corrections  Soleil  Etoiles  hauteur observée  ho = hi ± excentricité et collimation  ho = hi ±
excentricité et collimation  hauteur apparente  har = ho - 1,77 h½ har = ho - 1,77 h½ réfraction (1)  ha = har - 0,97 cotg har  hv = har - 0,97 cotg har  parallaxe  hv = ha + 0,15 cos ha  -  demi-diamètre (2)  hv = hv + 16 minutes (bord inférieur)  -  ou globale (3)  hv = ho + correction globale  hv = ho - correction globale
Navigation astronomique

## 5. Navigation astronomique

La navigation astronomique a été le seul moyen de positionnement au large jusqu'à
l'apparition des systèmes par satellites deuxième moitié du XXe siècle.

### 5.1 Historique

#### 5.1.1 Astronomie

L'astronomie est certainement une des sciences les plus anciennes, depuis les Babyloniens et les Egyptiens,
étudiée pour des raisons religieuses, pratiques (prévision des saisons pour l'agriculture) et ésotériques
(astrologie). Les Grecs conçoivent le premier modèle de l'Univers, les Arabes continueront leur oeuvre au
Moyen Age. D'autres contrées mal connues à cette époque (Inde, Chine) ou inconnues (Mayas et Incas en Amérique)
s'intéressent aussi à l'astronomie.

Au temps des Grandes Découvertes c'est toujours le système géocentrique de Ptolémée
(IIe siècle) qui est reconnu :
la Terre est le centre de l'Univers et les Lune, Mars, Mercure, Jupiter, Vénus, Saturne et le Soleil
(les sept jours de la semaine, d'après les sept planètes connues depuis l'Antiquité) gravitent autour, bien qu'Aristarque de Samos
ait pressenti un modèle héliocentrique au IIIe siècle av. J-C.

La Lune et le Soleil, par leurs mouvements relatifs à la Terre, sont des horloges célestes ;
seront élaborés les calendriers lunaires (romain, musulman) et solaires (égyptien, julien
puis grégorien actuel). Pour s'accorder avec le Soleil certains calendriers lunaires au début
ont évolué en luni-solaires (grec, hébraïque).

Puis viennent les débuts de l'astronomie moderne :

- Copernic (1473 - 1543) : héliocentrisme, qui ne sera accepté que bien plus tard ;
- Kepler (1571 - 1630) : lois sur les orbites planétaires ;
- Galilée (1564 - 1642) : découverte des satellites de Jupiter entre autres travaux (il eut chaud
  en soutenant la thèse héliocentrique) ;
- Newton (1643 - 1727) : la loi de l'attraction universelle conforte les lois de Kepler ;
- Lalande (1732 - 1807) : élaboration des éphémérides La connaissance des temps;
- Lagrange (1736 - 1813) : problème des trois corps (Soleil, Terre, Lune) appliqué aux distances lunaires ;
- Laplace (1749 - 1827) : Traité de mécanique céleste, étude des marées, réfraction astronomique ;
- Poincaré (1854 - 1912) : prémices de la théorie de la relativité, cours Les méthodes nouvelles de
  la mécanique céleste.

#### 5.1.2 Navigation astronomique

Au tout début les astres ne sont que des repères dans le ciel observés par exemple par les
Maoris dans le Pacifique. La première méthode de navigation astronomique est celle à
hauteur constante de l'étoile Polaire, càd approximativement à latitude constante.

Puis les navigateurs ibériques déduisent la latitude de la hauteur mesurée. L'étoile
Polaire n'est pas parfaitement au Nord, elle décrit un cercle de rayon variant
au cours des siècles (précession des équinoxes : 3° 30' au XVe siècle, 1° aujourd'hui).
La correction à apporter est fonction de la position des "gardes", deux autres étoiles de la
constellation, Kochab et Pherkab : Règlement du Nord; les Arabes procèdent de même dans
l'océan Indien. Une autre méthode est utilisée dans l'hémisphère sud : Règlement du Sud
(Croix du Sud). La latitude est aussi déterminée à l'aide du Soleil et de tables de sa déclinaison :
la méridienne.

