facts:
Sachverhalt:
A.
A.a. A._, geboren 1964, Staatsangehörige von Brasilien, reiste im August 2003 in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei ihrem Schweizer Ehegatten, den sie im Dezember 2002 in ihrer Heimat geheiratet hatte. Das Paar hat zwei Töchter (geb. 1997 und 1999), welche mit der Mutter in die Schweiz einreisten und über das Schweizer Bürgerrecht verfügen. Dem Ehepaar wurde per 1. August 2010 das Getrenntleben bewilligt; die Kinder wurden unter die Obhut der Mutter gestellt. Mit Blick auf die Kindesinteressen sowie ein im Oktober 2013 eingeleitetes IV-Verfahren wurde A._ die Aufenthaltsbewilligung in der Folge regelmässig verlängert.
A.b. Von August 2003 bis August 2018 hat A._ gemeinsam mit ihrem Ehemann und ihren beiden Töchtern, bzw. ab September 2010 nur mit diesen, Sozialhilfe bezogen. Ab 1. September 2018 wurde sie als Einzelperson von der Fürsorge unterstützt. Nach einer Verwarnung im Jahr 2008 und drei Ermahnungen in den Jahren 2016, 2017 und 2018 verweigerte ihr das Migrationsamt des Kantons Zürich am 26. November 2019 die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung und wies sie per 25. Februar 2020 aus der Schweiz weg.
B.
Die gegen die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 5. August 2020 und Urteil des Verwaltungsgericht des Kantons Zürich vom 18. Februar 2021).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und eventuell subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 1. April 2021 gelangt A._ an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des Urteils der Vorinstanz und die Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung. Eventualiter sei das Verfahren zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen; subeventualiter sei ihr nach Erhalt des Bundesgerichtsentscheids eine Frist von mindestens sechs Monaten anzusetzen, um die Schweiz zu verlassen. Ausserdem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Mit Präsidialverfügung vom 7. April 2021 wurde der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Die Vorinstanz und die Sicherheitsdirektion verzichten auf eine Vernehmlassung. Das Migrationsamt und das Staatssekretariat für Migration haben keine Stellungnahme eingereicht.

considerations:
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Einzutreten ist auf Beschwerden, die sich gegen die Nichtverlängerung einer Aufenthaltsbewilligung richten, sofern in vertretbarer Weise ein Anspruch auf eine Verlängerung geltend gemacht wird; ob die jeweiligen Voraussetzungen tatsächlich gegeben sind, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.1, 497 E. 3.3).
1.2. Die Beschwerdeführerin beruft sich in vertretbarer Weise einerseits auf <ref-law> (SR 142.20) und andererseits auf den Schutz des Privat- und Familienlebens gemäss Art. 8 EMRK. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig und die Beschwerdeführerin dazu legitimiert (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Auf die im Übrigen frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde (Art. 42 und Art. 100 Abs. 1 BGG) ist einzutreten. Es erübrigt sich insofern die eventuell subsidiär eingereichte Verfassungsbeschwerde zu prüfen. Der Antrag auf Verlängerung der Ausreisefrist ist nicht zulässig, da er die Wegweisung betrifft (<ref-law>).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zu Grunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (<ref-law>). Gemäss <ref-law> kann die Feststellung des Sachverhalts und damit auch die Beweiswürdigung gerügt werden, wenn die Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ist (<ref-law>) oder auf einer Rechtsverletzung beruht und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (<ref-ruling> E. 4.1.2). Die Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich, wenn sie offensichtlich unhaltbar oder aktenwidrig ist oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft, das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges oder entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 3.3.4).
3.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, dass ihr ein Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung gestützt auf <ref-law> zustehe.
3.1. Ausländische Ehegatten von Schweizerinnen und Schweizern (<ref-law>) haben, unter Vorbehalt von Erlöschensgründen (<ref-law>), Anspruch auf Erteilung und Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung, soweit sie mit diesen zusammenwohnen oder, bei fortdauernder Ehegemeinschaft, ein wichtiger Grund für das Getrenntleben besteht (<ref-law>). Im vorliegenden Fall ist unbestritten, dass die Beschwerdeführerin seit dem 1. August 2010 getrennt von ihrem Schweizer Ehemann lebt, ohne dass die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt wären. Sie kann sich deshalb nicht auf <ref-law> berufen.
3.2. Nach Auflösen bzw. definitivem Scheitern der Ehe besteht der Bewilligungsanspruch fort, wenn das Zusammenleben mindestens drei Jahre gedauert und die betroffene Person sich hier erfolgreich integriert hat (<ref-law> ["Integrationsklausel"]; vgl. <ref-ruling> E. 3). Des Weiteren kann das in Art. 8 EMRK geschützte Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens einen solchen Anspruch begründen, wenn einer Ausländerin, deren Familienangehörige mit gefestigtem Aufenthaltsrecht hier weilen, die Anwesenheit untersagt und damit das Familienleben vereitelt wird (<ref-ruling> E. 4.2).
