Mnogostrukost
<s>Mnogostrukost je apstraktan topološki prostor u kome svaka tačka ima okolinu koja podseća na euklidski prostor, ali čija globalna struktura može biti komplikovanija.</s><s>Kada se proučavaju mnogostrukosti, pojam dimenzije je važan.</s><s>Na primer, prave su jednodimenzione, a ravni su dvodimenzione.</s>

<s>U jednodimenzionoj mnogostrukosti (jedan-mnogostrukost), svaka tačka ima okolinu koja izgleda kao segment prave.</s><s>Primeri jedan-mnogostrukosti su prava, krug i dva odvojena kruga.</s><s>Kod dva-mnogostrukosti, svaka tačka ima okolinu koja podseća na disk.</s><s>Kao primeri se mogu uzeti ravan, površina sfere i površina torusa.</s>

<s>Mnogostrukosti su važni objekti u matematici i fizici, jer omogućavaju da se komplikovanije strukture izraze i shvate u okvirima relativno dobro razumljivih svojstava jednostavnijih prostora.</s>

<s>Često se na mnogostrukostima definišu dodatne strukture.</s><s>Primeri mnogostrukosti sa dodatnim strukturama su diferencijabilne mnogostrukosti, na kojima možemo da vršimo matematičku analizu, Rimanove mnogostrukosti, na kojima mogu da se definišu razdaljine i uglovi, simplektičke mnogostrukosti koje služe kao fazni prostor u klasičnoj mehanici, i četvorodimenzione pseudo-Rimanove mnogostrukosti, koje modeluju prostor-vreme u opštoj relativnosti.</s>

<s>Da bi se u potpunosti razumela matematika koja leži u osnovi mnogostrukosti, neophodno je poznavati elementarne koncepte koji se tiču skupova i funkcija, a od koristi je imati i radno znanje iz analize i topologije.</s>

<s>Primeri</s>

<s>Kružnica</s>

<s>Kružnica je najjednostavniji primer topološke mnogostrukosti posle prave.</s><s>Topologija ignoriše savijanja, tako da mali odeljak je kružnice jednak malom delu linije.</s><s>Posmatrajmo na primer, gornju polovinu jedinične kružnice (kružnice sa poluprečnikom 1), x2 + y2 = 1, gde su y koordinate pozitivne (označeno žutom na slici 1).</s><s>Svaka tačka ove polukružnice se na jedinstven način može opisati svojom x koordinatom.</s><s>Tako se projektovanjem na prvu koordinatu dobija neprekidno preslikavanje iz polukruga i otvorenog intervala (−1, 1):</s>

<s>i slično</s>

<s>Takva funkcija se zove karta.</s><s>Postoje odgovarajuće karte za donji (crvena), levi (plava) i desni (zelena) deo kružnice.</s><s>Zajedno ovi delovi pokrivaju celu kružnicu i četiri karte formiraju atlas date kružnice.</s>

<s>Gornja i desna karta se preklapaju: njihov presek leži u četvrtini kružnice gde su i x i y koordinate pozitivne.</s><s>Karte χgore i χdesno obe preslikavaju ovaj deo bijektivno na interval (0, 1).</s><s>Stoga se može konstruisati funkcija T sa (0, 1) na samog sebe, koja prvo invertuje žutu kartu da bi došla do kruga, a zatim koristi zelenu kartu nazad na interval.</s><s>Neka je a neki broj iz (0, 1), onda:</s>

<s>Takva funkcija se zove tranziciono preslikavanje.</s>

<s>Gornja, donja, leva i desna karta pokazuju da je kružnica mnogostrukost, ali one ne čine jedini mogući atlas kružnice.</s><s>Karte ne moraju da budu geometrijske projekcije, a njihov broj je donekle stvar izbora.</s><s>Posmatrajmo karte
 
i
 
Ovde je s nagib linije kroz tačku nakoordinatama (x, y) i fiksiranu pivot tačku (−1, 0); t je slika u ogledalu, sa pivot tačkom (+1, 0).</s><s>Inverzno preslikavanje sa s na (x, y) glasi
 
i lako se može proveriti da x2+y2 = 1 za sve vrednosti nagiba s. Ove dve karte čine novi atlas za kružnicu, sa
 
Svaka karta izuzima jednu tačku, ili (−1, 0) za s ili (+1, 0) za t, tako da nijedna karta sama po sebi nije dovoljna da pokrije celu kružnicu.</s><s>Nije moguće pokriti celu kružnicu jednom kartom, jer je kružnica dvostruko povezana, a linija je prosto povezana.</s><s>Treba imati u vidu da je moguće konstuisati kružnicu zalepljivanjem jednog odsečka prave, ali ovo ne čini kartu, jer će se deo kruga preslikavati u obe zalepljene oblasti u isto vreme.</s>