Le problème de la latitude est résolu simplement.
Il n'en est pas de même pour la longitude qui exige une connaissance
précise du temps. Les montres d'alors, plutôt rares, ne sont pas fidèles ;
l'heure du bord est déterminée par le midi du Soleil
ou la position des gardes (nocturlabe) la nuit et conservée par des sabliers.
Plusieurs méthodes ont été envisagées ou utilisées :

- par l'estime, connaissant la différence de latitude et le cap suivi on déduit
  le changement en longitude (voir § 2.1.1, loxodromie) : Règlement des lieues ;
  si le calcul est mathématiquement exact l'incertitude sur les données explique les erreurs grossières
  sur les longitudes (et les îles fantômes) mentionnées par les navigateurs d'alors ;
- par rapport aux changements de déclinaison magnétique, sans succès ;
- à l'aide de phénomènes tel que des éclipses, la longitude est déduite de la différence
  des heures locales d'observation du méridien d'origine et du navire, ce n'est pas tous les jours ;
- suivant les satellites de Jupiter (Galilée), irréaliste en mer ;
- par les distances lunaires (deuxième moitié du XVIIIe) : des tables donnent l'heure à
  Greenwich en fonction de l'angle entre Lune et Soleil ou étoiles (Jean-Baptiste d'Après de Mannevillette
  en France, Nevil Maskelyne en Angleterre) ;
- enfin l'invention du chronomètre de marine résolut le problème fin XVIIIe siècle. Les deux
  méthodes, distances lunaires et chronométrique coexistèrent quelque temps et furent même utilisées
  conjointement, l'une corroborant l'autre.

#### 5.1.3 Instruments

Les premiers instruments de mesure de hauteur sont rudimentaires : quadrant,
astrolabe de mer (version simplifiée de l'astrolabe astronomique) aux XV - XVIe siècles,
puis arbalète (bâton de Jacob) et quartier de Davis aux XVI - XVIIe.

Basé sur le principe de la double réflexion (Newton) le premier instrument précis
est construit : l'octant (Hadley, 1731), ainsi nommé car constitué d'un limbe de 45°,
perfectionné avec un vernier. Il permet de mesurer des angles jusqu'à 90°.
Il sera remplacé par le sextant (Campbell, 1757), le limbe couvre 60°
pour mesurer des angles jusqu'à 120° (nécessaire pour les distances lunaires).
Ils sont construits à l'origine en ébène et ivoire puis en laiton ou alliage léger.
L'ajout de filtres, d'une lunette de visée et le remplacement du vernier par
un tambour micrométrique vers 1926 donneront la version actuelle de l'instrument.

Le problème de la longitude était critique, bien des catastrophes furent causées par des estimes incertaines.
Sa détermination nécessite de connaître l'heure, soit par la méthode des distances lunaires, longue et
fastidieuse, soit par une horloge fiable.

Le premier chronomètre de marine, un garde temps dont la dérive reste acceptable lors des voyages au
long cours, fut construit par John Harrison (Angleterre), deuxième moitié du XVIIIe. D'autres horlogers
suivirent : Kendall en Angleterre, Le Roy, Berthoud, Bréguet en France. L'horlogerie a progressé depuis
des montres mécaniques à celles à quartz, contrôlées par radiodiffusion de tops horaires.

Il faut noter que les méthodes des distances lunaires et chronométrique étaient pressenties dès le XVIe, mais
ne furent utilisables que grâce au développement d'une part d'instruments et d'éphémérides (§ 5.2.3)
et d'autre part d'outils mathématiques pour les calculs, presque trois siècles plus tard.

