text: {"text": [{"text": "На пружинке жесткости $k$ висит груз (см. рисунок). <img_0> К грузу прикреплена горизонтально расположенная медная рейка $A B$ длины $l$. Рейка может скользить без трения по неподвижным вертикальным проводящим рельсам $A K$ и $B P$, имея с ними хороший электрический контакт. К рельсам с помощью проводов подсоединен конденсатор емкости $C$. Система находится в однородном магнитном поле, вектор индукции $\vec{B}$ которого перпендикулярен рейке и рельсам."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Найдите период вертикальных колебаний груза. Масса груза с рейкой равна $m$. Сопротивление рейки, рельсов и проводов можно не учитывать."}]}
answer: [{"condition": "Найдите период вертикальных колебаний груза. ", "solution": {"text": "Направим ось $x$ вниз, поместив начало координат в точку, соответствующую равновесному положению груза. Пусть в некоторый момент груз имеет координату $x$. Уравнение движения: $$ m \ddot{x}=-B I l-k\left(x+x_{0}\right)+m g. $$ Здесь $I$ — сила тока в цепи, $x_{0}$ — удлинение пружины в положении равновесия, причем $k x_{0}=m g$. В любой момент времени напряжение на конденсаторе равно ЭДС индукции в рейке: $$ q / C=B \dot{x} l, $$ где $q$ — заряд конденсатора. Находим $I=\dot{q}=B l C \ddot{x}$. Исключив из записанных уравнений $x_{0}$ и $I$, получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний для величины $x$: $$ \ddot{x}+\frac{k}{m+B^{2} l^{2} C} x=0. $$ Период колебаний $T=2 \pi \sqrt{\left(m+B^{2} l^{2} C\right) / k}$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ T=2 \pi \sqrt{\left(m+B^{2} l^{2} C\right) / k}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]