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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
con-malinconia_0017
|
con-malinconia
| 17 |
長方形$ABCD$の辺$AB$上に点$E$、辺$AD$上に点$F$をとる。$EF$を折り目として長方形$ABCD$を折ると、点$A$は辺$BC$上の点$P$に移った。線分$DF$上の点$Q$が$DQ = 7$, $QF = 9$をみたし、3直線$AC$, $EQ$, $FP$が1点で交わるとき、線分$AF$の長さはいくらか。
|
直線$AB$, $FP$の交点を$I$とし、$F$から引いた$AB$の平行線と$EQ$, $AC$, $BC$の交点をそれぞれ$J$, $K$, $L$とすると、明らかに$AF = BL$, $DF = CL$である。また、相似比を適宜用いれば$\frac{FJ}{JK} = \frac{IE}{EA} = \frac{IE}{EP} = \frac{PE}{EB} = \frac{AE}{EB}$と計算できるため、3点$A$, $F$, $Q$および3点$E$, $J$, $Q$が同一直線上に並ぶことから、3点$B$, $K$, $Q$も同一直線上に並ぶ。ゆえに$\triangle AFK \sim \triangle CLK$, $\triangle QFK \sim \triangle BLK$が成立するため、$\frac{AF}{DF} = \frac{AF}{CL} = \frac{FK}{LK} = \frac{QF}{BL} = \frac{QF}{AF}$から${AF}^{2} = DF \times QF = 144$が得られ、求める長さは$12$である。
|
$12$
|
[
"相似"
] |
hard
|
難易度：やや難
問題図未
( https://mathlog.info/articles/3205 の問題Ｂと同一)
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con-malinconia_0018
|
con-malinconia
| 18 |
正三角形$ABC$の辺$BC$, $CA$, $AB$上にそれぞれ点$D$, $E$, $F$をとると、$A$と$D$は直線$EF$に関し対称な点であった。$\angle AEF = {40}^{\circ}$, $CD = 3$のとき、四角形$BCEF$の周の長さはいくらか。
|
線分$DF$の垂直二等分線に関し$B$と対称な点$B'$をとり、線分$DE$の垂直二等分線に関し$C$と対称な点$C'$をとる。明らかに$\triangle BDF \equiv \triangle B'FD$, $\triangle CDE \equiv \triangle C'ED$であり、また$\angle DBF = \angle ECD = {60}^{\circ}$, $\angle BFD = {120}^{\circ} - \angle BDF = \angle CDE$から$\triangle BDF \sim \triangle CED$が成立する。$\angle AEF = {40}^{\circ}$なので、$\angle B'FE = \angle B'FD + \angle DFE = \angle BDF + \angle AFE = \angle CED + \angle AFE = {180}^{\circ}$となり、3点$B'$, $F$, $E$はこの順で同一直線上に存在する。同様に、$\angle B'DC' = \angle B'DF + \angle FDE + \angle EDC' = \angle BDF + \angle ADE + \angle DEC = {180}^{\circ}$も計算でき、3点$B'$, $D$, $C'$もこの順で同一直線上に存在する。ゆえに$\triangle B'C'E$は正三角形であることが判り、かつ$\triangle B'C'E$の周の長さは四角形$BCEF$のそれに一致する。$C'E = CD = 3$より、結局求める周の長さは$9$である。
|
$9$
|
[
"正多角形",
"合同"
] |
hard
|
難易度：中
問題図未
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con-malinconia_0019
|
con-malinconia
| 19 |
点$O$を中心とする円に内接する三角形$ABC$を描き、線分$OC$の中点を$M$とすると、$\angle AMO = \angle BMC$, $AB = BM$が成立した。このとき、$\frac{AM}{BM}$の値はいくらか。
|
直線$OC$に関し$B$と対称な点を$D$とすれば、$D$はこの円周上にあるので、$\angle AOB = 2 \angle ADB = \angle MBD + \angle MDB = \angle AMB$より、4点$A$, $B$, $M$, $O$は同一円周上に存在する。したがって、トレミーの定理より$AB \times MO + BM \times AO = AM \times BO \Longleftrightarrow BM \times 3 MO = AM \times 2 MO$が導かれ、求める比の値は$\frac{3}{2}$である。
|
$\frac{3}{2}$
|
[
"トレミーの定理"
] |
hard
|
難易度：やや易
問題図未
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con-malinconia_0020
|
con-malinconia
| 20 |
$\triangle ABC$の$\angle A$内の傍接円を$\omega$とし、$\omega$と辺$BC$, $CA$, $AB$との接点をそれぞれ$D$, $E$, $F$とする。$\omega$の中心を$J$とし、中心が$A$であり半径が$AE$の円$\phi$と線分$DJ$との交点を$G$とする。$DG = 8$, $GJ = 4$のとき、$\triangle ABC$の内接円の半径はいくらか。
|
直線$DJ$と$\phi$の交点のうち、$G$でない方を$H$とし、線分$GH$の中点を$M$とする。方べきの定理より$JG \times JH = {JE}^{2}$であるから、$JE = 12$に注意すれば$JH = 36$、すなわち$MD = 8$を得る。いま、$A$は線分$GH$の垂直二等分線上に存在するので、辺$BC$を底辺としたときの$\triangle ABC$の高さも$8$である。さて、$J$に関し$D$と対称な点を$D'$とし、$D'$における$\omega$の接線が直線$AB$, $AC$と交わる点をそれぞれ$B'$, $C'$としよう。明らかに$BC \parallel B'C'$であるから、$\triangle ABC \sim \triangle AB'C'$が成立し、また$\omega$は$\triangle AB'C'$の内接円になっている。加えて、$B'C'$を底辺としたときの$\triangle AB'C'$の高さは$32$となるので、$\triangle ABC$の内接円は、$A$を中心に$\omega$を$\frac{1}{4}$倍拡大した図形であるといえる。したがって、求める半径は$3$である。
|
$3$
|
[
"相似"
] |
hard
|
難易度：中
問題図未
( https://x.com/con_malinconia/status/1726231835985018992 を参照)
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con-malinconia_0021
|
con-malinconia
| 21 |
円に内接する四角形$ABCD$の内部に点$E$をとると、$AB = BC = CE$, $AD = DE$, $\angle ABC = {90}^{\circ}$, $\angle ADE = {33}^{\circ}$が成立した。$\triangle CDE$の重心を$G$としたとき、$\angle CGE$の大きさはいくらか。
|
線分$CE$の中点を$M$とすると、$G$は線分$DM$を$2 : 1$に内分する点である。中線定理より、$2 ({DM}^{2} + {EM}^{2}) = {DC}^{2} + {DE}^{2} = {DC}^{2} + {DA}^{2} = 2 {AB}^{2} = 8 {DM}^{2}$が判り、$\frac{EM}{DM} = \sqrt{3}$が従う。よって$\frac{DM}{GM} = 3 \times \frac{DM}{EM} = \sqrt{3}$であるから、$\triangle MDC \sim \triangle MCG$かつ$\triangle MDE \sim \triangle MEG$が導かれる。これらを用いれば、$\angle CGE = \angle MGC + \angle MGE = \angle MCD + \angle MED = {180}^{\circ} - \angle CDE = {123}^{\circ}$と計算できるため、求める角度は${123}^{\circ}$である。
|
${123}^{\circ}$
|
[
"中線定理",
"相似"
] |
hard
|
難易度：やや難
問題図未
( https://x.com/con_malinconia/status/1798336013225640137 を参照)
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con-malinconia_0022
|
con-malinconia
| 22 |
鋭角三角形$ABC$の外接円を$\gamma$とし、その中心を$O$とする。$\angle BAC$の二等分線が線分$BC$, $\gamma$と交わる点を、それぞれ$D$, $V$とする。ただし、$A$と$V$は異なる点である。線分$AB$の中点を$M$とし、直線$BC$上の2点$P$, $Q$を、5点$P$, $B$, $D$, $Q$, $C$がこの順で並ぶようにとったところ、5点$M, O, P, Q, V$は同一円周上に存在した。$BD = 6$, $DQ = 3$, $QC = 5$のとき、線分$BP$の長さはいくらか。
|
$BD < CD$より$AB < AC$である。$A$, $B$, $C$, $V$から引いた$\gamma$の接線をそれぞれ${t}_{A}$, ${t}_{B}$, ${t}_{C}$, ${t}_{V}$とし、${t}_{A}$と${t}_{B}$の交点を$E$、${t}_{B}$と${t}_{V}$の交点を$F$、${t}_{V}$と${t}_{C}$の交点を$G$、${t}_{C}$と${t}_{A}$の交点を$H$とする。6点$A$, $A$, $B$, $V$, $V$, $C$に対しブリアンションの定理を用いると、3直線$AV$, $EG$, $FH$が1点で交わるといえる。同様に、6点$A$, $B$, $B$, $V$, $C$, $C$に対しブリアンションの定理を用いると、3直線$BC$, $EG$, $FH$が1点で交わるといえるので、結局4直線$AV$, $BC$, $EG$, $FH$は1点$D$で交わる。また、対称性より$FV = GV$が成立するため、線分$BD$の中点$N$をとれば、3点$E$, $N$, $V$は同一直線上に存在する。いま、$E$と$M$は$\gamma$に関する反転で移りあうため、円$OMPVQ$と直線$EV$も$\gamma$に関する反転で移りあう図形の組である。よって、円$OMPVQ$と$\gamma$の$V$でない交点を$U$とすれば、$U$は直線$EV$上の点であるといえる。ここから方べきの定理を考えれば、$NP \times NQ = NU \times NV = NB \times NC = 33$となり、$BP = NP - 3 = \frac{33}{NQ} - 3 = \frac{5}{2}$と計算できるため、求める長さは$\frac{5}{2}$である。
|
$\frac{5}{2}$
|
[
"ブリアンションの定理",
"反転"
] |
hard
|
難易度：やや難
問題図未
( https://x.com/con_malinconia/status/1799769135938990134 を参照)
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con-malinconia_0023
|
con-malinconia
| 23 |
$\angle A$が鈍角である$\triangle ABC$において、線分$BC$を直径とする円$\gamma$を描き、点$A$を中心とし$\gamma$に内側から接する円$\delta$を描く。$\delta$が線分$BC$と異なる2点$D$, $E$で交わっており、$D$, $E$から引いた$BC$の垂線が$\gamma$と交わる点をそれぞれ$H$, $I$としたところ、$DH = 20$, $EI = 24$が成立した。このとき、$\triangle ABC$の面積はいくらか。
|
$BC$に関し、$A$と対称な点$A'$、$\delta$と対称な円$\delta'$をそれぞれ描けば、明らかに$\delta'$は$\gamma$に接し、かつ$\delta$と$\delta'$の共通外接線の長さは線分$AA'$の長さに等しい。ここで、2点$B$, $C$を半径$0$の円とみなし、4つの円$B$, $\delta$, $C$, $\delta'$に対しケイシーの定理を用いることで、$AA' \times BC = 2 \sqrt{BD \times BE} \times \sqrt{CD \times CE} = 2 \sqrt{BD \times CD} \times \sqrt{BE \times CE} = 2 DH \times EI = 960$を得る。いま、$\triangle ABC = \frac{AA' \times BC}{4}$であるから、求める面積は$240$である。
|
$240$
|
[
"面積",
"ケイシーの定理"
] |
hard
|
難易度：中
問題図未
( https://x.com/con_malinconia/status/1865229755781710071 を参照)
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con-malinconia_0024
|
con-malinconia
| 24 |
正方形$ABCD$の外接円を$\gamma$とし、$\gamma$の劣弧$CD$上に点$E$をとる。2点$A$, $B$から引いた$\gamma$の接線をそれぞれ${t}_{A}$, ${t}_{B}$とし、$E$から${t}_{A}$, ${t}_{B}$に下ろした垂線の足をそれぞれ$F$, $H$とする。さらに、${t}_{A}$と${t}_{B}$、$AD$と$EF$、$BC$と$EH$の交点をそれぞれ$G$, $I$, $J$とし、$I$から引いた${t}_{A}$の平行線と$J$から引いた${t}_{B}$の平行線が交わる点を$K$とする。$IK = 22$, $JK = 12$のとき、線分$GK$の長さはいくらか。
|
$E$から$CD$に下ろした垂線の足を$P$とし、線分$DA$, $AB$, $BC$上に$CP = AQ = AR = CS$をみたす点$Q$, $R$, $S$をそれぞれとると、四角形$EIQP$, $EJSP$はともに平行四辺形となる。四角形$PQRS$は明らかに長方形であるから、これは四角形$EIKJ$と合同であり、特に$EP = KR$, $EP \parallel KR$である。したがって、$CP = AR$と併せ$\triangle CDE \equiv \triangle ABK$が成立し、円周角の定理から$\angle AKB = \angle CED = {135}^{\circ}$と判る。すなわち、円周角の定理の逆より$GA = GB = GK$が得られ、$GA + GB = AC = QR + RS = IK + KJ = 34$より、求める長さは$17$である。
|
$17$
|
[
"正多角形",
"合同"
] |
hard
|
難易度：やや易
問題図未
( https://x.com/con_malinconia/status/1870826005952356503 を参照)
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con-malinconia_0025
|
con-malinconia
| 25 |
正方形$ABCD$の辺$AB$, $CD$上に$BC \parallel EF$をみたす点$E$, $F$をそれぞれとり、3線分$DA$, $AE$, $EF$に接する円を$\gamma$、3線分$BC$, $CF$, $FE$に接する円を$\delta$とした。$\gamma$と$\delta$の共通外接線の中点を$M$としたとき、$\frac{AM + CF}{CM + AE}$の値はいくらか。
|
$\gamma$と$\delta$の共通内接線のうち$EF$でないものを引き、線分$AD$, $BC$, $EF$との交点をそれぞれ$G$, $H$, $X$とする。このとき、四角形$AEXG$, $CFXH$は正方形となる。$\gamma$と$\delta$の共通外接線が$\gamma$, $\delta$と接する点をそれぞれ$S$, $T$とし、$EF$, $GH$と線分$ST$が交わる点をそれぞれ$Y$, $Z$とすれば、$\gamma$, $\delta$はいずれも$\triangle XYZ$の傍接円である。有名性質より、$M$は線分$YZ$の中点にもなっているので、$\triangle XYZ$の外心は$M$に一致する。ここで、$\triangle XYZ$の九点円$\nu$を描き、$\gamma$, $\delta$, $\nu$の中心をそれぞれ$P$, $Q$, $N$と名づけると、フォイエルバッハの定理から、$\gamma$と$\nu$、$\delta$と$\nu$はそれぞれ外接する。$N$は線分$MX$の中点であるから、$PN = \frac{AE + MX}{2}$, $QN = \frac{CF + MX}{2}$となるので、$X$を中心とした相似拡大を考えることで、$AM = 2 PN = AE + MX$, $CM = 2 QN = CF + MX$が従う。ここから$\frac{AM + CF}{CM + AE} = \frac{AE + CF + MX}{AE + CF + MX} = 1$と導かれ、求める値は$1$である。
|
$1$
|
[
"正多角形",
"フォイエルバッハの定理"
] |
hard
|
難易度：難
問題図未
( https://x.com/con_malinconia/status/1699040755501904000 を参照)
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con-malinconia_0026
|
con-malinconia
| 26 |
点$O$を中心とする2つの円$\Omega$, $\omega$があり、$\Omega$の半径は$8$、$\omega$の半径は$4$である。いま、$\Omega$に内接し$O$を内部に含む凸四角形$ABCD$を描き、2点$A$, $B$を通り$\omega$に外接する円$\gamma$を描いたところ、$AC$と$BD$の交点$E$は$\gamma$上に存在し、かつ$CD$は$\omega$に接していた。このとき、$\gamma$の半径はいくらか。
|
$\gamma$の中心を$O'$とし、$CD$と$\omega$との接点を$M$とする。$M$は線分$CD$の中点であり、$OM = 4$, $OC = OD = 8$であるから、$O$が四角形$ABCD$の内部にあることと併せ、$\angle COD = {120}^{\circ}$, $\angle CBD = {60}^{\circ}$が成立する。さらに、$\angle BO'E = 2 \angle BAE = 2 \angle BAC = \angle BOC$から$\triangle OBC \sim \triangle O'BE$が判るので、$\angle OBO' = \angle OBE + \angle O'BE = \angle OBD + \angle OBC = \angle CBD = {60}^{\circ}$と導かれる。よって、$\gamma$の半径を$r$とすれば、余弦定理より${r}^{2} + {8}^{2} - 2 \times 8 \times r \cos {60}^{\circ} = {(r + 4)}^{2}$、すなわち$r = 3$が得られ、求める半径は$3$である。
|
$3$
|
[
"同心円"
] |
hard
|
難易度：中
問題図未
( https://x.com/con_malinconia/status/1629735756335026177 を参照)
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con-malinconia_0027
|
con-malinconia
| 27 |
$\angle A$が直角である三角形$ABC$において、内接円を$\omega$とし、辺$BC$と$\omega$との接点を$D$とする。辺$BC$の中点を$M$とし、$\angle AKM = {90}^{\circ}$をみたす$\omega$上の点$K$をとると、$DK = 8$であった。線分$KM$と$\omega$が再び交わる点を$L$としたとき、線分$KL$の長さはいくらか。
|
