facts:
Considérant en fait et en droit :
1.
Le 17 mai 2017, le Ministère public de l'arrondissement du Nord vaudois a ouvert une enquête pour déterminer les circonstances du décès accidentel de C._, employé de l'entreprise D._ SA, survenu le même jour sur un chantier à Ballaigues.
Le 24 mai 2017, le directeur de l'entreprise A._ a été prévenu d'homicide par négligence et d'infraction à la loi fédérale sur l'assurance-accidents.
Le 21 décembre 2017, la Procureure en charge du dossier Laurence Brenlla a cité A._ à comparaître à son audience du 13 mars 2018.
Le 1 er mars 2018, le prévenu a requis le report de son audition au motif qu'il souffrait de troubles de la mémoire et de l'attention à la suite de l'infarctus du myocarde dont il a été victime le 1 er août 2017.
L'audience a été annulée.
Interpellé sur sa capacité à être entendu, A._ a indiqué le 24 septembre 2018 qu'une audition ne paraissait pas envisageable au vu de son état de santé actuel. Il a produit un certificat médical du 20 septembre 2018 attestant du fait qu'il présente une atteinte mnésique avec des troubles de la mémoire et de l'attention et que, bien qu'il soit apte à exprimer sa volonté, il présente une atteinte de son discernement, de sorte que ses propos pouvaient être considérés comme peu fiables, voire erronés.
Le 5 décembre 2018, la Procureure a cité A._ à comparaître à son audience du 16 janvier 2019.
Le 14 décembre 2018, A._ a requis l'annulation de cette audience au motif qu'il ne serait mentalement pas apte à être entendu. Il a produit un certificat médical établi la veille, indiquant qu'au vu des séquelles cognitives et mnésiques consécutives à son infarctus, la fiabilité de sa capacité de jugement, de discernement et de ses propos pouvait être mise en doute, de sorte que toute déposition faite par ses soins devait être considérée avec précaution.
Le 27 décembre 2018, la Procureure a maintenu l'audition appointée le 19 janvier 2019 au motif que selon les derniers certificats médicaux produits, rien ne s'opposait médicalement à cette mesure d'instruction. Elle a précisé que les déclarations de A._ devront être considérées à la lumière des avis des praticiens sur leur manque possible de fiabilité et que, "ainsi, il appartiendra à l'autorité de jugement de décider du poids qu'elle entendra leur donner".
Le 8 janvier 2019, A._ a requis la récusation de la Procureure en raison des propos contenus dans ce courrier qui démontreraient qu'elle aurait déjà arrêté son avis sur cette procédure quand bien même elle ne l'a pas encore entendu, démontrant ainsi sa prévention à son égard. Il contestait au surplus l'appréciation faite des certificats médicaux et de sa capacité à être auditionné et a requis l'annulation de l'audience.
La Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté la requête de récusation au terme d'une décision rendue le 18 janvier 2019 que A._ a contestée auprès du Tribunal fédéral par la voie du recours en matière pénale en concluant à sa réforme en ce sens que la demande de récusation est admise et que la récusation de la Procureure Laurence Brenlla est prononcée.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures. La Chambre des recours pénale a produit le dossier de la cause.
2.
Conformément aux art. 78 et 92 al. 1 LTF, une décision relative à la récusation d'un magistrat pénal peut faire immédiatement l'objet d'un recours en matière pénale auprès du Tribunal fédéral. Le recourant, dont la demande de récusation a été rejetée, a qualité pour agir en vertu de l'<ref-law>. Formé en temps utile contre une décision prise en dernière instance cantonale, le recours est recevable au regard des art. 80 al. 1 et 100 al. 1 LTF.
3.
Le recourant ne se prévaut pas de l'un ou l'autre des motifs de récusation visés à l'art. 56 let. a à e CPP. Un magistrat est récusable, aux termes de l'art. 56 let. f CPP, lorsque d'autres motifs, notamment un rapport d'amitié étroit ou d'inimitié avec une partie ou son conseil, sont de nature à le rendre suspect de prévention. Cette disposition a la portée d'une clause générale recouvrant tous les motifs de récusation non expressément prévus aux lettres précédentes. Elle correspond à la garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 74), respectivement concrétise les droits déduits de l'art. 29 al. 1 Cst. lorsque d'autres autorités ou organes (cf. en particulier <ref-law>) que des tribunaux (cf. <ref-law>) sont concernés (<ref-ruling> consid. 3.2.2 p. 179). Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective du magistrat est établie, car une disposition interne de sa part ne peut guère être prouvée. Il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Seules les circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération. Les impressions purement individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 179; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 144). Des propos maladroits ne suffisent en principe pas pour retenir qu'un magistrat serait prévenu, sauf s'ils paraissent viser une personne particulière et si leur tenue semble constitutive d'une grave violation notamment des devoirs lui incombant (<ref-ruling> consid. 2d p. 200; arrêt 1B_351/2018 du 25 septembre 2018 consid. 2.1).
4.
La Chambre pénale de recours a considéré que le courrier de la Procureure du 27 décembre 2018 ne révélait aucun indice de partialité à l'encontre du recourant. Compte tenu de l'état de l'enquête et des conclusions circonstanciées du rapport de police du 25 septembre 2017, faisant état de manquements importants du prévenu aux prescriptions de sécurité, et de la gravité de l'affaire, il ne pouvait raisonnablement être reproché à la Procureure, qui tente vainement depuis l'été 2017 de procéder à l'audition de A._, d'avoir envisagé l'hypothèse que celui-ci soit entendu par l'autorité de jugement. Le prévenu semblait perdre de vue le rôle particulier tenu par le Ministère public dans le cadre de la procédure préliminaire, cette autorité étant parfaitement en mesure de prendre position de manière un peu orientée une fois que son instruction lui a permis d'appréhender dans une certaine mesure le déroulement des faits. Force était dès lors de constater que le recourant ne faisait valoir aucun motif de récusation, sa demande se révélant même abusive, dans la mesure où son conseil ne pouvait pas ignorer les principes en la matière et le caractère anodin des propos tenus par la Procureure.
Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir constaté les faits de manière inexacte et violé la présomption d'innocence en retenant à sa charge l'existence de manquements importants aux prescriptions de sécurité. Les juges précédents auraient versé dans l'arbitraire en considérant que la requête de récusation était abusive et que les propos de la Procureure avaient un caractère anodin dans la mesure où il est établi qu'elle a signifié, avant même de l'entendre, qu'elle s'était forgée une opinion tranchée, et non pas seulement un peu orientée, sur le dossier en laissant entrevoir qu'elle ferait application des <ref-law>. Il n'y a pas lieu d'examiner ce qu'il en est.
La remarque contenue dans le courrier de la Procureure du 27 décembre 2018 doit être replacée dans son contexte. Ce courrier répondait en effet à une demande d'annulation d'une audience à laquelle la Procureure n'entendait pas donner suite au motif que l'état de santé du prévenu ne s'opposait pas à son audition selon les certificats médicaux produits. L'allusion au fait qu'il appartiendra à l'autorité de jugement de décider du poids à donner aux déclarations du prévenu en raison de leur fiabilité sujette à caution pouvait certes à première vue donner à penser que la Procureure s'était déjà faite une idée de l'issue de la procédure. L'intimée a pris position dans ses déterminations en relevant qu'il eût certes été plus approprié de mentionner que, "le cas échéant", il appartiendrait à l'autorité de jugement de statuer, mais que l'omission de ces termes n'indiquait en rien une prévention de sa part à l'égard du prévenu. Avec la précision ainsi apportée, les propos de l'intimée n'ont pas la portée que lui prête le recourant mais devaient être compris en ce sens que dans l'éventualité d'une mise en accusation, il reviendra à l'autorité de jugement de prendre en compte l'avis médical selon lequel les déclarations du prévenu pouvaient ne pas être fiables en raison des troubles mnésiques dont il était atteint depuis son infarctus du myocarde, mais qu'ils ne faisaient pas obstacle à son audition. C'est d'ailleurs dans ce sens également que l'ont compris les parties plaignantes. Cela étant, on ne saurait dire que la Procureure se serait d'ores et déjà forgée une opinion définitive sur l'issue de la procédure ou la culpabilité du recourant et que les propos incriminés devraient impérativement conduire à sa récusation. Le rejet de la demande de récusation se révèle donc, si ce n'est dans sa motivation, du moins dans son résultat, conforme aux art. 56 let. f CPP et 29 al. 1 Cst.
5.
Le recours doit ainsi être rejeté selon la procédure simplifiée prévue par l'<ref-law>, aux frais du recourant qui succombe (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens aux parties plaignantes qui n'ont pas été invitées à se déterminer.

rulings:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Il n'est pas alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Ministère public central et à la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud, ainsi que, pour information, au mandataire de E._ et F._.
Lausanne, le 25 avril 2019
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Merkli
Le Greffier : Parmelin


facts:
Faits :
A.
A._, née en 1973, a requis des prestations de l'assurance-invalidité le 17 mai 2011, invoquant des séquelles post-opératoires de différentes fractures de la jambe droite subies le 20 juin 2010. Par la suite, elle a sollicité l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure administrative le 20 février 2013. L'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) a rejeté sa demande d'assistance par décision du 1er juillet 2013 et lui a octroyé une rente entière d'invalidité pour la période du 1er janvier au 30 novembre 2012 par décision du 10 novembre 2014. Saisi d'un recours de l'assurée contre la décision d'octroi de rente, le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, l'a admis par jugement du 14 février 2017. Il a annulé la décision attaquée et renvoyé la cause à l'office AI pour qu'il complète l'instruction sur les plans médical et économique, puis rende une nouvelle décision.
L'intéressée a de nouveau demandé l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure en cours le 18 octobre 2017. Par courrier du 1er novembre 2017, l'office AI a fait référence à sa décision de refus d'assistance du 1er juillet 2013. Il a par la suite procédé au complément d'instruction requis par la juridiction cantonale, réalisant notamment deux expertises, dont une pluridisciplinaire. A._ a fait valoir une aggravation de son état de santé et a derechef sollicité l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure administrative le 6 juin 2019. L'administration a rejeté sa demande par décision du 30 août 2019.
B.
L'assurée a déféré cette décision au tribunal cantonal. Elle a conclu à l'octroi de l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure administrative. Elle a également requis l'assistance judiciaire pour la procédure de recours.
La juridiction cantonale a rejeté le recours et la demande d'assistance judiciaire par jugement du 27 janvier 2020.
C.
L'intéressée interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Elle en demande principalement la réforme, en ce sens que lui soient octroyées l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure administrative et l'assistance judiciaire pour la procédure cantonale de recours. Elle requiert à titre subsidiaire l'annulation du jugement cantonal, concluant au renvoi de la cause aux premiers juges pour qu'ils rendent une nouvelle décision. Elle sollicite en outre l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
L'office AI conclut à l'irrecevabilité ou au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales ne s'est pas déterminé. A._ s'est exprimée sur la réponse de l'administration.

