微分可能関数
微分可能性と連続性
f が点 x₀ において微分可能であるなら、f はその点 x₀ において連続である。特に、微分可能関数はどのようなものでも、その定義域内のすべての点において連続である。しかしその逆は成立しない：すなわち、連続関数は必ずしも微分可能ではない。例えば、折れ（bend）や尖点、あるいは垂直接線を伴う関数は連続であることもあり得るが、それら例外的な箇所においては微分可能性は失われている。
現実に現れる多くの関数は、すべての点あるいはほとんどすべての点において導関数を持つものである。しかし、バナッハによる一つの結果として、ある点において導関数を持つ関数の集合は、すべての連続関数からなる空間におけるやせた集合であることが示されている。くだけた言い方をすると、このことはつまり、微分可能関数は連続関数の中でも珍しいものであることを意味している。至る所で連続であるが、どこにおいても微分可能ではない関数の最もよく知られた例は、ワイエルシュトラス関数である。
複素解析における微分可能性
複素解析において、ある点の近傍で複素微分可能な関数はすべて正則と呼ばれる。そのような関数は必ず無限回微分可能であり、実は解析的である。
多様体上の微分可能関数
M が微分可能多様体であるとき、M 上の実あるいは複素数値関数 f がある点 p において微分可能であるとは、それが p の周りで定義されるある（あるいは、任意の）座標に関して微分可能であることを言う。より一般的に、M と N が微分可能多様体であるとき、関数 f: M → N がある点 p において微分可能であるとは、それが p と f(p) の周りで定義されるある（あるいは、任意の）座標に関して微分可能であることを言う。