text: Reaalarvud on kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud ehk kõik positiivsed ja negatiivsed arvud ja null ehk kõik algebralised arvud ja transtsendentsed arvud. Reaalarvud moodustavad reaalarvude hulga ehk R ning tähtsaima arvuvalla matemaatikas. Reaalarvud on konstrueeritud nii, et oleks võimalik loomulik üksühene vastavus reaalarvude hulga ja sirge (arvsirge) punktide hulga vahel. Sellepärast samastatakse reaalarvude hulk mõnikord arvsirgega. Nimetus "reaalarv" ('tegelik arv') iseloomustab erinevust imaginaararvudest. Reaalarvu mõiste väljakujunemine võttis palju aega. Vana-Kreeka matemaatikas Pythagorase koolkonnas, kus kõige aluseks peeti naturaalarve ja nende suhteid, avastati, et on olemas ühismõõdutud suurused (ruudu külje ja diagonaali ühismõõdutus), tänapäeva mõistes avastati arvud, mis ei ole ratsionaalarvud. Eudoxos püüdis välja töötada ühismõõdutute suurustega opereerivat teooriat. 19. sajandi 2. poolel formuleeriti matemaatiline analüüs kõrgemal rangusastmel ning selle käigus töötasid Karl Weierstraß, Richard Dedekind, Georg Cantor, Eduard Heine ja Charles Méray välja reaalarvude range teooria. Tänapäeva matemaatika seisukohast moodustab reaalarvude hulk pideva järjestatud korpuse. See definitsioon või sellega samaväärne aksiomaatika määratleb reaalarvud üheselt: isomorfismi täpsusega leidub ainult üks pidev järjestatud korpus. Kõikide reaalarvude hulga tavaline tähis on (R) või ka või R. Reaalarvude konstruktsioonid Reaalarvude konstruktsioonid ehk konstruktiivsed definitsioonid on sellised reaalarvude defineerimise viisid, mille korral võetakse aluseks ratsionaalarvud või muud matemaatilised objektid, mis loetakse antuks. Neist konstrueeritakse uued objektid, mis vastavad meie intuitiivsele arusaamale irratsionaalarvudest ja mida nimetatakse irratsionaalarvudeks, ja lisatakse need ratsionaalarvudele. Erinevalt nendest konstruktsioonidest mõistetakse reaalarve ainult intuitiivselt ja need ei ole esialgu rangelt defineeritud matemaatiline mõiste. Ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud kokku moodustavad reaalarvud. Nendel defineeritakse põhitehted ja järjestus ning tõestatakse nende omadused. Ajalooliselt esimesed reaalarvude ranged definitsioonid olidki konstruktiivsed. Aastal 1872 avaldati üheaegselt kolm tööd – Georg Cantori fundamentaaljadade teooria, Karl Weierstrassi teooria (tänapäevases variandis lõpmatute kümnendmurdude teooria) ning Richard Dedekindi lõigete teooria ratsionaalarvude vallas. Cantori fundamentaaljadade teooria Allpool esitatud lähenemise reaalarvude defineerimisele esitas Georg Cantor 1872. aastal avaldatud artiklis. Sarnaseid ideid väljendasid Eduard Heine ja Charles Mérais. Kokkuvõte Selles lähenemises defineeritakse arv ratsionaalarvude jada piirväärtusena. Et ratsionaalarvude jada koonduks, asetatakse sellele Cauchy tingimus: Selle tingimuse mõte seisneb selles, et jada liikmed on alates teatud numbrist üksteisele kui tahes lähedal. Jadasid, mis seda tingimust rahuldavad, nimetatakse fundamentaaljadadeks ehk Cauchy jadadeks. Reaalarvu, mille defineerib ratsionaalarvude fundamentaaljada , tähistame . Kaht reaalarvu ja , mis on defineeritud vastavalt fundamentaaljadadele ja , nimetatakse võrdseteks, kui Kui on antud kaks reaalarvu ja , siis nende summaks ja korrutiseks nimetatakse arve, mis on defineeritud vastavalt jadade ja : summa ja korrutisena. Järjestusseos reaalarvude hulgal kehtestatakse kokkuleppega, mille järgi arv on definitsiooni kohaselt suurem arvust ehk , kui Reaalarvude hulga konstrueerimine fundamentaaljadade kaudu on mis tahes meetrilise ruumi täielikustamise konstruktsioon. Nagu ka üldjuhul, on täielikustamise tulemuseks saadud reaalarvude hulk ise juba täielik, st temasse kuuluvad kõigi tema elementide fundamentaaljadade piirväärtused. Cauchy koonduvuskriteerium ja selle kasutamine Cantoril Cantori teooria lähtekoht oli järgmine idee. Iga reaalarvu saab esitada ratsionaalarvude lõpmatu jada abil, mille liikmed on selle reaalarvu lähendid kasvava täpsusastmega, nii et see jada koondub selleks arvuks. Mõistame nüüd reaalarvu all mingit objekti , mille defineerib ratsionaalarvude koonduv jada . Ent siin peitub vigane ring. Koonduva jada definitsioonis figureerib reaalarv, mis on selle jada piirväärtus – seesama mõiste, mille me koonduvate jadade abil tahame defineerida: koondub leidub , nõnda et Et vigast ringi ei tekiks, on tarvis leida mingi tunnus, mis võimaldab väljendada jada koonduvuse tingimust selle jada liikmete kaudu, see tähendab mainimata jada piirväärtuse väärtust ennast. Cantori ajaks oli niisugune tingimus juba leitud. Selle tegi üldisel kujul kindlaks prantsuse matemaatik Augustin Louis Cauchy. Cauchy kriteeriumi järgi koondub jada siis ja ainult siis, kui Kujundlikult öeldes seisneb jada koonduvuse tingimus Cauchy kriteeriumis selles, et jada liikmed on mingist numbrist alates üksteisele kui tahes lähedal. Cauchy ei saanud seda kriteeriumi kuigivõrd rangelt põhjendada, sest puudus reaalarvu teooria. Cantor pööras tähelepanu sellele, et see kriteerium iseenesest iseloomustab koonduva jada sisemisi omadusi: teda saab formuleerida ja kontrollida, ilma et oleks juttu selle jada piirväärtuseks olevast reaalarvust endast. Ja sellepärast saab seda tunnust kasutada selleks, et tuua välja jadade klass, mille abil saab reaalarve defineerida. Nii et põhiline samm, mille tegi Cantor reaalarvu teooria rajamisel, seisnes selles, et ta vaatles iga ratsionaalarvude jada , mis rahuldab Cauchy tingimust, mingit (ratsionaalset või irratsionaalset) reaalarvu defineerivana. "Kui ma räägin arvsuurusest üldistatud mõttes, toimub see eelkõige juhtumil, mil on ette pandud ratsionaalarvude lõpmatu jada , mis on antud mingi seaduse abil ning millel on see omadus, et vahe saab -i kasvades lõpmata väikeseks, olgu positiivne täisarv milline tahes, ehk teiste sõnadega, suvaliselt valitud (positiivse ratsionaalarvu) korral leidub selline täisarv , et , ja on mis tahes positiivne täisarv." Tänapäeval nimetatakse Cauchy tingimust rahuldavat jada Cauchy jadaks ehk fundamentaaljadaks. Reaalarvude konstruktsioon Cantori järgi Kaks fundamentaaljada ja võivad defineerida üht ja sedasama reaalarvu. See on nii tingimusel Niisiis tekib ratsionaalarvude kõigi fundamentaaljadade hulgal ekvivalentsusseos, ja üldise printsiibi järgi jagunevad kõik fundamentaaljadad ekvivalentsusklassideks. Selle klassijaotuse mõte seisneb selles, et ühte klassi kuuluvad jadad defineerivad ühe ja sellesama reaalarvu ning eri klassidesse kuuluvad jadad erinevad. Niisiis on olemas üksühene vastavus reaalarvude ning ratsionaalarvude fundamentaaljadade klasside vahel. Nüüd saame sõnastada Cantori reaalarvude teooria põhidefinitsiooni. Definitsioon. Reaalarv on ratsionaalarvude fundamentaaljadade ekvivalentsusklass. Reaalarvu (ekvivalentsusklassi), mille defineerib ratsionaalarvude fundamentaaljada , tähistame . Aritmeetilised tehted reaalarvudega defineeritakse nii. Kui on antud kaks reaalarvu ja , mis on defineeritud fundamentaaljadadega ja , nii et ja , siis ja summaks nimetatakse reaalarvu, mis on defineeritud jadaga , see on ekvivalentsusklassi, millesse see jada kuulub: Pole raske kontrollida, et see definitsioon on korrektne, st ei sõltu konkreetsete jadade klassist ja klassist valikust. Analoogselt defineeritakse reaalarvude vahe, korrutis ja jagatis. Reaalarv on definitsiooni järgi suurem kui arv , see tähendab , kui See definitsioon ei sõltu jadade klassist ja klassist valikust. Ratsionaalarvude süsteem sisestatakse reaalarvude süsteemi täiendava kokkuleppe abil, mille järgi jada mille kõik liikmed on võrdsed ühe ja sellesama ratsionaalarvuga , defineerib sellesama arvu, nii et . Teiste sõnadega, iga klass , mis sisaldab statsionaarset jada , samastatakse arvuga . Niisiis, reaalarvude hulk, mille konstrueerisime, on ratsionaalarvude hulga laiend. Sellega on reaalarvude hulga konstrueerimine lõpule viidud. Edasi saab toodud definitsioonide abil tõestada reaalarvude teadaolevad omadused. Reaalarvude hulga täielikkus Definitsioonist järeldub, et iga ratsionaalarvude fundamentaaljada koondub mingiks reaalarvuks. See printsiip oli reaalarvu definitsiooni aluseks. Tänu sellele lisandusid ratsionaalarvudele irratsionaalarvud – ratsionaalarvude nende fundamentaaljadade piirväärtused, millel ratsionaalarvude seas piirväärtust ei olnud. Tekib õigustatud küsimus, kas analoogset täielikustamise protseduuri ei või läbi viia veel kord, juba konstrueeritud reaalarvude hulgal. Osutub, et see protseduur ei anna uut tulemust, sest igal reaalarvude fundamentaaljadal on piirväärtus reaalarvude seas. Seda reaalarvude hulga omadust nimetatakse täielikkuseks. Ja väide, et iga reaalarvude fundamentaaljada koondub, ongi Cauchy koonduvuskriteeriumi põhisisu. Sama ideed kasutas hiljem Felix Hausdorff, kui ta tõestas Hausdorffi teoreemi meetrilise ruumi täielikustamisest. Lõpmatute kümnendmurdude teooria Lõpmatute kümnendmurdude teooria pärineb Karl Weierstraßilt. 1863. aasta paiku töötas ta välja reaalarvude teooria, mis avaldati tema loengumärkmetena 1872. Muide, Weierstraßi teooria algversioon erineb mõnevõrra lõpmatute kümnendmurdude teooriast, mida esitatakse tänapäeva matemaatilise analüüsi õpikutes. Ratsionaalarvud ja kümnendmurrud Loeme antuks ratsionaalarvude hulga . On teada, et iga ratsionaalarvu saab lahutada kümnendmurruks, mille paneme kirja kujul: Kui kümnendmurruks lahutamise protsess lõpeb lõpliku arvu sammude järel, siis kümnendmurd on lõplik, vastasel juhul lõpmatu. Iga lõplikku või lõpmatut kümnendmurdu võib vaadelda formaalse reana kujul kus indeksi väärtused on kas esimesed naturaalarvud või vastavalt kõik naturaalarvud . Saab näidata, et rida, mis saadakse ratsionaalarvu lahutamisel kümnendmurruks, alati koondub ning tema summa võrdub algse ratsionaalarvuga. Kui ratsionaalarvu lahutamisel kümnendmurruks saadakse lõpmatu kümnendmurd, siis see on alati perioodiline. Seega vastab igale ratsionaalarvule üksainus kümnendmurd, kuid mõni kümnendmurd (näiteks lõpmatud mitteperioodilised) ei vasta ühelegi ratsionaalarvule. Loomulik on oletada, et ka nendele murdudele vastavad mingid hüpoteetilised arvud, mis ei ole ratsionaalarvud. Võttes vaatluse alla need hüpoteetilised arvud, mida hakkame nimetama irratsionaalarvudeks, just nagu täidame lüngad kõigi kümnendmurdude kogumis. Seega võtame reaalarvude teooria aluseks oletuse (idee), et iga kümnendmurd on mõne ratsionaal- või irratsionaalarvu (reaalarvu) lahutus kümnendmurruks: Seejuures tõlgendame seda lahutust samamoodi nagu ratsionaalarvude puhul, nimelt peame reaalarvu rea summaks. Lõpmatute kümnendmurdude teooria konstruktsioon Definitsioon. Reaalarv on lõpmatu kümnendmurd, s.o on avaldis kujul , kus on üks sümbolitest või , mida nimetame arvu märgiks, on mittenegatiivne täisarv, on kümnendnumbrimärkide (mida võib tõlgendada arvuhulga elementidena) jada. Seejuures samastame definitsiooni kohaselt kümnendmurrud ja , samuti kümnendmurrud kujul ja . Selle kokkuleppe mõte on ilmne, sest neile kümnendmurdudele vastavad ratsionaalarvud langevad kokku. Loomulik on kohe kokku leppida, et perioodilised lõpmatud kümnendmurrud kujutavad neile vastavaid ratsionaalarve. Teiste sõnadega, me samastame perioodilised kümnendmurrud ratsionaalarvudega. Sellise kokkuleppe puhul on ratsionaalarvude hulk kõikide reaalarvude hulga alamhulk. Järgneb lõpmatute kümnendmurdude teooria konstruktsiooni visand. Kõigepealt defineeritakse järjestus kõigi lõpmatute kümnendmurdude hulgal. Aluseks võetakse arvude kümnendjärkude järjestikune võrdlemine suurematest väiksemateni. Olgu näiteks antud kaks mittenegatiivset arvu Olgu ja esimesed mittekokkulangevad numbrimärgid ja üleskirjutustes. Kui nüüd , siis definitsiooni kohaselt , ja kui , siis . Kahe mittenegatiivse arvu võrdluse alusel defineeritakse mis tahes kahe reaalarvu võrreldavus. Saab näidata, et defineeritud võrdlusseos annab lõpmatute kümnendmurdude hulgal lineaarselt järjestatud hulga struktuuri. Samuti saab näidata, et perioodiliste kümnendmurdude korral langeb kehtestatud järjestussuhe kokku juba olemasoleva võrreldavusseosega ratsionaalarvude seas. Pärast lõpmatute kümnendmurdude hulgal järjestusseose defineerimist tõestatakse reaalarvu teooria jaoks põhimõttelise tähtsusega teoreem täpsest ülemrajast. See teoreem väljendab asjaolu, et reaalarvude järjestatud kogumil on pidevuse (Dedekindi täielikkuse) omadus. Nüüd laiendatakse aritmeetilised tehted, mis on juba defineeritud ratsionaalarvude seas, pidevuse alusel kõigile reaalarvudele. Nimelt, olgu ja kaks reaalarvu. Nende summaks nimetatakse reaalarvu , mis rahuldab järgmist tingimust: Saab näidata, et seda tingimust rahuldav reaalarv eksisteerib ja on ainuke. Analoogselt defineeritakse reaalarvude korrutamine. Kahe positiivse reaalarvu ja korrutiseks nimetatakse reaalarvu , mis rahuldab järgmist tingimust: Nagu ka liitmise puhul, seda tingimust rahuldav arv eksisteerib ja on ainuke. Pärast seda on lihtne defineerida kahe suvalise märgiga reaalarvu korrutis. Saab kontrollida, et reaalarvude hulgal defineeritud liitmise ja korrutamise tehe langevad kokku ratsionaalarvude liitmise ja korrutamise tehtega. Sellega on lõpmatute kümnendmurdude teooria konstruktsioon lõpule viidud. Edasi saab antud definitsioonide põhjal tõestada reaalarvude teadaolevad omadused, mis puudutavad aritmeetilisi tehteid ja järjestust. Lõpuks olgu märgitud, et pärast reaalarvude jada piirväärtuse ja rea summa defineerimist saab tõestada, et iga reaalarv on oma kümnendlahutuse rea summa. See tähendab, kui , siis . Ajalooline kommentaar Weierstrass ise vaatles pisut teistsugust konstruktsiooni. Ülalesitatud teooriat võib lühidalt määratleda teooriana formaalsetest ridadest kujul , kus on mittenegatiivne täisarv ning on – kümnendnumbrimärgid. Weierstrass aga vaatles formaalseid ridasid üldisemal kujul: , kus on suvalised mittenegatiivsed täisarvud. On ilmne, et niisuguses konstruktsioonis saab reaalarvu kujutada lõpmata paljudel viisidel. Peale selle on selge, et kaugeltki mitte kõigile niisugustele ridadele ei saa omistada arvväärtust. Näiteks rida hajub. Sellepärast Weierstrass esiteks vaatleb ainult koonduvaid ridasid (ta defineerib need read tõkestatud osasummadega ridadena (vaata mittenegatiivsete liikmetega rea koonduvuse kriteeriumi)) ning teiseks defineerib sellel hulgal ekvivalentsusseose. Reaalarv on defineeritud ekvivalentsete koonduvate ridade klassina. Reaalarvude defineerimisviis kümnendmurdude abil, see tähendab lahutuse abil mitte kõikide alikvootsete murdude (see on murdude kujul ) kaupa, vaid ainult kümne astmete kaupa on mugavam, sest sellega saavutatakse reaalarvu rea kujul kujutamise ühesus. Kui aga tulla tagasi Weierstrassi üldise viisi juurde, siis saab ilmsiks analoogia Weierstrassi lähenemise ja Cantori lähenemise vahel. Cantor defineeris reaalarvu ratsionaalarvude koonduvate jadade ekvivalentsusklassina, kusjuures jada koonduvuse määratlemiseks ta kasutas Cauchy kriteeriumi. Weierstrass tegi sedasama, ainult et koonduvate jadade asemel vaatles ta koonduvaid ridasid ning jada koonduvuse Cauchy kriteeriumi asemel kasutas ta mittenegatiivsete liikmetega rea koonduvuse tunnust (muide, ekvivalentne teoreem monotoonse jada piirväärtusest kannab Weierstrassi nime). Lõigete teooria ratsionaalarvude vallas Richard Dedekindi teooria on kõige lihtsam ja ajalooliselt esimene range reaalarvuteooria. Erinevalt Cantori ja Weierstrassi analüütilisest lähenemisest on Dedekindi teooria aluseks geomeetrilised kaalutlused, millest tuleneb selle näitlikkus. Dedekindi teooria väärtus seisneb selles, et peale reaalarvude konstrueerimise toodi seal esimest korda välja pidevuse mõiste matemaatiline olemus. See mõiste on matemaatilise analüüsi aluseks ning seda oli sajandeid kasutatud, viidates selle ilmsusele või geomeetrilistele kaalutlustele. Dedekind lõi oma teooria 1858, kuid see avaldati esmakordselt 1872 väikeses brošüüris "Stetigkeit und irrationale Zahlen" ('Pidevus ja irratsionaalarvud'). See raamat on tänini üks paremaid ja arusaadavaid aine esitusi. Siinne esitus järgib põhilises Dedekindi mõttekäiku. Küsimuseasetus Dedekindi ajal tuli diferentsiaalarvutuse kursuse esituses, mis enamasti kasutas rangeid meetodeid, mõne väite tõestamisel siiski tugineda geomeetrilisele näitlikkusele. Näiteks kui tõestati teoreemi monotoonse jada piirväärtusest, siis joonestati sirgjoon, millele märgiti punktid , mis kujutasid jada liikmeid. Edasi öeldi näiteks, et "ilmselt" eksisteerib punkt , millele punktid piiramatult lähenevad, või et niisugune punkt "peab" eksisteerima, sest arvsirge on "punktidega pidevalt täidetud". Edasi, kuna igale punktile sirgel vastab mingi ratsionaal- või irratsionaalarv, siis punktile vastava arvu korral kehtib: . Dedekind ütleb: "Sageli öeldakse, et diferentsiaalarvutus tegeleb pidevate suurustega, ent mitte kuskil ei anta selle pidevuse definitsiooni, ja isegi diferentsiaalarvutuse kõige rangemal esitamisel ei rajata tõestusi pidevusele, vaid apelleeritakse enam-vähem teadlikult kas geomeetrilistele ettekujutustele või ettekujutustele, mis saavad alguse geomeetriast, või lõpuks rajatakse tõestus teesidele, mida endid pole mitte kunagi tõestatud puhtaritmeetilisel teel." Vajadust kasutada puhtaritmeetilise (arvude kohta käiva) väite tõestamiseks kasutada geomeetrilisi kaalutlusi tekitab teatava rahulolematuse tunde ning annab tunnistust "aritmeetika puudulikust põhjendatusest", arvu range ja täieliku teooria puudumisest. Ent kui isegi pidada lubatavaks geomeetrilist argumentatsiooni, tekib küsimus pidevusest sirge enese punktide suhtes. Osutub, et sirge pidevuse mõistel puudub siin loogiline definitsioon. Sellest lähtudes püstitas Dedekind järgmised kaks ülesannet: Leida loogiline formuleering sirge põhiomadusele, mis kätkeb meie näitlikes ettekujutustes "sirge pidevast täidetusest punktidega". Konstrueerida arvu range puhtaritmeetiline teooria, nii et need arvude süsteemi omadused, mille põhjendamiseks varem oli kasutatud näitlikke geomeetrilisi ettekujutusi, nüüd järelduksid arvu üldisest definitsioonist. Ratsionaalarvude võrdlus sirge punktidega Dedekind lähtub ratsionaalarvudest, mille omadused ta loeb teadaolevateks. Ratsionaalarvude süsteemi kõrvutab ta sirge punktide kogumiga, et tuua välja viimase omadused. Ratsionaalarvud moodustavad kogumi, millel on antud aritmeetilised tehted liitmine ja korrutamine, millel on teatud omadused. Kogum on lineaarselt järjestatud: mis tahes kahe erineva arvu ja korral võib öelda, et üks neist on teisest väiksem. Sirge punktide kogum on samuti lineaarselt järjestatud hulk. Kahe punkti ja vaheline järjestusseos väljendub siin selles, et üks punkt asetseb teisest vasakul. Selle sarnasuse ratsionaalarvude ja punktide vahel saab välja arendada, seades nende vahele vastavuse. Nii saadakse arvsirge. Selleks valitakse sirgel kindel algpunkt, kindel pikkusühik ehk ühiklõik ehk skaala lõikude mõõtmiseks ning positiivne suund. Iga jaoks saab konstrueerida vastava pikkuse, ning asetades selle algpunktist