De Morganovi zakoni
<s>U matematičkoj logici i Bulovoj algebri, De Morganovi zakoni predstavljaju par transformacijskih pravila.</s><s>Pravila dozvoljavaju da se izrazi konjunkcije i disjunkcije mogu menjati jedan u drugi uz pomoć negacije.</s>

<s>Pravila mogu biti predstavljena u našem jeziku kao:
Negacija konjunkcije predstavlja disjunkciju negacija.</s>

<s>Negacija disjunkcije predstalja konjunkciju negacija.</s>

<s>ili neformalno:
"ne (A i B)" je isto što i "(ne A) ili (ne B)"
takođe i,
"ne (A ili B)" je isto što i "(ne A) i (ne B)"</s>

<s>Pravila mogu biti izražena u formalnom jeziku , sa dve istinitosne promenljive P i Q kao:</s>

<s>gde je:
 ¬ operator negacije (NE)
  operator konjunkcije (I)
  operator disjunkcije (ILI)
 ⇔ relacija ekvivalencije (AKKO)</s>

<s>Ova pravila imaju široku primenu u pojednostavljivanju logičkih izraza u računarskim programima, kao i u digitalnim kolima.</s><s>De Morganovi zakoni su opšti primer pojma dualnosti u matematici.</s>

<s>Formalni zapis 
Pravilo negacije konjunkcije može biti napisano na sledeći način:</s>

<s>dok pravilo negacije disjunkcije može biti napisano kao:</s>

<s>U pravlinoj formi:
negacije konjunkcije</s>

<s>i
negacije disjunkcije</s>

<s>Iskazano preko iskazne formule:</s>

<s>gde  i  predstavljaju logičke promenljive izražene u formalnom zapisu.</s>

<s>Forma zamene 
De Morganovi zakoni se obično prikazuju u kompaktnom obliku, sa negacijom kompletne leve strane, odnosno negiranjem ulaza na desnoj strani.</s><s>Jasniji obrazac za zamenu se može zapisati:</s>

<s>Ovakav zapis naglašava da je pri zameni iz konjunktivne u disjunktivnu formu, odnosno obrnuto, potrebno inverovati izlaz, sve ulaze, kao i promeniti opeatore.</s>

<s>U teoriji skupova i Bulovoj algebri 
U teoriji skupova i Bulovoj algebri, često se nailazi na uniju i presek pod komplementom, gde takođe imaju promenu De Morganovi zakoni, što se može zapisati:</s>

<s>gde je:
  negacija od A
 ∩ presek skupova(I)
 ∪ unija skupova (ILI)</s>

<s>Ili u uopštenoj formuli:</s>

<s>Gde I predstavlja beskonačan brojač.</s><s>U određenom zapisu, De Morganove zakone je najlakše pamtiti pomoću mnemonika „Probij liniju, promeni znak“.</s>

<s>Inženjerstvo 
U elektrotehnici, De Morganovi zakoni se obično zapisuju:</s>

<s>.
 .</s>

<s>gde je:
  logičko I
  logičko ILI
  komplement, logičko NE.</s>

<s>Istorija 
Zakon je dobio ime po Ogastasu De Morganu (1806—1871) koji je uveo zvaničnu verziju zakona o klasičnoj propozicionalnoj logici.</s><s>Na De Morganovu formulaciju je uticala algebarizacija logike koju je izveo Džordž Bul, koja je kasnije učvrstila De Morganovu tvrdnju.</s><s>Iako je slično zapažanje imao Aristotel i bila je poznata Grcima i srednjovekovnim logičarima, De Morganu je data zasluga za formalno navođenje zakona i njihovo uvođenje u jezik logike.</s><s>De Morganov zakon se može lako dokazati, i može čak izgledati trivijalno.</s><s>Ipak, ovi zakoni su od pomoći u donošenju ispravnih zaključaka u dokazima i deduktivnim argumentima.</s>

<s>Neformalni dokaz 
De Morganovi zakoni mogu biti primenjeni na kompletan izraz negacije disjunkcije ili negacije konjunkcije, kao i na neki deo njega.</s>

<s>Negacija disjunkcije 
U slučaju primene De Morganovog zakona na disjunkciju, razmotrimo sledeću tvrdnju: „Nije tačno da su A ili B tačni iskazi“, što možemo zapisati :</s>

