12 TABLE II: The leading relativistic corrections E (4) ∞ and E (4) M for helium-like atoms and their 1 /Z -expansion coefficients. The analytical results for the coefficient c$_{1}$ for E (4) ∞ were taken from Ref. [29] for the 1 $^{1}$S , 2 $^{3}$S , 2 $^{3}$P$_{0}$ , and 2 $^{3}$P$_{2}$ states. For the other states, this coefficient was evaluated numerically to high accuracy in this work by the same method as in Ref. [29]. The c$_{0}$ coefficient of E (4) M for the S states originates from the one-electron recoil effect and is well known from the hydrogen theory. For the P states, it contains also the two-electron contribution, which was derived in Ref. [36]. The remaining 1 /Z -expansion coefficients were obtained by fitting the numerical data for E (4) ∞ and E (4) M . Atomic units are used. Z 1 $^{1}$S 2 $^{1}$S 2 $^{3}$S 2 $^{1}$P$_{1}$ 2 $^{3}$P$_{0}$ 2 $^{3}$P$_{1}$ 2 $^{3}$P$_{2}$ E (4) ∞ /Z 4 2 − 0 . 121 984 67 − 0 . 127 135 46 − 0 . 135 279 87 − 0 . 127 501 60 − 0 . 118 042 52 − 0 . 123 316 23 − 0 . 123 729 58 3 − 0 . 145 794 73 − 0 . 131 881 23 − 0 . 142 840 30 − 0 . 130 953 91 − 0 . 121 128 29 − 0 . 126 601 86 − 0 . 124 410 72 4 − 0 . 163 263 53 − 0 . 136 297 75 − 0 . 147 356 68 − 0 . 133 229 53 − 0 . 126 667 74 − 0 . 130 512 05 − 0 . 125 569 23 5 − 0 . 176 048 64 − 0 . 139 882 98 − 0 . 150 310 08 − 0 . 134 786 60 − 0 . 131 522 71 − 0 . 133 708 51 − 0 . 126 557 82 6 − 0 . 185 674 19 − 0 . 142 737 56 − 0 . 152 383 24 − 0 . 135 917 90 − 0 . 135 444 97 − 0 . 136 216 54 − 0 . 127 342 75 7 − 0 . 193 138 21 − 0 . 145 028 97 − 0 . 153 916 10 − 0 . 136 778 46 − 0 . 138 596 36 − 0 . 138 199 25 − 0 . 127 965 82 8 − 0 . 199 077 87 − 0 . 146 895 44 − 0 . 155 094 63 − 0 . 137 455 97 − 0 . 141 156 38 − 0 . 139 793 29 − 0 . 128 467 48 9 − 0 . 203 909 05 − 0 . 148 439 23 − 0 . 156 028 56 − 0 . 138 003 71 − 0 . 143 266 17 − 0 . 141 097 57 − 0 . 128 878 10 10 − 0 . 207 911 70 − 0 . 149 734 47 − 0 . 156 786 71 − 0 . 138 455 96 − 0 . 145 029 86 − 0 . 142 182 11 − 0 . 129 219 51 11 − 0 . 211 280 06 − 0 . 150 835 16 − 0 . 157 414 35 − 0 . 138 835 82 − 0 . 146 523 58 − 0 . 143 096 91 − 0 . 129 507 41 12 − 0 . 214 152 65 − 0 . 151 781 23 − 0 . 157 942 44 − 0 . 139 159 46 − 0 . 147 803 54 − 0 . 143 878 26 − 0 . 129 753 21 1 /Z expansion coefficients c$_{0}$ − 1 / 4 − 21 / 128 − 21 / 128 − 55 / 384 − 21 / 128 − 59 / 384 − 17 / 128 c$_{1}$ 0 . 