Dataset Viewer
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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
kinmokusei_0001
|
kinmokusei
| 1 |
正方形ABCDの内部に、三角形ABEが正三角形となるような点Eをとります。さらに、正方形ABCDの外接円をΩ、Dを通り直線AEに垂直な直線とΩの交点のうち、DでないほうをFとします。線分DFの長さが12のとき、五角形ABCEDの面積はいくつですか。
|
線分AEを一辺とする正方形AEGHを考え、その対角線の交点をPとする。ただし、三角形ABEは正方形AEGHの外側にあるものとする。さらに、線分GHを一辺とする正三角形GIHを考える。三角形AEDと三角形AEPに注目すると、これらは面積が等しく（面積はAE^2/4である）、底辺が共通であるから直線DPと直線AEは平行である。また∠CEP=180°であるから3点C、E、Pは同一直線上にあり、∠CPA+∠ABC=180°であることより、PはΩ上の点である。これより∠DPB=90°であり、四角形PBFDは長方形であるからBP=DF=12である。ここで、三角形BCEと三角形APHの面積も等しいから、五角形ABCEDの面積は四角形ABCHの面積に等しく、これは六角形ABEGIHの面積の半分である。六角形ABEGIHの面積はPB^2で与えられる（これは有名問題である）ので、解答は12^2/2=72となる。
|
72
|
[
"等積変形",
"有名問題"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0002
|
kinmokusei
| 2 |
正三角形ABCの周上に6点P、Q、R、S、T、Uを、A、P、Q、B、R、S、C、T、Uがこの順で並ぶようにとり、さらに正三角形ABCの内部に点Xをとると、三角形PXU、三角形RXQ、三角形TXSはいずれも正三角形となりました。線分PQ、線分RS、線分TUの長さがそれぞれ5、2、6であるとき、三角形XPQ、三角形XRS、三角形XTUの面積の和はいくつですか。
|
3つの三角形XPQ、XRS、XTUを、点Xを中心として点QとR、点TとSが重なるように回転してできる四角形P'RSU'を考える。ただし、P'、U'はこの回転移動によって点P、Uがそれぞれ移動する先とする。直線P'Rと直線U'Sの交点をYとすると、三角形YRSは一辺が2の正三角形であり、線分YP'の長さは7、線分YU'の長さは8である。したがって、解答は13√3。
|
13√3
|
[
"等積変形"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0003
|
kinmokusei
| 3 |
点Oを中心とする円Ωの周上に2点A、Bをとり、Ωの内部に点Pをとります。さらに、∠APBの二等分線とΩの交点のうち片方をCとしたところ、AP=9、CP=15、∠CPO=90°が成り立ちました。このとき線分BPの長さはいくつですか。
|
直線AP、直線CPとΩの交点のうちA、CでないほうをD、Eとすると直線OPに関して線対称な図形ができる。方べきの定理からAP×DP=CP×EPであり、解答は25。
|
25
|
[
"方べきの定理"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0004
|
kinmokusei
| 4 |
正三角形ABCの辺AB上に点Dをとり、辺BCの中点をE、Aから直線CDにおろした垂線の足をFとします。∠BFE=90°で三角形BEFの面積が1であるとき、三角形ABCの面積はいくつですか。
|
4点AFECは共円であるから∠FAC=∠FEBであり、三角形FBEと三角形FCAは相似（相似比は1:2）。この相似からBF×AF=EF×CFであり、三角形BFAと三角形ECFで二辺の積と間の角の正弦が等しいからこれらの面積は等しい。また三角形ECFと三角形BEFは面積が等しいから解答は7。
|
7
|
[
"共円"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0005
|
kinmokusei
| 5 |
∠A=90°である三角形ABCがあり、線分ABの中点をM、Aから直線BCにおろした垂線の足をDとします。さらに、直線CMと直線ADの交点をEとすると、AE=75、DE=27が成立しました。このとき線分AMの長さはいくつですか。
|
三角形ABCと三角形DACは相似である（頂点はこの順に対応する）ことに着目すると直線CEは三角形DACのC-symmedian（類似中線）である。類似中線の性質と三角形の相似から解答は85。
|
85
|
[
"類似中線"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0006
|
kinmokusei
| 6 |
∠A=90°である直角二等辺三角形ABCがあり、線分BCを直径とする半円弧Ωを、直線BCに関してAと反対側にとります。さらに線分BC上に∠PAQ=45°を満たす2点P、Qをとり、直線AP、直線AQとΩの交点をそれぞれR,Sとします。三角形BRPの面積が9、三角形CQSの面積が16のとき、四角形PRSQの面積を求めてください。
|
三角形BRP、CQS、APQに着目すると、これらはすべて相似であり、本問の条件下ではBP^2+CQ^2=PQ^2が成り立つので、相似比と面積比、および三平方の定理からBP:PQ:QC=3:5:4で三角形APQの面積は25である。共通の高さをもつ三角形の底辺の比に注意して面積比を考えていけば三角形ARSの面積は72となり、解答は72-25=47。
|
47
|
[
"相似比",
"面積比"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0007
|
kinmokusei
| 7 |
正三角形ABDの辺AB上に点Cをとり、線分DC上に∠CED=60°となる点Eをとります。さらに、線分AB上のBでない点であって、∠CEF=60°を満たす点Fを考えます。DE:FE=16:9、BC=12であるとき線分AFの長さはいくつですか。
|
三角形EFBと三角形EBDに着目すると、これらは相似であるからED×EF＝EB×EBよりDE:BE:FE=16:12:9である。さらに角の二等分線の性質からBC:FC=4:3なのでFC=9であり、三角形ECBと三角形BCDの相似、および三角形EFCと三角形ADCの相似から解答は7。
|
7
|
[
"相似"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0008
|
kinmokusei
| 8 |
∠E=90°である直角二等辺三角形EDFと正方形ABLKがあります。ただし、点K、B、Lはそれぞれ線分AB、BC、CA上にあるとします。さらに∠KHE=45°を満たす点Hを線分EF上にとります。凹四角形DBAKの面積が20、三角形FLBの面積が18のとき、三角形HKLの面積はいくつですか。
|
Aを通りDEに垂直な直線とAE、DFの交点をそれぞれG、Jとし、BからEFにおろした垂線の足をIとする。三角形BIKとKGA、BFIとDJG、HKLとJBAがそれぞれ合同であることから解答は2。
|
2
|
[
"等積変形"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0009
|
kinmokusei
| 9 |
四角形ABCDは∠ACB+∠ADB=180°を満たしており、さらに対角線の交点をEとするとAE×AC=80、BE×BD=64となりました。このとき線分ABの長さはいくつですか。
|
三角形AEDの外接円と直線ABの交点のうちAでないほうをFとする。このとき4点B、C、E、Fは同一円周上にある。方べきの定理から解答は12。
|
12
|
[
"共円"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0010
|
kinmokusei
| 10 |
∠P=90°である直角三角形PABがあり、∠QAB=∠QBA=∠QBPを満たす点Qを考えます。直線BQと直線PAの交点をR、線分QRの中点をMとするとPM=6でした。このとき線分BQの長さはいくつですか。
|
半直線BP上に、BA=BCとなる点Cをとると、線分PM、線分BQそれぞれ三角形ABCの九点円、外接円の半径である。したがって解答は12。
|
12
|
[
"九点円"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0011
|
kinmokusei
| 11 |
一辺が1の正方形ABCDがあり、正方形の外側に線分BCを直径とする半円弧Ωをとります。Ω上に点Pをとり線分BPの中点をMとすると∠CMP=45°となりました。このとき線分DPの長さはいくつですか。
|
Mは正方形ABCDの外接円上の点なのでDM⊥BP。よって三角形DBPはDB=DPの二等辺三角形であり、解答は√2。
|
√2
|
[
"円周角の定理",
"共円"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0012
|
kinmokusei
| 12 |
∠CAB=60°を満たす三角形ABCにおいて、線分BCの中点をMとします。いま、線分AB、CA上に点P、Qをとると、三角形PMQは正三角形となりました。このとき∠PCAは何度ですか。
|
三角形PMQの外接円は三角形ABCの九点円となる。解答は30度。
|
30
|
[
"九点円"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0013
|
kinmokusei
| 13 |
∠ABC=45°である三角形ABCの垂心をDとすると、AB=11、CD=7でした。このとき凹四角形ABDCの面積はいくつですか。
|
凹四角形ABDCと合同な凹四角形を組み合わせることで一辺が11の正方形から一辺が7の正方形を抜いた図形ができる。解答は18。
|
18
|
[
"合同"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0014
|
kinmokusei
| 14 |
∠BDA=90°、DA=DB=16である直角二等辺三角形ABDにおいて、辺ABの中点をCとします。線分AC上に点Fをとり、点Gを三角形ABDの周上を除く内部に、∠FGD=90°、∠ADF=∠FDGを満たすようにとります。さらに直線CGと直線BDの交点をHとすると、DH=9となりました。このとき線分FGの長さはいくつですか。
|
FからADにおろした垂線の足をIとすると三角形DFGと三角形DFIは合同であり、5点D、G、C、F、Iは共円。これより三角形DICと三角形DHCは合同であり、FG=FI=IA=BH=7。
|
7
|
[
"合同",
"共円"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0015
|
kinmokusei
| 15 |
三角形ABCにおいて、内心をI、線分BCの中点をMとします。さらに、直線MIと直線ACの交点をDとし、IからACにおろした垂線の足をEとします。3点A,D,Cがこの順に並んでいて、AM=BM=6、AD:CD=4:1が成り立つとき、線分AEの長さはいくつですか。
|
三角形ABCの内接円をω、ωと辺ABの接点をFとし、AF=BGとなる線分AB上の点Gを考える。Iに関してFと対称な点をHとすると、3点C、H、Gは同一直線上にあり、DM//CG。したがってAM:MG=AM:MF=AD:DC=4:1、およびAE=AFから解答は9/2。
|
4.5
|
[
"内接円"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0016
|
kinmokusei
| 16 |
正六角形ABCDEFのがあり、線分DF上に点Pをとると三角形PCDの面積は5、三角形PEFの面積は2でした。このとき正六角形ABCDEFの面積はいくつですか。
|
三角形PCDと三角形PDEの面積比は2:1であるから、三角形DEFの面積は9/2。求める面積はこれの6倍なので27。
|
27
|
[
"正六角形",
"1:2:√3"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0017
|
kinmokusei
| 17 |
AB=ACである二等辺三角形ABCの辺BC上に点P、辺AB上に点Q、辺AC上に点Rをとると、∠PQB=∠AQR、∠QRA=∠CRP、PQ+QR+RP=APが成立しました。このとき∠BACは何度ですか。
|
直線ABに関してRと対称な点をR'とし、点Aを中心として、図形全体を、点Rが点R'に重なるように移動したときの点Pが移る先をP'とする。このとき点P'、R'、Q、Pは同一直線上にあり、三角形AP'Pは正三角形であるから∠PAP'=60°。求める角度はこれの半分なので、解答は30度。
|
30
|
[
"線対称",
"回転移動",
"光路"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0018
|
kinmokusei
| 18 |
一辺が2である正八角形ABCDEFGHにおいて、直線AC、直線CF、直線GAのすべてに接する円をΩとし、その中心をOとします。さらに線分AFの中点をM、半直線MOとΩの交点をPとするとき、線分MPの長さはいくつですか。
|
直線CFと直線GAの交点をXとする。Ωは三角形ACXの内接円であり、Mは三角形ACXの九点円の中心であるから、フォイエルバッハの定理よりMP=1+√2。
|
1+√2
|
[
"九点円",
"内接円"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0019
|
kinmokusei
| 19 |
正五角形ABCDEにおいて、線分ABの中点をMとし、正五角形ABCDEの内部に∠DFC=∠FCB=90°となるような点Fをとります。このとき∠MFEの大きさは何度ですか。
|
三角形EFDと三角形EMBは相似であり、∠DEF=∠BEMから∠FAM=∠FEM=72°なので4点A、M、F、Eは共円。よって求める角度は72°。
|
72
|
[
"正五角形",
"共円",
"相似"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0020
|
kinmokusei
| 20 |
三角形ABCにおいて、その内接円をω、内心をI、線分ABの中点をMとします。いま、Mを通り辺BCに平行な直線がωと接したので、その接点をT、直線MTと直線ACの交点をNとします。さらに、直線ITと三角形MINの外接円の交点のうちIでないほうをJとします。線分ITの長さが20であるとき、線分JTの長さはいくつですか。
|
三角形AMNの内接円をΩ、その中心をK、Ωと直線MNの接点をSとする。ωは三角形AMNの傍接円の一つであるからMS=NTであり、Kは三角形MINの外接円上の点であるからKS=JT。ωは点Aを中心としてΩを2倍に相似拡大したものであるから、解答は10。
|
10
|
[
"内接円",
"傍接円"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0021
|
kinmokusei
| 21 |
∠Bが直角である直角三角形ABCがあり、線分ACを四等分する点を、点Aのほうから順にP、Q、Rとします。また、点Rを通り、直線BPに平行な直線と、直線BCの交点をDとします。∠BDQ＝75°、AB＋CD＝68が成立しているとき、三角形ABCの面積はいくつですか。
|
点Qに関してDと対称な点をC'とする。このときC'は直線BPと直線DQの交点であり、AC'//BCであるからAB＋AC'＝68。また三角形BDC'は頂角が30度の二等辺三角形であるから、点Dを通りBC'に平行な直線上に、三角形BEC'がBE＝C'Eである直角二等辺三角形となる点Eが存在する。四角形ABEC'を4つ組み合わせると一辺が68の正方形になるから、求める面積はこの四分の一であり、解答は1156。
|
1156
|
[
"有名図形"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0022
|
kinmokusei
| 22 |
∠Bが直角である直角三角形ABCがあり、線分ABの中点をMとし、線分BCを四等分する点を、点Bのほうから順にE、G、Dとします。さらに、点Eを通り直線BCに垂直な直線と、直線ADの交点をHとします。BM＝6、BE＝4であるとき、∠MHGの大きさは何度ですか。
|
直線HMと直線BCの交点をI'とすると、三角形EGHと三角形EHI'は二辺の比とその間の角が等しいため相似である。よって∠MHG＝90°。
|
90
|
[
"相似"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0023
|
kinmokusei
| 23 |
∠Aが直角である三角形ABCがあります。ここで、点D、E、Fをそれぞれ三角形ABD、三角形CAE、三角形CBFが正三角形となるようにとります（それぞれの三角形の頂点は、反時計回りに並んでいるものとします）。直線CEと直線BDの交点をGとすると、CD＝6、BC＝15となりました。このとき、線分FGの長さはいくつですか。
|
三角形ABC、EFC、DBFは全て合同であるから∠FEG＝∠FDG＝90°で、4点EGFDは共円。また三角形AEDとFDEは合同であるから∠EFD＝30°。これより線分GFの中点をHとすれば三角形DEHは正三角形であり、その一辺はCDに等しいから解答は12。
|
12
|
[
"正三角形",
"合同"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0024
|
kinmokusei
| 24 |
四角形ABCDがあり、線分ABの中点をM、線分CDの中点をNとします。AC⊥MN、AC＝12、BD＝13が成り立つとき、四角形ABCDの面積はいくつですか。
|
点Mに関して点Cと対称な点をPとする。中点連結定理よりDP＝12、DP//NMであり、また四角形APBCは平行四辺形であるから三角形DPBは∠Pが直角である。したがってDP＝5であり、四角形ABCDの面積は30。
|
30
|
[
"直角三角形",
"等積変形"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0025
|
kinmokusei
| 25 |
線分ABを直径とする半円があり、その弧と線分ABの両方に接する円Ωがあります。ここで、Ωと半円弧の接点をS、Ωと線分ABとの接点をTとし、直線SBとΩの交点のうちSでないほうをP、Tから直線SBにおろした垂線の足をHとします。AT＜BT、SH＝3、HP＝1が成り立つとき、線分PBの長さはいくつですか。
|
∠HST＝45°である（一般に、同様の状況で∠AST＝∠BSTである）からSH＝TH＝3。方べきの定理と三平方の定理からPBの長さは5である。
|
5
|
[
"方べきの定理",
"三平方の定理"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0026
|
kinmokusei
| 26 |
長方形ABCDの外側に、線分AD、DCを一辺とする正三角形ADP、DCQを作ります。長方形の対角線の交点をRとすると、PR＝38、QR＝29が成立しました。このとき、六角形ABCQDPの面積はいくつですか。
|
四角形PRQSが長方形となるような点Sを考える。また線分AD、DCの中点をそれぞれM、Nとし、直線ADと直線SQの交点をX、直線DCと直線PSの交点をYとする。このとき、長方形MRNDと長方形YDXSは相似であり、その面積比は1:3であるから、長方形YDXSの面積は六角形ABCNRMの面積に等しい。また、正三角形ADP、DCQの面積はそれぞれ長方形PMDY、DNQXの面積に等しい。以上のことから求める面積は長方形PRQSの面積に等しく、解答は1102。
|
1102
|
[
"有名問題"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0027
|
kinmokusei
| 27 |
AB<ACである三角形ABCがあり、その内接円をωとします。ωと辺BCの接点をD、ωの中心をIとし、線分AC上にAB＝AEとなる点Eをとったところ、DC＝11、IE＝9が成立しました。このとき線分BEの長さと線分CIの長さの積はいくつですか。
|
ωと辺AB、ACとの接点をそれぞれF、Gとすると、BD＝BF＝EGであるから、BC＋CE＝BD＋CD＋CE＝2CD＝22。さらに簡単な角度計算から∠BIC＝∠BECなので4点BCEIは共円。また三角形ABIと三角形AEIは合同なのでBI＝BE。よって、トレミーの定理からBE×CI＝IE×（BC＋CE）＝IE×2CDであり、解答は198。
|
198
|
[
"方べきの定理"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0028
|
kinmokusei
| 28 |
正三角形ABC、DEFがあり、点Eは線分AB上、点Fは線分AC上にあります。また、点Dは直線EFに関して点Aと同じ側にあります。AB＝24、BE＝5、DG:CG＝1:3のとき、線分CFの長さはいくつですか。
|
∠EDF＝∠EAFより点Aは正三角形DEFの外接円上の点であるから∠EAD＝60°でAD//BC。これよりDG:CG＝AD:BCなのでAD＝8。またAD＝AE－AF＝CF－BEより解答は13。
|
13
|
[
"正三角形",
"有名図形"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0029
|
kinmokusei
| 29 |
∠C＝90°である三角形ABCがあり、∠ACBの二等分線上に点Dをとります。ここで、線分ABの中点をM、線分DMの中点をNとし、Nを通り直線ABに垂直な直線と、直線CDとの交点をEとします。AB＝12のとき、線分NEの長さはいくつですか。
|
CからABにおろした垂線の足をHとすると、∠HCE＝∠MCE＝∠CENである。ここで、線分CMの中点をFとすると、中点連結定理からFN//CDであり四角形CENFはCF＝ENの等脚台形。したがって、NE＝FC＝AB/4より、解答は3。
|
3
|
[
"等角共役",
"中点連結定理"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0030
|
kinmokusei
| 30 |
長方形ABCDの辺AB上に点Eを、辺AD上に点Fを、それぞれAE<BE、AF<DFとなるようにとり、四角形FEGHがひし形（頂点はこの順で反時計回り）となるように点G、Hを定めます。さらに、点Gから直線BCへおろした垂線の足をP、点Hから直線CDへおろした垂線の足ををQとします。長方形ABCDとひし形FRGHの面積の差が16であり、FE＝3、GP＝HQが成立しているとき、長方形ABCDの周長はいくつですか。
|
長方形ABCDの周長をxとする。三角形AEF、四角形BPGE、四角形CQHP、四角形DFHQを適切に組み替えることによって、周長がxである正方形から一辺が3である正方形を除いた図形を作ることができる。この面積が16であるから正方形の面積は25であり、その一辺は5。したがって解答は20。
|
20
|
[
"等積変形"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0031
|
kinmokusei
| 31 |
正方形AGECがあります。点Aを中心とする半径AGの円弧のうち、正方形AGECの内部に存在する部分を曲線Xとします。X上に点Fをとり、CFを一辺とする正三角形CFBと、FGを一辺とする正三角形FGDを描いたところ、3点DEFは同一直線上にありました。ここで、点B、Dはそれぞれ直線CF、FGに関して点Aと反対側にあるものとします。このとき、∠BDFの大きさは何度ですか。
|
△ABC≡△ABF、△ADF≡△ADGより∠BAD=45°である。また△ABC∽△ADE（相似比1:√2）よりAB:AD=1:√2。したがって三角形ADBはBA=BDの直角二等辺三角形であり、∠ADE=30°であるから、解答は15°。
|
15
|
[
"正三角形"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0032
|
kinmokusei
| 32 |
正三角形ABCの内部に正三角形DEFがあります。ここで、AB//DE、BC//EF、CA//FDであるとし、直線CAと直線FDとの距離をx、直線ABと直線DEとの距離をy、直線BCと直線EFとの距離をzとします。AB=5、FD=1であるとき、x+y+zはいくつですか。
|
正三角形内の任意の点から各辺までの距離の和は一定で、その値は正三角形の一辺の√3/2倍である。したがって、解答は2√3。
