Incominciamo con un esperimento concettuale. Per verificare se la circonferenza $U$ e il diametro $2R$ di un cerchio soddisfano la relazione $U=2 pi R$, un geometra sistema un gran numero di regoli uguali su un grande cerchio intorno al Sole e determina così la circonferenza $U$. Con gli stessi regoli misura anche il diametro del cerchio.
Secondo la geometria euclidea il rapporto deve avere il seguente valore:
# Fondamenti di relatività generale



"La teoria esposta nel seguito costituisce l’estensione più vasta pensabile della teoria indicata in generale
al giorno d’oggi come teoria della relatività …".

"Le leggi generali della natura sono da esprimersi con equazioni che valgano per tutti i sistemi di
coordinate… " questo postulato "sottrae allo spazio e al tempo l'ultimo residuo di oggettività fisica" .

A. Einstein (1916).

## Differenze tra relatività ristretta e generale

La relatività ristretta ( o speciale ) è la teoria elaborata da Einstein nel 1905 per spiegare gli effetti relativistici nei sistemi inerziali, quelli fermi o in moto a velocità costante.

La teoria della relatività generale è un'altra teoria, formulata nel 1916 sempre da Albert Einstein, che estende la spiegazione dei fenomeni relativistici anche ai sistemi non inerziali, quelli soggetti ad accelerazione.

## Principio di equivalenza e di relatività generale

Immaginiamo una astronave giunta in una regione dello spazio lontana da qualunque pianeta o stella e abbia i motori spenti. Supponiamo, inoltre, che non sia possibile guardare al di fuori attraverso gli oblò. Chi è a bordo si trova a galleggiare nell'abitacolo a causa dell'assenza di peso, non essendoci nessun campo gravitazionale (quando ci troviamo sulla Terra è l'attrazione che essa esercita su di noi a determinare il nostro peso).

Ma se improvvisamente l'astronave accelera, gli astronauti non galleggiano più: vengono sottoposti all'azione di una forza diretta in verso opposto
rispetto a quello in cui avviene l'accelerazione.



Per un osservatore terrestre il fenomeno è semplicemente dovuto all'accelerazione. Tuttavia, coloro che sono nella navicella spaziale, non sapendo quello che è veramente accaduto, ma avvertendo sul proprio corpo l'effetto di una forza, possono attribuirne le conseguenze alla presenza di una massa esterna la quale, generando un campo gravitazionale, provoca quella sensazione di peso. Del resto, se gli astronauti eseguissero degli esperimenti all'interno dell'astronave, nessuno dei risultati ottenuti smentirebbe la loro ipotesi.

In altri termini: ciò che per l'osservatore a Terra è dovuto all'accelerazione, per chi si trova sul mezzo che accelera, che quindi costituisce un sistema di riferimento non inerziale, è la conseguenza della gravità.

Einstein, nella teoria della relatività generale del 1916, formulò il principio di equivalenza.

[Principio di equivalenza]

L'accelerazione e la gravità altro non sono che due modi, ugualmente corretti, di interpretare lo stesso fenomeno. Scegliere l'uno o l'altro è soltanto una questione di sistemi di riferimento.

Secondo la teoria della relatività generale, a causa del principio di equivalenza la massa inerziale e la massa gravitazionale sono identiche e tutti i sistemi di riferimento accelerati sono fisicamente equivalenti a un campo gravitazionale della stessa forza. Una persona sulla superficie della Terra, ad esempio, sperimenterebbe lo stesso identico effetto di una persona che si trovasse in una navicella spaziale che accelera a 9,8 m/s² (l'accelerazione del campo gravitazionale terrestre) .

Sino ad allora si erano privilegiati i sistemi di riferimento inerziali, tanto che lo stesso Einstein, nell'ambito della relatività ristretta, aveva affermato che in essi le leggi della Fisica hanno la stessa forma. Secondo la teoria della relatività generale, invece, nessun sistema è privilegiato rispetto agli altri, in quanto quello che si verifica in un sistema di riferimento inerziale in presenza di gravità è uguale a quello che si verifica in uno accelerato. Questa conclusione porta al principio di relatività generale.

[Principio di relatività generale]

Il principio di relatività generale afferma che le leggi della Fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento.

## Il mistero della gravitazione

Perché la Luna ruota attorno alla Terra come se fosse legata da un filo invisibile che le impedisce di fuggire via? Come si propagano attraverso distanze così grandi le forze tra i corpi celesti?

