text: {"text": [{"text": "$!Важно:$ прежде чем менять конфигурацию схемы, плавно выкрутите амплитуду генератора в ноль, после чего выключите генератор и источник тока! Новые катушки выдаваться не будут!"}, {"text": "Часть А. Колебательный контур с нелинейной ёмкостью. \emph{Оборудование, используемое в этой части:} генератор, источник постоянного напряжения, осциллограф, мультиметр, набор проводов для приборов, макетная плата, набор проводов для платы, варикап, резистор $R_0=1~МОм$ (бежевый цвет), резистор $r=10~Ом$ (синий цвет), три катушка индуктивности $L_1=3,3~мГн, L_2=15,0~мГн, L_3=15,0~мГн$, конденсатор $C_{ш}=10~мкФ$ (маркировка 105). В первой части работы изучаются резонансные свойства нелинейного колебательного контура. В качестве нелинейного элемента, входящего в состав колебательного контура, используется полупроводниковый диод (варикап), ёмкость которого зависит от величины постоянного напряжения на нем. В произвольный момент времени напряжение на варикапе $U=U_\sim + V$, где $U_\sim-$ переменная составляющая напряжения, а $V-$ постоянная составляющая напряжения. Пусть на варикапе $C$ поддерживается постоянное напряжение $V=-V_0$, тогда зависимость ёмкости варикапа от напряжения на нем в окрестности рабочей точки можно записать в виде: $$ C(V)=C_0+\chi(V+V_0)+\beta(V+V_0)^2 $$ Соберите установку (рис. 1). В этой части используйте только катушку $L_1$. Обратите внимание на полярность включение варикапа! Белая точка подключается к плюсу источника. <img_0>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "1,20"}, "text": "Установите амплитуду напряжения на генераторе $\mathcal{E}_0 < 1,0~B$. Снимите зависимость резонансной частоты $f_{рез}$ контура от величины постоянного напряжения на варикапе $V_{0}$ в диапазоне от $0$ до $3~В$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "0,90"}, "text": "Постройте график зависимости ёмкости cхемы от приложенного к нему напряжения $C(V+V_0)$. Определите параметры $\chi$ и $\beta$."}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "1,00"}, "text": "Снимите резонансную кривую для $V_0=0,3~B$. По полученной зависимости определите добротность контура $Q$."}, {"text": "Часть В.  Эффект удвоения частоты. Из-за того, что ёмкость контура зависит от напряжения, при некоторых условиях частота колебаний в нем может не совпадать с частотой генератора. В частности при частоте генератора $\omega = \frac{\omega_0}{2}$ возникают колебания с собственной частотой $\omega_0$. Используя уравнения Кирхгофа и некоторые разложения в окрестности рабочей точки можно получить уравнение колебаний переменной составляющей напряжения на варикапе в виде: $$ \ddot{U}+2\gamma\dot{U}+\omega_0^2U=-\omega_0^2U_0sin(\omega t)+\alpha' U^2 $$ где введены обозначения $U_0=\cfrac{L\omega_0}{R_0}\mathcal{E}_0,~\alpha'=2\omega_0^2 \cfrac{\chi-\beta V_0}{C_0-\chi V_0}$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,40"}, "text": "Теоретически вычислите добротность контура через его параметры (не используя резонансную кривую)."}, {"balls": {"number": "B1", "exponent": "0,60"}, "text": "Выразите $\gamma$ и $\omega_0$ через $r, r_L, C_k, L$."}, {"balls": {"number": "B2", "exponent": "0,90"}, "text": "Пусть частота колебаний внешнего напряжения $\omega=\cfrac{\omega_0}{2}$. Найдите решение уравнения колебаний переменной составляющей напряжения на варикапе $U_1$ в первом(линейном) приближении при слабом затухании $(\gamma \ll \omega_0)$."}, {"balls": {"number": "B3", "exponent": "0,60"}, "text": "При учете нелинейных членов(во втором приближение) решение уравнения колебаний переменной составляющей напряжения на варикапе представляет суперпозицию $U=U_1+U_2$. Получите уравнение колебаний для $U_2$ в терминах $\alpha', \gamma, \omega_o, U_0 $."}, {"balls": {"number": "B4", "exponent": "0,90"}, "text": "Считая, что $U_1 \gg U_2 $ найдите из полученного в пункте В3 уравнения поправку $U_2$ к напряжению на варикапе. При частоте генератора $\frac{\omega_0}{2}$ сигнал будет иметь вид как на рисунке 2. <img_1>"}, {"balls": {"number": "B5", "exponent": "1,00"}, "text": "Установите частоту генератора $\omega = \frac{\omega_0}{2}$. Снимите экспериментальную зависимость амплитуды $A_2$ колебаний с частотой $\omega_0$ от индуктивности в цепи."