Un
ascensore in caduta libera senza attrito è per la meccanica classica un
sistema di riferimento non inerziale, nel quale, oltre alla forza peso
mg deve essere considerata anche la forza apparente -ma (detta anche
forza inerziale), dove a=g è l'accelerazione del riferimento. Segue che
la risultante delle forze è nulla e quindi che le forze apparenti
cancellano la forza di gravità: un oggetto in quiete resterà in quiete
e un oggetto in moto rettilineo uniforme continuerà a perseverare nel
suo stato, proprio come sarebbe accaduto in un riferimento inerziale.
Il principio di equivalenza

Il principio d'equivalenza è il principio fondamentale su cui si
basa la teoria della relatività generale ed era già noto a Galileo e a
Newton.

Galileo fu il primo a formularlo nella forma della universalità
della caduta libera dei gravi, cioè nel sostenere l'indipendenza della
caduta dalla natura dei corpi. Nei "Discorsi e dimostrazioni
matematiche intorno a due nuove scienze attinenti alla meccanica e ai
movimenti locali" pubblicati a Lieden nel 1638 nei scriveva:"… veduto,
dico questo, cascai in opinione che se si levasse totalmente la
resistenza del mezzo, tutte le materie discenderebbero con uguale
velocità".

Galileo controbatteva l'asserto aristotelico secondo il quale i
corpi più pesanti cadono più velocemente, affermando invece
l'indipendenza dell'accelerazione dalla massa e dalla composizione del
corpo e riconoscendo nella resistenza del mezzo la causa di ogni
possibile differenza nei tempi di caduta dei gravi. Pur non essendo in
grado di quantizzare la relazione tra la resistenza del mezzo e la
velocità, egli intuì l'importanza di compiere esperimenti nei quali
agisse solo una piccola componente dell'accelerazione di gravità ( egli
eseguì esperimenti con i piani inclinati e con i pendoli), in modo da
ridurre la velocità di caduta e, conseguentemente, l'influenza
dell'aria.

La
storica esperienza dei pesi lasciati cadere dalla torre di Pisa,
attribuita erroneamente a Galileo, fu eseguita dal suo allievo,
Vincenzo Ranieri, nel 1641. a previsione di Galileo su un oggetto
sferico si basa sul fatto che il peso, forza agente, va con il cubo del
raggio; l'attrito, forza resistente, va invece con il quadrato del
raggio, poichè dipende dalla sezione normale del corpo. Quindi più il
raggio cresce, più il peso domin asull'attrito: l'accelerazione tende
al valore ideale detttao dalla gravità e il processo si avvicin aalla
condizione di cauta libera nel vuoto.

Galileo
propose, allo scopo di risalire al comportamento nel vuoto, di ripetere
l'esperienza della caduta dei gravi in un mezzo gassoso via via meno
denso. L'esperienza in condizioni di reale vuoto si può eseguire oggi
in laboratorio oppure sulla luna, come dimostrato dagli astronauti
americani per mezzo di una piuma e di un oggetto pesante.

Nel 1680, Newton espose il principio d'equivalenza in termini di
forze e masse. Nel paragrafo di apertura dei "Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica" dove scriveva: " This quantity that I mean
hereafter under the name of…mass…is known by the weight…for it is
proportional to the weight as I have found by experiments on pendulums,
very accurately made…".

Newton verificò l'equivalenza con l'accuratezza di una parte su
mille con studi sul moto dei pendoli e ne fece un uso esplicito nello
studio del moto dei satelliti gioviani. Le osservazioni astronomiche
indicavano che i satelliti galileiani orbitavano intorno al grande
pianeta come se il Sole non ci fosse: identificando la massa inerziale
con la massa gravitazionale passiva, era possibile cancellare
l'attrazione solare nel riferimento gioviano, in quanto si osservava
che ogni corpo era attratto con la stessa accelerazione.

Le due asserzioni di Galileo e Newton sono nella realtà
equivalenti: il moto in un campo gravitazionale è lo stesso per tutti i
corpi poiché la forza agente è una manifestazione della massa
gravitazionale mentre l'accelerazione prodotta è determinata dalla
massa inerziale.

Nel 1907 Einstein formulò il "Principio di Equivalenza Debole" che
successivamente generalizzò nel "Principio di Equivalenza Forte". Egli
descrisse la situazione con un esperimento ideale (mentale), noto con
il nome di ascensore di Einstein. In tale ascensore vi è un osservatore
che non ha modo di conoscere quello che accade fuori e che verifica le
seguente tre situazioni:

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Se
l'ascensore ha un'accelerazione g verso l'alto l'osservatore non riesce
a capire se la cabina sia soggetta a un campo di forze apparenti
(inerziali), ossia se la cabina sia tirata verso l'alto, oppure se sia
soggetta a un campo di forze gravitazionali dovuta a un grande corpo
massivo posto sotto di essa. Se sul razzo ci pesassimo su di una
bilancia a molla, come accade in un treno in partenza, quindi soggetto
ad accelerazione, il mio corpo apparirà spinto nella direzione opposta
al moto. Nel razzo la bilancia misura il mio peso mg, identico al
valore misurato sulla superficie della terra. Occorre pertanto
concludere che l' accelerazione genera il peso.

