इस कार्य में आर्किमिडीज़ "उत्तोलक के नियम" को स्पष्ट करते हैं, कहते हैं, "उनके भार की व्युत्क्रमानुपाती दूरियों में आयाम साम्यावस्था में हैं।".
प्रस्ताव II में, आर्किमिडीज़ दर्शाते हैं की π (pi (पाई)) का मान से अधिक और से कम होता है। बाद वाले आंकड़े (आंकिक मान) को मध्य युग में π (pi) के सन्निकट मान के रूप में प्रयुक्त किया गया। और आज भी इसका उपयोग किया जाता है जब एक रफ मान की आवश्यकता होती है। 

यह उन बिन्दुओं का बिन्दुपथ है जो एक ऐसे बिंदु की स्थिति से सम्बंधित है जो समय के साथ एक स्थिर गति से एक ऐसी रेखा पर चलते हुए एक स्थिर बिंदु से दूर जा रहा है जो स्थिर कोणीय वेग के साथ घूर्णन कर रही है।

इसके तुल्य, ध्रुवीय निर्देशांकों ("r", θ) में इसे इस समीकरण के द्वारा वर्णित किया जा सकता है।
गोले का आयतन π"r" और बेलन का आयतन का 2π"r" था।

गोले की सतह का क्षेत्रफल 4π"r" , और बेलन की सतह का क्षेत्रफल 6π"r" (दो आधार सहित), 
जहां "r" गोले और बेलन की त्रिज्या है। 
गोले का आयतन और सतह का क्षेत्रफल बेलन का है। 
आर्किमिडीज़ के अनुरोध पर उनके मकबरे पर एक गोला और बेलन बनाया गया है।
इस ग्रंथ में आर्किमिडीज शंकु, गोले और परवलय के भागों के क्षेत्रफल और आयतन की गणना करते हैं।
यह समकालीन ग्रीक खगोलविदों इरेटोस्थेनेज के इस सिद्धांत को स्पष्ट करने का प्रयास हो सकता है कि पृथ्वी गोल है। 
आर्किमिडीज द्वारा वर्णित तरल पदार्थ नहीं हैं, चूंकि वे एक ऐसे बिंदु के अस्तित्व को मानते हैं जिसकी ओर सभी चीजें गोलाकार आकृति उत्पन्न करने के लिए गिरती हैं।

यह शायद जहाज के हुल की आकृति के लिए बनाया गया आदर्श था। इनमें से कुछ सेक्शन पानी के नीचे आधार के साथ तैरते हैं और पानी के ऊपर शीर्ष पर रहते हैं, ठीक वैसे ही जैसे एक आइसबर्ग तैरता है।

आर्किमिडीज़ का उत्प्लावकता का सिद्धांत इस कार्य में दिया गया है, जिसे इस प्रकार से बताया गया है: 
वह इसे एक ज्यामितीय श्रृंखला के मान की गणना के द्वरा प्राप्त करते हैं, जिसका योग अनुपात के साथ है। 
2003 में स्टैनफोर्ड यूनिवर्सिटी के डॉ॰ रीवील नेत्ज़ के द्वारा प्रकाशित शोध में तर्क दिया गया कि आर्किमिडीज़ यह पता लगाने का प्रयास कर रहे थे कि कितने तरीकों से टुकड़ों को मिला कर एक वर्ग का गोला बनाया जा सकता है। 
डॉ॰ नेत्ज़ ने गणना की कि टुकड़ों से 17,152 तरीकों से वर्ग बनाया जा सकता है। व्यवस्थाओं की संख्या 536 है जबकि घूर्णन और प्रतिबिबं के तुल्य परिणामों को शामिल नहीं किया गया है। पहेली संयोजन विज्ञान में प्रारंभिक समस्या के एक उदाहरण को का प्रतिनिधित्व करती है। 

ऑसोनियास ने इस पहेली को "ओस्टोमेकियन" कहा है, यह ग्रीक संयुक्त शब्द है जो (ओस्टियन, अस्थि) और (माचे-लड़ाई) से बना है। 
इस पहेली को लोकुलस ऑफ़ आर्किमिडीज या आर्किमिडीज के बॉक्स के रूप में भी जाना जाता है। 
यह एरेटोस्थेनेज और एलेगज़ेनड्रिया के गणितज्ञों को संबोधित है।
आर्किमिडीज़ उन्हें चुनौती देते हैं कि वे सूर्य के झुण्ड में मवेशियों की संख्या की गणना करें, इसके लिए स्वतः डायोफेन्ताइन समीकरण की एक संख्या के हल का उपयोग किया जाये. 
इस समस्या का एक और अधिक मुश्किल संस्करण है, जिसमें कुछ उत्तर वर्ग संख्याएं होनी चाहियें. समस्या के इस संस्करण का हल पहले ऐ एम्थर के द्वारा 1880 में किया गया और एक बड़ी संख्या में उत्तर दिया गया जो लगभग 7.760271 था।
असंख्य (myriad) की घाट पर आधारित संख्या प्रणाली का उपयोग करते हुए, आर्किमिडीज़ ने निष्कर्ष निकाला कि ब्रह्माण्ड को भरने के लिए आवश्यक मिट्टी के कणों के कणों की संख्या आधुनिक संकेतन में 8 है। 
परिचय पत्र कहते हैं कि आर्किमिडीज़ के पिता एक खगोलविज्ञानी थे जिनका नाम फ़िदिआस था। "द सेंड रेकोनर (The Sand Reckoner)" या "समिटेस (Psammites)" एकमात्र उपस्थित कार्य है जिसमें आर्किमिडीज़ खगोलविज्ञान के बारे में अपने विचारों की चर्चा करते हैं।
इस कार्य में आर्किमिडीज़ अपरिमित श्रृंखलाओं का उपयोग करते हैं और दर्शाते हैं कि एक नंबर को असंख्य संख्याओं में या असंख्य छोटे छोटे भागों में तोड़ कर कैसे आयतन या क्षेत्रफल का पता लगाया जा सकता है। 
आर्किमिडीज़ ने माना कि इस तरीके में औपचारिक कठोरता की कमी है, इसलिए उन्होंने परिणाम पाने के लिए पूर्णता की विधि (method of exhaustion) का भी प्रयोग किया। 
"केटल समस्या" की तरह, "द मेथड ऑफ़ मेकेनिकल थ्योरम" को एलेगज़ेनड्रिया में इरेटोस्थेनेज को लिखे गए के पत्र के रूप में लिखा गया।

नोट्स और सन्दर्भ
उपस्थित कार्य
आर्किमिडीज का पंजा (The Claw of Archimedes)
आर्किमिडीज की ऊष्मा किरण (The Archimedes Heat Ray)- मिथक या वास्तविकता?