極座標系
極座標系（きょくざひょうけい、英: polar coordinates system）とは、n 次元ユークリッド空間 Rⁿ 上で定義され、1 個の動径 r と n − 1 個の偏角 θ₁, …, θₙ−1 からなる座標系のことである。点 S(0, 0, x₃, …,xₙ) を除く直交座標は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、S においてはヤコビアン が 0 となってしまうから、一意的な極座標表現は不可能である。それは、S に於ける偏角が定義できないことからも明らかである。
円座標
2 次元ユークリッド空間 R² における極座標は円座標（circular coordinates）と呼ばれ、一つの動径座標と一つの角度座標からなる、最も単純な極座標である。rθ 平面、極座標平面（または平面極座標）ともいう。特異点は (r, θ) = (0, θ) 即ち、xy座標での原点 (x, y) = (0, 0) である。2 次元実ベクトル空間にも定義できることから、複素数体 C 上にも定義できる。この時、円座標を極形式と呼んだりもする。その場合、オイラーの公式を利用して z = reiθ と表す。円座標平面上で偏角を限定しなければ、これはxy平面上で円を描く。
円座標 (r,θ) から直交直線座標 (x,y) への変換は
で与えられる。角度座標の範囲を −π < θ ≤ π とする場合の直交直線座標から円座標への変換は
で与えられる。ここで sgn は符号関数である。原点 (x,y) = (0,0) において特異性があり、分母がゼロとなるため θ が定まらない。
円柱座標
円座標で (0, 0) を除く xy 平面上の全ての点を表現できるから、これに z 軸を加えれば、xyz 空間が表現できる。これを円柱座標（cylindrical coordinates）と言う。円柱座標空間上（rθz 空間上ともいう）で、θ, z を限定しなければ、これは xyz 空間上で円柱を描く。 また、円柱座標空間上の特異点は z 軸上の全ての点である。
円筒座標 (r,θ,z) から直交直線座標 (x,y,z) への変換は
で与えられ、直交直線座標から円筒座標への変換は
で与えられる。
球座標
3 次元ユークリッド空間 R³ における極座標。球面座標（Spherical coordinates）とも呼ばれる。1 個の動径 r と 2 個の偏角 θ, φ によってなる（図を参照）。球座標において、動径を固定し、2 個の偏角を動かせば、xyz 空間上で球を描く。
球座標から直交直線座標への変換は
で与えられ、直交直線座標から球座標への変換は
で与えられる。z-軸上 (x,y) = (0,0) において特異性があり、分母がゼロとなるため φ が定まらない。原点においては θ も定まらない。