text: {"text": [{"text": "В этой задаче вам предстоит изучить изгибную деформацию. Под изгибной деформацией понимают искривление осей различных стержней (и балок). Изгибная деформация в точке характеризуется радиусом кривизны оси стержня. Для произвольной кривой изогнутой в одной плоскости (см. рис. 1) радиус кривизны рассчитывается как отношение малой длины дуги кривой $\mathrm dl$ к величине изменения угла направления касательной к ней $\mathrm d\alpha$: \begin{equation} R=\frac{\mathrm dl}{\mathrm d\alpha}. \end{equation}Величину $R^{-1}$, обратную радиусу кривизны называют кривизной. <img_0> Если рассмотреть небольшой кусочек стержня (рис. 2), то под действием изгибного момента $M$ он искривляется так, что часть его слоев растягивается, а часть сжимается. Некоторая линия внутри стержня остается недеформируемой. За счет изгиба в сечении стержня возникают силы упругости, создающие момент сил относительно недеформируемой линии. Этот момент сил уравновешивает момент внешних сил, из за которого возникает изгиб. <img_1> Закон Гука для упругих изгибных деформаций можно записать в следующем виде: \begin{equation} M=\frac{B}{R}, \end{equation}где $\cfrac{1}{R}$ — кривизна малого кусочка стержня, $M$ — изгибный момент сил. <img_2> В этом случае балка деформируется неоднородно, то есть ее кривизна в каждой точке неодинакова. Изгибный момент внешних сил, действующих на сечение балки, находящееся на расстоянии $x$ по горизонтали от места приложения силы $F$, может быть вычислен как:\begin{equation} M=Fx. \end{equation} <img_3>"}, {"balls": {"number": "A1", "exponent": null}, "text": "Стяните скотчем два конца пластиковой линейки (рис. 4). Расстояние между наиболее удаленной от скотча точки линейки и полоской скотча должно составить в этом упражнении $H_{\max}=9.5~см$. Линейка будет деформирована неоднородно. Измерьте зависимость кривизны $r^{-1}$ поверхности линейки в зависимости от расстояния $h$ между поверхностью и полоской скотча."}, {"balls": {"number": "A2", "exponent": null}, "text": "Постройте график исследованной зависимости. Как должен вести себя график данной функции теоретически? Можно ли сказать, что полученные экспериментальные данные соответствуют теоретическим предположениям? <img_4>"}, {"balls": {"number": "A3", "exponent": null}, "text": "Для разных степеней стягивания линейки (рисунок 5) измерьте кривизну $R^{-1}$ поверхности линейки в максимально удаленной от скотча точке, а также расстояние $H$ между этой точкой поверхности линейки и скотчем."}, {"balls": {"number": "A4", "exponent": null}, "text": "Рассчитайте для каждой исследованной степени стягивания линейки величину изгибного момента $M$, действующего на максимально удаленную от скотча точку линейки."}, {"balls": {"number": "A5", "exponent": null}, "text": "Постройте график зависимости $R^{-1}$ от $M$. Определите изгибную жесткость линейки $B$. Пластиковая линейка может направленно отражать лазерный луч. <img_5>"}]}
answer: [{"condition": "Стяните скотчем два конца пластиковой линейки (рис. 4). Расстояние между наиболее удаленной от скотча точки линейки и полоской скотча должно составить в этом упражнении $H_{\max}=9.5~см$. Линейка будет деформирована неоднородно. Измерьте зависимость кривизны $r^{-1}$ поверхности линейки в зависимости от расстояния $h$ между поверхностью и полоской скотча. ", "solution": {"text": "Для измерения кривизны поверхности воспользуемся тем фактом, что поверхность линейки направленно отражает свет. При изменении угла наклона поверхности отраженный луч изменяет свое направление на угол в два раза превышающий угол изменения наклона поверхности. Соберем установку, изображенную на рисунке 1. <img_6> В качестве источника направленного излучения света будем использовать лазерную указку. Уменьшим сечение лазерного лучика, наклеив на выходной торец указки малярный скотч и проткнув его иглой. Зажмем кнопку лазерной указки с помощью канцелярского зажима и установим лазерную указку на стол. Закрепим на столе деревянную линейку с помощью скотча в качестве направляющей, по которой будет скользить металлическая линейка. К металлической линейке прикрепим два магнита. Стянем концы пластиковой линейки, как описано в условии, и закрепим на линейке два малых канцелярских зажима. Присоединим зажимы к магнитам на линейке. Таким образом, получим конструкцию, в которой пластиковая линейка может двигаться поступательно вдоль направляющей деревянной линейки. Установим пластиковую линейку так, чтобы луч лазера попадал на исследуемую область поверхности линейки. Для фиксации хода лучей лазера закрепим горизонтально на столе лист бумаги. Найдем направление, в котором отражается лазерный