paremale või vasakule olenevalt sellest, kas arv on positiivne või mitte, saame kindla punkti , mis vastab ratsionaalarvule . Seega saab igale ratsionaalarvule seada vastavusse kindla punkti . Seejuures vastavad eri arvudele eri punktid. Kui arv on väiksem kui , siis punkt , mis vastab arvule , asetseb vasakul punktist , mis vastab arvule . Teiste sõnadega, kehtestatud vastavus säilitab järjestuse. Sirge pidevus Ühtlasi osutub, et sirgel on lõpmata palju arve, mis ei vasta mitte ühelegi ratsionaalarvule. See järeldub ühismõõdutute lõikude olemasolust, mis oli teada juba antiikajal (näiteks ruudu diagonaali ja külje ühismõõdutus, see tähendab arvu (ruutjuur kahest) irratsionaalsus). Piltlikult öeldes on sirge täidetud punktidega tihedamalt kui ratsionaalarvude kogum arvudega. Me näeme, et ratsionaalarvude hulga sees on tühjad kohad, mis vastavad neile sirge punktidele, millele ei leidunud vastavat ratsionaalarvu, sellal kui sirge kohta ütleme, et ta on "punktidega pidevalt täidetud". Dedekind ütleb: "Eelnev ratsionaalarvude valla võrdlus sirgega viis selleni, et esimeses avastati lünklikkus, mittetäielikkus ehk katkelisus, sellal kui sirgele me omistame täielikkuse, lünkade puudumise, pidevuse." Milles see pidevus õigupoolest seisneb? Kuidas seda sirge omadust matemaatiliselt väljendada? Dedekind teeb järgmise tähelepaneku. Kui on sirge kindel punkt, siis sirge kõik punktid jagunevad kaheks klassiks: need, mis asetsevad punktist vasakul, ja need, mis asetsevad punktist paremal; punkti võib aga suvaliselt arvata kas esimesse või teise klassi. Ühtlasi kehtib sirge punktide kohta pöördprintsiip: "Kui sirge punktid jagunevad kaheks niisuguseks klassiks, et iga esimese klassi punkt asetseb igast teise klassi punktist vasakul, siis eksisteerib üks ja ainult üks punkt, mis tekitab sirge niisuguse jagunemise kaheks klassiks, sirge niisuguse lõigatuse kaheks tükiks." Geomeetriliselt tundub see väide ilmsena, kuid tõestada me seda ei suuda. Dedekind osutab, et tegelikult ei ole see printsiip midagi muud kui postulaat, milles väljendub sirge pidevuse olemus. Kui võtame selle postulaadi omaks, siis omistame sirgele selle omaduse, mida me nimetame tema pidevuseks. "Selle omaduse omaksvõtmine pole midagi muud kui aksioom, mille abil me alles mööname sirgele pidevuse, paigutame mõttes sirge sisse pidevuse." Selgitame Dedekindi printsiibi sisu ja geomeetrilist tõlgendust. Kujutame ette, et kõik sirge punktid on värvitud kahte värvi – roheliseks ja punaseks, nii et iga rohelist värvi punkt asetseb vasakul igast punast värvi punktist. On geomeetriselt ilmne, et peab eksisteerima sirge niisugune punkt, milles värvid puutuvad kokku. See punkt jagabki sirge kaheks klassiks: kõik rohelist värvi punktid asetsevad temast vasakul ja kõik punast värvi punktid paremal. Selles seisnebki Dedekindi printsiip. Sealjuures peab ka kokkupuutepunkt ise olema kindlat värvi, sest tingimuse kohaselt on värvitud eranditult kõik sirge punktid. See punkt peab olema kas roheline, olles sel juhul viimane roheline punkt, või punane, olles sel juhul esimene punane punkt. Nagu on kerge näha, need kaks varianti välistavad teineteist: esimesel juhtumil ei eksisteeri esimest punast punkti – eksisteerivad kokkupuutepunktile kui tahes lähedased punased punktid, kuid esimest nende seas ei ole, teisel juhtumil aga puudub analoogsetel põhjustel viimane roheline punkt. Nüüd pöörame tähelepanu sellele, millised loogilised võimalused me välistasime, apelleerides geomeetrilisele näitlikkusele. Kerge on näha, et neid on ainult kaks: esiteks võiks juhtuda, et üheaegselt eksisteerivad nii viimane roheline kui ka esimene punane punkt; teiseks võiks juhtuda, et pole ei viimast rohelist ega esimest punast punkti. Esimese olukorra kohta öeldakse, et leiab aset hüpe. Selline pilt on võimalik sirge korral, millest on välja visatud terve vahemik vahepealseid punkte. Teise olukorra kirjeldamiseks kasutatakse terminit "lünk". See pilt võib aset leida sirge korral, millest on eemaldatud terve lõik, kaasa arvatud selle otsad – sealhulgas juhtum, kui on eemaldatud üksainus punkt. Seega tähendab sirge pidevus, et temas ei ole ei hüppeid ega lünki – lühidalt, ei ole tühje kohti. On märkimisväärne, et ülaltoodud pidevuse definitsioon on rakendatav mis tahes elementide järjestatud kogumile. Pidevus Dedekindi järgi Anname nüüd pidevuse täpse definitsiooni Dedekindi järgi, mis on rakendatav suvalisele lineaarselt järjestatud hulgale. Definitsioon. Olgu lineaarselt järjestatud hulk. Hulkade ja järjestatud paari nimetatakse lõikeks järjestatud hulgal ning hulki ja endid selle lõike vastavalt alumiseks ja ülemiseks klassiks, kui on täidetud järgmised tingimused: 1. Klassid on mittetühjad:2. Järjestatud hulga iga element kuulub vähemalt ühesse klassidest': 3. Alumise klassi iga element on väiksem ülemise klassi suvalisest elemendist: Lõiget tähistame . Definitsioon. Lineaarselt järjestatud hulka nimetatakse pidevaks (Dedekindi järgi), kui tema mis tahes lõike puhul kas alumises klassis leidub suurim element ja ülemises klassis ei leidu vähimat või ülemises klassis leidub vähim element ja alumises klassis ei leidu suurimat (niisuguseid lõikeid nimetatakse Dedekindi lõigeteks). Näitena vaatleme ratsionaalarvude hulka. Kerge on näha, et selles ei saa olla hüppeid: kui on alumise klassi maksimaalne element, on ülemise klassi minimaalne element, siis arv , mis asetseb ja vahel keskel, ei saa kuuluda ei alumisse ega ülemisse klassi, mis on vastuolus lõike definitsiooniga. Samal ajal on ratsionaalarvude hulga sees tühikud – just neis kohtades, kus peavad asuma irratsionaalarvud. Vaatleme näiteks lõiget , mille defineerivad hulgad Kerge on näha, et see on tõesti lõige, kuid alumises klassis ei ole maksimaalset elementi ja ülemises klassis ei ole minimaalset. Seega on tegu lüngaga. Irratsionaalarvude konstrueerimine Seega ratsionaalarvude kogum ei ole pidev: selles on lüngad. Et konstrueerida reaalarvude hulk, mille elemendid assotsieeruvad reaalarvudega, tuleb täita kõik lüngad ratsionaalarvude kogumis. Ratsionaalarvude hulga iga lüngatüüpi lõike korral lisame kogumile uue elemendi (irratsionaalarvu) , mis definitsiooni kohaselt on suurem igast alumisse klassi kuuluvast arvust ning väiksem igast ülemisse klassi kuuluvast arvust . Sellega täidamegi lõike klasside vahelise tühja koha. Me ütleme, et lõige defineerib irratsionaalarvu ehk irratsionaalarv tekitab lõike . Ühendades kõik võimalikud juhtumid, võime öelda, et iga lõige ratsionaalarvude vallas defineerib mingi ratsionaal- või irratsionaalarvu, mis selle lõike tekitab. Definitsioon. nimetatakse iga lõiget ratsionaalarvude hulgas, mille alumises klassis ei ole suurimat elementi ja mille ülemises klassis ei ole vähimat elementi.Definitsioon. nimetatakse ratsionaal- ja irratsionaalarvude hulga ühendit. Reaalarvude hulga iga elementi nimetatakse .Reaalarvude hulk on defineeritud järjestusseose suhtes lineaarselt järjestatud. Reaalarvude hulk on pidev Dedekindi järgi.See lause vajab tõestust. Liitmis- ja korrutamistehe defineeritakse reaalarvude hulgal pidevuse järgi (nagu ka lõpmatute kümnendmurdude teoorias). Nimelt, kahe reaalarvu ja summaks nimetatakse reaalarvu , mis rahuldab järgmist tingimust: Reaalarvude hulga pidevusest järeldub, et niisugune reaalarv on olemas ja on ainus. Peale selle, kui ja on ratsionaalarvud, siis see definitsioon langeb kokku tavalise kahe ratsionaalarvu summa definitsiooniga. Analoogselt defineeritakse korrutamine ja tõestatakse tehete ning järjestusseose omadused. Reaalarvude aksiomaatikad Reaalarvude hulk kui pidev järjestatud korpus Hulka nimetatakse reaalarvude hulgaks ning selle elemente reaalarvudeks, kui on täidetud järgmine tingimuste kompleks, mida nimetatakse reaalarvude aksiomaatikaks: Korpuse aksioomid Hulgal on defineeritud kujutus (liitmise binaarne tehe) , mis seab igale elementide järjestatud paarile hulgast vastavusse mingi elemendi sellest samast hulgast , mida nimetatakse ja summaks ( on hulga elemendi ekvivalentne üleskirjutus). Hulgal on defineeritud ka kujutus (korrutamise tehe) , mis seab igale elementide järjestatud paarile hulgast vastavusse mingi elemendi , mida nimetatakse ja korrutiseks. Sealjuures kehtivad järgmised omadused: Liitmise kommutatiivsus. Mis tahes korral Liitmise assotsiatiivsus. Mis tahes korral Nullelemendi olemasolu Leidub nullelemendiks nimetatav element , millel on omadus, et mis tahes korral Vastandelemendi olemasolu. Mis tahes korral leidub vastandelemendiks nimetatav element , millel on omadus, et Korrutamise kommutatiivsus. Mis tahes korral Korrutamise assotsiatiivsus. Mis tahes korral Ühikelemendi olemasolu. Leidub ühikelemendiks nimetatav element , millel on omadus, et mis tahes korral Pöördelemendi olemasolu. Mis tahes korral leidub pöördelemendiks nimetatav element , ehk , millel on omadus, et Korrutamise distributiivsus liitmise suhtes. Mis tahes korral Korpuse mittetriviaalsus. Ühikelement ja nullelement on hulga erinevad elemendid : Järjestuse aksioomid Hulga elementide vahel on defineeritud binaarne seos , st mis tahes elementide järjestatud paari korral hulgast on kindlaks määratud, kas seos kehtib või mitte. Sealjuures kehtivad järgmised omadused. Refleksiivsus. Mis tahes korral Antisümmeetria. Mis tahes korral Transitiivsus. Mis tahes korral Lineaarne järjestatus. Mis tahes korral Liitmise ja järjestuse seos. Mis tahes korral Korrutamise ja järjestuse seos. Mis tahes korral Pidevuse aksioomid Olgu antud mis tahes mittetühjad hulgad ja , nõnda et mis tahes kahe elemendi ja korral kehtib võrratus , siis leidub niisugune arv , et kõigi ja korral kehtib seos Kokkuvõte ja definitsioon Neist aksioomidest piisab, et rangelt järeldada reaalarvude kõik teadaolevad omadused. Tänapäeva algebra keeles tähendavad esimese rühma aksioomid, et hulk on korpus. Teise rühma aksioomid tähendavad, et hulk on lineaarselt järjestatud hulk ( – ), kusjuures järjestusseos on kooskõlas korpuse struktuuriga ( – . Hulki, mis rahuldavad esimese ja teise rühma aksioome, nimetatakse järjestatud korpusteks. Lõpuks, viimane rühm, mis koosneb ühest aksioomist, väidab, et reaalarvude hulgal on pidevuse omadus, mida nimetatakse ka täielikkuseks. Kokkuvõttes võib anda reaalarvude hulga definitsiooni: Definitsioon. Reaalarvude hulgaks nimetatakse pidevat järjestatud korpust. Reaalarvude hulk kui maksimaalne arhimeediline järjestatud korpus On ka teisi reaalarvude aksiomaatikaid. Näiteks võib pidevuse aksioomi asemel kasutada mis tahes muud sellega samaväärset tingimust või tingimuste rühma. Näiteks David Hilberti pakutud aksiomaatikas on rühmade ja aksioomid sisuliselt samad mis ülaltoodud aksiomaatikas, kuid aksioomi asemel kasutatakse järgmist kaht tingimust: Archimedese aksioom. Olgu ja . Siis elementi saab liidetavana korrata nii palju kordi, et tulemiks saadav summa on suurem kui : Täielikkuse aksioom (Hilberti mõttes). Süsteemi pole võimalik laiendada mitte ühegi süsteemini , nõnda et hulga elementide vaheliste endiste seoste säilides oleks korral täidetud kõik aksioomid –, . Seega võib anda järgmise samaväärse definitsiooni: Definitsioon. Reaalarvude hulk on maksimaalne arhimeediline järjestatud korpus. Tarski reaalarvude aksiomaatika Aastal 1936 esitas Alfred Tarski reaalarvude aksiomaatika, mis koosneb ainult 8 aksioomist ja 4 algmõistest: reaalarvude hulk R, a binaarne seos täielik järjestus hulgal R, mida tähistab <, binaarne tehe liitmine hulgal R, mida tähistab +, ja konstant 1. Seda aksiomaatikat kirjanduses mõnikord mainitakse, kuid üksikasju kunagi ei esitata, kuigi ta on ökonoomne ning tal on elegantsed metamatemaatilisi omadusi. See aksiomaatika on vähe tuntud, võib-olla sellepärast, et ta on teist järku. Tarski aksiomaatikat võib vaadelda versioonina tavalisest reaalarvude definitsioonist ainsa Dedekindi mõttes täieliku järjestatud korpusena; ent ta on muudetud tunduvalt lühemaks (näiteks aksioomid 4 ja 5 võtavad kokku tavalised neli Abeli rühma aksioomi). Aksioomid Järjestuse aksioomid (algmõisted: R, <): Aksioom 1 Kui x < y, siis ei pea paika, et y < x. See tähendab, "<" on asümmeetriline seos. Aksioom 2 Kui x < z, siis leidub y, nii et x < y ja y < z. Teiste sõnadega, "<" on tihe hulgal R. Aksioom 3 "<" on Dedekindi mõttes täielik. Formaalsemalt, kõikide X, Y ⊆ R korral, kui kõikide x ∈ X ja y ∈ Y korral x < y, siis leidub z, nii et kõikide x ∈ X ja y ∈ Y korral x ≤ z ja z ≤ y. Siin on u ≤ v lühend, mis tähendab "u < v või u = v". Liitmise aksioomid (algmõisted: R, <, +): Aksioom 4 x + (y + z) = (x + z) + y. Aksioom 5 Kõikide x, y korral leidub z, nõnda ett x + z = y. Aksioom 6 Kui x + y < z + w, siis x < z või y < w. Ühikelemendi aksioomid (algmõisted: R, <, +, 1): Aksioom 7 1 ∈ R. Aksioom 8 1 < 1 + 1. Nendest aksioomidest järeldub, et R on lineaarselt järjestatud Abeli rühm liitmise suhtes koos märgitud elemendiga 1. R on ka Dedekindi mõttes täielik ja jagatav. See aksiomaatika ei anna esimest järku teooriat, sest aksioom 3 on formuleeritud kahe üldisuskvantoriga üle hulga R kõigi võimalike alamhulkade. Kuidas need aksioomid toovad kaasa korpuse Tarski visandas (mittetriviaalse) tõestuse, kuidas nendest aksioomidest ja algmõistetest tuleneb binaarne tehe korrutamine, millel on oodatavad omadused, nõnda et R on täielik järjestatud korpus. Kirjandus Alfred Tarski, Jan Tarski (1994). Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, 4. trükk, USA: OUP. ISBN 978-0-19-504472-0. Lõpmatu kümnendarendus Iga reaalarvu saab esitada kümnendmurdude abil lõpmatu kümnendarenduse kujul; näiteks 1 = 1,0000000... või 0,99999999... 1⁄2 = 0,5000000... või 0,49999999... -1/3 = -0,3333333... 8/7 = 1,142857142857142857... e = 2,718281828459045235... 'L'' = 0,110001000000000000000001000... Viimased kaks (Napieri arv ja Liouville'i arv) on mitteperioodilised kümnendmurrud ning seetõttu irratsionaalarvud, teised aga on perioodilised kümnendmurrud ning seega ratsionaalarvud. Reaalarvude korpus Reaalarvude hulk moodustab oma aritmeetiliste tehetega "+" ja "·" korpuse (reaalarvude korpuse), mis on kompleksarvude korpuse alamkorpus. Ajalugu Reaalarvu mõiste tekkis ratsionaalarvu mõiste laiendamisel. Vajaduse selleks tingis vajadus väljendada mis tahes suuruse väärtust arvuna ning püüd laiendada tehete rakendatavust (juurimine, logaritmimine, algebraliste võrrandite lahendamine). Naiivne reaalarvude teooria Esimeses arenenud arvusüsteemis, mis konstrueeriti vanakreeka matemaatikas, olid ainult naturaalarvud ja nendes suhted (proportsioonid), tänapäeva mõistes ratsionaalarvud. Ent peagi selgus, et geomeetrias ja astronoomias sellest ei piisa: näiteks ruudu diagonaali ja külje suhe ei ole esitatav ei naturaal- ega ratsionaalarvuna. Olukorra lahendamiseks võttis Eudoxos kasutusele lisaks arvu mõistele geomeetrilise suuruse (lõigu pikkuse, pindala või ruumala) mõiste. Eudoxose teooria on meieni jõudnud Eukleidese esituses ("Elemendid", 5. raamat). Eudoxose teooria on oma olemuselt reaalarvude geomeetriline mudel. Tänapäeva seisukohast on arv niisuguse lähenemise puhul kahe homogeense suuruse (näiteks uuritava suuruse ja ühiksuuruse; ühiksuurused võisid olla omavahel ühismõõduta) suhe. Eudoxos jäi siiski ustavaks varasemale traditsioonile: ta ei vaadelnud sellist suhet arvuna; sellepärast tõestatakse "Elementides" paljud teoreemid arvude omaduste kohta uuesti suuruste jaoks. Dedekindi klassikaline reaalarvude konstruktsioon on oma põhimõtetelt väga lähedane Eudoxose esitusele. Ent Eudoxose mudel on mitmes suhtes ebatäielik: näiteks ei sisalda ta pidevuse aksioomi, puudub suuruste või nende suhete aritmeetiliste tehete üldine teooria, puuduvad negatiivsed arvud. Olukord hakkas muutuma esimestel sajanditel pKr. Juba Diophantos Aleksandriast vaatles erinevalt varasemast traditsioonist murde samamoodi nagu naturaalarve, ning oma "Aritmeetika" 4. raamatus ta isegi kirjutas ühe tulemuse kohta: "Arv osutub mitteratsionaalseks." Pärast antiikteaduse lõppu nihkusid esiplaanile India ja islami matemaatikud, kes pidasid iga mõõtmistulemust arvuks. Tasapisi said sellised vaated valdavaks ka keskaegses Euroopas, kus esialgu eristati ratsionaalarve ja irratsionaalarve (sõna-sõnalt "mittemõistuspäraseid" arve), mida nimetati ka kujuteldavateks, absurdseteks, kurtideks jne. Irratsionaalarvude saamine täieõiguslikeks on seotud Simon Stevini töödega. Stevin kuulutas: "Jõuame järeldusele, et pole olemas mingeid absurdseid, irratsionaalseid, ebaõigeid, seletamatuid ega kurte arve, vaid arvude seas valitseb niisugune täius ja kooskõla, et meil tuleb ööd ja päevad mõtiskleda nende hämmastava lõpetatuse üle." Tema legaliseeris teatud reservatsioonidega ka negatiivsed arvud ning töötas välja ka kümnendmurdude teooria ja sümboolika; sellest ajast hakkasid need välja tõrjuma ebamugavaid kuuekümnendmurde. Saja aasta pärast andis Isaac Newton oma "Universaalses aritmeetikas" (1707) (reaal)arvu klassikalise definitsiooni mõõtmistulemusena ühiketaloni suhtes: "Arv ei ole mitte niivõrd mitme ühiku kogum kui mingi suuruse abstraktne suhe teisesse temaga homogeensesse, mis on ühikuks võetud." Kaua aega peeti seda rakenduslikku definitsiooni piisavaks, nii et reaalarvude ja reaalarvuliste funktsioonide praktika seisukohast tähtsaid omadusi ei tõestatud, vaid neid peeti intuitiivselt ilmseteks (geomeetrilistel või kinemaatilistel kaalutlustel). Näiteks peeti ilmseks asjaolu, et pidev kõver, mille punktid asetsevad eri pooltel teatud sirgest, lõikab seda sirget. Puudus ka pidevuse range definitsioon. Sellepärast oli paljudes definitsioonides vigu või ebamääraseid või liiga laiu formuleeringuid. Isegi veel siis, kui Augustin Louis Cauchy oli välja töötanud matemaatilise analüüsi range aluse, olukord ei muutunud, sest puudus reaalarvude teooria, millele matemaatiline analüüs oleks saanud tugineda. Sellepärast tegi Cauchy vigu, toetudes intuitsioonile seal, kus see viis vääradele järeldustele: ta eeldas näiteks et pidevate funktsioonide rea summa on alati pidev. Range teooria loomine Esimese katse täita lünk matemaatika alustes tegi Bernard Bolzano oma artiklis "Puhtanalüütiline tõestus teoreemile, et mis tahes kahe väärtuse vahel, mis annavad vastupidise märgiga tulemid, on vähemalt üks võrrandi reaalarvuline juur" (1817). Selles teedrajavas töös ei ole veel reaalarvude terviklikku süsteemi, kuid juba esitatakse pidevuse tänapäevane definitsioon ja näidatakse, et sel alusel saab pealkirjas mainitud teoreemi rangelt tõestada. Hilisemas töös "Lõpmatuse paradoksid" esitas Bolzano reaalarvude üldise teooria visandi, mis on ideede poolest lähedane Georg Cantori hulgateooriale, kuid see tema töö jäi autori eluajal avaldamata ja ilmus alles 1851. Bolzano vaated olid ajast tunduvalt ees ega äratanud matemaatilises üldsuses tähelepanu. Reaalarvu ranged teooriad rajasid 19. sajandi lõpus Georg Cantor, Richard Dedekind ja Karl Weierstrass, samuti Eduard Heine ja Charles Méray. Weierstrass, Dedekind ja Cantor esitasid erinevad, kuid samaväärsed reaalarvude konstruktsioonid. Vaata ka Kompleksarv Aleksandrovi sirge Suslini sirge Viited Arvud


