微分
区間における微分可能性と導関数
関数 f(x) が開区間  で定義されており、すべての  において微分可能であるとき、f は区間 I において微分可能であるという。またそのとき、a に対して微分係数 f(a) を対応させる区間 I 上の関数のことを、f の導関数といい f′（または変数の記号を補って f′(x)）で表す。
I がその他のタイプの区間である場合にも、区間 I における微分可能性を定義することができる。たとえば、I が有界閉区間 [α, β] である場合には、区間の内点では通常の意味での微分係数の存在を要請し、α では右側微分係数が、β では左側微分係数が存在することを要請する。導関数 f′(x) の値は、x = α では右側微分係数、x = β では左側微分係数とする。
関数 f が区間 I において微分可能で、さらに導関数 f′ が I で連続であるとき、f は I において連続微分可能である、または C¹ 級であるという。
1次近似による定式化
開区間  で定義された関数 f(x) について、 とするとき、次の条件は f(x) の x = a における微分可能性と同値である。
ある定数 A が存在して、h → 0 のとき f(a + h) = f(a) + Ah + o(h) である。
ここで o(h) はランダウの記号である。この条件が成り立つとき、A は微分係数 f′(a) に他ならない。
「h → 0 のとき f(a + h) = f(a) + Ah + o(h)」が成り立つことを指して、f(a) + Ah は f(a + h) の x = a における1次近似であるという。この言葉を用いれば、一点における微分可能性とは1次近似可能性のことだといえる。またこれは、#直観的な説明の、微分係数に関する3番目の説明を厳密化したものとみることができる。
高階微分
関数 f が区間 I で導関数 f′ をもち、それがさらに I で微分可能なとき、f′ の導関数を f の2階導関数とよび f′′ で表す。より一般に、関数 f が区間 I で n 回繰り返して微分できるとき、f は I で n 階微分可能であるといい、n 回微分して得られる関数を n 階導関数といって f で表す。
f が n 階微分可能で、さらに n 階導関数 f が連続であるとき、f は n 階連続微分可能である（または Cⁿ 級である）という。何回でも微分可能な関数は無限階微分可能である（または C∞ 級である）という。C∞ 級関数のことを滑らかな関数ということもある（ただしこの語の用法は必ずしも一定しておらず、たとえば単に微分可能であることを指して滑らかであるという場合もある）。
導関数の符号と関数の増減
微分可能な関数 f(x) について、導関数 f′(x) が正の値をとる区間では、f(x) の値は単調増加する（より詳しくいえば、狭義単調増加する）。導関数 f′(x) が負の値をとる区間では f(x) の値は単調減少する。導関数 f′(x) の値がつねに 0 であるような区間では、関数 f(x) の値は一定である。
2階導関数の符号と関数の凹凸
2階微分可能な関数 f(x) について、2階導関数 f′′(x) が正の値をとる区間では、関数 f(x) は凸（下に凸）である。f′′(x) が負の値をとる区間では関数 f(x) は凹（上に凸）である。
関数 f(x) が x = a の前後で凸から凹に、あるいは凹から凸に切り替わるとき、点 (a, f(a)) は f(x) のグラフの変曲点であるという。2階微分可能な関数 f(x) については、これは2階導関数 f′′(x) の符号が切り替わる x の値に対応する点ということができる。