$A$から$BC$に下ろした垂線の足を$H$、$\omega$の中心を$I$とし、線分$AM$の中点を$N$とする。$\angle A = {90}^{\circ}$より、$\triangle ABC$の九点円$\nu$は$J$を中心とする半径$AJ$の円であり、かつフォイエルバッハの定理より、$\omega$と$\nu$は$K$で接している。$\nu$の劣弧$HM$の中点を$J$とすれば、$J$における$\nu$の接線は$BC$と平行であるから、$K$を中心とした相似拡大で$D$と$J$は移りあうので、$\angle HKD = \angle MKD$が成立する。いま、$\angle HAI = x$, $\angle HAK = y$とおけば、$M$は$\triangle ABC$の外心であるから、$\angle MAI = x$となる。$I$は線分$JK$上に存在し、かつ$J$は$\triangle AKM$の外心であるから、$\angle AKI = \angle AKJ = \angle KAJ = \angle KAM = \angle HAK + \angle HAI + \angle MAI = 2 x + y$と計算できる。また、接弦定理・円周角の定理から$\angle LDM = \angle DKM = \frac{\angle HKM}{2} = \frac{\angle HAM}{2} = \angle HAI = x$であり、$\angle DML = \angle HMK = \angle HAK = y$と併せ、$\angle DLK = x + y$, $\angle KDL = {180}^{\circ} - (2 x + y)$と判明する。正弦定理より、$\frac{AI}{IK} = \frac{\sin (2 x + y)}{\sin (x + y)}$, $\frac{KL}{DK} = \frac{\sin (2 x + y)}{\sin (x + y)}$がそれぞれ成立するので、$\frac{AI}{IK} = \frac{ID \csc {45}^{\circ}}{ID} = \sqrt{2}$より、求める長さは$8 \sqrt{2}$である。
|
$8 \sqrt{2}$
|
[
"直角三角形",
"フォイエルバッハの定理"
] |
hard
|
難易度：やや難
問題図未
( https://x.com/con_malinconia/status/1593869308761092097 を参照)
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con-malinconia_0028
|
con-malinconia
| 28 |
$\triangle ABC$の$\angle A$内の傍接円$\omega$が辺$BC$, $CA$, $AB$と接する点を、それぞれ$D$, $E$, $F$とする。$B$から引いた$AD$の平行線が$\omega$と交わる点を、$B$から近い順に$P$, $Q$と名づける。$AD = 4$, $AE = 5$のとき、$\frac{BP}{BQ}$の値を求めよ。
|
$DF$と$PQ$の交点を$R$とすれば、有名性質より、4点$B$, $P$, $R$, $Q$はこの順に調和点列を構成する。ゆえに$\frac{BP}{BR - BP} = \frac{BQ}{BQ - BR} \Longleftrightarrow \frac{BR}{BP} + \frac{BR}{BQ} = 2 \Longleftrightarrow BR = \frac{2 \times BP \times BQ}{BP + BQ}$である。また、$\triangle AFD$と$\triangle BFR$は相似であるから、$\frac{BR}{BF} = \frac{AD}{AF} = \frac{4}{5}$が判り、これと${BF}^{2} = BP \times BQ$より、$BR = \frac{4 \sqrt{BP \times BQ}}{5}$とも表せる。したがって、$\frac{2 \times BP \times BQ}{BP + BQ} = \frac{4 \sqrt{BP \times BQ}}{5} \Longleftrightarrow \frac{BP + BQ}{\sqrt{BP \times BQ}} = \frac{5}{2} \Longleftrightarrow \frac{BP}{BQ} + \frac{BQ}{BP} = \frac{17}{4}$と計算でき、$\frac{BP}{BQ} > 0$より、求める値は$\frac{1}{4}$である。
|
$\frac{1}{4}$
|
[
"調和点列"
] |
hard
|
難易度：中
問題図未
( https://x.com/con_malinconia/status/1408696556082008067 を参照)
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con-malinconia_0029
|
con-malinconia
| 29 |
円$\omega$に内接する四角形$ABCD$は$AB = CD = 3$をみたしている。$C$に関し$A$と対称な点を$E$とすれば、$DE$は$\omega$の接線であった。線分$BE$が$\omega$と再び交わる点を$F$としたとき、線分$EF$の長さはいくらか。
|
有名性質より、四角形$ABCD$は$AD \parallel BC$の等脚台形である。方べきの定理を用いれば${ED}^{2} = EA \times EC = 2 {AC}^{2}$が判るので、$\triangle EAD$と$\triangle EDC$は相似であり、その相似比は$\sqrt{2} : 1$である。ここから$AD = 3 \sqrt{2}$であるといえる。四角形$ABCD$におけるトレミーの定理より、$3 \sqrt{2} BC + 9 = {AC}^{2}$、すなわち$BC = \frac{{AC}^{2} - 9}{3 \sqrt{2}}$である。また、$\triangle BAE$における中線定理より、${BE}^{2} + 9 = 2 ({AC}^{2} + {BC}^{2}) = 2 ({AC}^{2} + \frac{{({AC}^{2} - 9)}^{2}}{18}) = \frac{{AC}^{4}}{9} + 9$、すなわち$BE = \frac{{AC}^{2}}{3}$である。最後に、方べきの定理より、$2 {AC}^{2} = {ED}^{2} = EB \times EF = \frac{{AC}^{2}}{3} \times EF$が従うため、求める長さは$6$である。
|
$6$
|
[
"トレミーの定理",
"中線定理"
] |
hard
|
難易度：中
問題図未
( https://x.com/con_malinconia/status/1538084151672582144 を参照)
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Metachick_0001
|
Metachick
| 1 |
$AB=5, BC=7, CA=8$ であるような三角形 $ABC$ において、辺 $BC,CA,AB$ と内接円の接点をそれぞれ $D,E,F$ とする。$A$ から線分 $EF$ へ下した垂線の足を $P$、$E$ から線分 $BC$ へ下した垂線の足を $Q$、$F$ から線分 $BC$ へ下した垂線の足を $R$ とする。点 $D$ から線分 $PQ,PR$ へ下した垂線の足をそれぞれ $X,Y$ とするとき、$\frac{DY}{DX}$ の値は何か？
|
$\angle{APE} = \angle{APF} = 90^{\circ}$ であり、$AE = AF$ かつ $AP$ が共通していることから、$\triangle{APE} \equiv \triangle{APF}$ である。したがって、$EP = FP$ である。直線 $AP$ と直線 $BC$ の交点を $G$ とする。このとき、$\angle{EQG} + \angle{EPG} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ であるから四点 $E,P,G,Q$ は共円である。このことから、 円周角の定理より、$\angle{PQG} = \angle{PEG}$ である。同様の議論から、$\angle{PRG} = \angle{PFG}$ である。いま、$EP = FP$ であり、$\angle{EPG} = \angle{FPG} = 90^{\circ}$ かつ $PG$ が共通していることから $\triangle{EPG} \equiv \triangle{FPG}$ であり、$\angle{PEG} = \angle{PFG}$ である。よって、$\angle{PQG} = \angle{PEG} = \angle{PFG} = \angle{PRG}$ である。これより、$\triangle{PQR}$ は $PQ = PR$ なる二等辺三角形である。\\
$PQ = PR$ より、$DX : DY = \triangle{PQD} : \triangle{PRD} = DQ : DR$ である。以後、$DQ : DR$ を計算する。$DQ = DC - QC$ であり、$DC = \frac{1}{2}(BC + CA - AB) = 5$ である。$QC = EC\cos{\angle{C}}$ であり、$EC = DC = 5$ である。また、余弦定理から、$\cos{\angle{C}} = \frac{BC^2 + CA^2 - AB^2}{2\cdot BC \cdot CA} = \frac{11}{14}$ である。これより、$DQ = 5 - 5\cdot \frac{11}{14} = \frac{15}{14}$ である。同様にして、$DR = \frac{12}{7}$ であるから、$DQ : DR = \frac{15}{14} : \frac{12}{7} = 5 : 8$ を得る。よって、$\frac{DY}{DX} = \frac{DR}{DQ} = \frac{8}{5}$ である。
|
\frac{8}{5}
|
[
"角度追跡",
"長さ追跡",
"内接円",
"余弦定理",
"合同"
] |
nan
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\documentclass{ltjsarticle}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,intersections,angles,quotes}
% ラベルを点に近づけて小さくするスタイル
\tikzset{
ptlabel/.style={
inner sep=0pt,
outer sep=0pt,
font=\scriptsize, % ← ここを \small→\scriptsize に変更
label distance=0.5pt % ← デフォルトよりさらに近づける
},
right angle/.style={
draw,
angle radius=1.8mm,
angle eccentricity=1.2
}
}
\begin{document}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[thick]
%--- 三角形頂点 ---
\coordinate (B) at (-7,0);
\coordinate (C) at (0,0);
\coordinate (A) at (-6.2857,{2.8571*sqrt(3)});
\coordinate (I) at (-5,{sqrt(3)});
\coordinate (D) at ($(B)!(I)!(C)$);
\coordinate (E) at ($(C)!(I)!(A)$);
\coordinate (F) at ($(A)!(I)!(B)$);
\coordinate (P) at ($(E)!(A)!(F)$);
\coordinate (Q) at ($(B)!(E)!(C)$);
\coordinate (R) at ($(B)!(F)!(C)$);
\coordinate (X) at ($(P)!(D)!(Q)$);
\coordinate (Y) at ($(P)!(D)!(R)$);
\draw (A)--(B)--(C)--cycle;
\draw (I) circle[radius={sqrt(3)}];
\draw[dashed] (E)--(Q) (F)--(R) (D)--(X) (D)--(Y);
\draw (A)--(P) (P)--(Q) (P)--(R) (E)--(F) (P)--(D);
\pic [right angle] at (P) {right angle = F--P--A};
\pic [right angle] at (Q) {right angle = C--Q--E};
\pic [right angle] at (R) {right angle = C--R--F};
\pic [right angle] at (X) {right angle = P--X--D};
\pic [right angle] at (Y) {right angle = P--Y--D};
\foreach \pt in {A,E,X}{
\node[ptlabel,above right=0.75pt] at (\pt) {\(\pt\)};
}
\foreach \pt in {C,D,F,Q,R}{
\node[ptlabel,below right=0.75pt] at (\pt) {\(\pt\)};
}
\foreach \pt in {B}{
\node[ptlabel,below=0.75pt] at (\pt) {\(\pt\)};
}
\foreach \pt in {P,Y}{
\node[ptlabel,above=1pt] at (\pt) {\(\pt\)};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{document}
|
\documentclass{ltjsarticle}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc,intersections,angles,quotes}
% ラベルを点に近づけて小さくするスタイル
\tikzset{
ptlabel/.style={
inner sep=0pt,
outer sep=0pt,
font=\scriptsize, % ← ここを \small→\scriptsize に変更
label distance=0.5pt % ← デフォルトよりさらに近づける
},
right angle/.style={
draw,
angle radius=1.8mm,
angle eccentricity=1.2
}
}
\begin{document}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[thick]
\coordinate (B) at (-7,0);
\coordinate (C) at (0,0);
\coordinate (A) at (-6.2857,{2.8571*sqrt(3)});
\coordinate (I) at (-5,{sqrt(3)});
\coordinate (D) at ($(B)!(I)!(C)$);
\coordinate (E) at ($(C)!(I)!(A)$);
\coordinate (F) at ($(A)!(I)!(B)$);
\coordinate (P) at ($(E)!(A)!(F)$);
\coordinate (Q) at ($(B)!(E)!(C)$);
\coordinate (R) at ($(B)!(F)!(C)$);
\coordinate (X) at ($(P)!(D)!(Q)$);
\coordinate (Y) at ($(P)!(D)!(R)$);
\coordinate (G) at (intersection cs: first line={(A)--(P)}, second line={(B)--(C)});
\coordinate (O1) at ($ (E)!0.5!(G) $);
\coordinate (O2) at ($ (F)!0.5!(G) $);
\draw[gray!40, thick] (O1) circle ({0.5 * 3.1161});
\draw[gray!40, thick] (O2) circle ({0.5 * 3.1161});
\draw (A)--(B)--(C)--cycle;
\draw (I) circle[radius={sqrt(3)}];
\draw[dashed] (E)--(Q) (F)--(R) (D)--(X) (D)--(Y);
\draw (A)--(G) (P)--(Q) (P)--(R) (E)--(F) (P)--(D) (E)--(G) (F)--(G);
\pic [right angle] at (P) {right angle = F--P--A};
\pic [right angle] at (Q) {right angle = C--Q--E};
\pic [right angle] at (R) {right angle = C--R--F};
\pic [right angle] at (X) {right angle = P--X--D};
\pic [right angle] at (Y) {right angle = P--Y--D};
\foreach \pt in {A,E,X}{
\node[ptlabel,above right=0.75pt] at (\pt) {\(\pt\)};
}
\foreach \pt in {C,D,F,Q,R,G}{
\node[ptlabel,below right=0.75pt] at (\pt) {\(\pt\)};
}
\foreach \pt in {B}{
\node[ptlabel,below=0.75pt] at (\pt) {\(\pt\)};
}
\foreach \pt in {P,Y}{
\node[ptlabel,above=1pt] at (\pt) {\(\pt\)};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{document}
|
|
Metachick_0002
|
Metachick
| 2 |
$\angle{EAB} = 120^{\circ}$ なる円に内接する五角形 $ABCDE$ において、$BC = \frac{2}{\sqrt{3}}, DE = \frac{11}{\sqrt{3}}$ が成り立っている。
$AC \perp BD, AD \perp EC$ が成り立っているとき、$\frac{AC}{AD}$ の値は何か？
|
円周角の定理などの簡単な角度計算から $\angle{ABE} = \angle{AEB}$ を得る。
したがって、$AB = AE$ である。
四角形 $ABCE$ に関するトレミーの定理より、$AB \cdot CE + BC \cdot EA = AC \cdot BE$ を得る。
これより、$AB = \frac{AC \cdot BE}{BC + EC}$ を得る。
また、四角形 $ABDE$ に関するトレミーの定理より、$AB \cdot ED + BD \cdot EA = AD \cdot BE$ を得る。
これより、$AB = \frac{AD \cdot BE}{BD + ED}$ を得る。
したがって、$\frac{AC}{AD} = \frac{BC + EC}{BD + ED}$ を得る。
以後、$\frac{BC + EC}{BD + ED}$ を計算する。\\
三角形 $ACD$ の垂心を $H$ とする。
点 $A$ から直線 $CD$ へ下した垂線の足を $H_A$、点 $C$ から直線 $DA$ へ下した垂線の足を $H_C$、点 $D$ から直線 $AC$ へ下した垂線の足を $H_D$ とする。
円周角の定理などの簡単な角度計算から、$\angle{BAC} = \angle{BDC} = \angle{H_DDC} = \angle{H_AAC}$ を得る。
同様に、$\angle{EAD} = \angle{H_AAD}$ を得る。
よって、$\angle{CAD} = \frac{1}{2}\angle{BAE} = 60^{\circ}$ である。
円周角の定理から、$\angle{CBD} = \angle{CED} = 60^{\circ}$ である。
また、$\angle{BAH_D} = \angle{HAH_D}, \angle{BH_DA} = \angle{HH_DA} = 90^{\circ}$、$AH_D$ が共通していることから $\triangle{ABH_D} \equiv \triangle{AHH_D}$ を得る。
したがって、$BH_D = HH_D$ を得る。これと、$\angle{CH_DB} = \angle{CH_DH} = 90^{\circ}$ と $CH_D$ が共通していることから $\triangle{CH_DB} \equiv \triangle{CH_DH}$ である。
よって、$\angle{H_DHC} = \angle{H_DBC} = 60^{\circ}$ である。よって、$\triangle{BCH}$ は正三角形である。
同様に、$\triangle{EDH}$ も正三角形である。\\
以上より、
$$
\frac{AC}{AD} = \frac{BC + EC}{BD + ED} = \frac{BC + EH + HC}{BH + HD + ED} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{11}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{11}{\sqrt{3}} + \frac{11}{\sqrt{3}}} = \frac{5}{8}
$$
を得る。
|
\frac{5}{8}
|
[
"長さ追跡",
"角度追跡",
"トレミーの定理",
"垂心",
"合同"
] |
nan
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\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.15}
\usepackage{mathrsfs}
\usetikzlibrary{arrows}
\pagestyle{empty}
\newcommand{\degre}{\ensuremath{^\circ}}
\begin{document}
\definecolor{wewdxt}{rgb}{0.43137254901960786,0.42745098039215684,0.45098039215686275}
\definecolor{rvwvcq}{rgb}{0.08235294117647059,0.396078431372549,0.7529411764705882}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\clip(-10.622181702059725,-2.8897928093154244) rectangle (5.7476991462050275,7.872793031969078);
