Riemannova geometrija
<s>Rimanova geometrija je grana diferencijalne geometrije koja proučava Rimanove mnogostrukosti, glatke mnogostrukosti sa Rimanovim metricima, i.e. sa unutrašnjim proizvodom na tangentnom prostoru u svakoj tački koja glatko varira od tačke do tačke.</s><s>Ovo daje  specifične lokalne pojmove ugla, dužine luka, površine i zapremine.</s><s>Integrisanjem njihovih lokalnih doprinosa mogu se izvesti neke druge globalne veličine.</s>

<s>Rimanova geometrija je nastala vizijom Bernharda Rimana izraženom u uvodnom predavanju s nalovom „O hipotezama na kojima se zasniva geometrija”.</s><s>Radi se o vrlo širokoj i apstraktnoj generalizaciji diferencijalne geometrije površina u R3.</s><s>Razvoj Rimanove geometrije proizašao je iz sinteze različitih rezultata koji se tiču geometrije površina i ponašanja geodezika na njima, tehnikama koje se mogu primeniti u istraživanju diferencijabilnih mnogostrukosti većih dimenzija.</s><s>Ona je omogućila formulisanje Ajnštajnove opšte teorije relativnosti, duboko je uticala na teoriju grupa i teoriju reprezentacija, kao i na analizu, i podstakla razvoj algebarske i diferencijalne topologije.</s>

<s>Uvod</s>

<s>Rimanovu geometriju prvi je generalno predstavio Bernhard Riman u 19. veku.</s><s>Ona se bavi širokim opsegom geometrija čija se metrička svojstva razlikuju od tačke do tačke, uključujući standardne tipove neeuklidske geometrije.</s>

<s>Rimanova metrika je primenljiva na svaku glatku mnogostrukost, što često pomaže u rešavanju problema diferencijalne topologije.</s><s>Ona služi i kao ulazni nivo za komplikovaniju strukturu pseudo-Rimanovih mnogostrukosti, koje su (u četiri dimenzije) glavni objekti teorije opšte relativnosti.</s><s>Ostale generalizacije Rimanove geometrije uključuju Finslerovu geometriju.</s>

<s>Postoji bliska analogija diferencijalne geometrije sa matematičkom strukturom defekata u pravilnim kristalima.</s><s>Dislokacije i disklinacije proizvode torzije i zakrivljenosti.</s>

<s>Sljedeći članci pružaju korisne uvodne materijale:</s>

<s>Metrički tenzor
 Rimanova mnogostrukost
 Veza Levi-Civita
 Zakrivljenost
 Tenzor zakrivljenosti
 Spisak tema diferencijalne geometrije
 Rečnik Rimanove i metričke geometrije</s>

<s>Klasične teoreme</s>

<s>Sledi nepotpuna lista najklasičnijih teorema iz Rimanove geometrije.</s><s>Izbor je izvršen na bazi njihove važnosti i elegancije formulacije.</s><s>Većina rezultata može se naći u klasičnoj monografiji Džefa Čegera i D. Ebina (pogledajte ispod).</s><s>Date formulacije nisu daleko od vrlo preciznih ili najgeneralnijih.</s><s>Ova lista je orijentisana na one koji već poznaju osnovne definicije i žele da saznaju o čemu se radi u ovim definicijama.</s>

<s>Opšte teoreme 
Gaus-Boneova teorema.</s><s>Integral Gausove zakrivljenosti na kompaktnoj dvodimenzionalnoj Rimanovoj mnogostrukosti je jednak 2πχ(M), gde χ(M) označava Ojlerovu karakteristiku od M. Ova teorema sadrži generalizaciju za bilo koju kompaktnu parno-dimenzionalnu Rimanovu mnogostrukost, pogledajte generalizovanu Gaus-Bonetovu teoremu.</s><s>Našova teorema ugrađivanja ili fundamentalne teoreme Rimanove geometrije.</s><s>One navode da svaka Rimanova mnogostrukost može da bude izometrički ugrađena u Euklidov prostor Rn.</s>

<s>Geometrija u celini</s>

<s>U svim sledećim teoremima su pretpostavljena neka lokalna ponašanja prostora (obično formulisana pretpostavkom zakrivljenosti) da bi se izvele neke od informacija o globalnoj strukturi prostora, uključujući bilo informacije o topološkom tipu mnogostrukosti ili o ponašanju tačaka na „dovoljno velikim” rastojanjima.</s>