### 5.2 Eléments

#### 5.2.1 Mesure de la hauteur d'un astre

Hauteur

La hauteur d'un astre est le complément de sa distance zénithale z par rapport
à l'observateur, aux corrections près (en minutes d'angle) de la mesure au sextant :

- excentricité : erreur par construction du sextant et collimation : décalage du zéro ;
- dépression apparente de l'horizon suivant la hauteur de l'observateur (§ 3.3.2) ;
- réfraction atmosphérique, l'astre est vu plus haut qu'en réalité (§ 5.7.2) ;
- parallaxe, pour rapporter l'angle au centre de la Terre (§ 5.7.3) ;
- demi-diamètre du Soleil (bord inférieur sur l'horizon).

corrections  Soleil  Etoiles  hauteur observée  ho = hi ± excentricité et collimation  ho = hi ±
excentricité et collimation  hauteur apparente  har = ho - 1,77 h½ har = ho - 1,77 h½ réfraction (1)  ha = har - 0,97 cotg har  hv = har - 0,97 cotg har  parallaxe  hv = ha + 0,15 cos ha  -  demi-diamètre (2)  hv = hv + 16 minutes (bord inférieur)  -  ou globale (3)  hv = ho + correction globale  hv = ho - correction globale

(1) d'après la formule de Laplace valable pour ho > 15° (à 10°C et 1013 mbar) ;

(2) correction mensuelle supplémentaire à apporter, la distance Terre - Soleil varie au cours des saisons ;

(3) correction globale donnée par les ouvrages, toujours additive pour le Soleil et
soustractive pour les étoiles.

#### 5.2.2 Systèmes de coordonnées

Plusieurs systèmes de coordonnées sont utilisés en astronomie. Pour la navigation :

- coordonnées horaires, les coordonnées du "pied" de l'astre sur la surface terrestre:
  déclinaison, sa latitude par rapport à l'équateur (nord positive, sud négative), et angle horaire,
  sa longitude comptée de 0 au méridien d'origine (Greenwich) à 360° vers l'ouest (autrefois
  exprimé en temps, d'où le nom ; dans le sens rétrograde, càd inverse du sens trigonométrique) ;
- coordonnées horizontales : hauteur de l'astre et azimut, son relèvement.
  Les formules de trigonométrie sphérique relient ces deux systèmes.

#### 5.2.3 Formules de trigonométrie sphérique

Pour un triangle sphérique (sur la sphère) d'angles aux sommets A, B, C tangents
à la surface et de côtés opposés les arcs de grands cercles a, b, c :

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A    (1), formule des cosinus des côtés

sin A    =    sin B    =    sin C       (2), analogie des sinus  sin a  sin b  sin c

cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a    (3), formule des cosinus des angles

sin c cotg b = sin A cotg B + cos A cos c    (4), formule des cotangentes

#### 5.2.4 Ephémérides

La Terre tourne sur elle même en 23 h 56 min 4,1 s, jour sidéral par rapport à un point fixe dans l'espace ;
comme elle s'est déplacée sur son orbite, le jour solaire, mouvement relatif par rapport au Soleil, est de 24 h
en moyenne (vitesse variable car orbite elliptique). L'unité de temps, la seconde, en découlait.

La seconde est maintenant définie par une grandeur physique dans le système international d'unités (SI),
l'échelle correspondante est le temps atomique international (TAI).
Les échelles de temps universel (TU ou UT) sont basées sur une seconde
légèrement plus longue :

- UT1 déduit de la rotation de la Terre, non uniforme ;

- UTC, ou temps universel coordonné diffusé par les
signaux horaires, est une linéarisation d'UT1 avec un écart inférieur à 0,9 seconde. Il diffère d'un nombre
entier de secondes de TAI (34 s au 01/01/2009). Une seconde intercalaire est ajoutée de temps en temps
pour tenir compte du ralentissement de la rotation terrestre (ou retranchée, mais cela n'a pas encore eu lieu).
L'expression GMT est périmée.

