पायथागॉरियन प्रमेय के परिणामों में से एक है कि तारतम्यहीन लंबाई (ie. उनके अनुपात तर्कहीन संख्या में है), जैसे की 2 का वर्गमूल, बनाया जा सकता है। एक समकोण जिसके पैर दोनों एक इकाई के बराबर हैं उसके कर्ण की लंबाई 2 का वर्गमूल है। यह सबूत कि 2 का वर्गमूल तर्कहीन है लंबे समय से आयोजित विश्वास के विपरीत था कि सब कुछ तर्कसंगत था। पौराणिक कथा के अनुसार, हिप्पासुस, जिसने दो के वर्गमूल की तर्कशून्यता सबसे पहले साबित करी थी, उसे परिणाम के रूप में समुद्र में डूब गया था।

तर्कहीन संख्या का अस्तित्व
व्यवकलन द्वारा सबूत
समान त्रिकोण के उपयोग से सबूत
बीजीय सबूत