3.3. Eine im Sinne von <ref-law> (in der Fassung vom 1. Januar 2019) erfolgreiche Integration ist gegeben, wenn die in <ref-law> verankerten Integrationskriterien erfüllt sind. Diese seit 1. Januar 2019 in Kraft stehende Bestimmung ist anwendbar, da das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung im Juni 2019 gestellt wurde (vgl. <ref-law>).
Gemäss <ref-law> liegt eine erfolgreiche Integration vor, wenn die Ausländerin oder der Ausländer namentlich die rechtsstaatliche Ordnung und die Werte der Bundesverfassung respektiert (lit. a und b), sowie den Willen zur Teilnahme am Wirtschaftsleben und zum Erwerb der am Wohnort gesprochenen Landessprache bekundet (lit. c und d). Gemäss <ref-law> ist der Situation von Personen, welche die Integrationskriterien von <ref-law> der Sprachkompetenzen (lit. c) und der Teilnahme am Wirtschaftsleben oder am Erwerb von Bildung (lit. d) aufgrund einer Behinderung, Krankheit oder anderen gewichtigen persönlichen Umständen nicht oder nur unter erschwerten Bedingungen erfüllen können, angemessen Rechnung zu tragen.
3.4. Grundsätzlich liegt keine erfolgreiche Integration vor, wenn eine Person kein Erwerbseinkommen erwirtschaften kann, welches ihren Konsum zu decken vermag, und während einer substanziellen Zeitdauer von Sozialleistungen abhängig ist (Urteile 2C_748/2014 vom 12. Januar 2015 E.3.2; 2C_857/2010 vom 22. August 2011 E. 2.3.1; 2C_546/2010 vom 30. November 2010 E. 5.2.3 f.). Nicht erforderlich ist eine besonders qualifizierte berufliche Karriere (Urteil 2C_430/2011 vom 11. Oktober 2011 E. 4.2). Die Sprachkenntnisse sind am sozioprofessionellen Umfeld zu messen; genügen sie für diese, kann der Grad der Sprachbeherrschung dem Betroffenen nicht entgegen gehalten werden (Urteil 2C_839/2010 vom 25. Februar 2011 E. 7.1.2).
3.5. Die Vorinstanz stellt nicht in Frage, dass die Eheleute mehr als drei Jahre zusammengelebt hätten, verneint jedoch einen Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung gestützt auf <ref-law> mit der Begründung, dass eine "offensichtlich ungenügende Verwurzelung" in den "hiesigen Verhältnissen" bestehe.
3.6. Die Beurteilung der Vorinstanz ist nicht zu beanstanden:
3.6.1. Angesichts der von August 2003 bis August 2020 ununterbrochenen Sozialhilfeabhängigkeit der Beschwerdeführerin muss die wirtschaftliche Integration als gescheitert qualifiziert werden. Der Einwand, dass keine mutwillig verursachten Schulden vorlägen, ändert an dieser Feststellung nichts. Die Beschwerdeführerin geht auch fehl, wenn sie davon ausgeht, dass die Integrationsbeurteilung immer im Rahmen einer zukunftsgerichteten Gesamtbetrachtung im Entscheidzeitpunkt zu erfolgen habe. Die Integration einer Ausländerin ist insofern nicht schon deshalb als gelungen zu qualifizieren, weil sie sich nach fast siebzehnjähriger staatlicher Unterstützung von der Sozialhilfe abgemeldet hat, keine Vorstrafen bestehen, sowie Grundkenntnisse der deutschen Sprache vorliegen. Wenn der Beschwerdeführerin zwar positiv anzurechnen ist, dass sie mit der Verrichtung der Hausarbeit und der Erziehung von zwei Kindern, ab 2010 als alleinstehende Mutter, eine grundlegende und notwendige Arbeit wahrgenommen hat, so bestanden soweit ersichtlich keine unüberwindbaren Hürden, welche ihr den Einstieg in den Schweizer Arbeitsmarkt verwehrt hätten.
3.6.2. In diesem Zusammenhang ist darauf hinzuweisen, dass ausländerrechtlich einer alleinerziehenden Mutter etwa nach dem 3. Altersjahr des Kindes grundsätzlich eine Erwerbstätigkeit zugemutet wird, wobei grundsätzlich auch Fremdbetreuungskosten entscheidwesentlich sein können (vgl. Urteil vom 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 5.4). Da die zwei Töchter der Beschwerdeführerin bei ihrer Einreise in die Schweiz schon vier, beziehungsweise sechs Jahre alt waren, muss die Beschwerdeführerin sich insofern entgegen halten lassen, dass sie erst im September 2009, ein knappes Jahr nach der mit Blick auf ihre Sozialhilfeabhängigkeit ausgesprochenen ausländerrechtlichen Verwarnung, eine Teilzeitbeschäftigung im zweiten Arbeitsmarkt aufgenommen hat. Einer früheren Aufnahme der Berufstätigkeit standen insbesondere auch keine gesundheitlichen Probleme entgegen, da solche erst seit November 2011 aktenkundig sind.