L'heure locale autrefois définie par le midi du lieu (passage du Soleil au méridien) diffère de UTC suivant
le fuseau horaire : 1 h pour 15° de longitude. L'heure légale est celle en usage dans les pays :
UTC + 1 h en hiver et UTC + 2 h en été en France.

L'axe de rotation de la Terre est incliné de 23° 26' par rapport au plan de l'orbite (précession des équinoxes, varie
suivant un cycle de 26 000 ans et nutation, oscillations d'une dizaine de secondes d'angle et de période 18 ans et 7 mois) ;
la déclinaison du Soleil varie entre nord (solstice d'été), zéro (équinoxes de printemps et d'automne)
et sud (solstice d'hiver).

L'étude du mouvement des astres a permis de prévoir par calcul leur position. Les éphémérides donnent
pour chaque jour :

- l'angle horaire AHvo (à Greenwich, méridien d'origine) du Soleil par heure ou à 0 h UTC et sa variation horaire (qui n'est pas
  exactement 15°, les 24 h sont un jour moyen) ;
- la déclinaison D du Soleil par heure ou à 0 h UTC et sa variation horaire ;
- l'heure UTC de passage du Soleil au méridien de Greenwich (varie d'environ ± 15 min autour de 12 h
  au cours de l'année, la différence entre 12 h et heure de passage est appelée équation du temps :
  temps moyen - temps vrai) ;
- l'angle horaire du point vernal AHso au méridien de Greenwich (§ 5.5) par heure ou à 0 h UTC, sa variation horaire (15° 2,46')
  est fixe.

### 5.3 Méridienne

Méridienne

La latitude est calculée à partir de la déclinaison du Soleil (à l'heure UTC de l'observation) et de la
distance zénithale, complément de la hauteur vraie, lors de son passage au méridien du lieu (le midi solaire) :

L = D + (90° - hv)    Soleil au Sud

L = D - (90° - hv)    Soleil au Nord

La hauteur maximale, assimilée à la culmination avec une  erreur négligeable
La démonstration se trouve dans Traité de navigation, voir la bibliographie.
est déterminée par une série de mesures autour de l'heure de passage au méridien local : celle du
passage à Greenwich décalée de la longitude estimée (on devrait dire passage au méridien estimé plutôt que
méridienne). En toute rigueur il faut corriger les hauteurs du changement de latitude pendant
la série de mesures, utiliser un canevas de Mercator.
L'écart entre heures de passage à Greenwich et au méridien local, converti en
angle, donne une longitude approchée (une erreur de 4 secondes de temps se traduit par une minute de G).

Appliquée à l'étoile Polaire la deuxième expression devient   L = hv + A + B + C
(corrections suivant sa position, données par des tables des éphémérides).

La méridienne est une survivance du temps où latitude et longitude étaient déterminées séparément
(§ 5.4.2, droite de Sumner). Deux méthodes associées,

- hauteur circumméridienne : correction de la hauteur mesurée lorsque l'heure de passage
au méridien est manquée ;

- hauteurs circumzénithales correspondantes : détermination de l'heure de passage au méridien par
mesures de hauteurs de part et d'autre de la culmination
suivant une démarche précise qui prend du temps.

L'alternative simple est le tracé d'une droite de hauteur (§ 5.4.3), le passage au méridien local n'est
qu'un cas particulier où l'angle au pôle est nul (la formule fondamentale du § 5.4.1 se réduit aux expressions
ci-dessus pour P = 0) et la méridienne n'est plutôt qu'une méthode de secours.

### 5.4 Droite de hauteur du Soleil

#### 5.4.1 Principe

Triangle de position

Le lieu géométrique d'où un astre est vu à la même hauteur est un cercle sur le globe
terrestre. Il suffirait donc de tracer ce cercle de centre les coordonnées du Soleil et de
rayon la distance zénithale sur la carte (si son échelle le permet), son relèvement, et obtenir le point.

