Substituting Eqs. (B1)-(B4) into Eq. (23), one arrives at the equations of time evolution for the ˜ D Ansatz: For the ˜ D trial state, the localized backbone of the translationally-invariant GL Ansatz, we can also derive coupled equation for the time-dependent variational pa- rameters using the Lagrangian formalism Solutions to Eq. (A5) and (A6) provide the dynamic in- formation of the exciton-phonon system. And in this paper, we set wherein the individual terms can be calculated as follows and with 12 N ∑ n =1 | ψ$_{n}$ ( t ) | 2 = 1 (A8) L = 〈 ˜ D ( t ) | i ℏ 2 ←→ ∂ ∂t − ˆ H | ˜ D ( t ) 〉 = i ℏ 2 [ 〈 ˜ D ( t ) | − → ∂ ∂t | ˜ D ( t ) 〉 − 〈 ˜ D ( t ) | ← − ∂ ∂t | ˜ D ( t ) 〉 ] −〈 ˜ D ( t ) | ˆ H | ˜ D ( t ) 〉 (B1) 〈 ˜ D ( t ) | − → ∂ ∂t | ˜ D ( t ) 〉 = ∑ n ψ ∗ n ˙ ψ$_{n}$ + ∑ n | ψ$_{n}$ | $^{2}$[ N − 1 ∑ q ( ˙ β$_{q}$e − iqn − ˙ λ$_{q}$ )( β ∗ $_{q}$e iqn − λ ∗ $_{q}$)] + ∑ n | ψ$_{n}$ | 2 [ − 1 2 N − 1 ∑ q ( ˙ β$_{q}$e − iqn − ˙ λ$_{q}$ )( β ∗ $_{q}$e iqn − λ ∗ $_{q}$) +( β$_{q}$e − iqn − λ )( ˙ β ∗ $_{q}$e iqn − ˙ λ$_{q}$ )] (B2) 〈 ˜ D ( t ) | ← − ∂ ∂t | ˜ D ( t ) 〉 = ∑ n ˙ ψ ∗ $_{n}$ψ$_{n}$ + ∑ n | ψ$_{n}$ | $^{2}$[ N − 1 ∑ q ( ˙ β ∗ $_{q}$e iqn − ˙ λ ∗ $_{q}$)( β$_{q}$e − iqn − λ$_{q}$ )] + n | ψ$_{n}$ | 2 [ − 1 2 N − 1 ∑ q ( ˙ β$_{q}$e − iqn − ˙ λ$_{q}$ )( β ∗ $_{q}$e iqn − λ ∗ $_{q}$) +( β$_{q}$e − iqn − λ )( ˙ β ∗ $_{q}$e iqn − ˙ λ$_{q}$ )] (B3) 〈 ˜ D | ˆ H | ˜ D 〉 = 〈 ˜ D | ˆ H$_{ex}$ | ˜ D 〉 + 〈 ˜ D | ˆ H$_{ph}$ | ˜ D 〉 + 〈 ˜ D | ˆ H$_{ex}$$_{−}$$_{ph}$ | ˜ D 〉 (B4) 〈 ˜ D | ˆ H$_{ex}$ | ˜ D 〉 = − J ∑ n ψ ∗ $_{n}$( ψ$_{n}$$_{+1}$S$_{n,n}$$_{+1}$ + ψ$_{n}$$_{−}$$_{1}$S$_{n,n}$$_{−}$$_{1}$ ) − iN − 1 ∑ n | ψ$_{n}$ | 2 ˙ β$_{q}$ = − iN − 1 ∑ n | ψ$_{n}$ | 2 ˙ λ$_{q}$e iqn + JN − 1 n ψ ∗ $_{n}$ψ$_{n}$$_{+1}$ S$_{n,n}$$_{+1}$ [ β$_{q}$ ( e − iq − 1) + 1 2 λ$_{q}$e $^{iqn}$( e iq − 1)] + JN − 1 ∑ n ψ ∗ $_{n}$ψ$_{n}$$_{−}$$_{1}$ S$_{n,n}$$_{−}$$_{1}$ [ β$_{q}$ ( e iq − 1) + 1 2 λ$_{q}$e $^{iqn}$( e − iq − 1)] − N − 1 ∑ n | ψ$_{n}$ | $^{2}$ω$_{q}$ ( β$_{q}$ − λ$_{q}$e $^{iqn}$) − N − 1 / 2 n | ψ$_{n}$ | $^{2}$g$_{q}$ ω$_{q}$ (B7) − iN − 1 ∑ n | ψ$_{n}$ | 2 ˙ λ$_{q}$ ( t ) = − i n | ψ$_{n}$ | 2 ˙ β$_{q}$e − $^{iqn}$N − 1 + 1 2 N − $^{1}$J ∑ n ψ ∗ $_{n}$ψ$_{n}$$_{+1}$ S$_{n,n}$$_{+1}$ β$_{q}$ [ e − iqn − e − iq ( n $^{+1)}$] + 1 2 N − $^{1}$J ∑ n ψ ∗ $_{n}$ψ$_{n}$$_{−}$$_{1}$ S$_{n,n}$$_{−}$$_{1}$ β$_{q}$ [ e − iqn − e − iq ( n − $^{1)}$] + N − 1 ∑ n | ψ$_{n}$ | $^{2}$ω$_{q}$ ( β$_{q}$e − iqn − λ$_{q}$ ) + N − 1 / 2 n | ψ$_{n}$ | $^{2}$g$_{q}$ ω$_{q}$e − iqn (B6) − i ˙ ψ$_{n}$ ( t ) = i 2 N − $^{1}$ψ$_{n}$ ∑ q [( ˙ β$_{q}$e − iqn − ˙ λ$_{q}$ )( β ∗ $_{q}$e iqn − λ ∗ $_{q}$) − ( ˙ β ∗ $_{q}$e iqn − ˙ λ ∗ $_{q}$)( β$_{q}$e − iqn − λ$_{q}$ )] + Jψ$_{n}$$_{+1}$S$_{n,n}$$_{+1}$ + Jψ$_{n}$$_{−}$$_{1}$S$_{n,n}$$_{−}$$_{1}$ − N − $^{1}$ψ$_{n}$ ∑ q ω$_{q}$ | β$_{q}$e − iqn − λ$_{q}$ | 2 − N − 1 / $^{2}$ψ$_{n}$ ∑ q g$_{q}$ω$_{q}$ [ β ∗ q − λ ∗ $_{q}$e iqn + β$_{q}$ − λ$_{q}$e $^{iqn}$] (B5) 〈 ˜ D | ˆ H$_{ph}$ | ˜ D 〉 = N − 1 ∑ n | ψ$_{n}$ | 2 ∑ q ω$_{q}$ | β$_{q}$e − iqn − λ$_{q}$ | 2 〈 ˜ D | ˆ H$_{ex}$$_{−}$$_{ph}$ | ˜ D 〉 = N − 1 / 2 ∑ n | ψ$_{n}$ | 2 ∑ q g$_{q}$ω$_{q}$ [( β ∗ $_{q}$e iqn − λ ∗ $_{q}$) e − iqn + ( β$_{q}$e − iqn − λ ∗ $_{q}$) e − $^{iqn}$] . Appendix B: The ˜ D trial state