இராமானுஜனுடைய கணிதமேதையை எடுத்துக்காட்டுவதற்காக ஒரு சின்னஞ்சிறு துளியை கீழே காண்போம்.

முனைவர் பி.சி. மஹலனொபிஸ் என்பவர் நேரு காலத்தில் இந்தியாவின் ஐந்தாண்டுத் திட்டங்களைத் தீட்டியவர். அவர் இராமானுஜன் கேம்பிரிட்ஜில் வசித்த காலத்தில் அவரும் அங்கு படித்துக் கொண்டிருந்தார். இராமானுஜனுடைய நண்பர். இருவரும் அடிக்கடி சந்திப்பதுண்டு. ஒருநாள் இராமானுஜன் அவரை தன் விடுதிக்கு மதிய உணவருந்த கூப்பிட்டிருந்தார். இராமானுஜன் சமையல் அடுப்பருகில் வேலையில் ஈடுபட்டிருந்ததால், வந்தவர் இருக்கையில் அமர்ந்து ஸ்டிராண்ட் பத்திரிகையைப் புரட்டிக் கொண்டிருந்தார். அதனில் ஒரு கணிதப் புதிர் இருந்தது. அப்பொழுது முதலாவது உலகப்போர் நடந்துகொண்டிருந்த சமயம். “பாரிஸ் நகரில் ஒரே தெருவில் இரண்டு வீடுகளில் இரண்டு அதிகாரிகள் கைதுசெய்யப்பட்டனர்; வீட்டு கதவிலக்கங்கள் தெரியவில்லை, ஆனால் இரண்டு இலக்கங்களினூடே ஒரு கணிதத் தொடர்பு இருக்கிறது, கதவிலக்கங்கள் என்னவாக இருக்கும்?” இதுதான் புதிர். சிறிது நேரம் யோசித்ததில் மஹலனோபிஸ்சுக்கு விடை புரிந்துவிட்டது.
அவர் பரபரப்புடன் அதை இராமானுஜனுடன் பகிர்ந்துகொள்ள விருப்பப் பட்டார். இராமானுஜன் சாம்பாரை கலக்கிவிட்டுக் கொண்டே, ‘சொல்லுங்கள் கேட்போம்’ என்றார். மஹலனோபிஸ் பிர்ச்சினையை எடுத்துரைத்தார். அவர் தன் விடையைச் சொல்லுமுன்பே இராமானுஜன், ‘சரி, இந்த தொடர் பின்னத்தைக் குறித்துக் கொள்ளுங்கள்’ என்று ஒரு தொடர் பின்னத்தைக் கூறி அதுதான் விடை என்றார்.

இது நமக்குப் புரிவதற்கு ஸ்டிராண்ட் பத்திரிகையில் இருந்த புதிரின் விபரம் தான் என்ன என்று தெரியவேண்டும். ஆனால் அவ்விபரம் கிடைக்கவில்லை. இருந்தாலும் இராமானுஜனின் மின்னல்வேக விடையைப் புரிந்து கொள்வதற்கு நாமாகவே அப்பத்திரிகைப் புதிர் என்ன மாதிரியில் இருந்திருக்கும் என்று ஊகிக்கலாம். இரண்டு கதவிலக்கங்களைக் கண்டுபிடிப்பது தான் பிரச்சினை. கதவிலக்கங்களை x, y என்று அழைப்போம். அவைகளுக்குள் இருந்த தொடர்பையும் நாம் இப்படி வைத்துக் கொள்ளலாம்:

formula_1

மஹலனோபிஸ் இதைப் பார்த்ததும் ஓரிரண்டு எண்களைப் பொருத்திப் பார்த்தார். x = 3, y = 1 என்ற விடை கிடைத்தது, கிடைத்தவுடன் இராமானுஜனுக்கு சொல்லத் தொடங்கிவிட்டார். ஆனால் இராமானுஜன் பிர்ச்சினையைக் கேட்டவுடனேயே, சாம்பாரைக் கலக்கிக்கொண்டே, இதன் விடை ஒரு தொடர் பின்னத்தில் இருக்கிறது என்று கீழ்வரும் தொடர் பின்னத்தை சொன்னார்:

formula_2

இதன் பொருளை இராமானுஜனே விளக்கினார்.

இத்தொடர்பின்னத்தின் ஒவ்வொரு ஒருங்கும் ஒவ்வொருவிடையாகும். முதலாவது ஒருங்கு 3/1. x = 3, y = 1 என்பது முதல் விடை. இராமானுஜனுடைய் தொடர்பின்னவிடை அந்தத்தெருவில் முடிவிலாத எண்ணிக்கையில் வீடுகள் இருப்பதாக வைத்துக்கொண்டு, மஹலனொபிஸின் ஒரே விடைக்கு பதிலாக முடிவுறா எண்ணிக்கையில், தொடர்ந்து பல சரியான விடைகள் கொடுக்கின்றன. ஆக, மேற்படி தொடர்பின்னத்தின் 2வது ஒருங்கு

3 + 1/6 = 19/6.

x =19, y = 6 இரண்டாவது விடை.

formula_3

மூன்றாவது ஒருங்கு:

formula_4

இது கொடுக்கும் விடை: x = 117, y = 37

இதுவும் ஒரு சரியான விடைதான்.

நான்காவது ஒருங்கு 721/228. x = 721 y = 228.

இப்படியே போகிறது இராமானுஜனின் தொடர்பின்ன விடை. இராமானுஜனுடைய மேதைமை அவர் பிரச்சினையைக் கேட்டவுடனேயே இதற்கு விடை முடிவுறா தொடர்பின்னம் தான் என்று கண்டு கொண்டு அத்தொடர் பின்னத்தையும் உடனே கொடுத்தது தான்.

இராமானுஜனுடைய ஆய்வுக்குறிப்பேடுகள் ("நோட்புக்குகள்")
ஒரே ஒரு இராமானுஜன் கணிதத்துளி
கலங்கரை வெளிச்சத் தொடர்
இன்னொரு நோட்புக்கின் அற்புதம்