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# Il principio di equivalenza e il tensore metrico del campo gravitazionale

IL PRINCIPIO DI EQUIVALENZA E IL TENSORE METRICO DEL CAMPO GRAVITAZIONALE

Si comincerà lo studio della Relatività Generale con il seguente enunciato. Nella Relatività Generale il campo gravitazionale è descritto in una maniera completamente differente rispetto alla teoria Newtoniana. Nella teoria Newtoniana il campo gravitazionale è descritto da un campo scalare (il potenziale gravitazionale), che è soluzione dell’equazione di Poisson:

$$\nabla^2 U=4\pi G \rho_{M}$$

Questa è l’equazione di Poisson che determina il campo gravitazionale. Quindi nella teoria di Newton per descrivere il campo gravitazionale è sufficiente una funzione scalare, il potenziale gravitazionale, che è un campo istantaneo determinato dalla distribuzione istantanea di massa nello spazio.

Nella teoria della Relatività Generale, invece, il campo gravitazionale è descritto da un ente matematico molto più complesso, cioè uno tensore metrico g definito nello spazio-tempo con segnatura lorentziana. Quindi la cinematica (per così dire) del campo gravitazionale nelle due teorie è molto diversa, quindi non solo le equazioni di campo saranno diverse, ma cambia completamente il modo di descrivere il campo gravitazionale. Mentre nella teoria classica è sufficiente un semplice scalare per descrivere il campo gravitazionale, nella teoria di Einstein occorre un tensore metrico.

Ci si può chiedere come Einstein arrivò a intuire questo fatto fondamentale, cioè che il campo gravitazionale deve essere descritto mediante un campo tensoriale (il tensore metrico). Si ha che \(g_{\mu\nu}\) possiede punto per punto 10 componenti indipendenti invece di una sola (come nel caso di un semplice campo scalare). Questa è una descrizione molto più complessa che lascia prevedere anche una ricchezza di fenomeni molto più grande, esattamente come nell’Elettromagnetismo si ha l’Elettrostatica caratterizzata da un campo scalare e l’Elettrodinamica caratterizzata dal tensore di Maxwell. Si può immaginare che qualcosa del genere accada anche per la gravità. Invece di un campo scalare si ha un tensore metrico simmetrico che ha 10 componenti indipendenti in ogni punto dello spazio-tempo.

Einstein è giunto all’intuizione che il campo gravitazionale fosse descritto da un tensore metrico sfruttando il principio di equivalenza. Il principio di equivalenza ha molte formulazioni, più o meno forti. Il principio di equivalenza debole afferma che all’interno di un riferimento in caduta libera in un campo gravitazionale è come se il campo gravitazionale scomparisse localmente. Einstein fece l’esempio di un ascensore in caduta libera in un campo gravitazionale. L’ascensore funge da sistema di riferimento locale. Se si compiono esperimenti all’interno di questo ascensore in caduta libera i fenomeni all’interno dell’ascensore si svolgono come se la gravità non ci fosse. Ci si può chiedere come Einstein sfruttò il principio di equivalenza per dedurre che il campo gravitazionale dovesse essere descritto da un tensore metrico. Notò che se tutti i fenomeni all’interno dell’ascensore avvengono come se non ci fosse un campo gravitazionale questo significa che questi fenomeni si debbano conformare ai principi della Relatività Ristretta. Dalla Relatività Ristretta è noto che esiste un invariante, l’invariante di Lorentz:

$$ds^2=-c^2 dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$$

Questo invariante determinano come si propagano i raggi luminosi in assenza di campo gravitazionale e come si muovono i corpi materiali in assenza di capo gravitazionale. I raggi luminosi si muovono lungo curve con \(ds^2=0\) perché se si hanno due eventi che appartengono allo stesso raggio luminoso il loro \(ds^2\) è zero. Invece i moti inerziali di un corpo materiale sono geodetiche di tipo tempo, cioè che hanno una tangente il cui prodotto scalare con sé stessa è negativo. Le coordinate accentate sono quelle relative al sistema di riferimento del laboratorio in caduta libera. In questo piccolo laboratorio (l’ascensore in caduta libera) lo spazio-tempo viene descritto dalla metrica di Lorentz. Questa metrica piatta descrive la propagazione dei raggi luminosi e il moto dei corpi all’interno di questo laboratorio in caduta libera. Ora Einstein si chiese quali fossero le conseguenze di tutto ciò in un sistema di riferimento non in caduta libera, in un laboratorio terrestre stazionario in cui sono percepibili gli effetti della gravità. Einstein conclude che questo \(ds^2\) deve rimanere invariante, però, per trovare la sua espressione in questo laboratorio, occorre effettuare una trasformazione di coordinate locali che porta dalle coordinate del laboratorio in caduta libera alle coordinate del laboratorio stazionario soggetto al campo gravitazionale terrestre. Ci si può chiedere qual è questa trasformazione di coordinate. Si supponga che all’istante iniziale le origini di questi due sistemi di coordinate locali stazionari coincidano e che all’istante iniziale l’ascensore sia a riposo rispetto alla Terra. Quindi a \(t=0\) comincia la caduta libera dell’ascensore. Si orienta l’asse z sulla verticale verso l’alto. La relazione che intercorre tra i due sistemi di coordinate è la seguente:

$$z’=z+\frac{1}{2}gt^2$$

$$x’=x$$

$$y’=y$$

$$t’=t$$

Questa trasformazione di coordinate non è lineare, a differenza delle trasformazioni di Lorentz. Einstein si chiese quale fosse l’espressione di \(ds^2\) che viene fuori da questa legge di trasformazione nel sistema di riferimento del laboratorio. Differenziando si ottiene:

$$dz’=dz+gt dt$$

$$dx’=dx$$

$$dy’=dy$$

$$dt’=dt$$

Einstein postulò che, se si sostituiscono questi differenziali, \(ds^2\) rimanesse comunque un invariante nel passaggio dal sistema di coordinate del laboratorio in caduta libera a quello del laboratorio fisso. Dunque si ha che:

$$ds^2=-c^2 dt’^2+dx’^2+dy’^2+dz’^2=-c^2 dt^2+dx^2+dy^2+(dz+gt dt)^2=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$$

Quello che si ottiene non è più la metrica di Lorentz in quanto, elevando al quadrato il termine \((dz+gtdt)\), si ottengono termini proporzionali a \(dz^2\), a \(dz dt\) e a \(dt^2\), e quindi si ottiene qualcosa di più generale, qualcosa di questo tipo (\(ds^2=g_{\mu\nu}(x)dx^{\mu}dx^{\nu}\)), dove le \(g_{\mu\nu}(x)\) sono funzioni delle coordinate. Essendo quindi questa trasformazione non lineare, si trova come invariante questa espressione che è una più generale forma quadratica (rispetto alla metrica di Lorentz) del differenziale delle coordinate con coefficienti che non sono più costanti.

Quindi Einstein, da questa semplice considerazione, ha dedotto che per descrivere il campo gravitazionale occorre un tensore metrico più generale di quello di Lorentz. Si sostituisce la metrica di Lorentz, che descrive lo spazio-tempo in assenza di campo gravitazionale, con una metrica più generale, che descrive lo spazio-tempo in presenza di campo gravitazionale. Si postula che quando un raggio luminoso nell’approssimazione dell’ottica geometrica si propaga in presenza di campo gravitazionale esso descrive una geodetica di tipo luce, esattamente come nel caso della metrica piatta di Lorentz (\(T^{a}T^{b}g_{ab}=0\)). Una particella di prova in caduta libera descriverà una geodetica di tipo tempo della metrica, esattamente come succede in assenza di gravità (\(T^{a}T^{b}g_{ab}<0\)).

Quindi viene spiegata in maniera naturale la legge di Galilei, cioè il fatto che tutti i corpi materiali, quando sono in caduta libera in un campo gravitazionale, si muovono allo stesso identico modo indipendentemente dalla loro natura o dalla loro costituzione fisica. Questo è perché, in presenza di campo gravitazionale, la metrica dello spazio-tempo non è più quella lorentziana ma il moto delle particelle in caduta libera rimane un moto geodetico, e il concetto di geodetica della metrica dipende esclusivamente dalla metrica, non dipende affatto dalla natura della particella che percorre la geodetica. Quindi in questo modo viene spiegato in maniera naturale il fatto che le particelle materiali in caduta libera si muovono allo stesso modo, tutte percorrono geodetiche di tipo tempo. Quindi, se soddisfano tutte lo stesso dato iniziale, esse descriveranno esattamente la stessa geodetica dello spazio-tempo. In questo modo Einstein, a partire dal principio di equivalenza, dedusse che il campo gravitazionale in Relatività Generale dovesse essere descritto da un \(ds^2\), cioè da un tensore metrico generale dello spazio-tempo, non necessariamente piatto.

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