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Per l'osservatore i corpi cadono nello stesso modo sia in un campo
inerziale sia in un campo gravitazionale. Quindi conclude che per le
leggi della meccanica i due campi sono equivalenti. E' per leleggi
dell'elettromagnetismo?



Un esperimento con la luce.
In una parete laterale della cabina viene praticato un foro da cui
entra un pennello di luce. Se la cabina fosse in quiete nel vuoto, il
pennello giungerebbe rettilineamente sulla parete opposta. Un ascensore
che si muove verso l'alto con velocità costante è attraversato dalla
luce che muovendosi in linea retta colpirebbe la parete opposta più in
basso. Se la cabina ha un'accelerazione costante verso l'alto la
traiettoria della luce, in questo caso apparirebbe parabolica
all'osservatorie che viaggia sull'ascensore. In quest'ultimo caso la
luce segua una traiettoria parabolica per una palla lanciata
orizzontalmente.Quindi, sia nel caso in cui la cabina è soggetta a un
campo di forze inerziali sia nel caso in cui è soggetta a un campo di
forze gravitazionali, il pennello di luce subisce un'uguale deflessione
dalla sua traiettoria rettilinea. L'osservatore dentro l'ascensore
conclude allora che anche per le leggi dell'elettromagnetismo i due
campi sono equivalenti.



Consideriamo
ora l'ascensore in caduta libera, cioè l'ascensore a cui è stata
tranciata la corda di sostegno. Un osservatore che, per sua disgrazia,
si trovasse all'interno giudicherebbe di trovarsi in un sistema
inerziale. Infatti, qualunque oggetto lasciato libero non si
sposterebbe rispetto a lui, in quanto entrambi cadrebbero con la stessa
accelerazione: nell'ascensore in caduta libera è come se la gravità non
esistesse. Anche un satellite in orbita attorno alla terra è un sistema
in cui la gravità è stata apparentemente eliminata, come le immagini
che mostrano gli astronauti al lavoro ci confermano.

Un
ascensore in caduta libera senza attrito è per la meccanica classica un
sistema di riferimento non inerziale, nel quale, oltre alla forza peso
mg deve essere considerata anche la forza apparente -ma (detta anche
forza inerziale), dove a=g è l'accelerazione del riferimento. Segue che
la risultante delle forze è nulla e quindi che le forze apparenti
cancellano la forza di gravità: un oggetto in quiete resterà in quiete
e un oggetto in moto rettilineo uniforme continuerà a perseverare nel
suo stato, proprio come sarebbe accaduto in un riferimento inerziale.

Per il volo libero di una cometa e a Gardaland [clicca qui.](volo libero.htm)

Einstein giunge alla seguente conclusione "se dentro all' ascensore
che sta precipitando verso il basso eseguo un qualsiasi esperimento di
fisica, non potrò distinguerlo da un esperimento fatto in un
riferimento inerziale lontanissimo da qualsiasi sorgente di forze
gravitazionali".

"Tutti i riferimenti in caduta libera sono, per qualsiasi effetto
fisico, equivalenti localmente a riferimenti inerziali." Per Einstein
il moto naturale è quello di caduta libera. Un riferimento fermo in un
campo gravitazionale è forzato a restare fermo; il riferimento
inerziale è quello in caduta libera, che è cioè localmente non
distinguibile da un riferimento inerziale come lo intende Newton, e
cioè lontano da ogni sorgente di campo gravitazionale.

Sistema di riferimento inerziale = Sistema di riferimento in volo (o caduta) libero

Quindi, il princio di Equivalenza asserisce che localmente
il moto di caduta libera non è distinguibile da un moto inerziale
rettilineo e uniforme. Si ponga attenzione alla parola "localmente";
ovviamente i due tipi di moto sono diversi se considerati su estese
regioni dello spazio e del tempo. Vediamo perchè:



Non località.
L'equivalenza fra campo inerziale e gravitazionale è quantitativa,
ovvero numerica, e locale. Infatti il campo inerziale è globalmente
uniforme mentre il campo gravitazionale non lo è, come si può
facilmente intuire pensando che le sue linee di forza convergono verso
la sorgente. Per tale effetto e per quello mareale le particelle che
giacciono su una stessa retta orizzontale si avvicinano mentre quelle
che sono disposte radialmente si allontanano tra loro. Invece, seguendo
il moto di una singola particella in un riferimento in volo libero non
si deve riconoscere alcun indizio dell'esistenza della gravitazione.

