ಟಿ ದತ್ತ ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದರೆ, ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ (moಜ ಟಿ) ಎಂಬ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ; ಚಿ, b ಗಳು ಯಾವ ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದರೂ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಚಿ ( b ಮತ್ತು ಗುಣಲಬ್ಧ ಚಿb ಗಳನ್ನು ಟಿ ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಬಂದ ಶೇಷಗಳು ಡಿ1 ಮತ್ತು ಡಿ2 (0 < ಅಥವಾ = ಡಿ1 < ಟಿ), (0 < ಅಥವಾ ಡಿ2 < ಟಿ) ಇರುವಂತಿದ್ದರೆ, ಡಿ1ಎಂಬುದು ಚಿ, b ಗಳು (moಜ ಟಿ) ಸಂಕಲನದ ಮೊತ್ತವೆಂದೂ, ಡಿ2 ಎಂಬುದು ಅವುಗಳ (moಜ ಟಿ) ಗುಣಾಕಾರದ ಲಬ್ಧವೆಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಹಾಗೂ ಡಿ1 = (ಚಿ ( b ) (moಜ ಟಿ); ಡಿ2 = ಚಿb (moಜ ಟಿ) ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಉದಾ : 3 ( 5 = 2 (moಜ 6), 3 ( 5 =3 )moಜ 6).ಈಗ, ಟಿ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ 0, 1, 2, ...,(ಟಿ-1) ಗಳ ಗಣವಾದ ಟಿ) ಎಂಬುದು, (moಜ ಟಿ) ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಲಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಏಕವನ್ನುಳ್ಳ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೀಯ ವಲಯ. ಇಂಥ ವಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, Z/(6)ನಲ್ಲಿ 2(3 =0 (moಜ 6). ಹೀಗೆ ಎರಡೂ ಅಶೂನ್ಯ ಎರಡೂ ಗಣಾಂಶಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ, ವಲಯದ ಶೂನ್ಯವಾಗುವಂಥ ವಲಯಗಳಿರಬಹುದೆಂದು ತೋರ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಚಿ ( 0, b ( 0 ಎಂಬುದು ( ವಲಯದ ಗಣಾಂಶಗಳಾಗಿದ್ದು, ಚಿb =0 ಆದರೆ, ಚಿ ಶೂನ್ಯದ ಎಡ ಅಪವರ್ತನವೆಂದೂ (ಲೆಫ್ಟ್ ಜೀóóರೋ ಡಿವೈಸರ್) b ಅದರ ಬಲ ಅಪವರ್ತನವೆಂದೂ ಹೇಳತ್ತೇವೆ.ಶೂನ್ಯದ ಅಪವರ್ತನಗಳಿಲ್ಲದ ಪರಿವರ್ತನೀಯ ವಲಯಗಳನ್ನು ಅಂಕಮುಖ ಪ್ರಾಂತಗಳೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ; ಉದಾ: Z, ( ((ಎಂಬ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಲಯ; ವಾಸ್ತವಕ್ಕೂ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೇ ಅಂಕಮುಖಪ್ರಾಂತ. ಹೀಗೆ ವಲಯಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಅರ್ಧಸಂಕುಲಗಳ ಮೇಲೆ ವಿವಿಧ ನಿಬಂಧನೆಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸುವುದರಿಂದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಕೃತಿಯ ವಲಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ವಲಯದಲ್ಲಿರುವ ಅಶೂನ್ಯ ಇತರ ಗಣಾಂಶಗಳೆಲ್ಲ ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಕುಲವನ್ನೇರ್ಪಡಿಸಿದರೆ ಆ ವಲಯವನ್ನು ಭಾಗಾಹಾರವಲಯ(ಡಿವಿಜûನ್ ರೊಂಗ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಭಾಗಾಹಾರವಲಯಗಳೇ ಬಹು ಮುಖ್ಯವಾದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೆಂಬ (ಫಿûೀಲ್ಡ್ಸ್) ಬೈಜಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಅಲ್ಲಿ (ಅಲ್ಜಿವ್ರೈಕ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್). ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಾದ ಕಿ (ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು), ಖ (ವಾಸ್ತವದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) ಅ (ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) - ಇವು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಇವು ಅಪರ್ಯಾಪ್ತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು. ( ಎಂಬುದು ಅಬಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೆ Z/ (() ( (((((((((((((((((( ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ. ಪರ್ಯಾಪ್ತ ಕ್ಷೇತ್ರ.
ಲಘುಮಾನಕವಲಯಗಳು (ಮಾಡ್ಯಲರ್ ರಿಂಗ್ಸ್
ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮಗಳು
ಸಮತ್ವ
ಜಿ 1