எல்லைப்புள்ளிகள் தான் இடவியலுக்கு அடித்தளம். S, T என்ற இரண்டு இடவியல் வெளிகளை எடுத்துக் கொள்வோம். S இலிருந்து T க்குச் செல்லும் உருமாற்றங்களைப் (Transformations) பார்ப்போம். இவைகளில் சில, எல்லைப் புள்ளிகளை ஒன்றும் செய்யாது; அதாவது, எல்லைப் புள்ளிகளாகவே வைத்திருக்கும். இவ்விதம் எல்லைப் புள்ளிகளை அப்படியே வைத்திருக்கும் உருமாற்றங்களை "தொடருருமாற்றங்கள்" (Continuous Trans-formations) அல்லது "தொடர்ச்சியுள்ள உருமாற்றங்கள்" என்பர். S ம், T ம் மெய்யெண்களின் கணங்களாகவும், இயற்கை இடவியற் கூற்றுடனும் இருந்தால், இந்தத் தொடருருமாற்றங்கள் வழக்கமான தொடர் சார்புகளே (Continuous Functions). அவைகள் தான் எல்லைப் புள்ளிகளை அப்படியே வைத்திருக்கும்.

இத்தொடருருமாற்றங்கள், மேலும் ஒன்றுக் கொன்றான கோப்பாகவும் (one-one maps), மற்றும் முழுக் கோப்பாகவும் (onto maps), இருந்து அவைகளின் நேர்மாறுகளும் (Inverses) தொடர்ச்சி யுள்ளதாகவே இருந்தால் அவை இடவியலுருமாற்றங்கள் (Topological Transformations) என்று பெயர் பெறும்.

எந்த இரண்டு இடவியல்வெளிகளுக் கிடையில் ஒரு இடவியலுருமாற்றம் இருக்கிறதோ அந்த இடவியல் வெளிகள் இடவியலில் சமானமாகக் (equivalent) கருதப்படும். அதாவது இடவியலைப் பற்றினவரையில் அவையிரண்டும் ஒன்றே. இதுதான் "இடவியல் சமானம்" என்ற கருத்து. இக்கட்டுரையின் தொடக்கத்தில், தேனீர் கோப்பைக்கும் வடைக்கும் ஒரு உருமாற்றம் காட்டப்பட்டதல்லவா? அது இடவியல் சமானத்தை எடுத்துக்காட்டுகிறது. இடவியல் சமானமுள்ள இரு இடவியல் வெளிகளின் அண்மைகள் ஒன்றுக்கொன்றான இயைபுடையன. திறந்த கணங்களின் நிலையும் அப்படியே. தேனீர்க் கோப்பையிலுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் அதனுடைய அண்மைகள் சிதறாமல் அப்புள்ளியின் உருமாற்ற பிம்பப்புள்ளி வடையில் எங்கிருக்கிறதோ அப்புள்ளியின் அண்மைகளாக இருக்கும். இது மாத்திரமல்ல, இதன் மறுதலையும் உண்மை.

இடவியல் உருமாற்றங்களுக்கு மற்றொரு பெயர் "முழுமைத் தொடரமைவியம்". ஆங்கிலத்தில் Homeomorphism. முழுமை என்பது, முழுக்கோப்பை மட்டுமல்ல, இருபக்கமும் ஒன்றுக்கொன்றான இயைபுடன் இருப்பதையும் தெரிவிக்கிறது. தொடர் என்பது தொடர்ச்சியை அறிவிக்கிறது. அமைவியம் என்பது இருபக்கமும் இடவியல் என்ற ஒரே அமைப்பு உள்ளது என்பதைத் தெரிவிக்கிறது.

இடவியல் சமானம் என்பது ஒரு சமான உறவு. இதனால் எல்லா இடவியல் வெளிகளும் "சமானப் பகுதிகளாகப்" பிரிக்கப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு பகுதிக்குள்ளும் இருக்கும் வெளிகள் ஒன்றுக்கொன்று இடவியல் சமானமாக இருக்கும். இப்படி எல்லா இடவியல் வெளிகளையும் பிரிக்கும் நோக்கத்துடன் தான் புவான்காரே 19வது நூற்றாண்டின் முடிவில் பலவித ஆய்வுகள் இயற்றினார். அப்பொழுது தொடங்கியதுதான் "அமைப்பு ஒப்பு இயல்". (Homology Theory). இதனுடைய ஜோடி "அமைப்பு ஒத்த இயல்" (Homotopy Theory). இவையிரண்டும் இடவியல் மாறா இயல்புகளைக் கண்டுபிடிப்பதையே இலக்காகக் கொண்டுள்ளன. புவான்காரே காலத்திலேயே கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஒரு இடவியல் மாறாஇயல்பு அவருடைய பெயரிலே உள்ளது: "ஆய்லர்-புவான்காரே மாறாஇயல்பு" (Euler-Poincare characteristic).

இடவியல் அமைப்பு
திறந்த கணங்களின் மூலம் இடவியல் அமைப்பு
இடவியல் சமானம்
தோற்றம்