दो क्रमपरिवर्तन का उत्पाद कार्य के रूप में उनकी संरचना के रूप में परिभाषित है, दूसरे शब्दों में "σ·"π" " वह कार्य है जो सेट के किसी भी "x" तत्व का "σ" ("π" ("x")) में चित्रण करता है। ध्यान दें कि कार्य का अनुप्रयोग लिखने के ढंग की वजह से सबसे दायां क्रमपरिवर्तन पहले तर्क पर लागू होता है। कुछ लेखक पहले सबसे बाएं कारक को लागू करना पसंद करते हैं, पर उसके लिए क्रमपरिवर्तन उनके तर्क की "दायीं" ओर लिखा जाना चाहिए, उदाहरणार्थ प्रतिपादक के रूप में, "x" पर लागू "σ" "x" लिखा जाता है; तो उत्पाद परिभाषित किया गया है "x" =("x" ) के द्वारा. हालांकि यह क्रमपरिवर्तन गुणा करने के लिए एक "अलग" नियम देता है; यह लेख वहां परिभाषा का उपयोग करता है जहां सबसे दाएं क्रमपरिवर्तन को पहले लागू किया जाता है। 

चूंकि दो द्विभाजनों की संरचना हमेशा एक और द्विभाजन देती है, दो क्रमपरिवर्तन का उत्पाद फिर से एक क्रमपरिवर्तन है। कार्य संरचना सहयोगात्मक होती है, इसलिए क्रमपरिवर्तन पर उत्पाद संचालन है:("σ·π")·"ρ" ="σ" ·("π·ρ"). इसलिए क्रमपरिवर्तन के उत्पाद आमतौर पर कोष्ठक के बिना लिखे जाते हैं और वे आमतौर पर एक डॉट या उत्पाद को चिह्नित करने वाले अन्य निशान के भी बिना लिखे जाते हैं 

पहचान क्रमपरिवर्तन, जो सेट के प्रत्येक तत्व को स्वंय में ही चित्रित करता है, इस उत्पाद का तटस्थ तत्व है। दो पंक्तियों वाले अंकन में, पहचान है

चूंकि द्विभाजन के व्युत्क्रम हैं, इसलिए क्रमपरिवर्तन के भी हैं और "σ" का व्युत्क्रम "σ" है जो फिर से एक क्रमपरिवर्तन है। स्पष्ट रूप से, जब भी "σ(x)" ="y" एक का "σ" ("y")="x" भी है। दो पंक्तियों वाले अंकन में व्युत्क्रम दो लाइनों (और कॉलम की छँटाई यदि कोई पहली पंक्ति को क्रम में देना चाहता हो) को परस्पर बदल कर प्राप्त किया जा सकता है उदाहरण के लिए
चक्र अंकन में प्रत्येक चक्र में तत्वों के क्रम को पलटने से इसके व्युत्क्रम के लिए चक्र अंकन प्राप्त कर सकते हैं।

एक सहयोगात्मक उत्पाद, एक तटस्थ तत्व और इसके सभी तत्वों के लिए व्युत्क्रम से "S" के सभी क्रमपरिवर्तन के सेट का समूह बनाता है जिसे "S" का सममितीय समूह कहा जाता है। 

एक परिमित सेट के प्रत्येक क्रमपरिवर्तन को प्रतिस्थापन के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
इसके अलावा, हालांकि एक दिए गए क्रमपरिवर्तन के लिए कई तरह के भाव मौजूद हो सकते हैं, उनके बीच प्रतिस्थापन की सम संख्या और विषम संख्या दोनों भाव के साथ अभिव्यक्ति नहीं हो सकती. सभी क्रमपरिवर्तन सम या विषम रूप में वर्गीकृत हैं, किसी भी अभिव्यक्ति में उनके प्रतिस्थापन की समता के अनुसार. 

चक्र अंकन में लिखे क्रमपरिवर्तन गुणा की विधि कठिन है और उत्पाद के चक्र संरचित किए जा रहे क्रमपरिवर्तन से पूरी तरह अलग हो सकते हैं। हालांकि चक्र संरचना संरक्षित है "σ" के क्रमपरिवर्तन के अन्य क्रमपरिवर्तन "π" के संयुग्म के विशेष मामले में, जिसका अर्थ है उत्पाद "π·σ·π" का निर्माण. यहाँ परिणाम का चक्र अंकन प्राप्त किया जा सकता है "σ" का चक्र अंकन लेकर उसकी सभी प्रविष्टियों में "π" लागू कर. 

कॉम्बीनेटॉरिक्स में
सामान्य बात
उत्पाद और व्युत्क्रम
दोहराए बिना अनुक्रम की गिनती