|
2√3
|
[
"正三角形"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0033
|
kinmokusei
| 33 |
∠A=90°である直角二等辺三角形の辺BC上に点DをとるとBD=4、CD=2が成立しました。さらに、辺AB上に点Eを、∠ADE=45°となるようにとりました。このとき、三角形DEBの面積はいくつですか。
|
△ADC≡△AFBとなる点Fを考える。このとき三角形DFBは∠FBD=90°、BD=4、BF=2の直角三角形であり、角の二等分線の性質からBD:BF=DE:FE=△DEB:△BEF=4:2である。よって解答は8/3。
|
8/3
|
[
"回転移動",
"角の二等分線"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0034
|
kinmokusei
| 34 |
三角形ABCの重心をGとし、重心Gを通る直線lを考えます。ただし、点A、Bは直線lに関して同じ側にあるものとします。点A、Bから直線lにおろした垂線の足をそれぞれ点P、Qとします。さらに、PG=QHをみたすl上の点Hを考えます。ここで、4点PGHQはこの順でl上に並んでいるものとします。さらに、線分ABの中点をMとすると、AP=3、BQ=6、MH=5が成立しました。このとき線分CHの長さはいくつですか。
|
点Cからlにおろした垂線の足をJとする。有名事実としてAP+BQ=CJであるからCJ=9。ここで、点Mからlにおろした垂線の足をNとすれば、NはPQの中点であるからDN=HNであり、三角形IHDが二等辺三角形である。よって、CD=2ID=10。これよりJD=2DN=DH=√19であるから、CH=√157。
|
√157
|
[
"重心"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0035
|
kinmokusei
| 35 |
正方形ABCDがあり、点Aを中心とする半径ABの円をΩとします。Ωの劣弧BD上に点Pをとり、PにおけるΩの接線と、線分BC、CDとの交点をそれぞれX、Yとします。さらに。三角形CYXの内接円をωとします。Ωとωの半径の差が10であるとき、線分XYの長さはいくつですか。
|
Ωは三角形CYXの傍接円であることに注意する。ωと線分XY、CYの接点をそれぞれQ、Rとすると、DY=PY=QX、YQ=YRよりDR=XYである。したがって、解答は10。
|
10
|
[
"内接円",
"傍接円"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0036
|
kinmokusei
| 36 |
平行四辺形ABCDはAB>ADを満たしています。∠DABの二等分線と直線CDとの交点をEとし、CE=BFとなる点Fを線分BC上にとります。ここで、直線AEと直線DFの交点をGとし、∠AGH=45°となる点Hを線分AB上にとります。AH:BH=4:3、AE=24であるとき、線分ADの長さはいくつですか。
|
直線AEと直線BCの交点をA'とする。このときEC=A'CであるからAD=A'Fであり、点Gは線分AA'の中点である。これと三角形ABA'が二等辺三角形であることから∠AGB=90°であり、角の二等分線の性質からAG:BG=AH:BH=4:3である。したがって三角形ABGは3;4;5の直角三角形である。これよりAA':AB=8:5=AE:ADなので、解答は15。
|
15
|
[
"平行四辺形",
"相似"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0037
|
kinmokusei
| 37 |
正方形ABCD、AEDFがあり、点Eは正方形ABCDの内部、点Fは外部にあります。線分ABの中点をMとするとき、∠CFMの大きさは何度ですか。
|
三角形FMCはFM=CMの直角二等辺三角形であるから、解答は45°。
|
45
|
[
"正方形"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0038
|
kinmokusei
| 38 |
AC<BCである三角形ABCの内心をI、辺ABの中点をMとします。さらに、線分BC上に点Dを、CI//DMを満たすようにとります。AC=8、CD=2、DM=7であるとき、線分BMの長さはいくつですか。
|
辺BCの中点をNとすると、∠NDM=∠NMDであるから三角形NDMは二等辺三角形である。したがってDN=MN=4であり、cos(∠MDN)=7/8。三角形DMBで余弦定理を考えれば、解答は√(53/2)。
|
√(53/2)
|
[
"内心",
"余弦定理"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0039
|
kinmokusei
| 39 |
∠BAC=60°である三角形ABCがあり、辺AB上に点Dを、辺AC上に点Eを、BD=DE=ECを満たすようにとったところ、∠BDE=2∠ECB、∠DEC=2∠CBDが成立しており、三角形ADEの面積は2、四角形BCEDの面積は7でした。このとき、三角形ADEの周長の二乗はいくつですか。
|
△ADE≡△FDE≡△GCEとなる点F、Gおよび直線BCに関して点Aと対称な点Hを考える。このとき三角形FHGは正三角形であり、その一辺は三角形ADEの周長に等しい。三角形FHGの面積は20であるから、解答は80/(√3)。
|
80/(√3)
|
[
"正三角形"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0040
|
kinmokusei
| 40 |
BCが最大の辺である三角形ABCがあり、線分BC上にAB=BD、AC=CEを満たす点D、Eをとります。さらに、三角形AEDの外心をFとします。AB//FE、AB=9、FE=4が成立しているとき、線分ACの長さはいくつですか。
|
4点ABEF、ACDFがそれぞれ共円であることに注意すると、Fは三角形ABCの内心である。これよりBE:EG=AF:FG=AB:BG=5:4であるからBE=4、EG=16/5、GD=9/5がわかる。さらに、AB:AC=BG:CG=BG:(AC-EG)であることから解答は16。
|
16
|
[
"内心",
"外心",
"角の二等分線"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0041
|
kinmokusei
| 41 |
三角形ABCの重心をGとします。線分BC上に∠APB=∠GPCを満たす点Pをとったところ。AP=42が成立しました。このとき線分GPの長さはいくつですか。
|
線分BC上にAP//GQとなる点Qをとる。このとき三角形GPQはGP=GQの二等辺三角形であり、重心の性質からAP:GQ=3:1である。よって解答は14。
|
14
|
[
"重心の性質"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0042
|
kinmokusei
| 42 |
正三角形ABCの外接円の劣弧BC上に点Pをとり、線分BC上にAB//PQ、AC//PRを満たす点Q、Rをとります。BP=4、CP=2√3が成立しているとき、三角形ARQの面積はいくつですか。
|
平行線に注意すれば、直線APと直線BCの交点をXとすると、△BPX=△AXQ、△CXP=△ARXであるから△ARQ=△BPC。よって解答は6。
|
6
|
[
"等積変形"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0043
|
kinmokusei
| 43 |
三角形BCFは∠CBF=60°を満たしています。三角形BCFの外接円上に点Aをとり、Aから直線BFにおろした垂線の足をE、線分CFの中点をDとします。∠BAE=30°、DE=6であるとき線分BCの長さはいくつですか。
|
∠ABF=∠CBF=60°より三角形ACFは正三角形である。これより。△ABE∽△ACDであり、△ABC∽△AED（相似比2:√3）であるから解答は4√3。
|
4√3
|
[
"相似"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0044
|
kinmokusei
| 44 |
点Oを共有する直角二等辺三角形OAB、OCD、OEFがあり、三角形OBCと三角形ODEは正三角形です。また、AB=AO=FO=FE、OC=ODが成立しています。線分FBの長さが4√33のとき、七角形OABCDEFの面積はいくつですか。
|
直線ACと直線FDの交点をPとする。三角形OFAは正三角形であり、AF=CD/2、AF//CDであるから中点連結定理の逆よりPA=AC=PF=FD。また三角形FBDは直角二等辺三角形であるからPC=PD=2FB。さらに、△ABC=△AOC=△AOPであり、三角形FDEについても同様に考えることで求める面積は頂角30°の二等辺三角形PCDの面積に等しい。よって解答は528。
|
528
|
[
"等積変形"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0045
|
kinmokusei
| 45 |
凸四角形ABCDにおいて、辺AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれG、H、E、Fとします。さらに、直線GHと直線EB、直線FBとの交点をそれぞれP、Qとします。四角形EFQPの面積をX、三角形AGQと三角形CPHの面積の和をYとしたとき、X-Y=63でした。このとき四角形ABCDの面積はいくつですか。
|
△QAG=△QGB、△PHC=△PBHに注意すれば、X-Y=△BEF-△BHGである。四角形EFGHが平行四辺形であることから、この値は三角形EFPの面積に等しい。これは四角形EFGHの面積の半分であることから、四角形ABCDの面積の4分の1に等しいことがわかる。よって解答は252。
|
252
|
[
"等積変形"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0046
|
kinmokusei
| 46 |
∠ACB=90°、AC<BCである直角三角形ABCがあり、点Cから直線ABにおろした垂線の足をP、∠ACBの二等分線と直線ABの交点をQとします。AQ=3、BQ=4のとき、線分PQの長さはいくつですか。
|
AP:BP=(3-PQ):(4+PQ)=AC^2:BC^2=3^2:4^2=9:16であるから解答は12/25。
|
12/25
|
[
"相似",
"角の二等分線"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0047
|
kinmokusei
| 47 |
一辺が8である正三角形ABCの内接円と各辺との接点をK、L、Mとします。正三角形ABCの外接円上に点Pをとるとき、PK^2+PL^2+PM^2の値はいくつですか。
|
三角形ABCの重心（＝外心＝内心）をGとする。このときGP=8/√3、GK=GL=GM=4/√3である。中線定理の拡張として、PK^2+PL^2+PM^2=GK^2+GL^2+GM^2+3GP^2が成立するから、右辺を計算することで解答は80。
|
80
|
[
"中線定理"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0048
|
kinmokusei
| 48 |
三角形ABCの外心をO、AからBCにおろした垂線の足をE、線分ABの中点をMとします。3点E、O、Mが共線であり、CE=3、BE=5が成立しているとき、線分OEの長さはいくつですか。
|
直線EMは点Oを通るから、線分ABの垂直二等分線である。したがってAE=BEであり、∠ABC=45°なので∠AOC=90°。これより4点AOECは共円なので、これにトレミーの定理を適用することで線分OEの長さがわかり、解答は√2。
|
√2
|
[
"トレミーの定理"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0049
|
kinmokusei
| 49 |
AB<ACである鋭角三角形ABCにおいて、AからBCにおろした垂線の足をH、線分BCの中点をMとします。線分AH上に∠BAH+∠MPH+∠BCA=90°を満たす点Pをとったところ、BM=CM=7、PM=8となりました。このとき線分APの長さはいくつですか。
|
三角形ABCの外心をOとする。∠BAH=∠CAOに注意すれば、∠MPH=∠OAPであり、PM//AO。またAP//OMであるから、四角形APMOは平行四辺形である。したがってAP=OM、PM=AO=CO=8であるから解答は√15。
|
√15
|
[
"等角共役"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0050
|
kinmokusei
| 50 |
同一直線上に4点A、B、C、Dがこの順で並んでおり、AB=6、BC=2、CD=4を満たしています。線分BDを直径とする半円弧上にCE=3を満たす点Eをとり、直線AEと半円弧の交点のうちEでないほうをFとします。さらに、直線DFと直線CEの交点をGとするとき、線分CGの長さはいくつですか。
|
B、Dは線分ACを3:1に内分・外分する点であるから、BDを直径とする円上の点E、FについてもAE:CE=AF:CF=3:1が成り立つ（アポロニウスの円）。これよりAE=9であり、3点A、F、Eはこの順で並ぶことに注意すれば、方べきの定理からAF=8、CF=8/3。直線FDは∠AFCの外郭の二等分線であり、これは∠CFEの二等分線であるから、CG:CE=CF:FE=8:3。したがって解答は24/11。
|
24/11
|
[
"アポロニウスの円"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0051
|
kinmokusei
| 51 |
線分ABを直径とする半円があります。いま、∠ABC=90°を満たす点Cをとり、Cを通り直線ABに平行な直線を引いたところ、これが半円と異なる二点で交わったので、交点をD,Eとします。ただし、3点D,E,Cはこの順で並んでいるものとします。半円の半径が5で、DC=8のとき、線分AEの長さはいくつですか。
|
四角形ABEDは等脚台形であることに注意するとAE=BDである。方べきの定理と三平方の定理からCE×CD=BC^2=BD^2-CD^2。これを変形してBD^2=CE×CD+CD^2=CD×AB。よって解答は4√5。
|
4√5
|
[
"等脚台形"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0052
|
kinmokusei
| 52 |
三角形ABCがあり、線分ABを6等分する点をAに近い方から順にJ、K、L、M、Nとし、線分ACを6等分する点をAに近い方から順にP、Q、R、S、Tとします。三角形AJQ、四角形KLSR、四角形MNCTの面積の和が52のとき、四角形JKRQ、四角形LMTS、三角形NBCの面積の和はいくつですか。
|
四角形JKRQ=三角形JKQ+三角形KRQ=三角形AJQ+三角形AKR/2であるから、三角形AJQの面積をxとすると、四角形JKRQの面積は2xである。同様に考えていくと、三角形AJQ、四角形KLSR、四角形MNCTの面積の和と四角形JKRQ、四角形LMTS、三角形NBCの面積の和はどちらも9xであるから、解答は52。
|
52
|
[
"面積比"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0053
|
kinmokusei
| 53 |
点Oを中心とする扇形OABがあり、弧ABの中点をMとします。線分OB上に∠AMP=90°となる点Pをとると、三角形BPMの面積は12でした。このとき三角形POAの面積はいくつですか。
|
点Oに関して点Aと対称な点をCとする。このとき、題意の扇形は線分CAを直径とする半円の一部であるから3点C、P、Mは共線。また簡単な角度計算からCB//OMである。したがって、△BPM=△PCO=△POA=12より、解答は12。
|
12
|
[
"等積変形"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0054
|
kinmokusei
| 54 |
線分ABを直径とする半円があり、その中心をOとします。半円の弧AB上に2点P、Qを、4点A、P、Q、Bがこの順に時計回りに並ぶようにとり、三角形POQの外接円をΩとします。いま、Ωと線分AQ、線分BPが交わったので、交点をそれぞれR、Sとします。円Ωにおいて、劣弧PRの長さが3、劣弧SQの長さが4のとき、劣弧RSの長さはいくつですか。
|
Ωと線分ABの交点のうちOでないほうをTとする。また、直線APと直線BQの交点をC、直線AQと直線BPの交点をHとする。このとき、三角形ABCの垂心はHであるから、Hは三角形ABCの垂足三角形（=三角形POQ）の内心である。したがって∠QPB=∠BPH、∠PQA=∠AQHであるから弧RS=弧RH+弧HS=弧PR+弧SQ。よって解答は7。
|
7
|
[
"垂足三角形"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0055
|
kinmokusei
| 55 |
長方形ABCDと、線分ABを直径とする半円Ωがあり、直線CDはΩに接しています。Ωと線分DBの交点のうち、BでないほうをXとし、Ωの弧XB上に∠PAQ=45°を満たす2点P、Qをとります。ただし、4点A、P、Q、Bは弧AB上に、この順で時計回りに並ぶものとします。線分DBと線分AP、線分AQとの交点をそれぞれK、LとするとDK=3、BL=4でした。線分ALの中点をMとするとき、線分KMの長さはいくつですか。
|
直線ALに対して点Bと対称な点をY、線分AYの中点をNとする。このとき△ABL≡△AYLであり、∠DAK=∠NAK、AD=AN=AB/2、AK共通より△AKD≡△AKNである。これより∠KNM=∠ADK+∠ABL=90°、KN=3、MN=LY/2=2であるから解答は√13。
|
√13
|
[
"合同",
"相似"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0056
|
kinmokusei
| 56 |
正方形ABCDがあり、その内部に点Eを、三角形BCEが正三角形となるようにとります。さらに、点Dを中心とする半径DAの円弧と線分BEの交点をPとし、正方形ABCDの内部に点Qを、三角形APQが正三角形となるようにとります。このとき∠EQPの大きさは何度ですか。
|
△AQD≡△PQDより∠AQD=150°=∠AEDであるから4点A、E、Q、Dは共円。したがって∠AQE=∠ADE=15°であるから解答は45度。
|
45
|
[
"共円"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0057
|
kinmokusei
| 57 |
CA=CBである二等辺三角形ABCの外接円をΩとします。直線AB上に点Dを、3点D、A、Bがこの順に並ぶようにとり、直線DCとΩの交点のうちCでないほうをEとします。AD=3、BC=5、CE=DEが成立しているとき、線分ABの長さはいくつですか。
|
簡単な角度計算から∠EAD=∠EACなので、接弦定理の逆から直線ACは三角形AEDの外接円に接し、その接点はAである。したがって、方べきの定理からDA×DB=DE×DC=CE×CD=CA^2。よって解答は16/3
|
16/3
|
[
"方べきの定理",
"反転"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0058
|
kinmokusei
| 58 |
線分ABを直径とする半円があり、線分AB上に点Pをとります。いま、点Pで線分ABに接して、かつ半円弧ABに内接する円Ωを考え、Ωと弧ABの接点をQとします。さらに、弧AB上に点Rをとると、PQ=4、QR=3、RP=5が成立しました。このとき線分ABの長さはいくつですか。
|
線分ABを直径とする円をΓとする。直線QPとΓの交点をSとすると、Sは弧ABの中点である。いま、∠RQP=90°であるから線分RSはΓの直径である。これより直線ABは線分RSの垂直二等分線なのでPR=PS。したがって解答は3√10。
|
3√10
|
[
"有名構図"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0059
|
kinmokusei
| 59 |
∠BAC=90°である直角二等辺三角形があり、線分AB上に点Pを、線分AC上に点Qをとります。さらに、三角形APQの外接円と線分BCが相異なる二点で交わったので、交点をR、Sとします。ただし、4点B、R、S、Cはこの順で並ぶものとします。∠RAS=45°、PQ=2√10、BR=2が成立しているとき、線分CSの長さはいくつですか。
|
線分PQの中点をMとすれば、三角形MRSは直角二等辺三角形なのでRS=2√5。また直線ARに関して点Bと対称な点をDとすれば△ABR≡△ADR、△ACS≡△ADSより三角形RDSは直角三角形。したがって、解答は4。
|
4
|
[
"直角二等辺三角形"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0060
|
kinmokusei
| 60 |
∠A=90°である直角三角形ABCがあり、その内接円をωとします。さらにΩと線分ABの接点をTとし、線分AB上にAT=BUとなる点Uをとり、線分AUとωの2つの交点をP、Qとします。BC=5、∠CUA=45°のとき、線分PQの長さはいくつですか。
|
4点A、P、Q、Uがこの順で並んでいるとすると、線分PTはωの直径である。いま、AT=xとすると、ωの半径はxであるからPT=TU=2x、CA=AU=3x、AB=AU+BU=4xであるからx=1。PQ=√2xより解答は√2。
|
√2
|
[
"有名構図"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0061
|
kinmokusei
| 61 |
AB=ACである二等辺三角形ABCと、DE=DEである直角二等辺三角形DEAがあります。∠ABC=∠BDA=∠DEC、BD=1、CE=2が成立しているとき、五角形ABDECの面積を求めてください。ただし、五角形ABDECは凸であり、この順で頂点が反時計回りに並んでいるものとします。
|
線分ABが線分ACと重なるように、三角形ABDを点Aを中心として回転させる。このときの点Dの移動先をFとする。このとき、四角形ABDCは円に内接することから3点D、C、Fは共線で、さらに∠DCE=90°である。線分DFの中点をMとすれば△ADM≡△AFM≡△DECであり、DC=AM=3なので、解答は9。
|
9
|
[
"等積変形"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0062
|
kinmokusei
| 62 |
同一直線上に4点A、B、C、Dがこの順で並んでおり、AB=BCを満たしています。線分ACを直径とする円をΩ、線分BDを直径とする円をΓとし、ΩとΓの共通外接線の一つをlとします。lとΩ、Γとの接点をそれぞれS、Tとすると、AS=3、DT=10が成立しました。このとき四角形BCTSの面積はいくつですか。
|
三角形ACSと三角形BDTは相似であり、四角形BCTSは凧型であるから、3:SC=BT:10であり四角形BCTSの面積はSC×BT÷2である。したがって解答は15。
|
15
|
[
"相似"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0063
|
kinmokusei
| 63 |
AB<ADである長方形ABCDがあり、これを点Dを中心として、点Aが線分BC上にくるまで回転移動したときの、点A、B、Cの移動先をそれぞれE、F、Gとします（すなわち、四角形ABCDと四角形EFGDは合同な長方形です）。三角形DCGの面積が10のとき、凹四角形BFEDの面積はいくつですか。
|
三角形AED、三角形BFD、三角形CGDはすべて相似であり、三平方の定理からAD^2+CD^2=BD^2が成り立つ。したがって△BFD=凹四角形BFED+△EFD=△AED+△CGDである。さらに、△AED=△EFD（=長方形の面積の半分）であるから、解答は10。
|
10
|
[
"回転相似"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0064
|
kinmokusei
| 64 |
正三角形ABCがあり、その外接円をΩ、内接円をωとします。いま、Ωの弦PQとωが交わったのでその交点の一つをRとすると、PR=5、QR=9となりました。このとき線分ABの長さはいくつですか。
|
