text: {"text": [{"text": "Маленький шарик массой $m$ c зарядом $q_{0}>0$ начинает двигаться из состояния покоя в гравитационном и однородном магнитном полях (см. рисунок). <img_0> Индукция магнитного поля равна $B$, вектор $B$ направлен параллельно поверхности Земли, причем $q c B \gg m g$, где $c$ — скорость света в вакууме."}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "На какое расстояние и в каком направлении шарик сместится от первоначального положения через достаточно большое время $\tau$?"}, {"balls": {"number": "", "exponent": null}, "text": "Какое время $\tau$ можно считать достаточно большим? Шарик в течение всего времени $\tau$ не достигает поверхности Земли."}]}
answer: [{"condition": "На какое расстояние и в каком направлении шарик сместится от первоначального положения через достаточно большое время $\tau$? ", "solution": {"text": "Перейдем в систему отсчета $K$, движущуюся вправо с некоторой скоростью $v_{0}$. В этой системе отсчета появится электрическое поле с напряженностью $E=v_{0} B$, направленное вертикально вверх. Выражение для $E$ можно получить, приравняв силы, действующие на заряд со стороны электромагнитного поля в неподвижной и движущейся системах. Подберем скорость $v_{0}$ такой, чтобы сила электрического поля была равна силе тяжести: $$ q v_{0} B=m g. $$ Отсюда $$ v_{0}=\frac{m g}{q B}. $$ В системе $K$ шарик будет иметь скорость $v_{0}$, направленную вначале влево. Результирующая сила, действующая на шарик, сила со стороны магнитного поля индукцией $B$. В системе $K$ шарик будет двигаться в плоскости чертежа против часовой стрелки со скоростью $v_{0}$ по окружности радиуса $R=\frac{m v_{0}}{q B}$ с периодом $T=\frac{2 \pi m}{q B}$. Относительно Земли шарик будет дрейфовать со скоростью системы $K$, т.е. со скоростью $v_{0}$ и за достаточно большое время $\tau$ $(\tau \gg T)$ сместится относительно Земли вправо на расстояние $l=v_{0} \tau=\frac{m g \tau}{q B}$. Траектория шарика показана на рисунке ниже. <img_1> $\textit{Замечание}$. Задачу можно решить и другим способом, представив скорость шарика $\vec{v}$ в виде суммы $\vec{v}=\vec{v}_{0}+\vec{v}_{1}$, где $\vec{v}_{0}=\operatorname{const}$ и выбрана так, чтобы $q \vec{v}_{0} \times \vec{B}+m \vec{g}=0$, т.е. $\vec{v}_{0}$ направлена вправо. Тогда только скорость $\vec{v}_{1}$ будет отвечать за движение шарика в магнитном поле. В начальный момент $\vec{v}_{1}=\vec{v}_{0}$, и это вызовет движение по окружности радиусом $R=\frac{m v_{0}}{q B}$ с периодом $T=\frac{2 \pi m}{q B}$. Общее движение шарика можно представить как движение по окружности и равномерное движение со скоростью $v_{0}$ вправо."}, "answer": {"answers": ["Ответ: За достаточно большое время $\tau$ шарик сместится относительно Земли вправо на расстояние $$ l=v_{0} \tau=\frac{m g \tau}{q B}. $$"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}, {"condition": "Какое время $\tau$ можно считать достаточно большим? ", "solution": {"text": ""}, "answer": {"answers": ["Ответ: \[\tau\gg\frac{2\pi m}{qB}\]"]}, "number_part": "", "exponent_part": null}]