त्रिभुज के क्षेत्रफल T की गणना करना एक मूल समस्या है जो अक्सर कई अलग-अलग स्थितियों में सामने आती है। सबसे अच्छा ज्ञात और सबसे सरल सूत्र निम्न है:

formula_20

जहां b त्रिभुज के आधार की लंबाई है, और h त्रिभुज की ऊंचाई या शीर्षलंब है। "आधार" शब्द किसी भी भुजा को इंगित करता है, और "ऊंचाई" भुजा के विपरीत शीर्ष से उसी भुजा पर लंब की लंबाई को दर्शाती है। 499 CE में भारतीय गणित और भारतीय खगोल विज्ञान के शास्त्रीय युग से एक महान गणितज्ञ-खगोलविद आर्यभट्ट ने पुस्तक आर्यभट्टीय (अनुभाग 2.6) में इस विधि का उपयोग किया था।

त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग

त्रिकोणमिति के अनुप्रयोगों से, त्रिभुज की ऊंचाई ज्ञात की जा सकती है।

दाईं ओर के चित्रानुसार, संकेतों का उपयोग करके, ऊंचाई "h" = "a" sin formula_21 है। सूत्र formula_20 में यह मान रखने पर, त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न प्रकार लिखा जा सकता है-

formula_23

(जहां formula_24 शीर्ष A का आंतरिक कोण है, formula_25 शीर्ष B का आंतरिक कोण है, formula_21 शीर्ष C का आंतरिक कोण है और c रेखा AB की लंबाई है)।

इसके अतिरिक्त, sin α = sin (π − α) = sin (β + formula_21), और इसी तरह अन्य दो कोणों के लिए:

formula_28

formula_29

और समान रूप से यदि भुजाएँ a व c ज्ञात हों।

formula_30

और समान रूप से यदि भुजाएँ b व c ज्ञात हों।

हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके

त्रिभुज का आकार, भुजाओं की लंबाई से निर्धारित होता है। इसलिए, उसका क्षेत्रफल भी भुजाओं की लंबाई से ज्ञात किया जा सकता है। हेरॉन के सूत्र द्वारा:

formula_31

जहां formula_32 त्रिभुज का अर्द्धपरिमाप (परिमाप का आधा) है।

हेरॉन के सूत्र को लिखने के तीन अन्य समकक्ष तरीके निम्न हैं:

formula_33

formula_34

formula_35

सदिशों का प्रयोग

एक त्रिविमीय यूक्लिडियन अंतरिक्ष में उपस्थित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल सदिशों का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। माना सदिश AB और AC, क्रमशः A से B और A से C को इंगित करते हैं। तब समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल निम्न होगा-

formula_36

जो सदिशों AB और AC के सदिश गुणन का परिमाण है। त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल इसका आधा होता है,

formula_37

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल अदिश गुणन के संदर्भ में भी निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

formula_38

द्विविमीय यूक्लिडियन अन्तरिक्ष में, कार्तीय तल में एक मुक्त सदिश के रूप में सदिश AB को ("x","y") और सदिश AC को ("x","y") व्यक्त करने पर, इसे निम्न प्रकार लिखा जा सकता है:

formula_39

त्रिभुजों के प्रकार
त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना
मूलभूत तथ्य
कुछ परिभाषाएँ