Pitagorine trojke
<s>Pravougli trougao čije su dužine stranica prirodni brojevi zovemo Pitagorin trougao.</s><s>Uredenu trojku prirodnih brojeva (x, y, z) zovemo Pitagorina trojka ako su x i y katete, a z hipotenuza nekog Pitagorinog
trougla, tj. ako vrijedi:</s>

<s>Ako  su x, y i z relativno prosti, onda kažemo da
je (x, y, z) primitivna Pitagorina trojka.</s><s>Proučavanje Pitagorinih trouglova u uskoj je vezi s diofantskom jednačinom</s>

<s>U  svakom Pitagorinom trouglu važi
dužina bar jedne katete djeljiva je sa 3,
dužina bar jedne katete djeljiva  je sa 4,
dužina bar jedne stranice djeljiva je sa  5.</s>

<s>Neka je Pitagorina trojka (x, y, z) primitivna.</s><s>Uocimo najprije da kvadrat prirodnog broja koji nije djeljiv s 3 pri dijeljenju s 3 daje ostatak 1.</s>

<s>Ako  x i y i nisu djeljivi sa 3 , z2
pri dijeljenju sa 3 ima ostatak 2</s>

<s>što je nemoguće jer smo pokazali da kvadrat prirodnog broja pri dijeljenju s 3 daje ostatak  0  ili   1</s>

<s>Pokažimo najprije da kvadrat neparnog broja pri dijeljenju sa 8 daje ostatak 1. Zaista,</s>

<s>Broj  je paran kao proizvod dva susjedna cijela broja.</s><s>Odavde odmah slijedi da x i y ne mogu biti oba neparni jer bi u protivnom broj z2
pri dijeljenju sa 8 davao ostatak 2, tj. bio bi paran, a ne bi bio djeljiv sa 4. Dakle, zbog primitivnosti, možemo pretpostaviti da je x neparan, a y paran.</s><s>Sada je z neparan, pa iz</s>

<s>y2 djeljiv sa 8, odnosno y je djeljiv sa 4.</s>

<s>ili</s>

<s></s>

<s>ili</s>

<s>slijedi da kvadrat cijelog broja pri dijeljenju s 5 može dati ostatak O, 1 ili 4. Pretpostavimo sada da ni x ni y nisu djeljivi sa 5.</s>

<s>Brojevi  x2 i x2 pri dijeljenju s 5 mogu dati ostatke 1 ili 4, a to znači da broj  pri dijeljenju s 5 može dati ostatak 2, 3 ili O.
z2  kao kvadrat cijelog broja ne može pri dijeljenju sa 5 dati ostatak 2 ili 3, pa zakljucujemo da je z2 djeljiv s 5.</s>

<s>Pitagorine trojke mogu biti 3 uzastopna broja.</s>

<s></s>

<s></s>

<s></s>

<s>Tražena Pitagorina trojka je (3,4,5)</s>

<s>Pitagorine trojke mogu biti 3 uzastopna člana aritmetičkog niza</s>

<s>Tražena Pitagorina trojka je  (3k,4k,5k)</s>

<s>Sve primitivne Pitagorine trojke (x,y,z)  kojima je  y paran, date su formulama:
  
  
 
gdje je  i m, n su relativno prosti brojevi različite parnosti.</s>

<s>Neka je :.</s><s>Brojevi    i    su parni pa postoje pa postoje prirodni brojevi  a  i  b takvi da je
   i 
 
 
Kako su   i  to su   i   relativno prosti.</s><s>Prema tome postoje relativno prosti prirodni brojevi   i   takvi da je 
  i 
pa je</s>

<s>Brojevi  m  i  n ne mogu biti oba parni jer su relativno prosti i ne mogu biti oba neparni jer je  neparan.</s><s>Prema tome, brojevi  m i n   su različite parnosti.</s>

<s>Treba  provjeriti da su relativno prosti.</s><s>Pretpostavimo da brojevi   i</s>

<s>imaju zajednički faktor d > 1  ,  d je neparan</s>

<s>Ovo je u kontradikciji s pretpostavkom da su  m i n  pa  i m2  i n2 relativno prosti.</s>

<s>Sve  Pitagorine trojke date su  identitetom</s>

<s>Sve Pitagorine trojke čiji su članovi manji od 51 su</s>

<s>Ima ih 20 ako  trojke  i   smatramo jednakima.</s><s>Među njima je 7 primitivnih.</s>

<s>Broj   primitivnih Pitagorinih trokuta s hipotenuzom  približno jednak</s>

<s>Izvor
Pitagorine trojke</s>

<s>Matematika Brojevi</s>

