ψ ′ 1 − , − → k , − → q ( − → r ) = ∑ j e i − → k · − → $^{R$_{j}$}$A ′ 1 − [ ψ$_{d}$ ( − → r − − → R$_{j}$ )+ ∑ l V $^{′}$( − 1) $^{l}$ei − → k · − → r l E ′ 1 − − ε$_{p}$ ψ$_{pl}$ ( − → r − − → R$_{j,l}$ ) ] ( cos θ$_{j}$ e $^{iφ}$sin θ$_{j}$ ) (A-4b) ψ ′ 2+ , − → k , − → q ( − → r ) = ∑ j e i − → k · − → $^{R$_{j}$}$A ′ 2+ [ ψ$_{d}$ ( − → r − − → R$_{j}$ )+ ∑ l V $^{′}$( − 1) $^{l}$ei − → k · − → r l E ′ 2+ − ε$_{p}$ ψ$_{pl}$ ( − → r − − → R$_{j,l}$ ) ] ( cos θ$_{j}$ e $^{iφ}$sin θ$_{j}$ ) (A-4c) ψ ′ 2 − , − → k , − → q ( − → r ) = ∑ j e i − → k · − → $^{R$_{j}$}$A ′ 2 − [ ψ$_{d}$ ( − → r − − → R$_{j}$ )+ ∑ l V $^{′}$( − 1) $^{l}$ei − → k · − → r l E ′ 2 − − ε$_{p}$ ψ$_{pl}$ ( − → r − − → R$_{j,l}$ ) ] ( cos θ$_{j}$ e $^{iφ}$sin θ$_{j}$ ) (A-4d) − → P ′ − q = 〈− e − → r 〉 ≈ 4 λV ′ π ( ε$_{p}$ − ε$_{d}$ )Δ E ′ cf ( $^{eI}$̂ e$_{z}$ )[cos φ sin( a$_{0}$q$_{x}$/ 2) + sin φ sin( b$_{0}$q$_{y}$/ 2)] (A-5) I = ∫ d 3 − → r ψ ∗ $_{yz}$( − → r ) zψ$_{py}$ ( − → r − $^{a$_{0}$}$̂ e$_{x}$/ 2) = ∫ d 3 − → r ψ ∗ $_{zx}$( − → r ) zψ$_{px}$ ( − → r − $^{b$_{0}$}$̂ e$_{y}$/ 2) (A-6) where A ′ 1 ± and A ′ 2 ± are normalization constants. One can easily see the similar- ity between the wave functions with or without bond-bending. The polarization can be computed as eq. (13). The result is where Δ E ′ cf is the energy difference between t$_{2}$$_{g}$ states and e$_{g}$ states and 1. Z. J. Huang, Y. Cao, Y. Y. Sun, Y. Y. Xue and C. W. Chu, Phys. Rev. B56 2623 (1997). 2. B. Lorentz, Y. Q. Wang, Y. Y. Sun and C. W. Chu, Phys. Rev. Lett. B70 212412 (1997). 3. T. Kimura, T. Goto, H. Shintani, K. Ishizaka, T. Arima and Y. Tokura, Nature 426 , 55 (2003). 4. T. Kimura, G. Lawes, T. Goto, Y. Tokura and A. P. Ramirez, Phys. Rev. B71 , 224425 (2005). 5. L. C. Chapon, G. R. Blake, M. J. Gutmann, S. Park, N. Hur, P.G. 0.0.7 References 19