considerations:
Considérant en droit :
1.
Le jugement cantonal du 27 janvier 2020 est une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF dans la mesure où il porte seulement sur le refus de l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour une procédure administrative concernant l'octroi d'une rente de l'assurance-invalidité limitée dans le temps (à cet égard, cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 602 s.).
Le recours de l'assurée contre ce jugement est en outre recevable dès lors que ce dernier peut lui causer un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF. Contrairement à ce que soutient l'office intimé, la procédure administrative ne pouvait pas être considérée comme étant pratiquement terminée à la date du jugement attaqué puisque, dans le cadre des observations formulées contre un nouveau projet de décision du 15 mai 2019 (par lequel l'administration entendait octroyer à la recourante une rente entière pour la période limitée du 1er janvier 2012 au 30 septembre 2013), l'assurée a signalé une péjoration de son état de santé et produit des rapports médicaux récents devant encore faire l'objet d'une évaluation par le service médical de l'office intimé (mandat au service médical régional du 17 juillet 2019). La décision définitive afférente au droit aux prestations n'ayant pas été prononcée, la procédure suivait son cours et l'avocat de la recourante n'avait pas terminé son travail. Dans ces circonstances, l'assurée court le risque de ne pas pouvoir faire valoir correctement ses droits en cas de refus de l'assistance gratuite d'un conseil juridique (dans ce sens, voir arrêts 9C_13/2020 du 29 octobre 2020 consid. 1.2; 9C_577/2019 du 21 janvier 2020 consid. 1.2 et les références; a contrario, voir <ref-ruling> consid. 2.3 p. 603 s.; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 648).
2.
Le recours en matière de droit public (au sens des art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par cette dernière (art. 105 al. 1 LTF). Cependant, il peut rectifier les faits ou les compléter d'office s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant ne peut critiquer les faits que s'ils ont été constatés de façon manifestement inexacte ou contraire au droit et si la correction d'un tel vice peut influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
3.
Est en l'occurrence litigieux le point de savoir si la juridiction cantonale était en droit de confirmer le refus de l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure administrative et de rejeter la demande d'assistance judiciaire pour la procédure cantonale de recours.
4.
4.1. Le jugement entrepris cite les dispositions légales et les principes jurisprudentiels concernant l'octroi de l'assistance gratuite d'un conseil juridique dans les procédures administratives en matière d'assurances sociales (art. 37 al. 4 LPGA; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 200 s.; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 182; arrêt 9C_105/2007 du 13 novembre 2007). Il suffit d'y renvoyer.
4.2.
4.2.1. Le tribunal cantonal a nié que les circonstances du cas d'espèce soient si particulières qu'elles exigent l'assistance d'un avocat, à l'exclusion de tout autre intervenant social, au stade de l'instruction de la demande de prestations déjà. Il a considéré que l'objet du litige (soit la question de la capacité de travail et du droit à la rente évaluée dans la plupart des cas relatifs au droit à des prestations de l'assurance-invalidité) et du renvoi pour instruction complémentaire ordonné par le jugement du 14 février 2017 (soit la récolte d'éléments factuels ciblés) ne conférait pas à la présente affaire un degré de complexité sortant de l'ordinaire. Il a aussi nié que la durée de la procédure et l'analyse des différents avis médicaux ne soient davantage source de complexité.
4.2.2. La recourante reproche aux premiers juges d'avoir violé l'art. 37 al. 4 LPGA. Elle soutient que les termes et l'étendue du renvoi de la cause à l'office intimé pour instruction complémentaire, le nombre et l'ampleur des documents médicaux à analyser, ainsi que leur caractère souvent divergent, ou les lacunes de l'instruction médicale, la nature de ses troubles, l'absence chez un assistant social de formation ou de connaissances juridiques suffisantes pour accomplir les démarches nécessitées par son cas, ainsi que la perte de temps et d'argent que représente le recours à une telle personne pour remplacer son avocat qui a déjà une connaissance approfondie de la procédure débutée en 2011 montrent la complexité des problématiques à traiter et justifient la nécessité de lui accorder l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure administrative.
4.3. L'argumentation de l'assurée est fondée. Certes, le litige au fond porte sur l'évaluation de la capacité de travail de la recourante et sur l'influence de cette capacité sur son droit à une rente d'invalidité, ainsi que l'a retenu le tribunal cantonal, et cette problématique n'est en principe pas susceptible d'affecter de manière particulièrement grave la situation juridique de l'intéressé (arrêt 9C_105/2007 du 13 novembre 2007 consid. 3.1). Cette question n'est toutefois pas la seule que l'autorité administrative devra trancher en l'occurrence et ne saurait être considérée comme ne "comport[ant] intrinsèquement aucune difficulté particulière" au seul motif qu'elle "se pose communément dans la plupart des procédures ayant pour objet le droit à des prestations de l'assurance-invalidité". En effet, le complément d'instruction visé par le jugement de renvoi du 14 février 2017 concernait non seulement le volet médical mais aussi le volet économique de la cause. Il consistait concrètement à, d'une part, mettre en oeuvre une expertise médicale (comportant au moins un volet orthopédique et un volet neurologique) qui, au final, en raison notamment de l'intervention du mandataire de l'assurée - dont la pertinence avait été admise par les organes de l'assurance-invalidité - a nécessité la réalisation de deux expertises et regroupé des investigations dans les domaines de l'angiologie, la neurologie, la rhumatologie, la chirurgie orthopédique et la psychiatrie. D'autre part, il devait porter sur l'ampleur des revenus réalisés par la recourante ainsi que le véritable statut de cotisant de cette dernière et permettre ainsi de déterminer la méthode d'évaluation de l'invalidité. L'étendue des investigations médicales et la multiplicité des questions d'ordre économique, ainsi que leurs interactions dans l'évaluation de l'invalidité de l'assurée, ne sauraient dès lors être considérées comme ne posant intrinsèquement pas de difficultés particulières. Elles démontrent au contraire la complexité du cas d'espèce dont la compréhension nécessite des connaissances juridiques et médicales étendues que la recourante, musicienne, n'a à l'évidence pas.
On ajoutera que la complexité de la cause est en l'occurrence encore accentuée par la durée de la procédure (débutée en 2011) dès lors que cette durée a favorisé le dépôt de nombreux rapports médicaux, qu'il appartiendra à l'office intimé d'évaluer, en particulier si les conclusions en seraient contradictoires, et qu'elle a suscité un argument supplémentaire de l'assurée concernant l'apparition de nouvelles affections. Dans ces circonstances particulières, il est par ailleurs inopportun de confier provisoirement la défense des intérêts de la recourante à un tiers (même à une personne oeuvrant au sein d'une institution sociale) puisque le mandataire de cette dernière est actif depuis le début de la procédure et en a une connaissance approfondie (à cet égard, cf. p. ex. arrêts 9C_516/2018 du 17 octobre 2018 consid. 2.4; 9C_668/2009 du 25 mars 2010 consid. 4.2). La nécessité de l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure administrative est ainsi établie.
4.4. En conséquence de ce qui précède, il apparaît que les premiers juges ont indûment confirmé le refus par l'office intimé de l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure administrative. L'acte attaqué ainsi que la décision litigieuse doivent dès lors être annulés et la cause renvoyée à l'administration pour qu'elle examine les autres conditions de l'assistance requise, sur lesquelles cette autorité n'avait pas pris position, et se prononce à nouveau.
5.
Comme l'assurée obtient gain de cause sur la base de ce qui précède, il n'est pas nécessaire d'examiner son grief concernant la violation du principe de l'égalité des armes.
6.
Compte tenu de l'issue de la procédure, la juridiction cantonale ne pouvait pas retenir l'échec prévisible du recours qu'elle aurait dû partiellement admettre; il en découle en principe un droit de l'assuré à percevoir des dépens pour la procédure cantonale de recours, de sorte que sa demande d'assistance judiciaire devenait sans objet. Aussi, le tribunal cantonal est-il invité à rendre une nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
7.
Vu l'issue du litige, les frais et les dépens doivent être mis à la charge de l'office intimé (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF).

rulings:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le jugement du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, du 27 janvier 2020 et la décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud du 30 août 2019 sont annulés. La cause est renvoyée à l'intimé pour nouvelle décision sur le droit à l'assistance judiciaire.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
L'intimé versera à l'avocat de la recourante la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
La cause est renvoyée au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, pour nouvelle décision sur les frais et les dépens de la procédure antérieure.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 18 janvier 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Cretton

