facts:
Sachverhalt:
A.
Am 26. August 2019 meldete das Bezirksgericht Zurzach bei der Anwaltskommission des Kantons Aargau (nachfolgend: Anwaltskommission) eine mögliche Verletzung von Berufsregeln durch Rechtsanwalt A._. Er habe für seine Klientin im bezirksgerichtlichen Zivilverfahren um unentgeltliche Rechtspflege ersucht und dabei eingeforderte und entgegengenommene Kostenvorschüsse nicht offengelegt.
B.
Mit Entscheid vom 25. Juni 2020 belegte die Anwaltskommission A._ mit einem Verweis wegen Verletzung der Berufsregeln gestützt auf <ref-law> (Bundesgesetz vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte; SR 935.61) und auferlegte ihm eine Verfahrensgebühr von Fr. 2'000.--. Der dagegen eingereichte Rekurs blieb erfolglos (Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 9. Februar 2021).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 18. März 2021 beantragt A._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils; die Staatsgebühren von Fr. 1'500.-- sowie die Kanzleigebühren von Fr. 143.-- seien auf die Staatskasse zu nehmen; ihm sei eine Parteientschädigung in gerichtlich genehmigter Höhe auszurichten; eventualiter sei die Angelegenheit an das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau zurückzuweisen.
Während die Vorinstanz sich vernehmen lässt und beantragt, die Beschwerde abzuweisen, insoweit darauf einzutreten sei, hat die Anwaltskommission auf eine Vernehmlassung verzichtet. A._ hat mit Eingabe vom 10. Juni 2021 repliziert. Das Eidgenössische Justiz- und Polizeidepartement lässt sich nicht vernehmen.

considerations:
Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten oberen kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Anwaltsrecht), die unter keinen Ausschlussgrund fällt (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 BGG). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit zulässig. Der Beschwerdeführer ist ausserdem durch den Entscheid besonders berührt und verfügt über ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>). Auf die im Übrigen form- und fristgerecht (Art. 42 Abs. 1 und 2 und <ref-law>) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Bei der Prüfung verfügt das Bundesgericht über volle Kognition und wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.5). Die Verletzung von verfassungsmässigen Individualrechten (einschliesslich der Grundrechte) und von kantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.7.2).
2.2. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur soweit vorgebracht werden, als erst der vorinstanzliche Entscheid dazu Anlass gibt (unechte Noven; <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1). Das Vorbringen von Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereigneten oder entstanden (echte Noven), ist vor Bundesgericht unzulässig (<ref-ruling> E. 1.2, mit Hinweisen).
Die durch den Beschwerdeführer eingereichte Replik der Klientin des Beschwerdeführers im Verfahren vor dem Obergericht des Kantons Aargau vom 4. September 2019 ist nicht zu berücksichtigen, da nicht erst das vorinstanzliche Urteil dazu Anlass gab. Die Vorinstanz hat den unterinstanzlichen Entscheid sowohl in sachverhaltlicher als in rechtlicher Hinsicht im Wesentlichen bestätigt, weshalb nicht ersichtlich ist - und im Übrigen auch nicht rechtsgenügend dargetan wird - weshalb der Beschwerdeführer die Rechtsschrift erst im bundesgerichtlichen Verfahren einreichte. Nicht unter das Novenverbot fallen demgegenüber die vom Beschwerdeführer beigelegten Entscheide des Obergerichts des Kantons Aargau vom 9. September 2019 sowie die Verfügung des Bezirksgerichts Zurzach vom 26. März 2020, da es sich um allgemein zugängliche amtliche Dokumente handelt, die als gerichtsnotorisch gelten (vgl. sinngemäss Urteil 9C_297/2010 vom 23. September 2010 E. 4.2.1).
3.
Der Beschwerdeführer rügt eine unrichtige Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz und macht eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs geltend.
3.1.
3.1.1. Gemäss <ref-law> kann die Feststellung des Sachverhalts nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-law>) ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-ruling> E. 2.2). Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn (an ihr) Zweifel bestehen, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1). Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung bzw. Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unhaltbar ist, muss in der Beschwerdeschrift klar und detailliert aufgezeigt werden; an die diesbezügliche Begründung gelten, wie bei den in <ref-law> genannten Rügen, strenge Anforderungen (<ref-ruling> E. 9.2.3.6; Urteil 2C_325/2018 vom 18. Februar 2019 E. 2). Demzufolge genügt es nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. In der Beschwerdeschrift muss detailliert aufgezeigt werden, inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung bzw. die Sachverhaltsfeststellung klarerweise unhaltbar ist. Es gilt eine qualifizierte Begründungspflicht (<ref-ruling> E. 4.2).
3.1.2. Das rechtliche Gehör (<ref-law>) verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (<ref-ruling> E. 5.2). <ref-law> räumt jedoch keinen Anspruch auf mündliche Anhörung ein (<ref-ruling> E. 2.1). Auch steht der Gehörsanspruch einer vorweggenommenen Beweiswürdigung nicht entgegen. Das Gericht kann auf die Abnahme von Beweisen verzichten, wenn es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür annehmen kann, seine Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (<ref-ruling> E. 3).
3.2. Der Vorwurf des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe fälschlicherweise festgehalten, dass er vor der Anwaltskommission anerkannt habe, den Kostenvorschuss im zivilrechtlichen Verfahren nicht offengelegt zu haben, zielt ins Leere. Die Feststellung der Vorinstanz bezog sich lediglich darauf, dass er vor dieser Kommission zugegeben habe, diesen im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege nicht offengelegt habe. Unzutreffend ist ferner die Aussage des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe in Erwägung 1.2 ihres Urteils ausgeführt, er habe sich durch seine Klientin entschädigen lassen. Die Vorinstanz hat darin lediglich die Erwägungen der Unterinstanz zur Pflichtwidrigkeit der Einforderung von Kostenvorschüssen von einer unentgeltlich vertretenen Partei wiedergegeben.
3.3. Schliesslich geht auch die Kritik des Beschwerdeführers fehl, die Vorinstanz habe gegen <ref-law> verstossen, indem sie ihn zur Frage der Offenlegung des Kostenvorschusses nicht angehört habe. Zum Anspruch auf rechtliches Gehör gehört das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass eines in seine Rechtsstellung eingreifenden Entscheides zur Sache zu äussern sowie das Recht auf Abnahme der rechtzeitig und formrichtig angebotenen rechtserheblichen Beweismittel. Indessen räumt <ref-law> keinen Anspruch auf eine mündliche Anhörung ein (<ref-ruling> E. 5.3). Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt vor, wenn ein Gericht darauf verzichtet, beantragte Beweise abzunehmen, weil es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 3.3). Die Vorinstanz konnte ohne in Willkür zu verfallen auf eine Anhörung des Beschwerdeführers verzichten, da sie ihm nicht, wie er vorgibt, "generell und undifferenziert" vorgeworfen hat, den Kostenvorschuss nicht offengelegt zu haben; jedenfalls begründet die pauschale Kritik keinen Anspruch auf mündliche Anhörung.
3.4. Da der Beschwerdeführer nicht aufzeigt, dass die vorinstanzlichen Feststellungen offensichtlich unrichtig wären bzw. eine willkürliche Beweiswürdigung vorgenommen worden wäre, entscheidet das Bundesgericht auf Grundlage des Sachverhalts, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
4.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe zu Unrecht auf eine Verletzung von Art. 12 des Bundesgesetzes über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte vom 1. Juni 2002 (BGFA, SR 935.61) geschlossen.
4.1. Das BGFA regelt in Art. 12 die Berufsregeln der Anwältinnen und Anwälte. Insbesondere haben sie "ihren Beruf sorgfältig und gewissenhaft" auszuüben (<ref-law>). Diese Verpflichtung hat für die gesamte Berufstätigkeit Geltung und erfasst neben der Beziehung zum eigenen Klienten sowohl die Kontakte mit der Gegenpartei als auch jene mit den Behörden (<ref-ruling> E. 4.1; Urteil 2C_507/2019 vom 14. November 2019 E. 5.1.1, mit Hinweisen). Gemäss <ref-law> haben Rechtsanwälte von Bundesrechts wegen die Verpflichtung, Vertretungen im Rahmen der unentgeltlichen Rechtspflege zu übernehmen.
4.2. Nach <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, umfasst dies auch den Anspruch auf einen unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Als bedürftig gilt eine Person, wenn sie die Kosten eines Prozesses nicht aufzubringen vermag, ohne jene Mittel anzugreifen, die für die Deckung des eigenen notwendigen Lebensunterhalts und desjenigen ihrer Familie erforderlich sind (<ref-ruling> E. 4.1; Urteil 4A_362/2018 vom 5. Oktober 2018 E. 4.1). Berücksichtigt werden sowohl die Einkommens- als auch die Vermögensverhältnisse der bedürftigen Person (<ref-ruling> E. 5.1). Ausgangslage für die Bestimmung der Mittellosigkeit ist das betreibungsrechtliche Existenzminimum, wobei die individuellen Umstände zu berücksichtigen sind (<ref-ruling> E. 2a). Der Grundbetrag gemäss Betreibungsrecht wird praxisgemäss um einen gewissen Prozentsatz erhöht und anschliessend um die effektiven Kosten für Wohnung, Krankenkasse, Arbeitsweg, Alimente etc. ergänzt (<ref-ruling> E. 4.1; STEFAN MEICHSSNER, Aktuelle Praxis der unentgeltlichen Rechtspflege, Jusletter 7, Dezember 2009, S. 6). Ist Vermögen vorhanden, wird geprüft, ob es zumutbar ist, dieses für das Verfahren anzugreifen. Soweit das Vermögen einen angemessenen "Notgroschen" übersteigt, ist dem Gesuchsteller unbesehen der Art der Vermögensanlage zumutbar, dieses zur Finanzierung des Prozesses zu verwenden (vgl. Urteil 9C_659/2016 vom 17. Januar 2017 E. 4.2).
Ein Prozess hat als aussichtslos zu gelten, wenn eine über die nötigen Mittel verfügende Partei bei vernünftiger Überlegung das Risiko eines Prozesses nicht eingehen würde, mit anderen Worten die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahr. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet (<ref-ruling> E. 2.2.4). Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (<ref-ruling> E. 5.1).
