18 D$_{i}$D$_{j}$ ( (2) Ψ − (2) Φ ) + { ( − Δ + 2 ∂ 2 η + 4 H ∂$_{η}$ − 2 K ) (2) Ψ + ( 2 H ∂$_{η}$ + 2 ∂$_{η}$ H + 4 H 2 + Δ + 2 K ) (2) Φ } γ$_{ij}$ − 1 a $_{2}$∂$_{η}$ a $^{2}$D$_{(}$$_{i}$ (2) ν$_{j}$$_{)}$ ) + 1 2 ( ∂ 2 η + 2 H ∂$_{η}$ + 2 K − Δ (2) χ ij − 8 πG ( ∂$_{η}$ϕ∂$_{η}$ϕ$_{2}$ − a $^{2}$ϕ$_{2}$ ∂V ∂ϕ ( ϕ ) γ$_{ij}$ = Γ$_{ij}$ , (6.22) where Γ$_{0}$, Γ$_{i}$ Γ$_{ij}$ are the collection of the quadratic term of the first-order perturbations as follows: Here, we used Eqs. (4.8), (5.12), (5.14), (5.16) and (5.18). The tensor part of Eq. (6.22) is given by This tensor mode is also called the second-order gravitational waves. Further, the vector part of Eqs. (6.21) and (6.22) yields the initial value constraint and the evolution equation of the vector mode (2) ν$_{j}$ : ( ∂ 2 η + 2 H ∂$_{η}$ + 2 K − Δ ) (2) χ$_{ij}$ = 2Γ$_{ij}$ − 2 3 γ$_{ij}$ Γ k k − 3 ( D$_{i}$D$_{j}$ − 1 3 γ$_{ij}$ Δ ) (Δ + 3 K ) − 1 ( Δ − $^{1}$D $^{k}$D$_{l}$ Γ l k − 1 3 Γ k k ) +4 { D$_{(}$$_{i}$ (Δ + 2 K ) − $^{1}$D$_{j}$$_{)}$ Δ − $^{1}$D $^{l}$D$_{k}$ Γ k l − D$_{(}$$_{i}$ (Δ + 2 K ) − $^{1}$D $^{k}$Γ$_{j}$$_{)}$$_{k}$ } . (6.26) Γ$_{i}$ := 16 πG∂$_{η}$ϕ$_{1}$D$_{i}$ϕ$_{1}$ − 4 ∂$_{η}$ (1) Φ D$_{i}$ (1) Φ +8 H (1) Φ D$_{i}$ (1) Φ − 8 (1) Φ ∂$_{η}$D$_{i}$ (1) Φ +2 D j (1) Φ ∂$_{η}$ (1) χ$_{ji}$ − 2 ∂$_{η}$D j (1) Φ (1) χ$_{ij}$ − 1 2 ∂$_{η}$ (1) χ$_{jk}$ D$_{i}$ (1) χ kj − (1) χ$_{kl}$ ∂$_{η}$D$_{i}$ (1) χ lk + (1) χ kl ∂$_{η}$D$_{k}$ (1) χ$_{il}$ ; (6.24) Γ$_{ij}$ := 16 πGD$_{i}$ϕ$_{1}$D$_{j}$ϕ$_{1}$ + 8 πG { ( ∂$_{η}$ϕ$_{1}$ ) 2 − D$_{l}$ϕ$_{1}$D $^{l}$ϕ$_{1}$ − a $^{2}$( ϕ$_{1}$ ) $_{2}$∂$^{2}$V ∂ϕ 2 } γ$_{ij}$ − 4 D$_{i}$ (1) Φ D$_{j}$ (1) Φ − 8 (1) Φ D$_{i}$D$_{j}$ (1) Φ + ( 6 D$_{k}$ (1) Φ D k (1) Φ +4 (1) Φ Δ (1) Φ +2 ( ∂$_{η}$ (1) Φ ) 2 + 8 ∂$_{η}$ H ( (1) Φ ) 2 + 16 H 2 ( (1) Φ ) 2 + 16 H (1) Φ ∂$_{η}$ (1) Φ − 4 (1) Φ ∂ 2 η (1) Φ ) γ$_{ij}$ − 4 H ∂$_{η}$ (1) Φ (1) χ$_{ij}$ − 2 ∂ 2 η (1) Φ (1) χ$_{ij}$ − 4 D k (1) Φ D$_{(}$$_{i}$ (1) χ$_{j}$$_{)}$$_{k}$ +4 D k (1) Φ D$_{k}$ (1) χ$_{ij}$ − 8 K (1) Φ (1) χ$_{ij}$ +4 (1) Φ Δ (1) χ$_{ij}$ − 4 D $^{k}$D$_{(}$$_{i}$ (1) Φ (1) χ$_{j}$$_{)}$$_{k}$ +2Δ (1) Φ (1) χ$_{ij}$ +2 D$_{l}$D$_{k}$ (1) Φ (1) χ lk γ$_{ij}$ + ∂$_{η}$ (1) χ$_{ik}$ ∂$_{η}$ (1) χ k j − D k (1) χ$_{il}$ D$_{k}$ (1) χ l j + D k (1) χ$_{il}$ D l (1) χ$_{jk}$ − 1 2 D$_{i}$ (1) χ lk D$_{j}$ (1) χ$_{lk}$ − (1) χ$_{lm}$ D$_{i}$D$_{j}$ (1) χ ml +2 (1) χ lm D$_{l}$D$_{(}$$_{i}$ (1) χ$_{j}$$_{)}$$_{m}$ − (1) χ lm D$_{m}$D$_{l}$ (1) χ$_{ij}$ − 1 4 ( 3 ∂$_{η}$ (1) χ$_{lk}$ ∂$_{η}$ (1) χ kl − 3 D$_{k}$ (1) χ$_{lm}$ D k (1) χ ml +2 D$_{k}$ (1) χ$_{lm}$ D l (1) χ mk − 4 K (1) χ$_{lm}$ (1) χ lm ) γ$_{ij}$. (6.25) (2) ν$_{i}$ = 2 Δ + 2 K { D$_{i}$ Δ − $^{1}$D $^{k}$Γ$_{k}$ − Γ$_{i}$ } , ∂$_{η}$ ( a 2 (2) ν$_{i}$ ) = 2 a 2 Δ + 2 K { D$_{i}$ Δ − $^{1}$D $^{k}$D$_{l}$ Γ l k − D$_{k}$ Γ k i } . (6.27) Γ$_{0}$ := 4 πG ( ∂$_{η}$ϕ$_{1}$ ) 2 + D$_{i}$ϕ$_{1}$D $^{i}$ϕ$_{1}$ + a $^{2}$( ϕ$_{1}$ ) $_{2}$∂$^{2}$V ∂ϕ 2 ) − 4 ∂$_{η}$ H ( (1) Φ ) 2 − 2 (1) Φ ∂ 2 η (1) Φ − 3 D$_{k}$ (1) Φ D k (1) Φ − 10 (1) Φ Δ (1) Φ − 3 ( ∂$_{η}$ (1) Φ ) 2 − 16 K ( (1) Φ ) 2 − 8 H 2 ( (1) Φ ) 2 + D$_{l}$D$_{k}$ (1) Φ (1) χ lk + 1 8 ∂$_{η}$ (1) χ$_{lk}$ ∂$_{η}$ (1) χ kl + H (1) χ$_{kl}$ ∂$_{η}$ (1) χ lk − 3 8 D$_{k}$ (1) χ$_{lm}$ D k (1) χ ml + 1 4 D$_{k}$ (1) χ$_{lm}$ D l (1) χ mk − 1 2 (1) χ lm Δ (1) χ$_{lm}$ + 1 2 K (1) χ$_{lm}$ (1) χ $^{lm}$; (6.23)