$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$

Seuraavat ohjeet pätevät aina kun raja-arvo pitäisi laskea funktion lausekkeesta:

• Yritä aina ensin suoraa sijoitusta!
• Vain, jos sijoitus tuottaa epämääräisen muodon $$\frac{0}{0}$$, $$\frac{\infty}{\infty}$$, $$\infty-\infty$$, $$0\cdot\infty$$ tai $$\frac{a}{0}$$, tarvitaan lisätarkasteluja

Esimerkki 1.3.1

$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}\sqrt{4x^4-4}=\sqrt{4\cdot2^4-4}=\sqrt{60}=\sqrt{4\cdot 15}=2\sqrt{15}.$$

Rationaalifunktio on kahden polynomin osamäärä $$\frac{p(x)}{q(x)}$$. Jos laskettavana on raja-arvo $$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{p(x)}{q(x)}$$, ja suora sijoitus tuottaa muodon $$\frac{0}{0}$$, niin silloin $$x_0$$ on molempien polynomien juuri.

Ohje 1.3.2 (Rationaalifunktion raja-arvo supistamalla)

1. Jaa sekä osoittaja että nimittäjä tekijöihin.
2. Supista yhteiset tekijät.
3. Laske jäljelle jääneen lausekkeen arvo sijoittamalla $$x=x_0$$.

Esimerkki 1.3.3

$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-5x+4}{x^2-4x}=\frac{1^2-5\cdot 1+4}{1^2-4\cdot 1}=\frac{0}{-3}=0\qquad \text{vastaus suoraan sijoittamalla.}$

Kuitenkin

$\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^2-5x+4}{x^2-4x}= \frac{0}{0}\qquad \text{epämääräinen muoto.}$

Jälkimmäisessä tarvitaan siis osoittajan ja nimittäjän tekijöihin jako, sillä $$4$$ on molempien nollakohta:

$x^2-4x=x(x-4) \qquad\text{ja}\qquad x^2-5x+4=(x-4)(x-1).$

Osoittajan tekijöihinjako onnistui ottamalla yhteinen tekijä, mutta nimittäjän tekijät saadaan selville ratkaisemalla sen nollakohdat. Raja-arvo saadaan seuraavasti:

$\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^2-5x+4}{x^2-4x}=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x-4)(x-1)}{x(x-4)}=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x-1}{x}=\frac{4-1}{4}=\frac{3}{4}.$

Ohje 1.3.4 (Keinoja polynomien tekijöihinjakoon)

• Yhteinen tekijä

• Binomikaavat sekä summan ja erotuksen tulo

• Polynomin nollakohdat (CAS-laskimessa komento factor): Jos toisen asteen yhtälön $$ax^2+bx+c=0$$ reaalijuuret ovat $$x_1$$ ja $$x_2$$, niin

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

Esimerkki 1.3.5

Suoraan sijoittamalla

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^3+7x}{2x^3-2x^2-4x}= \frac{0}{0} \qquad \text{epämääräinen muoto.}$

Tekijöihinjako tuottaa seuraavan osamäärän:

$\frac{x^3+7x}{2x^3-2x^2-4x}=\frac{x(x^2+7)}{2x(x-2)(x+1)}=\frac{x^2+7}{2(x-2)(x+1)}.$

Sijoittamalla tähän $$0$$, saadaan raja-arvoksi

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^3+7x}{2x^3-2x^2-4x}=\frac{0^2+7}{2\cdot(0-2)\cdot(0+1)}=\frac{7}{-4}=-\frac{7}{4}.$
Palautusta lähetetään...
The text passage contains a series of instructions and examples for calculating limits of functions, particularly focusing on rational functions and indeterminate forms. It provides multiple examples of limit calculations, some of which are solved directly and others that require factoring and simplification.
multiple_questions_with_answers
Given a text passage, determine:
    1. If it contains a mathematical question (including word problems or calculations)
    2. If an answer to that mathematical question is provided in the text

First, describe the content structure you found in 1-2 sentences.