region: Federation


facts:
Faits :
A.
A._ a travaillé en qualité d'enseignante à 60 % dès le 15 août 2015, puis à 58 % à partir du 1 er août 2016 au service de l'école B._. A ce titre, elle était assurée auprès de la Caisse de pensions de l'Etat de Vaud (ci-après: la CPEV) depuis le 1 er août 2015 pour la prévoyance professionnelle.
L'assurée a été en arrêt de travail à 100 % pour cause de maladie depuis le 6 février 2017. La CPEV l'a mise au bénéfice d'une pension d'invalidité temporaire à partir du 28 mars 2017. Le 21 août 2017, la CPEV a fait savoir à son assurée qu'elle mettait fin au versement des prestations avec effet au 31 juillet 2017, date de la fin des rapports de service. A._ s'y étant opposée, la CPEV a mandaté le docteur C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans son rapport du 9 janvier 2018, ce médecin a posé les diagnostics, ayant des répercussions sur la capacité de travail, de trouble anxieux généralisé (F41.1) et d'épisode dépressif encore léger (en rémission) (F32.0), à l'origine de l'incapacité de travail totale attestée depuis le 7 mars 2017. Selon le docteur C._, l'assurée pouvait reprendre son activité d'enseignante, d'abord à 50 % (50 % de 60 %), puis à 80 % (80 % de 60 %) depuis le 1 er mars 2018, et à 100 % à compter du 1 er avril 2018. Le 26 avril 2018, le Conseil d'administration de la CPEV a confirmé que le versement de la rente temporaire n'était pas possible au-delà du 31 juillet 2017.
De son côté, l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Valais (ci-après: l'office AI) a mis en oeuvre une expertise pluridisciplinaire auprès du Centre d'expertises médicales (CEMed) qui a été réalisée par les docteurs D._, spécialiste en oto-rhino-laryngologie, E._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, et F._, spécialiste en neurologie. Dans leur synthèse, les experts ont retenu une capacité de travail dans l'activité habituelle de 0 % dès février 2017, de 20 % dès février 2018 et de 40 % dès janvier 2019. En cas de rémission des troubles psychiques, et après rééducation vestibulaire, la capacité de travail dans une activité adaptée resterait de 80 % en raison de la pathologie ORL (rapport du 25 février 2019). Par décision du 21 janvier 2020, l'office AI a alloué à l'assurée une rente entière d'invalidité du 1 er février 2018 au 31 mars 2019, fondée sur un degré d'invalidité de 80 %, puis trois-quarts de rente à compter du 1 er avril 2019 en raison d'un taux d'invalidité de 60 %.
B.
Entre-temps, le 24 mai 2018, A._ a ouvert action devant le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, en concluant implicitement à l'octroi de prestations d'invalidité définitive au-delà du 31 juillet 2017 par la CPEV. Cette dernière a conclu au rejet de la demande.
Par jugement du 22 septembre 2020, la juridiction cantonale a admis la demande en ce sens que la CPEV a été condamnée à verser mensuellement à l'assurée, avec effet au 1 er août 2017, une rente d'invalidité de 1327 fr. 95, valeur au 31 août 2015, et une rente-pont AI de 445 fr. 25, montants qu'il conviendra d'adapter au 1 er août 2017, sous déduction de la rente de l'assurance-invalidité versée à la demanderesse.
C.
La CPEV interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. A titre principal, elle en demande la réforme en ce sens que la demande du 24 mai 2018 soit rejetée. Subsidiairement, elle conclut à l'annulation du jugement et au renvoi de la cause aux premiers juges, pour nouvelle instruction au sens des considérants de l'arrêt du Tribunal fédéral, sur la capacité de travail de l'assurée antérieurement au 6 février 2017, et nouveau jugement. Plus subsidiairement, elle conclut à la réforme du jugement, en ce sens que la rente d'invalidité définitive soit fixée à 65,52 % dès février 2018 et à 31,03 % dès le 1 er janvier 2019. Encore plus subsidiairement, elle demande l'annulation du jugement et le renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle instruction dans le sens des considérants de l'arrêt du Tribunal fédéral sur la capacité de travail de l'assurée dès février 2018 et nouveau jugement.
L'intimée conclut implicitement au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

considerations:
Considérant en droit :
1.
Avec sa réponse, l'intimée a déposé un bordereau de "Documents nouveaux". En tant que ces moyens de preuve ne résultent pas de la décision de l'autorité précédente, ils sont irrecevables (art. 99 al. 1 LTF).
2.
Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 8.1) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La violation peut consister en un état de fait incomplet, car l'autorité précédente viole le droit matériel en n'établissant pas tous les faits pertinents pour l'application de celui-ci (<ref-ruling> consid. 4.3). La partie recourante qui entend s'écarter des constatations de l'autorité précédente doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées. A défaut d'une telle motivation, il n'est pas possible de prendre en considération un état de fait qui diverge de celui contenu dans la décision attaquée, ni des faits qui n'y sont pas contenus (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.4 et 6.2).
3.
3.1. Le litige porte sur le droit de l'intimée à une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle dès le 1 er août 2017, à charge de l'institution de prévoyance professionnelle recourante.
A cet égard, le jugement entrepris expose correctement les règles applicables en matière de prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle (art. 23 let. a LPP; <ref-ruling> consid. 2.2 et les références), notamment le double critère de la connexité matérielle et temporelle entre l'incapacité de travail et l'invalidité exigé par la jurisprudence pour fonder l'obligation de prester d'une institution de prévoyance à laquelle un assuré est affilié (<ref-ruling> consid. 3.1 et les arrêts cités). Il suffit d'y renvoyer.
3.2. Les constatations de la juridiction cantonale relatives à l'incapacité de travail résultant d'une atteinte à la santé (survenance, degré, durée, pronostic) relèvent d'une question de fait et ne peuvent être examinées par le Tribunal fédéral que sous un angle restreint dans la mesure où elles reposent sur une appréciation des circonstances concrètes du cas d'espèce (art. 97 al. 1 et 105 al. 1 et 2 LTF). Les conséquences que tire la juridiction cantonale des constatations de fait quant à la connexité temporelle sont en revanche soumises au plein pouvoir d'examen du Tribunal fédéral (arrêt 9C_503/2013 du 25 février 2014 consid. 3.3, in SVR 2014 BVG n° 38 p. 143 et la référence).
4.
Les premiers juges ont constaté que l'intimée ne présentait pas une capacité de travail diminuée de plus de 20 % avant son engagement à l'Etat de Vaud en se fondant sur le rapport du CEMed du 25 février 2019. Les experts avaient examiné la capacité de travail de l'intimée de 2010 à 2017, relevant qu'à la suite d'une incapacité de travail survenue en 2011, l'intimée avait pu suivre des cours de graphiste à 80 % en février 2013 et obtenir un poste à 50 % comme coordinatrice de création en méthodologie. En 2014, elle avait remporté un concours lui ayant permis de séjourner à l'étranger avant d'être engagée à l'école B._ au taux contractuel de 60 % puis 58 %. Selon l'instance judiciaire cantonale, il n'apparaissait pas que l'intimée n'aurait pas été en mesure d'assumer le taux contractuel des différents emplois qu'elle avait exercés, ni qu'elle aurait choisi ces activités à des taux réduits pour des raisons de santé, ces emplois à temps partiel lui ayant été proposés par l'employeur en fonction des heures de cours disponibles. Hormis une brève interruption de deux semaines en octobre 2016, l'intimée s'était pleinement acquittée de ses tâches et n'avait pas présenté d'incapacité de travail de plus de trois mois entre 2015 et 2017.
Les juges cantonaux ont encore constaté que l'anxiété généralisée provoquée par l'activité au sein de l'école B._ avait conduit à l'incapacité totale de travail à partir de février 2017, ce qui suffisait, conformément à la jurisprudence (cf. <ref-ruling> consid. 4.4 et 4.5), à interrompre le lien de causalité temporelle. Quant au lien de connexité matérielle, la juridiction cantonale a également nié son existence s'agissant du trouble anxieux généralisé apparu en février 2017 mais l'a admis pour le trouble vestibulaire présent depuis 2010. Dans ces conditions, l'art. 23 let. a LPP ne permettait pas à la CPEV de refuser d'allouer ses prestations.
5.
5.1. La CPEV conteste le point de vue de la juridiction cantonale, à qui elle reproche d'avoir occulté quasiment toutes les mentions, dans le rapport d'expertise du CEMed du 25 février 2019, des difficultés que l'intimée avait rencontrées de 2013 à 2015 (perte d'énergie, présence d'idées suicidaires, angoisses, troubles de l'équilibre, vertiges). Elle demande ainsi de compléter le jugement attaqué en application des art. 95, 97 et 105 LTF, affirmant que celui-ci est de plus manifestement inexact, respectivement qu'il a été établi contrairement au droit, en tant qu'il retient que les taux d'activités de 60 % et de 58 % découlent uniquement des propositions de l'employeur en fonction des heures de cours disponibles. A son avis, on ne saurait en déduire que l'intimée était disposée et apte à travailler davantage, car elle souffrait bien avant son engagement par l'Etat de Vaud et pendant toute la relation de travail d'agoraphobie avec trouble panique ainsi que d'un "Persistent Postural-Perceptual Dizziness", lui-même en lien avec un état anxieux, causant une incapacité de travail. Selon la recourante, l'incapacité de travail était d'au moins 20 % depuis 2013 dans une activité adaptée, soit par définition supérieure à 20 % dans les activités habituelles; elle invoque à cet égard l'avis du docteur G._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, qui avait attesté que sa patiente n'avait jamais pu travailler à un taux d'activité supérieur à 80 % depuis une incapacité totale de travail durant une année en 2010-2011 (cf. rapport du 21 juin 2018). La recourante en déduit qu'il existe un lien de connexité non seulement matériel mais aussi temporel entre les affections préexistantes au début de la couverture d'assurance de l'intimée, de sorte qu'elle est en droit de refuser d'allouer ses prestations, conformément à l'art. 23 LPP.
5.2. Contrairement à ce que demande la recourante, il n'y a pas lieu d'ordonner un complément d'instruction portant sur l'existence d'une éventuelle incapacité de travail en 2015 et durant les années précédentes, ni de compléter le jugement attaqué à ce sujet, car le rapport d'expertise du CEMed du 25 février 2019 a force probante et permet de statuer en connaissance de cause. Dans l'anamnèse, les experts ont en effet clairement relaté l'évolution de l'état de santé depuis 2010 en mentionnant les affections psychiques et somatiques dont l'intimée avait été atteinte. S'ils ont attesté que l'incapacité totale de travail avait commencé en février 2017 en raison des troubles psychiques, les experts n'ont en revanche pas indiqué que ces affections auraient entraîné une incapacité de travail supérieure à 20 %, tant au début des rapports de service en août 2015 que durant la période qui l'avait précédé. On ajoutera que le docteur C._ n'a pas non plus fait état d'une incapacité de travail d'origine psychique antérieurement au mois de mars 2017 dans son rapport du 9 janvier 2018, en précisant que l'anamnèse psychiatrique était vide.
Dans ce contexte, il faut rappeler que si la preuve d'une limitation de la capacité fonctionnelle de travail déterminante sous l'angle du droit de la prévoyance professionnelle (<ref-ruling> consid. 3.2.2) ne suppose pas forcément l'attestation médicale d'une incapacité de travail "en temps réel" ("echtzeitlich"), des considérations subséquentes et des suppositions spéculatives, comme par exemple, une incapacité médico-théorique établie rétroactivement après bien des années, ne suffisent pas. L'atteinte à la santé doit avoir eu des effets significatifs sur les rapports de travail; en d'autres termes, la diminution de la capacité fonctionnelle de travail doit s'être manifestée sous l'angle du droit du travail, notamment par une baisse des prestations dûment constatée, un avertissement de l'employeur ou une accumulation d'absences du travail liées à l'état de santé (arrêt 9C_556/2019 du 4 novembre 2019 consid. 4.3 et la référence). De tels éléments ne sont pourtant pas établis en l'espèce. En outre, les seuls problèmes d'ordre psychiatrique mentionnés par les experts du CEMed sur la base du dossier concernent un déconditionnement psychique survenu en février 2013, soit bien avant le début de l'activité au service de l'école B._, le 1 er août 2015. Par ailleurs, contrairement à ce que soutient la recourante, rien ne permet d'admettre que l'intimée aurait d'emblée restreint son activité professionnelle en raison de son état de santé, lorsqu'elle a accepté l'emploi à temps partiel qui a commencé le 1 er août 2015 (à 60 % puis à 58 %). Quant à l'évaluation de la capacité de travail par le docteur G._ (cf. rapport du 21 juin 2018), invoquée par la recourante, elle porte sur une période antérieure de plusieurs années au début de son mandat et n'est donc pas décisive.
Vu ce qui précède, l'instance cantonale a admis à juste titre que l'activité déployée d'août 2015 à février 2017 avait interrompu le lien de connexité temporelle entre une éventuelle incapacité de travail pour troubles psychiques qui aurait existé avant le 1 er août 2015 et celle qui est survenue en février 2017 (cf. <ref-ruling> consid. 4.4 et consid. 4.5), elle-même à l'origine de l'invalidité durable. C'est donc sans violation de l'art. 23 let. a LPP ainsi que des art. 59 et 60 du Règlement des prestations de la Caisse de pensions de l'Etat de Vaud que l'obligation de la recourante de verser des prestations d'invalidité définitive à compter du 1 er août 2017 a été reconnue. Sur ce point, le recours est mal fondé.
6.
6.1. A titre subsidiaire, la recourante reproche aux juges cantonaux de n'avoir pas pris en considération l'amélioration de la capacité de travail de l'intimée dès février 2018, de sorte que le taux de la rente d'invalidité qu'elle doit servir à compter de ce moment-là, puis de janvier 2019, serait trop élevé.
L'intimée n'a pas abordé ce point dans sa réponse.
6.2. Le jugement attaqué ne tient pas compte de la modification de la capacité de travail mise en évidence par les experts du CEMed. Toutefois, il faut rappeler que l'assurance-invalidité avait de son côté reconnu à l'intimée le droit à une rente entière d'invalidité à partir du 1 er février 2018, puis à trois quarts de rente dès le 1 er avril 2019 (cf. décision du 21 janvier 2020). Ce n'est donc qu'à partir de cette date que la rente de la CPEV pourrait être adaptée (cf. art. 24 al. 1 LPP). Il sied donc de renvoyer la cause aux premiers juges afin qu'ils examinent le droit à la rente à compter du 1 er avril 2019 et statuent à nouveau sur ce point.
7.
Vu l'issue du litige, il sied de répartir les frais de la procédure entre les parties (art. 66 al. 1 LTF), à raison de trois quarts à charge de la recourante et un quart à l'intimée.
La recourante n'a pas droit aux dépens qu'elle demande, vu l'art. 68 al. 3 LTF.

