回転 (数学)
二次元
二次元における回転を特定するには、回転角と呼ばれる角度を一つ決めさえすればよい。回転を記述するために、行列や複素数を利用することができる。何れの場合も、回転は原点を中心に反時計回りに角 θ だけ物体を回すものとして作用する。
三次元
通常の三次元空間における回転は、種々の重要な方法において二次元の場合との違いがある。三次元の回転は一般には可換でないから、回転を施す順番は重要である。三次元での回転の自由度は 3 で、次元の値と同一である。
三次元回転を特定する方法は様々にあり、もっともよく用いられるものをいくつか以下に挙げる。
移動体の主軸回転
二次元の回転角を一般化する一つの方法として、三つの主軸の周りでの転回を与える三つの回転角を指定する方法がある。それらは個々にロール・ピッチ・ヨー角と一般には呼ばれているが、数学においてはより数学的な名前でオイラー角という。これらの角はジンバルやジョイスティックのような物理的系の数々のモデル化において優れており、容易に視覚化することもできるし、非常に簡潔に回転を記録することができる。しかしこの角の概念は計算には向いておらず、たとえ回転を組み合わせる単純な操作でさえも、計算を実行するのは手が掛かりすぎる。また、ある種の回転に対してはオイラー角が一意に決まらないというジンバルロックといった形でも弱点を持っている。
オイラー回転
オイラー回転は、三つのオイラー角のうち二つを動かさずに残りの一つだけを変化させて得られる運動としての、三種類の回転からなる集合を言う。オイラー回転を外部の基準系や移動体とともに回転する基準系の言葉で記述することはできず、それらを組み合わせなければならない。そうして回転の混合軸系 (mixed axes of rotation system) が得られ、第一の角は外部軸 z の周りで結節点の成す直線を動かし、第二のはその結節点の成す直線の周りでの回転を示し、第三の角は移動体に固定された軸の周りでの内部的な回転（自転）を表す。
これらの三種の回転をそれぞれ、歳差運動 (Precession), 章動運動 (Nutation), 自転 (intrinsic rotation) と呼ぶ。
四次元
四次元における一般の回転は、回転の中心となる一点のみを固定し、回転軸を持たない代わりに互いに直交する二つの回転不変面（回転によって、その平面上の各点が回転の後もその平面内に留まるという意味で、固定される面）を持つ。故に四次元での回転は、各回転面においてその上の点の平面回転として定まる、二つの回転角を持つ。その回転角を ω₁ および ω₂ とすれば、これら回転面上にない任意の点は ω₁ と ω₂ の間の角を通じて回転する。
ω₁ = ω₂ となる場合、回転は二重回転となり、全ての点は同一の回転角を持つ。故に任意の直交二平面を回転面として取ることができる。また、ω₁ と ω₂ のいずれか一方が零であるときは、一方の回転面は各点が不動となり、回転は単回転になる。ω₁ と ω₂ がともに零であるような回転は、恒等回転である。
四次元の回転は、回転行列の一般化としての、4-次の直交行列で表される。四元数もまた四次元へ一般化された概念であり、四次元幾何代数に属する多重ベクトルともなる。第三のアプローチとして、これは四次元でしか意味を成さないけれども、単位四元数の対を用いる方法がある。
四次元における回転の自由度は 6 であり、このことを見るには二つの単位四元数を用いるのが最も容易である（三次元球面上の点として各単位四元数の自由度は 3, 二つで 2 × 3 = 6 の自由度になる）。
相対論
四次元における回転は特殊相対論にも応用があり、空間次元 3 と時間次元 1 で張られる四次元空間としての時空における操作と考えることができる。特殊相対論においてこの空間は線型であり、ローレンツ変換と呼ばれる四次元回転は実際の物理学的な解釈を持つ。
単回転は空間三次元に関してのみ起きる（つまり、回転面が空間の全体に亙る）ならば、回転は三次元における空間回転と同じになる。しかし、空間次元と時間次元の張る平面の周りの単回転は「ブースト」、つまり二つの異なる基準系の間の変換で、基準系間の相対論的関係によって決まる時空の性質を満たすものとなる。このような回転変換全体の成す集合はローレンツ群を成す。
直交行列
上で述べた行列全体の成す集合 M(v,θ) の上に行列の乗法を考えたものは回転群 SO(3) である。
もっと一般に、任意次元における座標回転は直交行列によって表される。n-次元直交行列で真の回転を表すもの（行列式 1 のもの）全体の成す集合に、行列の乗法を入れたものは特殊直交群 SO(n) を成す。
直交行列は実成分で考えるが、その複素行列における対応物としてユニタリ行列がある。与えられた次元 n を持つユニタリ行列全体の成す集合は n-次ユニタリ群 U(n) を成し、またその部分群として、真の回転を表すもの全体は n-次特殊ユニタリ群 SU(n) を成す。SU(2) の元は量子力学においてスピンの回転に用いられる。