3.6.3. Zu Ungunsten einer erfolgreichen Integrierung sprechen ferner die mangelhaften Sprachkenntnisse der Beschwerdeführerin nach einer ungefähr 18-jährigen Anwesenheit in der Schweiz. So hat sie zwar von November 2004 bis Februar 2005 einen Deutschkurs für fremdsprachige Frauen belegt, ihre mangelnden Deutschkenntnissen waren jedoch mit ausschlaggebend dafür, dass ihr der Einstieg in den ersten Arbeitsmarkt auch nach Absolvierung eines Arbeitsvermittlungsprogramms und einer langjährigen Präsenz in der Schweiz nicht gelang. Nach dem Gesagten mangelt es insofern im Rahmen einer Gesamtbetrachtung an der erforderlichen Integration gemäss <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>. Wenn zwar im Lichte von <ref-law> zu berücksichtigen ist, dass die Beschwerdeführerin unter gesundheitlichen Problemen leidet, welche insbesondere dazu führten, dass ihr im Jahre 2012 eine Hüft-Totalprothese eingesetzt werden musste, so vermögen diese Umstände nicht die Beurteilung der Vorinstanz zu entkräften, es liege keine erfolgreiche Integration vor.
Der Beschwerdeführerin kommt daher kein eigenständiger, nachehelicher Aufenthaltsanspruch gestützt auf <ref-law> zu. Im Übrigen liegt auch kein Härtefall im Sinne von <ref-law> vor.
4.
Zu prüfen ist des Weiteren, ob die Beschwerdeführerin aufgrund eines besonderen Abhängigkeitsverhältnis zwischen ihr und ihren Töchtern, beziehungsweise aufgrund der engen und echten Beziehung zu diesen ein Aufenthaltsrecht gestützt auf Art. 8 EMRK erwächst.
4.1. Das Recht auf Achtung des Familienlebens im Sinne von Art. 8 EMRK ist berührt, wenn eine staatliche Entfernungs- oder Fernhaltemassnahme eine nahe, echte und tatsächlich gelebte familiäre Beziehung einer in der Schweiz gefestigt anwesenheitsberechtigten Person beeinträchtigt, ohne dass es dieser ohne Weiteres möglich bzw. zumutbar wäre, ihr Familienleben andernorts zu pflegen (<ref-ruling> E. 3.3). Zum geschützten Familienkreis gehört in erster Linie die Kernfamilie, d.h. die Gemeinschaft der Ehegatten mit ihren minderjährigen Kindern (<ref-ruling> E. 5.3). Das Verhältnis zwischen Eltern und ihren volljährigen Kindern ist nur geeignet, einen Bewilligungsanspruch zu begründen, falls - über die üblichen Bindungen im Eltern-Kind-Verhältnis hinaus - ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis besteht (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1d und e). Ein solches kann sich aus Betreuungs- oder Pflegebedürfnissen bei körperlichen oder geistigen Behinderungen und schwerwiegenden Krankheiten ergeben. Nach der bundesgerichtlichen Praxis soll ein Abhängigkeitsverhältnis zwischen Eltern und ihren erwachsenen Kindern indessen nicht leichthin angenommen werden. Allein das Vorliegen eines Pflege- und Betreuungsbedürfnisses genügt nicht; erforderlich ist zusätzlich, dass die betreffende Pflege- und Betreuungsleistung unabdingbar von den in der Schweiz anwesenheitsberechtigten Angehörigen erbracht werden muss (vgl. Urteile 2C_401/2017 vom 26. März 2018 E. 5.3.1; 2C_5/2017 vom 23. Juni 2017 E. 2). Liegt kein derartiges Verhältnis vor, ist der Schutzbereich von Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. <ref-law> (Familienleben) nicht berührt (vgl. 2A.20/2002 vom 13. Mai 2002 E. 1.3 mit Hinweisen).
