Nauka o čvrstoći
<s>Nauka o čvrstoći je grana mehanike koja proučava čvrstoću, krutost i stabilnost konstrukcija i strojeva, te jednostavnih konstrukcijskih cjelina.</s><s>Čvrstoća konstrukcije je sposobnost prenošenja sila i opterećenja bez loma materijala, trajnih plastičnih deformacija ili oštećenja (pukotina).</s><s>Krutost konstrukcije je otpornost konstrukcije prema deformiranju.</s><s>Elastična stabilnost konstrukcije je sposobnost konstrukcije da zadrži početan ravnotežni oblik.</s><s>Gubitak elastične stabilnosti naziva se izvijanje.</s>

<s>Osim naziva nauka o čvrstoći upotrebljava se i naziv otpornost materijala.</s><s>Oba su naziva tradicionalna i ne odgovaraju u potpunosti.</s><s>Ne radi se o otpornosti (čvrstoći) materijala, nego o čvrstoći dijelova konstrukcija!</s><s>Međutim, osim čvrstoće proučava se još krutost i stabilnost, pa ni naziv nauka o čvrstoći nije potpuno prikladan, iako je bolji od naziv otpornost materijala.</s><s>Bolji naziv bio bi mehanika deformabilnih čvrstih tijela, slično nazivu mehanika krutih tijela ili mehanika fluida.</s><s>Nauka o čvrstoći je u prvom redu tehnička (inženjerska) disciplina kojoj je svrha da što jednostavnijim metodama na zadovoljavajući, približan način riješi probleme iz tehničke prakse.</s><s>Ponekad se susreće i naziv elastostatika, koja proučava statičke probleme elastičnih tijela.</s><s>Ni taj naziv nije dobra zamjena za naziv nauka o čvrstoći, jer ona proučava i neelastična tijela i dinamičke probleme, pa se čini opravdanim zadržati naziv nauka o čvrstoći.</s>

<s>Historija 
Već na početku razvoja civilizacije, kad su se počele graditi veće zgrade, hramovi, mostovi, brodovi, jednostavni strojevi i naprave, bilo je potrebno da se sakupe podaci o svojstvima pojedinih konstrukcijskih materijala i oblika tijela.</s><s>Bez sumnje su postojala iskustvena pravila o određivanju mjera pojedinih dijelova konstrukcija, jer bi bez njih bilo nemoguće izgraditi veličanstvene građevine i spomenike izgrađene još u starom vijeku.</s><s>Osobito su se svojim graditeljstvom isticali graditelji Rimskog Carstva.</s><s>Poznate su njihove palače, hramovi, arene, bazilike, akvedukti, te katapulti i drugi ratni i radni strojevi.</s><s>Nešto o metodama njihova graditeljstva poznato je iz knjige De architectura libri decem od Marka Poliona Vitruvija.</s><s>Najveći dio znanja koji su sakupili stari Grci i Rimljani i drugi narodi izgubljen je u toku ranoga srednjeg vijeka.</s>

<s>Prve značajne pokuse o ponašanju i čvrstoći materijala obavio je Leonardo da Vinci na prijelazu iz 15. u 16. vijek.</s><s>On je ispitivao čvrstoću žice, greda i stupova.</s><s>Došao je do ispravnog zaključka da je čvrstoća grede na dva oslonca razmjerna (proporcionalna) širini i obrnuto razmjerna rasponu.</s><s>Nije zabilježeno da li je ispitivao utjecaj visine grede.</s><s>Galileo Galilei je prvi pokušao da analitički odredi čvrstoću pojedinih dijelova konstrukcija.</s><s>Utvrdio je da čvrstoća geometrijski sličnih tijela opada s porastom dimenzija.</s><s>Poznata su njegova razmatranja o savijanju štapa.</s><s>On je pogrešno pretpostavio da su sile (naprezanje) pri savijanju jednoliko raspodijeljene po visini presjeka grede i da se greda pri lomu okreće oko najniže točke oslonca.</s><s>Uz tu pretpostavku ravnoteža momenata unutrašnjih i vanjskih sila oko ukliještenog kraja pravokutne (duljine l, širine b i visine h) konzole daje:</s>

