Površ
<s>Površ je dvoparametarski skup tačaka u prostoru, tj. skup tačaka prostora čije su koordinate funkcije dva parametra u i v. Naprimjer, funkcije krivolinijskih koordinata tačke na površi.</s><s>U ovom se pretpostavlja da ove funkcije imaju izvode do nekog reda.</s><s>Ako su u i v krivolinijske koordinate na površi, onda se površ može odrediti jednačinama:</s>

<s>gdje su ,   diferencijabilne skalarne funkcije.</s>

<s>odnosno</s>

<s>gdje su ,   realne funkcije klase  tj. imaju neprekidne prve parcijalne derivacije na .</s>

<s>koje se nazivaju parametarske jednačine površi.</s>

<s>Površ drugog reda je skup svih tacaka trodimenzionalnog prostora koje zadovoljavaju jednačinu</s>

<s>za bar jedan  tj. u formuli postoji barem jedan netrivijalni nelinearni član.</s>

<s>primjer</s>

<s>sfera O(R) se može odrediti parametarskim jednačinama:</s>

<s></s>

<s>gdje je u širina, v dužina tačke na sferi.</s><s>Eliminisanjem (isključenjem) u i v iz ovih jednačina dobija se poznata jednačina sfere:</s>

<s>Jednačina sfere (loptine površi) radijusa  s centrom u tački  data je sa</s>

<s>Ovom formulom su zadane dvije funkcije dvije varijable:</s>

<s>Nivo-površi  sfere (presjeci s ravnima paralelnim s  ravni) i presjeci s ravnima paralelnim s  i  ravnima su kruznice.</s>

<s>Jednačina površi se može zadati i u drugim oblicima, naprimjer, u obliku:</s>

<s>ili</s>

<s>Regularne i singularne tačke površi
Parcijalne derivacije vektorske funkcije</s>

<s>) 
su, prema pretpostavci, neprekidne vektorske funkcije  date formulama:</s>

<s></s>

<s>Jacobijeva matrica parametrizacije  je matrica oblika:</s>

<s>Sljedeće četiri tvrdnje su ekvivalentne:
 Vektori  i  linearno su nezavisni.
 r_u(u, v) × r_v(u, v)≠ 0
 Matrica  je ranga 2.
 Barem jedna od funkcijskih determinanti</s>

<s></s>

<s>je različita od nule.</s>

<s>Za tačku T površi F koja odgovara uređenom paru  kažemo da je regularna tačka
parametrizacije  ako je</s>

<s>r_u(u_0, v_0) × r_v(u_0, v_0)≠ 0</s>

<s>Za tačku T površi F koja odgovara uređenom paru  kažemo da je singularna tačka
parametrizacije  ako je</s>

<s>r_u(u_0, v_0) × r_v(u_0, v_0)= 0</s>

<s>Neka površ  može imati više različitih parametrizacija.</s><s>Tačka površi koja je singularna za jednu parametrizaciju nemora biti singularna i za ostale njezine parametrizacije.</s>

<s>Za površ  kažemo da je regularna ako svaka njezina tačka ima u  okolinu s regularnom parametrizacijom.</s>

<s>Za tačku  kažemo da je singularna tačka površi ako je ona singularna tačka svake njene parametrizacije.</s>

<s>Sfera je primjer regularne površi koja se ne može pokriti jednom regularnom parametrizacijom.</s>

<s>Standardna parametrizacija sfere poluprečnika  je</s>

<s>gdje je  × .</s>

<s>Pri toj parametrizaciji u-krive (v je konstanta) nazivamo paralelama, a v-krive (u je konstanta) meridijanima.</s><s>Polovi, tj. tačke , singularne su tačke te parametrizacije.</s><s>Međutim, svaka se sfera može pokriti već s dvije regularne parametrizacije.</s>

<s>U sigularnoj tački površ samu sebe siječe, dodiruje i sl.</s><s>Ako su sve toačke neke krive na površi singularne, onda takvu liniju nazivamo singularnom linijom površi.</s>

<s>Krivolinijski ili Gaussov koordinatni sistem na površ</s>

<s>Ako se u jednačinama</s>

<s>, ,</s>

<s>za jedan parametar uzme konstanta, dok drugi mijenja vrijednosti unutar područja , parametarski je zadana prostorna kriva koja leži na zadanoj površi.</s>

