ラグランジュの定理 (群論)
逆
ラグランジュの定理の逆が成立するか問うことができる。つまり、位数 n の有限群 G と n を割り切る自然数 d が与えられたとき「位数が d である G の部分群が存在するか」という問いである。よく知られているように、これは一般には存在しない。位数12である4次の交代群 G = A₄ が位数6である部分群をもたないので、（群 G の位数が最小の）反例を与えるからである。 一方、特別な状況では逆が成立することが知られている。その最たる例はシローの定理である。つまり位数 n を割り切る素数 p のべきで最大のもの d = nₚ を考えると、位数 nₚ の部分群（シロー部分群）が存在する。もうすこし一般に d が nₚ を割り切るならば、位数 d の部分群が存在することもわかる。（コーシーの定理も参照のこと。）