4.3. Mit dem Mandat, für eine unbemittelte Partei als Rechtsvertreter tätig zu werden, übernimmt der Anwalt keinen privaten Auftrag (vgl. Urteil 8C_310/2014 vom 31. März 2015 E. 6.1). Er übernimmt eine staatliche Aufgabe und tritt zum Staat in ein Rechtsverhältnis, aufgrund dessen er einen öffentlichrechtlichen Anspruch auf Entschädigung im Rahmen der anwendbaren kantonalen Vorschriften hat (<ref-ruling> E. 3a). Der amtlich bestellte Rechtsbeistand darf sich von der verbeiständeten Partei nicht entschädigen lassen und ist insbesondere auch nicht befugt, sich eine zusätzliche Entschädigung zu derjenigen auszahlen zu lassen, welche er vom Staat erhält; eine Bezahlung durch die verbeiständete Partei ist selbst dann ausgeschlossen, wenn die öffentlichrechtliche Entschädigung nicht einem vollen Honorar entspricht (<ref-ruling> E. 1). Verstösst der unentgeltliche Rechtsbeistand gegen diesen Grundsatz, macht er sich disziplinarrechtlich verantwortlich (<ref-ruling> E. 3b).
4.4. Gemäss dem angefochtenen Urteil und den Akten liegt dem vorliegenden Disziplinarverfahren folgender Sachverhalt zugrunde:
4.4.1. Die Klientin des Beschwerdeführers erhielt am 30. November 2018 Fr. 33'000.-- unter Anrechnung an ihr erbrechtliches Vermächtnis von Fr. 320'000.-- ausbezahlt. Gutgeschrieben wurde der Betrag auf ein Klienten-Bankkonto des Beschwerdeführers. Am 13. Dezember 2018 behielt letzterer einen Kostenvorschuss von Fr. 5'000.-- unter der Bedingung zurück, dass er diesen bei Gutheissung der unentgeltlichen Rechtspflege der Klientin zurückerstatten würde. Am 9. Januar 2020 erhielt die Klientin einen weiteren Betrag von Fr. 11'500.-- in Anrechnung auf ihr Vermächtnis ausgezahlt. Am 19. August 2019 bzw. am 9. Januar 2020 hielt der Beschwerdeführer weitere Kostenvorschüsse in der Höhe Fr. 431.-- bzw. von Fr. 11'500.-- zurück.
4.4.2. Am 22. Februar 2019 ersuchte der Beschwerdeführer in einem erbrechtlichen Zivilverfahren das zuständige Gericht um unentgeltliche Rechtspflege für seine Klientin. Am 12. Juli 2019 wies der Gerichtspräsident des Bezirksgericht Zurzach sein Gesuch ab. Mit Entscheid vom 9. September 2019 hiess das Obergericht des Kantons Aargau eine dagegen erhobene Beschwerde teilweise gut, hob den vorinstanzlichen Entscheid auf und wies die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurück. Die unentgeltliche Rechtspflege wurde schliesslich am 26. März 2020 unter der Voraussetzung bewilligt, dass die Gesuchstellerin einen allfälligen Prozessgewinn bis zur Höhe der auf sie entfallenden Gerichtskosten und Kosten der anwaltlichen Vertretung an die Gerichtskasse abtrete.
4.5. Die Vorinstanz kam gestützt darauf zum Schluss, dass der Beschwerdeführer gegen <ref-law> verstossen habe, insofern er einen Kostenvorschuss für den Fall der Abweisung des Gesuches um unentgeltliche Rechtspflege eingefordert und diesen bei dessen Einreichung gegenüber dem Gericht nicht offengelegt habe. Dabei sei unerheblich, dass der Kostenvorschuss angeblich aus dem sogenannten Notgroschen ("réserve de secours") stamme. Zum einen würde der Zweck der unentgeltlichen Rechtspflege unterlaufen, wenn eine bedürftige Person dem Rechtsvertreter im Voraus Sicherheit leiste und dafür für den Lebensunterhalt erforderliche Mittel einsetzen müsse, zum anderen müsse die ersuchte Instanz über vollständige Angaben zu Einnahmen und Ausgaben bzw. Vermögen und Schulden des Klienten verfügen, wenn sie über die unentgeltliche Rechtspflege entscheide.
4.6. Diese Würdigung ist nicht zu beanstanden.
4.6.1. Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung stellt die Rechnungsstellung an eine verbeiständete Partei eine disziplinierungswürdige Standeswidrigkeit dar; der amtlich bestellte Rechtsbeistand darf sich von der verbeiständeten Partei nicht entschädigen lassen. Er ist insbesondere auch nicht befugt, sich eine zusätzliche Entschädigung zu derjenigen auszahlen zu lassen, welche er vom Staat erhält; eine Bezahlung durch die verbeiständete Partei ist selbst dann ausgeschlossen, wenn die öffentlichrechtliche Entschädigung nicht einem vollen Honorar entspricht (vgl. <ref-ruling> E. 3b; <ref-ruling> E. 3). Unzulässig ist ferner die Einforderung von Kostenvorschüssen, und zwar nicht nur ab Verbeiständung, sondern ebenfalls, wenn das Gesuch um Verbeiständung eingereicht, darüber aber noch nicht entschieden worden ist (vgl. Urteil 2A.196/2005 vom 26. September 2005 E. 2.3).
4.6.2. Insofern der Beschwerdeführer vorbringt, dass die Einbehaltung eines Kostenvorschusses zur Sicherung seiner Forderungen im Falle der Abweisung des Gesuches um unentgeltliche Rechtspflege nicht gegen <ref-law> verstosse, zielt seine Kritik ins Leere. Der Lehrmeinung, wonach es dem Anwalt gestattet sein müsse, in Fällen, in denen die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege fraglich ist, einen Kostenvorschuss zur Sicherung seiner Forderungen zu verlangen (vgl. Stefan Meichssner, a.a.O., S. 12), ist nicht zu folgen. Die Einforderung eines "bedingten" Kostenvorschusses ist gleichermassen geeignet, in die Mittel einzugreifen, welche eine bedürftige Person zur Deckung ihres notwendigen Lebensunterhalts bedarf. Damit werden der bedürftigen Person Mittel entzogen, die ihr nicht mehr uneingeschränkt zur Verfügung stehen. Unbehelflich ist in diesem Zusammenhang der Einwand, der Tochter der Mandantin des Beschwerdeführers sei ausdrücklich zugesichert worden, dass der Kostenvorschuss bei Gutheissung des Gesuches sofort zurückerstattet würde. Solange das Gericht nicht über das Gesuch entschieden hatte, standen der Klientin die zur Bestreitung ihres Lebensunterhalts notwendigen Mittel in der Höhe des Kostenvorschusses nicht zur Verfügung.
4.6.3. Zu berücksichtigen ist in diesem Zusammenhang ferner, dass ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht nur am Nachweis der Mittellosigkeit scheitern kann, sondern auch wenn das Gericht zur Auffassung gelangt, das Verfahren sei aussichtslos. Der Anwalt könnte in diesem Fall seine Forderungen selbst bei erwiesener Mittellosigkeit seines Klienten mit dem geleisteten Kostenvorschuss verrechnen. Dies widerspricht dem Schutzzweck der unentgeltlichen Rechtspflege, einer mittellosen Person das Prozessieren ohne Eingriff in ihren notwendigen Lebensunterhalt zu ermöglichen. Im Übrigen gehört es zu den Berufspflichten des Rechtsanwalts, die Chancen eines Prozesses sorgfältig zu beurteilen, weshalb es ihm zuzumuten ist, das mit der Einreichung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege verbundene Risiko zu tragen. Letzteres wird nicht zuletzt dadurch eingegrenzt, dass es den Behörden obliegt, solche Gesuche zügig zu behandeln, damit der Anwalt davor bewahrt wird, eine grosse Anzahl von Handlungen vornehmen zu müssen, ohne schliesslich weder von seinem Klienten noch vom Staat entschädigt zu werden.
4.6.4. Eine Verletzung von <ref-law> wird auch nicht dadurch ausgeschlossen, dass der Kostenvorschuss aus der Erbanwartschaft der Klientin stammte. Es ist grundsätzlich unerheblich, mit welchem Vermögenswert des Klienten die Forderungen eines Anwalts sichergestellt werden (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.4). Des Weiteren geht der Beschwerdeführer fehl, insofern er sich darauf beruft, dass aufgrund der Resolutivbedingung keine Verletzung von <ref-law> vorliege. Diese Bestimmung schützt die bedürftige Person nicht nur vor Doppelzahlungen; diese soll vielmehr vor allen Eingriffen bewahrt werden, welche geeignet sind, in die Mittel zur Bestreitung ihres notwendigen Lebensunterhalts einzugreifen. Schliesslich ist auch nicht ersichtlich, dass der bedingte Kostenvorschuss im Interesse der Klientin des Beschwerdeführers gewesen wäre.
4.6.5. Der Beschwerdeführer vermag auch nichts zu seinen Gunsten ableiten, dass der Kostenvorschuss angeblich aus dem "Notgroschen" der Klientin stammte. Dieser dient als Notreserve für laufende und künftige Auslagen eines Klienten. Die Tatsache, dass er bei der Beurteilung der prozessualen Bedürftigkeit des Klienten nicht einbezogen wird, hat nicht zur Folge, dass der Anwalt seine Forderungen damit befriedigen darf. Dies widerspricht Sinn und Zweck einer Notreserve.
4.6.6. Dem Beschwerdeführer ist schliesslich auch nicht zu folgen, insoweit er geltend macht, dass solange ein Kostenvorschuss aus dem sogenannten Notgroschen erfolgt, dessen Offenlegung nicht zwingend notwendig sei. Die Offenlegung soll dem Gericht eine Gesamtsicht über sämtliche Vermögensflüsse der zu schützenden Person ermöglichen. Es ist nicht ersichtlich, weshalb der Notgroschen davon ausgenommen wäre. Daran ändert auch nichts, dass dieser bei dem Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege nicht berücksichtigt wird.
4.6.7. Unbehelflich ist schliesslich auch der Einwand, dass der Bundesgerichtsentscheid 2A.196/2005 vorliegend nicht einschlägig sei, weil es sich um einen Erbrechtsfall gehandelt habe, der aufgrund seiner Verfahrenslänge und Komplexität sehr aufwändig war und bei dem dringender Handlungsbedarf bestand. Der bedürftigen Personen durch die unentgeltliche Rechtspflege gewährte Schutz vermag dadurch nicht eingeschränkt werden. Schliesslich kann der Beschwerdeführer auch nichts zu seinen Gunsten daraus ableiten, dass der Kostenvorschuss aufgrund des hohen Alters seiner Klientin nötig gewesen sei, um seine wirtschaftliche Unabhängigkeit zu gewährleisten. Das Vorliegen einer solchen Gefahr ist nicht ersichtlich, noch wird diese näher konkretisiert.
