text: {"text": [{"text": "Кот Леопольд сидел у края крыши. Два озорных мышонка выстрелили в него камнем из рогатки. Камень, описав дугу, упал у ног кота (см. рисунок) через время $\tau=1~с$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "На каком расстоянии $S$ от мышей находился кот Леопольд, если векторы скоростей камня в момент выстрела и в момент падения были взаимно перпендикулярны?"}]}
answer: [{"condition": "На каком расстоянии $S$ от мышей находился кот Леопольд, если векторы скоростей камня в момент выстрела и в момент падения были взаимно перпендикулярны? ", "solution": {"text": "При движении камня в поле тяготения $$ \vec{v}_{t}=\vec{v}_{0}+\vec{g} t, \quad (1) $$ где $t$ — время от начала движения камня (см. рисунок $a$). <img_1> Вектор перемещения камня $$ \vec{s}(t)=\vec{v}_{0} t+\vec{g} \frac{t^{2}}{2}=\frac{2 \vec{v}_{0}+\vec{g} t}{2} t=\\ =\frac{\vec{v}_{0}+\left(\vec{v}_{0}+\bar{g} t\right)}{2} t=\frac{\vec{v}_{0}+\vec{v}_{t}}{2} t. $$ Тогда для момента $\tau$ найдем перемещение камня $$ |\vec{s}(\tau)|=\left|\frac{\vec{v}_{0}+\vec{v}_{к}}{2}\right| \tau. \quad (2) $$ Из рисунка $б$ видим, что в силу перпендикулярности векторов $\vec{v}_{0}$ и $\vec{v}_{к}$ (как диагонали прямоугольника) $$ \left|\vec{v}_{0}+\vec{v}_{к}\right|=\left|\vec{v}_{к}-\vec{v}_{0}\right|=g \tau. \quad (3) $$ Подставив $(3)$ в $(2)$, находим $$ |\vec{s}|=\frac{g \tau^{2}}{2}, \text { или } S \approx 5~м. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ S \approx 5~м. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]