text: {"text": [{"text": "Как вы знаете, отражения повседневных объектов в зеркалах и их изображения в линзах могут иметь довольно причудливую форму. Но и в этих случаях можно восстановить форму исходного объекта. Этому и будет посвящена данная задача."}, {"text": "Часть A. Фото в пузыре (4 балла) Иногда на фотографиях мыльных пузырей можно заметить искажённые изображения объектов позади фотоаппарата. Исследованию таких искажений посвящена первая часть задачи.Пузырь радиуса $R$ фотографируют с расстояния $L\gg R$, и в нём отражается объект неправильной формы, нарисованный на вертикальной стене. Линия, соединяющая пузырь и фотоаппарат, перпендикулярна стене; фотоаппарат поставлен к стене вплотную.Точка на стене на расстоянии $r$ от фотоаппарата видна на фотографии на расстоянии $\rho$ от центра изображения пузыря. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите $r$ через $\rho$, $R$ и $L$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите малый элемент площади объекта $\mathrm dS$ через параметры соответствующего участка изображения. В ответ могут входить величины $\rho$, $R$, $L$, а также дифференциал расстояния $\mathrm d\rho$ и дифференциал полярного угла $\mathrm d\varphi$."}, {"text": "Часть B. Площадь квадрата (6 балла) Квадрат со стороной $a$ помещают на ось собирающей линзы с фокусным расстоянием $F$. Две стороны квадрата параллельны оптической оси, другие две — перпендикулярны. Положение центра квадрата задаётся координатой $x$ вдоль оптической оси, центр линзы находится в точке $x_0$. Изображение квадрата — трапеция, зависимость площади которой $S(x)$ исследуется в этой части задачи. <img_1>"}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "2,50"}, "text": "В листе ответов приведена фотография пузыря в натуральный размер. Как можно точнее найдите площадь объекта на стене. Численное значение $L=1~м$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "1,00"}, "text": "Получите теоретическую формулу для площади $S(x)$ изображения квадрата. Считайте, что $x-x_0 > F + a/2$. В листе ответов приведена зависимость $S(x)$, причём в точке $x=16~см$ площадь изображения становится неизмеримо большой. Эту зависимость намного удобнее анализировать, если в ней отсутствует расходимость (т.е. она всегда принимает конечные значения)."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "1,00"}, "text": "Чтобы зависимость не имела расходимости при $x=16~см$, её удобно домножить на некоторую функцию $f(x)$, которая в этой точке обращается в $0$. Предложите такую функцию. Пересчитайте точки для $f(x)S(x)$. Для дальнейшей обработки удобно восстановить значение $f(x)S(x)$ в точке $x=16~см$. Это можно сделать, экстраполировав (продлив) зависимость $f(x)S(x)$."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "1,00"}, "text": "Получите экстраполированное значение $C=f(x)S(x)$ в точке $x=16~см$."