<s>Točno rješenje glasi:</s>

<s>Galilejevo rješenje razlikuje se samo za konstantu od točnog rješenja.</s><s>Galileo je objavio u djelu Discorsi e dimostrazioni matematische intorno a due nuove scienze attenenti alla meccanica & i movimenti locali (Leiden, 1638).</s>

<s>Problem savijanja grede obrađivao je i Edme Mariotte.</s><s>On je u radu objavljenom 1690. zadržao pretpostavku da neutralna linija prolazi kroz donji brid presjeka, ali je uveo pretpostavku da naprezanja linearno rastu došao je do rješenja:</s>

<s>To je rješenje bliže točnomu od Galilejeva.</s><s>Antoine Parent (16. septembra 1666. – 26. septembra 1716.) je također razmatrao savijanje grede.</s><s>On je 1713. objavio dva rada.</s><s>U prvome je pokazao da Mariotteovo rješenje može vrijediti samo za pravokutan presjek i izveo je izraz za kružni presjek.</s><s>U drugom radu je pošao od pretpostavke da neutralna os prolazi kroz sredinu presjeka i došao do ispravnog rješenja.</s><s>Njegov je rad, međutim, ostao nezapažen, pa su se mnogi inženjeri i dalje služili Mariotteovim rješenjem.</s><s>Točno rješenje problema savijanja grede izveo je 1773.</s><s>Charles-Augustin de Coulomb ne poznavajući Parentovo rješenje.</s><s>On je 1784. riješio problem uvijanja okruglog štapa i uveo pojam modula smicanja.</s>

<s>Zakon linearne ovisnosti opterećenja i pomaka, odnosno naprezanja i deformacije postavio je 1660.</s><s>Robert Hooke na temelju pokusa s oprugama.</s><s>Međutim, taj zakon, poznat kao Hookeov zakon, objavljen je tek 1678. u knjizi De potentia restitutiva, s objašnjenjem kakva sila, takvo produljenje.</s><s>Thomas Young je 1807. matematički izveo Hookeov zakon za jednoosno rastezanje i uveo pojam modula elastičnosti, koji se po njemu naziva i Youngov modul elastičnosti.</s><s>Taj je zakon 1828. dopunio Siméon Denis Poisson i uveo pojam koeficijenta poprečne konstrukcije pri rastezanju, koji se po njemu naziva Poissonov koeficijent ili Poissonov omjer.</s>

<s>Znatno su pridonijeli razvoju teorije elastičnosti i analitičkim metodama o nauci o čvrstoći švicarski matematičari, braća Jakob i Johann Bernoulli.</s><s>Oni su razmatrali deformacije grede pri savijanju.</s><s>Jacob Bernoulli je uveo pretpostavku da pri savijanju poprečni presjeci ostaju ravni.</s><s>On je 1694. utvrdio da je zakrivljenost elastične linije sukladna (proporcionalna) momentu savijanja.</s><s>Daniel Bernoulli, Johannov sin, prvi je izveo diferencijalnu jednakost poprečnih vibracija štapa.</s><s>Leonhard Euler, učenik Daniela Bernoullija, također je proučavao elastične linije.</s><s>On je 1744. izveo izraz za kritičnu silu izvijanja vitkog štapa.</s><s>Augustin Louis Cauchy je 1822., u radu koji je predložio Francuskoj akademiji znanosti, po prvi put odredio prostorno stanje naprezanja i izveo jednakosti ravnoteže diferencijalnog elementa.</s><s>Prvi rad iz teorije ploča objavio je Claude-Louis Navier 1820.</s><s>On je također prvi dao opći pristup rješavanju statički neodređenih zadataka.</s><s>Teoriju savijanja ploča razrađivali su dalje Siméon Denis Poisson, Gustav Robert Kirchhoff i drugi.</s><s>D. J. Žuravski je izveo 1844. izraz za posmična naprezanja pri savijanju grede.</s><s>Emil Winkler je 1858. riješio problem savijanja debeloga zakrivljenog štapa metodama nauke o čvrstoći.</s><s>Točno rješenje tog problema dao je 1881.</s><s>M. Golovin.</s><s>Uvijanja nekih neokruglih presjeka riješio je 1852.</s><s>Adhémar Barré de Saint-Venant.</s><s>Godine 1857.</s><s>Émile Clapeyron izveo je jednakost triju momenata (Clapeyronova jednakost).</s><s>James Clerk Maxwell je 1870. izveo teorem o recipročnosti uplivnih koeficijenata (Maxwellov teorem), a Carlo Alberto Castigliano je 1873. izveo svoj prvi teorem.</s><s>Christian Otto Mohr je objavio rad o kružnicama naprezanja 1895.</s>

