Beskonačnost (matematika)
<s>U matematici, beskonačnost se obično tretira kao broj (tj. njime se broje ili mere stvari: „beskonačan broj pojmova”) ali to nije ista vrsta broja kao prirodni ili realni broj.</s><s>U matematici je to količina koja nije konačna.</s><s>Georg Kantor je formalizovao mnoge ideje vezane za beskonačnost i beskonačne skupove tokom kasnog 19. i ranog 20. veka.</s><s>U teoriji koju je on razvio, postoje beskonačni skupovi različitih veličina (zvanih kardinalnosti).</s><s>Na primer, skup celih brojeva je prebrojivo beskonačan, dok je beskonačni skup realnih brojeva neprebrojiv.</s>

<s>Matematika se bavi veličinama i koristi se simbolima.</s><s>Stoga je u matematici beskonačnost povezana sa veličinama (i ima svoj simbol).</s><s>U matematici postoji beskonačno velika veličina, ali takođe i beskonačno mala veličina (što je skoro isto što i nula).</s><s>U prirodi beskonačnost nije realna pretpostavka.</s><s>Čak i kada se govori o vasioni, govori se o dimenzijama odnosno o nekakvim granicama.</s><s>Kada se govori o superprovodnosti, nije u pitanju beskonačno mala otpornost već toliko mala da nije merljiva (ali ipak postoji i može se ispisati brojkama).</s><s>Kada se govori o beskonačnosti vremena, upotrebljava se izraz večnost.</s>

<s>Beskonačnost je jedan od „težih“ pojmova filozofije, ali u matematici isti pojam i nije tako spekulativan.</s><s>Nešto što je beskonačno u matematici bi trebalo biti u relaciji poretka, ne sme biti konačno i ne sme biti kontradiktorno.</s><s>I to je sve.</s><s>Konačni su prirodni, celi, racionalni i iracionalni broj, dakle svaki realan broj je konačan, a za kompleksne ne važi relacija poretka i tu negde završava spekulacija.</s>

<s>Postoje dve vrste beskonačnosti u matematici danas: potencijalna i aktuelna.</s><s>Potencijalnu beskonačnost su uveli u matematiku Isak Njutn i Gotfrid Vilhelm Lajbnic kada su otkrili infinitezimalni račun, a aktuelnu beskonačnost su otkrili Georg Kantor i Julijus Vilhelm Ričard Dedekind sa otkrićem teorije skupova.</s>

<s>Potencijalna beskonačnost</s>

<s>Isak Njutn je u 17. veku otkrio da možemo računati na niz veličina koje postaju veće od svakog unapred datog broja, i da pri tome ne upadnemo u kontradikcije; svoje otkriće je nazvao račun fluksija.</s><s>Negde u isto vreme, slično otkriće imao je i Gotfrid Lajbnic.</s><s>Obojica su primetili da se tački O na H-osi možemo približavati sa desne strane, uzimajući redom brojeve: 0,1 zatim 0,01 pa 0,001 itd. beskonačan niz koraka, sve manjih brojeva, a da za neko konačno vreme, tj. za neki konačan broj koraka ne možemo dostići tačnu vrednost nula.</s><s>To je oblast infinitezimalnog računa, na engleskom kalkulus.</s>

<s>Aktuelna beskonačnost</s>

<s>Aktuelna beskonačnost je u matematiku ušla sa G. Kantorom i Dedekindom krajem XIX i početkom XX veka.</s><s>Osnivači teorije skupova su primetili da prebrojavati nešto znači uspostaviti funkciju bijekciju - obostrano jednoznačno preslikavanje, između skupa prirodnih brojeva i predmeta koje brojimo.</s><s>Kada brojimo loptice u nekoj kutiji, odvojimo prvu i kažemo jedan, zatim odvojimo drugu i kažemo dva, odvojimo treću - tri, itd. dok ne izvadimo poslednju lopticu iz kutije.</s><s>Poslednji izgovoreni broj je broj loptica u kutiji, jer smo napravili relaciju gde sa tačno jednim od brojeva ide tačno jedna od loptica iz kutije.</s><s>Osnivači teorije skupova su otišli i dalje i uporedili su po veličini neke poznate skupove.</s><s>Međusobno su uporedili veličine skupova prirodnih, celih, racionalnih i iracionalnih brojeva.</s><s>Broj elemenata skupa nazvali su kardinalni broj tog skupa.</s>