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "0,50"}, "text": "Пересчитайте точки для $f(x)S(x)/C$. Каждая точка полученной зависимости позволяет найти $a$, $F$ и координату $x_0$ центра линзы."}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "2,50"}, "text": "Для каждой точки найдите $a$, $F$ и $x_0$. Также приведите в листе ответов усреднённые результаты $\bar a$, $\bar F$ и $\bar x_0$."}]}
answer: [{"condition": "Выразите $r$ через $\rho$, $R$ и $L$. ", "solution": {"text": "Пусть $\alpha$ — угол падения луча на пузырь, $\beta$ — угол, который радиус, проведенный в точку падения, составляет с горизонталью, $\theta$ — угол падающего луча с горизонталью. Тогда:$$\sin \beta = \frac{\rho}{R}\\\tan \theta = \frac{\rho}{L-R\cos \beta}\\ \: \\\alpha = \beta + \theta$$Угол, который отраженный луч составляет с горизонталью, тогда равен $\alpha + \beta = 2\beta + \theta$. Следовательно: $$r = \rho + (L-R\cos \beta)\tan 2\beta + \theta$$Теперь воспользуемся приближением $\rho < R \ll L$. Тогда $\theta \ll 1$, откуда: $$\theta \approx \frac{\rho}{L}\\\tan 2\beta + \theta \approx \tan 2\beta + \frac{\theta}{\cos^2 2\beta} \\r = L \tan 2\beta + \left(\rho -R\cos \beta \tan 2\beta + \frac{L\theta}{\cos^2 2\beta}-\frac{\theta R\cos \beta}{\cos^2 2\beta}\right)$$Все слагаемые в скобках имеют по порядку не более $R \ll L$. Таким образом:$$r = L \tan 2\beta = \frac{2L \rho \sqrt{R^2-\rho^2}}{R^2-2\rho^2}$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$r = \frac{2L \rho \sqrt{R^2-\rho^2}}{R^2-2\rho^2}$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите малый элемент площади объекта $\mathrm dS$ через параметры соответствующего участка изображения. В ответ могут входить величины $\rho$, $R$, $L$, а также дифференциал расстояния $\mathrm d\rho$ и дифференциал полярного угла $\mathrm d\varphi$. ", "solution": {"text": "Малый элемент площади в полярных координатах: $$\text{d}S = r \:\text{d}r\; \text{d}\varphi = \frac{\text{d}\varphi}{2}\text{d}(r^2)$$Найдем $\text{d}(r^2)$:$$r^2 = \frac{4L^2\rho^2(R^2-\rho^2)}{(R^2-2\rho^2)^2}\\\text{d}(r^2) = \frac{8L^2 R^4\rho}{(R^2-2\rho^2)^3}\text{d}\rho$$Для удобства введем безразмерную величину $\delta = \frac{\rho}{R}$. Тогда:$$\text{d}S = \frac{4L^2\delta \: \text{d}\delta}{(1-2\delta^2)^3}\text{d}\varphi$$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\text{d}S = \frac{4L^2 R^4\rho}{(R^2-2\rho^2)^3}\text{d}\rho \: \text{d}\varphi$$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "В листе ответов приведена фотография пузыря в натуральный размер. Как можно точнее найдите площадь объекта на стене. Численное значение $L=1~м$. Примечание: Удобно представить ответ как площадь под некоторым графиком. Миллиметровая бумага для построения графика приведена в листе ответов.
  
