is valid. Moreover, since α is an η − translation number for u ( t ) , one can confirm that and On the other hand, we have For any p ∈ Z , if s ∈ ( θ$_{p}$ + η, θ$_{p}$$_{+1}$ − η ) , then one can show by using Lemma 5 . 1 , ( iii ) that the number s + α belongs to the interval ( θ$_{p}$$_{+}$$_{q}$, θ$_{p}$$_{+}$$_{q}$$_{+1}$ ) so that since | ( κ + ζ$_{p}$$_{+}$$_{q}$ ) − ( κ + ζ$_{p}$ + α ) | = ∣ ζ q p − α ∣ < ν by Lemma 5.1, ( ii ) . Besides, the inequality is valid. Therefore, (5.13) yields It can be verified by means of (5.12) that | (Π u ( t + α ))$_{ij}$ − (Π u ( t ))$_{ij}$ | < η [ 1 a$_{ij}$ + ( M + 3 LH ) ∑ C$_{kl}$ ∈ N$_{r}$ ( i,j $_{)}$C kl ij a$_{ij}$ + 4 LH 2 ∑ C$_{kl}$ ∈ N$_{r}$ ( i,j $_{)}$C kl ij 1 − e − a$_{ij}$θ ] . ∫ t −∞ e − a$_{ij}$ ( t − s ) ∑ C$_{kl}$ ∈ N$_{r}$ ( i,j ) C kl $_{ij}$LH ∥ u$_{klγ}$$_{(}$$_{s}$$_{+}$$_{α}$$_{)}$ − u$_{klγ}$$_{(}$$_{s}$$_{)}$ ∥ $_{0}$ds < LHη ( 2 ∑ C$_{kl}$ ∈ N$_{r}$ ( i,j $_{)}$C kl ij a$_{ij}$ + 4 H ∑ C$_{kl}$ ∈ N$_{r}$ ( i,j $_{)}$C kl ij 1 − e − a$_{ij}$θ ) . ∞ ∑ λ =0 ∫ θ$_{p}$$_{−}$$_{λ}$ + η θ$_{p}$$_{−}$$_{λ}$ − η e − a$_{ij}$ ( t − s $^{)}$ds ≤ 2 η ∞ ∑ λ =0 e − a$_{ij}$θλ = 2 η 1 − e − a$_{ij}$θ ∥ u$_{γ}$$_{(}$$_{s}$$_{+}$$_{α}$$_{)}$ − u$_{γ}$$_{(}$$_{s}$$_{)+}$$_{α}$ ∥ 0 = max κ ∈ [ − τ, 0] | u ( κ + ζ$_{p}$$_{+}$$_{q}$ ) − u ( κ + ζ$_{p}$ + α ) | < η, ∫ t −∞ e − a$_{ij}$ ( t − s ) ∑ C$_{kl}$ ∈ N$_{r}$ ( i,j ) C kl $_{ij}$LH ∥ u$_{klγ}$$_{(}$$_{s}$$_{+}$$_{α}$$_{)}$ − u$_{klγ}$$_{(}$$_{s}$$_{)}$ ∥ $_{0}$ds ≤ ∫ t θ$_{p}$ + η e − a$_{ij}$ ( t − s ) ∑ C$_{kl}$ ∈ N$_{r}$ ( i,j ) C kl $_{ij}$LH ∥ u$_{klγ}$$_{(}$$_{s}$$_{+}$$_{α}$$_{)}$ − u$_{kl}$$_{(}$$_{γ}$$_{(}$$_{s}$$_{)+}$$_{α}$$_{)}$ ∥ $_{0}$ds + ∞ ∑ λ =0 ∫ θ$_{p}$$_{−}$$_{λ}$ − η θ$_{p}$$_{−}$$_{λ}$$_{−}$$_{1}$ + η e − a$_{ij}$ ( t − s ) ∑ C$_{kl}$ ∈ N$_{r}$ ( i,j ) C kl $_{ij}$LH ∥ u$_{klγ}$$_{(}$$_{s}$$_{+}$$_{α}$$_{)}$ − u$_{kl}$$_{(}$$_{γ}$$_{(}$$_{s}$$_{)+}$$_{α}$$_{)}$ ∥ $_{0}$ds + ∞ λ =0 θ$_{p}$$_{−}$$_{λ}$ + η θ$_{p}$$_{−}$$_{λ}$ − η e − a$_{ij}$ ( t − s ) C$_{kl}$ ∈ N$_{r}$ ( i,j ) C kl $_{ij}$LH ∥ u$_{klγ}$$_{(}$$_{s}$$_{+}$$_{α}$$_{)}$ − u$_{kl}$$_{(}$$_{γ}$$_{(}$$_{s}$$_{)+}$$_{α}$$_{)}$ ∥ $_{0}$ds + ∫ t −∞ e − a$_{ij}$ ( t − s ) ∑ C$_{kl}$ ∈ N$_{r}$ ( i,j ) C kl $_{ij}$LH ∥ u$_{kl}$$_{(}$$_{γ}$$_{(}$$_{s}$$_{)+}$$_{α}$$_{)}$ − u$_{klγ}$$_{(}$$_{s}$$_{)}$ ∥ $_{0}$ds. (5.13) ∫ t −∞ e − a$_{ij}$ ( t − s ) ∑ C$_{kl}$ ∈ N$_{r}$ ( i,j ) C kl $_{ij}$LH ∥ u$_{kl}$$_{(}$$_{s}$$_{+}$$_{α}$$_{)}$ − u$_{kls}$ ∥ $_{0}$ds < LHη a$_{ij}$ ∑ C$_{kl}$ ∈ N$_{r}$ ( i,j ) C kl $_{ij}$. ∫ t −∞ e − a$_{ij}$ ( t − s ) ∑ C$_{kl}$ ∈ N$_{r}$ ( i,j ) C kl $_{ij}$M | u$_{ij}$ ( s + α ) − u$_{ij}$ ( s ) | ds < Mη a$_{ij}$ ∑ C$_{kl}$ ∈ N$_{r}$ ( i,j ) C kl ij 15