text: {"text": [{"text": "Мальчик бросил камень под некоторым углом $\alpha$ к горизонту."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, при каких значениях угла бросания $\alpha$ камень все время (до падения на землю) будет удаляться от мальчика."}]}
answer: [{"condition": "Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, при каких значениях угла бросания $\alpha$ камень все время (до падения на землю) будет удаляться от мальчика. ", "solution": {"text": "Движение камня описывается следующими соотношениями: $$ \begin {gathered} x = v_{0} t \cos \alpha, y = v_{0} t \sin \alpha - \frac{g}{2} t^{2}. \\ v_{x} = v_{0}\cos \alpha, v_{y} = v_{0} \sin \alpha - g t. \end {gathered} $$ Камень удалится на максимальное расстояние от места бросания, когда вектор скорости будет перпендикулярен радиусу-вектору $\vec{r}$. При этом должно быть выполнено соотношение (см. рисунок): $$ \frac{y}{x}=\frac{v_{x}}{v_{y}} . $$ <img_0> Подставляя сюда выражения для $x$, $y$, $v_{x}$ и $v_{y}$, получим квадратное уравнение относительно времени $t$: $$ t^{2} - \frac{3 v_{0} \sin \alpha}{g} t + \frac{2 v_{0}^{2}}{g^{2}} = 0. $$ Если дискриминант этого уравнения отрицателен, то не существует такого момента времени $t$, когда векторы $\vec{v}$ и $\vec{r}$ перпендикулярны друг другу, а, следовательно, брошенный камень будет все время удаляться от места бросания. Условие отрицательности дискриминанта: $$ \left(\frac{3 v_{0} \sin \alpha}{g}\right)^{2}<4\left(\frac{2 v_{0}^{2}}{g^{2}}\right) $$ Из него следует $$ \sin \alpha<\sqrt{\frac{8}{9}} \approx 0.94, \text {т. e.} \alpha<70.5^{\circ} . $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ \alpha<70.5^{\circ}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]