สมการเชิงอนุพันธ์ หมายถึงอะไร?
สมการเชิงอนุพันธ์
สมการเชิงอนุพันธ์ (Differential equation) หมายถึง สมการที่มีอนุพันธ์ต่างๆของฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า (unknown function) หนึ่งฟังก์ชันหรือมากกว่าหนึ่งฟังก์ชันปรากฏอยู่ คำว่า Differential equation (aequatio differentialis) เริ่มใช้โดย ไลน์นิตซ์ ในปี ค.ศ. 1676
เป็นรูปแบบสมการหนึ่งในคณิตศาสตร์ เป็นพื้นฐานที่สำคัญในสาขาคณิตศาสตร์ประยุกต์ ในทางวิศวกรรมศาสตร์ และวิทยาศาสตร์ เพราะว่ากฎเกณฑ์และปัญหาต่างๆ ในสาขาวิขาเหล่านี้ล้วนพิจารณาเป็นสมการคณิตศาสตร์ที่อยู่ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์แทบทั้งสิ้น เช่นกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ปัญหาของการนำความร้อนในแท่งโลหะ การหาปะจุหรือกระแสในวงจรไฟฟ้า เหล่านี้เป็นต้น
ตราสารอนุพันธ์
ตราสารอนุพันธ์เริ่มเข้ามามีบทบาทในภาคธุรกิจของประเทศไทยมากขึ้น และมีแนวโน้มที่จะมีตราสารอนุพันธ์ชนิดใหม่ ๆ เกิดขึ้นอย่างต่อเนื่อง ตราสารอนุพันธ์ที่ประเทศไทยมีมาค่อนข้างยาวนานกว่าตราสารอนุพันธ์ชนิดอื่น ๆ ก็ คือ สัญญาซื้อขายล่วงหน้าเงินตราต่างประเทศ (Foreign Currencies Exchange Forward Contract) ซึ่งมักจะนิยมใช้สำหรับผู้ที่เกี่ยวข้องกับเงินตราต่างประเทศ ไม่ว่าจะเป็นผู้ส่งออก หรือผู้นำเข้าสินค้า สัญญาดังกล่าวจะเป็นการทำสัญญาระหว่าง ธนาคารพาณิชย์ที่มีการรับบริการแลกเปลี่ยนเงินตราต่างประเทศ กับผู้นำเข้าหรือผู้ส่งออกซึ่งจะมีรายได้หรือรายจ่ายเป็นเงินตราต่างประเทศ ดังนั้นการทำสัญญาดังกล่าว จะทำให้ผู้ที่จะมีรายได้หรือรายจ่าย ที่เป็นเงินตราต่างประเทศได้ทราบว่าอัตราแลกเปลี่ยนที่เกิดขึ้นในอนาคตจะเป็นอย่างไร การทำสัญญาดังกล่าวจะทำให้ทั้งผู้ส่งออกและผู้นำเข้าสามารถประเมินถึงรายได้และรายจ่ายที่เป็นจำนวนเงินสกุลบาทได้ชัดเจนยิ่งขึ้น จะทำให้ความเสี่ยงจากการผันผวนของอัตราแลกเปลี่ยนลดลง
อนุกรม
อนุกรมของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนจะเรียกว่าลู่เข้าตามเงื่อนไข (หรือกึ่งลู่เข้า) ถ้าอนุกรมนั้นลู่เข้า แต่ไม่ได้ลู่เข้าสัมบูรณ์ ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคืออนุกรมสลับเครื่องหมาย เช่น
เป็นอนุกรมลู่เข้า (และมีผลรวมเท่ากับ ln 2) แต่อนุกรมของค่าสัมบูรณ์กลายเป็นอนุกรมฮาร์มอนิกซึ่งลู่ออก ทฤษฎีบทอนุกรมของรีมันน์กล่าวไว้ว่า อนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข สามารถจัดเรียงให้กลายเป็นอนุกรมลู่ออก และยิ่งไปกว่านั้น ถ้า formula_13 เป็นจำนวนจริง และ "S" ก็เป็นจำนวนจริง เราสามารถจัดเรียงใหม่เพื่อให้อนุกรมนั้นลู่เข้าและมีผลรวมเท่ากับ "S"
ฟิสิกส์ของอนุภาค
การวิจัยด้านฟิสิกส์ของอนุภาคที่ทันสมัยจะมุ่งเน้นไปที่อนุภาคของอะตอมย่อย () รวมทั้งองค์ประกอบที่สร้างขึ้นเป็นอะตอมเช่นอิเล็กตรอน โปรตอน และนิวตรอน (โปรตอนและนิวตรอนเป็นอนุภาคผสมที่เรียกว่าแบริออน ทำจากหลายควาร์ก) ที่ผลิตโดยกระบวนการกัมมันตรังสีและการกระจัดกระจาย เช่นโฟตอน นิวตริโน และมิวออน เช่นเดียวกับอีกหลากหลายของอนุภาคที่แปลกใหม่ ไดนามิกส์ของอนุภาคทั้งหลายยังถูกควบคุมโดยกลศาสตร์ควอนตัมอีกด้วย; โดยพวกมันจะแสดงออกเป็นสองภาคของคลื่นและของอนุภาค () นั่นคือมันจะแสดงพฤติกรรมเหมือนกับเป็นอนุภาคภายใต้สภาวะการทดลองบางอย่างและพฤติกรรมเหมือนกับเป็นคลื่นในสภาวะอื่น ๆ ในความหมายทางเทคนิคมากขึ้น พวกมันจะถูกอธิบายโดยเวกเตอร์ของสภาวะควอนตัมใน Hilbert space, ซึ่งถูกปฏิบัติในทฤษฎีสนามควอนตัมเช่นกัน หลังจากการประชุมของนักฟิสิกส์ด้านอนุภาค คำว่าอนุภาคมูลฐานถูกนำไปใช้กับอนุภาคเหล่านั้นที่ถูก(ตามที่เข้าใจในปัจจุบัน)สันนิษฐานว่าเป็นพวกที่แบ่งแยกไม่ได้และไม่ประกอบด้วยอนุภาคอื่น ๆ
อนุภาค
อนุภาค หมายถึงสสารที่มีปริมาณน้อยมากหรือเล็กมาก อาจหมายถึง
ระบบสมการเชิงเส้น
บ่อยครั้ง สัมประสิทธิ์ของสมการเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน และผลเฉลยหาได้โดยชุดจำนวนเดียวกัน แต่ทฤษฎีและขั้นตอนวิธีนี้ใช้ได้กับสัมประสิทธิ์และผลเฉลยในทุกสาขา สำหรับผลเฉลยในโดเมนปริพันธ์อย่างริงของจำนวนเต็ม หรือในโครงสร้างพีชคณิตอื่น ได้มีการพัฒนาทฤษฎีอื่นออกมา กำหนดการเชิงเส้นจำนวนเต็มเป็นการรวมวิธีสำหรับการหาผลเฉลยจำนวนเต็ม "ที่ดีที่สุด" (เมื่อมีหลายผลเฉลย)
การก้าวหน้าเรขาคณิต
อนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัด คืออนุกรมเรขาคณิตที่มีจำนวนพจน์ไม่จำกัดหรือเป็นจำนวนอนันต์ อนุกรมนี้จะลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งก็ต่อเมื่อ ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนทั่วไปมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง (formula_14) ค่าของอนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัดสามารถคำนวณได้จากสูตรของผลรวมจำกัด
ปริมาตร
ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ปริมาตรถูกอธิบายด้วยความหมายของรูปแบบปริมาตร (volume form) และเป็นตัวยืนยงแบบไรมันน์ (Riemann invariant) ที่สำคัญโดยรวม ในอุณหพลศาสตร์ ปริมาตรคือตัวแปรเสริม (parameter) ชนิดพื้นฐาน และเป็นตัวแปรควบคู่ (conjugate variable) กับความดัน
พหุนามเลอจองดร์
ส่วนในทางคณิตศาสตร์แล้วนั้นฟังก์ชันเลอจองดร์จะเป็นผลเฉลยของสมการอนุพันธ์ของเลอจองดร์ :
แคลคูลัส
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน กล่าวถึงกราฟของฟังก์ชันนั้นในช่วงสั้น ๆ ซึ่งทำให้เราสามารถหาจุดสูงสุด และจุดต่ำสุด ของฟังก์ชันได้ เพราะว่าที่จุดเหล่านั้นกราฟจะขนานกับแกนราบ ดิเฟอเรนเชียล แคลคูลัสยังมีการประยุกต์ใช้อื่นๆอีก เช่น ระเบียบวิธีของนิวตัน (Newton's Method) ซึ่งเป็นวิธีในการหาค่ารากของฟังก์ชัน โดยการประมาณค่าโดยเส้นสัมผัส ดังนั้นแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ จึงสามารถนำไปประยุกต์ใช้กับหลากหลายคำถาม ซึ่งถ้ามองแค่ผิวเผินอาจคิดว่า ไม่อาจใช้แคลคูลัสจัดการได้
ตราสารอนุพันธ์
ตราสารสิทธิ (option) เป็นสัญญาที่มีลักษณะคล้ายกันกับ สัญญาซื้อขายล่วงหน้าในประเภทแรก แต่แตกต่างกันที่สัญญาประเภท ออปชัน เป็นสัญญาที่ให้สิทธิแก่ผู้ที่ทำการซื้อสัญญาออปชัน ว่าจะมีสิทธิในการซื้อหรือขายสินทรัพย์ใด ๆ ตามสัญญา ดังนั้นสิทธิของการทำตามสัญญานั้นจะเป็นของฝ่ายผู้ซื้อสัญญาซื้อหรือขายล่วงหน้า สิทธินั้นขึ้นอยู่กับว่าสัญญาเป็นการซื้อหรือขาย สำหรับฝ่ายผู้ขายเป็นฝ่ายที่ไม่มีสิทธิเลือกใด ๆ เพราะฝ่ายขายเป็นผู้ที่เขียนสัญญาขึ้นมาขาย และเป็นผู้ที่ได้รับค่าสัญญาไปตั้งแต่ต้น จึงไม่มีสิทธิในการเลือกใด ๆ
ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป
หลังคิดได้ผลของความโน้มถ่วงฉบับสัมพัทธนิยมและเรขาคณิตแล้ว แต่คำถามที่มาของความโน้มถ่วงยังอยู่ ในความโน้มถ่วงแบบนิวตัน ที่มานั้นคือมวล ในสัมพัทธภาพพิเศษ กลายเป็นว่ามวลเป็นส่วนหนึ่งของปริมาณทั่วไปกว่า เรียก เทนเซอร์พลังงาน–โมเมนตัม (energy–momentum tensor) ซึ่งมีทั้งความหนาแน่นของพลังงานและโมเมนตัม ตลอดจนความเครียด (คือ ความดันและความเฉือน) โดยใช้หลักการสมมูล เทนเซอร์นี้ถูกวางนัยทั่วไปพร้อมเป็นปริภูมิ-เวลาโค้งแล้ว โดยลากต่อบนอุปมากับความโน้มถ่วงแบบนิวตันเชิงเรขาคณิต จึงเป็นธรรมชาติที่จะสันนิษฐานว่าสมการฟีลด์สำหรับความโน้มถ่วงเชื่อมเทนเซอร์นี้กับเทนเซอร์ริตชี (Ricci tensor) ซึ่งอธิบายผลขึ้นลงชั้นเฉพาะหนึ่ง คือ การเปลี่ยนแปลงปริมาตรของอนุภาคทดสอบคลาวด์ (cloud) เล็กซึ่งทีแรกเป็นขณะพัก แล้วตกอิสระ ในสัมพัทธภาพพิเศษ การอนุรักษ์พลังงาน-โมเมนตัมสมนัยกับข้อความว่าเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัมปลอดการลู่ออก เช่นเดียวกัน สูตรนี้ถูกวางนัยทั่วไปพร้อมเป็นปริภูมิ-เวลาโค้งโดยการแทนอนุพันธ์ย่อยด้วยอนุพันธ์แมนิโฟลด์ (manifold) โค้งแทน ซึ่งเป็นอนุพันธ์แปรปรวนร่วมเกี่ยวที่ศึกษาในเรขาคณิคเชิงอนุพันธ์ ด้วยเงื่อนไขที่เพิ่มขึ้นมานี้ การลู่ออกแปรปรวนร่วมเกี่ยวของเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัม และอะไรก็ตามที่อยู่อีกข้างหนึ่งของสมการ เป็นศูนย์ เซตสมการง่ายที่สุดจึงเป็นสิ่งที่เรียก สมการสนามของไอน์สไตน์:
ทฤษฎีระบบควบคุม
ระบบพลวัตส่วนใหญ่มักมีพฤติกรรมที่สามารถใช้สมการอนุพันธ์อันดับใด ๆ มาอธิบายได้ ในขณะเดียวกันสมการเชิงอนุพันธ์อันดับใด ๆ ก็สามารถลดอันดับให้เหลือเพียงสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งได้ จากความจริงตรงนี้จึงได้มีการเสนอวิธีการใหม่ในการวิเคราะห์และควบคุมระบบ ซึ่งจะวิเคราะห์บนโดเมนเวลาและได้มีการนำแบบจำลองปริภูมิสถานะ () มาใช้ซึ่งจะอยู่ในรูปของสมการอนุพันธ์อันดับหนึ่งและแตกต่างจากระบบควบคุมแบบดั้งเดิมที่นิยมวิเคราะห์พฤติกรรมของระบบบนโดเมนความถี่ นอกจากนี้การนำแบบจำลองปริภูมิสถานะมาใช้ทำให้เราสามารถสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบแบบสัญญาณขาเข้าหลายทางสัญญาณขาออกหลายทาง (MIMO) ได้โดยการกำหนดมิติของตัวแปรในสมการปริภูมิสถานะอย่างเหมาะสม
อนุภาคมูลฐาน
อนุภาคมูลฐานที่รู้จักแล้ว ได้แก่ เฟอร์มิออนพื้นฐาน (ควาร์ก, เลปตอน, ปฏิควาร์ก และปฏิเลปตอน) ซึ่งอนุภาคเหล่านี้โดยทั่วไปเป็น "อนุภาคสสาร" และ "อนุภาคปฏิสสาร" อีกชนิดหนึ่งได้แก่ โบซอนพื้นฐาน (เกจโบซอน และอนุภาคฮิกส์) ซึ่งอนุภาคเหล่านี้โดยทั่วไปเป็น "อนุภาคแรง" ที่เป็นตัวเชื่อมปฏิสัมพันธ์พื้นฐานในหมู่เฟอร์มิออนด้วยกัน อนุภาคที่ประกอบด้วยอนุภาคมูลฐานตั้งแต่สองอนุภาคขึ้นไปจะเป็น "อนุภาคผสม" ()
สมการกำลัง
พบได้บ่อยในการศึกษาวิชา แคลคูลัสพื้นฐาน 
โดยมักถูกใช้เป็นตัวอย่างแรกๆสำหรับหา formula_2 อนุพันธ์โดยปริยาย
สำหรับผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มของสมการ formula_1 เราสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีเพียง x และ y ในตารางนี้เท่านั้น
แคลคูลัส
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่า การหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์เป็นวิธีการที่ตรงกันข้ามกัน กล่าวคือ ถ้าเราสร้างฟังก์ชันที่เป็นปริพันธ์ของฟังก์ชันหนึ่งขี้นมา อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่เราสร้าง ก็จะเท่ากับฟังก์ชันนั้น นอกจากนี้ เรายังหาปริพันธ์จำกัดเขตได้ด้วยการกำหนดค่าให้กับปฏิยานุพันธ์
สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี
พิจารณา
อนุกรมสลับ
ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรมสลับ คืออนุกรมอนันต์ที่อยู่ในรูป
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
อนุพันธ์ (อัตราการเปลี่ยนแปลง) ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง คือฟังก์ชันเลขชี้กำลังโดยตัวมันเอง หรืออีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันที่มีอัตราการเปลี่ยนแปลงได้สัดส่วนกับฟังก์ชันตัวเอง (แทนที่จะหมายถึงเท่ากับตัวเอง) สามารถแสดงได้ในรูปแบบฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สมบัติของฟังก์ชันข้อนี้นำไปสู่การอธิบายการเติบโตและการเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง
ตราสารอนุพันธ์
ลักษณะสุดท้ายของตลาดทางการ คือ การส่งมอบสินทรัพย์ตามสัญญามักไม่มีการเกิดขึ้นจริง แต่ด้วยผู้ลงทุนและผู้เก็งกำไรต้องการผลตอบแทนในรูปแบบของตัวเงิน จึงทำให้การส่งมอบสินทรัพย์ตามสัญญาไม่เกิดขึ้น ดังนั้นการส่งมอบสินทรัพย์ตามสัญญาจึงเป็นเพียงการชำระผลกำไรหรือขาดทุนเท่านั้น
สมการกำลังสอง
สมการกำลังสองใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง (หรือจำนวนเชิงซ้อน) จะมีรากของสมการ 2 คำตอบเสมอ ซึ่งอาจจะเท่ากันก็ได้ โดยที่รากของสมการสามารถเป็นได้ทั้งจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน สามารถคำนวณได้จากสูตร
ซึ่งเครื่องหมายบวกและลบเป็นการแทนความหมายของทั้งสองคำตอบ ได้แก่
ดังนั้นค่าของสมการจะเท่ากับฟิวชั่นของสมการ
ปริพันธ์
ไลบ์นิซ ได้ใช้เครื่องหมาย s ยาว แทนสัญลักษณ์ของปริพันธ์ ปริพันธ์ในย่อหน้าที่แล้วจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ formula_2. โดยสัญลักษณ์ ∫ หมายถึงการหาปริพันธ์, "a" และ "b" หมายถึงขอบเขตของช่วงที่เราจะหา, "f"("x") คือฟังก์ชันที่เราต้องการหาปริพันธ์ และ "dx" แทนตัวแปรที่จะหาปริพันธ์ ซึ่งในอดีต "dx" จะแทน ปริมาณที่เล็กมากๆ และ s ยาว นั้นมาจากคำว่า "sum" ซึ่งแปลว่าผลบวก
