Dal dicembre del 1907 al 1912 Einstein sembra non fare grandi progressi, ma nell’estate del 1912 il suo collega Marcel Grossmann gli suggerisce una prima chiara indicazione della strada da seguire: bisogna abbandonare la descrizione geometrica dello spazio-tempo basata sulla geometria euclidea e passare alle geometrie non euclidee. Come ricorderà Einstein in un discorso tenuto a Kyoto nel 1922:
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#### La relatività generale: la nuova teoria della gravità

Nata da esigenze di simmetria e da principi primi, con pochissimi dati sperimentali disponibili, ma confermata a posteriori da osservazioni ed esperimenti. Facciamo un viaggio nella teoria che ha segnato la nascita della cosmologia, rivoluzionato la nostra concezione dell'universo e consegnato Einstein al mito

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18 gennaio 2021

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È il 25 novembre del 1915. All’Accademia delle scienze di Berlino, un fisico di 36 anni, Albert Einstein, che ha già una certa notorietà nell’ambito della comunità scientifica ma è ancora sconosciuto al pubblico, presenta una comunicazione nella quale illustra le equazioni che esprimono la relatività generale. Soppiantando la teoria della gravitazione universale di Newton, la relatività generale da allora ha avuto clamorose conferme, ed è tutt’oggi la più profonda teoria della gravitazione di cui disponiamo. Ripercorriamo le tappe che portano Einstein alla costruzione della nuova teoria.

#### Dalla relatività ristretta alla relatività generale

Pienamente consapevole che la meccanica di Newton è solo una teoria approssimata e la relatività ristretta è la teoria più fondamentale, nel 1907 Einstein, mentre scrive un articolo di rassegna sulla relatività ristretta, si pone anche il problema di esprimere nell’ambito della nuova teoria una delle più importanti conseguenze della meccanica di Newton: la legge di gravitazione universale ( "due corpi qualunque di massa m1 e m2 si attraggono con una forza proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale alla loro distanza al quadrato"). Si accorge che trovare la nuova espressione della forza gravitazionale non è affatto banale.

Uno degli ostacoli, come osserverà Einstein a più riprese, è che esiste un difetto epistemologico sia nella relatività galileiana, sia nella relatività ristretta. Entrambe si basano sull’ipotesi che, per formulare le leggi fisiche, i sistemi inerziali siano equivalenti tra loro e privilegiati rispetto ai sistemi di riferimento in moto accelerato. Questo privilegio presuppone una “misteriosa” proprietà dello spazio-tempo: lo spazio-tempo si comporta come un palcoscenico che condiziona la descrizione degli eventi fisici senza esserne influenzato. Quando Einstein si pone il problema di modificare la teoria newtoniana della gravitazione per renderla compatibile con la relatività ristretta, si accorge che è necessario generalizzare il postulato di relatività anche a sistemi di riferimento in moto qualunque.

#### Il principio di equivalenza

Sempre nel 1907 Einstein realizza che la chiave di volta per ottenere la nuova espressione della gravitazione è costituita da un risultato sperimentale già acquisito, da Galileo prima e da Newton poi: tutti i corpi in assenza di resistenza del mezzo (cioè nel vuoto) cadono con la stessa accelerazione, cioè lasciando cadere nel vuoto, dalla stessa altezza e nello stesso istante, una piuma e una pietra, queste arrivano a terra nello stesso istante. Questa proprietà può essere espressa anche dicendo che la massa inerziale, quella che compare in F = ma e che misura l’inerzia di un corpo a cambiare il suo stato di moto, e la massa gravitazionale, quella che compare nella legge di gravitazione universale e che esprime la “carica” gravitazionale di un corpo dotato di massa che attira ed è attirata dalla “carica” gravitazionale di un altro corpo dotato di massa, sono equivalenti, cioè hanno lo stesso valore se si scelgono opportunamente le unità di misura. Dire che massa inerziale e massa gravitazionale sono equivalenti è un modo diverso di dire che tutti i corpi cadono nel vuoto con la stessa accelerazione.

