एक अपरिमेय संख्या का दशमलव विस्तार, एक परिमेय संख्या के विपरीत कभी दोहराता या समाप्त नहीं होता।

यह दर्शाने के लिए, मान लीजिये हम "n" पूर्णांक को "m" द्वारा भाग देते हैं (जहां "m" गैर-शून्य है). जब "m" द्वारा "n" के भाग पर दीर्घ भाग को लागू किया जाता है, तो केवल "m" शेषफल संभव होते हैं। यदि 0 एक शेषफल के रूप में प्रकट होता है, तो दशमलव विस्तार समाप्त हो जाता है। यदि 0 कभी प्रकट नहीं होता तो वह एल्गोरिथ्म, किसी भी शेषफल को एक बार से अधिक उपयोग ना करते हुए अधिक से अधिक "m" - 1 चरण चल सकता है। उसके बाद, एक शेषफल की पुनरावृत्ति होनी ही चाहिए और तब दशमलव विस्तार दोहराता है।

इसके विपरीत, मान लीजिये हमारे सामने एक आवर्ती दशमलव आता है, तो हम सिद्ध कर सकते हैं कि वह दो पूर्णांकों का भिन्न है। उदाहरण के लिए:

यहां रेपिटेंड की लंबाई 3 है। हम 10 से गुणा करते हैं:

ध्यान दें कि जब हमने 10 के घाते दोहराए जाने वाले भाग की लंबाई से गुणा किया, तो हमने अंकों को दशमलव बिंदु के बाईं ओर ठीक उतने ही स्थानों से स्थानांतरित किया। इसलिए, 1000"A" का पिछला सिरा बिल्कुल "A" के पिछले सिरे से मेल खाता है। यहां, दोनों 1000"A" और "A" के सिरे में 162 दोहराव है।

इसलिए, जब हम दोनों पक्षों से "A" को घटाते हैं, तो 1000"A" का पिछला सिरा A के पिछले सिरे से बाहर रद्द हो जाता है:

फिर

(7155 और 9990 का महत्तम आम भाजक है 135). वैकल्पिक रूप से, चूंकि 0.5 = 1/2 है, एक व्यक्ति अंश और हर को 2 से गुणा करके भिन्न को साफ़ कर सकता है:

(1431 और 1998 का महत्तम आम भाजक है 27).

अंतिम पंक्ति, 53/74, पूर्णांकों का एक भागफल है और इसलिए एक परिमेय संख्या है।

विविध
मध्य युग
दशमलव विस्तार
आधुनिक काल