4.2. Die Vorinstanz führte diesbezüglich aus, dass zwar unstreitig eine enge Beziehung zwischen der Beschwerdeführerin und ihren im gleichen Haushalt lebenden volljährigen Töchtern bestehe. Soweit ersichtlich, sei dies jedoch in erster Linie auf die finanzielle Lage der Beschwerdeführerin und ihrer jüngsten, sich noch in der Berufsausbildung befindenden Tochter zurückzuführen. Dass die Beschwerdeführerin auf die Betreuung ihrer beiden Tochter angewiesen wäre, sei nicht substanziiert dargetan worden. Die Beschwerdeführerin habe insbesondere anfangs Oktober 2019 noch ausgesagt, den Haushalt zu machen und von den Töchtern primär beim Schreiben von Bewerbungen unterstützt zu werden, was kein besonderes Abhängigkeitsverhältnis belegt. Ausserdem sei die Beschwerdeführerin gesundheitlich nicht derart beeinträchtigt, dass sie auf regelmässige Pflege und Betreuung angewiesen wäre.
4.3. Was die Beschwerdeführerin dagegen einwendet, verfängt nicht.
Sie legt nicht dar, dass und inwiefern ausschliesslich ihre Töchter ihr aufgrund ihrer gesundheitlichen Einschränkungen behilflich sein können. Sowohl das Tragen von schweren Gegenständen sowie die alltägliche Hilfe bei der Verrichtung von Hausarbeit und Einkäufen können ohne Weiteres auch von anderen Personen ausgeführt werden. So wird mithin weder dargetan noch in irgendeiner Weise belegt, dass die psychische Abhängigkeit dergestalt sei, dass ein Zusammenleben unabdingbar wäre und der Schutzbereich von Art. 8 EMRK/<ref-law> eröffnet wäre.
Schliesslich geht auch das Argument fehl, dass Eltern, die mit ihren erwachsenen Kindern zusammenleben und zu diesen eine besonders intensive Beziehung pflegen, schlechter gestellt wären als Konkubinatspartner (vgl. Urteil 2C_702/2011 vom 23. Februar E. 3.1). Eine enge und tatsächlich gelebte Beziehung zwischen Eltern und ihren erwachsenen Kindern, ist, ohne dass ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis vorläge, unzureichend, um einen Aufenthaltsanspruch gestützt auf Art. 8 EMRK begründen zu können.
5.
Nach dem Gesagten ist festzuhalten, dass die Beschwerdeführerin weder gestützt auf Bundesrecht noch auf Konventionsrecht einen Aufenthaltsanspruch ableiten kann. Im Übrigen würde selbst bei Bejahung eines grundsätzlichen Anspruchs der Widerrufsgrund nach Art. 62 Abs. 1 lit. e i.V.m. <ref-law> vorliegen und die Verweigerung verhältnismässig erscheinen. Bei dieser Sachlage ist die Beschwerde abzuweisen.
6.
Die Beschwerde erweist sich nach dem Gesagten als unbegründet. Sie ist abzuweisen. Die Verfahrenskosten sind nach dem oben Ausgeführten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

rulings:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. September 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: de Sépibus


facts:
Sachverhalt:
A.
Der 1984 geborene A._ war Metallbauer bei der B._ AG und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (Suva) obligatorisch unfallversichert. Am 25. Mai 2016 geriet er mit der linken Hand in eine Maschine und zog sich dabei eine Quetschverletzung mit devaskularisierender subtotaler Avulsionsamputation der Finger IV und V Höhe P2 sowie schwerer Weichteilavulsion des Fingers III zu. Am 25. Mai, 10. Juni und 30. Dezember 2016 wurde der Versicherte an der linken Hand operiert. Die Suva kam für die Heilbehandlung und das Taggeld auf. Sie veranlasste diverse Arztberichte sowie eine Aktenbeurteilung der Prof. Dr. med. C._, Fachärztin für Neurochirurgie FMH, vom 21. Dezember 2018 und einen Untersuchungsbericht des Dr. med. D._, Facharzt für Allgemeinchirurgie und Traumatologie FMH, vom 27. März 2019, beide Suva Versicherungsmedizin. Am 8. April 2019 stellte die Suva die Leistungen - mit Ausnahme von einmal Physio-/Ergotherapie pro Woche - per 31. Mai 2019 formlos ein. Mit Verfügung vom 31. Mai 2019 verneinte sie den Anspruch auf eine Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 5.7 % und sprach dem Versicherten eine Integritätsentschädigung bei einer Integritätseinbusse von 10 % zu. Hieran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 11. November 2019 fest.
B.
Die hiergegen erhobene Beschwerde des A._ wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Urteil vom 6. April 2021 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._, in Aufhebung des kantonalen Urteils sei die Suva zu verpflichten, den Sachverhalt mittels eines polydisziplinären Gutachtens (Psychiatrie, Neuropsychologie, Handchirurgie, Neurologie, Ergotherapie inkl. Assessment, Orthopädie und Traumatologie des Bewegungsapparats) abzuklären und weiterhin Taggelder auszurichten. Eventuell seien ihm eine ganze Rente sowie eine Integritätsentschädigung von mindesten 40 % zuzusprechen. Für das bundesgerichtliche Verfahren sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

considerations:
Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
2.1. Streitig ist, ob der vorinstanzlich bestätigte Fallabschluss per 31. Mai 2019 mit Verneinung eines Rentenanspruchs und Zusprache einer Integritätsentschädigung von lediglich 10 % bundesrechtskonform ist.