Newton aveva compreso la difficoltà di dare una risposta convincente a tali quesiti e aveva parlato di forza gravitazionale, limitandosi a quantificarla. Non solo: aveva affermato esplicitamente che non voleva fare ipotesi artificiose su questa strana azione a distanza. Einstein
propose una spiegazione rivoluzionaria.

Spazio curvo La presenza di una massa modifica la geometria dello spazio, incurvandolo: i pianeti seguono traiettorie curvilinee poiché si muovono lungo le sinuosità di tale spazio.



Per capire meglio che cosa intendesse con tali parole, pensiamo di eseguire un esperimento ideale. Stendiamo un grande tappeto elastico quadrettato e poniamo al suo centro una sfera di acciaio di massa considerevole.

La presenza della sfera deforma il tappeto, dando origine a un avvallamento in modo tale che i segmenti rettilinei diventano delle linee curve.

Se appoggiamo sul tappeto una sferetta molto più piccola della
precedente, essa rotolerà verso la prima, tendendo a muoversi lungo una traiettoria curvilinea attorno alla sfera centrale.

1. Secondo Newton i pianeti si muovono seguendo orbite curvilinee in uno spazio piano.

2. Secondo Einstein i pianeti si muovono su orbite rettilinee in uno spazio incurvato dalla presenza delle masse

Nel secondo caso si parla di orbite rettilinee, in quanto in uno spazio curvo il più breve percorso fra due punti A e B, cioè il segmento rettilineo che unisce A a B, è un arco di curva.



Le conferme sperimentali più significative della teoria della relatività generale sono:

1. un particolare spostamento delle orbite dei pianeti ( precessione);

2. l'azione della gravità sulla luce (i raggi luminosi passando in prossimità di una sorgente gravitazionale subiscono una deviazione e quando se ne allontanano perdono energia per cui, essendo la loro velocità c costante, mostrano uno spostamento verso il colore rosso).

## Lo spostamento verso il rosso

Lo spostamento verso il rosso (redshift) gravitazionale è lo spostamento relativo in frequenza di un'onda elettromagnetica dovuto alla forza di gravità di un oggetto compatto.



Consideriamo un raggio di luce che si propaga verso l'altro in un campo gravitazionale. Se la luce ha una frequenza $f_1$ ogni fotone ha energia $E_1=h f_1$, ove $h$ è la costante di Plank. A questa energia corrisponde una massa

$m=E_1/c^2=(h f_1 )/c^2$

che viene spostata verso l'alto nel campo gravitazionale. Occorre perciò fornire un lavoro

$W=mgL = (h f_1) g L //c^2$

Per comodità poniamo il termine costante

$delta = g L//c^2$

che, visto il denominatore, c'è da attendersi che sia piccolissimo.

Se in modo più generale consideriamo $g$ variabile con la distanza dal baricentro della massa sferica si ottiene

$delta = (GM)/(R c^2)$

Poiché il raggio luminoso mentre sale deve compiere questo lavoro, arriva in alto con l'energia ridotta a

$E_2 = h f_2 = E_1 - W = h f_1 - (h f_1) delta $

a cui corrisponde la frequenza minore

$f_2=f_1( 1 - delta )$

$(Delta f)/f=(f_2-f_1)/f_1 = - delta$

riferendoci al periodo si ha

$ (Delta T)/T =(T_2 - T_1)/T_1 = delta $

A denominatore avremmo potuto mettere $T_2$ visto che $delta$ è piccolissimo e che quindi $T_1 approx T_2$.

La misura dello spostamento verso il rosso fu eseguita nel 1965 da due fisici americani, G: Pound e G.Rebka. Essi lavorarono con una radiazione $gamma$ che saliva lungo la Jefferson Towers, Harvard University. Fu misurata una frequenza ridotta

$delta = (g*L)/c^2 = (10 * 20)/(9*10^16)$ $ = # delta=(10 * 20)/(9*10^16) # $

$f_2 = f_1 ( 1 - delta ) $ $= f_1 * (1 - # delta # ) = f_1* ## 1-delta ## $

Colore$lambda \ uunm$$f*10^12 \ uuHz$$T*10^-15 \ uus$Rosso$680$$440$$2.27$Giallo$580$$520$$1.93$Blue$460$$650$$1.53$

Questo effetto insignificante, che con la luce visibile avrebbe provocato una variazione in frequenza di circa 1 Hz, poté essere misurato con una speciale tecnica sperimentale e i risultati concordarono con le previsioni teoriche entro un errore dell'1%.