En réalité la projection géométrique fait que ce n'est plus un cercle sur la carte
mais une courbe (§ 5.6) et le relèvement est bien trop imprécis, il faut procéder
par calcul.

Ce calcul consiste à résoudre le "triangle de position" d'angle au pôle P, écart de longitude
entre Soleil et observateur, de côtés adjacents les compléments des latitude et déclinaison du Soleil
(des parties de méridien) et de troisième côté la distance zénithale
complément de la hauteur hv :

cos (90° - hv) = cos (90° - L) cos (90° - D) +
sin (90° - L) sin (90° - D) cos P    d'après (1)

L'angle au pôle est    P = AHvo - Gouest
ou    P = (360° - AHvo) - Gest

c'est l'angle horaire local    AHvg = AHvo - Gouest
ou    AHvg = AHvo + Gest

d'origine la longitude g et finalement :

sin hv = sin L sin D + cos L cos D cos AHvg   (5)

Il y a deux inconnues, L et G. Pour résoudre l'équation il faut prendre l'hypothèse de l'une ou l'autre connue ou plus ou moins bien
estimée : soit la latitude, méthode du parallèle estimé (point de Lalande - Pagel), soit la longitude,
méthode du méridien estimé (point de Borda). Enfin, la méthode de Marq de Saint Hilaire, partant d'un point L et G
estimées sera la solution ultime.

#### 5.4.2 Droite de Sumner

La longitude est obtenue à partir de la hauteur hv et d'une latitude L connue ou estimée : calcul d'heure,
en sortant cos AHvg de la formule (5) puis    G = AHvg - AHvo    (positive est,
négative ouest).

Fin 1837, en mer d'Irlande, le capitaine Sumner (USA) procède ainsi ; faisant le calcul pour des latitudes
différentes il constate que les points obtenus sont alignés. En fait c'est une corde de la courbe de hauteur,
apparaît ainsi la notion de droite de hauteur. Il en déduisit une méthode d'une droite de hauteur déterminée par
calcul à partir de deux latitudes estimées donnant :

- le relèvement vrai de la côte (un heureux hasard fit que la droite tracée passe par le phare de Smalls
sur la côte galloise),

- l'incertitude sur la longitude conséquence de l'erreur sur la latitude,

- l'azimut vrai du Soleil perpendiculaire à la droite de hauteur.

#### 5.4.3 Droite de Marq de Saint Hilaire

La méthode moderne est le point du contre-amiral Marcq de Saint Hilaire dite du vertical estimé (le grand cercle
passant par le pied de l'astre et la position estimée), publiée en 1875, en comparant les hauteurs mesurée hv et
calculée he à partir d'une position estimée :

he = arcsin (sin L sin D + cos L cos D cos AHvg)   (5')

L'azimut du Soleil est calculé par :

sin Az =    sin AHvg cos D       (6), d'après (2), azimut par l'heure et la hauteur  cos he

L'intercept est la différence entre hv et he (1 minute d'angle = 1 mille). L'azimut est tracé sur la carte
à partir du point estimé, sa perpendiculaire située à la distance de l'intercept (point déterminatif), vers le
Soleil si hv > he sinon à l'opposé, est la droite de hauteur, tangente à la courbe de hauteur.

Droite de hauteur

On est situé quelque part sur cette droite de hauteur, le point complet sera déterminé par l'intersection
d'une deuxième avec le transport de la première.

Les calculs étaient effectués autrefois à l'aide des logarithmes (tables de Friocourt, 1899),
puis de tables spéciales : Perrin (1876) ou Bataille (1911) pour Az, Dieumegard pour he (193?), ou les tables
américaines HO249. Elles ont été fort utiles mais sont remplacées maintenant par une simple calculette ou un tableur
sur PC.

