Nouvelles conditions pour l'inexistence des nombres parfaits impairs
  We will show the two following results: If there existe an odd perfect number $n$ of prime decomposition $n=p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k}q^\beta$, where the $\alpha_i$ are even, the $\beta$ are odd and $q \equiv 5 \mod 8$. Then there is at least one $p_i$, $1 \leq i \leq k$ that is not a square in $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$. More precisely there is an odd number of $p_i$ that are not squares in $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$. If there exist an odd perfect number $n$ of prime decomposition $n=p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k}q^\beta$, where the $\alpha_i$ are even, the $\beta$ are odd and $p_{k+1} \equiv {1\mod 8}$. Then at least one $p_i$, $1 \leq i \leq k+1$ is a non zero square in at least one $\mathbb{Z}/{p_j}\mathbb{Z}$, $1 \leq j \leq k+1$. Contains an appendix of known results.   -----   Un nombre, $n$, est dit parfait s'il est \'egal \`a la somme de ses diviseurs propres plus 1. Par exemple $6=1+2+3$. Dans ce document, les deux propositions suivantes seront d\'emontr\'ees: S'il existe un nombre parfait impair, $n$, de d\'ecomposition en nombre premier $n=p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k}q^\beta$, o\`u les $ \alpha_i$ sont pairs, $\beta$ est impair et $q \equiv 5 \mod 8$. Alors, au moins un $p_i$, $1 \leq i \leq k$ n'est pas un carr\'e dans $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$. Plus pr\'ecis\'ement un nombre impair de $p_i$ ne sont pas des carr\'es dans $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$. S'il existe un nombre parfait impair, $n$, de d\'ecomposition en nombre premier $n=p_1^{\alpha_1} \ldots p_k^{\alpha_k}q^\beta$, o\`u les $\alpha_i$ sont pairs, $\beta$ est impair et $p_{k+1} \equiv {1\mod 8}$. Alors au moins un $p_i$, $1 \leq i \leq k+1$ est un carr\'e non nul dans au moins un $\mathbb{Z} / {p_j}\mathbb{Z}$, $1 \leq j \leq k+1$. Contiens une annexe contenant les r\'esultats d\'ej\`a connus et des preuves que j'en ai faites. 
Nancy Wallace
math.HO math.NT