สมการเชิงเส้น
สมการนี้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเมื่อ "A" = 1 และ "B" = 0 กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรงในแนวดิ่งโดยที่มีระยะตัดแกน "x" เท่ากับ "E" ส่วนความชันนั้นไม่นิยาม ถ้า "E" ≠ 0 กราฟนี้จะไม่มีระยะตัดแกน "y" แต่ถ้า "E" = 0 กราฟนี้จะมีระยะตัดแกน "y" เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน
อนุภาคเหมือน
สถานะที่เป็นผลรวม เรียกว่า symmetric และสถานะที่เกี่ยวข้องกับผลต่าง เรียกว่า Antisymmetric
สมการกำลังสอง
ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสอง (สมการควอดราติก) คือสมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 2 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองคือ
เมื่อ "a" ≠ 0 (ถ้า "a" = 0 สมการนี้จะกลายเป็นสมการเชิงเส้น) ซึ่ง "a", "b" อาจเรียกว่าเป็นสัมประสิทธิ์ของ "x", "x" ตามลำดับ ส่วน "c" คือสัมประสิทธิ์คงตัว บางครั้งเรียกว่าพจน์อิสระหรือพจน์คงตัว ฟังก์ชันของสมการกำลังสองสามารถวาดกราฟบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รูปเส้นโค้งพาราโบลา
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
โดยข้อเท็จจริงแล้ว สมการเชิงอนุพันธ์หลายชนิดทำให้เกิดฟังก์ชันเลขชี้กำลัง รวมทั้งสมการชเรอดิงเงอร์ (Schrödinger equation) สมการลาปลัส (Laplace's equation) และสมการที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกเชิงเดียว (simple harmonic motion)
สมการเชิงเส้น
สมการเชิงเส้น คือสมการที่แต่ละพจน์มีเพียงค่าคงตัว หรือเป็นผลคูณระหว่างค่าคงตัวกับตัวแปรยกกำลังหนึ่ง ซึ่งจะมีดีกรีของพหุนามเท่ากับ 0 หรือ 1 สมการเหล่านี้เรียกว่า "เชิงเส้น" เนื่องจากสามารถวาดกราฟของฟังก์ชันบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้เป็นเส้นตรง รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงเส้นในตัวแปร "x" และ "y" คือ
โดยที่ "m" คือค่าคงตัวที่แสดงความชันหรือเกรเดียนต์ของเส้นตรง และพจน์ "b" แสดงจุดที่เส้นตรงนี้ตัดแกน "y" สำหรับสมการที่มีพจน์ "x", "y", "xy" ฯลฯ ที่มีดีกรีมากกว่าหนึ่งไม่เรียกว่าเป็นสมการเชิงเส้น
กลศาสตร์แบบลากรองจ์
มันอาจจะดูเหมือนเป็นเรื่องที่เกิดขึ้นมากเกินไปที่จะโยนกฎหมายของนิวตันในรูปแบบนี้ แต่ก็มีข้อได้เปรียบ
ส่วนประกอบของการเร่งในแง่ของสัญลักษณ์ Christoffel สามารถหลีกเลี่ยงได้ โดยการประเมินอนุพันธ์ของพลังงานจลน์แทน
ถ้าไม่มีแรงที่เกิดขึ้นกับอนุภาค คือ F = 0 จะไม่เกิดการเร่ง แต่จะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่เป็นเส้นตรง ในทางคณิตศาสตร์การแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์คือ geodesics นั่นคือเส้นโค้งของความยาวสุดขีดระหว่างจุดสองจุดในพื้นที่ (ซึ่งอาจจะน้อยที่สุด ดังนั้นคือเส้นทางที่สั้นที่สุด แต่ก็ไม่จำเป็น) ในพื้นที่จริงที่ว่างเปล่า แบบ 3D geodesics จะเป็นเส้นตรงเท่านั้น 
ดังนั้นสำหรับอนุภาคอิสระ กฎข้อที่สองของนิวตันจึงเกิดขึ้นพร้อมกับสมการเชิง geodesic และระบุอนุภาคอิสระตาม geodesics ซึ่งเป็นวิถีขีดสุดที่สามารถเคลื่อนที่ไปได้ ถ้าอนุภาคตกอยู่ภายใต้แรงที่ F ≠ 0 อนุภาคจะมีความเร่งขึ้นเนื่องจากแรงที่กระทำต่อมัน และจะออกไปจาก geodesics ที่จะปฏิบัติตามถ้าเป็นอิสระ ด้วยความเหมาะสมของปริมาณที่กำหนดไว้ในที่ราบแบบแบนด์เวิร์ค 3 มิติ จนถึงกาลอวกาศโค้ง 4 มิติ รูปแบบข้างต้นของกฎนิวตันจะนำมาสู่ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์ซึ่งในกรณีนี้อนุภาคอิสระจะตาม geodesics ในส่วนโค้ง space-time ซึ่งไม่มี "เส้นตรง" กรณีสามัญ
เหตุผลวิบัติโดยอัตราพื้นฐาน
ในรูปแบบการแสดงปัญหาเช่นนี้ ข้อมูลตัวเลขที่เกี่ยวข้องคือ "p" (เมา), "p" (เครื่องแสดงว่าเมา | เมา), และ "p" (เครื่องแสดงว่าเมา | ไม่เมา) เป็นการแสดงโดยอัตราส่วนที่มีตามธรรมชาติ
งานวิจัยโดยการทดลองพบว่า เราจะอนุมานใกล้เคียงกับกฎความน่าจะเป็นของ Bayes มากกว่าเมื่อแสดงปัญหาอย่างนี้ ซึ่งช่วยแก้ปัญหาการละเลยอัตราพื้นฐานทั้งในคนทั่วไป และทั้งในผู้ชำนาญการและนักวิชาการ 
และดังนั้น องค์กรต่าง ๆ รวมทั้งองค์กรความร่วมมือคอเครนแนะนำให้ใช้รูปแบบเช่นนี้ในการสื่อสารบทความสุขภาพที่มีการกล่าวถึงค่าสถิติ 
และการสอนให้คนแปลปัญหาที่ต้องใช้เหตุผลโดยกฎความน่าจะเป็นของ Bayes ให้เป็นปัญหาที่แสดงรูปแบบอัตราส่วนโดยธรรมชาติ เป็นวิธีการสอนที่ได้ผลดีกว่าสอนให้ใส่ตัวเลขค่าความน่าจะเป็น (หรืออัตราร้อยละ) เข้าไปใน Bayes' theorem 
นอกจากนั้นแล้ว ยังมีงานวิจัยที่แสดงด้วยว่า การแสดงอัตราส่วนโดยใช้ตัวแทนสัญลักษณ์ (เช่น แสดงรูปคนตามจำนวนประชากร) จะช่วยเราให้สามารถทำการอนุมานได้ดีขึ้น
ทำไมการแสดงปัญหาเป็นอัตราส่วนโดยธรรมชาติจึงช่วยแก้ปัญหา เหตุผลสำคัญอย่างหนึ่งก็คือเพราะช่วยทำการคำนวณให้ง่ายขึ้น ซึ่งสามารถเห็นได้ถ้าใช้วิธีการคำนวณค่าความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ "p" (เมา|เมื่อเครื่องแสดงว่าเมา) หรือ "p" (drunk|D) 
โดยมี "N" (drunk ∩ D) หรือ "N" (เมา ∩ เครื่องแสดงว่าเมา) หมายถึงจำนวนคนขับที่เมาด้วยและเครื่องแสดงว่าเมาด้วย
และ "N" (D) หรือ "N" (เครื่องแสดงว่าเมา) หมายถึงจำนวนคนขับทั้งหมดที่เครื่องจะแสดงว่าเมา
สูตรนี้เท่าเทียมกับสูตรที่แสดงในตัวอย่างที่ผ่านมาแล้ว ซึ่งเป็นไปตามกฎของทฤษฎีความน่าจะเป็น
ว่า "N" (drunk ∩ D) = "p" (D | drunk) × "p" (drunk) คือ "N" (เมา ∩ เครื่องบอกว่าเมา) = "p" (เครื่องบอกว่าเมา | เมา) × "p" (เมา)
ที่สำคัญก็คือว่า แม้ว่าจริง ๆ แล้วสูตรนี้จะเท่าเทียมกับสูตรที่เป็นไปตามกฎของ Bayes โดยรูปนัย แต่ว่า ตามความรู้สึกหรือตามความคิดแล้ว จะไม่เท่าเทียมกัน
การใช้อัตราส่วนโดยธรรมชาติทำการอนุมานให้ง่ายขึ้น เพราะว่า 
ถึงกระนั้น อย่าเข้าใจว่า รูปแบบอัตราส่วนทุก ๆ แบบจะช่วยในการคิดหาค่าความน่าจะเป็น 