直線PQとωの交点のうちRでないほうをSとすると、対称性からRS=4、SQ=5である。方べきの定理から、点PからΩにひいた接線とΩとの接点をTとすると、PS=3√5であり、正三角形の一辺はこの2倍である。したがって、解答は6√5。
|
6√5
|
[
"方べきの定理"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0065
|
kinmokusei
| 65 |
XY<YZである長方形XYZBがあり、線分XY上に点Aをとります。さらに、∠ABZの二等分線と線分YZとの交点をP、点Aを通り直線BPに平行な直線と線分XBの交点をQ、直線ABと直線QZの交点をRとします。線分PZの長さが線分XQの長さより1大きく、三角形RZBの面積が三角形ARQの面積より1大きいとき、線分ABの面積はいくつですか。
|
点P、Qから直線ABにおろした垂線の足をそれぞれK、Lとすると△AQX≡△AQL、△BPZ≡△BPKであるから、PK-QL=1。さらに、△RZB-△ARQ=△ZBQ-△ABQ=△APB-△ABQ=AB×(PK-QL)/2=1である。したがって解答は22。
|
22
|
[
"等積変形"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0066
|
kinmokusei
| 66 |
線分ABを直径とする半円の中心をOとします。弧AB上に点Sをとり、点Cで半円弧に内接し、かつ直線ABに接する円をΩとし、Ωと直線ABとの接点をTとします。さらに、点Bから直線STにおろした垂線の足をHとし、点OからΩにひいた接線のうち、直線ABに一致しないほうと半円弧ABとの交点をPとします。OP=2、∠AOP=60°のとき、線分OHの長さはいくつですか。ただし、AS<BSとします。
|
三角形OBQが正三角形となる点Qを弧AB上にとる。このとき、簡単な角度計算から三角形SHOと三角形SBQは相似であり、三角形SHBは直角二等辺三角形である。したがって相似比は1:√2であり、解答は√2。
|
√2
|
[
"回転相似"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0067
|
kinmokusei
| 67 |
正方形ABCDがあり、線分CD、AD上にそれぞれ点P、Qを、∠QBP=45°となるようにとり、直線ACと直線BQ、BPの交点をそれぞれR、Sとします。AR=1、CS=7のとき、線分PQの長さはいくつですか。
|
点Pから直線BQにおろした垂線の足をHとすると、4点B、C、P、Hは共円であり、∠HPB=∠HCB=45°であるからH=Rである。同様に∠BQS=45°であるから4点R、S、P、Qは共円であり三角形ASRと三角形AQPは相似（相似比1:√2）である。RS^2=1^2+7^2=50より、解答は10。
|
10
|
[
"相似"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0068
|
kinmokusei
| 68 |
AB;BC=1:2である長方形ABCDの外側に、辺ADを一辺とする正三角形ADEをつくります。また、線分ADを直径として直線BCに接する半円弧をΩとします。線分AE、DEの中点をそれぞれM、Nとし、線分BMとΩの交点をPとすると、線分PNの長さが6となりました。このとき五角形ABCDEの面積はいくつですか。
|
点Mに関して点Bと対称な点をXとすると、対称性からXは点Nに関して点Cと対称な点である。また、三角形XBCは頂角30°、XB=XC=12の二等辺三角形であり、求める面積は三角形XBCの面積に等しいから解答は36。
|
36
|
[
"等積変形"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0069
|
kinmokusei
| 69 |
AB=ACである鋭角二等辺三角形ABCがあり、その外接円をΩ、外心をOとします。直線BC上に点Dを、3点D、B、Cがこの順に並ぶようにとり、直線ADとΩの交点のうちAでないほうをEとします。さらに、直線EOと直線BCの交点をFとすると、AE:DE=3:4、OE=9、OF=5となりました。このとき線分DFの長さはいくつですか。
|
点D、Eでそれぞれえ直線DCおよびΩに接する円が存在するのでその中心をP、点Pに関して点Eと対称な点をQとすると、PE:EF=DE:EAよりQE=24。したがって、方べきの定理からDF=4√133。
|
4√133
|
[
"方べきの定理",
"有名構図"
] |
nan
| |||||
kinmokusei_0070
|
kinmokusei
| 70 |
AB=ACである二等辺三角形ABCがあり、線分BCの中点をMとします。直線AB上に2点P、Qを、4点P、A、Q、Bがこの順で並び、かつPA=QB=BMを満たすようにとり、直線PCと直線QMの交点をRとします。QM=9、RM=16のとき、線分AQの長さはいくつですか。
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三角形ABCの内接円をω，∠A内の傍接円をω_A，∠B内の傍接円をω_Bとする。また，ω_Aと直線ABとの接点をX，Xを通り直線ABに垂直な直線とω_Aとの交点をYとする．Mはωおよびω_Aと直線BCとの接点であり，P,Qはそれぞれω_B，ωと直線ABとの接点であることに注意する。いま，Mはωとω_Aとの接点であり，この二円の相似の中心である．この相似において点Qと点Yが対応する．さらに，点Cはω_Aとω_Bの共通内接線（直線ACと直線BC）の交点であるから，この二円の相似の中心である．この相似において点Pと点Yが対応する．これらのことから，3点Q,M,Yと3点P,C,Yはそれぞれ同一直線上にあり，その交点はY＝Rである．したがって，方べきの定理からQM×QR＝QX^2であり，QX＝15．さらに，点Aはωとω_Aの共通外接線の交点であるから，この二円の相似の中心であり，相似比はQM:RM＝9:16．この相似で点Qと点Xが対応するから，AQ:AX＝AQ:(AQ＋15)＝9:16．したがって，解答は135/7．
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135/7
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[
"相似",
"有名構図"
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nan
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aonagi_0001
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aonagi
| 1 |
長方形ABCDがあります。辺BCを2:1に内分する点をEとし、辺CDを1:3に内分する点をFとし、線分AFと線分DEの交点をGとします。このとき、線分DGの長さは線分GEの長さの何倍ですか？
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直線AFと直線BCの交点をXとします。三角形ADFと三角形XCF、三角形ADGと三角形XEGはそれぞれ相似なので、比を計算することでDG:GE=3:2だとわかります。よって、線分DGの長さは線分GEの長さの1.5倍です。
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1.5倍
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[
"相似"
] |
nan
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aonagi_0002
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aonagi
| 2 |
平行四辺形ABCDがあります。辺AEを1:2に内分する点をEとし、辺BCを2:3に内分する点をF、辺BCを4:1に内分する点をGとします。線分EGと線分DFの交点をHとするとき、線分HGの長さは線分EHの長さの何倍ですか？
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直線ADと直線EGの交点をXとします。このとき、三角形XAEと三角形GBE、三角形XDHと三角形GFHはそれぞれ相似なので、比を計算するとEH:HG=2:1だとわかります。よって、線分HGの長さは線分EHの長さの0.5倍です。
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0.5倍
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"相似"
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nan
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aonagi_0003
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aonagi
| 3 |
辺ADと辺BCが平行で、面積60㎠の台形ABCDがあります。辺ABを2:3に内分する点をEとし、辺BCを3:4に内分する点をFとし、線分BDと線分EFの交点をGとします。AD:BC=5:7のとき、四角形CDGFの面積は何㎠ですか？
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直線ADと直線EFの交点をXとします。三角形AXEと三角形BFE、三角形DXGと三角形BFGはそれぞれ相似なので、比を計算すると、BG:BD=3:10、BF:BC=3:7です。三角形BDCの面積は35㎠なので、四角形CDGFの面積は30.5㎠です。
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30.5㎠
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[
"相似"
] |
nan
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aonagi_0004
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aonagi
| 4 |
∠B=90°たる直角二等辺三角形ABCがあります。辺AB上に点D、辺BC上に点E、辺CA上に点Fをとると、三角形DEFは∠E=90°たる直角二等辺三角形になりました。AD=2、DB=6のとき、三角形DEFの面積は何㎠ですか？
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点Fから辺BCに下ろした垂線の足を点Hとします。三角形DBEと三角形EHFは合同であり、三角形FHCは∠H=90°たる直角二等辺三角形です。よって、DB+BC=DB+BH+FH=14㎝であり、DB=EH=6㎝、BE=HF=1㎝です。よって、求める面積は、18.5㎠です。
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18.5㎠
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"合同"
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nan
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aonagi_0005
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aonagi
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∠B=90°たる直角二等辺三角形ABCがあります。辺AB上に点D、辺BC上に点E、辺CA上に点Fをとると、三角形DEFは∠F=90°たる直角二等辺三角形になりました。AD=√2、EC=3√2のとき、三角形DEFの面積は何㎠ですか？
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点Dから辺CAに下ろした垂線の足を点Gとし、点Eから辺CAに下ろした垂線の足を点Hとします。このとき、三角形DGFと三角形FHEは合同であり、DG=FH=1㎝、GF=HE=3㎝です。よって、求める面積は、5㎠です。
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5㎠
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"合同"
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nan
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aonagi_0006
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aonagi
| 6 |
一辺の長さが6㎝の正三角形ABCがあります。辺AB上にBD=3㎝たる点Dをとり、辺BC上にBE=2㎝たる点Eをとり、三角形ABCの内部に三角形DEFが正三角形となるような点Fをとります。三角形DEFの面積が14㎠のとき、三角形AFCの面積は何㎠ですか？
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点Fを通り辺ACと平行な直線をmとし、mと辺AB、mと辺BCの交点をそれぞれ点X、点Yとします。このとき、三角形BDEと三角形XFDと三角形YEFは合同です。よって、三角形BXYの面積は50㎠、四角形ACYXの面積は22㎠であるとわかり、求める面積は12㎠です。
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12㎠
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"合同"
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nan
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aonagi_0007
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aonagi
| 7 |
辺ADと辺BCが平行であり、∠C=90°たる台形ABCDがあります。AD=3㎝、BC=7㎝、CE=5㎝です。辺CD上に点Pをとるとき、AP+PBとしてありうる最小値は何㎝ですか？
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直線CDに対して点A、点Bと対称な点をそれぞれ点A'、点B'とします。また、点A'から線分B'Cへ下ろした垂線の足を点Hとします。このときAP=A'Pなので、AP+PBの最小値は線分A'Bの長さと等しく、求める長さは5√5㎝です。
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5√5㎝
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"合同"
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nan
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aonagi_0008
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aonagi
| 8 |
∠B=90°たる直角二等辺三角形ABCがあります。AB=6㎝です。辺BC上に点Pをとり、辺AC上に点Qをとるとき、AP+PQ+QBとしてありうる最小値は何㎝ですか？
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直線BCに対して点A、点Qと対称な点をそれぞれ点A'、点Qとします。また、直線CA'に対して点Bと対称な点を点B'とします。このときPQ=PQ'、QB=Q'B=Q'B'なので、AP+PQ+QBの最小値は線分AB'の長さと等しく、求める長さは6√5㎝です。
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6√5㎝
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[
"合同"
] |
nan
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aonagi_0009
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aonagi
| 9 |
一辺の長さが1㎝の正六角形ABCDEFがあります。辺CD上に点Pをとり、辺EF上に点Qをとるとき、AP+PQ+QAとしてありうる最小の長さは何㎝ですか？
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直線CDに対して六角形ABCDEFと対称な図形を六角形A'B'CDE'F'とし、直線E'F'に対して六角形A'B'CDE'F'と対称な図形を六角形A''B''C'D'E'F'とします。また、直線CDに対して点Qと対称な点を点Q'とします。このときPQ=PQ'、QA=Q'A'=Q'A''なので、AP+PQ+QAの最小値は線分AA''の長さと等しいです。点A''から直線ABへ下ろした垂線の足を点Hとすると、AH=3、A''H=2√3なので、求める長さは√21㎝です。
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√21㎝
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"合同"
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nan
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aonagi_0010
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aonagi
| 10 |
∠A=∠C=90°たる四角形ABCDがあります。AB=AD、BC=8㎝、CD=2㎝のとき、線分ACの長さは何㎝ですか？
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点Aから直線BCおよび直線CDへ下した垂線の足をそれぞれ点E、点Fとします。このとき、三角形ABEと三角形ADFは合同です。AE=AFより四角形AECFは正方形です。BC=8㎝、CD=2㎝、BE=DFよりCE=CF=5㎝です。線分ACは正方形AECFの対角線なので、求める長さは5√2㎝です。
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5√2㎝
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[
"合同"
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nan
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aonagi_0011
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aonagi
| 11 |
∠A=60°、∠C=120°たる四角形ABCDがあります。AB=AD、BC=6㎝、CD=2㎝のとき、線分ACの長さは何㎝ですか？
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半直線CB上に点Eをとり、三角形ABEが正三角形となるようにします。このとき、三角形ABEと三角形ADCは合同です。よって、EC=EB+BC=CB+BCとわかり、求める長さは8㎝です。
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8㎝
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[
"合同"
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nan
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aonagi_0012
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aonagi
| 12 |
∠A=∠C=90°たる四角形ABCDがあります。AB:AD=2:3、BC=8㎝、CD=1㎝のとき、線分ACの長さは何㎝ですか？
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点Aから直線BCおよび直線CDへ下した垂線の足をそれぞれ点E、点Fとします。このとき、三角形ABEと三角形ADFは相似です。相似比より、ある正の実数xおよびyを用いて8-2x=3y、1+3x=2yと立式できます。これを解くとx=1およびy=2とわかるので、CE=6㎝、CF=4㎝です。よって、求める長さは2√13㎝です。
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2√13㎝
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[
"相似"
] |
nan
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aonagi_0013
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aonagi
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正方形ABCDがあります。辺BC上に点Eをとり、辺CD上に点Fをとると、∠AEF=90°および∠EAF=30°が成り立ちました。AB=3㎝のとき、線分CEの長さは何㎝ですか？
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nan
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√3㎝
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[
"円周角の定理"
] |
nan
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con-malinconia_0000
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con-malinconia
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楕円$\epsilon$とレムニスケート$\lambda$はともに2点$F$,$F'$を焦点とし、互いに接している。これらの中心を$O$とし、$AF > AF'$,$BF > BF'$をみたす$\lambda$上の2点$A$,$B$をとると、四角形$OAF'B$はある円$\gamma$に内接した。$F'$から引いた$\gamma$の接線と$\epsilon$との2交点をそれぞれ$C$,$D$とする。$\angle CFD = 42^{\circ}$であるとき、$\angle AF'B$の大きさはいくらか。
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$\gamma$の中心を$E$とし、直線$CD$に関し$O$と対称な点を$O'$、点$F'$に関し$O'$と対称な点を$N$とする。直線$CD$は$\gamma$の接線であるから$N$は$\gamma$上に存在し、$OF' = x$とおけば、$\gamma$における$O'$からの方べきは$O'F' \cdot O'N = 2 x^{2}$と計算できる。したがって、$O'$を中心とする半径$\sqrt{2} x$の円$\delta$と$\gamma$との2交点をそれぞれ$A'$,$B'$（ただし$A'C \le B'C$）とすれば、2直線$O'A'$,$O'B'$はいずれも$\gamma$に接する。接弦定理より$\angle O'A'F' = \angle O'NA'$であり、このため$\triangle O'A'F' \sim \triangle O'NA'$を示せて$\frac{NA'}{A'F'} = \frac{O'A'}{O'F'} = \sqrt{2}$が判る。\\