\fill[line width=2pt,color=rvwvcq,fill=rvwvcq,fill opacity=0.10000000149011612] (-6.285714285714286,4.948716593053935) -- (-7.428571428571427,1.0722219284950194) -- (-7,0) -- (0,0) -- (-2.3571428571428577,5.897220606722606) -- cycle;
\draw [shift={(-6.285714285714286,4.948716593053935)},line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-106.42642140347637:0.3664898697372706) arc (-106.42642140347637:13.57357859652365:0.3664898697372706) -- cycle;
\draw[line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (-6.894163924589629,0.7332538395378196) -- (-6.6376744455166605,0.6962327720910486) -- (-6.6006533780698895,0.9527222511640163) -- (-6.857142857142858,0.9897433186107875) -- cycle;
\draw[line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (-4.481734495849176,3.1986267867673392) -- (-4.278118624891935,3.038320862346734) -- (-4.11781270047133,3.2419367333039757) -- (-4.321428571428571,3.402242657724581) -- cycle;
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-3.5,2.0207259421636903) circle (4.041451884327381cm);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-6.285714285714286,4.948716593053935)-- (-7.428571428571427,1.0722219284950194);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-7.428571428571427,1.0722219284950194)-- (-7,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-7,0)-- (0,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (0,0)-- (-2.3571428571428577,5.897220606722606);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-2.3571428571428577,5.897220606722606)-- (-6.285714285714286,4.948716593053935);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-6.285714285714286,4.948716593053935)-- (-7,0);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-7.428571428571427,1.0722219284950194)-- (0,0);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-7,0)-- (-2.3571428571428577,5.897220606722606);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-6.285714285714286,4.948716593053935)-- (0,0);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=rvwvcq] (-7,0) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (-6.896201359730807,0.2681282349207208) node {$C$};
\draw [fill=wewdxt] (0,0) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (0.10375515225106072,0.24369557693823612) node {$D$};
\draw [fill=wewdxt] (-6.285714285714286,4.948716593053935) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-6.187654278238751,5.191308818391384) node {$A$};
\draw [fill=wewdxt] (-7.428571428571427,1.0722219284950194) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-7.335989203415532,1.3065161991763197) node {$B$};
\draw [fill=wewdxt] (-2.3571428571428577,5.897220606722606) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-2.2539963430587133,6.131966150717044) node {$E$};
\draw[color=black] (-6.053274659335084,4.446112749925601) node {$120\textrm{\degre}$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.15}
\usepackage{mathrsfs}
\usetikzlibrary{arrows}
\pagestyle{empty}
\newcommand{\degre}{\ensuremath{^\circ}}
\begin{document}
\definecolor{tyycyt}{rgb}{0.2196078431372549,0.5490196078431373,0.5137254901960784}
\definecolor{qqwxvy}{rgb}{0,0.403921568627451,0.34509803921568627}
\definecolor{wewdxt}{rgb}{0.43137254901960786,0.42745098039215684,0.45098039215686275}
\definecolor{rvwvcq}{rgb}{0.08235294117647059,0.396078431372549,0.7529411764705882}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\clip(-10.967528168313546,-2.954705248895827) rectangle (5.65945926573189,7.976918579010115);
\fill[line width=2pt,color=rvwvcq,fill=rvwvcq,fill opacity=0.10000000149011612] (-6.285714285714286,4.948716593053935) -- (-7.428571428571427,1.0722219284950194) -- (-7,0) -- (0,0) -- (-2.3571428571428577,5.897220606722606) -- cycle;
\draw [shift={(-6.285714285714286,4.948716593053935)},line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-106.42642140347637:0.3722459873293754) arc (-106.42642140347637:13.57357859652365:0.3722459873293754) -- cycle;
\draw[line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (-6.8947453802728695,0.7292253963949298) -- (-6.634227458057012,0.691622873264918) -- (-6.596624934927,0.9521407954807757) -- (-6.857142857142858,0.9897433186107875) -- cycle;
\draw[line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (-4.484252272813483,3.1954287805095154) -- (-4.277438395598417,3.0326050791246044) -- (-4.114614694213506,3.23941895633967) -- (-4.321428571428571,3.402242657724581) -- cycle;
\fill[line width=2pt,color=qqwxvy,fill=qqwxvy,fill opacity=0.10000000149011612] (-7.428571428571427,1.0722219284950194) -- (-7,0) -- (-6.285714285714285,0.9072647087265551) -- cycle;
\fill[line width=2pt,color=tyycyt,fill=tyycyt,fill opacity=0.10000000149011612] (-2.3571428571428577,5.897220606722606) -- (-6.285714285714285,0.9072647087265551) -- (0,0) -- cycle;
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-3.5,2.0207259421636903) circle (4.041451884327381cm);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-6.285714285714286,4.948716593053935)-- (-7.428571428571427,1.0722219284950194);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-7.428571428571427,1.0722219284950194)-- (-7,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-7,0)-- (0,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (0,0)-- (-2.3571428571428577,5.897220606722606);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-2.3571428571428577,5.897220606722606)-- (-6.285714285714286,4.948716593053935);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-6.285714285714286,4.948716593053935)-- (-7,0);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-7.428571428571427,1.0722219284950194)-- (0,0);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-7,0)-- (-2.3571428571428577,5.897220606722606);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-6.285714285714286,4.948716593053935)-- (0,0);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-6.285714285714286,4.948716593053935)-- (-6.285714285714286,0);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-7.428571428571427,1.0722219284950194)-- (-2.3571428571428577,5.897220606722606);
\draw [line width=2pt,color=qqwxvy] (-7.428571428571427,1.0722219284950194)-- (-7,0);
\draw [line width=2pt,color=qqwxvy] (-7,0)-- (-6.285714285714285,0.9072647087265551);
\draw [line width=2pt,color=qqwxvy] (-6.285714285714285,0.9072647087265551)-- (-7.428571428571427,1.0722219284950194);
\draw [line width=2pt,color=tyycyt] (-2.3571428571428577,5.897220606722606)-- (-6.285714285714285,0.9072647087265551);
\draw [line width=2pt,color=tyycyt] (-6.285714285714285,0.9072647087265551)-- (0,0);
\draw [line width=2pt,color=tyycyt] (0,0)-- (-2.3571428571428577,5.897220606722606);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=rvwvcq] (-7,0) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (-6.897638706845708,0.26522254150325564) node {$C$};
\draw [fill=wewdxt] (0,0) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (0.10058585494655031,0.2404061423479641) node {$D$};
\draw [fill=wewdxt] (-6.285714285714286,4.948716593053935) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-6.190371330919894,5.191277773828634) node {$A$};
\draw [fill=wewdxt] (-7.428571428571427,1.0722219284950194) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-7.3319256920633125,1.3199195056031479) node {$B$};
\draw [fill=wewdxt] (-2.3571428571428577,5.897220606722606) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-2.2569720648061606,6.134300941729714) node {$E$};
\draw[color=black] (-6.05388113556579,4.446785799169887) node {$120\textrm{\degre}$};
\draw [fill=wewdxt] (-6.857142857142858,0.9897433186107875) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-6.723923912758666,1.2702867072925648) node {$H_D$};
\draw [fill=wewdxt] (-4.321428571428571,3.402242657724581) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-4.180242999341267,3.677477425355848) node {$H_C$};
\draw [fill=wewdxt] (-6.285714285714285,0.9072647087265551) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-6.190371330919894,1.146204711516107) node {$H$};
\draw [fill=wewdxt] (-6.285714285714286,0) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-6.153146732186957,0.27763074108090147) node {$H_A$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
|
Metachick_0003
|
Metachick
| 3 |
三角形 $ABC$ において、その内部に点 $P$ を取ったところ、$\angle{BAP} = \angle{PBC}, \angle{CAP} = \angle{PCB}$ が成り立った。
直線 $AP$ と直線 $BC$ の交点を $Q$ とし、$AP = 6, PQ = 2$ であるとき、$BC$ の値は何か？
|
$\angle{BAP} = \angle{PBC}$ であるので、接弦定理の逆より三角形 $PAB$ の外接円は直線 $BC$ と接する。
これより、方べきの定理を用いることで、$QP \cdot QA$ = $QB^2$ を得るから、$QB = \sqrt{2 \cdot(2+6)} = 4$ である。
同様にして、$QC = 4$ であるから、$BC = BQ+QC = 8$ である。
|
8
|
[
"接弦定理の逆",
"方べきの定理"
] |
nan
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\documentclass[10pt]{article}
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\pagestyle{empty}
\begin{document}
\definecolor{bqqqsq}{rgb}{0.6901960784313725,0,0.12549019607843137}
\definecolor{qqwxvy}{rgb}{0,0.403921568627451,0.34509803921568627}
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\definecolor{rvwvcq}{rgb}{0.08235294117647059,0.396078431372549,0.7529411764705882}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\clip(-5.699094043965661,-5.569947765144519) rectangle (15.840000042267956,8.30135478600446);
\fill[line width=2pt,color=rvwvcq,fill=rvwvcq,fill opacity=0.10000000149011612] (0.474296132932899,6.212425975677012) -- (-2.17,-3.3) -- (9.91,-3.32) -- cycle;
\draw [shift={(0.474296132932899,6.212425975677012)},line width=2pt,color=qqwxvy,fill=qqwxvy,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-105.53504563454291:0.47234855452266705) arc (-105.53504563454291:-70.37372951235605:0.47234855452266705) -- cycle;
\draw [shift={(-2.17,-3.3)},line width=2pt,color=qqwxvy,fill=qqwxvy,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-0.09486047543354904:0.47234855452266705) arc (-0.09486047543354904:35.066455646753305:0.47234855452266705) -- cycle;