คือ อัตราส่วน "โดยธรรมชาติ" จะหมายถึงข้อมูลที่มีรูปแบบเหมือนกับการชักข้อมูล/การหาข้อมูลโดยธรรมชาติจริง ๆ (เช่นตัวอย่างที่สองในแบบปัญหาที่พึ่งแสดง) ไม่ใช่ค่าอัตราส่วนที่ได้มีการทำให้เป็นบรรทัดฐาน (normalized)
กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน
มวลที่ได้หรือสูญหายโดยระบบจะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมที่ไม่ใช่ผลของแรงภายนอก สมการอนุพันธ์จึงเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับระบบมวลแปรผัน (ดูด้านล่าง)
อนุพันธ์
สำหรับอนุพันธ์อันดับที่ "n" ของ (เทียบกับ "x") ข้างบนเป็นสัญลักษณ์ย่อของการใช้ตัวดำเนินการอนุพันธ์หลายตัว ยกตัวอย่างเช่น
ตราสารอนุพันธ์
รูปแบบที่หนึ่ง "การซื้อขายผ่านระบบตลาดทางการ" (Organized Exchange) การซื้อขายตราสารอนุพันธ์ในระบบตลาดทางการจะมีกรรมวิธีการซื้อขายคล้ายกับการซื้อหุ้นในตลาดหลักทรัพย์คือ ตลาดทางการซึ่งเป็นตลาดที่มีการซื้อและขายหลักทรัพย์หรือตราสารอนุพันธ์อย่างเปิดเผย มีการกำหนดราคา และช่วงของการขึ้นลงราคาอย่างชัดเจน ข้อมูลข่าวสารของผู้ลงทุนจะได้รับอย่างทั่วถึงและเท่าเทียมกัน มีการเปิดเผยราคาหลักทรัพย์และราคาอนุพันธ์ให้ประชาชนผู้ลงทุนทราบ เช่น การถ่ายทอดสดราคาของหลักทรัพย์หรือตราสารอนุพันธ์ทางสถานีโทรทัศน์ หรือบนอินเทอร์เน็ต หรือแม้กระทั่งการตีพิมพ์ราคาของหลักทรัพย์หรือตราสารอนุพันธ์ในหนังสือพิมพ์ เป็นต้น และการลงทุนในตราสารอนุพันธ์ผ่านระบบของตลาดอนุพันธ์ทางการ ผู้ลงทุนทั้งฝ่ายซื้อและฝ่ายขายจะต้องถูกเรียกเงินประกัน
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส
จากตรรกะข้างต้น ความเปลี่ยนแปลงใน "x" ที่เรียกว่า formula_3 คือผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากๆ "dx" มันยังเท่ากับผลรวมของผลคูณระหว่างอนุพันธ์และเวลาที่น้อยมากๆ
ผลรวมอนันต์นี้คือปริพันธ์ ดังนั้นการหาปริพันธ์ทำให้เราสามารถคืนฟังก์ชันต้นของมันจากอนุพันธ์เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้ผกผันกัน หมายความว่าเราสามารถหาอนุพันธ์ของผลการหาปริพันธ์ ซึ่งจะได้ฟังก์ชันอัตราเร็วคืนมาได้
อนุกรม
อนุกรมสามารถสร้างขึ้นได้จากเซตหลายประเภทรวมทั้งจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชัน ฯลฯ นิยามต่อไปนี้จะถูกกำหนดบนจำนวนจริง แต่ก็สามารถทำให้เป็นกรณีทั่วไปได้
ระบบการซื้อขายล่วงหน้า
ระบบการซื้อขายล่วงหน้า หรือ ระบบการซื้อขายตราสารอนุพันธ์ () คือระบบการซื้อขายของตลาดหลักทรัพย์ที่ผู้ที่เข้าร่วมทำการซื้อขายสัญญาซื้อขายล่วงหน้า (futures contracts) สัญญาการซื้อล่วงหน้าเป็นสัญญาในการซื้อสินค้าโภคภัณฑ์ (commodity) หรือ ตราสารทางการเงิน (financial instrument) ตามจำนวนและราคาที่ระบุ และที่ตั้งไว้ในเวลาที่ระบุในอนาคต
ฟังก์ชันกำเนิด
ในทางฟิสิกส์ ฟังก์ชันกำเนิด (Generating function approach) คือการใช้อนุพันธ์ย่อยสร้างสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายถึงพลศาสตร์ของระบบ ตัวอย่างทั่วไป เช่น ฟังก์ชันแบ่งส่วน (Partition function) ของกลศาสตร์สถิติ หรือฮามิลโทเนียน (Hamiltonian) หรือฟังก์ชันที่ทำหน้าที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง 2 เซตของตัวแปรคาโนนิคัล (Canonical variable) สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ (Canonical transformation)
สำหรับการแปลงแบบบัญญัติ เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของการแปลงฟังก์ชันระหว่าง และ ซึ่งทั้งสองเซตจะต้องเป็นไปตามหลักการฮามิลตัน (Hamilton's principle) โดยสามารถเขียนสมการลากรานจ์ได้ คือ formula_1 และ formula_2 ตามลำดับ โดยที่การแปลงเลอจองก์ (Legendre transform) จะต้องมีค่าคงตัว นั่นคือ :
สมการ
สมการ หมายถึงประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ที่ใช้แสดงว่าสองสิ่งเหมือนกัน หรือเทียบเท่ากัน ที่เชื่อมด้วยเครื่องหมายเท่ากับ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
อนุกรม
อนุกรมนี้อาจ "มองว่า" เป็นอนุกรมลู่เข้าบนเส้นจำนวนจริง เราอาจจินตนาการถึงเส้นตรงยาว 2 หน่วย และมีขีดกำกับแบ่งครึ่งไว้ที่ความยาว 1 หน่วย, ½ หน่วย, ¼ หน่วย ฯลฯ ซึ่งเราจะมีที่ว่างเสมอสำหรับขีดกำกับครั้งถัดไป เพราะว่าความยาวของเส้นที่เหลือจะยังคงมีอยู่เหมือนกับขีดกำกับก่อนหน้า เช่น เมื่อกำกับขีดไว้ที่ ½ หน่วย ก็ยังคงเหลือที่ว่างอีก ½ หน่วยที่ยังไม่มีขีด ดังนั้นเราจึงสามารถขีดกำกับที่ ¼ หน่วยลงไปได้อีก เช่นนี้เรื่อยไป คำอธิบายข้างต้นมิได้เป็นข้อพิสูจน์ว่าผลรวมดังกล่าว "เท่ากับ" 2 (ถึงแม้ว่าจะเป็นเช่นนั้น) แต่เป็นการพิสูจน์ว่าผลรวมนั้นมีค่า "มากที่สุด" คือ 2 หรือกล่าวอีกทางหนึ่งคือ อนุกรมนี้มีขอบเขตบนที่ 2
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส
สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับ formula_62 และ formula_63 เราสามารถคลายเงื่อนไขของ formula_54 เพียงแค่ให้สามารถหาปริพันธ์ได้ในตำแหน่งนั้น ในกรณีนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าฟังก์ชัน formula_65 นั่นสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ และ formula_66 จะเกือบทุกที่ บางทีเราเรียกทฤษฎีนี้ว่า ทฤษฎีบทอนุพันธ์ของเลอเบก
สมการนาเวียร์-สโตกส์
สมการนาเวียร์-สโตกค์นี้เป็นสมการอนุพันธ์ย่อยที่ในเกือบทุกสถานการณ์จริง ในบางกรณี เช่นการไหลมิติเดียวและ (การไหลแบบช้า ๆ) สมการอาจจะถูกแปลงให้อยู่ในรูปสมการเส้นตรงได้ ความไม่เป็นเส้นตรงทำให้ปัญหาส่วนมากยากหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ปัญหา
ฟังก์ชันเครื่องหมาย
ฟังก์ชันเครื่องหมายคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ (ซึ่งประเมินค่าไม่ได้ที่ 0)
อนุพันธ์
และฟังก์ชันอนุพันธ์สามารถหาค่าได้เฉพาะสำหรับค่า "x" ที่เป็นบวก ไม่ใช่ เมื่อ กฎนี้จะให้ค่า "f"′("x") เป็นศูนย์สำหรับ ซึ่งกรณีนี้ก็คือกฎค่าคงที่
จากกฎผลคูณและกฎผลหารทำให้ได้ในหลายกรณี การใช้วิธีอัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตันแบบตรง ๆ จะทำให้การคำนวณลิมิตยุ่งยากได้ ซึ่งหลีกเลี่ยงโดยการใช้กฎการหาอนุพันธ์เหล่านี้อนุพันธ์ของ
