13 TABLE III: Bethe logarithm for helium-like atoms with the infinite nuclear mass, ln( k$_{0}$/Z $^{2}$), and its first-order perturbation by the mass polarization operator, ln( k$_{0}$ ) M . Coefficients of the 1 /Z expansion of ln( k$_{0}$/Z $^{2}$) are also presented. The leading term c$_{0}$ is known with a high accuracy from the hydrogen theory. The higher-order coefficients are obtained by fitting the numerical data. Z 1 $^{1}$S 2 $^{1}$S 2 $^{3}$S 2 $^{1}$P 2 $^{3}$P Ref. ln( k$_{0}$/Z $^{2}$) 2 2 . 983 865 861 8 (1) 2 . 980 118 365 1 (1) 2 . 977 742 459 29 (2) 2 . 983 803 382 4 (1) 2 . 983 691 003 3 (2) 2 . 983 865 860 9 (1) 2 . 980 118 364 8 (1) 2 . 977 742 459 2 (1) 2 . 983 803 377 (1) 2 . 983 690 995 (1) [25] 2 . 983 865 857 (3) 2 . 980 118 36 (7) 2 . 977 742 46 (1) 2 . 983 803 46 (3) 2 . 983 690 84 (2) [24] 3 2 . 982 624 563 0 (2) 2 . 976 363 063 0 (2) 2 . 973 851 709 92 (4) 2 . 983 186 013 6 (2) 2 . 982 958 798 2 (2) 4 2 . 982 503 099 1 (3) 2 . 973 976 911 2 (3) 2 . 971 735 578 90 (7) 2 . 982 698 213 8 (4) 2 . 982 443 598 4 (3) 5 2 . 982 591 376 1 (4) 2 . 972 388 098 8 (4) 2 . 970 424 964 90 (8) 2 . 982 340 114 9 (8) 2 . 982 089 604 9 (4) 6 2 . 982 716 948 (1) 2 . 971 266 246 4 (5) 2 . 969 537 071 9 (3) 2 . 982 072 719 (2) 2 . 981 835 938 5 (6) 2 . 982 716 948 (4) 2 . 971 266 24 (4) 2 . 969 537 07 (1) 2 . 982 072 76 (2) 2 . 981 835 92 (3) [24] 7 2 . 982 839 085 (3) 2 . 970 435 367 (1) 2 . 968 896 814 (1) 2 . 981 867 337 (7) 2 . 981 646 451 (2) 8 2 . 982 948 318 (4) 2 . 969 796 528 (3) 2 . 968 413 645 (2) 2 . 981 705 33 (1) 2 . 981 499 939 (4) 9 2 . 983 043 667 (8) 2 . 969 290 586 (5) 2 . 968 036 227 (5) 2 . 981 574 56 (3) 2 . 981 383 443 (7) 10 2 . 983 126 46 (2) 2 . 968 880 24 (1) 2 . 967 733 341 (9) 2 . 981 466 92 (5) 2 . 981 288 68 (1) 11 2 . 983 198 50 (3) 2 . 968 540 85 (2) 2 . 967 484 93 (2) 2 . 981 376 9 (1) 2 . 981 210 12 (2) 12 2 . 983 261 47 (5) 2 . 968 255 57 (4) 2 . 967 277 54 (3) 2 . 981 300 4 (2) 2 . 981 143 96 (3) Coefficients of the 1 /Z expansion: c$_{0}$ 2 . 984 128 56 2 . 964 977 59 2 . 964 977 59 2 . 980 376 47 2 . 980 376 47 c$_{1}$ − 0 . 012 299 28 0 . 040 788 09 0 . 027 759 43 0 . 012 003 83 0 . 009 627 97 c$_{2}$ 0 . 022 449 74 − 0 . 016 439 35 − 0 . 001 423 95 − 0 . 010 982 08 − 0 . 004 810 60 c$_{3}$ 0 . 003 586 19 − 0 . 012 355 03 − 0 . 005 968 56 − 0 . 000 482 19 − 0 . 002 457 88 c$_{4}$ − 0 . 002 503 70 0 . 005 813 30 0 . 000 119 95 0 . 003 764 32 − 0 . 000 236 70 ln( k$_{0}$ ) M / ( m/M ) 2 0 . 094 389 4 (1) 0 . 017 734 4 (1) 0 . 004 785 54 (1) − 0 . 003 553 4 (2) 0 . 008 709 5 (1) 0 . 094 38 (1) 0 . 017 734 (1) 0 . 004 784 (3) − 0 . 003 538 (6) 0 . 008 701 (4) [24] 3 0 . 109 539 7 (1) 0 . 034 210 3 (1) 0 . 007 852 51 (1) − 0 . 006 602 3 (2) 0 . 016 328 3 (1) 4 0 . 116 919 7 (1) 0 . 044 876 8 (1) 0 . 009 616 61 (1) − 0 . 007 951 2 (2) 0 . 020 199 2 (1) 5 0 . 121 304 5 (2) 0 . 052 012 4 (2) 0 . 010 754 20 (1) − 0 . 008 629 5 (2) 0 . 022 479 0 (1) 6 0 . 124 212 9 (3) 0 . 057 053 0 (3) 0 . 011 547 92 (1) − 0 . 009 015 3 (2) 0 . 023 973 6 (1) 0 . 124 21 (1) 0 . 057 051 (1) 0 . 011 541 (1) − 0 . 008 98 (1) 0 . 023 98 (1) [24] 7 0 . 126 283 1 (4) 0 . 060 783 0 (9) 0 . 012 133 20 (1) − 0 . 009 255 6 (2) 0 . 025 027 3 (1) 8 0 . 127 833 6 (5) 0 . 063 647 0 (7) 0 . 012 582 68 (1) − 0 . 009 416 0 (2) 0 . 025 809 5 (2) 9 0 . 129 037 1 (2) 0 . 065 912 (1) 0 . 012 938 76 (1) − 0 . 009 528 7 (2) 0 . 026 412 8 (3) 10 0 . 129 998 9 (2) 0 . 067 746 (1) 0 . 013 227 87 (1) − 0 . 009 611 2 (2) 0 . 026 892 2 (4) 11 0 . 130 785 1 (2) 0 . 069 261 (1) 0 . 013 467 30 (1) − 0 . 009 673 6 (2) 0 . 027 282 2 (4) 12 0 . 131 439 7 (2) 0 . 070 534 (2) 0 . 013 668 86 (1) − 0 . 009 722 2 (3) 0 . 027 605 7 (4)