முதல் formula_13 நேர்ம முழு எண்களில் எவ்வளவு எண்கள் பகாத்தனிகளாக இருக்கும்? இந்த எண்ணிக்கையை formula_14) என்று அழைப்பது வழக்கம். இதற்கு ஒரு தோராய மதிப்பை லெஜாண்டர் (1752-1833) 1796 இல் யூகமாக உலகின் முன்வைத்தார். அது பகா எண் தேற்றம் (Prime Number Theorem அல்லது PNT) என்ற பெயரில் இன்று புழங்கி வருகிறது. இதை 1898 இல் தனித்தனியே நிறுவியவர்கள் ஹாடமார்டும் டெ லா வாலி புவாஸான் என்பவரும். இதன்படி

formula_15 இன் தோராய மதிப்பு formula_16. அதாவது, formula_13 முடிவிலியை நோக்கி ஒருங்கும்போது,

இந்த நிறுவலில் ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் முக்கியமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. 1948 இல் ஸெல்பர்க், பால் ஏர்டோசு இருவரும் சேர்ந்து இதற்கு ஒரு மாற்று நிறுவல் கொடுத்தார்கள். அதில் ரீமான் ஜீட்டா சார்பின் தேவையில்லை. அதனால் இதற்கு 'பகா எண் தேற்றத்தின் சாதாரண நிறுவல்' (Elementary Proof of PNT) என்று பெயர் வந்தது. இதற்காக ஸெல்பர்க்கிற்கு ஃபீல்ட்ஸ் பதக்கம் 1950 இல் வழங்கப்பட்டது.

பகா எண்களின் பெருக்கல்
பகா எண்களின் எண்ணிக்கை
இலக்கியங்களிலும் கலைகளிலும்
ஃபெர்மா பகாத்தனி