இரு கணங்கள், A, B, என்போம், ஒன்றுக்கொன்றான இயைபு பெற்றுள்ளன என்றால், அவைகளின் உறுப்புகளை ஒன்றுக்கொன்றாக இரட்டை (ஜோடி) சேர்க்கமுடியும் என்று பொருள். அதாவது, A இன் உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றுடன் B இன் உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றுடன் இரட்டை சேர்த்தல். இதை ‘இருவழிக்கோப்பு முறை’ என்றும் சொல்வதுண்டு. இப்பொழுது மேலே உள்ள கணங்கள் N, E இரண்டிற்கும் ஒன்றுக்கொன்றான இயைபு உண்டாக்குவோம். கீழே பார்க்கவும்.

1 ↔ 2, 2 ↔ 4, 3 ↔ 6, 4 ↔ 8 …

இந்த பரிமாற்ற முறையினால் ஒவ்வொரு இயல்பெண்ணுக்கும் (அ-து N இன் உறுப்புக்கும்) தனித்துவம் கொண்ட ஒரு இரட்டைப்படை எண்ணும் (E இன் உறுப்பு), ஒவ்வொரு இரட்டைப்படை எண்ணுக்கும் (அ-து E இன் உறுப்புக்கும்) ஒரு தனித்துவம் கொண்ட இயல்பெண்ணும் (N இன் உறுப்பு), கோர்க்கப்பட்டு இருவழிக்கோப்பு உண்டாக்கப்பட்டுவிட்டது. இதனால் நாம் அறிவது: அவ்விரண்டு கணங்களும் ஒரே எண்ணிக்கை அளவையுள்ளன என்பதே.

N என்ற இயல்பெண்களின் கணத்தினுடைய எண் அளவைக்கு (அதனால் E –உடைய எண்ணிக்கை அளவைக்கும்) கணித உலகெங்கும் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட எழுத்துக்குறிப்பு : אo. இதை ‘ஆலப்ஃ-சுழி’ என்று பலுக்குவார்கள் (உச்சரிப்பார்கள்)). இந்த ஆலஃப் (א) எழுத்து ஹிப்ரூ அகரவரிசையில் முதல் எழுத்தாகும். எந்தெந்த கணங்களுக்கு N–உடன் ஒன்றுக்கொன்றான இயைபு அமையுமோ அந்த கணங்கள் எல்லாவற்றிற்கும் எண்ணிக்கை அளவை இதே ஆலப்ஃ-சுழி தான். இந்த கணங்களெல்லாம் ‘எண்ணுறு கணங்கள்’ (countable sets) என்ற, அல்லது ‘எண்ணுறு முடிவிலிக் கணங்கள்’ (countably infinite sets) என்ற வகையில் சேர்வன.

எண்ணுறு கணங்கள்
எண்ணுறா கணங்கள்
விகிதமுறு நேர்ம எண்களின் கணம் Q+
ஒன்றுக்கொன்றான இயைபு