Contents iv 1 Introduction 1 1.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Measure theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Currents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Multiscale simplicial flat norm 11 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 Contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2 Work on Related Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Definition of Simplicial Flat Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1 Complexity of multiscale simplicial flat norm . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Multiscale Simplicial Flat Norm and Integer Linear Programming . . . . 23 2.4 Simplicial Complexes and Relative Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Simplicial Deformation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5.1 Proof of the Simplicial Deformation Theorem . . . . . . . . . . . 31 2.5.2 Comparison of Bounds of Approximation . . . . . . . . . . . . . . 43 2.6 Computational Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.7 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 Flat norm decomposition of integral currents 51 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.1.2 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54