Planimetrija
<s>Planimetrija''' ( - ravan,  - merim) je deo elementarne geometrije u kojem se izučavaju svojstva figura koje leže u ravni.</s>

<s>U srednjoj školi, u nastavi matematike, obično se nakon planimetrije prelazi na izučavanje drugog dela elementarne geometrije - stereometrije, koja izučava svojstva figura u trodimenzionalnom Euklidovom prostoru.</s><s>Metodika nastave matematike, kada se oba dela elementarne geometrije izučavaju istovremeno, naziva se fuzionizam.</s><s>Najpotpunije, sistematizovano izlaganje planimetrije prvi put je bilo sprovedeno u knjizi Elementi starogrčkog naučnika Euklida.</s>

<s>Zbog velikog obima teme, u nastavku izlažemo samo osnovne pojmove, likove i rezultate, a detalje i dokaze potražite u linkovima, tokom priloga.</s>

<s>Mnogougao (poligon) 
Mnogougao je zatvorena izlomljena linija.</s><s>Segmenti izlomljene linije nazivaju se stranice mnogougla, a krajevi segmenata - temena.</s><s>Zbir unutrašnjih uglova mnogougla, n-to ugla je 180°(n-2), gde je n = 3, 4, 5, ... .</s><s>Zbir spoljnih uglova je 360°.</s><s>Površinu određujemo tako da mnogougao rastavimo na trouglove.</s><s>Mnogougao je pravilan ako su mu sve stranice i svi uglovi međusobno jednaki.</s><s>Druga definicija, mnogougao je pravilan, ako se oko njega i u njega može upisati kružnica.</s><s>Za pravilne mnogouglove sa n stranica važi:
 centralni ugao α=360°/n;
 spoljni ugao β=360°/n;
 unutrašnji ugao γ=180°-β;
 ako je R poluprečnik opisane i r poluprečnik upisane kružnice (apotema), onda je stranica 
 
 Površina pravilnog n-to ugla je</s>

<s>Elementi pravilnih mnogouglova 
U sledećoj tabeli, n je broj stranica pravilnog mnogougla (poligona), P je površina pravilnog mnogougla, a je stranica, R je poluprečnik opisanog kruga, r je apotema (poluprečnik upisanog kruga).</s>

<s>Trougao 
Detaljnije o formulama uz pojmove koji slede potražite u ravninska trigonometrija (rešavanje trougla).</s><s>Nejednakost trougla: zbir dve stranice trougla uvek je veći od treće stranice, 
 Zbir uglova u trouglu jednak je ispruženom uglu,</s>

<s>Trougao je potpuno određen ako je zadato (v. podudarnost trouglova):
 sve tri stranice;
 dvije stranice i ugao među njima;
 stranica i dva ugla na njoj;
 ako su zadate dvije stranice i ugao nasuprot jednoj od tih stranica, onda su određena dva, jedan ili nijedan trougao, kao što se vidi na slici (1) desno.</s><s>Težišnica (medijana) trougla je duž (prava) koja spaja vrh sa sredinom suprotne stranice trougla.</s><s>Težište je tačka u kojoj se seku težišnice.</s><s>Težište deli težišnicu u odnosu 2:1 počev od vrha.</s><s>Dužina težišnice na stranicu a je 
 Simetrala ugla trougla je duž (prava) koja polovi unutrašnji ugao trougla.</s><s>Simetrale uglova seku se u jednoj tački koja je centar upisane kružnice trougla.</s><s>Dužina simetrale ugla alfa je  Ako simetrala ugla deli stranicu a na odsečke m i n, onda je 
 Visina trougla je okomica spuštena iz vrha trougla na suprotnu stranicu.</s><s>Ortocentar je tačka u kojoj se seku visine trougla.</s><s>Centar opisane kružnice trougla je tačka preseka simetrala stranica trougla.</s><s>Težišnica, visina i simetrala ugla, ka istoj strani trougla, podudaraju se ako su druge dve stranice trougla jednake, tj. ako imamo jednakokraki trougao.</s><s>Obrnuto, ako se dva od tih pravaca podudaraju, trougao će biti jednakokrak.</s><s>Jednakostranični trougao je onaj kod kojeg su sve tri stranice jednake (a=b=c).</s><s>Sva tri njegova ugla su po 60°.</s><s>U njemu se podudaraju sve četiri značajne tačke trougla: težište, ortocentar, centar upisane kružnice, centar opisane kružnice.</s><s>Srednja linija trougla (središnjica) je duž (prava) koja spaja sredine dve stranice trougla.</s><s>Ona je paralelna sa trećom stranicom trougla i jednaka polovini njene dužine.</s><s>Površina trougla:  gde je  poluobim, r poluprečnik upisane, R poluprečnik opisane kružnice datog trougla.</s>

