Red (matematika)
<s>U matematici, red je često predstavljen kao suma članova niza.</s><s>To jest, red predstavlja niz brojeva sa znakom operacije za sabiranje između svakog od njih, npr. ovaj aritmetički niz:</s>

<s>1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100
U većini slučajeva od interesa, članovi niza pojavljuju se po po određenom pravilu, kao što je formula, algoritam, i sl.</s>

<s>Redovi mogu biti konačni ili beskonačni.</s><s>Konačni redovi mogu se rešavati elementarnom algebrom, ali beskonačni redovi zahtijevaju poznavanje matematičke analize.</s>

<s>Primjeri prostih redova su aritmetički redovi kod kojih se suma aritmetičke progresije piše kao:</s>

<s>,</s>

<s>te beskonačni geometrijski redovi, suma geometrijske progresije, koja se može napisati kao:</s>

<s>Apsolutna konvergencija</s>

<s>Za red</s>

<s>se kaže da konvergira apsolutno ako red apsolutne vrijednosti</s>

<s>konvergira.</s><s>U ovom slučaju, originalni red, kao i sve njegove varijante (koje se dobiju regrupisanjem članova), konvergiraju i to prema istoj sumi.</s>

<s>Riemannov teorem o redu kaže da, ako je red uslovno konvergentan, tada se može pronaći takav raspored članova, takav da novi rred divergira.</s><s>Štaviše, ako su an realni i ako je S bilo koji realan broj, može se pronaći takav raspored da novi red konvergira sa limesom S.</s>

<s>Neke vrste beskonačnih redova</s>

<s>Geometrijski red je red kod kojeg se naredni član dobije množenjem prethodnog člana s konstantnim brojem.</s><s>Primjer:</s>

<s>Općenito, geomtrijski red</s>

<s>konvergira ako i samo ako |z| < 1.</s>

<s>Harmonijski red je red</s>

<s>Harmonijski red je divergentan.</s>

<s>Alternativni red je red u kojem članovi periodično mijenjaju znak (+ ili -).</s><s>Primjer:</s>

<s>Red</s>

<s>konvergira ako je r > 1, a divergira ako za r ≤ 1, što se može dokazati integralnim testom, opisanim ispod u dijelu o testovima konvergencije.</s><s>Kao funkcija od r, suma ovog reda je Riemannova zeta funkcija.</s>

<s>Teleskopski red</s>

<s>konvergira ako niz bn konvergira u limes L kada n teži u beskonačnost.</s><s>Vrijednost reda je tada b1 − L.</s>

<s>Testovi konvergencije</s>

<s>Test poređenja 1: Ako je ∑bn  apsolutno konvergentan red takav da je |an | ≤ C |bn | za neki broj C  i za dovoljno veliki broj n , tada i red ∑an  konvergira apsolutno.</s><s>Ako red ∑|bn | divergira, a |an | ≥ |bn | za svaki dovoljno velik n , tada red ∑an  ne konvergira apsolutno (iako može biti uslovno konvergentan, npr. ako se članu an  promijeni znak).</s><s>Test poređenja 2: Ako je ∑bn  apsolutno konvergentan red takav da |an+1 /an | ≤ |bn+1 /bn | za dovoljno veliki n , tada i red ∑an  konvergira apsolutno. ako red ∑|bn | divergira, a |an+1 /an | ≥ |bn+1 /bn | za sve dovoljno velike n , tada red ∑an  ne konvergira apsolutno (iako može biti uslovno konvergentan, npr. ako se članu an  promijeni znak).</s><s>D'Alambertov test: Ako se odnos |an+1/an| približava broju manjem od jedan dok n teži u beskonačnost, tada red ∑ an konvergira apsolutno.</s><s>Kada je taj odnos 1, konvergencija se, najčešće, određuje preko drugog testa.</s><s>Cauchyjev korjeni test: ako postoji konstanta C < 1 takva da je |an|1/n ≤ C za svedovoljno velike n, tada red ∑ an konvergira apsolutno.</s><s>Cauchyjev integralni test: Ako je f(x) pozitivna, monotono opadajuća i neprekidna funckija definisana na intervalu [1, ∞) sa f(n) = an za sve n, tada red ∑ an konvergira ako i samo ako postoji integral ∫1∞ f(x) dx.</s><s>Leibnizov test: Red oblika ∑ (−1)n an (sa an ≥ 0) naziva se alternativni red.</s><s>Takvi redovi konvergiraju ako je niz an monotono opadajući, te ako konvergira prema nuli.</s><s>Potreban uslov konvergencije reda: Ako je lim<sub>n→∞</sup> a n ≠ 0, tada red divergira.</s><s>Za neke posebne vrste redova postoje specijalizovani testovi konvergencije, npr. za Fourierov red postoji Dinijev test.</s>

<s>Potencijalni red</s>

<s>Nekoliko bitnih funkcija može se razviti u Taylorov red; ovo je beskonačan red koji sadrži potenciju nezavisne promjenljive, te se zbog toga nazivaju potencijalni redovi.</s><s>Na primjer, red</s>

<s>konvergira u  za sve x.  Također pogledajte članak radijus konvergencije.</s>

<s>Kroz historiju, matematičari, kao što su Leonhard Euler, su slobodno manipulisali beskonačnim redovima, čak i ako nisu bili konvergentni.</s><s>Kada se pročulo o kalkulusu sa ispravnim i osnovanim temeljima u 19. vijeku, zahtijevani su rigorozni testovi konvergencije.</s>

<s>Dirichletov red</s>

<s>Dirichletov red je onaj red koji ima oblik</s>

<s>gdje je s kompleksan broj.</s><s>Općenito, ovaj red konvergira ako je realni dio od s veći od broja koji se naziva apscisa konvergencije.</s>

<s>Vidite još</s>

<s>Konvergentni redovi
 Divergentni redovi
 Transformacije niza
 Beskonačni proizvod
 Neprekidni razlomak
 Spisak matematičkih redova</s>

<s>Reference</s>

<s>Literatura</s>

<s>Bromwich, T.J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.</s><s>Thomas John I'Anson Bromwich An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.</s>

<s>Vanjske veze</s>

<s>Graphical simulation of series convergence 
 Many example problems on series, with solutions 
 Infinite Series Tutorial</s>

<s>Matematička analiza
 
Nizovi i redovi</s>