TEADE KAVATSUSEST TEHA ÜLEVÕTMISPAKKUMINE KÕIKIDE AKTSIASELTS BALTIKA AKTSIATE OMANDAMISEKS Avaldatud: 2019-08-16 08:08:31 CEST TEADE EI OLE MÕELDUD OTSESEKS VÕI KAUDSEKS AVALDAMISEKS AMEERIKA ÜHENDRIIKIDES, KANADAS, AUSTRAALIAS, JAAPANIS VÕI ÜHESKI MUUS JURISDIKTSTIOONIS, KUS SELLINE TEGEVUS OLEKS EBASEADUSLIK, EGA LEVITAMISEKS MAINITUD RIIKIDESSE KJK Fund SICAV-SIF (likvideerimisel) („Ülevõtja“) teatab valitseva mõju omandamisest Aktsiaselts BALTIKA („Baltika“) üle, millest tulenevalt on Ülevõtjal tekkinud kohustus teha ülevõtmispakkumine („Pakkumine“) kõikide Baltika aktsiate, mis ei kuulu Ülevõtjale, omandamiseks. 15. augustil 2019. a avalikustas Baltika aktsiate avaliku pakkumise lõplikud tulemused ning uute Baltika Aktsiate (nagu defineeritud allpool) lõpliku jaotuse. Vastavalt jaotusele jaotas Baltika Ülevõtjale 46 919 146 uut Baltika Aktsiat. Aktsiakapitali suurendamine registreeriti Eesti äriregistris 13. augustil 2019 ning 46 919 146 uut Baltika Aktsiat emiteeriti ja kanti Ülevõtjale üle enne käesoleva teate avaldamist. Koos Ülevõtjale eelnevalt kuulunud 1 586 845 Baltika Aktsiaga, kuulub Ülevõtjale käesoleva teate kuupäeval, uute Baltika Aktsiate emiteerimise järel, 48 505 991 Baltika Aktsiat, mis annavad Ülevõtjale Baltika aktsionäride üldkoosolekul ligikaudu 89,69% kõigist Baltika Aktsiatega esindatud häältest. Eelnevast tulenevalt on Ülevõtja alates käesoleva teate kuupäevast omandanud Baltika üle valitseva mõju ning on vastavalt väärtpaberituruseaduse („VPTS“) § 166 lõikele 1 kohustatud 20 päeva jooksul valitseva mõju saamisest arvates tegema ülevõtmispakkumise kõigi Baltika Aktsiate suhtes. Pakkumise ja selle aktseptimise tingimused (sealhulgas Pakkumise esemeks olevate aktsiate ostuhind) sätestatakse Ülevõtja poolt avalikustatavas prospektis („Prospekt“) ja Pakkumise teates. Ülevõtja esitab kooskõlas kohaldatavate õigusaktidega Prospekti ja Pakkumise teate kooskõlastamiseks Finantsinspektsioonile („FI"). Pärast FI kooskõlastust avaldatakse Prospekt ja Pakkumise teade FI poolt osundatud kuupäeval allpool punktis 6toodud internetiaadressidel. 1. Ülevõtja ja Ülevõtjaga kooskõlastatult tegutsevad isikud Ülevõtjaks on KJK Fund SICAV-SIF (likvideerimisel), Luksemburgi Suurhertsogiriigi seaduste alusel asutatud investeerimisfond, registrikoodiga Luksemburgi kaubandus ja ettevõtete registris B 86 729, mille registreeritud aadress on 412F, route d’Esch L-1030, Luksemburgi Suurhertsogiriik. Ülevõtja on investeerimisfond, mille fondivalitsejaks on KJK Management SA, Luksemburgi Suurhertsogiriigi seaduste alusel asutatud äriühing, registrikoodiga Luksemburgi kaubandus ja ettevõtete registris B-156 627, mille registreeritud aadress on 9, rue Jean-Pierre Sauvage, L-2514, Luksemburgi Suurhertsogiriik. Pakkumise läbiviimisel tegutseb Ülevõtja iseseisvalt, ehk Pakkumise läbiviimisel puuduvad Ülevõtjaga kooskõlastatult tegutsevad isikud. Sihtemitent on Aktsiaselts BALTIKA, Eesti Vabariigi seaduste kohaselt asutatud äriühing, äriregistri registrikoodiga 10144415, mille registreeritud aadress on Veerenni tn 24, Kesklinna linnaosa, Tallinn, 10135, Eesti Vabariik. 3. Baltika Aktsiate omamine ja omandamine Ülevõtja poolt Käesoleva teate kuupäeva seisuga emiteeris Baltika Ülevõtjale Baltika aktsiakapitali suurendamise ja aktsiate avaliku pakkumise lõpuleviimise tulemusel 46 919 146 uut Baltika Aktsiat. Koos Ülevõtjale juba eelnevalt kuulunud 1 586 845 Baltika Aktsiaga, mis andsid Ülevõtjale Baltika aktsionäride üldkoosolekul 38,8982% kõigist Baltika Aktsiatega esindatud häältest, kuulub Ülevõtjale käesoleva teate kuupäeval, uute Baltika Aktsiate emiteerimise lõpuleviimise järel, 48 505 991 Baltika Aktsiat, mis annavad Ülevõtjale Baltika aktsionäride koosolekul ligikaudu 89,69% kõigist Baltika Aktsiatega esindatud häältest. Ülevõtja omandas Baltika Aktsiaid Baltika aktsiakapitali suurendamise ja aktsiate avaliku pakkumise raames hinnaga 0,10 eurot (kümme senti) aktsia kohta. Käesoleva teate kuupäevale eelneva kuue kuu jooksul ei ole Ülevõtja muid Baltika Aktsiaid omandanud. Ülevõtjale kuuluvaid Baltika Aktsiaid hoitakse krediidiasutuse ING Luxembourg SA (Luksemburgi Suurhertsogiriigi seaduste alusel asutatud äriühing, registrikoodiga Luksemburgi kaubandus ja ettevõtete registris B 6041, mille registreeritud aadress on 26, Place de la Gare, L-1616, Luksemburgi Suurhertsogiriik) esindajakontol Swedbankis nimega „ING Luxembourg S.A. AIF Account“. Nimetatud kontole kavatseb Ülevõtja omandada ka Pakkumise raames omandatavad Baltika Aktsiad. 4. Pakkumise esemeks olevad aktsiad Baltika aktsiakapitali suurendamise ja aktsiate avaliku pakkumise lõpuleviimise järel on Baltika emiteerinud kokku 54 079 490 nimelist lihtaktsiat, nimiväärtusega 0,10 eurot (kümme senti) aktsia kohta („Baltika Aktsiad“). Kõik olemasolevad (sh Baltika aktsiakapitali suurendamise ja aktsiate avaliku pakkumise raames emiteeritud) Baltika Aktsiad on vabalt võõrandatavad. Olemasolevad Baltika Aktsiad on noteeritud ja Baltika aktsiakapitali suurendamise ja aktsiate avaliku pakkumise raames emiteeritud Baltika Aktsiad noteeritakse Nasdaq Tallinna Balti põhinimekirjas ("Nasdaq Tallinn"). Pakkumine tehakse kõikide Baltika Aktsiate suhtes, mis ei kuulu Ülevõtjale. Iga Baltika Aktsia annab aktsionärile üldkoosolekul ühe hääle. 5. Finantsinspektsiooni kooskõlastus ja Pakkumise dokumentide avalikustamine Vastavalt Eesti Vabariigi õigusaktidele, esitab Ülevõtja eraldiseisvate dokumentidena Prospekti ja Pakkumise teate kooskõlastamiseks FI-le. Vastavalt Eesti väärtpaberituru seadusele otsustab FI Pakkumise teate ja Prospekti kooskõlastamise 15 kalendripäeva jooksul alates Ülevõtjalt vastava avalduse saamisest. Pakkumise teade ja Prospekt avalikustatakse pärast nende kooskõlastamist FI poolt FI poolt osundatud kuupäeval. Pakkumise ja selle aktseptimise tingimused (sealhulgas Pakkumise esemeks olevate aktsiate ostuhind) sätestatakse Ülevõtja poolt avalikustatavas Prospektis ja Pakkumise teates. Pakkumine tehakse üksnes pärast Pakkumise teate ja Prospekti kooskõlastamist FI poolt. 6. Pakkumise dokumentide avalikustamine ja levitamise kohad Pärast seda, kui FI kooskõlastab Pakkumise teate ja Prospekti, avaldatakse Pakkumise teade ja Prospekt elektroonilisel kujul: · Nasdaq Tallinn kodulehel (www.nasdaqbaltic.com); ja · Finantsinspektsiooni kodulehel (www.fi.ee). 7. Oluline informatsioon Käesolev teade ei kujuta endast kellegi poolset pakkumist ega üleskutset mistahes väärtpaberite müümiseks ega ostmiseks üheski jurisdiktsioonis. Pakkumine tehakse kooskõlas Eesti Vabariigi õigusaktidega ning see ei kuulu ühegi välisriigi järelevalveasutuse poolt ülevaatamisele ega kooskõlastamisele. Pakkumist ei tehta isikutele, kelle osalemine Pakkumises eeldab lisaks Eesti Vabariigi õigusaktidest tulenevate nõuete täitmisele täiendava pakkumisdokumendi koostamist, registreeringu teostamist või mistahes muude meetmete rakendamist. Erinevuste korral Prospekti sisu ja mis tahes muu dokumendi või teate vahel kohaldatakse eesti keelse Prospekti tingimusi. Ei käesolev dokument ega mis tahes muu Pakkumisega seoses edastatav informatsioon ei kujuta endast Ülevõitja ega ühegi teise isiku soovitust käesoleva dokumendi (sh mis tahes muu Pakkumisega seoses esitatud informatsiooni) saajale Baltika Aktsiate müügiks. Iga isik, kes kaalub aktsiate müüki, peaks iseseisvalt analüüsima Baltika ning tema tütarühingute finantsseisundit ja olukorda ning andma Pakkumisele oma hinnangu. Kui käesolevas teates ei ole sätestatud teisiti, esitatakse kogu käesolevas teates sisalduv informatsioon käesoleva teate kuupäeva seisuga.


