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数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|Theorem ofbounded convergence

Theorem of bounded convergence. Uniformity of convergence is a sufficient condition for continuity or integrability of the sum, provided the separate terms are continuous or integrable. It is far from a necessary condition. In practice it is usually easier to test directly whether the limit function is integrable than to test for uniform convergence, and there are so many cases where the passage to the limit under the integral sign is valid without convergence being uniform that a more general rule is needed. Such a rule is as follows. It is known as the theorem of bounded convergencea. If for all $a \leqslant x \leqslant b,\left|f_n(x)\right| \leqslant M$ for all $n$ and $x$, if all $f_n(x)$ are integrable and if $f_n(x) \rightarrow f(x)$, where $f(x)$ is integrable, then $\int_a^b f_n(x) d x \rightarrow \int_a^b f(x) d x$. The proof is not easy, but the result should be known. The behaviour of $f_n(x)$ and
$$\lim {n \rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(x) d x, \int_0^1 \lim {n \rightarrow \infty} f_n(x) d x$$
should be studied for the cases
$$f_n(x)=x e^{-n x}, f_n(x)=n x e^{-n x}, f_n(x)=n^2 x e^{-n x}$$

数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|Useful comparison series

1.117. Useful comparison series. By far the most important comparison series are $\Sigma x^n(0 \leqslant x<1), \Sigma n^{-s}(s>1)$, which we have already studied, and $\Sigma n^s a^n(0 \leqslant a<1)$. The convergence of the latter follows at once from the $M$ test if $s<0$. If $s \geqslant 0$, we have $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^s a=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\circ} a \text {. }$$ As $n$ increases this tends to $a$. Hence, since $a<1$, we can take $m$ large enough for this ratio to be less than $b$ for all $n>m$, where $am$,
$$\left|u_n\right|<u_m b^{n-m}$$
and $\Sigma b^{n-m}$ is a convergent series of positive terms. Hence $\Sigma n^s a^n$ converges for $0 \leqslant a<1$. Comparison with the series $\Sigma n^{-s}$ can often be simplified. If $v_n=n^{-s}(1<8)$,
$$n\left(1-\frac{v_n}{v_{n-1}}\right)=n\left{1-\left(\frac{n-1}{n}\right)^s\right} \rightarrow 8$$

数学物理方法代写

数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|Theorem ofbounded convergence

$$\lim n \rightarrow \infty \int_0^1 f_n(x) d x, \int_0^1 \lim n \rightarrow \infty f_n(x) d x$$

$$f_n(x)=x e^{-n x}, f_n(x)=n x e^{-n x}, f_n(x)=n^2 x e^{-n x}$$

数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|Useful comparison series

1.117。有用的比较系列。到目前为止，最重要的比较系列是 $\Sigma x^n(0 \leqslant x<1), \Sigma n^{-s}(s>1)$ ，我们已经研究 过，并且 $\Sigma n^s a^n(0 \leqslant a<1)$. 后者的收玫立即来自 $M$ 测试是否 $s<0$. 如果 $s \geqslant 0$ ，我们有 $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^s a=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\circ} a .$$ 作为 $n$ 增加这往往 $a$. 因此，因为 $a<1$ ，我们可以采取 $m$ 大到足以使这个比率小于 $b$ 对全部 $n>m$ ，在哪里 $a m$
$$\left|u_n\right|<u_m b^{n-m}$$

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
no_question

the passage discusses the theorem of bounded convergence and useful comparison series in the context of mathematical methods, specifically focusing on the conditions for the convergence of series and integrals. it does not contain a specific mathematical question or problem to solve.
Given a text passage, determine:
    1. If it contains a mathematical question (including word problems or calculations)
    2. If an answer to that mathematical question is provided in the text

First, describe the content structure you found in 1-2 sentences.

Then provide your analysis in the following format:
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system
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数学物理方法代写

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
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TYPE: NO_QUESTION

The passage discusses the theorem of bounded convergence and useful comparison series in the context of mathematical methods, specifically focusing on the conditions for the convergence of series and integrals. It does not contain a specific mathematical question or problem to solve.