egenfunksjon
Store norske leksikon,Realfag,Matematikk,Matematisk analyse
Egenfunksjon, løsninger av en homogen lineær differensialligning. En slik ligning med gitte randbetingelser har i alminnelighet ikke noen løsning. Men ved visse verdier av en parameter i ligningen, såkalte egenverdier, har ligningen en løsning – disse løsningene kalles egenfunksjoner.
Et eksempel er det såkalte «Sturm-Liouville-problemet», som består i å bestemme løsningene y til ligningen (py')' + qy = ky, der den ukjente funksjon y også skal oppfylle visse randkrav, og p og q er gitte funksjoner, mens k er en parameter.I fysikken anvendes egenfunksjoner særlig ved beskrivelse av svingninger og bølgebevegelse. For eksempel oppstår i en orgelpipe av bestemt lengde bare svingninger med bestemte frekvenser, egenfrekvensene. Frekvensene er egenverdier, og de tilsvarende stående bølgene er egenfunksjoner.I kvantefysikken blir de stabile tilstandene i atomene beskrevet ved egenfunksjoner for elektronbølgene med bestemte energier som egenverdier. Tilstandene kalles derfor energi-egentilstander og funksjonene energi-egenfunksjoner. I prinsippet kan disse beregnes, men beregningene er ofte meget kompliserte. Det kommer blant annet av at bølgenes hastighet avhenger av deres energi, slik at den enkle svingeteori som vi kjenner fra orgelpiper, ikke kan anvendes.