source: CulturaX

text: Audiitorkogu / 16. oktoober 2020 Parim audiitortegevuse alane uurimustöö sel sügisel lõppenud arvestusala uurimistööde konkursil: Finantsaudiitori kohustused tulenevalt isikuandmete kaitse üldmäärusest Autor: Anette Sutt Autori tutvustus: Olen 24-aastane ning omandanud Tallinna Tehnikaülikooli majandusteaduskonnas bakalaureuse kraadi majandusarvestus ja ettevõtluse juhtimise õppekavas, spetsialiseerudes majandusarvestusele. Tänaseks olen töötanud kahes rahvusvahelises audiitorettevõttes 2,5 aastat. Hetkel töötan vanemkonsultandina, keskendudes peamiselt finantssektori auditiklientide auditeerimisele. Lõputöö pealkiri: Finantsaudiitori kohustused tulenevalt isikuandmete kaitse üldmäärusest Töö lühikirjeldus: Uus keerukas Euroopa Liidu isikuandmete kaitse üldmäärus jõustus 25. mail 2018. aastal, muutes seda, kuidas igas tööstusharus tegutsevad ettevõtted käitlevad isikuandmeid. Uue üldmääruse eesmärgiks oli ühtlustada arusaama andmekaitsest ning tagada isikutele informatsioonilise enesemääratlusõiguse. Tegemist on põhiõiguse ja -vabadusega ise valida ja otsustada, kellele ning milliseid endaga seotud andmeid isik jagab. GDPR mõjutab ka Eestis tegutsevaid finantsaudiitoreid. Finantsaudiitorid töötlevad auditikliendi finantsaruannete kohta arvamuse kujundamisel isikuandmeid igapäevaselt. Hooletusest või teadmatusest tekkinud eksimused mõjutavad nii kliendi kui ka audiitorbüroo mainet, mis seab ohtu ettevõtluskeskkonna usaldusväärsuse ja koostöösuhted klientidega. Lõputöö teema valikul lähtusin uue määruse aktuaalsusest ning olulisusest finantssektori jaoks. Töö lõpptulemus on informatiivne nii audiitorettevõtjatele ning ka nende klientidele, kes soovivad teada, millisel määral vastab Eesti audiitorite pädevus uuele isikuandmete kaitse üldmäärusele, et hinnata selle põhjal nende kvaliteeditaset. Lisaks saavad audiitorettevõtjad selle põhjal hinnata, milline on auditituru valmidus uue määruse täielikuks järgimiseks ning kus on murekohad, millele oma ettevõttes tähelepanu pöörata. Põhjalike arutelude tulemusel on Accountancy Europe, mille liige on ka Eesti Audiitorkogu, jõudnud seisukohale, et GDPR-ist tulenevalt on finantsaudiitorid vastutavad andmetöötlejad. Kohustuslikku auditit käsitlevad õigusaktid kohustavad audiitoreid olema sõltumatud ja seepärast otsustavad audiitorid, milliseid andmeid nad auditi tegemiseks vajavad ja kuidas andmeid kasutatakse. Lisaks ei määra audiitor ega klient ühiselt töötlemise eesmärke ega meetmeid. Auditi eesmärgid ja protseduurid on kindlaks määratud seaduste ja määrustega. Selleks, et hinnata finantsaudiitorite teadlikkust uuest määrusest ja sellega kaasnevate kohustuste kohta viisin läbi kvantitatiivse uuringu. Uuringust selgus, et kõrgematel ametikohtadel töötavad audiitorid hindavad oma teadmisi määruse kohta pigem heaks ning madalama taseme töötajad rahuldavaks. Uuringu käigus hindasin audiitorite mõistmist GDPR-i põhilistest definitsioonidest, nagu isikuandmed, andmesubjekt ja töötlemine. Tulemustest ilmnes, et audiitorid leiavad, et nii füüsiline kui ka juriidiline isik on GDPR-i mõistes andmesubjekt. Suutmata korrektselt defineerida andmesubjekti ei osanud ka audiitorid tuvastada kõiki isikuandmeid etteantud loetelust. Suurem osa valimist on teadlik, et igasugune tegevus isikuandmetega klassifitseerub töötlemisena. Samuti on audiitorid teadlikud peamistest andmesubjekti õigustest, nagu õigus tutvuda nende töödeldavate isikuandmetega ning vajadusel on neil õigus ka piirata või esitada vastuväiteid andmete korrektsusele. Kuigi audiitorite teadlikkus andmesubjekti õigustest on pädev, ei teavita enamus audiitoreid andmesubjekte nende andmete töötlemisest. Mida madalama taseme ametikoha töötajaga on tegemist, seda vähem rakendatakse ka GDPR-ist tulenevaid andmetöötlemise põhimõtteid. Antud tulemust saab seostada audiitorite tõlgendusest, kas nad on GDPR-i mõistes vastutavad või volitatud töötlejad. Kõrgemate ametikohtade töötajad on teadlikud, et nad on vastutavad töötlejad, mistõttu pööravad nad ka rohkem tähelepanu andmete töötlemise protsessile. Konsultandid ning praktikandid leiavad pigem, et nemad ei otsusta, kuidas ja milliseid kliendi andmeid töödeldakse ja on GDPR-i mõistes volitatud töötlejad. GDPR-ist tulenevate kohustuste vähendamiseks on audiitoritel võimalus andmeid kas pseudonümiseerida või anonümiseerida. Kui audiitoritelt uuriti, kas nad antud meetodeid rakendavad, oli vastus pigem eitav. Kui üldse, siis teevad seda kõrgemate ametikohtade töötajad. Analüüsi tulemuste põhjal saab järeldada, et audiitoritel puudub terviklik ülevaade GDPR-i olemuses ja määrusest tulenevatest kohustustest, mis mõjutavad nende igapäevatööd. Tegemist on keeruka ning alles vähe aega tagasi jõustunud määrusega, mille mõju ei osata veel korrektselt tõlgendada. Selleks, et vältida ebapädevusest tulenevaid rikkumisi, soovitan järgmisi lahendusi: Audiitorettevõtjad peaksid pöörama tähelepanu lisaks ettevõtte GDPR-i vastavusele ka töötajate kompetentsile. Audiitorid eeldavad, et vastavuse tagamine on pigem tööandja kui nende kohustus. Sellest tulenevalt ei oska audiitorid eristada töötleja kohustusi ettevõtte omadest. Tööandjad peaksid ülevaatama nende poolt koostatud juhendmaterjalid ning hindama kas need on lugejale arusaadavad ning sisaldavad kõige olulisemaid GDPR-i aspekte. GDPR-i korrektse rakendamise jaoks tuleb audiitorite seas viia läbi põhjalik koolitus, et tagada piisav pädevus ja ennetada tulevikus suuremaid andmekaitse rikkumisi. Audiitorid võiksid isikuandmete kaitse olulisust rõhutada ka auditiklientidele. Juhul, kui auditikliendi töötleja oskab rakendada kohustuse vähendamiseks vastavaid meetmeid, vähendab see ka audiitorile GDPR-i mittevastavusest tulenevaid riske. Töö analüüsi osas kaardistuvad välja peamised probleemsed kohad, mis võivad jääda audiitoritele arusaamatuks läbi vale tõlgendamise. Tõstes audiitorite teadlikkust, saavutavad ka audiitorettevõtjad kiiremini täieliku vastavuse ning tagatakse kvaliteetne audititurg. Kuna tegemist on siiski alles vähe aega tagasi jõustunud reformiga, saab antud tööd tulevikus edasi arendada ka võrdlusanalüüsina. Edaspidi saab hinnata finantsaudiitorite GDPR-iga seonduva pädevuse dünaamikat ja jälgida, kas praeguseks selgunud murekohad on lahendatud või kas on tekkinud uusi. Lõputöö terviktekst on kättesaadav: https://www.audiitorkogu.ee/est/arvestusalaste-uurimustoode-konkursi-2020-voidutood-ja-audiitortegevusega-seotud-tood


pulmajutud – Katz kokkab Silt: pulmajutud Purgitäis karamelli! aprill 18, 2020 ~ Katz kokkab ~ Lisa kommentaar .... ja koroonapruut! Purgitäis karamelli võiks alati kapis ootamas olla, mida oleks hea võtta, kui pannkoogid nõuavad magusat kastet, kook siiruviirulist kaunistust või lihtsalt tusatuju peale tuleb, et siis lusikaga otse purgist üks suutäis võtta. Loe edasi “Purgitäis karamelli!” →


