ஏதாவதொரு கணம் S ஓர் இடவியல் வெளியாக ஆக்கப்பட்டது என்பதும் அதன்மேல் ஓர் இடவியற்கூறு படைக்கப்பட்டது என்பதும் ஒன்றுதான். இதைச்செய்வதற்கு மூன்று வழிகள் உண்டு. முதல் வழி எல்லைப் புள்ளிகள் மூலம். S இல் அடங்கிய ஒவ்வொரு உட்கணம் "X" க்கும், மற்றும் ஒவ்வொரு உறுப்பு " s" க்கும், “"s", கணம் "X" உடைய எல்லைப் புள்ளியா?” என்ற கேள்விக்கு பதில் கிடைக்கும் நிபந்தனை விதிகள் உருவாக்கப்பட்டால், S ஓர் இடவியல் வெளியாக ஆக்கப்பட்டது என்று கொள்ளலாம். ஆக, கணம் S இன்மேல் பற்பல இடவியற்கூறுகள் படைக்கப்பட வாய்ப்பிருக்கிறது. இந்த இடவியற்கூறுகளில் இரண்டு புறக்கோடிகள் உள்ளன.

எந்த "s" ம் எல்லா "X" க்கும் எல்லைப் புள்ளிதான் என்று நிபந்தனை வைக்கலாம். இதன்படி S இன்மேல் ஏற்படும் இடவியற்கூறு "அற்பமானது", "எளிமையானது", என்று சொல்லப்படும். இது ஒரு புறக்கோடி. இது தான் மிகச்சிறியது. இதை ஆங்கிலத்தில் Trivial Topology என்பார்கள்.தமிழில் "வெற்று இடவியற்கூறு" எனலாம்.

மறுகோடியில், ஒரு "s" கூட ஒரு முறையான உட்கணம் "X" க்கு எல்லைப்புள்ளி ஆகாது, என்ற நிபந்தனை விதிக்கலாம். இதன்படி S இன்மேல் ஏற்படும் இடவியற்கூற்றிற்கு "தன்னிலை இடவியற்கூறு" என்று பெயர். இதுதான் மிகப்பெரியது.இதை ஆங்கிலத்தில் Discrete Topology என்பர்.

இவ்விரண்டு புறக்கோடிகளை விட்டு மற்ற பல நிபந்தனைகளால் ஏற்படும் இடவியற்கூறுகள் தான் கசடறக் கற்கப்படுபவை, கற்கவேண்டியவை. அவை இவ்விரண்டு கோடிகளுக்கும் இடையில் உள்ளவை.

ஏற்கனவே கொடுக்கப்பட்ட எல்லைப்புள்ளியின் வரையறையைப் பயன்படுத்தினால், மெய்யெண்களின் கணமான R இல் அடங்கிய ஒவ்வொரு "X" க்கும், ஒவ்வொரு உறுப்பு "s" க்கும் எதெது எல்லைப் புள்ளியாக இருக்கும் என்பது திட்டவட்டமாகத் தெரியும். இதனால் R இல் ஒர் இடவியற்கூறு உண்டாக்கப்பட்டு விட்டது. மெய்யெண்களின் இவ்விடவியற்கூறு "இயற்கையான" (அல்லது, "திட்டமான") இடவியற்கூறாகக் கருதப்படுகிறது. பல நூற்றாண்டுகளாக கணித உலகில் R இந்த இயற்கை இடவியற்கூற்றுடன் தான் புழக்கத்தில் இருந்திருக்கிறது; ஆனால் நாம் தான் அவ்விடவியற்கூற்றிற்குப் பெயரிடவில்லை!

இடவியல் அமைப்பு
தோற்றம்
உள்ளுணர்வு இடவியல் (Intuitive Topology)
முக்கிய நுண்பியல் குறிப்பு