ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಲಯವಾದ Z ನಲ್ಲಿ 1 ಮತ್ತು - 1 ಗಳನ್ನುಳಿದು ಮಿಕ್ಕೆಲ್ಲ ಅಂಶಗಳಿಗೂ ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮದಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮಗಳಿಲ್ಲ. 0 ಯೊಂದಕ್ಕೆ ಬಿಟ್ಟು ಉಳಿದ ಎಲ್ಲವುಗಳ ವಿಲೋಮಗಳನ್ನು Zನೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ ಹೀಗೆ ಸಿದ್ಧಿಸಿದ ಗಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರ್ಯಾಪ್ತ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನೂ (ಫೈನೈಟ್ ಪ್ರೊಡಕ್ಟ್) ಇದರೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸಿದ ಮೇಲೆ ದೊರೆಯುವ ಗಣವೇ ಎಲ್ಲ ಭಾಗಲಬ್ಧಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಿ ವಲಯ. ಈ ವಲಯದಲ್ಲಿ Z ಒಂದು ಉಪವಲಯ. ಕಿ ವನ್ನು Z ನ ವಿಸ್ತರಣೆ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. Z ನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಲಗೊಳ್ಳುವ ಕ್ಷೇತ್ರವೇ ಕಿ. ಇದನ್ನು Zನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಕ್ಷೇತ್ರ (ಫೀಲ್ಡ್ ಆಫ್ ಕ್ವೋಷಂಟ್ಸ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಕಮುಖ ಪ್ರಾಂತವನ್ನೂ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಳಹೊಗಿಸಬಹುದೆಂಬುದು ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯ.ಈ ಎಂಬುದು ಏ ಎಂಬ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾದರೆ ಏ, ಈ ನ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ ಕಿ ನ ಒಂದು ಬಗೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಕುರಿತು ವಿಚಾರ ಮಾಡೋಣ. ಜಿ(x) = x2-2x-1 = 0 ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು (ಕೋಯಿಫೀಶಿಯೆಂಟ್ಸ್) ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಅದರ ಮೂಲಗಳಾದ 1((2 ಗಳೂ ಕಿ ನಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಚಿ ಮತ್ತು b ಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದು ಚಿ + (2 b ರೂಪದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ ಕಿ((2)ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಗಣಾಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು ಹಾಗೂ ಇದು ಕಿ ವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡು ಅದರ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಆದರೂ ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ ಖನಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲ. ಮೇಲಾಗಿ ಕಿ((2)ರಲ್ಲಿ ದತ್ತ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಿದ್ದು, ಕಿನ ಇದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವ ಇನ್ನಾವ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲೂ ಈ ಮೂಲಗಳಿಲ್ಲದ ಹಾಗೂ ಇದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕಿ ((2) ನು ಜಿ(x) ನ ಛೇದನಕ್ಷೇತ್ರ (ಸ್ಪ್ಲಿಟ್ಟಿಂಗ್ ಫೀಲ್ಡ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನುಪಯೋಗಿಸಿದರೆ ಜಿ (x) ನ್ನುಜಿ (((((((((((((((((((((((((
ಎಂದು ಎರಡು ಅಪವರ್ತನಗಳಾಗಿ ಛೇದಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಕಿ ನ ಒಂದು ಸುಲಭ (ಸಿಂಪಲ್) ವಿಸ್ತರಣೆ ಎಂದು ಹೇಳುವರು. ಮೇಲಾಗಿ, ಕಿ(((( ನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ವರ್ಗಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಿರಬೇಕಾದುದರಿಂದ ಕಿ (((( ನ್ನು ಕಿ ನ ಒಂದು ವರ್ಗವಿಸ್ತರಣೆ (ಕ್ವಾಡ್ರೆಟಿಕ್ ಎಕ್ಸ್‍ಟೆನ್‍ಷನ್) ಎಂದೂ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.

ಗ್ಯಾಲ್ವಾ ಸಂಕುಲಗಳು
ಲಘುಮಾನಕವಲಯಗಳು (ಮಾಡ್ಯಲರ್ ರಿಂಗ್ಸ್
ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು (ಪೀಲ್ಡ್ ಎಕ್ಸ್‍ಟೆನ್‍ಷನ್ಸ್)
ಸಂಕುಲಗಳ ಸಮಾನರೂಪತ್ವಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೆಲವು ಪ್ರಧಾನವಾದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದೆ