முந்தைய பிரிவில் நேர்மாறு உறுப்புக்கு, முற்றொருமை உறுப்புடன் தொடர்புபடுத்தப்பட்ட வரையறை தரப்பட்டுள்ளது. முற்றொருமை உறுப்பு இல்லாமல் சேர்ப்புப் பண்பினைப் பயன்படுத்தியும் நேர்மாறை வரையறுக்கலாம். அதாவது அரைக்குலத்திலும் வரையறுக்கலாம்.

ஒரு அரைக்குலம் formula_2 ல் "x" என்ற உறுப்புக்கு, xzx" = "x; என்றவாறு "z" என்ற உறுப்பு formula_2 ல் இருந்தால் "x" ஒழுங்கான உறுப்பு (regular element) எனப்படும். "z" சில சமயங்களில் போலி நேர்மாறு என அழைக்கப்படுகிறது.

xyx" = "x , y" = "yxy எனில் "y" , "x" ன் நேர்மாறு என அழைக்கப்படும். ஒவ்வொரு ஒழுங்கான உறுப்புக்கும் குறைந்தபட்சம் ஒரு நேர்மாறு உண்டு.

x" = "xzx எனில், y" = "zxz என்றமையும் உறுப்பு இப்பிரிவில் தரப்பட்டுள்ள வரையறைப்படி "x" ன் நேர்மாறு ஆகும்.

எளிதாக நிறுவக்கூடிய மற்றுமொரு கூற்று:

"y" , "x" ன் நேர்மாறு எனில் e" = "xy மற்றும் f" = "yx என்றவாறு அமையும் "e" , "f" உறுப்புகள் இரண்டும் தன்னடுக்குகளாகும்.

(அ-து) ee" = "e , ff" = "f ஆகும்.

ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறாக அமையும் ஒவ்வொரு சோடி உறுப்புகளாலும் இரண்டு தன்னடுக்குகள் கிடைக்கின்றன.

மேலும் ex" = "xf" = "x, ye" = "fy" = "y ஆகும்.

"e" , "x" ன் இடது முற்றொருமையாகவும் "f" வலது முற்றொருமையாகவும் இருக்கின்றன. "y" க்கு "f" இடது முற்றொருமையாகவும் "e" வலது முற்றொருமையாகவும் அமைகின்றன. இக்கருத்தை கிரீன் தொடர்புகளைப் (Green's relations )பயன்படுத்திப் பொதுமைப்படுத்தலாம்.

இப்பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்ட தனித்தன்மை கொண்ட ஒரு நேர்மாறானது அரைக்குலக் கோட்பாட்டிற்கு வெளியே சில இடங்களில் பகுதி நேர்மாறு (quasi inverse) என அழைக்கப்படுகிறது. பெரும்பாலான பயன்பாடுகளில் சேர்ப்புப் பண்பு உள்ளதால் இந்தக் கருத்து பொதுவாக மெய்யாகிறது. எனவே முற்றொருமை மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட இடது மற்றும் வலது நேர்மாறுகளின் பொதுமைப்படுத்தலாக இது அமைகிறது.


சார்புகளும் பகுதிச்சார்புகளும்
எடுத்துக்காட்டுகள்
அரைக்குலத்தில்
நேர்மாறு அணிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்