2.2. Die Vorinstanz hat die hier massgebenden rechtlichen Grundlagen und die entsprechende Rechtsprechung betreffend den für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers erforderlichen natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall und dem Gesundheitsschaden im Allgemeinen (<ref-ruling> E. 2.1) sowie bei psychischen Unfallfolgen im Besonderen (<ref-ruling>) richtig dargelegt. Zutreffend wiedergegeben hat sie auch die Voraussetzungen des Fallabschlusses (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4) sowie der Ansprüche auf eine Invalidenrente (<ref-law>) und eine Integritätsentschädigung (Art. 24 Abs. 1, Art. 25 UVG; <ref-law>; <ref-ruling>). Gleiches gilt bezüglich der Invaliditätsbemessung nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (<ref-law>), des massgebenden Beweisgrads der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 5.1) und des Beweiswerts ärztlicher Berichte (<ref-ruling> E. 2.2.2, 135 V 465 E. 4.4, 134 V 231 E. 5.1, 125 V 351 E. 3a). Darauf wird verwiesen.
3.
Zu prüfen ist als Erstes die somatische Problematik.
Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, die Aktenbeurteilung der Prof. Dr. med. C._ vom 21. Dezember 2018 und der Untersuchungsbericht des Dr. med. D._ vom 27. März 2019 erfüllten die Voraussetzungen an medizinische Beurteilungen, weshalb darauf - der Suva folgend - abzustellen sei. Demnach habe sich beim Beschwerdeführer als Folge des Unfalls vom 25. Mai 2016 eine komplexe Bewegungs- und Belastungsstörung in der linken adominanten Hand mit einem inkompletten Faustschluss mit stark eingeschränkter Belastbarkeit der gesamten linken oberen Extremität entwickelt. Durch die Defektdeckung mittels Intermetacarpalelappen III/IV sei es links dorsal zu einer Störung des sensiblen Astes des N. Ulnaris gekommen. Der medizinische Endzustand sei im Zeitpunkt der klinischen Untersuchung durch Dr. med. D._ vom 21. März 2019 erreicht gewesen. Die angestammte Tätigkeit als Schweisser sei dem Beschwerdeführer nicht mehr zumutbar. In einer angepassten Tätigkeit bestehe jedoch eine uneingeschränkte Arbeits- und Leistungsfähigkeit. Aufgrund der Einschätzung des Dr. med. D._ liege bezüglich der linken Hand keine Symptomatik eines komplexen regionalen Schmerzsyndroms (CRPS) vor. Laut der Beurteilung der Prof. Dr. med. C._ seien die Rücken- und Nackenbeschwerden des Beschwerdeführers nicht auf den Unfall vom 25. Mai 2016 zurückzuführen.
4.
Die Verneinung der natürlichen Unfallkausalität der Rückenbeschwerden bestreitet der Beschwerdeführer nicht substanziiert. Arztberichte, die einen gegenteiligen Schluss zuliessen, werden von ihm nicht angeführt und sind nicht ersichtlich, weshalb es hiermit sein Bewenden hat.
5.
Der Beschwerdeführer macht eine Unfallkausalität der Nackenbeschwerden geltend. Er beruft sich auf den Bericht des Spitals E._ vom 25. (richtig 27.) April 2018, wonach es durch Ausweichbewegungen aufgrund der Handverletzung zu Fehlhaltung und zu Ungleichgewichten bezüglich der muskulären Belastung komme, was zu Muskelverspannungen und Schmerzen bis in den Nacken führe. Hieraus kann der Beschwerdeführer indessen nichts zu seinen Gunsten ableiten. Da nämlich keine strukturellen Läsionen im Nackenbereich erstellt sind, hat diesbezüglich die Adäquanzprüfung zu erfolgen (vgl. E. 7 hiernach).
6.
Zu prüfen ist weiter die Problematik der gesamten linken oberen Extremität.