<s>Prebrojavanje 
U vreme kada je otkriveno prebrojavanje već je bila veoma razvijena matematička analiza, Njutn-Lajbnicov račun, i znalo se da ne postoji najveći prirodni broj (najmanji je broj 1).</s><s>Prvi od navedenih, skup prirodnih brojeva {1, 2, 3, ...}, označili su sa  i dodelili mu kardinalni broj alef nula  Primetimo da sve što se može brojati redom: prvi, drugi, treći, ... u beskraj, na način da se u jedan takav niz mogu staviti svi njegovi elementi, može proglasiti skupom sa kardinalnim brojem alef nula.</s><s>Za svaki takav skup kažemo da je prebrojiv skup.</s><s>Prebrojiv skup je skup celih brojeva  jer ga celog možemo poredati u jedan niz, u kojem nema ponavljanja: 0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, ....</s><s>Primetimo da se ovaj skup prebrojava sporije, ali da to nije bitno jer prirodnih brojeva ima dovoljno.</s><s>Kardinalni broj skupa celih brojeva je takođe alef nula, tj. 
 Prebrojiv je i skup racionalnih brojeva, tj. skup razlomaka 
 Nije prebrojiv skup iracionalnih brojeva</s>

<s>Prema tome nije prebrojiv niti skup realnih brojeva  jer je on unija racionalnih i iracionalnih, koji nemaju međusobno jednakih elemenata.</s><s>Drugi zaključak, osnivači teorije skupova su našli najmanje dve aktuelne beskonačnosti, prvu su nazvali alef nula, a druga je kontinuum.</s>

<s>Teoreme</s>

<s>Teorema 1 Unija prebrojivo mnogo prebrojivih skupova je prebrojiva.</s>

<s>Dokaz Elemente prebrojivih skupova možemo redati u nizove.</s><s>Elemente prvog skupa označimo sa  drugog skupa sa  trećeg sa  Složimo ove nizove u matricu, kao na slici desno, i krenimo ih prebrojavati po sporednim dijagonalama.</s><s>U prvoj dijagonali, gore levo, imamo samo jedan elemenat  u drugoj ih imamo dva  itd. u n-toj dijagonali imaćemo tačno n = 1, 2, 3, ... elemenata.</s><s>U svakoj od ovih dijagonala zbir indeksa H-ova biće tačno n+1.</s><s>Prema tome, ako je unapred dat proizvoljan elemenat, bilo kojeg od ovih skupova, npr. , pre svega on se nalazi u uniji, i sa druge strane, nalazi se u n=k+j+1-toj dijagonali, tj. u toku prebrojavanja doći će na red nakon konačno mnogo koraka.</s><s>Prema tome, unija datih skupova je prebrojiva.</s><s>Kraj dokaza.</s>

<s>Posebno, možemo lako izračunati redni broj elementa  iz prebrojavanja sa slike.</s><s>Rbr. je
 (broj svih elemenata u prethodnim dijagonalama) + (br. elemenata u poslednjoj dijagonali) =
 (1 + 2 + 3 + ... + (k+j)) + j =</s>

<s>Posledica ove teoreme je prebrojivost skupa racionalnih brojeva.</s><s>Poredamo razlomke u redove matrice.</s><s>Sleva udesno, odozgo nadole, stoje redovi: , zatim , i tako dalje.</s><s>Ovaj skup elemenata je prebrojiv.</s><s>Zatim dodamu nulu, i za svakog od ovih razlomaka dodamo po još jedan razlomak iste apsolutne vrednosti ali suprotnog znaka.</s><s>Elementi tako uvećanog skupa se takođe mogu opet poredati, naizmenično plus minus, u sličnu matricu.</s><s>U toku tog prebrojavanja, preskačemo elemenat, razlomak čija se vrednost ponovi.</s>

<s>Teorema 2 Skup realnih brojeva iz intervala (0,1) nije prebrojiv.</s>

<s>Broj je u ovom intervalu, ako je veći od nule i manji od jedan.</s><s>Dokaz Dokaz ćemo izvesti svođenjem na kontradikciju ( Kantorov dijagonalni postupak).</s><s>Pretpostavimo da je moguće sve brojeve iz (0,1) poredati u niz, i označimo taj niz sa , tj.  Kako se svaki realan broj može napisati u obliku decimalnog broja (beskonačnog decimalnog razlomka), koji može završavati i beskonačnim brojem nula, to je niz:
 
 
 
...
 