}, {"balls": {"number": "B6", "exponent": "0,60"}, "text": "Пусть $A_2 \propto L^\xi$. Из теоретической формулы для $A_2$ получите значение $\xi$."}, {"balls": {"number": "B7", "exponent": "1,00"}, "text": "Найдите значение $\xi$ по измеренной зависимости $A_2(L)$"}, {"balls": {"number": "B8", "exponent": "0,90"}, "text": "Установите на варикапе $V_0=0,3~В$, амплитуду генератора $\mathcal{E}_0=12~В.$ Зарисуйте зависимости переменного напряжения на варикапе от времени для $\omega=\frac{\omega_0}{n}$ для $n=3,4,5$."}]}
answer: [{"condition": "Установите амплитуду напряжения на генераторе $\mathcal{E}_0 < 1,0~B$. Снимите зависимость резонансной частоты $f_{рез}$ контура от величины постоянного напряжения на варикапе $V_{0}$ в диапазоне от $0$ до $3~В$. ", "solution": {"text": "Собираем установку (рис. 1). Устанавливаем напряжение на генераторе $\mathcal{E}_0 = 0,9~B$. Подключаем осциллограф и источник постоянного напряжения, мультиметр для измерения $V_0$ (рис.3). Меняя частоту входного напряжения, находим резонансную частоту контура по максимуму напряжения на варикапе, для фиксированного значение $V_0$. <img_2> $V$,В;$f$, кГц;$C$, пФ 0;223,4;154 0,2;224,4;152 0,4;225,5;151 0,6;226,9;149 0,8;227,8;148 1;228,9;147 1,2;229,9;145 1,4;230,9;144 1,6;232,1;142 1,8;233,4;141 2;234,2;140 2,2;235,4;139 2,4;236,2;138 2,6;237;137 2,8;237,8;136 3;238,7;135"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A1", "exponent_part": "1,20"}, {"condition": "Постройте график зависимости ёмкости cхемы от приложенного к нему напряжения  $C(V+V_0)$. Определите параметры $\chi$ и $\beta$. ", "solution": {"text": "По формуле резонансной частоты колебательного контура $C=\cfrac{1}{(2\pi f)^2 L } $ пересчитываем зависимость $C(V_0)$. <img_3> Из касательной графика в нуле находим $\chi $ $$\chi = (4 - 9 )\cdot10^{-12} \cfrac{\text{Ф}}{\text{В}}$$ Из касательных графика в точках $V_0= 0,0 \text{ B}$ и $ V_0 =2,8 \text{ B}$: $$ \beta=\cfrac{C'(2,8)-C'(0,0)}{2 *2,8} $$ $$\beta \sim 10^{-12} \div 10^{-13} \cfrac{\text{Ф}}{\text{В}^2}$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A2", "exponent_part": "0,90"}, {"condition": "Снимите резонансную кривую для $V_0=0,3~B$. По полученной зависимости определите добротность контура $Q$. ", "solution": {"text": "Устанавливаем напряжение на источнике постоянного напряжения $V_0=0,3 \text{ B}$. Снимаем с осциллографа зависимость $U_{\sim} (f)$. $f$, кГц;$U$, мВ 224,5;441 225;439 225,5;438 224;429 226;425 226,5;425 223,5;410 223;404 227;393 227,5;389 222,5;378 222;359 228;352 221;318 229;315 229;301 220;279 230;260 219;246 231;218 218;205 232;198 217;188 233;157 <img_4> Из полученного графика находим ширину контура по напряжению $U_{\sim}=\cfrac{U_{\sim,max}}{\sqrt2}$ : $$\delta f = 8 \text{ кГц}$$ $$ Q=\cfrac{f_0}{\delta f} = 28 $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A3", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Теоретически вычислите добротность контура через его параметры (не используя резонансную кривую). ", "solution": {"text": "Из графика пункта А2 находим $C_k(0,3)= 151,7 \text{ пФ}$. Измеряем мультиметром $r+r_L=33 \text{ Ом} $ $$Q=\cfrac{1}{r+r_L} \sqrt{\cfrac{L}{C_k(0,3)}}=140$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,40"}, {"condition": "Выразите $\gamma$ и $\omega_0$ через $r, r_L, C_k, L$. ", "solution": {"text": "$$\gamma = \cfrac{r+r_L}{2L}$$ $$\omega_0 = \sqrt{ \cfrac{1}{L C_k} }$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B1", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Пусть частота колебаний внешнего напряжения $\omega=\cfrac{\omega_0}{2}$. Найдите решение уравнения колебаний переменной составляющей напряжения на варикапе $U_1$ в первом(линейном) приближении при слабом затухании $(\gamma \ll \omega_0)$. ", "solution": {"text": "В первом(линейном) приближении при слабом затухании $(\gamma \ll \omega_0)$ пренебрегаем