Torus
<s>Torus je obrtna ploha koja se dobija kada se rotira kružnica u trodimenzionom prostoru oko ose koplanarne sa kružnicom, a koja ne dodiruje krug.</s>

<s>Ako osa rotacije ne dodiruje kružnicu ploha ima oblik prstena i naziva se prstenasti torus ili samo torus.</s><s>U slučaju da je osa rotacije tangenta kružnice dobijena ploha se naziva rog torus
kada za osu rotacije uzmemo tetivu kružnice rezultujuća ploha je vretenasti torus.</s>

<s>Jednačina</s>

<s>Kao takva ploha torus ima "rupu".</s><s>Ako označimo sa c radijus od centra "rupe" do centra torusa, a sa a radijus torusa dolazimo do njegove parametarske jednačine:
  za</s>

<s>gdje su  i   uglovi koji čine puni krug, tako da njihove vrijednosti počinju i završavaju u istoj tački</s>

<s>je udaljenost od centra cijevi do središta torusa, 
 je promjer cijevi.
 je glavni radijus, a  sporedni radijus.</s>

<s>Implicitna jednačina u Kartezijevim koordinatama je</s>

<s>Površina i zapremina</s>

<s>Površina torusa je</s>

<s>a zapremina</s>

<s>Dokaz</s>

<s>Prema Pitagorinoj teoremi  imamo</s>

<s>Prstenasti torus</s>

<s>Parametarska jednačina prstenastog torusa je</s>

<s>za</s>

<s>Koficienti prve kvadratne forme su</s>

<s>dok za koeficiente druge kvadratne forme dobijamo</s>

<s>Gausova i srednja kriva su date sa:</s>

<s>Rog torus</s>

<s>Uzimajući u jednačini</s>

<s>da je  dobijamo parametarsku jednačinu rog torusa</s>

<s>Za koeficiente prve kvadratne forme dobijamo:</s>

<s>dok su koeficienti druge kvadratne forme rog torusa:</s>

<s>Vretenasti torus</s>

<s>Kod vretenastog torusa parametarska jednačina, formule za koeficiente prve i druge kvadratne forme i formule za izračunavanje srednje i Gausove krive su iste kao i kod prstenastog torusa, uz uslov .</s>

<s>Izvori
Rotacione površi i njihova vizuelizacija u programskom paketu Mathematica Niš, novembar 2013.</s>

<s>Reference</s>

<s>matematikageometrija</s>