$A'F' = y$,$\angle NOF' = \theta$とおけば、先程の計算から$NA' = \sqrt{2} y$となる。また$\cos \angle NA'F' = \cos ({180}^{\circ} - \angle NOF') = -\cos \theta$なので、余弦定理より$-\cos \theta = \frac{{NA'}^{2} + {A'F'}^{2} - {F'N'}^{2}}{2 \cdot NA' \cdot A'F'} = \frac{3 y^{2} - x^{2}}{2 \sqrt{2} y^{2}}$と計算できる。$OF' = O'F' = NF'$から$\angle O'ON = {90}^{\circ}$であること、および$\angle F'NO = \angle NOF'$を用いると、$\cos \theta = \frac{NO}{O'N} = \frac{NO}{2 x}$とも表せる。これら2式を連立し、$\frac{3 y^{2} - x^{2}}{2 \sqrt{2} y^{2}} + \frac{NO}{2 x} = 0 \Longleftrightarrow NO = \frac{x (x^{2} - 3 y^{2})}{\sqrt{2} y^{2}}$と求められる。四角形$NOF'A'$にトレミーの定理を用いると、$\frac{x (x^{2} - 3 y^{2})}{\sqrt{2} y^{2}} \cdot y + \sqrt{2} y \cdot x = x \cdot OA'$より$OA' = \frac{x^{2} - y^{2}}{\sqrt{2} y}$が判明するので、$\triangle A'FF'$に関する中線定理より${A'F}^{2} + y^{2} = 2 (x^{2} + (\frac{x^{2} - y^{2}}{\sqrt{2} y})^{2}) \Longleftrightarrow A'F = \frac{x^{2}}{y}$と導かれる。ここから$A'F \cdot A'F' = x^{2}$が成立するため、$A'$は$\lambda$上の点であり、結局$A$と$A'$は一致する。同様にして、$B$と$B'$の一致も示される。\\
加えて、2直線$O'A$,$CD$の交点を$C'$、2直線$O'B$,$CD$の交点を$D'$とおくと、$\gamma$が$\triangle O'C'D'$の傍接円であることから$C'A = C'F'$,$D'B = D'F'$が判明し、また$O$と$O'$は直線$CD$に関し対称なので$O'C' = OC'$,$O'D' = OD'$も従う。ここから$OC' + C'F' = O'C' + C'A = O'A = \sqrt{2} x$であり、同様に$OD' + D'F' = \sqrt{2} x$も成り立つので、2点$O$,$F'$からの距離の和が$\sqrt{2} x$である点の軌跡として描かれる楕円$\epsilon'$を設ければ、2点$C'$,$D'$は$\epsilon'$上に存在する。$\epsilon$と$\epsilon'$は$F'$を中心とした$2$倍拡大の関係にあるため、2点$C'$,$D'$はそれぞれ線分$CF'$,$DF'$の中点であるといえる。$\angle CFD = \angle C'OD' = \angle AO'B = {180}^{\circ} - 2 \angle O'AB = {180}^{\circ} - 2 \angle AOB = {180}^{\circ} - 2 ({180}^{\circ} - \angle AF'B) = 2 \angle AF'B - {180}^{\circ}$という計算過程を経て$\angle AF'B = \frac{\angle CFD + {180}^{\circ}}{2} = {111}^{\circ}$が算出され、求める角度は${111}^{\circ}$である。
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${111}^{\circ}$
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[
"2次曲線",
"レムニスケート"
] |
hard
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難易度：難
|
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\pgfplotsset{compat=1.15}
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\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.9cm,y=0.9cm]
\clip(-5,-5) rectangle (5,4);
\coordinate (A) at(2.89334,1.477461); \coordinate (B) at(1.028736,-0.924628);
\coordinate (C) at(3.647794,1.531926); \coordinate (D) at(1.859792,-2.696402);
\coordinate (E) at(3/2,0.634294); \coordinate (O) at(0,0);
\coordinate (F) at(-3,0); \coordinate (F') at(3,0);
\draw[line width=1.5pt,color=qqzzff,domain=-45:45,samples=360] plot (\x:{3*sqrt(2*cos(\x*2))});
\draw[line width=1.5pt,color=qqzzff,domain=135:225,samples=360] plot (\x:{3*sqrt(2*cos(\x*2))});
\draw [line width=1.5pt,color=ffzzcc] (O) circle[x radius=3*sqrt(2),y radius=3];
\draw [line width=1.5pt,color=qqccqq] (E) circle[radius=1.628597];
\draw [line width=1.2pt,color=black] (C)--(D);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=qqqqff,color=qqqqff]
(F) circle (2pt) (-3.3,0) node {$F$} (F') circle (2pt) (3.3,0.1) node {$F'$};
\draw [fill=black,color=black]
(A) circle (1pt) (2.9,1.8) node{$A$} (B) circle (1pt) (0.8,-1.1) node{$B$}
(C) circle (1pt) (3.9,1.6) node{$C$} (D) circle (1pt) (2,-2.9) node{$D$}
(O) circle (1pt) (-0.1,-0.3) node{$O$};
\draw [color=ffzzcc] (-3.5,2.5) node{\normalsize Ellipse};
\draw [color=qqzzff] (-1,-1.7) node{\normalsize Lemniscate};
\draw [color=black] (0,-4) node[fill=white]{\normalsize $\angle CFD = {42}^{\circ}$ $\Longrightarrow$ $\angle AF'B = \;?^{\circ}$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
\documentclass[11pt]{jsarticle}
\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
\usepackage{amsmath,amssymb,enumitem,pgfplots,mathrsfs}
\pgfplotsset{compat=1.15}
\usetikzlibrary{arrows}
\definecolor{ffxfqq}{rgb}{1,0.5,0}
\definecolor{ffqqff}{rgb}{1,0,1}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
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\definecolor{qqzzff}{rgb}{0,0.6,1}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.9cm,y=0.9cm]
\clip(-6,-5) rectangle (6,4);
\coordinate (A) at(2.89334,1.477461); \coordinate (B) at(1.028736,-0.924628);
\coordinate (C) at(3.647794,1.531926); \coordinate (C') at(3.323897,0.765963);
\coordinate (D) at(1.859792,-2.696402); \coordinate (D') at(2.429896,-1.348201);
\coordinate (E) at(3/2,0.634294); \coordinate (N) at(0.910133,2.152314);
\coordinate (F) at(-3,0); \coordinate (F') at(3,0);
\coordinate (O) at(0,0); \coordinate (O') at(5.089867,-2.152314);
\draw[line width=1.5pt,color=qqzzff,domain=-45:45,samples=360] plot (\x:{3*sqrt(2*cos(\x*2))});
\draw[line width=1.5pt,color=qqzzff,domain=135:225,samples=360] plot (\x:{3*sqrt(2*cos(\x*2))});
\draw [line width=1.5pt,color=ffzzcc] (O) circle[x radius=3*sqrt(2),y radius=3];
\draw [line width=1.5pt,color=qqccqq] (E) circle[radius=1.628597];
\draw [line width=1.2pt,color=black] (C)--(D);
\draw [line width=1.2pt,color=qqccqq] (A)--(O')--(B);
\draw [line width=1.2pt,color=black,dash pattern=on 2pt off 3pt] (C')--(O)--(D');
\draw [line width=1.2pt,color=xfqqff] (A)--(N)--(O)--cycle;
\draw [line width=1.2pt,color=qqzzff,dash pattern=on 2pt off 3pt] (F)--(A)--(F');
\draw [line width=1.2pt,color=qqqqff]
(F)--node[sloped]{\small $||$}(O)--node[sloped]{\small $||$}(F')
(O')--node[sloped]{\small $||$}(F')--node[sloped]{\small $||$}(N);
\draw [line width=1.2pt,color=qqccqq,dash pattern=on 2pt off 3pt] (O') circle[radius=3*sqrt(2)];
\draw [line width=1.5pt,color=ffzzcc,dash pattern=on 2pt off 3pt] (3/2,0) circle[x radius=3*sqrt(2)/2,y radius=3/2];
\begin{scriptsize}
\draw [fill=qqqqff,color=qqqqff]
(F) circle (2pt) (-3.3,0) node {$F$} (F') circle (2pt) (3.3,0.1) node {$F'$};
\draw [fill=black,color=black]
(A) circle (1pt) (2.9,1.8) node{$A$} (B) circle (1pt) (0.8,-1.1) node{$B$}
(C) circle (1pt) (3.9,1.6) node{$C$} (D) circle (1pt) (2,-2.9) node{$D$}
(O) circle (1pt) (-0.1,-0.3) node{$O$} (O') circle (1pt) (5.2,-2.4) node{$O'$}
(E) circle (1pt) (1.7,0.6) node{$E$} (N) circle (1pt) (0.8,2.4) node{$N$}
(C') circle (1pt) (3.6,0.9) node{$C'$} (D') circle (1pt) (2.3,-1) node{$D'$};
\draw [color=ffzzcc] (-3.5,2.5) node{\normalsize Ellipse};
\draw [color=qqzzff] (-1,-1.7) node{\normalsize Lemniscate};
\draw [color=black] (0,-4) node[fill=white]{\normalsize $\angle CFD = {42}^{\circ}$ $\Longrightarrow$ $\angle AF'B = \;?^{\circ}$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
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con-malinconia_0001
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con-malinconia
| 1 |
正三角形$ABC$の辺$BC$,$CA$,$AB$上にそれぞれ点$D$,$E$,$F$をとると、$AE = AF = 4$,$DE = 3$,$\angle EDF = {120}^{\circ}$が成立した。このとき、$BD$の長さはいくらか。
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$\triangle AEF$は一辺の長さが$4$の正三角形である。条件より四角形$AEDF$は円に内接するので、トレミーの定理より$AE \cdot DF + AF \cdot DE = AD \cdot EF \Longleftrightarrow AD - FD = 3$が判る。ここで$D$を内部に含むように正六角形$AFPQRS$を描けば、$\triangle AFD \equiv \triangle FPJ \equiv \triangle PQK \equiv \triangle QRL \equiv \triangle RSM \equiv \triangle SAN$をみたす5点$J$,$K$,$L$,$M$,$N$を、同じく正六角形$AFPQRS$の内部にとることができる。すると、3点の組$(A,N,D)$,$(F,D,J)$,$(P,J,K)$,$(Q,K,L)$,$(R,L,M)$,$(S,M,N)$はいずれもこの順で同一直線上に並び、かつ六角形$DJKLMN$は正六角形となる。したがって、正六角形$DJKLMN$の一辺の長さが$AD - AN = AD - FD = 3$であることを用いれば、$\frac{\triangle ADF}{\triangle AEF} = \frac{4^{2} - 3^{2}}{4^{2}} = \frac{7}{16}$と計算される。また、高さの比を考えると$\frac{\triangle ADF}{\triangle AEF} = \frac{BD}{FE} = \frac{BD}{4}$と表せるため、$\frac{7}{16} = \frac{BD}{4} \Longleftrightarrow BD = \frac{7}{4}$より、求める答えは$\frac{7}{4}$である。
|
$\frac{7}{4}$
|
[
"正多角形",
"面積"
] |
hard
|
難易度：中
|
\documentclass[11pt]{jsarticle}
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\definecolor{qqzzff}{rgb}{0,0.6,1}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.5cm,y=0.5cm]
\clip(-6,-5) rectangle (6,6);
\coordinate (A) at(0,4.930516); \coordinate (B) at (-5.156036,-4);
\coordinate (C) at (5.156036,-4); \coordinate (D) at (-1.656036,-4);
\coordinate (E) at (4,-1.99769); \coordinate (F) at (-4,-1.99769);
\fill[line width=0pt,color=qqccqq,fill=qqccqq,fill opacity=0.1] (A)--(B)--(C)--cycle;
\draw [shift=(D),line width=1.2pt,color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.1] (0,0)--(19.49465:0.7) arc (19.49465:139.49465:0.7)--cycle;
\draw [line width=1.5pt,color=qqqqff] (E)--(A)--(F); \draw [line width=1.5pt,color=ffqqff] (B)--(D);
\draw [line width=1.5pt,color=qqccqq] (F)--(B) (D)--(C)--(E);
\draw [line width=1.5pt,color=xfqqff] (D)--(E); \draw [line width=1.5pt,color=black] (D)--(F);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=black,color=black]
(A) circle(1pt) (0,5.4) node{$A$} (B) circle(1pt) (-5.5,-4.4) node{$B$}
(C) circle (1pt) (5.5,-4.4) node{$C$} (D) circle (1pt) (-1.656036,-4.4) node{$D$}
(E) circle (1pt) (4.3,-1.7) node{$E$} (F) circle (1pt) (-4.3,-1.7) node{$F$};
\draw[color=qqccqq] (0,-0.5) node{\normalsize Equilateral} (0,-1.3) node{\normalsize triangle};
\draw[color=qqqqff] (-2.4,1.8) node{$4$} (2.4,1.8) node{$4$} (-1.4,-2.8) node{${120}^{\circ}$};
\draw[color=xfqqff] (0.9,-2.6) node {$3$}; \draw[color=ffqqff] (-3.4,-4.4) node {?};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
\documentclass[11pt]{jsarticle}
\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
\usepackage{amsmath,amssymb,enumitem,pgfplots,mathrsfs}
\pgfplotsset{compat=1.15}
\usetikzlibrary{arrows}
\definecolor{ffxfqq}{rgb}{1,0.5,0}
\definecolor{ffqqff}{rgb}{1,0,1}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{xfqqff}{rgb}{0.5,0,1}
\definecolor{qqccqq}{rgb}{0,0.8,0}
\definecolor{ffzzcc}{rgb}{1,0.6,0.8}
\definecolor{qqzzff}{rgb}{0,0.6,1}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.5cm,y=0.5cm]
\clip(-6,-10) rectangle (14,6);
\coordinate (A) at (0,4.930516); \coordinate (B) at (-5.156036,-4);
\coordinate (C) at (5.156036,-4); \coordinate (D) at (-1.656036,-4);
\coordinate (E) at (4,-1.997687); \coordinate (F) at (-4,-1.997687);
\coordinate (P) at (0,-8.92589); \coordinate (Q) at (8,-8.92589);
\coordinate (R) at (12,-1.997687); \coordinate (S) at (8,4.930516);
\coordinate (J) at (2.906036,-7.897114); \coordinate (K) at (8.562072,-5.894801);
\coordinate (L) at (9.656036,0.004626); \coordinate (M) at (5.093964,3.90174);
\coordinate (N) at (-0.562072,1.899427);
\filldraw[line width=1.5pt,color=qqqqff,fill=xfqqff,fill opacity=0.06] (A)--(F)--(P)--(Q)--(R)--(S)--cycle;
\filldraw[line width=1.5pt,color=xfqqff,fill=white,fill opacity=1.0] (D)--(J)--(K)--(L)--(M)--(N)--cycle;
\fill[fill=qqccqq,fill opacity=0.1] (A)--(B)--(C)--cycle;
\draw [shift=(D),line width=1.2pt,color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.1] (0,0)--(19.49465:0.7) arc (19.49465:139.49465:0.7)--cycle;
\draw [line width=1.5pt,color=qqqqff] (E)--(A); \draw [line width=1.5pt,color=ffqqff] (B)--(D);
\draw [line width=1.5pt,color=qqccqq] (F)--(B) (D)--(C)--(E);
\draw [line width=1.5pt,color=xfqqff] (D)--(E); \draw [line width=1.5pt,color=black] (D)--(F);
\draw [line width=1.5pt,color=qqqqff,dash pattern=on 2pt off 3pt] (E)--(F);
\draw [line width=1.5pt,color=black,dash pattern=on 2pt off 3pt]
