கீழேதரப்பட்டுள்ளபடி அப்பொலொனியசின் கணக்கிற்கு பத்து சிறப்புவகைகள் உள்ளன. இவ்வகைகள், எடுத்துக்கொள்ளப்படும் மூன்று வடிவவியல் பொருள்களின் தன்மையைப் பொறுத்து அமைகின்றன. மூன்று பொருட்கள், வட்டம் (C), கோடு (L), புள்ளி (P) ஆகிய ஏதாவது ஒன்றாக அமையலாம். அவற்றின் அமைவுகளைப் பொறுத்து பத்து சிறப்புவகைகளும் குறிக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று வடிவவியல் பொருட்களில் இரண்டு வட்டமாகவும் ஒன்று புள்ளியாகவும் இருப்பின் அவ்வகையின் குறியீடு CCP. வியேட் பத்து வகைகளுக்கும் கவராயமும் நேர்விளிம்பும் மட்டுமே கொண்டு காணக்கூடிய தீர்வுகளைக் கண்டறிந்தார். எளிதான வகைகளின் தீர்வுகளை முதலில் கண்டு, பின்னர் அதனைப் பயன்படுத்தி சிக்கலான வகைகளின் தீர்வுகளைக் கண்டார்.
வியேட் முதலில் PPP வகைக்குத் தீர்வு காண (மூன்று புள்ளிகள்) யூக்ளிடின் படைப்பான "எலிமெண்ட்சிலுள்ள" முறையைக் கையாண்டார். அத்தீர்விலிருந்து ஒரு புள்ளியின் படி தேற்றத்துக்கு ஒத்ததாக ஒரு முற்கோளை (lemma) உருவாக்கி அதன் மூலம் LPP வகைக்குத் தீர்வு கண்டார். மீண்டும் யூக்ளிடைப் பின்பற்றி கோண இருசமவெட்டிகளைப் பயன்படுத்தி LLL வகைக்குத் தீர்வு கண்டார். பின்னர் ஒரு புள்ளி வழியேச் செல்லும் கோண இருசமவெட்டிக்குச் செங்குத்துக் கோடு வரையும் முறைகாண ஒரு முற்கோளை உருவாக்கினார். அதனைப் பயன்படுத்தி LLP வகைக்குத் தீர்வு கண்டுபிடித்தார். இந்நான்கு வகைகளும் வட்டங்களில்லாமல் அமைந்த முதல் நான்கு வகைகளாகும்.

மீதமுள்ள வகைகளைத் தீர்ப்பதற்கு தரப்பட்ட வட்டங்களையும் அவற்றின் தீர்வு வட்டங்களையும் தொடுநிலைவிதம் மாறாமல் அளவு மாற்றும் முறையைப் பயன்படுத்தினார். (படம் 4). தீர்வு வட்டத்தின் ஆரம் Δ"r" அளவு மாற்றப்பட்டால், தரப்பட்ட வட்டங்களில் உட்புறமாகத் தொடும் வட்டங்களின் ஆரம் Δ"r" அளவும், வெளிப்புறமாகத் தொடும் வட்டங்களின் ஆரம் −Δ"r" அளவும் மாற்றப்பட வேண்டும். அதாவது தீர்வு வட்டம் பெரிதாகும் போது தொடுநிலை மாறாமல் இருப்பதற்காகத் தரப்பட்ட வட்டங்களில், உட்தொடு வட்டங்கள் விரியும்; வெளித்தொடு வட்டங்கள் சுருங்கும்.

மீதமுள்ள ஆறு வகைககள்:


தீர்க்கப்பட்டன.

ஏட்ரியான் வோன் ரூமெனின் (1596) தீர்வு முறை
இயற்கணித தீர்வுகள்
கூற்று
ஃபிரான்சுவா வியேட்டின் தீர்வு