\draw [shift={(9.91,-3.32)},line width=2pt,color=bqqqsq,fill=bqqqsq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (154.82356957795378:0.47234855452266705) arc (154.82356957795378:179.90513952456647:0.47234855452266705) -- cycle;
\draw [shift={(0.474296132932899,6.212425975677012)},line width=2pt,color=bqqqsq,fill=bqqqsq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-70.37372951235604:0.47234855452266705) arc (-70.37372951235604:-45.29215956574335:0.47234855452266705) -- cycle;
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (0.474296132932899,6.212425975677012)-- (-2.17,-3.3);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-2.17,-3.3)-- (9.91,-3.32);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (9.91,-3.32)-- (0.474296132932899,6.212425975677012);
\draw [line width=2pt,domain=-5.699094043965661:15.840000042267956] plot(\x,{(--16.47011090216965-6.123510793537942*\x)/2.1836482987378183});
\draw [line width=2pt] (-2.17,-3.3)-- (2.6579444316707175,0.08891518213906974);
\draw [line width=2pt] (2.6579444316707175,0.08891518213906974)-- (9.91,-3.32);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=rvwvcq] (0.474296132932899,6.212425975677012) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (0.5988866830032329,6.545792658361882) node {$A$};
\draw [fill=rvwvcq] (-2.17,-3.3) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (-2.0462652223237026,-2.964158239361141) node {$B$};
\draw [fill=rvwvcq] (9.91,-3.32) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (10.030112821639152,-2.9799031911785634) node {$C$};
\draw [fill=wewdxt] (2.6579444316707175,0.08891518213906974) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (2.787434985624923,0.3895164977497923) node {$P$};
\draw [fill=wewdxt] (3.87,-3.31) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (3.9997962755664354,-2.995648142995986) node {$Q$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{pgfplots}
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\usepackage{mathrsfs}
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\pagestyle{empty}
\begin{document}
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\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\clip(-5.547635936070721,-5.069314876509807) rectangle (22.542879584379726,9.21097604877398);
\fill[line width=2pt,color=rvwvcq,fill=rvwvcq,fill opacity=0.10000000149011612] (0.474296132932899,6.212425975677012) -- (-2.17,-3.3) -- (9.91,-3.32) -- cycle;
\draw [shift={(0.474296132932899,6.212425975677012)},line width=2pt,color=qqwxvy,fill=qqwxvy,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-105.53504563454291:0.48627551391431817) arc (-105.53504563454291:-70.37372951235605:0.48627551391431817) -- cycle;
\draw [shift={(-2.17,-3.3)},line width=2pt,color=qqwxvy,fill=qqwxvy,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-0.09486047543354904:0.48627551391431817) arc (-0.09486047543354904:35.066455646753305:0.48627551391431817) -- cycle;
\draw [shift={(9.91,-3.32)},line width=2pt,color=bqqqsq,fill=bqqqsq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (154.82356957795378:0.48627551391431817) arc (154.82356957795378:179.90513952456647:0.48627551391431817) -- cycle;
\draw [shift={(0.474296132932899,6.212425975677012)},line width=2pt,color=bqqqsq,fill=bqqqsq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-70.37372951235604:0.48627551391431817) arc (-70.37372951235604:-45.29215956574335:0.48627551391431817) -- cycle;
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (0.474296132932899,6.212425975677012)-- (-2.17,-3.3);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-2.17,-3.3)-- (9.91,-3.32);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (9.91,-3.32)-- (0.474296132932899,6.212425975677012);
\draw [line width=2pt,domain=-5.547635936070721:22.542879584379726] plot(\x,{(--16.47011090216965-6.123510793537942*\x)/2.1836482987378183});
\draw [line width=2pt] (-2.17,-3.3)-- (2.6579444316707175,0.08891518213906974);
\draw [line width=2pt] (2.6579444316707175,0.08891518213906974)-- (9.91,-3.32);
\draw [line width=2pt] (-2.161520875672037,1.8213910940895375) circle (5.121398113227383cm);
\draw [line width=2pt] (9.92564848389683,6.131684273687065) circle (9.451697227721148cm);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=rvwvcq] (0.474296132932899,6.212425975677012) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (0.6118539068439761,6.560774497940949) node {$A$};
\draw [fill=rvwvcq] (-2.17,-3.3) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (-2.04645223588763,-2.954016390982527) node {$B$};
\draw [fill=rvwvcq] (9.91,-3.32) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (10.04559887678175,-2.9702255747796706) node {$C$};
\draw [fill=wewdxt] (2.6579444316707175,0.08891518213906974) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (2.7838845356612643,0.401284655026263) node {$P$};
\draw [fill=wewdxt] (3.87,-3.31) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (3.9995733204470594,-2.9864347585768147) node {$Q$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
|
Metachick_0004
|
Metachick
| 4 |
$AC = 5, BC = 6$ なる三角形 $ABC$ において、$A$ から $BC$ へと降ろした垂線の足を $D$ とすれば、$BD = 2$ が成り立った。
$D$ から $AC$ へ下した垂線の足を $E$ とし、線分 $DC$ の中点を $P$ とする。
直線 $AP$ と直線 $DE$ の交点を $Q$ とするとき、$\frac{EQ}{DQ}$ の値は何か？
|
辺 $AD$ の中点を $M$ とすれば、中点連結定理から直線 $MP$ は直線 $AC$ と平行である。
三角形 $ADE$ の外接円の中心が $M$ である。よって、$\angle{MDC}= 90^{\circ}$ と併せて三角形 $ADE$ の外接円が直線 $BC$ と接することがわかる。
接弦定理より、$\angle{EDC} = \angle{DAE}$ となる。
$MA = ME$ と $AC//MP$ を用いれば、$\angle{DAE} = {EMP}$ となる。
よって、$\angle{PDE} = \angle{PME}$ であるから四点 $MDPE$ は共円である。
これより、$\angle{MEP} = 90^{\circ}$ となるから、直線 $EP$ は三角形 $ADE$ の外接円に接する。
よって、有名事実より、直線 $AP$ は三角形 $ADE$ のA-Symmedianである。
Steiner's ratio theorem より、$AD^2:AE^2 = QD:QE$ となる。
三平方の定理と、$\triangle{ADE} \backsim \triangle{ACD}$ を用いれば、$AD = 3, AE = \frac{9}{5}$ を得る。
以上より、$\frac{EQ}{DQ} = \frac{EA^2}{DA^2} = \frac{9}{25}$ となる。
|
\frac{9}{25}
|
[
"Symmedian",
"共円"
] |
nan
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\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\definecolor{wewdxt}{rgb}{0.43137254901960786,0.42745098039215684,0.45098039215686275}
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\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\clip(-8.064238065759964,-3.344267934348968) rectangle (4.769257066287544,4.920577980368742);
\fill[line width=2pt,color=rvwvcq,fill=rvwvcq,fill opacity=0.10000000149011612] (-5.045982796927831,2.9639887330558197) -- (-7.27,-1.72) -- (0.99,-1.7) -- cycle;
\draw [shift={(-5.045982796927831,2.9639887330558197)},line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-89.8612695701124:0.2814362967554278) arc (-89.8612695701124:-37.69317186280141:0.2814362967554278) -- cycle;
\draw [shift={(-5.034654525077277,-1.7145875412229472)},line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (0.13873042988757334:0.2814362967554278) arc (0.13873042988757334:52.30682813719858:0.2814362967554278) -- cycle;
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-5.045982796927831,2.9639887330558197)-- (-7.27,-1.72);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-7.27,-1.72)-- (0.99,-1.7);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (0.99,-1.7)-- (-5.045982796927831,2.9639887330558197);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-5.038806068760626,-3.344267934348968) -- (-5.038806068760626,4.920577980368742);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt,domain=-8.064238065759964:4.769257066287544] plot(\x,{(-1527.7798745034172-411.823034268792*\x)/-318.21462327893244});
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-5.045982796927831,2.9639887330558197)-- (-2.0223272625386386,-1.7072937706114737);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=rvwvcq] (-5.045982796927831,2.9639887330558197) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (-4.968438801450258,3.161601125647323) node {$A$};
\draw [fill=rvwvcq] (-7.27,-1.72) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (-7.191785545818138,-1.519622610384615) node {$B$};
\draw [fill=rvwvcq] (0.99,-1.7) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (1.063679159007745,-1.50086019060092) node {$C$};
\draw [fill=wewdxt] (-5.034654525077277,-1.7145875412229472) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-4.959057591558411,-1.5290038202764626) node {$D$};
\draw [fill=wewdxt] (-2.7752796254348224,1.2094221008666368) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-2.69818600762314,1.388552456088132) node {$E$};
\draw [fill=wewdxt] (-2.0223272625386386,-1.7072937706114737) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-1.9476892162753325,-1.5290038202764626) node {$P$};
\draw [fill=wewdxt] (-3.392898946751858,0.4101192268913516) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-3.3173458604850814,0.5911496152810883) node {$Q$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
\documentclass[10pt]{article}
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\pagestyle{empty}
\begin{document}
\definecolor{wewdxt}{rgb}{0.43137254901960786,0.42745098039215684,0.45098039215686275}
\definecolor{rvwvcq}{rgb}{0.08235294117647059,0.396078431372549,0.7529411764705882}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\clip(-10.307506043632486,-4.7915213186773284) rectangle (3.723725397015104,4.24467378308471);
\fill[line width=2pt,color=rvwvcq,fill=rvwvcq,fill opacity=0.10000000149011612] (-5.045982796927831,2.9639887330558197) -- (-7.27,-1.72) -- (0.99,-1.7) -- cycle;
\draw [shift={(-5.045982796927831,2.9639887330558197)},line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-89.8612695701124:0.30770244387385065) arc (-89.8612695701124:-37.69317186280141:0.30770244387385065) -- cycle;
\draw [shift={(-5.040318661002554,0.6247005959164362)},line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-89.8612695701124:0.30770244387385065) arc (-89.8612695701124:-37.693171862801414:0.30770244387385065) -- cycle;
\draw [shift={(-2.7752796254348224,1.2094221008666368)},line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (142.3068281371986:0.30770244387385065) arc (142.3068281371986:194.47492584450958:0.30770244387385065) -- cycle;