<s>Naprezanje</s>

<s>Naprezanje je unutarnja sila raspodijeljena po jedinici površine nekoga čvrstog tijela koja se javlja kao reakcija na djelovanje vanjskih sila ili promjene temperature tijela, s jedinicom paskal (Pa = N/m2).</s><s>Veličina naprezanja u nekoj točki tijela ovisi o orijentaciji presjeka tijela na kojem se naprezanje promatra.</s><s>Takvo puno naprezanje je vektor općenito položen pod kutom prema normali na presjek i može se rastaviti na tri skalarne komponente vezane uz koordinatni sustav: jednu u smjeru normale x na presjek (σx, normalno naprezanje) i dvije na nju okomite koje leže u površini presjeka u smjeru preostalih dviju osi (τxy i τxz, tangencijalna ili posmična naprezanja).</s><s>Uzimajući svaku os kao normalu na odgovarajući presjek, proizlazi da u svakoj točki tijela postoji devet komponenata naprezanja vezanih uz jedan koordinatni sustav, koje djeluju na element volumena i koje tvore takozvani tenzor naprezanja drugoga reda.</s><s>Zbog simetričnosti toga tenzora, koja slijedi iz uvjeta ravnoteže elementa volumena, samo je 6 međusobno različitih komponenata, jer je τij = τji (na primjer  τxy = τyx).</s><s>Kako se u nekoj točki mijenja orijentacija koordinatnih osi, tako se mijenjaju i iznosi naprezanja.</s><s>U svakoj točki tijela moguća je takva orijentacija osi prema kojima postoje samo normalna naprezanja, dok su posmična jednaka nuli.</s><s>Ta tri naprezanja nazivaju se glavnim naprezanjima, od kojih su dva ekstremne vrijednosti σmax i σmin u toj točki.</s>

<s>Zbog unutarnjih silâ javljaju se u tijelu deformacije s kojima su naprezanja vezana preko Hookeova zakona.</s><s>Čvrstoća konstruktivnih elemenata procjenjuje se prema takozvanim  hipotezama ili teorijama čvrstoće u kojima naprezanja imaju presudnu ulogu.</s>

<s>Deformacija</s>

<s>Deformacija (lat. deformatio: izobličenje, nagrđivanje), u fizici, je promjena oblika tijela (rastezanje, svijanje, sukanje i drugo) pod utjecajem vanjskih ili unutarnjih sila.</s><s>Može biti elastična, kada se nakon prestanka djelovanja sile tijelo vraća u prvobitni oblik, i neelastična, kada deformirani oblik ostaje i nakon prestanka djelovanja sile.</s>

<s>Dijagram naprezanja</s>

<s>Dijagram naprezanja prikazuje medusobnu ovisnost σ - vlačnog naprezanja i ε - relativnog produljenja ili linijske vlačne deformacije.</s><s>U materijalu koji je opterećen nekom silom F nastaju naprezanja σ koja uzrokuju njegovo rastezanje.</s><s>Naprezanje σ je omjer sile F i ploštine A presjeka štapa ili šipke (okomitog na smjer sile).</s>