Kas tasub üritada aktsiaturge ületada? Mait Kraun • 26. märts 2016 Püüdlus turgude tootlust ületada võib lõppeda katastroofiliselt, kirjutab Merriman Wealth Managementi asutaja ja mitme investeerimisalase raamatu autor Paul Merriman. Ta annab ka soovitusi kaalutletud valikute tegemiseks. On palju viise, kuidas investorid võivad omale jalga tulistada. Üks tuntumaid on püüd turgude tootlust ületada. Paljud uuringud on tõestanud, et inimesed, kes seda püüavad, jäävad turgude tootlusele kõvasti alla. Avaldame Paul Merrimani arvamuse turgude ületamise kohta. Võta veidi tagasihoidlikum eesmärk Siin on minu tees: kui sa suudad ennast tagasi hoida ning ei proovi turgusid ületada, siis sa võid väga odavalt ja kergesti saada keskmisest paremat tootlust. Jah, ma ütlesin seda: kergelt ja odavalt. Siiski on maailmas tuhandeid (võib-olla ka miljoneid) investoreid, kes üritavad iga hinna eest turgude tootlust ületada. Kui sa oled nende hulgas, siis tõenäoliselt teed sa mitmeid halbu valikuid ja otsuseid. Näiteks selliseid: Sa usaldad informatsiooni ja nõuannete kogumisel valesid inimesi;Sa maksad liiga palju teenustasudeks (ja tõenäoliselt ka maksudeks);Sa võtad palju mittevajalikke riske;Sa ei suuda oma investeeringuid piisavalt hajutada;Sa muretsed liiga palju oma investeeringute pärast, mis hakkab sinu meelerahu segama;Sa keskendud lühiajalistele tulemustele, mis ei ole tegelikult tähtsad;Sa teed otsuseid emotsioonidest lähtuvalt. Teoorias võib turgude ületamine tagada suure edu ja kasumid. On aga tõenäolisem, et püüdlused lõpevad ebaõnnestumisega ning sa võid investeerimisest isegi loobuda. Minu soovitus: selle asemel, et püüda teisi investoreid üle kavaldada, peaks püüdma hoopis terve turu tootlust. Pikemas perspektiivis oled sellega rohkem kui pooltest investoritest paremas seisus. Teoorias on turgude tootluse saamine väga lihtne. On loodud mitmeid börsil kaubeldavaid fonde (ETFe), mis järgivad Standard & Poor’s 500 indeksi liikumist. Sama kehtib tegelikult ka teiste suuremate varaklasside kohta. Reaalses elus tekivad aga takistused, mis ei luba antud tootlust saavutada. Erinevad kulutused, maksud ja ebaefektiivsused on vältimatud. Keegi peab ju börsil kaubeldava fondi looma ja seda haldama. See maksab aga raha. 0,1 protsendi loovutamine ei pruugi tunduda midagi erilist. Pikaajaliselt võib see tähendada aga tuhandeid eurosid. Mõistlikud investorid maksavad teenustasudeks võimalikult vähe raha. Teiseks võib välja tuua investori käitumise. Ka see osutub pahatihti takistuseks. Kuna seda on võimalik kontrollida, siis pühendan ülejäänud kolumni just käitumuslikule poolele. Investorid, kes püüavad turgu ületada, panevad oma raha lõpuks fondidesse, mis on näidanud viimasel ajal head tootlust. See on suur viga. Investorid muretsevad liiga palju lühiajaliste liikumiste pärast ja see teeb heade otsuste tegemise väga raskeks. Inimesed, kes teavad, et nad peaksid riskid kontrolli alla võtma või rohkem hajutama, lükkavad oma tegevust edasi. Seda just lühiajaliste turutrendide tõttu, mis on neile tekitanud erinevaid emotsioone. Mõnikord muretsevad nad näiteks Föderaalreservi pärast. Turgudest kaks korda väiksem tootlus Liiga paljud investorid vaatavad seda, mis on toimunud eelmisel nädalal või mõtlevad, mis saab järgmisel nädalal. Kollektiivne tulemus on turgude vale ajastamine. Kui nad lõpuks tegutsevad, siis toimub see emotsioonide, mitte ratsionaalse plaani ning faktide ajendil. Bostoni uuringufirma DALBAR on sellist käitumist uurinud alates 1992. aastast. Nad on näidanud, et sellise käitumise rahaline mõju võib olla katastroofiline. Kui me hirmu ja ahnuse ajendil turgudel oste ja müüke teeme (teisisõnu üritame turge ületada), siis kollektiivselt saame me kaks korda väiksemat tootlust kui mitte midagi tehes. Asi muutub veelgi hullemaks. Paljud investorid näevad kurja vaeva, et leida endale nõustaja, kes suudab turge ületada. Seejärel ignoreerivad nad emotsioonide tõttu tema nõuandeid ning teevad enda kauplemisotsuseid. Kõike seda tehakse selleks, et turge ületada. Võid arvata, et sellised juhtumid on harvad. Uuringutest on selgunud, et selline tegevus pole investorite seas sugugi haruldane. Järgmine kord, kui sul tekib tahtmine teised investorid üle kavaldada ning midagi osta või müüa, küsi endalt kaks küsimust: Kas ma teeksin selle otsuse, kui ma peaksin sellega kümme aastat elama, ilma et ma seda muuta saaksin?Kas ma olen nõus seda aktsiat ostma ka siis, kui selle hind langeb 20 protsenti? Kui sa võtad veidi aega ning mõtiskled nende teemade üle, siis on hea võimalus, et emotsioonid ei tee sinu eest otsuseid. Sa muutud rahulikumaks ning teed paremaid valikuid. Alternatiiv närvide kulutamisele: investeeri madalate teenustasudega indeksfondidesse. Need säästavad sulle raha ning sa ei pea tundma kahetsusvalu.


text: YouTube PowerPoint 2003-s Põhiline » Kuidas » YouTube PowerPoint 2003-s Kas soovite teha PowerPointi esitlust ja kasutada YouTube'i fragmenti? Saate video alla laadida ja teisendada, kuid see on palju tööd. Kui teil on Interneti-ühendus kohas, kus soovite esitlust teha, saate selle ka oma PowerPointi esitlusesse manustada. Me selgitame, kuidas töötada PowerPoint 2003-s. 1. Juhtnupud Avage Microsoft PowerPoint 2003 Start / Programs / Microsoft Office / Microsoft Office PowerPoint 2003 kaudu. Vaikimisi näete tühja slaidi. Kui te ei soovi uut slaidiseanssi luua, kuid soovite jätkata varem loodud projektiga, peate kõigepealt selle faili avama. Valige Fail / Ava või kasutage klahvikombinatsiooni Ctrl + O ja navigeerige faili täpsesse asukohta. Klõpsake nuppu Ava ja navigeerige slaidini, kuhu soovite YouTube'i klipi lisada. Kahjuks pole PowerPoint 2003-s spetsiaalset nuppu, mille abil saaksite filmi kohe importida. Seetõttu peate kõigepealt välja kutsuma töötavate juhtelementide komplekti. Selleks: minge menüüsse Vaade / Tööriistaribad ja märkige linnuke Tööriistakasti juhtnupud juurde. Kas näete uut tööriistariba? Klõpsake tööriistariba kõige viimasel ikoonil nuppu haamri ja võtmega. Nüüd kuvatakse teile rippmenüü, milles on nähtavad kõik saadaolevad juhtnupud. Kerige alla ja klõpsake Shockwave Flash Object. Kõigepealt peate avama juhtimistööriista. Kas näete, et teie kursor on ristiks muutunud? Joonistage oma lehele raam. Teie filmi näidatakse varsti selles valges ristiga kaadris. Kas te pole joonistanud õigeid mõõtmeid? Pole probleemi. Asukohta ja suurust saate igal ajal reguleerida. Haarates kaadri nurgast ja lohistades seda hiire nuppu all hoides, saate videokaadri suurust muuta. Raami saate liigutada, asetades kursori objektikasti ja hoides all hiire vasakut nuppu. Nüüd minimeerige Microsoft PowerPoint 2003 ja avage oma brauser. Minge aadressile www.youtube.com ja klõpsake klipil, mida soovite slaidiseansis kasutada. Iga YouTube'i klipi alt leiate lisateavet, nagu tegija nimi ja video vaatamiskordade arv. Kas näete ka nuppu Jaga? Unikaalse veebiaadressi nägemiseks klõpsake seda üks kord. Kopeerige ketiikooni kõrval olev URL lõikelauale klahvikombinatsiooniga Ctrl + C. Kopeerige YouTube'i klipi unikaalne URL lõikelauale. Naaske Microsoft Powerpoint 2003 juurde ja paremklõpsake ristil oleval kastil, kus teie videoklipp peagi ilmub. Valige Atribuudid. Nüüd näete kasti igasuguste koodidega. See näeb välja keerulisem kui tegelikult. Klõpsake filmi kõrval asuvat kasti ja kleepige siia eelmises etapis lõikelauale kopeeritud URL. Koodi kleepimiseks kasutage klahvikombinatsiooni Ctrl + V. Siiski peate koodi natuke kohandama. Kustutage tekst vaadata? ja asendage see =märk (võrdusmärk) tähisega a / (kaldkriips). Vajadusel saate reguleerida ka muid parameetreid. Kui soovite, et video algaks esitluse ajal automaatselt, peate valima Esitamise kõrval sätte Tõene. Kui soovite klipi käsitsi käivitada, valige False. Kas te ei soovi, et klipp korduks? Seejärel asendage Loopi kõrval True väärtusega False. Sulgege aken punase ristiga nupuga paremas ülanurgas ja vajutage slaidiseansi alustamiseks klahvi F5.


VIDEO: mängulust on kõigil lastel | Looduskalender.ee Hülgemamma imetab poega vahel kuni kolm nädalat. Uurijate andmeil vahel kuni kümmekond korda ööpäevas, aga mainima peab, et hallhülged on päevasel ajal tegutsejad. Imetamise ajal emashülged ei toitu, ega rooja. Hülgepiima on tohutult rammus, rasvasisaldus võib ulatuda kuni 50%-ni! Hülgepojad võtavad imetamise ajaga kaalus juurde kolm- kuni nelikümmend kilo, aga kaalus juurdevõtmine oleneb paljudest teguritest, isegi hülgekoloonia arvukusest. Kuidas emashülged oma võsukesed ära tunnevad? Hülgepoja häälitsuste ja lõhna järgi. Imetamise lõppedes peavad noored hülged iseseisvalt hakkama saama sest emapiimaga on organism omandatud vajalikud varuained. Vanemaks saades tikuvad hülgepojad ringi hulkuma ja algab juba noorloomade karvavahetus. Lumi maas, päike paistab, tuult ei ole, mõnusalt -10 kraadi. Mida sa elult veel tahta oskad...


Laulupeo rongkäiku näeb ERRi portaalides kolmes otsepildis | Laulupidu 2017 | ERR Laulupeo rongkäiku näeb ERRi portaalides kolmes otsepildis ({{commentsTotal}}) {{1498807260000 | amCalendar}} Lapsed laulu- ja tantsupeol. Autor/allikas: Stanislav Moshkov ERR kajastab oma kanalites XII noorte laulu- ja tantsupeo olulisemaid sündmusi ning jälgida tasub nii tele- kui raadiokanaleid, portaali ning sotsiaalmeediat. Veebiülekandena saab laulu- ja tantsupidu jälgida erilehel laulupidu.err.ee, kus lisaks laulu- ja tantsupeo jälgimisele saab tutvuda ka kaartide ja infoga liikluse ümberkorraldustest ning ühistranspordi muudatustest. Pühapäeval saab laulupeo erilehel aga nautida otseülekannet rongkäigust osalejate silme kaudu. Kõik veebiuudised ja videod koonduvad ERR kultuuriportaali erirubriigis. ERRi multimeediatoimetaja Sander Koit teeb rongkäigu nelja kilomeetri pikkuse teekonna kaasa, otsepilti näitav telefon käes, ning saab näha, millised paistavad rongkäigulisele pealtvaatajad ja kuidas kõlavad tervitushüüded. Lisaks ETV põhiülekandele, mis on sisustatud saatejuhtide intervjuude ja reportaažilõikudega, annab portaal võimaluse kolmandas otsepildis jälgida vaid rongkäiku, et ükski koor või tantsurühm ei jääks kodustele videopildis nägemata. See on kommentaarideta videopilt, mille kaudu astuda pealtvaataja rolli. Seda, millal oma koori oodata, näeb rongkäigu rivistuse nimekirjast. ETV ülekanne rongkäigust algab pühapäeval, 2. juulil kell 9.20, rongkäik hakkab liikuma kell 9.30. Alates 9.30 algavad nii rongkäigu kommentaarideta ülekanne kui ka rongkäigu seest tulev pilt. Kõiki kolme pilti näeb leheküljel laulupidu.err.ee. Pidu teleekraanil Laupäeva päeval jõuab televaatajateni rahvamuusikapidu ja õhtul noorte tantsupidu. Rahvamuusikute pidu on eetris esimest korda iseseisva ülekandena ning näha saab tõeliselt rikkalikku pillide pidu. Rahvamuusikapeolised jagunevad vastavalt ansamblite koosseisule kuue pilliliigi vahel: kandled, viiulid, lõõtspillid, näppepillid, akordionid ja koondorkester. Igal liigil on viiest kuni seitsmest palast koosnev repertuaar. Kuna rahvamuusika üks peamisi funktsioone on läbi aja olnud tantsuks mängimine, toimub üritus sel korral seal, kus on tantsijad, ehk Tantsupeo juures ja sellest lähtuvalt on Rahvamuusikapeo repertuaari läbiv joon tantsulisus. Lisaks tantsulugudele koosneb peo repertuaar üldjoontes pärimuslikest ja rahvalikest lugudest, aga kõlab ka autoriloomingut ja teiste maade muusikat. Rahvamuusikapeol on sel korral üks ühine pikk kontsert, kus kõik pilliliigid oma kavaga esinevad. Rahvamuusikute peo loominguline juht on Juhan Uppi n. Režissöör Rait-Roland Veskemaa, produtsent Kadi Priske, toimetaja Grete Lõbu Tantsumurul on kokku 8500 tantsijat ja võimlejat. Tantsupeo pealavastaja on Margus Toomla, idee autor on Meelis Kompus koostöös Maian Kärmase, Margus Toomla, Marju Kõivupuu ja Rasmus Puuriga. Teleülekande režissöör on Ruti Murusalu, juhtoperaator Raul Priks, tehnikajuht Risto Sirts ja produtsent Margus Saar. Tantsupidu vahendab vaatajatele ka venekeelne telekanal ETV+. Kommenteerivad Aleksandr Hobotov ja Marina Kuznetsova. Lauluväljakul toimuvat vahendavad televaatajaile Margus Saar ankruna ning reporteritena piduliste-pealtvaatajate seast Anna Gavronski, Taavi Eilat ja 8-aastane Kihnu tüdruk Kase Kai. Kai on siiani teinud Vikerraadios Kihnu uudiseid, nüüd leiab aset tema teledebüüt reporterina ka kaamera ees. Laulupeo ülekande režissöörid on Ülle Õun ja Margit Ossipova, produtsent Helen Valkna, toimetajad Anu Välba ja Reimo Sildvee Telekanalis ETV+ kommenteerivad laulupeo ülekannet Artur Tjulenev ja Tanja Mihhailova, reporterina on kohal Mihhail Malkin. XII noorte laulupidu “Mina jään” on terve nädala nii Vikerraadio kui Klassikaraadio põhifookuses, saated lauluväljakult on eetris terve laulupeonädala jooksul. Raadio 4 teeb 2.juulil kell 12.30-13.00 reportaaži rongkäigult ning kell 15.05-16.00 saab kuulata laulupeo kontserdi otseülekannet. Kommenteerivad Irina Svensson ja Diana Prussakova. Peo ülekanded on ERRi veebikeskkondades otse- ja järelvaadatavad/kuulatavad ning seda ka väljaspool Eestit. Samuti saab üle maailma ETV otseülekandeid peost jälgida ERRi YouTube'i kanalil aadressil youtube.com/rahvusringhaaling. Peo ajal tasub pilk peal hoida ka Eesti Televisiooni ja Vikerraadio Facebooki kontodel. laulu- ja tantsupidumuusika Galeriid: XII noortelaulupidu "Mina jään" ja meeleolukas rongkäik Vaata uuesti: XII noorte tantsupidu "Mina jään" Reet Weidebaum vihmaselt Kalevi staadionilt: tantsijad on kõik väga vaprad


