自己同型
定義
自己同型の正確な定義は「数学的対象」の種類や、その対象上の「同型射」の定義によって変化する。「自己同型」という言葉が意味を持つ最も一般性の高い領域は圏論と呼ばれる数学の抽象的な分野である。圏は、抽象的な対象(object)とそれらの対象の間の射(morphism)を扱う。圏論においては、（圏論的な意味で）同型でもあるような自己準同型（つまり、対象から対象自身への射である）である。
圏論では、射は函数である必要もないし、対象は集合である必要もないので、この定義は非常に抽象的な定義である。しかし、より具体的な設定では、対象はある加法構造を持つであろうし、射はこの構造を保つであろう。
抽象代数学の文脈では、「数学的対象」とは例えば、群、環、ベクトル空間といった代数的構造である。この場合は、同型は単に全単射な準同型である。（準同型の定義は代数構造の種類に依存する、例えば、群準同型、環準同型、線型作用素を参照。）
恒等射は自明な自己同型(trivial automorphism)と呼ばれることもある。他の（恒等射ではない）自己同型は非自明な自己同型(nontrivial automorphisms)と呼ばれる。
歴史
群の自己同型の最初期における例は、1856年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンにより与えられた。彼は著書「icosian calculus」の中で、位数 2 の自己同型を発見し、次のように書いている。
従って、 は 1 の新たな5 乗根であり、先の 5 乗根  と完璧な相互関係で結ばれている。
内部自己同型と外部自己同型
ある種の圏、特に群、環、リー代数では、自己同型を「内部自己同型」と「外部自己同型」の 2種類に分けることができる。
群の場合、内部自己同型(inner automorphism)は、その群の元による共役作用である。群 G の各元 a に対し、a による共役とは （もしくは、a⁻¹ga 、使い道により異なる）により与えられる作用 φₐ : G → G のことである。a による共役が群の自己同型であることは容易に分かる。内部自己同型全体は Aut(G) の正規部分群を成し、これを Inn(G) で表す。これをグルサの補題(Goursat's lemma)という。
これ以外の自己同型を外部自己同型(outer automorphism)と呼ぶ。商群 Aut(G) / Inn(G) を普通、Out(G) で表す。この群の非自明な元は、外部自己同型を含む剰余類である。
a が可逆元であれば、任意の単位元を持つ環や体上の代数においても同様の定義が成り立つ。リー代数に対しては、定義は少し異なる。