<s>Generalizacije mnogostrukosti</s>

<s>Beskonačno dimenzione mnogostrukosti Definicija mnogostrukosti se može generalizovati izostavljanjem zahteva konačne dimenzionalnosti.</s><s>Stoga je jedna beskonačno dimenziona mnogostrukost topološki prostor koji je lokalno homeotrofan na topološki vektorski prostor.</s><s>Ovo izostavljanje tačka-skup aksioma, omogućava više kardinalnosti i ne-Hausdorfove mnogostrukosti.</s><s>Izostavljanje konačnih dimenzija omogućava da se strukture kao što su Hilbertove mnogostrukosti modeluju na Hilbertovim prostorima, Banahove mnogostrukosti na Banahovim prostorima, i Frešeove mnogostrukosti na Frešeovim prostorima.</s><s>Obično se relaksira jedan ili drugi uslov: mnogostrukosti sa tačka-skup aksiomima se izučavaju u opštoj topologiji, dok se beskonačno dimenzionalne mnogostrukosti izučavaju u funkcionalnoj analizi.</s>

<s>Orbistrukosti Orbistrukost je generalizacija mnogostrukosti koja omogućava izvesne vrste „singularnosti” u topologiji.</s><s>Grubo govoreći, to je prostor koji lokalno izgleda kao kvocijent nekog jednostavnog prostora (e.g. Euklidovog prostora) putem dejstva raznih konačnih grupa.</s><s>Singulariteti korespondiraju sa fiksnim tačkama grupnih akcija, i te akcije moraju da budu kompatibilne u izvesnom smislu.</s>

<s>Algebarske varijante i šeme Nesingularni algebarski varijeteti nad realnim ili kompleksnim brojevima su mnogostrukosti.</s><s>Ovo se generalizuje prvo tako što se dozvoljavaju singularnosti, a zatim se dozvoljavaju različita polja, i treće emulacijom dopunjene konstrukcije mnogostrukosti: kao što je mnogoznačnost spojena u celinu polazeći od otvorenih podskupovima Euklidovog prostora, algebarska mnogoznačnost je spojena u celinu od afinih algebarskih varijeteta, koji su nulti skupovi polinoma nad algebarski zatvorenim poljima.</s><s>Sheme su isto tako spojene u celinu od afinih shema, koje su generalizacije algebarskih varijeteta.</s><s>Obe su povezane sa mnogostrukostima, ali su konstruisane algebarski koristeći snopove umesto atlasa.</s>

<s>Zbog singularnih tačaka, varijetet generalno nije mnogostrukost, mada su lingvistički francusko variété, nemačko Mannigfaltigkeit i englesko manifold uglavnom sinonimni.</s><s>U francuskom algebarski varijetet se naziva une variété algébrique (algebarski varijetet), dok se glatka mnogostrukost naziva une variété différentielle (diferencijalni varijetet).</s>

<s>Slojevit prostor „Slojevit prostor” je prostor koji se može podeliti u komade („slojeve”), pri čemu je svaki sloj mnogostrukost, i slojevi se uklapaju na propisane načine (formalno, filtracijom putem zatvorenih podskupova).</s><s>Postoje razne tehničke definicije.</s><s>Jedna od značajnijih je Vitnijev slojeviti prostor (pogledajte Vitnijeve uslove) glatke mnogostrukosti i tompološki slojevit prostor za topološke mnogostrukosti.</s><s>U osnovne primere se ubrajaju mnogostrukost sa granicom (gornje dimenzionalna mnogostrukost i granica kodimenzije 1) i mnogostrukost sa uglovima (gornje dimenzionalna mnogostrukost, granica kodimenzije 1, kodimenzija 2 ugla).</s><s>Vitnijevi slojeviti prostori su široka klasa prostora, koja obuhvata algebarske varijetete, analitičke varijetete, polualgebarske setove, i subanalitičke setove.</s>

<s>CW-kompleksi CW-kompleks je topološki prostor formiran spajanjem diskova različitih dimenzionalnosti.</s><s>Generalno, rezultirajući prostor je singularan, i stoga nije mnogostrukost.</s><s>Međutim, postoji centralni interes in algebarsku topologiju, a posebno u homotopsku teoriju, jer se oni laki za izračunavanje i singulariteti ne predstavljaju problem.</s>

<s>Homologne mnogostrukosti Homologna mnogostrukost je prostor koji se ponaša kao mnogostrukost sa tačke gledišta homologne teorije.</s><s>Sve one nisu mnogostrukosti, ali (u visokim dimenzijama) mogu se analizirati pomoću teorije hirurgije slično mnogosturkostima, i odsustvo mnogostrukosti je lokalna prepreka, kao u teoriji hirurgije.</s>

<s>Diferencijalni prostori Neka je  neprazan skup na kome je data familija realnih funkcija  izabrana.</s><s>Ona je označena sa .</s><s>Ona predstavlja algebru u pogledu sabiranja i množenja nad tačkama.</s><s>Neka  ima topologiju opisano sa .</s><s>Može se pretpostaviti da i sledeći uslovi važe.</s><s>Prvo: za svako , gde je , i proizvoljno , postoji kompozicija .</s><s>Drugo: svaka funkcija, koja se u svakoj tački  lokalno podudara sa nekom funkcijom iz , takođe pripada .</s><s>Par  za koji važe gornji uslovi, naziva se Sikorskijev diferencijalni prostor.</s>

<s>Izvori</s>

<s>Spoljašnje veze</s>

<s></s>

<s>Topologija
Diferencijalna topologija
Diferencijalna geometrija
Geometrijska topologija</s>