4.7. Die Rügen des Beschwerdeführers erweisen sich, insoweit sie genügend substanziiert sind, als unbegründet. In Übereinstimmung mit der Vorinstanz ist festzuhalten, dass die Einforderung eines bedingten Kostenvorschusses zur Sicherstellung von Forderungen des Armenanwalts sowie dessen Nichtoffenlegung <ref-law> verletzt.
5.
Der Beschwerdeführer macht ferner geltend, die gegen ihn ausgesprochene Disziplinarmassnahme verletze das Verhältnismässigkeitsprinzip.
5.1. Praxisgemäss rechtfertigt eine unsorgfältige Berufsausübung im Sinne dieser Bestimmung ein staatliches Eingreifen nur dann, wenn diese objektiv eine solche Schwere erreicht, dass - über die bestehenden Rechtsbehelfe aus Auftragsrecht wegen unsorgfältiger Mandatsführung hinaus - eine zusätzliche Sanktion im überwiegenden öffentlichen Interesse liegt und verhältnismässig erscheint. Diese Voraussetzung ist erst bei einer qualifizierten Norm- bzw. Sorgfaltswidrigkeit - mithin bei einem bedeutsamen Verstoss gegen die Berufspflichten ("un manquement significatif aux devoirs de la profession") - gegeben (<ref-ruling> E. 4.1, mit Hinweisen; Urteil 2C_500/2020 vom 17. März 2021 E. 4.3). Disziplinarrechtlich relevant sind nur qualifizierte bzw. bedeutsame Verstösse gegen die Berufspflichten.
5.2. Bei Verletzungen der Sorgfaltspflichten kann die Aufsichtsbehörde gemäss <ref-law> als Disziplinarmassnahme eine Verwarnung (lit. a), einen Verweis (lit. b), eine Busse (lit. c) oder ein befristetes (lit. d) oder dauerndes (lit. e) Berufsausübungsverbot anordnen. Die Bestimmung der zu ergreifenden Disziplinarmassnahme ist vorab Sache der zuständigen Aufsichtsbehörde. Anders als bei der Frage, ob ein Verstoss gegen die Berufsregeln vorliegt, welche das Bundesgericht mit freier Kognition prüft, auferlegt sich dieses Zurückhaltung, soweit es um die auszufällende Massnahme geht. Insoweit greift das Bundesgericht nur ein, wenn die angefochtene Disziplinarsanktion den Rahmen des pflichtgemässen Ermessens sprengt und damit als klar unverhältnismässig und geradezu willkürlich erscheint (Urteil 2C_933/2018 vom 25. März 2019 E. 6).
5.3. Die Vorinstanz hat zu Gunsten des Beschwerdeführers dem Umstand Rechnung getragen, dass gegen ihn bisher noch keine Disziplinarmassnahmen ausgesprochen worden sind. Sie stellte jedoch fest, dass es sich bei <ref-law> um eine bedeutende Vorschrift handle, die das Vertrauen in die Anwaltschaft schütze. Der Beschwerdeführer habe mehrfach dagegen verstossen. Der Verstoss habe umso mehr Gewicht, als der Beschwerdeführer auch noch nach der Gesuchstellung um die unentgeltliche Rechtspflege zwei weitere Male einen Kostenvorschuss zurückbehielt.
Diese Würdigung ist nicht zu beanstanden. Durch die Einforderung bzw. Rückbehaltung von drei Kostenvorschüssen hat der Beschwerdeführer in grober Weise gegen seine Berufspflichten verstossen. Erschwerend kommt hinzu, dass diese nicht rechtzeitig dem zuständigen Gericht offengelegt wurden. Aufgrund dieser Umstände ist es im Lichte von <ref-law> weder unverhältnismässig noch willkürlich, einen Verweis auszusprechen, welcher im unteren Bereich des gesetzlichen Rahmens liegt.
6.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 i.V.m. <ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht auszurichten (<ref-law>).

rulings:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, und dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. November 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: de Sépibus

region: Federation


facts:
Faits :
A.
B._ est propriétaire de la parcelle no 1355 du registre foncier de la Commune de Pully. Ce bien-fonds présente actuellement une surface totale de 2'496 m2. Il supporte, dans sa partie supérieure (au nord), un ancien bâtiment d'habitation dénommé la villa "X._". Jusqu'au 26 janvier 2016, cette parcelle comportait également la partie inférieure du parc de la villa; cette portion du terrain constitue la nouvelle parcelle no 7440, d'une surface de 1'701 m2, appartenant à la communauté de copropriétaires PPE Z._.
La parcelle n o 1355 est comprise dans le périmètre du plan de quartier "Y._" adopté par le Conseil communal de Pully le 28 mai 1975 et approuvé par le Conseil d'Etat du canton de Vaud le 7 novembre 1975. Elle fait partie du secteur B de ce plan, réservé à la construction de bâtiments d'habitation (art. 4 du règlement du plan de quartier [RPQ]). Le plan de quartier délimite des périmètres d'implantation des constructions: il permet la construction d'un bâtiment sur ce bien-fonds, à la place de la villa existante; un second périmètre d'implantation est prévu dans la partie inférieure du parc, sur l'actuelle parcelle n° 7440.
Lors du recensement architectural de la Commune de Pully du 21 mars 2001, la villa "X._" a obtenu la note *3V*. La note *3* désigne un "objet intéressant au niveau local" qui "mérite d'être conservé". La lettre "V" atteste de la présence de vitraux.
B.
Le 14 mars 2012, B._ a déposé, avec le promettant-acquéreur de sa parcelle, la société C._ SA, une demande de permis de construire deux bâtiments de dix et huit logements: le premier devait s'implanter à la place de la villa "X._", tandis que le second était prévu au sud de la parcelle, dans le jardin existant. Mis à l'enquête publique du 21 avril au 20 mai 2012, le projet a suscité 83 oppositions.
Transmis aux services concernés, ce projet a également fait l'objet d'une opposition du Service cantonal immeubles, patrimoine et logistique (ci-après: SIPAL) en raison de l'intérêt patrimonial de l'ensemble bâti et paysager. Par décision du 19 mars 2013, la Municipalité de Pully a délivré le permis de construire pour le bâtiment prévu au sud de la parcelle (sur l'actuelle parcelle no 7440), mais a interdit la démolition de la villa "X._", refusant ainsi la construction du second bâtiment d'habitation.
Le 1er mai 2013, B._ et C._ SA ont recouru à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud contre la décision de la municipalité en tant qu'elle concernait le refus d'autoriser la construction du second bâtiment.
Cette procédure est suspendue depuis le 6 février 2014, dans la mesure où elle concerne le bâtiment prévu au nord, en raison de la procédure de classement de la villa "X._" initiée par le SIPAL (cf. let. C ci-après). En revanche, non contesté, le permis de construire le bâtiment au sud est entré en force; le bâtiment a depuis lors été érigé.
C.
Le 20 janvier 2014, le SIPAL a communiqué à B._ son projet de décision de classement, qui précise que celui-ci s'étend à la villa "X._" et ses abords immédiats, à l'exclusion de la partie sud de la parcelle, qui pouvait être bâtie conformément au permis de construire délivré le 19 mars 2013. Ce projet de décision a été mis à l'enquête publique du 25 janvier au 23 février 2014. B._ s'y est opposé par courrier à la municipalité du 21 février 2014.
Par acte du 28 mai 2014, la Cheffe du Département des infrastructures et des ressources humaines (ci-après: DIRH) a pris la décision de classement de la villa "X._" et de ses abords immédiats. Le même jour, le Chef du Département des finances et des relations extérieures (ci-après: DFIRE) a adressé à B._ une décision de levée de son opposition au classement. Cette décision se réfère notamment à l'intervention circonstanciée et motivée du SIPAL ainsi qu'au rapport de l'été 2012 rédigé par D._, l'historien spécialiste des monuments, mandaté par ledit service.
D.
Saisie d'un recours de B._, la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud a, par arrêt du 16 avril 2015, annulé la décision de classement du DIRH et celle sur opposition du DFIRE. Le Tribunal cantonal a alors en substance estimé que l'intérêt public de la mesure de protection n'était pas établi à satisfaction; le classement apparaissait partant contraire à la garantie de la propriété et devait être annulé.
Sur recours de A._, propriétaire de la parcelle voisine n o 1384, le Tribunal fédéral a, par arrêt du 20 juin 2016 (cause 1C_266/2015), annulé l'arrêt cantonal entrepris. Il appartenait en résumé à la cour cantonale, dans la mesure où elle estimait que l'intérêt scientifique, historique et architectural de la villa n'était pas suffisamment étayé par l'administration cantonale, d'ordonner des mesures d'instruction complémentaires; ces dernières ayant été dûment requises par A._, leur refus violait son droit d'être entendue.
E.
Après la reprise de l'instruction, le juge instructeur a demandé au DFIRE de charger l'expert D._ de fournir un rapport complémentaire au sujet de l'intérêt patrimonial de la villa "X._". Il a également invité l'historienne des monuments E._ (auteure de la fiche de recensement) à déposer un rapport au sujet de l'attribution de la note *3* à ce bâtiment. Le département cantonal a produit le 3 juillet 2017 un rapport de l'historienne prénommée intitulé "Pully, Villa X._ [...] Contexte - Typologie - Comparaisons - Essai d'attribution" (janvier 2017/compléments juin 2017), auquel était annexé un texte de D._, de janvier 2017, intitulé "Typologie, style de la villa, description et décors". L'historienne E._ confirme l'intérêt patrimonial de l'édifice, précisant que "si le recensement architectural de Pully venait à être révisé aujourd'hui, une note 2 serait proposée à la villa X._. Ceci d'autant que l'intérieur [était] désormais connu, avec de nombreux éléments préservés (escalier, vitraux, sols, parquets, cheminées, typologie, etc.) ".
