ಒಂದು ಯಂತ್ರವು ಕಪ್‌ಗಳನ್ನು ಕೃತಕ ಬೆಣ್ಣೆಯಿಂದ ತುಂಬುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಕಪ್‌ಗಳಲ್ಲಿ 250ಗ್ರಾಂ‌ ಕೃತಕ ಬೆಣ್ಣೆಯಿರುವಂತೆ ಸರಿಹೊಂದಿಸಬೇಕು. ಯಂತ್ರವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಪ್‌ಅನ್ನೂ ಸರಿಯಾಗಿ 250 ಗ್ರಾಂನಿಂದಲೇ ತುಂಬಲು ಸಾದ್ಯವಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ವ್ಯತ್ಯಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆ ವ್ಯತ್ಯಯವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವ್ಯತ್ಯಯ X ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಯವು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸರಾಸರಿ 250 ಗ್ರಾಂ‌ನ ಸುತ್ತ, ಮಾನಕ ವಿಚಲನೆ 2.5 ಗ್ರಾಂ‌ನೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹರಹಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಯಂತ್ರವು ಸರಿಯಾದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, "n"  = 25 ಕೃತಕ ಬೆಣ್ಣೆ ಕಪ್‌ಗಳು ಎಂಬ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಕಪ್‌ಗಳನ್ನು ತೂಕಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. "X" , ..., "X" ಗಳು ಕಪ್‌ಗಳ ತೂಕಗಳು, ಇದು "X" ನಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸ್ಯಾಂಪಲ್‌. 

μ ನಿರೀಕ್ಷಣೆಯ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಒಂದು ಅಂದಾಜನ್ನು ಕೊಟ್ಟರೆ ಸಾಕು. ಸರಿಯಾದ ಅಂದಾಜು ಕಟ್ಟುವಸಾಧನವೆಂದರೆ ಸ್ಯಾಂಪಲ್‌ ಮಧ್ಯಕ: 

ಸ್ಯಾಂಪಲ್‌ ನಿಜವಾದ ತೂಕಗಳಾದ"x" , ..., "x" ಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಕದೊಂದಿಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ:

ನಾವು 25 ಕಪ್‌ಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಯಾಂಪಲ್‌ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, 250.4 ಗ್ರಾಂ ಅಥವಾ 251.1 ಗ್ರಾಂ‌ನಂತಹ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಕಪ್‍ಗಳ ತೂಕದ ಮಧ್ಯಕವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ 250 ಗ್ರಾಂ‌ ಆಗಿದ್ದರೆ, 280 ಗ್ರಾಂನ ಒಂದು ಸ್ಯಾಂಪಲ್‌ ಮಧ್ಯಕ ಮೌಲ್ಯ ಅತ್ಯಂತ ವಿರಳವಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯ 250.2ರ ಸುತ್ತ ಪೂರ್ಣ ಮಧ್ಯಂತರವೇ ಇದೆ, ಪೂರ್ತಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಧ್ಯಕವು ಈ ರೇಂಜ್‌ನಲ್ಲೇ ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಅಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು "μ" ಸ್ಥಿರರಾಶಿಯ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡುವುದು ಹೇಗೆ? ಮಧ್ಯಂತರದ ತುದಿಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸ್ಯಾಂಪಲ್‌ನಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಬೇಕು, ಅವು "X" , ..., "X" ನ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ನಿಷ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯಗಳಾಗುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವ್ಯತ್ಯಯಗಳೂ ಆಗುತ್ತವೆ.

ನಮ್ಮ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಹರಹಿನ ಸ್ಯಾಂಪಲ್‌ನ ಸ್ಯಾಂಪಲ್‌ ಮಧ್ಯಕ ವೂ ಕೂಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹರಹನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ತುದಿಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು, ಅದೇ "μ" ನ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, ಆದರೆ ಸ್ಥಿರದೋಷ "σ" /√"n"  = 0.5 (ಗ್ರಾಂ‌)ನೊಂದಿಗೆ. ಸ್ಥೀರಿಕರಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವ್ಯತ್ಯಯ

ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವ ಸ್ಥಿರರಾಶಿ μನ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ "μ" ಸ್ಥಿರರಾಶಿಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಸ್ಥಿರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹರಹಿನ ಜೊತೆಗೆ. ಆದ್ದರಿಂದ "μ" ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ "z" ಮತ್ತು "z" ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ 1 − α ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ "Z" ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ, ನಾವು ಎಷ್ಟು ’ವಿಶ್ವಸನೀಯ’ವಾಗಿರಬೇಕಾಗುತ್ತೇವೆಂಬುದರ . ನಾವು 1 − α = 0.95 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ:

ಸಂಖ್ಯೆ "z" follows from the cumulative distribution ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯದ:

ಅದರಿಂದ

ಬರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಅರ್ಥೈಸಬಹುದು: 0.95 ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ, ಸ್ಟೊಖ್ಯಾಸ್ಟಿಕ್‌ ತುದಿಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ "μ" ಸ್ಥಿರರಾಶಿಯನ್ನು ಮುಟ್ಟುವ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. 

ಮತ್ತು

ಅಂದರೆ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ μ ಸ್ಥಿರರಾಶಿಯನ್ನು ಮುಟ್ಟುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 0.95 ಎಂದು ಅರ್ಥವಲ್ಲ. ಪ್ರತಿಸಾರಿ ಮಾಪನವನ್ನು ಮಾಡಿದಾಗಲೂ, ಸ್ಯಾಂಪಲ್‌ನ ಮಧ್ಯಕಕ್ಕೆ ಮತ್ತೊಂದು ಮೌಲ್ಯ ಇರುತ್ತದೆ. 95% ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಮಧ್ಯಕದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಿದ ತುದಿಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ "μ" ಇರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ 5% ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅವು ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ನಿಜವಾದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನವಾಕ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಳತೆಮಾಡಿದ ತೂಕಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ 0.95 ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವು

"μ" ನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ 250 ಪರಿಣಮಿಸಿದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಯಂತ್ರವು ತಪ್ಪಾದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನೊಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ನಂಬಲು ಯಾವ ಕಾರಣವೂ ಇಲ್ಲ. 

ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಿದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಿರ ತುದಿಬಿಂದುಗಳಿವೆ, ಇಲ್ಲಿ μ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಇರಬಹುದು (ಅಥವಾ ಇರದೆಯೇ ಇರಬಹುದು). ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಘಟನೆಯು 0 ಅಥವಾ 1ರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. "(1 − α)ರ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ "μ" ಸ್ಥಿರರಾಶಿಯು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯತಂತರದಲ್ಲಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ" ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಲು ಆಗುವುದಿಲ್ಲ . 100(1 − α) % ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುವುದರಿಂದ μ ಲೆಕ್ಕ ಮಾಡಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲೇ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದಷ್ಟೇ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದು. ಆದರೆ ಅದು 100α % ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಆಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್‌ ಇದು ಯಾವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಆಗುತ್ತದೆಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ "ವಿಶ್ವಾಸ ಹಂತ 100(1 − α) %ನೊಂದಿಗೆ, "μ" ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ."

ಬಲದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರವು, ಕೊಟ್ಟಿರುವ μ ಮಧ್ಯಕದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರದ 50 ಸಾಧನಗಳನ್ನು ತೊರಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಗಿ ಒಂದು ಸಾಧನವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಸ್ಥಿರರಾಶಿ ಇರುವ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ 95% ಇರುತ್ತದೆ; ಆದರೆ ನಾವು ದುರಾದೃಷ್ಟರಾಗಿ ತಪ್ಪಾದ್ದನ್ನೂ ಅಯ್ಕೆಮಾಡಿಕೊಂಡಿರಬಹುದು. ನಮಗೆ ಎಂದಿಗೂ ತಿಳಿಯುವುದಿಲ್ಲ; ನಾವು ನಮ್ಮ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸಿಕ್ಕಿಕೊಂಡುಬಿಟ್ಟಿರುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು
"ಕಾನ್ಫಿಡೆನ್ಸ್" ಪದದ ಅರ್ಥ
ನಿಷ್ಪನ್ನ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳು
ಸರಿಸುಮಾರು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು