ルパート王子の立方体
幾何学におけるルパート王子の立方体（ルパートおうじのりっぽうたい、英: Prince Rupert's cube、名称はカンバーランド公ルパートに由来）とは、単位立方体（辺の長さが1の立方体）に貫通した穴を（2つ以上に分裂することなしに）通過できるような最大の立方体である。その1辺の長さは通過する相手である単位立方体より約6%長い。単位立方体に完全に含まれるような最大の正方形を求める問題と密接に関係しており、解も同じである。
カンバーランド公ルパートが問うた元々の問題は「立方体を、それと同じ大きさのもう一つの立方体に貫通させられるか？」であった。
一般化
自分自身のコピーを通り抜けさせることのできる正多面体は立方体だけではない。正四面体と正八面体でも同じことができる。
この問題を別の言い方で表現すれば、単位立方体に含まれるような最大の正方形を求めよという問いになる。より一般的に、Jerrard & Wetzel (2004)は与えられたアスペクト比を持ち、単位立方体に含まれるような最大の長方形を求める方法を示した。彼らが示すように、最適な長方形は常に立方体の中心を通り、頂点は立方体の辺上になければならない。これに基づき彼らは、実現したいアスペクト比に依存して、最適な長方形は立方体の4頂点を通って面を対角線で切ってできる平面上に乗っているか、もしくはルパート王子の立方体と同じように、立方体の1頂点にできる直角二等辺三角形および（立方体の中心についての）点対称の位置にできるもう一方の直角二等辺三角形の各斜辺を対辺とするものでなければならないことを示した。アスペクト比に制約がない場合、立方体に収まる最大面積の長方形は、立方体の最も遠い2辺・立方体の2面の対角線をあわせて4辺とする長方形となる。
一方で、-次元超単位立方体の中に納まるような最大の -次元超立方体の辺長を問うこともできる。解は常に代数的数になる。例えば  のとき、問題は4次元超立方体に含まれる最大の立方体を求めるものとなる。マーティン・ガードナーが『サイエンティフィック・アメリカン』上でこの問題を提案した後、Kay R. Pechenick DeVicci や他の何人かの読者が、(3,4) の場合の解は多項式  の2つの実数根のうち小さい方の正の平方根であることを証明した。これを算出すると約1.007435になる。 に対しては、-次元超立方体に含まれる最大の正方形の1辺は  が偶数であれば  、奇数であれば  である。