text: {"text": [{"text": "За более чем полувековую историю освоения космоса, вокруг Земли скопилось огромное количество космического мусора, состоящего из нефункционирующих спутников, использованных верхних ступеней ракет и прочих объектов, не выполняющих никаких полезных функций. Для очистки орбит от космического мусора в настоящее время планируют специальные миссии. Предполагается, что специальные аппараты — космические буксиры — захватывают крупные объекты космического мусора и сводят их в плотные слои атмосферы или на специальные орбиты-захоронения. Однако перед тем, как отправлять буксир для захвата космического мусора, важно понимать вращательную динамику этих объектов на орбите. В данной задаче вам предстоит спланировать подобную миссию по очистке орбит от ненужных объектов, анализируя различные факторы влияющие на изменение параметров их движения. В данной задаче в качестве крупного объекта космического мусора будет рассмотрена использованная верхняя ступень ракеты, схематично показанная на Рис. Круговой линией схематически показан сферический топливный бак ракеты. <img_0> Введем систему координат $C_{xy}$, связанную со ступенью ракеты, как показано на Рис., с началом в центре масс $C$. Ось $x$ совпадает с осью симметрии объекта, а ось $y$ перпендикулярна к оси $x$. Моменты инерции объекта относительно этих осей Рассмотрим движение ступени с моментом импульса $L$, который составляет угол $\theta$ с осью симметрии (см. Рис). В данном пункте будем считать, что топливный бак пуст, и никакие внешние силы или моменты сил на ступень не действуют. <img_1>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,20"}, "text": "Найдите проекции угловой скорости объекта $\vec\omega$ на оси $x$ и $y$, используя тот факт, что момент импульса записывается как $\vec L=J_x\omega_x\vec e_x+J_y\omega_y\vec e_y$, где $\vec e_x$ и $\vec e_y$ — единичные векторы осей $x$ и $y$. Ответ выразите через $L=|\vec L|$, угол $\theta$, и моменты инерции $J_x, J_y$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,40"}, "text": "Найдите кинетическую энергию $E_x$ вращения ступени с угловой скоростью $\omega_x$. Найдите кинетическую энергию $E_y$ вращения ступени с угловой скоростью $\omega_y$. Найдите полную кинетическую энергию вращательного движения ступени $E=E_x+E_y$ как функцию ее момента импульса $L$ и $\cos \theta$. В последующих подпунктах задания А считайте, что ступень свободно вращается с начальным моментом импульса $L$ и начальным углом $\theta(0)=\theta_0$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "1,20"}, "text": "Пусть ось $x_0$ — начальное положение оси симметрии $C_x$ ступени относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Используя законы сохранения, найдите максимальный угол $\psi$, между осью симметрии $C_x$ ступени и её первоначальным направлением $x_0$ в течение свободного вращения объекта. Примечание: Вектор момента импульса ступени сохраняется, так как на ступень не действуют никакие внешние моменты сил. Примечание: Вектор момента импульса ступени сохраняется, так как на ступень не действуют никакие внешние моменты сил. Примечание: Вектор момента импульса ступени сохраняется, так как на ступень не действуют никакие внешние моменты сил. Примечание: Вектор момента импульса ступени сохраняется, так как на ступень не действуют никакие внешние моменты сил. Примечание: Вектор момента импульса ступени сохраняется, так как на ступень не действуют никакие внешние моменты сил. Примечание: Вектор момента импульса ступени сохраняется, так как на ступень не действуют никакие внешние моменты сил. Примечание: Вектор момента импульса ступени сохраняется, так как на ступень не действуют никакие внешние моменты сил. Примечание: Вектор момента импульса ступени сохраняется, так как на ступень не действуют никакие внешние моменты сил. Примечание: Вектор момента импульса ступени сохраняется, так как на ступень не действуют никакие внешние моменты сил. <img_2> Рассмотрим систему отсчета $C_{{x_1}{y_1}{z_1}}$, ось $y_1$ которой сонаправлена с постоянным вектором момента импульса $\vec L$ (см. Рис выше). Система $C_{{x_1}{y_1}{z_1}}$ вращается вокруг оси $y_1$ так, что ось симметрии ступени ракеты все время остается в плоскости $C_{{x_1}{y_1}}$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "2,00"}, "text": "Пусть даны значения $L,\theta(0)=\theta_0$ и моментов инерции $J_x,J_y$. Найдите как функции времени угловую скорость вращения $\Omega(t)$ системы отсчета $C_{{x_1}{y_1}}$ вокруг оси $y_1$, а также направление и величину угловой скорости ступени $\vec \omega_s(t)$ относительно системы отсчета $C_{{x_1}{y_1}}$. Ответ для направления $\vec \omega_s(t)$ приведите через угол $\gamma_s(t)$, который $\vec \omega_s(t)$ составляет с осью $C_x$. Примечание: Вектор угловой скорости может быть представлен в виде суммы $\vec\omega=\vec\omega_x+\vec\omega_y=\vec\Omega+\vec\omega_s$. Примечание: Вектор угловой скорости может быть представлен в виде суммы $\vec\omega=\vec\omega_x+\vec\omega_y=\vec\Omega+\vec\omega_s$. Примечание: Вектор угловой скорости может быть представлен в виде суммы $\vec\omega=\vec\omega_x+\vec\omega_y=\vec\Omega+\vec\omega_s$. Примечание: Вектор угловой скорости может быть представлен в виде суммы $\vec\omega=\vec\omega_x+\vec\omega_y=\vec\Omega+\vec\omega_s$. Примечание: Вектор угловой скорости может быть представлен в виде суммы $\vec\omega=\vec\omega_x+\vec\omega_y=\vec\Omega+\vec\omega_s$. Примечание: Вектор угловой скорости может быть представлен в виде суммы $\vec\omega=\vec\omega_x+\vec\omega_y=\vec\Omega+\vec\omega_s$. Примечание: Вектор угловой скорости может быть представлен в виде суммы $\vec\omega=\vec\omega_x+\vec\omega_y=\vec\Omega+\vec\omega_s$. Большая часть топлива сжигается во время подъема ракеты, однако, после отсоединения от ступени полезной нагрузки в топливном баке остается неизрасходованное жидкое топливо. Масса $m$ остатков жидкого топлива мала по сравнению с массой $M$ ступени ракеты. Движение жидкого топлива в баке и соответствующие силы вязкого трения между топливом и стенками бака приводят к потерям энергии. В результате переходного процесса через некоторое время энергия достигает своего минимума."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,60"}, "text": "Считая известными начальные значения момента импульса $L$ и угла $\theta(0)=\theta_1\in(0,\pi/2)$, найдите значение $\theta_2$ угла $\theta$ в конце переходного процесса. <img_3>"}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,60"}, "text": "Пусть в начальный момент времени угловая скорость $\omega(0)=\omega_1=1\mathcal~рад/с$ составляет угол $\gamma(0)=\gamma_1=30^{\circ}\mathrm C$ с осью симметрии ступени. Вычислите значение $\omega_2$ угловой скорости $\omega$ после прохождения переходного процесса. Моменты инерции ступени равны $J_x=4200~кг\cdot м^2$ и $J_y=15000~кг\cdot м^2$. Ещё один важный фактор для вращательной динамики рассматриваемых объектов — взаимодействие с магнитным полем Земли. Для начала решим вспомогательную задачу. Рассмотрим тонкостенную немагнитную сферическую оболочку с толщиной стенок $D$ и радиусом $R$, помещенную в однородное магнитное поле $\vec B$. Поле $\vec B$ меняется медленно, а производная по времени $\dot{\vec B}$ ( $\vec B$ ”с точкой”) есть постоянный вектор, составляющий угол $\alpha$ с направлением вектора $\vec B$ (см. Рис). Удельное сопротивление материала сферической оболочки равно $\rho$. <img_4>"}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": "1,00"}, "text": "Пренебрегая явлением самоиндукции, найдите магнитный момент $\vec \mu$ сферической оболочки. Приведите ответ для вектора $\vec \mu$ в виде проекций на оси $xyz$, показанных на Рисунке."