(A)--(N) (P)--(J) (Q)--(K) (R)--(L) (S)--(M);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=black,color=black]
(A) circle(1pt) (0,5.4) node{$A$} (B) circle(1pt) (-5.5,-4.4) node{$B$}
(C) circle (1pt) (5.5,-4.4) node{$C$} (D) circle (1pt) (-1.656036,-4.4) node{$D$}
(E) circle (1pt) (4.3,-1.7) node{$E$} (F) circle (1pt) (-4.3,-1.7) node{$F$}
(P) circle (1pt) (-0.3,-9.4) node{$P$} (Q) circle (1pt) (8.3,-9.4) node{$Q$}
(R) circle (1pt) (12.5,-2) node{$R$} (S) circle (1pt) (8.3,5.4) node{$S$}
(J) circle (1pt) (2.8,-8.3) node{$J$} (K) circle (1pt) (8.9,-6.1) node{$K$}
(L) circle (1pt) (10,0.2) node{$L$} (M) circle (1pt) (5.2,4.3) node{$M$}
(N) circle (1pt) (-0.9,2.1) node{$N$};
\draw[color=qqccqq] (0,-0.5) node{\normalsize Equilateral} (0,-1.3) node{\normalsize triangle};
\draw[color=qqqqff] (-2.4,1.8) node{$4$} (2.4,1.8) node{$4$} (-1.4,-2.8) node{${120}^{\circ}$};
\draw[color=xfqqff] (0.9,-2.6) node {$3$}; \draw[color=ffqqff] (-3.4,-4.4) node {?};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
||
con-malinconia_0002
|
con-malinconia
| 2 |
一辺の長さが$6$である正方形$PQRS$において、半直線$QP$,$PS$上にそれぞれ点$A$,$B$を、$QA = QB$となるようにとる。$\angle PAS = \angle ABS$が成立するとき、$\triangle ABS$の面積はいくらか。
|
$AP = 6 x$とおく。$\triangle APS$と$\triangle BPA$に注目すれば、2つの角がそれぞれ等しいのでこれらの三角形は相似である。ゆえに$\frac{SP}{AP} = \frac{AP}{BP}$となり、$SP = 6$より$BP = 6 x^{2}$を得る。いま、$\triangle PQB$で三平方の定理を用いると、$6^{2} + (6 x^{2})^{2} = (6 x + 6)^{2} \Longrightarrow x^{3} - x = 2$となる。したがって、$\triangle ABS = \frac{AP \cdot BS}{2} = \frac{6 x (6 x^{2} - 6)}{2} = 18 (x^{3} - x) = 36$より、本問の答えは$36$である。
|
$36$
|
[
"正多角形",
"相似"
] |
hard
|
難易度：やや易
|
\documentclass[11pt]{jsarticle}
\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
\usepackage{amsmath,amssymb,enumitem,pgfplots,mathrsfs}
\pgfplotsset{compat=1.15}
\usetikzlibrary{arrows}
\definecolor{ffxfqq}{rgb}{1,0.5,0}
\definecolor{ffqqff}{rgb}{1,0,1}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{xfqqff}{rgb}{0.5,0,1}
\definecolor{qqccqq}{rgb}{0,0.8,0}
\definecolor{ffzzcc}{rgb}{1,0.6,0.8}
\definecolor{qqzzff}{rgb}{0,0.6,1}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.6cm,y=0.6cm]
\clip(-5,-5) rectangle (5,5);
\coordinate (A) at (-4,4); \coordinate (B) at (3.343904,-0.827134);
\coordinate (P) at (-4,-0.827134); \coordinate (Q) at (-4,-4);
\coordinate (R) at (-0.827134,-4); \coordinate (S) at (-0.827134,-0.827134);
\filldraw[line width=1.5pt,color=qqzzff,fill=qqzzff,fill opacity=0.1] (P)--(Q)--(R)--(S)--cycle;
\filldraw[line width=1.5pt,color=ffzzcc,fill=ffzzcc,fill opacity=0.15] (A)--(S)--(B)--cycle;
\draw [line width=1.2pt,color=ffqqff,fill=ffqqff,fill opacity=0.25]
(A)+(0,0)-- +(-90:1) arc(-90:-56.683157:1)--cycle
(B)+(0,0)-- +(146.683157:1) arc(146.683157:180:1)--cycle;
\draw [line width=1.2pt,color=black] (R)--(4,-4) arc(0:90:8)--(P);
\draw [line width=1.2pt,color=ffqqff,fill=ffqqff]
(A)+(0.401332,-1.34124) circle (2pt) (B)+(-1.34124,0.401332) circle (2pt);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=black,color=black]
(P) circle (1pt) (-4.3,-0.827134) node{$P$} (Q) circle (1pt) (-4.3,-4.3) node{$Q$}
(R) circle (1pt) (-0.827134,-4.3) node{$R$} (S) circle (1pt) (-0.6,-1.1) node{$S$}
(A) circle (1pt) (-4.3,4.3) node{$A$} (B) circle (1pt) (3.7,-0.827134) node{$B$};
\draw[color=qqzzff] (-4.3,-2.413567) node{$6$} (-2.413567,-2.413567) node{\normalsize Square};
\draw[color=ffzzcc] (0,0.2) node {\normalsize Area = ?};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
\documentclass[11pt]{jsarticle}
\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
\usepackage{amsmath,amssymb,enumitem,pgfplots,mathrsfs}
\pgfplotsset{compat=1.15}
\usetikzlibrary{arrows}
\definecolor{ffxfqq}{rgb}{1,0.5,0}
\definecolor{ffqqff}{rgb}{1,0,1}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{xfqqff}{rgb}{0.5,0,1}
\definecolor{qqccqq}{rgb}{0,0.8,0}
\definecolor{ffzzcc}{rgb}{1,0.6,0.8}
\definecolor{qqzzff}{rgb}{0,0.6,1}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.6cm,y=0.6cm]
\clip(-5,-5) rectangle (5,5);
\coordinate (A) at (-4,4); \coordinate (B) at (3.343904,-0.827134);
\coordinate (P) at (-4,-0.827134); \coordinate (Q) at (-4,-4);
\coordinate (R) at (-0.827134,-4); \coordinate (S) at (-0.827134,-0.827134);
\filldraw[line width=1.5pt,color=qqzzff,fill=qqzzff,fill opacity=0.1] (P)--(Q)--(R)--(S)--cycle;
\filldraw[line width=1.5pt,color=ffzzcc,fill=ffzzcc,fill opacity=0.15] (A)--(S)--(B)--cycle;
\draw [line width=1.2pt,color=ffqqff,fill=ffqqff,fill opacity=0.25]
(A)+(0,0)-- +(-90:1) arc(-90:-56.683157:1)--cycle
(B)+(0,0)-- +(146.683157:1) arc(146.683157:180:1)--cycle;
\draw [line width=1.2pt,color=black] (R)--(4,-4) arc(0:90:8)--(P);
\draw [line width=1.2pt,color=xfqqff,dash pattern=on 2pt off 3pt] (B)--(Q);
\draw [line width=1.2pt,color=ffqqff,fill=ffqqff]
(A)+(0.401332,-1.34124) circle (2pt) (B)+(-1.34124,0.401332) circle (2pt);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=black,color=black]
(P) circle (1pt) (-4.3,-0.827134) node{$P$} (Q) circle (1pt) (-4.3,-4.3) node{$Q$}
(R) circle (1pt) (-0.827134,-4.3) node{$R$} (S) circle (1pt) (-0.6,-1.1) node{$S$}
(A) circle (1pt) (-4.3,4.3) node{$A$} (B) circle (1pt) (3.7,-0.827134) node{$B$};
\draw[color=qqzzff] (-4.3,-2.413567) node{$6$} (-2.413567,-2.413567) node{\normalsize Square};
\draw[color=xfqqff] (-4.35,1.586433) node{$6 x$} (1.258385,-1.15) node{$6 x^{2} - 6$};
\draw[color=ffzzcc] (0,0.2) node {\normalsize Area = ?};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
||
con-malinconia_0003
|
con-malinconia
| 3 |
$\triangle ABC$は$\angle ABC = \angle ACB = {38}^{\circ}$の二等辺三角形である。辺$AC$上に点$D$をとり、直線$AC$について$B$と反対側に$AC = CE = DE$をみたす点$E$をとると、$\angle CED ={38}^{\circ}$が成立した。$\triangle BCE$の外接円と直線$BA$が再び交わる点を$F$としたとき、$\angle AFD$の大きさはいくらか。
|
$CE = DE$より、$\angle ECD = \angle EDC = {71}^{\circ}$である。ゆえに、$\angle AFE = {180}^{\circ} - \angle BCE = {180}^{\circ} - \angle ECD - \angle ACB = {71}^{\circ}$と計算できるので、四角形$ADEF$は円に内接する。$CA = CE$より、$\angle CAE = \angle CEA = {54.5}^{\circ}$であるから、円周角の定理を用いれば$\angle AFD = \angle AED = \angle CEA - \angle CED = {16.5}^{\circ}$が判り、求める答えは${16.5}^{\circ}$である。
|
${16.5}^{\circ}$
|
[
"二等辺三角形",
"角度追跡"
] |
hard
|
難易度：やや易
|
\documentclass[11pt]{jsarticle}
\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
\usepackage{amsmath,amssymb,enumitem,pgfplots,mathrsfs}
\pgfplotsset{compat=1.15}
\usetikzlibrary{arrows}
\definecolor{ffxfqq}{rgb}{1,0.5,0}
\definecolor{ffqqff}{rgb}{1,0,1}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{xfqqff}{rgb}{0.5,0,1}
\definecolor{qqccqq}{rgb}{0,0.8,0}
\definecolor{ffzzcc}{rgb}{1,0.6,0.8}
\definecolor{qqzzff}{rgb}{0,0.6,1}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.7cm,y=0.7cm]
\clip(-4.9,-2.6) rectangle (4.9,3);
\coordinate (A) at (0.407978,-1.5); \coordinate (B) at (4,-1.5);
\coordinate (C) at (-0.461011,1.985324); \coordinate (D) at (0.104819,-0.284097);
\coordinate (E) at (-3.473534,0.0289682); \coordinate (F) at (-4,-1.5);
\fill[line width=0pt,color=qqzzff,fill=qqzzff,fill opacity=0.1] (A)--(B)--(C)--(E)--(D)--cycle;
\draw [line width=1.2pt,color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.2]
(B)+(0,0)-- +(142:0.8) arc(142:180:0.8)--cycle
(C)+(0,0)-- +(-76:0.8) arc(-76:-38:0.8)--cycle
(E)+(0,0)-- +(-5:0.8) arc(-5:33:0.8)--cycle;
\draw [line width=1.2pt,color=ffqqff,fill=ffqqff,fill opacity=0.2]
(F)+(0,0)-- +(0:1.1) arc(0:16.5:1.1)--cycle;
\draw [line width=1.2pt,color=ffqqff] (F)+(0,0)-- +(0:0.99) arc(0:16.5:0.99)--cycle;
\draw [line width=1.5pt,color=qqqqff] (B)--node[sloped]{\small $||$}(A)--node[sloped]{\small $||$}(C)--node[sloped]{\small $||$}(E)--node[sloped]{\small $||$}(D);
\draw [line width=1.5pt,color=qqzzff] (B)--(C);
\draw [line width=1.2pt,dash pattern=on 2pt off 3pt,color=ffqqff] (A)--(F)--(D);
\draw [line width=1.2pt,dash pattern=on 4pt off 4pt] (0,-2.022188) circle[radius=4.033941];
\begin{scriptsize}
\draw [fill=black,color=black]
(A) circle (1pt) (0.4,-1.8) node{$A$} (B) circle (1pt) (4.3,-1.5) node{$B$}
(C) circle (1pt) (-0.5,2.3) node{$C$} (D) circle (1pt) (0.4,-0.2) node{$D$}
(E) circle (1pt) (-3.8,0.2) node{$E$} (F) circle (1pt) (-4.3,-1.5) node{$F$};
\draw[color=ffqqff] (-2.4,-1.3) node {$?^{\circ}$};
\draw[color=qqqqff] (-2.2,0.3) node {$38^{\circ}$} (0.2,1) node {$38^{\circ}$} (2.8,-1.1) node {$38^{\circ}$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
\documentclass[11pt]{jsarticle}
\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
\usepackage{amsmath,amssymb,enumitem,pgfplots,mathrsfs}
\pgfplotsset{compat=1.15}
\usetikzlibrary{arrows}
\definecolor{ffxfqq}{rgb}{1,0.5,0}
\definecolor{ffqqff}{rgb}{1,0,1}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{xfqqff}{rgb}{0.5,0,1}
\definecolor{qqccqq}{rgb}{0,0.8,0}
\definecolor{ffzzcc}{rgb}{1,0.6,0.8}
\definecolor{qqzzff}{rgb}{0,0.6,1}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.7cm,y=0.7cm]
\clip(-4.9,-2.6) rectangle (4.9,3);
\coordinate (A) at (0.407978,-1.5); \coordinate (B) at (4,-1.5);
\coordinate (C) at (-0.461011,1.985324); \coordinate (D) at (0.104819,-0.284097);
\coordinate (E) at (-3.473534,0.0289682); \coordinate (F) at (-4,-1.5);
\fill[line width=0pt,color=qqzzff,fill=qqzzff,fill opacity=0.1] (A)--(B)--(C)--(E)--(D)--cycle;
\draw [line width=1.2pt,color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.2]
(B)+(0,0)-- +(142:0.8) arc(142:180:0.8)--cycle
(C)+(0,0)-- +(-76:0.8) arc(-76:-38:0.8)--cycle
(E)+(0,0)-- +(-5:0.8) arc(-5:33:0.8)--cycle;
\draw [line width=1.2pt,color=ffqqff,fill=ffqqff,fill opacity=0.2]
(F)+(0,0)-- +(0:1.1) arc(0:16.5:1.1)--cycle;
\draw [line width=1.2pt,color=ffqqff] (F)+(0,0)-- +(0:0.99) arc(0:16.5:0.99)--cycle;
\draw [line width=1.5pt,color=qqqqff] (B)--node[sloped]{\small $||$}(A)--node[sloped]{\small $||$}(C)--node[sloped]{\small $||$}(E)--node[sloped]{\small $||$}(D);
\draw [line width=1.5pt,color=qqzzff] (B)--(C);
\draw [line width=1.2pt,dash pattern=on 2pt off 3pt,color=ffqqff] (A)--(F)--(D);
\draw [line width=1.2pt,dash pattern=on 4pt off 4pt] (0,-2.022188) circle[radius=4.033941];
\draw [line width=1.2pt,color=xfqqff] (A)--(E)--(F) (-1.796011,-1.403772) circle[radius=2.206089];
\begin{scriptsize}
\draw [fill=black,color=black]
(A) circle (1pt) (0.6,-1.8) node{$A$} (B) circle (1pt) (4.3,-1.5) node{$B$}
(C) circle (1pt) (-0.5,2.3) node{$C$} (D) circle (1pt) (0.4,-0.2) node{$D$}
(E) circle (1pt) (-3.8,0.2) node{$E$} (F) circle (1pt) (-4.3,-1.5) node{$F$};
\draw[color=ffqqff] (-2.4,-1.3) node {$?^{\circ}$};
\draw[color=qqqqff] (-2.2,0.3) node {$38^{\circ}$} (0.2,1) node {$38^{\circ}$} (2.8,-1.1) node {$38^{\circ}$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
||
con-malinconia_0004
|
con-malinconia
| 4 |
立方体$ABCD-EFGH$において、線分$DF$を$2 : 1$に内分する点$P$をとったとき、$\angle CPH$の大きさはいくらか。
|
$AD = CD = HD$および$AF = CF = HF$が明らかに成り立つため、平面$ACH$と直線$DF$は直交する。また、直線$AC$,$BD$の交点を$M$、直線$DF$,$MH$の交点を$N$とすれば、$N$は平面$ACH$と直線$DF$の交点である。いま、$M$は平面$BFHD$上に存在するので、$DM \parallel FH$より$\triangle DMN \sim \triangle FHN$が判る。ここから$DN : NF = 1 : 2$となり、$D$と$P$は平面$ACH$に関し対称な点であるといえる。したがって、三角錐$P-ACH$,$D-ACH$の合同が判明し、$\angle CPH = \angle CDH = {90}^{\circ}$と求められ、本問の答えは${90}^{\circ}$である。