<s>Ograničena sekcijska zakrivljenost 
 Sferna teorema.</s><s>Ako je M jednostavno povezana kompaktna n-dimenzionalna Rimanova mnogostrukost sa sekcijskom zakrivljenoti strogo ograničenom između 1/4 i 1, onda je M difiomorfna na sferu.</s><s>Čigerova teorema ograničenosti.</s><s>Polazeći od konstanti C, D i V, postoji samo konačan broj (do difeomorfizma) kompaktnih n-dimenzionalnih Rimanovih mnogostrukosti sa sekcijskom zakrivljenosti |K| ≤ C, prečnikom ≤ D i zapreminom ≥ V.
 Gromova skoro ravna mnogostrukost.</s><s>Postoji εn > 0 takvo da ako n-dimenziona Rimanova mnogostrukost ima metriku sa sekcijskom zakrivljenosti |K| ≤  εn i prečnikom ≤ 1 onda je njen konačni pokrivač difeomorfan do nulte mnogostrukosti.</s>

<s>Sekcijska zakrivljenost ograničena dole 
 Čiger–Gromolova teorema duše.</s><s>Ako je M nekompaktna kompletna nenegativno zakrivljena n-dimenziona Rimanova mnogostrukost, onda M sadrži kompaktnu, potpuno geodezijsku podmnogostrukost S takvu da je M difeomorfno na normalnom svežnju od S (S se naziva duša mnogostrukosti M).</s><s>Konkretno, ako M ima svuda strogo pozitivnu zakrivljenost, tada je ona difeomorfna na Rn.</s><s>G. Pereljman je 1994. godine dao zapanjujuće elegantan/kratak dokaz pretpostavke duše: M je difeomorfno na Rn ako ima pozitivnu zakrivljenost u samo jednoj tački.</s><s>Gromova teorema Betijevog broja.</s><s>Postoji konstanta C = C(n) takva da ako je M kompaktno povezana n-dimenzionalna Rimanova mnogostrukost sa pozitivnom sekcionom zakrivljenosti onda je suma njenih Betijevih brojeva najviše C.
 Grouv–Petersenova teorema ograničenosti.</s><s>Polazeći od konstanti C, D i V, postoji samo konačno mnogo homotopnih tipova kompaktnih n-dimenzionih Rimanovih mnogostrukosti sa sekcionom zakrivljenosti K ≥ C, prečnikom ≤ D i zapreminom ≥ V.</s>

<s>Sekcijska zakrivljenost ograničena gore 
 Kartan-Hadamardova teorema navodi da je kompletno jednostavno povezana Rimanova mnogostrukost M sa nepozitivnom sekcijskom zakrivljenosti difeomorfna na Euklidovom prostoru Rn sa n = dim M putem eksponencijalne mape u bilo kojoj tački.</s><s>To implicira da su bilo koje dve tačke jednostavno spojene kompletne Rimanove mnogostrukosti sa nepozitivnom sekcionom zakrivljenosti spojene jedinstvenim geodezikom.</s><s>Geodezijski protok bilo koje kompaktne Rimanove mnogostrukosti sa negativnom sekcijskom zakrivljenosti je ergodičan.</s><s>Ako je M kompletna Rimanova mnogostrukost sa sekcionom zakrivljenosti ograničenom gore putem striktno negativne konstante k onda je to CAT(k) prostor.</s><s>Konsekventno, njena fundamentalna grupa Γ = 1(M) je Gromov hiperbolik.</s><s>To ima mnoštvo implikacija za strukturu fundamentalne grupe:
 ona je konačno predstavljena;
 problem reči za Γ ima pozitivno rešenje;
 grupa Γ ima konačnu virtualnu kohomološku dimenziju;
 ona sadrži samo konačno mnogo klasa konjugacije  elemenata konačnog reda;
 Abelove podgrupe od Γ su virtualno ciklične, tako da ona ne sadrži podgrupu koja je izomorfna na Z×Z.</s>

