import torch


def _second_deriv(arr, dt):
    """Calculate the second derivative."""
    d2dt2 = torch.zeros_like(arr)
    d2dt2[1:-1] = (arr[2:] - 2 * arr[1:-1] + arr[:-2]) / dt**2
    d2dt2[0] = d2dt2[1]
    d2dt2[-1] = d2dt2[-2]
    return d2dt2