Käesoleva protokolli osalised,


Bubble Tea Powder | tootja tarnija Taiwan hulgimüüja turustaja Te olete siin: kodus -> tooted -> Bubble Tea Powder Sunnysyrup Food Co., Ltd., Tootja ja tarnija, kes on spetsialiseerunud arendamine Bubble Tea Powder. Pärast kogunemist üle aastat kestnud uuringud, meil on tunnistatud on suurim ja mainekaim tootja Taiwan. Tänu kõrge kvaliteediga ja konkurentsivõimelise hinnaga, meie tooted on eksporditud rohkem kui 20 riigis üle maailma. Kui otsite usaldusväärne partner, siis võiks loota. Loodame siiralt, et meil on võimalus teha koostööd teiega lähitulevikus. NDC : Mitte Dairy Koorekann 99 ei ole piimatoode koorepulber on üks tähtsamaid koostisosi valmistamiseks piima tee tooteid, see pulbri kuju ja tuleb dissloved jooksul kuuma vee või tee, see teeb tee kreemjas ja lisatakse maitsestatud siirupis enne serveerimist nagu maitsestatud piima tee poducts. Piimavaba creamers või kohvi whiteners on vedelad või teralise ainega ette nähtud asendada piima või koort lisandina kohvi või teisi jooke. Nad ei sisalda laktoosi ning seetõttu kirjeldatakse sageli ei ole piimatooted, kuigi paljud sisaldavad kaseiini, piimasaadused valku. 20 kg * 1bag Almond piimapulber on mingi maitsestatud piima pulber, tugeva puuvilja lõhn ja magusus, mida võib kasutada kuuma vee või tee ja tarbida vahetult. Erinevalt loomade piima, mandli piim ei sisalda kolesterooli ega laktoosi. Kuna see ei sisalda ühtegi loomset, see on vastuvõetav veganitel ja taimetoitlased, ja teised, kes hoidub piimatooted. Commercial mandli piimatooted tulevad sageli lihtsas ja vanilli või šokolaadi maitse ja mõnikord vitamiinidega rikastatud. Mandlipiimaga saab teha ka kodus jahvatamisel mandlid veega blenderisse. CMP : Chocolate piimapulber Chocolate pulber on mingi maitsestatud piima pulber, tugeva šokolaadi lõhn ja magusus, mida võib kasutada kuuma vee või tee ja tarbida vahetult. Chocolate piima magustatud kakao maitsestatud piima. On loodud segamise šokolaadisiirupi (või šokolaadi pulber) piimaga (lehma-, kitse-, soja, riisi, jne). Seda saab osta eelsegatud või valmistatud kodus kas kakaopulbrit ja magusaine (nagu suhkur või suhkruasendaja) või sulatatud šokolaadi, šokolaadi siirup, või šokolaadi piima segu. Abiained, nagu tärklis, sool, karrageen, vanilli või kunstlikud maitseaineid lisatakse mõnikord. Papaya Piimapulber on mingi maitsestatud piima pulber, tugeva puuvilja lõhn ja magusus, mida võib kasutada kuuma vee või tee ja tarbida vahetult. Küps papaiad süüakse värskelt, olles eelnevalt läbi naha ja seemned; mõnikord on lõigatud väikesteks tükkideks ja segada teiste puuviljade puuviljasalat. Papaiad, mis ei ole täiesti küpsed saab lõigata tükkideks ja keedetud suhkrut ja süüakse kui dessert.In troopilistes piirkondades, see on väga populaarne võtta papaia mahla, pärast pildistamist nahk ja seemned välja; Selle mahla võib segada piima teha smuutisid. WMP : Puuviljapulbrid Arbuus piimapulber on mingi maitsestatud piima pulber, tugeva puuvilja lõhn ja magusus, mida võib kasutada kuuma vee või tee ja tarbida vahetult. "Carolina Cross" toodetud praeguse maailmarekordi arbuus kaalub 120 kilogrammi (260 naela). See on roheline nahk, punane liha ja tavaliselt toodab puu vahel 29 ja 68 kg (65 150 naela). See võtab aega umbes 90 päeva istutada saagi. "Golden Midget" on kuldse koorikuga küpsena ja roosa liha ja võtab ainult 70 päeva istutada saagi. "Orangeglo" on väga magusa apelsini viljaliha ja on suur, piklik puu kaaluga 9-14 kg (20-30 kilo). See on heleroheline rind koos sakiliste tumeroheline triibud. See võtab aega umbes 90-100 päeva istutada saagi. 20 kg * 1b a Snow jää pulber on üks olulisemaid koostisosi lund jää, on kaks varianti - tavaline ja piima. See võiks olla lumi jää koostisosad segada õigemini olles segatud ja külmutada, seega plokid on palju tõenäoliselt setete lumi jää tegemise masin. Moreever lumi jää on siidine tekstuur olles raseeritud lund jää raseerimine masinad nii jääl saab kätte rohkem nagu nimigi "lumi". Palun hoidke varjuga koht.


BRUDER - Kaubamärgid - Lapsed Mänguasjad Beebide mängud ja tarvikud Tüdrukute mängud Poiste mängud Klotsid ja konstruktorid Käsitöö- ja kunstikomplektid Pehmed mänguasjad Lauamängud ja pusled Rollimängud ja teatrimängud Teadusmängud Sport- ja hooajamängud Muusikalised mänguasjad Patareid Beebitüdruk Kleidid ja seelikud Pluusid ja jakid Bodid ja kombinesoonid Püksid Komplektid Ülerõivad Rannarõivad Aksessuaarid Sukkpüksid, sokid, papud Kindad, mütsid, sallid Kingitused Beebipoiss Särgid ja jakid Kudumid Bodid ja kombinesoonid Püksid Komplektid Ülerõivad Rannarõivad Aksessuaarid Sukkpüksid, sokid, papud Kindad, mütsid, sallid Kingitused Tüdrukute rõivad Kleidid ja seelikud Pluusid ja T-särgid Kudumid Jakid ja dressipluusid Püksid Komplektid Ülerõivad Rannarõivad Pesu ja ööpesu Aksessuaarid Ehted, vööd ja prillid Sukkpüksid, sokid, põlvikud Kindad, mütsid, sallid Kotid ja vihmavarjud Kinkekomplektid Poiste rõivad Särgid ja T-särgid Kudumid Jakid ja dressipluusid Pintsakud ja vestid Püksid Ülerõivad Rannarõivad Pesu ja ööpesu Aksessuaarid Lipsud, traksid, rihmad Sokid Kindad, mütsid, sallid Kotid ja vihmavarjud Jalatsid Kingad Sandaalid Saapad Kummikud Sussid Sportlikud Beebi Koolikaubad Laste kotid Ranitsad Kalendermärkmikud Pinalid Voolimisvahendid Markerid Värvimisvahendid Tindipliiatsid ja -balloonid Pastapliiatsid ja tuubid Harilikud pliiatsid Liimid Kleeplint Korrektuurvahendid Kooli- ja kontoritarvikud Arvutid ja kalkulaatorid Registraatorid ja kaaned Kleepsud Joonistusplokid ja -paberid Märkmikud ja märkmepaber Päevikud Kaustikud Vihikud Koolipaber Pakkematerjal Raamat, film ja muusika Lasteraamatud Lastefilmid Lastemuusika Kosmeetika Laste vannitooted Kaubamärgid 3DOODLER 4M AASAGEKO ABC ACTIVE ADIDAS ALEXANDER ALEXTOYS AMBASSADOR AMSCAN ANEKKE ANGELS FACE ANTONIO JUAN AURORA AVENUE MANDARINE BABY CORNER BALLOONIA BARBARAS BARBIE BBS BEADOS BESTWAY BIG BIG BUDDIES BILLYBANDIT BJÖRN BORG BLACK&DECKER BLUE EFFECT BOBOLI BONTEMPI BRADLEY BRAIN GAMES BREDEN KIDS BRUDER BUKI BUKOWSKI BULLYLAND CANADA GOOSE CARRERA CARS CASE LOGIC CD CERDA CHARTERS CITIZEN CLAIREFONTAINE CLARKS CLASSIC WORLD CLEMENTONI COLOR KIDS COLORINO PATIO COLUMBIA CORTINA COTOONS CRAYOLA CREAMIE CROCODILE CREEK CROCS CUBICFUN D&M DADA DAKO DECOPATCH DECUEVAS DEPESCHE DESIGUAL DEUTER DICKIE DIFRAX DILESY DIM DINO DINO WORLD DISNEY DONE BY DEER DRESDNER ESSENZ DUKIBOO DURACELL DVD EASTCOLIGHT ECCO ECO EDU-TOYS EICHHORN EITECH ELODIE DETAILS EMMA&THEO ENCHANTIMALS ERICH KRAUSE ESPRIT EVER AFTER HIGH EWERS EXACOMPTA EXPLORE FEHN FIDGET SPINNER FISCHERTECHNIK FISHER PRICE FIXONI FROZEN GARCIA GASELL GEAR2PLAY GEOX GERARDOS TOYS GLOBE GOKI GOLDEN LADY GOLDMERK GORJUSS GOWI GRAND SOURCE GUESS GUESS KIDS GÖTZ GÜNTHER FLUGSPIELE HAILYS HALILIT HALTI HAMAX HAPPY SOCKS HAPPYKID HASBRO HATCHIMALS HERLITZ HESS HOBBY ART HORSES DREAMS HOT FOCUS HOT WHEELS I DO IMAC INFANO INFOBAND INFONOTES JAY@PLAY JEVA JOIK KADABRA KALAMAJA PRINTSESS KAMIK KANGAROOS KARLOOVA KEELTOYS KIDS STUFF CRAZY KIDZTECH KINDERIT KIRKLAND KKIDS KLEIN KNEIPP KNORR KOH-I-NOOR KRÄSS KTN LANNOO LARSEN LASER PEGS LAURENCE KING PUBLISHING LEGO LEGO DUPLO LEGO HOMEWEAR LEGOTEC LEGOWEAR LENNE LEVIS LIPSY LITTLE DIVA LOOVHOOG LOYALIST LRP LUHTA M&G MACRI MAD MATTR MADOU MAGFORMERS MAGIC BLOOMS MAILDOR MAMMUT MANEN MANGA MODEL MATTEL MAXIMO MAYORAL MEGA BLOKS MEHANO MELISSA & DOUG METAL EARTH MICHAEL KORS MICKI MICRO MINIBEEBI MISTER JERRY MOJO BOYS MOJO GIRLS MOLO MONSTER CARS MONSTER HIGH MOOSE MUDPUPPY NAME IT NAVIGATOR NEW BALANCE NIKKO OBALL ODDBODS OLAVI PANASONIC PAPO PAW PATROL PEEK A BOOS PELIKAN PENNY PENTEL PEPE JEANS PEPPA PIATNIK PIKO PILOT PIOUPIOUS LUMINEUX PIP STUDIO PIXELBAG PIXIECREW PLAYMOBIL PLAYTOYZ POLESIE PRIMIGI PROCARD PURPLE COW QIXELS QUERCETTI QUUT RAAMAT RAVENSBURGER RECENT TOYS RENE DERHY REVAL REVERSE RIEKER RIVIERAS S.OLIVER SAFARI SANETTA SANGAR SANTORO SCOOLI SCOTCH SHOPKINS SID SIKU SILVERLIT SIMBA SLY SMOBY SMURFS SNAILS SOREL SORGENFRESSER SOXO SPINMASTER SPLASH TOYS SPY GEAR STABILO STAEDTLER STANLEY JR STYLE PRINCESS SULEMEES SUPER WINGS SWISSDIGITAL SYLVANIAN TACTIC TAF TOYS TAHE TAMMER TECH 4 KIDS TEENYTYS THOMAS TIMBERLAND TIMER TINTI TOMMY HILFIGER TOY COLOR TOYKRAFT TRASPARENZE TREE OF KNOWLEDGE TREFFINA TREFL TROLLS TROUSSELIER TWIXTER TWOZIES TY UHU UNIRING UNISA UNKEEPER VIKING VIKING TOYS VOETBAL VOILA VUNDER VÄRVIRAAMAT WABOBA WADER WADIMA WEDO WELEDA WINFUN WREBBIT WÜRTH X-RUBOUT YLVI ZALEKUA ZIMPLI KIDS ZOO BRUDER Kaubamärk BRUDER BRUDER Kategooria 10,00 € - 19,99 € 30,00 € - 39,99 € 50,00 € - 59,99 € 70,00 € - 79,99 € 20,00 € - 29,99 € 40,00 € - 49,99 € 60,00 € - 69,99 € 80,00 € ja suurem 10,00 € - 19,99 € 20,00 € - 29,99 € 30,00 € - 39,99 € 40,00 € - 49,99 € 50,00 € - 59,99 € 60,00 € - 69,99 € 70,00 € - 79,99 € 80,00 € ja suurem BRUDER BRUDER Mängukomplektid Sõidukid Mängukomplektid Sõidukid Määramata Määramata 10,00 € - 19,99 € 30,00 € - 39,99 € 50,00 € - 59,99 € 70,00 € - 79,99 € 20,00 € - 29,99 € 40,00 € - 49,99 € 60,00 € - 69,99 € 80,00 € ja suurem 10,00 € - 19,99 € 20,00 € - 29,99 € 30,00 € - 39,99 € 40,00 € - 49,99 € 50,00 € - 59,99 € 60,00 € - 69,99 € 70,00 € - 79,99 € 80,00 € ja suurem Näita 2 Osta BRUDER Claas axion lumepuhuri ja lumekettidega 75,99 € Osta BRUDER Mb arocs kraana heli ja valgusega 85,99 € Osta BRUDER Cat ekskavaator 36,99 € Osta BRUDER Võidusõidujeep figuuriga 34,99 € Osta BRUDER Võidusõidujeep figuuriga 34,99 € Osta BRUDER Land Rover tuletõrje heli ja valgusega+tuletõrjuja 49,99 € Osta BRUDER Cat mini ekskavaator töölisega 44,99 € Osta BRUDER Ehitustööline tööriistadega 12,99 € Osta BRUDER Naispolitseinik politsei lisadega 12,99 € Osta BRUDER Meessuusataja lisadega 13,99 € Osta BRUDER Cat teerull purustajaga 49,99 € Osta BRUDER John deere 6920 kopaga 39,99 € Osta BRUDER Land rover 63,99 € Osta BRUDER Segumasin 75,99 € Osta BRUDER Politsei atv 26,99 € Osta BRUDER Laadur jcb 55,99 € Osta BRUDER Politsei lisadega 12,99 € Osta BRUDER Metsatööline lisadega 12,99 € Osta BRUDER Tuletõrjuja lisadega 12,99 € Osta BRUDER Ausa minikallur 17,99 € Osta BRUDER Cat rataslaadur 22,99 € Osta BRUDER Cat roomik-laadur 22,99 € Osta BRUDER Cat kopp 17,49 € Osta BRUDER Scania tuletõrjeauto heli ja valgusega 89,99 € 1