|
${90}^{\circ}$
|
[
"算数",
"立方体"
] |
hard
|
難易度：易
|
\documentclass[11pt]{jsarticle}
\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
\usepackage{amsmath,amssymb,enumitem,pgfplots,mathrsfs}
\pgfplotsset{compat=1.15}
\usetikzlibrary{arrows}
\definecolor{ffxfqq}{rgb}{1,0.5,0}
\definecolor{ffqqff}{rgb}{1,0,1}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{xfqqff}{rgb}{0.5,0,1}
\definecolor{qqccqq}{rgb}{0,0.8,0}
\definecolor{ffzzcc}{rgb}{1,0.6,0.8}
\definecolor{qqzzff}{rgb}{0,0.6,1}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.6cm,y=0.6cm]
\clip(-5,-5) rectangle (5,5);
\coordinate (A) at (-4,3.5); \coordinate (B) at (-1.5,2);
\coordinate (C) at (4,2.5); \coordinate (D) at (1.5,4);
\coordinate (E) at (-4,-2.5); \coordinate (F) at (-1.5,-4);
\coordinate (G) at (4,-3.5); \coordinate (H) at (1.5,-2);
\coordinate (P) at (-0.5,-4/3);
\draw [line width=1.2pt,color=ffqqff,fill=ffqqff,fill opacity=0.1]
(P)+(0,0)-- +(-18.434949:0.7) arc(-18.434949:40.426079:0.7)--cycle;
\draw [line width=1.2pt,color=ffqqff] (P)+(-18.434949:0.59) arc(-18.434949:40.426079:0.59);
\draw [line width=1.5pt,color=black]
(A)--(E)--(F)--(G)--(C)--(D)--cycle (B)--(A) (B)--(C) (B)--(F);
\draw [line width=1.5pt,color=black,dash pattern=on 4pt off 4pt] (H)--(D) (H)--(E) (H)--(G);
\draw [line width=1.5pt,color=qqqqff] (D)--(F);
\draw [line width=1.2pt,color=ffqqff,dash pattern=on 2pt off 3pt] (C)--(P)--(H);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=black,color=black]
(A) circle (1pt) (-4.3,3.8) node{$A$} (B) circle (1pt) (-1.5,2.4) node{$B$}
(C) circle (1pt) (4.3,2.8) node{$C$} (D) circle (1pt) (1.5,4.4) node{$D$}
(E) circle (1pt) (-4.3,-2.8) node{$E$} (F) circle (1pt) (-1.5,-4.4) node{$F$}
(G) circle (1pt) (4.3,-3.8) node{$G$} (H) circle (1pt) (1.5,-2.4) node{$H$}
(P) circle (1pt) (-0.9,-1.2) node{$P$};
\draw[color=ffqqff] (0.6,-1.1) node {$?^{\circ}$};
\draw[color=qqqqff] (0.1,1.6) node {$2 x$} (-0.7,-2.7) node {$x$};
\draw[color=black] (1.4,-4.2) node {\normalsize Cube};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
\documentclass[11pt]{jsarticle}
\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
\usepackage{amsmath,amssymb,enumitem,pgfplots,mathrsfs}
\pgfplotsset{compat=1.15}
\usetikzlibrary{arrows}
\definecolor{ffxfqq}{rgb}{1,0.5,0}
\definecolor{ffqqff}{rgb}{1,0,1}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{xfqqff}{rgb}{0.5,0,1}
\definecolor{qqccqq}{rgb}{0,0.8,0}
\definecolor{ffzzcc}{rgb}{1,0.6,0.8}
\definecolor{qqzzff}{rgb}{0,0.6,1}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.6cm,y=0.6cm]
\clip(-5,-5) rectangle (5,5);
\coordinate (A) at (-4,3.5); \coordinate (B) at (-1.5,2);
\coordinate (C) at (4,2.5); \coordinate (D) at (1.5,4);
\coordinate (E) at (-4,-2.5); \coordinate (F) at (-1.5,-4);
\coordinate (G) at (4,-3.5); \coordinate (H) at (1.5,-2); \coordinate (M) at (0,3);
\coordinate (P) at (-0.5,-4/3); \coordinate (N) at (0.5,4/3);
\filldraw [line width=1.2pt,color=qqccqq,fill=qqccqq,fill opacity=0.15] (A)--(H)--(M)--cycle;
\fill [line width=0pt,fill=qqzzff,fill opacity=0.15] (B)--(F)--(H)--(D)--cycle;
\filldraw [line width=1.2pt,color=qqccqq,fill=qqccqq,fill opacity=0.15] (C)--(H)--(M)--cycle;
\draw [line width=1.2pt,color=ffqqff,fill=ffqqff,fill opacity=0.1]
(P)+(0,0)-- +(-18.434949:0.7) arc(-18.434949:40.426079:0.7)--cycle;
\draw [line width=1.2pt,color=ffqqff] (P)+(-18.434949:0.59) arc(-18.434949:40.426079:0.59);
\draw [line width=1.5pt,color=black]
(A)--(E)--(F)--(G)--(C)--(D)--cycle (B)--(A) (B)--(C) (B)--(F);
\draw [line width=1.5pt,color=black,dash pattern=on 4pt off 4pt] (H)--(D) (H)--(E) (H)--(G);
\draw [line width=1.5pt,color=qqqqff] (D)--(P) (F)--(P);
\draw [line width=1.2pt,color=ffqqff,dash pattern=on 2pt off 3pt] (A)--(P) (C)--(P) (H)--(P);
\draw [line width=1.5pt,color=qqqqff] (D)--(F); \draw [line width=1.2pt,color=qqzzff] (B)--(D) (F)--(H);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=black,color=black]
(A) circle (1pt) (-4.3,3.8) node{$A$} (B) circle (1pt) (-1.5,2.4) node{$B$}
(C) circle (1pt) (4.3,2.8) node{$C$} (D) circle (1pt) (1.5,4.4) node{$D$}
(E) circle (1pt) (-4.3,-2.8) node{$E$} (F) circle (1pt) (-1.5,-4.4) node{$F$}
(G) circle (1pt) (4.3,-3.8) node{$G$} (H) circle (1pt) (1.5,-2.4) node{$H$}
(P) circle (1pt) (-0.9,-1.2) node{$P$} (M) circle (1pt) (0,3.4) node{$M$}
(N) circle (1pt) (0.1,1.4) node{$N$};
\draw[color=ffqqff] (0.6,-1.1) node {$?^{\circ}$};
\draw[color=qqqqff] (-0.2,0.2) node{$x$} (0.7,2.6)node {$x$} (-0.7,-2.7) node{$x$};
\draw[color=black] (1.4,-4.2) node {\normalsize Cube};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
||
con-malinconia_0005
|
con-malinconia
| 5 |
四角形$ABCD$は$\angle ADB = {60}^{\circ}$, $\angle CBD = {30}^{\circ}$, $BC = BD$をみたし、その面積は$10$である。辺$AB$, $CD$の中点をそれぞれ$M$, $N$としたとき、線分$MN$の長さはいくらか。
|
$N$について$B$と対称な点を$P$とし、線分$DP$上に$DQ = 3$となる点$Q$をとる。また、$A$から引いた$BQ$の垂線と$P$から引いた$BQ$の平行線との交点を$R$とし、$N$について$M$と対称な点を$S$とする。このとき、$AD = QD = 3$, $DP = DB$, $\angle ADP = \angle QDB = {150}^{\circ}$より$\triangle ADP \equiv \triangle QDB$が成り立つので、$PA = BQ$である。加えて$\angle APR = {30}^{\circ}$も従うので、$\triangle APR$に注目すれば$\frac{AP}{AR} = 2$が成立する。いま、$\triangle ADQ = \frac{3 \times 3 \times \sin {150}^{\circ}}{2} = \frac{9}{4}$であり、$BD \parallel CP$であるから、$({\rm Area\;} ABPQ) = ({\rm Area\;} ABCD)+\triangle ADQ = \frac{49}{4}$となる。さらに$BQ \perp AR$より、$({\rm Area\;} ABPQ) = \frac{AR \times BQ}{2} = \frac{{AP}^{2}}{4}$と表せるため、$AP > 0$を用いて$AP = 7$と求められる。$M$, $N$はそれぞれ線分$AB$, $PB$の中点であるから、結局$MN = \frac{7}{2}$と計算され、求める値は$\frac{7}{2}$である。
|
$\frac{7}{2}$
|
[
"算数",
"対角線"
] |
hard
|
難易度：中
|
\documentclass[11pt]{jsarticle}
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\pgfplotsset{compat=1.15}
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\definecolor{ffxfqq}{rgb}{1,0.5,0}
\definecolor{ffqqff}{rgb}{1,0,1}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{xfqqff}{rgb}{0.5,0,1}
\definecolor{qqccqq}{rgb}{0,0.8,0}
\definecolor{ffzzcc}{rgb}{1,0.6,0.8}
\definecolor{qqzzff}{rgb}{0,0.6,1}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\clip(-3.0,-3.8) rectangle (3.0,2.2);
\coordinate (A) at (-1.046377,1.5); \coordinate (B) at (-2.119660,-2.119660);
\coordinate (C) at (2.119660,-2.119660); \coordinate (D) at (1.551699,0);
\coordinate (M) at (-1.583019,-0.309830); \coordinate (N) at (1.835680,-1.0598302);
\fill[line width=0pt,color=xfqqff,fill=xfqqff,fill opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
\draw [shift=(B),line width=1.2pt,color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.1] (0,0)--(0:0.5) arc (0:30:0.5)--cycle;
\draw [shift=(D),line width=1.2pt,color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.1] (0,0)--(150:0.5) arc (150:210:0.5)--cycle;
\draw [line width=1.5pt,color=qqzzff] (A)--node[sloped]{\small $||$}(M)--node[sloped]{\small $||$}(B);
\draw [line width=1.5pt,color=qqccqq] (C)--node[sloped]{\small $|$}(N)--node[sloped]{\small $|$}(D);
\draw [line width=1.2pt,color=xfqqff] (A)--(D) (B)--(C);
\draw [line width=1.2pt,dash pattern=on 2pt off 3pt,color=xfqqff] (B)--(D);
\draw [line width=1.5pt,color=ffqqff] (M)--(N);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=black,color=black]
(A) circle (1pt) (-1.2,1.7) node {$A$}
(B) circle (1pt) (-2.3,-2.3) node {$B$}
(C) circle (1pt) (2.3,-2.3) node {$C$}
(D) circle (1pt) (1.7,0.2) node {$D$}
(M) circle (1pt) (-1.8,-0.2) node {$M$}
(N) circle (1pt) (2.1,-1.0) node {$N$};
\draw [color=qqqqff] (-1.2,-1.9) node{${30}^{\circ}$} (0.7,0) node{${60}^{\circ}$};
\draw [color=black] (0,-2.8) node{\normalsize $AD = 3$, $({\rm Area\;} ABCD) = 10$} (0,-3.3) node{\normalsize $\Longrightarrow$ $MN = \;?$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
\documentclass[11pt]{jsarticle}
\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
\usepackage{amsmath,amssymb,enumitem,pgfplots,mathrsfs}
\pgfplotsset{compat=1.15}
\usetikzlibrary{arrows}
\definecolor{ffxfqq}{rgb}{1,0.5,0}
\definecolor{ffqqff}{rgb}{1,0,1}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{xfqqff}{rgb}{0.5,0,1}
\definecolor{qqccqq}{rgb}{0,0.8,0}
\definecolor{ffzzcc}{rgb}{1,0.6,0.8}
\definecolor{qqzzff}{rgb}{0,0.6,1}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\clip(-2.9,-3.5) rectangle (6.7,2.3);
\coordinate (A) at (-1.046377,1.5); \coordinate (B) at (-2.119660,-2.119660);
\coordinate (C) at (2.119660,-2.119660); \coordinate (D) at (1.551699,0);
\coordinate (M) at (-1.583019,-0.309830); \coordinate (N) at (1.835680,-1.0598302);
\coordinate (P) at (5.791020,0); \coordinate (Q) at (4.551699,0);
\coordinate (R) at (0.0134532,-1.835680); \coordinate (S) at (5.254378,-1.809830);
\fill[line width=0pt,color=xfqqff,fill=xfqqff,fill opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
\fill[line width=0pt,color=ffzzcc,fill=ffzzcc,fill opacity=0.2] (A)--(P)--(R)--cycle;
\draw [line width=1.5pt,color=qqzzff] (A)--node[sloped]{\small $||$}(M)--node[sloped]{\small $||$}(B) (P)--node[sloped]{\small $||$}(S);
\draw [line width=1.5pt,color=qqccqq] (C)--node[sloped]{\small $|$}(N)--node[sloped]{\small $|$}(D);
\draw [line width=1.2pt,color=xfqqff] (A)--(D)--(P) (B)--(C);
\draw [line width=1.2pt,dash pattern=on 2pt off 3pt,color=xfqqff] (B)--(D);
\draw [line width=1.5pt,color=ffqqff] (M)--(N)--(S);
\draw [line width=1.2pt,color=black] (A)--(R)--(P) (A)--(Q)--(B)--(P)--cycle;
\draw [line width=0.6pt,color=black] (N)--++(0.2,0.6) (Q)--++(0.2,0.6);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=black,color=black]
(A) circle (1pt) (-1.2,1.7) node {$A$}
(B) circle (1pt) (-2.3,-2.3) node {$B$}
(C) circle (1pt) (2.3,-2.3) node {$C$}
(D) circle (1pt) (1.7,0.2) node {$D$}
(M) circle (1pt) (-1.8,-0.2) node {$M$}
(N) circle (1pt) (2.1,-0.3) node {$N$}
(P) circle (1pt) (6,0.1) node {$P$}
(Q) circle (1pt) (4.8,0.8) node {$Q$}
(R) circle (1pt) (-0.2,-1.9) node {$R$}
(S) circle (1pt) (5.3,-2) node {$S$};
\draw [color=black] (1.9,-3) node{\normalsize $AD = 3$, ${\rm Area\;} ABCD = 10$ $\Longrightarrow$ $MN = \;?$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
||
con-malinconia_0006
|
con-malinconia
| 6 |
正五角形$ABCDE$の外部に$\angle DFE={48}^{\circ},$$\angle AEF={144}^{\circ}$となる点$F$をとる。線分$BC$上に$BK=KL=LC$となる点$K,L$ $(\neq B,C)$を、線分$DF$上に$DM=MN=NF$となる点$M,N$ $(\neq D,F)$をそれぞれとり、$DE$と$KM$の交点を$G$とする。このとき、$\angle EGK$の大きさはいくらか。
|
半直線$CD$上の無限遠点を$P$とし、$\angle PBS = {12}^{\circ}$をみたす線分$KN$上の点$S$、$\angle TBD = {12}^{\circ}$,$\angle TDB = {48}^{\circ}$をみたす$\angle BDP$内の点$T$をとる。$BE \parallel CD$より、2直線$BE$,$BP$は重なるとみなせる。よって、3直線$BD$,$CD$,$EB$は$\triangle PBD$の3辺をそれぞれ含むとみなせるため、$\triangle PBD$でフランク・モーリーの定理を用いることができる。三角形のある頂点が無限遠にあるとき、その頂点から引いた内角の三等分線は、その頂点が属する平行な2辺をちょうど三等分する平行線になるので、$\triangle PBD$のモーリーの三角形は$\triangle MST$に一致する。直線$BS$,$DM$の交点を$U$とすれば、$\triangle UBD$の内心は$T$である。このため$\angle MUT = \angle SUT = {30}^{\circ}$となり、中心が$M$で半径$MS$の円において弧$ST$に対する円周角を考えると、$\triangle MSU$も正三角形になるといえる。よって$BS \parallel TM$であり、また$\angle CBS = {60}^{\circ}$から$BC \parallel SM$も従う。ゆえに、四角形$KLMS$は平行四辺形と判り、$BK = KL$より四角形$BKMS$も平行四辺形である。この事実より$BS \parallel KM$が導かれ、$\angle EGK = {180}^{\circ} - \angle SBE - \angle BED = {96}^{\circ}$と結論づけられるので、本問の答えは${96}^{\circ}$である。