<s>Zbog djelovanja sile F (a time nastalog naprezanja σ) štap ili šipka će se od početne duljine L0 rastegnuti na duljinu L. Tako je produljenje štapa ili šipke:</s>

<s>Relativno produljenje ε (duljinska ili uzdužna deformacija) štapa ili šipke je produljenje s obzirom na početnu duljinu Lo.</s><s>Početno je naprezanje linearno (deformacija je izravno razmjerna naprezanju).</s><s>U području linearnog rastezanja (Hookeov zakon) materijal je elastičan i nakon prestanka djelovanja sile, odnosno naprezanja, on se vraća u početno stanje.</s><s>Youngov modul elastičnosti je omjer naprezanja i relativnog produljenja (u području elastičnosti).</s>

<s>Tehnička granica elastičnosti je naprezanje pri kojem osjetljiva mjerila osjete prvo primjetno trajno produljenje materijala (pri još nepromijenjenom presjeku Ao).</s><s>Nakon te granice (obično na kraju linearnog rastezanja) materijal se rasteže plastično i nakon prestanka djelovanja sile ne vraća se više na početnu duljinu L0, već ostaje određeno trajno produljenje, uz suženje presjeka, A < A0).</s>

<s>Geometrijska svojstva presjeka</s>

<s>Moment tromosti</s>

<s>Moment tromosti ili moment inercije (znak I ili J) je fizikalna veličina koja opisuje tromost ili inerciju čestice ili krutoga tijela pri promjeni brzine ili smjera vrtnje; jednaka je zbroju umnožaka mase m i kvadrata udaljenosti r od osi rotacije svake čestice koja čini tijelo:</s>

<s>Moment tromosti nekog tijela ovisi o obliku tijela, raspodjeli mase, položaju osi rotacije.</s><s>Primjerice, ako je m masa tijela, r njegov polumjer, a os rotacije ujedno i os simetrije, moment inercije na primjer šupljega valjka ili prstena iznosi:</s>

<s>homogeno ispunjenoga valjka ili kružne ploče:</s>

<s>homogeno ispunjene kugle:</s>

<s>Moment tromosti homogeno ispunjenoga štapa kojemu je os rotacije okomita na dužinu štapa nalazi se na polovici dužine štapa:</s>

<s>a na kraju je štapa:</s>

<s>gdje je: r - duljina štapa.</s><s>Mjerna je jedinica momenta tromosti kilogram puta kvadratni metar (kg m2).</s>

<s>Naprezanje i deformiranje štapa 
Na štapu kao modelu tijela kojemu je jedna mjera ili dimenzija (duljina) znatno veća od drugih dviju protraju se jednostavna opterećenja: rastezanje, uvijanje, savijanje, izvijanje i druga.</s>

<s>Vlak i tlak 
Štap je osno ili aksijalno opterećen ako su u svakom presjeku štapa sve komponente osim normalne sile (uzduž osi štapa) jednake nuli.</s><s>U središnjem su dijelu naprezanja jednoliko raspodijeljena i u njima naprezanje iznosi:</s>

<s>gdje je: F - normalna sila na štap, a A - ploština poprečnog presjeka štapa.</s><s>Ako je duljina štapa mnogo veća od debljine (l / h > 10 - 20), može se utjecaj odstupanja od jednolikog naprezanja u rubnom prijelaznom području na produljenje zanemariti.</s><s>Tada je:</s>

<s>gdje je: Δ l - promjena duljine, a l - duljina štapa.</s><s>Primjenom Hookeova zakona izraz prelazi u:</s>

<s>gdje je: E - Youngov modul elastičnosti.</s>

<s>Toplinska naprezanja 
Toplinska naprezanja σT pojavljuju se pri zagrijavanju ili hlađenju čvrsto upetih predmeta:</s>

