text: {"text": [{"text": "Около века назад австрийский учёный В. Гесс поднялся на воздушном шаре на высоту 5 км и измерил там уровень радиации. Оказалось, что он в девять раз превышал уровень радиации на поверхности земли. Это привело учёного в выводу о существовании космических лучей, состоящих из высокоэнергетических заряженных частиц, таких как протоны, электроны и атомные ядра. По современным данным, на них приходится около 20% природной радиации, получаемой человеком. Каким образом космические лучи получают свою огромную энергию? В этой задаче мы исследуем один из возможных механизмов их ускорения."}, {"text": "Часть A. Взрывы сверхновых Поскольку космические лучи по большей части состоят из заряженных частиц, они остаются в галактическом диске под действием магнитного поля, покидая его или поглощаясь галактическим веществом через среднее время $\tau=10\ млн\,лет$. Радиус галактического диска $R_G\approx5\cdot10^4\ св.лет$, толщина $D_G\approx10^3\ св. лет$, а плотность энергии космических лучей в нём $w=10^6\ \cfrac{эВ}{м^3}\ (1\ эВ\approx1.6\cdot10^{-19}\ Дж,$$\ 1\ св.год\approx1\cdot10^{16}\ м)$. Будем считать, что полная энергия космических лучей в галактике остаётся постоянной."}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": null}, "text": "Найдите, какая мощность $\mathcal P$ космических лучей должна генерироваться в галактическом диске. Считается, что основным источником космических лучей являются $\itвзрывы$ $\itсверхновых$. Так называют взрывы массивных звёзд в конце их эволюционного пути. В результате взрыва образуются $\itнейтронные$ $\itзвёзды$, состоящие преимущественно из нейтронов и имеющие массу $M=1.3M_\odot$ ($M_\odot=2.0\cdot10^{30}\ кг$ — масса Солнца) и радиус $R\approx10\ км$. Плотность таких звёзд очень велика, а потому велика по величине и гравитационная потенциальная энергия. Будем считать, что вещество в нейтронной звезде распределено однородно."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": null}, "text": "Найдите гравитационную потенциальную энергию нейтронной звезды $U$. Выразите ответ через $M$, $R$ и гравитационную постоянную $G$. Энергия $-U$, высвобождающаяся при взрыве, по большей части уносится нейтрино, и лишь $\varepsilon=10^{-4}$ от этой энергии идёт на ускорение космических лучей."}, {"text": "Часть B. Ускорение Ферми Так как в межзвёздном пространстве есть только магнитное поле, частицы в космических лучах не могут ускоряться. Это, однако, противоречит экспериментальных данным. Механизм ускорения космических лучей был предложен Э. Ферми, исследованием этого механизма мы и будем заниматься в этой части задачи. <img_0> Рис. 1 Основная идея ускорения Ферми состоит в том, что лучи ускоряются за счёт многократного отражения от плазменного облака, возникающего при взрыве сверхновой. Поскольку данное облако расширяется очень быстро, на его границе возникает ударная волна. Введём ось $z$ перпендикулярно поверхности ударной волны, направив её от центра плазменного облака. Обозначим неподвижную систему координат как $O$, и рассмотрим заряженную частицу с $\gamma\gg1$, сталкивающуюся с фронтом ударной волны. В системе отсчёта $S$ плазменного облака, движущейся по оси $z$ со скоростью $v$, внутри облака существует только магнитное поле, которое поворачивает частицы, не изменяя их энергии, пока они не покинут облако, как показано на рисунке 1. Пусть угол падения и угол вылета частицы в системе $S$ равны $\theta_1$ и $\theta_2$ соответственно (рис. 2), а энергия частицы равна $E^*$. Т.к. $\gamma\gg1$, то для импульса частицы имеет место $p^*c=E^*$. Рис. 2"}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": null}, "text": "Найдите энергию $W_1$ космических лучей, поступающую в галактический диск в результате одного взрыва сверхновой. Найдите мощность $\Big($в $\cfrac{Дж}{год}\Big)$ космических лучей $\mathcal P'$, генерируемую при взрывах сверхновых, если частота таких взрывов в галактике $f=\cfrac1{100}\ год^{-1}$."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": null}, "text": "Выразите начальную $E$ и конечную $E'$ энергию частицы в системе отсчёта $O$ с помощью преобразований Лоренца через $E^*$, $\theta_1$, $\theta_2$ и $\beta\equiv\cfrac vc$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": null}, "text": "Найдите относительное изменение энергии $\cfrac{\Delta E}E$. Выразите ответ через $\beta$, $\theta_1$ и $\theta_2$."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": null}, "text": "Выразите $\alpha\equiv\left\langle\cfrac{\Delta E}E\right\rangle$ через $\beta$, где $\left\langle\ldots\right\rangle$ обозначает усреднение по полусфере $0\le\theta\le\cfrac\pi2$. После выхода из плазменного облака космические лучи в течение некоторого времени разворачиваются обратно под действием магнитного поля плазмы, в итоге ускоряясь снова. Тогда после $N$ таких ускорений энергия космических лучей увеличится в $e^{\alpha N}$ раз. Однако не все космические лучи выходят из плазменного облака, и некоторая их часть $\delta\ (\delta\ll1)$ при каждом цикле ускорения остаётся там навсегда (рис. 3). Таким образом, вероятность того, что космический луч ускорится $N$ раз и не поглотится плазменным облаком, равна $e^{-N\delta}$. <img_1> Рис. 3"}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": null}, "text": "Найдите вероятность $P_E$ того, что энергия частицы будет больше $E$. Выразите ответ через $E$, $E_0$, $\delta$ и $\alpha$. Известно, что в ударной волне от взрыва сверхновой $\delta=\alpha$. Обозначим как $f_2(E)$ плотность вероятности иметь энергию $E$, т.е. величину, равную $\underset{\Delta E\to0}{\lim}\cfrac{P_{E+\Delta E}-P_E}{\Delta E}$."}, {"text": "Часть C. Распределение ядер бора Покинув область ускорения, заряженные частицы космических лучей ещё в течение долгого времени удерживаются магнитным полем галактики внутри галактического диска. Однако чем больше энергия частиц, тем легче они покидают галактический диск, поэтому их скорректированная плотность распределения имеет вид:\[f_3(E)=C'E^{-2}\times E^{-0.7}=C'E^{-2.7}.\]Известно, что в космических лучах ядер бора в $10$ раз меньше, чем ядер кислорода, хотя содержание бора в среднем по галактике оказывается на несколько порядков ниже. Это связано с тем, что ядра кислорода могут испускать протоны и нейтроны при столкновениях с межзвёздным газом, превращаясь в итоге в ядра бора. Для простоты будем считать, что энергия такого ядра бора в два раза меньше энергии исходного ядра кислорода, а вероятность превращения кислорода в бор от энергии ядер не зависит."}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": null}, "text": "Найдите $f_2(E)$ с точностью до постоянного множителя $C$."}, {"balls": {"number": "C1", "exponent": null}, "text": "Найдите распределение $f_\mathrm B(E)$ ядер бора по энергии, т.е. плотность вероятности ядра иметь энергию $E$, с точностью до постоянного множителя $\hat C$."}]}
answer: [{"condition": "Найдите, какая мощность $\mathcal P$ космических лучей должна генерироваться в галактическом диске. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\mathcal P=1.3\cdot10^{41}\ \frac{Дж}{год}\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите гравитационную потенциальную энергию нейтронной звезды $U$. Выразите ответ через $M$, $R$ и гравитационную постоянную $G$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[U=-\frac35\frac{GM^2}R\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите энергию $W_1$ космических лучей, поступающую в галактический диск в результате одного взрыва сверхновой. Найдите мощность $\Big($в $\cfrac{Дж}{год}\Big)$ космических лучей $\mathcal P'$, генерируемую при взрывах сверхновых, если частота таких взрывов в галактике $f=\cfrac1{100}\ год^{-1}$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[W_1=2.71\cdot10^{42}\ Дж,\quad\mathcal P'=2.71\cdot10^{40}\ \frac{Дж}{год}\]"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Выразите начальную $E$ и конечную $E'$ энергию частицы в системе отсчёта $O$ с помощью преобразований Лоренца через $E^*$, $\theta_1$, $\theta_2$ и $\beta\equiv\cfrac vc$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\begin{array}{l}E=\gamma E^*(1-\beta\cos\theta_1)\\E'=\gamma E^*(1+\beta\cos\theta_2)\end{array}\]"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите относительное изменение энергии $\cfrac{\Delta E}E$. Выразите ответ через $\beta$, $\theta_1$ и $\theta_2$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\frac{\Delta E}E=\beta(\cos\theta_1+\cos\theta_2)\]"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Выразите $\alpha\equiv\left\langle\cfrac{\Delta E}E\right\rangle$ через $\beta$, где $\left\langle\ldots\right\rangle$ обозначает усреднение по полусфере $0\le\theta\le\cfrac\pi2$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\alpha=\frac{4\beta}3\]"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите вероятность $P_E$ того, что энергия частицы будет больше $E$. Выразите ответ через $E$, $E_0$, $\delta$ и $\alpha$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[P_E=\left(\frac E{E_0}\right)^{-\frac\delta\alpha}\]"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите $f_2(E)$ с точностью до постоянного множителя $C$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[f_2(E)=CE^{-2}\]"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите распределение $f_\mathrm B(E)$ ядер бора по энергии, т.е. плотность вероятности ядра иметь энергию $E$, с точностью до постоянного множителя $\hat C$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[f_B(E)=\hat CE^{-3.4}\]"]}, "number_part": "C1", "exponent_part": "??"}]