  
  
                  
              
              
  
  
  
                          
   Разобьем имеющуюся площадь на сегменты колец радиусом $\delta$ и толщиной $\text{d}\delta$. Обозначим угол, под которым виден этот сегмент из центра $\psi(\delta) = \int \text{d} \varphi$. Тогда для одного кольца:$$\text{d}S = 4L^2 \frac{\delta \: \psi(\delta)}{(1-2\delta^2)^3}\text{d}\delta = L^2 k(\delta) \psi(\delta)\text{d}\delta$$Итого имеем: $$S = \int_{\delta_{min}}^{\delta_{max}} k(\delta)\psi(\delta)\text{d}\delta$$Данный интеграл можно вычислить как площадь под графиком $k \psi (\delta)$.
  
  
  
  $\delta, ~\frac{1}{60}$$\psi,~\frac{\pi}{180}~\text{рад}$$k \cdot \psi$22.0151.023.0332.524.0443.925.058.56.126.0678.327.071.510.727.56410.528.059.510.828.540.58.129.0306.730.0174.831.0124.331.572.832.010.5
  
  
  
  
                          
   Численное интегрирование приводит к $S = 59~\cdot\frac{1}{60}\text{м}^2$ (здесь учтено, что $L = 1~м$)
  
  
  
  Ответ: 
                      
   $$S = 0.98~\text{м}^2$$", "solution": {"text": "Разобьем имеющуюся площадь на сегменты колец радиусом $\delta$ и толщиной $\text{d}\delta$. Обозначим угол, под которым виден этот сегмент из центра $\psi(\delta) = \int \text{d} \varphi$. Тогда для одного кольца:$$\text{d}S = 4L^2 \frac{\delta \: \psi(\delta)}{(1-2\delta^2)^3}\text{d}\delta = L^2 k(\delta) \psi(\delta)\text{d}\delta$$Итого имеем: $$S = \int_{\delta_{min}}^{\delta_{max}} k(\delta)\psi(\delta)\text{d}\delta$$Данный интеграл можно вычислить как площадь под графиком $k \psi (\delta)$. $\delta, ~\frac{1}{60}$$\psi,~\frac{\pi}{180}~\text{рад}$$k \cdot \psi$22.0151.023.0332.524.0443.925.058.56.126.0678.327.071.510.727.56410.528.059.510.828.540.58.129.0306.730.0174.831.0124.331.572.832.010.5 <img_2> Численное интегрирование приводит к $S = 59~\cdot\frac{1}{60}\text{м}^2$ (здесь учтено, что $L = 1~м$) | $\\delta, \~\\frac{1}{60}$ | $\\psi,\~\\frac{\\pi}{180}\~\\text{рад}$ | $k \\cdot \\psi$ | | --- | --- | --- | | 22\.0 | 15 | 1\.0 | | 23\.0 | 33 | 2\.5 | | 24\.0 | 44 | 3\.9 | | 25\.0 | 58\.5 | 6\.1 | | 26\.0 | 67 | 8\.3 | | 27\.0 | 71\.5 | 10\.7 | | 27\.5 | 64 | 10\.5 | | 28\.0 | 59\.5 | 10\.8 | | 28\.5 | 40\.5 | 8\.1 | | 29\.0 | 30 | 6\.7 | | 30\.0 | 17 | 4\.8 | | 31\.0 | 12 | 4\.3 | | 31\.5 | 7 | 2\.8 | | 32\.0 | 1 | 0\.5 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$S = 0.98~\text{м}^2$$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Получите теоретическую формулу для площади $S(x)$ изображения квадрата. Считайте, что $x-x_0 > F + a/2$. ", "solution": {"text": "Из формулы тонкой линзы очевидно, что ближняя к линзе сторона квадрата изображается в дальнее от линзы основание трапеции. Пусть $L_1$ — расстояние от ближнего основания трапеции до линзы, а $L_2$ — от дальнего до линзы. Пусть также $2b$ и $2c$ — меньшее и большее основание трапеции соответственно. Тогда: $$S(x) = (b+c)(L_2 - L_1)$$Из геометрических построений луча, идущего через фокус:$$b = (L_1 - F) \tan \alpha = (L_1 - F)\frac{a}{2F} \\c = (L_2 - F) \tan \alpha = (L_2 - F)\frac{a}{2F} \\S(x) = \frac{a}{2F}(L_1 + L_2 -2F)(L_2-L_1)$$Определим $L_1, L_2$ из формулы тонкой линзы:$$\frac{1}{L_1} + \frac{1}{x-x_0 + \frac{a}{2}} = \frac{1}{F} \Rightarrow L_1 = \frac{F(x-x_0 + \frac{a}{2})}{x-x_0+\frac{a}{2} - F}\\\frac{1}{L_2} + \frac{1}{x-x_0 - \frac{a}{2}} = \frac{1}{F} \Rightarrow L_2 = \frac{F(x-x_0 - \frac{a}{2})}{x-x_0-\frac{a}{2} - F}$$$$L_2 - L_1 = \frac{aF^2}{(x-x_0 - F)^2-\frac{a^2}{4}}\\L_1+L_2-2F = \frac{2F^2(x-x_0-F)}{(x-x_0-F)^2-\frac{a^2}{4}}$$Подставляя в выражение для $S(x)$, получим:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$S(x) = \frac{a^2F^3(x-x_0-F)}{((x-x_0-F)^2-\frac{a^2}{4})^2}$$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Чтобы зависимость не имела расходимости при $x=16~см$, её удобно домножить на некоторую функцию $f(x)$, которая в этой точке обращается в $0$. Предложите такую функцию. Пересчитайте точки для $f(x)S(x)$. ", "solution": {"text": "Учитывая вид исходной функции, расходимость исчезнет при домножении на $(x-16~см)^2$. По совместительству можем заключить, что $x_0+F+a/2=16~см$. Пересчитанные значения внесём в таблицу. | $x,\~см$ | $S,\~см^2$ | $S\\cdot(x\-16\~см)^2,\~см^4$ | $S\\cdot (x\-16\~см)^2,\~см^4/S\_0$ | $S(x)f(x)/C$ | $a,\~см$ | $F,\~см$ | $x\_0,\~см$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 16 | $\-$ | $\-$ | $\-$ | 1\.00 | \- | \- | \- | | 18 | 440 | 1780 | 1\.00 | 0\.95 | 6\.9 | 8\.1 | 4\.39 | | 20 | 94 | 1500 | 0\.84 | 0\.80 | 5\.0 | 9\.1 | 4\.42 | | 22 | 36 | 1280 | 0\.72 | 0\.68 | 4\.7 | 9\.29 | 4\.38 | | 24 | 17\.4 | 1110 | 0\.63 | 0\.59 | 4\.6 | 9\.36 | 4\.36 | | 26 | 9\.8 | 980 | 0\.55 | 0\.52 | 4\.5 | 9\.41 | 4\.35 | | 28 | 6\.1 | 880 | 0\.49 | 0\.47 | 4\.5 | 9\.44 | 4\.34 | | 30 | 4\.0 | 790 | 0\.44 | 0\.42 | 4\.4 | 9\.47 | 4\.33 | | 32 | 2\.8 | 720 | 0\.41 | 0\.39 | 4\.4 | 9\.47 | 4\.33 | | 34 | 2\.0 | 660 | 0\.37 | 0\.35 | 4\.4 | 9\.49 | 4\.32 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $x,\~см$ | $S,\~см^2$ | $S\\cdot(x\-16\~см)^2,\~см^4$ | $S\\cdot (x\-16\~см)^2,\~см^4/S\_0$ | $S(x)f(x)/C$ | $a,\~см$ | $F,\~см$ | $x\_0,\~см$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 16 | $\-$ | $\-$ | $\-$ | 1\.00 | \- | \- | \- | | 18 | 440 | 1780 | 1\.00 | 0\.95 | 6\.9 | 8\.1 | 4\.39 | | 20 | 94 | 1500 | 0\.84 | 0\.80 | 5\.0 | 9\.1 | 4\.42 | | 22 | 36 | 1280 | 0\.72 | 0\.68 | 4\.7 | 9\.29 | 4\.38 | | 24 | 17\.4 | 1110 | 0\.63 | 0\.59 | 4\.6 | 9\.36 | 4\.36 | | 26 | 9\.8 | 980 | 0\.55 | 0\.52 | 4\.5 | 9\.41 | 4\.35 | | 28 | 6\.1 | 880 | 0\.49 | 0\.47 | 4\.5 | 9\.44 | 4\.34 | | 30 | 4\.0 | 790 | 0\.44 | 0\.42 | 4\.4 | 9\.47 | 4\.33 | | 32 | 2\.8 | 720 | 0\.41 | 0\.39 | 4\.4 | 9\.47 | 4\.33 | | 34 | 2\.0 | 660 | 0\.37 | 0\.35 | 4\.4 | 9\.49 | 4\.32 | Ответ: $x,~см$$S,~см^2$$S\cdot(x-16~см)^2,~см^4$$S\cdot (x-16~см)^2,~см^4/S_0$$S(x)f(x)/C$$a,~см$$F,~см$$x_0,~см$16$-$$-$$-$1.00---1844017801.000.956.98.14.39209415000.840.805.09.14.42223612800.720.684.79.294.382417.411100.630.594.69.364.36269.89800.550.524.59.414.35286.18800.490.474.59.444.34304.07900.440.424.49.474.33322.87200.410.394.49.474.33342.06600.370.354.49.494.32"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Получите экстраполированное значение $C=f(x)S(x)$ в точке $x=16~см$. Примечание: Учтите, что зависимость может не быть линейной в окрестности этой точки
  