}, {"balls": {"number": "C2", "exponent": "0,30"}, "text": "Найдите момент сил $\vec M$, действующий на сферическую оболочку. Приведите ответ для вектора $\vec M$ в виде проекций на оси $xyz$, показанные на Рисунке. Давайте выясним, как изменяется вращение ступени, движущейся по круговой полярной орбите с периодом обращения $T=100~мин$ (см. Рис ниже). Будем считать, что характерное время переходного процесса много меньше, чем характерные времена процессов изменения динамики ступени вследствие взаимодействия с геомагнитным полем. Рассмотрим, что происходит после завершения переходных процессов. Положим, что в начальный момент времени ступень вращается с угловой скоростью $\omega_2$ вокруг оси, перпендикулярной к плоскости орбиты. <img_5>"}, {"balls": {"number": "C3", "exponent": "0,40"}, "text": "Магнитное поле Земли $\vec B_E$ можно считать полем точечного диполя, помещенного в центр Земли. Дипольный момент равен $\vec\mu_E$ и направлен противоположно оси $Y$. Величина магнитного поля $B$ в точке, где орбита ступени пересекает экваториальную плоскость $XZ$, равна $B_0=20\mu T$. Найдите магнитное поле $\vec B_E(u)$ в точке орбиты, характеризуемой углом $u$, как показано на Рис. Положительное направление отсчета угла $u$ совпадает с направлением движения по орбите. Ответ представьте в виде проекций $\vec B_E(u)$ на оси $XYZ$. Примечание: Для последующих вычислений может оказаться полезным, если проекции магнитного поля $\vec B_E(u)$ выразить как функции от $2u$ вместо функций от $u$. Магнитное поле диполя в точке, заданной вектором $\vec r$ можно записать как $$ Примечание: Для последующих вычислений может оказаться полезным, если проекции магнитного поля $\vec B_E(u)$ выразить как функции от $2u$ вместо функций от $u$. Магнитное поле диполя в точке, заданной вектором $\vec r$ можно записать как $$ Примечание: Для последующих вычислений может оказаться полезным, если проекции магнитного поля $\vec B_E(u)$ выразить как функции от $2u$ вместо функций от $u$. Магнитное поле диполя в точке, заданной вектором $\vec r$ можно записать как $$ \vec{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi}\left(\frac{3(\vec{\mu} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right). Примечание: Для последующих вычислений может оказаться полезным, если проекции магнитного поля $\vec B_E(u)$ выразить как функции от $2u$ вместо функций от $u$. Магнитное поле диполя в точке, заданной вектором $\vec r$ можно записать как $$ \vec{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi}\left(\frac{3(\vec{\mu} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right). Примечание: Для последующих вычислений может оказаться полезным, если проекции магнитного поля $\vec B_E(u)$ выразить как функции от $2u$ вместо функций от $u$. Магнитное поле диполя в точке, заданной вектором $\vec r$ можно записать как $$ \vec{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi}\left(\frac{3(\vec{\mu} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right). $$ Примечание: Для последующих вычислений может оказаться полезным, если проекции магнитного поля $\vec B_E(u)$ выразить как функции от $2u$ вместо функций от $u$. Магнитное поле диполя в точке, заданной вектором $\vec r$ можно записать как $$ \vec{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi}\left(\frac{3(\vec{\mu} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right). $$ Примечание: Для последующих вычислений может оказаться полезным, если проекции магнитного поля $\vec B_E(u)$ выразить как функции от $2u$ вместо функций от $u$. Магнитное поле диполя в точке, заданной вектором $\vec r$ можно записать как $$ \vec{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi}\left(\frac{3(\vec{\mu} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right). $$ Примечание: Для последующих вычислений может оказаться полезным, если проекции магнитного поля $\vec B_E(u)$ выразить как функции от $2u$ вместо функций от $u$. Магнитное поле диполя в точке, заданной вектором $\vec r$ можно записать как $$ \vec{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi}\left(\frac{3(\vec{\mu} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right). $$ Примечание: Для последующих вычислений может оказаться полезным, если проекции магнитного поля $\vec B_E(u)$ выразить как функции от $2u$ вместо функций от $u$. Магнитное поле диполя в точке, заданной вектором $\vec r$ можно записать как $$ \vec{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi}\left(\frac{3(\vec{\mu} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right). $$ Примечание: Для последующих вычислений может оказаться полезным, если проекции