text: {"text": [{"text": "В этой задаче вам предстоит изучить изгибную деформацию. Под изгибной деформацией понимают искривление осей различных стержней. Изгибная деформация в точке характеризуется радиусом кривизны оси стержня. Для произвольной кривой изогнутой в одной плоскости (см. рисунок 1) радиус кривизны рассчитывается как отношение малой длины дуги кривой $\mathrm dl$ к величине изменения угла направления касательной к ней $\mathrm d\alpha$:\begin{equation} R=\frac{\mathrm dl}{\mathrm d\alpha}. \end{equation}Величину $R^{-1}$ обратную радиусу кривизны называют кривизной. <img_0> Если рассмотреть небольшой кусочек стержня (рисунок 2), то под действием изгибного момента $M$ он искривляется так, что часть его слоев растягивается, а часть сжимается. Некоторая линия внутри стержня остается недеформируемой. За счет изгиба в сечении стержня возникают силы упругости, создающие момент сил относительно недеформируемой линии. Этот момент сил уравновешивает момент внешних сил, из за которого возникает изгиб. <img_1> Закон Гука для упругих изгибных деформаций стержня состоит в том, что кривизна малого кусочка стержня пропорциональна изгибному моменту сил: \begin{equation} M=\frac{B}{R}. \end{equation}Будем называть коэффициент пропорциональности изгибной жесткостью стержня. <img_2> В этом случае балка деформируется неоднородно, то есть ее кривизна в каждой точке неодинакова. Изгибный момент внешних сил, действующих на сечение балки, на расстоянии $x$ от линии действия силы $F$, может быть вычислен как: <img_3> Период таких колебаний может быть рассчитан как: <img_4>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": "2,70"}, "text": "Стяните скотчем два конца пластиковой линейки (рисунок 4). Проделайте это так, чтобы к скотчу была обращена сторона линейки с делениями. Расстояние между наиболее удаленной от скотча точки линейки и полоской скотча должно составить в этом упражнении $H_{\max}=9.5~см$. Линейка будет деформирована неоднородно. Измерьте зависимость кривизны $r^{-1}$ поверхности линейки в зависимости от расстояния $h$ между поверхностью и полоской скотча $h$."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": "2,30"}, "text": "Постройте график исследованной зависимости. Как должен вести себя график данной функции теоретически? Можно ли сказать, что полученные экспериментальные данные соответствуют теоретическим предположениям? <img_5>"}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": "2,60"}, "text": "Для разных степеней стягивания линейки (рисунок 5) измерьте кривизну $R^{-1}$ поверхности линейки в максимально удаленной от скотча точке, измерьте силу стягивания концов линейки $F$ и расстояние $H$ между максимальной удаленной от скотча точки поверхности линейки и скотчем. Проведите измерения для нескольких точек из диапазона высот $H$ от $0$ до $H_{\max}$."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": "0,70"}, "text": "Рассчитайте для каждой исследованной степени изгиба линейки величину изгибного момента $M$, действующего на максимально удаленную от скотча точку линейки."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": "1,70"}, "text": "Постройте график зависимости $R^{-1}$ от $M$. Определите изгибную жесткость линейки $B$. <img_6>"}]}
answer: [{"condition": "Стяните скотчем два конца пластиковой линейки (рисунок 4). Проделайте это так, чтобы к скотчу была обращена сторона линейки с делениями. Расстояние между наиболее удаленной от скотча точки линейки и полоской скотча должно составить в этом упражнении $H_{\max}=9.5~см$. Линейка будет деформирована неоднородно. Измерьте зависимость кривизны $r^{-1}$ поверхности линейки в зависимости от расстояния $h$ между поверхностью и полоской скотча $h$. ", "solution": {"text": "Для измерения кривизны поверхности закрепим изогнутую линейку в лапке штатива так, чтобы исследуемая точка поверхности линейки была наивысшей (см. рис. 7). Положим на эту точку изогнутой линейки деревянную линейку. Запустим колебания деревянной линейки. Измерим время $t$ нескольких $N$ колебаний линейки. <img_7> Рассчитаем период колебаний линейки как отношение измеренного времени и количества колебаний, совершенных за это время \begin{equation} T=\frac{t}{N}. \end{equation} Определим по полученным данным кривизну поверхности линейки \begin{equation} r^{-1}=\frac{3gT^2}{l^2\pi^2}, \end{equation} где $l=(51.0\pm0.1) \ см$ — длина деревянной линейки. Оценим погрешность измерения как: \begin{equation} \sigma_{r^{-1}}=r^{-1}\cdot\frac{2\sigma_t}{t}, \end{equation} где погрешность измерения времени оценим как $\sigma_t=0.3 \ с$. Измерим также расстояние $h$ до точки поверхности изогнутой линейки, около которой происходили колебания. Погрешность этого расстояния оценим в $\sigma_h = 5~ мм$, складывая приборную погрешность линейки и неточность определения точки, до которой проводится измерение расстояния. | $h, \~см$ | 6\.6 | 7\.5 | 8\.5 | 10\.0 | 4\.5 | 3\.5 | 5\.5 | 2\.2 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $t, \~с$ | 8 | 9 | 14 | 15 | 3 | 3 | 8 | 2 | | $N$ | 10 | 10 | 15 | 15 | 5 | 5 | 10 | 5 | | $T, \~с$ | 0\.83 | 0\.87 | 0\.93 | 1\.01 | 0\.66 | 0\.62 | 0\.77 | 0\.49 | | $r^{\-1}, \~м^{\-1}$ | 7\.9 | 8\.6 | 9\.8 | 11\.8 | 5\.0 | 4\.5 | 6\.7 | 2\.7 | | $\\sigma\_{r^{\-1}}, \~м^{\-1}$ | 0\.6 | 0\.6 | 0\.4 | 0\.5 | 0\.9 | 0\.9 | 0\.5 | 0\.7 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $h, \~см$ | 6\.6 | 7\.5 | 8\.5 | 10\.0 | 4\.5 | 3\.5 | 5\.5 | 2\.2 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $t, \~с$ | 8 | 9 | 14 | 15 | 3 | 3 | 8 | 2 | | $N$ | 10 | 10 | 15 | 15 | 5 | 5 | 10 | 5 | | $T, \~с$ | 0\.83 | 0\.87 | 0\.93 | 1\.01 | 0\.66 | 0\.62 | 0\.77 | 0\.49 | | $r^{\-1}, \~м^{\-1}$ | 7\.9 | 8\.6 | 9\.8 | 11\.8 | 5\.0 | 4\.5 | 6\.7 | 2\.7 | | $\\sigma\_{r^{\-1}}, \~м^{\-1}$ | 0\.6 | 0\.6 | 0\.4 | 0\.5 | 0\.9 | 0\.9 | 0\.5 | 0\.7 | Ответ: $h, ~см$6.67.58.510.04.53.55.52.2$t, ~с$8914153382$N$1010151555105$T, ~с$0.830.870.931.010.660.620.770.49$r^{-1}, ~м^{-1}$7.98.69.811.85.04.56.72.7$\sigma_{r^{-1}}, ~м^{-1}$0.60.60.40.50.90.90.50.7"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "2,70"}, {"condition": "Постройте график исследованной зависимости. Как должен вести себя график данной функции теоретически? Можно ли сказать, что полученные экспериментальные данные соответствуют теоретическим предположениям? ", "solution": {"text": "Видно, что данные могут быть описаны прямой пропорциональностью. Последнее несложно объяснить с теоретической точки зрения. Если сила, стягивающая линейку, равна $F$, то ее момент относительно сечения, находящегося на удалении $h$ от скотча, равен:\begin{equation} M=F\cdot h. \end{equation}В соответствии с законом Гука для изгибной деформации, кривизна поверхности прямо пропорциональна моменту изгибных сил. То есть, как и получено в эксперименте, кривизна линейки прямо пропорциональна расстоянию $h$."}, "answer": {"answers": ["<img_8>  Видно, что данные могут быть описаны прямой пропорциональностью. Последнее несложно объяснить с теоретической точки зрения. Если сила, стягивающая линейку, равна $F$, то ее момент относительно сечения, находящегося на удалении $h$ от скотча, равен:\begin{equation} M=F\cdot h. \end{equation}В соответствии с законом Гука для изгибной деформации, кривизна поверхности прямо пропорциональна моменту изгибных сил. То есть, как и получено в эксперименте, кривизна линейки прямо пропорциональна расстоянию $h$."]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "2,30"}, {"condition": "Для разных степеней стягивания линейки (рисунок 5) измерьте кривизну $R^{-1}$ поверхности линейки в максимально удаленной от скотча точке, измерьте силу стягивания концов линейки $F$ и расстояние $H$ между максимальной удаленной от скотча точки поверхности линейки и скотчем. Проведите измерения для нескольких точек из диапазона высот $H$ от $0$ до $H_{\max}$. ", "solution": {"text": "Измерим таким же образом кривизну поверхности линейки в наиболее удаленной от скотча точке при разных степенях изгиба. Будем измерять время $N_0=10$ колебаний линейки. Для каждой степени