Prosto harmoničko gibanje
<s>Prosto harmonijsko oscilovanje ili prosto harmoničko gibanje je najjednostavniji slučaj oscilatornog gibanja, kada koordinata kojom se opisuje položaj gibajuće čestice izražava se pomoću prostih harmonijskih funkcija, sinusa i kosinusa.</s>

<s>Jednostavno harmoničko gibanje se pojavljuje kod harmoničkog oscilatora kojemu je na jednom kraju učvršćena opruga s tijelom mase m na drugom kraju.</s>

<s>Objašnjenje</s>

<s>Uvođenjem potencijalne energije mogu se lako uočiti osnovna svojstva gibanja, a da ne moramo rješiti Newtonovu jednadžbu gibanja.</s><s>Promatrat ćemo gibanje male kuglice na pravcu pod djelovanjem elastične sile.</s><s>Elastičnu silu možemo ostvariti djelovanjem opruge, na koju je tijelo pričvršćeno u određenoj točki.</s><s>Točku prihvata opruge za tijelo ćemo brojiti kao ishodište.</s><s>S lijeve strane te nulte točke računamo udaljenosti s negativnim brojevima, a s desne s pozitivnim brojevima.</s><s>Na kraju opruge svezana je mala kuglica s poznatom masom.</s><s>Kada se tijelo nalazi u točki pričvršćenja opruge, to jest u nultoj točki, tada se ono nalazi u ravnoteži.</s><s>Na njega ne djeluje nikakva sila.</s><s>Pomakom tijela iz točke ravnoteže pojavljuje se elastična sila napete opruge.</s><s>Smjer sile je uvijek uperen prema točki ravnoteže.</s><s>Elastična sila je to veća, što je opruga jače napeta, to jest što je veći pomak tijela od točke ravnoteže.</s><s>Elastična sila je proporcionalna udaljenosti tijela od ishodišta.</s><s>U dvaput većoj udaljenosti tijela od ishodišta sila je dvaput veća, a u triput većoj udaljenosti je sila triput veća, i tako dalje.</s><s>Na mjestu x pravca sila je prema tome jednaka:</s>

<s>gdje je: b2 - konstanta proporcionalnosti određena elastičnošću opruge.</s><s>Negativan predznak sile znači, da sila ima na desnoj strani od točke 0, dakle za pozitivne x, negativan predznak, to jest prema lijevo, a za negativne x smjer prema desno.</s><s>I ovdje se može prilično lako proračunati potencijalna energija, što je tijelo ima na pojedinom mjestu pravca.</s><s>Potencijalna energija tijela u točki jednaka je mehaničkom radu, što ga vršimo, kad tijelo iz položaja ravnoteže protiv elastične sile odvučemo na mjesto x. Na početku puta ima sila vrijednost 0, a na kraju vrijednost - b2∙x. U sredini puta, na mjestu x/2, ima sila vrijednost  -1/2∙b2∙x. Rad što ga vršimo protiv elastične sile, kad tijelo vodimo od 0 do x, jednaka je radu, što bi ga na istom putu vršili pri konstantnoj sili s tom vrijednošću 1/2∙b2∙x. No taj je mehanički rad jednak umnošku te konstantne sile 1/2∙b2∙x i prevaljenog puta x, dakle jednaka 1/2∙b2∙x2.</s><s>Potencijalna energija U na udaljenosti x od položaja ravnoteže dana je jednadžbom:</s>

<s>Vrši se isti rad ako česticu odvučemo na istu udaljenost nalijevo ili nadesno.</s><s>Grafički možemo potencijalnu energiju na mjestu x prikazati točkom na udaljenosti 1/2∙b2 x2 od apcisne osi.</s><s>Niz tih točaka prestavlja parabolu.</s><s>Potencijalna energija ima u točki ravnoteže vrijednost nula, a nalijevo i nadesno raste s kvadratom udaljenosti.</s>

<s>Pored potencijalne energije svako fizičko tijelo u gibanju ima i kinetičku energiju.</s><s>Pri gibanju pod djelovanjem elastične sile ima čestica ukupnu energiju:</s>

<s>Iz toga izraza vidi se temeljno svojstvo gibanja.</s><s>Čestica je vezana na okolinu ishodišta i ne može se kod dane energije po volji daleko udaljiti od te točke.</s><s>Energiju možemo nanijeti kao paralelu, udaljenu za E od osi x. U točkama x0 i - x0, gdje je potencijalna energija U jednaka toj energiji E, postaje brzina tijela jednaka nuli, i čestica se zaustavlja.</s><s>Ta je točka određena jednadžbom:</s>

