Diferencijalna geometrija
<s>Diferencijalna geometrija je matematička disciplina koja se bavi izučavanjem geometrijskih svojstava prostora na kojima se mogu primenjivati metode diferencijalnog računa, integralnog računa, linearne algebre i multilinearne algebre u izučavanju geometrijskih problema.</s><s>Primeri takvih prostora su glatke mnogostrukosti, glatke orbistrukosti, stratificirane mnogostrukosti i slično.</s><s>Teorija ravnih i prostornih krivih i površina u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru osnova je za razvoj diferencijalne geometrije tokom 18. i 19. veka.</s>

<s>Od kraja 19. veka diferencijalna geometrija je prerasla u polje koje se generalno odnosi na geometrijske strukture na diferecijabilnim mnogostrukostima.</s><s>Diferencijalna geometrija je usko povezana sa diferencijalnom topologijom i geometrijskim aspektima teorije diferencijalnih jednačina.</s><s>Diferencijalna geometrija površina obuhvata mnoge ključne ideje i tehnike koje su endemične ovom polju.</s>

<s>Istorija razvoja</s>

<s>Diferencijalna geometrija je nastala i razvijala se kao rezultat i u kontekstu matematičke analize krivih i površina.</s><s>Matematička analiza krivih i površina razvijena je kako bi odgovorilo na neka provokativna i neodgovorena pitanja koja su se pojavila u kalkulusu, poput razloga za odnose između složenih oblika i krivih, nizova i analitičkih funkcija.</s><s>Ova neodgovorena pitanja ukazivala su na veće skrivene veze.</s>

<s>Smatra se da je generalnu ideju prirodnih jednačina za dobijanje krivih iz lokalne zakrivljenosti prvi razmatrao Leonard Ojler 1736. godine, a mnogi primeri sa prilično jednostavnim ponašanjem proučavani su tokom 1800-ih.</s>

<s>Kada je utvrđeno da su krive, površine zatvorene krivama i tačke na krivama kvantitativno i generalno povezane matematičkim oblicima, formalno proučavanje prirode krivih i površina postalo je polje proučavanja samo po sebi.</s><s>To je bilo pospešeno Monžovim radom iz 1795. godine, kao i Gausovim objavljivanjem njegove publikacije pod naslovom „Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas”, u časopisu Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores 1827. godine.</s>

<s>Prvobitno primenjena na Euklidski prostor, dodatna istraživanja dovela su do neeuklidskog prostora, metričkog i topoloških prostora.</s>

<s>Grane</s>

<s>Rimanova geometrija</s>

<s>Rimanske geometrijske studije Rimanovih mnogostrukosti, glatkih mnogostrukosti sa Rimanskom metrikom.</s><s>Ovo je koncept rastojanja izražen glatkim pozitivno definisanim simetrično bilinearnim oblikom definisanim u tangencijalnom prostoru u svakoj tački.</s><s>Rimanova geometrija generalizuje Euklidsku geometriju na prostore koji nisu nužno ravni, mada oni još uvek infinitezimalno nalikuju na Euklidov prostor u svakoj tački, i.e. u prvom redu aproksimacije.</s><s>Različiti koncepti zasnovani na dužini, kao što su dužina luka krivih, površina ravninskih područja i zapremina čvrstih tela, imaju prirodne analoge u Rimanovoj geometriji.</s><s>Pojam usmerenog derivata funkcije iz multivarijabilnog računa je u Rimanovoj geometriji proširen na pojam kovarijantnog derivata tenzora.</s><s>Mnogi koncepti i tehnike analize i diferencijalne jednačine su uopšteni na postavke Rimanovih mnogostrukosti.</s>

<s>Difeomorfizam koji se očuvava na rastojanjima između Rimanovih mnogostrukosti naziva se izometrija.</s><s>Taj se pojam može definisati i lokalno, i.e. za mala susedstva tačaka.</s><s>Bilo koje dve regularne krive su lokalno izometrične.</s><s>Međutim, teorema Egregium Karla Fridriha Gausa je pokazala da za površine postojanje lokalne izometrije nameće jake uslove kompatibilnosti njihovih metrika: Gausove zakrivljenosti na odgovarajućim tačkama moraju biti iste.</s><s>U višim dimenzijama, Rimanov tenzor zakrivljenosti je važan invarijantno povezan u tačkama sa Rimanovom mnogostrukosti koja meri koliko je blizu da bi bila ravna.</s><s>Važna klasa Rimanovih mnogostrukosti su Rimanovi simetrični prostori, čija zakrivljenost nije nužno konstantna.</s><s>Oni su najbliži analozi „običnoj” ravni i prostoru koji se razmatraju u Euklidskoj i neeuklidskoj geometriji.</s>

<s>Pseudo-Rimanova geometrija 
Pseudo-Rimanova geometrija generalizuje Rimanovu geometriju do slučaja u kome metrički tenzor ne mora da bude pozitivno-definitivan.</s><s>Specijalan slučaj toga je Lorencova mnogostrukost, koja je matematička osnova Ajnštajnove generalne relativističke teorije gravitacije.</s>

<s>Finslerova geometrija</s>

<s>Finslerova geometrija sadrži Finslerove mnogostrukosti kao svoj glavni predmet izučavanja.</s><s>To je diferencijalna mnogostrukost sa Finslerovom metrikom, odnosno Banačovom normom definisanom na svakom tangentnom prostoru.</s><s>Rimanove mnogostrukosti su posebni slučajevi generalnijih Finslerovih mnogostrukosti.</s><s>Finslerova struktura na mnogostrukosti  je funkcija  takva da je:
  za svako  u  i svako ,
  je beskonačno diferencijabilna u ,
 Vertikalni Hesijan od  je pozitivno konačan.</s>

<s>Izvori</s>

<s>Spoljašnje veze</s>

<s>Matematička analiza</s>