Pertanto
soltanto osservando il moto relativo di due corpi è possibile rivelare
e misurare la gravitazione dovuta a un corpo vicino.

Illusione e realtà

Si vede che la stessa freccia, lanciata partendo dallo stesso angolo nella medesima direzione con l'identica velocità, descrive moti diversi tra loor a seconda che venga studiata da un osservatore che ha un pavimento che spinge sotto i suoi piedi, o da un altro che è in caduta libera. Rispetto alla terra la freccia giunge nello stesso posto e nello stesso istante. Per Einstein la causa della traiettoria curva della freccia lanciata dall'osservatore fermo non risiede nella forza di gravità ma nell'osservatore stesso e nel pavimento che ci impedisce di seguire lo stato naturale del moto.

La metrica

Abbiamo osservato che il passare ad un sistema di riferimento non
inerziale imita un campo gravitazionale. Vediamo com viene in tal caso
alterato l'intervallo tra gli eventi.

Gli osservatori inerziali si trasmettono informazioni con
trasformazioni di Lorentz. Il sistema di coordinate degli osservatori
inerziali sono i sistemi inerziali o lorentziani.

Il passaggio da un SRI ad un altro non altera il quadrato della distanza tra due eventi vicini:



In forma tensoriale con x 0 =ct, x 1 = x, x 2 =y, x 3 = z, questa relazione può essere scritta:



tale matrice è il tensore metrico dello spazio-tempo pseudoeuclideo
e ne definisce completamente la geometria. Ricordiamo che per uno
spazio euclideo il tensore metrico è rappresentato con un a matrice
unitaria, le cui componenti sono date dal delta di Kronecher.

Nel passare da un sistema inerziale ad uno non inerziale la (1)
cambia la sua forma generale. Infatti, consideriamo ad esempio un
sistema di coordinate K' che si muove lungo una retta con accelerazione
uniforme a rispetto a K.



Si può mostrare che nessuna trasformazione temporale può ridurre la
(2) alla somma algebrica dei quadrati dei differenziali delle quattro
coordinate.

Pertanto, nel caso generale, il passaggio a sistemi non inerziali
cambia l'espressione per l'intervallo invariante fra gli eventi in modo
tale che non si può ridurlo alla forma (1). Scriviamo nel caso generale
la metrica del quadrispazio come:



Il tensore metrico della (3) lo si ottiene risolvendo la (4) i cui
termini di sinistra rappresentano la curvatura dello spazio mentre
quelli di destra descrivono la distribuione nello spazio dell'energia e
della quantità di moto (anche elettromagnetica). Le masse presenti sono
incluse nell'energia totale (ricordiamoci che E=mc2).

La differenza tra la metrica (1) e la (3) è legata alla gravità e
alle altre forme di energia non gravitazionale. Ad esempio, la metrica
all'esterno di una massa M statica a simmetria sferica, usando le
coordinate sferiche è la cosiddetta metrica di Schwarzchild (1916) data
dalla (5):



Nella (6) è stata riportata, per fare un confronto, la metrica sulla
superficie bidimensionale di una sfera nella geometria euclidea.

Masse antitetiche. La massa che interviene nelle
forze inerziali rappresenta un attributo del corpo che si oppone al
moto: a parità di forza tanto maggiore è la massa tanto minore è
l'accelerazione. Invece la massa che compare nella legge di
gravitazione è una proprietà caratteristica che provoca una forza e
quindi un moto (*). Quindi in linea di principio queste due masse non
dovrebbero coincidere, visto che descrivono proprietà dei corpi non
solo diverse ma, addirittura antitetiche! Tuttavia, una serie di
esperimenti, tra i più precisi mai realizzati, dimostrano l'identità
delle due masse. Questo risultato va sotto il nome di principio di
equivalenza. Esso è la chiave di volta della nuova teoria della
gravità: siccome la forza di gravità è proporzionale alla massa
gravitazionale, ma questa è uguale alla massa inerziale, la gravità ha
la stessa natura delle forze inerziali e quindi può essere eliminata
(come possono essere eliminate le forze inerziali) dalla descrizione
della dinamica con un'opportuna scelta del sistema di riferimento.

(*) In effetti bisognerebbe distinguere tra massa gravitazionale
attiva, la sorgente del campo, e la massa gravitazionale passiva, la
massa che subisce il campo. Ma, nell'equazione che della gravitazione
di Newton, le due masse giocano un ruolo simmetrico.