rulings:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis. Le jugement du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, du 22 septembre 2020, est annulé en tant qu'il porte sur le montant de la rente d'invalidité due à compter du 1 er avril 2019, la cause lui étant renvoyée pour qu'il statue à nouveau sur ce point. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis pour 600 fr. à la charge de la recourante et pour 200 fr. à la charge de l'intimée.
3.
Il n'est pas alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 3 novembre 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Berthoud


considerations:
Erwägungen:
1.
A._ erstattete am 19. Juni 2019 Strafanzeige gegen Mitarbeitende der Stadtverwaltung Buchs wegen Urkundenfälschung und Amtsmissbrauch. Das Untersuchungsamt Altstätten leitete die Strafanzeige zur Durchführung des Ermächtigungsverfahrens an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen weiter, welche mit Entscheid vom 29. August 2019 keine Ermächtigung zur Eröffnung von Strafverfahren erteilte. Die Anklagekammer führte zur Begründung zusammenfassend aus, dass keinerlei Anhaltspunkte auf ein allfällig strafbares Verhalten erkennbar seien.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 8. Oktober 2019 (Postaufgabe 11. Oktober 2019) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 29. August 2019. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Der Beschwerdeführer ersucht um Erstreckung der Beschwerdefrist, damit er selbst oder ein noch zu ernennender unentgeltlicher Rechtsbeistand eine Beschwerdeergänzung einreichen könne. Die 30-tägige Beschwerdefrist gemäss <ref-law> kann als gesetzlich bestimmte Frist nicht erstreckt werden (<ref-law>). Dem Gesuch kann somit nicht entsprochen werden.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt.
Der Beschwerdeführer legt in seiner Eingabe vom 8. Oktober 2019 nicht dar, inwiefern die Begründung der Anklagekammer, die zur Nichterteilung der Ermächtigung führte, bzw. der Entscheid der Anklagekammer selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Eingabe genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung eines Anwalts (<ref-law>) nicht zu entsprechen. Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (<ref-law>).

rulings:
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Oktober 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli


facts:
Faits :
A.
A.a. B._, né en 1967, et A._, née en 1970, tous deux de nationalité française, se sont mariés en 1997 en France. Ils sont les parents de deux enfants, nés respectivement en 2000 et en 2006.
Les conjoints ont toujours vécu en France. Durant le mariage, l'épouse, professeur des écoles, a travaillé à plein temps, sous réserve de quatre années - six selon elle - durant lesquelles elle a exercé son activité professionnelle à mi-temps. Le mari travaillait pour sa part en Suisse.
A.b. Le 13 février 2012, l'épouse a déposé une demande en divorce devant le Tribunal de Grande Instance d'Annecy (France).
Par jugement du 14 avril 2014, le juge aux affaires familiales de ce tribunal a notamment prononcé le divorce des conjoints et ordonné la liquidation ainsi que le partage de leurs intérêts patrimoniaux. Il a en outre condamné le mari à verser à l'épouse une prestation compensatoire de 50'000 euros, précisant que ce montant tenait compte du capital que celle-ci allait recevoir dans la liquidation du régime matrimonial, ainsi qu'une contribution d'entretien de 300 euros par mois en faveur de chaque enfant.
Par arrêt du 26 mai 2015, la Cour d'appel de Chambéry (France) a confirmé ce jugement, sous réserve de l'indemnité compensatoire qui a été portée à 80'000 euros. Cette juridiction a indiqué que les avoirs de prévoyance professionnelle constitués en Suisse par le mari n'avaient pas été pris en compte, en l'absence de toute précision sur ces montants.
A.c. Le 19 mars 2018, la demanderesse a saisi le Tribunal de première instance de Genève (ci-après: le Tribunal) d'une action en complément du jugement de divorce français. Elle a conclu à ce qu'il soit reconnu définitif et exécutoire, à ce que la prestation de sortie accumulée en Suisse par le défendeur durant le mariage soit partagée par moitié et à ce qu'il soit en conséquence ordonné à la caisse de retraite de celui-ci de verser en espèces, respectivement de transférer sur son compte la somme de 208'280 fr. 80, subsidiairement de 139'257 fr. 30.
Le 11 octobre 2018, le Tribunal a déclaré l'action recevable, jugeant qu'il y avait place pour une procédure en complément du jugement de divorce et que les autorités genevoises étaient compétentes pour en connaître.
B.
B.a. Par jugement du 17 octobre 2019, le Tribunal a complété le jugement de divorce français en ce sens qu'il a ordonné le partage par moitié des avoirs de prévoyance professionnelle accumulés en Suisse par le défendeur durant le mariage et ordonné à la caisse de prévoyance de celui-ci de transférer le montant de 139'257 fr. 30 sur un compte de libre passage à ouvrir par la demanderesse.
Le premier juge a estimé que le droit suisse était applicable, dès lors que la demande de complément de divorce avait été déposée après l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2017, du nouveau droit de la prévoyance professionnelle.
B.b. Par arrêt du 26 juin 2020, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: Cour de justice), statuant sur l'appel interjeté par le défendeur, a formellement prononcé la reconnaissance en Suisse du jugement de divorce français et débouté la demanderesse de ses conclusions en partage par moitié de la prestation de sortie accumulée par le défendeur durant le mariage.
Contrairement au premier juge, l'autorité cantonale a considéré que la question des avoirs de la prévoyance professionnelle du défendeur était soumise à l'ancien droit, lequel renvoyait au droit français, la clause d'exception prévue par l'<ref-law> n'étant par ailleurs pas applicable. Le droit français ne connaissant pas le partage de la prévoyance professionnelle tel que prévu par les <ref-law>, la demanderesse devait être déboutée de ses conclusions tendant audit partage.
C.
Par acte posté le 2 septembre 2020, A._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt précité. Elle conclut principalement à sa réforme en ce sens que l'appel formé par le défendeur contre le jugement de première instance est rejeté, ledit jugement étant par conséquent confirmé. Subsidiairement, elle conclut à l'annulation de l'arrêt entrepris et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision.
Invité à se déterminer, l'intimé conclut principalement au rejet du recours, subsidiairement à ce que, pour des motifs d'équité, ses avoirs de prévoyance professionnelle ne soient pas partagés.
L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.
La recourante a répliqué le 30 avril 2021. L'intimé n'a pas dupliqué.