Anche nelle righe spettrali del Sole si può riconoscere questo . Poiché la luce deve compiere un lavoro per abbandonare il campo gravitazionale del Sole e giungere sulla Terra, la sua frequenza diminuisce fino a

$delta = (GM)/(c^2 R) $

$f_2 = f_1(1 - delta )$

## Gli orologi in campo gravitazionale

Partendo dallo spostamento verso il rosso possiamo calcolare il comportamento di un orologio in un campo gravitazionale.

Supponiamo che sia l'orologio $A$ sia l'orologio $B$ siano in un campo gravitazionale ma $B$ più in alto di $H$ rispetto ad $A$. A causa dello spostamento verso il rosso il segnale partito da $A$ giunge a $B$ con frequenza ridotta

$f_B = f_A ( 1- delta ) $

ricordando la realzione tra frequenza e periodo $f*T=1$ e che $delta$ è piccolissimo, otteniamo

$T_B = T_A /(1-delta) approx T_A(1+delta) $

Ad altezze maggiori gli orologi vanno più rapidamente.

Chi vive in alto invecchia prima

[Everest]
La persona $A$ vive al livello del mare. Un'altra, $B$, vive sull'Everest.

Quando il maritmo $A$ è invecchiato di un anno di quanto è invecchiato il montanaro $B$?



La verifica sperimentale di questi risultati fu fatta nel 1976. Mediante un aereo venne portato a 10 000 m di altezza un orologio atomico e il suo andamento fu confrontato con quello di un orologio a terra. L'esatta posizione e velocità dell'aereo venne determinata, durante le 14 ore di volo, con una tecnica radar.

Dall'orologio a bordo partivano dei segnali di tempo che venivano confrontati con i dati dell'orologio a terra. Si prendeva in considerazione anche la durata del segnale. Si poteva così seguire durante il volo la crescente differenza tra le indicazioni dei due orologi.

Si verificavano contemporaneamente due effetti.

1. L'orologio in volo ritardava di un fattore $sqrt(1-v^2//c^2)$ rispetto a quello a terra come previsto dalla relatività ristretta. Per questo avrebbe dovuto rimanere indietro rispetto a quello a terra di 5.7 ns

2. D'altra parte esso si trovava più in alto, e quindi avrebbe dovuto andare avanti. Dai dati di volo è stato calcolato che questo anticipo ammontava a 52.8 ns.

Complessivamente l'orologio in volo avrebbe dovuto andare avanti di 52.8-5.7=47.1 ns

I risultati sperimentali furono in perfetto accordo con le previsioni teoriche.

Possiamo estendere a una qualsiasi massa $M$, posta ad una distanza $R$ dall'orologio, i risultati ottenuti

$delta = (GM)/(c^2 R) $

$T_B=T_A(1+delta)$

Se un orologio viene avvicinato a una massa $M$ rallenta:

$T_A= T_B/(1+delta) approx T_B(1-delta)$

## Lo spazio tempo

### Vicino a una massa un'asta si accorcia e un orologio rallenta

Mediante la legge di conservazione dell'energia abbiamo calcolato l'influenza del campo gravitazionale sul moto di orologio. Invece l'influenza della gravità sulla lunghezza di un'asta non può essere determinata in modo così semplice. Quest'effetto è uno dei più importanti risultati della relatività generale e richiede complessi calcoli.
Questo effetto è apprezzabile quando un campo gravitazionale assume dimensioni molto più grandi di quello esistente tra la Terra e la Luna od il Sole e la Terra.

I risultati a cui si giunge dopo laboriosissimi calcoli sono i seguenti, dove con l'indice 0 sono indicati i valori in assenza di massa.

$ displaystyle R_s=(2GM)/c^2$

$ displaystyle delta = R_s/(2R) $

$ displaystyle T(r) = T_0 sqrt(1-2 delta)$
$ approx T_0(1-delta)$

$ displaystyle L(r) = L_0 sqrt(1-2 delta)$
$ approx L_0(1-delta)$

Ricordando che il raggio di Schwarzschild $R_s$ è piccolissimo rispetto a $R$ allora il loro rapporto è molto minore di uno quindi con un semplice sviluppo in serie1 abbiamo linearizzato le precedenti espressioni.