<s>U tom slučaju utvrđeno je da istinitnosni iskaz A ili B nije tačan, što znači da ni A nije tačno, ni B nije tačno, što može biti zapisano:</s>

<s>Da je jedan od A ili B istina, njihova disjunkcija bi takođe bila istinita, što bi činilo ovu negaciju netačnom.</s><s>Prezentovano na govornom jeziku, prateća logika bi bila „Ako su dve stvari netačne, takođe je netačno da je neka od njih tačna.“</s>

<s>Gledano u suprotnom smeru, drugi izraz nam tvrdi da ni jedan od iskaza A i V nisu tačni, što znači da nije tačna ni njihova disjunkcija.</s><s>Kako je negacija disjunkcije napisana u prvom izrazu sledi da je dokaz uspešan.</s>

<s>Negacija konjunkcije 
Primena De Morganovog zakona na konjunkciju je veoma slična sa prethodnom.</s><s>Obe forme su trivijalne.</s><s>Razmatraćemo sledeću tvrdnju: "Nije tačno da su i A i V tačni iskazi", što matematički možemo zapisati:</s>

<s>Da bi ova tvrdnja bila tačna, potrebno je da i A i B budu netačni, odnosno bar jedan od njih mora biti netačan, što može biti zapisano:</s>

<s>Odnosno, na našem jeziku "Ukoliko nije tačno da su dve stvarni tačne, onda bar jedna od njih nije tačna“.</s>

<s>Dokaz u suprotnom smeru je takođe trivijalan, drugi izraz predstavlja da bar jedan iskaz nije tačan.</s><s>Ukoliko bar jedan nije tačan, lako se može zaključiti da njihova konjunkcija takođe nije tačna.</s>

<s>Formalni dokaz 
Da bi dokazali da važi , prvo moramo dokazati da važi , a zatim .</s>

<s>Neka je .</s><s>Onda , zato što , onda ili . ili .</s><s>Ako , onda , iz tog sledi .</s><s>Ako , onda , sledi .</s><s>Pošto je ovo tačno za proizvoljno , onda , dakle sledi .</s>

<s>Da bi dokazali u suprotnom smeru, pretpostavljamo da , takvo da .</s><s>Onda .</s><s>Prateći to  i .</s><s>Sledi  i .</s><s>Ali onda , je u kontradikciji sa hipotezom .</s><s>Stoga, , i .</s>

<s>Pošto  i , sledi , što finalizuje dokaz De Morganovog zakona.</s>

<s>Drugi De Morganov zakon, odnosno, da važi , se dokazuje na sličan način.</s>

<s>Ekstenzije 
Sama činjenica da svaki izraz ima svoj dualni izraz, umnogome proširuje iskaznu logiku.</s><s>Postojanje negacije normalne forme umnogome pojednostavljuje kompleksnost, a samim tim i cenu, jednog digitalnog kola.</s><s>Takođe, velika olakšanja nalaze i programeri koji dualni izraz koriste da pojednostave često previše komplikovane logičke uslove.</s><s>Često se koriste i u proračunima u osnovnoj teoriji verovatnoće.</s>

<s>Definišimo dvostruku vrednost bilo koje iskazne operacije P(p, q, ...) u zavisnosti od elementarnih predloga p, q, ... da bude operacija  definisana kao</s>

<s>ToDa bi povezali ove kvantifikatore sa Morganovim zakonima, postavimo model sa malim brojem elemenata u njegovom domenu D, kao npr.
D = {a, b, c}.
onda</s>

<s>i</s>

<s>Ali, koristeći De Morganove zakone</s>

<s>i</s>

<s>proveravamo kvalifikatorske dvojnosti u modelu.</s>

<s>Onda kvantifikatorske dvojnosti mogu biti proširene dublje u modalnu logiku, povezujući kvadratne(obavezne) i rombaste(moguće) operacije.</s>

<s>U ovoj aplikaciji za aletičke modalitete mogućnosti i obaveznosti, Aristotel je posmatrao ovaj slučaj i u slučaju normalne modalne logike, veza ovih modalnih operacija sa kvantifikatorima može biti razumljiva tako što se postave modeli koristeći Kripkovu semantiku.</s>

<s>Vidi još 
 Izomorfizam (matematika)</s>

<s>Spoljašnje veze 
 Bulova algebra i binarna logika (srpski)</s>

<s>Bulova algebra
Matematička logika
Algebra
Teorijsko računarstvo
Teoreme u iskaznoj logici</s>

