text: {"text": [{"text": "В обычной жизни нам кажется, что лучи света в окружающей нас атмосфере движутся прямолинейно. Однако это не так, и эффекты искривления лучей незаметны лишь потому, что коэффициент преломления воздуха практически неотличим от единицы. На больших масштабах и при возникновении некоторых атмосферных явлений ей уже нельзя будет пренебречь. В атмосфере Земли примером таких явлений может служить мираж, а в атмосферах других планет — к примеру, Венеры, — практически неограниченное расстояние до горизонта. В этой задаче мы подробно рассмотрим каждое из этих явлений."}, {"text": "Часть A. Миражи (5.8 балла) Миражи возникают при большом перепаде температур между поверхностью земли и атмосферой. Одним из их многочисленных примеров являются Курильские острова, миражи которых можно наблюдать в Кунаширском проливе в Японии по весне из-за охлаждения воздуха над морем. Атмосферу можно считать идеальным газом, состоящим из одинаковых молекул массой $m$. Известно, что для большинства газов, в том числе и газа в атмосфере, применима следующая формула для зависимости показателя преломления $n$ атмосферного воздуха:\[n^2-1=\alpha N,\] где $N$ — концентрация молекул, а $\alpha$ — коэффициент, зависящий от природы газа. При решении задачи считайте, что поверхность воды горизонтальна. Температура атмосферы $T$ повышается с увеличением высоты $h$ над уровнем моря, меняется также и показатель преломления воздуха. Влиянием гравитации пренебрегите, считая атмосферное давление равным $p_0=1~\text{атм}$ вне зависимости от высоты. Показатель преломления атмосферы при нормальных условиях ($T_0=273~\text{К}$, $p_0=1~\text{атм}$) равен $n=1.00028$. Считайте, что температура и показатель преломления зависят только от $h$. Рассмотрим закон Снеллиуса для лучей, испускаемым под углом $\theta_S$ с поверхности земли. Разделим атмосферу на тонкие слои толщиной $\Delta h$, как показано на рисунке 1. Будем считать, что показатель преломления атмосферы на высоте от $\Delta h(l-1)$ до $\Delta hl$ постоянен и равен $n_l$, а угол между лучом света и горизонтом на этой высоте $\theta_l$, где $l=1,2,3,\ldots$. Показатель преломления атмосферы на поверхности равен $n_1=n_S$. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "0,40"}, "text": "Запишите закон Снеллиуса для точки $P$, находящейся на высоте $l\Delta h$. Совершив предельный переход $\Delta h\to0$, $\Delta hl\to h$, $\theta_l\to\theta(h)$, $n_l\to n(h)$, получите выражение для $\theta(h)$. Предположим, что температура $T(h)$ возрастает линейно с $h$ в диапазоне $0\leq h\leq H$ и постоянна при $h > H$:\[T(h)=\begin{cases}T_S+(T_\mathrm H-T_\mathrm S)\frac hH&0\leq h\leq H\\T_\mathrm H&H < h\end{cases},\]где $T_\mathrm S=T(0) < T_\mathrm H=T(H)$. Учитывая, что $\frac{T_H-T_S}{T_S}\ll1$, зависимость концентрации $N(h)$ на высоте $h$ ($0 < h < H$) при этом можно также с хорошей точностью считать линейной, т.е.:\[\frac{N(h)}{N_\mathrm S}=1-\frac{N_\mathrm S-N_\mathrm H}{N_\mathrm S}\frac hH,\]где $N_\mathrm S=N(0)$, $N_\mathrm H=N(H)$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,50"}, "text": "Пользуясь этим результатом, найдите, как зависит показатель преломления $n(h)$ атмосферы от высоты. Выразите ответ через $n_\mathrm S=n(0)$ и $n_\mathrm H=n(H)$. Рассмотрим траекторию луча, испущенного под углом $\theta_\mathrm S$ к горизонту. Будем считать, что по достижении верхней точки траектории $h_\mathrm m(\le H)$ луч начинает двигаться обратно вниз. Направим ось $x$ горизонтально в плоскости распространения луча, тогда его траектория $h(x)$ должна удовлетворять дифференциальному уравнению:\[\frac{\mathrm dh}{\mathrm dx}=\operatorname{tg}\theta=\pm\sqrt{\frac1{\cos^2\theta}-1},\]причём знак $+$ соответствует подъёму, а $-$ — опусканию луча."