கீழ்க்காணும் ஈடுகோள்,

காட்டுவது என்னவென்றால், "M" பகாத்தனியாக இருக்க வேண்டுமெனில் அடுக்குப் படி "n" தானே ஒரு பகாத்தனியாக இருத்தல் வேண்டும். ஆனால் "n" பகாத்தனியாக இருப்பது மட்டும் "M" பகாத்தனியாக இருக்கப் போதுமானதல்ல. அதாவது "M" பகாத்தனியாக இருக்க, "n" பகாத்தனியாக இருக்க வேண்டும் ஆனால், "n" பகாத்தனியாக இருந்தால் மட்டும் மெர்சென் எண் "M" பகாத்தனியாக இருக்கும் என்பது உறுதியல்ல. "n" பகாத்தனியாக இருப்பது தேவை ஆனால் போதுமானதல்ல. எனவே எதிர்நிலை கூற்றாகிய, "n" பகாத்தனியாக இருந்தால் "M" பகாத்தனியாக இருக்கவேண்டும் என்பது சரியான கூற்று இல்லை. இப் பண்பால் மெர்சென் பகாத்தனியைத் தேடுதல் ஒரு வகையில் எளிதாகின்றது.

மெர்சென் பகாத்தனிகளை விரைவாகத் தேடும் தீர்முறைத் திட்டங்கள் (algorithms) வகுக்கப்பட்டுள்ளன. இன்றுவரை 2008 கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மிகமிகப் பெரிய பகாத்தனிகள் மெர்சென் பகாத்தனிகளாகவே. இவை யாவும் மேற்சுட்டிய தீர்முரைத் திட்டங்களை கொண்டு கண்டுப்டித்தவையே.

முதல் நான்கு மெர்சென் பகாத்தனிகள், formula_7, formula_8, formula_9 and formula_10 வெகு காலமாக அறியப்பட்டவை. ஐந்தாவது மெர்சென் பகாத்தனியாகிய formula_11, யாரோ பெயர்தெரியாதவரால் 1461 இல் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. அடுத்த இரண்டை, formula_12 and formula_13, இத்தாலிய கணிதவியலாளர் கட்டால்டி 1588 இல் கண்டுபிடித்தார். இரண்டு நூற்றாண்டுகளுக்குப் பின் formula_14 ஒரு பகாத்தனி என லியோனார்டு ஆய்லர் 1772 இல் உறுதிசெய்தார். கணித வரலாற்றில் அடுத்ததாக எடுவர்டு லூக்காஸ் 1876 இல் formula_15 ஐ கண்டு பிடித்தார். ஆனால் இடையே உள்ள மெர்சென் பகாத்தனியாகிய formula_16 ஐ இவான் மிக்கீவிச் பெர்வுசின் (Ivan Mikheevich Pervushin) என்னும் உருசிய கணிதவியலாலர் 1883இல் கண்டுபிடித்தார். இடைப்பட்ட இன்னும் இரண்டு பகாத்தனிகளாகிய (formula_17 , formula_18)ஐ ஆர். இ. பவர்ஸ் என்பவர் 1911 லும், 1914 லும் முறையே கண்டுபிடித்தார்.