<s>gdje je: Δ l - dužinsko ili linearno toplinsko istezanje (ili skraćenje):</s>

<s>gdje je: l0 - početna duljina, ΔT - temperaturna razlika, αL - koeficijent toplinskog istezanja.</s><s>Toplinska naprezanja upetog štapa proizlaze:</s>

<s>Toplinska naprezanja ne ovise o izmjerama predmeta i mogu biti katkada vrlo velika.</s>

<s>Uvijanje ili torzija</s>

<s>Uvijanje ili torzija (kasnolat. torsio: uvrtanje, uvijanje) je način opterećenja elementa konstrukcije kada oko neke njegove osi djeluju dva jednaka i suprotno usmjerena momenta (sprega).</s><s>Tako su na primjer opterećena vratila radnih strojeva ili pogonske osovine vozila kada na njih s jedne strane djeluje pogonski moment, a s druge otpor radnoga dijela stroja (na primjer alata) ili kotača vozila.</s><s>Slično mogu biti opterećeni i stupovi nosećih metalnih konstrukcija (dizalica, građevina, dalekovoda i slično), koji su jednim krajem ukliješteni u temelje, a na drugom stalno ili samo povremeno (udari vjetra) djeluje moment koji stup uvija oko njegove uzdužne osi.</s><s>Elementi opterećeni na uvijanje pojednostavnjeno se prikazuju štapovima, a proračunima im se određuju deformacije (kut uvijanja) i naprezanja (posmična, rjeđe i normalna).</s><s>Za ravne štapove poprječnoga kružnog presjeka ili presjeka u obliku kružnoga vijenca (na primjer šuplje osovine) proračuni se s visokom točnošću provode uz pretpostavke da pri uvijanju poprečni presjeci ostaju ravni i okomiti na uzdužnu os štapa, da se presjeci zakreću kao krute figure (polumjeri pri zakretanju ostaju ravni) te da se na presjecima ne javljaju normalna naprezanja.</s><s>U središtu presjeka takva štapa posmično naprezanje jednako je nuli, a na vanjskom rubu presjeka, polumjera r, ono ima maksimalnu vrijednost:</s>

<s>gdje je: Mt - moment torzije ili uvijanja, a Ip polarni moment tromosti površine presjeka u odnosu na središte, koji za puni presjek iznosi:</s>

<s></s>

<s>a za kružni vijenac, unutarnjeg i vanjskog polumjera r i R:</s>

<s></s>

<s>Kod toga će se krajnji presjeci štapa duljine l i modula smicanja G, koji ovisi samo o vrsti materijala štapa, zakrenuti jedan u odnosu na drugoga za kut</s>

<s>Kod uvijanja neokruglih štapova poprečni se presjeci iskrivljuju, navedene pretpostavke više ne vrijede, a proračuni posmičnih naprezanja i deformacija su složeniji.</s><s>U granicama Hookeova zakona moment torzije Mt i kut zakreta φ međusobno su proporcionalni, tako da vrijedi:</s>

<s></s>

<s>D je takozvani direkcijski moment (torzijska krutost) s jedinicom Nm/rad, koji za štap punoga kružnog presjeka ili kružnoga vijenca iznosi G Ip / l.</s>

<s>Savijanje</s>

<s>Za razliku od osnog opterećenja (vlak i tlak), pri savijanju štapa deformira se uzdužna os štapa.</s><s>Deformirana uzdužna os zove se elastična linija ili progib.</s><s>Razlikuje se čisto savijanje i poprečno savijanje.</s><s>Pri čistom savijanju sve su komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta savijanja.</s><s>Pri poprečnom savijanju osim momenta savijanja pojavljuje se još i poprečna sila koja uzrokuje smicanje.</s><s>Čisto savijanje zove se još i savijanje spregovima, a poprečno savijanje, savijanje silama.</s><s>Moment savijanja uzrokuje normalna naprezanja σ koja se zamišljaju razdijeljenima po presjeku razmjerno udaljenosti od neutralne osi.</s><s>Neutralna os prolazi kroz težište promatranog presjeka.</s><s>Klasična jednakost koja određuje naprezanje u gredi uslijed djelovanja čistog savijanja je:</s>