L'erreur théorique de cette méthode est de moins d'un mille pour des latitudes jusqu'à 60°,
hauteur inférieure à 80° (au delà la portion de courbe approchée par une droite est réduite)
et un intercept inférieur à 30 milles (pour un écart entre azimuts réel et calculé inférieur au degré).

En pratique restent les erreurs de mesure :

- de hv, une minute se traduit directement par un mille sur l'intercept ;

- du temps qui affecte l'angle au pôle (4 secondes de temps = une minute d'angle), donc he et l'intercept :

   Δhe = - cos L sin Az ΔP   par dérivation de (5)
et combinaison avec (6).

La grandeur de l'intercept ne préjuge pas de la qualité du point,
ces erreurs de mesure ou la position estimée peuvent aussi bien être en cause. Par précaution on refera une mesure
et les calculs avec une position estimée éventuellement rectifiée.

#### 5.4.4 Divers

##### Calcul de l'azimut

Azimut par la hauteur :    cos Az =
sin D - sin he sin L       d'après (1)  cos he cos L  Azimut par l'heure :   tg Az =    sin(-AHvg)       (7), d'après (4)  cos L tg D - sin L cos AHvg

Les tables de Bataille et celles de Perrin sont basées sur l'expression (7).

##### Versine et haversine

Le sinus verse ou versine est une fonction toujours positive,
ce qui permet le calcul par logarithmes :

versine x = 1 - cos x   =   2 sin2(x / 2)
et    haversine x = sin2(x / 2)

Les tables de Dieumegard utilisent les versines, la formule (5) devient :

versine (90° - he) = versine (L - D) + cos L cos D versine (AHvg)

En revenant aux fonctions classiques (un sinus et un produit évités) :

sin he = cos(L - D) + cos L cos D (cos AHvg - 1)    (8)

Ces fonctions d'origine britannique sont maintenant abandonnées. Citons aussi la sécante :
sec x = 1 / cos x   et la cosécante :   cosec x = 1 / sin x

qui facilitaient les calculs manuels, disparues depuis des tables trigonomériques.

##### Lever et coucher du Soleil

Les éphémérides indiquent pour différentes latitudes les heures UTC des lever et coucher ainsi que
l'azimut : l'écart avec l'heure locale donne une longitude approximative et l'azimut sert à vérifier le compas.

##### Planètes

Le traitement des hauteurs de Mars, Vénus, Jupiter et Saturne est identique à celle du Soleil (les éphémérides
comprennent leurs coordonnées ainsi que celles de la Lune).
Le cas de la Lune est plus complexe : étant proche de la Terre la variation de distance suivant son orbite fait que
les corrections de demi-diamètre et de parallaxe varient de plusieurs minutes.

### 5.5 Droite de hauteur des étoiles

#### 5.5.1 Point vernal

De même que pour le Soleil les éphémérides pourraient fournir les déclinaison et angle horaire de chaque
étoile. Celles-ci bougeant peu sur la voûte céleste il est plus simple d'indiquer leur position par rapport
à un point de référence : le point vernal γ situé sur l'écliptique à l'équinoxe de printemps.
Son angle horaire AHso est donné par les éphémérides.

La position de chaque étoile est indiquée bimestriellement par la déclinaison D et l'ascension verse AVa
comptée vers l'ouest (sens rétrograde, contraire de l'ascension droite des astronomes ARa), sa distance
en longitude du point vernal.

Notations de l'angle horaire AH

- s : du point vernal (temps Sidéral), a : de l'Astre (général), v : du Soleil (temps solaire Vrai),

- o : au méridien d'origine (Greenwich), g : au méridien de l'observateur (à la longitude g).

