Теорија скупова континуума
<s>Теорија скупова континуума од Канторових () времена па до 1940-их бавила се углавном реалним бројевима  тј.  континуумом.</s><s>Главни предмет истраживања теорије скупова континуума су била својства регуларности као и друга структурна својства скупова реалних бројева дефинабилних на .</s><s>Овај главни предмет се често зове и дескриптивна теорија скупова.</s>

<s>Да би се могао у потпуности разумети овај чланак, потребно је прво овладати Теоријом скупова.</s>

<s>Дескриптивна теорија скупова 
Дескриптивна теорија скупова проучава својства и структуре дефинабилних подскупова у  и у другим пољским просторима, тј. оним који су сепарабилни, метрички и комплетни.</s><s>Као пример пољских простора поменућемо Беров (франц.</s><s>René-Louis Baire) простор свих функција , простор комплексних бројева, Хилбертов () простор и сепарабилне Банахове (пољ.</s><s>Stefan Banach) просторе.</s><s>Најпростији пример скупа реалних бројева су основни отворени скупови реалних бројева тј. отворени интервали са рационалним границама, те њихови комплементи.</s><s>Ако се узму основни отворени скупови па се на њих примене операције комплементирања пребројиво много пута и формира се пребројива унија тако добијених скупова, добијају се Борелови (франц.</s><s>Émile Borel) скупови.</s><s>Сви Борелови скупови поседују сва својства регуларности.</s><s>Као пример својства регуларности имамо Лебегову (франц.</s><s>Henri Léon Lebesgue) мерљивост.</s><s>Скуп реалних бројева је мерљив по Лебегу ако се разликује од неког Бореловог скупа за празан скуп.</s><s>Ово значи да се скуп мерљив по Лебегу може прекрити отвореним интервалима произвољно мале дужине.</s><s>Тиме су сви Борелови скупови мерљиви по Лебегу.</s>

<s>Аналитички скупови, у ознаци , дефинишу се као непрекидне слике Борелових скупова; коаналитички скупови или  скупови су комплементи аналитичких скупова.</s><s>Пројективни скупови се добијају пројекцијом ( на ) и комплементирањем аналитичких скупова.</s><s>Пројективни скупови формирају хијерархију растуће комплесности.</s><s>На пример, ако је  коаналитички скуп, онда је пројекција  пројективни скуп у следећем нивоу комплексности изнад коаналитичких скупова.</s><s>Ови скупови се зову , а њихови комплементи .</s>

<s>Из изложеног се да закључити да је скуп  реалних бројева пројективан ако и само ако је дефинабилан у следећој структури:</s>

<s>Другим речима, у језику за ову структуру постоји формула првог реда  таква да је за неко :</s>

<s>За неки скуп реалних бројева каже се да има Берово својство ако се разликује од отвореног скупа за неки скуп који је пребројива унија скупова који није густ ни у једном интервалу.</s><s>Скуп реалних бројева има својство савршености ако је пребројив или ако садржи савршен скуп, тј. затворен скуп који нема изолираних тачака.</s>

<s>Помоћу ЦФИ је могуће показати да је сваки (ко)аналитички скуп мерљив по Лебегу и да има Берово својство, а да сваки аналитички скуп има својство савршености.</s><s>У ЦФИ се не може показати да сваки коаналитички скуп има својство савршености.</s>

<s>Теорија пројективних скупова чија је комплексност већа од комплексности коаналитичког скупа је потпуно ЦФИ неодређена.</s><s>На пример, у  постоји   скуп који није мерљив по Лебегу и нема Берово својство, а ако Мартинова () аксиома важи — онда такав скуп има својства регуларности.</s>

<s>Детерминација 
Својство регуларности скупа које у себе укључује сва друга класична својства регуларности се зове својство детерминације.</s><s>Ово својство се може објаснити користећи Беров простор .</s><s>Елементи простора  су функције  односно низови природних бројева дужине .</s><s>Простор  је тополошки еквивалент простора ирационалних тачака у .</s><s>Пошто је скуп рационалних бројева као подскуп скупа реалних бројева  пребројив а заинтересовани смо само за својство регуларности, уместо  се ради са  пошто је скуп рационалних бројева занемарљив што се тиче својства регуларности.</s>

<s>Практичан пример својства детерминације: Нека је .</s><s>Игра  дефинисана на  има два играча ( и ), који наизменично играју , тј. играч  игра , затим  игра , па  игра ...</s><s>Тиме у кораку  играч  игра , а у кораку  играч  игра .</s><s>После бесконачно много корака, ова два играча ће направити бесконачан низ  природних бројева.</s><s>Било који играч побеђује ако овај низ припадне  након неког корака његове игре.</s>

<s>Игра  је детерминисана ако постоји победничка стратегија за једног од играча.</s><s>Победничка стратегија за једног од играча је функција  дефинисана на коначном скупу природних бројева у , таква да ако играч игра у сагласности са овом функцијом, односно ако игра  на -том кораку, тај играч ће увек победити без обзира шта игра његов противник.</s>

<s>Каже се да је подскуп  детерминисан ако и само ако је игра  детерминисана.</s><s>Користећи ЦФИ може се доказати да постоје недетерминисани скупови.</s><s>Аксиома детерминације (АД) којим се тврди да су сви подскупови скупа  детерминисани је несагласан са аксиомом избора.</s><s>Мартин је доказао да је у ЦФ сваки Борелов скуп детерминисан.</s><s>Аксиомом пројективне детерминације (ПД) тврди се да је сваки пројективни скуп детерминисан.</s><s>Показало се да ПД имплицира да су сви пројективни скупови реалних бројева регуларни.</s>

<s>Хипотеза континуума 
Хипотезу континуума (ХК) формулисао је Кантор.</s><s>Овом хипотезом се тврди да сваки бесконачни скуп реалних бројева има кардиналност  или исту кардиналност као и , тј. .</s><s>Затворени скупови реалних бројева имају својство савршеног скупа, одакле следи да сваки непребројив затворен скуп реалних бројева има исту кардиналност као и .</s><s>На тај начин ХК важи за затворене скупове.</s><s>Александров () проширио је ХК на Борелове скупове, а Суслин () на све аналитичке скупове.</s><s>ХК није проширена на коаналитичке скупове и не може се доказати за ове скупове у ЦФИ.</s><s>Гедел је доказао да је ХК доследна (конзистентна са) ЦФ.</s><s>Под претпоставком да је ЦФ доследан, може се конструисати неки ЦФИ модел који се зове конструктибилни универзум, у коме ХК важи.</s><s>Да се доказати да ако је ЦФ доследан, онда су заједно доследни ЦФ, АИ и ХК.</s><s>Отуд следи да, ако се претпостави да је ЦФ доследан, онда се АИ не може оборити у ЦФ нити се може оборити ХК у ЦФИ.</s>

<s>Референце</s>

<s>Литература 
 Wilder, R. L. (1965).</s><s>The Foundations of Mathematics.</s><s>John Wiley & Sons, Inc. изд.</s><s>II. стр. 150.</s><s>Judah, H., Just, W., Woodin, H. Set Theory of the Continuum Springer Science & Business Media, Dec 6, 2012</s>

<s>Teorija skupova</s>

