हालांकि आर्किमिडीज़ को अक्सर यांत्रिक उपकरणों का डिजाइनर कहा जाता है, उन्होंने गणित के क्षेत्र में भी योगदान दिया। 
प्लूटार्क ने लिखा था: "उन्होंने उन शुद्ध विवरणों में अपना पूरा स्नेह और महत्वाकांक्षा डाल दी, जहां जीवन की असभ्य जरूरतों के लिए कोई सन्दर्भ नहीं हो सकता."
आर्किमिडीज़ अपरिमित श्रृंखलाओं (infinitesimals) का उपयोग उसी तरीके से कर सकते थे जैसे कि आधुनिक समाकल कलन (integral calculus) में किया जाता है।

विरोधाभास के द्वारा प्रमाण के माध्यम से (reductio ad absurdum), वे उन सीमाओं को निर्दिष्ट करते हुए, सटीकता के एक यादृच्छिक अंश तक किसी समस्या का हल दे सकते थे, जिनमें उत्तर होता था। 
यह तकनीक पूर्णता की विधि (method of exhaustion) कहलाती है और उन्होंने इसका प्रयोग पाई (π (pi)) के सन्निकट मान का पता लगाने में किया।

उन्होंने इसके लिए एक व्रत के बाहर एक बड़ा बहुभुज चित्रित किया और व्रत के भीतर एक छोटा बहुभुज चित्रित किया।

जैसे जैसे बहुभुज की भुजाओं की संख्या बढ़ती है, व्रत का सन्निकटन अधिक सटीक हो जाता है। जब प्रत्येक बहुभुज में 96 भुजाएं थीं, उन्होंने उनकी भुजाओं की लम्बाई की गणना की और दर्शाया कि π का मान 3 (लगभग 3.1429) और 3 (लगभग 3.1408) के बीच था, यह इसके वास्तविक मान लगभग 3.1416 के अनुरूप था। उन्होंने यह भी प्रमाणित किया कि व्रतों का क्षेत्रफल π और व्रत की त्रिज्या के वर्ग के गुणनफल के बराबर था।

एक "व्रत के मापन में", आर्किमिडीज़ 3 के वर्ग मूल के मान को (लगभग 1.7320261) से अधिक और (लगभग 1.7320512) से कम बताते हैं। वास्तविक मान लगभग 1.7320508 है जो बहुत ही सटीक अनुमान है। उन्होंने इस परिणाम को देने के साथ, इसे प्राप्त करने में प्रयुक्त विधि का कोई स्पष्टीकरण नहीं दिया। 
आर्किमिडीज़ के कार्य के इस पहलू के कारण जॉन वालिस ने टिप्पणी दी कि वे :"जानबूझ कर अपनी जांच को छुपाना चाहते थे जैसे कि वे अपनी जांच की विधि को रहस्य बना कर रखना चाहते थे, जबकि इसके परिणामों को सबसे सामने लाना चाहते थे। "

"परवलय के वर्ग की गणना" में, आर्किमिडीज़ ने साबित किया कि एक परवलय और एक सीधी रेखा से घिरा हुआ क्षेत्रफल इसके भीतर उपस्थित त्रिभुज के क्षेत्रफल का गुना होता है, जैसा कि दायीं और दिए गए चित्र में दर्शाया गया है। उन्होंने इस समस्या के हल को सामान्य अनुपात से युक्त एक अपरिमित ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया:

यदि इस श्रृंखला में पहला पद त्रिभुज का क्षेत्रफल है, तो दूसरा दो त्रिभुजों के क्षेत्रफल का योग है, जिनके आधार दो छोटी छेदिका रेखाएं हैं और इसी प्रकार. 
यह प्रमाण श्रृंखला की भिन्नता का उपयोग करता है, जिसका योग है। 
"द सेंड रिकोनर" में, आर्किमिडीज़ ने इस ब्रह्माण्ड में उपस्थित मिटटी के कणों की संख्या की गणना करने के लिए एक समुच्चय दिया। ऐसा करने में, उन्होंने इस धारणा को चुनौती दी कि मिटटी के कणों की संख्या इतनी बड़ी है कि इसकी गणना नहीं की जा सकती है। 
उन्होंने लिखा: "कुछ लोग, राजा गेलो (गेलो II, हीरो II का पुत्र) सोचते हैं कि मिटटी की संख्या अनंत में अपरिमित है; और मेरा मानना है कि मिटटी न केवल सेराक्यूस और शेष सिसिली में है बल्कि हर उस क्षेत्र में है जहां आवास है या आवास नहीं है। इस समस्या का हल करने के लिए, आर्किमिडीज़ ने असंख्य (myriad) के आधार पर गणना की एक प्रणाली दी।

यह शब्द ग्रीक "murias" से बना है; यह 10,000 की संख्या के लिए है। उन्होंने असंख्य की एक असंख्य घात (100 मिलियन) की एक अंक प्रणाली की प्रस्तावना दी और निष्कर्ष निकाला कि मिटटी के कणों की संख्या जो एक ब्रह्माण्ड को भरने के लिए आवश्यक है वह 8 विजिनटिलीयन, या 8 है।

उपस्थित कार्य
गणित (Mathematics)
आर्किमिडीज़
लेखन (Writings)