source: wikipedia

text: Rahvakultuur on ühele rahvale omane (traditsiooniline) kultuur. Kitsamas tähenduses koosneb rahvakultuur üksnes antud rahvale omastest, unikaalsetest ja põlistest kultuurielementidest. Laiemas tähenduses võidakse rahvakultuuri all mõista ka kogu rahva kultuuri, kaasa arvatud kultuurilaenud ja -mõjustused teistest kultuuridest, mis koos ainuomaste kultuurielementidega moodustavadki unikaalse kogumi. Enamasti kasutatakse rahvakultuuri mõistet vahepealses tähenduses, pidades eelkõige silmas kultuurielementide traditsioonilisust ja pikaealisust. Vaata ka Eesti rahvakultuur rahvuskultuur


Hotellid Phuntsholing - Tasuta tühistamise võimalus | Hotels.com Hotellid Phuntsholing Linna Phuntsholing hotellid Avastage Phuntsholing Phuntsholing. Lühitutvustus Kui soovid uusi elamusi, vali sihtkohaks Phuntsholing. Phuntsholing on magnet omaette. Seetõttu leidub ka ümberkaudu hulk igale maitsele vastavaid majutuskohti, kus võib veeta öö või terve puhkuse. Kui sind huvitab Phuntsholing, saad hotelli valida ka Hotels.com kodulehel olevalt kaardilt. Meie kaardil on kogu Phuntsholing oma hotellidega, kaarti vähendades näed valitud hotelli kaugust vaatamisväärsustest ja orientiiridest, suurendades aga saad täpsemat aimu majutuskoha lähiümbrusest. Phuntsholing ootab! Siit leiad hotellide parimad pakkumised meie hinnagarantiiga. Millised on parimad majutusvõimalused, mida Phuntsholing pakub? Valik parimaid hotelle, Phuntsholing: • tasuta parkimisabi • tasuta wifi • restoran • baar • hea asukoht • tasuta wifi • restoran • baar Hotell siseujulaga ja baariga, Phuntsholing • tasuta hommikueine • tasuta parkimisabi • tasuta wifi • restoran • treeningsaal 3,5 tärni hotell konverentsikeskusega, Phuntsholing 3,5 tärni hotell, jalutuskäigu kaugusel Bhutani värav Milliste vaatamisväärsuste poolest Phuntsholing silma paistab? • Bhutani värav • Karbandi mungaklooster Millistel aastaaegadel sobib Phuntsholing kõige paremini puhkuseks? • Kõige soojemad kuud: juuni, juuli, august, mai (keskmine temperatuur 15°C) • Kõige külmemad kuud: jaanuar, detsember, veebruar, november (keskmine temperatuur 1°C) • Kõige vihmasemad kuud: august, juuli, juuni ja september (keskmine sademete hulk 93 mm)


Rootsi 1995. Euroopa Liit. Tembeldatud. (133533119) - Osta.ee Audio/video (35115) CD-d (7383) Kollektsioneerimine (290087) Margid (130651) Militaar (4188) Märgid, medalid ja ordenid (22677) Mündid (38209) Postkaardid kuni 1945 (8629) Postkaardid alates 1945 (11557) Taskukalendrid (3678) Haruldased raamatud (800) Riided ja jalatsid (86567) Regioonid (55653) Aasia (2543) Austraalia (1155) Baltikum (860) Ida-Euroopa (2723) Kesk-Euroopa (7240) Ladina-Ameerika (1519) Põhja-Ameerika (2179) Skandinaavia ja Põhjamaad (7977) Venemaa (14798) Rootsi 1995. Euroopa Liit. Tembeldatud. Eseme ID: 133533119 6 päeva 20 tundi L 29.02.2020 08:45:00 Eseme ID: 133533119 Seisukord: kasutatud Micheli nr. 1880.


text: Rendi automaatkäigukastiga auto järgmises asukohas: Decines, France. Broneerige täna veebilehel Rentalcars.com! Automaatkastiga rentimine asukohas Decines Otsige rentimiseks pakutavate automaatkäigukastiga autode hindade loendist, et rentida auto asukohas Decines Rentalcars.com on Inglismaal ja Walesis registreeritud piiratud vastutusega ettevõtte TravelJigsaw Limited ärinimi (äriregistri number: 05179829), mille juriidiline aadress on 100 New Bridge Street, London, EC4V 6JA. Registrikood: GB 855349007. ID: C39EE


Mari Mets • 5. veebruar 2016 kell 4:00 Jõgevamaa põllumajandustootjate liidu juhatuse liige Raul Soodla on pettunud piimatootjates, kes lähevad kohtusse tagantjärele rusikatega vehkima. Foto: Andres Haabu Kuigi Eesti piimatootjad jäid sundolukorras piimamüügi lepingute muutmise tõttu ilma kümnetest miljonitest eurodest, ei pea osa neist tagantjärele kohtus rusikatega vehkimist heaks tooniks, sest sellega lüüakse nuga selga eelkõige omadele. Möödunud nädalal vähemalt vaheotsuseni jõudnud piimatootja Melmilki ja suurtööstuse Estoveri vahelist vägikaikavedu Tartu maakohtus jälgis põnevusega enamik Eesti praeguseid ja endisi piimatootjaid. Kohtuotsuse tulemus – väiketootja Melmilki võit – on pannud piimatootjaid arutama, kas peaks tõttama ametivendade eeskujul vanu 2014. aasta võlgu kohtu kaudu sisse nõudma. Teisalt on ka neid tootjaid, kes kardavad, et kui kõik Eesti piimatootjad nüüd töösturite vastu kohtusse lähevad, käivitub Eesti piimaturul sõda, millest kõige rohkem teenivad kohtuuksi kulutavad advokaadid ja kaotavad piimatootjad-põllumehed. Uus mäng paari kuuga segi Asja iva on selles, et 2014. aastal sõlmis enamik Eesti piimatootjaid piima tööstustele edasi müümiseks lepingu Euroopa Liidu keskmise piima hinna alusel (ehk EU28 hind). Paraku mõistsid töösturid juba paari kuu möödudes, et turuolukord on nii halb, et Euroopa Liidu keskmist hinda nad küll maksta ei suuda. Algas äsja sõlmitud lepingute ümber kauplemine, tühistamine ja argumenteerimine. Mõni piimatootja läks selle peale kohe kohtusse ja sai seal ka võidu, näiteks OÜ Vändra Leetu piima eksportiva Elpa vastu. Kuid mõni justkui leppis olukorraga, pöördudes kohtusse saamata jäänud raha nõudma palju hiljem. Mõni leppis päriselt ja vaatab juba tulevikku. Äsja kohtus esimeses astmes tööstuse üle võidu saavutanud Melmilki üks omanik Aren Põder arvutas, et Eesti piimatootjatel jäi 2014. aastal tööstustelt saamata 20-30 miljonit eurot, mis oleks pidanud lepinguliselt neile kuuluma. Ta lähtus sellest, et Eestis toodetakse päevas keskmiselt üle tuhande tonni piima, Melmilki kui väiketootja kahju oli üle 200 000 euro ning see hakkas kuhjuma 2014. aasta teises kvartalis. Väiketootjad alandlikult gigantide ees „Melmilki tuules oleks õige aeg purjed üles tõmmata,“ nii räägitakse Jõgeva põllumajandustootjate liidu juhatuse liikme Raul Soodla sõnul mõnes piimatootjate seltskonnas. Soodla aga leiab, et kui piimatootjad on olnud hinna langetamisega ise nõus ja selles kokku leppinud, mis siis, et see oli valus ja vale, siis tagantjärele raha välja nõudmine lihtsalt ei tundu eetiliselt õige. Pigem töötada selle nimel, et tulevikus korralikult raha teenida. EU28 hind jäi vaid üürikeseks ilusaks unistuseks, reaalsus naasis kiiresti. „Ma olen täiesti kindel, et Melmilki vaidlus jõuab veel teise ja kolmandassegi kohtuastmesse. Piimatööstustele oli selle kohtuvaidluse tulemus ilmselt parajaks üllatuseks,“ sõnas Soodla. Soodla selgitab tausta, miks põllumehed kahe aasta ees gigantide ees nõnda alandlikult käitusid. 2014. aastal kirjutasid pea kõik Eesti piimatootjad alla sisuliselt ühesugustele lepingutele, mille sarnasuseks oligi aluseks võetud Euroopa keskmine hind. Need tööstused, kes tegid 2014. aastal EU28 hinnaga lepingu, taganesid samal aastal sellest ka üksteise järel Soodla kinnitusel kuuajase intervalliga. Kes polnud nõus lepingut muutma, nendega jätkasimeMaido Solovjov, Valio Eesti juht Ka Valiol oli 2014. aastal Euroopa Liidu keskmise toorpiima hinnaga lepinguid, kui aga aprillis-mais oli selge, et sellisel hinnatasemel ei ole Baltikumis enam võimalik konkurentsivõimeliselt jätkata, alustasime nende lepingupartneritega läbirääkimisi, et hind Euroopa keskmisest lahti siduda. Enamike koostööpartneritega jõudsime kokkuleppele. Nendega, kellega mõlemale osapoolele rahuldavaid tingimusi kokku leppida ei õnnestunud, jätkasime vanadel tingimustel kuni lepingu kehtivuse lõppemiseni. Selge on see, et lepingulised kokkulepped on alati kahepoolsed ning allkirjastatud selliselt, et mõlemad osapooled mõistavad tingimusi ühtemoodi. Praegu meil kohtuvaidlusi käimas ei ole, küll aga on üks meie partner, vaatamata allkirjastatud lepingule, meelt muutnud ning soovib tagantjärele paremaid tingimusi saada. Juba veebruaris 2014 oli näha, et piimapulbri hind hakkas börsidel kukkuma, aprillis ei näinud tööstused enam võimalust maksa tootjatele Euroopa keskmist hinda. Hakati pidama läbirääkimisi. Mõned tööstused olid väga viisakad, püüdes selgitada, miks nad nii teevad. Teised saatsid jällegi ainult kirja, et määravad alates 1. maist uue hinna. „Põllumehed pandi sisuliselt fakti ette leppida väiksema hinnaga. Me saime aru, et meil pole ju võimalik piima riiulisse seisma panna või ka teistpidi tööstused piimast lihtsalt ilma jätta. Sellepärast lepinguid väga ei lõpetatudki, me jäime uue hinnaga nõusse,“ sõnas ta. Kriis kerib haripunktini Tartumaal 180 lehmaga Andre Farmi pidav Erika Pääbus on märksa kriitilisem: „Tööstused on piimatootjatega tegelikult kogu aeg täpselt niimoodi käitunud. Enne 2014. aastat polnud lihtsalt taustaks Euroopa Liidu keskmist piimahinda.“ Farmil oli vaid üks selline lepingValdis Noppel, Farmi Piimatööstuse juhataja Farmi Piimatööstusel (endise nimega Maag – toim) on olnud EU28 hinnaga seotud toorpiimahind ajaloos ühe toorpiima tarnijaga, kellega oleme omavahelistes läbirääkimistes muutnud vastastikusel kokkuleppel hinnamudeli mõlemale poolele jätkusuutlikuks. Julgen öelda, et tootjatega on meil omavaheline läbisaamine Eesti piimanduse tervikpilti adudes kõvasti üle keskmise. Mõlema poole eesmärk on teha koostöös häid Farmi piimatooteid, mitte kohtus käia. Samas märgib ka Pääbus, et Melmilki kohtuotsust on ta oodanud. Temal pole aga põhjust kohtusse pöörduda, sest piima on Andre Farm müünud Laeva ühistu kaudu. Ühistust läheb piim laiali erinevatesse tööstustesse ja ka välismaale. „Laekuv raha on tootjate vahel ära jagatud ja oleme saanud, mis me oleme, aga oleme kätte saanud. Kuna läbi ühistu liigub suurem kogus piima, siis nendest lepingutest hoiavad tugevamini kinni nii tööstused kui ka tarnijad. Läbirääkimised tehakse parasjagu varakult ette ära,“ ütles ta. „Samas näiteks Valio maksab praegu otselepingu korral tootjaga piimakilo eest paar senti rohkem kui läbi ühistu. Eks töösturitel ole huvi ühistud ära lõhkuda, et oma mänguruumi pisut laiendada,“ sõnas Pääbus. Leedukad käitusid aumehena Ka aasta eest lehmad maha müünud ja laudauksed sulgenud, senimaani üks Jõgevamaa suurimaid tööandjaid olnud ASi Perevara juht Alo Teder meenutab, et 2014. aastal oli seis tõeliselt karm ja lepingute muutmine tööstuste poolt oli piimandussektoris tõeliselt suur probleem. Miks piimanduskriis nii kaua kestab?Raul Soodla, Jõgeva põllumajandustootjate liidu juhatuse liige 1. Vene embargo – alates 11. augustist 2014 läks Vene piir kinni, Eesti tootjad ei saanud enam sinna eksportida, piima hind kukkus kolinal alla ja piima jäi nii palju üle, et sellega polnud äkitselt enam midagi teha. Ka Läti ja Leedu suurtööstused olid orienteeritud Venemaale. 2. Kvootide kadumine – alates ajast, kui kadusid kvoodid piimatootmises, toodavad näiteks Taani, Holland ja Saksamaa julgelt 2-3% rohkem oma varasemast toodangust. 3. Ületootmine – piima toodetakse nii Euroopas kui ka maailmas liiga palju, hinnad on all, piima jääb üle. Ta tänab jumalat, et tema piim sõitis siis Elpa kaudu Leetu, kelle käest sai ta kätte kokku lepitud summa. Tõsi, neil polnud ka EU28 hinnaga lepingut, vaid eraldi kokkulepe. „Elpa käitus sel raske ajal väga aumehelikult, kuid enamikul tootjatest nii hästi ei läinud,“ lausus Teder. Kuid tagasi nende juurde, kes probleemi omal nahal tunda said. Soodla meenutas, et 2014. aasta augustiks, kui algasid Vene sanktsioonid, oli olukord nii hull, et ta pidi piimatootjate esindajana töötlejaid paluma, et need piima ikka ära võtaksid. Muidu oleks tulnud ju maha valada. Mis enda õiguse nõudmist saab sellises olukorras ikka olla, sõnas ta. Kasumlikkus tekitab kahetised tunded „Kui me kõik, kes 2014. aastaks EU28 hinnaga piimamüügi lepingutele alla kirjutasime, läheksime nüüd tööstuste vastu kohtusse, saaksid palju tööd ja raha advokaadid ja juristid, kuid piimamajanduses sünniks vaid üks suur sõda, kus võitjad vist ei olekski. Lõpuks ostab tööstus piima Lätist või Leedus, kus on seda ka piisavalt üle,“ ütles ta. „Nüüd tagantjärele rusikatega vehkida ja lepingu nüanssidele suruda, ma ei tea, kas see on kõige ausam tegevus. Me oleme siin põllumeeste seltskonnas arutanud, et ega see väga ilus ole,“ lisas ta. Ta märkis siiski, et argument, mis räägib Melmilki ja teiste kohtumõtete mõlgutajate kasuks on see, et Estover palus Melmilkilt kahe aasta eest hinnaalandust, et ots-otsaga kokku tulla, kuid aasta lõpus selgus nende aruandest hoopis korralik kasum, varasemast tervelt 19 korda suurem. „Praegu veel sel teemal eriti kohtuvaidlusi pole olnud, kuid ma tean, et tootjate seas koguti vaideid Valio vastu. Näis, millega see kõik veel lõppeb,“ lausus Soodla. Kui piimatootja läheb omade vastu Melmilkiga osaliselt samale omanikule Ahti Kaldele kuuluv Sadala Piim on otsustanud minna 2014. aasta piimahinna nõudega kohtusse Jõgeva põllumajandustootjate liidu vastu. Vaidlus peaks algama Tartu maakohtus märtsis, tootjate liidu vastu läheb Sadala seetõttu, et müüs piima just nimelt ühistule, kes seda omakorda edasi müüs. Seega pole Sadalal võimalik nõuda raha otse tööstuselt. Raul Soodla Jõgevamaa põllumajandustootjate liidu juhatusest aga märgib, et nõude esitamine põllumeeste liidu vastu tähendab otseselt teiste põllumeeste vastu minekut. „Nõude katteks minev raha võetaks ju teiste põllumeeste taskust. Piimatööstuse vastu oleme hambutud, kõik probleemid maandatakse lõpuks kaudselt ikkagi piimahinna kaudu tootjate vastu. Meie tootjate liit aga pole omale raha riiulisse kogunud, vaid on kõik põllumeestele välja maksnud. Seega läheb kohtu kaudu saadetav nõue just neile. Põllumehed peaksid olema ikka oluliselt ühtsemad,“ sõnas ta.


