text: {"text": [{"text": "— это устройство, преобразующее энергию пучка электронов в когерентное излучение. Эта технология имеет большие перспективы в науке, производстве и других областях. Как показано на рисунке ниже, лазер на свободных электронах состоит из трёх основных частей: ускорителя электронного пучка, вигглера и оптического резонатора. Основная часть — — состоит из ряда постоянных магнитов, ориентация которых меняется вдоль оси $z$ в пространственным периодом $\Lambda$. Это позволяет создать по оси $x$ постоянное неоднородное магнитное поле\[B=B_0\cos\frac{2\pi z}\Lambda.\]Пучок электронов разгоняется в ускорителе до скорости $v_0$ и с помощью поворотного магнита направляется в вигглер. Под действием магнитного поля вигглера электроны начинают совершать малые колебания по оси $z$, теряя небольшую часть своей энергии на излучение. Масса покоя электрона равна $m_e=9.11\cdot10^{-31}~кг$, его заряд равен $-e$, $e=1.60\cdot10^{-19}~Кл$. Влияние гравитации не учитывайте. <img_0> Помимо лабораторной системы отсчёта $S(x,y,z)$ введём систему отсчёта $S'(x',y',z')$, оси которой параллельны осям $S$ и которая движется относительно неё со скоростью $v_0\vec e_z$. В момент попадания электрона в вигглер $(t=t'=0)$ начала координат обеих систем совпадают."}, {"balls": {"number": "1", "exponent": null}, "text": "Найдите в первом приближении закон движения электрона $(x'(t'),y'(t'),z'(t'))$ в системе отсчёта $S'$. Изобразите качественно траекторию электрона."}, {"balls": {"number": "2", "exponent": null}, "text": "Найдите ускоряющее напряжение $U$, использованное для разгона электронного пучка, если пространственный период структуры вигглера $\Lambda=1.00~мм$, а длина волны генерируемого лазером рентгеновского излучения $\lambda=4.00~\overset\circ{\mathrm A}$. Пусть теперь плоская волна рентгеновского излучения с $\lambda=4.00~\overset\circ{\mathrm A}$, полученная с помощью данного лазера, падает в плоскости $xz$ на ромбический кристалл. В этом кристалле расстояние между соседними атомами равно $d=8.00~\overset\circ{\mathrm A}$, а острый угол при вершинах решётки — $60^\circ$. <img_1>"}, {"balls": {"number": "3", "exponent": null}, "text": "Сколько главных дифракционных максимумов можно наблюдать на бесконечности в плоскости $xz$? Найдите положение каждого из них (определяется углом $\theta$, как на рисунке)."}]}
answer: [{"condition": "Найдите в первом приближении закон движения электрона $(x'(t'),y'(t'),z'(t'))$ в системе отсчёта $S'$. Изобразите качественно траекторию электрона. ", "solution": {"text": "Поле в системе отсчёта $S'$:\[E_{y'}=\frac{v_0}{\sqrt{1-\beta^2}}B_0\cos\left(\frac{2\pi}{\Lambda}z\right),\quad B_{x'}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}B_0\cos\left(\frac{2\pi}{\Lambda}z\right),\]где $\beta=v_0/c$. Из преобразований Лоренца для координат следует\[z=\frac{z'+v_0t'}{\sqrt{1-\beta^2}}.\]Итого:\[E_{y'}=\frac{v_0}{\sqrt{1-\beta^2}}B_0\cos\left(\frac{2\pi}{\Lambda}\frac{z'+v_0t'}{\sqrt{1-\beta^2}}\right),\quad B_{x'}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}B_0\cos\left(\frac{2\pi}{\Lambda}\frac{z'+v_0t'}{\sqrt{1-\beta^2}}\right).\]Поскольку в этой системе отсчёта пространственная амплитуда колебаний электронов мала, действующее на них поле можно брать в точке $z'=0$, поэтому:\[E_{y'}=\frac{v_0B_0}{\sqrt{1-\beta^2}}\cos\omega't',\quad B_{x'}=\frac{B_0}{\sqrt{1-\beta^2}}\cos\omega't',\]где $\omega'=\frac{2\pi v_0}{\Lambda\sqrt{1-\beta^2}}$. Начальные условия для электрона:\[(x',y',z')=(0,0,0),\quad (v_{x'}(0),v_{y'}(0),v_{z'}(0))=(0,0,0).\]Поскольку в системе отсчёта $S'$ движение электрона будет нерелятивистским, уравнения движения имеют вид:\[\begin{cases}m_e\frac{\mathrm d^2y'}{\mathrm dt^{\prime2}}=-e\frac{v_0B_0}{\sqrt{1-\beta^2}}\cos\omega't'-e\frac{B_0}{\sqrt{1-\beta^2}}\frac{\mathrm dz'}{\mathrm dt'}\cos\omega't'\\m_e\frac{\mathrm d^2z'}{\mathrm dt^{\prime2}}=e\frac{B_0}{\sqrt{1-\beta^2}}\frac{\mathrm dy'}{\mathrm dt'}\cos\omega't'\\m_e\frac{\mathrm d^2x'}{\mathrm dt^{\prime2}}=0\end{cases}.