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите показатель преломления $n_\mathrm m\equiv n(h_\mathrm m)$ в верхней точке траектории луча через $n_\mathrm S$ и $\theta_\mathrm S$. С учётом сказанного выше, уравнение для определения траектории луча можно записать в виде\[\frac{\mathrm dh}{\mathrm dx}=\sqrt{a\left(1-\frac hb\right)},\quad a=a_\mathrm m\frac{h_\mathrm m}H.\]"}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите $a_\mathrm m$ и $b$ через $h_\mathrm m$, $n_\mathrm H$, $n_\mathrm S$ и $n_\mathrm m$. Известно, что решение этого уравнения для луча, проходящего через начало координат $(x,h)=(0,0)$, представляет собой параболу\[h=cx+dx^2.\]"}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "0,50"}, "text": "Выразите коэффициенты $c$ и $d$ через $a$ и $b$. Пусть даны численные значения $T_\mathrm S=275~\text{К}$, $T_\mathrm H=290~\text{К}$, $H=20~\text{м}$. Наблюдатель находится на японском берегу ($h=0$) и наблюдает Курильские острова над поверхностью воды. Пусть расстояние до островов равно $L$. Наблюдатель видит их под тем же углом, под которым видел бы острова, находись они на том же расстоянии на высоте $h_\mathrm g$ над поверхностью воды."}, {"balls": {"number": "A6", "exponent": "1,60"}, "text": "Выразите $h_\mathrm g$ как функцию расстояния $L$ от наблюдателя до острова. Выше или ниже остальных виден самый дальний из наблюдаемых островов?"}, {"balls": {"number": "A7", "exponent": "0,80"}, "text": "Выразите через $n_S$, $n_H$ и $H$ максимальное расстояние $L_\max$ до острова, который ещё может видеть наблюдатель. Чему при этом равен угол $\theta_{S\max}$?"}, {"text": "Часть B. Кривизна лучей света (4.2 балла) В части $\bf A$ показатель преломления атмосферы рассчитывался без учёта влияния силы тяжести и с учётом изменения температуры только у поверхности земли. По мере увеличения высоты над поверхностью температура, конечно, снижается, но наибольшее влияние на концентрацию атмосферы оказывает именно гравитация. Поэтому в дальнейшем для простоты будем считать температуру атмосферы $T$ всюду постоянной и рассматривать изменение показателя преломления только за счёт силы тяжести. Ускорение свободного падения равно $g$. Рассмотрим баланс сил, действующих на участок атмосферы в области высот от $h$ до $h+\mathrm dh$, как показано на рисунке 2. Концентрацию молекул воздуха обозначим как $N(h)$. Рис. 2"}, {"balls": {"number": "A8", "exponent": "0,50"}, "text": "Вычислите $L_{\max}$ и $\theta_\mathrm S$ с точностью до двух значащих цифр."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,80"}, "text": "Найдите зависимость $N(h)$, если концентрация у поверхности земли $N(0)=N_0$. Как и в части $\bf A$, будем считать, что показатель преломления на высоте $h$ равен $n(h)$, а угол с горизонтом, под которым луч движется на высоте $h$, обозначим как $\theta(h)$. Кривизной земной поверхности можно пренебречь. Траектория луча в атмосфере представляет собой кривую, которую в каждой точке можно приблизить участком окружности радиуса $R$. Это значение $R$ называется радиусом кривизны траектории луча в этой точке (см. рисунок 3). <img_1>"}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "1,00"}, "text": "Выразите $\frac1R$ через $\theta(h)$ и $\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dh}$."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,50"}, "text": "Преобразуйте полученное в $\bf B2$ выражение с помощью закона Снеллиуса из $\bf A1$ так, чтобы оно содержало только $n$, $n_S$ и $\theta_S$."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "0,90"}, "text": "Найдите, чему равен вблизи земной поверхности радиус кривизны $R$ траектории луча, распространяющегося под малым углом к горизонту. Выразите ответ через $m$, $g$, $n_\mathrm S$, $T$ и $k_\mathrm B$. Учтём теперь кривизну Земли. Её радиус $R_\mathrm E=6.4\cdot10^3~\text{км}$. Остальные численные значения $m=29\cdot1.66\cdot10^{-27}~\text{кг}$, $T=300~\text{К}$, $k_\mathrm B=1.38\cdot10^{-23}~\frac{\text{Дж}}{\text{К}}$, $g=9.8~\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$."}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите численно радиус кривизны траектории луча $R_E^{lr}$, исходящего горизонтально из некоторой точки на поверхности земли. Увеличивается ли в дальнейшем высота луча над поверхностью? Атмосфера Венеры состоит из $\mathrm{CO_2}$, который можно считать идеальным и для которого можно применить все полученные выше результаты. Атмосферное давление на поверхности Венеры $p_\mathrm V=93~\text{атм}$ ($1~\text{атм}=1.0\cdot10^5~\text{Па}$), а температура $T_\mathrm V=740~\text{К}$. Радиус Венеры $R_\mathrm V=6.0\cdot10^3~\text{км}$, ускорение свободного падения на её поверхности $g_\mathrm V=8.9~\frac{\text{м}}{\text{с}^2}$, масса молекулы $\mathrm{CO_2}$ $m_\mathrm C=44\cdot1.66\cdot10^{-27}~\text{кг}$. Для показателя преломления на Венере справедливо уравнение:\[n^2=1+\alpha_VN\]с коэффициентом $\alpha_\mathrm V=4\pi a_\mathrm C^3$, где $a_\mathrm C=1.4\cdot10^{-10}~\text{м}$ — эффективный размер молекулы $\mathrm{CO_2}$."}, {"balls": {"number": "B6", "exponent": "0,50"}, "text": "Найдите численно радиус кривизны траектории луча $R_V^{lr}$, исходящего горизонтально из некоторой точки непосредственно над поверхности планеты. Увеличивается ли в дальнейшем высота луча над поверхностью?"}]}
answer: [{"condition": "Запишите закон Снеллиуса для точки $P$, находящейся на высоте $l\Delta h$. Совершив предельный переход $\Delta h\to0$, $\Delta hl\to h$, $\theta_l\to\theta(h)$, $n_l\to n(h)$, получите выражение для $\theta(h)$. ", "solution": {"text": "Закон Снеллиуса для точки $P$:\[n_l\cos\theta_l=n_{l+1}\cos\theta_{l+1}.\]Переходя к пределу, получаем закон Снеллиуса для непрерывной среды:\[n(h)\cos\theta(h)=n_S\cos\theta_S,\]откуда окончательно получаем:\[\theta(h)=\arccos\left(\frac{n_S\cos\theta_S}{n(h)}\right).\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[n_l\cos\theta_l=n_{l+1}\cos\theta_{l+1}\] \[\theta(h)=\arccos\left(\frac{n_S\cos\theta_S}{n(h)}\right)\]"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Пользуясь этим результатом, найдите, как зависит показатель преломления $n(h)$ атмосферы от высоты. Выразите ответ через $n_\mathrm S=n(0)$ и $n_\mathrm H=n(H)$. ", "solution": {"text": "Выразим концентрации воздуха на высотах $h=0$ и $h=H$:\[N_S=\frac1\alpha\Big[n_S^2-1\Big],\quad N_H=\frac1\alpha\Big[n_H^2-1\Big].\]Подставив их в закон зависимости показателя преломления, имеем:\[n(h)=\sqrt{n_S^2-\left(n_S^2-n_H^2\right)\frac hH}.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[n(h)=\sqrt{n_S^2-\left(n_S^2-n_H^2\right)\frac hH}\]"]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите показатель преломления $n_\mathrm m\equiv n(h_\mathrm m)$ в верхней точке траектории луча через $n_\mathrm S$ и $\theta_\mathrm S$. ", "solution": {"text": "Пишем закон Снеллиуса, учитывая, что в вершине траектории $\theta=0$:\[n_S\cos\theta_S=n_\mathrm m\cos0=n_\mathrm m.\]Отсюда и из результатов предыдущего пункта имеем:\[h_\mathrm m=\frac{n_S^2\sin^2\theta_S}{n_S^2-n_H^2}H.