合成代数
例と用例
基礎体 K を複素数体 C として二次形式 z² をノルムに持つものと考えるとき、C 上の合成代数は C 自身、双複素数環、双四元数環（これは 2×2 複素行列環 M(2, C) に同型）、双八元数環（複素八元数環）C ⊗ O の四種類である。
全行列環 M(2, C) は長く興味を持たれた対象で、最初はハミルトン (1853) が双四元数として言及し、後にはそれと同型な行列の形で（特にパウリ代数として）扱われる。
実数体上で平方函数 N(x) = x² を考えたものは根源的な合成代数を成す。基礎体 K を実数体 R にとるならば、その上の合成代数は R の他は六種類しかない。2, 4, 8 の各次元において、合成代数は「分解型」と「多元体」の二種類が存在しており、それぞれ分解型複素数環（ノルム x² − y²）と複素数体（ノルム x² + y²）、分解型四元数環と四元数体、分解型八元数環と八元数体と呼ばれる。