a parameter t$_{0}$ ∈ [ T$_{1}$, T$_{2}$ ] such that P ( s, t$_{0}$ ) = r ( s ) L$_{1}$ ≤ s ≤ L$_{2}$, that is , Fistly, we derive the condition for n$_{1}$ to be parallel to the normal vector n ( s, t ) of the surface P ( s, t ) : The normal vector can be expressed as Thus, we get where This follows that n$_{1}$ ( s ) //n ( s, t$_{0}$ ), L$_{1}$ ≤ s ≤ L$_{2}$ , if and only if there exits a function λ ( s ) = 0 such that φ$_{1}$ ( s, t$_{0}$ ) = 0 , φ$_{2}$ ( s, t$_{0}$ ) = λ ( s ) cos θ, φ$_{3}$ ( s, t$_{0}$ ) = λ ( s ) sin θ. (4.9) φ$_{1}$ ( s, t$_{0}$ ) = ∂w ( s,t 0 ) ∂s ∂v ( s,t 0 ) ∂t − ∂v ( s,t 0 ) ∂s ∂w ( s,t 0 ) ∂t , φ$_{2}$ ( s, t$_{0}$ ) = ∂w ( s,t 0 ) ∂s ∂u ( s,t 0 ) ∂t − ( 1 + ∂u ( s,t 0 ) ∂s ) ∂w ( s,t 0 ) ∂t , φ$_{3}$ ( s, t$_{0}$ ) = ( 1 + ∂u ( s,t 0 ) ∂s ) ∂v ( s,t 0 ) ∂t − ∂v ( s,t 0 ∂s ∂u ( s,t 0 ) ∂t . n ( s, t$_{0}$ ) = φ$_{1}$ ( s, t$_{0}$ ) T ( s ) + φ$_{2}$ ( s, t$_{0}$ ) N ( s ) + φ$_{3}$ ( s, t$_{0}$ ) B ( s ) , n ( s, t ) = ∂P ( s,t ) ∂s × ∂P ( s,t ) ∂t = (( − τ ( s ) v ( s, t ) + ∂w ( s,t ) ∂s ) ∂v ( s,t ) ∂t − ( κ ( s ) u ( s, t ) + τ ( s ) w ( s, t ) + ∂v ( s,t ) ∂s ) ∂w ( s,t ) ∂t ) T ( s ) + (( − τ ( s ) v ( s, t ) + ∂w ( s,t ) ∂s ) ∂u ( s,t ) ∂t − (1 + κ ( s ) v ( s, t ) + ∂u ( s,t ) ∂s ) ∂w ( s,t ) ∂t ) N ( s ) + ( − ( κ ( s ) u ( s, t ) + τ ( s ) w ( s, t ) + ∂v ( s,t ) ∂s ) ∂u ( s,t ) ∂t + (1 + κ ( s ) v ( s, t ) + ∂u ( s,t ) ∂s )( ∂v ( s,t ) ∂t )) B ( s ) u ( s, t$_{0}$ ) = v ( s, t$_{0}$ ) = w ( s, t$_{0}$ ) ≡ 0 , L$_{1}$ ≤ s ≤ L$_{2}$, T$_{1}$ ≤ t ≤ T$_{2}$. (4.8) 18