Algebarski prsten
<s>U matematici, prsten je algebarska struktura u kojoj su definisani sabiranje i množenje, i imaju svojstva opisana niže.</s><s>Prsten je generalizacija skupa celih brojeva.</s><s>Drugi primeri prstena su polinomi i celi brojevi po modulu n. Grana apstraktne algebre koja proučava prstenove se naziva teorijom prstena.</s>

<s>Formalna definicija 
prsten je skup R na kome važe dve binarne operacije + : R × R → R i · : R × R → R, koje se nazivaju sabiranje i množenje, takve da:</s>

<s>(R, +) je Abelova grupa sa neutralom 0:
 (a + b) + c = a + (b + c)
 0 + a = a + 0 = a
 a + b = b + a
 Za svako a iz R, postoji element koji se označava sa −a, takav da a + −a = −a + a = 0
 (R, ·) je monoid sa neutralom 1:
 (a·b)·c = a·(b·c)
 1·a = a·1 = a
 Množenje je distributivno nad sabiranjem:
 a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
 (a + b)·c = (a·c) + (b·c)</s>

<s>Kao i kod grupa simbol · se obično izostavlja.</s><s>Takođe, koristi se standardan redosled operacija, pa je na primer, a+bc skraćenica za a+(b·c).</s>

<s>Mada je sabiranje u prstenu komutativno, pa je a+b = b+a, množenje u prstenu ne mora da bude komutativno — a·b ne mora da bude jednako b·a. Prstenovi koji su takođe komutativni i u odnosu na množenje (kao što je prsten celih brojeva) se nazivaju komutativnim prstenovima.</s><s>Nisu svi prstenovi komutativni.</s><s>Na primer, , prsten  matrica nad poljem K, je nekomutativni prsten (n>1).</s>

<s>Prstenovi ne moraju da budu ni multiplikativno inverzni.</s><s>Element a u prstenu se naziva jedinicom ako je invertibilan u odnosu na množenje: ako postoji element b u prstenu, takav da je a·b = b·a = 1, tada je b jedinstveno određeno preko a i pišemo a−1 = b. Skup svih jedinica u R formira grupu u odnosu na množenje prstena; ova grupa se označava sa U(R) ili R*.</s>

<s>Alternativne definicije 
Postoji i nekoliko alternativnih definicija prstena:</s>

<s>Neki autori zahtevaju dodatni uslov da je 0 ≠ 1. Ovo isključuje samo jedan prsten: takozvani trivijalni prsten ili nula prsten, koji ima samo jedan element.</s><s>Značajnija razlika je ta, da neki autori ne zahtevaju da prsten ima multiplikativni neutral.</s><s>Ovi autori nazivaju prstenove koji imaju multiplikativne neutrale unitarnim prstenovima.</s><s>Autori koji zahtevaju multiplikativni neutral nazivaju algebarske objekte koji ispunjavaju sve uslove za prsten, izuzev ovog, pseudo-prstenovima.</s><s>Svaki ne-unitarni prsten R se može uklopii na kanonski način, kao podprsten u unitarni prsten, naime R ⊕ Z sa (0,1) kao jediničnim elementom i množenjem definisanim na očekivani način.</s><s>Slično, ponekad se ne zahteva da množenje prstena bude asocijativno, a prstenovi kod kojih jeste asocijativno se tada nazivaju asocijativnim prstenovima.</s><s>Vidi neasocijativni prsten za raspravu o opštijoj situaciji.</s>

<s>Kao što je gore naznačeno, množenje prstena ne mora da bude komutativno.</s><s>U nekim oblastima, kao što su komutativna algebra i algebarska geometrija se uglavnom razmatraju komutativni prstenovi, pa autori često koriste termin prsten za komutativni prsten, a izraz ne obavezno komutativni prsten za prsten.</s>

