Aritmetička progresija
<s>U matematici, aritmetička progresija ili aritmetički niz je niz brojeva takvih da je razlika između bilo koja dva susjedna člana niza konstantna.</s><s>Na primjer, niz 3, 5, 7, 9, 11, 13... je aritmetička progresija sa razlikom 2.</s>

<s>Ako je prvi član aritmetičke progresije , a razlika između članova iznosi d, tada je n-ti član niza dat sa:</s>

<s>a općenitija forma je:</s>

<s>Primjeri
Među aritmetičkim progresijama najpoznatiji  je niz prirodnih brojeva: 
Niz parnih brojeva 
Niz neparnih brojeva</s>

<s>Aritmetička progresija jednoznačno  je određena svojim početnim članom i razlikom.</s>

<s>Ako je početni član 7, a razlika 3, onda je riječ o aritmetičkooj progresiji 
 
Niz kvadrata prirodnih brojeva  tj. niz  nije aritmetička progresija</s>

<s>Tu su razlike među susjednim članovima redom .</s><s>Razlike čine aritmetičku progresiju.</s>

<s>Već smo spomenuli da niz prirodnih brojeva čine dva niza: 
 niz parnih brojeva i 
 niz  neparnih brojeva.</s><s>Često nulu uvrštavamo u prirodne brojeva, tako da je niz parnih brojeva , što se kraće može zapisati formulom , a niz parnih brojeva oznakom , a   sa  niz neparnih brojeva.</s>

<s>Parni brojevi su oni koji su djeljivi brojem 2, a neparni oni koji pri dijeljenju brojem 2 imaju ostatak 1.</s>

<s>Slično bismo mogli gledati podjelu s obzirom na djeljivost brojem 4, gdje ostaci mogu biti 0 (djeljivost brojem 4), 1, 2 ili 3.</s>

<s>(0) Djeljivi brojem 4:  Zapis</s>

<s>(I) Ostatak 1 pri dijeljenju brojem 4:  Zapis</s>

<s>(II) Ostatak 2 pri dijeljenju brojem:  Zapis</s>

<s>(III) Ostatak 3 pri dijeljenju brojem:  Zapis</s>

<s>Nizovi (0), (I), (II) i (III) su potpuno različiti, tj. nikoja dva nemaju zajedničkih članova, a ukupno čine skup svih prirodnih brojeva (uključujući i 0).</s><s>Svaki od njih odgovara jednom od ostataka pri dijeljenju brojem 4, tj. brojevima 0, 1, 2 i 3.</s>

<s>Ti se nizovi mogu zapisati kao: , , ,  za</s>

<s>Kvadrati u aritmetičkoj progresiji
Razmotrimo nekoliko prvih članova niza  za :</s>

<s>1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91,
96, 101, 106, 111, 116, 121, 126, 131, 136, 141, 146, 151, 156, 161,
166, 171, 176, 181, 186, 191, 196, 201...</s>

<s>Posebno smo istaknuli kvadrate:</s>

<s>Razmaci među kvadratima povećavaju, tj. kvadrati su sve rjeđi.</s><s>Možemo postaviti pitanje ima li u ovom nizu konačno ili beskonačno mnogo kvadrata prirodnih brojeva.</s>

<s>Razmotrimo nekoliko članova niza  2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47</s>

<s>Izgleda da u tom nizu nema kvadrata prirodnih brojeva.</s>

<s>Slično je, izgleda, s nizom   3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48...</s>

<s>Niz  sličan je nizu :</s>

<s>4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59, 64, 69, 74, 79, 84, 89, 94, 99,
104, 109, 114, 119, 124, 129, 134, 139, 144, 149, 154, 159, 164, 169,
174, 179, 184, 189, 194, 199, 204, 209...
dok je niz } vrlo jasan:
0, 5, 10, 15, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110...</s>

<s>Odnosno  je kvadrat cijelog broja ako i samo ako je n oblika</s>

<s>To uočavamo iz .</s><s>Time smo dokazali ne samo to da niz } ima beskonačno mnogo kvadrata, već i to da su ti kvadrati oblika .</s>

<s>Niz  } i } ne sadrže niti jedan kvadrat.</s><s>Za to je dovoljno uočiti sljedeće jednakosti:</s>

<s></s>

<s>Izrečeno drugim riječima:
ako je broj djeljiv brojem 5, i njegov kvadrat je djeljiv brojem 5,
 ako broj ima ostatak 1 pri dijeljenju brojem 5, njegov kvadrat ima ostatak 1 pri dijeljenju brojem 5,
ako broj ima ostatak 2 pri dijeljenju brojem 5, njegov kvadrat ima ostatak 4 pri dijeljenju brojem 5,
ako broj ima ostatak 3 pri dijeljenju brojem 5, njegov kvadrat ima ostatak 4 pri dijeljenju brojem 5,
ako broj ima ostatak 4 pri dijeljenju brojem 5, njegov kvadrat ima ostatak 1 pri dijeljenju brojem 5.</s>

<s>U nizu  ima beskonačno mnogo kvadrata.</s><s>Broj oblika  je kvadrat ako i samo ako je oblika   ili</s>

<s>Prvi oblik imaju  itd., dok drugi imaju  itd. i oni se dobiju ako u gornje izraze uvrstimo redom  Lako se provjeri da ovi kvadrati zaista imaju ostatak 1 pri dijeljenju brojem 5. Ako želimo neki veliki broj koji je kvadrat i ujedno pri dijeljenju brojem 5 ima ostatak 1, u neki od gornjih izraza uvrstimo velik k, primjerice k = 100.</s><s>Iz prvog izraza dobijemo , a iz drugoga .</s>

