İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (29) – Verilere Verilen Parametreleri Örnekleme – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma
On yılı aşkın süredir ödev yapma desteği veren Ödevcim Akademik, size İstatistiğin her alanında yardımcı olacaktır. Sosyal Bilimlerde İstatistik, İstatistik Nedir, İstatistik Fiyatları, Ücretli İstatistik Yaptırma, Analiz Yaptırma, Veri Analizi Yaptırma aramalarında sizde Ödevcim Akademik destek olsun istiyorsanız yapmanız gerekenler çok basit. Öncelikle İstatistik ile ilgili belgelerinizi firstname.lastname@example.org sayfamızdan gönderebilir ödevleriniz, tezleriniz, makaleleriniz ve projeleriniz ile ilgili destek alabilirsiniz.
İki algoritmanın sonuçları karşılaştırılmaktadır. İkinci algoritmadaki zayıf başlangıç değerleri yakınsamanın hemen olmadığını ima ettiğinden, ilk 1.000 çekiliş her çalışmadan atılmıştır. Buna karşılık, birinci yöntemde yakınsama anında gerçekleşir; ilk 1.000, karşılaştırılabilir örnek boyutlarına sahip olmak için atılır. Şekilde görüldüğü gibi, sonuçlar iki yaklaşım için hemen hemen aynıdır.
Sayısal olarak, iki yaklaşım altında μ için arka ortalamaların ikisi de 12.69’du ve σ2 için arka ortalamalar sırasıyla 10.01 ve 10.00 idi (σ2 için ortalamaların her ikisi de 3.16 idi). Bu sonuçlar, olması gerektiği gibi bu parametrelerin örnek tahminleriyle hemen hemen aynıdır.
Geriye kalan bir soru şunlar olabilir:
Nüfustaki ortalama eğitim için makul değerler nelerdir? Bu soruyu cevaplamak için, Gibbs örneklerimizden 25. ve 975. sıralı μ değerlerini alarak μ için% 95 “ampirik olasılık aralığı” oluşturabiliriz. Her iki yaklaşım için de ortaya çıkan aralık [12.64, 12.73] ‘dür, bu da eğitim yılı için gerçek nüfus ortalamasının .95 olasılıkla bu aralıkta düştüğü anlamına gelir.
Sonuçlar
Son iki bölümde gördüğümüz gibi, Bayesci çıkarım yaklaşımı, ortalama, medyan, varyans ve dağılımın çeşitli nicelikleri gibi temel örnek istatistiklerini kullanarak arka yoğunluğu basitçe özetlemeyi içerir. Posterior yoğunluklar, bu integral tabanlı istatistiklerin doğrudan hesaplanamayacağı şekilde olduğunda – örneğin, çok değişkenli olduklarında, modern Bayes istatistikleri, arka yoğunluktan örneklemeye ve bu miktarları, tıpkı bir veri örneğimiz olduğunda yapacağımız gibi hesaplamaya döner.
Gibbs örneklemesi, uygun koşullu yoğunlukları türetebildiğimiz sürece, çok değişkenli yoğunluklardan örnekleme için oldukça kolay bir yöntem sağlar. Çoğu problemde, bu sadece;
(1) diğer değişkenleri eklem yoğunluğunda sabit olarak ele almak ve
(2) ortaya çıkan koşullu yoğunluktan nasıl numune alınacağının belirlenmesidir.
Bazen, normal dağılım örneğimizde olduğu gibi, koşullu yoğunluklar bilinen biçimleri alır. Diğer zamanlarda, koşullu yoğunluklar türetilebilir, ancak doğrusal ve düzlemsel dağılım örneklerimizde olduğu gibi bilinmeyen biçimler alabilir. İkinci durumda, bilinmeyen formlara sahip koşullulardan örnekleme yapmak için tersine çevirme veya reddetme örneklemesine dönebiliriz.
Ancak bazı durumlarda, koşullu yoğunluğun tersine çevrilmesi mümkün olmayabilir ve ret örneklemesi zor veya çok verimsiz olabilir. Bu durumlarda Bayesliler başka bir yönteme, Metropolis-Hastings algoritmasına yönelebilirler. Bu yöntemin tartışılması bir sonraki bölümün konusudur. Gibbs örnekleyicisinin alternatif ve daha derinlemesine ve teorik açıklamaları için, genel olarak Gilks, Richardson ve Spiegelhalter 1996’nın ve özellikle de Gilks 1996’nın tamamını öneriyorum. Ayrıca bu kitabın sonuç bölümünde bir dizi ek okumayı tavsiye ederim.
Egzersizler
1. İki değişkenli düzlemsel yoğunlukta y | x için ters dağılım fonksiyonunu (F − 1) bulun; yani, bir U (0,1) örneğinin y | x’ten bir çekilişe nasıl dönüştürülmesi gerektiğini gösterin.
2. İki değişkenli düzlemsel yoğunluk f (x) ∝ 2x + 3y + 2’den verileri örneklemek için bir ret örnekleyici geliştirin.
3. Doğrusal yoğunluk f (x) ∝ 5x + 2’den veri örneklemek için bir ters çevirme örnekleyici geliştirin. (İpucu: Önce normalleştirme sabitini bulun ve sonra ters işlevi bulun).
4. Önceki bölümdeki Poisson dağılımı oylama örneğinden λ parametresini örneklemek için uygun bir rutin geliştirin.
