Hiperbolička geometrija
<s>U matematici, hiperbolička geometrija (poznata i kao geometrija Lobačevskog ili geometrija Boljaj-Lobačevskog) je neeuklidska geometrija, u kojoj je promenjen peti postulat euklidske geometrije.</s>

<s>Postulat paralelnosti u euklidskoj geometriji je ekvivalentan tvrđenju da, u dvodimenzionom prostoru, za proizvoljnu pravu l i tačku P koja joj ne pripada, postoji tačno jedna prava koja sadrži P i ne seče pravu l, odnosno koja je paralelna sa l. U hiperboličkoj geometriji postoje bar dve prave kroz P koje nemaju zajedničkih tačaka sa l, što znači da ne važi postulat paralelnosti.</s><s>U okviru euklidske geometrije konstruisani su modeli koji poštuju aksiome hiperboličke geometrije, čime je dokazano da je peti postulat nezavisan od ostalih Euklidovih postulata.</s>

<s>Istorija 
U trećoj deceniji devetnaestog veka Nikolaj Lobačevski i Janoš Boljaj, nezavisno jedan od drugoga, predlažu da se teorija paralelnih utemelji na aksiomi koja negira peti Euklidov postulat.</s><s>Nemajući pred sobom očiglednu sliku koja bi poduprla njihov pogled na osnove geometrije, oni su uspeli da izgrade teoriju koja je, kako je kasnije pokazano, isto onoliko logički valjana koliko i euklidska geometrija.</s><s>Oni su, kako mladi Janoš Boljaj ističe u jednom pismu svom ocu, „ni iz čega“ stvorili „jedan sasvim novi svet“.</s><s>Prvi put je zasnovana jedna teorija u kojoj se ne može pozvati na očiglednost, zasnovana je geometrija u kojoj postoje tačka B i prava a koja je ne sadrži, takve da u njima određenoj ravni postoji više od jedne prave koja sadrži B, a sa pravom a nema zajedničkih tačaka.</s>

<s>Iz geometrijskog sveta u kome se u potpunosti moglo osloniti na intuiciju zasnovanu na predstavama koje stvaraju čula, zakoračilo se u svet koji postoji izvan dohvata našeg iskustva.</s><s>Nije stoga iznenađujuće što njihove zamisli nisu za njihova života doživele priznanje koje im pripada.</s><s>Samo je Gaus razumeo dubinu i dalekosežnost njihovih ideja, budući da su se, prema njegovim rečima, one podudarale sa njegovim zamislima od kojih je neke snivao više od trideset godina.</s><s>Zanimljivo, Gaus je znao za zamisli obojice zasnivača hiperboličke geometrije, no nije upoznao ni jednog od njih sa rezultatima drugog.</s><s>Do Boljaja je dospela jedna rasprava na nemačkom jeziku Nikolaja Lobačevskog, dok Lobačevski nikada nije saznao za rad Janoša Boljaja.</s>

<s>Uvođenje geometrije Lobačevskog 
Geometrija Lobačevskog je geometrija zasnovana na Hilbertovim aksiomama veze, rasporeda, podudarnosti i neprekidnosti i aksiomi Lobačevskog.</s>

<s>Aksioma Lobačevskog: Postoje tačka B i prava a koja ne sadrži tačku B takve da u njima određenoj ravni postoji više od jedne prave koja sadrži B, a sa a nema zajedničkih tačaka.</s>

<s>Tačka B i prava a imaju svojstvo Lobačevskog.</s>

<s>Geomerija Lobačevskog se naziva i hiperbolička geometrija ili geometrija Gaus-Boljaj-Lobačevskog ili geometrija Boljaj-Lobačevskog.</s><s>Prostor u kome su zadovoljene aksiome hiperboličke geometrije zvaćemo hiperboličkim ili prostorom Lobačevskog, a svaku njegovu ravan hiperboličkom ravi ili ravni Lobačevskog.</s>

<s>Ako bi u hiperboličkom prostoru postojale tačka i prava koje zadovoljavaju Plejferova aksioma, onda bi svaka tačka i prava koja je ne sadrži zadovoljavale istu aksiomu, što protivreči aksiomi Lobačevskog.</s><s>Dakle, važi</s>