Se un'asta viene avvicinata a una massa $M$ si accorcia:

$L_A = L_B(1-delta)$

$ (DeltaL) / L = (L_A - L_B)/L_B = - delta $

Le lunghezze (radiali, cioè dirette lungo un raggio che dal centro di massa di un corpo vanno verso
l'esterno) e gli intervalli di tempo dipendono dalla presenza di masse "nelle vicinanze". Questo vuol
dire che se prendo un righello e ne misuro la lunghezza in direzione radiale rispetto ad una massa
otterrò un valore che dipende dalla curvatura dello spazio in quel punto, che sarà tanto maggiore
quanto più vicino mi troverò alla massa. Mentre un orologio andrà a velocità differente a seconda della
distanza dalla massa sorgente della curvatura spazio-temporale. Attenzione: queste variazioni non
posso misurarle con degli strumenti che si trovano dove sono gli oggetti (il righello o l'orologio).
Non è il righello in sé che si accorcia o l'orologio in sé che rallenta. È lo spazio e il tempo che vengono
modificati. La misura deve essere fatta da un osservatore esterno.

Un'asta di lunghezza $L_0$, quando è in assenza di campo gravitazionale, viene posta alla distanza $R$ da un buco nero di massa $M$.

Calcolare la sua variazione di lunghezza.

La teoria ci dice che un'asta su una montagna è un po' più lunga di una al livello del mare.
Come si può verificare questo asserto? Se ppostiamo in basso l'asta essa si accorcia e quindi la differenza scompare. Dobbiamo quindi trovare un altro modo

Incominciamo con un esperimento concettuale. Per verificare se la circonferenza $U$ e il diametro $2R$ di un cerchio soddisfano la relazione $U=2 pi R$, un geometra sistema un gran numero di regoli uguali su un grande cerchio intorno al Sole e determina così la circonferenza $U$. Con gli stessi regoli misura anche il diametro del cerchio.
Secondo la geometria euclidea il rapporto deve avere il seguente valore:

$U/(2pi)= pi = 3.1415927536... $

Invece la misura fornisce

$U/(2pi) = 3.1415924853... $

Il diametro del cerchio è dunque più grande di quanto si sarebbe potuto pensare partendo dalla circonferenza.

La previsione della geometria euclidea $U=2 pi R$ non ha retto alla verifica sperimentale quindi è sbagliata!

E' facile spiegare il perché di questo effetto.
Vicino al Sole le aste si accorciano e quindi per misurare il diametro ne occorre un numero maggiore di quante la circonferenza farebbe pensare. In questo modo si può verificare, almeno in linea di principio, la previsione della teoria della relatività.

Vediamo ora un ulteriore risultato.
Un geometra, dal suo punto di vista, può affermare che le aste non si accorciano.
Egli riconduce il suo risultato al fatto che lo spazio in prossimità del Sole è curvo.
Anche in questo caso il diametro del cerchio è maggiore di quanto previsto dalla geometria euclidea.

Abbiamo così raggiunto il famoso concetto di

curvatura dello spazio

che è un risultato fondamentale della teoria della relatività generale.

Ammettendo la contrazione delle lunghezze o la curvatura dello spazio si giunge sempre allo stesso risultato.
Le previsioni della geometria euclidea vengono meno in prossimità di grandi masse.
Questo fu uno dei risultati più sensazionali della relatività generale.
Per millenni la geometria euclidea venne considerata come l'esempio tipico di asserzione sintetica a priori e lungo la storia del pensiero europeo si cercò sempre di raggiungere in tutte le scienze lo stesso grado di accuratezza della geometria.
Ebbene, il questo fondamento della conoscenza umana apparentemente solido, si rivela illusorio.
Il rapporto tra fra la geometria e la realtà non era così semplice come si era supposto.

Einstein descrisse così la situazione.

Finché le leggi della materia si riferiscono alla realtà, esse non sono sicure, e finché sono sicure non si riferiscono alla realtà.

Dapprima abbiamo ammesso che i regoli in campo gravitazionale si accorciano, cioè abbiamo fatto una asserzione sul regolo graduato. Poi abbiamo discusso il nostro risultato e lo abbiamo considerato come un'asserzione sullo spazio.

Possiamo descrivere lo stesso risultato con diversi schemi concettuali.

Rimane ora da stabilire come si possa effettivamente controllare sperimentalmente la geometria in vicinanza del Sole.

### L'esperimento di Shapiro

Nel 1965 il fisico americano Irwin Shapiro 2 eseguì la verifica sperimentale dei rapporti geometrici vicino al Sole con una tecnica che lo sviluppo del radar aveva reso possibile.



Il ritardo viene calcolato dal tempo di esecuzione del segnale previsto, supponendo che la Terra e Venere seguano le loro normali ellissi kepleriane.

