算法
全域的算法
通常は、D = Aⁿ の場合を考えることが多く、そういう算法 f を（仮に）全域的算法とよぶ。 また、n が有限順序数の場合を考えることが多い。 その場合、Aⁿ は A の n 個の元の組み (a₀, a₁, ..., aₙ−1) の全体であって、f によってこれをうつしたものは f(a₀, a₁, ..., aₙ−1) と書くことができる。 しかしさらに、n = 2 の場合を考えることが多く、この場合、 f(a₀, a₁) を a₀ f a₁ とか a₀ a₁ f とか書くことが多い。
従って、全域的な 2 項算法とは、A の元の二つ組み (a, b) の各々に A の何らかの元を対応させる写像のことである。
例えば、二つの実数 a, b にその和 a + b を対応させる写像は、実数すべての集合における全域的 2 項算法であって、和の記号 + はこの算法（すなわち加法）の上記二番目の記法 a₀ f a₁ の f に当たるものと解される。 加法は普通の中置記法では a + b と書くが、逆ポーランド記法では a b + と書く。 これは、上記の a₀ a₁ f という記法に当たるものと解される。 実数の減法・乗法・除法についても同様である。 ただし除法は、0 で割ることができないから、全域的ではない。
1 項算法も珍しくはない。 例えば、複素数にその共役複素数を対応させる写像は 1 項算法である。 また、体 K 上の線型空間 V においては、 K の任意の元 a と V の任意の元 v に対して V の元 av が存在するが、これは、K を添数集合とする V の 1 項算法族 (fₐ)ₐ∈K があって fₐv を av で表していると解される。 こう考えれば、例えば環 R 上の加群 M における R の元の M への作用のような「外的算法」は、すべて 1 項算法とみなされる。 なお、1 項算法は単項算法とよぶ方が語呂がいい。
非全域的算法
非全域的（あるいは局所的）な算法も珍しくはない。 例えば、あらゆるサイズの行列の全体を M で表すとき、M の二元 A, B にその和 A + B を対応させる写像は M における 2 項算法であるが、A, B が同サイズのときにしか A + B が定義されないから、非全域的算法である。 A, B にその積 AB を対応させる写像も M における 2 項算法であるが、A の列の個数と B の行の個数が等しいときにしか AB が定義されないから、やはり非全域的算法である。
形式言語における算法は、非全域的のものが一般的である。 例えば、述語言語（論理式と項とから成る）における論理記号は、論理式に対してのみ適用可能な 2 項または 1 項の非全域的算法を表すと解される。
項数が 2 より多い非全域的算法も珍しくはない。 例えば、述語言語における n 変数関数記号や n 変数述語記号は、項に対してのみ適用可能な n 項算法を表すと解される。
算法概念の拡張
冒頭に定義したとおり、f が集合 A における n 項算法であるとは、f が Aⁿ のある部分集合 D から A への写像であることをいう。 そうすると f は、Aⁿ×A の部分集合 {((x₁, ... , xₙ), y) | (x₁, ... , xₙ)∈D, f(x₁, ... , xₙ) = y } と同一視される。 従って、もしも f, g, ... が n 項算法なら、それらの集合としての和を考えることができる。 しかし一般には、f を動かせば、それに応じて n も動く。 そこで、より一般に、Aⁿ (n = 0, 1, 2, ... < ω) の集合としての直和を A* で表し、A* × A の部分集合 R のことまでも算法とよぶことにする。 ただしこういう広義 の算法については、α ∈ A* と y ∈ A とが (α, y) ∈ R をみたすことを通常の算法のように R(α) = y と書き表すことはできず、α R y と書かなければならない。 一つの α ∈ A* に対して (α, y) ∈ R をみたす y が唯一つとは限らないからである。 この意味でこれは、もはや算法ではなく（やはり広義の ）関係とよぶべきかもしれない。
こういう広義の算法・関係は、数理論理学にしばしば現れる。 例えば述語言語 A において、意味写像 f * の下で inf {f *(a₁), ... , f *(aₙ)} ≤ f *(b) をみたす論理式 a₁, ... , aₙ, b （n は任意）から出来る A*×A の元 ((a₁, ... , aₙ), b) の全体を R で表せば、これは上記の意味での広義の算法・関係である。
このように算法の概念と関係の概念をともに拡張して統合すると、算法と関係とを統一的に扱うことができて極めて有効である。
命名について
算法を「演算」とよぶことも多い。 しかし、ここで考えた「算法の概念」の名前としては、「算法」も「演算」も相応しくはないであろう。 「算法」は「計算の規則」あるいは「計算の方法」を連想させ、「演算」は「計算を演ずるという行為」を連想させ、ともに「写像」としての「算法の概念」を連想させにくい。 一つの写像に対しても、それの「計算の方法」は一般に複数あり、「計算する方法」も「計算の規則」も具体的に記述できない場合さえあり、人や機械が「計算を演ずるという行為」はもちろん写像とは異なるからである。 「写像」という概念が未発達で「計算」と「計算の仕方」の違いも曖昧であった時代に生まれた「算法」とか「演算」とかの言葉を用いるのが間違っているのであろう。
冒頭に記したとおり、計算機科学の分野ではアルゴリズムを「算法」とよぶこともあり、その場合には上記の意味での「算法」は「演算」とよぶ方がよいかもしれない。 しかし数学の分野では、上記の意味での「算法」という術語も昔から定着している。 むしろアルゴリズムを「算法」ではなく「計算手順」とする方が、意味からいっても先例を尊ぶ点でも、好ましいであろう。