பரவளையத்தின் இயக்குவரையின் சமன்பாடு: "x" = −"p"; குவியம் ("p", 0) மற்றும் பரவளையத்தின் மீது ஏதேனும் ஒரு புள்ளி ("x", "y") எனில்:

பாப்பசின் பரவளைய வரையறைப்படி, புள்ளிக்கும் குவியத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரமும் அப்புள்ளிக்கும் இயக்குவரைக்கும் இடையேயுள்ள தூரமும் சமமாக இருக்கும்.

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்திச் சுருக்க:

இதுவே பரவளையத்தின் சமன்பாடாகும். இச்சமன்பாட்டில் "x" மற்றும் "y" இரண்டையும் பரிமாற்றக் கிடைக்கும் சமன்பாடு தருவது நிலைக்குத்து அச்சினைக் கொண்ட பரவளையம். 

பரவளையத்தின் உச்சியை ஆதியாக மட்டுமல்லாமல் வேறு ஏதேனுமொரு புள்ளி ("h", "k") ஆக எடுத்துக் கொண்டால் நிலைக்குத்து அச்சு கொண்ட பரவளைவின் சமன்பாடு:

இச்சமன்பாட்டைப் பின்வருமாறும் கொள்ளலாம்:

எனவே "x" இல் அமைந்த இருபடிச் சார்பின் வரைபடம் நிலைக்குத்து அச்சினைக் கொண்டதொரு பரவளையமாகும்.

பொதுவாக பரவளையமானது கார்ட்டீசியன் தளத்தில் பின்வரும் சமன்பாட்டால் (தரப்பட்டக் கட்டுப்பாட்டுக்கு உட்பட்டு) குறிக்கப்படும்:

இச்சமன்பாடு பரவளைவைக் குறிப்பதற்குத் தேவையான கட்டுப்பாடு:

இச்சமன்பாட்டின் கெழுக்கள் எல்லாம் மெய்யெண்கள். மேலும் "A" மற்றும் "C" இரண்டும் ஒரே சமயத்தில் பூச்சியமாக இருக்காது. 

இச்சமன்பாடு பரவளைவைக் குறிக்க, இரு நேரியல் சமன்பாடுகளாகக் காரணிப்படுத்த இயலாத ஒன்றாக இருக்க வேண்டும். பின்வரும் 3×3 அணிக்கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமாக இல்லாமல் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே மேலே தரப்பட்ட சமன்பாட்டினைப் பிரிக்க முடியாது.

அவ்வாறு பிரிக்கக் கூடியதாயின் அச்சமன்பாடு இரட்டைக் கோடுகளைக் குறிக்கும். அவ்விரண்டு கோடுகளும் இணையான, கற்பனையான அல்லது ஒன்றோடொன்று பொருந்தும் கோடுகளாக அமையலாம்.

கிடைமட்ட சமச்சீர் அச்சுடைய பரவளையம்
சமன்பாடு-கார்ட்டீசியன் ஆள்கூறுகளில்
பொது வடிவம்
நிலைக்குத்து சமச்சீர் அச்சுடைய பரவளையம்