Dekartov proizvod
<s>U matematici, Dekartov (Kartezijanski) proizvod je direktni proizvod skupova.</s><s>Ime je dobio po francuskom matematičaru Dekartu, zahvaljujući čijem zasnivanju analitičke geometrije je postavljen temelj za ovaj koncept.</s>

<s>Posebno, Dekartov proizvod dva skupa X (npr. skup tačaka na x-osi) i Y (npr. skup tačaka na y-osi), u oznaci X × Y, je skup svih mogućih uređenih parova kod kojih je prva komponenta element skupa X a druga komponenta element skupa Y (u primeru bi to bila cela ravan x0y):</s>

<s>Dekartov proizvod dva konačna skupa može se predstaviti tabelom, tako da su elementi jednog skupa raspoređeni u redove, a drugog u kolone.</s><s>Tada se uređeni parovi mogu shvatiti kao ćelije u tabeli, gde je svaka određena svojim redom i kolonom.</s>

<s>Primeri</s>

<s>Proizvod nepraznih skupova</s>

<s>Neka su dati skupovi  i .</s>

<s>U pitanju su različiti skupovi, tj. .</s>

<s>Špil karata</s>

<s>Na špilu od 52 karte se može ilustrovati dekartov proizvod.</s><s>Špil ima 13 vrsta karata {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} i svaka vrsta se pojavljuje u četiri boje {♠, <font style="color:red;">♥, ♦,</font style="color:red;"> ♣}.</s><s>Dekartov proizvod ovih skupova se sastoji od 52 uređena para svih mogućih karata.</s>

<s>Vrsta × boja daje sledeći skup {(A, ♠), (A, <font style="color:red;">♥</font style="color:red;">), (A, <font style="color:red;">♦,</font style="color:red;">), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, <font style="color:red;">♥</font style="color:red;">), (2, <font style="color:red;">♦</font style="color:red;">), (2, ♣)}.</s>

<s>Boja × vrsta daje sledeći skup {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.</s>

<s>U pitanju su različiti disjunktni skupovi.</s>

<s>Dvodimenzionalni koordinatni sistem</s>

<s>Glavni istorijski primer je kartezijanska ravan u analitičkoj geometriji.</s><s>U cilju predstavljanja geometrijskih oblika na numerički način i dobijanja numeričkih informacija od ovakvih reprezentacija oblika, Rene Dekart je svakoj tački u ravni dodelio par realnih brojeva, nazvanih koordinatama.</s><s>Obično se takav par prvih i drugih komponenata naziva x i y koordinata, respektivno.</s><s>Skup svih takvih parova, odnosno kartezijanski proizvod ℝ × ℝ gde su ℝ realni brojevi, predstavlja skup svih tačaka u ravni.</s>

<s>Implementacija u teoriji skupova 
Formalna definicija Dekartovog proizvoda sa aspekta teorije skupova sledi iz definicije uređenog para.</s><s>Najčešća definicija uređenog para je , koju je dao Kuratovski.</s><s>Iz definicije sledi da je , gde je  partitivni skup.</s><s>Dakle, postojanje Dekartovog proizvoda bilo koja dva skupa u Cermelo-Frenkel teoriji skupova je posledica aksiome para, aksiome unije, aksiome partitivnog skupa, i sheme separacije.</s><s>Pošto se funkcije najčešće definišu kao specijalan slučaj relacija, a relacije se definišu kao podskup Dekartovog proizvoda, sledi da je Dekartov proizvod suštinski neophodan za većinu drugih definicija.</s>

<s>Nekomutativnost i neasocijativnost 
Neka su A, B, C i D skupovi.</s>

<s>Dekartov proizvod nije komutativan,</s>

<s>,</s>

<s>jer su koordinate uređenih parova permutovane, osim ako je ispunjen jedan od sledećih uslova:
 A je jednako B,
 bar jedan od skupova A i B je prazan.</s>

<s>Primeri:</s>

<s>Skupovi A i B su različiti.</s><s>Na primer: A = {1,2}; B = {3,4}</s>

<s>A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}</s>

<s>B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}</s>

<s>Skupovi A i B su jednaki.</s><s>Na primer: A = B = {1,2}</s>

<s>A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}</s>

<s>Jedan od skupova A ili B je prazan.</s><s>Na primer: A = {1,2}; B = ∅</s>

<s>A × B = {1,2} × ∅ = ∅</s>

<s>B × A = ∅ × {1,2} = ∅</s>

<s>U opštem slučaju, Dekartov proizvod nije asocijativan (osim ako je jedan od skupova prazan).</s>

<s>Na primer, ako je A = {1}, onda je (A × A) × A = {((1,1),1)} ≠ { (1,(1,1)) } = A × (A × A).</s>