Proprio il principio di equivalenza tra massa inerziale e massa gravitazionale è alla base, nel 1907, del “pensiero più felice della sua vita”, come ricorderà Einstein nel cosiddetto manoscritto Morgan (dal nome della biblioteca di New York dove è conservato e databile intorno al 1920):

Quando nel 1907, stavo lavorando ad un articolo di rassegna sulla relatività ristretta per lo Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik, dovetti anche tentare di modificare la teoria newtoniana della gravitazione in modo da rendere le sue leggi compatibili con la relatività ristretta. [...] Fu allora che ebbi il pensiero più felice della mia vita, nella forma seguente. Il campo gravitazionale ha solo un’esistenza relativa […]. Per un osservatore che cada liberamente dal tetto di una casa, non esiste - almeno nelle immediate vicinanze - alcun campo gravitazionale. Infatti se l’osservatore lascia cadere dei corpi, questi permangono in uno stato di quiete o di moto uniforme rispetto a lui, indipendentemente dallo loro particolare natura chimica o fisica (ovviamente si trascura la resistenza dell’aria). L’osservatore di conseguenza ha il diritto di interpretare il proprio stato come uno ‘stato di quiete’. [...] L’indipendenza dell’accelerazione di caduta dalla natura dei corpi, ben nota sperimentalmente, è pertanto un solido argomento in favore dell’estensione del postulato di relatività a sistemi di coordinate in moto non uniforme l’uno rispetto all’altro.

In altri termini, il moto di caduta libera “produce” un campo gravitazionale uguale e contrario a quello della Terra.

La quinta e ultima parte dell’articolo del 1907 per lo Jahrbuch, dal titolo “Principio di relatività e gravitazione”, sollevava già quattro questioni che saranno fondamentali anche nei successivi lavori: il principio di equivalenza; lo spostamento gravitazionale verso il rosso (la luce entrando o uscendo da un campo gravitazionale varia la sua frequenza, verso il rosso uscendo, cioè la frequenza diminuisce, e verso il blu entrando, cioè la frequenza aumenta); la luce non viaggia in linea retta, ma quando passa nei pressi di un corpo subisce una deflessione, la sua traiettoria cioè si incurva a causa dell’azione del campo gravitazionale; la gravità dell’energia (è in questo articolo infatti che compare per la prima volta E = mc 2).

#### Una strada piena di ostacoli

Ma il cammino che Einstein dovrà percorrere, come si accorgerà presto, risulterà assai più arduo di quello seguito per arrivare alla formulazione della relatività ristretta. A differenza infatti di quanto era avvenuto con la relatività ristretta, presentata in forma compiuta fin dal primo lavoro del 1905, Einstein trascorre almeno otto anni prima di arrivare a formulare correttamente la teoria, pubblicando a più riprese articoli nei quali spesso torna sui passi fatti nell’articolo precedente senza convincersi della direzione da prendere.

Le ragioni di questo cambiamento di stile nelle ricerche einsteiniane possono essere comprese in riferimento a due essenziali fattori, che distinguono i punti di partenza della relatività ristretta rispetto a quella generale. In primo luogo, la relatività ristretta aveva a disposizione un ampio ventaglio di fatti sperimentali, acquisiti nel corso di almeno due secoli di ricerche sull’elettricità, il magnetismo e la luce, mentre la relatività generale partiva esclusivamente da due fatti sperimentalmente verificati: il principio di equivalenza e l’ anomalia nella precessione del perielio di Mercurio. Quest’ultima era l’unico dato che sembrava mettere in crisi la teoria della gravitazione newtoniana. L’orbita del pianeta, come previsto dalla teoria newtoniana, ruotava lentamente intorno al perielio (il punto di minima distanza dal Sole) a causa della presenza delle masse dei vari corpi del Sistema Solare. I calcoli fatti sulla base della teoria newtoniana rendevano conto di questa precessione, ma mancavano all’appello 43 secondi d’arco per secolo. Una discrepanza piccola, ma significativa. Era però di fatto l’unico appiglio, considerato non sufficiente da molti grandi fisici dell’epoca, per intraprendere la strada della formulazione di una nuova teoria della gravitazione.

