ಹಲವು ಅಸಂಖ್ಯಾತವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಪರಿಚಿತ ಪುರಾತನ ರುಜುವಾತು "ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಸಿದ್ಧಾಂತ" ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಗ್ರೀಕ ಗಣಿತಜ್ಞ ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಕಾರಣ. ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಪ್ರಕಾರ "ಯಾವುದೇ [ಸೀಮಿತ] ಕೊಟ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಇವೆ" ಮತ್ತು ಅವರ ಅಗತ್ಯವಾದ ರುಜುವಾತು ಈ ರೀತಿ ಇದೆ: 
ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎಲ್ಲವನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ೧ ಅನ್ನು ಕೂಡಿರಿ (ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ ಸಂಖ್ಯೆ ನೋಡಿ). ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿ ಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆ ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಂದ ಭಾಜ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರಿಂದಲೂ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಶೇಷ ೧ ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಆಧಾರವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಅವಾಗ ಈ ಪರಿಣಾಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇವು ಪರಿಣಾಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಬಲ್ಲದ ಆದರೆ ಆರಂಭದ ಸೀಮಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿರಬಹುದು. ಈ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯಾದರೂ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಆರಂಭಿಸಿದ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಕನಿಷ್ಟ ಇನ್ನೊಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಿದೆ. ನಾವು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪನ್ನು ಆರಂಭಿಸಿದರೂ ಈ ವಾದ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದರಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ. (ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌, "ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್" : ಪುಸ್ತಕ IX, ಪ್ರತಿಪಾದನೆ ೨೦) 
ಯಾಕೆ ಸೀಮಿತ ಹಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಗುಣಿಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶ "P" ಅನ್ನು ೧ರಿಂದ ಕೂಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ (ಪ್ರಾಯಶಃ ಅದರಿಂದಲೇ) ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಹಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಅಲ್ಲದೆ ಭಾಜಿಸಬಲ್ಲದಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಈ ಹಿಂದಿನ ವಾದ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. 
ಈ ರುಜುವಾತನ್ನು ಕೆಲವು ಸಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಸಿದ ರೀತಿಯು ಓದುಗರು ತಪ್ಪಾಗಿ ಆಲೋಚಿಸಲು ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಓದುಗರು "P" + ೧ ಯೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಆಲೋಚಿಸುತ್ತಾರೆ ಹಾಗೂ ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ೧ ಅನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಅದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಆಲೋಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ಗೊಂದಲವು ನಿರಾಕರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ ರುಜುವಾತನ್ನು ನೀಡಿದ ಮೇಲೆ ಹುಟ್ಟುತ್ತದೆ ಹಾಗೂ "P" ಯನ್ನು ಎಲ್ಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದೆ ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯರಿಂದ ಭಾಜ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ ಅದು ಯಾವ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದಲೂ ಭಾಜ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು "ಈ ಕಾರಣದಿಂದ ಅದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ" ಎಂದು ಆಮೇಲೆ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದರು (G.H. ಹಾರ್ಡಿ ಹೇಳಿಕೆ). ಇದು ಕೆಲವು ಸಲ ಓದುಗರಿಗೆ ತಪ್ಪು ತೀರ್ಮಾನದತ್ತ ದಾರಿ ತೋರುತ್ತದೆ, ಅದು ಏನೆಂದರೆ "P" ಮೊದಲ "n" ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಗುಣಾಕಾರವಿದ್ದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ. ಆ ತೀರ್ಮಾನವು ನಂತರದಲ್ಲಿ ತಪ್ಪು ಎಂದು ರುಜುವಾತಾದ ಒಂದು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಮೇಲೆ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಹಾಗಾಗಿ ಇದು ರುಜುವಾತಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಮ್ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಂದು ವಿರುದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ 
ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಅಪರಿಮಿತತೆಯ ಕುರಿತು ಇನ್ನೂ ಹಲವು ರುಜುವಾತುಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ. ಎಲ್ಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಬದಲಿಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಕೂಡಿದಾಗ ಬರುವ ಫಲಿತಾಂಶ ಬೇರೆಯಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುವ ಅಪರಿಮಿತ ಸರಣಿ:
ಆ ಹೇಳಿಕೆಯ ರುಜುವಾತಿಗೆ ಕಾರಣ ಯೂಲರ್ ಆಗಿದ್ದಾನೆ. ಇನ್ನು ನಿರ್ಧಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, "S" ("x" ) ಎಲ್ಲ "p" ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಅನುಗುಣಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಕೂಡಿದಾಗ ಬರುವ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ "p" ≤ "x" ಜೊತೆಗೆ, ಅವಾಗ 
ಇನ್ನೊಂದು ರುಜುವಾತನ್ನು ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಸಂಖ್ಯೆ‌ಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಗೊಲ್ಡ್‌ಬಾಕ್‌ರವರು ನೀಡಿದರು.
ಕುಮ್ಮರ್‌ನ ರುಜುವಾತು ನಿರ್ಧಿಷ್ಟವಾಗಿ ನಾಜೂಕಾಗಿದ್ದು, ಹ್ಯಾರಿ ಫರ್ಸ್ಟೆಬರ್ಗ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಂತಿಜಾಲವನ್ನು ಬಳಸಿ ಒಂದು ರುಜುವಾತನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ.
ಬರೀ ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿ ಹಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಇರದೆ, ಡಿರಿಕ್ಲೆಟ್‌ನ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಣಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಇದನ್ನು ಕೂಡ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಣಿ "a" , … ಇಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು "a" ಹಾಗೂ "q" ಸಹ‌ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಹಾಗೂ ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿ ಹಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ ಕ್ರಮವಿಲ್ಲದ ಉದ್ದ ಸರಣಿಗಳಿವೆ ಎಂದು ಇತ್ತೀಚಿನ ಗ್ರೀನ್-ಟಾವ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು
ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ
ಸಂಖ್ಯೆ ಒಂದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆ
ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಇತರೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಗತಿಗಳು