\mathscr{E}}{R}$, реле срабатывает и ключ $K_{1}$ размыкается. Через некоторое время, когда сила тока в цепи реле становится равной $I_{1}=\frac{1}{3} \frac{\mathscr{E}}{R}$, ключ $K_{1}$ снова замыкается."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Определите период срабатывания реле в установившемся режиме работы. Считайте диод $Д$ идеальным. Внутренним сопротивлением батареи можно пренебречь."}]}
answer: [{"condition": "Определите период срабатывания реле в установившемся режиме работы. ", "solution": {"text": "После замыкания ключа $K_{2}$ можно применить закон Ома для замкнутой цепи: $$ L \frac{d I}{d t}+I R=\mathscr{E}. $$ Решение этого уравнения имеет вид (см. рисунок): $$ I(t)=\frac{\mathscr{E}}{R}\left(1-e^{-R t / L}\right). $$ <img_1> Через некоторое время $t_{1}$ сила тока через катушку реле будет равна $$ I_{1}=\frac{\mathscr{E}}{R}\left(1-e^{-R t_{1} / L}\right), $$ а через время $t_{2}$ сила тока $$ I_{2}=\frac{\mathscr{E}}{R}\left(1-e^{-R t_{2} / L}\right). $$ Из совместного решения двух последних уравнений найдем $$ \tau_{1}=t_{2}-t_{1}=\frac{L}{R} \ln \left(\frac{\mathscr{E} / R-I_{1}}{\mathscr{E} / R-I_{2}}\right)=\frac{L}{R} \ln 2. $$ После размыкания ключа $K_{1}$ образуется новая замкнутая цепь, состоящая из обмотки реле и диода $D$. Закон Ома для этой цепи будет иметь вид: $$ L \frac{d I}{d t}+I R=0. $$ В этом случае $\tau_{2}=t_{3}-t_{2}$; чтобы найти $\tau_{2}$ нужно в $(1)$ заменить $I_{1}$ на $I_{2}$, а $I_{2}$ на $I_{1}$ и учесть, что $\mathscr{E}=0$. Тогда $$ \tau_{2}=\tau_{1}=\frac{L}{R} \ln \frac{I_{2}}{I_{1}}=\frac{L}{R} \ln 2. $$ Период размыкания и замыкания реле в установившемся режиме $$ T=\tau_{1}+\tau_{2}=\frac{2 L}{R} \cdot \ln 2=1.4 \cdot 10^{-2}~с. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ T=\frac{2 L}{R} \cdot \ln 2=1.4 \cdot 10^{-2}~с. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]