यहां एक प्रसिद्ध शुद्ध अस्तित्व या गैर-रचनात्मक प्रमाण है:

वहां दो अपरिमेय संख्याएं "a" और "b" मौजूद हैं, इस प्रकार कि "a" परिमेय है। वास्तव में, अगर √2 परिमेय है, तब मानिये कि "a" = "b" = √2. अन्यथा, मान लीजिये कि "a" अपरिमेय संख्या √2 है और "b" = √2. तो फिर "a" = (√2) = 2 = √2 =
2 जो परिमेय है।

हालांकि उपर्युक्त दलील दोनों मामलों के बीच निर्णय नहीं करती, गेल्फोंड-श्नाईडर प्रमेय का तात्पर्य है कि √2 अबीजीय है, इसलिए अपरिमेय है।

प्रमाण स्वरूप उदाहरण
अबीजीय और बीजीय अपरिमेय
विविध
वर्ग मूल