S,ಜಿ ಅರ್ಧಸಂಕುಲದಲ್ಲಿ Sನ ಎಲ್ಲಿ s1, s2 ಗಳಿಗೂ (s1 ಜಿ, s2)=ಜಿ (s2,s1) ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಅರ್ಧಸಂಕುಲವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲಿನ ಓ. ಮತ್ತು ಓ,+ ಗಳು ಪರಿವರ್ತನೀಯಗಳು: ಂ (S) ಹಾಗಿಲ್ಲ.ಸಂಕುಲಗಳು : ಉ ಒಂದು ಏಕಾಂಶವನ್ನುಳ್ಳ ಅರ್ಧಸಂಕುಲವಾಗಿರಲಿ. ಉ ಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಅಂಶ g ದತ್ತವಾದಾಗ ಉ ಯಲ್ಲೇ ಇರುವ ಒಂದು ಅಂಶ g -1 (ಎನ್ನೋಣ) ಎಂಬುದು g-1g=e=gg-1 ಎಂದಾಗುವಂತಿದ್ದರೆ g-1 ನ್ನು g ಯ ವಿಲೋಮವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈಗ g, g-1 ರ ವಿಲೋಮವೆಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮೇಲಿನ ಉ ಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಣಾಂಶಕ್ಕೂ ವಿಲೋಮವೊಂದಿರುವುದಾದರೆ ಉ ಒಂದು ಸಂಕುಲವೆನಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪದವನ್ನು ಗ್ಯಾಲ್ವಾ (evಚಿಡಿisಣo ಉಚಿಟois, 1811-1832) ಎಂಬ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಜ್ಞ 1830ರಲ್ಲಿ ಮೊಟ್ಟ ಮೊದಲು ಉಪಯೋಗಿಸಿದ. 19ನೆಯ ಶತಮಾನದ ಪ್ರಮುಖ ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಕೌಷಿ (1789-1857), ಕೇಲಿ, ಜೋರ್ಡಾನ್ (1832-1922), ಸೈಲೋ (1832-1918) ಮತ್ತು ಸೋಷóಸ್ ಲೀ (1842-1899) ಮುಂತಾದವರು ಈ ಭಾವನೆಯನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವರ್ಧಿಸಿದರು. ಇದರಿಂದ ಗಣಿತದ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಶಾಖೆಗಳಿಗಿರುವ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳು ತೋರಿಬಂದು ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಏಕೀಕರಣಗಳು ನಡೆದುವು; ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ರೇಖಾ ಗಣಿತಗಳ ಕೆಲವು ಶಾಖೆಗಳಿಗೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿದ್ದು ಅದುವರೆಗೆ ಗೋಚರಿಸದಿದ್ದ ಅನೇಕ ಸಂಬಂಧಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಎದ್ದು ಕಾಣಿಸುವಂತಾಯಿತು. ಭೌತ ಪ್ರಪಂಚದ ಮೂಲರಚನೆಯ ಪರಿಶೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿರುವ ಶಕಲ ಬಲ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ (ಕ್ವಾಟಂ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್) ಸಂಕುಲಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಾರ್ಗಗಳು ಬಹು ಫಲಕಾರಿಯಾದ ಅಸ್ತ್ರಗಳಾಗಿ ಪರಿಣಮಿಸಿವೆ.ಸಂಕುಲಗಳನ್ನು ಹೀಗೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು : ಉ ಒಂದು ಗಣವೂ ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮವೂ ಆಗಿರಲಿ. ಈಗ ಮುಂದೆ ಕಾಣಿಸಿರುವ ಸ್ವತಸ್ಸಿದ್ಧಗಳು ತಾಳೆಯಾದರೆ ಉ. ಎಂಬ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಒಂದು ಸಂಕುಲವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ.1 ಉಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ ಚಿ,b,ಛಿ, ಗಳಿಗೂ (ಚಿ,b).ಛಿ=ಚಿ. (b.ಛಿ) ಎಂಬ ಸಹವರ್ತನೀಯ ನಿಯಮ ನಿಲ್ಲಬೇಕು. 2 ಉ ಗೆ ಸೇರಿದ ಪ್ರತಿ ಅಂಶ ಚಿ ಗೂ, ಚಿ.e=ಚಿ=e.ಚಿ ಎಂದಾಗುವಂತೆ ಉ ಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗಣಾಂಶ e ಇರಬೇಕು. (ಇದು ಏಕೈಕ ಮತ್ತು ಇದೇ ಉ ಯ ಏಕಾಂಶ - ಯೂನಿಟ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್). 3 ಉ ಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ g ಗೂ g.g-1=e=g-1.g ಎಂಬ ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲತಕ್ಕ ಒಂದು ಗಣಾಂಶ g-1 ಎಂಬುದು ಉಯಲ್ಲಿರಬೇಕು. (g-1ನ್ನು g ಯ ವಿಲೋಮವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. g,g-1 ರ ವಿಲೋಮ). 4 ಇದರ ಮೇಲೆ ಉ ಯ ಎಲ್ಲ ಚಿ,b ಗಳಿಗೂ ಚಿ,b=b,ಚಿ ಎಂಬ ಪರಿವರ್ತನೀಯ ನಿಯಮವೂ ತಾಳೆಯಾದರೆ ಉ ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಸಂಕುಲ (ಕಾಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಗ್ರೂಪ್) ಅಥವಾ ಅಬೆಲಿಯನ್ (ಎನ್. ಎಚ್. ಅಬೆಲ್‍ನಿಂದ ಬಂದದ್ದು, 1802-1829) ಸಂಕುಲವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಮುಂದೆ ಕೆಲವು ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಸಂಕುಲಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ.
1 Z, + = ಸಂಕಲನ ಪರಿಕರ್ಮ, ಪೂಣಾಂಕಗಳ ಗಣ.
2 ಕಿ, + = ಸಂಕಲನ ಪರಿಕರ್ಮ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ. 
3 ಖ, + = ಸಂಕಲನ ಪರಿಕರ್ಮ, ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ. 
4 ಕಿ0. = ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮ, 0 ಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ.
5 ಖ0. = ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮ, 0 ಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ. 
6 Uಟಿ. = xಟಿ-1= 0 ಸಮೀಕರಣದ ಎಲ್ಲ ಮೂಲಗಳು, ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮದಲ್ಲಿ.

ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆ
ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಅರ್ಧಸಂಕುಲಗಳು
ಸಮಬಾಹುತ್ರಿಕೋನ
ಸಂಕುಲಗಳು (ಗ್ರೂಪ್ಸ್)