Il secondo elemento che ostacola il lavoro di Einstein riguarda il fatto che la parte fondamentale del linguaggio matematico della relatività ristretta era già disponibile e applicata alla fisica. Ben differente era all’epoca la situazione nell’ambito degli studi matematici sui quali si sarebbe basata la nuova teoria della gravitazione.

#### Il soccorso della nuova matematica

Dal dicembre del 1907 al 1912 Einstein sembra non fare grandi progressi, ma nell’estate del 1912 il suo collega Marcel Grossmann gli suggerisce una prima chiara indicazione della strada da seguire: bisogna abbandonare la descrizione geometrica dello spazio-tempo basata sulla geometria euclidea e passare alle geometrie non euclidee. Come ricorderà Einstein in un discorso tenuto a Kyoto nel 1922:

Se tutti i sistemi accelerati sono equivalenti, allora la geometria euclidea non può valere in ciascuno di essi. Abbandonare la geometria e conservare le leggi è come descrivere i pensieri senza le parole. Bisogna cercare le parole prima di poter esprimere i pensieri. Mi resi conto che i fondamenti della geometria avevano un significato fisico.

Sempre su suggerimento di Grossmann, Einstein comincia allora a studiare i lavori di Gauss, Riemann, e quelli più recenti di Ricci Curbastro e Tullio Levi-Civita, che proprio in quegli anni avevano contribuito a importanti sviluppi nel settore della matematica che è ancora oggi noto come calcolo differenziale assoluto. Da quel momento Einstein lavora “duramente” con l’obiettivo di costruire la nuova teoria. Nel 1915, ormai vicino alla meta, Einstein inizia una fruttuosa corrispondenza con Levi-Civita, nella quale approfondisce le sue conoscenze del calcolo differenziale assoluto.

Infine, in un articolo presentato all’Accademia delle scienze di Berlino il 25 novembre del 1915, Einstein comunica le corrette equazioni del campo gravitazionale, ma già il 18 novembre aveva presentato alla stessa Accademia i calcoli che gli permettevano di prevedere il valore della precessione del perielio di Mercurio e di correggere (di un fattore 2) la sua precedente stima della deflessione dei raggi luminosi da parte del Sole.

Albert Einstein e Tullio Levi-Civita si sono incontrati di persona nel 1921, a Bologna, in occasione di un ciclo di conferenze divulgative organizzate dal matematico Federigo Enriques, come raccontiamo articolo Il viaggio di Einstein a Bologna.

#### Una nuova teoria della gravitazione

Generalizzando il principio di relatività a sistemi in moto qualunque, Einstein reinterpreta la gravità non come forza, ma come particolare campo metrico dello spazio-tempo. Non più lo spazio-tempo come palcoscenico passivo, come nella relatività ristretta e galileiana, la cui geometria influenza la descrizione della dinamica, ma non è influenzata dai corpi e processi materiali, ma lo spazio-tempo come campo metrico che interagisce con i corpi materiali e l’energia. Identificando il campo gravitazionale con le proprietà geometriche dello spazio-tempo, si supera il difetto epistemologico della relatività ristretta (e galileiana). Usando la felice espressione di John Wheeler, la geometria dello spazio-tempo agisce sui moti della materia e dell'energia e a sua volta è determinata dalla distribuzione della materia e dell’energia.

Clifford, nel suo libro “Il senso comune delle scienze esatte” del 1885, che Einstein aveva letto studiando le geometrie non euclidee, porta un esempio significativo di questa sorta di cambiamento radicale di prospettiva compiuto dalla relatività generale: un ideale essere unidimensionale si muove su una circonferenza; se su questa non ci sono punti di riferimento, questo essere, che vive in questo spazio unidimensionale, pensa di muoversi indefinitamente in linea retta, e interpreta le pressioni che sente sul suo corpo come una forza che agisce dall’esterno. Uscendo dallo spazio unidimensionale, che è tutto lo spazio esperibile dall’essere unidimensionale, interpreteremmo la forza come il vincolo di muoversi sulla circonferenza imposto dalla geometria.