considerations:
Considérant en droit :
1.
Le recours a été déposé en temps utile (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF) et dans la forme légale (<ref-law>), contre une décision finale (<ref-law>) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (<ref-law>), dans une affaire civile (<ref-law>) de nature pécuniaire, dont la valeur litigieuse atteint le seuil de 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a et 74 al. 1 let. b LTF). La recourante, qui a succombé devant la juridiction précédente, a en outre qualité pour recourir (art. 76 al. 1 let. a et b LTF).
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'est donc limité ni par les arguments soulevés dans le recours, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut admettre un recours pour un autre motif que ceux qui ont été invoqués et il peut rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling>consid. 2.1; <ref-ruling>consid. 3.2.3). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'<ref-law>, il n'examine en principe que les griefs soulevés (<ref-ruling>consid. 2.4). Le recourant doit par conséquent discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling>consid. 1.7.1; <ref-ruling>consid. 2.4). Le Tribunal fédéral ne connaît par ailleurs de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été expressément invoqué et motivé de façon claire et détaillée ("principe d'allégation", <ref-law>; <ref-ruling>consid. 1.1; <ref-ruling>consid. 2.4).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling>consid. 2.2; <ref-ruling>consid. 2.3), doit, sous peine d'irrecevabilité, satisfaire au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1). L'appréciation des preuves n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a procédé à des déductions insoutenables (<ref-ruling>consid. 1.1; <ref-ruling>consid. 2.3).
La recourante se plaint d'établissement manifestement inexact des faits, au motif que l'autorité cantonale a retenu qu'elle avait travaillé à un taux réduit de 50% durant quatre années au lieu de six. Dans la mesure où elle n'expose pas en quoi la correction de ce vice serait susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>), sa critique, qui ne remplit pas les exigences de motivation requises (<ref-law>), est par conséquent irrecevable.
3.
La recourante reproche à l'autorité cantonale d'avoir violé les art. 196 et 64 al. 2 LDIP en considérant que le sort des avoirs de prévoyance professionnelle accumulés en Suisse par l'intimé devait être examiné selon l'ancien droit, qui désignait le droit français. Sa demande en complément du jugement de divorce ayant été introduite en mars 2018, le nouveau droit de la LDIP et, par conséquent, le droit suisse était selon elle applicable.
3.1. Les nouvelles dispositions relatives au partage de la prévoyance professionnelle, adoptées le 19 juin 2015, sont entrées en vigueur le 1er janvier 2017 (RO 2016 2313; FF 2013 4341). En même temps que le Code civil, le législateur a révisé les dispositions de la loi fédérale du 18 décembre 1987 sur le droit international privé (LDIP; RS 291) pertinentes en la matière. Le nouvel <ref-law> consacre désormais la compétence exclusive des tribunaux suisses pour connaître des procédures portant sur le partage de prétentions de prévoyance professionnelle envers une institution suisse. Quant au droit applicable, l'<ref-law>, dans sa nouvelle teneur, prévoit que l'action en complément ou en modification du divorce ou de la séparation de corps est régie par le droit suisse, sous réserve d'une liste exhaustive de dispositions particulières.
Dans un arrêt paru aux <ref-ruling>, le Tribunal fédéral a tranché la question du champ d'application temporel du nouveau droit. Il a ainsi précisé que les jugements étrangers entrés en force avant le 1er janvier 2017 sont soumis aux règles de droit international privé applicables jusqu'à cette date (consid. 5.9).
Le jugement de divorce français dont le complément est requis ayant été rendu le 14 avril 2014 et modifié par arrêt sur appel du 26 mai 2015, c'est par conséquent à juste titre que l'autorité cantonale a soumis la question du partage des avoirs de prévoyance professionnelle de l'intimé aux anciennes dispositions de la LDIP applicables en la matière.
Le grief est ainsi infondé.
3.2. Vu ce qui précède, et bien que la compétence (internationale) ratione loci des tribunaux suisses ne soit pas contestée, il convient de relever que cette compétence ne peut être admise sur la base de l'<ref-law>, comme l'ont retenu les juges genevois. Selon l'art. 64 al. 1 aLDIP, les tribunaux suisses sont compétents pour connaître d'une action en complément ou en modification d'un jugement de divorce ou de séparation de corps s'ils ont prononcé ce jugement ou s'ils sont compétents en vertu des art. 59 ou 60 LDIP, sous réserve des dispositions sur la protection des mineurs (<ref-law>). Aucune de ces conditions n'est ici remplie. La compétence locale du juge suisse peut cependant être admise tant en application de l'<ref-law>, dès lors que la procédure a trait à une matière patrimoniale, que de l'<ref-law> (notamment: ANDREAS BUCHER, in Commentaire romand, Loi sur le droit international privé, 2011, n° s 16 et 17 ad <ref-law>; BERNARD DUTOIT, Droit international privé suisse, 5e éd. 2016, n° 4 ad <ref-law>; AUDREY LEUBA, Le partage de la prévoyance professionnelle dans le cadre d'un divorce comportant des éléments d'extranéité, in Le droit civil dans le contexte international, 2012, p. 109 ss, 112/113; GIAN PAOLO ROMANO, Aspects de droit international privé de la réforme de la prévoyance professionnelle, in FamPra.ch 2017, p. 57 ss, 62).
3.3. En ce qui concerne le droit applicable à l'action en complément du jugement de divorce, l'autorité cantonale ne peut se voir reprocher d'avoir considéré qu'il s'agissait du droit français. L'art. 64 al. 2 aLDIP reprend en effet la solution consacrée à l'art. 63 al. 2 aLDIP, à savoir - sous réserve des dispositions de la loi relatives au nom (art. 37 à 40), à l'obligation alimentaire entre époux (art. 49), au régime matrimonial (art. 52-57), aux effets de la filiation (art. 82 et 83) et à la protection des mineurs (art. 85) - le principe du recours au droit régissant le divorce (<ref-ruling> consid. 2.4 et les références; parmi d'autres: DUTOIT, op. cit., n° 6 ad <ref-law>). Selon la jurisprudence (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 et les références), le partage de la prestation de sortie de la prévoyance professionnelle ne tombe pas sous la réserve en faveur des règles touchant à l'obligation d'entretien ou au régime matrimonial; c'est donc le droit applicable au divorce qui trouve en principe application, soit en l'occurrence le droit français.
4.
A titre subsidiaire, la recourante prétend que si, par impossible, l'ancien droit de la LDIP devait être déclaré applicable à l'examen du sort des avoirs de prévoyance professionnelle de l'intimé, la Cour de justice aurait violé le droit fédéral en considérant qu'il n'y avait pas lieu de faire usage de la clause d'exception de l'<ref-law>.
4.1. La clause d'exception prévue par l'<ref-law> habilite le juge à ne pas appliquer le droit auquel renvoie la règle de conflits de lois lorsque, au regard de l'ensemble des circonstances, il est manifeste que la cause n'a qu'un lien très lâche avec cette législation et qu'elle se trouve dans une relation beaucoup plus étroite avec un autre droit (al. 1). Cette clause n'intervient que de façon restrictive (<ref-ruling> consid. 3c et la jurisprudence mentionnée); elle ne tend pas, en particulier, à obvier aux conséquences indésirables du droit matériel désigné (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 2.5 et les références). La durée du mariage des parties, l'exercice d'une activité professionnelle en Suisse pendant une longue période, l'absence de prévoyance de l'époux bénéficiaire du partage constituent des critères à prendre en considération (<ref-ruling> consid. 2.5; arrêts 5A_874/2012 du 19 mars 2013 consid. 4.3; 5A_49/2008 du 19 août 2008 consid. 6.2.1; 5C.297/2006 du 8 mars 2007 consid. 3.1).
4.2. En l'espèce, l'arrêt entrepris retient que les parties sont toutes deux de nationalité française et qu'elles ont vécu sans discontinuer en France. Le seul lien entre la présente cause et la Suisse est que le défendeur y travaille depuis de nombreuses années et qu'il s'est, de la sorte, constitué des avoirs auprès d'une institution suisse de prévoyance professionnelle. L'épouse a toujours travaillé pendant le mariage, même si elle a réduit son activité durant quelques années. Elle s'est ainsi constitué une retraite conforme à ce que prévoit la législation française, pays dont elle est originaire, où elle travaille et où elle réside. Selon les juges précédents, du point de vue de la prévoyance, la présente cause diffère donc des cas où il a été fait application de l'<ref-law> et, partant, du droit suisse. En effet, contrairement aux situations ayant donné lieu aux arrêts 5C.297/2006 du 8 mars 2007 et 5A_874/2012 du 13 mars 2013, le mari n'a pas choisi de quitter son pays d'origine pour s'installer et travailler en Suisse afin de faire bénéficier, à terme, toute la famille d'une prévoyance adéquate, tandis qu'en l'absence de celui-ci, l'épouse a tenu seule le ménage et élevé les enfants, renonçant à travailler, de sorte qu'elle n'a pu se constituer une prévoyance dans son pays. La présente espèce n'est pas non plus comparable à celle de l'<ref-ruling>, puisque les parties ne disposent pas de la nationalité suisse et qu'elles n'ont jamais vécu en Suisse, alors que dans ledit arrêt, le seul élément reliant les intéressés à la France était leur dernier domicile commun, tous les autres éléments étant en lien avec la Suisse.
Pour l'autorité cantonale, il ne saurait par conséquent être retenu que la cause n'a qu'un lien très lâche avec le droit français et qu'elle se trouve dans une relation beaucoup plus étroite avec le droit suisse. Dès lors que, dans ces conditions, le recours à la clause d'exception de l'<ref-law> ne se justifie pas, c'est bien le droit français qui est applicable. Celui-ci ne connaissant pas le partage de la prévoyance professionnelle tel que prévu par les <ref-law>, la demanderesse doit être déboutée de ses conclusions en partage par moitié des avoirs de prévoyance accumulés en Suisse par le défendeur durant le mariage.
4.3. La recourante conteste ce raisonnement, estimant pour sa part que la cause n'a qu'un lien très lâche avec le droit français et qu'elle se trouve dans une relation plus importante avec le droit suisse. Elle se borne toutefois à affirmer - ce que l'arrêt déféré ne manque pas de constater - que, pendant toute la durée du mariage, l'intimé a travaillé en Suisse, où il a cotisé auprès d'une institution de prévoyance, alors qu'elle-même a réduit son taux d'activité en France à 50% pendant six ans, et non pas quatre, afin de s'occuper des enfants du couple et de la tenue du ménage. Selon elle, il est dès lors évident que, dans l'organisation de leurs activités professionnelles, les conjoints comptaient sur les avoirs de prévoyance accumulés en Suisse par l'intimé, ce d'autant qu'en raison de cette organisation, elle n'a jamais eu la possibilité de se constituer un capital de prévoyance approprié.
Cette argumentation n'est pas de nature à convaincre d'une violation du droit fédéral. Comme il a déjà été exposé, l'<ref-law> ne peut intervenir qu'à la double condition que, d'une part, la cause n'ait qu'un "lien très lâche" avec le droit déclaré applicable et que, d'autre part, il existe une relation "beaucoup plus étroite" avec un autre droit. En l'occurrence, la première de ces conditions, en tout cas (à savoir que la cause n'a qu'un lien très lâche avec le droit français), n'est pas réalisée. Non seulement les parties sont de nationalité française et ont toujours vécu en France, où elles se sont mariées, puis ont divorcé, mais encore, durant toute la durée du mariage, la recourante a exercé comme professeur des écoles en France, ce qui lui a permis de se constituer une prévoyance dans ce pays, même si elle a réduit son taux d'activité durant quelques années. Il en résulte que, contrairement à la situation tranchée par l'arrêt 5A_874/2012 précité, l'ensemble des prestations de retraite des deux conjoints n'est pas exclusivement lié à la Suisse. Comme de surcroît le seul élément reliant les parties à la Suisse consiste dans les avoirs détenus par l'intimé auprès d'une institution suisse de prévoyance professionnelle, les juges précédents ont dès lors considéré à juste titre qu'il ne se justifiait pas d'appliquer la clause d'exception de l'<ref-law>. Enfin, la recourante ne formule aucun grief portant sur les conséquences, déduites par l'autorité cantonale, de l'application du droit français.
Autant qu'il est suffisamment motivé, le grief est par conséquent mal fondé.
5.
En conclusion, le recours se révèle mal fondé et ne peut donc être que rejeté, dans la mesure où il est recevable. La recourante, qui succombe, supportera dès lors les frais judiciaires (<ref-law>) et versera en outre des dépens à l'intimé (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