<s>Tako je za  jednačina</s>

<s>, ,</s>

<s>parametarski zadana tzv. u − kriva površi, a za  jednačina</s>

<s>, ,</s>

<s>parametarski je zadana tzv. v − kriva površi.</s><s>Na taj način će za različite konstante , , () na zadanoj površi nastati dva sistema prostornih krivi pri čemu svaka kriva jednog sistema siječe svaku krivu drugog sistema u jednoj i samo jednoj toački.</s>

<s>Svaka tačka na površii biće određena sjecištem dviju prostornih kriviiz različitih sistema.</s><s>Takve krive nazivamo koordinatnim ili parametarskim krivama površi.</s><s>Odabirom po jedne krive iz svakog sistema za koordinantne ose, a njihovog sjecišta za ishodište, uspostavlja se krivolinijski ili Gaussov koordinatni sistem na površi.</s><s>Svakoj
tački površi pridružena su dva realna broja   i , tzv. krivolinijske ili Gaussove koordinate tačke, koje određuju krive prvog i drugog sistema koje se sijeku u toj tački.</s>

<s>Prema pretpostavci, funkcije iz jednačine</s>

<s>, ,</s>

<s>imaju neprekidne prve parcijalne derivacije po  i po , koordinatne krive u svakoj svojoj tački imaju tangentu.</s>

<s>Vektori</s>

<s></s>

<s>vektori su tangenata koordinatnih krivi.</s><s>Njihove su dužine:</s>

<s>Eksplicitna jednačina površi</s>

<s>Neka je  područje (otvoren i povezan skup) u  i neka 
ima na   neprekidne prve parcijalne derivacije po   i  .</s><s>Graf funkcije  nazivamo regularnom (glatkom) površi.</s>

<s>Jednačinu takve površi nazivamo eksplicitnom i ona glasi</s>

<s>Da bi se s parametarskog oblika zadavanja površi moglo preči na eksplicitan oblik barem jedna od funkcijskih determinanti (iv) mora biti različita od nule.</s>

<s>Možemo izvršiti inverziju prvih dviju jednačina od
 i postaviti dvije nove, jednoznačine, neprekidne funkcije
 i koje imaju neprekidne prve parcijalne derivacije u okolini tačke
 koja odgovara tački .</s>

<s>Pri tome vrijedi</s>

<s>i</s>

<s>Nakon uvrštavanja tih dviju funkcija u jednačinu  nastaje jednoznačnu, složena i neprekidna funkcija</s>

<s>od  i , a jednačina</s>

<s>predstavlja eksplicitan oblik zadavanja površi.</s><s>Ako su uvažene sve pretpostavke, funkcija  mora imati neprekidne prve parcijalne derivacije po  i .</s>

<s>Implicitna jednačina površi
Neka je  područje u  i neka je funkcija  klase
 tj. prve parcijalne derivacije  su neprekidne funkcije na</s>

<s>Jednačinu</s>

<s>nazivamo implicitnom površi, ako postoji barem jedna tačka
 takva da zadovoljava jednačinu i da je u njoj barem jedna od parcijalnih derivacija
 različita od .</s><s>Ovaj uslov osigurava egzistenciju regularnog dijela površi.</s>

<s>Ako je , postoji jednoznačna, neprekidna funkcija
 koja u okolini tačke  identički zadovoljava vezu</s>

<s></s>

<s>i u toj tački funkcija  ima neprekidne prve parcijalne derivacije po
 i .</s>

<s>Tačku  u kojoj su ispunjeni navedeni uslovi zovemo običnom  ili regularnom tačkom površi.</s>

<s>Kako bi barem jedna od parcijalnih derivacija funkcije  bila različita od nule, za regularnu tačku površi mora biti zadovoljen uslov</s>

<s>Kako je   singularna toačka implicitno zadane površi ako ona zadovoljava jednačinu   i ako vrijedi</s>

<s>Tangentna ravan i normala na površ
Bilo koja kriva na regularnoj površi F zadanoj vektorskom jednačinom</s>

