text: {"text": [{"text": "По двум параллельным горизонтальным направляющим (см. рисунок), расположенным на расстоянии $l$ друг от друга, могут перемещаться без трения два металлических стержня $A B$ и $C D$, имеющие массу $m$ и электрическое сопротивление $R$ каждый. <img_0> Однородное магнитное поле индукции $B$ направлено перпендикулярно плоскости направляющих. В начальный момент времени стержни расположены на расстоянии $d$ друг от друга и перпендикулярны направляющим. Стержень $C D$ неподвижен, а стержню $A B$ сообщена скорость $v_{0}$, параллельная направляющим, в направлении от $C D$."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "На каком расстоянии друг от друга будут находиться стержни через большой промежуток времени?"}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Сколько теплоты выделится в этой системе через большой промежуток времени? Сопротивлением направляющих можно пренебречь."}]}
answer: [{"condition": "На каком расстоянии друг от друга будут находиться стержни через большой промежуток времени? ", "solution": {"text": "При изменении площади контура $A B C D$, образованного стержнями и направляющими, из-за возникающей ЭДС индукции в системе течёт электрический ток (см. рисунок). <img_1> Силы Ампера действуют таким образом, что тормозят стержень $A B$ и разгоняют $C D$. При выравнивании скоростей $v_{A B}$ и $v_{C D}$ магнитный поток через контур $A B C D$ перестаёт изменяться, исчезают ЭДС индукции и ток в контуре, а с ним и силы Ампера. С этого момента стержни движутся с равными и одинаковыми скоростями. За малый промежуток времени $\Delta t$ изменение площади контура $$ \Delta S=\left(v_{A B}-v_{C D}\right) l \Delta t, $$ а изменение магнитного потока $$ \Delta \Phi=B \Delta S=B\left(v_{A B}-v_{C D}\right) l \Delta t. $$ Тогда ЭДС индукции $$ \left|\mathscr{E}_{И}\right|=\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}=B\left(v_{A B}-v_{C D}\right) l, $$ ток в контуре $$ I_{A B}=I_{C D}=\frac{\left|\mathscr{E}_{И}\right|}{2 R}=\frac{B\left(v_{A B}-v_{C D}\right) l}{2 R}, $$ и силы Ампера равны $$ F_{A B}=F_{C D}=\frac{B^{2} l^{2}\left(v_{A B}-v_{C D}\right)}{2 R}. $$ Ускорения стержней направлены противоположно и равны $$ a=\frac{B^{2} l^{2}\left(v_{A B}-v_{C D}\right)}{2 m R}. $$ С учётом направления ускорения $$ \begin{aligned} &\frac{\Delta v_{A B}}{\Delta t}=-\frac{B^{2} l^{2}\left(v_{A B}-v_{C D}\right)}{2 m R}, \\ &\frac{\Delta v_{C D}}{\Delta t}=\frac{B^{2} l^{2}\left(v_{A B}-v_{C D}\right)}{2 m R}. \end{aligned} $$ Умножая обе части уравнений на $\Delta t$ и учитывая, что изменение расстояния между стержнями $\Delta d=\left(v_{A B}-v_{C D}\right) \Delta t$, получаем $$ \Delta v_{A B}=-\frac{B^{2} l^{2}}{2 m R} \Delta d, \quad \Delta v_{C D}=\frac{B^{2} l^{2}}{2 m R} \Delta d . $$ Тогда $$ v_{A B}=v_{0}-\frac{B^{2} l^{2}}{2 m R} \Delta d, \quad v_{C D}=\frac{B^{2} l^{2}}{2 m R} \Delta d . $$ При выравнивании скоростей $$ v_{0}-\frac{B^{2} l^{2}}{2 m R} \Delta d=\frac{B^{2} l^{2}}{2 m R} \Delta d, $$ отсюда $$ \Delta d=\frac{m v_{0} R}{B^{2} l^{2}}. $$ Окончательно установившееся расстояние между стержнями $$ d^{\prime}=d+\Delta d=d+\frac{m v_{0} R}{B^{2} l^{2}}. $$ Скорости при этом $$ v_{A B}=v_{C D}=v_{0} / 2. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ d^{\prime}=d+\frac{m v_{0} R}{B^{2} l^{2}}. $$"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Сколько теплоты выделится в этой системе через большой промежуток времени? ", "solution": {"text": "В системе выделится теплота $$ Q=\frac{m v_{0}^{2}}{2}-2 \frac{m\left(v_{0} / 2\right)^{2}}{2}=\frac{m v_{0}^{2}}{4}. $$"}, "answer": {"answers": ["Ответ: $$ Q=\frac{m v_{0}^{2}}{4}. $$"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}]