Le Tribunal cantonal a par ailleurs requis la Commission fédérale des monuments historiques (ci-après: CFMH) d'établir une expertise spéciale au sens de l'art. 17a de la loi fédérale du 1er juillet 1966 sur la protection de la nature et du paysage (LPN; RS 451). Dite commission a rendu son rapport le 1er mars 2018; en conclusion, elle "confirme que le classement comme monument historique est absolument justifié. Par ailleurs elle estime que la villa mérite d'être réévaluée en note *2V* au recensement architectural. En tant que témoin rare d'une époque architecturale très peu représentée et protégée, elle compte au sein du patrimoine cantonal. Son état de conservation fait montre d'une authenticité remarquable, alors même que les interventions plus récentes sont bien intégrées. Enfin, le parc qui entoure la villa, demeure une partie constitutive essentielle en dépit des atteintes qui lui ont été portées récemment".
En réponse, B._ a notamment déposé un document du 10 juin 2018 établi, à sa requête, par l'architecte F._. Au terme de son analyse et à titre de conclusion, ce dernier "constate que consécutivement aux rapports et expertises établi [sic] dont les commanditaires sont les pouvoirs publics, les historiens d'art par définition censés être indépendants, abondent dans leur sens, et qui par manque de courage civique - sous pressions diverses - préfèrent au titre de spécialistes tout conserver. Sans égard aux dépenses considérables pour des objets anciens de faible valeur architecturale et patrimoniale en état de conservation critique. Notamment la mise en conformité avec les prescriptions en matière énergétique. Sans parler de l'affectation pour la revitalisation des locaux difficilement utilisables, vu leur structure et organisation spatiale désuètes et inadaptées. Pour le surplus, la conservation de la villa va à l'encontre de la volonté actuelle de densification et de l'économie d'énergie".
A l'issue de cette instruction complémentaire, par arrêt du 7 août 2019, le Tribunal cantonal a rejeté le recours. Il a en substance considéré que l'intérêt public à la conservation de la villa "X._" l'emportait sur les intérêts privés du recourant, spécialement s'agissant des conséquences financières du classement.
F.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, B._ demande principalement au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt attaqué en ce sens que les décisions du Département des finances et des relations extérieures et du Département des infrastructures et des ressources humaines du 28 mai 2014 sont annulées, le classement de la villa "X._" n'est pas ordonné. Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il requiert également l'octroi de l'effet suspensif.
Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer sur le recours et se réfère aux considérants de son arrêt. Le DFIRE et le DIRH, la Municipalité de Pully, A._, ainsi que Patrimoine suisse, par sa section vaudoise, concluent au rejet du recours. Aux termes d'un échange subséquent d'écritures, les parties persistent dans leurs conclusions respectives. La municipalité s'est encore brièvement exprimée par acte du 10 novembre 2020.
Par ordonnance du 14 octobre 2019, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif.

considerations:
Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 116; arrêt 1C_61/2021 du 18 février 2021 consid. 1).
1.1. Le recours est dirigé contre une décision prise en dernière instance cantonale dans une cause de droit public au sens de l'<ref-law>, sans qu'aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> ne soit réalisée; la voie du recours en matière de droit public selon les <ref-law> est partant ouverte.
Le recourant a pris part à la procédure devant l'instance précédente. En tant que propriétaire du bâtiment dont le classement est en cause, il est particulièrement touché par l'arrêt attaqué et peut se prévaloir d'un intérêt digne de protection à son annulation. Il bénéficie partant de la qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>. Il convient par conséquent d'entrer en matière sur le recours, sous les réserves qui suivent.
1.2. Dans une première partie de son mémoire, le recourant présente son propre état de fait. Une telle manière de procéder, dans la mesure où les faits exposés s'écartent des constatations de l'instance précédente ou les complètent, sans qu'il soit indiqué que ceux-ci seraient manifestement inexacts ou arbitraires (cf. art. 97 et 105 LTF), est irrecevable, le Tribunal fédéral n'étant pas une instance d'appel (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 116 s.; <ref-ruling> consid. 10.1 p. 445).
1.3. Selon la jurisprudence, le droit de réplique déduit des art. 6 CEDH et 29 al. 2 Cst. n'a pas vocation à permettre au recourant de présenter, dans le cadre d'un échange d'écritures subséquent, des arguments nouveaux ou des griefs qui auraient déjà pu figurer dans l'acte de recours (cf. <ref-ruling> consid. 1.2.3 p. 286; arrêt 1C_70/2020 du 8 décembre 2020 consid. 2); le recourant ne saurait, par ce biais, remédier à une motivation défaillante ou encore compléter les motifs de son recours. Admettre le contraire aurait pour conséquence de prolonger le délai légal de recours, ce que prohibe expressément l'<ref-law>, et de créer des inégalités de traitement.
En l'espèce, au stade de la réplique, le recourant se prévaut à réitérées reprises d'une constatation inexacte des faits, invoquant à cet égard l'<ref-law> [ recte : <ref-law>]. Ces critiques n'interviennent toutefois pas en réponse aux déterminations des autres parties à la procédure, mais constituent des griefs nouveaux, qu'il eût appartenu au recourant d'articuler d'emblée, au stade du recours (cf. consid. 1.2 ci-dessus); tardifs, ils sont irrecevables.
1.4. Selon l'<ref-law>, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente.
A l'appui de son pourvoi, le recourant produit une "Estimation sommaire du coût de rénovation de la villa «X._»", du 15 avril 2013, établie par G._ SA (pièce 3 du bordereau du 17 septembre 2019). Il indique que ce document a été déposé dans le cadre de la procédure d'autorisation de construire actuellement suspendue devant le Tribunal cantonal (cf. Faits, let. B). Cette pièce ne ressortant en revanche pas du dossier de la présente cause et le recourant n'expliquant pas que l'exception prévue à l'art. 99 al. 1 in fine LTF serait réalisée, elle est irrecevable (cf. <ref-ruling> consid. 3 p.).
2.
A titre de mesure d'instruction, le recourant requiert la production, en mains du Tribunal cantonal, du dossier de la cause cantonale AC.2013.0220 relative à la délivrance d'un permis de construire, actuellement suspendue (cf. Faits, let. B). Outre que le recourant ne fournit aucune explication sérieuse quant à la pertinence de cette mesure, le Tribunal fédéral s'estime suffisamment renseigné pour statuer en l'état du dossier. Il n'y a par conséquent pas lieu de faire droit à cette requête (cf. <ref-law> [RS 273], par renvoi de l'<ref-law>).
3.
Dans un premier grief intitulé "De l'autorité de l'arrêt de renvoi et non-respect des instructions contenues dans ses considérants", le recourant reproche en substance à l'instance précédente de n'avoir pas respecté l'arrêt de renvoi du Tribunal fédéral du 20 juin 2016 (1C_266/2015); selon lui, la cour cantonale n'était pas autorisée à demander la mise en oeuvre d'une expertise auprès de la CFMH. Cette commission ne serait, en tout état de cause, compétente que pour l'examen d'objets d'importance fédérale et non d'objets d'importance locale ou régionale; l'expertise aurait ainsi été requise en violation du droit fédéral. Dans la suite de son exposé ("De l'autorité de chose jugée liée à la décision du 16 avril 2015"), le recourant soutient encore que le Tribunal cantonal serait à tort revenu sur la question de son intérêt privé à pouvoir démolir "X._"; à comprendre l'argumentation développée à ce stade, ce point aurait été tranché définitivement par le premier jugement cantonal du 16 avril 2015.
3.1. Selon l'art. 107 al. 2 1 ère phrase LTF, si le Tribunal fédéral admet le recours, il statue lui-même sur le fond ou renvoie l'affaire à l'autorité précédente pour qu'elle prenne une nouvelle décision. Le principe de l'autorité de l'arrêt de renvoi découle du droit fédéral non écrit (<ref-ruling> consid. 5.3.3 p. 222). Conformément à ce principe, l'autorité cantonale à laquelle la cause est renvoyée par le Tribunal fédéral est tenue de fonder sa nouvelle décision sur les considérants de droit de l'arrêt du Tribunal fédéral. Elle est ainsi liée par ce qui a déjà été définitivement tranché par le Tribunal fédéral et par les constatations de fait qui n'ont pas été attaquées devant lui ou l'ont été sans succès (<ref-ruling> consid. 5.2.1 p. 220; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 94; arrêt 6B_170/2020 du 15 décembre 2020 consid. 1.2). La motivation de l'arrêt de renvoi détermine dans quelle mesure la cour cantonale est liée à la première décision, prononcé de renvoi qui fixe aussi bien le cadre du nouvel état de fait que celui de la nouvelle motivation juridique; les faits nouveaux ne peuvent être pris en considération que sur les points ayant fait l'objet du renvoi, lesquels ne peuvent être ni étendus, ni fondés sur une base juridique nouvelle (<ref-ruling> consid. 2 p. 335; arrêt 1B_302/2020 du 15 février 2021).
3.2. Il ressort de l'arrêt de renvoi du 20 juin 2016 que le Tribunal fédéral a retourné la cause au Tribunal cantonal en l'invitant à statuer à nouveau en procédant à une pesée complète des intérêts, non sans avoir préalablement complété l'instruction s'agissant de la valeur historique, scientifique et architecturale de la villa "X._" (cf. arrêt 1C_266/2015 consid. 3.3). Or, le Tribunal cantonal s'est précisément livré à un tel complément d'instruction: le dossier de la cause a ainsi été enrichi d'un rapport de l'historienne des monuments E._ de janvier 2017, complété en juin de la même année; celui-ci comprend en outre un texte de janvier 2017 rédigé par l'expert D._. Que ce dernier n'ait finalement pas été auditionné ne viole au demeurant pas le droit d'être entendu du recourant : en premier lieu, l'arrêt de renvoi n'imposait pas à l'instance précédente de mettre impérativement en oeuvre cette mesure d'instruction (cf. arrêt 1C_266/2015 consid. 3.2.3); le recourant ne prétend ensuite pas l'avoir formellement requise ni que son refus résulterait d'une appréciation anticipée des preuves entachée d'arbitraire. Par ailleurs et contrairement à ce que soutient encore le recourant, l'arrêt du Tribunal fédéral n'interdisait pas non plus à la cour cantonale de mettre en oeuvre d'autres et plus amples mesures d'instructions (cf. en particulier arrêt 1C_266/2015 consid. 3.3 et l'emploi de l'adverbe "notamment"). Il était par conséquent loisible au Juge instructeur, sans que cela ne heurte l'autorité de l'arrêt de renvoi, de requérir une expertise complémentaire auprès de la CFMH.
