v 3.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4 Nonasymptotic densities 78 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2 Notation and Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2.2 Two-Arc Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2.3 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2.4 Calculus on Tangent Cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.2.5 TCGL Boundary Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.3 TCGL polygonal approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.4 Derivatives of g ( s, r ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.5 Reconstructing shapes from T-like data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.6 TCGL Polygon Is Reconstructible from g$_{r}$ and g$_{s}$ without tail . . . . . . 104 4.7 Simple closed curves are generically reconstructible using fixed radius data 106 4.8 Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.9 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.10 Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.11 Appendix: Easy Reconstructability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Bibliography 118