இரு அமைப்புகள் (கணிதத்திலோ அல்லது இயற்பியல் முதலிய இதர துறைகளிலோ) ஓருரு அமைவுடையவை என்று அடையாளம் காட்டுவதற்கு மாத்திரம் அமைப்பு என்ற கருத்து ஏற்படவில்லை. கணிதத்திலேயே பல உட்துறைகளிலும், பல பிரச்சினைகளிலும் தொடரப்படும் வாதங்களிலுள்ள ஒற்றுமையை பயன் படுத்தி அவைகளை பண்பளவில் உயர்த்தி, அவ்வுயர்ந்த தளத்தில் செய்யப்படும் ஒரே வாதத்தினால் கீழ்த்தளத்திலுள்ள பல சந்தர்ப்பங்களுக்கும் ஒரே அடியில் முடிவு சொல்ல பயன் பட்டது. இதற்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டைப் பார்ப்போம்.

கெய்லி(1821 - 1895) என்னும் கணிதவியலாளர் ஒவ்வொரு அணிக்கும் நேர்மாற்று அணி தனித்தன்மை வாய்ந்தது என்று நிறுவினார். வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளில் (Differential Equations) பல சந்தர்ப்பங்களில் காலப்போக்கில் வேறு வேறு கணித ஆய்வாளர்கள் அந்தந்த சமன்பாடுகளுக்கு அவர்கள் கண்டுபிடித்த விடைகள் தனித்தன்மை வாய்ந்தவை என்று பல்வேறு முறைகளைக் கையாண்டு நிறுவினர். இவைகளெல்லாமே ஒரே வாதத்தின் நிழல்கள்தாம் என்பது ‘குலம்’ என்ற அமைப்பை ஆராய்ந்தபோது தெரிய வந்தது.

ஒரு குலத்தில் ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் நேர்மாற்றுறுப்பு தனித்தன்மை வாய்ந்தது என்ற நிறுவல் மேற்சொன்ன பல நிறுவல்களையும் ஒன்று படுத்துகிறது. அந்த உயர்தள நிறுவலைக் கீழே காணலாம்.

"x’ , x’’" இரண்டு உறுப்புகள் G இல் "x" இன் மாற்றுறுப்பு 
" x" இனுடைய இயல்பாகிற (G5) ஐ பெற்றிருக்கு மானால்,

"x’ * x" = "e" = "x * x’"
மற்றும்,
"x’’ * x" = "e" = "x * x’’"
ஆக,

"x’ = e * x’ = (x’’ * x ) * x’ = x’’ * (x * x’) = x’’ * e = x’’."

இதனால் நமக்குத்தெரிவது, குலம் G இல் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் உள்ள மாற்றுறுப்பு தனித்தன்மையுடையது. ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் மாற்றுறுப்பு இருக்கவேண்டும் என்பது ‘குலம்’ என்பதன் வரையறை. அம்மாற்றுறுப்பு ஒன்றுக்குமேல் இருக்கமுடியாது என்பது குலத்தின் ஐந்து விதிகளிலிருந்து உருவாகும் ஒரு கிளைத்தேற்றம். இன்னும் பற்பல தேற்றங்கள் உருவாகலாம். இந்த வழியில் ‘குலம்’ என்பதை பண்பியல் தளத்தில் ஆராய்ச்சி செய்ததால் கிடைத்த முடிவுகள் எல்லாம் சேர்ந்து தான் குலக் கோட்பாடு (Group Theory) என்று கணிதத்தின் ஒரு பெரிய கிளைத்துறையாக இன்று நடமாடுகிறது.

குலம்
ஓருரு அமைவு (Isomorphism)
மற்ற பல அமைப்புகள்
‘அமைப்பு’ என்ற கருத்து எதற்கு?