3.2.1. S'agissant plus particulièrement de cette dernière mesure, et quoi qu'en dise le recourant, celle-ci n'apparaît pas contraire au droit fédéral. Il est vrai qu'en application de l'art. 7 al. 2 de la loi fédérale sur la protection de la nature et du paysage du 1er juillet 1966 (LPN; RS 451), l'établissement d'une expertise par une commission fédérale au sens de l'<ref-law> ne s'impose que lorsque l'accomplissement d'une tâche fédérale peut altérer sensiblement un objet inscrit dans un inventaire fédéral en vertu de l'<ref-law> (IFP, ISOS, IVS; cf. JÖRG LEIMBACHER, in Commentaire LPN, 2e éd. 2019, n. 3 ad <ref-law>) ou soulève des questions de fond. Toutefois, aux termes de l'<ref-law>, le Conseil fédéral définit les cas dans lesquels une commission peut, avec l'accord du canton, procéder à une expertise de son propre chef ou à la demande de tiers; et l'art. 25 al. 1 let. e de l'ordonnance sur la protection de la nature et du paysage du 19 janvier 1991 (OPN; RS 451.1) de préciser que la CFMH établit des expertises spéciales lorsqu'un projet qui ne constitue pas une tâche fédérale au sens de l'<ref-law> pourrait porter préjudice à un objet figurant dans un inventaire de la Confédération au sens de l'<ref-law> ou ayant une importance particulière sur un autre plan. C'est le cas de figure ici, dès lors qu'au regard du premier recensement, la villa "X._" présentait à tout le moins un intérêt local, dont la valeur patrimoniale nécessitait cependant une clarification (note *3V*; cf. art. 49 ss et 52 ss de la loi cantonale du 10 décembre 1969 sur la protection de la nature, des monuments et des sites [LPNMS; RS/VD 450.11]; rapport CFMH du 1er mars 2018 p. 8 s.; JÖRG LEIMBACHER, in Commentaire LPN, 2e éd. 2019, n. 6 s. ad <ref-law>). La cour cantonale pouvait dès lors, sans que cela ne soit critiquable, mettre en oeuvre la CFMH pour l'établissement d'une expertise complémentaire.
3.2.2. Pour terminer, il n'y a guère de sens à affirmer que la cour cantonale aurait outrepassé l'autorité de chose jugée de son premier arrêt du 16 avril 2015 en réexaminant la question de l'intérêt privé du recourant, spécialement s'agissant des conséquences financières liées au classement, respectivement à l'interdiction de démolir. En effet, par arrêt de renvoi du 20 juin 2016 (1C_266/2015), le Tribunal fédéral a, pour un motif formel, annulé ce premier arrêt cantonal. Renvoyant la cause à la cour cantonale, le Tribunal fédéral ne l'a pas uniquement invitée à compléter l'instruction s'agissant de la valeur patrimoniale de la villa, mais également à procéder ensuite à une nouvelle pesée complète des intérêts. Une telle directive sous-entend sans conteste une confrontation des intérêts publics à la conservation de l'objet aux intérêts privés du recourant à sa démolition. Le reproche du recourant apparaît dès lors sans pertinence. Autre est en revanche la question de savoir si cette nouvelle pesée a été réalisée en conformité avec le droit fédéral, respectivement avec la garantie de la propriété. Cet aspect sera examiné ultérieurement en lien avec la violation de l'art. 26 Cst. (cf. consid. 5).
3.3. En définitive, les griefs formulés s'agissant de l'autorité de l'arrêt de renvoi du 20 juin 2016, de la force de chose jugée de l'arrêt cantonal du 16 avril 2015, de même que les critiques en lien avec la compétence de la CFMH, apparaissent mal fondés et doivent être rejetés.
4.
Le recourant rappelle ensuite avoir fait valoir, à l'appui de son recours cantonal, des irrégularités formelles liées à la compétence du DFIRE et du DIRH. Selon lui, la cour cantonale aurait alors laissé cette question indécise, de sorte qu'il lui appartenait de statuer sur cette problématique dans le cadre du renvoi de la cause, sauf à violer son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.).
4.1. Dans son premier arrêt, le Tribunal cantonal a retenu que la décision de classement du 28 mai 2014 avait été prise par le département compétent, à savoir le DIRH. Ce dernier n'avait en revanche pas statué sur les oppositions, en particulier celle émanant du recourant: les décisions sur oppositions avaient été prises par le DFIRE, auquel était alors rattaché le SIPAL. Toutefois, les deux départements avaient veillé à la coordination des décisions et à ce que matériellement les oppositions soient traitées; la violation des règles de compétence n'apparaissait pas grave au point d'entraîner la nullité absolue de la décision de classement invoquée par le recourant.
C'est dès lors à tort que le recourant assène que le Tribunal cantonal n'aurait pas formellement statué sur son grief, dans le cadre de son premier jugement. Cette problématique ne faisant pas l'objet de l'arrêt de renvoi du 20 juin 2016 (1C_266/2015), il n'incombait pas à la cour cantonale de se pencher une nouvelle fois sur cet aspect du litige, dans le cadre de la reprise de cause (cf. consid. 3.1 ci-dessus). On ne saurait ainsi voir dans son refus de réexaminer cette question une violation du droit d'être entendu ni une violation de l'autorité du jugement de renvoi; on ne saurait pas non plus reprocher à la cour cantonale un défaut de motivation de son second arrêt, celle-ci ayant dûment rappelé les principes définis par la jurisprudence en matière d'autorité de l'arrêt de renvoi (cf. arrêt attaqué consid. 1).
4.2. Il apparaît quoi qu'il en soit qu'une éventuelle violation du droit d'être entendu commise dans le cadre de la procédure d'opposition, matérialisée, selon le recourant, par le fait que le département compétent n'a pas statué sur son opposition, a été réparée au cours de la procédure cantonale de recours. Le recourant a en effet pu faire valoir l'entier de ses griefs contre le classement devant la cour cantonale, qui bénéficie d'une pleine cognition en fait et en droit (cf. <ref-ruling> consid. 4.4 p. 174; <ref-ruling> consid. 2.8.1 p. 226 s.); celle-ci a statué sur chacun d'entre eux, le recourant ne se prévalant du reste à cet égard pas d'un déni de justice formel; il a en outre également pu se déterminer s'agissant de la pertinence du classement lors de la reprise de l'instruction par le Tribunal cantonal.
4.3. Le grief apparaît par conséquent mal fondé et doit être rejeté.
5.
Le recourant fait valoir une violation de la garantie de la propriété (art. 26 Cst.). En lien avec ce grief, il remet en cause l'intérêt public à la conservation de la villa "X._" et affirme que la mesure de classement serait disproportionnée. Il ne conteste en revanche pas l'existence d'une base légale suffisante.
5.1. La garantie de la propriété est ancrée à l'art. 26 al. 1 Cst. Elle n'est toutefois pas absolue. Comme tout droit fondamental, elle peut être restreinte aux conditions fixées à l'art. 36 Cst. La restriction doit ainsi reposer sur une base légale (al. 1), être justifiée par un intérêt public (al. 2) et respecter le principe de la proportionnalité (al. 3). Ce principe exige qu'une mesure restrictive soit apte à produire les résultats escomptés - règle de l'aptitude -, que ceux-ci ne puissent être atteints par une mesure moins incisive - règle de la nécessité -, et qu'il existe un rapport raisonnable entre le but visé et les intérêts publics ou privés compromis - règle de la proportionnalité au sens étroit - (cf. <ref-ruling> consid. 4.2.1 p. 173; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 246).
Les griefs de violation des droits fondamentaux sont soumis à des exigences de motivation accrues (<ref-law>). La partie recourante doit alors mentionner les principes constitutionnels qui n'auraient pas été respectés et expliquer de manière claire et précise en quoi ceux-ci auraient été violés (<ref-ruling> consid. 6.3 p. 375; <ref-ruling> consid. 2.8 p. 494; arrêt 1C_104/2019 du 21 avril 2020 consid. 3.1.1).
Sous cette réserve, le Tribunal fédéral examine en principe librement si une restriction de la propriété répond à un intérêt public et respecte le principe de la proportionnalité; il s'impose toutefois une certaine retenue lorsqu'il s'agit de tenir compte de circonstances locales dont les autorités cantonales ont une meilleure connaissance que lui, ou de trancher de pures questions d'appréciation (cf. <ref-ruling> consid. 4.2.1 p. 173; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 181; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 415). Le Tribunal fédéral doit alors examiner, dans le cadre des griefs soulevés (<ref-law>), si la décision attaquée se prononce de façon complète sur les motifs d'intérêt public invoqués pour justifier l'atteinte au droit de propriété et si, dans la pesée des intérêts, les intérêts privés ont été pris en considération de manière adéquate (cf. <ref-ruling> consid. 2b p. 397; arrêts 1C_447/2009 du 11 mars 2010 consid. 4.1; 1A.265/2006 du 14 juin 2007 consid. 4.4.5).
5.2. Le recourant reproche à nouveau à l'instance précédente d'être revenue sur la question de son intérêt privé, en particulier financier, à la démolition de la villa. Il lui reproche de s'être arbitrairement écartée de son premier arrêt, en particulier s'agissant de l'importance revêtue par la restriction à son droit de la propriété. Cette approche est toutefois erronée pour les motifs déjà exposés (cf. consid. 3.2.2), l'arrêt de renvoi ordonnant non seulement un complément d'instruction, mais également une pesée complète des intérêts en présence. En confrontant l'intérêt public à la conservation de la villa, mis en particulier en évidence par le rapport de la CFMH, aux intérêts privés du recourant, la cour cantonale n'est pas revenue sur son appréciation, mais s'est conformée aux instructions de l'instance supérieure.
Quant à la longue argumentation déployée ensuite par le recourant en lien avec l'expropriation matérielle, elle ne saurait pas non plus prospérer. Ce n'est en effet pas dans le cadre de la procédure de classement qu'il s'agit de déterminer si l'atteinte entraînée par la mesure de protection est grave au point de justifier une indemnisation, mais par le biais d'une procédure spécifique (cf. art. 116 ss de la loi cantonale sur l'expropriation du 25 novembre 1974 [LE; RS/VD 710.01]; AURÉLIEN WIEDLER, La protection du patrimoine bâti, thèse 2019, p. 104), dont on peut d'ailleurs douter qu'elle relève de la compétence de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (cf. art. 116 LE). L'instance précédente se devait uniquement de déterminer si la mesure envisagée en vue de protéger la villa "X._" respectait le principe de proportionnalité par rapport aux intérêts du propriétaire, ce qu'il convient à ce stade d'examiner.
