普遍代数学
数学の一分野としての普遍代数学（ふへんだいすうがく、英: Universal algebra）あるいは一般代数学（いっぱんだいすうがく、英: general algebra）は、構造の「モデル」となる例についてではなく代数的構造そのものについて研究する分野である。例えば、その研究対象として個々の群を考えるのではなく群論そのものをその研究対象とするのである。
基本的な考え方
普遍代数学でいう代数 (algebra)（代数系）あるいは代数的構造 (algebraic structure) とは、集合 A に A 上の演算（算法）を合わせて考えたものを言う。A 上の n-項演算とは、A の n 個の元を引数に取り、A の一つの元を返す写像である。従って零項演算は単に A の元のこと、あるいは定数を意味することになる（これはしばしば a などのラテン小文字で表される）。単項演算は単に A から A への写像のことであり、これはその引数のまえに ~x のように記号を置くことでしばしば表される。二項演算はしばしば中置記法に従って x * y のように引数の間に記号を置く。多変数（項数は不特定でもいい）の場合には、通常の写像の記法に従って、引数をコンマで区切ってパーレンで括った f(x,y,z) や f(x₁,...,xₙ) のような書き方をする。特定の場面では、無限項演算が意味を持つ場合もあり、適当な無限添字集合 J を用いて  のような記法が用いられることもある（完備束の代数理論など）。代数について言及する一つの方法は、どのような型 Ω の代数であるかを明示することである。ここで Ω はその代数の演算のアリティ（項数）を表す自然数の順序組である。
等式系
演算を特定したあとは、その代数の内在的な性質というのは公理系によってさらに限局されることになるが、普遍代数学ではこういった公理系として等式（等式律、等式法則）によって与えるのが普通である。例えば、二項演算に対する結合性公理は等式 x * (y * z) = (x * y) * z によって定められる。この公理は集合 A の任意の元 x, y, z に対して満たされることが意図されている。
例
数学における通常の代数系の大半は代数多様性の例だが、それらの定義には量化や不等式が用いられていることも普通なので、確かめるのは必ずしも明らかなことではない。
基本的な構成法
型 Ω はいま固定して考えるものとする。このとき三種類の基本的な構成、準同型像、部分代数、直積（あるいは積）について述べる。
二つの代数 A, B の間の準同型とは A から B への写像 h: A → B であって、A の任意の演算 fA に対して対応する（アリティ n が等しい）B の演算 fB が存在して h(fA(x₁,...,xₙ)) = fB(h(x₁),...,h(xₙ)) を満たすことを言う（文脈から明らかならば添字の類いはしばしば省略する）。例えば e が定数（零項演算）ならば h(eA) = eB が成り立つということであり、単項演算 ~ については h(~x) = ~h(x) が成り立つということであり、二項演算 ∗ ならば h(x ∗ y) = h(x) ∗ h(y) が成立するということであり、それ以上のアリティでも同様である。準同型について述べるべきことは、準同型の項目に書かれているような特定の種類の準同型同様に、それほどない。特に、代数の準同型像 h(A) は同種の代数になる。
A の部分代数とは A の部分集合であって A の全ての演算の下で閉じているものを言う。また代数的構造の適当な集合の積はそれら集合のデカルト積に成分ごとの演算を定義したものである。
圏論とオペラド
こうした方法論をより一般に推し進めたものは圏論において効力を発揮する。普遍代数学において演算と公理のリストが与えられたとき、対応する代数とその間の準同型の全体は、それらを対象と射とする圏を成す。圏論は普遍代数学がカバーしていない多くの状況にまで適用できて、さまざまな定理がその範囲を拡張される。逆に、普遍代数学において成立する多くの定理がすべて圏論におけるものへ一般化されるわけでもない。従って、それぞれの分野はそれぞれに有効である。
より演算を一般化した圏論の近年の発展は、オペラド理論である（オペラドは普遍代数学で扱うのと同様の演算の集合）。