#### 5.5.2 Droite de hauteur

La même méthode avec les formules (5') et (7) est utilisée, l'angle horaire local est maintenant AHag,
AVa est toujours additive :

AHag = AHso + AVa ± G

L'astre n'est visible que lorsque son angle au pôle est inférieur au semi-arc diurne :

cos P = - tg L tg D    d'après (5) pour hv = 0

Si D < L - 90° il n'est jamais visible, si D > 90° - L toujours visible (circumpolaire).
Dans ces deux cas la formule n'a aucun sens, elle donne un cosinus > 1.

L'observation de deux étoiles ou plus donne un point complet.

### 5.6 Courbes de hauteur

Courbes de hauteur

Le cercle de hauteur a pour équation la formule fondamentale (5) ; celle de la
courbe de hauteur  Trois manières pour la déterminer :

calculer P suivant L avec (5) puis convertir L en £,

résoudre l'équation du second degré ci-dessous où exp(£) est l'inconnue,

enfin la plus élégante utilise les fonctions hyperboliques

(voir l'ouvrage de Ph. Bourbon dans la bibliographie).
s'obtient en exprimant sin L et cos L en fonction de e£
= tg (L/2 + π/4) :

(e£ + e-£) sin hv = (e£ - e-£)
sin D + 2 cos D cos P

La figure représente les courbes pour D de l'astre (en jaune) = 15° N,
£ est en radians.

- En rouge, hv = 45° soit en général hv > |D| (valeur absolue de D),
  les pôles sont exclus du cercle de hauteur, il est ovalisé verticalement : première espèce.

 -  L comprise entre D - z et D + z (z : distance zénithale), ici -30 à 60°.

 -  Sin Pmax = cos hv / cos D et
sin L = sin D / sin hv   pour Az = 90° et 270°.

- En vert, hv = 2° soit hv < |D|, le pôle nord (sud si D était sud)
  est inclus, la courbe ressemble à une sinusoïde : deuxième espèce.

 -  L comprise entre D - z et 180° - (D + z), ici -73 à 77°.

- En bleu, hv = 15° soit hv = |D|, le cercle passe par le pôle nord (sud si D était sud),
  la courbe est ouverte en parabole : troisième espèce.

 -  Lmin = D - z, ici -60°, asymptotes à P = ± 90°.

A partir du  rayon de courbure local
Les démonstrations se trouvent dans l'ouvrage de Ph. Bourbon, voir la bibliographie.
: ρ = cos hv / cos P cos D,   on calcule
l'écart entre courbe et droite de hauteur pour légitimer son approximation.

### 5.7 Compléments

#### 5.7.1 Orthodromie

Le calcul consiste à résoudre le triangle sphérique dont l'angle au pôle est
la différence des longitudes, les côtés adjacents
les compléments aux latitudes de départ (1) et d'arrivée (2) et le troisième côté
la distance orthodromique m. L'angle initial est A1, de 0 à 180° ou -180° :

cos m = sin L2 sin L1
+ cos L2 cos L1 cos(G2 - G1)    d'après (1)

tg A1 =    sin(G2 - G1)       d'après (7)  cos L1 tg L2 - sin L1 cos(G2 - G1)

Les points intermédiaires de la route sont donnés par :

tg Lx =    sin(Gx - G1) cotg A1
+ cos(Gx - G1) sin L1      d'après (4)  cos L1

Le point le plus haut en latitude LV, le vertex où
l'angle AV est droit, est :

cos LV = cos L1 |sin A1|    d'après (2)

cos(GV - G1) = tg L1 / tg LV    d'après (4)

Si   |A1| < 90°   LV est nord sinon sud ;
l'écart de longitude par rapport à G1 est du même signe que (G2 - G1).
Les points intermédiaires peuvent être calculés par rapport au vertex, mais la formule précédente est préférable,
le vertex pouvant être situé à l'extérieur du trajet et donc source de confusion.

La différence de cap au départ ou de relèvement (goniométrie) entre orthodromie et loxodromie
est donnée par la  correction de Givry :  Sa démonstration se trouve dans
Traité de navigation, voir la bibliographie.

