Geometrijska progresija
<s>U matematici, geometrijska progresija, ili geometrijski niz, je niz brojeva gdje se svaki član, nakon prvog, pronalazi množenjem prethodnog sa nekim fiksnim brojem, različitim od nule, koji se naziva zajednički omjer.</s><s>Naprimjer, niz 2, 6, 18, 54, ... je geometrijska progresija sa zajedničkim omjerom 3. Slično tome, 10, 5, 2,5, 1,25, ... je geometrijski niz sa zajedničkim omjerom 1/2.</s><s>Suma članova geometrijske progresije poznata je pod nazivom geometrijski red.</s>

<s>Tako je opći oblik geometrijskog niza</s>

<s>a od geometrijskog reda</s>

<s>gdje je r ≠ 0 zajednički omjer, a a je faktor razmjere, jednak početnoj vrijednosti niza (prvi član).</s>

<s>Elementarne osobine</s>

<s>n-ti član geometrijskog niza sa početnom vrijednosti  i zajedničkim omjerom r je dat sa</s>

<s>Takav geometrijski niz, također, prati povratnu relaciju
 za svaki cijeli broj</s>

<s>Općenito, da bi provjerili da li dati niz geometrijski, jednostavno se provjeri da li je količnik susjednih članova uvijek isti broj.</s>

<s>Zajednički omjer geometrijskom reda može biti negativan, kada dobijamo alternativni niz, gdje brojevi naizmenično mijenjaju znak (+ ili -).</s><s>Naprimjer
1, -3, 9, -27, 81, -243, ...
je geometrijski niz sa zajedničkim omjerom -3.</s>

<s>Suma prvih n elemenata geometrijskog niza dana je s</s>

<s>Ponašanje geometrijskog niza zavisi od vrijednosti zajedničkog omjera.</s><s>Ako je zajednički omjer:
 pozitivan, svi članovi će imati isti znak kao što je kod početnog člana.
 negativan, članovi će mijenjati znak iz pozitivnog u negativni, naizmjenično.
 veći od 1, imat ćemo eksponencijalni rast prema pozitivnoj beskonačnosti.</s><s>1, progresija je kada konstantan niz, tj. svi članovi su isti (1, 1, 1, 1, 1, ...).
 između -1 i 1, ali ne nula, imat ćemo eksponencijalni pad prema nuli.
 −1, progresija je alternativni niz (pogledajte članak alternativni red)
 manji od −1, za apsolutne vrijednosti imamo eksponencijalni rast prema beskonačnosti.</s>

<s>Geometrijski nizovi (sa zajedničkim omjerom različitim od -1,1 ili 0) pokazuju eksponencijalni rast ili eksponencijalni pad, nasuprot linearnom rastu (ili padu) aritmetičke progresije kao što je 4, 15, 26, 37, 48, ... (za zajedničkom razlikome 11).</s><s>Ovaj rezultat uzet je od strane T. R. Malthusa kao matematičku osnovu za njegov Princip polulacije.</s>

<s>Geometrijski red</s>

<s>Geomtrijski red je suma brojeva u geometrjskoj progresiji:</s>

<s>Moguće je pronaći jednostavniju formulu za ovu sumu ako obje strane gornje jednačine pomnožimo sa , nakon čega ćemo uočiti da je</s>

<s>pošto se svi ostali članovi ponište.</s><s>Premiještanje članova (za ) daje nam zgodnu formulu za geometrijski red:</s>

<s>Napomena: Ako bi počeli sumirati ne od 0, nego od nekog većeg člana, recimo m, tada bi imali</s>

<s>Diferencirajući ovu formulu po r dozvoljava nam da dobijemo formulu za sumu u obliku</s>

<s>Na primjer:</s>

<s>Za geometrijski red koji sadrži samo parne stepene od pomnožene sa by :</s>

<s>Tada je</s>

<s>Za red samo neparnim stepenima od</s>

<s>i</s>

<s>Beskonačni geometrijski red</s>

<s>Beskonačni geometrijski red je beskonačni red čiji susjedni članovi ima zajednički omjer.</s><s>Takvi redovi konvergiraju ako i samo ako je apsolutna vrijednost zajedničkog omjera manja od jedan ( | r | < 1 ).</s><s>Njegova vrijednost tada može izračunati preko formule za konačnu sumu</s>

