"f" என்பது R (அல்லது ஒரு திறந்த இடைவெளி) மீதான வகையிடத்தக்க சார்பு மற்றும் "x" என்பது "f" இன் இடஞ்சார்ந்த பெருமம் அல்லது இடஞ்சார்ந்த சிறுமம் எனக் கொண்டால் "x" இல் "f" இன் வகைக்கெழு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். இதில் புள்ளிகள் "f" '("x" ) = 0 மாறுநிலைப் புள்ளிகள் அல்லது "நிலைப் புள்ளிகள்" (மேலும் "x" இல் "f" இன் மதிப்பு "மாறுநிலை மதிப்பு" என அழைக்கப்படுகிறது) என்று அழைக்கப்படுகின்றன. (மாறுநிலைப் புள்ளியின் வரையறை சிலநேரங்களில் வகைக்கெழு நிலவ இயலாத புள்ளிகள் உள்ளிட்ட புள்ளிகளுக்கு விரிவடைகிறது.) மாறாக "f" இன் மாறுநிலைப் புள்ளி "x" ஆனது "x" இல் "f" இன் இரண்டாவது வகைக்கெழுவாகக் கருதப்படுவதன் மூலமாக பகுக்கப்படலாம்:
இது இரண்டாம் வகைக்கெழு சோதனை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இதற்கு மாற்று அணுகுமுறை முதல் வகைக்கெழு சோதனை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது மாறுநிலைப் புள்ளியின் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் மீதும் "f" இன் குறியீடைக் கருதுவது தொடர்புடையதாக இருக்கிறது.

வகைக்கெழுக்களை எடுத்து மாறுநிலைப் புள்ளிகளுக்காக தீர்வு காண்பது என்பது பொதுவாக உகமத்தில் பயன் நிறைந்ததாக இருக்கும் இடஞ்சார்ந்த மீச்சிறுமதிப்பு அல்லது மீப்பெருமதிப்பினை எளிதாகக் கண்டறிவதற்கான வழியாக இருக்கிறது. முகட்டு மதிப்புத் தேற்றம் மூலமாக மூடிய இடைவெளி மீதான தொடர் சார்பானது ஒரு முறையாவது அதன் மீச்சிறுமதிப்பு மற்றும் மீப்பெருமதிப்பை அடைய வேண்டும். சார்பானது வகையிடத்தக்கதாக இருந்தால் மீச்சிறுமதிப்பு மற்றும் மீப்பெருமதிப்பு ஆகியவை மாறுநிலைப் புள்ளிகள் அல்லது இறுதிப் புள்ளிகளில் மட்டுமே ஏற்படும்.

இது வளைவரை வரைதலிலும் பயன்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கிறது. வகையிடத்தக்க சார்பின் இடஞ்சார்ந்த மீச்சிறுமதிப்பு மற்றும் மீப்பெருமதிப்பு கண்டறியப்பட்டவுடன் வளைவரையின் தோராயத் திட்டம் கவனிப்பில் இருந்து கிடைக்கலாம். அது மாறுநிலைப் புள்ளிகளுக்கு இடையில் அதிகரிப்பதாகவோ அல்லது குறைவதாகவோ இருக்கும்.

உயர் பரிமாணங்களில் ஸ்கேலார் மதிப்புடைய சார்பின் மாறுநிலைப் புள்ளியானது சாய்வு விகிதம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் இடத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியாகும். இரண்டாம் வகைக்கெழு சோதனையானது மாறுநிலைப் புள்ளியில் சார்பின் இரண்டாம் பகுதியளவு வகைக்கெழுக்களின் ஹெஸ்ஸியன் அணியின் ஈகன் மதிப்புகளாகக் கருதப்படுவதன் மூலமாக மாறுநிலைப் புள்ளிகளை ஆய்வு செய்வதற்கு இன்றும் பயன்படுத்தப்படலாம். அனைத்து ஈகன் மதிப்புகளும் நேர்மறையாக இருந்தால் புள்ளியானது இடஞ்சார்ந்த மீச்சிறுமதிப்புடையதாக இருக்கும். அனைத்து ஈகன் மதிப்புகளும் எதிர்மறையாக இருந்தால் புள்ளியானது இடஞ்சார்ந்த மீப்பெருமதிப்புடையதாக இருக்கும். சில நேர்மறை மற்றும் சில எதிர்மறை ஈகன் மதிப்புகள் இருந்தால் மாறுநிலைப் புள்ளியானது சேணப்புள்ளியாக இருக்கும். மேலும் இதில் எந்த நிலைகளும் ஏற்படாவிட்டால் (அதாவது ஈகன் மதிப்புகளில் சில பூஜ்ஜியமாக இருந்தால்) சோதனையானது முடிவுறாததாக இருக்கும்.

உகமம்
வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள்
டெய்லர் பல்லுறுப்புக் கோவைகள் மற்றும் டெய்லர் தொடர்
வகைக்கெழுக்களின் பயன்பாடுகள்