\draw [shift={(-5.040318661002554,0.6247005959164362)},line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-37.69317186280142:0.30770244387385065) arc (-37.69317186280142:14.474925844509528:0.30770244387385065) -- cycle;
\draw [shift={(-5.034654525077277,-1.7145875412229472)},line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (0.13873042988757334:0.30770244387385065) arc (0.13873042988757334:52.30682813719858:0.30770244387385065) -- cycle;
\draw[line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (-2.9859515424892864,1.155036989415366) -- (-2.9315664310380156,0.9443650723609021) -- (-2.7208945139835516,0.9987501838121728) -- (-2.7752796254348224,1.2094221008666368) -- cycle;
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-5.045982796927831,2.9639887330558197)-- (-7.27,-1.72);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-7.27,-1.72)-- (0.99,-1.7);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (0.99,-1.7)-- (-5.045982796927831,2.9639887330558197);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-5.038806068760626,-4.7915213186773284) -- (-5.038806068760626,4.24467378308471);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt,domain=-10.307506043632486:3.723725397015104] plot(\x,{(-1527.7798745034172-411.823034268792*\x)/-318.21462327893244});
\draw [line width=2pt,color=wewdxt,domain=-10.307506043632486:3.723725397015104] plot(\x,{(--4.3621539481831455--0.5847215049502006*\x)/2.2650390355677317});
\draw [line width=2pt,color=wewdxt,domain=-10.307506043632486:3.723725397015104] plot(\x,{(--19.737307395744732--4.663988733055819*\x)/-6.035982796927831});
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-5.045982796927831,2.9639887330558197)-- (-2.0223272625386386,-1.7072937706114737);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-5.040318661002554,0.6247005959164366) circle (2.3392949944367483cm);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-3.531322961770597,-0.541296587347519) circle (1.9069917282673308cm);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt,domain=-10.307506043632486:3.723725397015104] plot(\x,{(--7.184064902709171--2.9167158714781105*\x)/-0.7529523628961834});
\draw [line width=2pt,color=wewdxt,domain=-10.307506043632486:3.723725397015104] plot(\x,{(--5.128177179221046-0.007293770611473516*\x)/-3.012327262538639});
\begin{scriptsize}
\draw [fill=rvwvcq] (-5.045982796927831,2.9639887330558197) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (-4.963740268356615,3.18310035171993) node {$A$};
\draw [fill=rvwvcq] (-7.27,-1.72) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (-7.189454612377467,-1.504233543291706) node {$B$};
\draw [fill=rvwvcq] (0.99,-1.7) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (1.0672276315708589,-1.4837200470334493) node {$C$};
\draw [fill=wewdxt] (-5.034654525077277,-1.7145875412229472) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-4.953483520227486,-1.5144902914208342) node {$D$};
\draw [fill=wewdxt] (-5.040318661002554,0.6247005959164362) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-4.953483520227486,0.8240482820204195) node {$M$};
\draw [fill=wewdxt] (-2.7752796254348224,1.2094221008666368) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-2.6969989318192473,1.4086829253807331) node {$E$};
\draw [fill=wewdxt] (-2.0223272625386386,-1.7072937706114737) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-1.9379995702637491,-1.504233543291706) node {$P$};
\draw [fill=wewdxt] (-3.392898946751858,0.4101192268913516) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-3.3124038195669487,0.6086565713087251) node {$Q$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
|
Metachick_0005
|
Metachick
| 5 |
$AB=5,BC=7,CA=8$ なる三角形 $ABC$ において、その外接円を $\Gamma$ とする。
線分 $BC$ の垂直二等分線と $\Gamma$ の交点のうち、点 $A$ の側にあるものを $P$ とし、線分 $AP$ の垂直二等分線と直線 $AC$ の交点を $Q$ とする。
$PQ$ の長さは何か？
|
$\angle{BPC} = 60^{\circ}$ であったので三角形 $PBC$ は正三角形である。
これより、円周角の定理などから三角形 $APQ$ も正三角形である。
したがって、$PQ = AP = AC = QC$ であるから $QC$ の長さを求めればよい。
$\angle{PAB} = \angle{PQC} = 120^{\circ}$ であり、$PA = PQ, PB = PC$ より、$\triangle{PAB} \equiv \triangle{PQC}$ となる。
よって、$QC = 5$ であるから、$PQ = 8 - 5 = 3$ となる。
|
3
|
[
"合同",
"共円"
] |
nan
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\begin{document}
\definecolor{wewdxt}{rgb}{0.43137254901960786,0.42745098039215684,0.45098039215686275}
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\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\clip(-6.965058344054283,-3.384171902657723) rectangle (9.77053115439496,7.393645603287949);
\fill[line width=2pt,color=rvwvcq,fill=rvwvcq,fill opacity=0.10000000149011612] (-3.2857142857142856,4.948716593053935) -- (-4,0) -- (3,0) -- cycle;
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-3.2857142857142856,4.948716593053935)-- (-4,0);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-3.2857142857142856,4.948716593053935)-- (3,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-3.2857142857142856,4.948716593053935)-- (-4,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-4,0)-- (3,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (3,0)-- (-3.2857142857142856,4.948716593053935);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-0.5,2.0207259421636903) circle (4.041451884327381cm);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-0.5,-3.384171902657723) -- (-0.5,7.393645603287949);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt,domain=-6.965058344054283:9.77053115439496] plot(\x,{(-0.8571428571428639--2.7857142857142856*\x)/-1.1134612334371363});
\begin{scriptsize}
\draw [fill=rvwvcq] (-4,0) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (-3.9066538304487923,0.2675630865872066) node {$B$};
\draw [fill=rvwvcq] (3,0) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (3.103209314734992,0.2675630865872066) node {$C$};
\draw [fill=wewdxt] (-3.2857142857142856,4.948716593053935) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-3.1848703652378965,5.1854775444648) node {$A$};
\draw [fill=wewdxt] (-0.5,6.062177826491071) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-0.407839066884111,6.298736787417191) node {$P$};
\draw [fill=wewdxt] (-0.9285714285714267,3.0929478706587084) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-0.8360156987888796,3.3259676001926755) node {$Q$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
\documentclass[10pt]{article}
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\pagestyle{empty}
\begin{document}
\definecolor{wewdxt}{rgb}{0.43137254901960786,0.42745098039215684,0.45098039215686275}
\definecolor{rvwvcq}{rgb}{0.08235294117647059,0.396078431372549,0.7529411764705882}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\clip(-8.584128191613784,-3.5680593469545117) rectangle (9.335290684000245,7.972151200864091);
\fill[line width=2pt,color=rvwvcq,fill=rvwvcq,fill opacity=0.10000000149011612] (-3.2857142857142856,4.948716593053935) -- (-4,0) -- (3,0) -- cycle;
\fill[line width=2pt,color=rvwvcq,fill=rvwvcq,fill opacity=0.10000000149011612] (-0.5,6.062177826491071) -- (-3.2857142857142856,4.948716593053935) -- (-0.9285714285714267,3.0929478706587084) -- cycle;
\fill[line width=2pt,color=rvwvcq,fill=rvwvcq,fill opacity=0.10000000149011612] (-0.5,6.062177826491071) -- (-4,0) -- (3,0) -- cycle;
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-3.2857142857142856,4.948716593053935)-- (-4,0);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-3.2857142857142856,4.948716593053935)-- (3,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-3.2857142857142856,4.948716593053935)-- (-4,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-4,0)-- (3,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (3,0)-- (-3.2857142857142856,4.948716593053935);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-0.5,2.0207259421636903) circle (4.041451884327381cm);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-0.5,-3.5680593469545117) -- (-0.5,7.972151200864091);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt,domain=-8.584128191613784:9.335290684000245] plot(\x,{(-0.8571428571428639--2.7857142857142856*\x)/-1.1134612334371363});
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-0.5,6.062177826491071)-- (-3.2857142857142856,4.948716593053935);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-3.2857142857142856,4.948716593053935)-- (-0.9285714285714267,3.0929478706587084);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-0.9285714285714267,3.0929478706587084)-- (-0.5,6.062177826491071);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-0.5,6.062177826491071)-- (-4,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-4,0)-- (3,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (3,0)-- (-0.5,6.062177826491071);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=rvwvcq] (-4,0) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (-3.8946896262118673,0.27649433725066436) node {$B$};
\draw [fill=rvwvcq] (3,0) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (3.1001712506725565,0.27649433725066436) node {$C$};
\draw [fill=wewdxt] (-3.2857142857142856,4.948716593053935) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-3.1873441442797343,5.201714729963258) node {$A$};
\draw [fill=wewdxt] (-0.5,6.062177826491071) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-0.3972591877696553,6.315128914486051) node {$P$};
\draw [fill=wewdxt] (-0.9285714285714267,3.0929478706587084) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-0.8295258711726252,3.354757082696035) node {$Q$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
|
Metachick_0006
|
Metachick
| 6 |
$O$ を中心とする円に内接する不等辺三角形 $ABC$ において、内心に関する垂心の対称点を $P$ とする。
三角形 $ABC$ の $\angle{A},\angle{B},\angle{C}$ に関する傍接円と辺 $BC,CA,AB$ との接点をそれぞれ $T_A,T_B,T_C$ とする。
$AT_A,BT_B,CT_C$ は一点で交わるのでその点を $Q$ とする。
このとき、$\frac{OP}{OQ}$ の値としてありうる値の総和は何か？
|
三点 $P,O,Q$ は一直線上に並び、特に $O$ は $PQ$ の中点であることを示す。\\
三角形 $ABC$ について、その外心 $O$、重心 $G$ 、垂心 $H$ は共線であり、特に $HG:GO = 2 : 1$ である。
