Klein-Gordonova jednadžba
<s>Klein–Gordonova jednadžba (Klein–Fock–Gordonova jednadžba ili ponekad Klein–Gordon–Fockova jednadžba) je relativistička verzija Schrödingerove jednadžbe.</s><s>Također je kvantizirana verzija relativističke relacije energije s momentom.</s><s>Rezultati jednadžbe su kvantno skalarno ili pseudoskalarno polje čiji su kvanti bez spina.</s><s>Teorijski značaj jednadžbe jednak je značaju Diracove jednadžbe.</s><s>Elektromagnetske interakcije se mogu uvrstiti, što daje temu skalarne elektrodinamike, no kako su čestice bez spina, na primjer pi-mezoni, nestabilni i doživljavaju jake interakcije, praktična korisnost jednadžbe je ograničena.</s>

<s>Klein–Gordon jednadžba s parametrom mase  je</s>

<s>Rješenja jednadžbe su kompleksne funkcije  vremenske varijable  i prostornih varijabli  ; Laplasov operator  djeluje samo na prostorne varijable.</s>

<s>Jednadžba se često skraćuje na
 
gdje su  i  d'Alembertovi operatori, definirani kao
 
(Koristi se (−, +, +, +) metrički potpis.)</s>

<s>Klein–Gordonova jednadžba se najčešće zapisuje u prirodnim jedinicama:
 
Forma je određena time da rješenja zapisana kao ravninski valovi:
 
poštuju relaciju energije i momenta sile specijalne teorije relativnosti:
 
Za razliku od Schrödingerove jednadžbe, Klein–Gordonova jednadžba priznaje dvije vrijednosti ω za svaki k, pozitivnu i negativnu.</s><s>Samo razdiobom pozitivnih i negativnih dijelova frekvencije dobiva se jednadžba koja opisuje relativističku valnu funkciju.</s><s>Za slučaj nezavisan o vremenu, Klein–Gordonova jednadžba postaje</s>

<s>te je formalno ista homogeno zapisanoj Poissonovoj jednadžbi.</s>

<s>Derivacija 
Nerelativistička jednadžba energije slobodne čestice je
 
Kvantizacijom se dobiva nerelativistička Schrödingerova jednadžba slobodne čestice,</s>

<s>gdje je
 
 Operator momenta (∇ je del-operator), a
 
je energetski operator.</s>

<s>Schrödingerova jednadžba nije relativistički kovarijantna, odn. ne uzima u obzir Einsteinovu posebnu relativnost.</s>

<s>Prirodno se koristi identitet posebne relativnosti koji opisuje energiju:
 
Tada se samo ubace kvantno-mehanički operatori za moment i energiju kako bi se dobila jednadžba
 
No, ovo je nepraktična jednadžba jer se diferencijalni operator ne može izračunati dok je pod korijenom.</s>

<s>Klein i Gordon su umjesto toga krenuli s kvadratom gornje jednadžbe:
 
koja, kad se kvantizira, daje
 
što se može pojednostaviti na
 
Preuređivanjem elemenata dobivamo
 
U jednadžbi nema imaginarnih brojeva, pa se može primijeniti u područjima koja imaju realne vrijednosti, kao i na ona sa imaginarnim vrijednostima.</s>

<s>Bilješke</s>

<s>Kvantna mehanika</s>