rulings:
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 5'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimé une indemnité de 6'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 14 juillet 2021
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Mairot


facts:
Sachverhalt:
A.
Am 30. Oktober 1996 unterzeichneten das Kloster St. Katharina, eine öffentlich-rechtliche Körperschaft, und die Politische Gemeinde Wil (nachfolgend: Gemeinde Wil) einen Vertrag (nachfolgend: Schulvertrag) über die Führung einer Mädchensekundarschule durch das Kloster St. Katharina (nachfolgend: Kathi). Der Schulvertrag wurde am 16. September 1997 vom katholischen Administrationsrat und vom Erziehungsdepartement des Kantons St. Gallen genehmigt. Nebst einem Teil der Schülerinnen aus Wil besuchen auch Privatschülerinnen aus anderen Gemeinden das Kathi.
Gemäss dem Schulvertrag wird das Kathi nach dem gesetzlichen Erziehungs- und Bildungsauftrag geführt. Zudem werden Akzente gesetzt, die sich für die Trägerschaft der Schule aus der Zugehörigkeit zu einer Ordensgemeinschaft ergeben (Art. 1 Schulvertrag).
Am 11. Februar 2016 folgte das Stadtparlament der Gemeinde Wil dem Antrag des Stadtrats und stimmte einem modifizierten Schulvertrag (nachfolgend: Vereinbarung) zu. Gemäss der Vereinbarung soll die Stiftung Schule St. Katharina, eine privatrechtliche Stiftung, den Schulvertrag übernehmen und der Gemeinde Wil das Recht eingeräumt werden, über die Aufnahme von Mädchen mit Wohnsitz Wil in das Kathi zu entscheiden.
Gegen die Beschlüsse des Stadtparlaments der Gemeinde Will, mit welchen die Vereinbarung genehmigt worden ist, ist kein Referendum ergriffen worden.
B.
Am 25. Februar 2016 erhoben B._, A._ und die Partei C._ Abstimmungsbeschwerde gegen die Beschlüsse des Stadtparlaments vom 11. Februar 2016 beim Departement des Innern des Kantons St. Gallen (nachfolgend: Departement des Innern). Mit Entscheid vom 6. Februar 2017 trat das Departement des Innern auf die Abstimmungsbeschwerde nicht ein. Eine dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen teilweise gut und wies die Sache an das Departement des Innern zur Neubeurteilung zurück. Mit Entscheid vom 2. Juli 2019 wies das Departement des Innern die Abstimmungsbeschwerde ab.
Die gegen den Entscheid des Departements des Innern durch B._, A._ und die Partei C._ erhobene Beschwerde wurde am 17. Dezember 2019 vom Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit der Begründung gutgeheissen, die Parlamentsbeschlüsse entbehrten einer rechtlichen Grundlage.
C.
Mit zwei separaten Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 3. Februar 2020 beantragen die Gemeinde Wil und die Stiftung Schule St. Katharina, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 17. Dezember 2019 aufzuheben; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
B._, A._ und die Partei C._ stellen den Antrag, die Beschwerden seien abzuweisen, eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
Den prozessualen Anträgen der Gemeinde Wil sowie der Stiftung Schule St. Katharina, den Schülerinnen im Sinne der streitbetroffenen Vereinbarung den unentgeltlichen Besuch der Mädchensekundarschule auf den Beginn des Schuljahres 2020/2021 bzw. für die Dauer des Beschwerdeverfahrens zu ermöglichen, hat das Bundesgericht nach Durchführung eines Schriftenwechsels mit Präsidialverfügung vom 17. Februar 2020 stattgegeben.
Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen beantragt die Abweisung der Beschwerde.