<s>gdje je:  - naprezanje uslijed savijanja, M - moment savijanja oko neutralne osi x, y - okomita udaljenost od neutralne osi x, Ix - moment tromosti ili moment inercije oko neutral osi x.</s>

<s>Maksimalno naprezanje na savijanje σmax pojavljuje se u točki koja je najudaljenija od neutralne osi ymax:</s>

<s>gdje je:  - moment otpora presjeka.</s>

<s>Progib nosača  proizlazi iz diferencijalne jednakosti elastične linije:</s>

<s>Uobičajene vrijednosti za maksimalne momente savijanja, progibe, momente tromosti i momente otpora presjeka date su u tablicama.</s>

<s>Smicanje</s>

<s>Smicanje, smik, posmik ili odrez je opterećenje čvrstoga tijela silama koje djeluju u ravnini nekoga presjeka tijela, a nastoje izazvati paralelno klizanje jednoga dijela presjeka (tankoga sloja) u odnosu na drugi.</s><s>Tako su na primjer opterećene zakovice koje spajaju krajeve metalne vrpce u obruč, kada duž obruča djeluju vlačne sile.</s><s>Jednako tako, kod torzije (uvijanja) štapa okrugla presjeka momentima (na primjer vratilo), presjeci okomiti na uzdužnu os štapa napregnuti su na smicanje.</s><s>Smično opterećenje rabi se u nekim tehnološkim postupcima, kao što je na primjer rezanje škarama, probijanje štancanjem i drugo.</s><s>U elementima konstrukcija smicanje se najčešće javlja zajedno sa savijanjem.</s><s>Posljedica su smicanja reaktivna posmična (tangencijalna) naprezanja τ koja leže u ravnini presjeka tijela, a raspodijeljena su po nekom zakonu ovisno o načinu djelovanja sila i momenata.</s><s>Tako su kod savijanja štapova silama naprezanja raspodijeljena parabolično, kod uvijanja linearno i tako dalje.</s><s>U općem slučaju opterećenja, na svaki beskonačno mali element površine djeluju, osim normalnih, i posmična naprezanja, koja tvore spregove.</s><s>Pod djelovanjem tih spregova dolazi do promjene prvotno pravoga kuta između dviju međusobno okomitih stranica elementa za mali kut γ (kutna deformacija), koji mjeren u radijanima kod elastičnih deformacija iznosi:</s>

<s>gdje je: G - modul smicanja ovisan o materijalu (spreg sila).</s>

<s>Izvijanje</s>

<s>Izvijanje je gubitak stabilnosti štapa ili kojega drugog vitkog elementa konstrukcije osno opterećenoga prekomjerno velikom tlačnom silom.</s><s>Tako se na primjer štap, postavljen okomito na tlo i odozgo pritisnut tlačnom silom, izvije (izboči) u trenutku kada se sila poveća preko određene granice (Eulerova kritična sila).</s><s>Rešetkaste konstrukcije koje su sastavljene od štapova (stupovi dalekovoda, čelični mostovi, dizalice) obično gube stabilnost zbog izvijanja jednog ili više štapova, pa se u proračunima takvih konstrukcija posebna pozornost posvećuje tlačno najopterećenijim štapovima.</s><s>Intenzitet kritične sile pri kojem nastaje izvijanje ovisi o vitkosti štapa, to jest načinu učvršćenja njegovih krajeva i njegovim geometrijskim svojstvima, te o mehaničkim svojstvima materijala od kojega je štap načinjen.</s><s>Kod konstrukcija s pločama, stijenama i ljuskastim elementima izvijanje je složenije.</s><s>Kritičnom silom bavio se švicarski matematičar, fizičar i astronom Leonhard Euler, po kojem je ta sila i nazvana.</s>

<s>Izvori</s>

<s>Klasična mehanika
Mašinstvo
Nauka o materijalima</s>

