ಮೇಲೆ ನಮೂದಿಸಿರುವ ಆಲ್ಗಾರಿತಂನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಿಯಾವಿಧಾನವನ್ನು ಗ್ರಹಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ ಅದನ್ನು 79199 ಎಂಬ ಒಂದು ವಾಕ್ಯದ (ದತ್ತವಾಕ್ಯ) ಮೇಲೆ ಪ್ರಯೋಗಿಸಿ ನೋಡೋಣ. ಮಾರ್ಕಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವಿಧಿಪ್ರಯೋಗಗಳು ನಾಲ್ಕು ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ಬದ್ಧವಾಗಿರಬೇಕಾಗುವುದು : (ಚಿ) ಆಲ್ಗಾರಿತಂನಲ್ಲಿ ವಿಧಿಗಳನ್ನು ಯಾವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆಯೋ ಅದೇ ಆದ್ಯತೆಗನುಸಾರವಾಗಿ ಅವನ್ನು ವಾಕ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಯೋಗಿಸಲು ಯತ್ನಿಸತಕ್ಕದ್ದು. (b) ವಿಧಿಯೊಂದನ್ನು ಒಂದೇ ವಾಕ್ಯದ ಹಲವಾರು ವಿಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಯೋಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಆ ವಿಭಾಗಗಳ ಪೈಕಿ ಅತ್ಯಂತ ಬಲ (ಅಥವಾ ಎಡ) ಕಡೆಯಲ್ಲಿರುವುದರ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಯೋಗಿಸತಕ್ಕದ್ದು. (ಛಿ) ಪರಿಸಮಾಪಕಾಜ್ಞೆಯೊಂದನ್ನು ಪಾಲಿಸಿದ ಕೂಡಲೇ ಆಲ್ಗಾರಿತಂನ ಕ್ರಿಯಾಸರಣಿಯನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸತಕ್ಕದ್ದು ಮತ್ತು (ಜ) ಆಲ್ಗಾರಿತಂನಲ್ಲಿ ಪ್ರಯೋಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂಥ ವಿಧಿಗಳೇ ಇಲ್ಲದೆ ಹೋದಾಗ ಸಹ ಕ್ರಿಯಾಸರಣಿಯನ್ನು ಮುಕ್ತಾಯ ಮಾಡತಕ್ಕದ್ದು. 79199 ರಲ್ಲಿ P ಅಕ್ಷರವಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಅದರಮೇಲೆ ಮೇಲೆ ನಮೂದಿಸಿರುವ ಮೊದಲನೆಯ ಹನ್ನೊಂದು ವಿಧಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. (xii) ನೆಯ ವಿಧಿ ಪ್ರಯೋಗದಿಂದ ನಮ್ಮ 79199 ವಾಕ್ಯ 79199 ಎಂಬುದಾಗಿ ಪರಿವರ್ತನೆ ಹೊಂದುವುದು. ಈಗ 79199 ವಾಕ್ಯದ ಮೇಲೆ (i) ನೆಯ ವಿಧಿಯನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಬಹುದು. ಆ ಬಳಿಕ ಅದು7919Pಔ' ಎಂದಾಗುವುದು. ಇದರ ಮೇಲೆ ಮತ್ತೆ (i) ನೆಯ ವಿಧಿಯನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿ 791Pಔಔ ಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. 791Pಔಔ ಯನ್ನು (ix)ನೆಯ ವಿಧಿಪ್ರಯೋಗಕ್ಕೆ ಗುರಿಮಾಡಿದಾಗ [ಅದರ ಮೇಲೆ (i) ರಿಂದ (viii) ರವರೆಗೆ ಯಾವ ವಿಧಿಗಳನ್ನೂ ಪ್ರಯೋಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯ ವಾಗುವುದಿಲ್ಲವಷ್ಟೆ] ಅದು 79200 ಎಂಬ ವಾಕ್ಯವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡುತ್ತದೆ. (ix) ನೆಯ ವಿಧಿ ಪರಿಸಮಾಪಕವಾದ್ದರಿಂದ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಕ್ರಿಯೆ ಇಲ್ಲಿಗೆ ಮುಕ್ತಾಯವಾಗುವುದು. ಅಂದರೆ ನಮ್ಮ ಅಲ್ಗಾರಿತಂ 79199 ನ್ನು 79200ಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆಂದಾಯಿತು. ಈಗ 79199ನ್ನು ಎಂದಿನಂತೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯೆಂದು ಅರ್ಥ ಮಾಡಿದಾಗ79200 ಅದರ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯೆಂದು ನಮಗೆ ಹೊಳೆಯುತ್ತದೆ. ಈ ಅರ್ಥನಿರೂಪಣೆಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೂ ಅದರ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸುವುದು. ಆದರೆ ಆಲ್ಗಾರಿತಂನ ಶುದ್ದ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಇಂಥ ಅರ್ಥನಿರೂಪಣೆಗಳ ಆಸರೆ ಅನಗತ್ಯ. 79199ರ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಕ್ರಿಯೆ ಕೆಲವಷ್ಟು (ಅಂದರೆ ಸಾಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು) ಹೆಜ್ಚೆಗಳ ತರುವಾಯ ಅಂತ್ಯಗೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಈ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ 79199ಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯವಾಗುವುದೆಂದು (ಅಪ್ಲಿಕೆಬಲ್) ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಆದರೆ 9→9 ಎಂಬ ಏಕೈಕ (ಅಪರಿಸಮಾಪಕ) ವಿಧಿಯನ್ನೊಳಗೊಳ್ಳುವ ಮಾರ್ಕಫ್ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ 79199 ಅನ್ವಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಎಕೆಂದರೆ 79199 ರ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಪ್ರಯೋಗ ಅನಂತವಾಗಿ ಮತ್ತೆ ಮತ್ತೆ 79199 ಎಂಬ ವಾಕ್ಯಕ್ಕೆ ಪುನರ್ಜನ್ಮ ನೀಡುತ್ತ ಹೋಗುವುದು. (ದತ್ತವಾಕ್ಯವಾಗಿ 79199ರ ಬದಲು 78188 ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಲ್ಲಿ ಈ 9(9 ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಕೂಡ ಅನ್ವಯವಾಗುವುದೆಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ 78188ರ ಮೇಲೆ 9(9 ವಿಧಿಯನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲದಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ 78188 ನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಉಳಿಸಿಡುತ್ತದೆ).
ಮಾರ್ಕಫó ಆಲ್ಗಾರಿತಂಗಳ ಹಲವಾರು ರೀತಿಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಮಾರ್ಕಫ್ó ಆಲ್ಗಾರಿತಂಗಳಾಗಿಯೇ ಪುನಾರಚಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಐ ಎಂಬ ಮಾರ್ಕಫ್ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಕ ಖ ಘ óóಙ ಎಂಬ ದತ್ತವಾಕ್ಯವನ್ನು ಚ ಛ . .. ಝ ಞ ಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಿ. ಆ ಬಳಿಕ ಚ ಛ . . . ಝ ಞ ಮೇಲೆ ಒ ಎಂಬ ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಕಫ್ó ಆಲ್ಗಾರಿತಂನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದಾಗ ಅದು ಟ ಠ ಢ ಣ ಆಗಿ ಮಾರ್ಪಡಬಹುದು. ಈ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಕ ಖ. . . ಘ ಙ ವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಟ ಠ. . . ಢ ಣ ಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ ಕೊಡುವಂತೆ ಓ ಎಂಬ ಒಂದೇ ಒಂದು ಮಾರ್ಕಫ್ ಆಲ್ಗಾರಿತಂನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾರ್ಕಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆದಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಇಂಥ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿಯೇ ಬರಬರುತ್ತ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗತೊಡಗುವುವು. ಈ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಪೈಕಿ ಅತಿ ಮುಖ್ಯವಾದುವೆಂದರೆ ಮಾರ್ಕಫ್ ಸರ್ವತ್ರಿಕ ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಪ್ರಮೇಯ. ಪ್ರತಿ ಮಾರ್ಕಫ್ ಆಲ್ಗಾರಿತಂನಲ್ಲೂ ಹಲವಾರು ವಿಧಿಗಳಿರುತ್ತವಷ್ಟೆ. ಈಗ ಒಂದು ಕಡೆ ಈ ವಿಧಿಗಳ ಇಡೀ ಸಮುದಾಯವನ್ನೂ ಇನ್ನೊಂದು ಕಡೆ ಆಲ್ಗಾರಿತಂನ ಪ್ರಯೋಗಕ್ಕಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿರುವ ದತ್ತವಾಕ್ಯವನ್ನೂ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ ವಿಸ್ತøತ ಅಕ್ಷರಮಾಲೆಯೊಂದರಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸಂಯುಕ್ತ ವಾಕ್ಯವನ್ನಾಗಿ ಬರೆದಿಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, '79199'ನ್ನು ಅದರ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಆಲ್ಗಾರಿತಂನ ವಿಧಿಗಳನ್ನೂ '79199' ಎಂಬ ದತ್ತವಾಕ್ಯವನ್ನೂ ಕೆಳಗಿನ ನಮೂನೆಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ ಬರೆಯಬಹುದು :
ಂ9P→P0ಃSP→9ಃ7P→8ಃ6P→7ಃ. . .ಃIP
ಅಲ್ಗಾರಿತಂಗಳ ಪ್ರಯೋಗ
ಆಲ್ಗಾರಿತಂ ಉತ್ತರ
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ದೀರ್ಘ ಇತಿಹಾಸ
ಮಾರ್ಕಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