Then for all ( y$_{0}$, y$_{1}$ ) ∈$_{R}$ $^{2}$, Equalities in the third and sixth lines of (A.7) are satisfied because ϕ and ψ are assumed to be bounded. To compress notation, refer to A$_{k}$ ( ϕ, s ) and A D k ( ϕ, s ) merely as A$_{k}$ and A D k . Then, By taking integrals with respect to dF to both side, one obtains the following: The third equality holds by Fubini’s theorem because ∞ ∑ k = −∞ ∣ $_{∣}$1$_{A}$$_{k}$ ( y$_{0}$ ) − 1$_{A}$ D k ( y$_{1}$ ) ∣ ∣ ≤ ∞ ∑ k = −∞ 1$_{A}$$_{k}$ ( y$_{0}$ )+ ∞ ∑ k = −∞ 1$_{A}$ D k ( y$_{1}$ ) < ∞ for bounded functions ϕ and ψ. Now, maximization of ∫ ϕ ( y$_{0}$ ) dF$_{0}$ + ∫ ψ ( y$_{1}$ ) dF$_{1}$ over ( ϕ, ψ ) ∈ Φ$_{c}$ is equiv- 61 ∫ { 1 { y$_{1}$ − y$_{0}$ < δ } − λ (1 − 1$_{C}$ ( y$_{0}$, y$_{1}$ )) } dπ (A.8) ≥ ∫ ∞ ∑ k = −∞ $^{(}$1$_{A}$$_{k}$ ( y$_{0}$ ) − 1$_{A}$ D k ( y$_{1}$ ) $^{)}$dπ = ∞ ∑ k = −∞ ∫ $^{(}$1$_{A}$$_{k}$ ( y$_{0}$ ) − 1$_{A}$ D k ( y$_{1}$ ) $^{)}$dπ = ∞ ∑ k = −∞ $^{{}$µ$_{0}$ ( A$_{k}$ ) − µ$_{1}$ $^{(}$A D k $^{)}}$. 1 { y$_{1}$ − y$_{0}$ < δ } + λ (1 − 1$_{C}$ ( y$_{0}$, y$_{1}$ )) ≥ ∞ ∑ k = −∞ $^{(}$1$_{A}$$_{k}$ ( y$_{0}$ ) − 1$_{A}$ D k ( y$_{1}$ ) $^{)}$. 1 { y$_{1}$ − y$_{0}$ < δ } + λ (1 − 1$_{C}$ ( y$_{0}$, y$_{1}$ )) (A.7) ≥ ∞ ∑ k =0 $^{(}$1$_{A}$ + $_{k}$( ϕ,s $_{)}$( y$_{0}$ ) − 1$_{A}$ − k ( ϕ,s $_{)}$( y$_{0}$ ) − ∞ ∑ k =0 $^{(}$1$_{A}$ + $_{k,D}$( ϕ,s $_{)}$( y$_{1}$ ) − 1$_{A}$ − $_{k,D}$( ϕ,s $_{)}$( y$_{1}$ ) = ∞ ∑ k =0 $^{{(}$1$_{A}$ + $_{k}$( ϕ,s $_{)}$( y$_{0}$ ) − 1$_{A}$ − k ( ϕ,s $_{)}$( y$_{0}$ ) ) − $^{(}$1$_{A}$ + $_{k,D}$( ϕ,s $_{)}$( y$_{1}$ ) − 1$_{A}$ − $_{k,D}$( ϕ,s $_{)}$( y$_{1}$ ) )} = ∞ ∑ k =0 $^{{}$1$_{A}$ + $_{k}$( ϕ,s $_{)}$( y$_{0}$ ) + $^{(}$1 − 1$_{A}$ − k ( ϕ,s $_{)}$( y$_{0}$ ) ) − 1$_{A}$ + $_{k,D}$( ϕ,s $_{)}$( y$_{1}$ ) − $^{(}$1 − 1$_{A}$ − $_{k,D}$( ϕ,s $_{)}$( y$_{1}$ ) )} = ∞ ∑ k =0 $^{{(}$1$_{A}$ + $_{k}$( ϕ,s $_{)}$( y$_{0}$ ) + 1 ( A − k ( ϕ,s ) c ( y$_{0}$ ) ) − $^{(}$1$_{A}$ + $_{k,D}$( ϕ,s $_{)}$( y$_{1}$ ) + 1 ( A − $_{k,D}$( ϕ,s ) c ( y$_{1}$ ) )} = ∞ ∑ k =0 $^{(}$1$_{A}$ + $_{k}$( ϕ,s $_{)}$( y$_{0}$ ) − 1$_{A}$ + $_{k,D}$( ϕ,s $_{)}$( y$_{1}$ ) $^{)}$+ ∞ ∑ k =0 $^{(}$1 ( A − k ( ϕ,s ) c ( y$_{0}$ ) − 1 ( A − $_{k,D}$( ϕ,s ) ) c ( y$_{1}$ ) = ∞ ∑ k =0 $^{(}$1$_{A}$$_{k}$$_{(}$$_{ϕ,s}$$_{)}$ ( y$_{0}$ ) − 1$_{A}$ D k ( ϕ,s $_{)}$( y$_{1}$ ) $^{)}$+ − 1 ∑ k = −∞ $^{(}$1$_{A}$$_{k}$$_{(}$$_{ϕ,s}$$_{)}$ ( y$_{0}$ ) − 1$_{A}$ D k ( ϕ,s $_{)}$( y$_{1}$ ) ) = ∞ ∑ k = −∞ $^{(}$1$_{A}$$_{k}$$_{(}$$_{ϕ,s}$$_{)}$ ( y$_{0}$ ) − 1$_{A}$ D k ( ϕ,s $_{)}$( y$_{1}$ )