  
  
                  
              
              
  
  
  
                          
   Обозначим $x_0 + F +\frac{a}{2} = 16~\text{см} = x_1, ~(x-x_1) = \delta$. Тогда:$$S(x)f(x) = \frac{a^2F^3(\delta + \frac{a}{2})}{(\delta + a)^2} = \frac{aF^3(1+\frac{2\delta}{a})}{2(1+\frac{\delta}{a})^2}$$Воспользуемся приближением $\delta \ll a$:$$S(x)f(x) \approx \frac{aF^3}{2}\left(1+\frac{2\delta}{a}\right)\left(1-2\frac{\delta}{a} - \frac{\delta^2}{a^2} + 4\frac{\delta^2}{a^2}\right) \approx \frac{aF^3}{2}\left(1-\frac{\delta^2}{a^2}\right)$$Как видно, в окрестности $x_1$ $S(x)f(x)$ зависит от  $x-x_1$ квадратично, поэтому требуется построить график $S(x)f(x)$ от $(x-x_1)^2$. При этом $C = \frac{aF^3}{2}$. Экстраполируя по первым двум точкам, получаем $C = 1870~\text{см}^4$. По первым трем точкам - $1800~\text{см}^4$.Отметим, что в силу $a \approx 4.5~\text{см}$ и необходимости условия $\delta \ll a$, точки дальше второй не подходят для экстраполяции: уже третья точка приводит к  $\frac{\delta}{a} \sim 1$.", "solution": {"text": "Обозначим $x_0 + F +\frac{a}{2} = 16~\text{см} = x_1, ~(x-x_1) = \delta$. Тогда:$$S(x)f(x) = \frac{a^2F^3(\delta + \frac{a}{2})}{(\delta + a)^2} = \frac{aF^3(1+\frac{2\delta}{a})}{2(1+\frac{\delta}{a})^2}$$Воспользуемся приближением $\delta \ll a$:$$S(x)f(x) \approx \frac{aF^3}{2}\left(1+\frac{2\delta}{a}\right)\left(1-2\frac{\delta}{a} - \frac{\delta^2}{a^2} + 4\frac{\delta^2}{a^2}\right) \approx \frac{aF^3}{2}\left(1-\frac{\delta^2}{a^2}\right)$$Как видно, в окрестности $x_1$ $S(x)f(x)$ зависит от $x-x_1$ квадратично, поэтому требуется построить график $S(x)f(x)$ от $(x-x_1)^2$. При этом $C = \frac{aF^3}{2}$. Экстраполируя по первым двум точкам, получаем $C = 1870~\text{см}^4$. По первым трем точкам - $1800~\text{см}^4$.Отметим, что в силу $a \approx 4.5~\text{см}$ и необходимости условия $\delta \ll a$, точки дальше второй не подходят для экстраполяции: уже третья точка приводит к $\frac{\delta}{a} \sim 1$. <img_3>"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Пересчитайте точки для $f(x)S(x)/C$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B4", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Для каждой точки найдите $a$, $F$ и $x_0$. Также приведите в листе ответов усреднённые результаты $\bar a$, $\bar F$ и $\bar x_0$. ", "solution": {"text": "В пункте B3 найдено:$$\frac{S(x)f(x)}{C} = \frac{1 + 2\frac{\delta}{a}}{(1+\frac{\delta}{a})^2} = A$$Решая квадратное уравнения относительно $\frac{\delta}{a}$:$$\frac{\delta}{a} = \frac{1-A + \sqrt{1-A}}{A}\\a = \frac{(x-x_1)A}{1-A + \sqrt{1-A}}$$Здесь выбран положительный корень, т.к. используются только точки $x > x_1 = 16$ см.Далее:$$C = \frac{aF^3}{2} \Rightarrow F = \left(\frac{2C}{a}\right)^{1/3}\\x_1 = x_0 + F + \frac{a}{2} \Rightarrow x_0 = x_1 - F - \frac{a}{2}$$Окончательно имеем, приняв точку $x = 18~\text{см}$ за выброс:"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\bar a = (4.54 \pm 0.19)~\text{см}\\ \bar F = (9.38 \pm 0.13)~\text{см}\\ \bar x_0 = (4.35 \pm 0.03)~\text{см}$$"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "2,50"}]