\]Поскольку $\frac{\mathrm dz'}{\mathrm dt'}\ll v_0$, то первое уравнение упрощается до:\[m_e\frac{\mathrm d^2y'}{\mathrm dt^{\prime2}}=-e\frac{v_0B_0}{\sqrt{1-\beta^2}}\cos\omega't'\implies\] Подставляя ответ для $y'(t')$ в уравнение на $z'$, получим: Построим параметрически траекторию электрона. Результат показан на рисунке ниже."}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[x'=0,\quad y'=\frac{eB_0\Lambda^2\sqrt{1-\beta^2}}{4\pi^2 v_0m_e}\left[\cos\left(\frac{2\pi v_0t'}{\Lambda\sqrt{1-\beta^2}}\right)-1\right]\]  Подставляя ответ для $y'(t')$ в уравнение на $z'$, получим:", "Ответ: \[z'=\frac{e^2B_0^2\Lambda^3\sqrt{1-\beta^2}}{64\pi^3v_0^2m_e^2}\left[\sin\left(\frac{4\pi v_0t'}{\Lambda\sqrt{1-\beta^2}}\right)-\frac{4\pi v_0t'}{\Lambda\sqrt{1-\beta^2}}\right]\]  Построим параметрически траекторию электрона. Результат показан на рисунке ниже.", "<img_2>"]}, "number_part": "1", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Найдите ускоряющее напряжение $U$, использованное для разгона электронного пучка, если пространственный период структуры вигглера $\Lambda=1.00~мм$, а длина волны генерируемого лазером рентгеновского излучения $\lambda=4.00~\overset\circ{\mathrm A}$. ", "solution": {"text": "Рентгеновское излучение порождается в результате колебаний электронов вдоль оси $y'$, поэтому угловая частота излучения в системе отсчёта $S'$ равна:\[\omega'=\frac{2\pi v_0}{\Lambda\sqrt{1-\beta^2}}.\]В лабораторной системе отсчёта $S$ частота излучения, согласно релятивистскому эффекту Доплера:\[\omega=\frac{2\pi c}{\lambda}=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\omega'=\frac{2\pi v_0}{\Lambda(1-\beta)}\implies v_0=\frac{\Lambda}{\Lambda+\lambda}c\approx\left(1-\frac{\lambda}{\Lambda}\right)c.\]Ускоряющее напряжение:\[eU=\left[\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}-1\right] m_ec^2\approx m_ec^2\sqrt{\frac{\Lambda}{2\lambda}}\implies \]"}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[U=\frac{m_ec^2}e\sqrt\frac\Lambda{2\lambda}=5.73\cdot10^8~В\]"]}, "number_part": "2", "exponent_part": "??"}, {"condition": "Сколько главных дифракционных максимумов можно наблюдать на бесконечности в плоскости $xz$? Найдите положение каждого из них (определяется углом $\theta$, как на рисунке). ", "solution": {"text": "<img_3> \[E(\theta)=\sum_{m=0}^{N_1-1}\sum_{n=0}^{N_2-1}E_{mn}(\theta)=E_{0}\sum_{m=0}^{N_1-1}e^{-2im\beta_1}\sum_{n=0}^{N_2-1}e^{-2in\beta_2}=E_0e^{-i(N_1-1)\beta_1-i(N_2-1)\beta_2}\frac{\sin N_1\beta_1}{\sin\beta_1}\frac{\sin N_2\beta_2}{\sin\beta_2}.\]Интенсивность излучения:\[\mathcal J(\theta)=|E_0^2|\left(\frac{\sin N_1\beta_1}{\sin\beta_1}\right)^2\left(\frac{\sin N_2\beta_2}{\sin\beta_2}\right)^2.\]Таким образом, условия максимума:\[\beta_{1,2}=k_{1,2}\pi,\quad k_{1,2}\in\mathbb Z\implies\begin{cases}d\left(\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta+\frac{1}{2}\cos\theta-\frac{1}{2}\right)=k_1\lambda\\d(\cos\theta-1)=k_2\lambda\end{cases}\implies\\\implies\begin{cases}-1\le\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}+k_1\frac{\lambda}{d}\le1\\-1\le\cos\theta=1+k_2\frac{\lambda}{d}\le1\end{cases}\implies\begin{cases}k_1=-3,-2,-1,0,1\\k_2=-4,-3,-2,-1,0\end{cases}.\]Возможные значения косинуса, удовлетворяющие условию на $k_2$:\[\cos\theta=-1,-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},1.\]Условие на $k_1$ перепишем в виде:\[k_1=2\left(\frac{\sqrt3}{2}\sin\theta+\frac{1}{2}\cos\theta-\frac{1}{2}\right)=\pm\sqrt{3-3\cos^2\theta}+\cos\theta-1\implies\] $\cos\theta=-1\implies k_1=-2\implies \theta=180^\circ$, но этот максимум невозможно наблюдать;$\cos\theta=-\frac{1}{2}\implies k_1=-2,0\implies \theta=\pm120^\circ$;$\cos\theta=0\implies k_1=\pm\sqrt3-1\implies$ нет максимума;$\cos\theta=\frac{1}{2}\implies k_1=-2,1\implies \theta=\pm 60^\circ$;$\cos\theta=1\implies k_1=0\implies \theta=0^\circ$, но этот максимум невозможно наблюдать."}, "answer": {"answers": ["Ответ: 4 максимума: $\theta=\pm60^\circ,\pm120^\circ$."]}, "number_part": "3", "exponent_part": "??"}]