ஒரு சமன்பாட்டின் தீர்வுகளைப் பாதிக்காத வண்ணம் அச்சமன்பாட்டின் இருபுறங்களையும் ஒரே கோவையால் பெருக்கலாம் என்பது இயற்கணிதத்தின் அடிப்படைக் கருத்து. ஆனால் இது எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும் பொருந்துவதில்லை. சில கோவைகளால் ஒரு சமன்பாட்டின் இருபுறமும் பெருக்குவதால் அச்சமன்பாட்டிற்குப் பொருத்தமில்லாத கூடுதல் தீர்வுகள் கிடைக்கக் கூடும்.

எடுத்துக்காட்டு:


இது "x" -ன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் இது பொருந்தும் என்பதால் எல்லா மெய்யெண்களும் தீர்வுகளாகும். மேலே தரப்பட்டச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் எல்லா மெய்யெண்களும் அல்ல. அதன் தீர்வு :formula_3 மட்டுமே. இதற்குக் காரணம் பூச்சியத்தால் பெருக்கும் செயலுக்கு நேர்மாறுச் செயல் கிடையாது. அதாவது பூச்சியத்தால் வகுத்தல் என்பது சாத்தியமானதல்ல.


இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டின் இரண்டு தீர்வுகள் −2 மற்றும் 0. ஆனால் 0 என "x" -க்கு தரப்பட்ட சமன்பாட்டில் பிரதியிட, 2 = 0 என்ற பொருளற்ற முடிவு கிடைக்கும். எனவே "x"=0 அதன் தீர்வு இல்லை.

பொதுவாக ஒரு சமன்பாட்டின் இருபுறமும் பெருக்கும் கோவையின் (மாறிகளில் அமைந்த)) மதிப்பு பூச்சியமாகும்போது அச்சமன்பாட்டிற்குப் புறம்பான தீர்வுகள் கிடைக்கின்றன. ஆனால் இது போதுமான கருத்தாக அமையாது. ஏனென்றால் பெருக்கப்படும் கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமாகும் போது கிடைக்கும் தீர்வு அச்சமன்பாட்டின் உண்மையான தீர்வாகவும் அமையலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

மேலே தரப்பட்ட அதே சமன்பட்டின் இருபுறமும் "x" + 2. கோவையால் பெருக்க:

இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு x = −2, என்ற ஒரேயொரு மெய்யெண் தீர்வு உள்ளது. மேலும் இது தரப்பட்டச் சமன்பாட்டின் தீர்வாகவும் உள்ளது. x = −2 எனும்போது "x" + 2 -ன் மதிப்பு பூச்சியமென்றாலும் இத்தீர்வை சமன்பாட்டின் புறம்பான தீர்வு எனக் கூற முடியாது.

புறம்பான தீர்வுகள் -பெருக்கல்
பிற செயல்கள்
விடுபட்ட தீர்வுகள்: வகுத்தல்
புறம்பான தீர்வுகள் -விகிதமுறு வடிவ சமன்பாடுகள்