магнитного поля $\vec B_E(u)$ выразить как функции от $2u$ вместо функций от $u$. Магнитное поле диполя в точке, заданной вектором $\vec r$ можно записать как $$ \vec{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi}\left(\frac{3(\vec{\mu} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right). $$ Примечание: Для последующих вычислений может оказаться полезным, если проекции магнитного поля $\vec B_E(u)$ выразить как функции от $2u$ вместо функций от $u$. Магнитное поле диполя в точке, заданной вектором $\vec r$ можно записать как $$ \vec{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi}\left(\frac{3(\vec{\mu} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right). $$ Считайте что ступень ракеты сделана в основном из дерева, за исключением топливного бака, выполненного из проводящего материала. Тогда взаимодействие ступени ракеты с геомагнитным полем может быть смоделировано как взаимодействие лишь со сферической оболочкой. Толщина стенок оболочки $D=2~мм$, радиус $R=4~м$ и удельное сопротивление $\rho=2.7\cdot10^{-8}~Ом\cdot м$."}, {"balls": {"number": "C4", "exponent": "1,30"}, "text": "Найдите момент сил $\vec M(u)$, действующих на ступень, которая вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости орбиты. Угловая скорость вращения ступени равна $\omega$, она коллинеарна оси $Z$. Ответ для $\vec M(u)$ приведите в виде проекций на оси $XYZ$."}, {"balls": {"number": "C5", "exponent": "1,00"}, "text": "Считая изменение угловой скорости ступени за один период обращения по орбите пренебрежимо малым, найдите зависимость модуля угловой скорости $\omega(t)$ от времени."}, {"balls": {"number": "C6", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите отношение периода орбитального движения $T$ к периоду вращения ступени ракеты $T_s$ в установившемся режиме, спустя очень большой промежуток времени."}]}
answer: [{"condition": "Найдите проекции угловой скорости объекта $\vec\omega$ на оси $x$ и $y$, используя тот факт, что момент импульса записывается как $\vec L=J_x\omega_x\vec e_x+J_y\omega_y\vec e_y$, где $\vec e_x$ и $\vec e_y$ — единичные векторы осей $x$ и $y$. Ответ выразите через $L=|\vec L|$, угол $\theta$, и моменты инерции $J_x, J_y$.  ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega_x=\frac{L\cos\theta}{J_x}$$ $$\omega_y=\frac{L\sin\theta}{J_y}$$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,20"}, {"condition": "Найдите кинетическую энергию $E_x$ вращения ступени с угловой скоростью $\omega_x$. Найдите кинетическую энергию $E_y$ вращения ступени с угловой скоростью $\omega_y$. Найдите полную кинетическую энергию вращательного движения ступени $E=E_x+E_y$ как функцию ее момента импульса $L$ и $\cos \theta$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$E_x=\frac{J_x\omega^2_x}{2}$$ $$E_y=\frac{J_y\omega^2_y}{2}$$ $$E(\theta)=\frac{L^2}{2 J_y}+\frac{L^2}{2}\left(\frac{1}{J_x}-\frac{1}{J_y}\right) \cos ^2 \theta$$"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Пусть ось $x_0$ — начальное положение оси симметрии $C_x$ ступени относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Используя законы сохранения, найдите максимальный угол $\psi$, между осью симметрии $C_x$ ступени и её первоначальным направлением $x_0$ в течение свободного вращения объекта.  Примечание: Вектор момента импульса ступени сохраняется, так как на ступень не действуют никакие внешние моменты сил.  ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\psi=2\theta_0$$"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Пусть даны значения $L,\theta(0)=\theta_0$ и моментов инерции $J_x,J_y$. Найдите как функции времени угловую скорость вращения $\Omega(t)$ системы отсчета $C_{{x_1}{y_1}}$ вокруг оси $y_1$, а также направление и величину угловой скорости ступени $\vec \omega_s(t)$ относительно системы отсчета $C_{{x_1}{y_1}}$. Ответ для направления $\vec \omega_s(t)$ приведите через угол $\gamma_s(t)$, который $\vec \omega_s(t)$ составляет с осью $C_x$.  Примечание: Вектор угловой скорости может быть представлен в виде суммы $\vec\omega=\vec\omega_x+\vec\omega_y=\vec\Omega+\vec\omega_s$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\Omega(t)=\frac{L}{J_y}$$ $$\gamma_s(t)=0$$ $$\omega_s(t)=\left(\frac{1}{J_x}-\frac{1}{J_y}\right)L\cos\theta_0$$"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "2,00"}, {"condition": "Считая известными начальные значения момента импульса $L$ и угла $\theta(0)=\theta_1\in(0,\pi/2)$, найдите значение $\theta_2$ угла $\theta$ в конце переходного процесса. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\theta_2=\frac\pi2$$"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Пусть в начальный момент времени угловая скорость $\omega(0)=\omega_1=1\mathcal~рад/с$ составляет угол $\gamma(0)=\gamma_1=30^{\circ}\mathrm C$ с осью симметрии ступени. Вычислите значение $\omega_2$ угловой скорости $\omega$ после прохождения переходного процесса. Моменты инерции ступени равны $J_x=4200~кг\cdot м^2$ и $J_y=15000~кг\cdot м^2$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega_2 \approx \frac{5}{9} ~рад /с \approx 0.556 ~рад /с$$"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Пренебрегая явлением самоиндукции, найдите магнитный момент $\vec \mu$ сферической оболочки. Приведите ответ для вектора $\vec \mu$ в виде проекций на оси $xyz$, показанных на Рисунке.  ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\mu_x=0$$ $$\mu_y=-\frac{2\pi}{3\rho}DR^4\dot B$$ $$\mu_z=0$$"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите момент сил $\vec M$, действующий на сферическую оболочку. Приведите ответ для вектора $\vec M$ в виде проекций на оси $xyz$, показанные на Рисунке. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$M_x=0$$ $$M_y=0$$ $$M_z=\frac{2\pi}{3\rho}DR^4B\dot B\sin\alpha$$"]}, "number_part": "C2", "exponent_part": "0,30"}, {"condition": "Магнитное поле Земли $\vec B_E$ можно считать полем точечного диполя, помещенного в центр Земли. Дипольный момент равен $\vec\mu_E$ и направлен противоположно оси $Y$. Величина магнитного поля $B$ в точке, где орбита ступени пересекает экваториальную плоскость $XZ$, равна $B_0=20\mu T$. Найдите магнитное поле $\vec B_E(u)$ в точке орбиты, характеризуемой углом $u$, как показано на Рис. Положительное направление отсчета угла $u$ совпадает с направлением движения по орбите. Ответ представьте в виде проекций $\vec B_E(u)$ на оси $XYZ$.  Примечание: Для последующих вычислений может оказаться полезным, если проекции магнитного поля $\vec B_E(u)$ выразить как функции от $2u$ вместо функций от $u$. Магнитное поле диполя в точке, заданной вектором $\vec r$ можно записать как $$  \vec{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi}\left(\frac{3(\vec{\mu} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right).  $$ ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$B_{EX}(u)=-\frac32B_0\sin2u$$ $$B_{EY}(u)=\frac12(3\cos2u-1)B_0$$ $$B_{EZ}(u)=0$$"]}, "number_part": "C3", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Найдите момент сил $\vec M(u)$, действующих на ступень, которая вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости орбиты. Угловая скорость вращения ступени равна $\omega$, она коллинеарна оси $Z$. Ответ для $\vec M(u)$ приведите в виде проекций на оси $XYZ$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$M_X=0$$ $$M_Y=0$$ $$M_Z=\frac{2\pi}{3\rho}DB^2_0R^4\left(\frac{3\pi}{T}(3-\cos2u)-\frac\omega2(5-3\cos2u)\right)$$"]}, "number_part": "C4", "exponent_part": "1,30"}, {"condition": "Считая изменение угловой скорости ступени за один период обращения по орбите пренебрежимо малым, найдите зависимость модуля угловой скорости $\omega(t)$ от времени.  ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$\omega(\mathrm{t})=\frac{18 \pi}{5 T}+\left(\omega_2-\frac{18 \pi}{5 T}\right) e^{-\delta t}, \delta=\frac{5 \pi}{3 J_y \rho} D B_0^2 R^4$$"]}, "number_part": "C5", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Найдите отношение периода орбитального движения $T$ к периоду вращения ступени ракеты $T_s$ в установившемся режиме, спустя очень большой промежуток времени.  ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$1.8$$"]}, "number_part": "C6", "exponent_part": "1,00"}]