луч от искривленной поверхности и отметим это направление на листе бумаги. Отметим на поверхности пластиковой линейки точку, от которой происходило отражение. Сдвинем металлическую линейку вдоль направляющей на расстояние приблизительно равное $2~см$. Вновь отметим направление хода отраженного от пластиковой линейки луча, также отметим на поверхности исследуемой линейки точку, от которой происходит отражение. Измерим угол $\mathrm d\beta$ между лучами, отраженными от двух разных точек поверхности линейки. Измерим также расстояние $\mathrm dl$ (длину кривой) между этими точками. Угол изменения направления касательной к кривой в два раза меньше угла $\mathrm d\beta$. Таким образом, кривизна поверхности в этой точке, находящейся приблизительно посередине между двумя точками отражения, может быть рассчитана как: \begin{equation}r^{-1}=\frac12\frac{\mathrm d\beta}{\mathrm dl}.\end{equation} Измерим также расстояние $h$ до точки поверхности линейки, находящей посередине между отмеченными точками, от которых происходило отражение луча. Погрешность этого расстояния оценим в $\sigma_h = 2$ мм, складывая приборную погрешность линейки и неточность определения точки, до которой проводится измерение расстояния. Для оценки погрешности кривизны поверхности сложим относительные погрешности длины дуги $\mathrm dl$ и угла $\mathrm d\beta$: \begin{equation}\sigma_{r^{-1}}=r^{-1}\Big(\frac{\sigma_{\mathrm d\beta}}{\mathrm d\beta}+\frac{\sigma_{\mathrm dl}}{\mathrm dl}\Big),\end{equation} где $\sigma_{\mathrm d\beta} = 1^\circ$ (цена деления транспортира), $\sigma_{\mathrm dl} = 1~мм$ (цена деления линейки). Занесем измеренные данные в таблицу, проведем расчеты кривизны поверхности в разных точках линейки и построим график зависимости кривизны поверхности от расстояния $h$. | $h,\~см$ | $9\.5$ | $8\.0$ | $6\.5$ | $4\.8$ | $3\.2$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $\\mathrm dl,\~см$ | $2\.0$ | $2\.1$ | $2\.1$ | $2\.0$ | $1\.8$ | | $\\mathrm d\\beta,\~{}^\\circ$ | $24$ | $21$ | $17$ | $12$ | $7$ | | $r^{\-1},\~м^{\-1}$ | $10\.7$ | $8\.9$ | $7\.0$ | $5\.3$ | $3\.2$ | | $\\sigma\_{r^{\-1}},\~м^{\-1}$ | $1\.0$ | $0\.8$ | $0\.7$ | $0\.7$ | $0\.7$ |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $h,\~см$ | $9\.5$ | $8\.0$ | $6\.5$ | $4\.8$ | $3\.2$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $\\mathrm dl,\~см$ | $2\.0$ | $2\.1$ | $2\.1$ | $2\.0$ | $1\.8$ | | $\\mathrm d\\beta,\~{}^\\circ$ | $24$ | $21$ | $17$ | $12$ | $7$ | | $r^{\-1},\~м^{\-1}$ | $10\.7$ | $8\.9$ | $7\.0$ | $5\.3$ | $3\.2$ | | $\\sigma\_{r^{\-1}},\~м^{\-1}$ | $1\.0$ | $0\.8$ | $0\.7$ | $0\.7$ | $0\.7$ | Ответ: $h,~см$$9.5$$8.0$$6.5$$4.8$$3.2$$\mathrm dl,~см$$2.0$$2.1$$2.1$$2.0$$1.8$$\mathrm d\beta,~{}^\circ$$24$$21$$17$$12$$7$$r^{-1},~м^{-1}$$10.7$$8.9$$7.0$$5.3$$3.2$$\sigma_{r^{-1}},~м^{-1}$$1.0$$0.8$$0.7$$0.7$$0.7$"]}, "number_part": "A1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Постройте график исследованной зависимости. Как должен вести себя график данной функции теоретически? Можно ли сказать, что полученные экспериментальные данные соответствуют теоретическим предположениям? ", "solution": {"text": "Видно, что данные могут быть описаны прямой пропорциональностью. Последнее несложно объяснить с теоретической точки зрения. Если сила, стягивающая линейку, равна $F$, то ее момент относительно сечения, находящегося на удалении $h$ от скотча, равен:\begin{equation} M=F\cdot h.\end{equation}В соответствии с законом Гука для изгибной деформации, кривизна поверхности прямо пропорциональна моменту изгибных сил. То есть, как и получено в эксперименте, кривизна линейки прямо пропорциональна расстоянию $h$."}, "answer": {"answers": ["<img_7>  Видно, что данные могут быть описаны прямой пропорциональностью. Последнее несложно объяснить с теоретической точки зрения. Если сила, стягивающая линейку, равна $F$, то ее момент относительно сечения, находящегося на удалении $h$ от скотча, равен:\begin{equation} M=F\cdot h.\end{equation}В соответствии с законом Гука для изгибной деформации, кривизна поверхности прямо пропорциональна моменту изгибных сил. То есть, как и получено в эксперименте, кривизна линейки прямо пропорциональна расстоянию $h$."]}, "number_part": "A2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Для разных степеней стягивания линейки (рисунок 5) измерьте кривизну $R^{-1}$ поверхности линейки в максимально удаленной от скотча точке, а также расстояние $H$ между этой точкой поверхности линейки и скотчем. Измерьте силу стягивания концов линейки $F$. Проведите измерения для нескольких точек из диапазона высот $H$ от $0$ до $H_{\max}$. Опишите метод измерения силы.
  
