ブレイド群
数学的な扱い
上記の直感的なブレイド群の議論を数学的に厳密に扱うには、代数トポロジーにおけるホモトピー的な考え方を用いる必要がある。この考え方では、ブレイド群を配置空間(configuration space)の基本群として定義する。 このことについては、組みひも理論の記事に概説されている。
その代わりに、ブレイド関係式を通じて純代数的にブレイド群を定義することも可能である。その場合ブレイドの図は、直感を助けるため以外には用いてはならないことに注意されたい。
歴史
ブレイド群は1925年にエミール・アルティン(Emil Artin)により明示的に導入された。、しかし、（1974年にウィルヘルム・マグナス(Wilhelm Magnus)が指摘しているように、)すでに暗には、ブレイドは、1981年のアドルフ・フルヴィッツ(Adolf Hurwitz)のモノドロミーの仕事の中に現れていた。実際、マグナスは、フルヴィッツはブレイド群を配置空間の基本群として解釈していて（組みひも理論を参照）、1962年にラルフ・フォックス(Ralph Fox)とレー・ノイヴィルス(Lee Neuwirth)により再発見されるまで、この見方をもたらす解釈は失われていた。
写像類群とブレイドの分類への関係
ブレイド群 Bₙ は、n 個の穴のあいた穴あき円板の写像類群(mapping class group)と同型であることを示すことができる。これは境界円板の各穴を糸で繋げるというイメージで最も容易に可視化される。即ち、写像類群の元は穴空き円板の穴を入れ替えるので、これを糸のホモトピー、つまり糸のブレイディングと見做すことができる。
この写像類群というブレイドの解釈を通し、各々のブレイドは、周期的で規約な、あるいは、擬アノソフ的なニールセン・サーストン分類(Nielsen-Thurston classification)として分類することができる。
結び目理論と繋がり
ブレイドが与えられ、最初の左側の点の集まりから右の点の集まりへ新しい糸を使って繋ぎ合わせることができ、第一の図式の左側の点と第二の図式の右側の点が関係付けられる（新しく糸でブレイドを作成することなく）るとすると、絡み目や、結び目が得られる。組み紐理論のアレクサンダーの定理は、逆もまた成立するという定理であり、すべての結び目と絡み目は少なくとも一つのブレイドから得られる形となる。そのようなブレイドは、絡み目を切断することにより得ることができる。ブレイドは生成子 σᵢ での語(word)として与えられるので、計算機プログラムで結び目を扱う方法として採用されている。
計算する場合
ブレイド関係式の語の問題(word problem)は、有効に解くことができ、Bₙ の元を生成子 σ₁, ..., σₙ−1 の項として正規化して表す表現方法が存在する。（本質的には、ブレイドの正規化形式を計算することは、上の図の第二の図式で説明されているように、糸の引っ張ることの代数的な類似物である。）GAP (数式処理システム)は、元がこれらの生成子の項で与えられれば、Bₙ の計算を実行することができる。 また、GAP3 の CHEVIE と呼ばれるシステムでは、特別な種類のブレイド群をサポートしている。語の問題は、ローレンス・クラマー表現(Lawrence-Krammer representation)を通した有効に解くことができるかという問題でもある。
それにもかかわらず、ブレイド群についての計算問題は非常に困難な問題があるため、暗号理論への応用が提案されている。
表現
ブレイド群 Bₙ の元は、行列によりより具体的に表現することができる。一つの古典的なそのような表現は、ブーラウ表現(Burau representation)であり、そこでは行列要素は一変数のローラン多項式である。ブーラウ表現が忠実であるか否かは長い間問題となっていたが、解答として n ≥ 5 に対しては否定的であることが判明した。さらに一般的に、ブレイド群が線型であるか否かは大きな未解決問題であった。1990年、ラス・ローレンス(Ruth Lawrence)は、複数のパラメータに依存するより一般的な「ローレンス表現」の族を記述した。1996年、ナヤカ(C. Nayak)とフランツ・ウィルチェック(Frank Wilczek)は、SO(3) の類似を考え、ブレイド群の射影表現がような分数量子ホール効果でのある擬粒子に関する物理的意味を持っていることを提唱した。2001年頃、ステファン・ビゲロー(Stephen Bigelow)とダン・クラマー(Daan Krammer)は、独立に、すべてのブレイド群は線型であることを証明した。彼らの仕事には、変数 q と t に依存しない次元 n(n−1)/2 のローレンス・クラマー表現(Lawrence–Krammer representation)が使われた。これらの変数を適切に特殊化することにより、ブレイド群 Bₙ は複素数上の一般線型群の部分群として実現することができる。