極値
定義
f(x) をRⁿ の部分集合 A で定義された（つまり n 変数の）実数値関数とする。x₀ のある ε-近傍が A に含まれ、f(x₀) がその近傍に属する任意の点 x に対して f(x₀) ≥ f(x) を満たすとき、f(x) は x₀ において極大になるといい、f(x₀) を極大値という。同様に定義域に含まれる x₀ のある ε-近傍で、その近傍に含まれる任意の点 x に対して f(x₀) ≤ f(x) が成り立つとき、f(x₀) を極小値といい、f(x) は x₀ において極小になるといわれる。極小値または極大値をとることを極値をとるといい、極値をとる点のことを極値点という。
上の定義において、≥ を > に、≤ を < に置き換えたものをそれぞれ狭義の極大、狭義の極小と呼ぶこともある。例えば定数値関数はその定義域の内点ではすべて極値をとるが、それらは狭義の極大・極小ではない。
またこの定義では、極値点を定義域の内点に限定しているため、最大・最小値が極値になるとは限らない。例えば関数が区間の端の点で最大値を取っても、極大にはなっていない。しかし内点で最大値を取ればそれは極大値でもある。