α = 0,5 (G2 - G1) sin Lm
(Lm : latitude moyenne)

#### 5.7.2 Réfraction atmosphérique

La réfraction de la lumière par l'atmosphère relève l'horizon visuel
et fait apparaître les astres plus hauts qu'en réalité.

#### Dépression apparente de l'horizon

On introduit un rayon terrestre fictif (voir § 3.3.2) pour tenir compte de la réfraction atmosphérique.
Deux démonstrations conduisant au même résultat,

- l'une par raisonnement géométrique :    R' = R / (1 - 2 γ)
ou    R / (1 - K) dans les traités de géodésie,

- l'autre analytique (réfraction des ondes radio) :
R' = R / ( 1 - R / s)    avec s : rayon de courbure du trajet lumineux ;

d'où    α' = (1 - γ) (2 h / R)½
soit   1,77 h½   minutes d'angle pour γ moyen
= 0,08    (varie suivant P / T2).

#### Correction de la hauteur apparente

La formule de Laplace donne la correction pour des distances zénithales z inférieures
à 75° (ou des hauteurs supérieures à 15°), au delà son résultat est excessif :

r = α (1 - β) tg z - α (β - α / 2) tg3 z
(α et β dépendant des température et pression atmosphérique)

Le premier membre étant prépondérant (le modèle simplifié de la "Terre plate" conduit à cette
expression) :

r(z) = 0,97 tg z   soit   r(har) = -0,97 cotg har
minutes d'angle, à 10°C et 1013 mbar.

La formule empirique de Bennett donne directement la correction en minutes pour har exprimée en
degrés :

r(har) = -cotg( har  +    7,31   )  har + 4,4

Pour tenir compte des pression atmosphérique et température appliquer à r les facteurs :

P / 1013    et    283 / (273 + θ)

Les lever et coucher du Soleil sont définis tels que son bord supérieur tangente l'horizon. Son
centre est alors à une hauteur vraie de - 50 minutes, soit 16' de rayon apparent plus 34' de réfraction.

Les aube et crépuscule sont dûs à la diffraction de la lumière. On distingue les aube et crépuscule
civils : centre du Soleil jusqu'à - 6°, nautiques : jusqu'à - 12° et astronomiques : jusqu'à - 18°.

#### 5.7.3 Parallaxe

Parallaxe

L'angle de parallaxe horizontale π d'un astre situé sur l'horizon géométrique, donc ha = 0, est
le rayon apparent de la Terre vue de cet astre :
sin π = R / (R + H)   (en rouge, R rayon terrestre, H distance).

La correction suivant la hauteur de l'astre est :   p = π cos ha ;   pour le Soleil :
p = 0,15 cos ha   en minute d'angle.

π varie de 0,1 à 0,3' pour Vénus et Mars suivant le mois (leur distance) ; celle de la Lune,
très proche de la Terre, varie de plusieurs minutes autour du degré. La parallaxe est négligeable pour les autres
planètes et les étoiles.

Sur la figure :

sin p = OA / (R + H),

OA = R cos ha,

sin p = R cos ha / (R + H),

p = π cos ha   (petits angles),

on voit sur la figure que la parallaxe est toujours additive, hv = ha + p.

#### 5.7.4 Panneaux solaires

A partir de la position géographique connue et des éphémérides les formules (5) et (6) donnent
l'orientation et l'inclinaison optimales des panneaux solaires (on néglige les quelques minutes de réfraction
et parallaxe).

#### 5.7.5 Satellites artificiels

Les satellites de télévision sont sur une orbite géostationnaire : D est nulle (orbite équatoriale),
l'angle au pôle la différence de longitudes entre satellite et observateur et H = 35 786 km. La couverture
limite de réception (une courbe de première espèce sur la carte de Mercator) et l'orientation précise des
antennes réceptrices sont calculées à l'aide des formules de l'orthodromie.

© G. Navarre, 2006. Màj 8/11/2023.