no y$_{1}$ ∈$_{R}$ s.t. y$_{1}$ − y$_{0}$ ≥ δ and ( t$_{0}$ − t$_{W}$ ) y$_{1}$ − ( t$_{1}$ − t$_{W}$ ) y$_{0}$ ≤ − ( t$_{1}$ − t$_{0}$ ) w. Thus, for each integer k, Let µ$_{0}$$_{,W}$ ( ·| w ) and µ$_{1}$$_{,W}$ ( ·| w ) denote conditional distributions of Y$_{0}$ and Y$_{1}$ given W = w , while F$_{0}$$_{,W}$ ( ·| w ) and F$_{1}$$_{,W}$ ( ·| w ) denote conditional distribution functions of Y$_{0}$ and Y$_{1}$ given W = w. Since Pr { Y$_{0}$ − w t$_{0}$ − t$_{W}$ ≥ Y$_{1}$ − Y$_{0}$ t$_{1}$ − t$_{0}$ $^{}}$= 1 , which is equivalent to Pr $^{{}$Y$_{0}$ ≥ t$_{0}$ − t$_{W}$ t$_{1}$ − t$_{W}$ Y$_{1}$ + t$_{1}$ − t$_{0}$ t$_{1}$ − t$_{W}$ w $^{}}$= 1 , implies for each integer k , If b$_{k}$$_{+1}$ ≤ t$_{0}$ − t$_{W}$ t$_{1}$ − t$_{0}$ δ + w ≤ b$_{k}$, similar to Case a, there exists no y$_{1}$ ∈$_{R}$ s.t. y$_{1}$ − y$_{0}$ ≥ δ and ( t$_{0}$ − t$_{W}$ ) y$_{1}$ − ( t$_{1}$ − t$_{W}$ ) y$_{0}$ ≤ − ( t$_{1}$ − t$_{0}$ ) w. Thus, for the same reason as in Case a, Case b) b$_{k}$$_{+1}$ ≤ t$_{0}$ − t$_{W}$ t$_{1}$ − t$_{0}$ δ + w ≤ b$_{k}$ and for every integer k, If t$_{0}$ − t$_{W}$ t$_{1}$ − t$_{0}$ δ + w ≤ b$_{k}$$_{+1}$ ≤ b$_{k}$, then as illustrated in Figure A.6(c), From Case a, b and c, it is innocuous to assume t$_{0}$ − t$_{W}$ t$_{1}$ − t$_{0}$ δ + w ≤ b$_{k}$$_{+1}$ ≤ b$_{k}$ for each integer k. Case c) t$_{0}$ − t$_{W}$ t$_{1}$ − t$_{0}$ δ + w ≤ b$_{k}$$_{+1}$ ≤ b$_{k}$ 70 B D k = ( −∞ , b$_{k}$ + δ ) ∪$^{(}$−∞ , t$_{1}$ − t$_{W}$ t$_{0}$ − t$_{W}$ b$_{k}$$_{+1}$ − t$_{1}$ − t$_{0}$ t$_{0}$ − t$_{W}$ w$^{)}$ =$^{(}$ −∞ , max$^{{}$ b$_{k}$ + δ, t$_{1}$ − t$_{W}$ t$_{0}$ − t$_{W}$ b$_{k}$$_{+1}$ − t$_{1}$ − t$_{0}$ t$_{0}$ − t$_{W}$ w$^{})}$ . µ$_{0}$$_{,W}$ ( B$_{k}$ | w ) − µ$_{1}$$_{,W}$ $^{(}$B D k | w $^{)}$≤ 0 . B D k =$^{(}$ −∞ , t$_{1}$ − t$_{W}$ t$_{0}$ − t$_{W}$ b$_{k}$ − t$_{1}$ − t$_{0}$ t$_{0}$ − t$_{W}$ w$^{)}$ , µ$_{0}$$_{,W}$ ( B$_{k}$ | w ) − µ$_{1}$$_{,W}$ $^{(}$B D k | w ) = F$_{0}$$_{,W}$ ( b$_{k}$ | w ) − F$_{1}$$_{,W}$$^{(}$ t$_{1}$ − t$_{W}$ t$_{0}$ − t$_{W}$ b$_{k}$ − t$_{1}$ − t$_{0}$ t$_{0}$ − t$_{W}$ w | w$^{)}$ ≤ 0 . F$_{0}$$_{,W}$ ( y | w ) ≤ F$_{1}$$_{,W}$$^{(}$ t$_{1}$ − t$_{w}$ t$_{0}$ − t$_{w}$ y − t$_{1}$ − t$_{0}$ t$_{0}$ − t$_{W}$ w | w$^{)}$ , B D k =$^{(}$ −∞ , t$_{1}$ − t$_{W}$ t$_{0}$ − t$_{W}$ b$_{k}$ − t$_{1}$ − t$_{0}$ t$_{0}$ − t$_{W}$ w$^{)}$ ∪ φ =$^{(}$ −∞ , t$_{1}$ − t$_{W}$ t$_{0}$ − t$_{W}$ b$_{k}$ − t$_{1}$ − t$_{0}$ t$_{0}$ − t$_{W}$ w$^{)}$ .