6.1. Der Beschwerdeführer wendet im Wesentlichen ein, weder die Suva noch die Vorinstanz hätten die nachträglich eingegangenen Therapeutenberichte der Klinik F._, des Zentrums G._ und der Schmerztherapie berücksichtigt. Diese seien allesamt von einer 50%igen Arbeitsfähigkeit bei einer zusätzlichen Leistungsminderung ausgegangen und hätten darauf aufmerksam gemacht, dass die Suva-Abklärungen unvollständig seien. Es fehlten wiederholte Elektromyographie-Abklärungen, eine genaue Dokumentation der Einschränkungen und ein Assessment. Der Beschwerdeführer sei über sechs Stunden operiert worden, was bereits die vorhandenen neuropsychologischen Beeinträchtigungen verursachen könne. Zudem sei das Eingliederungsergebnis nicht berücksichtigt worden. Die Therapien seien nicht abgeschlossen. Die nachträglichen Berichte seien geeignet, Aussagen über die Situation bis zum Einspracheentscheid zu machen, weshalb die Vorinstanz den Gehörsanspruch verletzt habe. Zudem sei der Bericht des Dr. med. D._ vom 27. März 2019 nicht schlüssig. Er gehe nicht auf den Abklärungsbericht der arbeitsmarktähnlichen Abklärung (AMA) vom 25. Juli 2018 ein und sei widersprüchlich, da er bei Computertätigkeiten, die dem Zumutbarkeitsprofil entsprächen, eine Arbeitsfähigkeit von 6.5 Stunden vorsehe, aber dennoch von einer vollen Arbeits-und Leistungsfähigkeit ausgehe.
6.2. Soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung seines Gehörsanspruchs durch Nichtberücksichtigung nachträglicher Berichte geltend macht, ist von einer Rückweisung an die Vorinstanz abzusehen. Wie sich aus Folgendem ergibt, würde dies nämlich einen formalistischen Leerlauf und damit unnötige Verzögerungen nach sich ziehen, die mit dem (der Anhörung gleichgestellten) Interesse des Beschwerdeführers an einer beförderlichen Beurteilung der Sache nicht zu vereinbaren wären (<ref-ruling> E. 2.3.2; Urteil 8C_449/2019 vom 18. Dezember 2019 E. 4.2 mit Hinweis). Das Bundesgericht kann mit Blick auf die Rechtsverletzung, die aus der Nichtbeachtung von potenziell erheblichen Beweismitteln resultiert (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1), die entsprechenden Aktenstücke selber würdigen und beurteilen, ob die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung zu korrigieren ist (<ref-law>; Urteil 8C_377/2021 vom 9. September 2021 E. 4.3.1).
6.3. Vom 7. Mai bis 1. Juni 2018 fand im Auftrag der Invalidenversicherung (IV) in der Genossenschaft H._ eine AMA des Beschwerdeführers statt. Im entsprechenden Bericht vom 25. Juli 2018 wurde festgehalten, der Beschwerdeführer könne ein 100%iges Pensum, aber nur eine Leistung von 45 % erbringen. Die 55%ige Leistungseinbusse sei medizinisch nicht vollständig erklärbar. Einerseits bestehe eine Leistungseinbusse von ca. 20 % aus psychiatrischer Sicht. Andererseits bestünden im Ausmass nicht erklärbare Schmerzen und funktionelle Einschränkungen der linken Hand mit einer Schmerzausweitung in den gesamten Arm, Nacken und zunehmend auch den anderen Arm.
Da mithin aufgrund dieses Berichts die Leistungseinbusse und die Schmerzproblematik des Beschwerdeführers medizinisch nicht vollständig erklärbar waren, und seine psychisch bedingten Einschränkungen vorliegend nicht zu berücksichtigen sind (vgl. E. 7 hiernach), kann er daraus nichts zu seinen Gunsten ableiten.
6.4.
6.4.1. Die vom Beschwerdeführer angerufenen Berichte des Zentrums G._ vom 12. Juli 2018, des Spitals I._ vom 3. Juli 2019, des Zentrums K._ vom 6. Januar 2020 und der Klinik F._ vom 28. Januar 2020 enthalten keine Angaben zu seiner Arbeitsfähigkeit. Aus diesen Berichten kann der Beschwerdeführer mithin nichts gegen die Arbeitsfähigkeitsschätzung des Dr. med. D._ vom 27. März 2019 ableiten (vgl. auch nicht publ. E. 4.2.3 des Urteils <ref-ruling>, veröffentlicht in SVR 2016 IV Nr. 33 S. 102; Urteil 8C_277/2021 vom 25. August 2021 E. 5.1).
6.4.2. Soweit im Bericht des Zentrums G._ vom 12. Juli 2018 die Differentialdiagnose eines komplexen regionalen Schmerzsyndroms (CRPS) an der linken Hand gestellt wurde, kann dem nicht gefolgt werden, wie die Vorinstanz gestützt auf den Bericht des Dr. med. D._ und den vom Beschwerdeführer selber aufgelegten Bericht des Zentrums K._ vom 6. Januar 2020 erkannt hat. Hiergegen bringt der Beschwerdeführer keine substanziierten Einwände vor. Soweit er den Bericht des Zentrums G._ vom 3. Juli 2019 anruft, wurde darin die Frage nach dem Bestehen eines CRPS nicht abschliessend beantwortet.
