text: {"text": [{"text": "<img_0> Оптическая система микроскопа включает в себя линзу, показанную на рисунке. Поверхности такой линзы сферические, причём центром левой поверхности $S_1$ является точка $C_1$, а её радиус равен $R_1$; центр правой поверхности $S_2$ — точка $C_2$, её радиус $R_2$. Показатель преломления стекла относительно воздуха равен $n$m а расстояние между центрами двух сфер составляет $C_1C_2=\frac{R_2}{n}$. Пусть объект находится в точке $C_1$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Покажите, что весь свет, прошедший через линзу, сфокусируется в некоторой точке $Q$."}]}
answer: [{"condition": "Покажите, что весь свет, прошедший через линзу, сфокусируется в некоторой точке $Q$. ", "solution": {"text": "<img_1> Свет, излучаемый источником в точке $C_1$, при попадании в линзу сначала пересечёт поверхность $S_1$. Так как $C_1$ является центром $S_1$, то все лучи будут проходить через $S_1$ без преломления и после этого падать на $S_2$. Рассмотрим преломление лучей на поверхности $S_2$. Обозначим для луча $C_1P$, составляющего с главной оптической осью системы угол $\theta$, угол падения как $i$, а угол преломления — как $r$, как показано на рисунке выше. Из закона Снеллиуса:\[n\sin i=\sin r.\]Из теоремы синусов для треугольника $\triangle C_1PC_2$ получим\[\frac{C_2P}{\sin\theta}=\frac{C_1C_2}{\sin i}.\]Учитывая, что $C_2P=R_2$ и $C_1C_2=\frac{R_2}{n}$, из предыдущих равенств получаем\[\frac{R_2}{\sin\theta}=\frac{R_2}{n\sin i}\implies n\sin i=\sin\theta.\]Таким образом,\[r=\theta.\] Обозначим угол между $C_2P$ и главной оптической осью как $\varphi$, тогда\[\varphi=\theta+i=r+i.\]Из этого равенства видно, что при $i\neq0$ выполняется $r<\varphi$. Это значит, что продолжение преломлённого луча пересекает главную оптическую ось систему в некоторой точке $Q$. Обозначим $\angle PQC_2=\psi$. Тогда\[\psi=\varphi-\angle QPC_2=\varphi-r=i.\]Из теоремы синусов для треугольника $\triangle PQC_1$ следует, что\[\frac{QC_2}{\sin r}=\frac{C_2P}{\sin\psi},\]откуда\[QC_2=C_2P\frac{\sin r}{\sin\psi}=nR_2.\] В силу произвольности рассматриваемого луча полученное значение $QC_2$ не зависит от угла $\theta$. Это значит, что все лучи света, падающие на $S_2$, пересекутся в точке $Q$, и расстояние $Q$ и $C_2$ равно $nR_2$."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}]