ディラック・スピノル
自由粒子のディラック方程式の解は、以下の平面波の形式を持つ:
ここで、 は4成分スピノル (ディラック・スピノル) であり、 を変数とする関数ではない。
このスピノルは以下のように書き下せる:
ここで、
 は2成分スピノル
 はパウリ行列 
 はそれぞれエネルギー、質量、粒子の四元運動量(four-momentum)
を示す。
ディラック方程式からの導出
ディラック方程式は以下の形式を取る。
四成分スピノル  の形式を導出するために、まずは行列  及び  の値を示す必要がある:
これら2種類の 4 × 4 行列は、ディラック基底のガンマ行列(Gamma matrices)と関係する。ここで、 と  は 2 × 2 行列を示す。
次のステップは、この形式に対する解の計算である。
,
同時に、を2つの2成分スピノルに分割する:
.
2成分スピノル
2成分スピノルのもっとも便利な定義は次の通りである。
及び
パウリ行列
パウリ行列は以下のものである。
粒子のエネルギー及び静止質量を初めに分けているので、上記を用いて運動量の項について次のように計算できる。
粒子の4成分スピノル
粒子は「正」のエネルギーを持つ物として定義される。4成分スピノル  は、  となるように正規化される。これらのスピノルは、 と表記される。
ここで  または  (「上」と「下」のスピン)
明らかに、次の様になる:
反粒子の4成分スピノル
「正」のエネルギー  を持つ反粒子は、「負」のエネルギーを持ち、時間を遡る向きに伝わる、粒子として定義される。
そこから、粒子の4成分スピノルにおいて、 と  の符号を変えることによって、反粒子の4成分スピノルが得られる:
ここで、 による解を選ぶと、次の式は自明に導かれる:
 　及び　
完備性の関係式
4成分スピノル  及び  に対する完備性の関係式は次の通りである:
ここで、
      (ファインマンのスラッシュ記法(Feynman slash notation)を参照のこと)
ディラック・スピノルとディラック代数
ディラック表記のガンマ行列は4×4行列の組で、スピンや電荷、演算子として用いられる。
取り決め
計量表示と群表現については、物理学の文献においても、慣用されるいくつかの取り方がある。ディラック表記のガンマ行列は、普通、 を0から3の値として、と書かれる。この表記において、0は時間に、1から3は空間のx、y、zに相当する。
(+ - - -) の計量表示は時々西海岸計量と呼ばれる。一方 (- + + +) は東海岸計量と呼ばれる。今日では、(+ - - -) の計量表示が一般的であり、以下で例を示す際もこちらを用いる。計量表示を切り替える場合は、全ての  に  を乗じる。
計量表示を定めても、4×4行列による群表現を構築する方法は沢山あり、多くの方法が広く使われている。ここでの例を極力一般化した形で見せるために、最後の段階まで群表現を固定せずに、話を進める。最後に、著名な大学院向け教科書で行われているように、「カイラル (chiral) 表現」もしくは「ワイル (Weyl) 表現」と呼ばれる群表現を代入する。