<s>Dekartov proizvod u odnosu na presek, uniju, podskup</s>

<s>Dekartov proizvod se lepo ponaša u odnosu na presek skupova.</s>

<s>Međutim, skupovna jednakost ne važi ukoliko presek zamenimo sa unijom.</s>

<s>U stvari, važi sledeća jednakost:</s>

<s>Za razliku skupova važi identitet:</s>

<s>Sledeće skupovne jednakosti ilustruju distributivnost dekartovog proizvoda i skupovnih operacija</s>

<s>,</s>

<s>,</s>

<s>,</s>

<s>.</s>

<s>Za podskupove važi sledeće:</s>

<s>Ako je  onda je ,</s>

<s>Ako su A,B  onda je .</s>

<s>Kardinalnost</s>

<s>Kardinalnost (kardinal ili kardinalni broj) je broj elemenata skupa.</s><s>Na primer, neka su data dva skupa: A = {a, b} i B = {5, 6}.</s><s>Skupovi A i B imaju po dva elementa.</s><s>Njihov Dekartov proizvod, u oznaci A × B, daje novi skup koji se sastoji od sledećih elemenata:</s>

<s>A × B = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)}.</s>

<s>Svaki element skupa A se uparuje sa svakim elementom skupa B. Svaki uređeni par je element u rezultujućem skupu A × B. Broj različitih elemenata u Dekartovom proizvodu skupova jednak je proizvodu broja elemenata skupova čiji se Dekartov proizvod računa; u ovom slučaju je 2·2=4. Kardinalni broj dobijenog skupa, jednak je proizvodu kardinalnih brojeva skupova čiji se Dekartov proizvod računa.</s><s>Dakle,</s>

<s>||A × B| = |A| · |B|.</s>

<s>Slično,</s>

<s>||A × B × C| = |A| · |B| · |C|</s>

<s>i tako dalje.</s>

<s>Skup A × B je beskonačan ako je bar jedan od skupova  A ili B beskonačan a drugi skup je neprazan.</s>

<s>-arni proizvod</s>

<s>Dekartovo stepenovanje 
Dekartov kvadrat (ili binarni Dekartov proizvod) skupa X je Dekartov proizvod X2 = X × X. Primer ovog proizvoda je dvodimenzionalna ravan  gde je R skup realnih brojeva: R2 je skup svih tačaka  gde su x i y realni brojevi (vidi Dekartov koordinatni sistem).</s>

<s>Dekartov stepen skupa X može se definisati kao:</s>

<s></s>

<s>Odgovarajući primer je , gde je R skup realnih brojeva.</s><s>Opštiji primer je Rn.</s>

<s>n-arni Dekartov stepen skupa X je izomorfan prostoru funkcija koje preslikavaju skup od n elemenata u skup X. Kao specijalan slučaj, 0-arni Dekartov stepen od X može se uzeti jednoelementni skup i odgovarajuće prazno preslikavanje sa kodomenom X.</s>

<s>Konačni n-arni proizvod
Dekartov proizvod može se uopštiti na n-arni Dekartov proizvod sa n skupova X1, ..., Xn:</s>

<s></s>

<s>Ovako definisan proizvod je skup n-torki.</s><s>Ako se n-torke definišu kao ugnježdeni uređeni parovi, onda se skup n-torki može poistovetiti sa .</s>

<s>Beskonačni proizvodi</s>

<s>Moguće je definisati Dekartov proizvod za proizvoljnu (beskonačnu) indeksiranu familiju skupova.</s><s>Ako je I proizvoljan skup indeksa, i  familija skupova indeksiranih sa I, tada se Dekartov proizvod skupova u X definiše kao</s>

<s></s>

<s>što predstavlja skup svih funkcija definisanih na skupu indeksa tako da vrednost funkcije za određeni indeks i bude elemenet skupa Xi.</s><s>Čak i kada je svaki od Xi neprazan, Dekartov proizvod može biti prazan ako ne pretpostavimo da važi aksioma izbora (koja je ekvivalentna tvrđenju da je svaki takav proizvod neprazan).</s>

<s>Za svako j iz I, funkcija
 
definisana sa  naziva se j-ta projekcija.</s>

<s>Važan slučaj je kada je skup indeksa skup prirodnih brojeva : ovaj Dekartov proizvod je skup svih beskonačnih sekvenci gde je i-ta koordinata iz odgovarajućeg skupa Xi.</s><s>Na primer, svaki element proizvoda
 
može se predstaviti kao vektor sa prebrojivo mnogo realnih koordinata.</s><s>Ovaj skup se najčešće označava sa , ili .</s>

<s>Reference</s>

<s>Spoljašnje veze
 Članak o Dekartovom proizvodu</s>

<s>Teorija skupova</s>