ஒரு மெர்சென் எண் மெர்சென் பகாத்தனியாக இருக்குமா என மெய்த்தேர்வு செய்ய எடுவர்டு லூக்காஸ் 1856 இல் முன்மொழிந்த ஒருவகையான மீளுறுப்பு வரிசை (recurrence sequence) முறை மிகவும் பயனுடையதாக உள்ள ஒன்று . இதனை டெரிக் லேமர் (Derrick Lehmer) 1930 இல் மேலும் வளர்த்தார். இம்முறை இன்று மெர்சென் எண்களுக்கு லூக்காஸ்-லேமர் மெய்த்தேர்வு என்று அறியப்படுகின்றது. குறிப்பாக இம்முறை என்ன கூறுகின்றதென்றால், இரண்டைவிட பெரிய அடுக்குப்படியாக இருந்தால், formula_19, மெர்சென் எண் formula_20 ஆனது "S" எண்ணை ஈவின்றி வகுத்தால் மட்டுமே formula_21 என்பது பகாத்தனியாகும். இந்த "S" என்ன வென்றால், முதலில் formula_22 என்று கொண்டு, பின்னர் formula_23, formula_24 என்னும்படியாக மீளுறுப்பு ஈடுகோளாக கொள்ளப்படுகின்றது.
மின்கணினிகள் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பின் மெர்சென் பகாத்தனிகளைக் கண்டுபிடிப்பதில் புரட்சிகரமான வளர்ச்சி அடைந்துள்ளது. இம்முறையைக் கைக்கொண்டு கண்டுபிடித்த முதல் மெர்சென் பகாத்தனி "M" ஆகும். இது காலை 10 மணிக்கு ஜனவரி 30, 1962 ஆண்டு நிறைவேறியது. இதற்குப் பயன்பட்ட கணினி, ஐக்கிய அமெரிக்க சீர்தர நிறுவகம் (National Bureau of Standards) வைத்திருந்த (SWAC) என்றழைக்கப்பட்ட வெஸ்டர்ன் ஆட்டொமாட்டிக் சொம்ப்யூட்டர் (Western Automatic Computer ஆகும். இக்கணினியைப் பயன்படுத்தி டெரிக் லேமர் தலைமையின் கீழ் பேராசிரியர் ரஃவீல் ராபின்சன் எழுதிய கணிநிரல் ஆணைகளைக் கொண்டு இம் மெர்சென் பகா எண்ணைக் கண்டுபிடித்த்னர். இந்த எண்ணே 38 ஆண்டுகளுக்குப் பின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மெர்சென் பகாத்தனி. அடுத்த மெர்சென் பகாத்தனியாகிய "M", அடுத்த இரண்டுமணி நேரத்தில் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. அடுத்த மூன்று மெர்சென் பகாத்தனிகளையும்  — "M", "M", "M" — இதே கணிநிரலைக் கொண்டு அடுத்த சில பாதங்களில் கண்டுபிடித்தனர். அடுத்ததாக கண்டு பிடித்த "M" மெர்சென் பகாத்தனியே 1000 இலக்கங்களைத் தாண்டிய நீளமுடைய டைட்டானிக் என்றழைக்கப்படும் பகாத்தனி. ஆகும். அதன் பின்னர் ஜைகாண்டிக் என்றழைக்கப்பட்ட 10,000 இலக்கங்களையும் தாண்டிய நீளம் கொண்ட "M" கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. அதன் பின்னர் மெகா பகாத்தனி என்றழைக்கப்படும் ஒரு மில்லியன் இலக்கங்களையும் தாண்டிய நீளமுடைய "M" கண்டுபிடிக்கப்பட்டது எவ்வகையான பகாத்தனிகளை கணக்கில் இவை மூன்றும்தான் இவ்வளவு பெரியதாக உள்ள முதல் பகாத்தனிகள். 
செப்டம்பர் 2008 இல் “கிம்ப்” இல் பங்கு கொண்டு ஏறத்தாழ 13 மில்லியன் இலக்கங்கள் நீளம் கொண்ட மெர்சென் பகாத்தனியை லாஸ் ஏஞ்சலஸ் பல்கலைக்கழகக் கணிதவியலாளர்கள் கண்டுபிடித்து, எலெக்ட்ரானிக் ஃவிராண்டியர் பவுண்டேசன் (Electronic Frontier Foundation) அறிவித்திருந்த, அமெரிக்க $100,000 பரிசை வென்றார்கள். இப்பரிசை 10 மில்லியல் இலக்கத்திற்கும் கூடுதலான நீளம் உடைய பகாத்தனி எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பவருக்குத் தருவதாக அறிவிக்கப்பட்டு இருந்தது. இதுவே யூசிஎல்ஏ (UCLA) ஆய்வாளர்கள் கண்டுபிடித்த 8 ஆவது மெர்சென் பகாத்தனி.



என்பது ஒரு பகாத்தனி; 31 என்பது 1 கூட்டல் 2×5 என்பதின் முழு எண் பெருக்குத்தொகை. எடுத்துக்காட்டு-2: 2 − 1 = 23×89, 
வரலாறு
சீர்நிறை எண்கள்
மெர்சென் பகாத்தனிகளைத் தேடுவது
பொதுமைப்பாடு