வகைக்கெழுவானது சிறந்த சாத்தியமுள்ள தொகை தோராயமதிப்பைத் தருகிறது. ஆனால் இது ஆரம்பச் சார்பில் இருந்து மிகவும் மாறுபட்டதாக இருக்கலாம். தோராயமதிப்பை மேம்படுத்துவதற்கான ஒரு வழி இருபடி தோராயமதிப்பை எடுப்பது ஆகும். "x" என்ற புள்ளியில் உண்மை மதிப்புடைய சார்பு "f" ("x" ) இன் தொகையாக்கம் என்பது ஒருபடி பல்லுறுப்புக் கோவை "a" + "b" ("x" - "x" ) ஆக இருக்கிறது. மேலும் இதனை இருபடி பல்லுறுப்புக் கோவை "a" + "b" ("x" - "x" ) + "c" ("x" - "x" )² ஆகக் கருதப்படும் போது இது சிறந்த சாத்தியமுள்ள தோராய மதிப்பினைத் தரக்கூடும் எனக் கூறலாம். முப்படி பல்லுறுப்புக் கோவை "a" + "b" ("x" - "x" ) + "c" ("x" - "x" )² + "d" ("x" - "x" )³ ஆக இருக்கும் போது இன்னும் சிறந்த தீர்வைப் பெறலாம். மேலும் இந்த கருத்து தொடர்ந்து மனம் போன போக்கில் அதிகளவில் பல்லுறுப்புக் கோவைகளை அதிகரித்துக் கொண்டே செல்வதற்கும் பொருந்தும். இந்தப் பல்லுறுப்புக் கோவைகள் ஒவ்வொன்றுக்காகவும் "a", "b", "c" மற்றும் "d" ஆகிய சிறந்த சாத்தியமுள்ள குணகங்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டிருக்க வேண்டும். அவை மிகவும் சிறந்த சாத்தியமுள்ள வழியில் தோராய மதிப்பு கிடைக்க ஏதுவாக்கும்.

சிறந்த சாத்தியமுள்ள தேர்வு "a"க்கு எப்போதும் "f" ("x" ) ஆகவும் "b"க்கு எப்போதும் "f<nowiki>'</nowiki>" ("x" ) ஆகவும் இருக்கிறது. "c", "d" மற்றும் உயர் நிலை குணகங்களுக்காக இந்த குணகங்கள் "f" இன் உயர் வகைக்கெழுக்கள் மூலமாக வரையறுக்கப்படலாம். இதில் "c" எப்போதும் "f<nowiki>"</nowiki>" ("x" )/2 வையும் "d" எப்போதும் "f<nowiki></nowiki>" ("x" )/3! ஐயும் கொண்டிருக்கும். இந்தக் குணகங்களைப் பயன்படுத்தும் போது "f" இன் டெய்லர் பல்லுறுப்புக் கோவை"' கிடைக்கும். படி "d" இன் டெய்லர் பல்லுறுப்புக் கோவையானது சிறந்த தோராயமதிப்பு "f" ஐ கொடுக்கக்கூடிய படி "d" இன் பல்லுறுப்புக் கோவை ஆகும். மேலும் அதன் குணகங்களை மேற்கண்ட சூத்திரங்களை பொதுக்காரணியாக்கல் மூலமாகக் கண்டறியலாம். டெய்லரின் தேற்றம் தோராய மதிப்பு எந்தளவிற்குச் சிறந்ததாக இருக்கிறது என்பதற்கான துல்லியமான வரம்பினைத் தருகிறது. "f" என்பது "d" க்கு குறைவாயுள்ள அல்லது சமமாகவுள்ள படியின் பல்லுறுப்புக் கோவையாக இருக்கிறது எனக் கொண்டால் படி "d" இன் டெய்லர் பல்லுறுப்புக் கோவை "f" க்குச் சமமானதாக இருக்கும்.

டெய்லர் பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் வரம்பு டெய்லர் தொடர் என்று அழைக்கப்படும் முடிவிலாத் தொடர் ஆகும். டெய்லர் தொடர் என்பது பொதுவாக ஆரம்பச் சார்புக்கு மிகவும் சிறந்த தோராயமதிப்பாக இருக்கிறது. டெய்லர் தொடருக்குச் சமமாக உள்ள சார்புகள் வகைமுறை சார்புகள் என்று அழைக்கபடுகின்றன. வகைமுறைக்காக தொடர்ச்சியற்ற அல்லது கூர்மையான முனைகளுடன் கூடிய சார்புகள் இருப்பதற்கு சாத்தியங்கள் இல்லை. ஆனால் வகைமுறையாக இல்லாத எளிய சார்புகள் இருக்கின்றன.

இடை மதிப்புத் தேற்றம்
வகையீட்டின் வரலாறு
டெய்லர் பல்லுறுப்புக் கோவைகள் மற்றும் டெய்லர் தொடர்
வகைக்கெழுக்களின் பயன்பாடுகள்