Then provide your analysis in the following format:
TYPE: <one of the following values>
- NO_QUESTION
- SINGLE_QUESTION
- SINGLE_QUESTION_WITH_ANSWER
- MULTIPLE_QUESTIONS
- MULTIPLE_QUESTIONS_WITH_ANSWERS
system
$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$

Seuraavat ohjeet pätevät aina kun raja-arvo pitäisi laskea funktion lausekkeesta:

• Yritä aina ensin suoraa sijoitusta!
• Vain, jos sijoitus tuottaa epämääräisen muodon $$\frac{0}{0}$$, $$\frac{\infty}{\infty}$$, $$\infty-\infty$$, $$0\cdot\infty$$ tai $$\frac{a}{0}$$, tarvitaan lisätarkasteluja

Esimerkki 1.3.1

$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}\sqrt{4x^4-4}=\sqrt{4\cdot2^4-4}=\sqrt{60}=\sqrt{4\cdot 15}=2\sqrt{15}.$$

Rationaalifunktio on kahden polynomin osamäärä $$\frac{p(x)}{q(x)}$$. Jos laskettavana on raja-arvo $$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{p(x)}{q(x)}$$, ja suora sijoitus tuottaa muodon $$\frac{0}{0}$$, niin silloin $$x_0$$ on molempien polynomien juuri.

Ohje 1.3.2 (Rationaalifunktion raja-arvo supistamalla)

1. Jaa sekä osoittaja että nimittäjä tekijöihin.
2. Supista yhteiset tekijät.
3. Laske jäljelle jääneen lausekkeen arvo sijoittamalla $$x=x_0$$.

Esimerkki 1.3.3

$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-5x+4}{x^2-4x}=\frac{1^2-5\cdot 1+4}{1^2-4\cdot 1}=\frac{0}{-3}=0\qquad \text{vastaus suoraan sijoittamalla.}$

Kuitenkin

$\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^2-5x+4}{x^2-4x}= \frac{0}{0}\qquad \text{epämääräinen muoto.}$

Jälkimmäisessä tarvitaan siis osoittajan ja nimittäjän tekijöihin jako, sillä $$4$$ on molempien nollakohta:

$x^2-4x=x(x-4) \qquad\text{ja}\qquad x^2-5x+4=(x-4)(x-1).$

Osoittajan tekijöihinjako onnistui ottamalla yhteinen tekijä, mutta nimittäjän tekijät saadaan selville ratkaisemalla sen nollakohdat. Raja-arvo saadaan seuraavasti:

$\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^2-5x+4}{x^2-4x}=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x-4)(x-1)}{x(x-4)}=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x-1}{x}=\frac{4-1}{4}=\frac{3}{4}.$

Ohje 1.3.4 (Keinoja polynomien tekijöihinjakoon)

• Yhteinen tekijä

• Binomikaavat sekä summan ja erotuksen tulo

• Polynomin nollakohdat (CAS-laskimessa komento factor): Jos toisen asteen yhtälön $$ax^2+bx+c=0$$ reaalijuuret ovat $$x_1$$ ja $$x_2$$, niin

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

Esimerkki 1.3.5

Suoraan sijoittamalla

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^3+7x}{2x^3-2x^2-4x}= \frac{0}{0} \qquad \text{epämääräinen muoto.}$

Tekijöihinjako tuottaa seuraavan osamäärän:

$\frac{x^3+7x}{2x^3-2x^2-4x}=\frac{x(x^2+7)}{2x(x-2)(x+1)}=\frac{x^2+7}{2(x-2)(x+1)}.$

Sijoittamalla tähän $$0$$, saadaan raja-arvoksi

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^3+7x}{2x^3-2x^2-4x}=\frac{0^2+7}{2\cdot(0-2)\cdot(0+1)}=\frac{7}{-4}=-\frac{7}{4}.$
Palautusta lähetetään...
user
The text passage contains a series of instructions and examples for calculating limits of functions, particularly focusing on rational functions and indeterminate forms. It provides multiple examples of limit calculations, some of which are solved directly and others that require factoring and simplification.

TYPE: MULTIPLE_QUESTIONS_WITH_ANSWERS