ಉ ಸಂಕುಲದ ಒಂದು ಉಪಗಣ ಊ, ಉ ಯ ಪರಿಕರ್ಮದಲ್ಲಿಯೇ ಒಂದು ಸಂಕುಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಉಯ ಒಂದು ಉಪಸಂಕುಲವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಕುಲ Z,+ ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಸಮ (ಈವನ್) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉಪಗಣ Z2 ಎಂಬುದು ಒಂದು ಉಪಸಂಕುಲ ಹೀಗೆಯೇ ಎಂಬ S3 ಯ ಉಪಗಣ ಅದರ ಒಂದು ಉಪಸಂಕುಲ, ಉ ಸಂಕುಲದಲ್ಲಿ ಊ ಒಂದು ಉಪಸಂಕುಲವಾಗಿಯೂ ಚಿ,ಉಯ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಶವಾಗಿಯೂ ಇದೆ ಎನ್ನೋಣ. ಈಗ ಊನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ hಗಳನ್ನೂ ಉಪಯೋಗಿಸಿ hಚಿರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಉಯ ಎಲ್ಲ ಗುಣಾಂಶಗಳೂ ಸೇರಿ ಆದರೆ ಒಂದು ಉಪಗಣವಾಗುವುವಷ್ಟೆ; ಇದನ್ನು ಉ ಯಲ್ಲಿ ಊ ನು ಕುರಿತ ಚಿ ಯ ಬಲಸಹಗಣ (ರೈಟ್‍ಕೋಸೆಟ್) ಎನ್ನುವೆವು. ಇದನ್ನು ಊಚಿ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗೆಯೇ ಎಡಸಹಗಣವನ್ನೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉಯಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಉಪಸಂಕುಲ ಓ ಎಂಬುದು ಉಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ g ಗಳಿಗೂ ಓg=gಓ ಎಂದಾಗುವಂತಿದ್ದರೆ ಓ ಉಪಸಂಕುಲ ಉ ಯಲ್ಲಿ ಶಿಷ್ಟ (ನಾರ್ಮಲ್) ಉಪಸಂಕುಲವಾಗುವುದೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಉಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ g1, g2ಗಳಿಗೂ ಓg1g2 ಸಹ ಓ ನ ಒಂದು ಸಹಗಣವೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸಹಗಣಗಳ ಸಮೂಹದಲ್ಲಿ ಒಂದು ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮವೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಉ/ಓ ಸಂಕೇತದಿಂದ ಉಯಲ್ಲಿ ಓ ಉಂಟುಮಾಡುವ ಎಲ್ಲ ಸಹಗಣಗಳ ಸಮೂಹವನ್ನೂ ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದ ಪರಿಕರ್ಮದಲ್ಲಿ ಉ/ಓ ಒಂದು ಸಂಕುಲವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಏಕಾಂಶ ಓ. ಉ ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾದರೆ ಇದೂ ಪರಿವರ್ತನೀಯ. ಉ/ಓನ್ನು ಉಯ ಒಂದು ಭಾಗ ಸಂಕುಲ ಅಥವಾ ಅಪವರ್ತನ ಸಂಕುಲವೆಂದು (ಕ್ವೋಷಂಟ್ ಗೂಪ್, ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಗೂಪ್) ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಸಮಾನ ರೂಪತ್ವ (ಹೋಮೋಫಾರ್ಮಿಸóóಂ) ಸಮಾನ ರೂಪತ್ವ ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೆಡೆಗಳಲ್ಲೂ ಬಹು ಪ್ರಧಾನವಾದ ಭಾವನೆ. ಇದರಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದರ ಬದಲಾಗಿ ಇವೆಲ್ಲ ಗುಣಗಳಿರುವ ಅಮೂರ್ತ ಅಂಕುಲ (ಆಬ್‍ಸ್ಟ್ರೇಕ್ಟ್ ಗ್ರೂಪ್) ಒಂದನ್ನು ವ್ಯಾಸಂಗಿಸಬಹುದಾದಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉ ಮತ್ತು ಉ'ಗಳು ಸಂಕುಲಗಳಾಗಿದ್ದು ( : ಉ ( ಉ' ಒಂದು ಚಿತ್ರಣವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ ಉ ಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ ಚಿ, b ಗಳಿಗೂ ((ಚಿb) = ( (ಚಿ). ( (b) ಎಂಬ ನಿಯಮ ನಿಲ್ಲುವುದಾದರೆ (ಯನ್ನು ಉ ಯಿಂದ ಉ' ಗೆ ಇರುವ ಒಂದು ಸಮಾನರೂಪತ್ವವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಸಮನರೂಪತ್ವ ( ( ಉ ( ಉ' ಒಂದು ದ್ವೈತಚಿತ್ರಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಉ ಯಿಂದ ಉ' ಮೇಲಕ್ಕಿರುವ ಒಂದು ಏಕೈಕ ಸಮಾನರೂಪತ್ವ (ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಂ) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ; ಉ ( ಉ' ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಸಂಕುಲವನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆಯೇ ಚಿತ್ರಿಸುವ ಏಕೈಕಸಮಾನರೂಪತ್ವಗಳನ್ನು ಆ ಸಂಕುಲದ ಸ್ವಏಕೈಕಸಮಾನರೂಪತ್ವ (ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.ಉ ಯಾವ ಸಂಕುಲವಾದರೂ ಅದು ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನ ಸಂಕುಲ ಖಿ ಗೆ ಏಕೈಕ ಸಮಾನರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಕೇಲಿಯ ಒಂದು ಪ್ರಧಾನ ಪ್ರಮೇಯ. ಇದರ ಉಪಪ್ರಮೇಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರ್ಯಾಪ್ತ ಸಂಕುಲವೂ ಒಂದು ಕ್ರಮಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಕುಲಕ್ಕೆ ಏಕೈಕ ಸಮಾರೂಪತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.
ಉದಾಹರಣೆಗಳು : 1ಖo. ಎಂಬುದು ಅಶೂನ್ಯ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಸಂಕುಲವೂ U2 ಎಂಬುದು (1, _1( ಎಂಬ ಅದರ ಉಪಸಂಕುಲವೂ ಆಗಿರಲಿ.
( : ಖo ( U2ನ್ನು ( ( ಖo ಧನಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೆ ( (() = 1, ಋಣಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೆ ( (() = _1 ಎಂದೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ( : ಖo (U2 ಒಂದು ಸಮಾನರೂಪತ್ವ.
ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ( : ಉ ( ಉ' ಸಮಾನರೂಪತ್ವದಲ್ಲಿ ಉ' ನ ಏಕ್ಯ e' ಮೇಲೆ ಚಿತ್ರೀಕೃತವಾಗುವ ಉ ಯ ಎಲ್ಲ ಗಣಾಂಶಗಳ ಗಣ ಉಯ ಒಂದು ಉಪಗಣ. ಇದನ್ನು ( ಯ ಸಾರ (ಕರ್ನಲ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಉ ಯ ಒಂದು ಶಿಷ್ಟ ಉಪಸಂಕುಲ.ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ( ಯ ಸಾರ = ಏ ( = ಎಲ್ಲ ಧನವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ; ಇದು ಖo. ನ ಒಂದು ಶಿಷ್ಟ ಉಪಸಂಕುಲವೆಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.
2 ( : Z, (( Z(, ( ಅನ್ನು Z ಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಟಿ ಗಳಿಗೂ ( (ಟಿ) = 2ಟಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ ( ಎಂಬುದು ಒಂದು ಏಕೈಕಸಮಾನ ರೂಪತ್ವ.
3 ಉ ಒಂದು ಸಂಕುಲವೂ, ಚಿ ಅದರ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಣಾಂಶವೂ ಆಗಿರಲಿ. ( : ಉ (ಉ ಚಿತ್ರಣವನ್ನು ( (() = ಚಿ -1 (( ಎಂದು ಉ ಗೆ ಸೇರಿದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ( ಗೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದರೆ ( ಚಿತ್ರಣ ಉ ಯ ಒಂದು ಸ್ವಏಕೈಕಸಮಾನರೂಪತ್ವ (ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸóಂ) ಆಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಕುಲಗಳು (ಗ್ರೂಪ್ಸ್)
ಉಪಸಂಕುಲಗಳು
ದ್ವಿಗುಣ ಪರಿಕರ್ಮಗಳು
ವಲಯಗಳು, ಅಂಕಮುಖ ಪ್ರಾಂತಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು(ರಿಂಗ್ಸ್, ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಡೊಮೇನ್ಸ್ ಎಂಡ್ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್)