उपर्युक्त समीकरण का कोई मूल formula_13 का समाधान करता है और formula_14 द्वारा गुणा करने से निम्न दर्शाता है:

परिभाषा के अनुसार formula_8, समीकरण का मूल है और दूसरा मूल है formula_17. इसलिए:

और

दोनों formula_20 तथा formula_21
ऐसी ज्यामितीय श्रृंखलाएं (for "n" = 1, 2, 3, ...) हैं, जो फाइबोनैचि प्रत्यावर्तन का समाधान करती हैं. पहली श्रृंखला घातांकी रूप से बढ़ती है; दूसरी, घातांकी रूप से, एकांतर चिह्नों सहित, शून्य की ओर ले जाती है. चूंकि फाइबोनैचि प्रत्यावर्तन रैखिक है, इन दो श्रृंखलाओं के किसी भी रैखिक संयोजन से भी प्रत्यावर्तन का समाधान हो सकता है. ये रैखिक संयोजन, एक दो-आयामी रैखिक वेक्टर अंतर तैयार करते हैं; मूल फाइबोनैचि अनुक्रम इस अंतर में पाया जा सकता है.

रैखिक संयोजनों की श्रृंखलाएं formula_20 और formula_23, "a" तथा "b" गुणांकों सहित, निम्न द्वारा परिभाषित की जा सकती हैं

इस प्रकार परिभाषित सभी श्रृंखलाएं फाइबोनैचि प्रत्यावर्तन की पूर्ति करती हैं

जहां अपेक्षा है कि formula_27 और formula_28 प्रतिफल formula_29 और formula_30 देते हैं, जिसके परिणामस्वरूप वही बाइनेट सूत्र मिलता है, जिससे हमने शुरू किया था. यह दर्शाया गया है कि यह सूत्र फाइबोनैचि प्रत्यावर्तन की पूर्ति करता है. इसके अलावा, एक सुस्पष्ट जांच की जा सकती है:

और

आगमन के मूल प्रश्नों सिद्ध करते हुए, प्रमाणित करते हैं कि

इसलिए, किन्हीं दो प्रारंभिक मूल्यों के लिए, संयोजन formula_35 को इस तरह पाया जा सकता है कि फलन formula_36, अनुक्रम के लिए सटीक पूर्ण सूत्र है.

फाइबोनैचि अभाज्य संख्या
फाइबोनैचि संख्याओं के अभाज्य भाजक
आगमन द्वारा प्रमाण
विभाज्यता गुण