आर्किमिडीज़ के बारे में सबसे व्यापक रूप से ज्ञात तथ्य (anecdote) यह बताता है कि किस प्रकार से उन्होंने एक अनियमित आकृति के एक वस्तु के आयतन को निर्धारित करने के लिए विधि की खोज की। 
विट्रूवियस के अनुसार, राजा हीरो II के लिए एक लौरेल व्रेथ के आकार का एक नया मुकुट बनाया गया था और आर्किमिडीज़ से यह पता लगाने के लिए कहा गया कि यह मुकुट शुद्ध सोने से बना है या बेईमान सुनार ने इसमें चांदी मिलायी है। 
आर्किमिडीज़ को मुकुट को नुकसान पहुंचाए बिना इस समस्या का समाधान करना था, इसलिए वह इसके घनत्व की गणना करने के लिए इसे पिघला कर एक नियमित आकार की वस्तु में नहीं बदल सकता था। 
नहाते समय, उन्होंने देखा कि जब वे टब के अन्दर गए, टब में पानी का स्तर ऊपर उठ गया और उन्होंने महसूस किया कि इस प्रभाव का उपयोग मुकुट के आयतन को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। व्यवहारिक प्रयोजनों के लिए पानी को संपीडित नहीं किया जा सकता है, इसलिए डूबा हुआ मुकुट अपने आयतन की बराबर मात्रा के पानी को प्रतिस्थापित करेगा। मुकुट के भार को प्रतिस्थापित पानी के आयतन से विभाजित करके, मुकुट का घनत्व प्राप्त किया जा सकता है। यदि इसमें सस्ते और कम घनत्व वाले धातु मिलाये गए हैं तो इसका घनत्व सोने से कम होगा। 
फिर क्या था, आर्किमिडीज़ अपनी इस खोज से इतने ज्यादा उत्तेजित हो गए कि वे कपडे पहनना ही भूल गए और नग्न अवस्था में गलियों में भागते हुए चिल्लाने लगे "यूरेका (Eureka)!" (यूनानी: "εὕρηκα!," अर्थ "मैंने इसे पा लिया!")

सोने के मुकुट की कहानी आर्किमिडीज़ के ज्ञात कार्यों में प्रकट नहीं होती है। इसके अलावा, पानी के विस्थापन के मापन में आवश्यक सटीकता की अत्यधिक मात्रा के कारण, इसके द्वारा वर्णित विधि की व्यवहारिकता पर सवाल उठाये गए हैं।
संभवत: आर्किमिडीज़ ने एक ऐसा हल दिया जो जलस्थैतिकी में आर्किमिडीज़ के सिद्धांत नामक सिद्धांत पर लागू होता है, जिसे वे अपने एक ग्रन्थ "ऑन फ्लोटिंग बोडीज़ (on Floating Bodies)" में वर्णित करते हैं।

इस सिद्धांत के अनुसार एक तरल में डूबी हुई वस्तु पर एक उत्प्लावन बल (buoyant force) लगता है जो इसके द्वारा हटाये गए तरल के भार के बराबर होता है। 
इस सिद्धांत का प्रयोग करते हुए, सोने के मुकुट के घनत्व की तुलना ठोस सोने से करना संभव हो गया होगा, इसके लिए पहले मुकुट को सोने के एक नमूने के साथ एक पैमाने पर संतुलित किया गया होगा, फिर तंत्र को पानी में डुबाया गया होगा। 
यदि मुकुट सोने से कम घना था, इसने अपने अधिक आयतन के कारण अधिक पानी को प्रतिस्थापित किया होगा और इस प्रकार इस पर लगने वाले उत्प्लावन बल की मात्रा नमूने से अधिक रही होगी। 
उत्प्लावकता में यह अंतर पैमाने पर दिखायी दिया होगा। गैलीलियो ने माना कि "संभवतया आर्किमिडीज़ ने इसी विधि का उपयोग किया होगा, चूंकि, बहुत सटीक होने के साथ, यह खुद आर्किमिडीज़ के द्वारा दिए गए प्रदर्शन पर आधारित है।"

अन्य खोजें या आविष्कार (Other discoveries and inventions)
सोने का मुकुट (The Golden Crown)
आर्किमिडीज़
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