Nel 1962 Irwin Shapiro suggerì di misurare questo ritardo inviando alcuni forti segnali radio a Venere, quando è in opposizione alla Terra, e poi misurando il tempo impiegato affinché i segnali riflessi (estremamente deboli) arrivino.

Quando nel 1964 l'antenna Haystack di 120 piedi a Westford, negli Stati Uniti, fu lasciata dai militari al MIT, Shapiro e il suo team iniziarono a pianificare l'esperimento. L'esperimento ebbe luogo per la prima volta dal novembre 1966 all'agosto 1967. "Sarebbe stato bello dimostrare che Einstein si sbagliava", disse Shapiro più tardi. Ciò non gli è stato concesso poiché tutti gli esperimenti fino al 2006 hanno confermato la RG entro un errore dell'1%

### Deviazione della luce e rotazione del perielio

La curvatura dello spazio in vicinanza del Sole ha ancora un altro effetto sulla traiettoria del raggio di luce che passa vicino al Sole.
Esso viene deviato dalla propia traiettoria nel campo gravitazionale del Sole e la teoria della RG prevede una deviazione di 1.75''. Anche questo effetto è stato misurato entro un errore dell'1%

### Orbite dei pianeti

La curvatura dello spazio influenza anche le orbite dei pianeti. Le orbite ellittiche dei pianeti non rimangono fisse nello spazio, come prevedeva la teoria gravitazionale di Newton, ma ruotano lentamente intorno al Sole.
Così nel caso di Mercurio il perielio, cioè il punto dell'orbita più vicino al Sole, ruota di 43 secondi di grado in un secolo. Questo effetto era già conosciuto ma ritenuto inspiegabile fino all'avvento della RG.

### Il sistema di posizionamento GPS

Ogni telefono cellulare di ultima generazione può determinare la nostra posizione con una precisione di circa 10 metri. Il corretto funzionamento di un localizzatore GPS dipende in maniera critica dalle formule della Relatività Generale e Speciale applicate alla debolissima curvatura dello spazio-tempo causata dalla Terra e dalla velocità dei satelliti in orbita intorno alla Terra. Il sistema di localizzazione utilizza (almeno) 28 satelliti che ruotano intorno alla Terra su orbite differenti. Il funzionamento del GPS, per sommi capi, è questo: i satelliti del GPS inviano in continuazione verso la Terra delle serie di impulsi di onde e.m. Questi impulsi contengono tutta una serie di informazioni, compresa la posizione del satellite e il tempo in cui l'impulso è partito, misurato da un orologio atomico che si trova sul satellite. L'impulso del GPS viene ricevuto dal cellulare, dal ritardo fra emissione e ricezione si misura la distanza fra il satellite e il cellulare, sapendo che la velocità della luce è costante. In realtà i calcoli sono più complessi dato che l'orologio del cellulare non è preciso come quello del satellite. Ma questo non cambia la sostanza di ciò che accade.

Combinando i dati di quattro satelliti si può quindi calcolare la posizione del cellulare sulla superficie terrestre. Ma gli orologi sui satelliti sono sottoposti alla forza di gravità, che è differente da quella sulla Terra. Quindi misurano un tempo differente da quello che misurerebbero sulla Terra, il ritardo misurato dal cellulare quindi non è solo quello dovuto alla distanza percorsa dall'impulso e.m.

Ricordiamoci che il tempo (la durata di un evento) in presenza di una massa viene ridotto e dipende dalla distanza dal centro di massa. Se inseriamo nella formula i vari dati: la massa e il raggio della Terra, l’altezza dei satelliti, arriviamo ad una correzione, su di un giorno, di circa 53 μs. Poi dobbiamo considerare la correzione a causa della relatività speciale (il satellite viaggia ad una velocità di circa 13 600 km/h). Alla fine il GPS ci fornisce l'indicazione di dove siamo con una precisione di circa 10-20 metri (meno di 1 metro per quelli militari). Se non avessimo apportato le correzioni dovute alla relatività generale ed alla relatività speciale avremmo avuto un errore, nella posizione, di vari chilometri (circa 5 km). Il GPS darebbe sempre un’indicazione sbagliata e sarebbe inutilizzabile.