членами $\alpha' U^2$ и $ 2\gamma\dot{U}$ . Получаем уравнение: $$ \ddot{U}+\omega_0^2U=-\omega_0^2U_0sin(\cfrac{\omega_0}{2} t) $$ Решаем полученное уравнение: $$ U_1=-\cfrac{4}{3} U_0 sin\left( \cfrac{\omega_0 t}{2} \right) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B2", "exponent_part": "0,90"}, {"condition": "При учете нелинейных членов(во втором приближение) решение уравнения колебаний переменной составляющей напряжения на варикапе представляет суперпозицию  $U=U_1+U_2$. Получите уравнение колебаний для $U_2$ в терминах $\alpha', \gamma, \omega_o, U_0 $. ", "solution": {"text": "Подставляем в исходное уравнение $U=U_1+U_2$: $$ \ddot{U_2}+2\gamma\dot{U_2}+\omega_0^2U_2+\omega_0^2U_0sin(\omega t) - \alpha' U_2^2=\alpha' U_1^2 +2 \alpha' U_1 U_2 $$ Подставляем найденное первое приближение $ U_1=-\cfrac{4}{3} U_0 sin\left( \cfrac{\omega_0 t}{2} \right)$: $$ \ddot{U_2}+2\gamma\dot{U_2}+\omega_0^2U_2 - \alpha' U_2^2 = \cfrac{8\alpha'}{9} U_0^2 - \cfrac{8\alpha'}{9} U_0^2 cos(\omega_0 t) -\cfrac{8\alpha'}{3} U_0 U_2 sin\left( \cfrac{\omega_0 t}{2} \right) $$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B3", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Считая, что $U_1 \gg U_2 $ найдите из полученного в пункте В3 уравнения поправку $U_2$ к напряжению на варикапе. ", "solution": {"text": "Пренебрегаем $2 \alpha' U_1 U_2$ по сравнению с $\alpha' U_1^2$ получаем: $$ \ddot{U_2}+2\gamma\dot{U_2}+\omega_0^2U_2 - \alpha' U_2^2 = \cfrac{8\alpha'}{9} U_0^2 - \cfrac{8\alpha'}{9} U_0^2 cos(\omega_0 t) $$ Ищем решение в виде $ U_2 = A +B sin(\omega_0 t)$. Получаем конечное выражение для поправки $U_2= - \cfrac{8\alpha'}{9 \omega_0^2} U_0^2 - \cfrac{4\alpha'}{9 \gamma \omega_0} U_0^2 sin(\omega_0 t)$."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B4", "exponent_part": "0,90"}, {"condition": "Установите частоту генератора $\omega = \frac{\omega_0}{2}$. Снимите экспериментальную зависимость амплитуды $A_2$ колебаний с частотой $\omega_0$ от индуктивности в цепи. ", "solution": {"text": "Cобираем схему (рис. 3). Находим резонансную частоту $\omega_0$ контура по максимуму колебаний напряжения на варикапе. Устанавливаем частоту генератора $\omega = \frac{\omega_0}{2}$. Снимаем зависимость амплитуды $A_2$ колебаний с частотой $\omega_0$ от индуктивности в цепи. $$A_2=\cfrac{U_{max}-U_{min}}{2}$$ <img_5> $L$, мГн;$A_2$, мВ 15;276 30;310 45;334 7,5;210 5;170 10;238 22,5;300"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B5", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Пусть $A_2 \propto L^\xi$. Из теоретической формулы для $A_2$ получите значение $\xi$. ", "solution": {"text": "Из пункта B4: $$U_2= - \cfrac{8\alpha'}{9 \omega_0^2} U_0^2 - \cfrac{4\alpha'}{9 \gamma \omega_0} U_0^2 sin(\omega_0 t)$$ $$\alpha' \sim \cfrac{1}{L} $$ $$ U_0^2 \sim L$$ $$ \omega_0 \sim \cfrac{1}{\sqrt{L}}$$ $$ \gamma \sim \cfrac{r+r_L}{L} $$ $$ U_2 \sim L^{\left(\cfrac{3}{2}\right)} $$ $$ \xi = \cfrac{3}{2}$$"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B6", "exponent_part": "0,60"}, {"condition": "Найдите значение $\xi$ по измеренной зависимости $A_2(L)$ ", "solution": {"text": "Из пункта B6 видно, что амплитуда колебаний $A_2$ зависит от $L$ и $r_L$ параметров катушки включенной в цепь. Измеряем мультиметром $r+r_L$ для различных значений $L$. Строим график $ \text{ln } (A_2 (r+r_L))$ от $\text{ln } L$. $L$, мГн;$A_2$, мВ;$r+r_L$, Ом;$\ln A_2(r+r_L)$;$\ln L$ 15;276;36;9,2;2,71 30;310;59;9,81;3,4 45;334;83;10,23;3,81 7,5;210;26;8,61;2,01 5;170;21;8,18;1,61 10;238;28;8,8;2,3 22,5;300;49;9,6;3,11 <img_6> Из коэффициента наклона графика получаем $\xi= 0,9$."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B7", "exponent_part": "1,00"}, {"condition": "Установите на варикапе $V_0=0,3~В$, амплитуду генератора $\mathcal{E}_0=12~В.$ Зарисуйте зависимости переменного напряжения на варикапе от времени для $\omega=\frac{\omega_0}{n}$ для $n=3,4,5$. ", "solution": {"text": "<img_7> <img_8> <img_9>"}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "B8", "exponent_part": "0,90"}]