कुछ चतुर्भुजों में विकर्णों के गुण

निम्न सारणी में सूचीबद्ध है कि कुछ सामान्य चतुर्भुजों में विकर्ण एक-दूसरे को विभाजित करते हैं या नहीं, उनके विकर्ण लंबवत हैं या नहीं, और उनके विकर्णों की लंबाई बराबर है या नहीं।

नोट 1: सबसे सामान्य समलंबों और द्विसमबाहु समलंबों में लंबवत विकर्ण नहीं होते हैं, लेकिन कई ऐसे असमान समलंब और द्विसमबाहु समलंब होते हैं जिनमें लंबवत विकर्ण होते हैं। ऐसे चतुर्भुजों का कोई निश्चित नाम नहीं होता।

नोट 2: पतंगाकार चतुर्भुज में, एक विकर्ण दूसरे विकर्ण को समद्विभाजित करता है। सामान्य पतंगाकार चतुर्भुजों में असमान विकर्ण होते हैं, लेकिन कई ऐसे पतंगाकार चतुर्भुज होते हैं जिनमें विकर्णों की लंबाई बराबर होती है।

विकर्णों की लंबाई

एक उत्तल चतुर्भुज ABCD में विकर्णों की लंबाई, एक विकर्ण द्वारा बनाए गए प्रत्येक (दोनों) त्रिभुज पर कोज्या नियम तथा चतुर्भुज की किन्हीं दो भुजाओं का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है। इस प्रकार

formula_42

तथा 

formula_43

चतुर्भुज के विकर्णों की लम्बाइयाँ ज्ञात करने के लिए अन्य सूत्र:

formula_44

तथा

formula_45

समांतर चतुर्भुज नियम का सामान्यीकरण और टाल्मी की प्रमेय

किसी उत्तल चतुर्भुज ABCD में, चारों भुजाओं के वर्गों का योग, दोनों विकर्णों के वर्गों और विकर्णों के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाले रेखाखण्ड के वर्ग के योग के बराबर होता है। इस प्रकार

formula_46

जहां formula_25, विकर्णों के मध्यबिंदुओं के बीच की दूरी है. इसे यूलर की चतुर्भुज प्रमेय के रूप में जाना जाता है और यही समांतर चतुर्भुज नियम का सामान्यीकरण होता है।

जर्मन गणितज्ञ कार्ल एंटन ब्रेट्सनाइडर ने 1842 में टॉल्मी के प्रमेय के सामान्यीकरण को बताया-

formula_48

इस संबंध को चतुर्भुज के लिए कोज्या नियम माना जा सकता है। चक्रीय चतुर्भुज में, जहां A + C = 180°, यह सूत्र formula_49 होता है। चूंकि cos (A + C) ≥ −1, यह टॉल्मी की असमानता का प्रमाण भी देता है।

अन्य संबंध

चतुर्भुज formula_50 में, यदि X और Y, क्रमशः B और D से विकर्ण AC = p पर डाले गए अभिलम्बों के पाद हों, जहाँ formula_51, तब

formula_52

एक उत्तल चतुर्भुज ABCD में, जहाँ भुजा a = AB, b = BC, c = CD, d = DA हों, और उसके विकर्ण बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करें, तब

formula_53

जहां formula_54

एक उत्तल चतुर्भुज की आकृति और आकार, उसकी भुजाओं और किन्हीं दो सम्मुख शीर्षों के बीच के विकर्ण की लंबाई से निर्धारित होता है। चतुर्भुज के विकर्ण p, q और चारों भुजाएँ a, b, c, d केली-मेंगर सारणिक द्वारा निम्नानुसार संबंधित हैं:

formula_55

जटिल चतुर्भुज
विशेष रेखाखंड
चतुर्भुज का क्षेत्रफल
विकर्ण