<s>može biti zadana parametarskom jednačinom
,</s>

<s>gdje za  vrijedi da se  nalazi u području , a funkcije ) i  neprekidne su funkcije od .</s>

<s>Ako kriva u svakoj tački ima tangentu moraju i derivacije  i  biti neprekidne.</s><s>Kriva mora zadovoljavati jednačinu površi, vektori tačaka na krivoj dati su izrazom</s>

<s>Vektor tangente na tu krivu je</s>

<s>Proizvoljnom čvrstom tačkom   površi  prolazi beskonačno mnogo prostornih
krivi koje leže na površi.</s><s>Za sve takve krive vektori
 i  biće jednaki, budući da oni zavise samo o koordinatama 
i  tačke T, dok  ́će derivacije  i   za pojedine krive biti različite.</s><s>Svi vektori tangenata na krivu koje prolaze tačkom T linearne su kombinacije vektora</s>

<s></s>

<s>Tangente prostornih krivi koje su na površi i prolaze tačkom  T leže  u ravni koju određuju tangentni vektori koordinatnih krivi te tačke.</s><s>Ta se ravan naziva tangentna  ravan na površ u tački T, a tačka T je njeno  diralište.</s>

<s>Jednadnačina tangentne ravnine u parametarskom obliku je</s>

<s>gdje je  radijus-vektor bilo koje tačke tangenne  ravni,  radijus- vektor dirališta
, a  i  realni parametri koji poprimaju, nezavisno jedan o drugom,
vrijednosti između  i</s>

<s>Vektor</s>

<s>x</s>

<s>normalan je na vektore</s>

<s></s>

<s>i prema tome i na tangentnu ravan u tački T. Naziva se vektorom normale površi.</s>

<s>Vektori</s>

<s>svojim međusobnim položajem određuju orjentaciju u tangentnoj ravni te tačke.</s><s>Ona je pozitivna ako prvi vektor prelazi na drugi vektor vrtnjom za neki ugao u pozitivnom smislu (suprotno smjeru kazaljke na satu).</s>

<s>Vektor</s>

<s>(x )/</s>

<s>naziva se jediničnim vektorm normale  površi.</s><s>On ima pozitivnu orijentaciju ako s pozitivnim smjerom vrtnje u tangentnoj ravni tačke T čini desni vijak.</s><s>Kako  vektor  leži u tangentnoj ravni, koja ja normalna na vektor normale.</s><s>Jednaćina tangentne ravni može se napisati pomoću mješovitog proizvoda</s>

<s>x</s>

<s>Može se napisati i u skalarnim komponentama pomoću determinante</s>

<s>gdje su ,, koordinate bilo koje tačke tangentne ravni, ,
,  koordinate dirališta T, a u derivacije koordinata uvrštavaju se vrijednosti
 i  koje odgovaraju tački T.</s>

<s>Jednačina normale površi u tački T je</s>

<s>×</s>

<s>gdje je  realni parametar koji prima vrijednosti između  i</s>

<s>Linijske površi
Linijska površ je skup pravih prostora neprekinuto povezanih po nekom zakonu .</s><s>Nastaju na sljedeći način:
klizanjem prave po nekoj prostornoj krivoj.</s><s>Prava koja klizi naziva se izvodnica ili generatrisa, a kriva  po kojoj klize, ravnalica ili greben površi
povezivanjem triju krivih (ravnalica) transverzalama.</s>

<s>Ako su za ravnalice odabrane algebarske krive, nastaje algebarska površ.</s><s>Za ovaj prikaz bitne su samo površi koje nastaju povezivanjem triju algebarskih ravnalica transverzalama.</s>

<s>Njihova se konstrukcija može izvesti na sljedeći način:</s>

<s>Neka su zadane krive ,  i .</s><s>Na krivoj  uoči se tačka A koja pravim spoji sa svim talkama krive  čime je formirana kupa .</s>

<s>Kriva  probada kupu  u konačnom broju tačaka.</s>

<s>Jednim tako dobivenim probodištem prolazi izvodnica kupe , a to je ujedno i transverzala krivih ,  i .</s><s>Taj se postupak ponavlja za ostale tačke krive čcime je formiran jednoparametarski skup izvodnica .</s><s>Sve takve izvodnice i čine linijsku površ.</s>