<s>Ričijeva zakrivljenost ograničena dole 
 Majersova teorema.</s><s>Ako kompaktna Rimanova mnogostrukost ima pozitivnu Ričijevu zakrivljenosti, onda je njena fundamentalna grupa konačna.</s><s>Bohnerova formula.</s><s>Ako kompaktna Rimanova n-mnogostrukost ima nenegativnu Ričijevu zakrivljenosti, onda je njen privi Betijev broj najviše n, sa jednakošću ako i samo ako je Rimanova mnogostrukost ravan torus.</s><s>Teorema rascepljenja.</s><s>Ako kompletna n-dimenziona Rimanova mnogostrukost ima nenegativnu Ričijevu zakrivljenost i pravu liniju (i.e. geodezija koja minimizuje udaljenost na svakom intervalu) onda je ona izometrijska na direktan proizvod realne linije i kompletna (n-1)-dimenziona Rimanova mnogostrukost koja ima nenegativnu Ričijevu zakrivljenost.</s><s>Bišop-Gromova nejednakost.</s><s>Zapremina metričke lopte radijusa r u kompletnoj n-dimenzionoj Rimanovoj mnogostrukosti sa pozitivnom Ričijevom zakrivljenosti ima zapreminu koja ne prevazilazi zapreminu lopte istorg radijusa r u Euklidovom prostoru.</s><s>Gromova teorema kompaktnosti.</s><s>Set svih Rimanovih mnogostrukosti sa pozitivnom Ričijevom zakrivljenosti i prečnikom od najviše D je prekompaktan u Gromov-Hausdorfovom metriku.</s>

<s>Negativna Ričijeva zakrivljenost 
 Izometrijska grupa kompaktne Rimanove mnogostrukosti sa negativnom Ričijevom zakrivljenosti je diskretna.</s><s>Svaka glatka mnogostrukost dimenzija n ≥ 3 podleže Rimanovom metriku sa negativnom Ričijevom zakrivljenosti. (Ovo ne važi za površine.)</s>

<s>Pozitivna skalarna zakrivljenost 
 n-dimenzioni torus ne podleže metriku sa pozitivnom skalarnom zakrivljenosti.</s><s>Ako je radijus injektivnosti kompaktne n-dimenzione Rimanove mnogostrukosti ≥ π onda je prosečna skalarna zakrivljenost najviše n(n-1).</s>

<s>Vidi još 
Oblik univerzuma
Uvod u matematiku opšte relativnosti
Normalne koordinate
Sistolična geometrija
Riman–Kartan geometrija u Ajnštajn–Kartanovoj teoriji (motivacija)
Rimanova minimalna površina</s>

<s>Reference</s>

<s>Literatura</s>

<s>. (Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)
 ; Revised reprint of the 1975 original.
 .
 .</s><s>From Riemann to Differential Geometry and Relativity (Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos,  and Sumio Yamada, Eds.) Springer,  2017, XXXIV, 647 p.</s>

<s>Guillemin, Victor and Pollack, Alan (1974) Differential Topology.</s><s>Prentice-Hall. .</s><s>Hirsch, Morris, (1997) Differential Topology.</s><s>Springer Verlag. .</s><s>Kirby, Robion C. and Siebenmann, Laurence C. (1977) Foundational Essays on Topological Manifolds.</s><s>Smoothings, and Triangulations.</s><s>Princeton University Press. .</s><s>Lee, John M. (2000) Introduction to Topological Manifolds.</s><s>Springer-Verlag. .</s><s>Lee, John M. (2003) Introduction to Smooth Manifolds.</s><s>Springer-Verlag. .</s><s>Massey, William S. (1977) Algebraic Topology: An Introduction.</s><s>Springer-Verlag. .</s><s>Milnor, John (1997) Topology from the Differentiable Viewpoint.</s><s>Princeton University Press. .</s><s>Munkres, James R. (1991) Analysis on Manifolds.</s><s>Addison-Wesley (reprinted by Westview Press) .</s><s>Munkres, James R. (2000) Topology.</s><s>Prentice Hall. .</s><s>Neuwirth, L. P., ed. (1975) Knots, Groups, and 3-Manifolds.</s><s>Papers Dedicated to the Memory of R. H. Fox.</s><s>Princeton University Press. .</s><s>Riemann, Bernhard, Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass, Sändig Reprint. .</s><s>Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse.</s><s>The 1851 doctoral thesis in which "manifold" (Mannigfaltigkeit) first appears.</s><s>Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen.</s><s>The 1854 Göttingen inaugural lecture (Habilitationsschrift).</s><s>Spivak, Michael (1965) Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus.</s><s>W.A. Benjamin Inc. (reprinted by Addison-Wesley and Westview Press). .</s><s>Spivak, Michael (1999) A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (3rd edition) Publish or Perish Inc. 
 .</s>

<s>Spoljašnje veze</s>

<s>Riemannian geometry by V. A. Toponogov at the Encyclopedia of Mathematics</s>

<s>Bernhard Riman</s>