直線\(CO\)と円との交点を\(X\)とする。
このとき、\(CX\)は円の直径である。
また、\(BC\)の中点を\(M\)とすると、中点連結定理より、\(OM\) は \(XB\) に平行であり、\(2|OM|=|XB|\)である。
\(AD \perp BC\)、\(XB \perp BC\) であるから、\(AD \parallel XB\) である。
また、垂心の性質と円周角の定理より、\(BE \perp AC\)、\(XA \perp AC\) であるから、\(BE \parallel XA\) である。
よって、四角形\(XBHA\)は平行四辺形である。
よって、\( |AH| = |XB| = 2|OM| \)。
三角形\(AGH\) と三角形\(MGO\) は、\( \angle MGO = \angle AGH\)、\( \angle GAH = \angle GMO (\because AD \parallel OM) \) であるから、相似である。
さらに、\( |AH| = 2|OM| \) より、その相似比は \(2:1\) である。
また、\(G\) は \(AM\) を \(2:1\) に内分する点であり、\(M\) が中点であるから、\(G\) は重心である。
これより、三点\(O,G,H\)は一直線上に並び、\( |OG|:|GH| = 1:2 \) である。\\
三角形 $ABC$ について、(ナーゲル)点 $P$ 、重心 $G$ 、内心 $I$ は共線であり、特に $PG : GI = 2 : 1$ である。
内接円と辺 $BC$ との接点を $D$ 、直線 $DI$ と 内接円の交点のうち、$D$ でないものを $D'$ とする。
内心、傍心にまつわる構図から、$A,D',P,T_A$ は共線である。
よって、三角形 \(D'DT_A\) に関する中点連結定理から、\(IM // D'T_A\) であり、\(IM:D'T_A = 1:2\) である。
三角形 \(IMG, \ PGA\) の相似を示す。
平行から、\(\angle{IMG} = \angle{PAG}\) であり、\(AG:MG = 2:1\) である。
内心、傍心にまつわる構図から \(D'T_A = AP\) であるので、\(IM:D'T_A = 1:2\) と併せて、\(IM : PA = 1:2\) を得る。
このことから、目標の相似が得られた。
よって、\(\angle{IGM} = \angle{PGA}\) であるので、三点 \(P,I,G\) は共線であり、さらに \(PG : GI = 2:1\) である。
\(PG:GI=2:1\) であり、点 \(I\) は \(HQ\) の中点であるから、点 \(G\) は三角形 \(HQP\) の重心である。
さらに、\(HG:GO = 2:1\) であるから、\(O\) は \(QP\) の中点である。よって、三点 $P,O,Q$ は一直線上に並び、特に $O$ は $PQ$ の中点である。
これより、求める答えは $1$ である。
|
1
|
[
"オイラー線",
"ナーゲル線",
"傍心"
] |
nan
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\begin{document}
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\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\clip(-15.228385022411704,-4.378411355288746) rectangle (11.439042358852895,12.795567828113311);
\fill[line width=2pt,color=rvwvcq,fill=rvwvcq,fill opacity=0.10000000149011612] (-6.564806992444273,7.672966239678894) -- (-8.128820364470023,0.625446864681197) -- (0.8170211195364423,0.6830587371207163) -- cycle;
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-6.564806992444273,7.672966239678894)-- (-8.128820364470023,0.625446864681197);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-8.128820364470023,0.625446864681197)-- (0.8170211195364423,0.6830587371207163);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (0.8170211195364423,0.6830587371207163)-- (-6.564806992444273,7.672966239678894);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt,domain=-15.228385022411704:11.439042358852895] plot(\x,{(-8.417529260050472-4.76277997613913*\x)/2.977883821855245});
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\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-5.144841533394413,3.0356427889705215) circle (2.3909293018748894cm);
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\draw [line width=2pt,dash pattern=on 1pt off 1pt,color=wewdxt] (-6.530292305608099,2.3136035904144507)-- (-3.759390761180726,3.7576819875265923);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=rvwvcq] (-6.564806992444273,7.672966239678894) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (-6.417217495853518,8.08783119611377) node {$A$};
\draw [fill=rvwvcq] (-8.128820364470023,0.625446864681197) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (-7.976716173120453,1.0505934149467513) node {$B$};
\draw [fill=rvwvcq] (0.8170211195364423,0.6830587371207163) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (0.9709074876985895,1.1090746153442612) node {$C$};
\draw [fill=wewdxt] (-5.144841533394413,3.0356427889705215) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-4.994174952847439,3.409335164312982) node {$I$};
\draw [fill=wewdxt] (-3.5869231705890283,2.9101862635397646) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-3.376195075182993,3.058447961927923) node {$P$};
\draw [fill=wewdxt] (-6.530292305608099,2.3136035904144507) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-6.378230028921845,2.688067026077027) node {$H$};
\draw [fill=wewdxt] (-2.182355151546615,0.6637425349013173) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-1.9726462656427517,1.1090746153442612) node {$T_A$};
\draw [fill=wewdxt] (-2.2468712960846084,3.584281070951812) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-2.031127466040261,4.013640901753917) node {$T_B$};
\draw [fill=wewdxt] (-7.214644241313485,4.74476838413935) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-7.002029499828619,5.183264909704114) node {$T_C$};
\draw [fill=wewdxt] (-3.673156965884879,3.3339341255331787) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-3.5126512094438502,3.7212348997663676) node {$O$};
\draw [fill=wewdxt] (-3.759390761180726,3.7576819875265923) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-3.610119876773034,4.130603302548937) node {$Q$};
\draw [fill=wewdxt] (-2.134312950392301,-6.796141997065829) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-15.091928888150846,13.078226963367943) node {$I_A$};
\draw [fill=wewdxt] (4.968890134250743,11.20462662721296) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (5.181553916319316,11.635690686896034) node {$I_B$};
\draw [fill=wewdxt] (-12.38236351400354,5.891609083015056) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-12.167868868275342,6.333395184188475) node {$I_C$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
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\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\clip(-13.942460078117966,-3.77922801362591) rectangle (10.00977729400523,11.646152925584973);
\fill[line width=2pt,color=rvwvcq,fill=rvwvcq,fill opacity=0.10000000149011612] (-6.564806992444273,7.672966239678894) -- (-8.128820364470023,0.625446864681197) -- (0.8170211195364423,0.6830587371207163) -- cycle;
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-6.564806992444273,7.672966239678894)-- (-8.128820364470023,0.625446864681197);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-8.128820364470023,0.625446864681197)-- (0.8170211195364423,0.6830587371207163);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (0.8170211195364423,0.6830587371207163)-- (-6.564806992444273,7.672966239678894);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt,domain=-13.942460078117966:10.00977729400523] plot(\x,{(-8.417529260050472-4.76277997613913*\x)/2.977883821855245});
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\draw [line width=2pt,color=wewdxt,domain=-13.942460078117966:10.00977729400523] plot(\x,{(--4.827762850148412-2.227127526419048*\x)/4.40394429012547});
\draw [line width=2pt,color=wewdxt,domain=-13.942460078117966:10.00977729400523] plot(\x,{(-6.063465070028444-0.05761187243951926*\x)/-8.945841484006465});
\draw [line width=2pt,color=wewdxt,domain=-13.942460078117966:10.00977729400523] plot(\x,{(--58.2662262743313--7.047519374997697*\x)/1.5640133720257499});
\draw [line width=2pt,color=wewdxt,domain=-13.942460078117966:10.00977729400523] plot(\x,{(--10.75312424100801-6.989907502558178*\x)/7.381828111980716});
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-2.134312950392301,-6.796141997065829) circle (7.460039228005067cm);
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\draw [line width=2pt,color=wewdxt,domain=-13.942460078117966:10.00977729400523] plot(\x,{(--45.85004775294905--8.945841484006465*\x)/-0.05761187243951926});
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-5.144841533394413,3.0356427889705215) circle (2.3909293018748894cm);
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\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-5.144841533394413,3.0356427889705215)-- (-3.5869231705890283,2.9101862635397646);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-6.530292305608099,2.3136035904144507)-- (-3.5869231705890283,2.9101862635397646);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-3.759390761180726,3.7576819875265923)-- (-6.530292305608099,2.3136035904144507);
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\begin{scriptsize}
\draw [fill=rvwvcq] (-6.564806992444273,7.672966239678894) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (-6.43112248115828,8.048064636132265) node {$A$};
\draw [fill=rvwvcq] (-8.128820364470023,0.625446864681197) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (-7.9894186259820845,1.0094685662539742) node {$B$};
\draw [fill=rvwvcq] (0.8170211195364423,0.6830587371207163) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (0.9576524976691981,1.0619954025963496) node {$C$};
\draw [fill=wewdxt] (-5.144841533394413,3.0356427889705215) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-5.012897899914143,3.373176201660863) node {$I$};
\draw [fill=wewdxt] (-3.5869231705890283,2.9101862635397646) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-3.402074918747963,3.040506238159153) node {$P$};
\draw [fill=wewdxt] (-4.625535412459285,2.9938239471602692) circle (2pt);
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\draw [fill=wewdxt] (-6.530292305608099,2.3136035904144507) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-6.396104590263363,2.6553094383150673) node {$H$};
\draw [fill=wewdxt] (-2.182355151546615,0.6637425349013173) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-1.9838503375038261,1.0619954025963496) node {$T_A$};
\draw [fill=wewdxt] (-2.2468712960846084,3.584281070951812) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-2.05388611929366,3.9859892923219085) node {$T_B$};
\draw [fill=wewdxt] (-7.214644241313485,4.74476838413935) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-7.026426626371867,5.141579691854165) node {$T_C$};
\draw [fill=wewdxt] (-3.673156965884879,3.3339341255331787) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-3.524637536880172,3.670828274267657) node {$O$};
\draw [fill=wewdxt] (-3.759390761180726,3.7576819875265923) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-3.6121822641174646,4.091042965006658) node {$Q$};
\draw [fill=wewdxt] (-2.134312950392301,-6.796141997065829) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-13.819897459985757,11.900032634573122) node {$I_A$};
\draw [fill=wewdxt] (4.968890134250743,11.20462662721296) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (5.159799405059233,11.35725532570191) node {$I_B$};
