जब लुई डी ब्राॅयगली ने अपने डी ब्राॅयगली समिकरण से कण - तरंग द्वैतता को सिद्ध कर दिया, तो वैज्ञानिकों को इस प्रभाव को समझाने के लिए एक नई यांत्रिकी की ज़रुरत पड़ी | यहीं पर श्रोडिंगर ने तरंग यांत्रिकी से प्रेरणा लेकर एक समीकरण का निर्माण किया जो कण - तरंग द्वैतता के कारण दिखाई देने वाले क्वांटम प्रभावों को समझ और समझा जा सके | श्रोडिंगर ने फिर इसे एक न्यूटोनियन कण पर इस्तमाल कर अपने समिकरण को इस दुनिया से जोड़ा |

कल्पना कीजिए कि एक कण जो स्वतंत्र रूप से अंतरिक्ष में घूम रहा है | इस कण के पास शायद गतिज ऊर्जा (kinetic energy) है और शायद किसी बाहरी बल के कारण स्थितिज ऊर्जा (potential energy) भी है | तो किसी भी न्यूटोनियन कण के लिए संपूर्ण यांत्रिक ऊर्जा का समिकरण formula_2 होता है जहाँ formula_3 त्रिविमीय कार्तीय निर्देशांकों के अनुसार वेग सदिश है अौर formula_4 कण की स्थितिज ऊर्जा है | अाप formula_4 की जगह formula_6 का भी इस्तमाल कर सकते हैं | अगर formula_7 इस वेग वेक्टर के घटकों को माना जाए तो गतिज ऊर्जा के समिकरण को

formula_8 

इन घटकों के हिसाब से भी लिखा जा सकता है | अगर समीकरण formula_9 के दाईं ओर पर अंश और हर दोनों को formula_10 से गुणा किया जाए तो

formula_11 

जहाँ formula_12 त्रिविमीय कार्तीय निर्देशांकों के अनुसार, गति सदिश के घटक हैं | क्वांटम यांत्रिकी में formula_13 संवेग ऑपरेटर (momentum operator) है, जहाँ पर

formula_14 होता है | 

इसे 'डेल् ऑपरेटर' (Del Operator) कहते हैं | इस ऑपरेटर का मूल आंशिक अवकलन में है | अगर यह ऑपरेटर एक खास श्रेणी के फलन (function), जिसे अभिलाक्षणिक फलन (eigenfunction) कहते है, पर कार्य करता है तो इस कार्य का परिणाम वही फलन एक स्थिरांक से गुणित, जिसे अभिलाक्षणिक मान (eigenvalue) कहते है, हो जाता है | अभिलाक्षणिक फलन ऑपरेटर पर निर्भर करता है | यह अभिलाक्षणिक मान इस ऑपरेटर के मामले में कण की गती बताती है | क्वांटम यांत्रिकी में कई ऑपरेटर होते है, यह ऑपरेटर वही चर होते है जो एक कण के लिए प्रयोगों द्वारा मापें जा सकते हैं | इन चरों को 'अवलोकनयोगी' या 'प्रेक्षणीय' (observables) कहते हैं | गति, संवेग, स्थान, स्थितिज ऊर्जा अौर ऊर्जा अवलोकनयोगी चरें हैं | 

एक-विमीय, कार्तीय निर्देशांक के formula_15 दिशामें, संवेग ऑपरेटर का समीकरण formula_16 होता है | तो किसी फलन formula_17 पर संवेग ऑपरेटर को लागू करने से अगर

formula_18 मिलता है, तो formula_17 को ऑपरेटर का अभिलाक्षणिक फलन कहते हैं और 

formula_20 को formula_17 का अभिलाक्षणिक मान कहते हैं | इस मामले में इस अभिलाक्षणिक मान को 'संवेग अभिलाक्षणिक मान' (momentum eigenvalue) कहते हैं |

तो अब समिकरण formula_22 को 

formula_23 लिखा जा सकता है | 

श्रोडिंगर ने अपने समीकरण के निर्माण हेतु संवेग ऑपरेटर और कई ऑपरेटरों का आविष्कार कर समिकरण formula_24 में formula_25 के जगह इस्तमाल कर 

formula_26 

एक नए ऑपरेटर का निर्माण किया जिसे गतिज ऊर्जा का ऑपरेटर भी कह सकते है | समीकरण formula_27 में उपर्युक्त ऑपरेटरों का इस्तमाल कर

formula_28 काल-निर्भर समिकरण मिलता है |

formula_29 काल-स्वतंत्र समिकरण कहते है |

formula_30 को हैमिलटोनियन कहते हैं और इसे formula_31 द्वारा प्रदर्शित किया जाता है | 

अगर formula_32 इस हैमिलटोनियन का अभिलाक्षणिक फलन है, तो formula_33 लिखा जाता है |

काल - निर्भर समीकरण
श्रोडिंगर समीकरण के पीछे प्रेरणा और मतलब
समीकरण
formula_34 की खूबियाँ