1736 இல் ஆய்லர் மக்களின் கவனத்தை ஈர்த்த ஒரு பிரச்சினையை விளையாட்டுப்போல் எளிதில் விடுவித்தார். அந்த பிரச்சினையும் அதன் நிறுவலில் இருந்த தத்துவமும் மூன்று நூற்றாண்டுகளுக்குப் பிறகு இடவியல், கோலக்கோட்பாடு என்ற இரண்டு தற்காலக் கணிதப் பிரிவுகளுக்கு அடிக்கோலிட்டது.

ஒரு ஆறு. அதில் இரண்டு பெரிய தீவுகள். படத்தில் காட்டியபடி ஆற்றின் குறுக்கே ஏழு பாலங்கள். ஏழு பாலங்களையும் ஒரு நடையில் கடக்கவேண்டும். போன பாலத்திலேயே இரண்டாம் முறை போகக்கூடாது. இது முடியுமா? இதுதான் பிரச்சினை. கோனிக்ஸ்பர்க் மக்களுக்கு இது உண்மைப் பிரச்சினை. ஏனென்றால் அவர்கள் ஊரில் தான் இத்தீவுகளும் பாலங்களும். மக்கள் நடந்து நடந்து சோதனை செய்தே அயர்ந்தனர். ஆய்லர் இதை நுண்பியப்படுத்தி கணித முறைத் தர்க்கத்தினால் விடுவித்தார். அவருடைய தீர்ப்பு: ஏழு பாலங்களையும் ஒரு நடையில் கடக்கமுடியாது. ஏன் என்பதற்கு படத்தைப் பார்ப்போம்.

ஆய்லர் கணித மரபுப்படி பிரச்சினையிலிருந்த சம்பந்தமில்லாத விஷயங்களை ஒதுக்கிவிட்டு, அதன் அடித்தளத்திலிருந்த உயிர் நாடிப்பிரச்சினையை வெளிக்கொணர்வதற்காக, பாலங்கள் பிரச்சினையை கோலம் மூலமாக எளிதாக்கினார். நிலப்பரப்புகள் ஒவ்வொன்றையும் ஒரு புள்ளியாகவும், பாலங்களை அவைகளை இணைக்கும் கோடுகளாகவும் (அவை நேர் கோடாக இருக்கவேண்டிய தேவையில்லை) செய்ததில் படத்தில் தெரிவதுபோல் ஒரு கோலமாகியது. 4 கோணப்புள்ளிகளும் 7 இணைக்கும் கோடுகளும் உள்ள இந்தக் கோலத்தில், ஒருபுள்ளியிலிருந்து 5 கோடுகளும் மற்ற 3 புள்ளிகளில் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் 3 கோடுகளும் செல்கின்றன. இந்த சூழ்நிலைக்கு ஆய்லர் ஒரு கணிதத் தேற்றத்தையே நிறுவினார். அதாவது, எல்லா கோடுகளையும் கடக்கக்கூடிய ஒரு நடை இருக்க வேண்டுமென்றால், ஒன்று, எந்தப் புள்ளியிலிருந்தும் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையுள்ள் கோடுகள் செல்லக்கூடாது, அல்லது, இரண்டே புள்ளிகளிலிருந்து ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையுள்ள கோடுகள் செல்லவேண்டும்.

இந்த கோனிக்ச்பெர்க் பாலப்பிரச்சினையில், 4 புள்ளிகளிலிருந்தும் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையுள்ள கோடுகள் செல்வதால், நடை சாத்தியமில்லை.

இதற்கும் இடவியலுக்கும் என்ன சம்பந்தமென்றால், இந்தப்பிரச்சினையில் புள்ளிகளிலிருந்து செல்லும் கோடுகள் எத்தனை என்ற ஒரே கேள்விதான் பிரச்சினையின் வேர். இந்த வேர் பிரச்சினையில் வேறு வடிவியல் விவகாரம் இல்லை. புள்ளிகளிலிருந்து எத்தனை கோடுகள் செல்கின்றது என்பது கோலத்தை எவ்வளவு கோணலாக்கினாலும் – அதாவது, கோடுகளை நீட்டி, மடக்கி, வளைத்தாலும் – மாறாமலிருக்கும் ஒரு எண். இந்த மாதிரி கருத்துகளைத்தான் இயற்கணித இடவியல் ஆய்வு செய்கிறது.

பெர்லின் கலைக்கூடத்தில் 25 ஆண்டுகள்
இடவியலுக்கு விதை
இரு பெரிய அரச வள்ளல்கள்
கோனிக்ஸ்பெர்க் பாலங்கள்