<s>U nizu  ima beskonačno mnogo kvadrata.</s><s>Broj oblika  je
kvadrat ako i samo ako je oblika   ili</s>

<s>Vrijedi i uopšteno</s>

<s>Ako aritmetička progresija } ,  sadrži barem jedan kvadrat, onda on sadrži beskonačno mnogo kvadrata.</s><s>Jedna progresija  kvadrata u tom nizu je oblika , gdje je   jedan kvadrat što ga taj niz sadrži i</s>

<s>Ako u nju uvrstimo , dobit ćemo</s>

<s>Zato, ako je  za neki r (tj. ako progresija } sadrži neki kvadrat),
onda je  što je, opet, član
niza {dn + b}.</s><s>To vrijedi za sve k = 0, 1, 2, 3... pa niz {dn + b} ima beskonačno
mnogo kvadrata.</s>

<s>Kubovi u aritmetičkoj progresiji</s>

<s>Posmatrajmo progresiju  i istaknimo  kubove prirodnih brojeva u njemu:
1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106,
111, 116, 121, 126, 131, 136, 141, 146, 151, 156, 161, 166, 171, 176, 181, 186,
191, 196, 201...</s>

<s>U popisu ima samo jedan kub, broj 1, što ne znači da u tom nizu nema više kubova.</s><s>Ako vrijedi tvrdnja analogna onoj za kvadrate, trebalo bi ih biti beskonačno mnogo.</s><s>Pokušajmo odrediti analognu formulu, i to za svaku razliku, a ne samo za .</s>

<s>Formula za kub zbira je</s>

<s>Smjenon</s>

<s>i</s>

<s>dobijemo , što je, oblika  za svako k, pa niz  sadrži beskonačno mnogo kubova.</s>

<s>U našem slučaju je  pa je formula za kubove   za 
dobijamo , što već imamo, za  dobivamo , za  dobijamo  itd.</s>

<s>Brojevi  su kubovi u progresiji</s>

<s>Uopšteno važi</s>

<s>Ako aritmetička progresija   za   sadrži barem jedan kub,  onda on sadrži beskonačno mnogo kubova.</s><s>Jedan niz kubova u toj progresiji oblika , gdje je  jedan kub što ga ta progresija sadrži i</s>

<s>Potencije u aritmetičkioj progresiji</s>

<s>Ako aritmetička progresija   za ,  sadrži barem jednu s-tu potenciju, onda on sadrži beskonačno mnogo s-tih potencija.</s><s>Jedna progresija s-tih potencija u toj progresiji je oblika , gdje je  jedna s-ta potencija što ga ta progresija sadrži i</s>

<s>Ova tvrdnja proizlazi iz formule za binomne formule.</s>

<s>Mi ćemo je izvesti iz formula za razliku potencija koje se mogu provjeriti direktnim računanjem.</s>

<s>uopšteno</s>

<s>Za   za neki , tj. ako progresija    sadrži s-tu potenciju, stavljajući to u jednakost (*) dobijemo
,
što je oblika , pa je s-ta potencija  član progresije    za svaki  Tako dobijemo beskonačno mnogo s-tih potencija u nizu
.
tome nizu.</s>

<s>Suma (aritmetičkog reda)</s>

<s>Suma komponenata aritmetičke progresije naziva se aritmetički red.</s>

<s>Posmatrajmo zbir    prvih 5 članova aritmetičkog niza.</s>

<s>Zbir može biti brzo pronađen množenjem broja n članova koji se dodaju () zbirom prvog i poslednjeg člana niza  (), i deljenjem sa</s>

<s>U našem slučaju, dobijamo jednačinu:</s>

<s>Formula važi za bilo koje realne brojeve   i  .</s>

<s>Na primer:</s>

<s>Formula (za aritmetički red)</s>

<s>Izrazimo artimetički red na dva različita načina:</s>

<s>Saberimo obje jednačina, lijevu stranu prve jednačine sa lijevom stranom druge jednačine, te desnu stranu prve jednačine sa desnom stranom druge jednačine.</s><s>Svi članovi koji sadrže d se poništavaju, a ostaje nam:</s>

<s>Sređivajući i uzimajući u obzir da je , dobijamo:</s>

<s>Proizvod</s>

<s>Proizvod komponenata aritmetičke progresije sa početnim elementom , razlikom između člaova ,te  elemenata u totalu, je određen izrazom</s>

<s>gdje  označava Pochhammerov simbol, a  označava gama funkciju. (Zapazite da formula ne vrijedi kada je  negativan cijeli broj ili kada je nula).</s>

<s>Ovo je generalizacija iz činjenice da je proizvod progresije  dat preko faktorijela , te da je proizvod</s>

<s>za prirodne brojeve  i  dat sa</s>

<s>Povezano</s>

<s>Sabiranje
 Geometrijska progresija
 Općenita geometrijska progresija
 Green–Taov teorem
 Beskonačan aritmetički red
 Thomas Malthus
 Prosti brojevi u aritmetičkoj progresiji
 Kahunov papirus, Rhindov matematički papirus</s>

<s>Reference</s>

<s>Izvor
Potencije u aritmetičkim nizovima/Anđelko Marić, Sinj i Ivica Gusić, Zagreb/Matka 23 (2014/2015)br 92</s>

<s>Vanjski linkovi 
 Arithmetic Progression Calculator</s>

<s>Matematički redovi
Nizovi i redovi</s>

