Consider the following linear combination of the columns. N ∑ k =1 ω$_{k}$ µ ∇ $^{2}$G$_{·}$$_{,k}$ = N ∑ k =1 ω$_{k}$ µ      ∂ $^{2}$G ∂ω$_{1}$∂ω$_{k}$ ... ∂ $^{2}$G ∂ω 2 k ... ∂ $^{2}$G ∂ω$_{N}$∂ω$_{k}$ ∂ $^{2}$G ∂µ∂ω$_{k}$      = N ∑ k =1 θ$_{k}$ω$_{k}$e$^{ω}$ k µ µ 2 { ∑ N i $_{=1}$θ$_{i}$ e$^{ω}$ i µ } 2      − θ$_{1}$e$^{ω$_{1}$}$ µ ... ∑ N i $_{=1}$θ$_{i}$ e$^{ω}$ i µ − θ$_{k}$e$^{ω}$ k µ ... − θ$_{N}$ e$^{ω}$ N µ 1 µ ∑ N i $_{=1}$θ$_{i}$ ( ω$_{i}$ − ω$_{k}$ ) e$^{ω}$ i µ      = 1 µ 2 { ∑ N i $_{=1}$θ$_{i}$ e$^{ω}$ i µ } 2     θ$_{1}$ω$_{1}$e$^{ω$_{1}$}$ µ ∑ N i $_{=1}$θ$_{i}$ e$^{ω}$ i µ − θ$_{1}$e$^{ω$_{1}$}$ µ ∑ N k $_{=1}$θ$_{k}$ ω$_{k}$e$^{ω}$ k µ ... θ$_{N}$ ω$_{N}$ e$^{ω}$ N µ ∑ N i $_{=1}$θ$_{i}$ e$^{ω}$ i µ − θ$_{N}$ e$^{ω}$ N µ ∑ N k $_{=1}$θ$_{k}$ ω$_{k}$e$^{ω}$ k µ 1 µ ∑ N k =1 { θ$_{k}$ω$_{k}$e$^{ω}$ k µ ∑ N i $_{=1}$θ$_{i}$ ( ω$_{i}$ − ω$_{k}$ ) e$^{ω}$ i µ }     = 1 µ 2 { ∑ N i $_{=1}$θ$_{i}$ e$^{ω}$ i µ } 2     θ$_{1}$e$^{ω$_{1}$}$ µ { ∑ N i $_{=1}$ω$_{1}$ θ$_{i}$e$^{ω}$ i µ − ∑ N k $_{=1}$θ$_{k}$ ω$_{k}$e$^{ω}$ k µ } ... θ$_{N}$ ω$_{N}$ { ∑ N i $_{=1}$ω$_{N}$ θ$_{i}$e$^{ω}$ i µ − ∑ N k $_{=1}$θ$_{k}$ ω$_{k}$e$^{ω}$ k µ } 1 µ ∑ N k =1 { θ$_{k}$ω$_{k}$e$^{ω}$ k µ ( ∑ N i $_{=1}$θ$_{i}$ ω$_{i}$e$^{ω}$ i µ − ω$_{k}$ ∑ N i $_{=1}$θ$_{i}$ e$^{ω}$ i µ )}     N ∑ k =1 ω$_{k}$ µ ∇ $^{2}$G$_{·}$$_{,k}$ = 1 µ 2 { ∑ N i $_{=1}$θ$_{i}$ e$^{ω}$ i µ } 2     θ$_{1}$e$^{ω$_{1}$}$ µ ∑ N k $_{=1}$θ$_{k}$ ( ω$_{1}$ − ω$_{k}$ ) e$^{ω}$ k µ ... θ$_{N}$ ω$_{N}$ ∑ N k $_{=1}$θ$_{k}$ ( ω$_{N}$ − ω$_{k}$ ) e$^{ω}$ k µ 1 µ [ { ∑ N k $_{=1}$θ$_{k}$ ω$_{k}$e$^{ω}$ k µ } 2 − { ∑ N k $_{=1}$θ$_{k}$ e$^{ω}$ k µ } { ∑ N k $_{=1}$θ$_{k}$ ω 2 $_{k}$e$^{ω}$ k µ } ]     (83) 48