text: {"text": [{"text": "Камень, брошенный под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_{0}$, движется по некоторой траектории."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Если по этой же траектории полетит комар с постоянной скоростью $v_{0}$, то каким будет его ускорение на высоте, равной половине высоты наибольшего подъема камня? Сопротивление воздуха при движении камня можно не учитывать."}]}
answer: [{"condition": "Если по этой же траектории полетит комар с постоянной скоростью $v_{0}$, то каким будет его ускорение на высоте, равной половине высоты наибольшего подъема камня? ", "solution": {"text": "Максимальная высота подъема камня определяется вертикальной составляющей начальной скорости: $$ H=\frac{v_{0}^{2} \sin ^{2} \alpha}{2 g}. $$ На высоте $\frac{H}{2}$ скорость камня найдем из закона сохранения энергии: $$ \frac{m v^{2}}{2}=\frac{m v_{0}^{2}}{2}-m g \frac{H}{2}. $$ Отсюда $$ v^{2}=v_{0}^{2}\left(1-\frac{\sin ^{2} \alpha}{2}\right). $$ Угол наклона $\varphi$ скорости камня к горизонту находим из условия $$ \cos \varphi=\frac{v_{гор}}{v}=\frac{v_{0} \cos \alpha}{v}, $$ где $v_{гор}$ — горизонтальная составляющая скорости камня. Следовательно, $$ \cos \varphi=\frac{\cos \alpha}{\sqrt{1-\frac{\sin ^{2} \alpha}{2}}}. $$ Рассмотрим теперь составляющую ускорения камня, нормальную к орбите движения (см. рисунок), $$ \frac{v^{2}}{R}=g \cos \varphi. $$ <img_0> Здесь $R$ — радиус кривизны на высоте $\frac{H}{2}$. Он равен $$ R=\frac{v^{2}}{g \cos \varphi}. $$ Отсюда ускорение комара в этой точке траектории $$ a=\frac{v_{0}^{2}}{R}=\frac{v_{0}^{2} g \cos \varphi}{v^{2}}=g \frac{\cos \alpha}{\left(1-\frac{\sin ^{2} \alpha}{2}\right)^{3 / 2}}. $$ Таким образом, ответ не зависит от $v_{0}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ a=g \frac{\cos \alpha}{\left(1-\frac{\sin ^{2} \alpha}{2}\right)^{3 / 2}}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]