อสมการ
ในทางคณิตศาสตร์ อสมการ เป็นประพจน์ที่เปรียบเทียบค่าระหว่างจำนวนจริงสองจำนวน
คำอนุภาค
ในทางภาษาศาสตร์ คำอนุภาค หมายถึงคำที่มีความหมาย มีการใช้งาน แต่ไม่ถูกจัดเป็นชนิดของคำที่ผันรูปได้ในภาษาหนึ่ง ๆ (เช่นไม่ได้เป็นทั้งคำนาม คำสรรพนาม คำกริยา ฯลฯ) คำอนุภาคใช้อธิบายอย่างกว้าง ๆ ถึงกลุ่มของคำหรือศัพท์ที่แตกต่างกัน ซึ่งขาดการนิยามความหมายอย่างถูกต้องแม่นยำ ส่วนใหญ่ถูกใช้เพื่อเป็นตัวช่วยแสดงประเภทไวยากรณ์ (เช่นการปฏิเสธ มาลา การก ฯลฯ) หรือใช้เป็นคำเสริม มักใช้ในภาษาพูดมากกว่าภาษาเขียน นอกจากนี้ คำอนุภาคไม่มีการผันรูป
SET50 Index Options
สำหรับผู้ขาย Put Option (Short Put Options) จะมีโอกาสทำกำไรสูงสุดได้เท่ากับค่าพรีเมียมเช่นเดียวกับ Call Option และมีโอกาสขาดทุนสูงสุด เท่ากับกำไรที่ผู้ซื้อได้รับเช่นเดียวกันกับ Call Option เพราะการลงทุนในตราสารอนุพันธ์นั้นเป็นการลงทุนที่มีผลตอบแทนโดยรวมเป็นศูนย์ (Zero Sum Game) คือ ผู้ซื้อและผู้ขายจะมีกำไรและขาดทุนรวมกันแล้วเป็น ศูนย์
สมการกำลังสาม
ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสาม คือสมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 3 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสามคือ
เมื่อ "a" ≠ 0 (ถ้า "a" = 0 สมการนี้จะกลายเป็นสมการกำลังสอง) โดยปกติแล้ว formula_2 คือสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนจริง ฟังก์ชันของสมการกำลังสามสามารถวาดกราฟบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รูปเส้นโค้งคล้ายตัว S หรือ N
ตราสารอนุพันธ์
นอกจากนี้ยังมีตราสารอนุพันธ์ประเภทอื่นๆ ได้แก่ swaption หุ้นกู้อนุพันธ์ (Structure note) เป็นต้น
ตราสารอนุพันธ์
ตราสารแลกเปลี่ยน (swap) เป็นสัญญาที่มีการแลกเปลี่ยนกระแสเงินสดที่จะเกิดขึ้นในอนาคตระหว่างคู่สัญญา หรือเป็นสัญญาที่มีการแลกเปลี่ยนภาระการลงทุน หรือภาระดอกเบี้ยของคู่สัญญา
สมการเชิงเส้น
เมื่อ "A" กับ "B" ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน สมการในรูปแบบนี้มักเขียนให้ "A" ≥ 0 เพื่อความสะดวกในการคำนวณ กราฟของสมการจะเป็นเส้นตรง และทุกๆ เส้นตรงสามารถนำเสนอให้อยู่ในรูปแบบข้างต้นนี้ได้ เมื่อ "A" ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน "x" จะอยู่ที่ระยะ −"C"/"A" และเมื่อ "B" ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน "y" จะอยู่ที่ระยะ −"C"/"B" ส่วนความชันของเส้นตรงนี้มีค่าเท่ากับ −"A"/"B"
คลื่น
สมการคลื่นเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ใช้จำลองพฤติกรรมของคลื่นฮาร์มอนิกเคลื่อนที่ในตัวกลาง สมการคลื่นมีหลายรูปแบบขึ้นกับลักษณะการส่งผ่านของคลื่น และ คุณสมบัติของตัวกลาง ตัวคลื่นก็มีรูปร่างหลากหลาย ไม่จำเป็นจะต้องเป็นคลื่นรูปไซน์เสมอไป
สมการออยเลอร์-ลากรางจ์
เนื่องจากฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ (differentiable functional) จะคงที่ ณ บริเวณที่มีค่าสูงสุดและต่ำสุด สมการออยเลอร์-ลากรางจ์จะมีประโยชน์มากในการแก้ปัญหาการหาค่าที่เหมาะที่สุด (optimization) ซึ่งให้ค่าบางอย่าง อาจจะเป็นค่าน้อยสุดหรือมากสุดก็ได้ วิธีการนี้เป็นการอุปไมยจากทฤษฎีบทของแฟร์มาร์ตในแคลคูลัส ซึ่งระบุว่าที่จุดใด ๆ บนฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะนำไปสู่ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของบริเวณที่พิจารณา (local extremum) ของฟังก์ชัน จากการแก้อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์
สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี
หารตลอดทั้งสมการ
สมการ
สมการมักใช้เป็นการกำหนดสภาความเท่ากันของสอง[นิพจน์]ที่มี[ตัวแปร]อย่างน้อยหนึ่งตัว ตัวอย่างเช่น เมื่อเราให้ค่าใดๆ กับ formula_2 สมการนี้จะเป็นจริงเสมอ
อนุพันธ์
ในพจน์ที่สองของ คำนวณโดยใช้กฎลูกโซ่ และพจน์ที่สามใช้กฎผลคูณ นอกจากนี้ยังใช้กฎการหาอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน ได้แก่ "x", "x", sin("x"), ln("x") และ รวมถึงค่าคงที่ 7 ในพจน์สุดท้าย
ส่วนลงตัว
ในทางคณิตศาสตร์ ส่วนลงตัว (aliquot part หรือ aliquot) คือจำนวนเต็มบวกใดๆ ที่นำไปหารจำนวนเต็มบวกอีกจำนวนหนึ่งแล้วสามารถหารได้ลงตัว หรือเรียกได้ว่า "เป็นตัวหาร" เช่น 2 เป็นส่วนลงตัวของ 12 ผลบวกของส่วนลงตัวทั้งหมดของ "n" จะมีค่าเท่ากับ σ("n") ซึ่งหมายถึงฟังก์ชันตัวหาร (divisor function) ของ "n" คำว่า "aliquot" มาจากคำในภาษาละติน "aliquoties" แปลว่า "หลายครั้ง"
ปฏิสสาร
ในวิชาฟิสิกส์อนุภาค ปฏิสสาร () คือ ส่วนประกอบของแนวคิดเกี่ยวกับปฏิยานุภาคของสสาร โดยที่ปฏิสสารประกอบด้วยปฏิยานุภาคในทำนองเดียวกับที่อนุภาคประกอบขึ้นเป็นสสารปรกติ ตัวอย่างเช่น แอนติอิเล็กตรอน (ปฏิยานุภาคของอิเล็กตรอน หรือ e) 1 ตัว และแอนติโปรตอน (โปรตอนที่มีขั้วเป็นลบ) 1 ตัว สามารถรวมตัวกันเกิดเป็นอะตอมแอนติไฮโดรเจนได้ ในทำนองเดียวกันกับที่อิเล็กตรอน 1 ตัวกับโปรตอน 1 ตัวสามารถรวมกันเป็นอะตอมไฮโดรเจนที่เป็น "สสารปกติ" หากนำสสารและปฏิสสารมารวมกัน จะเกิดการทำลายล้างกันในทำนองเดียวกับการรวมอนุภาคและปฏิยานุภาค ซึ่งจะได้โฟตอนพลังงานสูง (หรือรังสีแกมมา) หรือคู่อนุภาค-ปฏิยานุภาคอื่น เมื่อปฏิยานุภาคเจอกับอนุภาคจะเกิดการประลัย ผลลัพธ์ที่ได้จากการพบกันของสสารและปฏิสสารคือการถูกปลดปล่อยของพลังงานซึ่งเป็นสัดส่วนกับมวลตามที่ปรากฏในสมการความสมมูลระหว่างมวล-พลังงาน, "E" = "mc"
อนุพันธ์
อนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรเดียวที่ตัวแปรต้นใด ๆ คือความชันของเส้นสัมผัสที่สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น เส้นสัมผัสคือการประมาณเชิงเส้นของฟังก์ชันที่ดีที่สุดใกล้กับตัวแปรต้นนั้น ด้วยเหตุนี้ อนุพันธ์มักอธิบายได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง" ซึ่งก็คืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งของตัวแปรตามต่อตัวแปรต้นหรือตัวแปรอิสระ
ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต
ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต () ในคณิตศาสตร์กล่าวว่า พหุนามเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ค่าคงที่มีรากเป็นจำนวนเชิงซ้อน หรือกล่าวอย่างเป็นทางการว่า ถ้า
เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ formula_2, formula_3, formula_4, formula_5 เป็นจำนวนเชิงซ้อนแล้ว จะมีจำนวนเชิงซ้อน formula_6 ที่ทำให้ formula_7
ตราสารอนุพันธ์
การซื้อขายในตลาดแบบมีระเบียบนี้ เพื่อให้ผู้ลงทุนลดความสี่ยงจากการผิดนัดชำระเงิน หรือผิดนัดส่งมอบสินทรัพย์ ตลาดจะเป็นผู้ทำหน้าที่ในการเรียกเงินประกันจากทั้งสองฝ่าย เพื่อให้เกิดความแน่ใจว่าผู้ลงทุนหรือผู้เก็งกำไรทั้งสองฝ่ายจะไม่ผิดนัดตามสัญญาในอนาคต และการเรียกเงินประกันนี้จะต้องมีการปรับค่าตามราคาตลาดทุกวัน หากผู้ลงทุนฝ่ายใดเกิดการขาดทุนจากการลงทุน ตลาดจะทำหน้าที่ในการเรียกเก็บเงินประกันเพิ่ม เพื่อเป็นการลดความเสี่ยงให้แก่คู่สัญญา
การหาปริพันธ์ทีละส่วน
หรือในรูปที่กระทัดรัดกว่า
สมการเชิงอนุพันธ์แบร์นูลลี
ให้ formula_6 เมื่อทำการหาอนุพันธ์จะได้ว่า
ขั้นตอนวิธีโฟรเบนีอุส
ขั้นตอนวิธีโฟรเบนิอุส () เป็นวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่อยู่ในรูปแบบ
กฎผลหาร
และ "h"("x") ≠ 0; ดังนั้น กฎนี้กล่าวว่า อนุพันธ์ของ "g"("x") / "h"("x") เท่ากับ ตัวส่วน คูณกับ อนุพันธ์ของ ตัวเศษ ลบกับ ตัวเศษ คูณกับอนุพันธ์ของ ตัวส่วน ทั้งหมดหารด้วยกำลังสองของตัวส่วน ดังนี้
เกรเดียนต์
ในแคลคูลัสเวกเตอร์ เกรเดียนต์ของสนามสเกลาร์คือสนามเวกเตอร์ที่ชี้ไปในทิศทางของอัตราการเพิ่มขึ้นที่ใหญ่ที่สุดของสนามสเกลาร์และมีขนาดที่เป็นอัตราของการเพิ่มขึ้น ตัวอย่างง่าย ๆ เช่น การเปลี่ยนแปลงในปริภูมิของปริมาณใด ๆ สามารถแสดง (เช่น แบบภาพกราฟิก) ได้โดยใช้ความชัน (slope) ในวิชาคณิตศาสตร์, เกรเดียนต์เป็นลักษณะทั่วไปของแนวคิดตามปกติของอนุพันธ์กับฟังก์ชันของหลายตัวแปร (functions of several variables) ถ้า เป็นฟังก์ชันอนุพันธ์ของหลายตัวแปรที่เรียกว่า "สนามสเกลาร์" เกรเดียนต์ของมันคือเวกเตอร์ของอนุพันธ์ย่อย n ของ f ดังนั้นจึงเรียกค่าฟังก์ชันเวกเตอร์ (vector-valued function) ที่ได้ว่าเป็น สนามเวกเตอร์ (vector field)
สมการนาเวียร์-สโตกส์
สมการนาเวียร์-สโตกส์สมมติว่าของไหลที่สนใจอยู่ในไม่เคลื่อนไหวในเชิง ณ สเกลขนาดเล็กมาก ๆ หรือสภาวะสุดขั้ว ของไหลจริงนั้นเกิดจากการรวมตัวของโมเลกุลที่ไม่มีความต่อเนื่อง จะส่งผลที่แตกต่างไปจากแบบจำลองที่สร้างมาด้วยสมมติฐานว่าของไหลมีความต่อเนื่อง ทั้งนี้ทั้งนั้น ขึ้นอยู่กับตัวเลขคุดเซ็นของปัญหา ซึ่ง หรือ อาจจะเป็นทางเลือกที่ดีกว่า
การอนุมาน
เราสามาถเห็นได้ว่า บทตั้งและบทสรุปนั้นเป็นความจริง แต่ว่า คำถามที่สำคัญเกี่ยวกับการอนุมานแบบนิรนัยก็คือว่า ค่าของความจริงจากบทสรุปนั้น ได้มาจากค่าความจริงของบทตั้งอย่างสมเหตุผลหรือไม่
คือ จริง ๆ แล้ว ความสมเหตุสมผล (validity) ของการอนุมาน ขึ้นอยู่กับรูปแบบของการอนุมาน
ซึ่งก็หมายความว่า ความสมเหตุสมผลไม่ได้หมายถึงความจริงของบทตั้งหรือบทสรุป แต่มุ่งถึงรูปแบบของการอนุมาน
บทอนุมานอาจจะสมเหตุผล แม้ว่าบทตั้งหรือบทสรุปอาจจะไม่จริง และบทอนุมานอาจจะไม่สมเหตุผล แม้ว่าบทตั้งหรือบทสรุปอาจจะเป็นจริง
แต่ว่า บทอนุมานที่สมเหตุผล และบทตั้งที่เป็นจริง จะนำไปสู่บทสรุปที่เป็นจริงเสมอ เหมือนกับตัวอย่างที่ได้กล่าวมาแล้วเพื่อแสดงว่า บทในรูปแบบนี้ไม่สมเหตุผล เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า บทตั้งที่เป็นจริงจะนำไปสู่บทสรุปที่ไม่จริง คือ
ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุม
ในทางกลศาสตร์แบบดั้งเดิม โมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาค คือ
สมการเชิงเส้น
สมการเชิงเส้นสามารถมีตัวแปรได้มากกว่า 2 ตัว สมการเชิงเส้นทั่วไปที่มีจำนวนตัวแปร "n" ตัวสามารถเขียนได้ในรูปแบบ
ซึ่ง formula_22 เป็นสัมประสิทธิ์ formula_23 คือตัวแปร และ "b" คือค่าคงตัว เมื่อเราต้องการเขียนสมการตัวแปรน้อยๆ เช่น 3 ตัว เราอาจแทนที่ formula_24 ด้วยชื่อตัวแปรอื่นๆ เช่น formula_25 ได้ตามต้องการ
อนุพันธ์
สัญลักษณ์ dx, dy และ dx/dy เสนอโดยกอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ในปี ค.ศ. 1675 สัญลักษณ์นี้ใช้กันอย่างทั่วไปเมื่อสมการ ซึ่งแสดงถึงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างตัวแปรต้นและตัวแปรตาม อนุพันธ์อันดับหนึ่งเขียนได้ดังนี้
การหาปริพันธ์ทีละส่วน
ปริพันธ์ทางซ้ายของสมการ ∫"uv"′ "dx" ประกอบด้วย "v"′ (อนุพันธ์ของ "v") เพื่อที่จะใช้ทฤษฎีบทนี้ได้นั้น ต้องหาค่า "v" (ปฏิยานุพันธ์ของ "v"′) ก่อน แล้วจึงหาปริพันธ์ทางขวา ∫"vu"′ "dx"
พาหะแรง
ในฟิสิกส์ของอนุภาค ทฤษฎีสนามควอนตัม เช่นแบบจำลองมาตรฐาน จะถูกใช้อธิบายธรรมชาติในแง่ของสนามฟิสิกส์ แต่ละสนามจะมีคำอธิบายประกอบเป็นชุดของอนุภาคแต่ละชนิด แรงที่เกิดระหว่างสองอนุภาคสามารถจะอธิบายได้ว่าเป็นการกระทำของสนามแรงที่สร้างขึ้นโดยอนุภาคหนึ่งกระทำบนอีกอนุภาคหนึ่ง หรือเป็นการแลกเปลี่ยนของอนุภาคพาหะของแรงเสมือนของสองอนุภาคนั้นกระทำต่อกัน อย่างใดอย่างหนึ่ง
อนุพันธ์
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นมโนทัศน์หนึ่งในสองมโนทัศน์หลักของแคลคูลัส (อีกมโนทัศน์หนึ่งคือปฏิยานุพันธ์ ซึ่งคือตัวผกผันของอนุพันธ์)
การอนุมาน
นักวิทยาศาสตร์ที่ชอบใจการอนุมานแบบเบย์ (Bayesian inference) จะใช้กฎความน่าจะเป็นเพื่อหาคำตอบที่ดีที่สุด
การอนุมานแบบนี้มีข้อดีหลายอย่าง เช่นการอนุมานแบบนิรนัยเป็นกรณีพิเศษของแบบนี้ ซึ่งทำให้นักวิชาการบางท่านเรียกความน่าจะเป็นแบบเบย์ ว่าเป็นตรรกศาสตร์เชิงความน่าจะเป็น 
ในรูปแบบนี้ ค่าความน่าจะเป็น เป็นเหมือนระดับความเป็นจริงในบทต่าง ๆ ประพจน์ที่เป็นจริงแน่นอนจะมีค่าความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 และประพจน์ที่เป็นเท็จจะมีค่า 0
ดังนั้น เมื่อกล่าวว่า บทว่า "ฝนจะตกพรุ่งนี้" มีค่าความน่าจะเป็นเท่ากับ 0.9 จึงหมายความว่า ฝนมีโอกาสตกพรุ่งนี้ในระดับสูง
สมการเชิงเส้น
