ನಕ್ಷೆಯ ಚಿತ್ರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆಯೇ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಯ ನಿಖರವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನೀಗ ಕೊಡಬಹುದು : x=ಚಿ ಒಂದು ದತ್ತಬೆಲೆ. ಎಂಬುದು ಯಾವುದೇ ಧನಸಂಖ್ಯೆ ಇರುವಾಗ ಆಗತಕ್ಕ x ನ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆಲ್ಲ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಜಿ (x) ಉತ್ಪನ್ನ ಚಿ ಬಳಿ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಪಡೆದಿದೆ. 
ಮಿತಿ (ಲಿಮಿಟ್) ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯೊಡನೆ ಇದನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೆಳಕೊಂಡಂತೆಯೂ ಬರೆಯಬಹುದು : ಜಿ (x) ಉತ್ಪನ್ನ ಚಿ ಬಳಿ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು 
ಒಂದು ದತ್ತ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿರುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಅಂತರ (ಚಿ,b ) ಯ ಎಲ್ಲ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲೂ ಜಿ (x) ಗೆ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆ ಇರುವುದಾದರೆ, ಜಿ (x) ಉತ್ಪನ್ನ (ಚಿ,b ) ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಪಡೆದಿರುವುದು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. 
ವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆ ಬರಬೇಕಾದರೆ, (i) ಜಿ (ಚಿ) ಪರ್ಯಾಪ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿಲ್ಲದೆ ಇರಬಹುದು, ಎಂದರೆ ಜಿ (ಚಿ) ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು. ಅಥವಾ ಜಿ (ಚಿ) ಗೆ ಬೆಲೆಯೇ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. (ii) ಅಥವಾ ಬಲಗಡೆಯ ಮಿತಿಯೂ ಎಡಗಡೆಯ ಮಿತಿಯೂ ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಜಿ (ಚಿ) ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ ವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆ ಮೊದಲನೆಯ ಬಗೆಯದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ಅನಂತ ವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಉಳಿದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆ ಎರಡನೆಯ ಬಗೆಯದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒಟ್ಟಾರೆ ಹೇಳಬಹುದು.)
ಜಿ (x) = (1/x), x = ಂ ಅನಂತವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಯ ಬಿಂದು.
ಮೇಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ x ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಜಿ (x) = 1, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಜಿ (x) = ಂ. ಈ ಉತ್ಪನ್ನ x ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳಲ್ಲೂ ವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆ ಪಡೆದಿದೆ. 
ಜಿ (x) = . ಈಗ ; . ಆದ್ದರಿಂದ x = ಂ ವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಯ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. 
ಚಲನಾಂಕ ಅಥವಾ ನಿಷ್ಪನ್ನ (ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕೋಯಿಫಿಷೆಂಟ್; ಡಿರೈವೆಟಿವ್) ಇರಬೇಕಾದರೆ, ಜಿ (x) ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಪಡೆದಿರಬೇಕು. ವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಯಿದ್ದಲ್ಲಿ ನಿಷ್ಪನ್ನವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಯಿದ್ದ ಮಾತ್ರಕ್ಕೆ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಇರುವುದೆಂಬ ನಿಯಮವೇನೂ ಇಲ್ಲ. ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ , x ಂ ಆದಾಗ ಜಿ (ಂ) = ಂ ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನ x = ಂ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆ ಪಡೆದಿದೆ. ಆದರೆ ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಬಳಿ ನಿಷ್ಪನ್ನವಿಲ್ಲವೆಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಉತ್ಪನ್ನ ನಕ್ಷೆ x = ಂ ಬಳಿ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಂದೋಳನಕ್ಕೆ ಸಿಕ್ಕಿ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲಬಿಂದುವಿಗೆ ಹೋಗಿ ಸೇರುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಸ್ಪರ್ಶರೇಖೆ ಇಲ್ಲ, ಎಂದರೆ ನಿಷ್ಪನ್ನವಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗುವುದು ಈ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ. x ನ ಇತರ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಏನೊಂದೂ ತೊಡಕೂ ಬರುವುದಿಲ್ಲ; ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆ ಮತ್ತು ನಿಷ್ಪನ್ನ ಇವೆ. 
ಎಲ್ಲ ಕಡೆಯೂ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆ ಪಡೆದು ಆದರೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ ನಿಷ್ಪನ್ನ ಪಡೆಯದ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವಯರ್‍ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಮೊದಲು ರಚಿಸಿದ. ಮತ್ತು ಆಗುವಂತೆ b ಒಂದು ವಿಷಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕ. ಈ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮೇಲಿನ ಗುಣವಿದೆ. ಈ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊರಗೆಡವಿದಾಗ ಕ್ರಾಂತಿಕಾರಕವಾದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಗಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಅನೇಕ ಭಾವನೆಗಳು ತಿದ್ದುಪಡಿ ಹೊಂದಿದುವು. ವಯರ್‍ಸ್ಟ್ರಾಸ್‍ನ ಈ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆಯೇ ಇಲ್ಲ.
ಈ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಅನಂತರ ಇಂಥ ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಇತರ ರೂಪಗಳುಳ್ಳ ಎಲ್ಲ ವಿಧದಲ್ಲಿಯೂ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಪಡೆದು ಎಲ್ಲಿಯೂ ನಿಷ್ಪನ್ನವಿಲ್ಲದಿರುವ ಅನೇಕಾನೇಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ, ಅವುಗಳ ಗುಣಗಳನ್ನು ವಿಮರ್ಶಿಸಿದ್ದಾರೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ
ಸಮಾಸಫಲ ಅಥವಾ ಸಮಾಸೀಯ (ಇಂಟೆಗ್ರಲ್)
ಉಲ್ಲೇಖ
ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಯಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಗುಣಗಳು