பல அன்றாட பிரச்சினைகள் கணிதத்தில் ஆழமாகவும் அகலமாகவும் அலசப்படுகின்றன. அப்படியொரு பிரச்சினைதான் 'மாறுதல்' என்ற பிரச்சினை. உலகில் எதுவுமே மாறிக்கொண்டிருக்கிறது. சாலையில் போகும் காரின் வேகத்தை வேகமானியைப் பார்த்துத் தெரிந்துகொள்கிறோம். வேகம் என்பது ஒரு மணிக்கு எவ்வளவு தூரம் கார் போகிறது என்பதைச் சொல்கிறது. ஆனால் ஒரு மணி நேரம் பிரயாணம் செய்துதான் அதைத் தெரிந்துகொள்ள வேண்டுமென்பதில்லை. ஒவ்வொரு நிமிடமும், ஏன், ஒவ்வொரு நொடியும் அந்த வேகம் மாறிக்கொண்டேயிருக்கிறது. அப்படியும் நொடிக்கு நொடி அதை அளந்து சொல்லிவிடமுடியும். சென்ற நொடியில் கார் போன துரத்தை வைத்து அந்த நொடியில் அதன் வேகம் இவ்வளவு என்று கணக்கிடுவதற்குத் தான் வேகமானி இருக்கிறது. அதற்கு அடிப்படைதான் வகையிடல்.

கணிதத்தில் இதற்கு வழி இருக்கிறது என்று தனித்தனியே முதன்முதல் சொன்னவர்கள் இருவர். ஐசக் நியூட்டன் (இங்கிலாந்து), மற்றும் கோட்பிரீட் லைப்னிட்ஸ் (ஜெர்மனி) -- இருவரும் 17ம் நூற்றாண்டின் பின்பாதியில், வகைக்கெழு அல்லது வகையீட்டுக்கெழு (Derivative, Differential Coefficient) என்பதைக் கண்டுபிடித்தனர். இதனில் தொடங்கியதுதான் நுண்கணிதம் என்ற கணிதத்தின் இன்றியமையா அடிப்படைப் பிரிவு.

ஒர் செயலியின் (formula_1 சாரா மாறி மாறும்பொழுது அதனுடன் தொடர்புடைய சார் மாறி மாறும். சாரா மாறி சிறிதாக மாறும் பொழுது அம்மாறுதலின் அளவு formula_2 என்று குறிக்கப்படும்.

formula_3 என்ற சாராமாறி formula_4 ஆக ஆகும்போது,

formula_5 என்ற சார்மாறி, formula_6 என்ற மாறுதலுக்குள்ளாகி, formula_7 ஆகும்.

சார்மாறியின் மாறுதல் formula_6.

சாராமாறியின் மாறுதல் formula_9

மாறுதல்களின் விகிதம் formula_10.

இந்த விகிதம் என்பது நம் காரின் வேகத்தை அளக்கும்போது, சென்ற ஒரு நொடியில் கார் போன தூரத்தை formula_6 ஆகவும், சென்ற ஒரு நொடிக்கான நேரத்தை formula_2 ஆகவும் எடுத்துக்கொண்டு கணித்த விகிதம் ஆகும்.

ஆனால் நுண்கணிதத்தில் இதை இன்னும் நுண்பியப்படுத்தி, நொடியையும் விட மிகவும் நுண்ணியதான அந்த ஒரு கணநேரத்தில் காரினுடைய வேகம் என்ன என்று சொல்வதற்கு 'எல்லை' என்ற கணிதக் கருத்துப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

அதாவது, formula_2 ஐ சிறிது சிறிதாக ஆக்கி கடைசியில் சூனியமாகவே ஆக்க முயற்சி செய்தால்,
formula_6 ம் சிறிது சிறிதாக ஆகி, அதுவும் சூனியமாகவே ஆகிவிடும் .

ஆனால் அப்படி இரண்டும் சூனியமானால், நாம் சூனியத்தை சூனியத்தால் வகுக்கவேண்டிவரும். இது கணிதத்தில் அனுமதிக்கப்படாத செயல்.

ஆனால் வேறு வழிகளில் formula_10 க்கு formula_9 சூனியத்தை நோக்கி மாறும்போதும் ஒரு மதிப்பு கண்டுபிடிக்க முடியுமானால் அதுதான் அந்தக் கணத்தில் கார் செல்லும் வேகமாகும். இந்த மதிப்பை

formula_17

என்று குறிப்பிட்டு, சுருக்கமாக formula_18 என்று எழுதப்படுகிறது. இதுதான் வகைக்கெழு.

வகையிடுதலும் வகைக்கெழுவும்
எல்லை மதிப்பாக
வகையிடுதல் ஒரு கண்ணோட்டம்
வளைவுமாற்றுப் புள்ளி