यूक्लिड की चार अभिधारणाओं से उनकी पांचवीं अभिधारणा, "समानांतर अभिधारणा" को प्रमाणित करने की पुरानी समस्या को कभी भुलाया नहीं गया था। यूक्लिड के कुछ ही समय बाद प्रस्तुतियों के कई प्रयास किये गए लेकिन कुछ ऐसे सिद्धांतों को, जो तर्क में स्वीकृति के जरिये स्वयं पहली चार अभिधारणाओं से प्रमाणित नहीं हुए थे, बाद में भी दोषपूर्ण पाया गया। हालांकि उमर खय्याम भी समानांतर अवधारणा को साबित करने में असफल रहे थे, यूक्लिड के समानांतरों के सिद्धांतों की आलोचनाओं और गैर-इयूक्लिडियन ज्यामिति में संख्याओं के गुणों के उनके प्रमाण ने अंततः गैर-इयूक्लिडियन ज्यामिति के विकास में योगदान दिया था। सन 1700 में पहली चार अवधारणाओं को प्रमाणित करने और पांचवीं अवधारणा को प्रमाणित करने की कोशिश में सामने आने वाले कमियों के संदर्भ में एक बड़ी खोज की गयी। साचेरी, लाम्बर्ट और लेगेंद्रे तीनों ने इस समस्या पर 18वीं सदी में उत्कृष्ट कार्य किये, लेकिन लेकिन फिर भी सफलता उनसे दूर ही रही। 19वीं सदी की शुरुआत में गॉस, जोहान बोल्याई और लोबाचेव्स्की में से हर किसी ने स्वतंत्र रूप से एक अलग दृष्टिकोण लिया। इस संदेह के साथ शुरुआत करते हुए कि समानांतर अवधारणाओं को प्रमाणित करना असंभव था, उन्होंने एक आत्म-संगत (सेल्फ-कंसिस्टेंट) ज्यामिति के विकास पर काम किया जिसमें वह अवधारणा गलत थी। इसमें वे सफल रहे थे और इस प्रकार पहले गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की रचना हुई। 1854 में गॉस के एक छात्र, बर्नहार्ड रीमैन ने समस्त चिकनी सतहों की आतंरिक (आत्म-संगत) ज्यामिति के एक जबरदस्त अध्ययन में कैलकुलस की विधि का प्रयोग किया था और इस प्रकार एक अलग गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति विकसित हुई थी। रीमैन के कार्य बाद में आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत का आधार बन गए थे।

यह प्रमाणित करना बाकी रह गया था कि गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति एकदम उतनी ही आत्म-संगत थी जितना कि यूक्लिडियन ज्यामिति और इस कार्य को सबसे पहले बेल्ट्रामी द्वारा 1868 में पूरा किया गया था। इसी के साथ गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति, यूक्लिडियन ज्यामिति के साथ एक समान गणितीय स्तर पर स्थापित हो गयी थी।

हालांकि अब यह मालूम हो गया था कि विभिन्न ज्यामितीय सिद्धांत गणितीय तरीके से संभव थे, यह सवाल बाकी ही रह गया कि "इनमें से कौन सा सिद्धांत हमारे भौतिक जगत के लिए सही है?" गणितीय कार्य से यह पता चल गया कि इस सवाल का जवाब भौतिकीय प्रयोगों के जरिये दिया जाना चाहिए ना कि गणितीय तर्क से, साथ ही यह कारण भी उजागर हुआ कि इस प्रयोग में अनंत (सितारों की दूरियां, ना कि पृथ्वी-आधारित) दूरियों को अनिवार्य रूप से क्यों शामिल किया जाना चाहिए। भौतिकी में सापेक्षता के सिद्धांत के विकास के साथ यह सवाल बहुत अधिक जटिल हो गया।

यूनानी ज्यामिति
ज्यामितीय वास्तुकला
एनालिसिस साइटस या टोपोलॉजी
गैर-इयूक्लिडियन ज्यामिति