<s>Teorema (o redu linijske povrsi)</s>

<s>Ako su algebarske krive ,  i  redova ,  i . i ako se krive ,  sijeku u  tačaka krive  i  u , a krive  i  u  tacaka, tada je linijska površ zadana krivama ,  i  reda:</s>

<s>Svaka algebarska linijska površ ima stepen.</s>

<s>Linijske površi mogu biti razmotive i nerazmotive ili vitopere.</s><s>Vitopere linijske površi ne mogu se razmotati u ravni jer su im svake dvije neizmjerno blize izvodnice mimoilazne prave.</s>

<s>Elipsoid</s>

<s>Elipsoid (troosi)</s>

<s>Ako je  tada kažemo da je  velika poluosa,  srednja poluosa i  mala poluosa elipsoida.</s>

<s>Ako su dvije poluose jednake, npr.  tada dobijemo rotacioni
elipsoid.</s><s>Ako su sve tri poluose jednake dobijamo sferu ili loptinu površ.</s>

<s>je jednačina elipsoida čije su glavne ose paralne s koordinatnim osama  , a dužine poluosa su  redom.</s>

<s>Nivo plohe elipsoida kao i presjeci s ravnima paralelnim s  i  ravnima su elipse.</s>

<s>Hiperboloid</s>

<s>Jednokrilni hiperboloid zadan je formulom</s>

<s>Dvokrilni hiperboloid zadan je s formulom</s>

<s>Nivo površi hiperboloida su elipse, a presjeci s ravnima koje su paralelne s  osom su hiperbole.</s><s>Kao i kod ostalih površi, pomoću transformacije  pomićemo središte hiperboloida, a cikličkom zamjenom varijabli nastaju hiperboloidi koji se protežu u smjeru ostalih koordinatnih osi.</s>

<s>Konusne površi</s>

<s>Konus (kupa) je zadana formulom</s>

<s>Ovim izrazom su zadane dvije funkcije od dvije varijable:</s>

<s>.</s>

<s>Želimo pronaći jednačinu konusne površi čije izvodnice prolaze kroz koordinantni početak koordinatnog sistema i  kroz tačke krive
, 
Na toj krivoj odaberimo proizvoljnu tačku .</s>

<s>Jednačina izvodnice (prave) kroz tačke  i  glasi</s>

<s>Vrijedi:</s>

<s>Jednačina konusne površi čije izvodnice prolaze kroz koordinantni početak i kroz tačke
krive
,</s>

<s>Kako tačka  leži na krivoj mora vrijediti  dobijamo opštu jednačinu konusne površi</s>

<s>Jednačina konusne površi čije izvodnice prolaze kroz koordinantni početak i kroz tačke
krive
 i  je</s>

<s>Valjkaste površi</s>

<s>Izvodnica je paralelna sa osom  i prolazi kroz krivu  
Opšta jednačina površi   data je sa (nedostaje z)
Izvodnica je paralelna sa osom  i prolazi kroz krivu  
Opšta jednačina površi   data je sa  (nedostaje x)
Izvodnica je paralelna sa osom  i prolazi kroz krivu  
Opšta jednačina površi   data je sa  (nedostaje y)</s>

<s>Rotacione površi</s>

<s>Jednačina rotacione površi  koja nastaje rotacijom krive  oko ose</s>

<s>Neka je  udaljenost proizvoljne tačke  rotacione povrsi od ose .</s><s>Tada je jednačina rotacione površi kojoj je osa  osa rotacije data sa</s>

<s>uopšteno sa</s>

<s>Jednačina rotacione površi koja nastaje rotacijom krive  ili  oko ose  data je  sa</s>

<s>uopšteno sa</s>

<s>Jednačina rotacione površi koja nastaje rotacijom krive  ili  oko ose  je data sa</s>

<s>uopšteno sa</s>

<s>Izvori
Plohe drugog reda</s>

<s>NATKRIVANJE PARABOLIČKIM KONOIDOM</s>

<s>Valjkaste (cilindrične) plohe</s>

<s>Gaussova i srednja zakrivljenost ploha</s>

<s>Geometrija
Topologija</s>