<s>Na većoj udaljenosti tijelo se ne može gibati jer bi tada potencijalna energija bila veća od sveukupne energije, a to je besmislica.</s><s>Najveća udaljenost od točke ravnoteže prilikom gibanja zove se amplituda.</s><s>Energija harmonijskog gibanja određena je kvadratom amplitude.</s><s>U točkama najveće udaljenosti tijelo prema tome mijenja smjer gibanja i vraća se u položaj ravnoteže.</s><s>Prilikom vraćanja položaju ravnoteže elastična sila ubrzava česticu, pa kinetička energija raste.</s><s>Dobivena kinetička energija omogućuje tijelu da projuri kroz položaj ravnoteže i dopre do suprotne točke okretanja.</s><s>Tijelo se dakle stalno kreće između dvije čvrste točke x0 i - x0, pretvarajući na putu od točke ravnoteže svoju kinetičku energiju u potencijalnu, odnosno pretvarajući na putu prema točki ravnoteže svoju potencijalnu energiju u kinetičku.</s>

<s>Gibanje tijela pod djelovanjem elastične sile nazvano je harmoničkim titranjem, i ono je od temeljne važnosti u valnoj teoriji.</s><s>Valovi se sastoje u takvim periodičkim titranjima nalik na gibanje tijela pod djelovanjem elastične sile.</s><s>Broj titraja u jednoj sekundi zove se frekvencija.</s><s>Vrijeme titraja je ono vrijeme, u kojem se točka vratila na isti položaj na pravcu.</s><s>Između vremena titraja T i frekvencije f postoji očiti odnos:</s>

<s>Ako je vrijeme titraja, na primjer, jednako jednoj stotinki sekunde, tada je frekvencija jednaka stotini ili 100 Hz; u sekundi se 100 puta ponovi isti titraj.</s>

<s>Njihalo</s>

<s>U praksi je najvažnija realizacija harmoničkog titranja njihalo.</s><s>U biti se njihalo sastoji od teške čestice svezane na laku žicu, koja je pričvršćena o jednoj čvrstoj točki.</s><s>Okomita točka ispod spoja je točka ravnoteže njihala.</s><s>Pomakom njihala iz ravnoteže pojavljuje se sila, koja vuče tijelo njihala natrag u položaj ravnoteže.</s><s>Lako se može pokazati, da je sila za svaki pomak proporcionalna udaljenosti od točke ravnoteže, dakle nalik na elastičnu silu.</s>

<s>Promatrajmo sjenu ili projekciju točke na osi x, koja se s konstantnom brzinom vrti po kružnici.</s><s>Ako u jedinici vremena opiše točka kut ω, to opiše u vremenu t kut ω∙t. ω se zove kutna brzina.</s><s>Projekcija ili sjena točke na osi x ima apscisu:</s>

<s>No to je upravo rješenje jednadžbe gibanja:</s>

<s>Harmoničko titranje ili sjena točke koja se vrti može se prikazati grafički da se kao apscisa nanese kut φ = ω∙t. Dužinu projekcije možemo tada za svaki kut ili vrijeme nanijeti kao ordinatu.</s>

<s>Kutna brzina jednaka je omjeru između punog kuta 2∙π i vremena jedne ophodnje T:</s>

<s>Ovdje ćemo uvesti frekvenciju, broj titraja u jednoj sekundi.</s><s>Frekvencija je jednaka omjeru 1/T. Ako čestica izvede jedan titraj u 1/100 s, tada u jednoj sekundi učini 100 titraja.</s><s>Prema prethodnoj jednadžbi vidimo da između kutne brzine i frekvencije postoji odnos:</s>

<s>Rješenje jednadžbe gibanja možemo prema tome pisati u obliku:</s>

<s>Za t = 0 imamo x = A. Dalje x pada i dosegne položaj ravnoteže iza vremena t = T/4. Zatim se kreće na drugu stranu i dosegne tamo maksimalni pomak x = - A u vremenskom razmaku t = T/2. Čitavo se gibanje ponovi poslije vremena t = 1/T. Maksimalni pomak A zove se amplituda titranja.</s>

<s>Rješenje jednadžbe gibanja harmoničkog oscilatora možemo pisati još i u općenitijem obliku:</s>

<s>gdje je: Φ - povoljna konstanta, ω∙2∙π∙T∙t + Φ - zove se faza.</s><s>Faza određuje stanje titranja.</s>

<s>Izvori</s>

<s>Vidi još 
 Oscilacija</s>

<s>Titranja i valovi</s>