considerations:
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den angefochtenen kantonalen Erlass sind zulässig, wobei festzuhalten ist, dass es sich nicht um Abstimmungsbeschwerden im Sinne von Art. 82 lit. c BGG handelt, sondern um Beschwerden, welche die inhaltliche Rechtmässigkeit des Beschlusses betreffen (Art. 82 lit. b, Art. 87 Abs. 1 BGG). Die Eingaben der Beschwerdeführerinnen erfolgten fristgerecht (Art. 101 BGG).
1.2. Das Bundesgericht hat für die Beschwerde der Beschwerdeführerin 1 (2C_136/2020) und der Beschwerdeführerin 2 (2C_137/2020) zwei getrennte Dossiers angelegt. Die beiden Verfahren beruhen auf demselben Sachverhalt und richten sich gegen dasselbe Urteil vom 17. Dezember 2019. Sodann stellen sich zusammenhängende Rechtsfragen. Bereits die Vorinstanz hat die Beschwerdeführerin 2 als Mitbeteiligte in das kantonale Beschwerdeverfahren aufgenommen und ein einziges Urteil gefällt. Es rechtfertigt sich deshalb, die Verfahren zu vereinigen und die Beschwerde ist in einem einzigen Urteil zu erledigen (Art. 71 BGG i. V.m. Art. 24 BZP [SR 273]; vgl. Urteile 2C_651/2019 und 2C_700/2019 vom 21. Januar 2020 E. 2; mit Hinweisen).
1.3. Vertieft zu prüfen ist die Legitimation der Beschwerdeführerinnen.
1.3.1. Die Beschwerdeführerin 1 rügt, die Vorinstanz habe ihr in willkürlicher Anwendung des Volksschulgesetzes des Kantons St. Gallen vom 13. Januar 1983 (VSG/SG, sGS 213.1) das Recht aberkannt, die Beschwerdeführerin 2 mit der Beschulung von in Will ansässigen Mädchen zu beauftragen. Damit macht sie sinngemäss geltend, dass sie in ihrer Eigenschaft als Trägerin hoheitlicher Gewalt berührt ist und ihre Autonomie durch den Entscheid verletzt wurde. Ob die Behauptung zutrifft, und die beanspruchte Autonomie tatsächlich besteht, ist keine Frage des Eintretens, sondern der materiellen Beurteilung (vgl. <ref-ruling> E. 1.1.3, Urteil 2C_700/2018 vom 14. November 2019 E. 1.2.1). Die Beschwerdeführerin 1 ist insofern zur Beschwerde legitimiert und auf die Beschwerde ist gestützt auf Art. 89 Abs. 2 lit. c BGG einzutreten.
1.3.2. Zu prüfen ist ferner die Legitimation der Beschwerdeführerin 2. Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung besitzt (Art. 89 Abs. 1 BGG). Verlangt ist somit neben der formellen Beschwer (Art. 89 Abs. 1 lit. a BGG), dass der Beschwerdeführer über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt (Art. 89 Abs. 1 lit. b BGG) und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht (Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG).
Die Beschwerdeführerin 2 hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist als Vertragspartnerin der Beschwerdeführerin 1 mit ihren Anliegen vor der Vorinstanz unterlegen. Damit ist sie durch den Entscheid der Vorinstanz in ihren Interessen unmittelbar berührt und zur Einreichung der Beschwerde legitimiert.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht und von kantonalen verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 95 lit. a und c BGG). Soweit im Bereich der kommunalen Autonomie die Handhabung von eidgenössischem Recht oder kantonalen verfassungsmässigen Rechten zur Diskussion steht, prüft das Bundesgericht das Vorgehen der kantonalen Behörden mit freier Kognition, insbesondere ob die Vorinstanz einen in den Anwendungsbereich der Gemeindeautonomie fallenden Beurteilungsspielraum respektiert hat (<ref-ruling> E. 5.4; <ref-ruling> E. 2). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Die Verletzung von Grundrechten und kantonalem Recht untersucht es gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht; <ref-ruling>).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat, sofern dieser nicht offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 und Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel (sogenannte Noven) können nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2.3. Soweit die Beschwerdeführerin 2 der Vorinstanz vorwirft, in Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV), der politischen Rechte (Art. 34 BV), des Rechts, Privatschulen zu gründen und zu führen sowie zu besuchen (Art. 3 der Verfassung des Kantons St.Gallen [KV/SG; sGS 11.1]) und der Rechtmässigkeit (Art. 8 KV/SG) gehandelt zu haben, werden ihre Vorbringen den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht gerecht. Auf ihre entsprechenden Vorbringen ist insofern nicht weiter einzugehen.
3.
Zu prüfen gilt es vorab, ob die Beschwerdeführerin 1 über die Autonomie verfügt, der Beschwerdeführerin 2 die Führung einer Mädchensekundarschule zu übertragen und das Schulgeld für die durch die Beschwerdeführerin 2 beschulten Mädchen aus Wil zu übernehmen.
3.1. Nach der Rechtsprechung sind Gemeinden in einem Sachbereich autonom, wenn das kantonale (oder eidgenössische) Recht diesen nicht abschliessend ordnet, sondern ihn ganz oder teilweise der Gemeinde zur Regelung überlässt und ihr dabei eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit einräumt (<ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 5.2). Der geschützte Autonomiebereich kann sich auf die Befugnis zum Erlass oder Vollzug eigener kommunaler Vorschriften beziehen oder einen entsprechenden Spielraum bei der Anwendung kantonalen oder eidgenössischen Rechts betreffen. Der Schutz der Gemeindeautonomie setzt eine Entscheidungsfreiheit nicht in einem ganzen Aufgabengebiet, sondern lediglich im streitigen Bereich voraus. Im Einzelnen ergibt sich der Umfang der kommunalen Autonomie aus dem für den entsprechenden Bereich anwendbaren kantonalen Verfassungs- und Gesetzesrecht (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.3.1 und 2.3.2; <ref-ruling> E. 2; je mit Hinweisen).
3.2. Der hier infrage stehende Bereich des Schulwesens fällt grundsätzlich in die kantonale Zuständigkeit (vgl. Art. 62 Abs. 1 BV), wobei die interkantonale Vereinbarung über die Harmonisierung der Volksschule vom 14. Juni 2007 (HarmoS-Konkordat; in Kraft seit dem 1. August 2009) gewisse Ziele des Unterrichts und die Schulstrukturen harmonisiert. Im Rahmen, den das kantonale und interkantonale Recht zulässt, können die Gemeinden ihre Angelegenheiten selbst regeln und hierzu eigenes Recht erlassen (Art. 89 Abs. 1 KV/SG). In der Rechtsetzung hat die Gemeinde Entscheidungsfreiheit, wenn das kantonale Gesetz keine abschliessende Regelung trifft oder die Gemeinde ausdrücklich zur Rechtsetzung ermächtigt (Art. 89 Abs. 2 KV/SG). Die politische Gemeinde kommt als öffentlich-rechtliche Gebietskorporation mit eigener Rechtspersönlichkeit als Trägerin der verfassungsrechtlich geschützten Autonomie in Betracht (vgl. Art. 1 Abs. 2 lit. b und Art. 2 Abs. 1 lit. a des Gemeindegesetzes des Kantons St. Gallen vom 21. April 2009 [GG/SG; sGS 151.2]) und Art. 88 Abs. 2 lit. b KV/SG).
3.3. Die Verfassung des Kantons St. Gallen unterscheidet zwischen der politischen Gemeinde, der Schulgemeinde und der Ortsgemeinde (Art. 88 KV/SG). Die Schulgemeinde ist gemäss Art. 88 Abs. 2 KV/SG eine Spezialgemeinde, welche die ihr vom Gesetzgeber zugewiesenen Aufgaben im Schul- und Bildungsbereich erfüllt (Art. 92 KV/SG). Sowohl die Schulgemeinden als auch die politischen Gemeinden sind Träger der Volksschule (Art. 4 Abs. 1 VSG/SG), zu der auch die Sekundarstufe gehört (Art. 2 Abs. 1 VSG/SG). Sie nehmen bei der Realisierung der Bildungs- und Kulturziele eine zentrale Stellung ein (vgl. Botschaft und Entwurf der Verfassungskommission vom 17. Dezember 1999, Amtsblatt des Kantons St. Gallen Nr. 41, Sonderausgabe vom 28. Januar 2000, S. 223). Ihre Aufgaben werden durch das Volksschulgesetz sowie andere Erlasse über die Bildung konkretisiert (Art. 2 Abs. 2 GG/SG). Die Schulgemeinde kann ihre Aufgaben an die politische Gemeinde gegen Entschädigung abtreten (Art. 11 Abs. 1 GG/SG). Dies ist der Fall in Wil, wo die politische Gemeinde die öffentliche Volksschule führt (Art. 43 Gemeindeordnung der Stadt Wil vom 28. Februar 2016 [111.1; GO/WI]).
3.4. Der Kanton St. Gallen hat im Bereich der Volksschule ein dichtes Regelwerk erlassen. Das Volksschulgesetz legt Vorschriften zur Schulorganisation und zum Unterricht fest (Art. 17 ff. VSG/SG), macht Vorgaben zur Schulpflicht, zum Schulbesuch und zum Verhalten der Schüler und Schülerinnen (Art. 45 ff. VSG/SG) und regelt das Lehrerpersonalrecht (Art. 56 ff. VSG/SG). Zudem enthält es Bestimmungen zu Schnittstellen zwischen Schule und Gesellschaft (Art. 92 ff. VSG/SG).
Die Gemeinden sind für die Finanzierung der Volksschule verantwortlich und entscheiden über die Art der Erfüllung der Volksschulaufgaben (Art. 26 Abs. 2 KV/SG). Die Kantone unterstützen die Gemeinden insofern, als sie die Kosten für die obligatorischen und die empfohlenen Lehrmittel der Volksschule übernehmen (Art. 22 Abs. 1 VSG/SG). Gemeinden mit besonders hohen Bildungskosten haben Anspruch auf Beiträge aus dem kantonalen Sonderlastenausgleich (vgl. Art. 18 ff. des Finanzausgleichsgesetzes des Kantons St. Gallen vom 28. Juni 2016 [FAG/SG; sGS 813.1])
3.5. Nebst den Aufgaben der öffentlichen Volksschule regelt das Volksschulgesetz die Aufsicht über die Privatschulen (Art. 1 Abs. 2 VSG/SG). Das Recht, Privatschulen zu gründen und zu führen sowie zu besuchen, wird ausdrücklich von der Kantonsverfassung anerkannt (Art. 3 lit. a KV/SG). Privatschulen, die schulpflichtige Kinder unterrichten, unterstehen wie die öffentlichen Schulen der Aufsicht des Staates (Art. 115 VSG/SG). Sie bedürfen zur Errichtung und Führung einer Bewilligung des Bildungsrates (Art. 116 VSG/SG). Die Bewilligung für Privatschulen wird erteilt, wenn die Schulleitung, fachliche Führung, Organisation und Schulräumlichkeiten einen der öffentlichen Schule gleichwertigen, auf Dauer angelegten Unterricht gewährleisten und die obligatorischen Unterrichtsbereiche der öffentlichen Schule unterrichtet werden (Art. 117 Abs. 1 VSG/SG). Der Bildungsrat kann die Bewilligung mit Auflagen verbinden, um die Gleichwertigkeit des Unterrichts sicherzustellen (Art. 117 Abs. 2 VSG/SG).
3.6. Der Sonderschulunterricht, welcher Angebote für Kinder mit besonders hohem Bildungs- und Förderungsbedarf anbietet, findet sowohl in öffentlichen als auch in anerkannten privaten Sonderschulen statt (Art. 36 Abs. 2 und Art. 51 VSG/SG). Die Betrauung Privater mit Sonderschulaufgaben trägt der Tatsache Rechnung, dass bei Erlass des Volksschulgesetzes Sonderschulen fast ausschliesslich durch private Trägerschaften geführt wurden (vgl. Botschaft der Regierung des Kantons St. Gallen vom 23. Juni 1981 zum Entwurf eines Volksschulgesetzes, Amtsblatt des Kantons St. Gallen 1981, S. 1073, 1113). Der Kanton trägt den Aufwand der anerkannten privaten Sonderschulen, unter Abzug von Beiträgen der Eltern sowie unter Berücksichtigung von Unterhalt und Sanierung der Infrastruktur (Art. 39bis Abs. 1 VSG/SG). Die Finanzierung anerkannter privater Sonderschulen erfolgt gestützt auf eine mit dem kantonalen Bildungsdepartement abgeschlossene Leistungsvereinbarung (Art. 15 ff. Verordnung über die Anerkennung und Finanzierung von privaten Sonderschulen vom 3. Februar 2015; Sonderschulverordnung, sGS 213.951).