|
${96}^{\circ}$
|
[
"正多角形",
"フランクモーリーの定理"
] |
hard
|
難易度：やや難
|
\documentclass[11pt]{jsarticle}
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\usepackage{amsmath,amssymb,enumitem,pgfplots,mathrsfs}
\pgfplotsset{compat=1.15}
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\definecolor{ffxfqq}{rgb}{1,0.5,0}
\definecolor{ffqqff}{rgb}{1,0,1}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{xfqqff}{rgb}{0.5,0,1}
\definecolor{qqccqq}{rgb}{0,0.8,0}
\definecolor{ffzzcc}{rgb}{1,0.6,0.8}
\definecolor{qqzzff}{rgb}{0,0.6,1}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.6cm,y=0.6cm]
\clip(-6,-5.5) rectangle (9,6.5);
\coordinate (A) at (0,5); \coordinate (B) at (-4.755283,1.545085);
\coordinate (C) at (-2.938926,-4.045085); \coordinate (D) at (2.938926,-4.045085);
\coordinate (E) at (4.755283,1.545085); \coordinate (F) at (7.972338,1.545085);
\coordinate (G) at (3.613655,-1.968485); \coordinate (K) at (-4.149830,-0.318305);
\coordinate (L) at (-3.544378,-2.181695); \coordinate (M) at (4.616730,-2.181695);
\coordinate (N) at (6.294534,-0.318305);
\draw [line width=1.5pt,color=qqccqq,fill=qqccqq,fill opacity=0.1] (A)--(B)--(C)--(D)--(E)--cycle;
\draw [line width=0pt,color=qqccqq] (B)--node[sloped]{\small $|$}(K)--node[sloped]{\small $|$}(L)--node[sloped]{\small $|$}(C);
\draw [shift={(E)},line width=1.2pt,color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.2] (0,0)--(0:0.8) arc (0:144:0.8)--cycle;
\draw [shift={(F)},line width=1.2pt,color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.2] (0,0)--(180:0.8) arc (180:228:0.8)--cycle;
\draw [shift={(G)},line width=1.2pt,color=ffqqff,fill=ffqqff,fill opacity=0.2] (0,0)--(72:0.8) arc (72:168:0.8)--cycle (72:0.69) arc (72:168:0.69);
\draw [line width=1.2pt,color=qqzzff] (D)--node[sloped]{\small $||$}(M)--node[sloped]{\small $||$}(N)--node[sloped]{\small $||$}(F)--(E);
\draw [line width=1.2pt,dash pattern=on 2pt off 3pt,color=ffqqff] (K)--(M);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=black,color=black]
(A) circle (1pt) (0,5.4) node {$A$} (B) circle (1pt) (-5.1,1.7) node {$B$}
(C) circle (1pt) (-3.2,-4.4) node {$C$} (D) circle (1pt) (3.2,-4.4) node {$D$}
(E) circle (1pt) (5,1.2) node {$E$} (F) circle (1pt) (8.1,1.9) node {$F$}
(K) circle (1pt) (-4.5,-0.4) node {$K$} (L) circle (1pt) (-3.9,-2.2) node {$L$}
(M) circle (1pt) (4.9,-2.4) node {$M$} (N) circle (1pt) (6.5,-0.6) node {$N$}
(G) circle (1pt) (4,-1.7) node {$G$};
\draw[color=qqqqff] (5.3,2.7) node {${144}^{\circ}$} (6.7,1.1) node {${48}^{\circ}$};
\draw[color=ffqqff] (3.1,-0.9) node {${?}^{\circ}$};
\draw[color=qqccqq] (0,0.3) node{\normalsize Regular} (0,-0.3) node{\normalsize pentagon};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
\documentclass[11pt]{jsarticle}
\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
\usepackage{amsmath,amssymb,enumitem,pgfplots,mathrsfs}
\pgfplotsset{compat=1.15}
\usetikzlibrary{arrows}
\definecolor{ffxfqq}{rgb}{1,0.5,0}
\definecolor{ffqqff}{rgb}{1,0,1}
\definecolor{qqqqff}{rgb}{0,0,1}
\definecolor{xfqqff}{rgb}{0.5,0,1}
\definecolor{qqccqq}{rgb}{0,0.8,0}
\definecolor{ffzzcc}{rgb}{1,0.6,0.8}
\definecolor{qqzzff}{rgb}{0,0.6,1}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.6cm,y=0.6cm]
\clip(-6,-5.5) rectangle (9,6.5);
\coordinate (A) at (0,5); \coordinate (B) at (-4.755283,1.545085);
\coordinate (C) at (-2.938926,-4.045085); \coordinate (D) at (2.938926,-4.045085);
\coordinate (E) at (4.755283,1.545085); \coordinate (F) at (7.972338,1.545085);
\coordinate (G) at (3.613655,-1.968485); \coordinate (K) at (-4.149830,-0.318305);
\coordinate (L) at (-3.544378,-2.181695); \coordinate (M) at (4.616730,-2.181695);
\coordinate (N) at (6.294534,-0.318305); \coordinate (S) at (4.011278,-0.318305);
\coordinate (T) at (2.700261,-1.774337); \coordinate (U) at (5.927747,-0.725663);
\coordinate (Bp) at (99,1.545085); \coordinate (Kp) at (99,-0.318305);
\coordinate (Lp) at (99,-2.181695); \coordinate (Cp) at (99,-4.045085);
\draw [line width=1.5pt,color=qqccqq,fill=qqccqq,fill opacity=0.1] (A)--(B)--(C)--(D)--(E)--cycle;
\draw [line width=0pt,color=qqccqq] (B)--node[sloped]{\small $|$}(K)--node[sloped]{\small $|$}(L)--node[sloped]{\small $|$}(C);
\draw [shift={(E)},line width=1.2pt,color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.2] (0,0)--(0:0.8) arc (0:144:0.8)--cycle;
\draw [shift={(F)},line width=1.2pt,color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.2] (0,0)--(180:0.8) arc (180:228:0.8)--cycle;
\draw [shift={(G)},line width=1.2pt,color=ffqqff,fill=ffqqff,fill opacity=0.2] (0,0)--(72:0.8) arc (72:168:0.8)--cycle (72:0.69) arc (72:168:0.69);
\draw [line width=1.2pt,color=qqzzff] (D)--node[sloped]{\small $||$}(M)--node[sloped]{\small $||$}(N)--node[sloped]{\small $||$}(F)--(E);
\draw [line width=1.2pt,dash pattern=on 2pt off 3pt,color=ffqqff] (K)--(M);
\draw [line width=1.2pt,color=qqqqff] (Bp)--(B)--(D)--(Cp);
\draw [line width=1.2pt,dash pattern=on 2pt off 3pt,color=qqqqff] (K)--(Kp) (L)--(Lp) (M)--(S)--(T) (U)--(B)--(T)--(D);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=black,color=black]
(A) circle (1pt) (0,5.4) node {$A$} (B) circle (1pt) (-5.1,1.7) node {$B$}
(C) circle (1pt) (-3.2,-4.4) node {$C$} (D) circle (1pt) (3.2,-4.4) node {$D$}
(E) circle (1pt) (5,1.2) node {$E$} (F) circle (1pt) (8.1,1.9) node {$F$}
(K) circle (1pt) (-4.5,-0.4) node {$K$} (L) circle (1pt) (-3.9,-2.2) node {$L$}
(M) circle (1pt) (4.9,-2.5) node {$M$} (N) circle (1pt) (6.1,0) node {$N$}
(G) circle (1pt) (4,-1.7) node {$G$} (S) circle (1pt) (4,0) node {$S$}
(T) circle (1pt) (2.6,-1.3) node {$T$} (U) circle (1pt) (6.2,-0.8) node {$U$};
\draw[color=qqqqff] (5.3,2.7) node {${144}^{\circ}$} (6.7,1.1) node {${48}^{\circ}$};
\draw[color=ffqqff] (3.1,-0.9) node {${?}^{\circ}$};
\draw[color=qqccqq] (0,0.3) node{\normalsize Regular} (0,-0.3) node{\normalsize pentagon};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
||
con-malinconia_0007
|
con-malinconia
| 7 |
正三角形$ABC$, $BDE$の外心をそれぞれ$P$, $Q$とし、$\angle PJQ = {90}^{\circ}$, $\angle JPK = \angle JQK = {120}^{\circ}$をみたすような2点$J$, $K$をとると、$D$は$\triangle ABC$の外部にあり、かつ5点$B$, $J$, $E$, $C$, $K$はこの順で同一直線上に並んだ。$BJ = 1$, $CK = 2$のとき、線分$JE$の長さはいくらか。
|
直線$PJ$, $PK$に関し直線$BC$と対称な直線が交わる点を$F$、直線$QJ$, $QK$に関し直線$BC$と対称な直線が交わる点を$G$とする。すると$P$, $Q$はそれぞれ$\triangle FJK$, $\triangle GJK$の内心であるから、$\angle JFK = \angle JGK = {60}^{\circ}$と判る。$\angle PFK = \angle PBK = {30}^{\circ}$, $\angle PKF = \angle PKB$, $PK = PK$より$\triangle FPK$と$\triangle BPK$は合同であり、特に$FK = BK$である。加えて$\angle FJG = 2 \angle PJQ = {180}^{\circ}$なので、$\triangle FGK$は1辺の長さが$BK$の正三角形となる。$\triangle FPJ$と$\triangle CPJ$の合同および$\triangle GQJ$と$\triangle EQJ$の合同も確かめられるので、$BK = FG = JF + JG = JC + JE$から$JE = BJ + CK = 3$と計算でき、求める長さは$3$である。
|
$3$
|
[
"正多角形",
"合同"
] |
hard
|
難易度：中
|
\documentclass[11pt]{jsarticle}
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\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.8cm,y=0.8cm]
\clip(-4.8,-4) rectangle (4.8,5.6);
\coordinate (A) at (-1,5.196152); \coordinate (B) at (-4,0);
\coordinate (C) at (2,0); \coordinate (D) at (-2,-3.464102);
\coordinate (E) at (0,0); \coordinate (J) at (-3,0);
\coordinate (K) at (4,0); \coordinate (P) at (-1,1.732051);
\coordinate (Q) at (-2,-1.154701);
\draw[line width=1.5pt,color=ffzzcc,fill=ffzzcc,fill opacity=0.2] (A)--(B)--(C)--cycle (B)--(D)--(E)--cycle;
\draw[line width=1.2pt,color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.2] (J)--(-2.722254,-0.320713)--(-2.401540,-0.0429675)--(-2.679287,0.277746)--cycle;
\draw [shift={(P)},line width=1.2pt,color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.2] (0,0)--(-139.106605:0.6) arc (-139.106605:-19.106605:0.6)--cycle;
\draw [shift={(Q)},line width=1.2pt,color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.2] (0,0)--(10.893395:0.6) arc (10.893395:130.893395:0.6)--cycle;
\draw[line width=1.2pt,dash pattern=on 2pt off 3pt,color=xfqqff] (J)--(P)--(K)--(Q)--cycle;
\draw [line width=1.2pt,color=black] (C)--(K);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=black,color=black]
(A) circle (1pt) (-1,5.4) node {$A$} (B) circle (1pt) (-4.2,0.2) node {$B$}
(C) circle (1pt) (2.1,0.3) node {$C$} (D) circle (1pt) (-2,-3.7) node {$D$}
(E) circle (1pt) (0.1,0.3) node {$E$} (J) circle (1pt) (-3.2,0.3) node {$J$}
(K) circle (1pt) (4.2,0.2) node {$K$} (P) circle (1pt) (-0.9,2) node {$P$}
(Q) circle (1pt) (-1.9,-1.4) node {$Q$}
(-3.5,-0.3) node{$1$} (3,0.3) node[fill=white]{$2$};
\draw[color=qqqqff] (-0.7,0.9) node {${120}^{\circ}$} (-1.4,-0.4) node {${120}^{\circ}$};
\draw[color=black] (1.5,-2.1) node{\normalsize $\triangle ABC$, $\triangle BDE$:} (1.5,-2.7) node{\normalsize equilateral triangle,} (1.5,-3.3) node{\normalsize $JE = \; ?$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
\documentclass[11pt]{jsarticle}
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\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.8cm,y=0.8cm]
\clip(-4.8,-4) rectangle (4.8,5.6);
\coordinate (A) at (-1,5.196152); \coordinate (B) at (-4,0);
\coordinate (C) at (2,0); \coordinate (D) at (-2,-3.464102);
\coordinate (E) at (0,0); \coordinate (F) at (-2.285714,4.948717);
\coordinate (G) at (-3.428571,-2.969230); \coordinate (H) at (-1,0);
\coordinate (I) at (-2,0); \coordinate (J) at (-3,0);
\coordinate (K) at (4,0); \coordinate (P) at (-1,1.732051);
\coordinate (Q) at (-2,-1.154701);
\draw[line width=1.5pt,color=ffzzcc,fill=ffzzcc,fill opacity=0.2] (A)--(B)--(C)--cycle (B)--(D)--(E)--cycle;
\draw[line width=1.2pt,color=qqzzff,fill=qqzzff,fill opacity=0.1] (F)--(G)--(K)--cycle;
\draw[line width=1.2pt,dash pattern=on 2pt off 3pt,color=xfqqff] (J)--(P)--(K)--(Q)--cycle;
\draw[line width=1.2pt,color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.2] (J)--(-2.722254,-0.320713)--(-2.401540,-0.0429675)--(-2.679287,0.277746)--cycle;
\draw [shift={(P)},line width=1.2pt,color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.2] (0,0)--(-139.106605:0.6) arc (-139.106605:-19.106605:0.6)--cycle;
\draw [shift={(Q)},line width=1.2pt,color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.2] (0,0)--(10.893395:0.6) arc (10.893395:130.893395:0.6)--cycle;
\draw [line width=1.2pt,color=black] (C)--(K);
\draw [line width=1.2pt,dash pattern=on 2pt off 3pt,color=ffzzcc] (H)--(P) (I)--(Q);
\draw [line width=1.2pt,dash pattern=on 2pt off 3pt,color=qqzzff] (F)--(P) (G)--(Q);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=black,color=black]
(A) circle (1pt) (-1,5.4) node {$A$} (B) circle (1pt) (-4.2,0.2) node {$B$}
(C) circle (1pt) (2.1,0.3) node {$C$} (D) circle (1pt) (-2,-3.7) node {$D$}
(E) circle (1pt) (0.1,0.3) node {$E$} (F) circle (1pt) (-2.4,5.2) node {$F$}
(G) circle (1pt) (-3.7,-3.1) node {$G$} (H) circle (1pt) (-0.9,-0.3) node {$H$}
(I) circle (1pt) (-1.9,0.3) node {$I$} (J) circle (1pt) (-3.2,0.3) node {$J$}
(K) circle (1pt) (4.2,0.2) node {$K$} (P) circle (1pt) (-0.9,2) node {$P$}
(Q) circle (1pt) (-1.9,-1.4) node {$Q$}
(-3.5,-0.3) node{$1$} (3,0.3) node[fill=qqzzff!10]{$2$};