  
  
                  
              
              
  
  
  
                          
  
  
  
  	Измерим таким же образом кривизну в наиболее удаленной от скотча точке поверхности линейки при разных степенях изгиба. Для каждой степени изгиба измерим размер $H$. Измерим также силу стягивания концов линейки с помощью весов (рисунок 2). Для этого сначала обнулим показания весов, предварительно положив на них пластиковую линейку.Снимем линейку с весов. Стянем ее концы скотчем и поставим обратно на весы так, чтобы полоска скотча приняла вертикальное положение. Надавим на верхний конец линейки так, чтобы скотч начал провисать, то есть его сила натяжения обратилась в $0$. Запишем показания весов $m^*$. Cила, действующая на платформу весов, будет равна силе, стягивающей концы линейки. Для ее вычисления умножим показания весов на ускорение свободного падения $g$: \begin{equation} F=m^*g. \end{equation}
  
  
  
  
  Рис. 2. Способ измерения стягивающей силы
  
                          
   Занесем измерения в таблицу. Рассчитаем кривизну линейки в наиболее удаленной от скотча точке.
  
  
  
  Ответ: 
                      
   
  $H,~см$$\mathrm d\beta,~{}^\circ$$\mathrm dl,~ см$$m^* ,~г$$R^{-1},~ м^{-1}$$M,~ Н\cdotм$$\sigma_{R^{-1}},~ м^{-1}$$\sigma_M,~ Н\cdotм$$3.7$$9$$2.0$$479$$3.9$ $0.174$$0.6$$0.013$$5.2$$16$$2.0$$485$$7.0$$0.247$$0.8$$0.015$$6.5$$17$$2.0$$499$$7.2$$0.318$$0.8$$0.016$$7.5$$19$$2.0$$510$$8.3$$0.375$$0.9$$0.017$$8.5$$24$$2.0$$526$$10.5$$0.439$$1.0$$0.019$$9.5$ $28$$2.0$$540$$12.0$$0.503$$1.0$$0.020$
  
  
  