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[n_\mathrm m=n_S\cos\theta_S\] \[h_\mathrm m=\frac{n_S^2\sin^2\theta_S}{n_S^2-n_H^2}H\]"]}, "number_part": "A3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите $a_\mathrm m$ и $b$ через $h_\mathrm m$, $n_\mathrm H$, $n_\mathrm S$ и $n_\mathrm m$. ", "solution": {"text": "Подставляем непосредственно:\[\frac{\mathrm dh}{\mathrm dx}=\sqrt{\frac1{\cos^2\theta}-1}=\sqrt{\frac{n^2}{n_\mathrm m^2}-1}=\sqrt{\left(\frac{n_S^2}{n_\mathrm m^2}-1\right)\left(1-\frac{n_S^2-n_H^2}{n_S^2-n_\mathrm m^2}\frac hH\right)}=\\=\sqrt{\frac{n_S^2-n_H^2}{n_\mathrm m^2}\frac{h_\mathrm m}H\left(1-\frac{h}{h_\mathrm m}\right)}\implies a_\mathrm m=\frac{n_S^2-n_H^2}{n_\mathrm m^2},\quad b=h_\mathrm m.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[a_\mathrm m=\frac{n_S^2-n_H^2}{n_\mathrm m^2}\] \[b=h_\mathrm m\]"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Выразите коэффициенты $c$ и $d$ через $a$ и $b$. ", "solution": {"text": "Подставляем непосредственно:\[\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\Big[cx+dx^2\Big]=c+2dx=\sqrt{a\left(1-\frac{cx+dx^2}b\right)}\implies\\\implies c^2=a,\quad4cd=-\frac{ac}b\implies c=\sqrt a,\quad d=-\frac a{4b}.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[c=\sqrt a\] \[d=-\frac a{4b}\]"]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Выразите $h_\mathrm g$ как функцию расстояния $L$ от наблюдателя до острова. Выше или ниже остальных виден самый дальний из наблюдаемых островов? ", "solution": {"text": "Несложно заметить, что:\[L=-\frac cd=\frac{4b}{\sqrt a}=4\sqrt{h_\mathrm m\left(\frac{n_S^2}{n_S^2-n_H^2}-h_\mathrm m\right)}\implies\\\implies h_\mathrm m^2-\frac{n_S^2}{n_S^2-n_H^2}h_\mathrm m+\frac{L^2}{16}=0\implies\\\implies h_\mathrm m=\frac H2\left[\frac{n_S^2}{n_S^2-n_H^2}\pm\sqrt{\left(\frac{n_S^2}{n_S^2-n_H^2}\right)^2-\frac{L^2}{4H^2}}\right].\]Так как $L\to0\ (h_\mathrm m\to0)$, то следует выбрать корень со знаком "$-$". Из геометрических свойств параболической траектории\[h_\mathrm g=4h_\mathrm m,\]поэтому\[h_\mathrm g=2H\left[\frac{n_S^2}{n_S^2-n_H^2}-\sqrt{\left(\frac{n_S^2}{n_S^2-n_H^2}\right)^2-\frac{L^2}{4H^2}}\right].\]Из этой формулы ясно, что самый дальний из островов будет виден выше остальных."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Самый дальний остров виден выше остальных. \[h_\mathrm g=2H\left[\frac{n_S^2}{n_S^2-n_H^2}-\sqrt{\left(\frac{n_S^2}{n_S^2-n_H^2}\right)^2-\frac{L^2}{4H^2}}\right]\]"]}, "number_part": "A6", "exponent_part": "1,60"}, {"condition": "Выразите через $n_S$, $n_H$ и $H$ максимальное расстояние $L_\max$ до острова, который ещё может видеть наблюдатель. Чему при этом равен угол $\theta_{S\max}$? ", "solution": {"text": "Ясно, что максимальному расстоянию соответствует случай $h_\mathrm m=H$, откуда, подставляя в одно из выражений предыдущего пункта,\[L_\max=\frac{4Hn_H}{\sqrt{n_S^2-n_H^2}}.\]Из закона Снеллиуса:\[\theta_{S\max}=\arccos\frac{n_H}{n_S}.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[L_\max=\frac{4Hn_H}{\sqrt{n_S^2-n_H^2}}\] \[\theta_{S\max}=\arccos\frac{n_H}{n_S}\]"]}, "number_part": "A7", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Вычислите $L_{\max}$ и $\theta_\mathrm S$ с точностью до двух значащих цифр. ", "solution": {"text": "Найдём для нормальных условий:\[\cfrac{p_0\alpha}{k_\mathrm B}=\cfrac{n_0^2-1}{T_0}\implies\\\implies n_S^2=1+\big(n_0^2-1\big)\frac{T_0}{T_S},\quad n_H^2=1+\big(n_0^2-1\big)\frac{T_0}{T_H}\implies\\\implies L_\max=14.4\ км,\quad\theta_S=0.31^\circ.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[L_\max=14.4\ км\] \[\theta_S=0.45^\circ\]"]}, "number_part": "A8", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите зависимость $N(h)$, если концентрация у поверхности земли $N(0)=N_0$. ", "solution": {"text": "Рассматривая баланс сил, действующих на участок атмосферы на высоте от $h$ до $h+\mathrm dh$, получим:\[\cfrac{\mathrm dp}{\mathrm dh}=-\rho g.