ソボレフ空間
導入
函数の滑らかさの基準にはいくつかの種類があり、最も基本的な基準はその連続性である。より強い判定基準は可微分性であり（実際、可微分函数は常に連続となる）、さらに導函数の連続性をも込めれば（そのような函数は C¹-級であるといわれる）より強い滑らかさの概念が与えられる。 可微分函数は多くの分野、特に微分方程式の理論において重要である。しかしながら20世紀に入ると、そのような C¹-級（あるいは同様な C², ... といった滑らかさのクラスに属する）函数の空間というものは、微分方程式を研究するための空間として本当に適切なものとは言えない事が理解されるようになる。
ソボレフ空間はそのような偏微分方程式の解を求めるための空間の、現代的な代替物である。
他の例
簡単な記述を持つほかのソボレフ空間としては、例えば開区間 (0, 1) 上で絶対連続な函数全体の成す空間 W1,1(0, 1) や任意の区間 I 上でリプシッツ連続な函数全体の成す空間 W1,∞(I) などが挙げられる。
空間 Wᵏ,∞ はすべて（ノルム付き）多元環となる。つまりこのソボレフ空間のふたつの函数の積は再びこの空間の元となる。このことは p が有限の場合には正しくない（例えば原点において |x|-1/3 のように振舞う函数は L² に属するが、そのような函数の積は L² に属さない）。
k が非整数値であるようなソボレフ空間
k が整数でない場合を扱うときには、誤解を防ぐために k の代わりに s を用いて Wˢ,ᵖ や Hˢ などと書くのが通例である。
ソボレフ函数の直線上絶対連続性による特徴づけ
Ω を Rⁿ の開集合とし、1 ≤ p ≤ ∞ とする。函数が W1,ᵖ(Ω) に属すならば、場合によっては測度 0 の集合上での値を変更して、その函数の Rⁿ の座標方向に平行な殆ど全ての直線への制限が絶対連続であるようにすることができる。逆に、座標方向に平行な殆ど全ての直線への f の制限が絶対連続ならば、各点ごとの傾き ∇f が殆ど至る所存在し、f と |∇f| の両方が Lᵖ(Ω) に属すとき f は W1,ᵖ(Ω) に属す。特に、このときの f の弱偏微分と各点ごとの傾きは殆ど至る所一致する。
より強い結果として、これは p = ∞ においても正しい。W1,∞(Ω) に属する函数は測度 0 の集合上値を変更することにより局所リプシッツにできる。