5.3. En l'espèce, la cour cantonale a fait siennes les conclusions du rapport CFMH, lesquelles n'entraient pas en contradiction, voire complétaient les éléments décrits par les deux spécialistes du département cantonal, E._ et D._. Cette mesure de protection s'imposait en raison de la rareté de l'objet. La villa et le parc demeuraient des témoins précieux de leur temps. La mesure de classement s'imposait également au vu des qualités architecturales propres de la villa. L'intérêt à la conservation de la villa et de ses abords immédiats devait l'emporter sur les intérêts privés - essentiellement financiers - du recourant. A l'intérieur, l'appartement n'était ni en ruine ni inutilisable; son affectation pouvait être conservée. Le classement ne concernait que la villa et ses abords immédiats, à l'exclusion de la partie sud. Dans ces conditions, compte tenu de l'intérêt public à la conservation de la villa, son classement apparaissait justifié et proportionné.
5.3.1. Le recourant remet tout d'abord en cause l'intérêt patrimonial à la conservation de la villa "X._". Il soutient que, dans le cadre de son premier jugement, la cour cantonale aurait "admis, selon sa propre conviction, que «X._» ne présentait pas les caractéristiques que l'on voulait bien lui prêter". En faisant par la suite siennes, dans son deuxième arrêt, les conclusions de la CFMH, le Tribunal cantonal aurait pris un parti diamétralement opposé alors que la situation n'avait dans l'intervalle pourtant pas changé, celle-ci s'étant même aggravée en raison de la construction du bâtiment sur la partie sud. Sans toutefois se prévaloir de l'art. 29 al. 2 Cst., il reproche encore à la cour cantonale de n'avoir pas expliqué en quoi le rapport de la commission fédérale était de nature à modifier sa première appréciation, ni les motifs pour lesquels elle s'était écartée des conclusions de l'architecte F._, mandaté par ses soins.
5.3.2. Par son arrêt de renvoi du 20 juin 2016 (1C_266/2015), le Tribunal fédéral a annulé le premier arrêt et a ordonné au Tribunal cantonal de compléter son instruction s'agissant de la valeur patrimoniale de la villa. Comme déjà évoqué précédemment, le Tribunal cantonal s'est conformé à ces directives en requérant notamment une expertise complémentaire auprès de la CFMH. Le Tribunal cantonal n'a pas "diamétralement" changé son appréciation, mais s'est livré à l'analyse de l'intérêt à la conservation de la villa à la lumière des éléments nouveaux révélés par le complément d'instruction. Il s'est rallié aux conclusions de la CFMH, non sans avoir souligné que ce rapport comportait une synthèse des informations pertinentes à propos de la valeur de la villa; elle n'était pas en contradiction avec ce qui avait été constaté précédemment, de façon plus sommaire dans la décision de classement. Cette expertise mettait clairement en évidence les caractéristiques du quartier. La description du bâtiment et du jardin était suffisamment précise et cohérente, compte tenu de ce qui avait aussi pu être observé lors de l'inspection locale. Les explications de la CFMH étaient convaincantes. La cour cantonale a en outre rappelé qu'en matière de protection des monuments historiques, cette commission disposait de compétences spécialisées particulières, de sorte qu'il convenait d'en respecter l'avis lorsque celui-ci était exprimé de manière claire et sans réserve.
5.3.3. Outre que ces explications apparaissent suffisantes sous l'angle des exigences de motivation déduites de l'art. 29 al. 2 Cst. (cf. <ref-ruling> consid. 5.2 p. 70 s.; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 157) - permettant en particulier au recourant de comprendre les motifs pour lesquels l'avis de l'expert privé n'a pas été suivi -, il n'y a, sur le fond, pas de raison de les mettre en doute. Selon la jurisprudence constante, le juge ne peut en effet s'écarter de l'avis d'un expert en matière technique sans motif valable; il doit exister des objections sérieuses à la force probante du rapport d'expertise (cf. <ref-ruling> consid. 5.5 p. 78 et consid. 6.4 p. 79 s.; voir également <ref-ruling> consid. 2.1 p. 118; arrêt 1C_528/2018 du 17 octobre 2019 consid. 4.5, publié in DEP 2020 p. 190). Or, le recourant ne démontre pas que la méthode d'expertise employée par la CFMH serait erronée ou encore que son rapport renfermerait des contradictions commandant de s'en détacher au profit du rapport F._. Le recourant se contente de critiques appellatoires. Il affirme que le rapport CFMH retiendrait à tort la rareté de la villa; ce faisant, il se contente d'opposer sa propre appréciation à celle de la cour cantonale, respectivement de la CFMH: le rapport énumère en effet les quelques bâtiments présentant des caractéristiques architecturales analogues existant encore dans la région lausannoise (cf. rapport CFMH p. 6); il expose ensuite les éléments caractérisant la rareté de l'objet, décrivant celui-ci comme étant l'une des plus intéressantes villas connues de la littérature scientifique et de l'iconographie pour cette époque dans la région lausannoise (cf. rapport CFMH p. 7). De même et contrairement à ce que soutient le recourant, le rapport CFMH tient compte de la densification du quartier de Chamblandes et inscrit son analyse dans ce contexte (cf. rapport CFMH p. 3 s.). On ne perçoit pas non plus en quoi les autorités précédentes auraient adopté une position paradoxale en autorisant une nouvelle construction dans la partie sud de l'ancienne parcelle no 1355; c'est en particulier perdre de vue que la limitation de la mesure de protection à la seule villa et ses abords immédiats répond à des exigences liées à la proportionnalité, comme cela sera encore discuté ci-après. A cet égard, il convient d'ailleurs de préciser que la CFMH a explicitement indiqué les raisons pour lesquelles, en dépit de cette altération de la partie sud, l'intérêt à la conservation de la villa et de ses abords demeurait (cf. rapport CFMH p. 7). La critique du recourant tombe partant à faux.
5.3.4. C'est enfin de manière tardive (cf. consid. 1.3) que le recourant se prévaut d'une constatation manifestement inexacte des faits s'agissant de la prétendue absence d'intérêt de la population pour la préservation de la villa "X._". Il ressort quoi qu'il en soit de l'arrêt attaqué que l'intérêt à la conservation de l'objet ne découle pas uniquement de sa valeur typologique, mais également - aspects reconnaissables du grand public - de ses caractéristiques architecturales propres, ainsi que de la beauté du jardin. Il ne ressort en tout état de cause pas du dossier que le grand public témoignerait d'une hostilité à l'endroit de cette bâtisse, ou encore que sa préservation serait jugée illégitime. On déduit au contraire de la participation à la procédure de deux associations de défense du patrimoine, dont l'une est constituée d'habitants de la commune, l'existence d'une préoccupation de la société civile à la protection de cet objet.
5.3.5. Dans ces circonstances, on ne saurait reprocher à la cour cantonale de s'être ralliée aux conclusions de la CFMH, en tant qu'organe spécialisé (cf. <ref-ruling> consid. 9.3 p. 199; voir également <ref-ruling> consid. 2.1 p. 118; arrêt 1C_72/2017 du 14 septembre 2017 consid. 3.2; THIERRY TANQUEREL, Manuel de droit administratif, 2e éd. 2018, n. 508 p. 176), au détriment du rapport de l'architecte mandaté par le recourant, qui ne constitue au demeurant qu'un allégué de partie (cf. <ref-ruling> consid. 6 p. 359; <ref-ruling> consid. 6.2 p. 373; cf. également arrêt de renvoi 1C_266/2015 du 20 juin 2016 consid. 3.2.3). Cela est d'autant plus vrai que les conclusions de la CFMH confirment les résultats initiaux des autorités cantonales compétentes, pour l'examen desquels le Tribunal fédéral s'impose une certaine retenue s'agissant de l'appréciation de circonstances locales (cf. <ref-ruling> consid. 4.2.1 p. 173; arrêts 1C_72/2017 du 14 septembre 2017 consid. 5.3; 1C_32/2012 du 7 septembre 2012 consid. 6.1). Il n'est ainsi pas critiquable d'avoir en définitive retenu que la villa était le rare témoin encore existant d'une manière de construire; qu'en dépit des atteintes, la villa et le parc demeuraient des témoins précieux de leur temps et que, malgré des modifications sensibles du quartier, très densifié, l'ensemble subsistait (cf. apport CFMH p. 7); et enfin, qu'en tant que témoin rare d'une époque architecturale très peu représentée et protégée, elle comptait au sein du patrimoine cantonal (cf. rapport CFMH p. 9).
5.4. Sur le plan de l'intérêt privé du recourant, en particulier financier, la cour cantonale a reconnu que le classement de la villa empêchait la construction d'un immeuble d'habitation moderne. Cela impliquait également l'obligation d'entretenir le monument historique. L'usage de logement de la villa pouvait cependant être maintenu de sorte que la mesure de classement ne privait pas le recourant de tout avantage financier. Il n'était ainsi pas nécessaire de compléter l'instruction au sujet des investissements qu'il y aurait lieu d'engager pour réparer certains éléments extérieurs ou intérieurs de la villa.
5.4.1. S'il est vrai que le recourant conteste la solution de l'instance précédente, il ne fait cependant pas valoir dans son recours qu'elle découlerait d'une appréciation arbitraire des preuves au dossier. Ce n'est du reste qu'au stade de ses écritures ultérieures qu'il soulève un tel grief, invoquant à cet égard une "expertise du bureau W._" ainsi que l'estimation établie par G._ SA (pièce 3 du bordereau du 17 septembre 2019). Pour les motifs déjà invoqués ci-dessus une telle manière de procéder n'est pas admissible et ces critiques doivent être déclarées irrecevables (cf. consid. 1.3 et 1.4).
