17वीं सदी ने, अब्राहम डे मूवर और विशेष रूप से लिओनार्ड युलर के हाथों में काल्पनिक संख्याओं को एक शक्तिशाली उपकरण बनते देखा. उन्नीसवीं शताब्दी में जटिल संख्याओं के सिद्धांत के पूर्ण होने के लिए अपरिमेय का बीजीय और अबीजीय संख्या में विभेदन, अबीजीय संख्या के अस्तित्व का सबूत और अपरिमेय सिद्धांत के वैज्ञानिक अध्ययन का पुनरुत्थान आवश्यक था जिसकी यूक्लिड के बाद से बड़े पैमाने पर उपेक्षा की गई। वर्ष 1872 में कई लोगों ने सिद्धांतों का प्रकाशन किया जिनमें शामिल थे कार्ल विअरस्ट्रास (उनके छात्र कोज़ाक द्वारा), हेन ("क्रेल", 74), जोर्ज कैंटर (अन्नालेन, 5) और रिचर्ड डेडेकिंड. 1869 में मेराय ने हेन के समान ही प्रस्थान के समान बिंदु को लिया, लेकिन इस सिद्धांत को आमतौर पर वर्ष 1872 से उद्धृत किया जाता है। विअरस्ट्रास की विधि को 1880 में पूरी तरह से सेल्वाटोर पिंचरले द्वारा आगे बढ़ाया गया, और डेडेकिंड की विधि को लेखक के बाद के कार्यों (1888) और पॉल टेनरी (1894) के समर्थन के माध्यम से अतिरिक्त महत्व प्राप्त हुआ। विअरस्ट्रास, कैंटर और हेन ने अपने सिद्धांतों को अनंत शृंखला पर आधारित किया, जबकि डेडेकिंड ने अपने आधारों को वास्तविक संख्या की प्रणाली में एक कटौती (श्निट) की धारणा पर रखा, जिसके तहत उसने सभी परिमेय संख्याओं को विशेष गुणों के आधार पर दो समूहों में विभाजित किया। इस विषय के विकास में बाद में विअरस्ट्रास, क्रोनेकर (क्रेल, 101) और मेराय ने योगदान दिया।

सतत भिन्न, जो अपरिमेय संख्याओं (और केटाल्डी, 1613 के कारण) से नज़दीकी रूप से सम्बंधित हैं उसे युलर के हाथों प्रचार प्राप्त हुआ और उन्नीसवीं शताब्दी की शुरुआत में लग्रांग के लेखन के माध्यम से अधिक उभरा. डिरीचलेट ने भी सामान्य सिद्धांत में अपना योगदान दिया, जैसा कि कई अन्य योगदानकर्ताओं ने इस विषय के अनुप्रयोग के लिए दिया।

लैम्बर्ट (1761) ने साबित किया कि π परिमेय नहीं हो सकता और कहा कि "e" तब अपरिमेय होगा जब यदि "n" परिमेय है (जब तक कि "n" = 0 ना हो). जबकि लैम्बर्ट के सबूत को अक्सर अधूरा कहा जाता है, आधुनिक आकलन इसे संतोषजनक कह कर समर्थन देता है और वास्तव में अपने समय के लिए यह असामान्य रूप से कठोर है। लीजेंडर (1794) ने, बेसेल-क्लिफर्ड क्रिया पेश करने के बाद, यह दर्शाने के लिए सबूत प्रदान किया π अपरिमेय है, जिस कारण से तुरंत यह बात आती है कि π भी अपरिमेय है। अबीजीय संख्या का अस्तित्व सर्वप्रथम लिओविले द्वारा स्थापित किया गया था (1844, 1851). बाद में, जोर्ज कैंटर (1873) ने एक भिन्न तरीके से उनके अस्तित्व को साबित कर दिया, जिसमें दर्शाया गया कि वास्तविक में हर अंतराल में अबीजीय संख्या शामिल होती है। चार्ल्स हर्मिट (1873) ने सबसे पहले "e" अबीजीय को साबित किया और फर्डिनेंड वॉन लिंडेमन (1882) ने हर्मिट के निष्कर्ष से शुरू करते हुए, π के लिए यही दर्शाया. लिंडेमन का सबूत विअरस्ट्रास (1885) द्वारा काफी सरलीकृत किया गया, बाद में डेविड हिल्बर्ट (1893) द्वारा और अंत में एडॉल्फ हुर्वित्ज़ और पॉल अल्बर्ट गोर्डन द्वारा प्राथमिक बनाया गया।

मध्य युग
आधुनिक काल
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