<s>Trouglovi (a takođe i višeuglovi, tj. mnogouglovi, sa jednakim brojem stranica) su slični ako su im odgovarajući uglovi jednaki i odgovarajuće stranice proporcionalne.</s><s>Za sličnost trouglova dovoljno je da su ispunjena dva od ovih uslova: (1) tri stranice jednog trougla proporcionalne su trima stranicama drugog trougla; (2) dva ugla jednog trougla jednaki su sa dva ugla drugog trougla; (3) dve stranice jednog trougla proporcionalne su sa dve stranice drugog trougla, a uglovi među njima su jednaki.</s><s>Površine sličnih likova proporcionalne su kvadratima odgovarajućih linearnih elemenata (stranica, visina, dijagonala itd.).</s>

<s>Pravougli trougao 
Na slici (3) desno, s je hipotenuza, a i b su katete pravouglog trougla ABC.</s><s>Pitagorina teorema.</s><s>Površina pravouglog trougla je:</s>

<s>Četvorougao 
 Zbir (unutrašnjih) uglova svakog konveksnog četvorougla je 360°.</s><s>Ako je  odsečak koji spaja sredine dijagonala, slika 4 levo, tada je:
 
 Površina četvorougla je 
 Tangentni četvorougao je onaj u kojeg možemo upisati kružnicu.</s><s>U četvorougao možemo upisati kružnicu ako i samo ako je 
 Tetivni četvorougao je onaj oko kojeg se može opisati kružnica.</s><s>Oko četvorougla možemo opisati kružnicu tada i samo tada ako je  tj. ako su mu naspramni uglovi suplementni.</s><s>Za upisani četvorougao je  (Ptolemejeva teorema)
 Površina upisanog četvorougla je  gde je  poluobim četvorougla.</s>

<s>Paralelogram 
Definicije paralelograma.</s><s>Paralelogram je četvorougao koji ima jednu od sledećih osobina; on tada ima i sve ostale nabrojane osobine:
 suprotne stranice su paralelne;
 suprotne stranice su jednake;
 jedan par suprotnih stranica je paralelan i jednak;
 dijagonale se polove (seku se u tački koja je sredina svake od njih posebno);
 suprotni uglovi su jednaki.</s>

<s>Dijagonale i stranice (sl.4.) paralelograma su u relaciji:  
 Površina paralelograma je:</s>

<s>Pravougaonik i kvadrat 
Paralelogram je pravougaonik ako ima:
 sve uglove jednake;
 jednake dijagonale.</s><s>Svaka od dvije navedene osobine je posledica one druge.</s><s>Površina pravougaonika (sl.6.) je:  gde su  susedne stranice.</s><s>Pravougaonik je kvadrat, ako su mu susedne stranice jednake.</s><s>Osobine kvadrata su:
 
