\hfill\break 【分析】\\ 根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可.\\ 【详解】\\ 对于A：$y=-\frac{1}{x}$为反比例函数，为奇函数，在区间$\left( -\infty ,0 \right)$以及$\left( 0,+\infty \right)$上都是增函数，但在定义域内不是增函数，故A错误；\\ 对于B：$y=-{{x}^{3}}$为幂函数，既是奇函数又是减函数，不符合题意，故B错误；\\ 对于C：$y=x+1$为一次函数，不是奇函数，不符合题意，故C错误；\\ 对于D： $y=x\left\textbar{} x \right\textbar=\left { \begin{array}{*{35}{l}} {{x}^{2}}, \& x\ge 0     -{{x}^{2}}, \& x\textless{} 0     \end{array} \right.$为奇函数；$x\ge 0$时， $y={{x}^{2}}$为增函数，$x\textless{} 0$时，$y=-{{x}^{2}}$ 为增函数，且${{x}^{2}}\ge -{{x}^{2}}$该函数在\emph{R}上为增函数，故D正确；\\ 故选： D 
下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（~~~~~~~）

  $y=-\frac{1}{x}$ 
  $y=-{{x}^{3}}$ 
  $y=x+1$ 
  $y=x\left\textbar{} x \right\textbar$ 