изгиба измерим размер $H$. Измерим также силу стягивания концов линейки с помощью весов (рисунок 8). Для этого сначала обнулим показания весов, предварительно положив на них пластиковую линейку. <img_9> Снимем линейку с весов. Стянем ее концы скотчем и поставим обратно на весы так, чтобы полоска скотча приняла вертикальное положение. Надавим на верхний конец линейки так, чтобы скотч начал провисать, то есть его сила натяжения обратилась в 0. Запишем показания весов $m^*$. Cила, действующая на платформу весов, будет равна силе, стягивающей концы линейки. Для ее вычисления умножим показания весов на ускорение свободного падения $g$: \begin{equation} F=m^*g. \end{equation} Занесем измерения в таблицу в п. A4. Рассчитаем кривизну линейки в наиболее удаленной от скотча точке."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A3", "exponent_part": "2,60"}, {"condition": "Рассчитайте для каждой исследованной степени изгиба линейки величину изгибного момента $M$, действующего на максимально удаленную от скотча точку линейки. ", "solution": {"text": "Рассчитаем момент силы стягивания относительно этой точки как: \begin{equation} M=F\cdot H=m^*g\cdot H. \end{equation} Для оценки погрешности момента стягивающих сил сложим относительные погрешности показаний весов и плеча силы $H$: \begin{equation} \sigma_M=M\Big(\frac{\sigma_{m^*}}{m}+\frac{\sigma_{H}}{H}\Big), \end{equation} где погрешность показаний весов оценим в $\sigma_{m*}=10~г$, так как сила меняется в небольших пределах по мере провисания скотча. | $H, \~см$ | $m^\*, \~г$ | $t, \~с$ | $M, \~Н \\cdot м$ | $1/R, \~м^{\-1}$ | $\\sigma\_{1/R}, \~м^{\-1}$ | $\\sigma\_M, \~Н\\cdot м$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 3\.7 | 479 | 6 | 0\.170 | 3\.68 | 0\.39 | 0\.008 | | 5\.2 | 485 | 7 | 0\.250 | 5\.58 | 0\.48 | 0\.010 | | 6\.5 | 499 | 8 | 0\.320 | 6\.63 | 0\.52 | 0\.011 | | 7\.5 | 510 | 9 | 0\.380 | 8\.29 | 0\.59 | 0\.012 | | 8\.5 | 526 | 10 | 0\.440 | 10\.55 | 0\.66 | 0\.013 | | 9\.5 | 540 | 11 | 0\.500 | 12\.89 | 0\.73 | 0\.015 |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $H, \~см$ | $m^\*, \~г$ | $t, \~с$ | $M, \~Н \\cdot м$ | $1/R, \~м^{\-1}$ | $\\sigma\_{1/R}, \~м^{\-1}$ | $\\sigma\_M, \~Н\\cdot м$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 3\.7 | 479 | 6 | 0\.170 | 3\.68 | 0\.39 | 0\.008 | | 5\.2 | 485 | 7 | 0\.250 | 5\.58 | 0\.48 | 0\.010 | | 6\.5 | 499 | 8 | 0\.320 | 6\.63 | 0\.52 | 0\.011 | | 7\.5 | 510 | 9 | 0\.380 | 8\.29 | 0\.59 | 0\.012 | | 8\.5 | 526 | 10 | 0\.440 | 10\.55 | 0\.66 | 0\.013 | | 9\.5 | 540 | 11 | 0\.500 | 12\.89 | 0\.73 | 0\.015 | Ответ: $H, ~см$$m^*, ~г$$t, ~с$$M, ~Н \cdot м$$1/R, ~м^{-1}$$\sigma_{1/R}, ~м^{-1}$$\sigma_M, ~Н\cdot м$3.747960.1703.680.390.0085.248570.2505.580.480.0106.549980.3206.630.520.0117.551090.3808.290.590.0128.5526100.44010.550.660.0139.5540110.50012.890.730.015"]}, "number_part": "A4", "exponent_part": "0,70"}, {"condition": "Постройте график зависимости $R^{-1}$ от $M$. Определите изгибную жесткость линейки $B$. ", "solution": {"text": "Построим график зависимости кривизны точки линейки от момента изгибных сил, действующих в этом сечении. Видно, что точки на графике могут быть описаны прямой пропорциональностью, обратный угловой коэффициент которой равен коэффициенту изгибной жесткости линейки: Заметим, что прямая, аппроксимирующая точки графика, может и не проходить через начало координат. Такой эффект при корректных измерениях связан с наличием у линейки начальной изгибной деформации."}, "answer": {"answers": ["<img_10>  Видно, что точки на графике могут быть описаны прямой пропорциональностью, обратный угловой коэффициент которой равен коэффициенту изгибной жесткости линейки:", "Ответ: $$ B = (4.3\pm0.4)\cdot10^{-2} \ \text{Н}\cdot\text{м}^{2} $$  Заметим, что прямая, аппроксимирующая точки графика, может и не проходить через начало координат. Такой эффект при корректных измерениях связан с наличием у линейки начальной изгибной деформации."]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "1,70"}]