480 139 61 0 . 169 478 18 0 . 076 935 23 0 . 055 403 03 0 . 219 768 22 0 . 130 428 76 0 . 040 638 72 c$_{2}$ − 0 . 636 506 86 − 0 . 281 858 62 − 0 . 042 775 47 − 0 . 090 632 15 − 0 . 303 523 35 − 0 . 162 129 41 − 0 . 047 315 68 c$_{3}$ 0 . 456 314 23 0 . 202 919 21 0 . 010 473 95 0 . 156 412 39 0 . 091 746 25 0 . 042 468 90 0 . 002 244 38 c$_{4}$ − 0 . 171 179 61 − 0 . 042 542 10 − 0 . 004 460 83 − 0 . 178 042 53 − 0 . 008 844 33 − 0 . 004 319 44 − 0 . 000 236 51 c$_{5}$ 0 . 018 587 49 0 . 018 861 71 − 0 . 001 566 73 0 . 059 068 31 0 . 015 552 82 0 . 007 698 46 0 . 003 691 05 E (4) M / ( Z 4 m/M ) 2 − 0 . 134 960 7 − 0 . 004 351 6 0 . 005 574 1 − 0 . 003 655 3 0 . 015 596 8 0 . 016 677 1 0 . 012 760 7 3 − 0 . 123 759 2 − 0 . 001 616 1 0 . 011 426 9 − 0 . 008 574 4 0 . 026 148 2 0 . 026 855 2 0 . 019 248 5 4 − 0 . 107 627 1 0 . 002 303 9 0 . 015 288 3 − 0 . 012 139 6 0 . 032 666 5 0 . 032 185 5 0 . 021 650 8 5 − 0 . 093 784 1 0 . 005 792 4 0 . 017 933 4 − 0 . 014 451 6 0 . 037 580 2 0 . 035 768 1 0 . 022 926 5 6 − 0 . 082 625 7 0 . 008 672 2 0 . 019 840 8 − 0 . 015 970 4 0 . 041 407 7 0 . 038 388 7 0 . 023 736 9 7 − 0 . 073 647 0 0 . 011 026 9 0 . 021 276 3 − 0 . 017 005 1 0 . 044 450 5 0 . 040 395 3 0 . 024 304 7 8 − 0 . 066 337 0 0 . 012 965 9 0 . 022 393 8 − 0 . 017 736 6 0 . 046 915 2 0 . 041 981 4 0 . 024 727 6 9 − 0 . 060 299 1 0 . 014 581 1 0 . 023 287 6 − 0 . 018 271 0 0 . 048 946 2 0 . 043 266 3 0 . 025 056 1 10 − 0 . 055 241 6 0 . 015 943 0 0 . 024 018 4 − 0 . 018 672 8 0 . 050 645 5 0 . 044 328 0 0 . 025 319 3 11 − 0 . 050 950 5 0 . 017 104 5 0 . 024 626 8 − 0 . 018 982 2 0 . 052 086 4 0 . 045 219 7 0 . 025 535 1 12 − 0 . 047 267 8 0 . 018 105 5 0 . 025 141 1 − 0 . 019 225 6 0 . 053 322 8 0 . 045 979 1 0 . 025 715 5 1 /Z expansion coefficients c$_{0}$ 0 1 / 32 1 / 32 − 0 . 020 744 7 0 . 069 205 9 0 . 055 392 0 0 . 027 764 2 c$_{1}$ − 0 . 645 040 2 − 0 . 182 643 4 − 0 . 078 412 4 0 . 002 583 0 − 0 . 217 113 6 − 0 . 125 397 2 − 0 . 025 605 0 c$_{2}$ 0 . 972 372 8 0 . 314 800 3 0 . 062 834 3 0 . 220 104 6 0 . 332 302 1 0 . 157 607 0 0 . 015 453 2 c$_{3}$ − 0 . 460 091 9 − 0 . 188 443 6 − 0 . 018 866 9 − 0 . 387 495 1 − 0 . 152 038 8 − 0 . 096 226 5 − 0 . 036 663 9 c$_{4}$ − 0 . 040 368 0 − 0 . 048 228 2 0 . 000 413 8 − 0 . 046 282 4 − 0 . 252 878 4 − 0 . 030 160 4 − 0 . 017 642 5