\draw [fill=wewdxt] (-12.38236351400354,5.891609083015056) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-12.191565533372119,6.279661145938964) node {$I_C$};
\draw [fill=wewdxt] (-5.129444093386965,0.6447630669005961) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-4.9953889544666845,0.9919596208065158) node {$D$};
\draw [fill=wewdxt] (-5.16023897340186,5.426522511040447) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-4.942862118124308,5.7719017279626685) node {$D'$};
\draw [fill=wewdxt] (-3.6558996224667903,0.6542528009009567) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-3.5071285914327137,0.9919596208065158) node {$M$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
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Metachick_0007
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Metachick
| 7 |
直径 $AD$ の円に内接する五角形 $ABCDE$ について、$CD = 5, DE = \frac{13\sqrt{2}}{2}$ と $AB = BC, DE = EA$ が成り立っていた。
$BD$ と $CE$ の交点を $P$ とするとき、$AP$ の長さは何か？
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線分 $AD$ は円の直径であるから、円周角の定理の逆から $\angle{ABD} = \angle{ACD} = \angle{AED} = 90^{\circ}$ である。
特に、$\triangle{ADE}$ は直角二等辺三角形であるから、$AD = 13$ である。
$CD = 5$ と併せて $AC = 12$ を得る。
また、$AB = BC, DE = EA$ であるので $\angle{ACE} = \angle{DCE}, \angle{ADB} = \angle{CDB}$ である。
よって、$P$ は三角形 $ACD$ の内心である。\\
結局、$AC = 5, CD = 5, DA = 13$ なる三角形 $ACD$ について、$P$ を内心として $AP$ の長さを求めればよい。
$I$ から $AD$ へ下した垂線の足を $H$ とする。
$AH = \frac{12 + 13 - 5}{2} = 10$ である。
また、$PH$ 、すなわち内接円の半径は $\frac{(5+12+13) \times PH}{2} = \frac{5 \times 12}{2}$ より $2$ である。
よって、三平方の定理から $AP = \sqrt{2^2 + 10^2} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}$ となる。
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2\sqrt{26}
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[
"三平方の定理",
"内心"
] |
nan
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\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\definecolor{wewdxt}{rgb}{0.43137254901960786,0.42745098039215684,0.45098039215686275}
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\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\clip(-9.099816139251438,-8.42130435240266) rectangle (18.329373342349943,9.243254078365537);
\fill[line width=2pt,color=rvwvcq,fill=rvwvcq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,6.5) -- (-6,2.5) -- (-4.615384615384615,-4.576923076923077) -- (0,-6.5) -- (6.5,0) -- cycle;
\draw [shift={(0,0)},line width=2pt,color=wewdxt] plot[domain=-1.5707963267948966:1.5707963267948966,variable=\t]({1*6.5*cos(\t r)+0*6.5*sin(\t r)},{0*6.5*cos(\t r)+1*6.5*sin(\t r)});
\draw [shift={(0,0)},line width=2pt,color=wewdxt] plot[domain=1.5707963267948966:4.71238898038469,variable=\t]({1*6.5*cos(\t r)+0*6.5*sin(\t r)},{0*6.5*cos(\t r)+1*6.5*sin(\t r)});
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-6,2.5)-- (0,-6.5);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-4.615384615384615,-4.576923076923077)-- (6.5,0);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (0,6.5)-- (-2,-3.5);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (0,6.5)-- (-6,2.5);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-6,2.5)-- (-4.615384615384615,-4.576923076923077);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-4.615384615384615,-4.576923076923077)-- (0,-6.5);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (0,-6.5)-- (6.5,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (6.5,0)-- (0,6.5);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=rvwvcq] (0,6.5) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (0.1635504839209582,6.927412422572431) node {$A$};
\draw [fill=rvwvcq] (0,-6.5) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (0.1635504839209582,-6.065361542396684) node {$D$};
\draw [fill=wewdxt] (-4.615384615384615,-4.576923076923077) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-4.448082250558807,-4.180607294391906) node {$C$};
\draw [fill=wewdxt] (-6,2.5) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-5.831572070902736,2.897246424179233) node {$B$};
\draw [fill=wewdxt] (6.5,0) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (6.659937466405495,0.3909242858750054) node {$E$};
\draw [fill=wewdxt] (-2,-3.5) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-1.8415072267224175,-3.117926707750913) node {$P$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\definecolor{wewdxt}{rgb}{0.43137254901960786,0.42745098039215684,0.45098039215686275}
\definecolor{rvwvcq}{rgb}{0.08235294117647059,0.396078431372549,0.7529411764705882}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\clip(-9.743636417053121,-9.811040217526434) rectangle (20.377129797569836,9.586909369522477);
\draw[line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (0,-3.0329254814716107) -- (-0.4670745185283886,-3.0329254814716102) -- (-0.46707451852838916,-3.5) -- (0,-3.5) -- cycle;
\draw [shift={(-4.615384615384615,-4.576923076923077)},line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (22.38013505195954:0.6605431187417314) arc (22.38013505195954:67.38013505195954:0.6605431187417314) -- cycle;
\draw [shift={(-4.615384615384615,-4.576923076923077)},line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-22.61986494804046:0.6605431187417314) arc (-22.61986494804046:22.38013505195954:0.6605431187417314) -- cycle;
\draw [shift={(0,-6.5)},line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (90:0.6605431187417314) arc (90:123.69006752597979:0.6605431187417314) -- cycle;
\draw [shift={(0,-6.5)},line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (123.69006752597979:0.6605431187417314) arc (123.69006752597979:157.38013505195957:0.6605431187417314) -- cycle;
\fill[line width=2pt,color=rvwvcq,fill=rvwvcq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,6.5) -- (-6,2.5) -- (-4.615384615384615,-4.576923076923077) -- (0,-6.5) -- (6.5,0) -- cycle;
\draw [shift={(0,0)},line width=2pt,color=wewdxt] plot[domain=-1.5707963267948966:1.5707963267948966,variable=\t]({1*6.5*cos(\t r)+0*6.5*sin(\t r)},{0*6.5*cos(\t r)+1*6.5*sin(\t r)});
\draw [shift={(0,0)},line width=2pt,color=wewdxt] plot[domain=1.5707963267948966:4.71238898038469,variable=\t]({1*6.5*cos(\t r)+0*6.5*sin(\t r)},{0*6.5*cos(\t r)+1*6.5*sin(\t r)});
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-6,2.5)-- (0,-6.5);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-4.615384615384615,-4.576923076923077)-- (6.5,0);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (0,6.5)-- (-2,-3.5);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (0,6.5)-- (0,-6.5);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-4.615384615384615,-4.576923076923077)-- (0,6.5);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-2,-3.5) circle (2cm);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-2,-3.5)-- (0,-3.5);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-4.615384615384615,-4.576923076923077)-- (0,-6.5);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (0,6.5)-- (-6,2.5);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-6,2.5)-- (-4.615384615384615,-4.576923076923077);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-4.615384615384615,-4.576923076923077)-- (0,-6.5);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (0,-6.5)-- (6.5,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (6.5,0)-- (0,6.5);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=rvwvcq] (0,6.5) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (0.18652846803090867,6.977764050492629) node {$A$};
\draw [fill=rvwvcq] (0,-6.5) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (0.18652846803090867,-6.034935388719525) node {$D$};
\draw [fill=wewdxt] (-4.615384615384615,-4.576923076923077) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-4.437273363161212,-4.141378448326556) node {$C$};
\draw [fill=wewdxt] (-6,2.5) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-5.824413912518848,2.926432922209995) node {$B$};
\draw [fill=wewdxt] (6.5,0) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (6.681869135657935,0.4383871749494649) node {$E$};
\draw [fill=wewdxt] (-2,-3.5) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-1.8171189921523436,-3.0624913543817236) node {$P$};
\draw [fill=wewdxt] (0,-3.5) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (0.18652846803090867,-3.0624913543817236) node {$H$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
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Metachick_0008
|
Metachick
| 8 |
三角形 $ABC$ において、辺 $AB,BC,CA$ 上に点 $P,D,Q$ をそれぞれとったところ、$PQ // BC, PB = 1, BD = 3, CD = 2, \angle{BAD = \angle{CAD}}$ が成り立った。
このとき、$AC$ の長さを求めよ。
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まず、四点 $A,P,D,Q$ が共円であることを示す。
三角形 $DPQ$ の外接円と直線 $AD$ の交点のうち、$D$ でないものを $A'$ として $A = A'$ を示す。
このとき、$\angle{DA'P} = \angle{DQP} = \angle{DPQ} = \angle{DA'Q}$ である。
いま、$\angle{DAP} = \angle{DAQ}, \ \angle{DA'P} = \angle{DA'Q}$ かつ $D,A,A'$ が共線であり、 三角形 $ABC$ は二等辺三角形ではないので $A = A'$ となるほかない。
（点 $A'$ が点 $D$ に関して、点 $A$ と同じ側に存在することに注意せよ。）
加えて、$PQ // BC$ から、$\angle{PDB} = \angle{DPQ} = \angle{DQP}$ であるので、接弦定理の逆から四点 $A,P,D,Q$ が乗る円は点 $D$ で辺 $BC$ に接する。
これより、方べきの定理から、$BD^2 = BP \cdot BA, \ CD^2 = CQ \cdot CA$ である。
また、$AD$ は $\angle{BAC}$ を二等分するので、$AB : AC = BD : CD$ が成り立つ。
これにより、$BD : BP = CD : CQ$ であるので、$CQ = \frac{2}{1 \cdot 3} = \frac{2}{3}$ を得る。
再び方べきの定理から、$CD^2 = CQ \cdot CA$ であるので、$CA = 6$ を得る。
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6
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[
"方べきの定理",
"角の二等分線"
] |
nan
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\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\definecolor{wewdxt}{rgb}{0.43137254901960786,0.42745098039215684,0.45098039215686275}
\definecolor{rvwvcq}{rgb}{0.08235294117647059,0.396078431372549,0.7529411764705882}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\clip(-5.869859292784628,-3.1778844380612896) rectangle (12.403419643267513,8.590214058036645);
\fill[line width=2pt,color=rvwvcq,fill=rvwvcq,fill opacity=0.10000000149011612] (4,5.65685424949238) -- (-3,0) -- (2,0) -- cycle;
