Davenport first appeared on stage at the Savoy Theatre and then with the Shakespeare Memorial Company, before joining the English Stage Company, one of its earliest members, at the Royal Court Theatre in 1956.
Davenport po raz pierwszy pojawił się na scenie w Savoy Theatre, a następnie w Shakespeare Memorial Company, zanim dołączył do English Stage Company, jako jeden z pierwszych członków, w 1956 w Royal Court Theatre.