6.5. Im Bericht der Klinik F._ vom 15. August 2019 wurde die Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers auf 50 % geschätzt. Indessen beinhaltete diese Einschätzung keine nähere Begründung und erfasste auch die hier nicht zu berücksichtigenden psychischen Einschränkungen (hierzu vgl. E. 7 hiernach), weshalb der Beschwerdeführer daraus ebenfalls nichts zu seinen Gunsten ableiten kann.
6.6. Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, die Therapien seien nicht abgeschlossen, ist dem entgegenzuhalten, dass der Fallabschluss durch den Unfallversicherer nach <ref-law> lediglich voraussetzt, dass von weiteren medizinischen Massnahmen keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes mehr erwartet werden kann, nicht aber, dass eine ärztliche Behandlung nicht länger erforderlich ist. Es geht dabei demnach nicht um den "Endzustand der medizinischen Behandlung und Therapie" bzw. das Dahinfallen jeglichen Bedarfs an Heilbehandlung (Urteil 8C_102/2021 vom 26. März 2021 E. 6.4.1). Inwiefern bei Fallabschluss per 31. Mai 2019 von weiteren somatischen Behandlungen eine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes nach Massgabe der voraussichtlichen Steigerung oder Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers, soweit diese unfallbedingt beeinträchtigt ist, zu erwarten war, legt er nicht dar und ist nicht ersichtlich (vgl. <ref-ruling> E. 4.3; Urteil 8C_301/2021 vom 23. Juni 2021 E. 3.2).
6.7. Nicht einschlägig ist der pauschale Einwand des Beschwerdeführers, die Suva habe das Eingliederungsergebnis nicht berücksichtigt. Die Vorinstanz erwog nämlich zutreffend, dass der Abschluss allfälliger Eingliederungsmassnahmen der IV nicht abgewartet werden muss, da sie nicht geeignet wären, den der Invalidenrente der Unfallversicherung zugrunde zu legenden Invaliditätsgrad rentenrelevant zu beeinflussen (vgl. E. 8 hiernach; Urteil 8C_374/2021 vom 13. August 2021 E. 4.3.1 mit Hinweisen).
6.8.
6.8.1. Nicht stichhaltig ist weiter der Einwand des Beschwerdeführers, es fehle eine genaue Dokumentation seiner Einschränkungen. Denn Dr. med. D._ hat im Bericht vom 27. März 2019 aufgrund einer eingehenden klinischen Untersuchung ein detailliertes Zumutbarkeitsprofil betreffend die linke Hand erstellt, welches auch die vom Beschwerdeführer geklagten Schmerzen im gesamten linken Arm berücksichtigt.
Dr. med. D._ statuierte bei Computertätigkeiten eine Arbeitszeit von maximal 6.5 Stunden pro Tag und bei den übrigen leidensangepassten Tätigkeiten eine solche von 8,75 Stunden pro Tag. Gleichzeitig ging er davon aus, bei Einhaltung des Zumutbarkeitsprofils sei eine zeitlich und leistungsmässig uneingeschränkte Einsetzbarkeit des Beschwerdeführers gegeben. Die Vorzinstanz erblickte hierin - entgegen dem Beschwerdeführer (vgl. E. 6.1 hiervor) - keinen Widerspruch. Vielmehr führte sie aus, dass Dr. med. D._ auch bei der Bürotätigkeit eine vollschichtige Arbeitszeit gemeint habe und es sich hierbei um ein redaktionelles Versehen handle. Ob Letzteres zutrifft, kann offen bleiben, wie sich aus Folgendem ergibt.
6.8.2. Computerarbeit im Büro erfordert in der Regel den Einsatz beider Hände, weshalb es nachvollziehbar ist, dass Dr. med. D._ diesbezüglich von einer zeitlich reduzierten Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers ausging.
Der massgebende ausgeglichene Arbeitsmarkt (Art. 16 ATAG) beinhaltet aber auch Tätigkeiten, die keinen oder nur einen sehr eingeschränkten Einsatz der adominanten Hand voraussetzen (z.B. als Zudienhand). Zu denken ist an einfache Überwachungs-, Prüf- und Kontrolltätigkeiten sowie die Bedienung und Überwachung von (halb-) automatischen Maschinen oder Produktionseinheiten (Urteil 8C_462/2020 vom 27. August 2020 E. 5.1 mit Hinweisen). Mit Blick auf solche Arbeiten und das von Dr. med. D._ umschriebene Zumutbarkeitsprofil ist die von ihm statuierte Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers von 8.75 Stunden pro Tag nicht zu beanstanden.
