ಭಾಗಾಕಾರ ವಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯದ ಅಪವರ್ತನಗಳಿರುವುದಿಲ್ಲವೆಂದೂ, ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೆಲ್ಲ ಅಂಕಮುಖ ಪ್ರಾಂತಗಳೆಂದೂ ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಾಗಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರ್ಯಾಪ್ತ ಅಂಕಮುಖಪ್ರಾಂತವೂ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರ.ವಲಯಗಳ ಸಮಾನರೂಪತ್ವವನ್ನು (ಹೋಮೊಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಫ್ó ರಿಂಗ್ಸ್) ಸಂಕುಲಗಳ ಸಂದರ್ಭದಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ( ವಲಯದಿಂದ ( ವಲಯಕ್ಕೆ ಚಿತ್ರಿಸುವ ( ಎಂಬ ಚಿತ್ರಣ ( ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲ ಅ , b ಗಳಿಗೂ ((( ( (ಚಿ(b) = ( ((( ( ( (b) ( ((( ( ((b( ( ( ((). ( (b) eಒb ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುವಂತಿದ್ದರೆ ( ಯನ್ನು ( ಯಿಂದ ( ಗೆ ಇರುವ ಸಮಾನರೂಪತ್ವವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ( ಚಿತ್ರಣದಲ್ಲಿ ಂನ ಶೂನ್ಯದ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಚಿತ್ರೀಕೃತವಾಗುವ ಂ ಯ ಎಲ್ಲ ಗಣಾಂಶಗಳ ಗಣವನ್ನು ( ಯ ಸಾರ (ಕರ್ನಲ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಏ( ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಏ(, ಂ ಯ ಉ ವಲಯ. ಮೇಲಾಗಿ ಞ( ಏ( ಮತ್ತು ಚಿ(ಂ ಆದರೆ, ಚಿಞ ಮತ್ತು ಞಚಿ ಗಳೆರಡೂ ಏ( ಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಗುಣವನ್ನನುಸರಿಸಿ ಮುಂದಿನ ಭಾವನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ : ಂ ವಲಯದ ಉಪವಲಯ U ಎಂಬುದರ ಯಾವ u ಆಗಲಿ ಚಿ(ಂ ಆದಾಗ ಎಲ್ಲ uಚಿ(U ಮತ್ತು ಚಿu(U ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ U ನ್ನು ಂ ಯ ಒಂದು ಆದರ್ಶ (ಐಡಿಯಲ್) ಉಪವಲಯವೆಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ; ಸಂಕ್ಷೇಪವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಆದರ್ಶ ಎನ್ನೋಣ. ವಲಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶಗಳು ಬಹು ಮುಖ್ಯ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ.
ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ರಚನೆಗಳು (ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯನ್ ಕನ್‍ಸ್ಟ್ರಕ್ಷನ್)
ಪರಿವರ್ತನೀಯ ಅರ್ಧಸಂಕುಲಗಳು
ಭಾಗಾಕಾರ ವಲಯ
ಆದಿಶ (ಸ್ಕೇಲಾರ್) ಗುಣಾಕಾರ