यूक्लिड के "तत्वों" में बौधायन प्रमेय को सामान्यकृत किया गया था:

अगर कोई एक समान आंकड़े खड़ा करता है (युक्लीडियन ज्यामिति देखें) एक समकोण त्रिकोण के पार्श्वों में, तो दो छोटों के क्षेत्रों का जोड़ बड़े के क्षेत्रफल के बराबर है।

बौधायन प्रमेय, पार्श्वों की लंबाई से संबंधित अधिक सामान्य प्रमेय का एक विशेष केस है, कोसाइन की विधि:

इस जटिल आंतरिक उत्पाद अंतरिक्ष में दो वेक्टर v और w दिया जाए, तो बौधायन प्रमेय निम्नलिखित रूप ले लेती है:

विशेष रूप से,||v + w|| =||v|| +||w|| अगर v और w आयतीय हैं, हालांकि विपर्याय का सच होना ज़रूरी नहीं है।

गणितीय प्रेरण का प्रयोग करके, पिछला परिणाम किसी परिमित संख्या के जोडों में आयतीय वेक्टर तक बढ़ाया जा सकता है। के किसी भी परिमित संख्या को बढ़ाया जा सकता है।v, v,…, v को वेक्टर मानते हैं एक आंतरिक उत्पाद अंतरिक्ष में जिसमें <v, v"j"> = 0 जब 1 ≤ "i" < "j" ≤ "n".तब

इस "अनंत-आयामी" को असली आंतरिक उत्पाद स्थान के परिणाम के सामान्यकरण को पार्सेवल की पहचान के रूप में जाना जाता है।

जब ऊपर के प्रमेय वेक्टर के बारे में ठोस ज्यामिति में पुनः लिखा जाता है, तो यह निम्नलिखित प्रमेय बन जाता है। यदि AB और BC रेखाएं B में समकोण बनाते हैं, BC और कद रेखाएं C में समकोण बनाते हैं और अगर CD अधोलंब के अधोलंब है जिसमें AB और BC रेखाएं शामिल है, तो AB, BC और CD की लम्बाई के वर्ग का जोड़ AD के वर्ग के जोड़ के बराबर है। यह प्रमाण तुच्छ है।

तीन आयामों के लिए बौधायन प्रमेय का एक अन्य सामान्यकरण डी गुआ का प्रमेय है, जो जीन पॉल डी गुआ डे माल्व्स के नाम पर रखा गया है: यदि एक टेट्राहेड्रोन में एक समकोण कोन है (एक घन की तरह एक कोने), तो वर्ग का क्षेत्रफल जो समकोण कोने के विपरीत तरफ है वो अन्य तीन तरफ के क्षेत्रों के जोड़े के बराबर है।

चार और अधिक आयामों में इन प्रमेयों के अनुरूप भी हैं .

जिन त्रिकोण में तीन अक्युट कोण होते हैं, "α" + "β" > "γ" होता है। इसलिए, "a" + "b" > "c" होता है।

जिन त्रिकोण में एक ओब्ट्युस कोण होता है, "α" + "β" < "γ" होता है। इसलिए, "a" + "b" < "c" होता है।

एड्स्जर डिजक्स्त्रा ने इस प्रस्ताव को अक्युट, समकोण और ओब्ट्युस त्रिकोण के बारे में इस भाषा में कहा है:

जहाँ कोण "α" पार्श्व "a" के विपरीत है, कोण "β" पार्श्व "b" के विपरीत है और कोण "γ" पार्श्व "c" के विपरीत है।
सामान्यकरण
पायथागॉरियन प्रमेय के सांस्कृतिक संदर्भ
यूक्लिड के प्रमाण
इतिहास