有理数
用語法について
rational number は原義として 希: λογος （ = 英: ratio、日: 比) の有る数という意味であり、a/b は b に対して a の示す比の値（a が b に占める割合）を意味する。それゆえ「有比数」とでも訳した方がよいのではというのがしばしば話のネタにされる。
数学の各所で、有理数体 Q を基礎とする（すなわち、Q 上定義される）概念に対して、「有理—」というような接頭辞を付けるということがしばしば行われる。例えば、有理数でもあるような代数的整数を「有理整数」（これはつまり、初等代数学で扱われる通常の整数のことにほかならない）という。あるいは、成分が有理数であるような行列を「有理行列」と言ったり、有理数係数の多項式を「有理多項式」と呼んだりする（「有理数体上の多項式」とも言う）。あるいは何らかの点集合で、成分が全て有理数であるような点を「有理点」と呼ぶ（代数群の有理点など）。
一方で、「有理—」という名称でありながら、前述のような意味ではないものもたくさんある。例えば、有理函数は基礎体が有理数体であるという意味ではなく、「多項式の比」になっているような函数という意味である。同様に、有理代数曲線は有理数係数の代数曲線という意味ではない。
基本性質
既に述べたように、通常の四則演算のもと、代数系 (Q, +, ×, 0, 1) は有理数体と呼ばれる体を成す。また、有理整数環 Z の商体である。加えて、有理数体 Q は標数 0 の体の中で最小のもので、標数 0 の素体と呼ばれる（すなわち、標数が 0 であるような任意の体は、必ず Q に同型な部分体を含む）。Q の拡大体は一般に代数体、その元は代数的数と呼ばれ、特に代数的数の全体は体を成し Q の代数閉包 A（Q とも書く）となる。
Q は可算無限集合である（これはたとえば、分母と分子の組を二次元平面上の格子点と考え、うずまき状に辿って自然数と対応付ければよい）。実数全体 R は非可算なので、濃度の意味で（あるいはルベーグ測度の意味で）ほとんどの実数は無理数であることになる（可算性により Q のルベーグ測度は 0 となる）。
Q は通常の大小関係を順序として全順序集合であり、特に稠密順序集合となる。すなわち、二つの有理数の間には（それがいくら近い値だとしても）少なくとも一つ（従って無数の）有理数が存在する。実は逆に、全順序な稠密順序集合がさらに最大元も最小元も持たないならば、必ず Q と順序同型である。