6.9. Insgesamt erhebt der Beschwerdeführer keine Rügen, die auch nur geringe Zweifel an der Aktenbeurteilung der Prof. Dr. med. C._ vom 21. Dezember 2018 und am Untersuchungsbericht des Dr. med. D._ vom 27. März 2019 begründen (vgl. <ref-ruling> E. 8.5). Da von weiteren somatisch-medizinischen Abklärungen - insbesondere von wiederholten Elektromyographie-Abklärungen und einem Assessment - keine entscheidrelevanten Resultate zu erwarten sind, durfte die Vorinstanz davon absehen. Dies verstösst weder gegen den Untersuchungsgrundsatz noch gegen die Ansprüche auf freie Beweiswürdigung sowie Beweisabnahme (<ref-law>) und rechtliches Gehör (<ref-law>; antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 6.5; Urteil 8C_728/2020 vom 23. Juni 2021 E. 5).
7.
Strittig ist weiter die psychische Problematik. Der Beschwerdeführer macht im Wesentlichen geltend, seine psychischen Beeinträchtigungen und deren natürliche Unfallkausalität seien gutachterlich abzuklären.
7.1. Bei psychischen Unfallfolgen hat eine gesonderte Adäquanzprüfung nach <ref-ruling> zu erfolgen. Dies gilt hier auch für die vom Beschwerdeführer geltend gemachten neuropsychologischen Beeinträchtigungen, da diesbezüglich ein organisch objektiv ausgewiesenes Substrat nicht erstellt ist (Urteil 8C_765/2014 vom 9. Februar 2015 E. 5.1). Die Adäquanzprüfung ist in diesem Rahmen in jenem Zeitpunkt vorzunehmen, in dem von der Fortsetzung der auf die somatischen Leiden gerichteten ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustands mehr erwartet werden kann (<ref-ruling> E. 6.1; Urteil 8C_102/2021 vom 26. März 2021 E. 6.1). Dies traf hier am 31. Mai 2019 zu (vgl. E. 6.6 hiervor).
Da die adäquate Unfallkausalität des psychischen Gesundheitsschadens des Beschwerdeführers zu verneinen ist (vgl. E. 7.2 hiernach), liess die Vorinstanz zu Recht offen, ob seine psychischen Beschwerden natürlich unfallkausal sind (<ref-ruling> E. 5.1).
7.2.
7.2.1. Die Vorinstanz qualifizierte den Unfall des Beschwerdeführers vom 25. Mai 2016 als mittelschwer im engeren Sinn. Dies ist unbestritten. Die Unfalladäquanz seiner gesundheitlichen Beschwerden könnte somit nur bejaht werden, wenn mindestens drei der sieben Adäquanzkriterien erfüllt wären oder eines besonders ausgeprägt vorläge (<ref-ruling> E. 6c/aa; SVR 2019 UV Nr. 41 S. 155, 8C_632/2018 E. 8.3). Die Vorinstanz kam zum Schluss, es sei höchstens das Kriterium des Grades und der Dauer der physisch bedingten Arbeitsunfähigkeit erfüllt, aber nicht besonders ausgeprägt. Folglich sei die adäquate Unfallkausalität der psychischen bzw. organisch nicht ausgewiesenen Beschwerden zu verneinen.
7.2.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, die schwere Quetschverletzung mit vollständiger Nerventrennung und neuropathischem Schmerzsyndrom mit autonomen Zeichen sei in hohem Masse geeignet, psychische Beeinträchtigungen zu bewirken. Es liege ein komplizierter Heilverlauf mit Nekrosen und Infekten sowie Nervenverletzungen durch die Operationen vor. Auch sei die lange Dauer der Arbeitsunfähigkeit aus physischen Gründen erfüllt, wobei er auch in angepassten Tätigkeiten nur eine 45%ige Leistung erbringe. Die psychischen Beeinträchtigungen gingen zudem auf einen eindrücklichen, belastenden Unfallhergang mit fehlender Hilfe am Unfallort zurück.
Diese Einwände sind nicht stichhaltig. Die Vorinstanz hat nämlich sämtliche Adäquanzkriterien in einlässlicher Würdigung der Akten und unter Bezugnahme auf die entsprechende Kasuistik schlüssig und zutreffend beurteilt. Der Beschwerdeführer setzt sich mit diesen vorinstanzlichen Erwägungen nicht substanziiert auseinander. Er gibt die eigene Sichtweise wieder, vermag jedoch nicht darzulegen, inwiefern die Erwägungen im angefochtenen Urteil Bundesrecht verletzten.
8.
Gegen die vorinstanzliche Ermittlung des rentenausschliessenden Invaliditätsgrades von 5.7 % und die Bemessung der Integritätseinbusse auf 10 % bringt der Beschwerdeführer keine substanziierten Einwände vor, weshalb es damit sein Bewenden hat.
9.
Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten (<ref-law>). Die unentgeltliche Rechtspflege kann ihm gewährt werden (<ref-law>). Er hat der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

rulings:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwältin Dr. iur. Beatrice Gurzeler wird als unentgeltliche Anwältin bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Der Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. November 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Jancar

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