<s>Primeri 
 Trivijalni prsten {0} ima samo jedan element koji služi i kao aditivni i kao multiplikativni neutral.</s><s>Prsten celih brojeva sa operacijama sabiranja i množenja.</s><s>Ovo je komutativni prsten.</s><s>Racionalni, realni i kompleksni brojevi grade prstenove (oni čak grade polja).</s><s>I ovi prstenovi su komutativni.</s><s>Svako polje je po definiciji komutativni prsten.</s><s>Gausovi celi brojevi formiraju prsten, kao i Ajzenštajnovi celi brojevi.</s><s>Polinomijalni prsten R[X] polinoma nad prstenom R je takođe prsten.</s><s>Primer nekomutativnog prstena: Za svaki prsten R i svaki prirodan broj n, skup svih kvadratnih n×n matrica sa članovima iz R, gradi prsten u odnosu na sabiranje matrica i množenje matrica.</s><s>Za n=1, ova matrica je prosto (izomorfna sa) R. Za n>2, ovaj prsten je primer nekomutativnog prstena (osim ako je R trivijalan prsten).</s><s>Primer konačnog prstena: Ako je n pozitivan ceo broj, tada skup Zn = Z/nZ celih brojeva po modulu n formira prsten sa n elemenata (vidi modularna aritmetika).
 ako je S skup, tada partitivni skup od S postaje prsten ako definišemo sabiranje kao simetričku razliku skupova, a množenje kao presek.</s><s>Ovo je primer Bulovog prstena.</s><s>Skup svih neprekidnih realnih funkcija definisanih na intervalu [a, b] formira prsten (čak asocijativnu algebru).</s><s>Operacije su sabianje i množenje funkcija.</s><s>Ako je G Abelova grupa, tada endomorfizmi od G grade prsten, prsten endomorfizama End(G) od G. Operacije su sabiranje i kompozicija endomorfizama.</s><s>Kontra-primer: Skup prirodnih brojeva N nije prsten, jer (N, +) nije čak ni grupa.</s><s>Na primer, ne postoji prirodan broj koji se može dodati broju 3 da bi se kao rezultat dobilo 0. Na prirodan način se od ovog skupa može napraviti prsten, dodavanjem negativnih brojeva (ovo je prsten celih brojeva).</s><s>Prirodni brojevi grade algebarsku strukturu koja se naziva poluprsten (koja ima sva svojstva prstena, izuzev aditivnog inverza).</s><s>Parni brojevi 2Z (uključujući negativne parne brojeve) su primer pseudo-prstena, u smislu da imaju sva svojstva prstena osim multiplikativnog neutrala.</s>

<s>Osnovne teoreme 
Iz aksioma se odmah može izvesti da za sve elemente prstena a i b imamo
 0a = a0 = 0.
 (−1)a = −a.
 (−a)b = a(−b) = −(ab).
 (ab)−1 = b−1 a−1 ako su a i b invertibilni.</s>

<s>Druge osnovne teoreme
 Neutral 1 je jedinstven.</s><s>Ako prsten ima multiplikativni inverz, onda je on jedinstven.</s><s>Ako prsten ima najmanje dva elementa, onda je 0 ≠ 1
 Ako je n ceo broj, i a je element prstena definišemo na posmatranjem a kao elementa aditivne grupe prstena (to jest, 0 ako je n jednako 0, suma n puta a ako je n pozitivno, i suprotno od (–n)a ako je n negativno).</s><s>Obično pišemo n za element prstena n1.</s><s>Tada:
 Dve definicije na se poklapaju, to jest, prvo, sa n posmatranim kao celim brojem kao gore; drugo, sa n kao elementom prstena n1 i množenjem u izrazu na uzima mesto u prstenu.</s><s>Stoga ceo broj n može da se identifikuje sa elementom prstena n. (Osim što više od jednog celog broja može da odgovara jednom elementu na ovaj način.)
 Element prstena n komutira sa svim ostalim elementima prstena.</s><s>Ako su m i n celi brojevi, a i b elementi prstena, tada (m·a)(n·b) = (mn)·(ab)
 Ako je n ceo broj, a element prstena, tada n·(-a) = -(n·a)
 Binomna teorema</s>

<s>važi kad god x i y komutiraju.</s><s>Ovo važi u svakom komutativnom prstenu.</s><s>Ako je prsten ciklična grupa u odnosu na sabiranje, tada je komutativan.</s>

<s>Konstruisanje novih prstena od datih prstena 
 Za svaki prsten R možemo da definišemo suprotan prsten Rop obrtanjem množenja u R. Ako je dato množenje ·  u R množenje ∗ u Rop je definisano kao b∗a := a·b. Identiteta iz R u Rop je izomorfizam akko je R komutativno.</s><s>Međutim, čak i ako R nije komutativno, moguće je da ipak R i Rop budu izomorfni.</s><s>Na primer, ako je R prsten n×n matrica realnih brojeva, tada je transponujuće preslikavanje iz R u Rop izomorfizam.</s><s>Ako je podskup S prstena R zatvoren za množenje, sabiranje i oduzimanje i sadrži aditivni i multiplikativni neutral, tada je S podprsten od R.
 Centar prstena R je skup elemenata iz R koji komutiraju sa svakim elementom R; to jest, c leži u centru ako cr=rc za svako r iz R. Centar je podprsten od R. Kaže se da je podprsten S od R centralni ako je podprsten centra od R.
 Ako je dat prsten R i dvostrani ideal I od R, količnički prsten R/I je skup svih koseta od I zajedno sa operacijama
(a+I)  + (b+I) = (a+b) + I i
(a+I)(b+I) = (ab) + I.</s>

<s>Kategorijski opis  
Kao što se monoidi i grupe mogu posmatrati kao kategorije sa jednim objektom, prstenovi se mogu posmatrati kao aditivne kategorije sa jednim objektom.</s><s>Ovde su morfizmi elementi prstena, kompozicija morfizama je množenje prstena, a aditivna struktura na morfizmima je sabiranje prstena.</s><s>Suprotan prsten je tada kategorijski dual.</s>

<s>Vidi još 
 Teorija prstena
 Neasocijativni prsten
 Komutativni prsten
 Diferencijalni prsten
 Polje</s>

<s>Literatura
 Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). .</s>

<s>Opšta literatura</s>

<s>.
 
 
 
 
 
 
 .
 
 
 
 
 
 .
 .</s>

<s>Specijalizovana literatura</s>

<s>.
 .
 
 
.
 .
 
 
 .
 
 
 
 .
 
 .
 .</s>

<s>Primarni izvori</s>

<s>Istorijski izvori</s>

<s>History of ring theory at the MacTutor Archive 
 Birkhoff, G. and Mac Lane, S. A Survey of Modern Algebra, 5th ed.</s><s>New York: Macmillian, 1996.</s><s>Bronshtein, I. N. and Semendyayev, K. A. Handbook of Mathematics, 4th ed.</s><s>New York: Springer-Verlag, 2004. .</s><s>Faith, Carl, Rings and things and a fine array of twentieth century associative algebra.</s><s>Mathematical Surveys and Monographs, 65.</s><s>American Mathematical Society, Providence, RI, 1999. xxxiv+422 pp. .</s><s>Itô, K. (Ed.).</s><s>"Rings." §368 in Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed., Vol.</s><s>2. Cambridge, MA: MIT Press, 1986.</s><s>Kleiner, I., "The Genesis of the Abstract Ring Concept", Amer.</s><s>Math.</s><s>Monthly 103, 417–424, 1996.</s><s>Kleiner, I., "From numbers to rings: the early history of ring theory", Elem.</s><s>Math.</s><s>53 (1998), 18–35.</s><s>Renteln, P.  and Dundes, A. "Foolproof: A Sampling of Mathematical Folk Humor." Notices Amer.</s><s>Math.</s><s>Soc.</s><s>52, 24–34, 2005.</s><s>Singmaster, D. and Bloom, D. M. "Problem E1648." Amer.</s><s>Math.</s><s>Monthly 71, 918–920, 1964.</s><s>Van der Waerden, B. L. A History of Algebra.</s><s>New York: Springer-Verlag, 1985.</s>

<s>Teorija prstena
Apstraktna algebra</s>

