aksiom
        
         (matematikk)
Store norske leksikon,Realfag,Matematikk,Matematikkens grunnlag og historie,Matematisk logikk
Aksiom er en grunnleggende regel, grunnsetning eller forutsetning, som sammen med andre aksiomer danner grunnlaget for et logisk system eller en matematisk teori.
Innenfor matematikk og de eksakte vitenskapene streber man etter et system som er bygd opp på aksiomer og resultater avledet av disse ved logiske regler.Et abstrakt matematisk system består som regel av gitte elementer (symboler, punkter, bokstaver) og visse regler for hvordan disse skal kombineres.Sammensetningen av alle aksiomene (aksiomsystemet) angir så egenskapene ved disse operasjonene, og de matematiske satsene (teoremene) følger fra aksiomene gjennom logiske slutningsregler.Ved studiet av aksiomsystemer oppstår det visse problemer som er viktige for matematikkens grunnlag. Særlig er en interessert i om en matematisk teori er motsigelsesfri, om den ikke kan lede til motsigelser slik som 3 = 4.Videre undersøkes om ett eller flere aksiomer kan være overflødige (redundante) ved at de kan avledes av de øvrige. Et aksiomsystem for en matematisk teori som bestemmer den entydig, sies å være kategorisk. Endring i aksiombegrepet Begrepet aksiom ble opprinnelig brukt om en påstand eller grunnsetning som ble ansett som umiddelbart innlysende og derfor kunne godtas uten bevis.Det evklidske parallellaksiomet (at det gjennom ethvert punkt kan dras én og bare én rett linje parallell med en gitt linje), ble fra gammelt av fremholdt som en slik sannhet.Siden har nettopp dette aksiomet spilt en stor rolle for å klargjøre aksiomenes betydning. I den vanlige geometrien gjelder parallellaksiomet, men om dette ikke forutsettes, kommer en frem til de såkalte ikke-evklidske geometrier.Dette viser den varierende karakter av aksiomer i de forskjellige matematiske lærebygninger, og erkjennelsen av dette førte igjen til at man i moderne matematikk ikke lenger oppfatter aksiomene som selvinnlysende sannheter, men mer som grunnleggende regler.Blant de mest fundamentale aksiomatiske teorier må nevnes Peanos aksiomer for de hele tall og oppbygningen av de reelle og komplekse tallsystemer fra disse.Det første og mest kjente forsøk på et aksiomatisk system for geometrien finnes i Evklids Elementer. Om disse ikke er uangripelige etter nåtidens fordringer, så representerer de en grunnleggende idé i matematikkens historie.Andre mer tilfredsstillende aksiom-systemer for geometrien er blitt oppstilt, særlig av David Hilbert og Oswald Veblen. Les mer i Store norske leksikon aksiom geometri matematikk matematisk teori parallellaksiom