motion for the Timoshenko beam kA ( c$_{55}$ − d 2 15 a$_{11}$ )( w ′′ − ψ $^{′}$) + d$_{15}$ a$_{11}$ ∂ ∂x Q el x + f$_{1313}$ a$_{33}$ ( − ∂ 2 ∂x $_{2}$Q el z − kA ( f$_{1133}$ψ ′′′ − f$_{1313}$ ( w IV − ψ $^{′′′}$))) − q = ϱA ¨ w ( c$_{11}$I − d 2 31 a$_{33}$ I − ( f$_{1133}$ + f$_{1313}$ ) 2 a$_{33}$ kA ) ψ ′′ + kA ( c$_{55}$ − d 2 15 a$_{11}$ )( w ′ − ψ ) − d$_{31}$ a$_{33}$ ∂ ∂x M el z + d$_{15}$ a$_{11}$ Q el x + f$_{1133}$ + f$_{1313}$ a$_{33}$ ( f$_{1313}$kAw ′′′ − ∂ ∂x Q el $_{x}$) + + f$_{1111}$ a$_{11}$ ∂ 2 ∂x $_{2}$M el x + f 2 1111 a$_{11}$ Iψ IV = ϱI ¨ ψ ϕ$_{xx}$ ( 3 a$_{11}$ − ε$_{0}$ ) + ϕ$_{zz}$ ( 3 a$_{33}$ − ε$_{0}$ ) + ( d$_{15}$ a$_{11}$ + d$_{31}$ a$_{33}$ ) ψ ′ − d$_{15}$ a$_{11}$ w ′′ = 0 w = w ′ = ψ = ψ ′ = ϕ = 0 , ( 3 a$_{33}$ − ε$_{0}$ ) ϕ ′ z + f$_{1133}$ + f$_{1313}$ a$_{33}$ ψ ′ x − f$_{1313}$ a$_{33}$ w ′′ = 0 . with boundary conditions: at x = 0 and at x = l : and at z = ± h/ 2 10 kA ( c$_{55}$ − d 2 15 a$_{11}$ )( w ′ − ψ ) + d$_{15}$ a$_{11}$ Q el x + f$_{1313}$ a$_{33}$ ( − ∂ ∂x Q el z − kA ( f$_{1133}$ψ ′′ − f$_{1313}$ ( w ′′′ − ψ $^{′′}$))) = P$_{∗}$ ( c$_{11}$I − d 2 31 a$_{33}$ I − ( f$_{1133}$ + f$_{1313}$ ) 2 a$_{33}$ kA ) ψ ′ − d$_{31}$ a$_{33}$ M el z + f$_{1133}$ + f$_{1313}$ a$_{33}$ ( f$_{1313}$kAw ′′ − Q el $_{x}$) + f$_{1111}$ a$_{11}$ ∂ ∂x M el x + f 2 1111 a$_{11}$ Iψ ′′′ = 0 , kA [( f$_{1133}$ + f$_{1313}$ ) ψ ′ − f$_{1313}$w $^{′′}$] + Q el z = 0 , f$_{1111}$Iψ ′′ + M el x = 0 , ϕ = 0 ,