कल्पना करें कि h के किसी अवसर पर घटित घटना a की संभाव्यता h के पूर्व अवसर पर घटित होने वा न होने से अप्रभावित रहती है, अर्थात्‌ a की घटना एक दूसरे की संभाव्यता से स्वतंत्र है। कल्पना करें कि यह संभाव्यता p है। विशेष गुणन तथा योगफल के सिद्धांत का प्रयोग h के n अवसर पर घटना a के अंतराल p ± e में, किसी सापेक्ष बारंबारता के साथ अनुभव होने के संभाव्यतागणन मे, कर सकते हैं। इस द्वितीय संभाव्यतांश के प्रतिफल से सिद्ध कर सकते हैं कि :

(1) n अवसरों पर घटनाक की सापेक्ष बारबारता का अधिकतम संभाव्य मान वह मान है, जो उसकी संभाव्यता p के निकटतम है।

(2) n अवसरों पर घटना की सापेक्ष बारंबारता का उसकी संभाव्यता p से किसी संख्या Î की, हो कितनी भी लघु क्यों न हो, मात्रा से कम के विचल की संभाव्यता की सीमा 1 होती है, जब n में अनियतरूपेण वृद्धि की जाती है। इस भाँति, लौकिक भाषा में, अंत में घटना उसकी संभाव्यता की सापेक्ष बारंबरता के साथ लगभग निश्चित रूप से अनुभव होगी।

वर्धमान संभाव्यता के अनंतस्पर्शी गुण की, निम्नलिखित उदाहरण द्वारा, व्याख्या की जा सकती है :

किसी सिक्के को ऊपर फेंकने पर चित्त (अथवा मूर्तभाग) और पट (अथवा अक्षर भाग) की संभाव्यता 1/2 है। परिणाम संभाव्यता के लिए स्वतंत्र है : किसी पूर्व फेंकने में प्राप्त चित्त और पट का कोई संचय अगली बार ऊपर को फेंकने में चित्त अथवा पट आने की संभाव्यता को प्रभावित न कर सकेगा।

इस महत्वपूर्ण प्रमेय को वेर्नूली का प्रमेय कहते हैं। तथ्य के रूप में यह उस वर्ग के साध्य का प्रथम सदस्य है जिसको बृहत्‌ संख्या का नियम कहते हैं। इस नाम का सर्वप्रथम प्रयोग प्वासॉन्‌ ने 1830 ई. में किया।

वेर्नूली का प्रमेय
इतिहास
संभाव्यता व्यक्तिनिष्ठ अथवा वस्तुनिष्ठ
संभाव्यता का बारंबारता सिद्धांत