\]Поскольку воздух можно считать идеальным газом, то из уравнения Менделеева-Клапейрона:\[\rho=\frac{mp}{k_\mathrm BT},\]откуда\[\frac{\mathrm dp}{\mathrm dh}=-\cfrac{mg}{k_\mathrm BT}p\implies \cfrac{p(h)}{p(0)}=e^{-\frac{mgh}{k_\mathrm BT}}\implies N(h)=N_0e^{-\frac{mgh}{RT}}.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[N(h)=N_0e^{-\frac{mgh}{RT}}\]"]}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,80"}, {"condition": "Выразите $\frac1R$ через $\theta(h)$ и $\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dh}$. ", "solution": {"text": "Для элемента длины траектории луча $\mathrm dl$, с одной стороны,\[\mathrm dl=\frac{\mathrm dh}{\sin\theta},\]а с другой стороны,\[\mathrm dl=-R\ \mathrm d\theta,\]откуда\[\frac1R=-\sin\theta\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dh}.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\frac1R=-\sin\theta\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dh}\]"]}, "number_part": "B2", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Преобразуйте полученное в $\bf B2$ выражение с помощью закона Снеллиуса из $\bf A1$ так, чтобы оно содержало только $n$, $n_S$ и $\theta_S$. ", "solution": {"text": "Из закона Снеллиуса\[\cos\theta=\cfrac{n_S\cos\theta_S}n,\]тогда\[\frac1R=-\sin\theta\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dh}=\frac{\mathrm d\big(\cos\theta\big)}{\mathrm dh}=n_S\cos\theta_S\frac{\mathrm d}{\mathrm dh}\bigg[\frac1n\bigg]=-\frac{n_S\cos\theta_S}{n^2}\frac{\mathrm dn}{\mathrm dh}.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\frac1R=-\frac{n_S\cos\theta_S}{n^2}\frac{\mathrm dn}{\mathrm dh}\]"]}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите, чему равен вблизи земной поверхности радиус кривизны $R$ траектории луча, распространяющегося под малым углом к горизонту. Выразите ответ через $m$, $g$, $n_\mathrm S$, $T$ и $k_\mathrm B$. ", "solution": {"text": "Находим непосредственно:\[\frac1R=-\frac1{n_E}\frac{\mathrm dn}{\mathrm dh}=-\frac{n_E^2-1}{2n_E^2}\frac{\mathrm d}{\mathrm dh}\bigg[e^{-\frac{mgh}{k_\mathrm BT}}\left.\bigg]\right|_{h=0}=\Big(1-n_E^{-2}\Big)\frac{mg}{2k_\mathrm BT}\implies\\\implies R=\frac{2k_\mathrm BT}{\Big(1-n_E^{-2}\Big)mg}.\]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[R=\frac{2k_\mathrm BT}{\Big(1-n_E^{-2}\Big)mg}\]"]}, "number_part": "B4", "exponent_part": "0,90"}, {"condition": "Найдите численно радиус кривизны траектории луча $R_E^{lr}$, исходящего горизонтально из некоторой точки на поверхности земли. Увеличивается ли в дальнейшем высота луча над поверхностью? ", "solution": {"text": "Подставляем численные значения:\[R_E^{lr}=\frac{2k_\mathrm BT}{\Big(1-n_E^{-2}\Big)mg}=31.4\cdot10^3\ км.\]Высота луча над поверхностью увеличивается, поскольку $R_E^{lr} > R_E$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Высота луча над поверхностью увеличивается. \[R_E^{lr}=31.4\cdot10^3\ км\]"]}, "number_part": "B5", "exponent_part": "0,50"}, {"condition": "Найдите численно радиус кривизны траектории луча $R_V^{lr}$, исходящего горизонтально из некоторой точки непосредственно над поверхности планеты. Увеличивается ли в дальнейшем высота луча над поверхностью? ", "solution": {"text": "Найдём сначала показатель преломления $n_V$ на поверхности Венеры:\[n_V=1+\frac{4\pi a_C^3p_V}{k_\mathrm BT_V}=1.0314,\]тогда по уже известной формуле\[R_V^{lr}=\frac{2k_\mathrm BT_V}{\Big(1-n_V^{-2}\Big)m_\mathrm Cg_V}=5.24\cdot10^2\ км.\]Высота луча над поверхностью уменьшается, поскольку $R_V^{lr} < R_V$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: Высота луча над поверхностью уменьшается. \[R_V^{lr}=5.24\cdot10^2\ км\]"]}, "number_part": "B6", "exponent_part": "0,50"}]