5.4.2. Il n'est quoi qu'il en soit pas critiquable de ne pas avoir instruit de manière plus approfondie la question des coûts de remise en état invoqués par le recourant. La cour cantonale a reconnu que la mesure de classement empêchait la démolition de la villa et la construction, après la vente de la parcelle, d'un immeuble d'habitation moderne. Il est également vrai que cela implique l'obligation d'entretenir le monument historique, le recourant ayant depuis quelques années renoncé à certaines travaux d'entretien compte tenu, selon l'arrêt attaqué, du projet de démolition. Toutefois, sans que cela ne soit valablement contesté, il apparaît - en particulier sur la base des constatations lors de l'inspection locale - que la villa, qui a toujours servi de maison d'habitation pour une famille, peut conserver cette affectation. Le logement peut également être maintenu pour l'usage du recourant ou encore celui de ses proches. Il lui reste également possible de mettre la villa en location. Force est ainsi constater, avec la cour cantonale, que la mesure de classement ne prive pas le recourant de tout avantage financier. Cela suffit, spécialement au regard de l'intérêt patrimonial présenté par la villa, à faire prévaloir l'intérêt public à sa conservation sur les intérêts privés, en particulier financiers, du recourant, la jurisprudence ne garantissant pas une utilisation financière optimale du bâtiment (cf. <ref-ruling> consid. 2c p. 221; arrêts 1C_128/2019 du 25 août 2020 consid. 10.4, destiné à publication; 1C_72/2017 du 14 septembre 2017 consid. 7.3.2). A ces perspectives s'ajoute en outre le fait que la portion classée de la parcelle se limite à la villa et à ses abords immédiats: la partie sud de l'ancienne parcelle no 1355 n'y ayant pas été englobée, celle-ci a pu faire l'objet d'une opération financière ayant conduit à sa vente en tant que terrain constructible et la réalisation d'un immeuble d'habitation de huit logements.
5.4.3. Enfin, qu'en raison d'un défaut d'entretien - que le recourant justifie par la perspective d'une démolition -, il faille potentiellement entreprendre des travaux d'entretien n'est pas pertinent: l'obligation pour le propriétaire d'entretenir un monument historique classé découle de l'art. 55 al. 1 LPNMS, même si l'entretien se révèle en définitive coûteux; cela ne saurait ainsi constituer un argument pour s'opposer au classement, lorsqu'il est, comme en l'espèce, justifié par des motifs liés à l'intérêt patrimonial de l'objet et sa rareté, la nécessité d'entreprendre le remplacement de certaines installations à l'issue de leur durée d'utilisation étant dans la nature des choses (cf. arrêt 1C_128/2019 du 25 août 2020 consid. 10.3, destiné à publication). Cela étant et comme le rappelle le Tribunal cantonal, cette rigueur est atténuée par la loi - au nom du principe de la proportionnalité -, spécialement par l'art. 56 LPNMS, qui prévoit que l'Etat peut participer financièrement aux fouilles ainsi qu'à l'entretien et à la restauration des monuments historiques et antiquités classés. Il appartiendra au recourant, dans le cadre d'une procédure distincte, de déposer auprès de l'autorité compétente une demande d'intervention financière de l'Etat, s'il le juge opportun (cf. art. 36 du règlement d'application de la LPNMS du 22 mars 1989 [RLPNMS; RS/D 450.11.1]).
5.5. En définitive, compte tenu spécialement de la valeur patrimoniale du bâtiment protégé, de la possibilité (réalisée) de vendre et de construire sur la partie sud du terrain (actuelle parcelle no 7440), ainsi que de l'expectative d'obtenir un certain rendement du logement existant, le Tribunal cantonal pouvait apprécier les circonstances en ce sens que l'intérêt au maintien de la villa "X._" et de ses abords immédiats devait prévaloir. Aussi, même si la mesure litigieuse est de nature à diminuer les expectatives de rendement du propriétaire, celle-ci répond à intérêt public important et ne porte pas atteinte au principe de la proportionnalité.
Mal fondé, le grief est rejeté.
6.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité, aux frais du recourant, qui succombe (<ref-law>). Celui-ci versera en outre des dépens à A._ ainsi qu'à Patrimoine Suisse, par sa section vaudoise, qui obtiennent gain de cause avec l'assistance de mandataires professionnels (<ref-law>). L'association Sauvons le patrimoine de Pully, qui n'a pas procédé à ce stade, n'y a en revanche pas droit (cf. <ref-law>). N'ont pas non plus droit à des dépens, le Département des finances et des relations extérieures, le Département des infrastructures et des ressources humaines, ainsi que de la municipalité, qui agissent dans l'exercice de leurs attributions officielles (<ref-law>).

rulings:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais de justice, arrêtés à 4'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Une indemnité de 3'000 fr. est allouée à A._, à titre de dépens, à la charge du recourant.
4.
Une indemnité de 3'000 fr. est allouée à Patrimoine Suisse, par sa section vaudoise, à titre de dépens, à la charge du recourant.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires du recourant, de la Municipalité de Pully, du Département des finances et des relations extérieures du canton de Vaud, du Département des infrastructures et des ressources humaines du canton de Vaud, ainsi qu'aux mandataires de A._ et de Patrimoine suisse, section vaudoise, à l'Association Sauvons le patrimoine de Pully, ainsi qu'à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 7 avril 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Kneubühler
Le Greffier : Alvarez


facts:
Faits :
A.
A.a. A._, né en 1983, a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité au mois de décembre 2009. Après avoir accordé à l'assuré différentes mesures d'intervention précoce et de réadaptation, l'Office cantonal AI du Valais (ci-après: l'office AI) a nié son droit à une rente d'invalidité par décision du 1 er mars 2013 (taux d'invalidité de 18%). Par la suite, l'assuré a présenté une nouvelle demande de prestations en avril 2013 que l'office AI a rejetée au terme de l'instruction, par décision du 25 novembre 2016.
A.b. En juin 2017, A._ a déposé une troisième demande de prestations de l'assurance-invalidité. L'office AI a refusé d'entrer en matière sur cette demande, considérant que l'assuré n'avait pas rendu plausible une aggravation de son état de santé (décision du 2 mars 2018).
B.
A._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal cantonal du Valais, Cour des assurances sociales. Dans son mémoire de recours du 27 mars 2018, il a notamment demandé la mise en oeuvre de débats publics. Par arrêt du 18 décembre 2019, la juridiction cantonale a rejeté le recours. Elle n'a pas donné suite à la requête tendant à l'organisation de débats publics.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut principalement à la reconnaissance de son droit à une rente entière d'invalidité depuis le 1 er mars 2013. Subsidiairement, il requiert le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction.

considerations:
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il statue par ailleurs sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Le recourant qui entend s'en écarter doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut pas être pris en considération.
2.
Dans un grief d'ordre formel, le recourant se plaint d'une violation de son droit à un procès équitable garanti par l'art. 6 § 1 CEDH. Il soutient en substance qu'il avait présenté une requête tendant à la mise en oeuvre de débats publics dans son recours cantonal, de sorte que l'autorité précédente aurait dû organiser de tels débats.
3.
3.1. L'art. 30 al. 3 Cst., selon lequel l'audience et le prononcé du jugement sont publics, ne confère pas au justiciable de droit à une audience publique. Il se limite à garantir qu'une telle audience se déroule publiquement lorsqu'il y a lieu d'en tenir une. Le droit à des débats existe seulement pour les causes qui bénéficient de la protection de l'art. 6 § 1 CEDH, lorsque la procédure applicable le prévoit ou lorsque sa nécessité découle des exigences du droit à la preuve (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 290 ss). L'art. 6 § 1 CEDH garantit notamment à chacun le droit à ce que sa cause soit entendue publiquement.
La tenue de débats publics doit, sauf circonstances exceptionnelles non réunies en l'espèce, avoir lieu devant les instances judiciaires précédentes. Il appartient à ce titre au recourant, sous peine de forclusion, de présenter une demande formulée de manière claire et indiscutable. Saisi d'une telle demande, le juge doit en principe y donner suite. Il peut cependant s'en abstenir dans les cas prévus par l'art. 6 par. 1, 2ème phrase, CEDH, lorsque la demande est abusive (chicanière ou dilatoire), lorsqu'il apparaît clairement que le recours est infondé, irrecevable ou, au contraire, manifestement bien fondé ou encore lorsque l'objet du litige porte sur des questions hautement techniques (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 98 s.; cf. aussi arrêts 9C_320/2019 du 9 décembre 2019 consid. 4.1 et 8C_528/2017 du 19 décembre 2017 consid. 1.3 et les références). Le Tribunal fédéral a précisé qu'il ne pouvait être renoncé à des débats publics au motif que la procédure écrite convenait mieux pour discuter de questions d'ordre médical, même si l'objet du litige porte essentiellement sur la confrontation d'avis spécialisés au sujet de l'état de santé et de l'incapacité de travail d'un assuré (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 283 s.).
3.2. En l'espèce, il n'apparaît pas que l'une de ces exceptions soit réalisée. On ignore d'ailleurs les motifs pour lesquels les premiers juges n'ont pas donné suite à la requête du recourant. Sur ce point, le jugement attaqué ne contient aucune motivation.
3.3. En l'absence d'un motif qui s'opposait à la tenue d'une audience publique devant la juridiction cantonale et compte tenu de la demande non équivoque formulée devant celle-ci par le recourant, il y a lieu d'admettre que la procédure cantonale est entachée d'un vice de procédure qui entraîne d'emblée l'annulation du jugement entrepris, indépendamment des chances de succès sur le fond du recours en matière de droit public (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 335 s.). Dans ces circonstances, l'acte attaqué doit être annulé et la cause renvoyée à la juridiction cantonale pour qu'elle donne suite à la requête de débats publics du recourant et statue à nouveau. La conclusion subsidiaire du recours se révèle ainsi bien fondée.
4.
Vu l'issue de la procédure, qui relève de motifs formels, il convient de renoncer à un échange d'écritures (<ref-law>; arrêt 9C_320/2019 précité consid. 4.4 et les références).
5.
Le recourant, qui obtient gain de cause, a droit à des dépens à la charge de l'intimé (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 11.1 p. 312). Il est statué sans frais (<ref-law>).

rulings:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis. La décision du Tribunal cantonal du Valais, Cour des assurances sociales, du 18 décembre 2019 est annulée, la cause étant renvoyée à cette autorité pour qu'elle statue à nouveau en procédant conformément aux considérants. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
L'intimé versera au recourant la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du Valais, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 13 mai 2020
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
La Greffière : Perrenoud


facts:
Faits :
A.