ในกรณีนี้ทั้งตัวแปรและและค่าคงตัวทั้งหมดถูกตัดออกไป เหลือไว้เพียงประพจน์ที่เป็นจริงอย่างชัดเจน สมการเหล่านี้จะเรียกว่าเป็นเอกลักษณ์ และไม่จำเป็นที่จะพิจารณาในรูปแบบกราฟ (เนื่องจากหมายถึงจุดทุกจุดบนระนาบ "xy") ดังตัวอย่าง formula_19 นิพจน์ทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับนั้นเท่ากันเสมอ ไม่ว่าค่าของ "x" และ "y" จะเป็นค่าใด
สถานะคงที่
สมมติให้ formula_3 เป็นตัวดำเนินการที่ไม่ขึ้นกับเวลา ดังนั้นเราจะสามารถอธิบายการเปลี่ยนแปลงของ formula_2 ที่ขึ้นกับเวลาโดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งจะมีคำตอบเป็น
ปฏิยานุภาค
ปฏิยานุภาค () เป็นอนุภาคที่มีความสอดคล้องมากที่สุดกับอนุภาคปกติธรรมดา มีความสัมพันธ์กันคือมีมวลเท่ากันและมีประจุไฟฟ้าที่ตรงกันข้าม ยกตัวอย่างเช่น ปฏิยานุภาคของอิเล็กตรอนเป็นอิเล็กตรอนที่มีประจุบวก, หรือเรียกว่าโพซิตรอนที่ถูกสร้างขึ้นในการสลายตัวของสารกัมมันตรังสีบางชนิดตามธรรมชาติ
ผลรวม
ในทางคณิตศาสตร์ ผลรวม () หมายถึงการบวกของเซตของจำนวน ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็น "ผลบวก" (sum, total) จำนวนที่กล่าวถึงอาจเป็นจำนวนธรรมช
าติ จำนวนเชิงซ้อน เมตริกซ์ หรือวัตถุอื่นที่ซับซ้อนกว่านั้น ผลรวมไม่จำกัดของลำดับเรียกว่าเป็นอนุกรม
ปริพันธ์
"ปริพันธ์" ต่างจากปฏิยานุพันธ์ แต่ทั้งสองมีความสัมพันธ์ที่ใกล้เคียงกัน ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสจะอธิบายว่าทำไมปริพันธ์กับปฏิยานุพันธ์ถึงเกี่ยวข้องกัน. ปริพันธ์แบบปฏิยานุพันธ์ คือ ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต (indefinite integral) แต่ปริพันธ์ที่กล่าวถึงในบทความนี้ จะเป็นปริพันธ์จำกัดเขต (definite integral)
สหสัมพันธ์อัตโนมัติ
สหสัมพันธ์อัตโนมัติ
() หรือ 
สหสัมพันธ์เชิงอนุกรม
เป็นสหสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณหนึ่ง ๆ กับตัวสัญญาณเองที่หน่วงเวลาตามฟังก์ชันการหน่วงเวลา
โดยอรูปนัยแล้ว มันก็คือความคล้ายคลึงกันระหว่างสัญญาณช่วงต่าง ๆ ตามฟังก์ชันของระยะเวลาระหว่างสัญญาณ
การวิเคราะห์สหสัมพันธ์อัตโนมัติเป็นวิธีการทางคณิตศาสตร์เพื่อหารูปแบบที่เกิดซ้ำ ๆ เช่น สัญญาณเป็นคาบที่อำพรางโดยเสียงรบกวน หรือเพื่อระบุความถี่มูลฐานที่ไม่มีซึ่งความถี่ของฮาร์มอนิกในสัญญาณจะบอกเป็นนัย
เป็นวิธีที่บ่อยครั้งใช้ในการประมวลผลสัญญาณเพื่อวิเคราะห์หาฟังก์ชันของค่าเป็นชุด ๆ เช่นสัญญาณที่เกิดตามเวลา (time domain)
โดย Unit root process, trend stationary process, autoregressive process, และ moving average process ล้วนเป็นรูปแบบกระบวนการโดยเฉพาะ ๆ ที่มีสหสัมพันธ์อัตโนมัติ
อนุพันธ์
ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ การเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากของ แสดงได้เป็น และอนุพันธ์ของ เทียบกับ เขียนได้ดังนี้
แสดงถึงอัตราส่วนของปริมาณที่น้อยมากสองปริมาณ (ข้างบนอ่านว่า "อนุพันธ์ของ "y" เทียบกับ "x"" หรือ "d y บาย d x" รูปแบบ "d y d x" นี้ใช้กันในการสนทนาอย่างบ่อยครั้ง แต่มันอาจทำให้สับสนได้)
สมการชเรอดิงเงอร์
สัญลักษณ์ แสดงถึง อนุพันธ์ย่อยเทียบกับเวลา
อนุกรมเรขาคณิต
ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรมเรขาคณิต เป็นอนุกรมที่พจน์ต่างๆ ถูกสร้างขึ้นโดยการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง นั่นคือมาจากลำดับเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น
ตราสารอนุพันธ์
กลไกการซื้อขายตราสารอนุพันธ์ เป็นการทำสัญญาเพื่อซื้อขายแลกเปลี่ยนสินค้าอ้างอิงในอนาคต ซึ่งมีความแตกต่างจากการซื้อสินค้าหรือบริการโดยทั่วไป ซึ่งมีการซื้อขายที่มีการชำระเงินและส่งมอบสินค้าและบริการทันทีโดยการซื้อขายนั้นต้องผ่านระบบตลาดอนุพันธ์ การซื้อขายตราสารอนุพันธ์โดยผ่านระบบตลาดอนุพันธ์นั้นสามารถแบ่งตลาดที่ว่าออกได้เป็น 2 รูปแบบคือ
จุลภาค
จุลภาคคืออะไร
การอนุมาน
โดยเปรียบเทียบแล้ว การคิดหาเหตุผล (การอนุมาน) ในชีวิตประจำไม่ใช่มีลำดับทางเดียว เพราะมีโอกาสเสี่ยงคือเราอาจจะสรุปประเด็น โดยที่ไม่มีบทตั้งและบทอนุมานเพียงพอที่จะสรุป
แต่เราก็รู้ว่า ความเสี่ยงนั้นเป็นเรื่องจำเป็นหรือนำไปสู่ประโยชน์ (เช่นในการวินิจฉัยทางการแพทย์)
แต่เราก็จะรู้ด้วยว่า บทสรุปจากการอนุมานเช่นนี้อาจเปลี่ยนไปได้ เพราะว่า ข้อมูลใหม่ ๆ อาจจะทำให้ต้องเปลี่ยนการอนุมานและบทสรุป
สมการเชิงเส้น
สมการนี้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเมื่อ "A" = 0 และ "B" = 1 หรือในรูปแบบความชันและระยะตัดแกนเมื่อความชัน "m" = 0 กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นตรงในแนวนอนโดยที่มีระยะตัดแกน "y" เท่ากับ "F" ถ้า "F" ≠ 0 กราฟนี้จะไม่มีระยะตัดแกน "x" แต่ถ้า "F" = 0 กราฟนี้จะมีระยะตัดแกน "x" เป็นจำนวนจริงทุกจำนวน
สมการเชิงเส้น
สมการดังกล่าวจะเป็นการนำเสนอระนาบเกิน "n"–1 มิติ (hyperplane) ในปริภูมิแบบยุคลิด "n" มิติ เช่นระนาบสองมิติในปริภูมิสามมิติ เป็นต้น
สัมประสิทธิ์
สัมประสิทธิ์ ของความในทางคณิตศาสตร์หมายถึงตัวประกอบการคูณในบางพจน์ของนิพจน์ (หรือของอนุกรม) ปกติแล้วจะเป็นจำนวนจำนวนหนึ่ง ซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับตัวแปรของนิพจน์ ตัวอย่างเช่น
สามพจน์แรกมีสัมประสิทธิ์เป็น 7, −3 และ 1.5 ตามลำดับ (พจน์ที่สามไม่มีตัวแปร ดังนั้นพจน์ดังกล่าวจึงเป็นสัมประสิทธิ์โดยตัวเอง เรียกว่าพจน์คงตัวหรือสัมประสิทธิ์คงตัวของนิพจน์) ส่วนพจน์สุดท้ายไม่ปรากฏการเขียนสัมประสิทธิ์อย่างชัดเจน แต่ปกติจะพิจารณาว่ามีสัมประสิทธิ์เท่ากับ 1 เนื่องจากการคูณด้วยตัวประกอบนี้จะไม่ทำให้พจน์เปลี่ยนแปลง บ่อยครั้งที่สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนดังเช่นตัวอย่างดังกล่าว แต่ก็สามารถเป็นพารามิเตอร์ของข้อปัญหาได้เช่นในประโยคต่อไปนี้
พารามิเตอร์ "a", "b" และ "c" จะไม่ถูกพิจารณาว่าเป็นตัวแปร
อนุพันธ์
สัญกรณ์ของออยเลอร์มีประโยชน์ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเมื่อ "r" เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว
พาหะแรง
เมื่ออนุภาคหนึ่งกระจายตัวออกจากอีกอนุภาคหนึ่ง มีการเปลี่ยนแปลงในวิถีของมัน มีสองวิธีที่จะคิดเกี่ยวกับกระบวนการนี้ ในภาพของสนาม เราจินตนาการว่าสนามที่ถูกสร้างขึ้นโดยอนุภาคหนึ่งได้ทำให้เกิดจากแรงอย่างหนึ่งขึ้นบนอีกอนุภาคหนึ่ง อีกแนวคิดหนึ่ง เราสามารถจินตนาการได้ว่าอนุภาคหนึ่งมีการปลดปล่อยอนุภาคเสมือนออกมาตัวหนึ่งซึ่งจะถูกดูดซึมโดยอีกตัวหนึ่ง อนุภาคเสมือนจะทำการถ่ายโอนโมเมนตัมจากอนุภาคหนึ่งไปยังอีกอนุภาคหนึ่ง มุมมองของอนุภาคแบบนี้จะเป็นประโยชน์เป็นพิเศษเมื่อมีจำนวนมากของการแก้ไขควอนตัมที่ซับซ้อนต่อการคำนวณเนื่องจากการแก้ไขเหล่านี้สามารถสร้างออกมาเป็นภาพในแผนภาพ Feynman ที่ประกอบด้วยอนุภาคเสมือนเพิ่มเติม
กลศาสตร์ดั้งเดิม
ถ้ารู้ว่าแรงที่กระทำต่ออนุภาคมีค่าคงที่ กฎของนิวตันข้อที่สองเพียงพอที่จะอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาค แต่ถ้าแรงใดแรงหนึ่งขึ้นกับความสัมพันธ์แบบอิสระ สามารถแทนความสัมพันธ์นั้นได้ในกฎของนิวตันข้อสอง จึงได้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (Ordinary differential function) ซึ่งสามารถเรียกว่า "สมการการเคลื่อนที่"
แรง
สมการนี้เป็นระบบของสมการอนุพันธ์อันดับสอง สามสมการ เทียบกับเวกเตอร์บอกตำแหน่งสามมิติ ซึ่งเป็นฟังก์ชันกับเวลา เราสามารถแก้สมการนี้ได้ถ้าเราทราบฟังก์ชัน F ของ x และอนุพันธ์ของมัน และถ้าเราทราบมวล "m" นอกจากนี้ก็ต้องทราบเงื่อนไขขอบเขต เช่นค่าของเวกเตอร์บอกตำแหน่ง และ x และความเร็ว v ที่เวลาเริ่มต้น "t"=0
อนุพันธ์
ซึ่ง เป็นค่าที่ถูกต้องของความชันของเส้นกราฟ ถ้าฟังก์ชัน ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (กล่าวคือ กราฟของมันไม่เป็นเส้นตรง) แล้วการเปลี่ยนแปลงของ หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ จะมีค่าแตกต่างกันออกไป การหาอนุพันธ์จึงเป็นวิธีการที่จะหาค่าที่ถูกต้องของอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ค่าตัวแปรต้น ใด ๆ
ระบบพิกัดเชิงขั้ว
ทำอนุพันธ์ในเทอมของ θ ทั้งสองสมการ
สมดุลทางกลศาสตร์
ระบบจะคงความเสถียรภาพไว้ ถ้าระบบไม่ถูกรบกวน และเพื่อหาเสถียรภาพของระบบ จะต้องมีการตรวจสอบอนุพันธ์ระดับสูงขึ้น ระบบจะอยู่ในสถานะสมดุลไม่เสถียร ถ้าอนุพันธ์ต่ำสุดที่ไม่เท่ากับศูนย์เป็นจำนวนคี่ หรือมีค่าเป็นลบ แต่ถ้าอนุพันธ์ต่ำสุดที่ไม่เท่ากับศูนย์เป็นจำนวนคู่ หรือมีค่าเป็นบวก แสดงว่าระบบอยู่ในสถานะสมดุลเสถียร สำหรับอนุพันธ์ระดับสูงขึ้นยังคงเท่ากับศูนย์ แสดงว่าไม่สามารถบอกถึงเสถียรภาพของสมดุลได้
การแปลงเชิงปริพันธ์
การแปลงเชิงปริพันธ์ ใช้หลักการของการแยกองค์ประกอบสเปกตรัม () ตาม ฐานเชิงตั้งฉากปรกติ (หรือ หมายความง่าย ๆ ว่า เราสามารถเขียนฟังก์ชันที่ซับซ้อน ให้อยู่ในรูปผลบวกของฟังก์ชันที่ซับซ้อนน้อยกว่านั่นเอง
การแปลงลาปลาส
ในทางคณิตศาสตร์ การแปลงลาปลาส () คือการแปลงเชิงปริพันธ์ที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง แสดงอยู่ในรูป formula_1 การแปลงลาปลาสจะทำให้เกิดความเป็นเชิงเส้นของ "f"("t") ซึ่งค่า "t" เป็นอาร์กิวเมนต์จริง("t" ≥ 0) จะแปลงไปอยู่ในรูปฟังก์ชัน "F"("s") โดย "s" เป็นอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อน การแปลงนี้เป็นการทำฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่สำคัญมากในการใช้งานในทางปฏิบัติ คู่ฟังก์ชัน "f"("t") กับ "F"("s") นั้นจับคู่กันในตาราง การแปลงลาปลาสถูกใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติที่มันมีความสัมพันธ์และการดำเนินการของฟังกันดังเดิม "f"("t") น้นสอดคล้องกับความสัมพันธ์กับการดำเนินการในรูปของ "F"("s") การแปลงลาปลาสถูกประยุกต์ใช้ในงานสำคัญมากมายที่เป็นแนวคิดทางวิทยาศาสตร์ สำหรับชื่อลาปลาสนี้มาจากชื่อของปีแยร์-ซีมง ลาปลาส ผู้ที่นำการแปลงนี้ไปใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น
สมการของการเคลื่อนที่
สมการของการเคลื่อนที่ คือ ชุดของสมการทางฟิสิกส์ที่ใช้สำหรับคำนวณ และ แก้ปัญหาการเคลื่อนที่แบบต่างๆ
ทั้งการเคลื่อนที่แนวตรง การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ การเคลื่อนที่แบบวงกลม การเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิค
อนุภาคเหมือน
นี่เป็นเพียงวิธีอย่างง่ายในการสร้าง basis สำหรับ tensor product space formula_2 ของระบบรวมจากแต่ละ space อย่างไรก็ตาม ความคิดนี้แสดงถึงความสามารถในการจำแนกอนุภาคที่ n เป็น "อนุภาคที่ 1" และอนุภาคที่ n เป็น "อนุภาคที่ 2" ซึ่งจะเป็นไปไม่ได้โดยนิยาม ที่อนุภาคไม่สามารถจำแนกได้ เพราะ formula_3 และ formula_4 เป็น 2 สถานะที่ต่างกัน โดย 2 สถานะจะเท่ากันตามหลักฟิสิกส์ ก็ต่อเมื่อมันแตกต่างกันด้วยเฟสเชิงซ้อน (complex phase factor) ซึ่งจะต้องใช้เงื่อนไขนี้เพื่อนำไปสู่ข้อสรุปที่ว่า สถานะเป็นไปตามความเป็นไปได้ 2 อย่าง :
แคลคูลัส
เมื่อเรากล่าวถึงรายละเอียดแล้ว แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ นิยามอัตราการเปลี่ยนแปลงในขณะใดขณะหนึ่ง (อนุพันธ์) ระหว่างค่าของฟังก์ชัน กับตัวแปรของฟังก์ชัน นิยามจริงๆ ของอนุพันธ์คือ ลิมิตของอัตราส่วนในการเปลี่ยนแปลง (difference quotient). อนุพันธ์คือหัวใจของวิทยาศาสตร์กายภาพ กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน "แรง = มวล×ความเร่ง" มีความหมายในแคลคูลัส เพราะว่า ความเร่งเป็นอนุพันธ์ค่าหนึ่ง ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าของแมกซ์เวล และทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของไอน์สไตน์ (สัมพัทธภาพทั่วไป) นั่นได้กล่าวถึงด้วยภาษาของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ เช่นเดียวกันกับทฤษฎีพื้นฐานของวงจรไฟฟ้า
ระบบพิกัดเชิงขั้ว
สมการที่นิยามเส้นโค้งพืชคณิตแสดงในพิกัดเชิงขั้วหรือที่เรียกว่าสมการเชิงขั้ว ในหลายกรณี สมการสามารถถูกกำหนดง่ายๆโดยนิยาม "r" ตามฟังก์ชันของ θ ("r" "f(θ)" หรือ "F(r, θ)" "0") เส้นโค้งที่ได้ประกอบด้วยจุดในรูปแบบ ("r"(θ), θ) และสามารถถือว่าเป็นเส้นกราฟของฟังกชันขั้ว "r"