समानांतर अवधारणाओं से संबंधित सभी कार्यों से यह पता चला कि एक ज्यामितिकार के लिए अपने तार्किक आधार को भौतिक जगत के अपने अंतर्ज्ञान की समझ से अलग करना काफी मुश्किल था और इसके अलावा ऐसा करने के आलोचनात्मक महत्व का भी पता चला. सावधानीपूर्वक परीक्षण ने यूक्लिड की रीजनिंग में कुछ तार्किक खामियों और कुछ अनकहे ज्यामितिक सिद्धांतों का खुलासा किया था जिसके बारे में यूक्लिड कभी-कभी बताया करते थे। इस आलोचना ने कैलकुलस में आने वाली मुश्किलों और अनंत प्रक्रियाओं जैसे कि अभिसरण और निरंतरता के अर्थ के संदर्भ में विश्लेषण को समानांतर बना दिया। ज्यामिति में सूक्तियों (एग्जिओम्स) के एक नए सेट की स्पष्ट आवश्यकता थी जो पूरी हो सकती थी और जो हमारे द्वारा बनायी जाने वाली तस्वीरों या अंतरिक्ष के बारे में हमारे अंतर्ज्ञान पर किसी भी तरह से आधारित नहीं है। इस तरह की सूक्तियां 1894 में डेविड हिल्बर्ट द्वारा उनके शोध-निबंध "ग्रंडलाजेन डर जियोमेट्री" ("फ़ाउंडेशंस ऑफ ज्योमेट्री") में दी गयी थीं। सूक्तियों के कुछ अन्य संपूर्ण सेट इससे कुछ वर्ष पहले दिए गए थे लेकिन ये अर्थव्यवस्था, लालित्य और यूक्लिड की सूक्तियों की समानता में मेल हिल्बर्ट की सूक्तियों से नहीं खाते थे।

गणितीय कठोरता (रिगर) का परिचय
आर्किमिडीज
थेल्स और पाइथागोरस
हेलेनिस्टिक ज्यामिति