有理根定理
直接的な証明
P(x) = aₙxⁿ + aₙ−1xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ (a₀, ..., aₙ ∈ Z) なる多項式を考える。互いに素な p, q ∈ Z に対して P(p / q) = 0 を満たすことを仮定する：
(1)
(1) から定数項 a₀ を右辺へ移項し、両辺に qⁿ を掛けることで以下の方程式を得る。
(2)
p と括弧内の整数の積は −a₀qⁿ に等しく、従って p は a₀qⁿ を割り切れることが分かる。しかしながら、p と q は互いに素であり、ユークリッドの補題から同様に p と qⁿ も互いに素であるため、p は残る因数 a₀ を割り切ることが示される。
(1) から最高次の項 aₙ(p/q)ⁿ を右辺へ移項し両辺に qⁿ を掛けることで次の式を得る。
(3)
p と a₀ の場合と同様の理由で、q は最高次の係数 aₙ を割り切ることが示される。
ガウスの補題による証明
多項式のすべての係数を割り切る非自明な約数がある場合、その多項式を係数の最大公約数で割った、ガウスの補題の意味での原始多項式が得られる。この原始多項式の有理根は元の多項式と同じであり、可約条件だけが強められる。
ガウスの補題によれば、ある多項式が有理係数の多項式 ℚ[X] で因数分解できるなら、整係数の多項式 ℤ[X] で因数分解することができ、原始多項式の積として表すことができる。
ℚ[X] の 1 次の多項式が有理根 p/q を持つとき、p, q は互いに素であるとして、その多項式の原始多項式は qx − p となる。
qx − p を因数とする整係数多項式 ℤ[X] について、最高次の係数は q で割り切れ、定数項は p で割り切れるので、有理根定理が得られた。
この事はより一般に、多項式 P の可約でない因数は整係数を持つことができ、その最高次の係数と定数項が、対応する P の係数を割り切れることを示す。