integral transformations: with $^{P}$− $_{n}$( χ ) ≡ $^{P$_{n}$}$− $_{1}$( χ ). Note, that in (A11) we employ the standard notations adopted in [15, 22]. Namely, x$_{s}$ = 2 x − ξs (1 s $^{2}$) $_{y}$, s$_{i}$ , ( i = 1 , ... 4) stand for the four roots of the equation 2 x$_{s}$ − x 2 s − ξ 2 = 0 given by the following expressions: where y$_{0}$ and 1 y$_{1}$ are the two solutions of the equation s$_{1}$ = s$_{2}$ ; while y$_{1}$ and 1 y$_{0}$ are the two solutions of the equation s$_{3}$ = s$_{4}$ ; 31 y$_{0}$ = x (1 + µ $^{2}$) 2 + √ x $^{2}$(1 + µ $^{2}$) 2 4 − µ $^{2}$; (A14) y$_{1}$ = x (1 + λ $^{2}$) 2 − √ x $^{2}$(1 + λ $^{2}$) 2 4 − λ $^{2}$. (A15) µ = 1 − √ 1 − ξ 2 ξ ; λ = 1 µ . (A13) s$_{1}$ = 1 y ( µ − √ (1 − x y ) (1 + µ $^{2}$) − (1 − y $^{2}$) ) ; s$_{2}$ = 1 y µ + (1 − x y ) (1 + µ $^{2}$) − (1 − y $^{2}$) ; s$_{3}$ = 1 y ( λ − √ (1 − x y ) (1 + λ $^{2}$) − (1 − y $^{2}$) ) ; s$_{4}$ = 1 y λ + (1 − x y ) (1 + λ $^{2}$) − (1 − y $^{2}$) , (A12) H g ( E ) ( ν $^{)}$( x, ξ, t ) = θ ( x > ξ ) 1 π ∫ 1 y$_{0}$ dy [ 1 3 ( 1 − y ∂ ∂y + 1 2 y 2 ∂ 2 ∂y 2 ) G ( E ) 2 ν ( y, t ) ] ∫ s$_{2}$ s$_{1}$ ds x 2 − 2 ν s (1 − s $^{2}$) √ 2 x$_{s}$ − x 2 s − ξ 2 + θ ( | x | < ξ ) 1 π ∫ 1 0 dy [ 1 3 ( 1 − y ∂ ∂y + 1 2 y 2 ∂ 2 ∂y 2 ) G ( E ) 2 ν ( y, t ) ] { ∫ s$_{3}$ s$_{1}$ ds x 2 2 ν s (1 − s $^{2}$) √ 2 x$_{s}$ − x 2 s − ξ 2 − π ξ 2 ν ( 1 − x 2 ξ 2 ) 2 × 2 ν − 3 ∑ l = − 1 C$^{5}$ 2 2 ν − l − 3 ( x ξ ) ξP$_{l}$ ( 1 ξ ) 6 y 2 ν − l − 2 (2 ν − l )(2 ν − l + 1) } , (A11)