१९ वीं सदी के दौरान, गणित तेजी से बढ़ता हुआ सार बन गयी। १९ वीं सदी में कार्ल फ्रेडरिक गॉस () (१७७७ -१८५५) रहते थे। विज्ञान में अपना योगदान देने के अलावा, उन्होंने, शुद्ध गणित में भी ज्यामिति में जटिल चरों () के फलनपर और श्रृंखला के अभिकेंद्रण पर क्रांतिकारी कार्य किया। उन्होंने बीज गणित की मूल प्रमेय () के तथा द्विघाती पारस्परिकता नियम () के पहले संतोषजनक प्रमाण दिए।

इस सदी में गैर युक्लिड ज्यामिति () के दो रूपों का विकास हुआ, जहां युक्लिड ज्यामिति () की समानान्तर अभिधारणा () अब नहीं रही। 
रूसी गणितज्ञ निकोलाइ इवानोविच लोबाचेवस्की () और उसके प्रतिद्वंद्वी, हंगरी गणितज्ञ जनोस बोलयाई () ने स्वतंत्र रूप से हाइपरबोलिक ज्यामिति () को परिभाषित किया और उसका अध्ययन किया, अब सामानांतर की अद्वितीयता नहीं रही। इस ज्यामिति में एक त्रिभुज में कोणों का योग जुड़ कर १८० डिग्री से कम रहता है।दीर्घवृत्तीय ज्यामिति () का विकास बाद में १९ वीं सदी में जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रिएमन्न () के द्वारा किया गया; यहाँ कोई भी समानान्तर नहीं मिलते हैं और एक त्रिभुज में कोण जुड़ कर १८० डिग्री से अधिक बनाते हैं। रिएमन्न ने रिएमन्न ज्यामिति () का भी विकास किया, जोबड़े पैमाने पर तीन प्रकार की ज्यामिति को एकीकृत और सामान्यीकृत करता है और उन्होंने मेनिफोल्ड () अवधारणा कोई परिभाषित किया, जो वक्र () और सतह () के विचार को सामान्य रूप से प्रस्तुत करती है।

१९ वीं शताब्दी में सार बीजगणित () की शुरुआत हुई। विलियम रोवाण हैमिल्टन () ने आयरलैण्ड में गैर क्रम-विनिमय बीजगणित () को विकसित किया। ब्रिटिश गणितज्ञ जॉर्ज बूले ने एक ऐसी बीजगणित तैयार की जो जल्दी ही ऐसे रूप में सामने आई जिसे आज बूलीय बीजगणित के रूप में जाना जाता है, जिसमें ० और १ केवल संख्याएं थीं और जिनमें प्रसिद्द रूप से 1 + 1 = 1.बूलीय बीजगणित गणितीय तर्क () का प्रारंभिक बिंदु है और इसके कंप्यूटर विज्ञान () में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।

अगस्टिन लुईस कॉची (), बर्नहार्ड रिएमन्न () और कार्ल विर्स्ट्रास () ने कलन को अधिक कठोर तरीके से फिर से तैयार किया।

साथ ही पहली बार, गणित की सीमाएं स्पष्ट की गयीं। एक नार्वेजीयन्नील्स हेनरिक अबेल () और एक फ्रांसीसी इवारिस्ते गैल्वा () ने साबित किया कि चार से अधिक डिग्री की बहुपदीय समीकरणों को हल करने के लिए कोई सामान्य बीजगणितीय विधि नहीं है। १९ वीं शताब्दी के अन्य गणितज्ञों ने इसे अपने प्रमाणों में प्रयुक्त किया कि केवल सीधा किनारा और कम्पास एक स्वैच्छिक कोण को त्रिभाजित करने () के लिए पर्याप्त नहीं है, न ही इससे एक दिए गए घन के आयतन के दो गुने घन की भुजा को बनाया जा सकता है, न ही यह एक दिए गए व्रत के सामान क्षेत्रफल के वर्ग के निर्माण के लिए पर्याप्त है। प्राचीन यूनानियों के समय से इन सभी समस्याओं को हल करने के लिए गणित ने व्यर्थ प्रयास किये हैं।

अबेल और गलोईस ने भिन्न बहु पदीय समीकरणों के हल में जो खोजे कीं, उन्होंने समूह सिद्धांत () और सार बीजगणित () के सम्बंधित क्षेत्रों के आगे विकास के लिए आधार उपलब्ध कराया.२० वीं शताब्दी में, भौतिकीविदों और अन्य वैज्ञानिकों ने समूह सिद्धांत को सममिति () के अध्ययन के लिए एक आदर्श तरीके के रूप में देखा.

बाद में १९ वीं शताब्दी में, जॉर्ज केंटर () ने समुच्चय सिद्धांत की पहली नींव रखी, जिसने अनंत के संकेतन के कठोर उपचार के सक्षम बनाया और यह लगभग सभी गणित की एक सामान्य भाषा बन गयी है। केंटर का समुच्चय सिद्धांत और पियानो (), एल ई जे ब्रोवर (), डेविड हिल्बर्ट (), बर्ट्रेंड रसेल और ऐ एन व्हाइटहेडके गणितीय तर्क () ने गणित की नींव () पर एक लम्बी दौड़ की बहस शुरू की।

१९ वीं शताब्दी में, कई राष्ट्रीय गणितीय सोसाइटियों की स्थापना हुई: १८६५ में लंदन गणितीय सोसायटी (), १८७२ में सोसाइटी मेथमेटिके डी फ्रांस (), १८८४ में सर्कोलो मेथमेटिको डी पालेर्मो (), १८८३ में एडिनबर्ग गणितीय सोसायटी () और १८८८ में अमेरिकी गणित सोसाईटी ()।

यूरोप में गणित का पुनर्जन्म (११००-१४००)
मिस्र
मेसोपोटामिया
१९ वीं सदी