ラングランズ双対
分離的な閉体の定義
分離的な閉体 K 上の簡約代数群から、簡約代数群のルートデータ(root datum) (X*, Δ, X*, Δᵛ) を構成することができ、そこでは、X* は極大トーラスの指標の格子である双対格子 X* （一径数部分群で与えられる）であり、Δ はルート、 Δᵛ はコルートである。K 上の連結簡約代数群は、ルートデータにより（同型を除き）一意に決定される。ルートデータは群の中心を決定するので、ディンキン図形より少し多い情報を持っている。
任意のルートデータ (X*, Δ,X*, Δᵛ) に対し、双対ルートデータ (X*, Δᵛ,X*, Δ) を一径数部分群を持つ指標を取り替え、ルートとコルートを取り替えることにより定義できる。 
G が代数的閉体 K 上の連結簡約代数群であれば、ラングランズ双対群 ᴸG は複素連結簡約群で、そのルートデータは G のルートデータの双対である。
例: ラングランズ双対群 ᴸG は G と同じディンキン図形を持つ。ただし、タイプ Bₙ の成分はタイプ Cₙ の成分と互いに入れ替える。G が自明な中心を持つと、ᴸG は単純連結で、G が単純連結であれば、ᴸG は自明な中心を持つ。GLₙ(K) のラングランズ双対群は、GLₙ(C) である。
応用
ラングランズ予想は、非常に大まかには、G が局所体、あるいは大域体上の簡約代数群であれば、G の「良い」表現とガロア群（ヴェイユ群）から G のラングランズ双対群への準同型との間に対応が存在するという予想である。この予想のもう少し一般的な予想としては、ラングランズ函手性(Langlands functoriality)であり、ラングランズ函手性とは、大まかには言うと、（よい振る舞いをする）ラングランズ双対群との準同型が与えられると、対応する群の「よい」表現の間に写像が誘導されるはずであるという性質である。
この理論を明らかとするために、L-群の L-準同型の概念を他方でも定義せねばならない。すなわち、L-群は圏を構成していなければいけなく、従って、函手性が意味を持つ。複素リー群上の定義は期待通りであるが、L-準同型はヴェイユ群の上でなければならない。