text: {"text": [{"text": "Как известно, Солнце не является точечным источником света, а имеет малый угловой диаметр (при наблюдении с Земли) $2 \delta=0.52^{\circ}$. Этот факт приводит к тому, что область полной тени за Землей оказывается конечной. <img_0>"}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Пусть рефракция (явление преломления солнечных лучей в земной атмосфере) отсутствует. На каком расстоянии $L_{1}$ от Земли еще будет наблюдаться полная тень? Найдите продолжительность полного лунного затмения в этом случае."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "В действительности рефракция оказывает существенное влияние на размер области полной тени. Пусть атмосфера Земли имеет приведенную высоту $h=8~км$ и средний показатель преломления $n=1.00028$. Полагая, что границу тени образуют лучи, идущие по касательной к поверхности Земли, определите, на каком максимальном расстоянии $L_{2}$ теперь будет наблюдаться полная тень? Какая часть площади лунного диска окажется затенена? Полагая, что границу тени образуют лучи, идущие по касательной к поверхности Земли, определите, на каком максимальном расстоянии $L_{2}$ теперь будет наблюдаться полная тень? Какая часть площади лунного диска окажется затенена? Полагая, что границу тени образуют лучи, идущие по касательной к поверхности Земли, определите, на каком максимальном расстоянии $L_{2}$ теперь будет наблюдаться полная тень? Какая часть площади лунного диска окажется затенена? Полагая, что границу тени образуют лучи, идущие по касательной к поверхности Земли, определите, на каком максимальном расстоянии $L_{2}$ теперь будет наблюдаться полная тень? Какая часть площади лунного диска окажется затенена? Полагая, что границу тени образуют лучи, идущие по касательной к поверхности Земли, определите, на каком максимальном расстоянии $L_{2}$ теперь будет наблюдаться полная тень? Какая часть площади лунного диска окажется затенена? Полагая, что границу тени образуют лучи, идущие по касательной к поверхности Земли, определите, на каком максимальном расстоянии $L_{2}$ теперь будет наблюдаться полная тень? Какая часть площади лунного диска окажется затенена? Полагая, что границу тени образуют лучи, идущие по касательной к поверхности Земли, определите, на каком максимальном расстоянии $L_{2}$ теперь будет наблюдаться полная тень? Какая часть площади лунного диска окажется затенена? Радиус Земли $R=6400~км$, ускорение свободного падения $g=9.8~м/с^{2}$, угловой диаметр Луны равен угловому диаметру Солнца $2 \delta$, период обращения Луны вокруг Земли $T_{0}=27.3~сут$."}]}
answer: [{"condition": "Пусть рефракция (явление преломления солнечных лучей в земной атмосфере) отсутствует. На каком расстоянии $L_{1}$ от Земли еще будет наблюдаться полная тень? Найдите продолжительность полного лунного затмения в этом случае. ", "solution": {"text": "В отсутствие рефракции лучи сходятся под тем же углом, под которым Солнце видно с Земли, то есть $2 \delta$, поэтому $L_{1}=R / \delta \approx 1.4 \cdot 10^{6}~км$. Из второго закона Ньютона для движения Луны по орбите радиуса $R_{0}$ с угловой скоростью $\omega_{0}$ : $\omega_{0}=\frac{2 \pi}{T_{0}}=\sqrt{\frac{G M_{3}}{R_{0}^{3}}}=\sqrt{\frac{g R^{2}}{R_{0}^{3}}}, \quad$ откуда $\quad R_{0}=\sqrt[3]{\frac{g T_{0}^{2} R^{2}}{4 \pi^{2}}} \approx 384~тыс. км.$ Отсюда находим диаметр Луны $D=2 \delta R_{0}=3.45 \cdot 10^{3}~км$, а также диаметр темного пятна на уровне Луны (см. рисунок ниже): $$ D_{1}=2 R\left(1-\frac{R_{0}}{L_{1}}\right) \approx 9.3 \cdot 10^{3}~км. $$ <img_1> Тогда продолжительность полного лунного затмения: $$ T=\frac{D_{1}-D_{2}}{\omega_{0} R_{0}}=T_{0} \frac{D_{1}-D_{2}}{2 \pi R_{0}} \approx 1.6~ч. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $L_{1}=R / \delta \approx 1.4 \cdot 10^{6}~км$. $T=T_{0} \frac{D_{1}-D_{2}}{2 \pi R_{0}} \approx 1.6~ч. $"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "В действительности рефракция оказывает существенное влияние на размер области полной тени. Пусть атмосфера Земли имеет приведенную высоту $h=8~км$ и средний показатель преломления $n=1.00028$.  Полагая, что границу тени образуют лучи, идущие по касательной к поверхности Земли, определите, на каком максимальном расстоянии $L_{2}$ теперь будет наблюдаться полная тень? Какая часть площади лунного диска окажется затенена? ", "solution": {"text": "Запишем закон Снелла при преломлении луча на границе с атмосферой: $$ \sin \left(\frac{\pi}{2}-\varphi\right)=n\left(\frac{\pi}{2}-\gamma\right) . $$ Учитывая, что $n=1+\Delta n$, где $\Delta n=2.8 \cdot 10^{-4} \ll 1$, а также используя приближение малых углов, перепишем формулу в виде $$ 1-\frac{\varphi^{2}}{2}=(1+\Delta n)\left(1-\frac{\gamma^{2}}{2}\right) . $$ Раскроем скобки, пренебрегая слагаемым третьего порядка малости: $\left(\gamma^{2}-\varphi^{2}\right) / 2=\Delta n$, что можно приближённо записать как $\gamma(\gamma-\varphi)=\Delta n$, откуда находим угол отклонения луча: $$ \Delta \varphi=\gamma-\varphi=\frac{\Delta n}{\gamma}. $$ <img_2> Как видно из рисунка выше, $\cos \gamma=R /(R+h)$, откуда $$ \gamma \approx \sin \gamma=\sqrt{1-\left(\frac{R}{R+h}\right)^{2}} \approx \frac{\sqrt{2 R h}}{R+h} \approx \sqrt{\frac{2 h}{R}}. $$ Луч претерпевает два одинаковых отклонения: при входе в атмосферу и при выходе из неё, поэтому результирующий угол будет равен $2 \Delta \varphi$. Таким образом, в условиях рефракции угол $\psi$, под которым сходятся солнечные лучи, оказывается равным $\psi=2 \delta+4 \varphi$. Окончательно получим $$ L_{2}=\frac{2 R}{2 \delta+4 \Delta \varphi}=\frac{R}{\delta+\Delta n \sqrt{2 R / h}} \approx 408~тыс. км. $$ Отсюда находим диаметр тёмного пятна на Луне: $$ D_{2}=2 R\left(1-\frac{R_{0}}{L_{2}}\right) \approx 753~км $$ и искомое отношение площадей $\varepsilon=\left(D_{2} / D\right)^{2} \approx 4.8 \%$."}, "answer": {"answers": ["Ответ: $L_{2}=\frac{R}{\delta+\Delta n \sqrt{2 R / h}} \approx 408~тыс. км.$ $\varepsilon=\left(D_{2} / D\right)^{2} \approx 4.8 \%$."]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]