ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಕೇತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಹರಿಸಿಕೊಂಡಿರಬೇಕಾದ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಉದ್ಧರಿಸಿ ಗಣಿತದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಶಾಖೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುವ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ದೊರೆತ ಫಲಮಂಜರಿಯೇ ಆಧುನಿಕ ಬೀಜಗಣಿತ. ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಐರಿಷ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಹ್ಯಮಿಲ್ಟನ್ (1805-1865) ಮತ್ತು ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಗ್ರಾಸ್‍ಮನ್ (1809-1977) ಇವರ ಚಿಂತನೆಯ ಫಲವಾಗಿ ಸುಮಾರು 1830-1840ರ ವೇಳೆಗೆ, ಈ ಬೀಜಗಣಿತ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಿತು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಚಿ+b = b+ಚಿ ಮತ್ತು ಚಿ.b = b.ಚಿ ಎಂಬ ಪರಿವರ್ತನೀಯ (ಕಾಮ್ಯುಟೇಟಿವ್) ನಿಯಮಗಳು ನಿಲ್ಲುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಈ ನಿಯಮಗಳು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ರಚಿಸುತ್ತಿದ್ದ ಸದಿಶಗಳ (ವೆಕ್ಟರ್ಸ್) ಮತ್ತು ಪರಿಭ್ರಮಣೆಗಳ (ರೊಟೇಷನ್ಸ್) ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ತಾಳೆಯಾಗಲಿಲ್ಲ. ಅನೇಕ ವರ್ಷಗಳ ಪರಿಶೋಧನೆ ಫಲಿಸದಿರಲು ಒಂದು ಸಲ ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನೇ ತ್ಯಜಿಸಬಾರದೇಕೆಂದು ಈತ ಯೋಚಿಸಿ ಒಂದ ಸಮಂಜಸ ಬೈಜಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (ಆಲ್ಜಿಬ್ರೈಕ್ ಸಿಸ್ಟಂ) ರಚಿಸಿದ. ಈ ಪರಿಶೋಧನೆಗಳಿಂದ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್‍ರ ಕ್ವೇಡರ್ನಿಯಾನ್‍ಗಳ ಅಪರಿವರ್ತನೀಯ (ನಾನ್ ಕಾಮ್ಯುಟೇಟಿವ್) ಬೀಜಗಣಿತ ರೂಪುಗೊಂಡಿತು. 1844ರಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಸ್‍ಮನ್ ವಿಸ್ತರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತ (Ausdehnungslehre) ಎಂಬ ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗ್ರಂಥವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದ; ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ನನ ಕ್ವೇಟರ್ನಿಯಾನ್ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ವಿವಿಧ ಬೀಜಗಣಿತ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಪಾದಿತವಾಗಿವೆ. 1857ರಲ್ಲಿ ಕೇಲಿ (1821-1895) ಕೋಶಗಳ (ಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್) ಒಂದು ಅಪರಿವರ್ತನೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ರಚಿಸಿದ. ಈ ಮೊದಲಿಗರ ಶ್ರಮದ ಫಲವಾಗಿ ವಾಡಿಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯಾವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಂಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಪರಿಕರ್ಮಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಪಾಲಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು ಎಲ್ಲ ಬೈಜಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪರಿಕರ್ಮಗಳಲ್ಲಿಯೂ ತಾಳೆಯಾಗಬೇಕೆಂಬ ಭಾವನೆಗಳು ಸಡಿಲಿಸಿದವು. ಇದೇ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಗೌಸ್ (1777-1855), ಬೊಲ್ಯಾಯ್ (1802-1860) ಮತ್ತು ಲೊಬಚೇವ್ಸ್ಕಿ (1793-1856) ಇವರುಗಳಿಂದ ರಚಿತವಾದ ಅಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ರೇಖಾಗಣಿತದ(ನೋಡಿ- ರೇಖಾಗಣಿತ)

ಸಂಕುಲಗಳು (ಗ್ರೂಪ್ಸ್)
ಸಂಕುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತ
ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆ
ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ (ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯನ್) ವಲಯಗಳ