( ಮತ್ತು o ಎಂದು ಸೂಚಿತವಾದ ಎರಡು ದ್ವಿಗುಣಪರಿಕರ್ಮಗಳಿರುವ ಒಂದು ಗಣ (, ಮುಂದೆ ಕಾಣಿಸಿರುವ ನಿಬಂಧನೆಗಳಿಗೆ ಅನುಸಾರವಾಗಿದ್ದರೆ (, , o ಎಂಬ ಸಮುಚ್ಚಯವನ್ನು ಒಂದು ವಲಯವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ : 1, ಂ, ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಸಂಕುಲವಾಗಿರಬೇಕು. 2 (( o ಒಂದು ಅರ್ಧಸಂಕುಲವಾಗಿರಬೇಕು. 3 ( o ಗೆ ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ ಚಿ, b,ಛಿ ಗಳಿಗೂ ಚಿ o b(ಛಿ) = ಚಿ o b ( b o ಛಿ ಮತ್ತು (b (ಛಿ) ಚಿ = b o ಚಿ ( ಛಿ o ಚಿ ಎಂಬ ವಿಭಾಜಕನಿಯಮಗಳು ನಿಲ್ಲಬೇಕು. (, o ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾದರೆ (ಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಲಯವೆಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. (, o ದಲ್ಲಿ ಏಕಾಂಶವಿದ್ದರೆ (ಯನ್ನು ಏಕಾಂಶವುಳ್ಳ ವಲಯವೆಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.
ಉದಾ : ಎಲ್ಲ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗಣ Z, ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಾಂಶವನ್ನುಳ್ಳ ಒಂದು ಪರಿವರ್ತನೀಯ ವಲಯವಾಗಿದೆ.ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುವುದಕ್ಕಾಗಿ, ( ಮತ್ತು . ಗಳನ್ನೇ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ( ಮತ್ತು o ಗಳಿಗೆ ಉಪಯೋಗಿಸುವುದೇ ಅಲ್ಲದೇ ಈ ಪರಿಕರ್ಮಗಳನ್ನು ಸಂಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಕರೆಯೋಣ; ಇದರಿಂದ ವಲಯಗಳು ಎಂಬ ಭಾವನೆ ಹೇಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದು ಚೆನ್ನಾಗಿ ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವಕ್ಕೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಾದ ಕಿ (ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು), ಖ (ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು), ಅ (ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು) ಏಕಾಂಶಗಳನ್ನುಳ್ಳ ಪರಿವರ್ತನೀಯ ವಲಯಗಳೇ. ಈ ವಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯ ಪರಿಕರ್ಮ ಸಂಕಲನ ( ಆಗಿಯೂ, 0 ಸಂಕಲನದ ಏಕಾಂಶವಾಗಿಯೂ ಇರುವುದರಿಂದ ಯಾವ ವಲಯದಲ್ಲೂ ಅದರ ಸಂಕಲನದ ಏಕಾಂಶವನ್ನು 0 ಎಂದೂ ಅದರಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರದ ಏಕಾಂಶವಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ( ಎಂದೂ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. 0 ಯನ್ನು ಸೊನ್ನೆ, ಶೂನ್ಯ ಎಂದೂ (ನ್ನು ಏಕ (ಒಂದು) ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ( ವಲಯದ ಒಂದು ಉಪಗಣ ( ಯೂ ಸಹ ( ಯ ಪರಿಕರ್ಮಗಳಿಗನುಸಾರವಾಗಿ ಒಂದು ವಲಯವಾಗುವುದಾದರೆ, ( ಯನ್ನು ( ಯ ವಲಯವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಉದಾ : (,(((ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಸಮಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ (( ಎಂಬ ಉಪಗಣ ಒಂದು ಉಪವಲಯ.

ವಲಯಗಳು, ಅಂಕಮುಖ ಪ್ರಾಂತಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು(ರಿಂಗ್ಸ್, ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಡೊಮೇನ್ಸ್ ಎಂಡ್ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್)
ಅವತರಣಿಕೆಯಿಂದ ಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ
ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ರಚನೆಗಳು (ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯನ್ ಕನ್‍ಸ್ಟ್ರಕ್ಷನ್)
ಸಮತ್ವ