5. N (0,1) dağılımından 20 gözlemi (veri noktaları) örneklemek için uygun bir rutin geliştirin. Ardından, μ ve σ2 için arka dağılımdan örneklemek için bu verileri kullanarak işlemi tersine çevirin. Takviye edici olmayan önceki p (μ, σ2) ∝ 1 / σ2’yi kullanın ve bölümde açıklanan Gibbs örnekleyicisini kullanın. Ardından, μ için arka yoğunluğu çizin ve bu yoğunluğun üzerine uygun bir t dağılımı yerleştirin. Maç ne kadar yakın? Tartışın.
6. Bu bölümde gördüğümüz gibi, örnekleme yöntemlerini kullanarak hesaplama integralleri (örneğin, ortalama ve varyans), sonlu örneklerde kesin olmayan, ancak örneklem büyüklüğü arttıkça daha iyi ve daha iyi tahminler haline gelen tahminler verir. Örnekleme yöntemlerini kullanarak niceliklerin tahmin edilmesinde ne kadar örnekleme hatasının dahil olduğunu nasıl ölçebileceğimizi açıklayın (İpucu: Merkezi Limit Teoremini düşünün).
Modern Model Tahmini Bölüm 2: Metroplis-Hastings Örneklemesi
Gibbs örneklemesi çok güçlü bir araçtır ve bugüne kadar, Bayes analizleri yapan istatistikçiler tarafından belki de diğer Markov zinciri Monte Carlo (MCMC) yöntemlerinden daha fazla kullanılmıştır. Bununla birlikte, Gibbs örneklemesinin birkaç sınırlaması vardır. Birincisi, koşullu dağılımın eklem yoğunluğundan kolayca türetilemediği veya belirlenemediği durumlar vardır. Daha önce tartıştığımız gibi bu tür durumlar nadirdir: Koşullu yoğunluklar eklem yoğunluğuyla orantılıdır. Yine de, daha önce tartışılan basit genel doğrusal yoğunluğu düşünün:
- f (x | m, b) = 2 (mx + b) / (s – r) [m (s + r) + 2b]
S ve r sınırları bilinen sabitler olarak kullanıldığında, m ve b için olasılık işlevi şöyle olacaktır:
- L (m, b | X) ∝n = mxi + b / m (s + r) + 2b
Paydayı görmezden gelmek bile, payın tekrarlanan çarpımı dağınık hale gelir. Örneğin, yalnızca ilk iki terimi düşünün:
L (m, b | X) ∝ (mxi + b)
= (mx1 + b) (mx2 + b)
= m2x1x2 + mx1b + mx2b + b2.
Neredeyse her terimin hem m hem de b’yi içerdiği göz önüne alındığında ve bu terimlerin toplayıcı olduğu göz önüne alındığında, neredeyse ne tür bir önceki yoğunluk için seçildiğine bakılmaksızın, her iki parametrenin koşullarını belirlemek son derece zor olacaktır (imkansız değilse) parametreler. Neyse ki, sosyal bilim araştırmalarında kullanılan en yaygın dağılımlar, genellikle bu tür bir problemi ortaya koymayan üstel aile dağılımlarıdır (örneğin, normal ve Poisson dağılımları).
Gibbs örneklemesinin optimal olmayabileceği ikinci, daha yaygın bir durum, koşullu yoğunluğun bilinen bir biçimde olmaması, ondan tersine örneklemenin imkansız olması veya ret örneklemesi için uygun bir zarf bulmanın zor olmasıdır.
Örneğin, çok değişkenli bir modelde bir yoğunluğun maksimum değerinin belirlenmesi analitik olarak zor olabilir. Bu durumu aşağıda daha derinlemesine tartışacağız.
Gibbs örneklemesinin yararlılığının sınırlı olabileceği üçüncü bir durum, Gibbs örneklemesinin eldeki sorun için basitçe etkisiz olmasıdır. Bu durumu bir sonraki bölümde ve Bölüm 10’da tartışacağız, ancak esasen, koşullu dağılımlardan örneklemenin algoritmanın çok yavaş “karıştırılmasına” yol açabileceği durumlar vardır.
Diğer bir deyişle, algoritma, ilgi dağılımının merkezine hızla yakınlaşmak ve onun boyunca hızla örneklemek yerine, düşük yoğunluklu bir alanda yapışabilir, yoğunluğun ana desteğine yavaşça hareket edebilir ve ona ulaştığında yavaşça hareket edebilir. .
Bu durumların her birinde, Gibbs örneklemesine bir alternatif, daha genel Metropolis-Hastings (MH) algoritmasıdır. Bu bölümde, ilk olarak MH algoritmasını biraz ayrıntılı olarak açıklayacağım. Daha sonra bunu Gibbs örneklemesinin uygulanmasının zor olacağı iki genel örneğe uyguluyorum.
On yılı aşkın süredir ödev yapma desteği veren Ödevcim Akademik, size İstatistiğin her alanında yardımcı olacaktır. Sosyal Bilimlerde İstatistik, İstatistik Nedir, İstatistik Fiyatları, Ücretli İstatistik Yaptırma, Analiz Yaptırma, Veri Analizi Yaptırma aramalarında sizde Ödevcim Akademik destek olsun istiyorsanız yapmanız gerekenler çok basit. Öncelikle İstatistik ile ilgili belgelerinizi email@example.com sayfamızdan gönderebilir ödevleriniz, tezleriniz, makaleleriniz ve projeleriniz ile ilgili destek alabilirsiniz.
Egzersizler İki algoritmanın sonuçları iki yaklaşım altında μ için arka ortalamaların İstatistik – Sosyal Bilimlerde İstatistik (29) – Verilere Verilen Parametreleri Örnekleme – İstatistik Nedir? – İstatistik Fiyatları – Ücretli İstatistik Yaptırma Modern Model Tahmini Bölüm 2: Metroplis-Hastings Örneklemesi Verilere Verilen Parametreleri Örnekleme