text: {"text": [{"text": "Круглую резиновую лодку оттолкнули от берега озера со скоростью $v_{0}$ и она проплыла расстояние $S_{0}$ до остановки. Такую же лодку оттолкнули от берега речки так, что ее скорость в начале свободного плавания оказалась равной $v_{0}$ и была направлена перпендикулярно течению. К моменту остановки относительно воды лодка проплыла путь $S_{1}=\alpha S_{0}$ в системе отсчета, связанной с водой."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "С какой скоростью $V$ относительно берега плыла лодка в тот момент, когда она достигла середины речки, ширина которой $H=\alpha S_{0}$. Считайте, что $\alpha=\frac{5}{4}$, сила сопротивления движению лодки в воде прямо пропорциональна относительной скорости, а скорость течения реки всюду одинакова."}]}
answer: [{"condition": "С какой скоростью $V$ относительно берега плыла лодка в тот момент, когда она достигла середины речки, ширина которой $H=\alpha S_{0}$. ", "solution": {"text": "Пусть $\Delta v$ - изменение скорости $v$ лодки за малый промежуток времени $\Delta t$. Напишем второй закон Ньютона для движения лодки в озере: $$ \frac{m \Delta v}{\Delta t}=-k v $$ $m$ - масса лодки, $k$ - коэффициент пропорциональности между силой сопротивления воды и скоростью лодки. Заметим, что $v \Delta t=\Delta S$ - перемещение лодки за промежуток времени $\Delta t$, поэтому полученное соотношение можно переписать в виде $m \Delta v=-k \Delta S$. Рассмотрим движение лодки в речке. В системе отсчета, связанной с водой, лодка до остановки движется прямолинейно с начальной скоростью $$ v_{1}=\sqrt{v_{0}^{2}+u^{2}} $$ где $u$ - скорость речки (см. рисунок). <img_0> Как и для движения лодки в озере, имеет место соотношение $m v_{1}=k S_{1}$, из которого легко получить $v_{1}=\alpha v_{0}$. Учитывая $(1)$, найдем $v_{0} \sqrt{\alpha^{2}-1}$. Угол $\varphi$ между векторами $\vec{v}_{1}$ и $(-\vec{u})$ определяется соотношениями $$ \begin{aligned} &\sin \varphi=\frac{S_{0}}{S_{1}}=\frac{1}{\alpha} \\ &\cos \varphi=\sqrt{1-\frac{1}{\alpha^{2}}} \end{aligned} $$ Просуммировав уравнение $m \Delta v=-k \Delta S$ по времени движения лодки до середины речки, получим $$ m\left(v_{1}-v_{1}^{\prime}\right)=k \frac{H}{2 \sin \varphi} . $$ Отсюда скорость лодки на середине речки $$ v_{1}^{\prime}=v_{1}-\frac{k H}{2 m \sin \varphi}=\alpha\left(1-\frac{\alpha}{2}\right) v_{0}. $$ Скорость лодки относительно берега в тот же момент времени найдем из теоремы косинусов для треугольника скоростей (см. рисунок ниже): $$ V=\sqrt{u^{2}+v_{1}^{\prime 2}-2 u v_{1}^{\prime} \cos \varphi}=\sqrt{1-\alpha+\frac{\alpha^{4}}{4}} v_{0}=\frac{3}{32} \sqrt{41} v_{0} \approx 0,6 v_{0} $$ <img_1>"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ V=\sqrt{u^{2}+v_{1}^{\prime 2}-2 u v_{1}^{\prime} \cos \varphi} \approx 0,6 v_{0} $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]