\draw[color=qqqqff] (-0.7,0.9) node {${120}^{\circ}$} (-1.4,-0.4) node {${120}^{\circ}$};
\draw[color=black] (1.5,-2.1) node{\normalsize $\triangle ABC$, $\triangle BDE$:} (1.5,-2.7) node{\normalsize equilateral triangle,} (1.5,-3.3) node{\normalsize $JE = \; ?$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
||
con-malinconia_0008
|
con-malinconia
| 8 |
三角形$ABC$の内接円と$\angle A$内の傍接円をそれぞれ$\omega$, $\omega_A$とし、辺$BC$と$\omega$, $\omega_A$の接点をそれぞれ$D$, $E$とすると、$DE = 3$であった。また、辺$AC$上に$FC = 4$となる点$F$をとり、$\omega$の中心を$I$とすれば、3直線$AE$, $DF$, $CI$はある1点で交わった。このとき、線分$BF$の長さはいくらか。
|
有名性質から$BD = CE$が成立し、$AC - AB = DC - DB = EB - EC$となる。これは2点$B$, $C$を焦点とし$A$を通る双曲線$\eta$上に、2点$D$,$E$が存在することを示している。一般に、$P$, $Q$を焦点とする双曲線上のある点$X$における接線は$\angle PXQ$の内角の二等分線に一致するので、直線$AI$, $DI$はいずれも$\eta$の接線となる。ここで、6点$A$, $A$, $F$, $D$, $D$, $E$にパスカルの定理の逆を用いると、$F$もまた$\eta$上の点であることが従う。ゆえに$FB - FC = EB - EC = 3$となり、$FC = 4$より求める長さは$7$である。
|
$7$
|
[
"2次曲線",
"パスカルの定理"
] |
hard
|
難易度：中
| ||||
con-malinconia_0009
|
con-malinconia
| 9 |
凸四角形$ABCD$の対角線$BD$上に点$E$をとると、$\angle ABD = {40}^{\circ}$, $\angle CBD = {30}^{\circ}$, $\angle ADB = \angle CDB = {60}^{\circ}$, $\angle BAE = {35}^{\circ}$が成立した。$E$から$AB$に下ろした垂線の長さが$1$であるとき、四角形$AEBC$の面積はいくらか。
|
直線$AD$, $BC$の交点を$F$とすると、簡単な角度計算より$\triangle BCD \equiv \triangle FCD$であるため、特に$BC = CF$である。$\triangle ABF$の内心$I$について、$\angle ABI = {35}^{\circ}$, $\angle BAI = {40}^{\circ}$であるから、$\triangle ABE \equiv \triangle BAI$を確かめられて、特に$\triangle ABF$の内接円の半径は$1$である。この内接円と$AB$, $BF$, $FA$の接点をそれぞれ$P$, $Q$, $R$とすると、$({\rm Area\;} AEBC) = \triangle ABC - \triangle ABE = \frac{\triangle ABF}{2} - \triangle BAI = \frac{\triangle ABF}{2} - (\triangle API + \triangle BPI) = \frac{\triangle ABF}{2} - \frac{\triangle API + \triangle ARI + \triangle BPI + \triangle BQI}{2} = \frac{({\rm Area\;} FQRI)}{2} = \triangle FQI$という計算より、求める面積は$\triangle FQI$のそれに一致する。いま、$QI = 1$および$\angle QFI = {15}^{\circ}$が判明しているので、$\triangle FQI = \frac{{1}^{2} \times \cot {15}^{\circ}}{2} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$より、求める面積は$1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$である。
|
$1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$
|
[
"直角三角形",
"面積"
] |
hard
|
難易度：やや難
| ||||
con-malinconia_0010
|
con-malinconia
| 10 |
三角形$ABC$の内接円を$\omega$とし、辺$BC$, $CA$, $AB$と$\omega$の接点をそれぞれ$D$, $E$, $F$とする。$\omega$の直径$PQ$は$AD$と直交し、また$P$は$\triangle ABD$の内部にある。$AD$と$BP$, $BQ$の交点をそれぞれ$R$, $S$とする。$AF = 2$のとき、線分$RS$の長さはいくらか。
|
$Q$を通る$\omega$の接線が$BC$, $BA$と交わる点をそれぞれ$D'$, $A'$とすれば、$\triangle A'BD'$の内接円は明らかに$\omega$である。$A'D'$と$BP$の交点を$T$とすると、内接円の有名性質より$A'T = D'Q$が成立する。ここで、$\triangle ABD$と$\triangle A'BD'$は$B$を中心とした相似拡大の関係にあることを確かめられるので、$\triangle ABD$の内接円$\omega'$は$S$で$AD$に接するといえる。$A'T = D'Q$から$AR = DS$を得られ、$RS = AS - DS = AB - DB = AF = 2$と計算できるため、求める長さは$2$である。
|
$2$
|
[
"相似"
] |
hard
|
難易度：やや易
| ||||
con-malinconia_0011
|
con-malinconia
| 11 |
三角形$ABC$において、$\angle A$の内角の三等分線を$B$に近いほうから順に$l$, $m$と名づける。$l$上に$BD = CD$をみたす点$D$をとり、$m$と辺$BC$の交点を$E$とする。$\angle AEC = {60}^{\circ}$のとき、$\angle ABD$の大きさはいくらか。
|
線分$BC$の垂直二等分線に関し$A$, $E$と対称な点をそれぞれ$A'$, $E'$とする。$\angle BAC = 3 x$とおくと、角度計算により$\angle A'AB = \angle A'AE - \angle BAE = {60}^{\circ} - 2 x$, $\angle AA'B = \angle AA'E' + \angle E'A'B = {60}^{\circ} + x$を確かめられるので、$\triangle AA'B$は$AA' = AB$の二等辺三角形である。いま、線分$A'B$の垂直二等分線に関し$D$と対称な点を$D'$とすると、$\triangle ABD \equiv \triangle AA'D'$であるから$AD = AD'$となる。また、$\angle DAD' = \angle A'AB + 2 \angle BAD = {60}^{\circ}$なので、$\triangle ADD'$は正三角形であることが示される。ゆえに$AD = D'D = A'D$となり、$\triangle AA'D'$の外心は$D$に一致する。したがって$\angle ABD = \angle AA'D' = \frac{\angle ADD'}{2} ={30}^{\circ}$と導かれ、求める角度は${30}^{\circ}$である。
|
${30}^{\circ}$
|
[
"正多角形",
"角度追跡"
] |
hard
|
難易度：中
| ||||
con-malinconia_0012
|
con-malinconia
| 12 |
三角形$ABC$の内接円を$\omega$とし、辺$BC$, $CA$, $AB$と$\omega$の接点をそれぞれ$D$, $E$, $F$とする。$A$を中心とし$E$を通る円$\gamma$を描くと、$D$から引いた$BC$の垂線が$\gamma$と2点で交わったため、それらの交点を$D$から近い順に$G$, $H$と名づけた。$DG = GH$が成り立つとき、$\angle BHC$の大きさはいくらか。
|
$H$を中心とし$A$を通る円$\gamma'$を描き、$GH$と平行な$\gamma'$の接線を、$B$から近い順に$l$, $m$と名づける。焦点が$A$であり準線が$m$, $l$である放物線をそれぞれ$p$, $q$とすれば、2点$G$, $H$は明らかに$p$, $q$上の点である。また、長さ計算より$B$は$p$上に、$C$は$q$上にそれぞれ存在する。さて、$G$における$p$, $q$の接線をそれぞれ$t$, $u$とすると、放物線の有名性質「放物線の準線と垂直に入射した光線が放物線で反射したとき、放物線の焦点に向かう光線となる」より、$t$, $u$は$G$から引いた$BC$の平行線と$AG$がなす角の二等分線であるから、これらは互いに直交する。加えて$DG = GH$であるから、放物線の有名性質「放物線上の異なる3点$X$, $Y$, $Z$から準線に下ろした垂線の足をそれぞれ$X'$, $Y'$, $Z'$としたとき、$X'Y' = Y'Z'$ならば、$Y$から引いた放物線の接線は$XZ$と平行である」より、$p$の弦$BH$は$t$と平行になり、$q$の弦$CH$は$u$と平行になる。すなわち、$BH$と$CH$もまた互いに直交するので、求める角度は${90}^{\circ}$である。
|
${90}^{\circ}$
|
[
"2次曲線"
] |
hard
|
難易度：やや難
| ||||
con-malinconia_0013
|
con-malinconia
| 13 |
三角形$ABC$の内接円を$\omega$とし、辺$BC$, $CA$, $AB$と$\omega$の接点をそれぞれ$D$, $E$, $F$とする。$A$を中心とし$E$を通る円$\gamma$を描くと、$D$から引いた$BC$の垂線が$\gamma$と2点で交わったため、それらの交点を$D$から近い順に$G$, $H$と名づけた。$DG = GH$かつ$BC = 8$が成り立つとき、線分$AE$の長さはいくらか。
|
$H$を中心とし$A$を通る円$\gamma'$を描き、$GH$と平行な$\gamma'$の接線を、$B$から近い順に$l$, $m$と名づける。焦点が$A$であり準線が$m$, $l$である放物線をそれぞれ$p$, $q$とすれば、2点$G$, $H$は明らかに$p$, $q$上の点である。また、長さ計算より$B$は$p$上に、$C$は$q$上にそれぞれ存在する。さて、$G$における$p$, $q$の接線をそれぞれ$t$, $u$とすると、放物線の有名性質「放物線の準線と垂直に入射した光線が放物線で反射したとき、放物線の焦点に向かう光線となる」より、$t$, $u$は$G$から引いた$BC$の平行線と$AG$がなす角の二等分線であるから、これらは互いに直交する。加えて$DG = GH$であるから、放物線の有名性質「放物線上の異なる3点$X$, $Y$, $Z$から準線に下ろした垂線の足をそれぞれ$X'$, $Y'$, $Z'$としたとき、$X'Y' = Y'Z'$ならば、$Y$から引いた放物線の接線は$XZ$と平行である」より、$p$の弦$BH$は$t$と平行になり、$q$の弦$CH$は$u$と平行になる。すなわち、$BH$と$CH$もまた互いに直交するので、$\triangle BHC$は$\angle BHC = {90}^{\circ}$の直角三角形である。ゆえに、$AE = AF = a$, $BD = BE = b$, $CF = CD = c$とおけば、方べきの定理より$DH = \sqrt{b c}$であるから、${AD}^{2} = {{AE}^{2} + DG \times DH} = {a}^{2} + \frac{b c}{2}$と表せる。$\triangle ABC$にスチュワートの定理を用いると、${AB}^{2} \times CD + {AC}^{2} \times BD = BC \times (BD \times CD + {AD}^{2}) \Longleftrightarrow {(a + b)}^{2} c + {(a + c)}^{2} b = (b + c) (b c + {a}^{2} + \frac{b c}{2}) \Longleftrightarrow 8 a b c = b c (b + c)$と計算できる。$b \neq 0$, $c \neq 0$なので、$AE = a = \frac{b + c}{8} = \frac{BC}{8} = 1$より、求める長さは$1$である。
|
$1$
|
[
"2次曲線",
"スチュワートの定理"
] |
hard
|
難易度：難
| ||||
con-malinconia_0014
|
con-malinconia
| 14 |
1辺が$2$である正方形$ABCD$の内部に$BE = 2$をみたす点$E$をとり、点$D$について点$E$と対称な点を$F$とすると、$BE \parallel CF$が成立した。このとき、線分$CF$の長さはいくらか。
|
$D$について$C$と対称な点を$G$とすると、$DE = DF$, $DC = DG$, $\angle CDF = \angle GDE$より、$\triangle CDF \equiv \triangle GDE$である。したがって、$BE \parallel CF$と併せて$\angle DEB + \angle DEG = \angle DEB + \angle DFC = {180}^{\circ}$であるから、3点$B,E,G$はこの順で同一直線上にある。ゆえに、$CF = GE = BG - BE = 2\sqrt{5} - 2$と計算でき、求める長さは$2\sqrt{5} - 2$である。
|
$2\sqrt{5} - 2$
|
[
"正多角形",
"合同"
] |
hard
|
難易度：易
| ||||
con-malinconia_0015
|
con-malinconia
| 15 |
凸四角形$ABCD$の対角線が点$P$で交わっている。$\angle CDA = {90}^{\circ}$, $\triangle ABP = 22$, $\triangle CDP = 7$であり、$\triangle ABC$の$\angle A$内の傍心$J$が半直線$DC$上に存在するとき、$\triangle BCP$の面積はいくらか。
|
辺$AC$の中点を$M$とすると、円周角の定理の逆より、$M$は$\triangle ADC$の外心となる。いま、$J$は$\triangle ABC$の傍心なので、$\angle BCJ = \angle MCD = \angle MDC$と計算すれば$BC \parallel MD$が導かれる。したがって、$\triangle BCD = \triangle BCM = \frac{\triangle ABC}{2}$となり、$\triangle BCP + 7 = \frac{\triangle BCP + 22}{2}$から$\triangle BCP = 8$を得るので、求める面積は$8$である。
|
$8$
|
[
"直角三角形",
"面積"
] |
hard
|
難易度：やや易
| ||||
con-malinconia_0016
|
con-malinconia
| 16 |
凸四角形$ABCD$の対角線が点$E$で交わっており、$\triangle ABC$の内心$I$が線分$BE$上に存在する。$AB$と$CI$の交点を$F$とすると、$AB = AC$, $\angle ADB = {90}^{\circ}$, $({\rm Area\;} AEIF) = 13$, $\triangle IBC = 7$が成立した。このとき、$\triangle CDE$の面積はいくらか。
|
辺$AB$の中点を$M$とすると、円周角の定理の逆より、$M$は$\triangle ABD$の外心となる。よって、$\angle MDB = \angle MBD = \angle CBD$、すなわち$BC \parallel MD$が導かれる。したがって、$\triangle BCD = \triangle BCM = \frac{\triangle ABC}{2}$である。$\triangle BIF$の面積を$a$とおくと、$\triangle BIF$と$\triangle CIE$は明らかに合同であるため、$\triangle BCD = \triangle CDE + a + 7$, $\triangle ABC = 2 a + 13 + 7 = 2 (a + 10)$と表せる。結局$\triangle CDE + a + 7 = a + 10$を得るので、求める面積は$3$である。
|
$3$
|
[
"面積"
] |
hard
|
難易度：やや易
問題図未
( https://x.com/con_malinconia/status/1947637096648478787 を参照)
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in Data Studio
Augeo Geometry Problems Dataset
Dataset Description
This dataset contains geometry problems annotated by multiple contributors, featuring both Japanese problem statements and their solutions. Each problem may include visual diagrams (as images) and TikZ code for geometric constructions.
Dataset Summary
- Total Examples: 122
- Languages: Japanese
- Task: Geometry problem solving with visual reasoning
- Annotators: Multiple human annotators (kinmokusei, aonagi, con-malinconia, Metachick)
Dataset Structure
Data Fields
id: Unique identifier for each problemannotator: Name of the person who annotated the problemproblem_id: Problem number within each annotator's setquestion: The geometry problem statement (in Japanese)answer: Detailed solution explanation (in Japanese)answer_value: The final numerical or symbolic answertags: List of tags describing problem topics/techniquesdifficulty: Difficulty level of the problemremark: Additional notes or commentsquestion_image: Diagram for the problem (PNG/JPG image)answer_image: Diagram for the solution (PNG/JPG image)question_tikz: TikZ code for the problem diagramanswer_tikz: TikZ code for the solution diagram
Data Splits
The dataset contains all data in a single split:
| Split | Number of Examples |
|---|---|
| All | 122 |
Usage
from datasets import load_dataset
# Load the dataset
dataset = load_dataset("Silviase/augeo-ja")
# Access the data
data = dataset['all']
# Example: Get the first problem
first_problem = data[0]
print(f"Question: {first_problem['question']}")
print(f"Answer: {first_problem['answer_value']}")
Dataset Creation
Annotation Process
The dataset was created by multiple annotators who:
- Created or collected geometry problems
- Provided detailed solutions with step-by-step explanations
- Created visual diagrams for problems and solutions
- Tagged problems with relevant mathematical concepts
- Assigned difficulty levels
Source Data
The problems cover various geometry topics including:
- Triangle properties and theorems
- Circle theorems
- Coordinate geometry
- Transformations
- Area and volume calculations
- Classical geometry constructions
Considerations for Using the Data
Limitations
- The dataset is primarily in Japanese
- Some problems may require advanced mathematical knowledge
- Image quality and format may vary between annotators
- Not all problems have both question and answer diagrams
Recommendations
- For visual reasoning tasks, filter for problems with images
- For symbolic reasoning, use problems with TikZ code
- Consider difficulty levels when selecting problems for specific applications
Additional Information
Licensing Information
This dataset is released under the Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) license.
Citation Information
If you use this dataset, please cite:
@dataset{augeo_geometry2024,
title={Augeo Geometry Problems Dataset},
author={Multiple Contributors},
year={2024},
publisher={HuggingFace}
}
Contributions
Thanks to all the annotators who contributed to this dataset:
- kinmokusei
- aonagi
- con-malinconia
- Metachick
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