text: Taevavõlv ehk taevalaotus (heebrea keeles raqia‘, vanakreeka keeles stereôma, ladina keeles firmamentum) on taevas, niivõrd kui see näib kuplikujulise võlvina. Taevavõlvi kirjeldatakse matemaatiliselt taevasfääri abil. Taevavõlvi ja taevasfääri oluline erinevus on see, et vaatleja ei taju taevavõlvi mitte poolkera pinnana, vaid nõnda lamendunult, et taevaobjektid (nt Kuu, Päike, tähtkujud) paistavad vaatlejale horisondi lähedal suurematena kui seniidi lähedal. Ajalooline ja religioosne arusaam taevavõlvist Kujutlus, et taevas on tahke võlv, on olnud vanaajal üldine. Muinasegiptlased pidasid taevast rauast võlvlaeks, millest tähed on köite abil alla riputatud. Babüloonlased pidasid taevast tohutuks võlviks, mille kõige kõvemast metallist on sepitsenud Marduk. Seda võlvi arvati toetuvat maad ümbritsevale müürile. Muinaskreeklased ja muinasroomlased pidasid taevast suureks kristallvõlviks, mille külge tähed on kinnitatud. Mõned pidasid taevavõlvi materjaliks rauda või pronksi. Ka juutidel oli sarnane kujutlus. Esimese Moosese raamatu loomisloos (1Mo 1:6–8) lõi Jumal laotuse, mis lahutas ülemised ehk taevased veed alumistest ehk maistest vetest: Ja Jumal ütles: "Saagu laotus vete vahele ja see lahutagu veed vetest!" Ja nõnda sündis: Jumal tegi laotuse ja lahutas veed, mis laotuse all, vetest, mis laotuse peal olid. Ja Jumal nimetas laotuse taevaks. Siis sai õhtu ja sai hommik, teine päev. Heebrea keele sõna raqia‘ tähendab midagi, mis on välja taotud ning seejärel laiali laotatud. Septuagintas ja ka teistes kreekakeelsetes piiblitõlgetes vastab sellele sõnale stereôma 'kindlaks või tahkeks tehtu'. Taevalaotuse tahkusele viitab ka Hiiobi raamat, kus mainitakse taevast, mis on väga tugev, nagu ta oleks sulatatud pronksist. Taevalaotuse tahkus järeldub ka eesmärgist, milleks Jumal selle tegi: taevalaotuse kohal pidi olema vesi. Sellest on juttu ka loos ülemaailmsest veeuputusest: taeva luugid tehti lahti (1Mo 7:11) ja taevaluugid suleti (1Mo 8:2). Jesaja 42:5 ütleb: kes on loonud taevad ja on need võlvinud. Loomislugu jätkab: Ja Jumal ütles: "Saagu valgused taevalaotusse eraldama päeva ööst! Tähistagu need seatud aegu, päevi ja aastaid, olgu nad valgusteks taevalaotuses, valgustuseks maale!" Ja nõnda sündis: Jumal tegi kaks suurt valgust: suurema valguse valitsema päeval ja väiksema valguse valitsema öösel, ning tähed. Ja Jumal pani need taevalaotusse, et nad valgustaksid maad (1Mo 1:14–17) Seega on tähed kinnitatud taevalaotuse külge, nii et laotus peab olema tahke. Linnud lendavad laotusest madalamal, seetõttu õhk ei ole taevalaotus. Teoloogide üldine seisukoht on, et Piibel kirjeldab loomislugu ja taevast vastavalt vanaaja ettekujutustele. On ka teolooge, kes väidavad, et taevast on Piiblis tegelikult kirjeldatud õigesti ning meie arusaam, et laotuse all on mõeldud taevavõlvi, on ekslik. Viited Astronoomia Meteoroloogia


text: Juhtimine on lihtsustatult subjekti ja objekti vaheline suhe ehk tegevus, mille tulemusena juht mõjutab juhitavaid, et saavutada organisatsiooni eesmärgid läbi ressursside efektiivse ja eduka kasutamise. Traditsiooniliselt on juhtimise funktsioonideks peetud tegevuste strateegilist ja operatiivset planeerimist, jooksvat tegevuste organiseerimist, organisatsiooni mehitamist ja selle liikmete motiveerimist, erinevate tegevuste koordineerimist ja kontrollimist jms. Erialases kirjanduses on eristatud juhtimise klassikalisi ja seostavaid funktsioone. Klassikalisteks funktsioonideks on eelkõige ettevõtte horisontaalsed funktsioonid − planeerimine, organiseerimine, kontroll, personalijuhtimine ja eestvedamine. Need juhtimise viis funktsiooni iseloomustavad liikumist eesmärkide püstitamiselt nende täitmisele, võimaldades kompleksselt hõlmata kogu juhtimisprotsessi. Seostavateks funktsioonideks on eelkõige otsustamine ja kommunikatsioon. Esimene on seotud vahetult kolme klassikalise funktsiooniga, st planeerimise, organiseerimise ja kontrolliga, kusjuures otsustamist ei ole õige paigutada nende kõrvale selle seotuse ja osalise kattumise tõttu. Kommunikatsioonita ei ole juhtimine mõeldav, kuna see osategevus on seotud kõigi klassikaliste juhtimisfunktsioonidega. Nende täitmiseks on vajalik informatsiooni koguda, töödelda ja edastada, kusjuures sotsiaalne kommunikatsioon on väga tihedalt seotud eestvedamisega. Traditsiooniliselt ja ajalooliselt on juhi (mänedžer, direktor, juhjataja või totaalse võimu korral diktaator) roll olnud sageli võimu keskne (juhi käske või korraldusi täidetakse tema omatava võimu tõttu ehk hirmust saada karistada). Tänapäevane juhtimine lähtub aga tõsiasjast, et inimesed ei allu võimule, kuna neil on demokraatlikus ühiskonnas valikuvabadus. Seetõttu tuleb inimesed juhi poolt kaasata tegevusse vabatahtlikkuse alusel. Juht peab seetõttu käskude ja keeldude asemel looma visiooni ja näitama isiklikku eeskuju visiooni alusel seatud eesmärkide saavutamiseks. Juht on tänapäeval aina enam liidri ehk teenäitaja rollis. Juht peab tulemuste saavutamiseks suutma luua arusaadava visiooni tulevikust ja seadma selle alusel eesmärgid, millega inimesed saavad oma isiklikke eesmärke siduda. Kaasaegset juhti (inglise keeles leader) eristab traditsionaalsest (võimu alusel talitavast) juhist see, et teda järgitakse vabatahtlikult. Näiteks seetõttu, et mõistetakse eesmärgi olulisust või eesmärgi sidet isikliku arenguga. Juhtimise fookus on seetõttu muutunud võimule baseeruvalt käsutamiselt tegevuste strateegilisele planeerimisele, organisatsiooni liikmete kaasamisele, koostööle ja tegevuste sihipärasele organiseerimisele ja koordineerimisele. Grupi juhtimine: juhtimine kui grupi protsess Sissejuhatus Käesolevas artiklis antakse ülevaade juhtimisest läbi kahe aspekti. Esimeses osas käsitletakse juhtimist kui sotsiaal-kognitiivset protsessi ning teises osas on rõhuasetus sellel, et juhtimine on grupiprotsess. Artikli kirjutamisel on tuginetud G. Thomase, R. Martini ja R.-E. Riggio artiklile „Leading groups: leadership as a group proccess“, mis on ilmunud aastal 2013 ajakirjas Group Proccesses & Intergroup Relations. Juhtimine on inimühiskonna üldlevinud tunnus. Erinevad uuringud näitavad, et inimesed on ajast aega elanud gruppides, kus juhi ja järgija suhe on kiiresti ilmnenud. Juhtimist on vaadeldud kui lahendust probleemile, koordineerimaks grupiviisilist tegevust lähtuvalt grupi eesmärkidest. Üheks levinuimaks juhtimise mõisteks on: „juhtimine on sotsiaalne protsess, läbi mille värvatakse ja rakendatakse teiste oskusi ja abi kollektiivsetel eesmärkidel.“ Juhtimine kui sotsiaal-kognitiivne protsess Kuidas järgijad teavad, kas keegi on hea või halb juht? Vaadatuna sotsiaal-kognitiivsest punktist ei saa sellele küsimusele vastata keskendudes vaid liidri loomuomastele headele või halbadele omadustele. Uurijad arendasid juhtimisteooria, mis põhineb äratundmisel: Liidri kategoriseerimise teooria – selle eesmärk on selgitada järgijate juhtimisraamistiku struktuuri, sisu, protsessi ja kellegi liidriks kategoriseerimise tagajärgi. Liidri kategoriseerimine sisaldab prototüüpide sobitamise protsessi, kus seda parem on tulemus, mida paremini sobivad juhi tunnused järgija ootustega (või prototüübiga). Seda meeldivamana tajub järgija liidrit. Teooria kinnitab, et juhtide kategoriseerimine mõjutab oluliselt seda, kas liider kiidetakse heaks ning mõjutab lõpptulemusena ka liidri efektiivsust. Kooskõlas selle vaatega leiti, et eriti eeskujulikud liidrid, kes sobitusid järgijate juhtimisteooriaga, saavutasid parema kvaliteediga suhteid järgijatega ning nad omavad positiivsemat mõju järgijate pühendumisele ja tööga rahulolule. Juhtimine kui grupiprotsess Sõnum juhtimisest kui grupi protsessist aitab tasakaalustada liidrikeskset lähenemist, mis on domineerinud juhtimisalastes uuringutes. Juhtimine ilmneb eranditult grupi kontekstis. Juhtimine on grupi omadus: liidreid ei saaks eksisteerida ilma järgijateta ning järgijaid ei saaks eksisteerida ilma juhtideta. Üks enim esiletõusvaid lähenemisi juhtimisest kui grupi protsessist tuleneb sotsiaalse identiteedi analüüsist juhtimises. See paneb rõhku ka grupi liikmete sotsiaalsele tunnetusele, kuid eriti rõhutab ta tunnetuslikke protsesse, mis on põhiliselt seotud psühholoogilise gruppi kuulumisega. Grupi liikmeks olek annab inimestele identiteedi ning liidrid väljendavad, kehastavad ja kujundavad grupi identiteedi. Sotsiaalse identiteedi teooria põhiprintsiip juhtimises on see, et grupi liikmeks olek tuleb enam esile ja liikmed identifitseerivad end tugevamini grupiga, kus liidrid on rohkem eeskujulikud võrreldes nendega, kes seda on vähem. Peamine järeldus on, et juhtimine on grupi omadus: liidreid ei saaks eksisteerida ilma järgijateta ning järgijaid ei saaks eksisteerida ilma juhtideta. 1970–1980 sattusid sotsiaalpsühholoogias laiema vaatluse alla uuringud sotsiaalsest tajust ja sotsiaalsest tunnetusest. Selle toetudes leiti, et juhtimine ei ole ainult ülalt-alla-protsess, vaid see on vastastikune suhe, kus liidrid ja järgijad mõjutavad üksteist. Juhtimise mõisteid Ajajuhtimine Ajurünnak Alaline juht Alluvuse ühesus Ametkondlikkus Arendusjuht Autoritarism e-juhtimine Elektrooniline ajurünnak Liider Meeskonna loomine Meeskonnatöö Mobiilne juhtimine Organisatsiooni sotsialiseerumine Organisatsioonikultuur Organisatsioonipsühholoogia Organisatsiooniteooria Parkinsoni seadus Peteri printsiip Projektijuhtimine Projektistumine Protsess Tasakaalus tulemuskaart Teha-osta analüüs Tiimi ehitamine Tootejuhtimine Tõenäosuse ja mõjukuse maatriks Vertikaalne integratsioon Võtmeisik Õpitud vajaduste teooria Vaata ka Aja planeerimine Ettevõtte juhtimine Haldamine Inimressursside juhtimine Infojuhtimine Juhtimisteadus Karismaatiline juhtimine Keskkonnajuhtimine Koosotsustamine Küberneetika Projektijuhtimine Organisatsioon Sünkroonne ajurünnak Valitsemine Vastutusmaatriks Üleminekujuhtimine Kirjandus Thomas, G., Martin, R., Riggio, R-E. (2013). Leading groups: leadership as a group proccess. Group Proccesses & Intergroup Relations. January 2013; vol. 16, 1 Lisalugemist 1. Emery, Calvard ja Pierce on oma artiklis “Leadership as an Emergent Group Process: A Social Network Study of Personality, Leadership, and Followership” (2013) uurisid, missugused grupi liikmete personaalsed tunnused ja juhi-järgija sarnasus ennustab liidrite ja järgijate esile kerkimist klassikalises liidrita grupis. (Thomas, Martin, Riggio 2013) 2. Quaquebeke ja Eckloff võtavad enda uurimuses „Why Follow? The Interplay of Leader Categorization, Identification, and Feeling Respected” (2013) vaatluse alla liidri kategoriseerimise teooria koos identieedil põhineva lähenemise juhtimises. (Thomas, Martin, Riggio 2013)