Hence, it can be deduced by means of (4.7) and (4.8) that Now, by using the equation we attain that The last inequality implies that Therefore, for each n ∈ N , there exists a number ζ$_{n}$ ∈ [ − Δ , Δ] such that Let us define the number and denote ˜ τ$_{n}$ = τ$_{n}$ + ζ$_{n}$, n ∈ N . Clearly, ˜ τ$_{n}$ → ∞ as n → ∞ . One can confirm for − Δ ≤ s ≤ Δ that 8 ‖ φ ( t$_{n}$ + ˜ τ$_{n}$ + s ) − φ $^{(}$˜ τ$_{n}$ + s ) ‖ ≥ ‖ φ ( t$_{n}$ + ˜ τ$_{n}$ ) − φ $^{(}$˜ τ$_{n}$ ) ‖ − ∣ ∫ s 0 ( ‖ A ‖ + L$_{f}$ ) ‖ φ ( t$_{n}$ + ˜ τ$_{n}$ + u ) − φ $^{(}$˜ τ$_{n}$ + u ) ‖ du ∣ − ∣ s 0 ‖ g ( t$_{n}$ + ˜ τ$_{n}$ + u ) − g $^{(}$˜ τ$_{n}$ + u ) ‖ du ∣ Δ = Δ ϵ$_{0}$ 8 N m [1 + Δ( ‖ A ‖ + L$_{f}$ )][ M$_{φ}$ ( ‖ A ‖ + L$_{f}$ ) + M$_{g}$ ] , ‖ φ ( t$_{n}$ + ¯ τ$_{n}$ + ζ$_{n}$ ) − φ ( τ$_{n}$ + ζ$_{n}$ ) ‖ ≥ Δ ϵ$_{0}$ 2 N m [1 + Δ( ‖ A ‖ + L$_{f}$ )] . sup s ∈ [ − Δ , Δ] ‖ φ ( t$_{n}$ + ¯ τ$_{n}$ + s ) − φ ( τ$_{n}$ + s ) ‖ ≥ Δ ϵ$_{0}$ 2 N m [1 + Δ( ‖ A ‖ + L$_{f}$ )] , n ∈ N . ‖ φ ( t$_{n}$ + ¯ τ$_{n}$ + Δ) − φ ( τ$_{n}$ + Δ) ‖ ≥ ∥ ∫ Δ − Δ [ g ( t$_{n}$ + τ$_{n}$ + u ) − g ( τ$_{n}$ + u )] du ∥ − ‖ φ ( t$_{n}$ + τ$_{n}$ − Δ) − φ ( τ$_{n}$ − Δ) ‖ − ∫ Δ − Δ ( ‖ A ‖ + L$_{f}$ ) ‖ φ ( t$_{n}$ + τ$_{n}$ + u ) − φ ( τ$_{n}$ + u ) ‖ du. φ ( t$_{n}$ + ¯ τ$_{n}$ + s ) − φ ( τ$_{n}$ + s ) = φ ( t$_{n}$ + τ$_{n}$ − Δ) − φ ( τ$_{n}$ − Δ) + ∫ s − Δ A [ φ ( t$_{n}$ + τ$_{n}$ + u ) − φ ( τ$_{n}$ + u )] du + s − Δ [ f ( φ ( t$_{n}$ + τ$_{n}$ + u )) − f ( φ ( τ$_{n}$ + u ))] du + ∫ s − Δ [ g ( t$_{n}$ + τ$_{n}$ + u ) − g ( τ$_{n}$ + u )] du, ∥ ∫ Δ − Δ [ g ( t$_{n}$ + τ$_{n}$ + u ) − g ( τ$_{n}$ + u )] du ∥ ≥ 2Δ ∣ g$_{j}$$_{n}$ ( t$_{n}$ + τ$_{n}$ + s n $_{j$_{n}$}$) − g$_{j}$$_{n}$ ( τ$_{n}$ + s n $_{j$_{n}$}$) ∣ ≥ Δ ϵ$_{0}$ N m .