メルセンヌ予想
数学において、メルセンヌ予想（メルセンヌよそう、英: Mersenne conjectures）とは、2ⁿ − 1（n は自然数）で表されるような数であるメルセンヌ数のうち素数のもの（メルセンヌ素数）の特徴づけに関する予想である。
マラン・メルセンヌによる元々のメルセンヌ予想の内容
メルセンヌ予想はマラン・メルセンヌによって「Cogitata Physica-Mathematica」（1644年発表; 例えば Dickson 1919を参照）の中で次のような形で初めて言及された。すなわち、「n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 の n に対して 2ⁿ − 1 は素数であり、これ以外のすべて正の整数に対しては n ≤ 257 の範囲で 2ⁿ − 1 は合成数である」というものであった。しかし、これらの n に対する 2ⁿ − 1 は、素数判定の計算をするにはあまりに巨大すぎて（例えば 2²⁵⁷ - 1 ）、メルセンヌはそれらの数字すべてが本当に素数であるか判定をしなかったし、できなかった。ただし、17世紀当時ではメルセンヌ以外の数学者も同様にこのような巨大な数の素数判定はできなかったであろう。3世紀後、en:Lucas–Lehmer primality test のような新たな素数判定の技法の発見により、メルセンヌ予想は5つの間違いを含んでいることが明らかになった。まず、これらの n のうち、 n = 67, 257 の2つの場合において 2ⁿ − 1 は合成数であるし、n = 61, 89, 107 の3つの場合において 2ⁿ − 1 は素数となるがメルセンヌはこれを見落としていた。正しくは、 n ≤ 257 の範囲でメルセンヌ数が素数となるような n は次の通りである。 n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127。メルセンヌの元々の予想は間違っていた一方で、 新メルセンヌ予想（New Mersenne conjecture）と Lenstra–Pomerance–Wagstaff 予想の研究へと繋がった。