A._ fait l'objet d'une enquête pénale menée par le Procureur cantonal Strada du Ministère public du canton de Vaud pour vol (<ref-law>) et violation de domicile (<ref-law>). En substance, il lui est reproché de s'être introduit par effraction dans une boutique sise rue de Bourg, à Lausanne, dans laquelle il se serait emparé de diverses enveloppes contenant les recettes des jours précédents et l'argent personnel de la responsable adjointe du magasin. Les faits se seraient déroulés entre le 11 août 2018 et le 14 septembre 2018.
B.
Le 29 avril 2019, A._ a demandé au Ministère public la récusation des inspecteurs de police dénommés B._ et C._, auteurs du rapport d'investigation du 7 mars 2019, faisant valoir des doutes sur leur impartialité.
Les inspecteurs visés ont été invités à se déterminer sur la demande de récusation et s'y sont opposés, contestant toute attitude partiale à l'égard de A._.
Par décision du 15 juillet 2019, le Ministère public a rejeté la demande de récusation, estimant qu'aucune prédisposition négative des inspecteurs n'avait pu être constatée au regard de la forme du rapport et qu'aucune suspicion de prévention n'avait pu être établie sur la base des éléments invoqués par A._.
C.
A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre la décision du 15 juillet 2019. Il conclut principalement à sa réforme en ce sens que la récusation des deux inspecteurs est prononcée. Subsidiairement, il conclut à l'annulation de la décision et au renvoi de la cause au Ministère public pour qu'il statue dans le sens des considérants, plus subsidiairement pour qu'il complète l'instruction. Il sollicite en outre l'octroi de l'assistance judiciaire.
Invité à se déterminer, le Ministère public a renoncé à présenter des observations, se référant aux considérants de sa décision. Quant aux intimés, ils n'ont pas déposé d'observations.

considerations:
Considérant en droit :
1.
Conformément aux art. 78 et 92 al. 1 LTF, une décision incidente relative à la récusation dans le cadre d'une procédure pénale peut faire immédiatement l'objet d'un recours en matière pénale. Les décisions rendues par le Ministère public relatives à la récusation de policiers sont susceptibles d'un recours direct auprès du Tribunal fédéral (art. 59 al. 1 let. a, 380 CPP et 80 al. 2 in fine LTF; <ref-ruling> consid. 1 p. 223 s.). L'auteur de la demande de récusation a qualité pour recourir (<ref-law>). Le recours a en outre été déposé en temps utile (<ref-law>) et les conclusions qui sont prises sont recevables (<ref-law>). Partant, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Le recourant fait valoir que le rapport d'investigation policière du 7 mars 2019, par les termes qui y sont utilisés et l'appréciation qui y est exposée, serait le reflet d'une prévention des inspecteurs intimés à son égard, de sorte que leur récusation doit être prononcée en application de l'art. 56 let. f CPP.
2.1.
2.1.1. Toute personne exerçant une fonction au sein d'une autorité pénale est récusable pour l'un des motifs prévus aux art. 56 let. a à e CPP. Elle l'est également, selon l'art. 56 let. f CPP, " lorsque d'autres motifs, notamment un rapport d'amitié étroit ou d'inimitié avec une partie ou son conseil, sont de nature à le rendre suspect de prévention ". Cette disposition a la portée d'une clause générale recouvrant tous les motifs de récusation non expressément prévus aux lettres précédentes de l'<ref-law>. Elle correspond à la garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH (<ref-ruling> consid 3.2 p. 74). Cet article du Code de procédure concrétise aussi les droits déduits de l'art. 29 al. 1 Cst. garantissant l'équité du procès et assure au justiciable cette protection lorsque d'autres autorités ou organes que des tribunaux sont concernés (<ref-ruling> consid. 3.2.2 p. 179 s.; <ref-ruling> consid. 2b p. 198). Une demande de récusation peut donc être déposée à l'encontre d'un fonctionnaire de police, dès lors qu'il est un membre des autorités de poursuite pénale (<ref-law>).
Si les art. 56 let. b à e CPP s'appliquent de manière similaire à celle prévalant pour les membres des autorités judiciaires, une appréciation différenciée peut s'imposer s'agissant de l'application de la clause générale posée à l'art. 56 let. f CPP. En effet, la différence de fonction existant entre une autorité judiciaire (<ref-law>) et un membre d'une autorité de poursuite pénale (<ref-law>) ne peut pas être ignorée. Les exigences de réserve, d'impartialité et d'indépendance prévalant pour la première catégorie peuvent donc ne pas être les mêmes s'agissant de la seconde (arrêt 1B_379/2016 du 19 décembre 2016 consid. 2.1.1 et les références citées; arrêt 1B_69/2013 du 27 juin 2013 consid. 4.1 et 4.2 et les arrêts cités).
La jurisprudence a ainsi reconnu que, durant la phase d'instruction, le ministère public peut être amené, provisoirement du moins, à adopter une attitude plus orientée à l'égard du prévenu ou à faire état de ses convictions à un moment donné de l'enquête; tout en disposant, dans le cadre de ses investigations, d'une certaine liberté, le magistrat reste cependant tenu à un devoir de réserve et doit s'abstenir de tout procédé déloyal, instruire tant à charge qu'à décharge et ne point avantager une partie au détriment d'une autre (arrêt 1B_257/2019 du 7 octobre 2019 consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.2.2 p. 179 s.; <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 145). En ce qui concerne la police, il n'y a lieu de se distancer de ces principes que dans la mesure où la direction de la procédure et les obligations en découlant ne lui incombent pas (cf. <ref-law>; arrêt 1B_379/2016 du 19 décembre 2016 consid. 2.1.1).
2.1.2. Selon la jurisprudence, les parties à une procédure ont le droit d'exiger la récusation d'un membre d'une autorité dont la situation ou le comportement sont de nature à faire naître un doute sur son impartialité. Cette garantie tend notamment à éviter que des circonstances extérieures à la cause puissent influencer une appréciation en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective est établie, car une disposition interne de l'intéressé ne peut guère être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale. Seules des circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération; les impressions individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 162; <ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 179; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 144).
Des décisions ou des actes de procédure qui se révèlent par la suite erronés ne fondent pas en soi une apparence objective de prévention; seules des erreurs particulièrement lourdes ou répétées, constitutives de violations graves des devoirs du magistrat, peuvent fonder une suspicion de partialité, pour autant que les circonstances dénotent que la personne en cause est prévenue ou justifient à tout le moins objectivement l'apparence de prévention. Il appartient en outre aux juridictions de recours normalement compétentes de constater et de redresser les erreurs éventuellement commises dans ce cadre. La procédure de récusation n'a donc pas pour objet de permettre aux parties de contester la manière dont est menée l'instruction et de remettre en cause les différentes décisions incidentes prises par la direction de la procédure (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 74 s.; <ref-ruling> consid. 3.2.3 p. 180; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 146).
2.2.
2.2.1. En l'espèce, s'agissant des termes " vice " et " addiction " employés par les inspecteurs intimés pour qualifier l'attitude du recourant s'agissant des jeux d'argent, on ne saurait à l'évidence les comprendre dans leur acception médicale. Il apparaît en effet que ces mots, même si on peut y voir éventuellement une connotation dépréciative à l'égard du recourant, ont été choisis pour qualifier ses dépenses de jeux, dont l'enquête menée par les intimés a établi qu'elles étaient très élevées par rapport à ses revenus et sa situation financière. Dans ces circonstances, les termes litigieux ne faisaient que laisser transparaître l'appréciation des inspecteurs de police fondée sur des éléments du dossier, sans qu'on puisse y voir une prévention de leur part à l'égard du recourant.
2.2.2. Concernant la mention selon laquelle le recourant avait été inquiété pour des vols d'espèces en 2016, sans faire état du classement intervenu dans la procédure, ce reproche est dépourvu de pertinence. Dans la mesure où l'exactitude des faits relevés n'est pas contestée, il sera de la compétence du Procureur, respectivement du juge du fond, dans le cadre de l'examen des antécédents du recourant, de s'informer de la suite donnée à cette dénonciation.
2.2.3. Le recourant reproche encore aux intimés de l'avoir cité de manière inexacte dans leur rapport, en ajoutant l'adverbe " malheureusement " en relation avec les propos tenus par le recourant lors de son audition du 28 janvier 2019 quant au fait qu'il jouait au black jack. Avec le recourant, il faut admettre qu'une simple comparaison des textes permet de constater qu'il ne s'est pas exprimé dans les termes rapportés par les intimés. Le Procureur, de même que le juge du fond, pourront toutefois facilement constater cette erreur. Cela étant, l'ajout de l'adverbe " malheureusement " dans une phrase où le recourant dit avoir " connu le black jack " ne révèle pas une prévention des auteurs du rapport. Cette adjonction n'a pas d'emblée une connotation négative, tout au plus inclut-elle une notion de regret que le recourant aurait pu avoir eu face à sa découverte de ce jeu d'argent. Enfin, la seule erreur dans la citation ne suffit pas à établir une prévention des inspecteurs intimés.
2.2.4. Sur le fond, les intimés ont fait état de différents éléments d'enquête, tout en précisant qu'ils étaient vraisemblables, supposés ou hypothétiques. Cette manière de faire ne permet pas de voir la moindre prévention à l'égard du recourant. Le contraire aurait en revanche pu être problématique, en particulier s'ils avaient affirmé de manière catégorique l'existence de faits qu'ils estimaient seulement vraisemblables. A la lecture du texte du rapport, on comprend ainsi aisément que l'appréciation définitive est laissée au Procureur, respectivement au juge du fond.
2.2.5. On relève enfin que, même pris dans leur globalité, les reproches du recourant ne permettent pas d'admettre l'existence d'une prévention de la part des inspecteurs à l'encontre du recourant.
2.3. Compte tenu de ces éléments, l'autorité précédente n'a pas violé le droit fédéral en rejetant la demande de récusation formée contre les intimés.
3.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Les conclusions du recours étant d'emblée vouées à l'échec, il y a lieu de rejeter la demande d'assistance judiciaire (<ref-law>) et de mettre les frais judiciaires à la charge du recourant, qui succombe (<ref-law>).

rulings:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Ministère public du canton de Vaud, Procureur cantonal Strada.
Lausanne, le 26 novembre 2019
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
Le Greffier : Tinguely