முதலாம் தளவிளைவுற்ற ஒளிக்கற்றை formula_8, formula_9 கற்றையாக வேறு தளத்தில் அமைந்த தளவிளைவாக்கியால் உருவாக்க முடியும். அதே போல், formula_10 எனற மற்றொருத் தளவிளைவாக்கிக் கொண்டு மூன்றாவதுக் கற்றையை உருவாக்கமுடியும். அதாவது, ஒரு விதமான தளவொளி, இன்னொன்றாக மாற்றப்பட்டு, கடைசியில் இன்னொன்றாக மாற்றப்பட்டிருக்கிறது. இதை. போன்கரே கோளம் என்பதைக் கொண்டு ஒளியியலில் குறிப்பர். இதுவொரு formula_5 கோளம் (2-sphere தளவியல், குலங்கள் குறியீட்டில்) ஆகும். அதை, பஞ்சரத்தினம், போன்கரே கோளத்தைக் கொண்டு விளக்கவும் செய்தார்.

மேலோட்டமாகக் குறிக்கும்பட்சத்தில், ஒரு சமதளத்தில் காகிதத்தில் வரைந்த முக்கோணத்திற்கும் (அல்லது சதுரத்திற்கும்) அதே அளவுகளுடன் ஒரு கோளத்தின் மேல் வரையும் பொழுது, அது முக்கோணமாக (அல்லது சதுரமாக) அமையமுடியாது, அது வரையப்படும் தளத்தின் வளைவைப் பொறுத்து அமைவது. வேறொரு காட்டாக, நாம் துருவப் பகுதியின் அருகில் உள்ள அட்சரேகையையொட்டி 100 கிமீ பயணம் செய்தால் கூட, முழு பூமியைச் சுற்றிவரமுடியும், அதே நேரம், புவிநடுக்கோட்டில் 1000 கி.மீ பயணித்தல் என்பது கூட மிகக் குறைவான தூரமேயாகும். ஆக வளைபரப்பிற்கு தக்கன ஒரு செயல் முழுமையாகவும் முழுமையற்றதாகவும் ஆகிவிடும்.

ஆக, போன்கரே கோளத்தில் தளவிளைவுற்ற ஒளிக்கற்றைகளைக் குறிக்கும் பொழுது, அக்கோளத்தின் வளைவுத்தன்மையானால் உண்டானப் பரப்பினால் உண்டாகும் வேறுபாடு பஞ்சரத்தினத்தின் வடிவக்கட்டம் என அழைக்கப்படுகிறது.

தளவிளைவான ஒளிக்கற்றைகளில் குறுக்கீட்டுவிளைவு
பஞ்சரத்தினத்தின் சோதனையின் எளிய வடிவம்
ஒளியியல் ஆய்வுகள்
விளக்கம்