காஸினுடைய நூலின் நான்காவது அத்தியாயத்தில், இருபடிய எச்சங்கள் (Quadratic Residues) எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன.

என்பதை வேறுவிதமாக, அதாவது,

என்றும் சொல்வதுண்டு:

எடுத்துக்காட்டாக,

எந்த எண் formula_11 க்கும் formula_12 இருக்கமுடியாவிட்டால், formula_21 இனுடைய இருபடிய எச்சமல்லாதது (Quadratic non-residue) எனப்பெயர் பெறும்.

லெஜாண்டர் ஏற்கனவே இருபடிய எச்சங்களைப்பற்றிய ஒரு சுவையான விதியைக்கண்டுபிடித்திருந்தார். அது, formula_22 என்ற இரண்டு பகாதனிகளைப் பொருத்த விஷயம்.அதாவது,அவை ஒன்றுக்கொன்று இருபடிய எச்சங்களா அல்லது இருபடிய எச்சமல்லாதவைகளா என்பதைப் பற்றிய இரு தேற்றங்கள்:

இந்த விதிக்குப்பெயர் இருபடிய நேர் எதிர்மை (Law of Quadratic Reciprocity) என்று பெயர். பெயர் வைத்ததே காஸ் தான். பெயர் வைத்ததோடுமட்டுமல்லாமல் இவ்விதிக்கு ஒரு கண்டிப்பான (rigorous) நிறுவல் கொடுத்தவரும் அவரே.

இருபடிய நேர் எதிர்மை
யூக்ளீடற்ற வடிவியல்
லப்லாஸின் காஸைப்பற்றிய கணிப்பு
சிறு வயதிலேயே கணித மேதை