### Le onde gravitazionali

Per capire cosa sia un'onda gravitazionale possiamo servirci di un'analogia con le onde elettromagnetiche.
Le equazioni di Maxwell descrivono tutti i fenomeni (classici) che coinvolgono cariche elettriche ferme e/o in movimento.
In particolare prevedono che, se abbiamo delle cariche elettriche accelerate (cioè che si muovono con velocità non costante), allora abbiamo un'emissione di onde elettromagnetiche che viaggiano alla velocità della luce.
Disponendo di un opportuno rivelatore (un'antenna) possiamo rivelare queste onde.
È quello che succede quando sentiamo squillare il cellulare o quando vediamo la TV.
Nel caso delle equazioni del campo di Einstein si può ragionare allo stesso
modo.
Se abbiamo delle masse accelerate opportunamente le equazioni della Relatività Generale hanno una soluzione che rappresenta un'onda che si propaga nello spazio vuoto alla velocità della luce.
Attenzione, non si tratta di un'onda elettromagnetica, ma di un'onda gravitazionale.
La deformazione che viaggia è la deformazione dello spazio-tempo.
Questa deformazione, quando raggiunge un corpo, deforma per qualche frazione di secondo lo spazio-tempo entro cui si trova il corpo, e quindi la misura delle dimensioni del corpo stesso, depositando nel corpo una quantità di energia infinitesima.
Il problema è che questo effetto è piccolissimo, lo stesso Einstein pensava che non sarebbe mai stato misurato con la tecnologia disponibile all'epoca.

I tentativi per la rivelazione diretta delle onde, possibile solo per eventi galattici catastrofici tipo l'esplosione di una supernova o eventi che coinvolgono buchi neri, iniziarono negli anni '70 dello scorso millennio, ma è solo nei primi anni del nuovo secolo che furono realizzati sistemi in grado di rivelare effettivamente questi debolissimi segnali.

## La RG è la nuova legge di gravitazione

La legge di gravità di Newton può essere ottenuta come approssimazione della relatività generale quando le velocità coinvolte sono molto piccole rispetto alla velocità della luce e i campi gravitazionali sono deboli. Questo è noto come il limite newtoniano della relatività generale.

L'equazione fondamentale della relatività generale, nota come equazione di campo di Einstein, è:

$ G_(μν)+Λg_(μν) = (8πG)/c^4 T_(μν) $

Dove:

- $G_(μν)$ è il tensore di Einstein,

- $g_(μν)$ è il tensore metrico,

- $Λ$ è la costante cosmologica,

- $G$ è la costante di gravitazione universale,

- $c$ è la velocità della luce

- $T_(μν)$ è il tensore energia-impulso.

Nel limite newtoniano, si considera il campo gravitazionale debole e velocità molto basse, e si trascurano alcuni termini dell'equazione. Ciò porta all'approssimazione:

$∇^2 ϕ = 4πGρ$

Dove:

- $∇^2$ è l'operatore laplaciano,

- $ϕ$ è il potenziale gravitazionale,

- $ρ$ è la densità di massa.

Questa è l'equazione di Poisson, che è fondamentale nella teoria della gravità di Newton. Quindi, la legge di gravità di Newton può essere ottenuta come una approssimazione della relatività generale in determinate condizioni limite.

Vogliamo calcolare il campo gravitazionale sulla superficie terrestre usando sia la teoria di gravità di Newton che quella della relatività generale.

Nel precedente esempio, la differenza tra la previsione della teoria di Newton e quella della relatività generale è estremamente piccola e difficilmente misurabile con strumenti convenzionali. Ciò conferma che la relatività generale di Einstein produce risultati molto simili alla gravità newtoniana in condizioni quotidiane sulla superficie terrestre, poiché i campi gravitazionali sono deboli e le velocità sono molto inferiori a quella della luce.

Per ottenere una differenza significativa, dobbiamo esaminare situazioni estreme, ad esempio nelle vicinanze di oggetti molto massivi o in condizioni di campo gravitazionale e velocità estreme.

Consideriamo un oggetto massivo come un buco nero supermassiccio. Questa è una situazione molto estrema e irrealistica, ma ci aiuterà a evidenziare la differenza.

Nota 1
Per $x$ molto minore di uno si ha $sqrt(1-x) approx 1 - 1/2 x - 1/8 x^2 ...$

Nota 2 Irwin I. Shapiro, nato a New York nel 1929

Vincitore del Premio Einstein 2013 con la seguente motivazione:

Per i suoi contributi ai test sperimentali del sistema solare sulle teorie relativistiche della gravità, e in particolare per aver proposto e misurato l'effetto di ritardo temporale di Shapiro.

- Fisica - Sexl Raab Streeruwitz - 1984

- © Prof.ssa Anna Pellegrini - Ing. L. Pirri - 21/05/1993