காண்டிய உடன்பாடு அந்த நேரத்தில் நடைமுறையில் இருந்ததென்றாலும், யூக்லிடியன் அல்லாத வடிவகணிதங்கள் முறைப்படுத்தப்பட்டவுடன் பௌதீக பரவெளி வளைந்திருக்கிறதா இல்லையா என்பது குறித்து சிலர் சந்தேகம்கொள்ளத் தொடங்கினர். ஜெர்மானிய கணிதவியலாளரான கார்ல் ஃபிரெடெரிக் காஸ் பரவெளியின் வடிவகணித கட்டமைப்பின் அனுபவவாத விசாரணையை கவனத்தில் கொண்ட முதலாமவராக கருதப்படுகிறார். அவர் எண்ணிலடங்காத விண்மீன் கூட்ட முக்கோணத்தினுடைய கோணங்களின் கூடுதல் என்ற சோதனையை செய்ய எண்ணினார் என்பதோடு உண்மையில் அவர் அந்த சோதனையை ஜெர்மனியில் உள்ள மலை உச்சிகளை முக்கோணமாக்கி சிறிய அளவில் செய்துபார்த்திருக்கிறார் என்ற செய்தியும் இருக்கிறது.

19 ஆம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியைச் சேர்ந்த இயற்பியலாளரும் கணிதவியலாளருமான ஹென்றி பியான்கேரி பரவெளிக்கு பயன்படுத்தப்படுப்படுகிற வடிவகணித பரிசோதனையின் மூலம் கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கின்ற எதுவும் பயனற்றதே என்று நிரூபிப்பதற்கான முயற்சியாக ஒரு முக்கியமான கூர்நோக்கு ஒன்றை அறிமுகப்படுத்தியிருக்கிறார். அறிவியலாளர்கள் கோள-உலகம் எனப்படும் குறிப்பிட்ட உடைமைப்பொருள்களைக் கொண்டு பெரும் கற்பனை வாய்ந்த ஒரு பெரிய கோளத்தின் மேல்தளத்தோடு எல்லைக்குட்படுத்திக்கொள்கிறார்கள் என்றால் அவர்கள் இந்த சிக்கலான நிலையை எதிர்கொள்ள வேண்டியிருக்கும் என்றும் கருதினார். இந்த உலகத்தில், கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படும் வெப்பநிலை எல்லா பொருள்களும் விரிவடையும் முறையிலேயே எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது என்பதுடன் கோளத்திலுள்ள வேறுபட்ட இடங்களில் இதேபோன்ற சரிவிகிதங்களில் உடன்பாட்டையும் ஏற்படுத்திக்கொள்கிறது. வெப்பநிலையில் ஏற்படும் பொருத்தமான வீழச்சியுறுதலால், ஒரு முக்கோணத்தில் உள்ள கோணங்களின் கூடுதலைத் தீர்மானிப்பதற்கு அளவிடு கோல்களை அறிவியலாளர்கள் பயன்படுத்துகிறார்கள் என்றால் அவை கோள சமதளத்தைக் காட்டிலும் ஒரு சமதளத்திலேயே ஏற்றப்படுவை என்ற சிந்தனையால் அவர்கள் பீடிக்கப்படுவார்கள். உண்மையில், அறிவியலாளர்களால் கொள்கையளவில் அவை ஒரு சமதளத்தில் ஏற்றப்படுகின்றனவா அல்லது கோளத்தில் ஏற்றப்படுகின்றனவா என்பதைத் தீர்மானிக்க இயலாது, அத்துடன் உண்மையான பரவெளி யூக்லிடியனா இல்லையா என்ற விவாதத்திற்கும் இதே நிலைதான் என்று பியான்கேரி வாதிடுகிறார். அவரைப் பொறுத்தவரை இது பரவெளியை விளக்க வடிவகணிதம் பயன்படுத்தப்படும் பழமையான முறை என்பதே விஷயம். யூக்லிடியன் வடிவகணிதம் யூக்லிடியன்-அல்லாத வடிவகணிதத்தைக் காட்டிலும் எளிதானது என்பதால் முந்தைய வாதமானது உலகின் 'உண்மையான' வடிவகணிதத்தை விளக்குவதற்கு பயன்படுத்தப்படலாம் என்று அனுமானிக்கிறார்.

கணிதம்
காஸ் மற்றும் பியான்கேரி
இடம்சார் அளவீடு
லெப்னிஸ் மற்றும் நியூட்டன்