नियमित मासिक भुगतान के साथ एक ऋण की बकाया राशि को प्रभारी मासिक ब्याज द्वारा संवर्धित किया जाता है और भुगतान द्वारा कम कर दिया जाता है, इसलिए

जहां,

पुनरावृत्त प्रतिस्थापन द्वारा व्यक्ति B के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकता है, जो रैखिक रूप से B और p के लिए आनुपातिक हैं और एक ज्यामितीय श्रृंखला के एक आंशिक योग फ़ॉर्मूला का उपयोग निम्न को परिणामित करता है,

B और B के संदर्भ में p के लिए इस अभिव्यक्ति का एक समाधान निम्न तक कम होता है,

n भुगतानों में ऋण को पूरी तरह से अदा करने के लिए भुगतान राशि का पता लगाने के लिए व्यक्ति B = 0 सेट करता है।

जो पीएमटी (PMT) कार्य स्प्रेडशीट प्रोग्राम्स में में पाया जाता है वे एक ऋण के मासिक भुगतान की गणना करने में उपयोग किए जा सकते हैं:

वर्तमान बकाया राशि पर एक केवल ब्याज भुगतान निम्न होगा,

ऋण पर कुल ब्याज, I भुगतान निम्न होगा,

एक नियमित बचत कार्यक्रम के लिए सूत्र समान हैं, लेकिन भुगतानों को बकाया राशि से घटाने के बजाये उसमें जोड़ा जाता है और भुगतान के लिए सूत्र उपरोक्त से नकारात्मक है। ये सूत्र केवल अनुमानित हैं क्योंकि वास्तविक बकाया ऋण राउंडिंग से प्रभावित होते हैं। ऋण के अंत में अल्प भुगतान करने से बचने के लिए भुगतान को अगले सेंट तक बढ़ाना चाहिए। ऐसी स्थति में अंतिम भुगतान (1+r)B-1 होना चाहिए

एक समान ऋण पर विचार करें, लेकिन उपरोक्त सवाल के समय अवधि के k के बराबर एक नई अवधि के साथ. यदि r और p नए दर और भुगतान हैं, अब हमारे पास है,

B के साथ इस अभिव्यक्ति की तुलना करने से हमे पता चलता है,

पिछला समीकरण हमें दोनों समस्याओं के लिए एक ही स्थिर को परिभाषित करने का अवसर देता है,

और B लिखा जा सकता है,

r के लिए सुलझाते हुए हमे r के लिए एक फ़ॉर्मूला प्राप्त होता है जिसमें शामिल होता है ज्ञात मात्रा और B, जो k अवधि के बाद बकाया धन होता है,

जैसा की B ऋण का कोई भी बकाया राशि हो सकता है, यह फार्मूला k अवधि द्वारा विभाजित किए गए कोई भी दो बकाया राशियों को अलग करता है और सालाना ब्याज दर के लिए मूल्य की गणना करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

B* एक अपरिवर्तनीय पैमाना है क्योंकि यह अवधि की लंबाई में परिवर्तन के साथ परिवर्तित नहीं होती.

B के लिए समीकरण का उलटफेर करने पर व्यक्ति को एक परिवर्तन गुणांक प्राप्त होता है (पैमाने कारक),

और हम यह देखते हैं कि r और p एक ही तरीके से बदलते हैं,

बकाया राशि में इसी तरह परिवर्तन होता है,

जो उपरोक्त फोर्मुलों में पाए जाने वाले कुछ गुणांकों के अर्थ में एक अंतर्दृष्टि प्रदान करता है। वार्षिक दर, r, केवल एक भुगतान प्रति वर्ष को ही मानता है और यह मासिक भुगतान के लिए एक "प्रभावी दर" नहीं है। मासिक भुगतान द्वारा मासिक ब्याज का भुगतान प्रत्येक भुगतान में से किया जाता है और इसलिए चक्रावृद्ध नहीं किया जाना चाहिए और 12.r की एक वार्षिक दर अधिक उचित है। यदि कोई व्यक्ति केवल ब्याज भुगतान करता है वर्ष भर के लिए किये गए भुगतान की राशि 12.r.B।

p = r B* को B के लिए समीकरण में स्थानापन्न करने पर हमे मिलता है,

B = 0 के बाद हम B* के लिए भी हल कर सकते हैं,

B के लिए फ़ॉर्मूला में वापस स्थानापन्न करना यह दर्शाता है कि यह एक r रैखिक कार्य है और इसलिए λ,

यह बकाया राशि का आकलन करने का सबसे आसान तरीका है यदि λ ज्ञात हो। उपरोक्त B के लिए पहले फोर्मुले में स्थानापन्न करके और λ लिए हल ढूंढने पर हम पाते हैं,

ऊपर दिए गए λ फ़ॉर्मूला का प्रयोग करके या λ = 0 से λ तक से बारी बारी λ की गणना करके, λ और λ को पाया जा सकता है।

जबकि p = rB* भुगतान के लिए फार्मूल निम्नलिखित तक कम हो जाता है,

और ऋण की अवधि में औसत ब्याज दर है,

जो r से कम होता है अगर n>1 है।


विलम्बित खपत
डिफ़ॉल्ट ब्याज
सूत्र
गणित में ब्याज