<s>Pošto je: 
 (kada | r |<1).</s>

<s>tada je:</s>

<s>Na primjer, koristeći brojne vrijednosti</s>

<s>Za red koji sadrži samo parne stepene od ,</s>

<s>a za samo neparne stepene,</s>

<s>U slučajevima gdje suma ne počinje od k = 0,</s>

<s>Gornje formule važe samo za | r | < 1. Naredna formula, ustvari, važi za svaku Banachovu algebru, sve dok je r manje od jedan, te, također, u polju p-adičnih brojeva ako je | r |p < 1. Kao u slučaju konačnih suma, možemo je diferencirati kako bi dobili formule za srodne sume.</s><s>Na primjer,</s>

<s>Ova formula također važi samo za | r | < 1 .</s><s>Iz ovoga dalje, slijedi da je, za | r | < 1,</s>

<s>Također, beskonačni red 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · · je elementarni primjer reda koji konvergira apsolutno.</s>

<s>To je geometrijski red čiji je prvi član 1/2, te čiji je zajednički omjer 1/2, tako da je njegova suma</s>

<s>Inverzni oblik gornjeg reda 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · · je jednostavan primjer alternativnog reda koji konvergira apsolutno.</s>

<s>To je geometrijski red čiji je prvi član 1/2, te čiji je zajednički omjer −1/2, tako da je njegova suma</s>

<s>Kompleksni brojevi</s>

<s>Formula za sumiranje geometrijskog reda važi čak i kada je zajednički omjer kompleksan broj.</s><s>Ova činjenica može se iskoristita za izračunavanje nekih suma "neočitih" geometrijskih redova, kao što je:</s>

<s></s>

<s>Dokaz za ovu formulu počinje sa
 
posljedicom Eulerove formule.</s><s>Uvrštavanjem ove činjenice u gornji red, dobijamo
 .</s>

<s>Ovo predstavlja samo razliku između dva geometrijska reda.</s><s>Odavde slijedi direktna primjena naše formule za beskonačne geometrijske redove, što zaključuje ovaj dokaz.</s>

<s>Proizvod</s>

<s>Proizvod geometrijske progresije je prouzvod svih članova.</s><s>Ako su svi članovi pozitivni, tada je moguće brzo izračunati proizvod uzimajući geometrijsku sredinu prvog i posljednjeg člana progresije, te stavljajući tu sredinu na stepen broja članova. (Ovo je veoma slično formuli za sumu članova aritmetičkog niza: uzmete aritmetičku sredinu prvog i posljednjeg člana i pomnožite je sa brojem članova.)</s>

<s>(if ).</s>

<s>Dokaz</s>

<s>Neka je proizvod predstavljen sa P:</s>

<s>.</s>

<s>Sada, izvodeći množenje, zaključujemo da je</s>

<s>.</s>

<s>Primjenljujući sumu aritmetičkog reda, izraz će glasiti</s>

<s>.</s>

<s>.</s>

<s>Podižemo obe strane na stepen od 2:</s>

<s>.</s>

<s>Slijedi da je</s>

<s>i</s>

<s>,</s>

<s>što dokazuje tvrdnju.</s>

<s>Također polgedajte</s>

<s>Aritmetička progresija
 Eksponencijalna funkcija
 Harmonijski red
 Beskonačni red
 Thomas Robert Malthus
 Hackenbush</s>

<s>Povezano 
 Aritmetička progresija
 Eksponencijalna funkcija
 Harmonijski red (matematika)
 Red (matematika)</s>

<s>Vanjski linkovi 
Kalkulator geometrijske progresije</s>

<s>Reference</s>

<s>Hall & Knight, Higher Algebra, p. 39,</s>

<s>Nizovi i redovi
Matematički redovi
Članci koji sadrže dokaz</s>