<s>Teorema Za svaku tačku B hiperboličkog prostora i pravu a koja je ne sadrži, u njima određenoj ravni postoje bar dve prave koje sadrže tačku B, a sa a nemaju zajedničkih tačaka.</s>

<s>Iz Ležandrovih teorema se može dokazati i sledeća</s>

<s>Teorema  Sledeći iskazi su ekvivalenti aksiomi Lobačevskog:
 Ugao paralelnosti je oštar.</s><s>Zbir unutrašnjih uglova trougla je manji od Pi.</s><s>Zbir unutrašnjih uglova ravnog prostornog četvorougla je manji od 2*Pi.</s><s>Uglovi na protivosnovici Sakerijevog četvorougla su oštri.</s><s>Jedan ugao Lambertovog četvorougla je oštar.</s><s>Prostoji prava u ravni oštog ugla koja je upravna na jednom kraku tog ugla, a ne seče drugi krak.</s>

<s>U apsolutnoj geometriji važi pet stavova o podudarnosti trouglova.</s><s>U hiperboličkoj geometriji važi, pored tih pet, još jedan, takozvani šesti stav prema podudarnosti koji karaktriše hiperbolički prostor.</s><s>On glasi: Dva trougla su podudarna ako i samo ako su im odgovarajući uglovi međusobno podudarni podudarni.</s><s>Posledica ovog šestog stava je: u hiperboličkoj geometriji svaka sličnost je podudarnost.</s>

<s>Paralelnost i hiperparalelnost 
U ravni Lobačevskog postoji beskonačno mnogo pravih koje sadrže tačku B i sa pravom a nemaju zajedničkih tačaka.</s><s>Sem tih pravih postoji i beskonačno mnogo pravih koje sadrže tačku B i seku pravu a. Skup svih pravih koje prolaze kroz B možemo podeliti na dva skupa i to skup koji sadrži sve prave koje seku pravu a i skup svih pravih koje ne seku pravu a. Među svim tim pravama postoje dve prave a1 i a2 koje razdvajaju ova dva skupa.</s><s>One pripadaju skupu pravih koje ne seku pravu a.</s>

<s>Definicija Neka je u ravni Lobačevskog data tačka B i prava a koja ne sadrži tačku B.
 Za granične prave a1 i a2 koje razdvajaju skup pravih koje sadrže tačku B i ne seku pravu a i skup pravih koje sadrže tačku B i seku pravu a kažemo da su u tački B paralelne sa pravom a. Jedna je paralelna sa pravom a u jednom smeru, a druga u drugom.</s><s>Za sve ostale prave koje sadre tačku B i sa pravom a nemaju zajedničkuh tačaka kažemo da su hiperparalelne sa pravom a.</s>

<s>Osobine paralelnih pravih 
U euklidskoj geometriji koplanarne prave su bile paralelne akko su disjunktne, a svaka ekvidistanta je bila prava.</s><s>U hiperboličkoj geomtriji se osobine paralelnih pravih suštinski razlikuju od onih u euklidskoj geometriji.</s><s>Ako je B teme neke proizvoljne poluprave paralelne nekoj pravoj a, K proizvoljna tačka te poluprave, a B'  i K'  podnožja upravnih iz B i K na pravoj a, onda je KK' <BB' .</s><s>Ako su a i b dve međusobno paralelne prave, a l proizvoljna duž, tada na pravoj b postoji jedinstvena tačka L kojoj je L'  podnožje upravne na pravoj a, takva da je LL' ≡ l.
 U hiperboličkoj ravni postoji jedinstvena prava upravna na jednom, a paralelna sa drugim krakom oštrog ugla.</s><s>Ako se prave a i b seku, upravna projekcija jedne na drugu je tačka ili otvorena duž.</s><s>Ako su prave a i b međusobno paralelne, upravna projekcija jedne na drugu je otvorena poluprava.</s>

<s>Osobine hiperparalelnih pravih 
 Ako poluprava m'  sadrži polupravu n' , tada jedna od tih polupravih je hiperparalelna pravoj a akko joj je hiperparalelna i druga.</s><s>Ako je prava c hiperparalelna pravoj b, onda je i prava b hiperparalelna pravoj c.
 Hiperparalelnost pravih nije tranzitivna jer dve prave koje sadrže neku tačku B i hiperparalelne su sa pravom a, nisu međusobno paralelne.</s><s>Postoji jedinstvena prava upravna na dvema međusobno hiperparalelnim pravama.</s><s>Ako su prave a i b hiperparalelne, upravna projekcija jedne na drugu je otvorena duž.</s>