\draw [shift={(4,5.65685424949238)},line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-141.05755873101862:0.4007298012292136) arc (-141.05755873101862:-125.26438968275468:0.4007298012292136) -- cycle;
\draw [shift={(4,5.65685424949238)},line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-125.26438968275465:0.4007298012292136) arc (-125.26438968275465:-109.47122063449069:0.4007298012292136) -- cycle;
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (4,5.65685424949238)-- (-3,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-3,0)-- (2,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (2,0)-- (4,5.65685424949238);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-2.222222222222224,0.6285393610547074)-- (2.222222222222222,0.6285393610547073);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (2.222222222222222,0.6285393610547073)-- (0,0);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-2.222222222222224,0.6285393610547074)-- (0,0);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (4,5.65685424949238)-- (0,0);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=rvwvcq] (-3,0) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (-2.8911011036474727,0.2884283425714166) node {$B$};
\draw [fill=rvwvcq] (2,0) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (2.1046637516767235,0.2884283425714166) node {$C$};
\draw [fill=wewdxt] (4,5.65685424949238) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (4.108312757822791,5.912003219821394) node {$A$};
\draw [fill=rvwvcq] (0,0) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (0.10101474553065545,0.2884283425714166) node {$D$};
\draw [fill=wewdxt] (-2.222222222222224,0.6285393610547074) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-2.116356821270993,0.8895230444152384) node {$P$};
\draw [fill=wewdxt] (2.222222222222222,0.6285393610547073) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (2.3317439723732782,0.8895230444152384) node {$Q$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.15}
\usepackage{mathrsfs}
\usetikzlibrary{arrows}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\definecolor{wewdxt}{rgb}{0.43137254901960786,0.42745098039215684,0.45098039215686275}
\definecolor{rvwvcq}{rgb}{0.08235294117647059,0.396078431372549,0.7529411764705882}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\clip(-9.165448989175943,-3.2167564042273185) rectangle (12.760106564669375,10.903429592072227);
\fill[line width=2pt,color=rvwvcq,fill=rvwvcq,fill opacity=0.10000000149011612] (4,5.65685424949238) -- (-3,0) -- (2,0) -- cycle;
\draw [shift={(4,5.65685424949238)},line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-141.05755873101862:0.48082358670713415) arc (-141.05755873101862:-125.26438968275468:0.48082358670713415) -- cycle;
\draw [shift={(4,5.65685424949238)},line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-125.26438968275465:0.48082358670713415) arc (-125.26438968275465:-109.47122063449069:0.48082358670713415) -- cycle;
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (4,5.65685424949238)-- (-3,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-3,0)-- (2,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (2,0)-- (4,5.65685424949238);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-2.222222222222224,0.6285393610547074)-- (2.222222222222222,0.6285393610547073);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (2.222222222222222,0.6285393610547073)-- (0,0);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-2.222222222222224,0.6285393610547074)-- (0,0);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (4,5.65685424949238)-- (0,0);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (0,4.242640687119297) circle (4.242640687119297cm);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=rvwvcq] (-3,0) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (-2.8666600033124854,0.34935186385060324) node {$B$};
\draw [fill=rvwvcq] (2,0) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (2.1339052984417095,0.34935186385060324) node {$C$};
\draw [fill=wewdxt] (4,5.65685424949238) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (4.121309456831197,5.974987828324088) node {$A$};
\draw [fill=rvwvcq] (0,0) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (0.13047368716198404,0.34935186385060324) node {$D$};
\draw [fill=wewdxt] (-2.222222222222224,0.6285393610547074) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (-2.097342264581071,0.9423676207894037) node {$P$};
\draw [fill=wewdxt] (2.222222222222222,0.6285393610547073) circle (2pt);
\draw[color=wewdxt] (2.3582896389050387,0.9423676207894037) node {$Q$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
|
|
Metachick_0009
|
Metachick
| 9 |
$AB = 5, BC = CD = 3$ なる四角形 $ABCD$ において、$AB // CD$ が成り立っていた。
辺 $BC$ 上に $BP = 1, CP = 2$ なる点 $P$ を、辺 $CD$ 上に $CQ = 2, DQ = 1$ なる点 $Q$ をとった。
このとき、$\angle{DPQ} + \angle{APB}$ を求めよ。
|
三角形 $PCQ$ は直角二等辺三角形であったので $\angle{CPQ} = 45^{\circ}$ となる。
また、$A$ を通り直線 $BC$ に平行な直線と直線 $CD$ の交点を $E$ とする。
このとき、$\triangle{PCD} \equiv \triangle{DEA}$ となるので、$PD = DA$ となる。
また、$\angle{PDA} = 90^{\circ}$ であるから、三角形 $APD$ は直角二等辺三角形である。
よって、$\angle{APD} = 45^{\circ}$ となる。
これより、$\angle{DPQ} + \angle{APB} = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ}$ となる。
|
90^{\circ}
|
[
"角度追跡",
"合同"
] |
三角関数や座標を用いても解くことが可能である。
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\documentclass[10pt]{article}
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\usepackage{mathrsfs}
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\pagestyle{empty}
\begin{document}
\definecolor{wewdxt}{rgb}{0.43137254901960786,0.42745098039215684,0.45098039215686275}
\definecolor{rvwvcq}{rgb}{0.08235294117647059,0.396078431372549,0.7529411764705882}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\clip(-4.369529910097616,-1.4009470951223282) rectangle (7.533789736733481,6.264860367493342);
\fill[line width=2pt,color=rvwvcq,fill=rvwvcq,fill opacity=0.10000000149011612] (-1,5) -- (-1,0) -- (2,0) -- (2,3) -- cycle;
\draw [shift={(0,0)},line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (45:0.26103771155331357) arc (45:56.30993247402017:0.26103771155331357) -- cycle;
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-1,5)-- (-1,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-1,0)-- (2,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (2,0)-- (2,3);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (2,3)-- (-1,5);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (2,3)-- (0,0);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (0,0)-- (2,2);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-1,5)-- (0,0);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=rvwvcq] (-1,5) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (-0.9325333746456543,5.190255121598864) node {$A$};
\draw [fill=rvwvcq] (-1,0) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (-0.9325333746456543,0.1870323168270019) node {$B$};
\draw [fill=rvwvcq] (2,0) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (2.0694003082174515,0.1870323168270019) node {$C$};
\draw [fill=rvwvcq] (2,3) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (2.0694003082174515,3.1889659996901187) node {$D$};
\draw [fill=rvwvcq] (0,0) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (0.06811118630871418,0.1870323168270019) node {$P$};
\draw [fill=rvwvcq] (2,2) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (2.0694003082174515,2.1883214387357466) node {$Q$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
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\documentclass[10pt]{article}
\usepackage{pgfplots}
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\usepackage{mathrsfs}
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\pagestyle{empty}
\begin{document}
\definecolor{wewdxt}{rgb}{0.43137254901960786,0.42745098039215684,0.45098039215686275}
\definecolor{rvwvcq}{rgb}{0.08235294117647059,0.396078431372549,0.7529411764705882}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
\clip(-5.5272152979353,-3.079560265186395) rectangle (8.50894722692157,5.959810483643247);
\fill[line width=2pt,color=rvwvcq,fill=rvwvcq,fill opacity=0.10000000149011612] (-1,5) -- (-1,0) -- (2,0) -- (2,3) -- cycle;
\draw [shift={(0,0)},line width=1.6pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (45:0.30781058168545766) arc (45:56.30993247402017:0.30781058168545766) -- cycle;
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-1,5)-- (-1,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (-1,0)-- (2,0);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (2,0)-- (2,3);
\draw [line width=2pt,color=rvwvcq] (2,3)-- (-1,5);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (2,3)-- (0,0);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (0,0)-- (2,2);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-1,5)-- (2,5);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (2,5)-- (2,3);
\draw [line width=2pt,color=wewdxt] (-1,5)-- (0,0);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=rvwvcq] (-1,5) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (-0.9203169253762834,5.2159349112367215) node {$A$};
\draw [fill=rvwvcq] (-1,0) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (-0.9203169253762834,0.2191431352094393) node {$B$};
\draw [fill=rvwvcq] (2,0) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (2.085966422418353,0.2191431352094393) node {$C$};
\draw [fill=rvwvcq] (2,3) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (2.085966422418353,3.2254264830040875) node {$D$};
\draw [fill=rvwvcq] (0,0) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (0.08519764146287825,0.2191431352094393) node {$P$};
\draw [fill=rvwvcq] (2,2) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (2.085966422418353,2.219911916164922) node {$Q$};
\draw [fill=rvwvcq] (2,5) circle (2.5pt);
\draw[color=rvwvcq] (2.085966422418353,5.2159349112367215) node {$E$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{document}
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