हमें सिद्ध करना होगा कि विषम क्रम के पदों formula_9 और सम क्रम के पदों formula_10 का आंशिक योग समान मान "L" की ओर अग्रसर है। अतः सामान्य आंशिक योग formula_11 भी "L" पर अभिसरीत होगा।

विषम आंशिक योग एकदिष्टतः ह्रसमान है: 

जबकि सम आंशिक योग एकदिष्टतः वर्धमान है:

क्योंकि "a" संख्या "n" एक साथ एकदिष्टतः ह्रसमान है।

इसके अतिरिक्त, चूँकि "a" धनात्मक formula_14 हैं। अतः हम इन प्रभावों की सहायता से निम्न असमानता प्रदर्शित कर सकते हैं:

यहाँ "a" − "a" एकदिष्टतः ह्रसमान अनुक्रम का "S" निम्न परिबंध है, एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय के अनुसार "m" के अनन्त की ओर अग्रसर होने पर अनुक्रम अभिसरित होता है। इसी प्रकार सम आंशिक योग भी शून्य की ओर अग्रसर होता है।

अन्ततः दोनों समा मान पर अभिसरित होते हैं क्यों कि

जहाँ "L" को सीमान्त मान कहा जाता है, तब एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय के अनुसार प्रत्येक "m" के लिए

प्राप्त होता है। इसका अर्थ यह हुआ कि प्रत्यावर्ती श्रेणी का आंशिक योग भी परिणाम सीमा के उपर और नीचे परिवर्तित होता है। यदि यहाँ विषम (सम) संख्या में पद हैं तो अन्तिम पद धनात्मक (ऋणात्मक) है और आंशिक योग परिणामी सीमा के उपर (नीचे) प्राप्त होता है।

यह हमे आंशिक योग परिबंध में त्रुटि देता है।

उपपत्ति
अभिसरण की उपपत्ति
सूत्रीकरण
आंशिक योग त्रुटि परिबंध की उपपत्ति