where and z is the conjugate of z . Now, we shall estimate the terms I$_{k}$ , 1 ≤ k ≤ 8 , using the integration by parts and the condition z ( x, y, ± T ) = 0 . Then we have In (3.14), we used the equality Re ( iz ) = − Im ( z ) and Im ( z ) − Im (¯ z ) = 2 Im ( z ), where Im ( z ) denotes the imaginary part of z ∈ C . 8 I$_{1}$ = − 4 s Re ∫ Ω i∂$_{t}$z ∇ $_{y}$ϕ · ∇ $_{y}$zdxdydt + 4 s Re ∫ Ω i∂$_{t}$z ∇ $_{x}$ϕ · ∇ $_{x}$zdxdydt = − 2 s Im Ω z∂$_{t}$ ( ∇ $_{y}$ϕ ) · ∇ $_{y}$zdxdydt − 2 s Im Γ$_{y}$ z∂$_{t}$z ( ∇ $_{y}$ϕ · ν ) dS$_{y}$dxdt +2 s Im ∫ Ω z Δ$_{y}$ ϕ∂$_{t}$zdxdydt + 2 s Im ∫ Ω z∂$_{t}$ ( ∇ $_{x}$ϕ ) · ∇ $_{x}$zdxdydt +2 s Im Γ$_{x}$ z∂$_{t}$z ( ∇ $_{x}$ϕ · ν ) dS$_{x}$dydt − 2 s Im ∫ Ω z Δ$_{x}$ ϕ∂$_{t}$zdxdydt. (3.14) I$_{2}$ = − 2 s Re ∫ Ω i∂$_{t}$zz (Δ$_{y}$ ϕ − Δ$_{x}$ ϕ ) dxdydt = − 2 s Im Ω ∂$_{t}$zz (Δ$_{y}$ ϕ − Δ$_{x}$ ϕ ) dxdydt. (3.15) I$_{1}$ = − 4 s Re ∫ Ω i∂$_{t}$z ( ∇ $_{y}$ϕ · ∇ $_{y}$z − ∇ $_{x}$ϕ · ∇ $_{x}$z ) dxdydt, I$_{2}$ = − 2 s Re i∂$_{t}$z (Δ$_{y}$ ϕ − Δ$_{x}$ ϕ ) zdxdydt, Ω I$_{3}$ = − 4 s Re ∫ Ω Δ$_{y}$ z ( ∇ $_{y}$ϕ · ∇ $_{y}$z − ∇ $_{x}$ϕ · ∇ $_{x}$z ) dxdydt, I$_{4}$ = − 2 s Re Δ$_{y}$ z (Δ$_{y}$ ϕ − Δ$_{x}$ ϕ ) zdxdydt, Ω I$_{5}$ = 4 s Re ∫ Ω Δ$_{x}$ z ( ∇ $_{y}$ϕ · ∇ $_{y}$z − ∇ $_{x}$ϕ · ∇ $_{x}$z ) dxdydt, I$_{6}$ = 2 s Re Δ$_{x}$ z (Δ$_{y}$ ϕ − Δ$_{x}$ ϕ ) zdxdydt, Ω I$_{7}$ = − 4 s $^{3}$Re ∫ Ω ( |∇ $_{y}$ϕ | 2 − |∇ $_{x}$ϕ | 2 ) z ( ∇ $_{y}$ϕ · ∇ $_{y}$z − ∇ $_{x}$ϕ · ∇ $_{x}$z ) dxdydt, I$_{8}$ = − 2 s $^{3}$Re Ω |∇ $_{y}$ϕ | 2 − |∇ $_{x}$ϕ | 2 z (Δ$_{y}$ ϕ − Δ$_{x}$ ϕ ) zdxdydt,