...
 gde je  jedna od cifara 0, 1, 2, ..., 9. Formirajmo sada realan broj  gde su decimalne cifre  takođe celi brojevi od 0 do 9, i koji je očigledno iz istog intervala (0,1).</s><s>Po pretpostavci, ma kako mu birali cifre, ovaj broj bi svaki put morao biti jedan od brojeva iz niza .</s><s>Međutim, biraćemo cifre broja  tako da je  ako je  i  ako  Pogledajmo šta smo dobili.</s><s>Dobili smo broj b koji nije jednak nijednom broju niza a, jer se od svakog (npr. k-tog u nizu) razlikuje bar u jednoj cifri (k-toj).</s><s>To je kontradikcija sa pretpostavkom da su u datom nizu svi realni brojevi intervala (0,1).</s><s>Kraj dokaza.</s>

<s>Kardinalni broj skupa realnih brojeva naziva se kontinuum i označava sa s i .</s><s>Pretpostavka da između alef nula i kontinuuma nema drugih kardinalnih brojeva poznata je kao hipoteza kontinuuma.</s><s>Nakon Kantora, bilo je pokušaja da se ona dokaže, ili ospori, ali bez uspeha, sve do Gedela (Gödel) i Kohena (Cohen), koji su dokazali da je ona nezavisna od prethodne teorije skupova, te da se ona može prihvatiti kao aksioma, ili jednako odbaciti.</s><s>Ako prihvatimo hipotezu kontinuuma, onda umesto s možemo koristiti oznaku alef jedan, tj.</s>

<s>Primeri</s>

<s>Rekli smo da su dva skupa ekvivalentna ako se između njih može uspostaviti bijekcija, biunivoka korespondecnija, odnosno obostrano jednoznačno preslikavanje.</s><s>Ako su skupovi ekvivalentni onda imaju isti kardinalni broj, tj. broj elemenata.</s><s>Ako skup ima jednako elemenata kao skup prirodnih brojeva, onda za taj skup kažemo da je prebrojiv i da mu je kardinalni broj alef nula, tj. .</s><s>Primer 1 Skup prirodnih brojeva ekvivalentan je skupu parnih brojeva.</s>

<s>Jer niz 2, 4, 6, ..., 2n, ... možemo preslikati na niz 1, 2, 3, ..., n, ... bijektivno.</s>

<s>Primer 2 Svaki deo prebrojivog skupa je konačan ili prebrojiv.</s><s>Objašnjenje Neka je A prebrojiv skup.</s><s>Članovi skupa A mogu se poredati u niz .</s><s>Neka je  i neka su  oni elementi niza A koji su ujedno elementi niza B. Ako među ovima ne postoji najveći elemenat skup B je konačan, u suprotnom on je prebrojiv.</s><s>Primer 3 (a) Skup tačaka u ravni  čije su koordinate racionalni brojevi je prebrojiv;
 (b) Skup tačaka u k-dimenzionalnom prostoru  je prebrojiv.</s><s>Primer 4 Svaki beskonačan skup sadrži jedan prebrojiv podskup.</s><s>Objašnjenje Neka je A beskonačan skup i neka je njegov elemenat  Tada, jer je A beskonačan, postoji prebrojiv niz elemenata</s>

<s>Međutim, među beskonačnim brojevima, kardinalima, poredak nije nešto što se podrazumeva po sebi.</s>

<s>Primer 5 (Kantor-Bernštajnova teorema) Ako je skup A ekvivalentan jednom delu skupa B, i ako je obratno, skup B ekvivalentan jednom delu skupa A, tada su skupovi A i B ekvivalentni.</s>

<s>Literatura 
 
 
 
 
  Extract of pp.</s><s>616</s>

<s>Reference</s>

<s>Vidi još 
 Beskonačno
 Rekurzija
 Beskonačna petlja</s>

<s>Spoljašnje veze 
 A Crash Course in the Mathematics of Infinite Sets 
 Infinite Reflections 
 John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (2000).</s><s>'Jaina mathematics' , MacTutor History of Mathematics archive.</s>

<s>Matematika</s>

