formula_22 சன்னல் புள்ளிகளுள்ள இரு பரிமாண தளத்தில் இடது கீழ் மூலையிலிருந்து வலது மேல் மூலைக்கு சன்னல் புள்ளிகள் வழியாக ஆயத்திசைகளிலேயே போகும் பாதைகள் மூலை விட்டத்தைத் தாண்டாமல் இருந்தால் அவை ‘நேர்மைப் பாதைகள்' எனப் பெயர் பெறும். இவைகளின் எண்ணிக்கையும் formula_17 தான்.

இந்த நிறுவலை சற்று கவனமாகவே கையாளவேண்டும். இடது கீழ்மூலையை "(0,0)" என்று ஆயத்தளத்தின் தொடக்கப் புள்ளியாகக்கொள்வோம். இப்பொழுது வலது மேல் மூலை "(n-1, n-1)" ஆகும். "(0,0)" விலிருந்து ("n-1, n-1)" க்குப்போகும் எல்லாப்பாதைகளின் எண்ணிக்கையை ஒரு சேர்வுக் கணக்காகக் கணித்திடலாம். அதாவது, மொத்தம் இருக்கும் "(2n-2)" அடிகளில் எத்தனை வழிகளில் "(n-1)" வலது பக்கம் போகும் அடிகளாகத் தேர்ந்தெடுக்கலாம் என்ற எண்ணிக்கைதான் அது. ஆக, இந்த எண்

இவைகளில் "y = x" என்ற மூலை விட்டத்தைக் கடக்காத பாதைகள் எத்தனை? இதைக் கணிப்பதைவிட மூலைவிட்டத்தைக் கடக்கும் பாதைகளைக் கணக்கிடுதல் சற்று எளிது. இவைகளை தற்போதைக்கு 'நேர்மையல்லாத பாதைகள்' என்று சொல்வோம்.

கணம் A: "(0,0)" விலிருந்து "(n-1,n-1)"க்குச்செல்லும் எல்லா'நேர்மையல்லாத பாதைகள்' என்று கொள்.

கணம் B: "(-1,1)" இலிருந்து "(n-1, n-1)" க்குச்செல்லும் எல்லாப் பாதைகள் என்று கொள்.

Aக்கும் Bக்கும் ஒரு இருவழிக்கோப்பு உண்டாக்கலாம். எப்படி என்று பார்.

ஒவ்வொரு நேர்மையல்லாத பாதையும் "y = x" ஐ எங்கோ ஓரிடத்தில் கடக்கத்தான் வேண்டும்; கடந்து "y= x + 1" ஐயும் சந்தித்துத்தான் ஆகவேண்டும். இப்படி முதன்முதலில் சந்திக்கும் இடத்தை P என்று பெயரிடுவோம். ("0,0)" விலிருந்து P வரையில் உள்ள இப்பாதையை "y=x+1" என்ற கோட்டில் பிரதிபலித்தால், அது "(-1,1)" இலிருந்து P வரையில் உள்ள பாதையாக மாறும். இதைத்தொடர்ந்து மீதமுள்ள பாதையில் P இலிருந்து "(n-1, n-1)" வரையில் சென்றால், நமக்கு "(-1, 1)"இலிருந்து "(n-1, n-1)" வரையில் ஒரு பாதை கிடைக்கும்.

இதற்கு எதிர்மறையாக, "(-1,1)" இலிருந்து "(n-1, n-1)" க்குள்ள ஒவ்வொரு பாதைக்கும், அதே பிரதிபலிப்பின் நேர்மாறைப் பயன்படுத்தி "(0,0)" விலிருந்து "(n-1, n-1)" க்குள்ள ஒரு 'நேர்மையல்லாத பாதை'யை அடையலாம்.

ஆக, Aக்கும் Bக்கும் ஒரு இருவழிக்கோப்பு உண்டாக்கப்பட்டுவிட்டது. இதனால் தெரிவது என்னவென்றால் "(0,0)" விலிருந்து "(n-1,n-1)"க்குப்போகும் நேர்மையல்லாத பாதைகளின் மொத்த எண்ணிக்கை, "(-1,1)" இலிருந்து "(n-1, n-1)" க்குப்போகும் எல்லாப் பாதைகளின் மொத்த எண்ணிக்கையே. இந்த எண்

ஏனென்றால், வலது பக்கம் எடுக்கப்படவேண்டிய அடிகளின் எண்ணிக்கை =" n ," மற்றும், மொத்த அடிகளின் எண்ணிக்கை = "(n-1)-(-1) + (n-1)-1 = 2n - 2."

இதிலிருந்து, "(0,0)"விலிருந்து ("n-1,n-1")க்கு நேர்மையான பாதைகளின் எண்ணிக்கை

= formula_26

= formula_27

ஈருறுப்புத் தொடர்புகளின் பகுதிக் கூட்டுத்தொகைகள்
அடைப்புக்குறியிடும் செயல்
மலைப்படிமங்கள்
சன்னல் புள்ளிகள் வழியாக நேர்மைப் பாதைகள்