Diofantske jednačine
<s>Diofantska jednačina je algebarska jednačina s dvije ili vise nepoznatih s cjelobrojnim koeficijentima u kojoj se traže cjelobrojna ili racionalna rješenja.</s><s>Ime je dobila po Diofantu koji je prvi sistematski proučavao takve jednačine</s>

<s>Linearne diofantske jednačine
Diofantska linearna jednačina je jednačina oblika:
   
gdje su a, b i c neki cijeli brojevi.</s>

<s>Primjer</s>

<s>Kako je x cio broj to je y djeljivo sa 3</s>

<s>odnosno</s>

<s>Teorema
Diofantska jednačina  , gdje su ,, cijeli brojevi  ima cjelobrojna rješenja ako i samo ako  dijeli .</s><s>Ako su  i  rješenja te jednačine onda su sva rješenja oblika</s>

<s>Rješenje  naziva se partikularno rjesenje diofantske jednacine.</s><s>Op ste rjesenje je zbir partikularnog rjesenja i rjesenja homogene jednacine</s>

<s>Primjer</s>

<s>Partikularno rješenje je , a rješenja pripadne homogene jednačine su , 
Rješenja jednačine su parovi  za 
 Za pronalaženje partikularnog rješenje diofantske jednačine korististimo Euklidov algoritam pomoću kojeg određujemo cijele brojeve  i  za koje vrijedi  gdje je , a zatim množenjem sa  dobijamo partikularno rješenje.</s>

<s>Primjer</s>

<s>pa je</s>

<s>1</s>

<s>U posljednju jednakost uvrstimo izraz za broj 5 iz pretposljednje jednakosti</s>

<s>tj.</s>

<s>Rješenje date jednadnacine je</s>

<s></s>

<s>Primjer
Za prevoz neke robe raspolažemo vrećama od 40 kg i 60 kg.</s><s>Koliko treba uzeti jednih, a koliko drugih da se prevese 500 kg robe
Zadatak ćemo riješiti Eulerovom metodom</s>

<s>za  i</s>

<s></s>

<s>Rješenja jednadčine su parovi ) gdje je  i</s>

<s>Traženi parovi ) su    i</s>

<s>Nelinearne diofantske jednačine
Ne postoji univerzalna metoda rješavanja ovih jednačina ali zato postoji niz metoda kojima rješavamo neke specijalne tipove nelinearnih diofantskih jednačina.</s><s>Neke od tih metoda su:
metoda faktorizacije
metoda razlomka
metoda posljednje cifre
metoda kongruencije
metoda zbira potencija s parnim eksponentima
metoda nejednakosti</s>

<s>Metoda faktorizacije
Metoda faktorizacije sastoji se u tome da se jedna strana jednačine zapiše u obliku proizvoda cjelobrojnih vrijednosti, pa uzimajući u obzir drugu stranu jednačine posmatramo moguće slučajeve.</s>

<s>(
Ovo je moguće za</s>

<s>{| class="wikitable"
|-
! x-3 !! y+1
|-
| 1|| 3
|-
| -1 || -3
|-
| 3 || 1
|-
| -3 || -1
|}
odnosno
{| class="wikitable"
|-
| x|| y
|-
| 4|| 2
|-
| 2 || -4
|-
| 6 || 0
|-
| 0 || -2
|}</s>

<s>Metoda razlomka
Osnovna ideja ove metode slična je kao kod metode faktorizacije, samo što sada jednu stranu jednačine zapisujemo u obliku razlomka dvaju cjelobrojnih vrijednosti, dok s druge strane jednačine imamo također cjelobrojnu vrijednost.</s><s>Zbog toga nazivnik tog razlomka mora dijeliti brojnik, što nam daje klasifikaciju mogućih slučajeva.</s><s>Spomenuti razlomak u praksi najčešće dobijemo tako da se jedna nepoznata izrazi kao racionalna funkcija druge.</s>

<s>Metoda poslednje cifre
Metoda posljednje cifre je podmetoda metode ostataka koja koristi ispitivanje ostataka pri dijeljenju brojem 10.</s><s>Preciznije, razdvajanje slučajeva se vrši posmatranjem zadnje cifre nekih dijelova jednačine, te njihovim usklađivanjem.</s>

<s>Kvadrat cijelog broja završava cifrom 0,1,4,5,6,ili 9, a broj  sa 0 ili 5, pa zbir na lijevoj strani završava s 0,1,4,5,6, ili 9, a ne sa 3. Jednačina nema rješenja.</s>

<s>Metoda kongruencije</s>

<s>neparan a  paran pa je  neparan</s>

<s>Jednačina nema rješenja jer 1994 nije djeljivo sa 4</s>

<s>Metoda zbira potencija s parnim eksponentima
Metoda zbira je slična metodi faktorizacije, samo što sada jednu stranu jednačine zapisujemo u obliku zbira (najčešće nenegativnih) cijelih brojeva, te dalje diskutujemo slučajeve koji mogu nastupiti.</s>

<s>Metoda nejednakosti
Ova metoda se često koristi da bi se smanjio skup mogućih rješenja date jednačine, a zatim se na tom smanjenom skupu razlikuju slučajevi.</s><s>Na tom smanjenom skupu razlikuju se slučajevi.</s><s>Metoda nejednakosti se često koristi i u kombinaciji s nekom drugom metodom za rješavanje nelinearnih diofantskih jednačina</s>

<s></s>

<s>za</s>

<s>za</s>

<s>Jednačina ima samo jedno rjesenje</s>

<s>Pellove i pellovske jednacine
Neka je zadana jednacina</s>

<s>Uređenu trojku (x,y,z) koja zadovoljava zadanu jednačinu nazivamo Pitagorina trojka
Ako su brojevi x y z relativno prosti onda je to primitivna Pitagorina trojka
U svakoj primitivnoj Pitagorinoj trojci tačno je jedan od brojeva , neparan.</s><s>Za ,
parne nebi se radilo o primitivnoj Pitagorinoj trojci 
Diofantska jednačina oblika
 gdje je  i nije potpun kvadrat je Pelova jednačina.</s><s>Pelova jednačina ima beskonačno mnogo rješenja u skupu prirodnih brojeva.</s><s>Ako pronađemo najmanje (osnovno) rješenje , preostala rješenja  možemo generisati na sljedeći načine
 : 
 : i  za  i 
 : i</s>

<s>Jednačina
 je Pellovska jednačina (jednačina Pellovog oblika)
Za razliku od Pellove jednačine ova jednačina nema uvijek cjelobrojno rješenje.</s>

<s>Erdős–Strausova hipoteza
Hipotezom je pretpostavljeno da za sve prirodne brojeve  postoji racionalni broj  koji se može iskazati kao zbir tri jedinična razlomka s pozitivnim, cjelobrojnim nazivnicima kako slijedi:</s>

<s>Primjer
za , postoji rješenje jednacie gdje je ,  i .</s><s>Pomnožimo li obe strane jednačine s , nalazimo Diofantsku jednačinu oblika:
 
Matematika Jednačine</s>

<s>Reference)
DIOFANTSKE JEDNADŽBE</s>