 Površina kvadrata je</s>

<s>Romb 
Paralelogram je romb ako ima:
 svije stranice jednake;
 dijagonale međusobno okomite;
 dijagonale su simetrale uglova.</s><s>Kada je ispunjeno jedno od ovih osobina onda su kao posledica ispunjena i ostala dva.</s><s>Površina romba je</s>

<s>Trapez 
Trapez je četvorougao koji ima jedan par paralelnih strana.</s>

<s>Paralelne strane trapeza nazivaju se osnovice, a neparalelne su kraci trapeza.</s><s>Na slici (8) lijevo, a i b su osnovice trapeza, h je visina, m je srednja linija (središnjica), tj. duž (ponekad se definiše i kao prava) koja spaja sredine neparalelnih stranica.</s><s>Ona je paralelna sa osnovicama i jednaka njihovom poluzbiru,</s>

<s>Površina trapeza je  Trapez je jednakokrak ako je d = c. U tom slučaju je</s>

<s>Kružnica 
 Kružnica  na slici (9) desno, ima poluprečnik (radijus)  i prečnik (dijametar) 
 Tetiva je duž koja spaja dve tačke na kružnici (AB).</s><s>Centralni ugao ACB dvostruko je veći od perifernog APB nad istom tetivom AB, tj. 
 Tangenta je prava t koja dodiruje kružnicu u (jednoj) tački A.
 Ugao između tangente i tetive u istoj tački jednak je perifernom uglu nad istom tetivom 
 Sečica (sekanta) je prava koja seče kružnicu; sečica je prava na kojoj leži tetiva.</s><s>Ugao između tetiva jednak je poluzbiru centralnih uglova nad krajevima tih tetiva.</s><s>Za tetive AB i CD koje se seku u tački E važi  gde je r poluprečnik kružnce, a m je udaljenost od centra kruga do tačke preseka tetiva E.
 Ugao između sečica jednak je polurazlici centralnih uglova nad krajevima pridruženih tetiva.</s><s>Ugao između tangente i sečice jednak je polurazlici centralnih uglova nad krajevima pridružene tetive i dodorne tačke tangente.</s><s>Ugao između tangenti jednak je polurazlici centralnih uglova nad dodirnim tačkama tangenti.</s>

<s>Moć tačke u odnosu na krug, slika levo (sl.10), je broj jednak proizvodu dužina odsečaka  svake sečice koja prolazi kroz tačku M i preseca kružnicu u tačkama A i B. Moć tačke se naziva i potencija tačke u odnosu na krug.</s><s>Moć tačke M je konstanta datog kruga (sl.10) i važi 
  
 gdije je r polupriječnik kružnice, a m je udaljenost od centra kruga do tačke M.
 Za obim kruga s i površinu kruga P (r je poluprečnik, d je prečnik) važi:
 broj pi je odnos obima i prečnika kruga, tj.</s>

<s>Odsečak (segment) i isečak (sektor) kruga 
Na slici (11) desno prikazan je odsečak kruga, segment, tj. gornji deo počev od tetive a, i isečak kruga, sektor, tj. cela figura na slici.</s><s>Za poluprečnik r kruga, dužinu luka l, tetivu a, centralni ugao α u stepenima i visinu segmenta h'' važe izrazi:
 
 
 
Približno je  ili</s>

<s>Površina isečka (sektora):</s>

<s>Površina odsečka (segmenta):</s>

<s>Približno je</s>

<s>Kružni prsten 
Na slici (12) desno, prikazan je kružni prsten.</s><s>Priječnik vijećeg kruga je  priječnik manjeg kruga  srednji poluprečnik  širina prstena</s>

<s>Površina kružnog prstena:</s>

<s>Površina dela kružnog prstena sa centralnim uglom φ u stepenima (šrafirano na slici):</s>

<s>Vidi još 
 Matematika
 Geometrija
 Stereometrija
 Trigonometrija
 Sinusna teorema
 Kosinusna teorema
 Tangensna teorema
 Rešavanje trougla</s>

<s>Geometrija</s>