#### I successi della relatività generale

La spiegazione della precessione anomala di Mercurio è sicuramente un successo della teoria. Tuttavia clamorosa sarà la verifica, mai fatta prima, di un’altra previsione della teoria: la deflessione della luce causata da un campo gravitazionale. Questa arriverà nel 1919, quando due spedizioni nei mari del sud, e in particolare quella guidata da Eddington all’Isola del Principe, faranno osservazioni sull’ eclissi solare. Confrontando la distribuzione delle stelle fotografate in presenza e in assenza del Sole, si conferma che la deflessione della luce che passa sul bordo del disco solare è in accordo con quanto previsto dalla teoria della relatività generale. È l’inizio del “ mito Einstein”. Una teoria nata da esigenze di simmetria e, come si dice, da principi primi, con pochissimi dati sperimentali disponibili, viene confermata da osservazioni ed esperimenti che ne verificano a posteriori le previsioni.



Una delle foto all'eclissi solare scattate da Arthur Eddington nel 1919, che confermano una delle previsioni della relatività generale di Einstein: la deflessione della luce in prossimità di un corpo celeste estremamente massivo (immagine: wikipedia)

Dopo gli anni ’20 si assiste a una sorta di “ibernazione” delle ricerche sperimentali in relatività generale, che riesploderanno per varie ragioni a partire dal 1960 con la verifica del redshift gravitazionale e, tra l’altro, della deflessione della luce da parte di oggetti celesti di grandissima massa (come le galassie) che porta a quell’effetto di lente gravitazionale così importante oggi in vari settori dell’astrofisica (ivi compresi gli studi sulla materia oscura dell’universo). Ed infine l’11 febbraio del 2016 è stata ufficialmente comunicata l’ osservazione diretta delle onde gravitazionali: dopo cento anni dalla previsione di Einstein l’ultima fondamentale conseguenza della teoria della relatività generale è stata confermata.

Aula di Scienze si è ampiamente occupata nel corso degli anni dei temi della ricerca di frontiera in astrofisica e cosmologia. Puoi approfondire il racconto della scoperta delle onde gravitazionali leggendo questo articolo di Adele La Rana. Se invece vuoi sapere di più sulla materia oscura puoi proseguire la lettura con questo articolo di Michele Avalle.

#### Sviluppi successivi della relatività generale

Accanto agli sviluppi sperimentali ci sono anche importanti sviluppi teorici. Sempre Einstein, nel 1917, con un articolo dal titolo “Considerazioni cosmologiche sulla teoria della relatività generale”, dimostra che la relatività generale è la prima teoria che permette di trattare in modo consistente l’ universo su larga scala. Questo articolo ha due importanti conseguenze: segna la nascita della cosmologia come nuovo settore della scienza della natura e inaugura il percorso che porterà all’attuale Modello Standard dell’Universo, noto come Modello del Big Bang.

Per concludere un’osservazione, che ormai è diventata ricorrente. La relatività generale è una teoria che sembra molto astratta, e certo lontana dal senso comune, e per molti anni anche la comunità scientifica l’ha così catalogata. Ma la relatività generale, oltre alle molteplici conferme sperimentali, è oggi alla base di applicazioni tecnologiche anche nella vita di tutti i giorni. Il Global Positioning System (navigatore satellitare) non avrebbe la precisione che permette a tutti noi di usarlo se non venissero introdotte le correzioni calcolate grazie alla relatività ristretta e generale. Una dimostrazione clamorosa dell’importanza della ricerca “mossa dalla curiosità”. Questa, in tempi spesso non prevedibili, può aprire nuovi e inaspettati scenari anche agli sviluppi tecnologici. Ma purtroppo sulla ricerca mossa dalla curiosità si investe oggi sempre meno.

Sul sito web dell' Einstein Papers Project puoi trovare una collezione ricchissima degli scritti originali di Albert Einstein per cogliere appieno l'eredità scientifica e culturale dello scienziato più famoso del Ventesimo secolo.

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