text: {"text": [{"text": "Показанная на рисунке магнитная ловушка Иоффе—Питчарда используется для ограничения области движения атомов. Все четыре провода перпендикулярны плоскости $xOy$, и по каждому из течёт постоянный ток $I$. Сечение проводов плоскостью $xOy$ — вершины квадрата со стороной $2a$ и центром в начале координат $O$. Плоскость, образуемая проводами 1 и 2, параллельна оси $x$, а направление токов в каждом проводе показано на рисунке. Описанная система помещена в однородное магнитное поле $\vec B_0=B_0\vec k$ ($\vec k$ — единичный вектор вдоль оси $z$). Магнитная проницаемость вакуума равна $\mu_0$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите распределение индукции магнитного поля $\vec B(x,y)$, создаваемого токами во всём пространстве вне проводов."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Найдите с точностью до первого неисчезающего члена приближённое выражение для индукции магнитного поля $\vec B(x,y)$, создаваемого токами в окрестности начала координат $O$. Рассмотрим атом в магнитной ловушке. Потенциальная энергия атома, связанная с его движением в магнитном поле, пропорциональна индукции полного поля $\vec B_{\rm tot}$ в точке нахождения атома, т.е. даётся формулой $V=\mu|\vec B_{\rm tot}|$, где $\mu$ — некоторая положительная постоянная."}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Найдите силу $\vec F(x,y)$ действующую на атом со стороны магнитного поля в окрестности начала координат $O$."}, {"balls": {"number": "4", "exponent": null}, "text": "Через какие точки плоскости $xOy$ атомам проще всего покинуть магнитную ловушку? Найдите минимальную кинетическую энергию $E_{\rm k}$, которую имеет вдали от начала координат покинувший ловушку атом."}]}
answer: [{"condition": "Найдите распределение индукции магнитного поля $\vec B(x,y)$, создаваемого токами во всём пространстве вне проводов. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\left(\begin{array}{c}B_x\\B_y\\B_z\end{array}\right)=\frac{\mu_0I}{2\pi}\left(\begin{array}{c}\frac{y-a}{(x+a)^2+(y-a)^2}-\frac{y-a}{(x-a)^2+(y-a)^2}+\frac{y+a}{(x-a)^2+(y+a)^2}-\frac{y+a}{(x+a)^2+(y+a)^2}\\-\frac{x+a}{(x+a)^2+(y-a)^2}+\frac{x-a}{(x-a)^2+(y-a)^2}-\frac{x-a}{(x-a)^2+(y+a)^2}+\frac{x+a}{(x+a)^2+(y+a)^2}\\0\end{array}\right)\]"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите с точностью до первого неисчезающего члена приближённое выражение для индукции магнитного поля $\vec B(x,y)$, создаваемого токами в окрестности начала координат $O$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\left(\begin{array}{c}B_x\\B_y\\B_z\end{array}\right)\approx\frac{\mu_0I}{\pi a^2}\left(\begin{array}{c}x\\-y\\0\end{array}\right)\]"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите силу $\vec F(x,y)$ действующую на атом со стороны магнитного поля в окрестности начала координат $O$. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\left(\begin{array}{c}F_x\\F_y\\F_z\end{array}\right)=-\frac{\mu}{B_0}\left(\frac{\mu_0I}{\pi a^2}\right)^2\left(\begin{array}{c}x\\y\\0\end{array}\right)\]"]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Через какие точки плоскости $xOy$ атомам проще всего покинуть магнитную ловушку? Найдите минимальную кинетическую энергию $E_{\rm k}$, которую имеет вдали от начала координат покинувший ловушку атом. ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)_{1,2}=\left(\begin{array}{c}\pm\left(\frac43\right)^{\frac14}a\\0\end{array}\right),\quad\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)_{3,4}=\left(\begin{array}{c}0\\\pm\left(\frac43\right)^{\frac14}a\end{array}\right)\\E_{\rm k}=\mu B_0\left[\sqrt{1+\frac{3\sqrt3}8\left(\frac{\mu_0I}{\pi aB_0}\right)^2}-1\right]\]"]}, "number_part": "4", "exponent_part": "??"}]