<s>Modeli hiperboličke ravni 
Postoji nekoliko modela koji se koriste za objašnjavanje Hiperboličke geometrije: Klajnov model, Poenkareov disk model, Poenkareov poluravanski disk model i Lorencov model.</s><s>Ovi modeli definišu realan hiperbolički prostor koji zadovoljava aksiome hiperboličke geometrije.</s><s>Uprkos imenima koja su dobili, poluravnske modele je smislio Beltrami, a ne Ponkare ili Klajn.</s>

<s>Osnovne trigonometrijske funkcije</s>

<s>(a)</s>

<s>(b)</s>

<s>(c)</s>

<s>Odavde dobijamo:</s>

<s>(1)</s>

<s>(2)</s>

<s>(3) .</s>

<s>Iz (1) i (3) dobijamo:</s>

<s>(3')</s>

<s>Koristeći (1), (2) i (3), dobijamo:</s>

<s>(4)</s>

<s>(5)</s>

<s>(6) .</s>

<s>Računanjem, iz definicije dobijamo:</s>

<s>(7) .</s>

<s>Koristeći i (c),</s>

<s>,</s>

<s>tako da je .</s>

<s>Sinusna teorema</s>

<s>Za svaki -trougao  važi:</s>

<s>Hiperbolički odnos</s>

<s>Definicija:</s>

<s>Ako se -tačke ,  i  nalaze na -pravoj, pravoj, onda je njihov hiperbolički odnos:</s>

<s>, \qquad ako je  između  i , a inače je:</s>

<s>Osobine:</s>

<s>(1)</s>

<s>(2) ako je  između  i , onda važi</s>

<s>(3) ako su  i  sa različitih strana , onda važi</s>

<s>(4) ako su  i  sa različitih strana , onda važi</s>

<s>Čevina teorema</s>

<s>Ako -tačka  ne pripada nijednoj od -stranica -trougla , tako da se  i  seku u ,  i  u  i  i  u , tada je:</s>

<s>.</s>

<s>Menelajeva teorema</s>

<s>Ako -prava  ne prolazi ni kroz jedno teme -trougla , tako da seče  u ,  u  i  u , tada je:</s>

<s>.</s>

<s>Vidi još 
 Nikolaj Ivanovič Lobačevski
 Neeuklidska geometrija</s>

<s>Literatura</s>

<s>Zoran Lučić, Euklidska i hiperbolička geometrija (1997), Total design i Matematički fakultet u Beogradu
, (2012) Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master class on Geometry, pp.</s><s>1–182,  IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics,  Vol.</s><s>18,  Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, SBN , DOI 10.4171/105.
, (1942) Non-Euclidean geometry, University of Toronto Press, Toronto</s>

<s>{{aut|Lobachevsky, Nikolai I., (2010) Pangeometry, Edited and translated by Athanase Papadopoulos,  Heritage of European Mathematics, Vol.</s><s>4. Zürich: European Mathematical Society (EMS). xii, 310~p, /hbk
, (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull.</s><s>Amer.</s><s>Math.</s><s>Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp.</s><s>9–24.
, (1993) Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid, American Mathematical Monthly 100:442–455.</s>

<s>, (March 2006) Knit Theory Discover Magazine, volume 27, Number 3.
, Hyperbolic Geometry, Springer 2005, 
, , , and  (1997) Hyperbolic Geometry, MSRI Publications, volume 31.</s>

<s>Vanjske veze</s>

<s>Java freeware for creating sketches in both the Poincaré Disk and the Upper Half-Plane Models of Hyperbolic Geometry University of New Mexico
 "The Hyperbolic Geometry Song" A short music video about the basics of Hyperbolic Geometry available at YouTube.</s><s>More on hyperbolic geometry, including movies and equations for conversion between the different models  University of Illinois at Urbana-Champaign
 Hyperbolic Voronoi diagrams made easy, Frank Nielsen
, interactive instructional website.</s><s>Universal Hyperbolic Geometry II: A pictorial overview
Universal Hyperbolic Geometry III: First Steps in Projective Triangle Geometry
Hyperbolic Planar Tesselations</s>

