Le coordinate accentate sono quelle relative al sistema di riferimento del laboratorio in caduta libera.
Questo invariante determinano come si propagano i raggi luminosi in assenza di campo gravitazionale e come si muovono i corpi materiali in assenza di capo gravitazionale. I raggi luminosi si muovono lungo curve con (ds^2=0) perché se si hanno due eventi che appartengono allo stesso raggio luminoso il loro (ds^2) è zero. Invece i moti inerziali di un corpo materiale sono geodetiche di tipo tempo, cioè che hanno una tangente il cui prodotto scalare con sé stessa è negativo. Le coordinate accentate sono quelle relative al sistema di riferimento del laboratorio in caduta libera. In questo piccolo laboratorio (l’ascensore in caduta libera) lo spazio-tempo viene descritto dalla metrica di Lorentz. Questa metrica piatta descrive la propagazione dei raggi luminosi e il moto dei corpi all’interno di questo laboratorio in caduta libera. Ora Einstein si chiese quali fossero le conseguenze di tutto ciò in un sistema di riferimento non in caduta libera, in un laboratorio terrestre stazionario in cui sono percepibili gli effetti della gravità. Einstein conclude che questo (ds^2) deve rimanere invariante, però, per trovare la sua espressione in questo laboratorio, occorre effettuare una trasformazione di coordinate locali che porta dalle coordinate del laboratorio in caduta libera alle coordinate del laboratorio stazionario soggetto al campo gravitazionale terrestre. Ci si può chiedere qual è questa trasformazione di coordinate. Si supponga che all’istante iniziale le origini di questi due sistemi di coordinate locali stazionari coincidano e che all’istante iniziale l’ascensore sia a riposo rispetto alla Terra. Quindi a (t=0) comincia la caduta libera dell’ascensore. Si orienta l’asse z sulla verticale verso l’alto. La relazione che intercorre tra i due sistemi di coordinate è la seguente: