根据``$$A$$的二分之一是完全平方数''可以知道，$$\alpha -1$$、$$\beta $$、$$\gamma $$都是$$2$$的倍数．  根据``$$A$$的三分之一是完全立方数''可以知道，$$\alpha $$、$$\beta -1$$、$$\gamma $$都是$$3$$的倍数．  根据``$$A$$的五分之一是某个自然数的五次方''可以知道，$$\alpha $$、$$\beta $$、$$\gamma -1$$都是$$5$$的倍数．  同时满足三个条件的$$\alpha $$的最小值恰好是$$\left[ 3,5 \right]=15$$；$$\beta $$的最小值恰好是$$\left[2,5 \right]=10$$；$$\gamma $$的最小值恰好是$$\left[ 2,3 \right]=6$$．  所以，$$\alpha +\beta +\gamma $$的最小值是$$15+10+6=31$$． 
已知正整数$$A$$分解质因数可以写成$$A={{2}^{\alpha }}\times {{3}^{\beta }}\times {{5}^{\gamma }}$$，其中$$\alpha $$、$$\beta $$、$$\gamma $$是自然数．如果$$A$$除以$$2$$的商是完全平方数，$$A$$除以$$3$$的结果是完全立方数，$$A$$除以$$5$$后是某个自然数的五次方，那么$$\alpha +\beta +\gamma $$的最小值是． 

* $$10$$ 
* $$17$$ 
* $$23$$ 
* $$31$$ 