When you construe it as "cause the mouse to have something," you're doing something to the mouse, and therefore you express it as, "Give the mouse the muffin."
Όταν όμως ερμηνεύετε ως "κάνε το ποντίκι να έχει κάτι", κάνετε κάτι στο ποντίκι, και γι' αυτό το λόγο, πρέπει να το εκφράσετε ως "Δώσε τω ποντίκι το μάφιν".