டிரிச்லே (1805-1859)யின் தேற்றம்: a,d என்பவை இரண்டு பரஸ்பரப் பகாதனிகள் என்றால் a(mod d) க்கு சமானமாக முடிவிலாத எண்ணிக்கை கொண்ட பகாஎண்கள் இருக்கும். இத்தேற்றம் பகா எண்கள் முடிவிலாத அளவில் இருக்கும் என்ற யூக்ளீடின் தேற்றத்தை நுண்புலப்படுத்திய தேற்றம். இதை நிறுவுவதற்கு டிரிச்லே பகுவியல் முறைகளைக்கொண்டுவரவேண்டியிருந்தது. இதிலிருந்து எண் கோட்பாட்டில் தொடங்கிய முறைகளெல்லாம் சேர்ந்து பகுவிய எண் கோட்பாடு (Analytic Number Theory)என்ற பிரிவாக இயங்குகிறது.

முதல் formula_13 நேர்ம முழு எண்களில் எவ்வளவு எண்கள் பகாதனிகளாக இருக்கும்? இந்த எண்ணிக்கையை formula_14) என்று அழைப்பது வழக்கம். இதற்கு ஒரு தோராய மதிப்பைத் தருவதுதான் பகா எண் தேற்றம். இதை 1898 இல் தனித்தனியே நிறுவியவர்கள் ஹாடமார்டும் டெ லா வாலி புவாஸான் என்பவரும். இதன்படி

formula_15 இன் தோராய மதிப்பு formula_16. அதாவது, formula_13 முடிவிலியை நோக்கி ஒருங்கும்போது,

இந்த நிறுவலில் ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் முக்கியமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. 1948 இல் ஸெல்பர்க், பால் ஏர்டோசு இருவரும் சேர்ந்து இதற்கு ஒரு மாற்று நிறுவல் கொடுத்தார்கள். அதில் ரீமான் ஜீட்டா சார்பின் தேவையில்லை. அதனால் இதற்கு 'பகா எண் தேற்றத்தின் சாதாரண நிறுவல்' (Elementary Proof of PNT) என்று பெயர் வந்தது.

தொடர் மாறிகளையும் சார்புகளையும் பற்றிப் பேசும் கணிதப்பிரிவு பகுவியல் எனப்படும். இயல் எண்களின் பண்புகளைப் பற்றிப் பேசுவது எண் கோட்பாடு. இவ்விரண்டுக்கும் ஒரு இன்றியமையாத பிணைப்பு இத்தேற்றத்தின் மூலம் ஏற்படுகிறது. இது கணிதத்தில் ஒரு விந்தையே.

இந்தியக்கணித முறைகள்
கார்ல் பிரெடெரிக் காஸ்
பகுவியலும் எண் கோட்பாடும்
டயோஃபாண்டஸ்