  Примечание: Изменения силы, стягивающей концы линейки, в зависимости от расстояния между концами выражено несущественно. Поэтому даже неаккуратные измерения силы, проводимые с помощью давления на конец линейки рукой, приводят к удовлетворительным результатам. Для более точного исследования будем надавливать на верхний конец линейки, стоящей на весах, муфтой штатива. Для этого необходимо открепить от муфты штатива лапку и вставить в крепление лапки верхний конец исследуемой линейки. Передвигая муфту по стержню штатива и фиксируя ее в некоторых положениях, можно достаточно точно измерить силу стягивания концов линейки в зависимости от расстояния $L$ между концами. После проведения опыта для каждого расстояния $L$ можно отдельно измерить высоту $H$. Таким образом, объединяя результаты двух зависимостей $F(L)$ и $H(L)$ можно получить зависимость $F(H)$.", "solution": {"text": "Измерим таким же образом кривизну в наиболее удаленной от скотча точке поверхности линейки при разных степенях изгиба. Для каждой степени изгиба измерим размер $H$. Измерим также силу стягивания концов линейки с помощью весов (рисунок 2). Для этого сначала обнулим показания весов, предварительно положив на них пластиковую линейку. Снимем линейку с весов. Стянем ее концы скотчем и поставим обратно на весы так, чтобы полоска скотча приняла вертикальное положение. Надавим на верхний конец линейки так, чтобы скотч начал провисать, то есть его сила натяжения обратилась в $0$. Запишем показания весов $m^*$. Cила, действующая на платформу весов, будет равна силе, стягивающей концы линейки. Для ее вычисления умножим показания весов на ускорение свободного падения $g$: \begin{equation} F=m^*g. \end{equation} <img_8> Занесем измерения в таблицу. Рассчитаем кривизну линейки в наиболее удаленной от скотча точке. Примечание: Изменения силы, стягивающей концы линейки, в зависимости от расстояния между концами выражено несущественно. Поэтому даже неаккуратные измерения силы, проводимые с помощью давления на конец линейки рукой, приводят к удовлетворительным результатам. Для более точного исследования будем надавливать на верхний конец линейки, стоящей на весах, муфтой штатива. Для этого необходимо открепить от муфты штатива лапку и вставить в крепление лапки верхний конец исследуемой линейки. Передвигая муфту по стержню штатива и фиксируя ее в некоторых положениях, можно достаточно точно измерить силу стягивания концов линейки в зависимости от расстояния $L$ между концами. После проведения опыта для каждого расстояния $L$ можно отдельно измерить высоту $H$. Таким образом, объединяя результаты двух зависимостей $F(L)$ и $H(L)$ можно получить зависимость $F(H)$. | $H,\~см$ | $\\mathrm d\\beta,\~{}^\\circ$ | $\\mathrm dl,\~ см$ | $m^\* ,\~г$ | $R^{\-1},\~ м^{\-1}$ | $M,\~ Н\\cdotм$ | $\\sigma\_{R^{\-1}},\~ м^{\-1}$ | $\\sigma\_M,\~ Н\\cdotм$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $3\.7$ | $9$ | $2\.0$ | $479$ | $3\.9$ | $0\.174$ | $0\.6$ | $0\.013$ | | $5\.2$ | $16$ | $2\.0$ | $485$ | $7\.0$ | $0\.247$ | $0\.8$ | $0\.015$ | | $6\.5$ | $17$ | $2\.0$ | $499$ | $7\.2$ | $0\.318$ | $0\.8$ | $0\.016$ | | $7\.5$ | $19$ | $2\.0$ | $510$ | $8\.3$ | $0\.375$ | $0\.9$ | $0\.017$ | | $8\.5$ | $24$ | $2\.0$ | $526$ | $10\.5$ | $0\.439$ | $1\.0$ | $0\.019$ | | $9\.5$ | $28$ | $2\.0$ | $540$ | $12\.0$ | $0\.503$ | $1\.0$ | $0\.020$ |"}, "answer": {"answers": ["Ответ: | $H,\~см$ | $\\mathrm d\\beta,\~{}^\\circ$ | $\\mathrm dl,\~ см$ | $m^\* ,\~г$ | $R^{\-1},\~ м^{\-1}$ | $M,\~ Н\\cdotм$ | $\\sigma\_{R^{\-1}},\~ м^{\-1}$ | $\\sigma\_M,\~ Н\\cdotм$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $3\.7$ | $9$ | $2\.0$ | $479$ | $3\.9$ | $0\.174$ | $0\.6$ | $0\.013$ | | $5\.2$ | $16$ | $2\.0$ | $485$ | $7\.0$ | $0\.247$ | $0\.8$ | $0\.015$ | | $6\.5$ | $17$ | $2\.0$ | $499$ | $7\.2$ | $0\.318$ | $0\.8$ | $0\.016$ | | $7\.5$ | $19$ | $2\.0$ | $510$ | $8\.3$ | $0\.375$ | $0\.9$ | $0\.017$ | | $8\.5$ | $24$ | $2\.0$ | $526$ | $10\.5$ | $0\.439$ | $1\.0$ | $0\.019$ | | $9\.5$ | $28$ | $2\.0$ | $540$ | $12\.0$ | $0\.503$ | $1\.0$ | $0\.020$ | Ответ: $H,~см$$\mathrm d\beta,~{}^\circ$$\mathrm dl,~ см$$m^* ,~г$$R^{-1},~ м^{-1}$$M,~ Н\cdotм$$\sigma_{R^{-1}},~ м^{-1}$$\sigma_M,~ Н\cdotм$$3.7$$9$$2.0$$479$$3.9$ $0.174$$0.6$$0.013$$5.2$$16$$2.0$$485$$7.0$$0.247$$0.8$$0.015$$6.5$$17$$2.0$$499$$7.2$$0.318$$0.8$$0.016$$7.5$$19$$2.0$$510$$8.3$$0.375$$0.9$$0.017$$8.5$$24$$2.0$$526$$10.5$$0.439$$1.0$$0.019$$9.5$ $28$$2.0$$540$$12.0$$0.503$$1.0$$0.020$  Примечание: Изменения силы, стягивающей концы линейки, в зависимости от расстояния между концами выражено несущественно. Поэтому даже неаккуратные измерения силы, проводимые с помощью давления на конец линейки рукой, приводят к удовлетворительным результатам. Для более точного исследования будем надавливать на верхний конец линейки, стоящей на весах, муфтой штатива. Для этого необходимо открепить от муфты штатива лапку и вставить в крепление лапки верхний конец исследуемой линейки. Передвигая муфту по стержню штатива и фиксируя ее в некоторых положениях, можно достаточно точно измерить силу стягивания концов линейки в зависимости от расстояния $L$ между концами. После проведения опыта для каждого расстояния $L$ можно отдельно измерить высоту $H$. Таким образом, объединяя результаты двух зависимостей $F(L)$ и $H(L)$ можно получить зависимость $F(H)$."]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Рассчитайте для каждой исследованной степени стягивания линейки величину изгибного момента $M$, действующего на максимально удаленную от скотча точку линейки. ", "solution": {"text": "Рассчитаем момент силы стягивания относительно этой точки как: \begin{equation} M=F\cdot H=m^*g\cdot H. \end{equation}Для оценки погрешности момента стягивающих сил сложим относительные погрешности показаний весов и плеча силы $H$: \begin{equation} \sigma_M=M\Big(\frac{\sigma_{m^*}}{m}+\frac{\sigma_{H}}{H}\Big), \end{equation}где погрешность показаний весов оценим в $\sigma_{m*}=10~г$, так как сила меняется в небольших пределах по мере провисания скотча в процессе измерений. Занесём результаты расчёта в таблицу в п. A3."}, "answer": {"answers": []}, "number_part": "A4", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Постройте график зависимости $R^{-1}$ от $M$. Определите изгибную жесткость линейки $B$. ", "solution": {"text": "Построим график зависимости кривизны точки линейки от момента изгибных сил, действующих в этом сечении. Видно, что точки на графике могут быть описаны прямой пропорциональностью, обратный угловой коэффициент которой равен коэффициенту изгибной жесткости линейки: Заметим, что прямая, аппроксимирующая точки на графике, может и не проходить через начало координат. Такой эффект может проявляться и при корректных измерениях. Он связан с возможным наличием у линейки начальной изгибной деформации. Альтернативным способом измерения радиуса кривизны поверхности в этой задаче может быть наблюдение фокусировки лазерного луча вогнутой поверхностью линейки. В этом случае расстояние между местом падения луча на поверхность линейки и местом фокусировки луча будет равно половине радиуса кривизны поверхности в исследуемой точке."}, "answer": {"answers": ["<img_9>  Видно, что точки на графике могут быть описаны прямой пропорциональностью, обратный угловой коэффициент которой равен коэффициенту изгибной жесткости линейки:", "Ответ: $$ B = (4.3\pm0.4)\cdot10^{-2} \ \text{Н}\cdot\text{м}^{2} $$  Заметим, что прямая, аппроксимирующая точки на графике, может и не проходить через начало координат. Такой эффект может проявляться и при корректных измерениях. Он связан с возможным наличием у линейки начальной изгибной деформации. Альтернативным способом измерения радиуса кривизны поверхности в этой задаче может быть наблюдение фокусировки лазерного луча вогнутой поверхностью линейки. В этом случае расстояние между местом падения луча на поверхность линейки и местом фокусировки луча будет равно половине радиуса кривизны поверхности в исследуемой точке."]}, "number_part": "A5", "exponent_part": "??"}]