3.7. Mit Ausnahme der anerkannten privaten Sonderschulen enthält das Volksschulgesetz keine Vorschriften zur Finanzierung von Privatschulen. Gemäss der Botschaft zum Volksschulgesetz fällt eine solche "ausser Betracht" (Botschaft zum Volksschulgesetz, a.a.O, S. 1073, 1109). Ob damit auch eine Finanzierung von Privatschulen ausgeschlossen werden sollte, welche Volksschulaufgaben wahrnehmen, die ihnen übertragen werden, kann ihr nicht entnommen werden. Gegen ein solches Verbot spricht, dass Art. 24 KV/SG ausdrücklich festhält, dass der Staat Private unterstützen kann, wenn diese Aufgaben von öffentlichem Interesse wahrnehmen.
3.8. Die Bundesverfassung enthält keine Vorschrift, welche die Kantone verpflichten würde, den allgemein zugänglichen Grundschulunterricht einzig und allein in staatlichen Schulen anzubieten (vgl. Bernhard Ehrenzeller, in: Basler Kommentar, Bundesverfassung, 2014, N. 30 zu Art. 62 BV). Die Möglichkeit, Private bei der Wahrnehmung von Aufgaben im Volksschulbereich finanziell zu unterstützen, ist denn auch in gewissen kantonalen Gesetzen ausdrücklich vorgesehen. So bestimmt beispielsweise Art. 52 Abs. 4 des Gesetzes über die Volksschulbildung vom 22. März 1999 des Kantons Luzern (VBG/LU, SRL 400a), dass der Kanton im Bereich der Volksschulbildung Privatschulen Aufgaben übertragen kann und diese im Rahmen der verfügbaren Mittel unterstützt.
3.9. Zusammengefasst kann deshalb festgehalten werden, dass weder das Bundesrecht noch das kantonale Recht einer Übertragung von Aufgaben im Volksschulbereich an Private und ihrer finanziellen Unterstützung durch die Gemeinden des Kantons St. Gallen entgegensteht. Der Beschwerdeführerin 1 steht somit bei der Erfüllung ihrer Aufgaben im Volksschulbereich eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit zu, so dass es sich rechtfertigt, sie auf diesem Gebiete als autonom im Sinne von Art. 89 KV/SG zu betrachten.
4.
Zu prüfen ist weiter, ob die Vorinstanz in willkürlicher Weise zum Schluss gelangt ist, die Übertragung der Führung von Mädchensekundarschulklassen an das Kathi entbehre einer genügend bestimmten gesetzlichen Grundlage.
4.1. Um die Anforderungen an die gesetzliche Grundlage für den Abschluss der streitbetroffenen Vereinbarung bestimmen zu können, ist vorab ihre Rechtsnatur und Tragweite zu klären.
4.1.1. Das Kathi wurde ursprünglich von einer öffentlich-rechtlichen Korporation, dem Kloster St. Katharina geleitet, das über eine Bewilligung zur Führung einer privaten Mädchensekundarschule verfügte. Im Oktober 1996 wurde zwischen der Stadt Wil und dem Kloster St. Katharina ein Schulvertrag abgeschlossen, gemäss welchem sich das Kloster St. Katharina zur Beschulung von Wiler Mädchen auf Sekundarschulstufe und die Gemeinde Wil zur Bezahlung der Schuldgelder dieser Mädchen verpflichtete. Der Schulvertrag bestimmt insbesondere, dass Streitigkeiten im Verfahren der öffentlich-rechtlichen Klage zu beurteilen seien.
4.1.2. Anfangs 2012 übernahm die Beschwerdeführerin 2, eine vom Kloster St. Katharina errichtete privatrechtliche Stiftung, die Führung des Kathi. Mit der Vereinbarung soll nachträglich dem in der Zwischenzeit erfolgten Führungswechsel der Schule Rechnung getragen und der Schulvertrag den veränderten Verhältnissen angepasst werden. Neu soll die Aufnahme von Wiler Sekundarschulmädchen in das Kathi auf 70 % der Schülerinnen und Schüler mit Wohnsitz Wil begrenzt und der Beschwerdeführerin 1 das Recht eingeräumt werden, die zu beschulenden Schülerinnen selbst auszuwählen. Zudem soll ein Gremium für einen regelmässigen Austausch zwischen den Beschwerdeführerinnen sorgen, das Kathi dem Öffentlichkeitsgesetz unterstellt werden und der Stadtrat sowie die Geschäftsprüfungskommission der Stadt Wil Einsicht in die Rechnungslegung der Stiftung erhalten. Die bestehenden konfessionellen Akzente des Schulbetriebs sollen beibehalten werden (Art. 105 Abs. 2 BGG).
4.1.3. Der Gegenstand der Vereinbarung gehört damit offensichtlich zu den Materien, die öffentlich-rechtlich normiert sind, weshalb sie als öffentlich-rechtlicher Leistungsvertrag zu qualifizieren ist (<ref-ruling> E. 2a und 2b S. 253 f. mit Hinweisen).
4.2. Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung bedarf die Übertragung einer staatlichen Aufgabe an Private einer formellgesetzlichen Grundlage (<ref-ruling> E. 4.4.3; vgl. im Bund Art. 178 Abs. 3 BV). Die Auslagerung staatlicher Aufgaben an privatrechtlich organisierte Träger mittels öffentlichrechtlichem Leistungsvertrag muss gestützt auf eine kompetenzgemäss erlassene Rechtsnorm erfolgen, welche den Vertrag vorsieht, dafür Raum lässt oder ihn jedenfalls nicht ausdrücklich ausschliesst. Wenn es sich um eine wichtige Regelung handelt, muss der Vertrag auf einem generell-abstrakten, genügend bestimmten Rechtssatz beruhen, der in Form eines Gesetzes erlassen wurde (<ref-ruling> E. 2.6.1).
4.3. Die Beschwerdeführerin 2 macht geltend, die Vereinbarung enthalte keine wichtige Regelung im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, weshalb es zu ihrem Abschluss keiner formellen gesetzlichen Grundlage bedürfe.
4.3.1. Das Argument überzeugt nicht. Der Entscheid einer Gemeinde, einer privaten Institution die Führung von Sekundarschulklassen anzuvertrauen, hat weitreichende Folgen, sowohl für die betroffenen Schülerinnen und Schüler als auch für den Schulbetrieb der öffentlichen Schule. Wenn auch durch die öffentliche Aufsicht über die Privatschulen grundsätzlich gewährleistet wird, dass die vom Kathi beschulten Schülerinnen einen der öffentlichen Schule gleichwertigen Unterricht erhalten, so tangiert die Vereinbarung wesentliche Grundrechtspositionen der Wiler Schüler und Schülerinnen. Wenn auch keine Verpflichtung seitens der Wiler Schülerinnen besteht, das Kathi zu besuchen, so wirken sich dessen Zugangsbedingungen diskriminierend auf die Schülerinnen und Schüler aus Wil aus, da nur eine beschränkte Anzahl Mädchen und keine Buben Zugang zum Kathi erhalten. Des Weiteren wirft die religiös geprägte Ausrichtung des Kathi die Frage auf, ob der Anspruch der Wiler Schülerinnen auf einen konfessionell neutral geführten Unterricht (Art. 15 Abs. 3 BV) gewährleistet ist. Schliesslich gilt es zu berücksichtigen, dass die staatliche Finanzierung einer Privatschule zur Folge hat, dass der öffentlichen Schule Finanzmittel entzogen werden, was sich negativ auf die Qualität des Leistungsangebots der öffentlichen Schule auswirken kann.
4.3.2. Die Auffassung, es bedürfe keiner formell-gesetzlichen Grundlage, steht ferner im Widerspruch zu Art. 25 Abs. 3 KV/SG, der bestimmt, dass die Voraussetzungen für die Übertragung der Erfüllung von Staatsaufgaben an Private sowie der Rechtsschutz und die Aufsicht in einem formellen Gesetz zu verankern seien.
4.3.3. Des Weiteren vermag auch das Argument nicht zu überzeugen, dass von einer formell-gesetzlichen Grundlage abgesehen werden könne, weil dies einer gängigen Praxis im Kanton St. Gallen bei der Verabschiedung von Leistungsvereinbarungen entspreche. Eine verfassungswidrige Praxis kann nur in Ausnahmesituationen geschützt werden. Die Voraussetzungen für eine Gleichbehandlung im Unrecht sind vorliegend nicht erfüllt (<ref-ruling> E. 7.1).
4.4. Im Ergebnis ist deshalb festzuhalten, dass es zur Übertragung der Führung von Regelklassen der öffentlichen Sekundarschule an eine private Trägerschaft einer genügend bestimmten formell-gesetzlichen Grundlage bedarf. Die Vorinstanz ist in diesem Lichte willkürfrei zum Schluss gekommen, dass weder das Volksschulgesetz noch die Gemeindeordnung der Stadt Wil eine solche Grundlage enthält.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerinnen kritisieren jedoch, die Vorinstanz habe verkannt, dass der Nachtrag I dem fakultativen Referendum unterstanden habe und daher nicht bloss ein verwaltungsrechtlicher Vertrag sei, sondern im Sinne von Art. 3 GG/SG selber eine gesetzliche Grundlage bilde. Sodann bestehe auch in Art. 126 lit. b GG/SG eine gesetzliche Grundlage für die Übertragung einer öffentlichen Aufgabe an Private.
5.2. Die Bundesverfassung umschreibt nicht näher, was kantonalrechtlich unter formellgesetzlicher Grundlage bzw. einem formellen Gesetz im Einzelnen zu verstehen ist. Dies richtet sich in erster Linie nach dem kantonalen Staatsrecht (<ref-ruling> E. 4.1). Je nachdem vermag auch ein Vertrag, der dem fakultativen Referendum unterlag, selber als gesetzliche Grundlage zu dienen (vgl. Urteile 2C_518/2012 vom 23. November 2012 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; 2C_399/2017 vom 28. Mai 2018 E. 7.6; 2C_1061/2015 vom 9. Januar 2017 E. 3.2.1; 2C_160/2014 vom 7. Oktober 2014 E. 4 und 5.3; 2C_404/2010 vom 20. Februar 2012 E. 4.2). Dasselbe gilt für Konkordate (<ref-ruling> E. 6.3).
5.3. Nach Art. 3 Abs. 1 GG/SG setzt die Gemeinde Recht durch die Gemeindeordnung sowie durch Reglement und Vereinbarungen. Diese ordnen allgemein verbindlich Rechte und Pflichten der Gemeinde und der Bürgerinnen und Bürger sowie die Organisation der Behörden. Allgemein verbindliche Vereinbarungen unterstehen dem fakultativen Referendum (Art. 23 Abs. 1 lit. b und Art. 66 Abs. 1 lit. b GG/SG; vgl. auch Art. 6 Abs. 2 GG/SG, wonach die Referendumsfrist von allgemein verbindlichen Vereinbarungen amtlich bekannt gemacht wird). Nach Art. 126 Abs. 1 lit. b GG/SG kann sodann die Gemeinde mit Leistungsvereinbarung öffentliche Aufgaben Privaten übertragen. Die Vorinstanz hat nicht geprüft, ob Art. 126 GG/SG, allenfalls in Verbindung mit Art. 3 GG/SG, eine ausreichend bestimmte Delgationsnorm zur Übertragung der Schulaufgaben an die Beschwerdeführerin 2 darstellt. Da es sich um eine kantonalrechtliche Bestimmung handelt, die das Bundesgericht grundsätzlich nicht selber anwendet (Art. 189 BV und Art. 95 BGG), rechtfertigt es sich, die Angelegenheit zur Überprüfung dieser Frage an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese wird im Lichte der oben stehenden Erwägungen zu prüfen haben, ob Art. 126 GG/SG, allenfalls in Verbindung mit Art. 3 GG/SG und der Gemeindeordnung der Stadt Wil, eine ausreichend bestimmte gesetzliche Grundlage zur Übertragung der Führung der Mädchensekundarschule an die Beschwerdeführerin 2 darstellt.
6.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde mit Bezug auf die fehlende Abklärung von Art. 126 GG/SG und Art. 3 GG/SG begründet und gutzuheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 17. Dezember 2019 ist deshalb aufzuheben und die Sache zum Entscheid über die gesetzliche Grundlage im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens tragen die Beschwerdegegner die bundesgerichtlichen Gerichtskosten (Art. 65, 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).

rulings:
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_136/2020 und 2C_137/2020 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 17. Dezember 2019 wird aufgehoben und die Sache zur Neuentscheidung im Sinne der Erwägungen dem Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdegegnern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensparteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung III, und dem Departement des Innern des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. November 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: de Sépibus