konform avbildning
Store norske leksikon,Realfag,Matematikk,Geometri og topologi,Differensialgeometri
Konform avbildning er en avbildning fra en matematisk mengde til en annen der en del grunnleggende egenskaper i den opprinnelige mengden blir bevart.
For flater er en konform avbildning en avbildning (transformasjon) av en flate på en annen flate slik at vinkelen mellom to tilsvarende kurver bevares. En slik avbildning kalles derfor også for en vinkeltro avbildning.Ved en avbildning av et plan på et annet, slik at punktet \((x, y)\) i det ene plan svarer til punktet \((u, v)\) i det andre, er betingelsen for en konform avbildning at de partielle deriverte må oppfylle følgende ligninger: \(\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y}\) \(\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \) Disse partielle differensialligningene er de såkalte Cauchy-Riemannske ligningene, som også er betingelsen for at en funksjon av en kompleks variabel \(f(z) = f(x + iy) = u + iv = w\) skal være en analytisk funksjon. Avbildningen av et komplekst plan på et annet ved en analytisk funksjon \(w = f(z)\) definerer altså en konform avbildning.Konforme avbildninger ble først innført og studert i forbindelse med kartprojeksjoner. Betegnelsen konform avbildning skyldes J. C. F. Gauss, som utviklet den matematiske teorien for slike projeksjoner.For andre geometrier hvor vi har en metrikk \( ds^2\), så er en konform avbildning en avbildning som bevarer vinkler. Dermed må den transformerte metrikken være på formen \( \phi^2ds^2\).Generelt vil en transformasjon som skalerer indreproduktet bevare vinkler.